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2020高考虽然延迟，但是练习一定要跟上，加油，孩子们！第Ⅰ卷（选择题 共60分）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B), 如果事件A 、B 相互独立，那么P(A·B)=P(A)·P(B), 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C P P -=-.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}P Q ==3454567，，，，，，，定义P ※Q ＝{}Q b P a b a ∈∈，|),(，则P※Q中元素的个数为（ ）A ．3B ．4C ．7D ．122．下列判断错误的是 （ ）A ．命题“若q 则p ”与命题“若p 则q ”互为逆否命题B ．“am 2<bm 2”是“a<b ”的充要条件C ．“矩形的两条对角线相等”的否命题为假D ．命题“}2,1{4}2,1{∈⊂或φ”为真（其中φ为空集）3．若复数312a i i++（i 是虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 （ ） A ．-2 B ．4 C ．-6 D ．6 4．已知映射B A f →:,其中A=B=R,对应法则x x y f 2:2+-=,对于实数B k ∈,在集合A中不存在原象,则k的取值范围是（ ）A ．1>kB ．1≥kC ．1<kD ． 1≤k 5．某工厂六年来生产某种产品的情况是：前三年年产量的增长速度越来越快，后三年年产量保持不变，则该厂六年来这种产品的可用图像表示的是 （ ）A .B . C. D . 6．已知函数f (x ) =3 - 2|x |，g (x ) = x 2- 2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x ) = g (x )；当f (x )＜g (x )时，F (x ) =f (x )，那么F (x ) （ ）A ．有最大值3，最小值-1B ．有最大值3，无最小值C ．有最大值7-27 ，无最小值D ．无最大值，也无最小值7．记二项式（1+2x ）n 展开式的各项系数和为a n ，其二项式系数和为b n ，则lim n nn n nb a b a →∞-+等于 （ ）A ．1B ．－1C ．0D ．不存在8．已知数列{}n x 满足212x x =，)(2121--+=n n n x x x ，Λ,4,3=n ．若2lim n n x →∞=，则=1x （）A ．23B ．3C ．4D ．59．设函数)(x f y =满足1)()1(+=+x f x f ，则方程x x f =)(根的个数可能是（ ）A ．无穷个B ．没有或者有限个C ．有限个D ．没有或者无穷多10．将1，2，…，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数都成等差数列的概率为（ ） A ．561B ．701 C ．3361 D ．4201 11．为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图，如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生数为b ，则a ,b 的值分别为 （ ）A ．0,27,78B ．0,27,83C ．2.7,78D ．2.7,8312．已知函数)(()(x f x f x y ''=其中的图象如右图所示))(的导函数是函数x f ，下面四个图象中)(x f y =的图象大致是（ ）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上）13．右图是某保险公司提供的资料，在1万元以上的保险单中，有218少于2.5万元，那么不少于2.5万元的保险单有 万元．14．已知项数为8的等比数列的中间两项是方程22740x x ++=的两根，则数列的各项积是 ．15．某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，下表是过去200例类似项目开发的实施结果：则该公司一年后估计可获收益的期望 是__________（元）．16．已知n 次式项式n n n n n a x a x a x a x P ++++=--1110)(Λ. 如果在一种算法中，计算),,4,3,2(0n k x k Λ=的值需要k －1次乘法，计算P 3（x 0）的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算P 10（x 0）的值共需要 次运算.下面给出一种减少运算次数的算法：P 0（x ）=a 0，P k +1（x ）=x P k （x ）+a k +1投资成功 投资失败 192次8次2000元 以下46%不少于1万元21% 保险单数目（总数700万元）5000~9999元19%2000~4999元14%（k=0，1，2，…，n－1）.利用该算法，计算P3（x0）的值共需要6次运算，计算P10（x0）的值共需要次运算.