2019届高三数学二轮专题复习文档：专题七选考系列 第1讲 坐标系与参数方程 Word版含解析

第一讲 选修4－4 坐标系与参数方程[考情分析]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是曲线的参数方程与极坐标方程的综合应用．2．全国卷对此部分的考查以解答题的形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．考点一 极坐标方程及其应用[典例感悟][典例] (2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．[解] (1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1,0)，半径为2的圆． 由题设知，C 1是过点B (0,2)且关于y 轴对称的两条射线． 记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于点B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，点A 到l 1所在直线的距离为2， 所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，点A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.[方法技巧]1．求曲线的极坐标方程的一般思路曲线的极坐标方程问题通常可利用互换公式转化为直角坐标系中的问题求解，然后再次利用互换公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互换公式是解决问题的关键．2．解决极坐标交点问题的一般思路(1)将极坐标方程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其转化为极坐标； (2)将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出交点的极坐标．[演练冲关](2018·太原模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0， 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.∴M (2,0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233.∴M 的极坐标为(2,0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6，∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．考点二 参数方程及其应用[典例感悟][典例] (2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率． [解] (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cos α＋sin α)t －8＝0.①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内， 所以①有两个解， 设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.[方法技巧]参数方程化为普通方程的方法及参数方程的应用(1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件．(2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解．[演练冲关](2018·广东广州花都区二模)已知直线l ：⎩⎨⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)设l 与C 1相交于A ，B 两点，求|AB |；(2)若把曲线C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标缩短到原来的32倍，得到曲线C 2，设P 是曲线C 2上的一个动点，求它到直线l 距离的最小值．解：(1)直线l 的普通方程为y ＝3(x －1)，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3(x －1)，x 2＋y 2＝1，解得l 与C 1的交点坐标分别为(1,0)，⎝⎛⎭⎫12，－32，故|AB |＝⎝⎛⎭⎫1－122＋⎝⎛⎭⎫0＋322＝1.(2)由题意得，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝12cos θ，y ＝32sin θ(θ为参数)，则点P 的坐标是⎝⎛⎭⎫12cos θ，32sin θ，所以点P 到直线l 的距离d ＝⎪⎪⎪⎪32cos θ－32sin θ－32＝64⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＋2， 故当sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝－1时，d 取得最小值，最小值为23－64. 考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用[典例感悟][典例] (2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解] (1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5. [方法技巧]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长．可先求出直角坐标系方程，然后求解． (2)判断位置关系．先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断．(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题．一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题．[演练冲关](2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t为参数)，曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝α，0<α<π.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)设A ，B 分别为射线l 与曲线C 1，C 2除原点之外的交点，求|AB |的最大值．解：(1)由曲线C 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，消去参数t 得x 2＋(y －1)2＝1，即x 2＋y 2－2y ＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2sin θ.由曲线C 2的直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4，得x 2＋y 2－4y ＝0，∴曲线C 2的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(2)联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝2sin θ，得A (2sin α，α)，∴|OA |＝2sin α，联立⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α，ρ＝4sin θ，得B (4sin α，α)，∴|OB |＝4sin α，∴|AB |＝|OB |－|OA |＝2sin α，∵0<α<π，∴当α＝π2时，|AB |有最大值，最大值为2.[课时跟踪检测]1．(2018·石家庄模拟)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ－3＝0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB |.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y ＝2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y ＝2x ，得ρsin θ＝2ρcos θ， 所以直线l 的极坐标方程为sin θ＝2cos θ. (2)因为ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4.圆C 的圆心C (0，－1)到直线l 的距离d ＝55， 所以|AB |＝24－d 2＝2955.2．(2018·益阳、湘潭模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程； (2)设点P (1,0)，求|PA |·|PB |的值．解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝12得ρcos θcos π3－ρsin θsin π3＝12，即12ρcos θ－32ρsin θ＝12， 又ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x －3y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2＝4，∵P (1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t(t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2＝4得7t 2＋43t －12＝0， ∴t 1·t 2＝－127， 故|PA |·|PB |＝|t 1|·|t 2|＝|t 1·t 2|＝127. 3．(2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|OQ |的值． 解：(1)曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0.∵直线C 2的方程为y ＝33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )． (2)设P (ρ1，θ1)，Q (ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R )代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0得，ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|OQ |＝ρ1ρ2＝3.4．(2018·福州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝ 2. (1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围； (2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值． 解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 即ρcos θ＋ρsin θ＝2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝sin α(α为参数，t >0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2＝1(t >0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2－4y ＋4－t 2＝0，所以Δ＝16－4(1＋t 2)(4－t 2)<0，又t >0， 解得0<t <3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y －2＝0，故曲线C 上的点(t cos α，sin α)到l 的距离d ＝|t cos α＋sin α－2|2，故d max ＝t 2＋1＋22＝62＋2，解得t ＝±2.又t >0，∴t ＝ 2.5．(2018·重庆模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN |的最小值及此时点M 的直角坐标． 解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y 23＝1，由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝32，得ρcos θ－ρsin θ＝6，∴曲线C 2的直角坐标方程为x －y －6＝0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)，点M 到直线x －y －6＝0的距离d ＝|3cos β－3sin β－6|2＝⎪⎪⎪⎪23sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＋62＝6＋23sin ⎝⎛⎭⎫β－π32，当sin ⎝⎛⎭⎫β－π3＝－1时，|MN |有最小值，最小值为32－6，此时点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫332，－32. 6．(2018·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A (2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ |2＝|AP |·|AQ |，求直线l 的斜率k .解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数)，因为ρ＝2sin θ，所以ρ2＝2ρsin θ，把y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入得x 2＋y 2＝2y ， 所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y .(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3＝0， 由Δ＝(4cos α)2－4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2＝－4cos α，t 1t 2＝3.不妨令|AP |＝|t 1|，|AQ |＝|t 2|，所以|PQ |＝|t 1－t 2|， 因为|PQ |2＝|AP |·|AQ |，所以(t 1－t 2)2＝|t 1|·|t 2|， 则(t 1＋t 2)2＝5t 1t 2，得(－4cos α)2＝5×3， 解得cos 2α＝1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α＝116，tan 2α＝115，所以k ＝tan α＝±1515. 7．(2019届高三·湘东五校联考)平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值．解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 为参数)，ρsin 2θ＝2cos θ，即ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2＝2x .(2)把直线l 的参数方程代入y 2＝2x ， 得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，得α＝π4或α＝3π4. 又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α>0，所以α＝π4.8．(2018·全国卷Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点． 当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2. l 与⊙O 交于两点需满足21＋k 2<1， 解得k <－1或k >1，即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4.设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P ＝t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α. 又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α， 所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧ x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α ⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.。

