初中数学人教版八年级上册 第十四章 14.1整式的乘法

《整式的乘法》说课稿尊敬的各位专家评委，各位老师你们好：我叫柯阳兵，来自xxxxxxx.今天，我说课的内容是：义务教育教科书人教版八年级上册第十四章第一节《整式的乘法》第四课时《单项式乘以单项式和单项式乘以多项式》.下面我将从教学背景、教学目标、教法学法、教学过程、课后反思五个方面对本节课进行课后说课.一、说教学背景（一）教材分析整式的乘除与因式分解，属于《课程标准》中的“数与代数”领域的核心知识．而初中代数的一条主线是：由数到式，再到方程、函数，其中，式具有承上启下的作用．式的教学又以整式为主，整式的运算以数的运算和幂的运算为基础．作为幂的运算的直接应用，教科书在第四小节安排了整式的乘法．本节内容由浅入深地学习单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式，三个知识点环环相扣，每个新知识点的学习既是对前一个所学知识的应用，也为后一个知识学习奠定基础.整式的乘法既是进一步学习分式和根式运算的基础，同时又是学习物理、化学等其他学科不可缺少的数学工具．本节课主要解决单项式乘单项式和多项式与单项式相乘的问题，多项式与多项式的乘法将在下一节继续研究．（二）学情分析在之前的学习中，学生已经学习了数的运算、字母表示数、合并同类型、去括号等内容，了解有关运算律和法则，同时在前面几节课又学习了同底数幂乘法、幂的乘方、积的乘方法则，具备了类比有理数运算进行整式运算的知识基础.我所在的学校是xxxxxxx，学校推行课堂教学改革已经五年，班上的学生较活跃，在课堂上能积极思考，踊跃地发表自己的观点.但我们学校是一所寄宿制学校，生源都来源于农村乡镇，学生基础参差不齐，计算能力不强.二、说教学目标（一）教学目标的确定依据课程标准、教学内容和学情，从以下四个方面构建了本节课的学习目标.知识与技能：探索并了解单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算. 数学思考：经历单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则的形成过程，发展学生的运算能力，体验转化、类比的思想方法.问题解决：利用数式通性的特点、乘法分配律生成法则，并从中获得分析问题和解决问题的基本方法.情感态度：让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯.（二）学习重难点基于以上对教材和学情的分析，确定本节课的教学重点和难点分别是:重点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则及其概括过程；难点：单项式与单项式、单项式与多项式相乘的计算中符号的确定和漏项问题.三、说教法学法洛克说：任何东西都不能像良好的方法那样，给学生指明道路，帮助他们前进.新课标也强调课堂教学要以学生为主体，教师为主导.基于对教材和学情的分析，并结合我校课堂教学的实际，我在本课中主要采用以下教学方法：（1）教法：启发式教学,课堂中以问题为驱动，通过教师的引导示范演示等方式组织教学.《基础教育课程改革纲要》指出，“课改的根本就是要改变学生的学习方式.”因此，在本节课的教学中，我将更加突出学生的主体地位.让学生以自学、合作、分享、实践等方式参与到学习活动中.（2）学法：自主学习、启发探究、合作讨论、分享交流、动手实践.四、说教学过程为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，我把教学过程设计为五个环节.创设情景激趣引入；归纳探索，生成法则；例题导析，巩固法则；互动探究，触类旁通；总结归纳，自我测评.第一环节创设情景激趣引入播放天宫二号发射视频，教师引入新课.【设计意图】课程标准要求:学生的学习，要从实际出发，创设与现实生活相联系的问题情境，以激发学生的求知欲.播放神舟十一号发射视频，不仅宣传我国航天事业取得的巨大成就，激发学生民族自豪感，同时也为问题的引入作一个铺垫.第二环节归纳探索·生成法则教师出示问题1，和自研前两个问题，即：（1）用式子表示出运行轨道的长度；（2）说说上式计算每步运算的依据.学生独立思考，然后进行全班展示讲解.此环节教师关注两个问题：①关注学生计算结果的准确性；②让学生说出每一步计算的依据，巩固与本节课学习相关的知识.在解决自研第（1）（2）问后，出示第（3）（4）问，学生独立思考，并安排学生板书第（3）问中三个式子的计算步骤.在这个过程中，教师引导学生类比解决33(7.810)(5.410)的经验来进行计算.【设计意图】通过由数的运算过渡到式的运算，让学生体会到“数式通性”的特点.并通过对四个算式的共性的挖掘，培养学生的观察能力、抽象能力和语言组织能力，同时为后续学习单项式乘以多项式和多项式乘以多项式，积累方法上的经验.通过以上式子以及计算方法共性的比较，让学生用自己的语言概括单项式乘以单项式的法则，教师引导学生剖析法则的内涵，也就是单项式乘以单项式运算的实质和步骤.【设计意图】学生先通过自由发言，阐述自己的观点；再通过相互补充加以反思，最后完成对法则的抽象，在概括法则的过程中培养学生的语言表达能力.第三环节例题导析·巩固法则师生共同分析解答，教师板书第（1）题步骤.教师板书时，引导学生依据法则来分析、逐步书写解题过程，切忌出现跳步现象.之后，学生独立完成例1中第（2）（3）题步骤书写，并安排学生板演，让学生进行评价，发现自己或同伴出现的问题，教师带领学生进行订正及示范.在学生参与计算演练后，教师再提出具有挑战性的问题：进行单项式乘法运算过程时需要注意什么问题？让学生反思总结，升华提高，再有目的性地进行练习.【设计意图】这一环节的设计不仅规范单项式乘法的运算步骤和格式，而且及时性的总结不仅使学生掌握了法则，而且学会反思，在练习中积累解题经验.第四环节互动探究·触类旁通【设计意图】著名的教育家魏书生认为，“教师的责任在于引导指导学生，而不是把知识给学生背一遍.”《2011版课程标准》也强调学生在获得知识技能的过程中，只有通过自主性的体验、经历、探究和思考，课堂教学目标才能落实.对于单项式乘以多项式的法则的学习，教师充分相信学生，大胆放手，学生阅读实际问题，按照教师提供的探究指导，即（1）用不同的表示方法扩大后的绿地的面积.（2）从表示绿地面积的代数式中，你能发现它们之间有怎样的关系？让经历思考、讨论、展示、总结等活动，进而明确单项式乘以多项式的法则及其实质.在了解法则后，为体现法则的应用性，教师PPT 呈现例 2.虽然是例题，但是教师先不讲解，让学生尝试独立完成，教师根据学生遇到的问题和出现的错误，有针对性地进行讲解、板书示范并师生一起总结计算过程中的注意点.通过例题的练习总结，了解了单项式乘以多项式的法则和计算中的注意点，之后，迅速出示一组习题.【设计意图】出示一组练习题及时巩固，是为让效果更落实，练习1的设计是为了注意符号问题和注意漏乘-1这一项，练习（2）是为了强调运算的顺序和在计算中不要漏掉23ab这一项中b 这个因式.练习（3）属于混合运算，旨在让学生注意运算顺序，和同类项的合并，从而得到最后结果.第五环节总结归纳·自我测评这一环节安排了两个内容，分享收获和目标检测.【设计意图】为多角度、多层次地考查学生的学习情况.通过小结，使学生加深对本节课内容的认识，体会类比、转化是数学学习的重要的思想方法.通过两道练习题，进一步检测学生运用法则的熟练程度.五、说课后反思上完这节课后，我觉得有如下成功之处：1.以问题为载体给学生提供探索的空间.本节课的每个环节的设计与展示，都以问题的解决为中心，构建了“以问题研究和学生活动”为中心的课堂学习环节，使教学过程成为在教师指导下学生的一种自主探索的学习活动过程，在探索中形成自己的观点.2.课堂中，让学生参与到知识产生、发展和应用的全过程.数学教学不是把现成的结论交给学生，教学中，通过指导、引导让他们自己寻求知识产生的起因，探索与其他知识的联系.3.教师成为了课堂的组织者与引导者.课堂中，教师预设问题，放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织学生自我表现和合作交流.4.学生参与面广，思维活跃，表现力强.学校推行课堂教学改革多年，“让学生成为课堂的主体”的理念培养了孩子自信力、表达力.当然，教学中也存在一些问题.如：本节课的学习涵盖单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，内容较多，学生法则运用不熟练，后面还需要加以练习，以达到巩固提高的目的.。

