数学解题中的构造法思想

数学解题思想方法透视一、配方思想配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；…… 等等。

Ⅰ、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1·a5+2a3·a5+a3a7=25，则a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 5]B. [5,+∞)C. (－1,5]D. [5,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

数论专题：构造法解题梁久阳前言：“构造法”作为一种重要的化归手段，在数学解题中有着重要的作用。

历史上有不少著名的数学家，如欧几里得、欧拉、高斯、拉格朗日等人，都曾经用“构造法”成功地解决过数学上的难题。

数学是一门创造性的艺术，蕴含着丰富的美,而灵活、巧妙的构造令人拍手叫绝，能为数学问题的解决增添色彩，更具研究和欣赏价值。

构造需要以足够的知识经验为基础，较强的观察能力、综合运用能力和创造能力为前提，根据题目的特征，对问题进行深入分析，找出“已知”与“所求（所证）”之间的联系纽带，使解题另辟蹊径、水到渠成。

本文可能并不仅仅局限于数论方面，对函数也有一定的涉及。

一．构造法解题过程的大致模式二．经典例题（1） 构造辅助函数 ①构造一次函数【例1】已知x,y,z ∈（0，1），求证：x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1（第15届俄罗斯数学竞赛题）题前分析：此题条件、结论均具有一定的对称性，然而难以直接证明，不妨用构造法一试。

例7还给出了它的另一种构造方法。

特点：一题两构，各有千秋证明：构造函数f(x)=(y+z-1)x+(yz-y-z+1)，∵y,z ∈(0,1),∴f(0)=yz-y-z+1=(y-1)(z-1)＞0f(1)=(y+z-1)+(yz-y-z+1)=yz ＞0，而f(x)是一次函数，其图象是直线，∴由x ∈(0,1)恒有f(x)＞0即(y+z-1)x+(yz-y-z+1)＞0，整理可得x(1-y)+y(1-z)+z(1-x)＜1。

题后分析：由上题我们可以看出，理解和掌握函数的思想方法有助于实现数学从常量到变量的这个认识上的飞跃。

很多数学命题繁冗复杂，难寻入口，若巧妙运用函数思想，能使解答别具一格，耐人寻味。

而这构造的只是一次函数，还有更高次的函数等着我们去构造。

②构造二次函数我们大家都在初中学过一元二次方程。

我们都知道，一元二次方程根的判别式原本是用来讨论一元二次方程的实根情况，然而它的作用远不止此.在有些证明中，将题目或结论适当变形，再依据变形后的式子构造二次函数来解决问题，是一种十分巧妙的方法。

浅议构造法在数学中的作用1. 引言1.1 构造法的定义构造法是数学中一种重要的解题方法，它是通过构造出具体的对象或者结构来解决问题的方法。

在数学中，构造法通常包括直接构造出所需对象、通过归纳法逐步构造出解、通过反证法推导出矛盾等方式。

构造法的基本思想是通过建立数学对象之间的关系，从而达到解决问题的目的。

通过构造法，我们可以更清晰地理解问题的本质，找到问题的解决方案。

构造法在数学中具有广泛的应用，涉及代数、几何、组合数学、数论、概率论等多个领域。

构造法的核心是通过建立有效的构造方法和技巧，解决一系列复杂的数学问题。

通过构造法，我们可以深入理解数学的内在规律，提高解决问题的效率和准确性。

构造法在数学领域中具有重要的地位和作用，对于推动数学的发展和教育具有积极的意义。

1.2 构造法在数学中的重要性构造法在数学中起着至关重要的作用。

它不仅是数学研究中常用的方法，也是数学教学中的重要内容。

构造法可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，促进数学领域的发展。

构造法在数学中的重要性体现在它对解决问题的作用上。

通过构造法，我们可以借助具体的步骤和方法找到问题的解决方案，为数学理论的发展提供实际的指导。

构造法不仅可以用于证明定理和命题，还可以用于解决实际问题，推动数学领域的研究进展。

构造法在数学教育中的重要性也不可忽视。

通过教授构造法，可以帮助学生培养逻辑思维和创造性思维能力，提高他们解决问题的能力和数学素养。

构造法可以激发学生对数学的兴趣，让他们更好地理解和掌握数学知识，为将来深入研究数学打下坚实的基础。

2. 正文2.1 构造法在代数中的应用构造法在代数中的应用是一种重要的数学方法，通过构造法，我们可以更好地理解和解决代数问题。

在代数中，构造法常常被用于证明存在性和唯一性问题，以及构造出满足特定条件的对象。

一种常见的代数问题是求解某种结构的存在性问题，比如群、环、域等代数结构。

通过构造法，我们可以构造出满足特定条件的结构，从而证明其存在性。

探索构造法解题模式【关键字】构造法数学模型【摘要】本文通过一些实例探讨构造法在信息学竞赛解题中的应用，首先阐述了数学方法在解题中的巧妙应用，引进了数学建模的思想。

