清华大学信号与系统课件第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析
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青岛大学信号与系统第八章离散时间系统的z域分析
则
Z [an x(n)] X ( z ) a
z , Rx1 a Rx2
特别地 Z [(1)n x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
例：Z
[cos(0n)u(n)]
z(z cos0 ) z2 2z cos0 1
, z 1
Z
[ n cos(0n)u(n)]
z
(z
cos0 )
2
2
nu(n)
z
d dz
z
z 1
(z
z 1)2
n2u(n)
z
d dz
(z
z 1)2
z(z 1) (z 1)3
X (z) 1 [ z z(z 1)] z2 2 (z 1)2 (z 1)3 (z 1)3
, z 1
（四）序列指数加权（ z 域尺度变换）
若 Z [x(n)] X (z) , Rx1 z Rx2
X (z) Z [x(nT )] x(nT )zn n
2T 0 T 3T
t
L [xs (t)] z esT Z [x(nT )]
z
esT
r eT
T 2
s
z re j s j
T—— 抽样间隔，
s
2
T
——
抽样角频率
z平面和 s平面的映射关系：
1. s平面原点 ( 0, 0) j
x(1) (n)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1)
x(0) (n 1)
0
n
x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(1) (n) x(n 1)u(n) x(n 1)u(n 1) x(0) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(2) (n) x(1) (n 1) x(n 2)u(n) x(n 2)u(n 2) x(0) (n 2) x(1) (n 1)
第八章-Z变换与离散系统z域分析
第八章：Z 变换§8.1 定义、收敛域（《信号与系统》第二版（郑君里）8.1，8.2，8.3）定义（Z 变换）： ♦序列()x n 的双边Z 变换：()(){}()nn X z x n x n z+∞-=-∞∑Z（8-1）♦序列()x n 的单边Z 变换：()(){}()0n n X z x n x n z +∞-=∑Z（8-2）注：1）双边：()()()()10nnn n n n X z x n zx n zx n z +∞-∞+∞---=-∞=-===+∑∑∑（8-3）为Laurent 级数，其中，()1nn x n z-∞-=-∑是Laurent 级数的正则部，()0nn x n z+∞-=∑是主部。
2）z 是复平面上的一点图8-13）对因果序列：单边Z 变换=双边Z 变换。
♦定义（逆Z 变换）：对双边Z 变换()()nn X z x n z+∞-=-∞=∑()1C1d 2j m z X z z π-⎰(1C 12j m n z x π+∞-=-∞⎡=⎢⎣∑⎰ ()C 12j m n x n z π+∞=-∞⎡=⎢⎣∑⎰由Cauchy 定理，有1C d 0,2j m n z z m nπ--=⎨≠⎩⎰ （8-4）其中，C 为包围原点的闭曲线，()()1C1d 2j m x m z X z z π-∴=⎰上式= 定义：()()(){}11C1d 2j n x n z X z z X z π--==⎰Z（8-5）注：（8-4）的求解：j z re θ=，j d j d z r e θθ=，则有()()21110C 2011d 2j 2j 1102j m n m n m n j j m n m n z z r e rje d m n r e d m nπθθπθθππθπ--------==⎧==⎨≠⎩⎰⎰⎰，，图8-2 柯西定理证明示意图收敛域： ♦定义（收敛域）：对有界()x n ，使()()nn X z x n z+∞-=-∞=<∞∑一致的z 的集合。
信号与系统_第八章 z变换、离散时间系统的z域分析
Re(z)
C是包围X(z)zn-1所有极点之逆时针闭合积分路线，通常选 择z平面收敛域内以原点为中心的圆。
➢ 求X(z)的反z变换的三种方法 ✓留数法 ✓幂级数展开和长除法 ✓部分分式展开法
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（1）
✓ 步骤 （1）将X(z)除以z，得到X(z)/z=X1(z)； （2）将X1(z)按其极点展成部分分式（其方法与拉氏变换 的部分分式展开完全一致）；
3.x(n)为左边序列
x(n)是无始有终的序列，即当n n2 时, x(n)=0 。
X (z)
n2
x(n)
z
n
x(n)z n
jIm(z)
n
n n2
✓若n20，0z RX2
0
RX2 Re(z)
✓若n20，0z RX2
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8.2 z变换的收敛域
4.x(n)为双边序列
x(n)是从n =延伸到n = 的序列 。
（3）X(z)=zX1(z)，得到X(z)的部分分式展开式；
（4）对X(z)的每一个部分分式进行反z变换，就得到X(z) 对应的序列x(n)。
［例］求 X (z)
z2
( z 1) 的逆z变换。
(z 1)( z 0.5)
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8.3 逆z变换