三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是0.4，0.5，0.6，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率.18．（本小题满分12分）设数列{a n}和{b n}满足a1=b1=6, a2=b2=4, a3=b3=3, 且数列{a n+1－a n }（n∈N*）是等差数列，数列{b n－2}(n∈N*)是等比数列.（Ⅰ）求数列{a n}和{b n}的通项公式；1）？若存在，求出k；若不存（Ⅱ）是否存在k∈N*，使a k－b k∈（0，2在，说明理由.19．（本小题满分12分）某企业有一条价值a 万元的生产流水线，要提高该生产流水线的生产能力，提高产品的增加值，就要对流水线进行技术改造．假设增加值y 万元与技改投入x 万元之间的关系满足： ①y与2()a x x -成正比例；②当2ax =时，32a y =；③0≤2()xa x -≤t ．其中t 为常数且t ∈(0，2]．(Ⅰ) 设()y f x =，求出()f x 的表达式，并求其定义域； (Ⅱ) 求出增加值y 的最大值，并求出此时的x 的值．20．（本小题满分12分）已知函数1ln(1)()(0).x f x x x++=> （Ⅰ）函数)(x f 在区间（0，+∞）上是增函数还是减函数？证明你的结论； （Ⅱ）若当0>x 时，1)(+>x kx f 恒成立，求正整数k 的最大值．21．（本小题满分12分）设函数y ＝f ( x )定义在R 上, 对任意实数m , n 恒有f ( m ＋n )＝f ( m )·f ( n )，且当x ＞0时, 0＜f ( x )＜1. （Ⅰ）求证: f (0 )＝1； （Ⅱ）求证: 当x ＜0时, f ( x )＞1；(Ⅲ) 求证: f ( x )在R 上是减函数；(Ⅳ) A ＝{ (x , y ) | f ( x 2 )·f ( y 2 )＞f (1) } , B ＝{( x, y ) | f ( ax －y ＋2 )＝1, a ∈R},若A ∩B ＝∅, 求a 的取值范围.22．（本小题满分14分）已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a0111,(4),.2n n n a a a a n N +==-∈ （Ⅰ）证明;,21N n a a n n ∈<<+ （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式a n .数学科试题(理科)详细答案选择题一、填空题13．91万元14．1615．4760n n+次，2n次．16．(3)2详细参考答案一、选择题1．解: ∵P※Q＝{}，，∴P※Q的元素(,)∈∈(,)|a b a P b Qa b有3⨯4＝12个，故选D．2．解:用淘汰法验证可知“am 2<bm 2”是“a<b ”的充分不必要条件，注意m=0的特殊情况，选B ．3．解法一：设312a iki i+=+，则()3122a i ki i k ki +=+=-+，得：3k =，26a k =-=-，选C ．解法二：非零向量1z ，2z 满足12z z 是纯虚数的意即，这两个非零向量互相垂直． 根据题意得：1320a ⨯+⨯=，从而6a =-，选C ．说明：复数四则运算,复数a bi +为实数、纯虚数的充要条件,复数的模作为复数内容的重点．4．解：可以判定对应法则x x y f 2:2+-=是从A 到C 的函数（C B ⊆，且C 是该函数的值域），于是对于实数B k ∈,在集合A 中不存在原象,则k 的取值范围构成集合B C ð，注意到()222111y x x x =-+=--+≤，故(],1C =-∞，()1,B C =+∞ð．从而答案为A ．5．解：前三年年产量的增长速度越来越快，总产量C 与时间t （年）的函数关系，在图上反映出来，当[]0,3t ∈时是选项A 、C 中的形状；又后三年年产量保持不变，总产量C 与时间t （年）的函数关系应如选项A 所示,于是选A. 说明：本题很容易错选C ，这是由于没有看清题中函数关系是总产量．．．C 与的时间t （年），而不是年产量C 与的时间t （年）的函数关系．6．解：选C ． 利用图象法求之．其中F(x)= 232(232(22(22x x x x x x x ⎧+≤⎪⎪-≥+⎨⎪-<<⎪⎩．7．解：由题意得()123n n n a =+=，2n n b = ，于是lim n nn n n b a b a →∞-+21233lim lim 123213nn nn n n n n →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因此，选B8．解法一：特殊值法，当31=x 时，3263,1633,815,49,2365432=====x x x x x 由此可推测2lim n n x →∞=，故选B ．