2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案

数学(理工农医类)(湖南卷)一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2013湖南,理1)复数z=i·(1+i)(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案:B解析:z=i +i 2=-1+i,对应点为(-1,1),故在第二象限,选B .2.(2013湖南,理2)某学校有男、女学生各500名,为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异,拟从全体学生中抽取100名学生进行调查,则宜采用的抽样方法是( ). A.抽签法 B.随机数法 C.系统抽样法 D.分层抽样法答案:D解析:看男、女学生在学习兴趣与业余爱好是否存在明显差异,应当分层抽取,故宜采用分层抽样. 3.(2013湖南,理3)在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b.若2a sin B=√3b ,则角A 等于( ).A.π12 B.π6C.π4D.π3答案:D解析:由2a sin B=√3b 得2sin A sin B=√3sin B ,故sin A=√32,故A=π3或2π3.又△ABC 为锐角三角形,故A=π3.4.(2013湖南,理4)若变量x ,y 满足约束条件{y ≤2x ,x +y ≤1,y ≥-1.则x+2y 的最大值是( ).A.-52B.0C.53D.52答案:C解析:约束条件表示的可行域为如图阴影部分.令x+2y=d ,即y=-12x+d2,由线性规划知识可得最优点为(13,23),所以d max =13+43=53.5.(2013湖南,理5)函数f (x )=2ln x 的图象与函数g (x )=x 2-4x+5的图象的交点个数为( ). A.3 B.2C.1D.0答案:B解析:设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ,y ),则y=2ln x ,y=x 2-4x+5,联立得2ln x=x 2-4x+5,令h (x )=x 2-4x+5-2ln x (x>0), 由h'(x )=2x-4-2x =0得x 1=1+√2,x 2=1-√2(舍). 当h'(x )<0时,即x ∈(0,1+√2)时,h (x )单调递减; 当h'(x )>0,即x ∈(1+√2,+∞)时,h (x )单调递增. 又∵h (1)=2>0,h (2)=1-2ln 2<0,h (4)=5-2ln 4>0, ∴h (x )与x 轴必有两个交点,故答案为B .6.(2013湖南,理6)已知a ,b 是单位向量,a ·b =0,若向量c 满足|c-a-b |=1,则|c |的取值范围是( ). A.[√2-1,√2+1] B.[√2-1,√2+2] C.[1,√2+1] D.[1,√2+2]答案:A解析:由题意,不妨令a =(0,1),b =(1,0),c =(x,y),由|c-a-b |=1得(x-1)2+(y-1)2=1,|c |=√x 2+y 2可看做(x,y)到原点的距离,而点(x,y)在以(1,1)为圆心,以1为半径的圆上.如图所示,当点(x,y)在位置P 时到原点的距离最近,在位置P'时最远,而PO=√2-1,P'O=√2+1,故选A .7.(2013湖南,理7)已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形,则该正方体的正视图的面积不可能等于( ). A.1 B.√2C.√2-12D.√2+12答案:C解析:根据三视图中正视图与俯视图等长,故正视图中的长为√2cos θ,如图所示.故正视图的面积为S=√2cos θ(0≤θ≤π4),∴1≤S ≤√2, 而√2-12<1,故面积不可能等于√2-12.8.(2013湖南,理8)在等腰直角三角形ABC 中,AB=AC=4,点P 为边AB 上异于A,B 的一点,光线从点P 出发,经BC,CA 反射后又回到点P.若光线QR 经过△ABC 的重心,则AP 等于( ).A.2B.1C.83D.43答案:D解析:以A 为原点,AB 为x 轴,AC 为y 轴建立直角坐标系如图所示.则A(0,0),B(4,0),C(0,4).设△ABC 的重心为D,则D 点坐标为(43,43).设P 点坐标为(m,0),则P 点关于y 轴的对称点P 1为(-m,0),因为直线BC 方程为x+y-4=0,所以P 点关于BC 的对称点P 2为(4,4-m),根据光线反射原理,P 1,P 2均在QR 所在直线上,∴k P 1D =k P 2D ,即4343+m=43-4+m43-4, 解得,m=43或m=0.当m=0时,P 点与A 点重合,故舍去. ∴m=43.二、填空题:本大题共8小题,考生作答7小题,每小题5分,共35分.(一)选做题(请考生在第9,10,11三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)9.(2013湖南,理9)在平面直角坐标系xOy 中,若直线l:{x =t ,y =t -a (t 为参数)过椭圆C:{x =3cosφ,y =2sinφ(φ为参数)的右顶点,则常数a 的值为 . 答案:3解析:由题意知在直角坐标系下,直线l 的方程为y=x-a,椭圆的方程为x 29+y 24=1,所以其右顶点为(3,0).由题意知0=3-a,解得a=3.10.(2013湖南,理10)已知a ,b ,c ∈R ,a+2b+3c=6,则a 2+4b 2+9c 2的最小值为 . 答案:12解析:由柯西不等式得(12+12+12)(a 2+4b 2+9c 2)≥(a+2b+3c)2,即a 2+4b 2+9c 2≥12,当a=2b=3c=2时等号成立,所以a 2+4b 2+9c 2的最小值为12. 11.(2013湖南,理11)如图,在半径为√7的☉O 中,弦AB,CD 相交于点P,PA=PB=2,PD=1,则圆心O 到弦CD 的距离为 . 答案:√32解析:如图所示,取CD 中点E,连结OE,OC.由圆内相交弦定理知PD ·PC=PA ·PB, 所以PC=4,CD=5,则CE=52,OC=√7.所以O 到CD 距离为OE=√(√7)2-(52)2=√32.(二)必做题(12~16题)12.(2013湖南,理12)若∫ T0x 2d x=9,则常数T 的值为 . 答案:3解析:∵(13x 3)'=x 2,∴∫ T 0x 2d x=13x3|T=13T 3-0=9,∴T=3.13.(2013湖南,理13)执行如图所示的程序框图,如果输入a=1,b=2,则输出的a 的值为 . 答案:9解析:输入a=1,b=2,不满足a>8,故a=3;a=3不满足a>8,故a=5; a=5不满足a>8,故a=7;a=7不满足a>8,故a=9,满足a>8,终止循环.输出a=9. 14.(2013湖南,理14)设F 1,F 2是双曲线C:x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点.若|PF 1|+|PF 2|=6a,且△PF 1F 2的最小内角为30°,则C 的离心率为 . 答案:√3 解析:不妨设|PF 1|>|PF 2|,由{|PF 1|+|PF 2|=6a ,|PF 1|-|PF 2|=2a可得{|PF 1|=4a ,|PF 2|=2a .∵2a<2c,∴∠PF 1F 2=30°,∴cos 30°=(2c )2+(4a )2-(2a )22×2c×4a ,整理得,c 2+3a 2-2√3ac=0,即e 2-2√3e+3=0,∴e=√3.15.(2013湖南,理15)设S n 为数列{a n }的前n 项和,S n =(-1)n a n -12n ,n ∈N *,则 (1)a 3= ;(2)S 1+S 2+…+S 100= . 答案:(1)-116 (2)13(12100-1)16.(2013湖南,理16)设函数f(x)=a x +b x -c x ,其中c>a>0,c>b>0.(1)记集合M={(a,b,c)|a,b,c 不能构成一个三角形的三条边长,且a=b},则(a,b,c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为 ;(2)若a,b,c 是△ABC 的三条边长,则下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) ①∀x ∈(-∞,1),f(x)>0;②∃x ∈R ,使a x ,b x ,c x 不能构成一个三角形的三条边长; ③若△ABC 为钝角三角形,则∃x ∈(1,2),使f(x)=0. 答案:(1){x|0<x ≤1} (2)①②③三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(2013湖南,理17)(本小题满分12分)已知函数f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3),g (x )=2sin 2x2.(1)若α是第一象限角,且f(α)=3√35,求g(α)的值;(2)求使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合. 解:f(x)=sin (x -π6)+cos (x -π3)=√32sin x-12cos x+12cos x+√32sin x =√3sin x,g(x)=2sin 2x2=1-cos x. (1)由f(α)=3√35得sin α=35.又α是第一象限角,所以cos α>0. 从而g(α)=1-cos α=1-√1-sin 2α =1-45=15.(2)f(x)≥g(x)等价于√3sin x ≥1-cos x,即√3sin x+cos x ≥1. 于是sin (x +π6)≥12.从而2k π+π6≤x+π6≤2k π+5π6,k ∈Z , 即2k π≤x ≤2k π+2π3,k ∈Z .故使f(x)≥g(x)成立的x 的取值集合为 {x |2kπ≤x ≤2kπ+2π3,k ∈Z}.18.(2013湖南,理18)(本小题满分12分)某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg )与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示:这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.(1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望.解:(1)所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有C 31C 121=36种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为836=29. (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量Y 的分布列. 因为P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出P(X=k)(k=1,2,3,4)即可.记n k 为其“相近”作物恰有k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n 1=2,n 2=4,n 3=6,n 4=3.由P(X=k)=nkN 得P(X=1)=215,P(X=2)=415,P(X=3)=615=25,P(X=4)=315=15. 故所求的分布列为所求的数学期望为E(Y)=51×215+48×415+45×25+42×15=34+64+90+425=46. 19.(2013湖南,理19)(本小题满分12分)如图,在直棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AD ∥BC,∠BAD=90°,AC ⊥BD,BC=1,AD=AA 1=3.(1)证明:AC ⊥B 1D;(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值.解法1:(1)如图,因为BB 1⊥平面ABCD,AC ⊂平面ABCD,所以AC ⊥BB 1.又AC ⊥BD,所以AC ⊥平面BB 1D. 而B 1D ⊂平面BB 1D,所以AC ⊥B 1D.(2)因为B 1C 1∥AD,所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ). 如图,连结A 1D,因为棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1是直棱柱,且∠B 1A 1D 1=∠BAD=90°,所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD=AA 1=3,所以四边形ADD 1A 1是正方形,于是A 1D ⊥AD 1. 