外力作用下的振动

受迫振动运动方程
受迫振动运动方程描述了一个振动系统在外力作用下的运动。

一般来说，受迫振动系统的运动方程可以写成如下形式：
m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = F(t)
其中，m是系统的质量，x是系统的位移，t是时间，F(t)是外力的函数，c是阻尼系数，k是弹性系数。

这个方程可以通过牛顿第二定律推导得到。

m * d²x/dt²表示质量m 的加速度，c * dx/dt表示阻尼力，k * x表示弹性力，F(t)表示外力。

受迫振动运动方程的解可以通过求解这个微分方程得到。

具体的解法取决于外力的形式和系统的特性。

常见的外力形式包括正弦函数、余弦函数、阶跃函数等。

受迫振动系统的运动方程在物理学和工程学中有广泛的应用，例如描述弹簧振子、电磁振子等。

解析求解这个方程可以帮助我们理解振动系统的行为和性质。

第七讲单摆、物体在外力作用下的振动知识要点1.单摆2.单摆的周期3.外力作用下的振动4.共振教学目标1.知道什么是单摆；2.理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动；3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算；4.知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况5.知道做受迫振动物体的振动频率跟固有频率无关，而等于驱动力的频率课前检测一、单摆1、组成：（1）（2）2、理想化要求（1）细线形变要求：细线的可以忽略。

（2）质量要求：细线的质量与球质量相比（3）线长度要求：球的与线的长度相比可以忽略（4）受力要求：忽略摆动过程中所受作用实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，小的球和尽量的弹性小的线。

1.单摆的回复力1、回复力的提供：摆球的重力沿方向的分力。

2、回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成，方向总是指向，即F=3、运动规律：单摆在偏角很小时做运动，其振动图像遵循函数规律、3.单摆的周期1、探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响（1）探究方法：法（2）实验结论①单摆振动的周期与摆球质量②振幅较小时周期与振幅③摆长越长，周期；摆长越短，周期2、周期公式（1）提出：周期公式是由荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

（2）公式：T=，即T与摆长L的二次方根成，与重力加速度g的二次方根成。

（3）应用：①计时器（摆钟）a、原理：单摆的b、校准：调节可以调节钟表的快慢。

②测重力加速度由单摆公式可知，g=，即只要测出单摆的和，就可以求出当地的重力加速度。

（其中摆长L=绳长L1+小球半径r）二、阻尼振动：1、固有频率：如果振动系统_________作用，此时的振动叫固有振动，其振动频率称为__________.2、阻尼振动(减幅振动)：_______逐渐减小的振动叫阻尼振动振动物体克服摩擦和其他阻力做了功，它自己的______逐渐减小，_____也随着变小说明：（1）同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定（2）阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快（3）物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化（4）阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当做简谐运动来处理三、受迫振动:1、驱动力：加在振动系统上的____________，叫做驱动力2、受迫振动：系统在_________作用下的振动，叫受迫振动3、受迫振动的周期和频率：1物体做受迫振动时，振动________的频率等于________的频率，跟物体的______频率无关．四、共振1、共振：______频率等于系统的_____频率时，受迫振动的____最大，这种现象叫做共振2、共振的条件：驱动力的频率与物体的固有频率______3、共振曲线共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。

5、外力作用下的振动教学目标：（一）知识与技能（1）知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明。

（2）知道受迫振动的概念。

知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关。

（二）过程与方法理解共振的概念，知道常见的共振的应用和危害。

（三）情感、态度与价值观常见的共振的应用和危害二、教学重点、难点：受迫振动，共振。

三、教具：弹簧振子、受迫振动演示仪、摆的共振演示器四、教学过程（一）复习提问让学生注意观察教师的演示实验。

教师把弹簧振子的振子向右移动至B点，然后释放，则振子在弹性力作用下，在平衡位置附近持续地沿直线振动起来。

重复两次让学生在黑板上画出振动图象的示意图（图1中的Ⅰ）。

再次演示上面的振动，只是让起始位置明显地靠近平衡位置，再让学生在原坐标上画出第二次振子振动的图象（图1中的Ⅱ）。

Ⅰ和Ⅱ应同频、同相、振幅不同。

结合图象和振子运动与学生一起分析能量的变化并引入新课。

（二）新课教学现在以弹簧振子为例讨论一下简谐运动的能量问题。

问：振子从B向O运动过程中，它的能量是怎样变化的？引导学生答出弹性势能减少，动能增加。

问：振子从O向C运动过程中能量如何变化？振子由C向O、又由O向B运动的过程中，能量又是如何变化的？问：振子在振动过程中总的机械能如何变化？引导学生运用机械能守恒定律，得出在不计阻力作用的情况下，总机械能保持不变。