解法二：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴)(21211-----=-n n n n x x x x ，21211-=-----n n n n x x x x 即，∴{}n n x x -+1是以（12x x -）为首项，以21-为公比6的等比数列， 令n n n x x b -=+1，则11111211)21()21(2)21)((x x x x q b b n n n n n -=-⋅-=--==--- +-+-+=)()(23121x x x x x x n …)(1--+n n x x+-+-+-+=121211)21()21()2(x x x x …11)21(x n --+3)21(32)21(1)21(12111111x x x x n n ---+=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+=∴1111221()23233lim lim n n n n x x x x -→∞→∞⎡⎤=+-==⎢⎥⎣⎦，∴31=x ，故选B.解法三：∵)(2121--+=n n n x x x ，∴0221=----n n n x x x ， ∴其特征方程为0122=--a a ， 解得 211-=a ，12=a ，nn n a c a c x 2211+=，∵11x x =，212x x =，∴3211x c -=，3212xc =，∴3)21(3232)21(3211111xx x x x n n n --+=+-⋅-=，以下同解法二．9．解：当x x f =)(时，满足条件，此时方程x x f =)(根有无数个，故B 、C 错 当1)(+=x x f 时，也满足条件，此时方程x x f =)(没有根，故A 错选D ．10．本题主要考查平均分组问题及概率问题.解：将1，2，3，---，9平均分成三组的数目为33396333280C C C A =,又每组的三个数成等差数列的种数为4，选B ．说明：这是一道概率题，属于等可能事件，在求的过程中，先求出不加条件限制的所有可能性a ，然后再根据条件，求出满足题目要求的可能种数b ，最后要求的概率就是b a．11．本题涉及数理统计的若干知识．解：由图象可知，前4组的公比为3，最大频率40.130.10.27a =⨯⨯=，设后六组公差为d ，则560.010.030.090.27612d ⨯+++⨯+=，解得：0.05d =-， 后四组公差为－0.05， 所以，视力在4.6到5.0之间的学生数为（0.27＋0.22＋0.17＋0.12）×100＝78（人）,选A ．说明：本题是一道数理统计图象题,关于统计一般可分为三步,第一步抽样,第二步根据抽样所得结果,画成图形,第三步根据图形,分析结论.本题是统计的第二步,在此类问题中,可画成两种图形,一个是频率分布直方图,另一个是频率分布条形图,两者有很大的不同,前者是以面积表示频数,频率分布条形图是以高度表示频数.12．本题考查导函数的图象及其性质,由图象得(1)(1)0f f ''=-=，从而导出1x =±是函数f(x)极值点是解本题的关健．解：由图象知，(1)(1)0f f ''=-=，所以1x =±是函数()f x 的极值点，又因为在(1,0)-上，()0f x '<，在(0,1)上，()0f x '<，因此在(1,1)-上，()f x 单调递减，故选C ． 说明：要注意,若00(,)p x y 是函数y=f(x)的极值点,则有()0f x '=,但是若0()0f x '=,则是00(,)p x y 不一定是函数y=f(x)极值点,所以要判断一个点是否为极值点,还要检验点P 的两侧的单调性是否不同．二、填空题13.解:不少于1万元的占700万元的21%，为700×21%=147万元．1万元以上的保单中，超过或等于2.5万元的保单占2113， 金额为2113×147=91万元，故不少于2.5万元的保险单有91万元．14. 解：由等比数列性质知254637281====a a a a a a a a ，故各项的积是16．15．解：投资成功的概率是192200，失败的概率是8200，所以所求的数学期望应该是：()19285000012%50%512964504760200200⎛⎫⨯⨯-⨯=⨯⨯-⨯=⎪⎝⎭故答案为：4760．16．解：由题意知道0k x 的值需要1k -次运算,即进行1k -次0x 的乘法运算可得到0k x 的结果，对于32300010203()P x a x a x a x a =+++这里300a x =0000a x x x ⨯⨯⨯进行了3次运算,210100a x a x x =⨯⨯进行了2次运算,20a x 进行1次运算,最后320010203,,,a x a x a x a 之间的加法运算进行了3次这样30()P x 总共进行了3213+++9=次运算对于0()n P x 10010...n n n a x a x a -=+++总共进行了(1)12 (12)n nn n n ++-+-++=次 乘法运算及n 次加法运算所总共进行了(1)(3)22n n n n n +++=次 由改进算法可知：0010()()n n n P x x P x a -=+,100201()()n n n P x x P x a ---=+...10001()()P x P x a =+,000()P x a =，运算次数从后往前算和为：22...22n +++=次说明：本题目属于信息题,做此类题需要认真分析题目本身所给的信息.三、解答题17．解：（I ）分别记“客人游览甲景点”，“客人游览乙景点”，“客人游览丙景点”为事件A 1，A 2，A 3. 由已知A 1，A 2，A 3相互独立，P （A 1）=0.4，P （A 2）=0.5， P （A 3）=0.6.