二、部分分式展开法求逆z变换（2）
［例］求收敛域分别为z1和 z1 两种情况下, X (z) 1 2z 1
➢X(z)收敛域的确定必须同时依赖于 ✓ 序列的性质（有限长，右边，左边，双边） ✓ 是对x(n)进行单边还是双边z变换 ✓ X(z)的极点
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信号与系统第8章 离散时间系统的z域分析
零状态响应为
Yf
(z)
(1 z 1 z 2 ) 2 3z 1 z 2
1 1 z 1
1/ 6 0.5 5 / 6 1 z1 1 z1 1 0.5z1
yf [k] Z 1{Yf (z)}{1/ 6 0.5(1)k (5/ 6)(0.5)k}u[k]
y[k] yx[k] yf [k] {1/ 6 3.5(1)k (4 / 3)(0.5)k}u[k]
离散时间信号与系统的Z域分析
• 离散时间信号的Z域分析 • 离散时间系统的Z域分析 • 离散时间系统函数与系统特
性
离散时间信号的Z域分析
• 理想取样信号的拉普拉斯变换 • 单边Z变换定义 • 单边Z变换的收敛域 • 常用序列的Z变换 • 单边Z变换的性质 • Z反变换
理想取样信号的拉普拉斯变换
fs (t) f (t) (t kT) f (kT) (t kT)
Re(z)
三、常用序列的Z变换
1) Z{ (k)} 1, z 0
2) 3)
Z{u(k)} 1 1 z
Z{aku(k)}
1 , 1
1 a
z
z
1
1 z
a
4)
Z{e
j0k
u(k
)}
1
e
1
j0
z
1
z z e j0
5)
Z{e-
j0k u (k
)}
1
1 e- j0
z
1
z z e- j0
z e j0 z e j0
解代数方程
二阶系统响应的z域求解
y[k] a1 y[k 1] a2 y[k 2] b0 f [k] b1 f [k 1] k 0
初始状态为y[1], y[2] 对差分方程两边做Z变换，利用
郑君里《信号与系统》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-第8章 z变换、离散时间系统的z域分
（7）
X
z
1 2
n
u
n
u
n
10
z
n
9 n0
1 2
n
z
n
9 n0
1 2z
n
1
1 2z
1 1
10
z 0
2z
X（z）的零、极点分布图如图 8-2-1（g）所示。
（8）
8 / 75
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X
z
n台
1 2
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台
第 8 章 z 变换、离散时间系统的 z 域分析
8.1 复习笔记
从本章开始陆续讨论 Z 变换的定义、性质以及它与拉氏变换、傅氏变换的联系。在此 基础上研究离散时间系统的 z 域分析，给出离散系统的系统函数与频率响应的概念。通过 本章，读者应掌握对于离散时间信号与系统的研究，是先介绍 z 变换，然后引出序列的傅 里叶变换以及离散傅里叶变换（第九章）。
4 / 75
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于实轴的直线映射到 z 平面是负实轴；
（3）在 s 平面上沿虚轴移动对应于 z 平面上沿单位圆周期性旋转，每平移 ωs，则沿
单位圆转一圈。
2．z 变换与拉氏变换表达式
Z
x nT X z zesT X s Z
n
u
n
1 3
n
u
n
z
n
n
（3）
X
z
n
1 3
n
u
n
z
n
n0
第八章_离散时间系统的z域分析4_北京交通真题库_大学915916通信系统及原
z0
七阶极点
j Im[z]
z
1 3
一阶极点
Re[z]
z 0
27
§8.4 逆z变换
X (z) ZT[x(n)] x(n)zn n
x(n) ZT 1[ X (z)] 1 X (z)zn1dz
2 j C
C是包围X(z)zn-1所有极点的逆时针闭合积分路线，一
般取z平面收敛域内以原点为中心的圆。
n0
n
an zn 1 bn zn
n0
n0
z a, z b
X (z) z 1 b za zb zz
za zb
25
jIm(z)
a
0
Re(z)
jIm(z)
a
0 b
Re(z)
图8.1序列单边Z变换的收敛域
图8.2序列双边Z变换的收敛域
当 z a时，X (z) z 当a z b时，X (z) z z
d s j
j
)
!
d
zs
j
(z
zi )s
X (z)
z
zzi
32
或X (z)
A0
M m1
1
Am zm
z
1
s j 1
Cj (1 zi z1) j
A0
M m1
Am z z zm
C1z z zi
C2 z2 (z zi )2
Cs (z
zs zi )s
Cs
1 zi z1
s
X
(
z
)
z
6
§8.2 z变换的定义、典型序列的z变换
➢ 借助于抽样信号的拉氏变换引出。 ➢ 连续因果信号x(t)经均匀冲激抽样，则抽样信号xs(t)
信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析
sin(0n)u(n)
ZT
1
z1 sin 0 2z1 cos0
z
2
z 1
由于z变换的定义式。是一个无限项求和式，这就有和是否存在 的问题。由上面常用信号的z变换的求解可以知道，其z变换能够用 一个封闭的式子表示，是有条件的，这个条件就是在此域内z变换 存在，此域就是z变换的收敛域。而序列z变换的收敛域，与序列的 形态有关。
z za
j Im{z}