人教版数学八年级上册第14章14.1---14.3分节练习含答案14.1整式的乘法一．选择题1．计算（2m+3）（m﹣1）的结果是（）A．2m2﹣m﹣3B．2m2+m﹣3C．2m2﹣m+3D．m2﹣m﹣3 2．计算（﹣3x2）2x3的结果是（）A．﹣5x6B．﹣6x6C．﹣5x5D．﹣6x53．下列各式中，计算结果为a18的是（）A．×a6C．a3×（﹣a）6D．（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（）4. 计算式：（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）的结果是（）A．2x2﹣8B．2x2﹣x﹣4C．2x2+8D．2x2+6x5．下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（）A．﹣6x B．x（x+4）+24C．4（x+6）+x2D．x2+246．若x+m与x+2的乘积化简后的结果中不含x的一次项，则m的值为（）A．2B．﹣2C．4D．﹣47．已知正方形ABCD边长为x，长方形EFGH的一边长为2，另一边的长为x，则正方形ABCD与长方形EFGH的面积之和等于（）A．边长为x+1的正方形的面积B．一边长为2，另一边的长为x+1的长方形面积C．一边长为x，另一边的长为x+1的长方形面积D．一边长为x，另一边的长为x+2的长方形面积8．计算（﹣1.5）2018×（）2019的结果是（）A．﹣B．C．﹣D．9．若（x+2）（x+a）＝x2+bx﹣8，则a b的值为（）A．﹣8B．﹣4C．D．10．若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p二．填空题11．若（3x2﹣2x+1）（x+b）的积中不含x的一次项，则b的值为．12．＝．13．如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要张C类卡片．14．已知a+b＝4，ab＝3，则代数式（a+1）（b+1）的值为．15．已知a+b＝﹣5，ab＝4，化简（a﹣2）（b﹣2）的结果是．三．解答题16．计算：（1）3x2y（﹣2x3y2）2；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）．17．若（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）的展开式中不含x2项和x3项，求m，n的值．18．甲、乙二人共同计算2（x+a）（x+b），由于甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“﹣”，得到的结果为2x2+4x﹣30；由于乙漏抄了2，得到的结果为x2+8x+15．（1）求a，b的值；（2）求出正确的结果．19．如图，甲、乙都是长方形，边长的数据如图所示（其中m为正整数）．（1）图中的甲长方形的面积S1，乙长方形的面积S2，试比较S1、S2的大小，并说明理由；（2）现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S与图中的甲长方形面积S1的差（即S﹣S1）是一个常数，求出这个常数．参考答案与试题解析一．选择题1．【解答】解：原式＝2m2﹣2m+3m﹣3＝2m2+m﹣3，故选：B．2．【解答】解：（﹣3x2）2x3＝﹣6x5，故选：D．3．【解答】解：A．（﹣a6）3＝﹣a18，故本选项不合题意；B．（﹣a3）×a6＝﹣a9，故本选项不合题意；C．a3×（﹣a）6＝a9，故本选项不合题意；D．（﹣a3）6＝a18，故本选项符合题意．故选：D．4．【解答】解：（x+4）（x﹣1）+（x﹣4）（x+1）＝x2+3x﹣4+x2﹣3x﹣4＝2x2﹣8，故选：A．5．【解答】解：A、大长方形的面积为：，空白处小长方形的面积为：6x，所以阴影部分的面积为﹣6x，故不符合题意；B、阴影部分可分为两个长为x+4，宽为x和长为6，宽为4的长方形，他们的面积分别为x（x+4）和4×6＝24，所以阴影部分的面积为x（x+4）+24，故不符合题意；C、阴影部分可分为一个长为x+6，宽为4的长方形和边长为x的正方形，则他们的面积为：4（x+6）+x2，故不符合题意；D、阴影部分的面积为x（x+4）+24＝x2+4x+24，故符合题意；故选：D．6．【解答】解：根据题意得：（x+m）（x+2）＝x2+（m+2）x+2m，由结果中不含x的一次项，得到m+2＝0，解得：m＝﹣2，故选：B．7．【解答】解：根据题意得：正方形ABCD与长方形EFGH面积之和为x2+2x＝x（x+2），则正方形ABCD与长方形EFGH的面积之和等于一边长为x，另一边的长为x+2的长方形面积，故选：D．8．【解答】解：（﹣1.5）2018×（）2019＝（1.5）2018×（）2018×＝＝＝＝．故选：D．9．【解答】解：（x+2）（x+a）＝x2+（2+a）x+2a，则2+a＝b，2a＝﹣8，解得，a＝﹣4，b＝﹣2，∴a b＝（﹣4）﹣2＝，故选：D．10．【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q，∵结果不含x的一次项，∴q+3p＝0．故选：C．二．填空题（共5小题）11．【解答】解：（3x2﹣2x+1）（x+b）＝3x3+3bx2﹣2x2﹣2bx+x+b＝3x3+（3b﹣2）x2+（﹣2b+1）x+b，∵积中不含x的一次项，∴﹣2b+1＝0，解得：b＝，故答案为：．12．【解答】解：原式＝22008×（）2008×（）2＝（2×）2008×＝1×＝．故答案为：．13．【解答】解：∵（3a+b）（a+2b）＝3a2+6ab+ab+2b2＝3a2+7ab+2b2，∴若要拼一个长为（3a+b），宽为（a+2b）的大长方形，则需要A类3张，B类2张，C 类7张．故答案为：7．14．【解答】解：原式＝ab+a+b+1＝ab+（a+b）+1，当a+b＝4，ab＝3时，原式＝3+4+1＝8．故答案为：815．【解答】解：∵a+b＝﹣5，ab＝4，∴（a﹣2）（b﹣2）＝ab﹣2a﹣2b+4＝ab﹣2（a+b）+4＝4﹣2×（﹣5）+4＝18，故答案为：18．三．解答题（共4小题）16．【解答】解：（1）3x2y（﹣2x3y2）2＝3x2y4x6y4＝12x8y5；（2）（﹣2a2）（3ab2﹣5ab3）＝（﹣2a2）（3ab2）﹣（﹣2a2）（5ab3）＝﹣6a3b2+10a3b3．17．【解答】解：（1）设AB＝x，BC＝y，由题意得，∵长方形ABCD的周长为16，∴2（x+y）＝16，即x+y＝8 ①，又∵四个正方形的面积和为68，∴2x2+2y2＝68，即：x2+y2＝34 ②，①的两边平方得（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，将②代入得，2xy＝30，∴xy＝15，即矩形ABCD的面积为15；（2）（x2+nx+3）（x2﹣3x+m）＝x4+（﹣3+n）x3+（m﹣3n+3）x2+（mn﹣9）x+3m，∵不含x2和x3项∴﹣3+n＝0，m﹣3n+3＝0，解得，m＝6，n＝3，答：m、n的值为6，3．18．【解答】解：（1）甲把第一个多项式中a前面的符号抄成了“﹣”，得到的结果为2x2+4x ﹣30，∴2（x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣2ax﹣2ab＝2x2+（2b﹣2a）x﹣2ab＝2x2+4x﹣30，∴2b﹣2a＝4，∵乙漏抄了2，得到的结果为x2+8x+15，∴（x+a）（x+b）＝x2+bx+ax+ab＝x2+（a+b）x+ab＝x2+8x+15，∴a+b＝8，解方程组得：，即a＝3，b＝5；（2）2（x+3）（x+5）＝2x2+10x+6x+30＝2x2+16x+30．19．【解答】解：（1）S1＝（m+1）（m+7）＝m2+8m+7，S2＝（m+2）（m+4）＝m2+6m+8，∴S1﹣S2＝（m2+8m+7）﹣（m2+6m+8）＝2m﹣1，∵m为正整数，∴2m﹣1＞0，∴S1＞S214.2《平方差公式》1. 为了便于直接应用平方差公式计算，应将)变形为（）A. B.C. D.2. 可表示为（）A. B. C. D.3. 若，则的值为（）A. B. C. D.4. 在下列各式中，计算结果是的是（）A. B.C. D.5.下列各式中，计算正确的是（）A. B.C. D.6.计算：等于（）A. B. C. D.7. 计算：________．8. 填空：（1）（）（）；（2）（）；（3）（）（）（）．9.若一个三角形的一条边长为，这条边上的高为，则这个三角形的面积为________．10. 计算：(1)________．(2)()．11.设＝，求的值．12. 利用平方差公式计算：（1）；（2）．13. 计算：________；________；________；根据上面算式所得的简便方法计算下式：．14.计算：15.（1）；（2）；16.（3）．17.计算：18.（1）；（2）；19.（3）；（4）．20.运用平方差公式计算：21.（1）；（2）；22.（3）；（4）．参考答案1.【答案】B2.【答案】B3.【答案】A4.【答案】C5.【答案】C6.【答案】A7.略8.【答案】（1）（2）（3）9.【答案】10.【答案】(1)(2)11.＝＝＝＝，故＝．12.＝＝＝．＝＝＝．13.【答案】原式.14.【答案】（1）解：（2）解：（3）解：15.【答案】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：16.【答案】（1）解：（2）解：（3）解：（4）解：14.3《因式分解》一．选择题1．8x m y n﹣1与﹣12x5m y n的公因式是（）A．x m y n B．x m y n﹣1C．4x m y n D．4x m y n﹣1 2．下列计算属于因式分解的是（）A．b3+b3＝2b3B．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）D．a2÷a＝a3．下列各式能分解因式的是（）A．﹣x2﹣1B．C．a2+2ab﹣b2D．a2﹣b4．下列各式中，能用平方差公式进行分解因式的是（）A．x2+y2B．x2﹣2x﹣3C．x2+2x+1D．x2﹣45．对于①x﹣3xy＝x（1﹣3y），②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形，表述正确的是（）A．都是因式分解B．都是乘法运算C．①是因式分解，②是乘法运算D．①是乘法运算，②是因式分解6．利用因式分解简便计算69×99+32×99﹣99正确的是（）A．99×（69+32）＝99×101＝9999B．99×（69+32﹣1）＝99×100＝9900 C．99×（69+32+1）＝99×102＝10096D．99×（69+32﹣99）＝99×2＝1987．若长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，则a2b+ab2的值为（）A．14B．16C．20D．408．已知a，b都是实数，观察表中的运算，则m为（）a、b的运算a+b a﹣b a2﹣b2运算的结果﹣410m A．40B．﹣40C．36D．﹣369．已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足ac+bc＝b2+ab，则△ABC的形状是（）A．等边三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形10．如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪拼成一个长方形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣ab＝a（a﹣b）C．a2﹣b2＝（a﹣b）2D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）二．填空题11．分解因式：x3+2x2﹣3x＝．12．在实数范围分解因式：x2﹣6＝．13．利用因式分解计算：2022+202×196+982＝．14．若x2+4x+m＝（x﹣2）（x+6），则m＝．15．若m3+m﹣1＝0，则m4+m3+m2﹣2＝．三．解答题16．因式分解：（1）2mx2﹣4mxy+2my2；（2）x2﹣4x+4﹣y2．17．将下列各式分解因式：（1）x2+2x﹣15；（2）2x2y﹣8xy2+8y3；（3）9（x+2y）2﹣4（x﹣y）2．18．已知a﹣b＝3，ab＝4，求下列式子的值：（1）a2b﹣ab2；（2）a4b2﹣2a3b3+a2b4．19．某同学碰到这么一道题“分解因式x2+2x﹣3”，不会做，去问老师，老师说：“能否变成平方差的形式？在原式加上1，再减去1，这样原式化为（x2+2x+1）﹣4，…”，老师话没讲完，此同学就恍然大悟，他马上就做好了此题．请你仔细领会该同学的做法，将a2﹣2ab﹣3b2分解因式．20．对于二次三项式a2+6a+9，可以用公式法将它分解成（a+3）2的形式，但对于二次三项式a2+6a+8，就不能直接应用完全平方式了，我们可以在二次三项式中先加上一项9，使其成为完全平方式，再减去9这项，使整个式子的值保持不变，于是有：a2+6a+8＝a2+6a+9﹣9+8＝（a+3）2﹣1＝[（a+3）+1][（a+3）﹣1]＝（a+4）（a+2）请仿照上面的做法，将下列各式因式分解：（1）x2﹣6x﹣16；（2）x2+2ax﹣3a2．参考答案一．选择题1．解：8x m y n﹣1与﹣12x5m y n的公因式是4x m y n﹣1．故选：D．2．解：A、从左到右是合并同类项，不是因式分解，故此选项不符合题意；B、从左到右是整式的乘法，不是因式分解，故此选项不符合题意；C、右边是几个整式的积的形式，故此选项符合题意；D、从左到右是单项式的除法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意．故选：C．3．解：A、不能分解，故此选项不符合题意；B、能够运用完全平方式分解因式，故此选项符合题意；C、不能分解，故此选项不符合题意；D、不能分解，故此选项不符合题意．故选：B．4．解：A．多项式中的两项同号，不能用平方差公式分解因式；B．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；C．多项式含有三项，不能用平方差公式分解因式；D．能变形为x2﹣22，符合平方差公式的特点，能用平方差公式分解因式．故选：D．5．解：①x﹣3xy＝x（1﹣3y），从左到右的变形是因式分解；②（x+3）（x﹣1）＝x2+2x﹣3，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解；所以①是因式分解，②是乘法运算．故选：C．6．解：69×99+32×99﹣99＝99（69+32﹣1）＝99×100＝9900．故选：B．7．解：∵长和宽分别是a，b的长方形的周长为10，面积为4，∴2（a+b）＝10，ab＝4，∴a+b＝5，则a2b+ab2＝ab（a+b）＝20．故选：C．8．解：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝（﹣4）×10＝﹣40．∴m＝﹣40．故选：B．9．解：由ac+bc＝b2+ab得，c（a+b）＝b（a+b），∴b＝c，∴△ABC是等腰三角形．故选：D．10．解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为：a2﹣b2；拼成的长方形的面积为：（a+b）×（a﹣b），所以得出：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．二．填空题11．解：x3+2x2﹣3x＝x（x2+2x﹣3）＝x（x+3）（x﹣1），故答案为：x（x+3）（x﹣1）．12．解：x2﹣6＝（x+）（x﹣）．故答案为：（x+）（x﹣）．13．解：原式＝2022+2x202x98+982＝（202+98）2＝3002＝90000．14．解：∵x2+4x+m可分解为（x﹣2）（x+6），∴（x﹣2）（x+6）＝x2+4x﹣12，则m＝﹣12．故答案为：﹣12．15．解：∵m3+m﹣1＝0，∴m3+m＝1，∴m4+m3+m2﹣2＝m4+m2+m3﹣2＝m（m3+m）+m3﹣2＝m×1+m3﹣2＝m+m3﹣2＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．三．解答题16．解：（1）原式＝2m（x2﹣2xy+y2）＝2m（x﹣y）2；（2）原式＝（x﹣2）2﹣y2＝（x﹣2+y）（x﹣2﹣y）．17．解：（1）原式＝（x+5）（x﹣3）；（2）原式＝2y（x2﹣4xy+4y2）＝2y（x﹣2y）2；（3）原式＝（3x+6y）2﹣（2x﹣2y）2．＝（3x+6y+2x﹣2y）（3x+6y﹣2x+2y）＝（5x+4y）（x+8y）．18．解：（1）∵a﹣b＝3，ab＝4，∴a2b﹣ab2＝ab（a﹣b）＝4×3＝12；（2）∵a﹣b＝3，ab＝4，∴a4b2﹣2a3b3+a2b4＝a2b2（a2﹣2ab+b2）＝（ab）2（a﹣b）2＝42×32＝144．19．解：a2﹣2ab﹣3b2＝a2﹣2ab+b2﹣4b2＝（a﹣b）2﹣4b2＝（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）＝（a+b）（a﹣3b）．20．解：（1）x2﹣6x﹣16＝x2﹣6x+9﹣9﹣16＝（x﹣3）2﹣25＝（x﹣3+5）（x﹣3﹣5）＝（x+2）（x﹣8）；（2）x2+2ax﹣3a2＝x2+2ax+a2﹣a2﹣3a2＝（x+a）2﹣（2a）2＝（x+a+2a）（x+a﹣2a）＝（x+3a）（x﹣a）．。