较详细地讨论建立模型的方法，包括直接构造问题解答的模型，图论模型，网络流模型以及组合数学模型。

介绍了构建模型的基本方法和基本思路。

同时也分析了数学模型的类型和作用。

【正文】引言“构造法”解题，就是构造数学模型解决问题。

信息学竞赛中，它的应用十分广泛。

构造恰当的模型或方法，能使问题的解决，变得非常简洁巧妙。

就我们现在所能接触的问题而言，构造的数学模型，从数学方法的分类来看，它是属初等模型、优化模型这两种。

一般地，数学模型具有三大功能：1．解释功能：就是用数学模型说明事物发生的原因；2．判断功能：用数学模型判断原来的知识，认识的可靠性。

3．预见功能：利用数学模型的知识、规律和未来的发展，为人们的行为提供指导或参考。

构造法解题的思路或步骤可以归纳为：问题假设建模分析实现检验、修改本文的目的，在于利用构造数学模型的思想，构建我们对问题的解法。

数学的巧妙应用数学是研究现实世界数量关系和空间形式的科学，数学的特点不仅在于概念的抽象性、逻辑的严密性、结论的明确性，而且在于它应用的广泛性。

我们讲数学方法是指把错综复杂的问题简化、抽象为合理的数学结构的方法。

我们以具体的问题为例析，解释这些观点的应用，通过这些问题展示了数学的奇妙作用，让我们体会利用数学方法来解决问题时的一种乐趣。

〖问题1〗跳棋问题设有一个n×n方格的棋盘，布满棋子。

跳棋规则如下：1.每枚棋子跳动时，其相邻方格（有公共边的方格）必须有一枚棋子为垫子，才能起跳；2.棋子只能沿水平或垂直方向跳动；3.棋子跳过垫子进入同一方向的空格，并把垫子取出棋盘。

把n×n方阵棋盘扩展成m×m，试求出最小的m，使得棋子能依规则跳动，直到棋盘内只剩下一枚棋子，并给出一种跳棋方案。

本题若用盲目搜索法解决，对n=4,5或许能行，但也要很高的费用。

构造法在中学数学问题中的解题应用摘要：本文主要是在前人研究的基础上通过收集大量资料，对用构造法解题的形式进行分类，介绍在中学数学中用构造思想方法解题的典型例子，并归纳整理出构造法在代数和几何中的应用,使得构造法在解题的应用有一个比较系统、清晰且全面的结论。

关键词：构造法中学数学问题思想方法应用一、构造法在代数问题中的应用1.构造函数解代数问题。

如何构造一个函数，构造一个什么样的函数才能解决问题？关键在于分析问题的结构，充分利用问题所提供的信息，善于进行联想。

(1)构造函数证明不等式。

根据代数式的特征(如结构的对称性)，构造适当的函数，借助函数的性质，来证明不等式，是一种常用的构造方法。

构造函数证明不等式是不等式证明的一种重要方法，它要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等式关系，从而合理选择恰当的函数模型。

利用构造函数证明不等式，不仅能使解题过程简捷、明快，而且使解题方法新颖、精致，使数学解题思路突破常规，具有很强的创造性，体现独特的数学价值。

(2)构造函数证明等式。

例2 已知 a，b，c互不相等，求证：分析：如果把式子左边展开来证，是非常繁琐的,注意到a，b，c互不相等这一特性，巧构函数f(x)能富有创造性地证明本题.证明：构造函数f(x)=由于a，b，c互不相等，可知-a，-b，-c也互不相等。

因为f(x)是二次函数，而f(-a)=f(-b)=f(-c)=0，故f(x)=0恒成立，即原式成立。

2.构造方程解代数问题。

在应用方程思想解题时，主要是运用方程的两个性质，即韦达定理及其逆定理、一元二次方程根的判别式。

根据韦达定理及其逆定理构造一元二次方程解代数题。

有些数学问题未必是方程问题，但我们可以构造辅助的方程进行求解。

用方程思想构造方程解题非方程问题有一定的规律性：已知两个或多个数之和、之积的对称式，利用韦达定理的逆定理构造两次或高次方程；当问题中出现形如“b2-4ac”的式子时，可构造出以“b2-4ac”为判别式的二次方程ax2+bx+c=0的形式。

1.构造法概述1.1 一个简单例子证明存在两个无理数y x ,，使y x z =是有理数[1]传统证明方法是，假设对于任何两个无理数y x ,，都有y x z =是无理数。