j Im{z}
za
a Re{z}
a Re{z}
例如：已知序列 x(n) a n , a 1 ，试求z变换X(z)。
解：
1
X (z) x(n)z n an z n an z n
n
n
n0
其中
1 an z n
n
z z a1
当
z a1
j Im{z}
anzn
z
n0
za
当
所以
z
z
X (z) z a z a1
z a
a z a1
a 1 a Re{z}
例如：已知序列
x(n)
[(1)n
(
1 )
n
]u(n)
23
，试求z变换X(z)。
解：
X (z) x(n)z n ( 1 )n z n (1)n z n
1 1 az1
z za
z a
如果指数序列是n<0时的单边序列，其的z变换为
1
Z anu(n 1) anu(n 1) z n an z n
离散时间系统与z变换ppt课件
( 2 ) 对 左 边 序 列 ( n＜0 存 在 ) ， ｜ z｜＜R+ 收 敛 ， 且 R+ 是 左边序列的极点。
(3) 若X(z)不只一个极点，则找与 收敛域相重的那个极点，对右边序列， 最外极点之外的区域为收敛域；对左 边序列，最内极点之内的区域为收敛 域，如图2-31所示。
(4) 对双边序列，若在左边序列的 收敛域存在重叠部分，则这重叠部分 就是它的收敛域。若不存在重迭部分， 则z变换不存在。
对于一个序列x(n)，其z变换的定义为
X(z) x(n)zn n
其中z为复变量，也可记作Z［x(n)］ =X(z)。式(2-49)的定义也称为双边z 变换； 相应的还有单边z变换。
对于所有的序列或所有的z值，z变换 并不总是收敛的。对于任意给定的序列， 使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：{Z： X(z)存在}＝收敛区域。
(5) argXej argXej ， 即 怕 应 是 奇 函 数 。
(6) XenRe[X(ej)],xe(n)是 偶 序 列 部 分 。
Xo(n)jIm[X(ej)]，xo(n)是 奇 序 列 部 分 。
2.5 离散信号的z变换
1.z变换的定义及其收敛域
2.系统传递函数H(z)的频域表示
描述线性非移变系统的差分方程为
N
M
ajy(nj)bix(ni)
j0
i0
对上式方程两边取z变换为
N
M
ajzjY(z) biziX(z)
j0
i0
M
M
Y X((zz))iN 0a bijzz ij
bizi
i0 N
图2-28连续和离散信号的傅氏变换
(3) 若X(z)不只一个极点，则找与 收敛域相重的那个极点，对右边序列， 最外极点之外的区域为收敛域；对左 边序列，最内极点之内的区域为收敛 域，如图2-31所示。
(4) 对双边序列，若在左边序列的 收敛域存在重叠部分，则这重叠部分 就是它的收敛域。若不存在重迭部分， 则z变换不存在。
对于一个序列x(n)，其z变换的定义为
X(z) x(n)zn n
其中z为复变量，也可记作Z［x(n)］ =X(z)。式(2-49)的定义也称为双边z 变换； 相应的还有单边z变换。
对于所有的序列或所有的z值，z变换 并不总是收敛的。对于任意给定的序列， 使z变换收敛的z值集合称作收敛区域：{Z： X(z)存在}＝收敛区域。
(5) argXej argXej ， 即 怕 应 是 奇 函 数 。
(6) XenRe[X(ej)],xe(n)是 偶 序 列 部 分 。
Xo(n)jIm[X(ej)]，xo(n)是 奇 序 列 部 分 。
2.5 离散信号的z变换
1.z变换的定义及其收敛域
2.系统传递函数H(z)的频域表示
描述线性非移变系统的差分方程为
N
M
ajy(nj)bix(ni)
j0
i0
对上式方程两边取z变换为
N
M
ajzjY(z) biziX(z)
j0
i0
M
M
Y X((zz))iN 0a bijzz ij
bizi
i0 N
图2-28连续和离散信号的傅氏变换
信号与系统第八章_离散时间系统的z域分析2(青大)
z =1
∫
X (e jω )e jnω d ω
1 π x(n) = IDTFT[ X (e )] = X (e jω )e jnωdω 2π ∫−π
X (e jω ) = X (e jω ) e jϕ(ω)
X (e jω ) ——序列 x(n)的幅度频谱 序列
以 2π为周期 的周期函数
ϕ(ω) ——序列 x(n)的相位频谱 序列
⇒ h(n) 等幅，系统临界稳定； 等幅，系统临界稳定；
（3）有极点在单位圆外，或单位圆上有二阶或二阶以上极点 有极点在单位圆外，
⇒ h(n) 增长，系统不稳定。 增长，系统不稳定。
例：判断系统的因果性和稳定性。 系统的因果性和稳定性。
z , z > 0.5 （1） H ( z ) = z − 0.5
例1：求 x(n) = u (n) − u (n − 5) 的DTFT，并画出幅度频谱。 ，并画出幅度频谱。 解：X (e ) = DTFT[x(n)] = ∑e
jω n=0 4 − jnω
− j 5ω
1− e = e− j 2ω = ω 1− e− jω sin( )
5
sin(
5ω ) 2 2
5ω sin( ) jω 2 X (e ) = ω sin( ) 2
ω
1 ( ) 4
xs (t)
T =1
0
x(n)
4
−4
t
1
F [ xs (t )] = DTFT[x(n)]
1 4
⋯
4
−2π
−π − ω c
ωc
π
2π
⋯ω
−4
0
n
（三）DTFT的基本性质 的基本性质
（1）线性 （2）时移 （3）频移
信号与系统第八章 Z变换、离散时间系统的Z域分析1
。
X z zesT X esT X a s
X z x n r n e jn n
• 序列xn的z变换可看成