14.1.1同底数幂的乘法课时目标1.理解同底数幂的乘法法则并运用法则解决一些实际问题,培养学生运算、推理能力,发展应用意识.2.会用数学的思维推导“同底数幂的乘法法则”,使学生初步理解从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律,发展学生观察、归纳、类比等能力.3.在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.学习重点理解并掌握同底数幂的乘法法则.学习难点运用同底数幂的乘法法则进行相关计算.课时活动设计情境引入教师简述我国超级计算机的发展历程,引出课本问题:一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算,它工作103 s可进行多少次运算?解:103×1015=1018设计意图:通过探究问题激发学生的民族自豪感,也让学生体会生活中存在着大量的较大的数据,激发学生的学习兴趣.探究新知问题1:对于上一教学活动中提出的问题,应如何列式?学生动笔列式,大部分学生可以列出.追问:其中1015中“10”“15”“1015”分别叫做什么?“1015”表示的意义是什么?问题2:1015×103等于多少?学生小组讨论,展示计算过程.1015×103=(10× (10)⏟15个10×(10×10×10)=10×10×…×10⏟18个10=1018.追问1:根据乘方的意义计算23×22.学生快速计算,展示结果.解:23×22=2×2×2×2×2=25追问2:请同学们观察上面各算式的左右两边底数、指数的关系,猜一猜:a m·a n 的结果(m,n都是正整数)师生根据乘方的意义共同验证结论的正确性.教师把结论板书在黑板上:a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).师生活动:教师引导学生试着用文字概括这个性质.同底数幂相乘,底数不变,指数相加.追问3:当三个或三个以上同底数幂相乘时,是否也具有这一性质呢?小组合作,验证结论,并点名展示.a m·a n·a p=a m+n+p(m,n,p都是正整数)设计意图:让学生根据幂的意义,通过计算得到结果.再观察、比较得到等号左右两边底数、指数的关系.通过猜想、验证,抽象概括出同底数幂的乘法运算的本质特征,发展学生观察、归纳、类比能力,体现了从特殊到一般的认知规律.让学生在计算过程中明白算法和算理.适当拓展,为发展学生思维助力.典例精讲例1计算:(1)x2·x5;(2)a·a6.解:(1)x2·x5=x2+5=x7.(2)a·a6=a1+6=a7.教师总结点拨:不要忽略指数是“1”的因式,如a·a6≠a0+6.例2计算:(1)(b+2)3(b+2)4(b+2);(2)-x6·(-x)10.解:(1)原式=(b+2)3+4+1=(b+2)8.(2)原式=-x6+10=-x16.小组合作完成,并选小组代表上台板演.教师讲解,并让学生理解:底数是单项式,也可以是多项式,通常把底数看成一个整体来运算.把不同底数幂转化为同底数幂时要注意符号的变化.例3已知:a m=4,a m+n=20,求a n的值.解:a m+n=a m·a n(逆运算)=4×a n=20,所以a n=5.师生共同解答,并总结:当幂的指数是和的形式时,可以逆运用同底数幂乘法法则,将幂指数和转化为同底数幂相乘,然后把幂作为一个整体,带入变形后的幂的运算式中求解.设计意图:师生共同完成,教师板书过程并着重让学生说明是不是同底数幂相乘,底数是多少,指数是多少,引导学生用运算法则进行计算.通过计算,让学生积累解题经验的同时,体会从一般到特殊的认知规律,将同底数幂的乘法转化为指数相加运算的思想.巩固训练1.x3·x2的运算结果是(C)A.x2B.x3C.x5D.x62.若a n-2·a n+1=a11,则n=6.3.计算:(1)x n·x n+1;(2)(x+y)3·(x+y)4.解:(1)原式=x n+n+1=x2n+1.(2)原式=(x+y)3+4=(x+y)7.设计意图:通过巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.课堂小结今天我们学了哪些内容:同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加.a m·a n=a m+n(m,n都是正整数).设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第1题(1)(2)和第2题(1).2.作业.教学反思14.1.2幂的乘方课时目标1.理解幂的乘方法则并运用法则解决一些实际问题,发展运算、推理能力和应用意识.2.类比同底数幂的乘法法则学习幂的乘方的法则,发展学生观察、归纳、类比等能力,体验数学的化归思想.3.培养学生合作交流意识和探索精神,让学生体会数学的应用价值.学习重点理解幂的乘方性质.学习难点幂的乘方运算法则及灵活应用.课时活动设计回顾引入问题1:叙述同底数幂的乘法法则,并用字母表示.问题2:请口答下列各题:(1)33×35;(2)y2·y;(3)a m·a2.设计意图:通过点名学生回答,复习同底数幂的乘法法则,加深对所学知识的巩固和理解.通过口算,既检验了上节课的学习效果,也为学习本节课知识打下基础.探究新知问题3:请根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空.(1)(32)3=32×32×32=3(6).(2)(a2)3=a2·a2·a2=a(6).(3)(a m)3=a m·a m·a m=a(3m)(m是正整数).追问1:(a m)3底数是a,底数是什么形式?追问2:观察计算的结果,你能发现什么规律?根据规律猜想幂的乘法法则.学生口述规律,教师引导学生得到(a m)n=a mn(m,n都是正整数).即幂的乘方,底数不变,指数相乘.教师讲述:规律的正确性需要严谨的证明,如何把特殊一般化,常用的方法是用字母去表示数.追问3:试着证明你的猜想.设计意图:问题3引导学生根据幂的意义,将幂的乘方转化为同底数幂的乘法.追问1、2让通过观察底数、指数的变化,猜想幂的乘方法则.追问3让学生类比问题3计算,并小组内交流.通过问题推进探索规律,让学生自主构建获得新知,培养学生的语言表达能力和符号意识.典例精讲例1计算:(1)(103)5;(2)(a2)4;(3)(a m)2;(4)-(x4)3.解:(1)原式=103×5=1015.(2)原式=a2×4=a8.(3)原式=a m·2=a2m.(4)原式=-x4×3=-x12.例2计算:(1)[(x+y)2]2;(2)[(-x)4]3.解:(1)原式=(x+y)2×3=(x+y)6.(2)原式=(-x)4×3=(-x)12.设计意图:运用幂的乘方法则进行计算时,一定不要将幂的乘方与同底数幂的乘法混淆.在幂的乘方中,底数可以是单项式,也可以是多项式.在运算时,注意把底数看成一个整体,同时注意“负号”.将底数由单项式变式为多项式,在思考过程中实现了知识的迁移,训练了学生的思维,进一步感悟整体思想.巩固训练1.计算:(1)(x4)3·x6;(2)(y4)2+(y2)3·y2.解:(1)原式=x4×3·x6=x12·x6=x18.(2)原式=y4×2+y2×3+2=y8+y8=2y8.教师点拨:与幂的乘方有关的混合运算中,一般先算幂的乘方,再算乘除,最后算加减.2.已知10m=3,10n=2,求下列各式的值.(1)103m;(2)102n;(3)103m+2n.解:(1)原式=(10m)3=33=27.(2)原式=(10n)2=22=4.(3)原式=103m×102n=27×4=108.3.已知2x+5y-3=0,求4x·32y的值.解:∵2x+5y-3=0,∴2x+5y=3.∴4x·32y=(22)x·(25)y=22x·25y=22x+5y=23=8.教师点拨:此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式,将所求值的式子正确变形,然后代入已知条件求值即可.4.比较3500,4400,5300的大小.解:3500=35×100=(35)100=2431004400=44×100=(44)100=2561005300=53×100=(53)100=125100∵256100>243100>125100,∴4400>3500>5300.教师点拨:比较底数大于1的幂的大小的方法有两种:1.底数相同,指数越大,幂就越大;2.指数相同,底数越大,幂就越大.设计意图:使帮助学生巩固刚刚学习的新知识,在此基础上加深知识的应用,培养学生的逆向思维,增强学生思维的灵活性.课堂小结设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第1题(3)(4)(6)第2题(4).2.作业.教学反思14.1.3积的乘方课时目标1.利用几何图形,探索积的乘方运算性质,进一步体会幂的意义,发展学生的空间观念、推理能力和有条理语言、符号表达能力,掌握转化的数学思想.2.能用积的乘方的运算法则解决问题,提高学生的应用意识.3.通过探究学习过程,激发学习数学的兴趣,培养学习数学的信心,感受数学的内在美.学习重点积的乘方运算法则的理解及其应用.学习难点积的乘方推导过程的理解和灵活运用.课时活动设计回顾引入在前面的学习中,我们知道了同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则,你能分别用字母表示出来吗?教师总结,课件展示.设计意图:学生口答同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则,为学习本节课的内容做好知识储备,要注意语言的准确性.探究新知问题1:如图,正方形的边长为2a,求该正方形的面积.学生展示结果.教师记录:有学生列式(2a)2,有学生列式2a×2a.追问1:根据正方形面积的意义,判断(2a)2与2a×2a的数量关系.学生回答:(2a)2=2a×2a.问题2:2a×2a=2×2×a×a依据(乘法交换律)=22×a2依据(乘法结合律)=4a2.所以(2a)2=4a2.师生共同探索,用几何图形验证上面等式.(2a)2=4a2.猜想:(3×4)2和32×42相等吗?学生通过计算,发现(3×4)2=32×42.追问2:观察(2a)2和(3×4)2,它们底数分别是什么?学生口答:2a和3×4.追问3:接着观察(2a)2=4a2,(3×4)2=32×42,你发现什么规律?学生小组讨论,每个小组派代表口述规律.追问4:你能用符号表示你发现的规律吗?师生活动:学生独立思考并书写,教师板书在黑板上:(ab)n=a n b n(n是正整数).追问5:你能将上述发现的规律推导出来吗?师生活动:学生独立证明,并小组交流,教师板书证明过程.(ab)n=(ab)·(ab)…(ab)=a·a…a·b·b…b=a n b n.设计意图:学生计算正方形的面积,预设得到两种不同的形式.通过设置问题,让学生判断每一步的依据,使学生明白算理.通过两个例子,学生初步获得结论,用符号概括出所发现的规律.通过学生自己观察、概括总结,既培养了学生的参与意识,也为学生探索类似知识提供了研究方法.典例精讲例1计算:(1)(3x)2;(2)(-2b)5;(3)(-2xy)4;(4)(3a2)n.解:(1)原式=32x2=9x2.(2)原式=(-2)5b5=-32b5.(3)原式=(-2)4x4y4=16x4y4.(4)原式=3n(a2)n=3n a2n.例2用简便方法计算:(1)23×53;(2)(0.125)2 023×82 024.解:(1)原式=(2×5)3=103=1 000.(2)原式=(0.125)2 023×82 023×8=(0.125×8)2 023×8=8.教师点拨:逆用积的乘方公式a n·b n=(ab)n,要灵活运用,对于不符合公式的形式,要通过恒等变形,转化为公式的形式.设计意图:师生共同解答,通过针对性练习,让学生直观地理解各知识点,实现陈述性知识向程序性知识的转化.用学生熟悉的数之间的关系引导学生感受简便方法,使学生初步感知积的乘方的逆运算,形成简便运算意识,有效培养思维的灵活性.巩固训练1.计算(-x2y)2的结果是(A)A.x4y2B.-x4y2C.x2y2D.-x2y22.下列运算正确的是(C)A.x·x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x43.计算:(1)2(x3)2·x3-(3x3)3+(-5x)2·x7;(2)(3xy2)2+(-4xy3)·(-xy).解:(1)原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7=2x9-27x9+25x9=0.(2)原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.课堂小结今天我们学了哪些内容?积的乘方法则:(ab)n=a n·b n(n是正整数).注意点:(1)注意防止符号上的错误;(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质;(3)积的乘方法则也可以逆用.设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第1题(5)第2题(2)(3).2.作业.教学反思14.1.4整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘课时目标1.理解单项式乘以单项式的算理,会进行简单的运算.2.经历探索单项式乘以单项式的过程,体会从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程和转化思想.3.培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.学习重点单项式与单项式相乘的运算法则及其应用.学习难点灵活地进行单项式与单项式相乘的运算.课时活动设计回顾引入教师讲述:同学们,在七年级我们学习了整式加减的运算方法,今天我们继续学习整式的乘法.整式包含单项式和多项式,什么是单项式?出示课件展示:回答问题-2xy的系数是-2,次数是2.设计意图:通过回顾单项式的概念,指出单项式的系数和次数,为学习单项式乘以单项式做好知识储备.探究新知问题1:光的速度约为每秒3×105千米,太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102秒,求地球与太阳的距离约是多少千米?如何列式?学生独立思考列出算式:(3×105)×(5×102)km.追问1:怎样计算(3×105)×(5×102)呢?计算过程中运用哪些运算律和运算性质?师生活动:学生计算结束后,教师黑板书写计算过程:(3×105)×(5×102)=(3×5)×105+2=15×107=1.5×108 km教师引导学生发现计算过程中运用了乘法交换律、结合律及同底数幂的运算性质.追问2:将上式中的数字改为字母ac5·bc2,类比上面的运算方法计算这个式子.学生独立计算,选一名学生在黑板上书写计算过程:ac5·bc2=(a·b)·(c5·c2)=abc5+2=abc7.追问3:这是什么运算?如何进行运算?教师引导学生试着用文字概括这个性质:这是单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.设计意图:教师引导学生观察、分析两个单项式如何相乘,使学生能运用乘法交换律、结合律和同底数幂的运算性质等知识探索单项式乘单项式.在此基础上,教师引导归纳,最后得出单项式乘单项式法则.让学生在自主探究中掌握解决这类问题的一般方法,体会了从特殊到一般的认识规律.通过小组交流讨论归纳法则,培养学生的归纳总结能力.典例精讲例1 计算:(1)(-5a 2b )(-3a ); (2)(2x )3(-5xy 2).解:(1)原式=[(-5)×(-3)](a 2·a )b =15a 3b.(2)原式=8x 3·(-5xy 2)=[8×(-5)](x 3·x )y 2=-40x 4y 2.例2 计算:(1)-2a 3bc ·(-ab 2)·(-ab 2)2;(2) -9x 2y ·(a -b )3·13xy 2·(b -a )2. 解:(1)原式=-2a 3bc ·(-ab 2)·a 2b 4=2a 6b 7c.(2)原式=-9x 2y ·13xy 2·(a -b )3·(a -b )2=-3x 3y 3(a -b )5. 设计意图:本着循序渐进原则逐步增加运算类型,由单一到综合.通过练习使学生在实际应用中掌握法则及三点注意.通过教师点评使学生掌握解题过程及书写格式,使学生完成知识迁移从而提高综合运用知识的能力.巩固训练1.计算3a 2·2a 3的结果是( B )A.5a 5B.6a 5C.5a 6D.6a 62.若(a m b n )·(a 2b )=a 5b 3,则m +n =( D )A.8B.7C.6D.53.已知-2x 3m +1y 2n 与7x n -6y -3-m 的积与x 4y 是同类项,求m 2+n 的值.解:∵-2x 3m +1y 2n 与7x n -6y -3-m 的积与x 4y 是同类项,∴{2n -3-m =1,3m +1+n -6=4.解得{n =3,m =2.∴m 2+n =7.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学习效果,及时查漏补缺.课堂小结今天我们学了哪些内容?单项式与单项式相乘,把它们的系数、同底数幂分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.设计意图:通过课堂小结,对本节课内容进行梳理,加深学生对本节课所学内容的理解和掌握,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第104页习题14.1第3题.2.作业.教学反思第2课时单项式与多项式相乘课时目标1.探索并了解单项式与多项式相乘的法则,会运用法则进行简单计算.2.经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会分配律的作用和转化思想,感受运算法则和相应的几何模型之间的联系,发展数形结合的思想.3.让学生逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的严密性和初步解决问题的能力.学习重点单项式与多项式相乘的法则.学习难点整式乘法法则的推导与应用.课时活动设计复习回顾计算.(1)(-2ac)2(-3ab2c);(2)(-12)×(12-23+16).解:(1)-12a3b2c3.(2)0.设计意图:学生独立完成两个计算题.第一题复习了单项式乘以单项式,第二题复习了乘法分配律.这两个知识点是研究单项式乘多项式的基础,为这节课的学习做了知识准备.探究新知问题:为了扩大绿地的面积,要把街心花园的一块长p米,宽b米的长方形绿地,向两边分别加宽a米和c米,你能用几种方法表示扩大后的绿地的面积?分四人小组,与同伴交流,寻求不同的表示方法.教师根据学生讨论情况适时点拨启发.在同学讨论的基础上,分小组展示不同方法.教师记录并总结:1.把它看成三个小长方形,扩大后绿地的面积为pa+pb+pc.2.把它看成一个大长方形,则面积为p(a+b+c).追问1:p (a +b +c )和pa +pb +pc 之间有着怎样的关系?为什么?学生观察可知p (a +b +c )=pa +pb +pc ,因为它们都表示的是同一个量:扩大后长方形绿地的面积.追问2:你能用乘法分配律证明这个等式吗?学生回答:由乘法分配律的公式推出结论p (a +b +c )=pa +pb +pc.追问3:观察等式左边是什么与什么相乘?学生回答:单项式和多项式.追问4:你能总结单项式与多项式相乘的法则吗?教师引导学生在不同代数式的呈现中,找到规律:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式中的每一项,再把所得的积相加.教师鼓励学生用自己的语言概括单项式乘以多项式的法则.设计意图:用几何图形的面积验证了两个整式相等,发展了学生的几何直观.类比前面的知识,还可以通过代数方法验证,即乘法分配律来验证.两种方法是学习本章知识的主要方法,体现了数形结合思想.在解决问题过程中,学生观察、总结规律,探究法则,总结出单项式乘以多项式的法则,培养学生的概括能力和语言的严谨性.典例精讲例1 计算:(1)(-4x 2)(3x +1); (2)(23ab 2-2ab)·12ab. 解:(1)原式=(-4x 2)·(3x )+(-4x 2)×1=(-4×3)(x 2·x )+(-4x 2)=-12x 3-4x 2.(2)原式=23ab 2·12ab +(-2ab )·12ab =13a 2b 3-a 2b 2. 教师点拨:在计算过程中要注意符号,多项式的每一项都包含前面的符号.用单项式去乘多项式的每一项,结果是一个多项式,项数与因式中多项式的项数相同.例2先化简,再求值:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4),其中a=-2.解:3a(2a2-4a+3)-2a2(3a+4)=6a3-12a2+9a-6a3-8a2=-20a2+9a.当a=-2时,原式=-20×(-2)2+9×(-2)=-20×4-9×2=-98.教师点拨:在整式乘法的混合运算中,要注意运算顺序.按运算法则进行化简,然后代入求值,特别注意的是代入“负数”要用括号括起来.例3如果(-3x)2(x2-2nx+2)的展开式中不含x3项,求n的值.解:(-3x)2(x2-2nx+2)=9x2(x2-2nx+2)=9x4-18nx3+18x2∵展开式中不含x3项,∴n=0.教师总结点拨:注意当要求多项式中不含有哪一项时,则表示这一项的系数为0.设计意图:通过例题的讲解,巩固单项式乘以多项式的运算法则.适当增加题目类型,拓展学生思维,培养学生对所学知识的综合应用能力.巩固训练1.如果(x+a)x-2(x+a)的结果中不含x项,那么a的值为(A)A.2B.-2C.0.5D.-0.52.计算:(1)4(a-b+1)=4a-4b+4;(2)3x(2x-y2)=6x2-3xy2;(3)(2x-5y+6z)(-3x)=-6x2+15xy-18xz;(4)(-2a2)2(-a-2b+c)=-4a5-8a4b+4a4c.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果.课堂小结1.单项式与多项式相乘的法则:单项式与多项式相乘,就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加.2.单项式与多项式相乘,实质上是转化为单项式与单项式相乘.3.单项式与多项式相乘,应注意(1)“不漏乘”;(2)注意“符号”.设计意图:使学生能够对本课时所学知识进行整理,同时明确学习重点,进一步巩固强化.课堂8分钟.1.教材第105页习题14.1第4题.2.作业.教学反思第3课时多项式与多项式相乘课时目标1.理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法法则进行简单的计算,发展运算、推理能力和应用意识.2.经历探索多项式乘法法则的过程,用数学的思维体会乘法分配律的作用与转化思想,体会数形结合思想.3.应用多项式与多项式相乘的法则解决实际问题,发展应用意识.学习重点多项式乘法法则的理解及运用.学习难点探索多项式乘法的法则,注意多项式的乘法运算中“漏项”“符号”的问题.课时活动设计回顾引入请口算下列练习中的(1)、(2):(1)3x(x+y)=3x2+3xy.(2)(a+c)c=ac+bc.(3)(a+n)(m+b)=am+nm+ab+nb.比较(3)与(1)、(2)在形式上有何不同?设计意图:学生口算(1)、(2),复习了单项式乘多项式.通过与(3)式比较发现式子形式不同,引导学生从对单项式乘多项式的认识过渡到对多项式乘多项式的认识,从而激发学生对学习新知识的欲望.探究新知拿出准备好的硬纸板,画出如图所示的图形,并标上字母.要求学生根据图中的数据,求一下这个长方形的面积.与同伴交流,表示出它的面积为(m+b)(n+a).问题1:请同学们将纸板上的长方形沿中间的竖线剪开,分成两部分,如图.剪开之后,分别求一下这两部分的面积,再求一下它们的和.学生分成小组,合作探究,求出第一块的面积为m(n+a),第二块的面积为b(n+a),它们的和为m(n+a)+b(n+a).组织学生继续沿着横的线段剪开,将图形分成四部分,如图,求这四块长方形的面积.求出S1=mn;S2=nb;S3=am;S4=ab,它们的和为S=mn+nb+am+ab.追问:依据上面的操作求得的图形面积,那么(m+b)(n+a)应该等于什么?解:(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.学生分成小组讨论交流自己的看法.学生能够发现,因为以上三次计算是按照不同的方法对同一个长方形的面积进行的计算,那么,每次的计算结果应该是相同的,所以(m+b)(n+a)=m(n+a)+b(n+a)=mn+nb+am+ab.问题2:你能类比单项式与多项式相乘的法则,叙述多项式与多项式相乘的法则吗?师生共同归纳:多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相加.字母呈现:.设计意图:让学生用几何图形探究代数公式,体现数形结合思想;利用环环相扣的问题,为学生设置了思考与探索空间;通过归纳多项式乘多项式的法则,培养了学生归纳、概括的能力,让学生体会转化、类比和整体的数学思想.典例精讲例1计算:(1)(3x+1)(x+2);(2)(x-8y)(x-y);(3)(x+y)(x2-xy+y2).解:(1)原式=3x·x+2·3x+1·x+1×2=3x2+6x+x+2=3x2+7x+2.(2)原式=x·x-xy-8xy+8y2=x2-9xy+8y2.(3)原式=x·x2-x·xy+xy2+x2y-xy2+y·y2=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3.例2已知ax2+bx+1(a≠0)与3x-2的积不含x2项,也不含x项,求系数a,b的值.解:(ax2+bx+1)(3x-2)=3ax3-2ax2+3bx2-2bx+3x-2=3ax3+(-2a+3b)x2+(-2b+3)x-2.∵积不含x2的项,也不含x的项,∴{-2a +3b =0,-2b +3=0.∴{a =94,b =32.设计意图:通过例题的讲解,巩固多项式乘以多项式的运算法则,使教材呈现的知识慢慢内化为学生的认知结构,加深对知识的理解和掌握.巩固训练1.计算(x -1)(x -2)的结果为( D )A.x 2+3x -2B.x 2-3x -2C.x 2+3x +2D.x 2-3x +2 2.计算:(1)(x -3y )(x +7y ); (2)(2x +5y )(3x -2y ). 解:(1)原式=x 2-3xy +7xy -21y 2=x 2+4xy -21y 2. (2)原式=6x 2+15xy -4xy -10y 2=6x 2+11xy -10y 2.3.化简求值:(4x +3y )(4x -3y )+(2x +y )(3x -5y ),其中x =1,y =-2. 解:原式=16x 2-12xy +12xy -9y 2+6x 2-10xy +3xy -5y 2=22x 2-7xy -14y 2. 把x =1,y =-2代入,得22×12-7×1×(-2)-14×(-2)2=-20.设计意图:进一步巩固所学新知,同时检测学生的学习成果,及时查漏补缺.课堂小结今天我们学了哪些内容?1.多项式与多项式相乘法则:多项式与多项式相乘,先用 一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项 ,再把所得的 积相加 .2.(a +b )(m +n )= am +an +bm +bn .3.多项式与多项式相乘,实际上是转化为 单项式与多项式相乘 的运算. 设计意图:以填空的形式回顾本节课所学知识,加深学生对本节课所学知识的理解和掌握.课堂8分钟.1.教材第105页习题14.1第5题.2.作业.教学反思第4课时同底数幂的除法课时目标1.经历探索同底数幂除法公式的推导过程,发展学生的推理能力和表达能力.2.进一步体会幂的意义,理解零指数幂.3.理解同底数幂的除法运算性质,能解决实际问题,培养学生的应用意识.学习重点同底数幂的除法运算法则及其应用.学习难点探索同底数幂的除法法则的过程.课时活动设计回顾引入回顾同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方公式内容及推导套路,引出课题,并让学生小组合作探究结果,教师适时适当点拨.如何解决两个整式相除的问题?方法一:除法意义或除法与分数的关系;方法二:乘除互逆.设计意图:让学生有迹可寻,运用套路,体会数学公式学习的一般方法步骤.一个问题既可自然引出课题,又可继续探索公式推导的方法.探究新知问题1:我们如何计算a m÷a n(a≠0,m,n都是正整数,并且m>n)?学生小组讨论,教师引导学生运用乘法的逆运算解决问题.根据除法是乘法的逆运算,计算被除数除以除数所得的商,也就是求一个数,使它与除数的积等于被除数.学生完成后,教师在黑板上写出解题过程:∵a m-n·a n=a(m-n)+n=a m,∴a m÷a n=a m-n.师生活动:教师引导学生试着用文字概括这个性质.同底数幂相除,底数不变,指数相减.问题2:底数a可以是什么样的数,不能是什么样的数?根据多位学生的回答,教师总结得出结论:同底数幂相除的运算中,相同底数可以是不为0的数字或字母,也可以是单项式、多项式.问题3:根据除法的意义和问题1的内容,探讨a0=?师生共同解答,并总结:同底数幂相除,如果被除式的指数等于除式的指数,例如a m÷a m,根据除法的意义可知所得的商为1.另一方面,如果按照同底数幂的除法来计算,又有a m÷a m=a m-m=a0.于是规定a0=1(a≠0).任何不等于0的数的0次幂都等于1.设计意图:从学生已有的知识和经验出发,引导学生探索发现同底数幂的除法的运算规律,遵循循序渐进的认知规律.通过学生小组讨论,根据以往学习的经验,自主学习新知识,培养探究能力.典例精讲 例 计算:(1)x 8÷x 2; (2)(ab )5÷(ab )2. 解:(1)原式=x 8-2=x 6. (2)原式=(ab )5-2=(ab )3=a 3b 3.设计意图:通过练习使学生掌握同底数幂相除的运算法则.通过教师点评使学生掌握解题过程及书写格式,使学生完成知识迁移从而提高综合运用知识的能力.巩固训练1.下列运算正确的是( D )A.(-a )6÷a 2=a 3B.(-a )3÷(-a )2=aC.a 8÷a 2=a 4D.(-a )2÷a 2=1 2.计算:(1)(mn )7÷(mn )5; (2)(12)3÷(12). 解:(1)原式=(mn )7-5=(mn )2. (2)原式=(12)3−1=(12)2=14.设计意图:通过设置巩固训练,进一步巩固所学新知,同时检测学习效果.课堂小结通过这节课的学习,你有哪些收获? 1.同底数幂相除,底数不变,指数相减. 2.任何不等于0的数的0次幂都等于1.设计意图:小结新课内容,及时梳理,使学生对前后的知识有所串联,让新知识与旧知识得到同化,并且内化成自身的数学体系,提高学生的数学素质.课堂8分钟.。