那么就有()22一定是无理数，进而()222⎥⎦⎤⎢⎣⎡也是无理数，而()2)2(2222==⎥⎦⎤⎢⎣⎡是有理数，所以假设不成立 而我们如果令9log ,22==y x ，我们已知2和9log 2都是无理数，此时 32)2(3log 9log 22===y x 是有理数，问题得证。

上面这个问题中我们用到的第二种方法就是中学中常用的构造法。

1.2构造法的发展历史到底什么是构造法呢？构造法就是按照固定方式，经过有限步骤能够实现的方法。

引用韦尔（H.Weyl ）在《数学的思维方式》一文中的一句话“当数学家们转向抽象时，有一件最为门外汉所不能理解的事情，那就是直觉的图像必须被转化为一种符号构造。

”[2]这表明构造法从数学产生时就已经存在，因为数学发展所必须具备的数学符号就是用来构造对象的。

除此之外，数学最初的定义有很多都是构造性的定义，比如：将线段绕其一个端点在平面内旋转一周，它的另一端点所画出的图形叫圆。

构造法起源于数学之初，但它的发展是在19世纪末。

19世纪末，克罗内克和庞加莱基于数学的可信性，提出了“存在必须是被构造的”观点，创立了早期的直观数学学派。

但是他们把直观数学推崇到极致，反对一切非构造性数学内容，搞得数学复杂难懂。

随后马尔科夫提出算法数学，把一切数学概念归结为一个基本概念——算法的构造性方法。

但是算法数学以递归函数为基础，大部分人同样难以理解。

直到1867年美国数学家比肖泊发表《构造性分析》一书，摆脱了算法数学对递归函数的依赖，宣告现代构造数学的形成。

时至今日，构造法不仅开创了组合数学、计算机科学等新领域，而且在数值分析，拓扑学领域也大有用武之地。

[3]1.3 中学数学需要数学构造法除了高等数学，现在的中学阶段对于构造法也是相当重视的。

构造法在初中数学解题中的应用所谓构造法就是根据题设条件或结论所具有的特征和性质，构造满足条件或结论的数学对象，并借助该对象来解决数学问题的思想方法。

构造法是一种富有创造性的数学思想方法。

运用构造法解决问题，关键在于构造什么和怎么构造。

充分地挖掘题设与结论的内在联系，把问题与某个熟知的概念、公式、定理、图形联系起来，进行构造，往往能促使问题转化，使问题中原来蕴涵不清的关系和性质清晰地展现出来，从而恰当地构造数学模型，进而谋求解决题目的途径。

下面介绍几种数学中的构造法：一、构造方程构造方程是初中数学的基本方法之一。

在解题过程中要善于观察、善于发现、认真分析，根据问题的结构特征、及其问题中的数量关系，挖掘潜在已知和未知之间的因素，从而构造出方程，使问题解答巧妙、简洁、合理。

1、某些题目根据条件、仔细观察其特点，构造一个"一元一次方程" 求解，从而获得问题解决。

例1：如果关于x的方程ax+b=2（2x+7）+1有无数多个解，那么a、b的值分别是多少？解：原方程整理得（a-4）x=15-b∵此方程有无数多解，∴a-4=0且15-b=0分别解得a=4，b=152、有些问题，直接求解比较困难，但如果根据问题的特征，通过转化，构造"一元二次方程"，再用根与系数的关系求解，使问题得到解决。

此方法简明、功能独特，应用比较广泛，特别在数学竞赛中的应用。

3、有时可根据题目的条件和结论的特征，构造出方程组，从而可找到解题途径。

例3：已知3，5，2x，3y的平均数是4。

20，18，5x，-6y的平均数是1。

求的值。

分析：这道题考查了平均数概念，根据题目的特征构造二元一次方程组，从而解出x、y的值，再求出的值。

二、构造几何图形1、对于条件和结论之间联系较隐蔽问题，要善于发掘题设条件中的几何意义，可以通过构造适当的图形把其两者联系起来，从而构造出几何图形，把代数问题转化为几何问题来解决．增强问题的直观性，使问题的解答事半功倍。

构造法在中学数学解题中的应用研究摘要：构造法是一种重要的划归手段，学生通过观察、分析、抓住特征、联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当的构造新的数学模型来达到解题的目的，在中学数学解题中具有重要的作用，主要涉及函数，图形，方程，数列等内容。

构造法是一种富有创造性的方法，属于非常规思维，运用构造法解题有利于培养学生的创造性思维，提高学生观察、分析、解决问题的能力。

关键词：构造法，观察，分析，创造性，解题一、构造法研究背景构造法是数学解题中一种十分重要的基本方法，是根据题目中所给的条件或者结论，通过观察、分析、联想与综合，利用各种知识间的内在联系，有目的的构造一个特定的数学模型，从而将一个命题转化成一个与之等价的命题。