故AD 1⊥平面A 1B 1D,于是AD 1⊥B 1D.由(1)知,AC ⊥B 1D,所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1=90°-θ.在直角梯形ABCD 中,因为AC ⊥BD,所以∠BAC=∠ADB.从而Rt △ABC ∽Rt △DAB, 故AB DA =BCAB .即AB=√DA ·BC =√3. 连结AB 1,易知△AB 1D 是直角三角形,且B 1D 2=BB 12+BD 2=BB 12+AB 2+AD 2=21,即B 1D=√21.在Rt △AB 1D 中,cos ∠ADB 1=ADB 1D=3√21=√217,即cos (90°-θ)=√217.从而sin θ=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.解法2:(1)易知,AB,AD,AA 1两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB,AD,AA 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.设AB=t,则相关各点的坐标为:A(0,0,0),B(t,0,0),B 1(t,0,3),C(t,1,0),C 1(t,1,3),D(0,3,0),D 1(0,3,3).从而B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(t,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-t,3,0). 因为AC ⊥BD,所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-t 2+3+0=0.解得t=√3或t=-√3(舍去). 于是B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-√3,3,-3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0).因为AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-3+3+0=0,所以AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即AC ⊥B 1D.(2)由(1)知,AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,3,3),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 设n =(x ,y ,z )是平面ACD 1的一个法向量,则{n ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{√3x +y =0,3y +3z =0.令x=1,则n =(1,-√3,√3).设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ,则 sin θ=|cos <n ,B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ >|=|n ·B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n |·|B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ || =√3√7=√217.即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为√217.20.(2013湖南,理20)(本小题满分13分)在平面直角坐标系xOy 中,将从点M 出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径称为M 到N 的一条“L 路径”.如图所示的路径MM 1M 2M 3N 与路径MN 1N 都是M 到N 的“L 路径”.某地有三个新建的居民区,分别位于平面xOy 内三点A(3,20),B(-10,0),C(14,0)处.现计划在x 轴上方区域(包含x 轴)内的某一点P 处修建一个文化中心.(1)写出点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值的表达式(不要求证明):(2)若以原点O 为圆心,半径为1的圆的内部是保护区,“L 路径”不能进入保护区,请确定点P 的位置,使其到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 解:设点P 的坐标为(x,y).(1)点P 到居民区A 的“L 路径”长度最小值为 |x-3|+|y-20|,x ∈R ,y ∈[0,+∞).(2)由题意知,点P 到三个居民区的“L 路径”长度之和的最小值为点P 分别到三个居民区的“L 路径”长度最小值之和(记为d)的最小值.①当y ≥1时,d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|, 因为d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|,(*) 当且仅当x=3时,不等式(*)中的等号成立,又因为|x+10|+|x-14|≥24,(**)当且仅当x ∈[-10,14]时,不等式(**)中的等号成立. 所以d 1(x)≥24,当且仅当x=3时,等号成立. d 2(y)=2y+|y-20|≥21,当且仅当y=1时,等号成立.故点P 的坐标为(3,1)时,P 到三个居民区的“L 路径”长度之和最小,且最小值为45. ②当0≤y ≤1时,由于“L 路径”不能进入保护区, 所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|, 此时,d 1(x)=|x+10|+|x-14|+|x-3|, d 2(y)=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y ≥21.由①知,d 1(x)≥24,故d 1(x)+d 2(y)≥45,当且仅当x=3,y=1时等号成立.综上所述,在点P(3,1)处修建文化中心,可使该文化中心到三个居民区的“L 路径”长度之和最小. 21.(2013湖南,理21)(本小题满分13分)过抛物线E:x 2=2py(p>0)的焦点F 作斜率分别为k 1,k 2的两条不同直线l 1,l 2,且k 1+k 2=2,l 1与E 相交于点A,B,l 2与E 相交于点C,D,以AB,CD 为直径的圆M,圆N(M,N 为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k 1>0,k 2>0,证明:FM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ <2p 2; (2)若点M 到直线l 的距离的最小值为7√55,求抛物线E 的方程.解:(1)由题意,抛物线E 的焦点为F (0,p2),直线l 1的方程为y=k 1x+p2, 由{y =k 1x +p2,x 2=2py 得x 2-2pk 1x-p 2=0. 设A,B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2), 则x 1,x 2是上述方程的两个实数根. 从而x 1+x 2=2pk 1,y 1+y 2=k 1(x 1+x 2)+p=2p k 12+p.所以点M 的坐标为(pk 1,pk 12+p 2),FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 1,p k 12).同理可得点N 的坐标为(pk 2,pk 22+p 2),FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(pk 2,p k 22).于是FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =p 2(k 1k 2+k 12k 22).由题设,k 1+k 2=2,k 1>0,k 2>0,k 1≠k 2, 所以0<k 1k 2<(k 1+k 22)2=1. 故FM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN⃗⃗⃗⃗⃗ <p 2(1+12)=2p 2. (2)由抛物线的定义得|FA|=y 1+p 2,|FB|=y 2+p2,所以|AB|=y 1+y 2+p=2p k 12+2p. 从而圆M 的半径r 1=p k 12+p,故圆M 的方程为 (x-pk 1)2+(y -pk 12-p 2)2=(p k 12+p)2.化简得x 2+y 2-2pk 1x-p(2k 12+1)y-34p 2=0.同理可得圆N 的方程为x 2+y 2-2pk 2x-p(2k 22+1)y-34p 2=0.于是圆M,圆N 的公共弦所在直线l 的方程为(k 2-k 1)x+(k 22−k 12)y=0.又k 2-k 1≠0,k 1+k 2=2,则l 的方程为x+2y=0. 因为p>0,所以点M 到直线l 的距离d=121√5=121√5=p [2(k 1+14)2+78]√5.故当k 1=-14时,d 取最小值85. ,8√5=7√55,解得p=8.故所求的抛物线E 的方程为x 2=16y.22.(2013湖南,理22)(本小题满分13分)已知a>0,函数f(x)=|x -ax+2a|. (1)记f(x)在区间[0,4]上的最大值为g(a),求g(a)的表达式;(2)是否存在a,使函数y=f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直?若存在,求a 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解:(1)当0≤x ≤a 时,f(x)=a -xx+2a ;当x>a 时,f(x)=x -ax+2a . 因此,当x ∈(0,a)时,f'(x)=-3a (x+2a )2<0,f(x)在(0,a)上单调递减;当x ∈(a,+∞)时,f'(x)=3a (x+2a )2>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增.①若a ≥4,则f(x)在(0,4)上单调递减,g(a)=f(0)=12. ②若0<a<4,则f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增. 所以g(a)=max {f(0),f(4)}. 而f(0)-f(4)=12−4-a4+2a =a -12+a , 故当0<a ≤1时,g(a)=f(4)=4-a4+2a ;当1<a<4时,g(a)=f(0)=12.综上所述,g(a)={4-a 4+2a ,0<a ≤1,12,a >1.(2)由(1)知,当a ≥4时,f(x)在(0,4)上单调递减,故不满足要求.当0<a<4时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,4)上单调递增.若存在x 1,x 2∈(0,4)(x 1<x 2),使曲线y=f(x)在(x 1,f(x 1)),(x 2,f(x 2))两点处的切线互相垂直,则x 1∈(0,a),x 2∈(a,4),且f'(x 1)·f'(x 2)=-1,即-3a(x 1+2a )2·3a(x 2+2a )2=-1.亦即x 1+2a=3a x 2+2a.(*) 由x 1∈(0,a),x 2∈(a,4)得x 1+2a ∈(2a,3a),3ax 2+2a ∈(3a 4+2a ,1).故(*)成立等价于集合A={x|2a<x<3a}与集合B={x |3a 4+2a <x <1}的交集非空. 因为3a 4+2a <3a,所以当且仅当0<2a<1,即0<a<12时,A ∩B ≠⌀.综上所述,存在a 使函数f(x)在区间(0,4)内的图象上存在两点,在该两点处的切线互相垂直,且a 的取值范围是(0,12).。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（湖南卷）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+ 为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法【答案】 D 【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