初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。

八年级数学上册 14.1 整式的乘法 14.1.4 整式的乘法第4课时整式的除法教学设计（新版）新人教版一. 教材分析整式的乘除法是八年级数学上册第14.1节的内容，这一部分主要让学生掌握整式相乘和相除的法则，培养学生解决实际问题的能力。

教材通过实例引入整式的乘除法，让学生在具体的情境中探索和发现规律，进而掌握运算法则。

本节课的内容是整式除法，是整式乘除法的进一步延伸，对于学生来说，具有一定的挑战性。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了整式的基本概念，具有一定的数学基础。

但是，对于整式的乘除法，他们可能还存在着一些模糊的认识，需要通过具体的实例和练习来进一步理解和掌握。

同时，学生可能对于如何将实际问题转化为数学问题还存在着一定的困难，因此，在教学过程中，需要教师引导学生将实际问题与数学知识相结合，提高他们解决问题的能力。

三. 教学目标1.理解整式除法的概念，掌握整式除法的运算法则。

2.能够运用整式除法解决实际问题，提高解决问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和创新能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.教学重点：整式除法的概念和运算法则。

2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，运用整式除法解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、分组讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作学习，发现和总结整式除法的运算法则，提高学生的学习兴趣和参与度。

六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学素材。

2.准备练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引入整式除法概念。

例如，已知多项式f(x)=x^2+4x+4可以被多项式g(x)=x+2整除，让学生思考如何求出商和余数。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示整式除法的定义和运算法则，引导学生理解和记忆。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用PPT中的例题，自己动手完成整式除法的运算，并互相检查。

一、单元学习主题本单元是“数与代数”领域“数与式”主题中的“整式的乘法与因式分解”.1.课标分析《标准2022》指出初中阶段“数与代数”领域是数学知识体系的基础之一,是学生认知数量关系、探索数学规律、建立数学模型的基石,可以帮助学生从数量的角度清晰准确地认识、理解和表达现实世界.数与代数领域的学习,有助于学生形成抽象能力、推理能力和模型观念,发展运算能力,是感悟用数学语言表达现实世界的重要载体.“数与式”主题是代数的基本语言,初中阶段关注用字母表述代数式,以及代数式的运算,字母可以像数一样进行运算和推理,通过字母运算和推理得到的结论具有一般性,培养学生抽象能力.本单元的课标要求是会用文字和符号语言表述整数指数幂的基本性质,能根据整数指数幂的基本性质进行幂的运算;理解整式的概念,能进行整式的乘法运算(多项式的乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法);知道平方差公式、完全平方公式的几何背景,并能运用公式进行简单计算和推理;能用提公因式法、公式法(对二次式直接利用平方差公式或完全平方公式)进行因式分解(指数为正整数).整式的乘法运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识,这些知识是以后进一步学习分式、根式运算和函数等知识的基础,在后续的数学学习中具有重要的意义.同时,这些知识也是学习物理、化学等学科的基础.在数与式的教学中要把握数与式的整体性,帮助学生进一步感悟数是对数量的抽象;通过代数式与代数运算的教学,让学生进一步理解字母表示数的意义;通过基于符号的运算和推理,建立符号意识,感悟数学结论的一般性,理解运算方法与运算律的关系,提升运算能力.2.本单元教学内容分析人教版教材八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”,本章包括三个小节:14.1整式的乘法;14.2乘法公式;14.3因式分解.首先强调重要数学思想方法的渗透,由于整式中的字母表示数,因此数的运算律和运算性质在整式的运算中仍然成立,强调了“类比”的思想方法的渗透;由数的运算引出式的运算规律,体现了数学知识之间具体与抽象的内在联系和内在统一性.对于整式乘法法则的教学,要渗透“转化”的思想方法.例如,多项式乘多项式的法则,第一步是转化为多项式与单项式相乘,第二步则是转化为单项式与单项式相乘,而单项式与单项式相乘则转化为有理数的乘法与同底数幂的乘法.在整式除法的教学中,也要渗透“转化”的思想方法,多项式与单项式相除的第一步是转化为单项式与单项式相除,第二步是转化为有理数的除法与同底数幂的除法.由上可知,整式的乘、除法教学要循序渐进,打好各项知识的基础,并运用好“转化”的思想方法,这样才能够很好地完成后面的教学内容,取得较好的教学效果.此外,本章教材中强调了代数与几何之间的联系,整式乘法和乘法公式部分体现了数形结合的重要数学思想和方法,借助几何图形对运算法则及公式做了直观解释,体现了代数和几何之间的内在联系和统一,能让学生更好地理解有关知识,培养学生几何直观和抽象能力的数学核心素养.充分体现从具体到抽象再到具体的认知过程,从具体的实际问题出发,归纳出相关的数学概念,或抽象出隐含在具体问题中的数学思想,这是本章的一个突出特点.培养学生用数学眼光观察世界.以第14.1节为例,无论同底数幂相乘、幂的乘方还是积的乘方,都是从具体的问题出发,然后归纳出运算性质,最后再用归纳得出的结果进一步指导比较复杂的实际问题.整式的乘法也是从具体的问题出发,归纳出运算法则,再进一步用于解决实际问题.这种从具体到抽象,再由抽象到具体的编排方式,可以循序渐进地向学生呈现教学内容,有助于学生的理解和掌握,符合现阶段学生的认知水平.根据数学知识的逻辑关系循序渐进地安排教学内容,本章所涉及的数学教学内容之间不仅具有密切的联系,且具有很强的逻辑关系.在整式的乘法中,多项式的乘法要利用分配律转化为单项式的乘法,而单项式的乘法要利用交换律和结合律转化为幂的运算.整式的除法与乘法互为逆运算,乘法公式是具有特殊形式的整式乘法问题,因式分解是与整式乘法方向相反的恒等变形,在这些内容中,幂的运算是基础,单项式的乘法是关键,学好一般整式乘法的运算是进一步学习本章其他知识的前提.教学中要注重培养学生的逻辑思维、知识体系的形成和思想方法的渗透.对选学内容的学习进行分层教学,提升学生的理解能力,教学中除了要关注学生在数学知识和数学能力方面的提高外,还要考虑在传承数学史知识及数学文化修养方面做出努力,以使学生在获得数学知识的同时人文精神也得到陶冶.本章安排了两个“阅读与思考”的选学栏目,这些选学内容是本章有关内容的拓展与延伸.不失时机地安排学生阅读这些材料,可以开阔他们的视野,拓展他们的知识面.“阅读与思考”中的“杨辉三角”,不但可以使学生了解一些二项展开式中各项系数的知识,增强他们的数学修养,还可以潜移默化地培养他们的爱国情怀.“阅读与思考”中的“x2+(p+q)x+pq型式子的因式分解”,可以让学生初步感受分解因式的另一种方法:十字相乘法,这也有利于学生理解必修内容.三、单元学情分析本单元是人教版数学教材八年级上册第十四章“整式的乘法与因式分解”,学生在学习了有理数、代数式、整式的概念的基础上研究了有理数的加减乘除乘方混合运算和整式的加减运算,学生掌握了研究问题的方法,类比数的研究知道要学习整式的乘除运算.根据乘方意义和运算来研究幂的运算,学生有了一定基础学起来便顺理成章.但是和整式加减法相比,整式乘除法无论是次数和项数都在增加,容易出现错误,这是在教学中要重点关注的地方,对学生的运算能力、理解能力、交流归纳能力及对数学方法的掌握能力要求较高.尤其平方差公式和完全平方公式的变形和灵活应用更是难点,因式分解和乘法公式的关系以及正确因式分解也是重点和易错点,对学生来说仍会有困难.四、单元学习目标1.掌握正整数幂的乘、除运算性质,能用代数式和文字语言正确地表述这些性质,培养学生语言表达能力和抽象概括能力,并能灵活运用这些性质进行运算;掌握单项式乘(或除以)单项式、多项式乘(或除以)单项式以及多项式乘多项式的运算法则,并运用它们进行运算,培养学生的运算能力和应用意识.2.经历猜测、推理、验证,会推导乘法公式(平方差公式和完全平方公式),了解公式的几何意义,培养学生几何直观,能利用公式进行乘法运算,体会公式的简洁性,培养学生的思维能力和运算能力.3.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算,并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算,体会数学运算的简便性,培养学生的模型观念.4.理解因式分解的意义,并感受因式分解与整式乘法是相反方向的运算,培养学生类比的思想;掌握提公因式法和公式法(直接运用公式不超过两次)这两种分解因式的基本方法,了解因式分解的一般步骤,培养数据观念和模型观念;能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.五、单元学习内容及学习方法概览六、单元评价与课后作业建议本单元课后作业整体设计体现以下原则:针对性原则:每课时课后作业严格按照《标准2022》设定针对性的课后作业,及时反馈学生的学业质量情况.层次性原则:教师注意将课后作业分层进行,注重知识的层次性和学生的层次性.知识由易到难,由浅入深,循序渐进,突出基础知识,基本技能,渗透人人学习数学,人人有所获.重视过程与方法,发展数学的应用意识和创新意识.根据以上建议,本单元课后作业设置为两部分,基础性课后作业和拓展性课后作业.。