（新课标）高考数学二轮复习专题七选考部分第1讲坐标系与参数方程学案理新人教A版第1讲坐标系与参数方程[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox中，A(2，0)，B⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D(2，π)，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M1是弧AB︵，曲线M2是弧BC︵，曲线M3是弧CD︵.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝3，求P的极坐标．解：(1)由题设可得，弧AB︵，BC︵，CD︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M2的极坐标方程为ρ＝2sinθ⎝⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P(ρ，θ)，由题设及(1)知：若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3；若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6.综上，P的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值．解：(1)因为－1＜1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.[明考情]1．坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．2．全国卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．极坐标方程及其应用[典型例题](2019·高考全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程． 【解】 (1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点．连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP |＝2.经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上．所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ.因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsinθ，ρ2的形式，然后利用公式代入化简得到普通方程．②巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．③将直角坐标方程中的x 换成ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程． (2)求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[对点训练]1．(2019·合肥模拟)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以直线l 1的极坐标方程式为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A (π2，ρ1)、B (π4，ρ2)，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2(1＋2)ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2(1＋2)ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2. 故△OAB 的面积为12×(1＋2)2×sin π4＝1＋324.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与 C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.参数方程及其应用 [典型例题](2018·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)．(1)求C 和l 的直角坐标方程；(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求l 的斜率． 【解】 (1)曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y 216＝1.当cos α≠0时，l 的直角坐标方程为y ＝tan α·x ＋2－tan α， 当cos α＝0时，l 的直角坐标方程为x ＝1.(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程(1＋3cos 2α)t 2＋4(2cosα＋sin α)t －8＝0. ①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1，2)在C 内，所以①有两个解，设为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝0.又由①得t 1＋t 2＝－4(2cos α＋sin α)1＋3cos 2α，故2cos α＋sin α＝0，于是直线l 的斜率k ＝tan α＝－2.(1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化． ②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义． (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0，则以下结论在解题中经常用到：①t 0＝t 1＋t 22.②|PM |＝|t 0|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22.③|AB |＝|t 2－t 1|.④|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|.[对点训练]1．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝3sin θ(θ为参数)．直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|.则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求FA →·FB →的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，消去参数θ得x 216＋y 24＝1.由⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23消去参数t 得y ＝2x －4 3.将y ＝2x －43代入x 2＋4y 2＝16中，得17x 2－643x ＋176＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝64317，x 1x 2＝17617.所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝517×(643)2－4×17×176＝4017，所以|AB |的值为4017. (2)由(1)得，F (－23，0)，则 FA →·FB →＝(x 1＋23，y 1)·(x 2＋23，y 2) ＝(x 1＋23)(x 2＋23)＋(2x 1－43)(2x 2－43) ＝x 1x 2＋23(x 1＋x 2)＋12＋4[x 1x 2－23(x 1＋x 2)＋12] ＝5x 1x 2－63(x 1＋x 2)＋60 ＝5×17617－63×64317＋60＝44，所以FA →·FB →的值为44.极坐标方程与参数方程的综合应用[典型例题](2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为(2，π4)． (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)(一题多解)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.【解】 (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为(2，π4)，所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1)．(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8 000>0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝|t 1＋t 22|＝5541. 法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t y ＝1＋45t ，消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M (841，－341)．所以|PM |＝(841－1)2＋(－341－1)2＝(－3341)2＋(－4441)2＝5541.解决极坐标方程与参数方程综合问题的方法(1)对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．(2)对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程计算会比较简捷．(3)利用极坐标方程解决问题时，要注意题目所给的限制条件及隐含条件．[对点训练]1．(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3.(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0<r <2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围． 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2，令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一： 把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12ty ＝32t(t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)>0，结合0<r <2，得3<r 2<4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1>0，t 2>0， 所以1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2.因为3<r 2<4，所以0<4－r 2<1， 所以1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞)．2．(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B (ρ2，φ＋π6)，C (ρ3，φ－π6)(ρ1，ρ2，ρ3>0)都在曲线M 上．(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积．解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos(φ＋π6)，ρ3＝2cos(φ－π6)，则ρ2＋ρ3＝2cos(φ＋π6)＋2cos(φ－π6)＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，所以在平面直角坐标中，B (12，32)，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，所以ρ1＝ 3.所以四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.1．(2019·东北四市联合体模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcos θ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值．