选D3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A 则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 【答案】 D【解析】 3=A 223=sinA sinB 3 = sinB 2sinA :得b 3=2asinB 由ππ⇒<⇒⋅⋅A ， 选D4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2B ．0C ．53D ．52【答案】 C【解析】 区域为三角形，直线u = x + 2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(=u 选C5.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】 B【解析】 二次函数()245g x x x =-+的图像开口向上，在x 轴上方，对称轴为x=2，g(2) = 1； f(2) =2ln2=ln4>1.所以g(2) < f(2), 从图像上可知交点个数为2选B6. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．⎤⎦B ．⎤⎦C ．1⎡⎤⎣⎦D ．1⎡⎤⎣⎦【答案】 A 【解析】的向量与即一个模为单位2.1|-)(||-|,2||向量，是,=+=-=+∴ 的模为1，可以在单位圆中解得12||1-2+≤≤c 。

2013年湖南省普通高中学业水平考试试卷思想政治时量90分钟，满分100分。

第I卷选择题一、选择题（2*30=60）1.第十二届全国人民代表大会第一次会议于2013年3月5日至17日在北京召开，会议选举-----------为中华人民共和国主席, 为中华人民共和国国务院总理。

A．习近平李克强 B．胡锦涛温家宝C．胡锦涛李克强 D．习近平温家宝2、2012年10月11日，2012年诺贝尔文学奖评选揭，成为首位中国籍获奖者。

A．余秋雨 B．沈从文 C．莫言 D．鲁迅3、我国第一艘航母“”号按计划完成建造与实验后于2012年9月25日正式交付海军。

A．山东 B．辽宁 C．湖南 D．广东4、2012年8月，第30届夏季奥运会在英国伦敦举行，中国队位居金牌榜和奖牌榜位。

A．第四 B．第三 C．第二 D．第一5、2012年美国总统大选，再次当选，成为美国历史上第一位连任的黑人总统。

A．希拉里 B．克林顿 C．罗姆尼 D．奥巴马6、学生小王近日在淘宝网上花100元人民币购买了一件衣服。

这里的100元是A．执行价值尺度的职能 B．执行流通手段的职能C．观念上的货币D．一件衣服的使用价值7、在我国经济“百花园”中，各种经济成分争奇斗艳。

它们都在为繁荣和发展社会主义市场经济作出自己的贡献。

下列选项中属于我国现阶段的非公有制经济成分的有①国有经济②个体经济③私营经济④外资经济A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④8、风险性是居民投资理财所考虑的一个重要因素。