第十四章整式的乘法与因式分解14.1.4 整式的乘法第3课时一、教学目标【知识与技能】1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算.2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.【过程与方法】1.经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条件的表达能力.2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.二、课型新授课三、课时第3课时四、教学重难点【教学重点】应用整式除法法则进行计算.【教学难点】根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则.五、课前准备教师：课件、直尺、计算器等。

学生：练习本、钢笔或圆珠笔。

六、教学过程（一）导入新课木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2）木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍.想一想：上面的式子该如何计算?（二）探索新知1.师生互动，探究同底数幂的除法法则教师问1：请完成下面的题目：(出示课件4)(1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.学生回答：（1）28；（2）x10；（3）2m+n.教师问2：本题是直接利用什么乘法法则计算的？学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加.教师问3：思考下面的题该如何计算？(1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10(3)( )( )×2n=2m+n学生回答：可以把乘法法则反过来利用.教师问4：反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？学生讨论后解答：（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？教师问5：你是如何计算的呢？学生回答：本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算.教师问6：能不能试着完成下列各题：计算：(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n学生回答：(1) 28÷23=25；(2) x10÷x6=x4；(3) 2 m+n÷2n =2m教师问7：观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5）(1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6；(3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n学生回答：底数不变，指数相减.教师总结：同底数幂相除，底数不变，指数相减.教师问8：以上法则能用字母表示吗？学生总结：a m÷a n＝a m－n.教师问9：对指数有何要求吗？学生回答：m，n都是正整数，且m>n.教师总结：a m ÷a n=a m–n(m，n都是正整数，且m>n)教师问10：如何验证其正确性呢？学生回答：验证：因为a m–n·a n=a m–n+n=a m，所以a m ÷a n=a m–n.教师问11：对于除法运算，有没有什么特殊要求呢？学生回答：对于除法运算应要求除数(或分母)不为零，所以底数不能为零.即a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n).教师问12：计算：a m÷a m学生计算a m÷a m时，可能会出现1或a0两个答案.教师顺势归纳：从除法的意义可知商为1，另一方面，如果依照同底数幂的除法计算，得a0.所以规定：a0＝1(a≠0).教师问13：为什么规定a0＝1(a≠0)时要说明a≠0呢？学生回答：因为当a=0时，分母或除数为0，式子无意义.总结点拨：（出示课件6）同底数幂的除法一般地，我们有a m÷a n=a m–n(a ≠0，m，n都是正整数，且m>n)即同底数幂相除，底数不变，指数相减.规定：a0=1(a ≠0)这就是说，除0以外任何数的0次幂都等于1.例1：计算：（出示课件7）(1)x8÷x2; (2) (ab)5÷(ab)2.师生共同解答如下：解：(1)x8 ÷x2=x8–2=x6;(2) (ab)5÷(ab)2=(ab)5–2=(ab)3=a3b3.总结点拨：计算同底数幂的除法时，先判断底数是否相同或变形相同，若底数为多项式，可将其看作一个整体，再根据法则计算．例2：已知a m＝12，a n＝2，a＝3，求a m–n–1的值．（出示课件9）师生共同解答如下：解：∵a m＝12，a n＝2，a＝3，∴a m–n–1＝a m÷a n÷a＝12÷2÷3＝2.总结点拨：解此题的关键是逆用同底数幂的除法，对a m–n–1进行变形，再代入数值进行计算．2.复习旧知，探究单项式除以多项式的法则教师问14：计算：4a2x3·3ab2学生回答：4a2x3·3ab2=12a3b2x3教师问15：计算：12a3b2x3÷ 3ab2学生讨论回答：（出示课件11）解法1：12a3b2x3÷ 3ab2相当于求( )·3ab2=12a3b2x3.由(1)可知括号里应填4a2x3.解法2：原式=4a2x3· 3ab2÷ 3ab2=4a2x3.理解：上面的商式4a2x3的系数4=12 ÷3；a的指数2=3–1，b的指数0=2–2，而b0=1，x的指数3=3–0.教师问15：类比上述研究过程计算以下两题.(1)－2x3÷(－x)；(2)8m2n2÷2m2n.学生回答：（1）2x2 ;（2）4n教师问16：通过计算，你又发现什么规律？学生回答：单项式相除，把系数和同底数的幂分别相除.师生互动合作交流，得出单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.总结点拨：（出示课件12）单项式除以单项式的法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.例3：计算：（出示课件13）(1)28x4y2÷7x3y；(2)–5a5b3c ÷15a4b.师生共同解答如下：解:(1)原式=(28 ÷7)x4–3y2–1=4xy；(2)原式=(–5÷15)a5–4b3–1c=- 1ab2c.3总结点拨：单项式除以单项式要按照法则逐项进行，不得漏项，并且要注意符号的变化.3.师生互动，学习多项式除以单项式的法则教师问17：一幅长方形油画的长为(a+b)，宽为m，求它的面积.（出示课件16）学生回答：面积为(a+b)m=ma+mb.教师问18：若已知油画的面积为(ma+mb)，宽为m，如何求它的长？学生回答：长为(ma+mb)÷m.教师问19：如何计算(am+bm) ÷m?（出示课件17）学生讨论后回答：计算(am+bm) ÷m就相当于求( ) ·m=am+bm，教师问20：（）填什么呢？学生回答：a+b教师问21：am ÷m+bm ÷m=？学生回答：a+b教师问22：观察上边的问题，你发现了什么？学生回答：(am+bm) ÷m=am ÷m+bm ÷m教师问23：计算下列各式：(1)(ax＋bx)÷x; (2)(a2＋ab)÷a；(3)(4x2y＋2xy2)÷2xy.学生回答：(1) a+b; (2) a+b；(3) 2x+y.教师问24：说你是怎样计算的？学生回答：多项式除以单项式，用多项式的每一项除以单项式.教师问25：它们的项数之间有什么发现吗？师生共同解答如下：在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同.教师问26：你能归纳出多项式除以单项式的法则吗？（出示课件18）学生归纳，教师点拨：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.教师问27：你能把这句话写成公式的形式吗？学生回答：(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.关键：应用法则是把多项式除以单项式转化为单项式除以单项式.例4：计算：(12a3–6a2+3a) ÷3a. （出示课件19）师生共同解答如下：解：(12a3–6a2+3a) ÷3a=12a3÷3a+(–6a2) ÷3a+3a÷3a=4a2+(–2a)+1=4a2–2a+1.总结点拨：多项式除以单项式，实质是利用乘法的分配律，将多项式除以单项式问题转化为单项式除以单项式问题来解决．计算过程中，要注意符号问题.例5：先化简，后求值：[2x(x2y–xy2)＋xy(xy–x2)]÷x2y，其中x＝2015，y＝2014.（出示课件21）师生共同解答如下：解：原式＝[2x3y–2x2y2＋x2y2–x3y]÷x2y，＝x–y.把x＝2015，y＝2014代入上式，得原式＝x–y＝2015–2014＝1.（三）课堂练习（出示课件24-29）1．下列说法正确的是( )A．(π–3.14)0没有意义B．任何数的0次幂都等于1C．(8×106)÷(2×109)＝4×103D．若(x＋4)0＝1，则x≠–42.下列算式中，不正确的是( )A．(–12a5b)÷(–3ab)＝4a4B．9x m y n–1÷3x m–2y n–3＝3x2y2C. 4a2b3÷2ab＝2ab2D．x(x–y)2÷(y–x)＝x(x–y)3.已知28a3b m÷28a n b2=b2，那么m，n的取值为( )A．m=4，n=3 B．m=4，n=1C．m=1，n=3 D．m=2，n=34.一个长方形的面积为a2+2a，若一边长为a，则另一边长为_____________.5. 已知一多项式与单项式–7x5y4 的积为21x5y7–28x6y5，则这个多项式是______.6.计算：(1)6a3÷2a2；(2)24a2b3÷3ab；(3)–21a2b3c÷3ab; (4)(14m3–7m2+14m)÷7m.7. 先化简，再求值：(x＋y)(x–y)–(4x3y–8xy3)÷2xy，其中x＝1，y＝–3.8. （1）若32•92x+1÷27x+1=81，求x的值;（2）已知5x=36，5y=2，求5x–2y的值;（3）已知2x–5y–4=0，求4x÷32y的值．参考答案：1.D2.D3.A4.a+25. –3y3+4xy6. 解：(1) 6a3÷2a2=(6÷2)(a3÷a2)=3a.(2) 24a2b3÷3ab=(24÷3)a2–1b3–1=8ab2.(3)–21a2b3c÷3ab=(–21÷3)a2–1b3–1c= –7ab2c;(4)(14m3–7m2+14m)÷7m=14m3÷7m-7m2÷7m+14m÷7m= 2m2–m+2.7. 解：原式＝x2–y2–2x2＋4y2＝–x2＋3y2.当x＝1，y＝–3时，原式＝–12＋3×(–3)2＝–1＋27＝26.8. 解：(1)32•34x+2÷33x+3=81，即3x+1=34，解得x=3；(2)52y=(5y)2=4，5x–2y=5x÷52y=36÷4=9．(3)∵2x–5y–4=0，移项，得2x–5y=4．4x÷32y=22x÷25y=22x–5y=24=16．（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:a m÷a n＝a m－n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)a0＝1(a≠0)(am＋bm)÷m＝am÷m＋bm÷m.（五）课前预习预习下节课（14.2）的相关内容。