该序列乘以r n后的傅立叶变换。
1. 在单位园上Z变换演变为离散序列的傅里叶变换（DTFT）
6
三．对z变换式的理解
X(z) x(n)zn x(2)z2 x(1)z1
n
• 某些文献中也称X z为x(n)的生成函数。
8
一．单位样值函数
(n)
1 0
n0 n0
X (z) (n)zn 1
n
(n)
1 n
O
u(n)
二．单位阶跃序列
1 u(n) 0
n0 n0
1 O 123
n
X(z)
1
z 1
z2
z3
1 1 z1
z
z 1
z 1
9
三．斜变序列的z变换
x(n) nu(n)，X (z) nzn ？
• S平面上的复变量s是直角坐标，
• z平面的复变量是极坐标形式,
• S中实部 为零对应于虚轴 j , z平面r=1对应于单位园
当s在 j 轴上取值，拉氏变换变为傅氏变换
• <0对应于s平面左半边， r<1对应于z平面单位园内
• 由s平面到z平面的映射不是单一的。
5
•当z esT时，抽样序列的Z变换就等于其理想抽样信号的拉斯变换
z za
za
当a eb, 设 z eb ,
则
Z
ebn u(n)
z z eb
当a ejωω0nu(n)
z z ejω0
2. 左边序列 xn anu n 1
X z z
za
za
X z zesT X esT X a s
X z x n r n e jn n
• 序列xn的z变换可看成
该序列乘以r n后的傅立叶变换。
1. 在单位园上Z变换演变为离散序列的傅里叶变换（DTFT）
6
三．对z变换式的理解
X(z) x(n)zn x(2)z2 x(1)z1
n
• 某些文献中也称X z为x(n)的生成函数。
8
一．单位样值函数
(n)
1 0
n0 n0
X (z) (n)zn 1
n
(n)
1 n
O
u(n)
二．单位阶跃序列
1 u(n) 0
n0 n0
1 O 123
n
X(z)
1
z 1
z2
z3
1 1 z1
z
z 1
z 1
9
三．斜变序列的z变换
x(n) nu(n)，X (z) nzn ？
• S平面上的复变量s是直角坐标，
• z平面的复变量是极坐标形式,
• S中实部 为零对应于虚轴 j , z平面r=1对应于单位园
当s在 j 轴上取值，拉氏变换变为傅氏变换
• <0对应于s平面左半边， r<1对应于z平面单位园内
• 由s平面到z平面的映射不是单一的。
5
•当z esT时，抽样序列的Z变换就等于其理想抽样信号的拉斯变换
z za
za
当a eb, 设 z eb ,
则
Z
ebn u(n)
z z eb
当a ejωω0nu(n)
z z ejω0
2. 左边序列 xn anu n 1
X z z
za
za
离散信号与系统的 Z 域分析
第 六 章 离散信号与系统的 Z 域分析引言与线性连续系统的频域分析和复频域分析类似，线性离散系统的频域分析是输入信号分解为基本信号e jΩk 之和,则系统的响应为基本信号的响应之和。
这种方法的数学描述是离散时间傅里叶变换和逆变换。
如果把复指数信号e jΩk 扩展为复指数信号Z k ,Z=re jΩ ,并以Zk 为基本信号， 把输入信号分解为基本信号Z k 之和， 则响应为基本信号Z k 的响应之和。
这种方法的数学描述为Z 变换及其逆变换,这种方法称为离散信号与系统的Z 域分析法.如果把离散信号看成连续时间信号的 抽样值序列，则Z 变换可由拉普拉斯变换引入.因此离散信号与系统的Z 域分析 和连续时间信号与系统的复频域分析有许多相似之处.通过Z 变换，离散时间信 号的卷积运算变成代算,离散时间系统的差分方程变成Z 域的代数方程,因此可 以比较方便的分析系统的响应。
Z 变换从拉普拉斯变换到Z 变换对连续信号f(t)进行理想抽样，即f（t）乘以单位冲击序列δT （t），T 为 抽样间隔，得到抽样信号为f s （t）=f（t）δT （t）= =对fs（t）取双边拉普拉斯变换，得F s （s）=￡[fs（t）]=令z=e sT , 则Fs（s）=F(z) ,得F（z）=因为T为常数,所以通常用f(k)表示f(kT),于是变为F(z)=称为f(k)的双边Z变换,z为复变量。
z和s的关系为:z=e sTs=（1/T）㏑z由复变函数理论,可以得到f(k)= ∮cF(z)z k-1 dz式(7.1-5)称为F(z)的双边Z逆变换(后面讨论).双边Z变换的定义和收敛域§双边 Z 变换的定义对于离散序列f(k)(k=0,±1,±2,┄),函数(z的幂级数)F(z)=称为f(k)的双边Z变换,记为F(z)=Z[f(k)].F(z)又称为f(k)的象函数,f(k)又 称为F(z)的原函数.为了表示方便,f(k)与F(z)之间的对应关系可表示为 f(k) F(z)§双边 Z 变换的收敛域f(k)的双边Z变换为一无穷级数,因此存在级数是否收敛的问题.只有当 (7.1-6)式的级数收敛,F(z)才存在.F(z)存在或级数收敛的充分条件是 ∞在f(k)给定的条件下,式(7.1-6)级数是否收敛取决于z的取值.在z复平面上, 使级数收敛的z取值区域称为F(Z)的收敛域。
信号与系统PPT课件(共10章)第8章 离散时间信号与系统的z域分析
X3(z) = z +1+ z1 (z ，z 0)
7
8.1.2 z变换的收敛域
2．右边序列：
x[n] x[n]u[n n1]
x[n],
0,
n n1 z变换 X (z) x[n]zn
n n1
nn1
令 lim n x[n]zn 1 n
则ROC： z
lim n n
x[n]
R
离散序列： x[n] x1(t) tnT x1(nT )
采样信号： xs (t) x1(t) (t nT ) x1(nT ) (t nT )
n
n
2. 离散序列x[n] 的z变换与采样信号xs (t) 的拉氏变换