下列投资方式中高风险、高收益同在的是A．公司债券 B．金融债券 C．国债 D．股票9、社会主义公有制经济中个人消费品分配的基本原则是A．按需分配 B．平均分配 C．按劳分配 D．按生产要素分配10、2012年我国财政收入大幅度增加，这一现象产生的根本原因是A．经济发展水平提高 B．国家分配政策完善C．居民收入增长 D．物价水平稳定11、为了抑制房价过快增长，2013年3月2日国务院出台了“新国五条”。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数()()1z i i i =+为虚数单位在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中ABC ∆，角,A B 所对的边长分别为,a b .若2sin ,a B A =则角等于 A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 4.若变量,x y 满足约束条件211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，2x y +则的最大值是A ．5-2 B ．0 C ．53 D ．525.函数()2ln f x x =的图像与函数()245g x x x =-+的图像的交点个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．06. 已知,a b 是单位向量，0a b =.若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A．⎤⎦B．⎤⎦C．1⎡⎤⎣⎦D．1⎡⎤⎣⎦7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于 A ．1 BD8.在等腰三角形ABC 中，=4AB AC =，点P 是边AB 上异于,A B 的一点，光线从点P 出发，经,BC CA 发射后又回到原点P （如图1）.若光线QR 经过ABC ∆的中心，则AP 等A ．2B ．1C ．83 D ．43二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系xoy 中，若,3cos ,:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆()ϕ为参数的右顶点，则常数a 的值为 .10.已知222,,,236,49a b c a b c a b c ∈++=++则的最小值为 12 .11.如图2O 中,弦,AB CD 相交于点,2P PA PB ==，1PD =，则圆心O 到弦CD 的距离为 .必做题（12-16题） 12.若209,Tx dx T =⎰则常数的值为 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入1,2,a b a ==则输出的的值为 9 .14．设12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个焦点，P 是C 上一点，若216,PF PF a +=且12PF F ∆的最小内角为30，则C 的离心率为___。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（文史类）一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数i(1i)z =+(i 为虚数单位)在复平面上对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 【测量目标】复数代数形式的四则运算及复平面．【考查方式】给出复数的乘法形式，间接地考查了复数的代数与几何之间的关系． 【参考答案】B【试题解析】 i(1i)1i z =+=-+，∴复数z 对应复平面上的点是(1,1)-，该点在第二象限．2．“1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的 ( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【测量目标】命题的基本关系，充分、必要条件． 【考查方式】主要考查命题的基本关系以及充分必要条件． 【参考答案】A【试题解析】设{|12}A x x =<<，{|2}B x x =<，∴A B Ü，即当0x A ∈时，有0x B ∈，反之不一定成立．因此“12x <<”是“2x <”成立的充分不必要条件．3．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n = ( ) A ．9 B ．10 C ．12 D ．13 【测量目标】分层抽样．【考查方式】根据分层抽样的特点，结合实际问题用比例法求解样本容量的多少． 【参考答案】D 【试题解析】3=601208060n++，13n ∴= 4．已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且(1)(1)2f g -+=，()()114f g +-=，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1【测量目标】函数的奇偶性、函数的求值．【考查方式】给出两个奇、偶函数的关系式，结合奇、偶函数的性质求解g (1)． 【参考答案】B【试题解析】根据奇、偶函数的性质，将(1)f -和(1)g -转化(1),(1)f g -为列方程再求解． (f x ）是奇函数，(1)(1).f f ∴-=-又()g x 是偶函数， (1)(1)g g ∴-=，（步骤1） (1)(1)2,(1)(1)2f g g f -+=∴-= ． ①（步骤2）又(1)(1)4,(1)(1)4f g f g +-=∴+=． ②（步骤3） 由①②，得(1)3g =．（步骤4）5．在锐角三角形ABC 中，角,A B 所对的边长分别为a ，b ．若2sin a B =，则角A 等于( ) A ．π3 B ．π4 C ．π6 D ．π12【测量目标】正弦定理．【考查方式】给出三角形的边角之间的关系，根据正弦定理，求出其中一个角的大小． 【参考答案】A【试题解析】在△ABC 中，2sin ,2sin a R A b R B ==(R 为△ABC 的圆半径)，2sin ,2sin sin a B A B B =∴=sin A ∴=，又△ABC 为锐角三角形，π3A ∴=．6．函数()ln f x x =的图象与函数2()44g x x x =-+的图象的交点个数为 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【测量目标】函数的图像与性质，数形结合思想．【考查方式】给出对数函数和二次函数，考查了两个函数的图像与交点． 【参考答案】C【试题解析】22()44(2)g x x x x =-+=-在同一平面直角坐标系内画出函数()ln f x x =与2()(2)g x x =-的图象(如图)．由图可得两个函数的图象有2个交点． 第6题图7．已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的矩形，则该正方体的正视图的面积等于 ( )A B ．1 C D 【测量目标】空间几何体三视图的判断，柱、锥、台、及简单组合体的表面积、体积的求法．【考查方式】给出正方体的三视图面积，间接地考查了对正方形三视图的认识，并求出正视图的面积． 【参考答案】D【试题解析】由于该正方形的俯视图是面积为11的矩形，所以8．已知,a b 是单位向量，0∙=a b ，若向量c 满足0--=c a b ，则c 的最大值为 ( )A 1-BC 1D 2 【测量目标】向量的运算律、向量的数量积及模．【考查方式】给出模为零的向量，间接地考查了向量的运算律、数量积及模的综合应用，并求出其中一个向量的模． 【参考答案】C【试题解析】 ,a b 是单位向量， ∴1==a b ，（步骤1）又0∙=a b ，∴⊥a b ，（步骤2）∴+=a b ．（步骤3） ∴22222()+21--=-∙+∙++=c a b c c a b αb a b ．22()10∴-∙++=c c a b ，22()1∴∙+=+c a b c ．（步骤4） ∴21+c 2cos θ=+c a b (θ是c 与+a b 的夹角)．（步骤5）∴21+c cos θ=…，∴210-+c …．（步骤6）∴11c 剟，∴c 1．（步骤7） 9．已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB 的最大边是AB ”发生的概率为12，则ADAB= ( )A ．12 B ．14C D【测量目标】几何概型．【考查方式】给出事件发生的概率并与代数相结合，求出几何概型的概率． 【参考答案】D【试题解析】由于满足条件的点P 发生的概率为12，点P 在边CD 上运动，根据图形的对称性当点P 在靠近点D 的CD 边的14分点时，EB AB =（当P 点超过点E 向点D 运动时，PB AB >）．设AB x =，过点E 作EF AB ⊥交AB 于点F ，则34BF x =．在Rt FBE △中，222222716EF BE FB AB FB x =-=-=，即EF x =，AD AB ∴=第9题图 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．10．已知集合{2,3,6,8},{2,3},{2,6,8}U A B ===，则()U A B ð= ． 【测量目标】集合的表示、集合的基本运算，数形结合思想．【考查方式】考查了集合的表示法（描述法）、集合的补集、交集运算． 【参考答案】{6,8}【试题解析】因为{2,3,6,8},{2,3}U A ==，所以{6,8}U A =ð，所以(){6,8}{2,6,8}{6,8}U A B == ð． 11．在平面直角坐标系xOy 中，若直线121,:x s l y s =+⎧⎨=⎩（s 为参数）和直线2,:21x at l y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数）平行，则常数a 的值为 ．【测量目标】参数方程、两直线的位置关系，转化思想的应用．【考查方式】参数方程与直角坐标方程的互化，间接考查了直线方程与直线位置的关系． 【参考答案】4 【试题解析】由21,x s y s=+⎧⎨=⎩消去参数s ，得21x y =+．由,21x at y t =⎧⎨=-⎩消去参数t ，得2x ay a =+．12l l ∥，21, 4.2a a ∴=∴=12．执行如图所示的程序框图，如果输入a =1，b =2，则输出的a 的值为 ． 【测量目标】循环结构的程序框图．【考查方式】程序框图的逻辑关系，并根据程序框图求出a 的值． 第12题图【参考答案】9【试题解析】当1,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为3．当3,2a b ==时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为5．当5,a =2b =时，8a >不成立，执行a ab =+后a 的值为7．当7,a =2b =时，8a >不成立，执行a a b =+后a 的值为9．由于98>成立，故输出的a 值为9．13．若变量,x y 满足约束条件28,04,03x y x y +⎧⎪⎨⎪⎩…剟剟则x y +的最大值为______．【测量目标】线性规划知识求最值．【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值． 【参考答案】6【试题解析】根据不等式组出其平面区域，令z x y =+，结合直线z x y =+的特征求解．如图，画出不等式组表示的平面区域，平行移动z x y =+经过点(4,2)A 时，z 取最大值6． 第13题图14．设12,F F 是双曲线C 22221x y a b-= ()0,0a b >>的两个焦点．若在C 上存在一点P ．使12PF PF ⊥，且1230PF F ∠=，则C 的离心率为___________． 【测量目标】双曲线的定义及其相关性质．【考查方式】给出双曲线上的点到两焦点之间直线的关系，根据双曲线的定义及性质求解其离心率．1【试题解析】如图，利用12PF PF ⊥及1230PF F ∠=，求出a ，c 的关系式． 设点P 在双曲线右支上． 12PF PF ⊥，122F F c =，且1230PFF ∠= ，∴2PF c =，1PF =．又点P 在双曲线右支上，∴12PF PF-1)c =2a =．∴c e a==1=． 第14题图 15．对于12100{,,,}E a a a = 的子集12{,,,}k i i i X a a a = ，定义X 的“特征数列”为12100,,,x x x ，其中121k i i i x x x ==== ．其余项均为0，例如子集23{,}a a 的“特征数列”为0，1，0，0， 0⑴子集135{,,}a a a 的“特征数列”的前三项和等于___________；⑵若E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p ⋅⋅⋅ 满足11p =，11i i p p ++=，199i剟；E 的子集Q 的“特征数列” 12100,,,q q q ⋅⋅⋅满足11q =，121j j j q q q ++++=，198j剟，则P Q 的元素个数为_________．【测量目标】集合的子集、交集定义的理解以及数列中项、项数概念的理解及应用． 【考查方式】根据给定“特征数列”的新定义，明确其性质，结合集合及数列性质求解． 【参考答案】⑴2 ⑵17【试题解析】子集中元素的个数为“特征数列”中项1的个数，并且1所在的项记为“特征数列”中的第i 项． ⑴子集{}135,,a a a 的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0,,0. 故该数列前3项的和为2．⑵E 的子集P 的“特征数列”12100,,,p p p 中，由于11p =，11(199)i i p p i++=剟，因此集合P 中必含有元素1a ．又当1i =时，121p p +=，且11p =，故20p =同理可求得31p =，40p =，51p =，60p =，…．故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0,,1,0 ，即{}1,35799,,,,.P a a a a a =⋅⋅⋅E 的子集Q 的“特征数列”12100,,,q q q ⋅⋅⋅中，由于11q =，121j j j q q q ++++=(198)j剟，因此集合Q 中必含有元素1a ．当1j =时，1231q q q ++=，当2j =时，2341q q q ++=，当3j =时，3451q q q ++=，…故11q =230q q ==，41q =，560q q ==，71q =，…．故，所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0,,0,1⋅⋅⋅，即{}14710100,,,,,Q a a a a a =⋅⋅⋅．因为1001(1)3n =+-⨯，故34n =，所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．因此，P Q {}17131997,,,,,a a a a a =⋅⋅⋅共有17个元素． 