第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.1同底数幂的乘法◇教学目标◇【知识与技能】在推理判断中得出同底数幂乘法的运算法则,并掌握“法则”的应用.【过程与方法】经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,感受幂的意义,发展推理能力和表达能力,提高计算能力.【情感、态度与价值观】在小组合作交流中,培养协作精神、探究精神,增强学习信心.◇教学重难点◇【教学重点】同底数幂乘法运算性质的推导和应用.【教学难点】同底数幂的乘法的法则的应用以及逆用.◇教学过程◇一、情境导入“盘古开天辟地”的故事:公元前一百万年,没有天没有地,整个宇宙是混浊的一团,突然间窜出来一个巨人,他的名字叫盘古,他手握一把巨斧,用力一劈,把混沌的宇宙劈成两半,上面是天,下面是地,从此宇宙有了天地之分,盘古完成了这样一个壮举,累死了,他的左眼变成了太阳,右眼变成了月亮,毛发变成了森林和草原,骨头变成了高山和高原,肌肉变成了平原与谷地,血液变成了河流.问题:盘古的左眼变成了太阳,那么,太阳离我们多远呢?你可以计算一下,太阳到地球的距离是多少?光的速度为3×105千米/秒,太阳光照射到地球大约需要5×102秒,你能计算出地球距离太阳大约有多远呢?二、合作探究探究点1同底数幂的乘法典例1计算a2·a3的正确结果是()A.a 5B.a 6C.a 8D.a 9 [解析] a 2·a 3＝a 2＋3＝a 5.[答案] A【技巧点拨】本题是同底数幂的乘法运算,直接利用同底数幂的乘法运算法则运算即可,注意底数不变,指数相加.变式训练 化简－b ·b 3·b 4的正确结果是( )A.－b 7B.b 7C.－b 8D.b 8[答案] C探究点2 法则的逆用 典例2 已知3a ＝1,3b ＝2,则3a ＋b 的值为( )A.1B.2C.3D.27[解析] ∵3a ×3b ＝3a ＋b ,∴3a ＋b ＝3a ×3b ＝1×2＝2.[答案] B三、板书设计同底数幂的乘法同底数幂的乘法{ 同底数幂的乘法法则{法则符号表达字母范围幂的乘法法则逆用◇教学反思◇本节课应注重同底数幂的乘法法则的推导过程,而不单单是要求记住结论,在导出的过程中,从具体到抽象,有层次地进行概括,归纳推理,学生不是被动地接受,而是在已有经验的基础上创新,从而培养学生的动手能力和创新意识.14.1.2幂的乘方◇教学目标◇【知识与技能】1.理解幂的乘方的运算性质,进一步体会和巩固幂的意义;2.通过推理得出幂的乘方的运算性质,并且掌握这个性质.【过程与方法】经历一系列探索过程,发展学生的合情推理能力和有条理的表达能力.【情感、态度与价值观】培养学生合作交流意义和探索精神,让学生体会数学的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】幂的乘方法则.【教学难点】幂的乘方法则的推导过程及灵活应用.◇教学过程◇一、情境导入木星的半径是地球半径的102倍,太阳的半径是地球半径的103倍,假如地球的半径为r,那么太阳和木星的体积是多少?二、合作探究探究点1幂的乘方典例1计算a6(a2)3＝.[解析]根据幂的运算法则即可求出答案.原式＝a6·a6＝a12.[答案]a12变式训练计算:(－a2)2＝.[答案]a4探究点2幂的乘方逆用典例2若10m＝5,10n＝3,则102m＋3n＝.[解析]102m＋3n＝102m·103n＝(10m)2·(10n)3＝52·33＝675.[答案]675【技巧点拨】注意幂的乘方公式的逆用,a mn ＝(a m )n ＝(a n )m .变式训练 若a m ＝6,a n ＝3,则a m ＋2n 的值为 .[答案] 54三、板书设计幂的乘方幂的乘方{ 幂的乘方法则{法则符号表达字母范围幂的乘方逆用◇教学反思◇本节的内容是幂的乘方,教学过程中,激发和鼓励学生的学习探究;提问不仅有序、有提示、有鼓励,而且有启发、问在有疑之处.本课的主要教学任务是“幂的乘方”,即幂的乘方,底数不变,指数相乘.在课堂教学时,通过幂的意义引导学生探索发现得出这一性质.14.1.3积的乘方◇教学目标◇【知识与技能】探索积的乘方的运算性质,能用积的乘方的运算性质进行计算.【过程与方法】经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.【情感、态度与价值观】培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.◇教学重难点◇【教学重点】积的乘方的运算.【教学难点】积的乘方的推导过程的理解和灵活运用.◇教学过程◇一、情境导入我们前面学过同底数幂的运算法则;幂的乘方运算法则的内容,你知道它们的区别和联系吗?请同学们思考怎样计算(2a3)4,每一步的根据是什么?二、合作探究探究点1积的乘方法则典例1计算:(－2xy2)3＝.[解析](－2xy2)3＝(－2)3x3(y2)3＝－8x3y6.[答案]－8x3y6根据积的乘方的性质把问题转化为几个幂的乘方,然后再进行运算,用准法则是解这类问题的关键.a2b)3＝.变式训练计算:(－13[答案] －127a 6b 3探究点2 公式的逆用 典例2 阅读下列各式:(ab )2＝a 2b 2,(ab )3＝a 3b 3,(ab )4＝a 4b 4,…①归纳得(ab )n ＝ ;(abc )n ＝ ;②计算4100×0.25100＝ ;(12)5×35×(23)5＝ ; ③应用上述结论计算:(－0.125)2021×22022×42020.[解析] ①(ab )n ＝a n b n ,(abc )n ＝a n b n c n .②4100×0.25100＝(4×0.25)100＝1,(12)5×35×(23)5 ＝(12×3×23)5＝1.③(－0.125)2021×22022×42020＝－0.125×22×(－0.125×2×4)2020＝－0.5×(－1)2020＝－0.5.探究点3 幂的运算综合练习 典例3 计算:(－2x 2)3＋x 2·x 4－(－3x 3)2.[解析] (－2x 2)3＋x 2·x 4－(－3x 3)2＝－8x 6＋x 6－9x 6＝－16x 6.三、板书设计积的乘方积的乘方{ 积的乘方法则{法则符号表达字母范围积的乘方逆用幂的运算综合练习◇教学反思◇本节主要是积的乘方,学生很容易得出计算公式,关键是利用公式进行运算,通过练习引导学生明确先利用法则把运算转化为几个幂的乘方的积,然后计算,通过小组练习,讨论,纠错得到正确的解法.14.1.4整式的乘法第1课时单项式与单项式相乘◇教学目标◇【知识与技能】会进行单项式乘单项式的运算.【过程与方法】经历探索单项式乘以单项式的过程,体会乘法结合律的作用和转化的思想,发展有条理的思考及语言表达能力.【情感、态度与价值观】培养学生推理能力、计算能力,通过小组合作与交流,增强协作精神.◇教学重难点◇【教学重点】单项式乘法运算法则的推导与应用.【教学难点】单项式乘法运算法则的推导与应用.◇教学过程◇一、情境导入前面我们学习了幂的运算,我们知道整式有两种,分别为单项式与多项式,那么整式的乘法应有几种,哪种最简单?二、合作探究探究点1单项式乘单项式法则典例1计算:4x2y·(－1x)＝.4[解析]根据单项式与单项式相乘,把它们的系数分别相乘,相同字母的幂分别相加,其余字母x)＝－x3y.连同它的指数不变,作为积的因式,计算即可.4x2y·(－14[答案]－x3y变式训练计算(－2x3y2)3·4xy2＝.[答案]－32x10y8探究点2求代数式的值典例2如果x n y4与2xy m相乘的结果是2x5y7,求mn的值.[解析]由题意可知x n y4×2xy m＝2x n＋1·y4＋m＝2x5y7,∴n＋1＝5,4＋m＝7,∴m＝3,n＝4,∴mn＝12.探究点3法则应用典例3计算(9×105)×(2.5×103)＝.(用科学记数法表示) [解析](9×105)×(2.5×103)＝9×2.5×105×103＝22.5×108＝2.25×109. [答案]2.25×109探究点4幂的运算综合练习典例4计算:(－3x2y2)2·2xy＋(xy)3＝.[解析](－3x2y2)2·2xy＋(xy)3＝9x4y4·2xy＋x3y3＝18x5y5＋x3y3.[答案]18x5y5＋x3y3三、板书设计单项式与单项式相乘单项式乘单项式{单项式乘单项式法则{法则符号表达单项式乘法法则的应用◇教学反思◇本节是单项式与单项式的乘法,学生通过面积的计算,或乘方分配律可以得出运算法则;通过学生小组练习、讨论、纠错提高学生的合作能力,以及在运算中提高学生的应用意识,总结出单项式乘单项式的步骤以及易错点,以引起学生的注意.第2课时单项式与多项式相乘◇教学目标◇【知识与技能】掌握单项式与多项式的乘法运算法则,会进行简单的整式乘法运算.【过程与方法】经历探索单项式与多项式相乘的运算过程,体会乘法分配律的作用和转化思想,发展有条理地思考及语言表达能力.【情感、态度与价值观】培养良好的探究意识与合作交流的能力,体会整式运算的应用价值.◇教学重难点◇【教学重点】单项式与多项式相乘的法则.【教学难点】整式乘法法则的推导与应用.◇教学过程◇一、情境导入有3家超市以相同价格n(单位:元/台)销售A牌电视机,它们在一年内的销售量(单位:台)分别是x,y,z,请你采用不同的方法计算它们在这一年内销售这种电视机的总收入.小明的答案是n(x＋y＋z),小芳的答案是nx＋ny＋nz,各说各有理,你能给他们评判一下吗?二、合作探究探究点1单项式乘多项式典例1计算:(x－3y)(－6x)＝.[解析]根据单项式与多项式相乘,先用单项式乘多项式的每一项,再把所得的积相加计算即可.[答案]－6x2＋18xyxy2.变式训练计算:(3x3y2－6x2y)·13[解析]原式＝x4y4－2x3y3.探究点2求未知系数的值典例2 已知a (x 2＋x －c )＋b (2x 2－x －2)＝7x 2＋4x ＋3,求a ,b ,c 的值.[解析] ∵a (x 2＋x －c )＋b (2x 2－x －2)＝7x 2＋4x ＋3,∴(a ＋2b )x 2＋(a －b )x －(ac ＋2b )＝7x 2＋4x ＋3,∴{a ＋2b ＝7,a －b ＝4,－(ac ＋2b )＝3,解得a ＝5,b ＝1,c ＝－1.求未知系数的值,根据两个多项式相等时,如ax 2＋bx ＝cx 2＋dx ,则有a ＝c ,b ＝d ,得到方程组即可求解,关键是整式的乘法.探究点3 求代数式的值典例3 已知ab 2＝－2,则－ab (a 2b 5－ab 3＋b )＝( )A.4B.2C.0D.14[解析] －ab (a 2b 5－ab 3＋b )＝－a 3b 6＋a 2b 4－ab 2＝－(ab 2)3＋(ab 2)2－ab 2,当ab 2＝－2时,原式＝－(－2)3＋(－2)2－(－2)＝8＋4＋2＝14.[答案] D【技巧点拨】这类问题先根据单项式的乘法计算得到多项式,然后把多项式用已知式子表示出来,整体代入求值,这种整体思想是我们经常用到的一种方法.三、板书设计单项式与多项式相乘单项式乘多项式{ 单项式乘多项式法则{法则符号表达几何意义法则的应用◇教学反思◇本节的内容是单项式乘多项式,法则的得到比较简单,教学中,应紧扣法则,单项式乘多项式转化为单项式乘单项式的问题计算,同学小组练习讨论理解多项式的每一项,包括它前面的符号.在实施“情境——探究”教学过程中,注重引导学生在课堂活动过程中感悟知识的生成、发展与变化,培养学生主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神.第3课时多项式与多项式相乘◇教学目标◇【知识与技能】理解多项式乘以多项式的运算法则,能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算.【过程与方法】经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程,体会数学的转化思想.【情感、态度与价值观】通过推理,培养学生计算能力,发展有条理的思考,逐步形成主动探索的习惯.◇教学重难点◇【教学重点】多项式与多项式的乘法法则的理解及应用.【教学难点】多项式与多项式的乘法法则的应用.◇教学过程◇一、情境导入试着用不同方式计算下图的面积,探讨你能得到什么结论.二、合作探究探究点1多项式乘多项式典例1计算(2m－3)(m＋2).[解析](2m－3)(m＋2)＝2m×m＋2m×2＋(－3)×m＋(－3)×2＝2m2＋4m－3m－6＝2m2＋m－6.整式的乘法就是根据运算法则转化为单项式乘单项式计算,最后把所得结果相加,注意有同类项的要合并同类项,需提醒是的多项式的项包括它前面的符号.注意不要漏项,漏字母,有同类项的合并同类项.探究点2求未知系数的值典例2若(x＋m)(x－8)中不含x的一次项,则m的值为()A.8B.－8C.0D.8或－8[解析]∵(x＋m)(x－8)＝x2－8x＋mx－8m＝x2＋(m－8)x－8m,又结果中不含x的一次项,∴m －8＝0,∴m＝8.[答案] A变式训练若(y＋3)(y－2)＝y2＋my＋n,则m,n的值分别为()A.m＝5,n＝6B.m＝1,n＝－6C.m＝1,n＝6D.m＝5,n＝－6[答案] B探究点3求代数式的值典例3若代数式(x＋1)2＋m(x＋1)＋n可以化简为x2＋2x－3,则m＋n＝. [解析]∵(x＋1)2＋m(x＋1)＋n＝x2＋2x＋1＋mx＋m＋n＝x2＋(2＋m)x＋m＋n＋1,由题意得{m＋2＝2,m＋n＋1＝－3,解得{m＝0,n＝－4,故m＋n＝－4.[答案]－4探究点4积中不含某项典例4(x2－mx＋6)(3x－2)的积中不含x的二次项,则m的值是()A.0B.23C.－23D.－32[解析](x2－mx＋6)(3x－2)＝3x3－(2＋3m)x2＋(2m＋18)x－12,∵(x2－mx＋6)·(3x－2)的积中不含x的二次项,∴2＋3m＝0,解得m＝－23.[答案] C三、板书设计多项式与多项式相乘多项式乘多项式{ 多项式乘多项式法则(法则符号表达几何意义法则的应用:求未知系数◇教学反思◇本节的内容是多项式的乘法,针对本节课学生的易错点,如“漏项”、“忘变号”的情况,在例题后进行强调,并总结规律,让学生以后在练习计算时避免“漏项”“忘变号”的发生.第4课时同底数幂的除法◇教学目标◇【知识与技能】1.掌握同底数幂的除法运算性质,并能运用它解决一些实际问题;2.理解零次幂的意义,了解规定a0＝1(a≠0)的合理性;【过程与方法】经历同底数幂的除法运算性质的获得过程,掌握同底数幂的除法运算性质,会用同底数幂的除法运算性质进行有关计算,提高学生的运算能力,进一步体会幂的意义,发展推理能力,提高语言表达能力.【情感、态度与价值观】经历探索同底数幂的除法运算性质的过程,体验通过“转化”构建新知识体系,培养学生大胆猜想,善于观察、归纳的数学品质和创新精神.◇教学重难点◇【教学重点】同底数幂的除法运算.【教学难点】理解零次幂的意义.◇教学过程◇一、情境导入至此,我们已经学习了整式的加法、减法、乘法运算.在整式运算中,有时还会遇到两个整式相除的情况.由于除法是乘法的逆运算,因此我们可以利用整式的乘法来讨论整式的除法.二、合作探究探究点1同底数幂的除法典例1计算(－a)10÷(－a)3的结果等于.[解析](－a)10÷(－a)3＝(－a)10－3＝(－a)7＝－a7.[答案]－a7【技巧点拨】先把底数－a看作一个整体,直接运用同底数幂的除法法则;也可以将底数化为a,再运用同底数幂的除法法则,即(－a)10÷(－a)3＝a10÷(－a3)＝－a10－3＝－a7.变式训练化简:(x＋y)5÷(－x－y)2÷(x＋y).[解析] 原式＝(x ＋y )5÷(x ＋y )2÷(x ＋y )＝(x ＋y )5－2－1＝(x ＋y )2.探究点2 零次幂典例2 计算:(1)20220＋(－3)0－4×(12)0; [解析] 原式＝1＋1－4×1＝－2.三、板书设计同底数幂的除法1.同底数幂的除法法则:底数不变,指数相减.即a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0).2.零指数幂:任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.即a 0＝1(a ≠0).◇教学反思◇本节课的学习对于学生来说,无论在知识上,还是在类比学习能力和抽象思维能力的培养上,都起着不容忽视的作用.数学学习不能单纯依赖模仿与记忆,应该从学生的生活经验和已有知识的背景出发,提供给学生进行数学活动和探索的机会,使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握数学知识.在培养学生合作与交流的同时,充分调动学生的参与意识和学习积极性,使学生体验到平等、自由和民主,同时也受到了激励和鼓舞,从而形成积极的人生态度.第5课时 整式的除法◇教学目标◇【知识与技能】会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算,理解整式除法运算的原理.【过程与方法】经历探究整式的除法的运算性质的过程,进一步体会幂的意义,发展推理能力和有条理的表达能力.【情感、态度与价值观】感受数学法则、公式的简洁美、和谐美.◇教学重难点◇ 【教学重点】整式除法的法则并应用其法则计算.【教学难点】理解整式除法的法则及其原理.◇教学过程◇一、情境导入一种数码照片的文件大小是28K,一个存储量为26M(1M ＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片?二、合作探究探究点1 同底数幂的除法 典例1 32x ＝2,3y ＝5,则34x －2y ＝ .[解析] 原式＝34x 32y ＝(32x )2(3y )2,当32x ＝2,3y ＝5时,原式＝2252＝425. [答案] 425变式训练 若5＝3x ,7＝9y ,则3x －2y 的值为 .[答案] 57探究点2 单项式除以单项式 典例2 计算:10ab 3÷(－5ab )＝ .[解析] 根据单项式除法法则,系数和系数,相同的字母分别相除,作为商的一个因式,只在被除式的字母连同它的指数作为商的一个因式,即可求出答案.原式＝－105a 1－1b 3－1＝－2b 2.[答案] －2b 2变式训练 4x 2y 3÷(－12xy )2＝ . [答案] 16y探究点3 多项式除以单项式典例3 小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x 3y －2xy 2,商式必须是2xy ,则小亮报一个除式是 .[解析] (x 3y －2xy 2)÷2xy ＝12x 2－y.[答案] 12x 2－y三、板书设计整式的除法整式的除法{ 同底数幂的除法{法则符号表达单项式除以单项式多项式除以单项式◇教学反思◇本节的内容是整式的除法,内容较多,分三部分,通过运算要求学生说出式子每一步变形的根据,并要求学生养成检验的好习惯,利用乘除互为逆运算,检验商式的正确性.培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质,训练学生形成一定的计算能力,慢慢培养学生良好的思维习惯和主动参与学习的习惯.14.2乘法公式14.2.1平方差公式◇教学目标◇【知识与技能】会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.【情感、态度与价值观】通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】平方差公式的推导和运用,以及对平方差公式的几何背景的了解.【教学难点】准确把握运用平方差公式的特征,应用平方差公式解题.◇教学过程◇一、情境导入从前有一个狡猾的地主,他把一块长为x米的正方形土地租给张老汉种植,有一天,他对张老汉说:“我把这块地的一边减少5米,另一边增加5米,继续租给你,你也没吃亏,你看如何?”张老汉一听觉得没有吃亏,就答应了.你能告诉张老汉他吃亏了吗?二、合作探究探究点1平方差公式的特征典例1下列多项式乘法中可以用平方差公式计算的是()A.(－a＋b)(a－b)B.(x＋2)(2＋x)C.(x3＋y)(y－x3) D.(x－2)(x＋1)[解析]A项,原式＝－(a－b)(a－b)＝－(a－b)2,故A不能用平方差公式;B项,原式＝(x＋2)2,故B不能用平方差公式;D项,原式＝x2－x＋1,故D不能用平方差公式.[答案] C平方差公式的特征:一是左边是两个多项式相乘,这两个多项式中有一项相同,另一项互为相反数;二是右边是相同项与相反项的平方差;三是公式中的字母可以表示具体的数(正数和负数),也可以表示单项式或多项式等代数式.变式训练计算(2x3－3a)(－2x3－3a)的结果是()A.－4x6－9a2B.－4x6＋9a2C.－4x6－12ax3＋9a2D.－4x6－12ax3－9a2[答案] B探究点2平方差公式求值整体思想应用典例2如果(a－b－3)(a－b＋3)＝40,那么a－b的值为()A.49B.7C.－7D.7或－7[解析](a－b－3)(a－b＋3)＝(a－b)2－9＝40,即(a－b)2＝49,则a－b＝7或－7.[答案] D探究点3平方差公式的计算典例3计算:69×71＝.[解析]原式＝(70－1)(70＋1)＝702－1＝4900－1＝4899.[答案]4899变式训练计算:20212－2020×2022＝.[答案] 1探究点4平方差公式的几何意义典例4如图,从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形,将阴影部分剪开,拼成右边的矩形.根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()A.(a－b)2＝a2－2ab＋b2B.a(a－b)＝a2－abC.(a －b )2＝a 2－b 2D.a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b )[解析] 第一个图形阴影部分的面积是a 2－b 2,第二个图形的面积是(a ＋b )(a －b ).则a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ).[答案] D三、板书设计平方差公式平方差公式{平方差公式{公式符号表达公式特点以及变形几何背景应用{计算、化简简化运算 ◇教学反思◇ 本节的内容是平方差公式,主要观察是否符合公式特点,只有符合公式特点才能用公式直接求解,利用公式计算.在实施情境探究教学过程中,应注意让学生感知问题的生成、发展与变化,培养学生善于发现的科学精神以及合作交流的精神和创新意识.14.2.2完全平方公式第1课时完全平方公式◇教学目标◇【知识与技能】会推导完全平方公式,并能运用公式进行简单的运算.【过程与方法】经历利用多项式与多项式的乘法以及幂的意义,推导出完全平方公式的过程.【情感、态度与价值观】通过练习培养学生观察、类比、发现的能力,体验数学活动充满着探索性和创造性.◇教学重难点◇【教学重点】完全平方公式的推导和应用.【教学难点】完全平方公式的应用.◇教学过程◇一、情境导入现有如图所示的三种规格的硬纸片各若干张,请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2,选取相应种类和数量的硬纸片,拼出一个正方形,并探究所拼出的正方形的代数意义.二、合作探究探究点1完全平方公式典例1计算(3a－2b)2的结果为()A.9a2＋4b2B.9a2＋6ab＋4b2C.9a2－12ab＋4b2D.9a2－4b2[解析]原式＝(3a)2－2×3a×2b＋(2b)2＝9a2－12ab＋4b2.[答案] C【技巧点拨】解本题的关键是熟练运用完全平方公式,记忆完全平方公式可用口诀“首平方,尾平方,首位两倍在中间,中间符号随前面”.很多同学遗漏掉中间积的2倍这一项,应引起注意.探究点2简化运算典例2下列关于962的计算方法正确的是()A.962＝(100－4)2＝1002－42＝9984B.962＝(95＋1)(95－1)＝952－1＝9024C.962＝(90＋6)2＝902＋62＝8136D.962＝(100－4)2＝1002－2×4×100＋42＝9216[解析]962＝(100－4)2＝1002－2×100×4＋42＝9216,A项错误;962＝(95＋1)(95＋1)＝952＋2×95×1＋1＝9216,B项错误;962＝(90＋6)2＝902＋2×90×6＋62＝9216,C项错误;962＝(100－4)2＝1002－2×100×4＋42＝9216,D项正确.[答案] D应用完全平方公式时,要注意:①公式中的a,b可以是单项式,也可以是多项式;②对形如两数和(或差)的平方的计算,都可以用这个公式;③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,也可以用完全平方公式.探究点3完全平方式典例3若4a2－kab＋9b2是完全平方式,则常数k的值为()A.6B.12C.±12D.±6[解析]∵4a2－kab＋9b2是完全平方式,∴－kab＝±2×2a×3b＝±12ab,∴k＝±12.[答案] C变式训练已知x2－8x＋a可以写成一个完全平方式,则a可为()A.4B.8C.16D.－16[答案] C探究点4完全平方公式变形应用典例4已知a＋b＝3,ab＝－2,求下列各式的值.(1)a2＋b2;(2)a－b.[解析](1)∵a＋b＝3,ab＝－2,∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝32－2×(－2)＝13.(2)∵a ＋b ＝3,ab ＝－2,∴a －b ＝±√(a －b )2＝±√a 2＋b 2－2ab ＝±√13－2×(－2)＝±√17.探究点5 完全平方公式的几何背景典例5 如图1是一个长为2a ,宽为2b (a ＞b )的长方形,用剪刀沿图中虚线(对称轴)剪开,把它分成四块形状和大小都一样的小长方形,然后按图2那样拼成一个正方形,则中间空的部分的面积为( )A.abB.(a ＋b )2C.(a －b )2D.a 2－b 2[解析] 中间空的部分的面积＝大正方形的面积－4个小长方形的面积＝(a ＋b )2－4ab ＝a 2＋2ab ＋b 2－4ab ＝(a －b )2.[答案] C三、板书设计完全平方公式完全平方公式{完全平方公式{公式符号表达公式特点以及变形几何背景应用{计算、化简简化运算 ◇教学反思◇本节的内容是完全平方公式,在教学中,重视公式的几何背景,较直观地让学生理解代数中的某些问题.利用拼图游戏,调动学生的积极性,让学生关注几何与代数之间的内在联系,增强记忆,也可用口诀的形式让学生形象记忆,尤其针对学生易漏掉中间积的2倍这一项做好针对性的练习.第2课时添括号法则◇教学目标◇【知识与技能】掌握乘法公式的结构特征及公式的含义,理解添括号法则,会正确地添括号运用这些公式进行计算.【过程与方法】通过探索和理解乘法公式,感受乘法公式从一般到特殊的认知过程,拓展思维空间.【情感、态度与价值观】培养良好的分析思想和与人合作的习惯,体会数学的重要价值.◇教学重难点◇【教学重点】正确应用乘法公式(平方差公式、完全平方公式).【教学难点】对乘法公式的结构特征以及内涵的理解.◇教学过程◇一、情境导入教室里有a名同学,第一次有b名同学被老师喊到办公室去了,第二次有c名同学被老师喊到办公室去了,请你用代数式表示教室里现在有多少名学生?你能用两种形式表示吗?二、合作探究探究点1添括号法则典例1①5x＋3x2－4y2＝5x－();②－3p＋3q－1＝3q－().[解析]①5x＋3x2－4y2＝5x－(4y2－3x2).②－3p＋3q－1＝3q－(3p＋1).[答案]4y2－3x2;3p＋1添括号法则:添括号时,如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号,如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.注意遇负全变,遇正不变.探究点2添括号后用公式计算典例2 计算:(a －2b ＋1)(a ＋2b －1).[解析] (a －2b ＋1)(a ＋2b －1)＝[a －(2b －1)][a ＋(2b －1)]＝a 2－(2b －1)2＝a 2－4b 2＋4b －1.探究点3 用完全平方公式计算典例3 计算:(a ＋2ab －1)2.[解析] 原式＝(a ＋2ab )2－2(a ＋2ab )·1＋12＝a 2＋4a 2b ＋4a 2b 2－2a －4ab ＋1.变式训练 (a ＋2b －c )2.[解析] 原式＝(a ＋2b )2＋c 2－2c (a ＋2b )＝a 2＋4ab ＋4b 2＋c 2－2ac －4bc.探究点4 代数式求值 典例4 先化简,再求值:(a ＋2b )(a －2b )＋(a ＋2b )2＋(2ab 2－8a 2b 2)÷2ab ,其中a ＝1,b ＝2.[解析] 原式＝a 2－4b 2＋a 2＋4ab ＋4b 2－4ab ＋b ＝2a 2＋b ,∵a ＝1,b ＝2,∴原式＝2a 2＋b ＝4.三、板书设计添括号法则添括号{ 添括号法则乘法公式{平方差公式完全平方公式应用◇教学反思◇本节的内容是添括号法则,添括号法则是去括号法则反过来得到的,无论是添括号,还是去括号,运算前后代数式的值都保持不变,所以我们可以用去括号法则验证所添括号后的代数式是否正确,添括号能利用乘法公式简单计算,重在理解遇负全变,遇正不变的口诀.14.3因式分解14.3.1提公因式法◇教学目标◇【知识与技能】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系,掌握因式分解的概念;2.能确定多项式各项的公因式,会用提公因式法把多项式分解因式.【过程与方法】经历从分解因数到分解因式的类比过程,感受因式分解在解决问题中的作用.【情感、态度与价值观】培养学生有条理的思考、表达与交流的能力,培养积极的进取意识,体会数学知识的内在含义与价值.◇教学重难点◇【教学重点】了解因式分解的意义,掌握用提公因式法把多项式分解因式.【教学难点】整式乘法与因式分解之间的关系.正确地确定多项式的最大公因式.◇教学过程◇一、情境导入试计算:37×337＋63×337.这里用到了什么运算律?二、合作探究探究点1因式分解的意义典例1下列从左边到右边的变形,是因式分解的是()A.(3－x)(3＋x)＝9－x2B.x2＋2x＋1＝x(x＋1)＋1C.a2b＋ab2＝ab(a＋b)D.(a－b)(n－m)＝(b－a)(n－m)[解析](3－x)(3＋x)＝9－x2,是多项式乘法,故A错误;x2＋2x＋1＝(x＋1)2,故B错误;a2b＋ab2＝ab(a＋b),C正确;(a－b)(n－m)≠(b－a)(n－m),不是因式分解,故D错误.[答案] C。