x[n]ZT X (z) x[n]zn n
xs (t)LT Xs (s)
an zn an1zn1 a1z a0
zn An1zn1 A1z A0
其中，系数 Bi和 Ai（或ai和bi，i = 0，1，…，m，…，n）
都是实数。一般情况下， n m。
单位圆
jImz
X (z) Bm (z z1)(z z2 ) (z zm ) (z p1)(z p2 ) (z pn )
0, n
x[n],
n1, n1
n n
n2 n2
z变换 X (z) n2 x[n]zn
nn1
——双边序列z变换的收敛域至少为：0 < | z | < 。
例1：x1[n] = [n+1] ]+ [n+2]； X1(z) = z + z2 (z ) x2[n] = [n1]+[n2]； X2(z) = z1 + z2 (z 0) x3[n] = [n+1] + [n]+ [n 1] ；
7
8.1.2 z变换的收敛域
2．右边序列：
x[n] x[n]u[n n1]
x[n],
0,
n n1 z变换 X (z) x[n]zn
n n1
nn1
令 lim n x[n]zn 1 n
则ROC： z
lim n n
x[n]
R
离散序列： x[n] x1(t) tnT x1(nT )
采样信号： xs (t) x1(t) (t nT ) x1(nT ) (t nT )
n
n
2. 离散序列x[n] 的z变换与采样信号xs (t) 的拉氏变换
x[n]ZT X (z) x[n]zn n
xs (t)LT Xs (s)
an zn an1zn1 a1z a0
zn An1zn1 A1z A0
其中，系数 Bi和 Ai（或ai和bi，i = 0，1，…，m，…，n）
都是实数。一般情况下， n m。
单位圆
jImz
X (z) Bm (z z1)(z z2 ) (z zm ) (z p1)(z p2 ) (z pn )
0, n
x[n],
n1, n1
n n
n2 n2
z变换 X (z) n2 x[n]zn
nn1
——双边序列z变换的收敛域至少为：0 < | z | < 。
例1：x1[n] = [n+1] ]+ [n+2]； X1(z) = z + z2 (z ) x2[n] = [n1]+[n2]； X2(z) = z1 + z2 (z 0) x3[n] = [n+1] + [n]+ [n 1] ；
第8章 z变换离散时间系统的z变换分析
1 z Z[u( n)] u( n)z z -1 1 z z 1 n 0 n 0
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
-n -n
收敛域 为 z >1
3. 斜变序列
间接求 解方法 已知 两边对(z -1)求导
两边乘(z -1)
∴
同理，两边再求导，得
…
4. 指数序列
x(n) a n u(n)
运用留数定理来进行运算。又称为留数法，即
f (n) Res[F ( z )z n1 ]z pm
m
略！
二、幂级数展开法（长除法）
F ( z ) f (n)z n f (0) f (1)z 1 f ( 2)z -2
n 0
！
一般为变量z的有理分式，可用长除法，
例
s = 2，
例题 解
求x(n) = ?
∴
∴
见P60~61，表8-2、8-3、8-4（逆z变换表） 作业：P103，8-5 （1）（2）
8.5 z变换的基本性质
一、线性 若 x(n) ←→ X(z) y(n) ←→ Y(z)
则
Rx1 < |z| < Rx2 Ry1 < |z| < Ry2
ax(n) + by(n) ←→ aX(z) + bY(z)
F ( z ) f (0) f (1) z 1 f (2) z 2
所以
f (0) 0, f (1) 1, f (2) 0, f (3) 3, f (4) 4,
重点！
三、部分分式展开法
一般Z变换式是有理函数
以下研究因果序列的逆变换，即
X(z) （|z|>R） ← Z → x(n)
对于N阶LTI离散系统的差分方程:
第八章z变换
收 敛 域 的 说 明 ： 单 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 唯 一 对 应 ； 双 边 变 换 中 序 列 与 变 换 式 、 收 敛 域 不 唯 一 对 应 。
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
Z变换的收敛域
级 数 收 敛 的 充 分 条 件 ：
x(n)z-n
n=-
(1)比值判定法：设一个正项级数an , n=- 令其lni m aann+1 则当1时，级数收敛； 当1时，级数发散。
则 X ( z ) Z 1 x (n )=1 X ( z ) zn 1 d z 2j C
其 中 C是 包 围X(z)zn-1所 有 极 点 的 逆 时 针 闭 合 路 线
二、求逆Z变换方法
逆Z变换
1 ) 围 线 积 分 法 ： 借 助 复 变 函 数 的 留 数 定 理
X ( z ) Z 1 x ( n ) =R e s X ( z ) z n 1
二、 典型序列的Z变换
(n)
1 单 位 样 值 序 列 ( n )Z 1
1
2 单 位 阶 跃 序 列 u (n )Z z , z1
z1
0
n
u (n)
1
3 斜 变 序 列 n u (n )Z zz12 , z1 0
n
典型序列的Z变换
4 单 边 指 数 序 列 a n u ( n ) Z z
则 该 级 数 收 敛 .其 中 R x10,R x2< . 可 见 ,
双 边 序 列 的 收 敛 域 是 以 半 径 为 R x 1 和 R x 2 之 间 的 圆 环 部 分 .