解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos 30°y ＝1＋t sin 30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t y ＝1＋12t(t 为参数)．设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ>0，ρ1>0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0)．(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中， 得(2＋32t )2－4(2＋32t )＋(1＋12t )2＝0， 即t 2＋t －3＝0，Δ＝13>0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP ||AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2．(2019·四省八校双教研联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2ty ＝t 2(其中t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，并取相同的单位长度，曲线C 2的极坐标方程为ρcos(θ＋π3)＝1.(1)求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)过P (0，1)的直线l 交曲线C 1于A ，B 两点，当|PA |·|PB |＝8时，求直线l 的倾斜角． 解：(1)消去参数t 得曲线C 1的普通方程为x 2＝4y ，曲线C 2的极坐标方程可化为ρcos θ－3ρsin θ＝2，化为直角坐标方程为x －3y －2＝0.(2)设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m cos αy ＝1＋m sin α(m 为参数，α为直线l 的倾斜角且α≠90°)，代入曲线C 1的普通方程中得m 2cos 2α－4m sin α－4＝0， 所以m 1m 2＝－4cos 2α，所以|PA |·|PB |＝|m 1m 2|＝4cos 2α＝8，得α＝45°或135°，即直线l 的倾斜角为45°或135°.3．(2019·广州市综合检测(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝sin 2t (t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C 2的极坐标方程为ρ(sin θ－a cos θ)＝12(a ∈R )．(1)写出曲线C 1的普通方程和直线C 2的直角坐标方程；(一题多解)(2)若直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，求a 的取值范围．解：(1)曲线C 1的普通方程为y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入ρ(sin θ－a cos θ)＝12，得直线C 2的直角坐标方程为y －ax ＝12，即ax －y ＋12＝0.(2)法一：由直线C 2∶ax －y ＋12＝0，知直线C 2恒过点M (0，12)．由y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)，知当y ＝0时，x ＝±1，则直线MP 的斜率为k 1＝0－12－1－0＝12，直线MQ 的斜率为k 2＝0－121－0＝－12.因为直线C 2的斜率为a ，且直线C 2与曲线C 1有两个不同的交点，所以k 2≤a ≤k 1，即－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．法二：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1－x 2(－1≤x ≤1)ax －y ＋12＝0，消去y 得x 2＋ax －12＝0，依题意，得x 2＋ax －12＝0在[－1，1]上有两个不相等的实根．设f (x )＝x 2＋ax －12，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2>0－1<－a 2<1f (－1)＝12－a ≥0，f (1)＝12＋a ≥0解得－12≤a ≤12.所以a 的取值范围为[－12，12]．4．(2019·湖南省湘东六校联考)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42sin(θ＋π4)．(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B ，Q 是曲线C 上的动点，求△ABQ 面积的最大值． 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－t ，y ＝－2＋t消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42sin(θ＋π4)＝4sin θ＋4cos θ，得ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2＝4x ＋4y ，所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(2)由(1)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过点P (3，2)，可知点P 在圆内．将直线l 的参数方程化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7－22t y ＝－2＋22t ，代入圆的直角坐标方程，得t 2－92t ＋33＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝92，t 1t 2＝33， 所以|AB |＝|t 2－t 1|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝30. 又圆心(2，2)到直线l 的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，所以△ABQ 面积的最大值为12×30×(22＋22)＝5152.5．(2019·济南市学习质量评估)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos 2θ＝sin θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t (t 为参数，其中a >0)，直线l 与曲线C 相交于M ，N 两点．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)若点P (0，a )满足1|PM |＋1|PN |＝4，求a 的值．解：(1)曲线C 的极坐标方程可化为ρ2cos 2θ＝ρsin θ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ，得曲线C 的直角坐标方程为y ＝x 2. (2)将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t y ＝a ＋12t (t 为参数)代入y ＝x 2，得34t 2－t 2－a ＝0，Δ＝14＋3a >0.设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝23，t 1t 2＝－4a3，所以1|PM |＋1|PN |＝|PM |＋|PN ||PM ||PN |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝49－4·(－4a 3)|－4a 3|＝4，化简得64a 2－12a －1＝0， 解得a ＝14或a ＝－116(舍去)，所以a ＝14.6．(2019·广东省七校联考)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋a cos φ，y ＝a sin φ(φ为参数，实数a >0)，曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝b cos φ，y ＝b ＋b sin φ(φ为参数，实数b >0)．在以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ＝α(ρ≥0，0≤α≤π2)与C 1交于O ，A两点，与C 2交于O ，B 两点，当α＝0时，|OA |＝1；当α＝π2时，|OB |＝2.(1)求a ，b 的值；(2)求2|OA |2＋|OA |·|OB |的最大值．解：(1)将C 1的参数方程化为普通方程为(x －a )2＋y 2＝a 2，其极坐标方程为ρ1＝2a cos θ， 由题意可得，当θ＝α＝0时，|OA |＝2a ＝1，所以a ＝12.将C 2的参数方程化为普通方程为x 2＋(y －b )2＝b 2，其极坐标方程为ρ2＝2b sin θ， 由题意可得，当θ＝α＝π2时，|OB |＝2b ＝2，所以b ＝1.(2)由(1)可得C 1，C 2的方程分别为ρ1＝cos θ，ρ2＝2sin θ，所以2|OA |2＋|OA |·|OB |＝2cos 2θ＋2sin θcos θ＝sin 2θ＋cos 2θ＋1＝2sin(2θ＋π4)＋1. 因为θ＝α，0≤α≤π2，所以0≤θ≤π2，所以2θ＋π4∈[π4，5π4]，所以当2θ＋π4＝π2，即θ＝π8时，2sin(2θ＋π4)＋1取得最大值，为2＋1.7．(2019·合肥市第一次质量检测)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α(α为参数)，以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)P ，Q 为曲线C 上两点，若OP →·OQ →＝0，求|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝102cos αy ＝sin α，得曲线C 的普通方程是2x 25＋y 2＝1，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得5ρ2sin 2θ＋2ρ2cos 2θ＝5，即ρ2＝53sin 2θ＋2(ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ也可得分)． (2)因为ρ2＝55sin 2θ＋2cos 2θ，所以1ρ2＝sin 2θ＋2cos 2θ5， 由OP →·OQ →＝0，得OP ⊥OQ ，设点P 的极坐标为(ρ1，θ)，则点Q 的极坐标可设为(ρ2，θ±π2)，所以|OP →|2·|OQ →|2|OP →|2＋|OQ →|2＝11|OP →|2＋1|OQ →|2＝11ρ21＋1ρ22＝1sin 2θ＋2cos 2θ5＋cos 2θ＋2sin 2θ5＝11＋25＝57.8．(2019·郑州市第二次质量预测)在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于M ，N 两点．(1)若点P 的极坐标为(2，π)，求|PM |·|PN |的值；(2)求曲线C 的内接矩形周长的最大值．解：(1)由ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝12得x 2＋3y 2＝12，故曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，点P 的直角坐标为(－2，0)，将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t y ＝22t 代入曲线C 的直角坐标方程x 212＋y24＝1中，得t 2－2t－4＝0，设点M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则|PM |·|PN |＝|t 1t 2|＝4.(2)由(1)知，曲线C 的直角坐标方程为x 212＋y 24＝1，可设曲线C 上的动点A (23cos α，2sin α)，0<α<π2，则以A 为顶点的内接矩形的周长为4(23cos α＋2sin α)＝16sin(α＋π3)，0<α<π2.因此该内接矩形周长的最大值为16，当且仅当α＝π6时取得最大值．。