客人游览的景点数的可能取值为0，1，2，3. 相应地，客人没有游览的景点数的可能取 值为3，2，1，0，所以ξ的可能取值为1，3.P （ξ=3）=P （A 1·A 2·A 3）+ P （321A A A ⋅⋅）= P （A 1）P （A 2）P （A 3）+P （)()()321A P A P A ） =2×0.4×0.5×0.6=0.24，P （ξ=1）=1－所以ξE ξ（Ⅱ）解法一 因为,491)23()(22ξξ-+-=x x f所以函数),23[13)(2+∞+-=ξξ在区间x x x f 上单调递增， 要使),2[)(+∞在x f 上单调递增，当且仅当.34,223≤≤ξξ即 从而.76.0)1()34()(===≤=ξξP P A P ………………12分 解法二：ξ的可能取值为1，3.当ξ=1时，函数),2[13)(2+∞+-=在区间x x x f 上单调递增， 当ξ=3时，函数),2[19)(2+∞+-=在区间x x x f 上不单调递增.0 所以.76.0)1()(===ξP A P ………………12分18．解：（I ）由已知a 2－a 1=－2, a 3－a 2=－1, －1－(－2)=1 ∴a n+1－a n =(a 2－a 1)+(n －1)·1=n －3n ≥2时，a n =( a n －a n －1)+( a n －1－a n －2)+…+( a 3－a 2)+( a 2－a 1)+ a 1 =(n －4)+(n －5) +…+(－1)+(－2)+6=21872+-n n ，对n=1也合适.∴a n =21872+-n n (n ∈N*) ……………………3分又b 1－2=4、b 2－2=2 .而2142= ∴b n －2=（b 1－2）·(21)n －1即b n =2+8·(21)n …6分∴数列{a n }、{b n }的通项公式分别为：a n =21872+-n n ， b n =2+(21)n －3（II ）设k k k k k k k b a k f )21(887)27(21)21(872721)(22⋅-+-=⋅-+-=-=当k ≥4时87)27(212+-k 为k 的增函数，－8·(21)k 也为k 的增函数，而f (4)= 21∴当k ≥4时a k －b k ≥21………………10分又f(1)=f(2)=f(3)=0， ∴不存在k ，使f(k)∈（0，21）…………12分19．解：（Ⅰ）设2()()y f x k a x x ==-，∵当2ax =时，32a y =，∴()()23222a aak a =-∴4k =．从而有24()y a x x =-． …………3分 ∵0≤2()xa x -≤t ，得0≤x ≤212ta t+． ∴2()4()f x a x x =-（0≤x ≤212ta t+）． …………6分 (Ⅱ）∵23()44f x ax x =-，∴2()8124(23)f x ax x x a x '=-=-．令()0f x '=，得x =0，23x a =． （1）当212at t +≥23a ，即当1≤t ≤2时， 若()20,3ax ∈，()f x '>0，由于()f x 在20,3a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上连续，∴()f x 在20,3a⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数；若()22,321a atx t ∈+，()f x '<0，()f x 在22,321a at t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+上为减函数． ∴对于1≤t ≤2的情况，当23a x =时，f (x )的最大值为()3216327af a =．……9分（2）当212att<+23a ，即当0≤t ≤1时，仿（1）得()f x 在20,21at t ⎡⎤⎢⎥⎣⎦+上是增函数， ∴对于0≤t ≤1的情况，当221at x t =+时，f (x )的最大值是()2216(1)221(12)a t t atf t t -=++．…………11分综上可知：当1≤t ≤2时，增加值y 的最大值是31627a ，此时技改投入为23ax =． 当0≤t ≤1时，增加值y的最大值是2216(1)(12)a t tt -+，此时技改投入为221atx t =+． …………12分说明：本题属经济类应用题，是近年高考的热点与重点，主要考查函数、导数的知识及运用这些知识解决问题的能力．20．解：（Ⅰ）22111()[1ln(1)][ln(1)]11x f x x x x x x x '=--+=-++++ 210,0,0.ln(1)0.()01x x x f x x '>∴>>+>∴<+Q .因此函数)(x f 在区间（0，+∞）上是减函数． ……6分（Ⅱ）解法一：当0>x 时，1)(+>x kx f 恒成立，令1=x 有]2ln 1[2+<k 又k 为正整数. k ∴的最大值不大于3. ……8分下面证明当3,()(0)1kk f x x x ∴=>>+时恒成立. 即证当0>x 时，021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立. 