构造法同样是一种创新的思维方法，解题过程中要打破常规思维，另辟蹊径，巧妙的解决。

构造法历史发展过程：从数学产生的那天起，数学中的构造性方法就伴随着产生了。

但是构造性方法这个术语的提出，以至把这个方法推向极端，并致力于这个方法的研究，是与数学基础的直观派有关。

直观派出于对数学的“可行性”的考虑，提出一个著名的口号：“存在必须是被构造。

”这就是构造主义。

构造法的发展历史主要包括以下几个过程：（一）直观数学阶段，先驱者是19世纪末德国的克隆尼克。

他认为“定义应当包括由有限步骤所定义对象的计算方法，而存在性的证明对于要确立其存在的那个量，应当许可计算到任意的精确度。

”曾计划把数学算术化并在数学领域中清除一切非构造性的成分及其根源。

后续代表人物包括彭加勒，其主张所有的定义和证明都必须是构造性的。

以及近代构造法的系统创立者布劳威，其主张存在必须被构造的观点。

（二）算法数学阶段，由于直觉数学难以为人读懂，同时直觉数学对排斥非构造数学和传统逻辑的错误做法，无法解释后者在一定范围内的应用上的有效性，所以产生了另外几种构造性倾向，主要是算法数学。

算法数学是马尔科夫及其合作者创立的，并将此定义为：一种把数学的一切概念归约为一个基本概念——算法的构造性方法。

数学解题黄金模板
一、函数与方程思想
函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题；方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为数学模型，对方程进行变换求解，从而使问题得到解决。

二、数形结合思想
数形结合思想是指将数量关系和空间形式结合起来去分析问题、解决问题的一种思想方法。

三、分类讨论思想
分类讨论思想是以对数学对象的准确分类为基础，分别进行研究和推导，得出相应结果，达到解决问题的目的。

四、转化与化归思想
转化与化归思想是把待解决或难解决的问题，通过某种转化过程，归结到一类已经解决或比较容易解决的问题中去，以求得解决。

转化与化归是解决数
学问题的基本方法。

转化与化归的思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，将未知的问题转化为已知的问题，将繁琐的问题转化为简明的问题。

五、构造法
构造法是指通过构造一个与原问题性质不同的新模型，利用新模型去解决问题的一种方法。

构造法在解题中常常表现出奇妙的技巧，构造出一些特殊的函数、数列、图形等来解题。

六、反证法
反证法是一种间接证明方法，它先假设原命题不成立，然后推导出与已知条件或已知事实相矛盾的结果，从而证明原命题的正确性。

七、放缩法
放缩法是一种通过放大或缩小问题的规模来简化问题的方法。

在解决一些难以直接解决的问题时，可以通过适当的放缩，将问题转化为更容易解决的问题。

逆用函数求导公式--------构造法解题数学试题的呈现方式，是数学公式逆用形式，如两角和与差的三角公式逆用，可以用辅助角公式解决，线性规划的目标函数，常见的有截距，距离，斜率公式的形式，，求定积分的运算就是导数公式的逆用寻找原函数，两个函数和差积商的导数公式逆用，可以通过构造新函数来解决。