专题七 极坐标系与参数方程【高考考场实情】极坐标与参数方程为高考选考内容之一，一道解答题，满分10分，考查难度定位中等偏易，是考生容易突破的一道题目。

【考查重点难点】主要考查直线与特殊位置的圆的极坐标方程，考查直线、圆、椭圆的参数方程，考查参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、极坐标方程与参数方程的互化，考查利用参数方程求轨迹的问题及轨迹方程的建立，考查参数方程与极坐标方程的直接应用，如极坐标系下两点间距离的求解等，交汇考查直线与圆锥曲线的位置关系、平面几何的有关基础知识、三角函数的性质等. 试题分设两问，第一问考查内容多为“互化”. 第二问考查内容均为利用参数方程中参数的几何意义或极坐标方程中ϑρ,的几何意义解决问题，内容涉及距离、面积、弦长、交点、轨迹等问题. 理论上说，本系列的问题通过“互化”转化为普通直角坐标方程后，均可用解析几何的相关知识加以解决，但是高考全国卷更加关注用本领域知识解决相关问题的考查，下面从学生存在的主要问题剖析出发，提出相应的教学对策. 【存在问题分析】（一）对直线参数方程中参数的几何意义认识不到位 【例1】在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,()23x tt y t=--⎧⎪⎨=-⎪⎩为参数.直线与曲线22:(2)1C y x --=交于,A B 两点.求||AB 的长；【名师点睛】本题易错的主要原因是对直线参数方程中参数的几何意义的认识不清，错误的由点,A B 对应的参数分别为12,t t 得2121212||||()414AB t t t t t t =-=+-=. 当直线的参数方程非标准式时，其参数并不具有距离的几何意义，只有把直线的参数方程化为标准的参数方程时，||t 才表示距离.一般地，直线⎩⎨⎧+=+=bt y y atx x 00（t表示参数），当122=+b a 时，||t 表示点),(y x p 到点00()P x ,y 的距离.【例2】在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程是1+cos ,sin .x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 是参数）．在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：4cos ρθ=，若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，设(1,0)P ，且1PA PB -=,求直线l 的倾斜角．【解析】直线l 为经过点(1,0)P 倾斜角为α的直线，由1cossin x t y t αα=+⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=，整理得22cos 30t t α--=，2(2cos )120α∆=+>，设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则122cos t t α+=，1230t t ⋅=-<， 所以1t ，2t 异号， 则12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==，所以1cos 2α=±，又),0[π∈α所以直线l 倾斜角3π=α或32π. 【名师点睛】本题易错的主要原因仍是直线参数方程中参数t 的几何意义认识不到位所致，||t 表示距离，t 是包含符号的，由于本题中，,A B 在P 点的两侧，12t ,t 异号，故12|||||||||2cos |1PA PB t t α-=+==而不是121212||||||||()44cos 121PA PB t t t t t t α-=-=+-⋅=+=. 此外，本题的参数方程中含两个字母参量，哪个是参数在审题时也是值得特别注意的. （二）忽略参数的取值范围导致“互化”不等价【例题3】将曲线1C 的参数方程1sin 22sin cos x y θθθ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（θ为参数）化为普通方程.【名师点睛】本题易错点主要在于忽视了三角函数sin y x =的有界性，即R,θ∈,212sin 2121≤≤-θ所以.2121≤≤-x 在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅要把其中的参数消去，还要注意y x ,的取值范围. （三）对极径的意义理解不到位，不能灵活使用极径解决问题【例题4】（2017全国II 卷22）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为4cos =θρ．（Ⅰ）M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足6⋅=OM OP ,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A 的极坐标为)3,2(π，点B 在曲线2C 上，求OAB ∆面积的最大值．【解析】（Ⅰ）设P 的极坐标为(,)(>0)ρρθ，M 的极坐标为11()(>0),ρθρ，则由已知得116⋅=ρρ即416cos ⋅=ρθ，得2C 的极坐标方程为4cos (0)=>ρθρ， 所以2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠【名师点睛】本题的主要问题在于对于极径的意义理解不到位，其一，不能将极径与OM 、OP 建立联系，从而无法快速求出P 的轨迹方程，其二，不能利用极径的几何意义建立OAB ∆的面积模型进行求解，而是顺着第一问的思路在直角坐标系下寻求解题出路，结果造成不能顺利建模亦或是建立OAB ∆面积关于直线OB 斜率的函数关系，致使解题过程复杂化，计算量加大，最终无法准确求解. 此外，在第（Ⅰ）问题目中还隐含着一个条件0>ρ，如果审题稍有不慎极易遗漏这一限制条件. （四）思维不严谨性，完备性欠缺【例题5】在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）.（Ⅰ）将1C 的方程化为普通方程；（Ⅱ）以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程是)(3R π∈=ρθ求曲线1C 与2C 交点的极坐标.【解析】（Ⅰ）曲线1C 的参数方程为22cos ,(2sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数）的普通方程为22(2)4x y -+=；（Ⅱ）把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22(2)4x y -+=得曲线1C 的极坐标方程为4cos ρθ=，把3π=θ代入得4cos23πρ==，又因为曲线1C 和曲线2C 的均过原点，.所以曲线1C 与2C 交点的极坐标为(0,0),(2,).3π【名师点睛】本题直接用极坐标方程求交点的极坐标非常容易遗漏（0,0）点.在极坐标方程与直角坐标方程互化的过程中，经常需要在方程两边同乘以或除以ρ，这时需要考虑等价问题：如果曲线0),(=θρϕ不通过极点，那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ不等价；如果曲线0),(=θρϕ通过极点，那么0),(=⋅θρϕρ与0),(=θρϕ等价，这是因为0=ρ包含在方程(,)0ϕρθ=的曲线中. 本题由于曲线1C 和曲线2C 的均过原点，所以交点的极坐标还包含有(0,0).如果本题用直角坐标方程求解也不难，且不易遗漏原点.所以求交点坐标的问题，一般宜用我们熟悉的直角坐标方程求解.【例题6】在直角坐标系xOy 中，直线4:1=+y x C 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C （θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）写出直线1C 与2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于A ，B 两点，求OAOB 的取值范围.【解析】（Ⅰ） 在直角坐标系xOy 中，直线4:1=+y x C ∴直线1C 的极坐标方程为,4)sin (cos =+θθρ 曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 1:2y x C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，∴曲线2C 的极坐标方程为θρcos 2=.【名师点睛】本题的易漏点在于对题目隐含条件的挖掘，求出OA OB ],1)42(cos 2[41)12sin 2(cos 41)sin (cos cos 241||||12+-=++=+⋅==πααααααρρOA OB 后直接得OAOB 的取值范围是]4221,4221[+-忽略了射线)0(:>=ραθl 分别交1C 与2C 于相交，隐含着24ππ<<-α这一条件.【解决问题对策】（一）关注两个“互化”的技能训练【指点迷津】参数方程和普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化是高考每年必考的内容之一，考查形式多样，有直接要求互化的，也有通过转化化为直角坐标方程或普通方程，然后利用解析几何的相关知识解决问题的，因此，应通过专项训练使之熟练化、自动化.【例7】（2017年高考全国III 卷23）在平面直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2+x t y kt =⎧⎨=⎩（t 为参数），直线2l 的参数方程为2x m m m y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（为参数）．设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）写出C 的普通方程；（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设()3cos sin 20l ρθθ+-=：，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．（Ⅱ）将极坐标方程转化为一般方程3:20l x y +-=，联立22204x y x y ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩，解得32222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，解得5ρ=，即M 的极半径是5． （二）强化对直线参数方程中参数t 的几何意义的认识【指点迷津】利用直线参数方程中参数t 的几何意义，可以快速求解与线段长度、距离等相关的问题. 使用时应注意t 表示距离时方程的特征和t 所具有的“方向”性.【例8】在极坐标系中，已知曲线1C ：θρcos 2=和曲线2C ：3cos =θρ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.