作业
P103 8-1，8-2，8-3，8-12
第四节 逆z变换
一、逆Z变换
逆Z变换定义：
第八章1Z变换
第七章主要内容：
1.离散时间信号-序列 2.离散时间系统的数学模型 3.常系数线性差分方程的求解 4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应 5.卷积 6.反卷积
差分方程与微分方程的转换
差分方程与微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
小结
j Im[z]
有限长序列
Re[z ]
1 例：已知 x(n) [u (n) u (n 8)] 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
n
j Im[z]
右边序列
Rx1
Re[z ]
1 例：已知 x(n) u (n) 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
例：RC低通滤波器
dy(t ) Rc y (t ) x (t ) dt y (n 1) y (n ) RC y (n) x(n) T T T y (n 1) (1 ) y (n ) x(n) RC RC
课后习题7-26
差分方程可以解决很多实际中的离散问题 习题7-27：海诺塔问题
y(10) 1023
N-1个移动 N-1个移动
汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个 古老传说的益智玩具（也说起源于越南河內附近一個 不知名小村庄的寺庙）。
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北 部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天 在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 ６４片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣 在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针 上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿 好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭， 而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
1.离散时间信号-序列 2.离散时间系统的数学模型 3.常系数线性差分方程的求解 4.离散时间系统的单位样值（冲激）响应 5.卷积 6.反卷积
差分方程与微分方程的转换
差分方程与微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
小结
j Im[z]
有限长序列
Re[z ]
1 例：已知 x(n) [u (n) u (n 8)] 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
n
j Im[z]
右边序列
Rx1
Re[z ]
1 例：已知 x(n) u (n) 3 求其Z变换，并作出极零点图 ，画出收敛域。
例：RC低通滤波器
dy(t ) Rc y (t ) x (t ) dt y (n 1) y (n ) RC y (n) x(n) T T T y (n 1) (1 ) y (n ) x(n) RC RC
课后习题7-26
差分方程可以解决很多实际中的离散问题 习题7-27：海诺塔问题
y(10) 1023
N-1个移动 N-1个移动
汉诺塔：汉诺塔（又称河内塔）问题是源于印度一个 古老传说的益智玩具（也说起源于越南河內附近一個 不知名小村庄的寺庙）。
在印度，有这么一个古老的传说：在世界中心贝拿勒斯（在印度北 部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天 在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的 ６４片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣 在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针 上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从梵天穿 好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭， 而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。
第八章z变换离散时间系统的时域分析
3．左边序列的收敛
x(n) anu n 1 n 1
1
X(z) anzn
n
令m n
X(z) amzm amzm a0z0 1 amzm
m1
m0
m0
1
m0
z a
m
1
lim
m
1
z a
m
1
1 z a
当 z 1，即z a时收敛
X
a
z
1
1
1
第八章 Z变换、离散时间系统的Z域 分析
§8.1 引言
一．引言
•求解差分方程的工具，类似于拉普拉斯变换； •z变换的历史可是追溯到18世纪； •20世纪50~60年代抽样数据控制系统和数字计算机的 研究和实践，推动了z变换的发展； •70年代引入大学课程； •今后主要应用于DSP分析与设计，如语音信号处理等 问题。 本章主要讨论： •拉氏变换的定义、收敛域、性质，与傅氏变换和拉氏 变换的关系；利用z变换解差分方程； •利用z平面零极点的分布研究系统的特性。
z
z
a
a n u( n) anu(n
1)
za za
因果序列 右边序列 收敛域 z R,包括z
为了保证 z 处收敛，其分子多项式的阶次不能大
于分母多项式的阶次,即必须满足k r 。
2．求逆z变换的步骤
• 提出一个z
• xz为真分式
z • 再部分分式展开
• xz z
z • 查反变换表
将X z 以z的升幂排列
1
X (z) x(n)z n x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z 3 n