本文通过对导数公式的逆用，构造新函数，并结合函数的单调性，奇偶性来解决不等式问题。

背景知识：(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；(2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；(3)⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )(g (x )≠0)．典型例题：类型一：和差导数公式逆用：例1. 设函数()f x ，()g x 在[],a b 上均可导，且()()f x g x '>'，则当a x b <<时，有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+解：构造)()()(x g x f x F -=，0)()()(>'-'='x g x f x F ，)(x F 为增函数，)()()(b F x F a F <<)()()()()()(b g b f x g x f a g a f -<-<-，∴()()()()f x g b g x f b +>+，选D 类型二，积的导数公式逆用：9.设)(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,当0<x 时,()()()()f x g x f x g x ''+＞0.且0)1(=g .则不等式0)()(<x g x f 的解集是_________解：)()()(x g x f x F =，0)()()()()(>'+'='x g x f x g x f x F ，)(x F 为增函数，)(x F 为奇函数，0)3(=g ，0)1(=F ，结合)(x F 的图象可得0)(<x F 的解集为)1,0()1,(⋃--∞7．设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，且有x x f x x f <'+)()(，则不等式0)2(2)2014()2014(>-+++f x f x 的解集为（ ）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由()()f x xf x x '+<，0x <得： [()]0xf x x '<<，令()()F x xf x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，(2014)+=F x (2014)(2014)x f x ++ ，(2)(2)(2)F f -=--，由题意：(2014)F x +＞(2)F -又()F x 在(,0)-∞是减函数，∴20142x +<-，即2016x <-，故选C设)(x f 是定义在R 上的可导函数，且满足0)()(>'+x f x x f .则不等式)1(1)1(2-->+x f x x f 的解集为 ．解： 令)()(x xf x h =，因为0)()(>'+x f x x f ，=')(x h 0)]([>'x f x ，)(x h 在定义域上递增函数，所以)1(1)1(122-->++x f x x f x ，1≥x ，∴112->+x x ，2<x ，解集为)2,1[8．设函数()f x 是定义在(0)-∞，上的可导函数，其导函数为()f x '，且有22()()f x x f x x '+>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f ++-->的解集为（ ）A ．(),2012-∞-B ．()20120-，C ．(),2016-∞-D ．()20160-，解：由22()()f x xf x x '+>，0x <得：232()()xf x x f x x '+<，即23[()]0x f x x '<<，令2()()F x x f x =，则当0x <时，()0F x '<，即()F x 在(,0)-∞是减函数，2(2014)(2014)(2014)F x x f x +=++ ，(2)4(2)F f -=-，(2014)(2)0F x F +-->，()F x 在(,0)-∞是减函数，所以由(2014)(2)F x F +>-得，20142x +<-，即2016x <-，故选C类型三，商的导数公式逆用：当出现导数差的形式是，可以考虑商的导数例1．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，0)1(=f ， 当0x >时，有2()()0xf x f x x'->成立，则不等式0)(>x f 的解集是A ．(1,0)(1,)-+∞B ．(1,0)-C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞解：由当0x >时，有2()()0xf x f x x '->成立,知函数xx f x F )()(=的导函数0)()()(2>-'='x x f x f x x F 在),0(+∞上恒成立,所以函数x x f x F )()(=在),0(+∞上是增函数,又因为函数)(x f 是定义在R 上的奇函数,所以函数xx f x F )()(=是定义域上的偶函数,且由0)1(=f 得0)1()1(==-F F ,由此可得函数xx f x F )()(=的大致图象为: 由图可知不等式0)(>x f 的解集是),1()0,1(+∞⋃-.故选A.例2．函数)(x f 是R 上的可导函数,0x ≠时，()()0f x f x x '+>，则函数1()()g x f x x =+的零点个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0解：方法一：构造函数)()(x xf x F =，)()()(x f x x f x F +'='，()()0f x f x x '+>，0)(>'xx F ，当0>x 时，0)(>'x F ，)(x F 为增函数，当0<x 时，故可得0)(<'x F ，)(x F 为减函数，0)0(=F ,0)(≥x F ，1()()g x f x x =+xx F x x xf 1)(1)(+=+=无零点 方法二：由于函数g(x)＝f(x)+1x，可得x≠0，因而 g （x ）的零点跟 xg （x ）的非零零点是完全一样的，故我们考虑 xg （x ）=xf （x ）+1 的零点．由于当x≠0时，f ′(x)+()f x x＞0，①当x ＞0时，(())(()1)()()xg x xf x xf x f x '''=+=+=()(())f x x f x x '+＞0，所以()xg x 在（0，+∞）上是单调递增函数．又∵0lim[()1]1x xf x →+=，∴当x ∈（0，+∞）时，函数()xg x =()1xf x +＞1恒成立，因此()xg x =()1xf x +在（0，+∞）上没有零点．②当x ＜0时，由于(())(()1)()()xg x xf x xf x f x '''=+=+=()(())f x x f x x'+＜0， 故函数()xg x 在（-∞，0）上是递减函数，函数()xg x =()1xf x +＞1恒成立，故函数()xg x 在（-∞，0）上无零点．综上可得，函g(x)＝f(x)+1x 在R 上的零点个数为0.上的函数，其中()f x 的导函数为'()f x ，满足．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f ><．22012(2)(0),(2012)(0)f e f f e f <>解：由'()()f x f x <，知0)()()()()()(2<-'=-'='x x x x ex f x f e e x f e x f x F ，故函数是定义在R 上的减函数，),0()2(F F <∴即)0()2(202f e f e e <⇒<，同理可得)0()2012()0(2012201202012f e f ef e f <⇒<）（，故选B例4设函数()f x 是定义在(),0-∞上的可导函数，其导函数为()f x '，)()(x f x f >',且1)3(=f ,解不等式3)(->x e x f解：构造函数x e x f x g )()(=，则x ex f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，)3()(g x g >，∴3>x例5．