可知2|||||2cos |AP t θ==代入2C 可得2cos 3,t θ+=解得/1cos t θ=， 可知/1||||||cos AQ t θ== 所以PQ=1|||||2cos |||22,cos AP AQ θθ+=+≥当且仅当1|2cos |||cos θθ=时取等号， 所以线段PQ 长度的最小值为22.（三）关注圆、椭圆参数方程在求最值方面的应用【指点迷津】涉及有关最值或参数范围问题的求解，常可利用圆与椭圆的参数方程，化为三角函数的最值问题处理.【例9】（2017年高考全国I 卷22）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为()41x a tt y t =+⎧⎨=-⎩为参数.（Ⅰ）若1a =-，求C 与l 的交点坐标；（Ⅱ）若C 上的点到l 的距离的最大值为17，求a .（四）关注极径、极角几何意义的认识与应用 【例10】在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）.以原点O 为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（Ⅰ）求曲线1C 普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线3C 的极坐标方程为(0,)R θααπρ=<<∈，点A 是曲线3C 与1C 的交点，点B 是曲线3C 与2C 的交点，且A ，B 均异于原点O ，且||42AB =，求实数α的值. 【解析】（Ⅰ）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 普通方程为22(2)4x y -+=，.4sin ρθ=，∴24sin ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；（Ⅱ）由（Ⅰ）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=， 由题意设1(,)A a ρ，2(,)B a ρ，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-42|sin()|424πα=-=，∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，π<<α0，∴43π=α.（五）注重算法的选择，关注运用本领域知识进行的问题解决【指点迷津】将陌生的问题化为已知的问题加以解决，是问题解决的常见思维模式，对极坐标、参数方程的有关问题解决，最简洁的思路就是将极坐标方程转化为直角坐标方程、参数方程转化为普通方程，再利用解析几何的知识解决问题，然而在有些情况下这种转化却会加大运算过程，有时还会出现无法计算结果的情形，近年来高考全国卷就经常出现这种情况，因此除了掌握化为普通直角坐标方程求解的算法外，还应关注运用本领域知识解决问题的算法.【例11】（2016年高考全国Ⅲ卷22）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos ()sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+= . （Ⅰ）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【解法一】（Ⅰ）1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为40x y +-=.（Ⅱ）设点(3cos sin )P αα+，因2C 为直线，所以PQ 的最小值即为点P 到直线2C 的距离的最小值.而点P 到直线2C 的距离为3cos sin 42sin()232d ααπα+-==+-当且仅当2(Z)6k k παπ=+∈时，d 取得最小值2，即PQ 的最小值为2，此时点31(,)22P . 【解法二】（Ⅰ）同法（Ⅰ）.当2c =-时，方程2246(33)0x cx c ++-=可化为241290x x -+=，即2(23)0x -=所以32x =，122y x =-+=，即切点31(,)22P ，此时 4222d -+==，即PQ 的最小值为2.【名师点睛】显然，法一优于法二，即利用椭圆参数方程，将问题转化为三角函数最值运算优于转化为直角坐标用解析几何知识解决.【新题好题训练】1．已知直线的参数方程：（为参数），曲线的参数方程：（为参数），且直线交曲线于两点．（Ⅰ）将曲线的参数方程化为普通方程，并求时，的长度；（Ⅱ）已知点，求当直线倾斜角变化时，的范围．【答案】（I）；（II）.【解析】试题分析：（I）利用消参后可得曲线C的普通方程，把代入交消去参数可得直线的普通方程，再把直线方程代入曲线C方程，结合韦达定理、弦长公式可得弦长；（II）直线的参数方程是标准参数方程，直接代入曲线C的普通方程，A、B两点参数是此方程的解，且，由此可得其取值范围．试题解析：（Ⅰ）曲线的参数方程：（为参数），曲线的普通方程为．当时，直线的方程为，代入，可得，∴.∴.（Ⅱ）直线参数方程代入，得．设对应的参数为，∴．2．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程与的直角坐标方程；（2）判断曲线是否相交，若相交，求出相交弦长.【答案】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）.试题解析：（1）由题知，将曲线的参数方程消去参数，可得曲线的普通方程为.由，得.将，代入上式，得，即.故曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）知，圆的圆心为，半径，因为圆心到直线的距离，所以曲线相交，所以相交弦长为.3．在直角坐标系中，曲线的参数方程为：,以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系.(1) 若把曲线上的点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线，求的极坐标方程；(2) 直线的极坐标方程是,与曲线交于两点，求三角形的面积.【答案】(1)；(2).【解析】试题分析：（1）根据坐标变换得到曲线，利用极坐标转换公式即可写出极坐标方程；（2）转化为直角坐标系方程后，联立方程组，解出点的坐标，计算即可.(2)（法一）直线与曲线的交点为，则的极坐标满足方程组：解之得：、，（法二）直线与曲线C1的交点为，则A、B的直角坐标满足方程组：联立方程可得:、,所以边上的高为，4．已知圆锥曲线（为参数）和定点，是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线的直角坐标方程；（2）经过点且与直线垂直的直线交此圆锥曲线于两点，求的值.【答案】（1）；（2）.解析：（1）得圆锥曲线的直角坐标方程为，椭圆的左焦点为，右焦点为，∴直线的直角坐标方程为，即为（2）∵直线与直线垂直且过点，∴直线的参数方程为（为参数）.将其代入得，即，∴，，∴与异号，∴.∴=.5．选修4-4：坐标系与参数方程已知在极坐标系中，点，，是线段的中点，以极点为原点，极轴为轴的正半轴，并在两坐标系中取相同的长度单位，建立平面直角坐标系，曲线的参数方程是（为参数）. （1）求点的直角坐标，并求曲线的普通方程；（2）设直线过点交曲线于两点，求的值.【答案】（Ⅰ）,. （Ⅱ）12.试题解析：（（Ⅰ）将点，的极坐标化为直角坐标，得和.所以点的直角坐标为.将消去参数，得，即为曲线的普通方程.（Ⅱ）解法一：直线的参数方程为（为参数，为直线的倾斜角）代入，整理得：.设点、对应的参数值分别为、.则，.解法二：过点作圆：的切线，切点为，连接，因为点由平面几何知识得：，所以.6．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的非负半轴为极轴取相同的长度单位建立极坐标系，曲线的参数方程为（为参数，），直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若为曲线上任意一点，为直线任意一点，求的最小值.【答案】(1) 直线的直角坐标方程为,曲线的轨迹方程是上半圆;(2) 的最小值为.试题解析：（1）曲线的参数方程为（为参数，），消去参数可得，由于，所以，故曲线的轨迹方程是.由，可得，即，把代入上式可得，故直线的直角坐标方程为.（2）由题意可得点在直线上，点在半圆上，半圆的圆心到直线的距离等于，故的最小值为.点睛：解答本题时注意以下两点：（1）消去参数方程中的参数得到普通方程时，要注意参数取值范围的限制，在普通方程中仍要注明取值范围．（2）解答解析几何中的最值问题时，对于一些特殊的问题，可根据几何法求解，以增加形象性、减少运算量．7．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），已知直线的方程为. （1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最小值；（2）若曲线上的所有点均在直线的右下方，求的取值范围.【答案】（1）.（2）.（Ⅱ）若曲线上的所有点均在直线的右下方则，有恒成立，即恒成立，恒成立，即可求的取值范围．试题解析：（Ⅰ）依题意，设，则点到直线的距离，当，即，时，，故点到直线的距离的最小值为.（Ⅱ）因为曲线上的所有点均在直线的右下方，所以对，有恒成立，即恒成立，所以，又，所以.故的取值范围为.【点睛】本题考查极坐标方程与普通方程的互化，考查参数方程的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．8．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）已知点是曲线上一点，点是曲线上一点，的最小值为，求实数t的值．【答案】(1)见解析;(2)或．试题解析（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为，即，化为极坐标方程为，由曲线的极坐标方程（），得（），∴曲线的直角坐标方程为，即．（2）曲线的圆心到直线的距离，故的最小值为，解得或．9．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点的曲线上运动.(I)若点在射线上,且,求点的轨迹的直角坐标方程;(Ⅱ)设,求面积的最大值.【答案】（Ⅰ）.(Ⅱ) .【解析】试题分析：试题解析：（Ⅰ）设，则，又,,,，．将代入上式可得点的直角坐标方程为．（Ⅱ）设，则，的面积，当且仅当，即时等号成立面积的最大值为．10．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,圆的极坐标方程为.(I)求圆的直角坐标方程；(II)若是直线与圆面的公共点,求的取值范围.【答案】（Ⅰ）见解析;(Ⅱ) 见解析.【解析】分析: (I)直接利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程. (II)先求出直线l与圆的公共点，再数形结合分析出的取值范围.详解：（Ⅰ）∵圆的极坐标方程为又∴∴圆普通方程为，设.故点在线段上从而当与点重合时，当与点重合时，故的取值范围为[-1,1].点睛：对于第(Ⅱ)问，方法比较多，本题的解答时利用了数形结合的方法.,z表示直线的纵截距，纵截距最大，z最大，纵截距最小，z最小. 一般看到二元一次多项式要联想到利用直线的纵截距的几何意义解答比较方便.。