教师指出：将振子从B点释放后在弹簧弹力（回复力）作用下，振子向左运动，速度加大，弹簧形变（位移）减少，弹簧的弹性势能转化为振子的动能。

当回到平衡位置O时，弹簧无形变，弹性势能为零，振子动能达到最大值，这时振子的动能等于它在最大位移处（B点）弹簧的弹性势能，也就是等于系统的总机械能。

在任何一位置上，动能和势能之和保持不变，都等于开始振动时的弹性势能，也就是系统的总机械能。

由于简谐运动中总机械能守恒，所以简谐运动中振幅不变。

如果初始时B点与O点的距离越大，到O点时，振子的动能越大，则系统所具有的机械能越大。

外力作用下的振动一、知识点梳理1.固有频率如果振动系统不受外力作用，此时的振动叫固有振动，其振动频率称为固有频率. 2.阻尼振动（减幅振动(1)定义：振动物体克服摩擦和其他阻力做功，自己的能量逐渐减小，振幅也随着变小，振幅逐渐减小的振动叫阻尼振动.(2)对阻尼振动的理解：①同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定.②阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快.③物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化. 用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变④阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当做简谐运动来处理.(3)从振幅有无变化来分，振动可分为阻尼振动和无阻尼振动.例1.（多选）下列说法正确的是（）A．阻尼振动必定有机械能损失B．物体做阻尼振动时，由于振幅减小，频率也随着减小C．物体做阻尼振动时，振幅虽然减小，但是频率不变D．做阻尼振动的物体，振动频率仍由自身结构特点决定例2.（多选）单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是（）A．机械能逐渐转化为其他形式的能B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能3.受迫振动(1)驱动力：加在振动系统上的周期性外力，叫做驱动力(2)受迫振动：系统在驱动力作用下的振动(3)受迫振动的周期和频率物体做受迫振动时，振动稳定后的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关4.自由振动像弹簧振子和单摆那样，物体偏离平衡位置后，它们就在自己的弹力或重力作用下振动起来，而不需要其他外力的推动，这种振动叫做自由振动.5.共振(1)共振：驱动力频率驱f 等于系统的固有频率固f 时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振(2)共振的条件： 驱f 固f ，即驱动力的频率与物体的固有频率相等(3)共振曲线如图所示，共振曲线的横坐标为驱动力的频率，纵坐标为受迫振动物体的振幅，共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大. (4)共振的利用与防止①利用：由共振的条件知，要利用共振，就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一致，如：共振筛、荡秋千、共振转速计共鸣箱，核磁共振仪等.②防止：由共振曲线可知，在需要防止共振危害时，要尽量使驱动力的频率和固有频率不相等，而且相差越多越好，如：部队过桥应便步走.例3.（多选）如图所示，两个质量分别为M 和m 的小球，悬挂在同一根水平细线上，当M 在垂直于水平细线的平面内摆动时，下列说法正确的是( ) A ．两摆的振动周期是相同的B ．当两摆的摆长相等时，m 摆的振幅最大C ．悬挂M 的竖直细线长度变化时，m 的振幅不变D ．m 摆的振幅可能超过M 摆的振幅例4.（多选）如图所示，一根绷紧的水平绳上挂五个摆，其中A 、E 摆长均为l ，先让A 摆振动起来，其他各摆随后也跟着振动起来则（ ） A ．其他各摆振动周期跟A 摆相同 B ．其他各摆振动的振幅大小相等C ．其他各摆振动的振幅大小不同，E 摆的振幅最大D ．B 、C 、D 三摆振动的振幅大小不同，B 摆的振幅最小二、技巧总结2.对共振现象的两点说明(1)从受力角度来看：振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大.(2)从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动力与物体运动一致的次数越多，驱动力对物体做正功越多振幅就越大.当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加.3.微波炉原理微波炉的微波频率与水分子振动的固有频率2500MHz非常接近，因此，当微波照射到食物时，微波施加的驱动力使食物中的水分子做受迫振动，并且处于共振状态而剧烈振动，使食物的温度迅速升高，由于这种“加热”方式是从里到外同时发生的，所以比其他煮熟食物的方式更快捷.4.减振原理思路一是给被保护的物体加一层减振的阻尼材料（如泡沫塑料等），使冲击过程的机械能尽可能多地转化为阻尼材料的内能，减轻被保护物体受到的冲击作用. 思路二是在物体与外界冲击作用之间安装一个“质量一弹簧”系统，如果该系统的固有周期比外界冲击力的周期大很多，它不会及时地把该冲击力传递给物体，这种延缓的过程实际上对冲击力起到了平均的作用。

11.5 外力作用下的振动新课标要求（一）知识与技能1、知道什么是阻尼振动；知道在什么情况下可以把实际发生的振动看作简谐运动。

2、知道什么叫驱动力，什么叫受迫振动，能举出受迫振动的实例。

3、知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率无关。

4、知道什么是共振以及发生共振的条件。

（二）过程与方法1、通过演示实验，了解阻尼振动的特点，明确受迫振动的频率决定于驱动力的频率。

2、通过分析实际例子，得到什么是受迫振动和共振现象，培养学生理论联系实际的能力。

（三）情感、态度与价值观1、振动有多种不同类型说明各种运动形式都是普遍性下的特殊性的具体体现。

2、通过共振产生条件的教学，认识内因和外因的关系。

教学重点受迫振动的概念以及共振及产生共振的条件。

教学难点共振及产生共振的条件。

教学方法观察、对比、讨论、阅读、实验演示、多媒体展示。

教学用具：单摆、受迫振动演示仪、共振演示仪、两个相同的带有共鸣箱的音叉、橡皮槌、CAI 课件教学过程（一）引入新课教师：通过前面的学习，我们知道做简谐运动的物体都要受到回复力的作用。

回复力是振动系统内部的相互作用，是内力。

如果振动系统不受外力的作用。

此时的振动叫固有振动，其振动频率叫做固有频率。

而实际的振动系统不可避免地要受到摩擦阻力和其他因素的影响，系统的机械能要不断损耗，在这种情况下，它将怎样运动呢？本节课我们来学习这方面的问题。

（二）进行新课1．阻尼振动前面我们研究了简谐运动中能量的转化，对简谐运动而言，当供给振动系统一定的能量使它开始振动后，由于机械能守恒，它就以一定的振幅永不停息地振动下去，简谐运动是一种理想化的振动。

下面我们来观察两个实际振动：演示：①实际的单摆发生的振动；②敲击音叉后音叉的振动。

现象：单摆和音叉的振幅越来越小，最后停下来。

解释：在单摆和音叉的振动过程中，不可避免地要克服摩擦及其他阻力做功，系统的机械能就要损耗，振动的振幅就会逐渐减小，机械能耗尽之时，振动就会停下来了。