第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）． 二、幂的乘方1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． 2．幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】1．幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnpa a =（m ，n ，p 都是正整数）．2．幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）． 三、积的乘方1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3．2．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn ab ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()nn nab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘． 四、单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． 五、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 六、多项式与多项式相乘1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ． 【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 七、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． 2．同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 八、零指数幂的性质 零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0． 于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________． 【注意】1．底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义． 2．底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． 3．a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0． 九、单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 十、多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．一、相加 二、相乘 三、乘方四、相乘五、相加六、相加七、相减八、1九、相除十、相加1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用． （2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．计算m 2·m 6的结果是A ．m 12B ．2m 8C ．2m 12D ．m 8【答案】D【解析】m 2·m 6=m 2+6=m 8，故选D ．计算-（a -b ）3（b -a ）2的结果为A ．-（b -a ）5B ．-（b ＋a ）5C ．（a -b ）5D ．（b -a）5【答案】D【解析】-（a-b ）3（b -a ）2=（b -a ）3（b -a ）2=（b -a ）5，故选D ．2．幂的乘方与积的乘方（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略．计算24()a 的结果是A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ．下列等式错误的是A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D【解析】A ．（2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； B ．（-2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6，该选项正确；D ．（-2m 2n 2）3=-8m 6n 6，该选项错误．故选D ．3．整式的乘法（1）单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．（2）单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．计算：3x 2·5x 3的结果为A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ．下列各式计算正确的是A ．2x （3x -2）=5x 2-4xB ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误； B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确； C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．4．同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．xB ．2xC ．x -1D ．2x -1【答案】D【解析】因为2x 2÷x 3=2x -1，故选D ．计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ．计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy xyx y x y ------÷-=+=+．故选B ．5．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来．先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-． 当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．1．计算3(2)a -的结果是 A ．38a -B ．36a -C ．36aD ．38a2．下列计算正确的是 A ．77x x x ÷=B ．224(3)9x x -=-C ．3362x x x ⋅=D ．326()x x =3．如果2(2)(6)x x x px q +-=++，则p 、q 的值为 A ．4p =-，12q =- B ．4p =，12q =- C ．8p =-，12q =-D ．8p =，12q =4．已知30x y +-=，则22y x ⋅的值是 A ．6B ．6-C ．18D ．85．计算3n ·（-9）·3n ＋2的结果是 A ．-33n -2B ．-3n ＋4C ．-32n ＋4D ．-3n ＋66．计算223(2)(3)m m m m -⋅-⋅+的结果是 A ．8m 5B ．–8m 5C ．8m 6D ．–4m 4+12m 57．若32144m nx y x y x ÷=，则m ，n 的值是 A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =8．计算（-x ）2x 3的结果等于__________． 9．（23a a a ⋅⋅）³=__________．10．3119(1.210)(2.510)(410)⨯⨯⨯=__________． 11．计算：（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=__________．12．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-= ，则m +n 的值为__________． 13．计算：（1）21(2)()3(1)3x y xy x -⋅-+⋅-； （2）23(293)4(21)a a a a a -+--． （3）（21x 4y 3–35x 3y 2+7x 2y 2）÷（–7x 2y ）．14．先化简，再求值：（1）x （x -1）+2x （x +1）-（3x -1）（2x -5），其中x =2； （2）243()()m m m -⋅-⋅-，其中m =2-．15．“三角”表示3xyz ，“方框”表示-4a b d c ．求×的值．16．下列运算正确的是A ．326a a a ⨯=B ．842a a a ÷=C ．3(1)33a a --=-D ．32911()39a a =17．计算5642333312(3)2a b c a b c a b c ÷-÷，其结果正确的是A ．2-B ．0C ．1D ．218．计算：(7)(6)(2)(1)x x x x +---+=__________． 19．如果1()()5x q x ++展开式中不含x 项，则q =__________． 20．已知：2x =3，2y =6，2z =12，试确定x ，y ，z 之间的关系．21．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x 2+11x -10；由于乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x 2-9x +10． （1）试求出式子中a ，b 的值；（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．22．（2019•镇江）下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =23．（2019•泸州）计算233a a ⋅的结果是A ．54aB ．64aC ．53aD ．63a24．（2019•柳州）计算：2(1)x x -=A ．31x -B ．3x x -C ．3x x +D ．2x x -25．（2019•天津）计算5x x ⋅的结果等于__________． 26．（2019•绥化）计算：324()m m -÷=__________． 27．（2019•乐山）若392m n ==，则23m n +=__________． 28．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -⋅． 29．（2019•南京）计算：22()()x y x xy y +-+．1．【答案】A【解析】33(2)8a a -=-，故选A ． 2．【答案】D【解析】A 、76x x x ÷=，故此选项错误； B 、224(3)9x x =-，故此选项错误； C 、336x x x ⋅=，故此选项错误； D 、326()x x =，故此选项正确， 故选D ． 3．【答案】A【解析】已知等式整理得：x 2-4x -12=x 2+px +q ，可得p =-4，q =-12，故选A ．4．【答案】D【解析】∵x +y -3=0，∴x +y =3，∴2y ·2x =2x +y =23=8．故选D ．5．【答案】C【解析】3n ·（-9）·3n ＋2=-3n ·32·3n ＋2=-32n +4，故选C ．6．【答案】A【解析】原式=4m 2·2m 3=8m 5，故选A ．7．【答案】B 【解析】因为33121444m n m n x y x y x y x --÷==，所以32m -=，10n -=，5m =，1n =，故选B ． 8．【答案】x 5【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则可得：（-x ）2x 3=x 2·x 3=x 5．故答案为：x 5． 9．【答案】a 18【解析】（23a a a ⋅⋅）³=（6a ）³=a 18．故答案为：a 18． 10．【答案】241.210⨯【解析】原式=1.2×103×（2.5×1011）×（4×109）=12×1023=1.2×1024．故答案为：1.2×1024． 11．【答案】1b -【解析】（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=（a 2b 3-a 2b 2）÷a 2b 2=a 2b 3÷a 2b 2-a 2b 2÷a 2b 2=1b -．故答案为：1b -． 12．【答案】2【解析】（a m +1b n +2）（a 2n –1b 2m ）=a m +1+2n –1·b n +2+2m =a m +2n ·b n +2m +2=a 5b 3， ∴25223m n n m +=++=⎧⎨⎩， 两式相加，得3m +3n =6，解得m +n =2，故答案为：2．13．【解析】（1）原式=2x 2y +3xy -x 2y=x 2y +3xy ．（2）原式=6a 3-27a 2+9a -8a 2+4a=6a 3-35a 2+13a ．（3）原式=21x 4y 3÷（–7x 2y ）–35x 3y ÷（–7x 2y ）+7x 2y 2÷（–7x 2y ）=–3x 2y 2+5xy –y ．14．【解析】（1）原式=x 2-x +2x 2+2x -6x 2+17x -5=（x 2+2x 2-6x 2）+（-x +2x +17x ）-5=-3x 2+18x -5．当x =2时，原式=19．（2）原式=-m 2·m 4·（-m 3）=m 2·m 4·m 3=m 9．当m =-2时，则原式=（-2）9=-512．15．【解析】由题意得×=（3mn ·3）×（–4n 2m 5） =[]526333(4)()()36m m n n m n ⨯⨯-⋅⋅⋅=-．16．【答案】C【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、32611()39a a =，故本选项错误， 故选C ．17．【答案】A【解析】因为5642333352363341312(3)222a b c a b c a b c ab c ------÷-÷=-=-，故选A ． 18．【答案】2x -40【解析】原式=（x 2+x -42）-（x 2-x -2）=2x -40．故答案为：2x -40．19．【答案】15- 【解析】1()()5x q x ++=211()55x q x q +++，由于展开式中不含x 的项，∴105q +=，∴15q =-．故答案为：15-．20．【解析】因为2x =3，所以2y =6=2×3=2×2x =2x ＋1， 2z =12=2×6=2×2y =2y ＋1．所以y =x +1，z =y +1．两式相减，得y -z =x -y ，所以x +z =2y ．21．【解析】（1）由题意得：（2x -a ）（3x +b ）=6x 2+（2b -3a ）x -ab ，（2x +a ）（x +b ）=2x 2+（a +2b ）x +ab ， 所以2b -3a =11①，a +2b =-9②，由②得2b =-9-a ，代入①得-9-a -3a =11，所以a =-5，2b =-4，b =-2．（2）由（1）得（2x +a ）（3x +b ）=（2x -5）（3x -2）=6x 2-19x +10．22．【答案】B【解析】A 、a 2·a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 7÷a 3=a 4，正确；C 、（a 3）5=a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2=a 2b 2，故此选项错误，故选B ．23．【答案】C【解析】23533a a a ⋅=，故选C ．24．【答案】B【解析】23(1)x x x x -=-，故选B ．25．【答案】6x【解析】56⋅=x x x ，故答案为：6x ．26．【答案】2m【解析】原式64642m m m m ÷－＝＝＝，故答案为：m 2．27．【答案】4【解析】∵23=9=32=m n n ，∴2233339224+=⨯=⨯=⨯=m n m n m n ，故答案为：4．28．【解析】2324(2)x x x -⋅=668x x -67x =．29．【解析】22()()x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33x y =+．。