三．围线积分法求z反变换
1．z逆变换的围线积分表示
已知z变换
第八章 Z变换与Z域分析
z (k ) z 1 z k 3 ( k 1) z 3
由线性性质得
|z|>1 |z|<3
z z 2z 4z F ( z) z 1 z 3 ( z 1)( z 3)
2
1<|z|<3
2、移位特性 (1)双边z变换 若f (k )是双边序列，其双边z变换为 f (k ) F ( z )
3<|z|<∞
根据时域乘ak性质，得
1 k F ( z ) Z [ f（k） Z f1 (k ) F1 (2 z ) ] 2 3 (2 z )2 4z2 2z 3 2z 3
2 k 0 1 k 2
z
k
z
2
z a 2 a 1 z 1 za
或者
a 2 z za
|z|>|a|
a 2 z F ( z ) Z [a k 2 ] Z [a a
例 8.2-3 已知f(k)=3k［ε(k+1)-ε(k-2)］，求f(k)的双边Z变换
例
ZT [ e
n
z e j 0 z n j 0 n ZT [ e ] z e j 0 ZT [ cos0 n] ZT [ (e
n n j 0 n
j 0 n
]
z
e
j 0 n
) / 2]
z ( )/2 j 0 j 0 z e z e z ( z cos0 ) 2 z 2 z cos0 2 ( z )
Rx 2
6、双边序列 F ( z)
k
f (k ) z
k
f (k ) z
离散信号与系统Z域分析-8
∞ ∞
k =−∞
∑ f (k)r e
F(z) =
−k − jωk
=
k =−∞
f (k)(re jω )k ∑
对于离散时间信号f(k)，其Z变换定义为 引入一个新的变量 z=rejω，对于离散时间信号 ， 变换定义为
k =−∞
f (k)z−k ∑
∞Leabharlann F(z)称为序列 的像函数， f(k) 称为函数 称为序列f(k)的像函数 称为函数F(z)的原函数。它们间的关 的原函数。 称为序列 的像函数， 的原函数 系记作 f (k) ↔ F(z)
k =0
k =0
∞
k
z
当| az−1| <1时幂级数收敛，即Z变换的收敛域为 时幂级数收敛， 变换的收敛域为
z >a
z F1 (z) = z −a
3
− ak 例： 求 f2 (k) = 0
−1 k −k
k <0 k ≥0
∞
Z变换的收敛域。
n
z F2 ( z ) = ∑ ( − a ) z = 1 − ∑ k = −∞ n =0 a
收敛域为 结论： 结论： 1） 收敛域取决于 f (k)和z平面取值范围； ） 平面取值范围； 和 平面取值范围 2） 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）； ） 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）； 3） 双边 变换 ） 双边Z变换 变换F(z)与 f (k)没有一一对应； 没有一一对应； 与 没有一一对应 4） 有限长序列收敛域至少为： 0 < z < ∞ ； ） 有限长序列收敛域至少为： 5) 右边序列收敛域为 z |>R1的圆外； 右边序列收敛域为| 的圆外； 6) 左边序列收敛域为 z |<R2的圆内； 左边序列收敛域为| 的圆内； 7) 双边序列收敛域为 1 < | z |<R2的圆环。 双边序列收敛域为R 的圆环。
k =−∞
∑ f (k)r e
F(z) =
−k − jωk
=
k =−∞
f (k)(re jω )k ∑
对于离散时间信号f(k)，其Z变换定义为 引入一个新的变量 z=rejω，对于离散时间信号 ， 变换定义为
k =−∞
f (k)z−k ∑
∞Leabharlann F(z)称为序列 的像函数， f(k) 称为函数 称为序列f(k)的像函数 称为函数F(z)的原函数。它们间的关 的原函数。 称为序列 的像函数， 的原函数 系记作 f (k) ↔ F(z)
k =0
k =0
∞
k
z
当| az−1| <1时幂级数收敛，即Z变换的收敛域为 时幂级数收敛， 变换的收敛域为
z >a
z F1 (z) = z −a
3
− ak 例： 求 f2 (k) = 0
−1 k −k
k <0 k ≥0
∞
Z变换的收敛域。
n
z F2 ( z ) = ∑ ( − a ) z = 1 − ∑ k = −∞ n =0 a
收敛域为 结论： 结论： 1） 收敛域取决于 f (k)和z平面取值范围； ） 平面取值范围； 和 平面取值范围 2） 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）； ） 收敛域内不包含任何极点（以极点为边界）； 3） 双边 变换 ） 双边Z变换 变换F(z)与 f (k)没有一一对应； 没有一一对应； 与 没有一一对应 4） 有限长序列收敛域至少为： 0 < z < ∞ ； ） 有限长序列收敛域至少为： 5) 右边序列收敛域为 z |>R1的圆外； 右边序列收敛域为| 的圆外； 6) 左边序列收敛域为 z |<R2的圆内； 左边序列收敛域为| 的圆内； 7) 双边序列收敛域为 1 < | z |<R2的圆环。 双边序列收敛域为R 的圆环。
清华大学信号与系统课件第八章、Z变换和离散时间系统的Z域分析
3
1
Re[ z ]
3
课件
10
例： (2) x(n)1nu(n1) 3
X(z)
1
1
z1n
nm
1 z1 m
n 3
m13
左边序列
1 (3z)m
m0
1113z1
z
z 1
3
j Im[z]
R x2
lim n ( 3 z ) n 1
Re[ z ]
n
1 z 3 R x2
收敛半径
1 3
圆内为收敛域，
z e1
j
2
K 8
3
8个零点
收敛域为除了 0 和
z 的整个 平面
j Im[z]
z0
z
1 3
2020/4/4
7阶极点
一阶极点
课件
Re[ z ]
12
例：
(4) x(n) 1n
双边序列
3
X(z)
1
1 n
zn
1
z1
n
n 3
n0 3
z 1
8 3
z
z 3 z 1 (z 3)(z 13)
1 1 1
4
例：
x(n)anu(n)
X(z) anzn (a z1)n
n0
n0
liman1 az1
a n n
a
z
a
z
a
z
limn az1n az1
n
2020/4/4
课件
5
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有(n)zn nn1