三、解答题；本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数π()cos cos()3f x x x =⋅-．⑴求2π()3f 的值； ⑵求使 1()4f x <成立的x 的取值集合．【测试目标】三角函数的定义及性质，三角函数的恒等变换．【考查方式】利用三角函数的恒等变换将函数转化成正弦函数，根据三角函数图像的性质求出x 的范围．【试题解析】(1)ππ()cos (cos cossin sin )33f x x x x =⋅⋅+⋅111(sin 2cos 2)2224x x =⋅+⋅+ 1π1sin(2)264x =++2π13π1()sin3224f ⇒=+14=-，所以2π1()34f =-． （2）由（1）知，1π11()sin(2)2644f x x =++<1π11cos(2)2344x ⇔-+<，即πcos(2)03x -<于是ππ3π2π22π232k x k +<-<+5π11π(π,π),1212x k k k ⇒∈++∈Z ．故使1()4f x <成立的x 的取值集合为5π11π,1212x kx x kx k ⎧⎫+<<+∈⎨⎬⎩⎭Z ． 17．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=，AB AC ==13AA = ，D 是BC 的中点，点E 在棱1BB 上运动．⑴证明：1AD C E ⊥；⑵当异面直线AC ，1C E 所成的角为60时，求三棱柱111C A B E -的体积．【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系，线线、线面、面面垂直与平行 第17题图 的性质与判定，异面直线所成角，三棱柱的体积．【考查方式】根据线面垂直推导到线线垂直，求出三棱柱111E A B C -的高1EB 再求体积． 【试题解析】⑴AB AC = ，D 是BC 的中点，AD BC ∴⊥．(步骤1) ① 又在直三棱柱111ABC A B C -中，1BB ⊥平面ABC ，而AD ⊂平面11BB C C ，∴1AD BB ⊥．（步骤2） ② 由①②，得AD ⊥平面11BB C C ，由E 点在棱1BB 上运动，得1C E ⊂平面11BB C C 1C E AD ∴⊥．（步骤3）⑵11CA C A ∥，1160AC E ∴∠=⇒在11Rt AC E △中，1A E =，（步骤4） ⇒在11Rt A B E △中，12EB =．（步骤5） 111ABC A B C - 是直棱柱，1EB ∴是三棱柱111E A B C -的高．（步骤6） 11111111111212333C A B E E A B C A B C V V S EB --==⨯⨯=⨯⨯=△．所以三棱柱111C A B E -的体积是23．（步骤7）18．（本小题满分12分）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量Y (单位：kg)与它的“相近”作物株数X 之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米． ⑴完成下表，并求所种作物的平均年收获量；⑵在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量至少为48 kg 的概率．【测量目标】频数分布表及平均数、简单随机事件的概率．【考查方式】考查识图能力及数据处理能力及分类讨论思想，结合图形解决概率与统计的相关知识，根据图形找出Y 对应的频数．【试题解析】(1) 由图知，三角形中共有15个格点，与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4，0)，(0，4)．与周围格点的距离不超过１米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0，0)， (1，3)， (2，2)，(3，1)． 与周围格点的距离不超过１米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1，0)， (2，0)， (3，0)，(0，1，) ，(0，2)，(0，3)．与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1)， (1，2)， (2，1)． 如下表所示：平均年收获量5124844564234615u ⨯+⨯+⨯+⨯==．(2)在15株中，年收获量至少为48kg 的作物共有246+=个． 所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48kg 的概率60.415p ==． 19．（本小题满分13分）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知01≠a ，112n n a a S S -=∙，*n ∈N ．⑴求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； ⑵求数列{}n na 的前n 项和．【测量目标】等比数列的公式、性质及数列的前n 项和的公式、性质．【考查方式】利用递推公式1n n n a S S -=-(2)n …消去n S 得到关于n a 的通项公式，并用错位相减法求{}n na 的前n 项和．【试题解析】⑴ 11S a = ∴令1n =，得21112a a a -=.1,011=≠⇒a a (步骤1)令2n =，得2221a S -=21a =+22a ⇒=．（步骤2） 当2n …时，由21nn a S -=，1121n n a S ---=两式相减，得122n n n a a a --=，即12n n a a -=．（步骤3） 于是{}n a 是首项为1，公比为2的等比数列．（步骤4） 因此，12,n na n -*=∈N ，∴数列{}n a 的通项公式为12n n a -=．（步骤5） ⑵由⑴知，12n n na n -=⋅．记数列{}12n n -⋅的前n 项和为n T ，于是21122322n nT n -=+⨯+⨯++⨯ ①2321222322n n T n ⇒=⨯+⨯+⨯++⨯ ② （步骤6）①－②，得21122...22n n nT n --=++++-⋅212n n n =--⋅(1)21,n n T n n *⇒=-⋅+∈N ．（步骤7） 20．（本小题满分13分）已知1F ，2F 分别是椭圆E ：2215x y +=的左、右焦点1F ，2F 关于直线02=-+y x 的对称点是圆C 的一条直径的两个端点．⑴求圆C 的方程；⑵设过点2F 的直线l 被椭圆E 和圆C 所截得的弦长分别为a ，b ．当ab 最大时，求直线l 的方程．【测量目标】点关于直线对称点的求法，圆的方程，直线与椭圆的位置关系，直线的方程以及利用函数求最值问题．【考查方式】考查了对称思想在求解实际问题中的应用，求出圆C 的方程．由勾股定理求出弦长b ，根据焦半径的公式求出弦长a ，构造函数判断单调性，求出ab 最大值，求出l 的方程．【试题解析】⑴先求圆C 关于直线20x y +-=对称的圆D ，由题意知，圆D 的直径为12F F ，所以圆D 的圆心是(0,0)D，半径2r c ==，（步骤1） 圆心0,0D （）与圆心C 关于直线02=-+y x 对称(2,2)C ⇒． ⇒圆的方程是22(2)(2)4x y -+-=（步骤2）⑵由⑴知2(2,0)F ，根据题可设直线l 方程为:2,x my m =+∈R ． 这时直线l 可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意．圆C :4)2()2(22=-+-y x 到直线l的距离d =．（步骤3）⇒在圆中，由勾股定理，得22222444(4)11m b m m =-=++．（步骤4） 直线与椭圆相较于点1122(,),(,)E x y F x y ，联立直线与椭圆方程，得22(5410m y my ++-=）12x x ⇒+12()4m y y =++2445m mm -=++2205m =+，由椭圆的焦半径公式得：12)a x x =+=2215m m +=+2215m ab m +∴=+25m =+（步骤5）令()0f x x =…()y f x ⇒=在[0,3]上单调增，在[3,)+∞单调减，（步骤6） 令()(3)f x f …⇒当23m =时，取ab最大值，这时直线方程为2x =+，所以当取ab最大值，直线方程为2x =+．（步骤7） 21．（本小题满分13分）已知函数21()e 1xx f x x-=+．⑴求()f x 的单调区间；⑵证明：当时1212()()()f x f x x x =≠时，120x x +<．【测量目标】导数的运算，导数研究函数的单调性，导数在不等式证明问题中的应用．【考查方式】考查导数的运算、利用导数求函数单调区间的方法、构造函数判断函数大小的方法．【试题解析】⑴ 函数的定义域,-∞+∞（）， 2211()e e 11x x x x f x x x '--⎛⎫'=+ ⎪++⎝⎭222(11)e 1)(1)e 21)x x x x x x x -+-⋅+--⋅=+（（22232e 1)x x x x x --+=⋅+（（步骤1） 22420∆=-⨯< ，∴当(,0)x ∈-∞时，()0,()f x y f x '>=单调递增，当时(0,)x ∈+∞，()0,()f x y f x '=…单调递减．∴()y f x =在(,0)-∞上单调递增，在(0)x ∈+∞，上单调递减．（步骤2） ⑵当1x <时，由于2101x x ->+，e 0x >，故()0f x >；同理，当1x >时，()0f x <．（步骤3） 当1212()()()f x f x x x =≠时，不妨设12x x <，由⑴知，1(,0)x ∈-∞，2(0,1)x ∈．（步骤4） 下面证明：(0,1)x ∀∈，()()f x f x <-，即证2211e e 11x x x x x x --+<++⇔1(1)e 0e x x x x ---<．（步骤5） 令1()(1)e ex x x g x x +=--，则2()e (e 1)x x g x x -'=--．（步骤6） 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，从而()(0)0g x g <=，即1(1)e 0e x xx x +--<． (0,1)x ∴∀∈，()()f x f x <-．（步骤7）而2(0,1)x ∈，22()()f x f x ∴<-，从而12()()f x f x <-．（步骤8） 由于1x ，2(,0)x -∈-∞，()f x 在(,0)-∞上单调递增，所以12x x <-，即120x x +<．（步骤9）。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．．．．．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）．．．6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为）．．．．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不．．．AB=AC=4，点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）．．三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为_________．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_________．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为_________．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为_________．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_________．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为_________．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=_________；（2）S1+S2+…+S100=_________．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f （x）的零点的取值集合为_________．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M 到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)理科数学(参考答案)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】 B【解析】 z = i ·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B 选B2.【答案】 D【解析】 因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷） 数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A ．抽签法B ．随机数法C ．系统抽样法D ．分层抽样法 3.在锐角中，角所对的边长分别为.若A ．B ．C ．D ． 4.若变量满足约束条件，A ．B ．C ．D ．5.函数的图像与函数的图像的交点个数为A ．3B ．2C ．1D ．06. 已知是单位向量，.若向量满足A ．B ．C ．D ． 7．已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A ． BC ．D ．()()1z ii i =+g 为虚数单位ABC ∆,A B ,a b 2sin ,a B A =则角等于12π6π4π3π,x y 211y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩2x y +则的最大值是5-205352()2ln f x x =()245g x x x =-+,a b 0a b •=c 1,c a b c --=则的取值范围是⎤⎦⎤⎦1⎡⎤⎣⎦1⎡⎤⎣⎦1228.在等腰三角形中，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点（如图）.若光线经过的中心，则等于A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，每小题5分，共35分.（一）选做题（请考生在第9、10、11三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直角坐标系中，若直线右顶点，则常数 .10.已知 .11.如图2，在半径为的中,弦.（一） 必做题（12-16题） 12.若 .13.执行如图3所示的程序框图，如果输入.14．设是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若且的最小内角为，则C 的离心率为___。