第讲坐标系与参数方程高考定位高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真题感悟.(·全国Ⅱ卷)在直角坐标系中，曲线的参数方程为θ，＝ θ)) (θ为参数)，直线的参数方程为α，＝＋ α))(为参数).()求和的直角坐标方程；()若曲线截直线所得线段的中点坐标为(，)，求的斜率.解()曲线的直角坐标方程为＋＝.当α≠时，的直角坐标方程为＝α·＋－α，当α＝时，的直角坐标方程为＝.()将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程(＋α)＋ ( α＋α)－＝.①因为曲线截直线所得线段的中点(，)在内，所以①有两个解，设为，，则＋＝.又由①得＋＝－α＋ α）＋α)，故α＋α＝，于是直线的斜率＝α＝－..(·全国Ⅰ卷)在直角坐标系中，曲线的方程为＝＋.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρ＋ρθ－＝.()求的直角坐标方程；()若与有且仅有三个公共点，求的方程.解()由＝ρθ，＝ρθ，得的直角坐标方程为＋＋－＝，即(＋)＋＝.()由()知是圆心为(－，)，半径为的圆.由题设知，是过点(，)且关于轴对称的两条射线.记轴右边的射线为，轴左边的射线为.由于在圆的外面，故与有且仅有三个公共点等价于与只有一个公共点且与有两个公共点，或与只有一个公共点且与有两个公共点.当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以＝，故＝－或＝.经检验，当＝时，与没有公共点；当＝－时，与只有一个公共点，与有两个公共点.当与只有一个公共点时，到所在直线的距离为，所以＝，故＝或＝.经检验，当＝时，与没有公共点；当＝时，与没有公共点.综上，所求的方程为＝－＋.考点整合.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(，)和(ρ，θ)，则θ，＝ρ θ，))θ＝()（≠）.)).直线的极坐标方程若直线过点(ρ，θ)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρ(θ－α)＝ρ(θ－α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程：()直线过极点：θ＝α；。