n0
(r ) z (r m) z m
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n
1
X(z) x(n)zn x(n)zn
n
n0
j Im[z]
圆内收敛
圆外收敛
Rx2 Rx1
Rx2 Rx1 有环状收敛域
R R 2x0220/8/19 x1
没有收敛域
课件
Re[ z ]
9
例： (1) x(n)1nu(n) 3
右边序列
X(z)1z1n
n03
1 11z1
zz1
3
3
j Im[z]
ZT
[e j 0n ]
z z e j 0
ZT
[e j 0n ]
z z e j 0
ZT [sin 0 n ] ZT [( e j 0 n e ) j 0 n / 2 j ]
z
z
( z
e j 0
z
e j 0
) / 2l
z sin 0
z 2 2 z cos 0 1
2020/8/19
Z[n T (n u ) ]n 0n(n u )z n (1 1 z 1 )2 (z z1 )2
Z[a n T u (n ) ]n 0a n z n 1 1 a 1 zz za (z a )
2020/8/19
课件
16
余弦序列的 Z 变换:
ZT
[e j 0n ]
z z e j 0
R x1
z
R x1
z R x1
Re[ z ]
收敛半径
2020/8/19
课件
7
（1）左边序列：只在n n2区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X(z) x(n)zn n
nn2
m n
nm
X(z) x(m )zm x(n)zn
圆内为收敛域，
若 n2 0
则不包括z=0点
m n2
nn2
n0
X s (s)
0
x(nT ) (t nT )est dt
n0
x(nT ) (t nT )est dt 0 n0
x(nT )esnT
2020/8/19
n0
课件
2
• 令 z esT , 其中 z 为一个复变量
• 则
X(z) x(nT)zn
n0
• 广义上讲T=1
X(z) x(n)zn n0
第八章、Z变换和离散时间系统 的Z域分析
本章要点
• Z变换的基本概念和基本性质 • 利用Z变换解差分方程 • 离散系统的系统函数 • 离散系统的频率响应 • 数字滤波器
2020/8/19
课件
1
§8.1 Z变换的定义—由拉氏变
换引出Z变换
• 有抽样信号 xs(t) x(nT)(tnT)
• 单边拉氏变换
z8
(
1 3
)
8
e
j2 k
z e1
j
2
K 8
3
8个零点
收敛域为除了 0 和
z 的整个 平面
j Im[z]
z0
z
1 3
2020/8/19
7阶极点
一阶极点
课件
Re[ z ]
12
例：
(4) x(n) 1n
双边序列
3
X(z)
1
1 n
zn
1
z1
n
n 3
n0 3
z 1
8 3
z
z 3 z 1 (z 3)(z 13)
j Im[z]
lim n x ( n ) z n 1
R x2
n
lim n x ( n ) z 1
n
Re[ z ]
1 z lim n x ( n ) R x 2
收敛半径
2020/8/1n9
课件
8
（1）双边序列：只在 n区间内，
有非零的有限值的序x列(n)
X(z) x(n)zn n
课件
18
例
ZT
[ n e ] j 0 n
n1nn2
z 收敛域为除了0和 的整个 平面
j Im[z]
2020/8/19
Re[ z ]
课件
6
（1）右边序列：只在 n n1区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
X(z) x(n)zn nn1
n1n
圆外为
收敛域
lim n x ( n ) z n 1
n
j Im[z]
lim n
n
x(n)
ZT
[e j 0n ]
z z e j 0
ZT [cos 0 n ] ZT [( e j 0 n e j 0 n ) / 2 ]
z ( z e j 0
z z e j 0 ) / 2
z ( z cos 0 )
z 2 2 z cos 0 1
2020/8/19
课件
17
正弦序列的 Z 变换:
1 R x1 3
R x1
1 3
z 1
2020/8/19
3
1
Re[ z ]
3
课件
10
例： (2) x(n)1nu(n1) 3
X(z)
1
1
z1n
nm
1 z1 m
n 3
m13
左边序列
1 (3z)m
m0
1113z1
z
z 1
3
j Im[z]
R x2
lim n ( 3 z ) n 1
Re[ z ]
3
j Im[z]
1 z 3 3
Re[ z ]
2020/8/19
课件
13
§8.3 典型序列的Z变换
• 单位样值序列 • 单位阶跃序列 • 斜变序列 • 指数序列 • 正弦余弦序列
2 Z[T (n) ] (n)z n1(z0)
n 0
(2) ZT [ (n m)] (n m) z n
n0
(r ) z (r m) z m
rm
(m 0 z 0, )
(m 0, z 0)
1
(3) ZT[(n1)] (n1)zn (n1)zn
n
n0
z10z
2020/8/19 (0z)
课件
15
Z[u T (n ) ]n 0 u (n )z n 1 1 z 1 z z1 (z 1 )
n
1 z 3 R x2
收敛半径
1 3
圆内为收敛域，
n2 1 0 z 0
2020/8/19
课件
若 n2 0
则不包括z=0点 11
例： (3) x(n)1n[u(n)u(n8)] 3
有限长序列
X (z)n8 0 1 3z 1 n( 1 1 3z 1 3 z 1) 1 8 1z z7 8( z( 1 3)1 3 8 )
课件
1 1 1
4
例：
x(n)anu(n)
X(z) anzn (a z1)n
n0
n0
liman1 az1
a n n
a
z
a
z
a
z
limn az1n az1
n
2020/8/19
课件
5
几类序列的收敛域
（1）有限序列：在有限区间内，有非零的有限值的序列 x(n)
n2
X(z) x(n)zn nn1
单边Z变换
2020/8/19
课件
3
§8.2 Z变换的收敛域
X (z)n 0x(n)z nx(0)x(z1 )xz (2 2)
收敛域：当x(n)为有界时，令上述级数收敛的 z的
所有可取的值的集合称为收敛域
1）比值判别法 lim an1
n an
2) 根值判别法
2020/8/19
limn
n
an