2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷及答案D（第3题图）俯视图侧视图正视图2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，满分40分.1．已知集合{0,1,2}M =，{}N x =，若{0,1,2,3}M N =，则x 的值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0 2．设1,(1)()2,(1)x f x xx ⎧≥⎪=⎨⎪<⎩，则(1)f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．-1 3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是（ ）.A.圆柱B. 三棱柱C.球D.四棱柱 4．函数2cos ,y x x R =∈的最小值是（ ）A ．-3B ．-1C ．1D ．35．已知向量(1,2),(,4)x ==a b ，若a ∥b ，则实数x 的值为（ ）A ．8B ．2C ．-2D ．-8开输0?x > 21y x =- 输y x=结是否 （第14度，工程技术人员已测得隧道两端的两点,A B 到点C的距离1AC BC ==km ，且0120ACB ∠=，则,A B 两点间的距离为（ ）A 3B 2kmC ．1.5kmD ．2km二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分． 11．计算：22log 1log4+=.．12．已知1,,9x 成等比数列，则实数x =．13．经过点(0,3)A ，且与直线2y x =-+垂直的直线方程是 ． 14．某程序框图如图所示，若输入的x 的值为2，则输出的y 值为 .15．已知向量a 与b 的夹角为4π，2a =，且4a b =，则b = .三、解答题：本大题共5小题，满分40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分6分）已知1cos ,(0,)22παα=∈ （1）求tan α的值； （2）求sin()6πα+的值.17．（本小题满分8分）某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如下图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.(1) 试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；(2) 已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用不少于8元？频率组距a0.10（第17题图）18．（本小题满分8分）如图，在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC BD ⊥，3BC =，4BD =，直线AD 与平面BCD 所成的角为045，点,E F分别是,AC AD 的中点.（1）求证：EF ∥平面BCD ； （2）求三棱锥A BCD -的体积.FEDBA（第18题图）19．（本小题满分8分） 已知数列{}na 满足：313a=-，14nn aa -=+(1,)n n N >∈.（1）求12,a a 及通项na ；（2）设nS 是数列{}na 的前n 项和n S ，则数列1S ，2S ，3S ，…中哪一项最小？并求出这个最小值.20．（本小题满分10分） 已知函数()22xx f x λ-=+⋅()R λ∈（1）当1λ=-时，求函数()f x 的零点；（2）若函数()f x为偶函数，求实数λ的值;（3）若不等式12≤()f x≤4在[0,1]x∈上恒成立，求实数λ的取值范围.2013年湖南省普通高中学业水平考试数学试卷一、 选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案A B C A B D C D C A二、填空题 11、 2 ； 12、 ±3 ； 13、30x y -+=；14、2； 15、 4三、解答题： 16、（1）(0,),cos 02παα∈∴>，从而23cos 1sin αα=-=（2）231sin 2cos22sin cos 12sin ααααα++=+-=17、（1）高一有：20012001202000⨯=（人）；高二有20012080-=（人）（2）频率为0.015100.03100.025100.005100.75⨯+⨯+⨯+⨯=∴人数为0.7520001500⨯=（人）18、（1）2(0)62()26(1)156f b a f x x x f a b b ===-⎧⎧⇒⇒=-+⎨⎨=++==⎩⎩（2）22()26(1)5,[2,2]f x x x x x =-+=-+∈-1x ∴=时，()f x 的最小值为5，2x =-时，()f x 的最大值为14. 19、(1)11232,2,4,8n n a a a a a -==∴==*12(2,)nn a n n N a -=≥∈，{}na ∴为首项为2，公比为2的等比数列，1222n nna -∴=⋅= (2)22log log2n n nb a n ===，(1)1232nn n Sn +∴=++++=20、（1）22:(1)(2)5C x y k++-=-，(1,2)C ∴-（2）由505k k ->⇒<（3）由22224051680(1)(2)5x y y y k x y k-+=⎧⇒-++=⎨++-=-⎩设1122(,),(,),M x y N x y 则1212168,55k y yy y ++==，2241620(8)05k k ∆=-+>⇒<112212*********24,24,(24)(24)4[2()4]5k x y x y x x y y y y y y -=-=-∴=--=-++=1212,0,OM ON x x y y ⊥∴+=即41688240()5555k k k k -++=⇒=<满足。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学本试卷共22题，共150分。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（原创）已知集合{}2|20A x x x =−−<，集合{}|0B x x =≥，则AB =（ ）A ．()1,2−B ．[)0,2C ．()0,2D ．[]1,2− 2．（原创）复数i i−12的虚部为（ ） A ．iB ．i −C ．1D ．1−3．（原创）已知命题p ：函数()f x 在0x x =处有极值，命题q ：可导函数()f x 在0x x =处导数为0，则p 是q 的（ ）条件。