若定义在R 上的函数f(x)的导函数为()f x '，且满足()()f x f x '>，则(2011)f 与2(2009)f e 的大小关系为（ ）.A 、(2011)f <2(2009)f eB 、(2011)f =2(2009)f eC 、(2011)f >2(2009)f eD 、不能确定【答案】C解：构造函数x e x f x g )()(=，则x ex f x f x g )()()(''-=，因为()()f x f x '>，所以0)('>x g ；即函数)(x g 在R 上为增函数，则20092011)2009()2011(ef e f >，即2)2009()2011(e f f >. 例6．若不等式定义在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的函数()f x ，其导函数是()()(),tan f x f x f x x ''<⋅且恒有成立，则A ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．63f ππ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解：在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭时，cos 0x >，由()()sin 'cos x f x f x x <，得()()'sin cos 0f x x f x x ->，构造函数()sin f x y x =，则()()2'sin cos 'sin f x x f x x y x-=0>，函数()sin f x y x =为增函数，由63ππ<，则63sin sin 63f f ππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭<63f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 例7(周考22)14．已知定义在R 上的奇函数)(x f 的导函数为)('x f ，当0<x 时，)(x f 满足()()2 ') (f x xf x xf x +<，则)(x f 在R 上的零点个数为 A.1 B.3 C. 5 D .1或3 导函数，不分段 0<x ，)()()(222x f x x f x x xf >'+ 由()()2 ') (f x xf x xf x +<两边同乘x 可得，)()()(222x f x x f x x xf <'+，则可得)(])([22x f x x f x >',构造函数x e x f x x F )()(2=，0)(])([)(22>-'='xe xf x x f x x F ，函数x e x f x x F )()(2=为增函数，当0<x ，0)0()(=<F x F ,02>x ex ， 0)(<x f ，)(x f 为奇函数，)(x f 零点个数为1例8)(x f 是定义在上R 的奇函数，且0)1(=-f ，当0>x 时，0)(2)()1(2<-'+x xf x f x ，则不等式0)(>x f 的解集为 解：1)()(2+=x x f x F ，0)1()(2)()1()(222<+-'+='x x xf x f x x F ，)(x F 为减函数，)(x F 为奇函数，0)1(=-f0)1(=-F ,结合)(x F 的图象可得不等式0)(>x f 的解集为)1,0()1,(⋃--∞6．()f x 是定义在(0,)+∞上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '+≤，对任意正数,a b ，若a b <，则必有( )A ．()()af b bf a ≤B ．()()bf a af b ≤C ．()()af a f b ≤D ．()()bf b f a ≤解：由()()0x f x f x '+≤可得()()x f x f x '≤-，因为(0,)x ∈+∞且()0f x ≥，所以()0f x '≤在(0,)+∞上恒成立，所以()f x 在(0,)+∞单调递减或()f x 为非负的常数函数（当且仅当(0,)x ∈+∞时，都有()0f x '=时，()f x 才为常数函数），当()f x 在(0,)+∞单调递减时，由0a b <<可得()()0f a f b >≥，再由不等式性质中的可乘性可得()()bf a af b >；当()f x 为非负常数函数时，()()0f a f b =≥，所以()()af b bf a ≤（当且仅当()0((0,))f x x =∈+∞时，等号成立），综上可知，选A.方法二：由()()0xf x f x '+≤，即[()]0xf x '≤，设()()F x x f x =，则()0F x '≤，所以()F x 在(0,)+∞单调递减或()F x 为恒大于零的常数函数（当且仅当(0,)x ∈+∞时，都有()0F x '=时，()F x 才为常数函数），当()F x 在(0,)+∞单调递减时，由a b <，可得()()F a F b >即()()af a bf b >；当()F x 为恒大于零的常数函数时，()()F a F b =即()()af a bf b =，根据不等式传递性，)()()()(b af b bf a af a bf ≥≥≥ 方法三：构造函数x x f x F )()(=，2)()()(xx f x f x x F -'='，由()()xf x f x '≤-得，2)()()(x x f x f x x F -'='0)()(2≤--≤x x f x f ，)(x F 为单调减函数或常函数，由a b <可得()()af b bf a ≤时，()'()'()f x f x xf x +<恒A D ．c b a <<解：构造函数1)(-=x x F ，=')(x F 0)1()(]1[2>--='-x x f x ,)(x F 为单调增函数， 12)2(-=f a ,13)3(-=f b ,12)12(--=f c ，由3212<<-，可得c a b <<，选A类型四，构造组合函数形式例1 定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0<x 时，x x f <')(，则不等式x x f x f +-≥+)1(21)(的解集为_________ 解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0<x 时，0)()(<-'='x x f x g ，)(x g 为减函数，，x x f x f +-≥+)1(21)(，可得22)1(21)1(21)(x x f x x f ---≥-，即)1()(x g x g -≥∴ x x -≤1，即21≤x 例2定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足2)()(x x f x f =+-，当0>x 时，x x f >')(，若a a f a f 22)()2(-≥--，则实数的取值范围是的_________解：221)()(x x f x g -=，0)()(=-+x g x g ，)(x g 为奇函数，当0>x 时，0)()(>-'='x x f x g ，)(x g 为增函数，a a f a f 22)()2(-≥--，可得2221)()2(21)2(a a f a a f -≥---，即)1()(x g x g -≥∴ )()2(a g a g ≥-，a a ≥-2，即1≤a例3定义在上R 上的可导函数)(x f ，满足1)()(>'+x f x f 4)0(=f ，则不等式3)(+>x x e x f e （其中为自然对数的底数）的解集为_________解：构造函数x x e x f e x F -=)()(，=')(x F )1)()(()()(-+'=-+'x f x f e e x f e x f e x x x x ,)(x F 为R 单调增函数， 3)0(=F ,原不等式等价于)0()(F x F >,∴解集为),0(+∞。