2019年高考数学二轮复习专题七第1讲坐标系与参数方程案文高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用.以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)设点M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值.解 (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0). 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0). 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0). (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0).由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积 S ＝12|OA |·ρB ·sin∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t(t 为参数).(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解 (1)a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.曲线C 的标准方程是x 29＋y 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.则C 与l 交点坐标是(3，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程是x ＋4y －4－a ＝0. 设曲线C 上点P (3cos θ，sin θ).则P 到l 距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－4－a |17＝|5sin （θ＋φ）－4－a |17，其中tan φ＝34.又点C 到直线l 距离的最大值为17. ∴|5sin(θ＋φ)－4－a |的最大值为17. 若a ≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a ＝8. 若a <0，则5－4－a ＝17，∴a ＝－16. 综上，实数a 的值为a ＝－16或a ＝8.考 点 整 合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx （x ≠0）.2.直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α).几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α；(2)直线过点M (a ，0)(a >0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过M ⎝⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (r ，0)，半径为r ：ρ＝2r cos θ；(3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫r ，π2，半径为r ：ρ＝2r sin θ.4.直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).设P 是直线上的任一点，则t 表示有向线段P 0P →的数量. 5.圆、椭圆的参数方程(1)圆心在点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数，0≤θ≤2π).(2)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).热点一 曲线的极坐标方程【例1】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积.解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.【迁移探究1】 本例条件不变，求直线C 1与曲线C 3交点的极坐标.解 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧ρcos θ＝－2，θ＝π4，解之得θ＝π4且ρ＝－2 2. 所以直线C 1与曲线C 3交点的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，π4. 【迁移探究2】 本例条件不变，求圆C 2关于极点的对称圆的方程.解 ∵点(ρ，θ)与点(－ρ，θ)关于极点对称，设点(ρ，θ)为对称圆上任意一点，则(－ρ，θ)在圆C 2上，∴(－ρ)2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0，故所求圆C 2关于极点的对称圆方程为ρ2＋2ρcos θ＋4ρsin θ＋4＝0.探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x(x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练1】 (2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0，C 2：ρ＝2cos θ.(1)求曲线C 1，C 2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线C 1，C 2交于A ，B 两点，求两点间的距离. 解 (1)由C 1：ρcos θ－3ρsin θ－1＝0， ∴x －3y －1＝0，表示一条直线. 由C 2：ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ. ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1， ∴C 2是圆心为(1，0)，半径r ＝1的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线x －3y －1＝0上，因此直线C 1过圆C 2的圆心. ∴两交点A ，B 的连线段是圆C 2的直径，因此两交点A ，B 间的距离|AB |＝2r ＝2. 热点二 参数方程及其应用【例2】 (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值. 解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255； 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件. 2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.【训练2】 (2017·郴州三模)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线l 的普通方程以及曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 的两个交点分别为M ，N ，直线l 与x 轴的交点为P ，求|PM |·|PN |的值. 解 (1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝22t (t 为参数)，消去参数t ，得x ＋y －1＝0.曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2＋2sin θ(θ为参数)，利用平方关系，得x 2＋(y －2)2＝4，则x 2＋y 2－4y ＝0.令ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ，代入得C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (2)在直线x ＋y －1＝0中，令y ＝0，得点P (1，0). 把直线l 的参数方程代入圆C 的方程得t 2－32t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM |·|PN |＝|t 1·t 2|＝1. 热点三 极坐标与参数方程的综合应用【例3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标. 解 (1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1，曲线C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α).因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值.又d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2，当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.【训练3】 (2017·哈尔滨模拟)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4.(1)写出曲线C 的极坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若射线θ＝π3与曲线C 交于O ，A 两点，与直线l 交于B 点，射线θ＝11π6与曲线C 交于O ，P 两点，求△PAB 的面积.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，消去θ.普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝4，即32ρsin θ＋12ρcos θ＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －8＝0.(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫2，π3，⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3，联立射线θ＝11π6与曲线C 的极坐标方程得P 点极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，11π6，∴|AB |＝2，∴S △PAB ＝12×2×23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝2 3.1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.3.过定点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)，t 的几何意义是P 0P →的数量，即|t |表示P 0到P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点P 1，P 2对应的参数分别为t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2的中点对应的参数为12(t 1＋t 2).1.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值.解 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2消去t .得l 的普通方程为x －2y ＋8＝0，因为点P 在曲线C 上，设点P (2s 2，22s ).则点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|5＝2（s －2）2＋45，∴当s ＝2时，d 有最小值45＝455.2.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝21－sin θ.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点O 作直线l 交曲线于点P ，Q ，若|OP |＝3|OQ |，求直线l 的极坐标方程. 解 (1)∵ρ＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， ∴ρ＝21－sin θ化为ρ－ρsin θ＝2，∴曲线的直角坐标方程为x 2＝4y ＋4.(2)设直线l 的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R )，根据题意，不妨设P (θ0，ρ0)，则Q (θ＋π，ρ1)，且ρ0＝3ρ1，即21－sin θ0＝3·21－sin （θ0＋π），解得θ0＝π6或θ0＝5π6， 直线l 的极坐标方程θ＝π6(ρ∈R )或θ＝5π6(ρ∈R ).3.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k (m 为参数).设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为与C 的交点，求M 的极径.解 (1)由l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)消去t ，化为l 1的普通方程y ＝k (x －2)，① 同理得直线l 2的普通方程为x ＋2＝ky ，② 联立①，②消去k ，得x 2－y 2＝4(y ≠0). 所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0). (2)将直线l 3化为普通方程为x ＋y ＝2， 联立⎩⎨⎧x ＋y ＝2，x 2－y 2＝4得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝322，y ＝－22，∴ρ2＝x 2＋y 2＝184＋24＝5，∴与C 的交点M 的极径为 5.4.(2017·新乡三模)以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M 的直角坐标方程为x －2y ＋2＝0(x >0). (1)以曲线M 上的点与点O 连线的斜率k 为参数，写出曲线M 的参数方程； (2)设曲线C 与曲线M 的两个交点为A ，B ，求直线OA 与直线OB 的斜率之和. 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0（x >0），y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1.故曲线M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k2k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 为参数，且k >12. (2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x 2＋y 2＝4x . 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22k －1，y ＝2k 2k －1代入x 2＋y 2＝4x 整理得k 2－4k ＋3＝0，∴k 1＋k 2＝4.故直线OA 与直线OB 的斜率之和为4.5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0).在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解 (1)消去参数t 得到C 1的普通方程x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆. 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中， 得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0. (2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，在C 3上.所以a ＝1.6.(2017·乐山二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0≤θ<π)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos α，圆C 的圆心到直线l 的距离为32.(1)求θ的值；(2)已知P (1，0)，若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，求1|PA |＋1|PB |的值. 解 (1)由直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ(t 为参数，0≤θ<π)，消去参数t ，得x sinθ－y cos θ－sin θ＝0.圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos α，即ρ2＝－4ρcos α. 可得圆C 的普通坐标方程为x 2＋y 2＋4x ＝0，可知圆心为(－2，0)，圆C 的圆心到直线l 的距离为d ＝|－2sin θ－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ＝3sin θ. 由题意：d ＝32，即3sin θ＝32，则sin θ＝12，∵0≤θ<π， ∴θ＝π6或θ＝5π6.(2)已知P (1，0)，点P 在直线l 上，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ代入圆C 的普通坐标方程x 2＋y 2＋4x ＝0，得(1＋t cos θ)2＋(t sin θ)2＋4(1＋t cos θ)＝0， ∴t 2＋6t cos θ＋5＝0.设A ，B 对应参数为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－6cos θ，t 1·t 2＝5， ∵t 1·t 2>0，t 1，t 2是同号. ∴1|PA |＋1|PB |＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1|＋|t 2||t 1t 2|＝|t 1＋t 2||t 1t 2|＝335.。