A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要 4.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能．．．是5.设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确．．．的是 A.y 与x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg6. 已知双曲线C ：22x a -22y b=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C 的方程为A ．220x -25y =1 B.25x -220y =1 C.280x -220y =1 D.220x -280y =17 . 设 a ＞b ＞1，0c < ，给出下列三个结论： ①c a ＞c b；② c a ＜cb ； ③ log ()log ()b a ac b c −>−， 其中所有的正确结论的序号是__.A ．① B.① ② C.② ③ D.① ②③8 . 在△ABC 中，，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于A．2B.2C.2D.49. 设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'−>，则函数y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为A .2B .4 C.5 D. 8二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. （一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.在极坐标系中，曲线1C：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______. 11.某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______. (二)必做题（12~16题）12.不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.13.图2是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为_________.08910352图(注：方差2222121()()()n s x x x x x x n ⎡⎤=−+−++−⎣⎦，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)14.如果执行如图3所示的程序框图，输入 4.5x =,则输出的数i = .15.如图4，在平行四边形ABCD 中 ，AP ⊥BD ，垂足为P ，3AP =且AP AC = . 16.对于N n *∈，将n 表示为1101102222kk k k n a a a a −−=⨯+⨯++⨯+⨯,当i k =时1i a =，当01i k ≤≤−时i a 为0或1，定义n b 如下：在n 的上述表示中，当01,a a ，a 2，…，a k 中等于1的个数为奇数时，b n =1；否则b n =0. （1）b 2+b 4+b 6+b 8=__；（2）记c m 为数列{b n }中第m 个为0的项与第m +1个为0的项之间的项数，则c m 的最大值是___. 三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，（Ⅰ）确定x ，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； （Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率.（将频率视为概率）18.（本小题满分12分）已知函数()sin()(,0,02f x A x x R πωϕωω=+∈><<的部分图像如图5所示.（Ⅰ）求函数f （x ）的解析式； （Ⅱ）求函数()()()1212g x f x f x ππ=−−+的单调递增区间.19.（本小题满分12分）如图6，在四棱锥P-ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD. （Ⅰ）证明：BD ⊥PC ；（Ⅱ）若AD=4，BC=2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P-ABCD 的体积.20.（本小题满分13分）某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元，将其投入生产，到当年年底资金增长了50％.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底上缴资金d 万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元. （Ⅰ）用d 表示a 1，a 2，并写出1n a +与a n 的关系式；（Ⅱ）若公司希望经过m （m ≥3）年使企业的剩余资金为4000万元，试确定企业每年上缴资金d 的值（用m 表示）.21.（本小题满分13分）在直角坐标系xOy 中，已知中心在原点，离心率为12的椭圆E 的一个焦点为圆C ：x 2+y 2-4x+2=0的圆心. （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设P 是椭圆E 上一点，过P 作两条斜率之积为12的直线l 1，l 2.当直线l 1，l 2都与圆C 相切时，求P 的坐标.22.（本小题满分13分）已知函数f(x)=e x -ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立，求a 的取值集合；（2)在函数f(x)的图像上去定点A （x 1, f(x 1)）,B(x 2, f(x 2))(x 1<x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈（x 1,x 2）,使0()f x k '=恒成立.2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科数学(参考答案)二、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 4.【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ，都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.【点评】本题主要考查空间几何体的三视图，考查空间想象能力.是近年来热点题型. 5. 【答案】D【解析】由回归方程为y =0.85x-85.71知y 随x 的增大而增大，所以y 与x 具有正的线性相关关系，由最小二乘法建立的回归方程得过程知ˆ()y bx a bx y bx a y bx =+=+−=−，所以回归直线过样本点的中心（x ，y ），利用回归方程可以预测估计总体，所以D 不正确.【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念，并且是找不正确的答案，易错. 6.【答案】A【解析】设双曲线C ：22x a -22y b=1的半焦距为c ，则210,5c c ==.又C 的渐近线为by x a=±，点P （2,1）在C 的渐近线上，12b a ∴=，即2a b =.又222c a b =+，25,5a b ∴==，∴C 的方程为220x -25y =1.【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识，考查了数形结合的思想和基本运算能力，是近年来常考题型. 7 . 【答案】D【解析】由不等式及a ＞b ＞1知11a b <，又0c <，所以c a ＞cb，①正确;由指数函数的图像与性质知②正确；由a ＞b ＞1，0c <知11a c b c c −>−>−>，由对数函数的图像与性质知③正确.【点评】本题考查函数概念与基本初等函数Ⅰ中的指数函数的图像与性质、对数函数的图像与性质，不等关系，考查了数形结合的思想.函数概念与基本初等函数Ⅰ是常考知识点. 8 .【答案】B【解析】设AB c =，在△ABC 中，由余弦定理知2222cos AC AB BC AB BC B =+−⋅⋅，即27422cos60c c =+−⨯⨯⨯，2230,(-3)(1)c c c c −−=+即=0.又0, 3.c c >∴= 设BC 边上的高等于h ，由三角形面积公式11sin 22ABCSAB BC B BC h ==，知 1132sin 60222h ⨯⨯⨯=⨯⨯，解得2h =. 【点评】本题考查余弦定理、三角形面积公式，考查方程思想、运算能力，是历年常考内容. 9. 【答案】Ｂ【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠2π时 ，()()02x f x π'−>，知0,()0,()2x f x f x π⎡⎫'∈<⎪⎢⎣⎭时,为减函数；()0,()2x f x f x ππ⎛⎤'∈> ⎥⎝⎦，时,为增函数又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.二、填空题，本大题共7小题，考生作答6小题.每小题5分共30分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.（一）选做题，（请考生在第10，,1两题中任选一题作答，如果全做 ，则按前一题记分） 10.【答案】2【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.11.xyo2π2π−11−sin y x=()y f x =【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力. (二)必做题（12~16题） 12.【答案】{}23x x ≤≤【解析】由x 2-5x+6≤0，得(3)(2)0x x −−≤，从而的不等式x 2-5x+6≤0的解集为{}23x x ≤≤. 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 13【答案】6.8 【解析】1(89101315)115x =++++=， 2222221(811)(911)(1011)(1311)(1511)5s ⎡⎤=−+−+−+−+−⎣⎦ 6.8=. 【点评】本题考查统计中的茎叶图方差等基础知识，考查分析问题、解决问题的能力. 14.【答案】4【解析】算法的功能是赋值，通过四次赋值得0.5x =，输出4i =.【点评】本题考查算法流程图，考查分析问题解决问题的能力，平时学习时注意对分析问题能力的培养. 15.【答案】18 【解析】设ACBD O =，则2()AC AB BO =+，AP AC = 2()AP AB BO +=22AP AB AP BO +222()2AP AB AP AP PB AP ==+=18=.【点评】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法. 16.【答案】（1）3；（2）2. 【解析】（1）观察知000112,1,1a a b =⨯==；1010221202,1,0,1a a b =⨯+⨯===； 一次类推1331212,0b =⨯+⨯=；21044120202,1b =⨯+⨯+⨯=；21055120212,0b =⨯+⨯+⨯=；2106121202=⨯+⨯+⨯，60b =，781,1b b ==，b 2+b 4+b 6+b 8=３；（2）由（1）知c m 的最大值为２.【点评】本题考查在新环境下的创新意识，考查运算能力，考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯，才可顺利解决此类问题.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【解析】（Ⅰ）由已知得251055,35,15,20y x y x y ++=+=∴==，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为:115 1.530225 2.5203101.9100⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(分钟).（Ⅱ）记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”，123,,A A A 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率，得123153303251(),(),()10020100101004P A P A P A ======. 123123,,,A A A A A A A =且是互斥事件， 123123()()()()()P A P A A A P A P A P A ∴==++33172010410=++=. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为710.【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％，知251010055%,35,y x y ++=⨯+=从而解得,x y ，再用样本估计总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，从而求得 一位顾客一次购物的结算时间不超过．．．2分钟的概率. 18.【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期11522(),21212T Tππππω=−=∴==. 因为点5(,0)12π在函数图像上，所以55sin(2)0,sin()0126A ππϕϕ⨯+=+=即. 又55450,,=26636πππππϕϕϕπ<<∴<+<+从而，即=6πϕ.又点0,1（）在函数图像上，所以sin 1,26A A π==，故函数f （x ）的解析式为()2sin(2).6f x x π=+（Ⅱ）()2sin 22sin 2126126g x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫=−+−++ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2sin 22sin(2)3x x π=−+12sin 22(sin 2cos 2)22x x x =−+sin 22x x =2sin(2),3x π=− 由222,232k x k πππππ−≤−≤+得5,.1212k x k k z ππππ−≤≤+∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ⎡⎤−+∈⎢⎥⎣⎦【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期1152(),1212T πππ=−=从而求得22Tπω==.再利用特殊点在图像上求出,A ϕ，从而求出f （x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ωϕ=+的单调性求得. 19.【解析】（Ⅰ）因为,,.PA ABCD BD ABCD PA BD ⊥⊂⊥平面平面所以 又,,AC BD PA AC ⊥是平面PAC 内的两条相较直线，所以BD ⊥平面PAC ， 而PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥.（Ⅱ）设AC 和BD 相交于点O ，连接PO ，由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ， 所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，从而DPO ∠30=. 由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC ，知BD PO ⊥. 在Rt POD 中，由DPO ∠30=，得PD=2OD. 因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC BD ⊥，所以,AOD BOC 均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为111(42)3,222AD BC +=⨯+=于是梯形ABCD 面积 1(42)39.2S =⨯+⨯=在等腰三角形ＡＯＤ中，,2OD AD ==所以2 4.PD OD PA ====故四棱锥P ABCD −的体积为11941233V S PA =⨯⨯=⨯⨯=.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD ⊥平面PAC即可，第二问由（Ⅰ）知，BD ⊥平面PAC ，所以DPO ∠是直线PD 和平面PAC 所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由13V S PA =⨯⨯算得体积. 20.【解析】（Ⅰ）由题意得12000(150%)3000a d d =+−=−，2113(150%)2a a d a d =+−=−，13(150%)2n n n a a d a d +=+−=−.（Ⅱ）由（Ⅰ）得132n n a a d −=−2233()22n a d d −=−− 233()22n a d d −=−−=12213333()1()()2222n n a d −−⎡⎤=−++++⎢⎥⎣⎦. 整理得 1133()(3000)2()122n n n a d d −−⎡⎤=−−−⎢⎥⎣⎦13()(30003)22n d d −=−+. 由题意，134000,()(30003)24000,2n n a d d −=∴−+=解得13()210001000(32)2332()12n n n n nn d +⎡⎤−⨯⎢⎥−⎣⎦==−−. 故该企业每年上缴资金d 的值为缴11000(32)32n n n n+−−时，经过(3)m m ≥年企业的剩余资金为４０００元. 【点评】本题考查递推数列问题在实际问题中的应用，考查运算能力和使用数列知识分析解决实际问题的能力.第一问建立数学模型，得出1n a +与a n 的关系式132n n a a d +=−，第二问，只要把第一问中的132n n a a d +=−迭代，即可以解决. 21.【解析】（Ⅰ）由22420x y x +−+=，得22(2)2x y −+=.故圆Ｃ的圆心为点(2,0),从而可设椭圆Ｅ的方程为22221(0),x y a b a b+=>>其焦距为2c ，由题设知22212,,24,12.2c c e a c b a c a ===∴===−=故椭圆Ｅ的方程为： 221.1612x y += （Ⅱ）设点p 的坐标为00(,)x y ，12,l l 的斜分率分别为12,.k k 则12,l l 的方程分别为10102020:(),:(),l y y k x x l y y k x x −=−−=−且121.2k k =由1l 与圆22:(2)2c x y −+=相切，得=即 222010020(2)22(2)20.x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦同理可得 222020020(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦.从而12,k k 是方程0220000(2)22(2)20x k x y k y ⎡⎤−−+−+−=⎣⎦的两个实根，于是 202200(2)20,8(2)20,x x y ⎧−−≠⎪⎨⎡⎤∆=−+−>⎪⎣⎦⎩① 且2012222 2.(2)2y k k x −==−− 由220020201,161221(2)22x y y x ⎧+=⎪⎪⎨−⎪=⎪−−⎩得20058360.x x −−=解得02,x =或010.5x = 由02x =−得03;y =±由0185x =得0,5y =±它们满足①式，故点Ｐ的坐标为 (2,3)−，或(2,3)−−，或18(55，或18(,55−.【点评】本题考查曲线与方程、直线与曲线的位置关系，考查运算能力，考查数形结合思想、函数与方程思想等数学思想方法.第一问根据条件设出椭圆方程，求出,,c a b 即得椭圆E 的方程，第二问设出点P 坐标，利用过P 点的两条直线斜率之积为12，得出关于点P 坐标的一个方程，利用点P 在椭圆上得出另一方程，联立两个方程得点P 坐标.22.【解析】解：(),x f x e a '=−令()0ln f x x a '==得.当ln x a <时()0,()f x f x '<单调递减；当ln x a >时()0,()f x f x '>单调递增，故当ln x a =时，()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立，当且仅当ln 1a a a −≥. ①令()ln ,g t t t t =−则()ln .g t t '=−当01t <<时，()0,()g t g t '>单调递增；当1t >时，()0,()g t g t '<单调递减.故当1t =时，()g t 取最大值(1)1g =.因此，当且仅当1a =时，①式成立.综上所述，a 的取值集合为{}1. （Ⅱ）由题意知，21212121()().x x f x f x e e k a x x x x −−==−−− 令2121()(),x x xe e xf x k e x x ϕ−'=−=−−则 12112121()()1,x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−−⎣⎦− 21221221()()1.x x x e x e x x x x ϕ−⎡⎤=−−−⎣⎦− 令()1t F t e t =−−，则()1t F t e '=−.当0t <时，()0,()F t F t '<单调递减；当0t >时，()0,()F t F t '>单调递增.故当0t =，()(0)0,F t F >=即10.t e t −−>从而2121()10x x e x x −−−−>，1212()10,x x e x x −−−−>又1210,x e x x >−2210,x e x x >− 所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线，所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=即0()f x k '=成立.【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等，考查运算能力，考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值(ln )ln .f a a a a =−对一切x ∈R ，f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥从而得出求a 的取值集合；第二问在假设存在的情况下进行推理，然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题，通过构造函数，研究这个函数的性质进行分析判断.。