高中数学6种数学思想1.函数与方程思想函数与方程的思想是中学数学最基本的思想。

所谓函数的思想是指用运动变化的观点去分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再运用函数的图像与性质去分析、解决相关的问题。

而所谓方程的思想是分析数学中的等量关系，去构建方程或方程组，通过求解或利用方程的性质去分析解决问题。

2.数形结合思想数与形在一定的条件下可以转化。

如某些代数问题、三角问题往往有几何背景，可以借助几何特征去解决相关的代数三角问题；而某些几何问题也往往可以通过数量的结构特征用代数的方法去解决。

因此数形结合的思想对问题的解决有举足轻重的作用。

解题类型：①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

3.分类讨论思想分类讨论的思想之所以重要，原因一是因为它的逻辑性较强，原因二是因为它的知识点的涵盖比较广，原因三是因为它可培养学生的分析和解决问题的能力。

原因四是实际问题中常常需要分类讨论各种可能性。

解决分类讨论问题的关键是化整为零，在局部讨论降低难度。

常见的类型：类型1：由数学概念引起的的讨论，如实数、有理数、绝对值、点（直线、圆）与圆的位置关系等概念的分类讨论；类型2：由数学运算引起的讨论，如不等式两边同乘一个正数还是负数的问题；类型3 ：由性质、定理、公式的限制条件引起的讨论，如一元二次方程求根公式的应用引起的讨论；类型4：由图形位置的不确定性引起的讨论，如直角、锐角、钝角三角形中的相关问题引起的讨论。

类型5：由某些字母系数对方程的影响造成的分类讨论，如二次函数中字母系数对图象的影响，二次项系数对图象开口方向的影响，一次项系数对顶点坐标的影响，常数项对截距的影响等。

构造法在数学解题中的应用
随着新型数学教学对学生能力和思维开拓的新要求，构造法作为一种独特的数学解决问题的方法，得到了广泛的应用。

通过学生自身创造性的构思，从实际问题中寻找出解决方法的技巧，将巧妙的思维技巧应用在数学解题中，从而提升学生的解题能力。

构造法的核心思想是，结合实际材料，从而构造出相应的解决方案的过程。

无论是数学问题，还是其它类型的问题，学生都可以从它们中构造出一个有效的解决方案。

它教会学生思想的灵活性，激发学生创新思维，促进理解和解决问题的能力。

作为一种先进的教学方法，构造法引入了新的解决问题的方法。

它可以培养学生思维能力和综合素质，培养学生未知领域探索的能力。

通过解决问题，学生需要分析认识问题，并从中找出解决问题的途径。

学生需要学会积极思考，从实际材料和经验中总结出具有普遍性的规律，这有助于他们更好地理解数学概念，在解决实际问题时，可以灵活运用。

此外，构造法也是一种解决数学问题的有效方法。

在解题过程中，学生需要从数学中获取有关的知识，并将其应用到实际问题中。

例如，在解决几何图形问题时，可以通过图形中可以找到的条件，找到几何描述的方法，从而解决问题。

同样，在解决抽象数学问题时，也可以通过对数学定理的利用，将数学定理运用到实际问题中，解决问题。

总之，构造法在数学解题中具有重要的作用。

它不仅可以提高学生独立思考和综合素质，还可以提升学生解题能力，从而避免学生受
到学习困难的影响。

此外，构造法也可以深化学生对数学概念的理解，促进学生对数学问题的独创性解决。

因此，构造法在数学解题中的应用有着重要意义，应受到认真重视。

用构造法求数列的通项公式的分类和求解方法分类,求解方法重庆市綦江县东溪中学任德辉求数列的通项公式是近几年高考重点考察的内容，两类特殊数列等差数列和等比数列可以根据公式直接求解，还有些特殊数列可用累加法、累乘法等来直接求解，但有些数列却不能直接求解，它们往往要转化为等差、等比数列和其他数列后再运用各自的通项公式求解，从而体现化归思想在数列中的运用，此时可用构造法求解。