高三数学第二轮重点复习内容高三数学第二轮重点复习内容专题一：函数与不等式，以函数为主线，不等式和函数综合题型是考点函数的性质：着重掌握函数的单调性，奇偶性，周期性，对称性。

这些性质通常会综合起来一起考察，并且有时会考察具体函数的这些性质，有时会考察抽象函数的这些性质。

一元二次函数：一元二次函数是贯穿中学阶段的一大函数，初中阶段主要对它的一些基础性质进行了了解，高中阶段更多的是将它与导数进行衔接，根据抛物线的开口方向，与x轴的交点位置，进而讨论与定义域在x轴上的摆放顺序，这样可以判断导数的正负，最终达到求出单调区间的目的，求出极值及最值。

不等式：这一类问题常常出现在恒成立，或存在性问题中，其实质是求函数的最值。

当然关于不等式的解法，均值不等式，这些不等式的基础知识点需掌握，还有一类较难的综合性问题为不等式与数列的结合问题，掌握几种不等式的放缩技巧是非常必要的。

专题二：数列。

以等差等比数列为载体，考察等差等比数列的通项公式，求和公式，通项公式和求和公式的关系，求通项公式的几种常用方法，求前n项和的几种常用方法，这些知识点需要掌握。

专题三：三角函数，平面向量，解三角形。

三角函数是每年必考的知识点，难度较小，选择，填空，解答题中都有涉及，有时候考察三角函数的公式之间的互相转化，进而求单调区间或值域;有时候考察三角函数与解三角形，向量的综合性问题，当然正弦，余弦定理是很好的工具。

向量可以很好得实现数与形的转化，是一个很重要的知识衔接点，它还可以和数学的一大难点解析几何整合。

专题四：立体几何。

立体几何中，三视图是每年必考点，主要出现在选择，填空题中。

大题中的立体几何主要考察建立空间直角坐标系，通过向量这一手段求空间距离，线面角，二面角等。

另外，需要掌握棱锥，棱柱的性质，在棱锥中，着重掌握三棱锥，四棱锥，棱柱中，应该掌握三棱柱，长方体。

空间直线与平面的位置关系应以证明垂直为重点，当然常考察的方法为间接证明。

专题五：解析几何。

专题七 选考部分 第1讲 坐标系与参数方程极坐标方程及其应用(综合型)圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r ，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0.几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a ，0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ. 直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0；(2)直线过点M (a ，0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过点M ⎝⎛⎭⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b . [典型例题](2018·南昌模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(θ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)若直线l 1，l 2的极坐标方程分别为θ＝π6(ρ∈R )，θ＝2π3(ρ∈R )，设直线l 1，l 2与曲线C的交点为O ，M ，N ，求△OMN 的面积．【解】 (1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(θ为参数)，得普通方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以C的极坐标方程为ρ2cos 2θ＋ρ2sin 2θ－4ρsin θ＝0，即ρ＝4sin θ.(2)不妨设直线l 1：θ＝π6(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，M ，则ρM ＝|OM |＝4sin π6＝2.又直线l 2：θ＝2π3(ρ∈R )与曲线C 的交点为O ，N ，则ρN ＝|ON |＝4sin 2π3＝2 3.又∠MON＝π2，所以S △OMN ＝12|OM ||ON |＝12×2×23＝2 3.(1)极坐标方程与普通方程互化的技巧①巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧，将极坐标方程构造成含有ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形成，然后利用公式代入化简得到普通方程．②巧借两角和差公式，转化ρsin(θ±α)或ρcos(θ±α)的结构形式，进而利用互化公式得到普通方程．③将直角坐标方程中的x 换成ρcos θ，将y 换成ρsin θ，即可得到其极坐标方程． (2)求解与极坐标有关问题的主要方法①直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用．②转化为直角坐标系，用直角坐标求解．若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标．[对点训练]1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐极； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)因为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， 所以ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0，令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233.所以M (2，0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233.所以M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)因为M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，所以P 的极角为θ＝π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．2．(2018·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为y ＝k |x |＋2.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－3＝0.(1)求C 2的直角坐标方程；(2)若C 1与C 2有且仅有三个公共点，求C 1的方程．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得C 2的直角坐标方程为(x ＋1)2＋y 2＝4. (2)由(1)知C 2是圆心为A (－1，0)，半径为2的圆．由题设知，C 1是过点B (0，2)且关于y 轴对称的两条射线．记y 轴右边的射线为l 1，y 轴左边的射线为l 2.由于B 在圆C 2的外面，故C 1与C 2有且仅有三个公共点等价于l 1与C 2只有一个公共点且l 2与C 2有两个公共点，或l 2与C 2只有一个公共点且l 1与C 2有两个公共点．当l 1与C 2只有一个公共点时，A 到l 1所在直线的距离为2，所以|－k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝－43或k ＝0.经检验，当k ＝0时，l 1与C 2没有公共点；当k ＝－43时，l 1与C 2只有一个公共点，l 2与C 2有两个公共点．当l 2与C 2只有一个公共点时，A 到l 2所在直线的距离为2，所以|k ＋2|k 2＋1＝2，故k ＝0或k ＝43.经检验，当k ＝0时，l 1与 C 2没有公共点；当k ＝43时，l 2与C 2没有公共点．综上，所求C 1的方程为y ＝－43|x |＋2.参数方程及其应用(综合型)直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程(2018·武汉调研)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23(t 为参数)，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点．(1)求|AB |的值；(2)若F 为曲线C 的左焦点，求F A →·FB →的值．【解】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θy ＝2sin θ(θ为参数)，消去参数θ得x 216＋y 24＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋3，y ＝2t －23消去参数t 得y ＝2x －4 3. 将y ＝2x －43代入x 2＋4y 2＝16中，得17x 2－643x ＋176＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝64317，x 1x 2＝17617.所以|AB |＝1＋22|x 1－x 2|＝1＋417×（643）2－4×17×176＝4017，所以|AB |的值为4017. (2)由(1)得，F (－23，0)，则 F A →·FB →＝(x 1＋23，y 1)·(x 2＋23，y 2) ＝(x 1＋23)(x 2＋23)＋(2x 1－43)(2x 2－43) ＝x 1x 2＋23(x 1＋x 2)＋12＋4[x 1x 2－23(x 1＋x 2)＋12] ＝5x 1x 2－63(x 1＋x 2)＋60 ＝5×17617－63×64317＋60＝44，所以F A →·FB →的值为44.(1)有关参数方程问题的2个关键点①参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化． ②利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义． (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数。