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．2．（5分）（2013•湖南）某校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方3．（5分）（2013•湖南）在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b．若2asinB=b，则角A等于（）A B．C．D．4．（5分）（2013•湖南）若变量x，y满足约束条件，则x+2y的最大值是（）A B．0 C D．5．（5分）（2013•湖南）函数f（x）=2lnx的图象与函数g（x）=x2﹣4x+5的图象的交点个数为6．（5分）（2013•湖南）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（）B ．C．D．7．（5分）（2013•湖南）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能是（）C ．D ．8．（5分）（2013•湖南）在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，点P是边AB边上异于AB的一点，光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P（如图1），若光线QR经过△ABC的重心，则AP等于（）D．二、填空题：本大题共8小题，考生作答7小题，第小题5分，共35分．（一）选做题（请考生在第9，10，11三题中任选两题作答、如果全做，则按前两题记分）（二）必做题（12～16题）9．（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为_________．10．（5分）（2013•湖南）已知a，b，c∈R，a+2b+3c=6，则a2+4b2+9c2的最小值为_________．11．（5分）（2013•湖南）如图，在半径为的⊙O中，弦AB，CD相交于点P，PA=PB=2，PD=1，则圆心O到弦CD的距离为_________．12．（5分）（2013•湖南）若，则常数T的值为_________．13．（5分）（2013•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为_________．14．（5分）（2013•湖南）设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点，P是C 上一点，若|PF1|+|PF2|=6a，且△PF1F2=30°的最小内角为30°，则C的离心率为_________．15．（5分）（2013•湖南）设S n为数列{a n}的前n项和，，n∈N*，则（1）a3=_________；（2）S1+S2+…+S100=_________．16．（5分）（2013•湖南）设函数f（x）=a x+b x﹣c x，其中c＞a＞0，c＞b＞0．（1）记集合M={（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a=b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为_________．（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_________．（写出所有正确结论的序号）①∀x∈（﹣∞，1），f（x）＞0；②∃x∈R，使a x，b x，c x不能构成一个三角形的三条边长；③若△ABC为钝角三角形，则∃x∈（1，2），使f（x）=0．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2013•湖南）已知函数，．（I）若α是第一象限角，且，求g（α）的值；（II）求使f（x）≥g（x）成立的x的取值集合．18．（12分）（2013•湖南）某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形顶点）处都种了一株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示：这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米．（I）从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）在所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望．19．（12分）（2013•湖南）如图，在直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AD∥BC，∠BAD=90°，AC⊥BD，BC=1，AD=AA1=3．（I）证明：AC⊥B1D；（II）求直线B1C1与平面ACD1所成的角的正弦值．20．（13分）（2013•湖南）在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径称为M到N的一条“L路径”．如图所示的路径MM1M2M3N与路径MN1N都是M到N的“L路径”．某地有三个新建居民区，分别位于平面xOy内三点A（3，20），B（﹣10，0），C（14，0）处．现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心．（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度之和最小．21．（13分）（2013•湖南）过抛物线E：x2=2py（p＞0）的焦点F作斜率率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1+k2=2．l1与E交于点A，B，l2与E交于C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在直线记为l．（I）若k1＞0，k2＞0，证明：；（II）若点M到直线l的距离的最小值为，求抛物线E的方程．22．（13分）（2013•湖南）已知a＞0，函数．（I）记f（x）在区间[0，4]上的最大值为g（a），求g（a）的表达式；（II）是否存在a使函数y=f（x）在区间（0，4）内的图象上存在两点，在该两点处的切线互相垂直？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数在复平面上对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】 B【解析】 z = i·(1+i) = i – 1,所以对应点(-1,1).选B选B2.某学校有男、女学生各500名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A．抽签法 B．随机数法 C．系统抽样法 D．分层抽样法【答案】 D【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。