2011年北京航空航天大学博士生入学考试题
概率部分
一、填空题 36分
1、 设每次试验成功的概率是p （0 2、 设随机变量X 的概率密度为：21 (),(,)(1)(1||) a f x k x x x =∈-∞+∞++，其中k 为常数，a>0，问k 的值为 3、 一盒内有3个红球，12个白球，从中不放回取6次，每次取一个球，则第6次取球时取 到红球的概率为 4、 设二维随机变量221 (,)~(1,2,1,3;)3 X Y N ，则D(X-2Y+5)= 5、 三门大炮同时炮击一战舰（每炮发一弹），设击中敌舰一、二、三发的概率为0.5,、0.3、 0.2，而敌舰中弹一、二、三发的概率分别为0.3、0.6、0.9，则敌舰被击沉的概率为 6、 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2 1 (,),01,02 3 f x y x xy x y ⎧=+ ≤≤≤≤⎨⎩ （其它条件为0），则(1)P X Y +≤= 7、 考贝叶斯公式的题，比较简单，没记住…… 8、 已知T 分布()t n 的密度函数()n f t ，求lim ()n n f t ->∞ = 9、 设随机变量序列12,,,n X X X 独立同分布，且2 ~(,),(1,2,3,)i X N i μσ= ，记 21 n n i i Y X ==∑ ，***()()n n n Y Y F x P Y x = =≤，则对任意实数X 有*lim ()n Y n F x ->∞ = 二题 16分 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2 232 1(,)(1sin sin )2x y f x y e x y π +-=+,,x y -∞<<+∞, （1）求(,)X Y 关于X 的边沿概率密度()X f x ； （2）求(,)X Y 关于Y 的边沿概率密度()Y f y ； （3）X 与Y 是否相互独立？ （4）利用本题可以用于说明一个什么样的问题？ 三题 8分 设⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n X X X 是相互独立的随机变量序列,且i X 的分布律为 {i P X = = {i P X = = {0}1i P X ==(1,2,)i =⋅⋅⋅； 记∑==n i i n X n Y 1 1,),2,1(⋅⋅⋅=n 。 试求：（1）2,,i i i EX EX DX ； （2）,n n EY DY ； （3）证明: 对任给0>ε，成立lim {||}0n n P Y ε→∞ ≥=。 数理统计部分 四、填空题 20分 1、设12,,,n X X X 独立同分布，且2 ~(,)i X N μσ，则当α= 时，随机变量 2 *2 2 (())~()X n αμσχ-+，其中1 1n i i X X n ==∑，*2 211()n i i X X n σ==-∑ 2、设总体X 的概率密度函数为： ,01 (; )1,120,x f x x others θθθ≤<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩ 其中,01θθ<<为未知参数，12,,,n X X X 为来自总体X 的样本，求θ的矩估计 3、设12,,,n X X X 是来自均匀分布(,2),(0)U θθθ>的总体X 的样本，则θ的极大似然估计为 4、设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单样本，其中μ未知，2 σ已知，欲使μ的置信水平为1α-的置信区间长度不大于,0L L >，则样本容量n 至少取多少 5、设12,,,m X X X 是来自正态总体2 1(,)N μσ的简单样本，12,,,n Y Y Y 是来自正态总体 2 2(,)N μσ的简单样本，则2 σ的无偏估计2 21 1 1()1m i i S X X m ==--∑,22211()1n i i S Y Y n ==--∑, 22 212 3 (1)(1)2m S n S S m n -+-=+-中较优的是 五、12分 设12,,,m X X X 和12,,,n Y Y Y 分别为来自(,1)N μ和(2,1)N μ的简单随机样本，且两样本 独立，其中μ是未知参数， （1） 基于合并样本12,,,m X X X ，12,,,n Y Y Y 求μ的极大似然估计^ μ （2） 计算^ ()E μ （3） 在（2）的基础上给出μ的无偏估计 六、8分 设总体X 服从正态分布2 (,)N μσ，其中2 σ已知，考虑假设检验: 00100:,:()H H μμμμμμ=≠> 在显著域水平α下的拒绝域为 *121{(,,,}n W x x x z α-=≥ 则（1）求其犯第二类错误的概率β （2）当n 一定的情况下，β随α的如何变化？