第十四章整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法14.1.3积的乘方一、教学目标【知识与技能】探索积的乘方的运算性质,能用积的乘方的运算性质进行计算.【过程与方法】经历探索积的乘方的过程,发展学生的推理能力和有条理的表达能力,培养学生的综合能力.【情感、态度与价值观】培养学生团结协作的精神和探索精神,有助于塑造他们挑战困难,挑战生活的勇气和信心.二、课型新授课三、课时第1课时四、教学重难点【教学重点】积的乘方运算法则的理解及其应用.【教学难点】积的乘方推导过程的理解和灵活运用.五、课前准备教师：课件、直尺、计算器等。

学生：直尺、计算器。

六、教学过程（一）导入新课若已知一个正方体的棱长为2×103cm,你能计算出它的体积是多少吗？学生思考后列式：V=（2×103）3（cm3）教师提出问题：底数是2和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，它是积的乘方。

积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？（出示课件2）（二）探索新知1.创设情境，探究积的乘方的法则教师问1：请同学们完成下面的题目计算：(1)x2·x5；(2)y2n·y n＋1；(3)(x4)3；(4)(a2)3·a5.学生回答：（1）x7；（2）y3n+1；（3）x12；（4）a11.教师问2：同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则是什么？学生回答：同底数幂的乘法法则：底数不变，指数相加；a m·a n=a m+n (m，n都是正整数).幂的乘方法则：底数不变，指数相乘.(a m)n=a mn(m,n都是正整数).教师问3：地球半径约为6.4×103km，球的体积计算公式为：V=4πr3，你知道3地球的体积大约是多少吗？（出示课件4）学生独立思考问题3并口答：体积应是V＝4π(6.4×103)3km3.3教师问4：结果是幂的乘方形式吗？学生讨论后回答：底数是6.4和103的乘积，虽然103是幂，但总体来看不是幂的乘方.教师讲解：如何运算呢？本节课我和同学们一起来探究积的乘方的运算.教师问4：计算：（3×4）2和32×42，看一下他们的结果，你发现了什么？学生计算后回答：它们的结果相等，即（3×4）2=32×42教师问5：下列两题有什么特点？(出示课件7)（1）（ab）2；（2）（ab）3学生回答：底数为两个因式相乘，积的形式.教师问6：你猜想一下它们的结果是多少呢？学生回答：(ab)2＝a2b2，则(ab)3＝a3b3，教师问7：你能证明上边的猜想吗？（出示课件8）学生讨论并回答：（ab）2=（ab）·(ab)(乘方的意义)=(aa)·(bb)(乘法交换律、结合律)=a2b2(同底数幂相乘的法则)同理：（ab）3=（ab）·(ab)·(ab)(乘方的意义)=(aaa)·(bbb)(乘法交换律、结合律)=a3b3(同底数幂相乘的法则)教师问8：同学们试着猜想一下：(ab)n=?（出示课件9）学生猜想：(ab)n=a n b n.教师问9：你能用你学过的知识验证你的猜想吗？从运算结果看能发现什么规律？师生共同讨论后解答如下：因此可得：(ab)n=a n b n(n为正整数).教师总结：得到结论：（出示课件10）积的乘方：(ab)n＝a n·b n(n是正整数)，即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.教师问10：前面提出问题中正方体的体积V＝(2×103)3它不是最简形式，根据发现的规律如何计算呢？学生解答：可作如下运算：V＝(2×103)3＝23×(103)3＝23×103×3＝8×109cm3.教师问11：三个或三个以上的积的乘方等于什么？学生讨论后回答：三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质.如(abc)n＝a n·b n·c n(n为正整数)；教师讲解：积的乘方等于积中“每一个”因式乘方的积，防止有的因式漏掉乘方出现错误；教师问12：积的乘方的法则：(ab)n＝a n·b n(n是正整数)，把等式的左右两边一换可以得到：a n·b n＝(ab)n(n为正整数).这样成立吗？师生共同讨论后解答如下：积的乘方法则可以进行逆运算.即：a n·b n＝(ab)n(n为正整数).总结点拨：分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变.例1：计算:（出示课件11）(1)(2a)3；(2)(–5b)3；(3)(xy2)2；(4)(–2x3)4.师生共同解答如下：解：(1)原式=23a3=8a3；(2)原式=(–5)3b3=–125b3；(3)原式=x2(y2)2=x2y4；(4)原式=(–2)4(x3)4=16x12.总结点拨：运用积的乘方法则进行计算时，注意每个因式都要乘方，尤其是字母的系数不要漏乘方．例2计算:（出示课件14）(1)–4xy2·(xy2)2·(–2x2)3；(2)(–a3b6)2＋(–a2b4)3.师生共同解答如下：解：(1)原式=–4xy2·x2y4·(–8x6)=[–4×(–8)]x1+2+6y2+4=32x9y6;(2)原式=a6b12+(–a6b12)=[1+(–1)]a6b12=0总结点拨：涉及积的乘方的混合运算，一般先算积的乘方，再算乘法，最后算加减，然后合并同类项．例3：如何简便计算(0.04)2022×[(–5)2022]2?（出示课件15）师生共同解答如下：解法一：(0.04)2022×[(–5)2022]2=(0.22)2022×54044=(0.2)4044×54044=(0.2×5)4044=14044=1解法二：(0.04)2022×[(–5)2022]2=(0.04)2022×（25）2022=(0.04×25)2022=12022=1总结点拨：（出示课件16）①逆用积的乘方公式a n·b n＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式．②一般转化为底数乘积是一个正整数,再进行幂的计算较简便.（三）课堂练习（出示课件20-24）1.计算(–x2y)2的结果是()A．x4y2B．–x4y2C．x2y2D．–x2y22.下列运算正确的是()A.x•x2=x2B.(xy)2=xy2C.(x2)3=x6D.x2+x2=x43.计算：(1)82024×0.1252023=________;(2)（-3）2023×（-13）2022________;(3)(0.04)2023×[(–5)2023]2=________.4.判断:(1)(ab2)3=ab6()(2)(3xy)3=9x3y3() (3)(–2a2)2=–4a4()(4)–(–ab2)2=a2b4() 5.计算:(1)(ab)8;(2)(2m)3;(3)(–xy)5;(4)(5ab2)3;(5)(2×102)2;(6)(–3×103)3.6.计算:(1)2(x3)2·x3–(3x3)3+(5x)2·x7;(2)(3xy2)2+(–4xy3)·(–xy);(3)(–2x3)3·(x2)2.7.如果(a n•b m•b)3=a9b15,求m,n的值.参考答案：1.A2.C3.（1）8；（2）-3；（3）14.（1）×（2）×（3）×（4）×5.解：(1)原式=a8b8;(2)原式=23·m3=8m3;(3)原式=(–x)5·y5=–x5y5;(4)原式=53·a3·(b2)3=125a3b6;(5)原式=22×(102)2=4×104;(6)原式=(–3)3×(103)3=–27×109=–2.7×1010.6.（1）解：原式=2x6·x3–27x9+25x2·x7=2x9–27x9+25x9=0;（2）解：原式=9x2y4+4x2y4=13x2y4;（3）解：原式=–8x9·x4=–8x13.7.解：∵(a n•b m•b)3=a9b15,∴(a n)3•(b m)3•b3=a9b15,∴a3n•b3m•b3=a9b15,∴a3n•b3m+3=a9b15,∴3n=9,3m+3=15.∴n=3,m=4.（四）课堂小结今天我们学了哪些内容:积的乘方法则：(ab)n＝a n·b n(n是正整数).使用范围：底数是积的乘方.方法：把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.注意点：(1)注意防止符号上的错误；(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也具有这一性质；(3)积的乘方法则也可以逆用.（五）课前预习预习下节课（14.1.4）98页到99页的相关内容。