所谓构造法就是在解决某些数学问题中通过对条件和结论的充分剖析，有时会联想出一些适当的辅助模型，以促成命题的转换，产生新的解题方法。

下面就构造法求数列的通项公式的分类和解题方法分别进行论述。

一、用构造法求数列的通项公式依照构造目标数列的不同可以分为构造等差数列、构造等比数列和构造其他数列。

1.构造等差数列例1、（2022湖北）已知数列{an}的前n项和Snan()12n12(n为正整数），令bn2nan，求证数列{bn}是等差数列，并求数列{an}的通项公式。

解：a11,b121a1122n1∵Snan()12，∴Sn1an1()n22nn1n∴2an1an()等式两边都乘以2得2an12an1，12n即bn1bn1，∴数列{bn}是以1为首项公差为1的等差数列，bn2an=n∴annn2n例2、数列an中，若a12，an1an，则a4（）13anA．21683B．C．D．191554分类,求解方法解：an1an13an11,313anan1anan又1111,是首项为公差3的等差数列。

a12an21156n52(n1)33n,anan2226n5a422所以选A645192.构造等比数列例3、(2022上海)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Snn5an85,nN 证明：{an1}是等比数列并求{an}的通项公式证明：当n1时，a1S115a185，a114,a1115当n2时，Sn1n15an185,∴anSnSn115an5an16an5an11，an15(an11)65的等比数列。

构造法在离散数学及数值分析解题中的应⽤2019-07-16摘要：所谓构造法，其实质就是运⽤数学的基本思想，经过认真的观察，深⼊的思考，构造出解题的数学模型，从⽽使问题得以解决。

构造法体现了类⽐的思想，为了找出解题途径，要进⾏联想，通过联想联系已有知识中与之类似的或与之相关的问题，从⽽为构造模型提供参照对象。

构造合适的⽅程图形，函数等解决数学问题时，不仅可以拓展解题思路，⽽且有利于培养学⽣的创新能⼒。

此外⼀些特殊构造对于解决实际问题有着相当的分量。

关键词：构造法；交叉学科；应⽤构造法是数学中⼀种⼗分重要和基础的⽅法，它是指利⽤已知条件和已掌握的知识，通过观察、联想构造出满⾜条件的数学对象，或构造出⼀种新的问题形式，使问题的结论得以肯定或否定，或使问题转化，从⽽使问题得到有效的解决.构造法有着意想不到的功效，不同的构造，有着不同的效果。

我们可以构造⽅程，图形，函数甚⾄是其他，这样就会使学⽣要熟悉的⼏何，代数，三⾓的基本技能，并多⽅⾯综合利⽤，这对学⽣的多元思维，培养学习兴趣，以及钻研独创精神的发挥⼗分有利，因此，在解题时若能从多⽅⾯，多渠道进⾏思考，有时能得到很多巧妙，新颖独体的解题⽅法还能加强我们对知识的理解。

培养思维的灵活，提⾼分析问题的能⼒。

近代科学技术飞速发展，世界已进⼊信息时代，交叉学科不断产⽣数学⼯具与数学思想，⽇益向⾃然科学和社会科学渗透。

控制论、信息论、系统论的诞⽣正是这⼀发展的结果，反过来，⼜加速了这⼀发展趋势。

这些新学科的产⽣，有的是运⽤已有学科的知识、⽅法去解决研究中的新问题。

在数学⾥将⼀个分⽀⾥的知识移植到另⼀个分⽀⾥以解决新问题是屡见不鲜的。

移植的成败，常在于能否构造恰当的⼏何模型或数学模型（函数、⽅程等等），能否建⽴模型的关键是对数学语⾔的理解与运⽤能⼒，下⾯就对这些交叉学科中构造法的运⽤来做⼀下简单的介绍。

⼀、构造法在数值分析中的运⽤数值分析主要介绍现代科学计算中常⽤的数值计算⽅法及其基本原理，研究并解决数值问题的近似解，是数学理论与计算机和实际问题的有机结合。

１、配方法:所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法,把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。

通过配方解决数学问题的方法叫配方法.其中,用的最多的是配成完全平方式。

配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式.因式分解是恒等变形的基础,它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题中起着重要的作用。

因式分解的方法有许多,除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法:换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。

我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法,就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子,使它简化，使问题易于解决。

４、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c∈R，ａ≠0)根的判别式△=ｂ２-4aｃ,不仅用来判定根的性质,而且作为一种解题方法，在代数式变形,解方程(组)，解不等式,研究函数乃至解析几何、三角函数运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根,求另一根;已知两个数的和与积,求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数,计论二次方程根的符号,解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等,都有非常广泛的应用.5、待定系数法：在解数学问题时,若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系,从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。

它是中学数学中常用的重要方法之一。

6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析,构造辅助元素,它可以是一个图形、一个方程（组）、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决,这种解题的数学方法,我们称为构造法.运用构造法解题,可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。