令,1)1ln()(,21)1ln()1()(-+='-+++=x x g x x x x g 则 当.0)(,10;0)(,1<'-<<>'->x g e x x g e x 时当时)(,1x g e x 时当-=∴取得最小值.03)1(>-=-e e g0>∴x 当时，021)1ln()1(>-+++x x x 恒成立，因此正整数k 的最大值为3.……12分（Ⅱ）解法二：当0>x 时，1)(+>x k x f 恒成立， 即0)]1ln(1)[1()(>>+++=x k xx x x h 对恒成立. 即)0)((>x x h 的最小值大于.k)0()1ln(1)(,)1ln(1)(2>⋅+--=+--='x x x x x x x x h φ记 ),0()(,01)(+∞∴>+='在x x xx φφ上连续递增，又,02ln 22)3(,03ln 1)2(>-=<-=φφ0)(=∴x φ存在唯一实根a ，且满足：(2,3),1ln(1).a a a ∈=++由,()0,()0;0,()0,()0x a x h x x a x h x φφ''>>><<<<时时知：)0)((>x x h 的最小值为).4,3(1)]1ln(1)[1()(∈+=+++=a aa a a h因此正整数k的最大值为3. ……12分说明：本题体现出在研究函数的单调性等性质时，用初等方法往往技巧性要求较高（有时甚至不能求解），而导数方法显得简捷方便．因此，在研究函数性质时，要优先考虑使用求导的方法．21．解: (Ⅰ)令0n ,1m ==0]1)0(f )[1(f )0(f )1(f )1(f =-⇒⋅=⇒0x >Θ时, ,1)x (f 0<<1)0(f ,0)1(f =∴≠∴…………………2分 (Ⅱ) 0x <时, 0x >-, 1)x (f 0<-<∴又1)0(f =, ,1)x (f )x (f 1)x x (f =-⋅⇒=-∴)x (f 1)x (f =-∴ 1)x (f 10<<∴, 1)x (f >∴. …………………4分(Ⅲ)设21x x <, )x (f )x (f )x x (f )x (f )x x x (f )x (f )x (f 2221222121--=-+-=-]1)x x (f )[x (f 212--= …………………6分,x x 21< Θ1)x x (f 21>-∴又0x ,0x >< 均有0)x (f >, 01)x f(x ,0)x (f 212>-->∴0)x (f )x (f 21>-∴ …………………7分)x (f 在R 上为单调减函数. …………………8分(Ⅳ) )1(f )y x (f )1(f )y (f )x (f 2222>⇒>⋅Θ …………………9分Θ)x (f 在R 上为单调减函数, 1y x 22<+∴ …………………10分又02y ax )0(f )2y ax (f 1)2y ax (f =+-⇒=+-⇒=+-Θ∅=⋂B A , ⎩⎨⎧>+-<+∴02y ax 1y x 22无解(即无交点).圆心到直线的距离大于等于1, 有: 3a 311a 2d 2≤≤-⇒≥+=,]3,3[a -∈∴ …………………12分22．本题考查数列的基础知识，考查运算能力和推理能力.第（1）问是证明递推关系，联想到用数学归纳法，第（2）问是计算题，也必须通过递推关系进行分析求解.解：（Ⅰ）方法一 用数学归纳法证明： 1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴210<<a a ，命题正确. 2°假设n =k 时有.21<<-k k a a则)4(21)4(21,1111k k k k k k a a a a a a k n ---=-+=--+时).4)((21))((21)(211111k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a ---=+---=-----而.0,04.0111<-∴>--<----k k k k k k a a a a a a又.2])2(4[21)4(2121<--=-=+k k k k a a a a ∴1+=k n 时命题正确.由1°、2°知，对一切n ∈N 时有.21<<+n n a a ……6分 方法二：用数学归纳法证明：1°当n=1时，,23)4(21,10010=-==a a a a ∴2010<<<a a ；2°假设n =k 时有21<<-k k a a 成立，令)4(21)(x x x f -=，)(x f 在[0，2]上单调递增，所以由假设 有：),2()()(1f a f a f k k <<-即),24(221)4(21)4(2111-⨯⨯<-<---k k k k a a a a也即当n=k+1时 21<<+k k a a 成立，所以对一切2,1<<∈+k k a a N n 有 ……6分（Ⅱ）下面来求数列的通项：],4)2([21)4(2121+--=-=+n n n n a a a a所以21)2()2(2--=-+n n a ann n n n n n n n b b b b b a b 22212122222112)21()21(21)21(2121,2-+++----==⋅-=--=-=-=ΛΛ则令,又b n =－1，所以1212)21(22,)21(---=+=-=nnn n n b a b 即. ……14分说明：数列是高考考纲中明文规定必考内容之一,必须理解数列的概念,了解数列通项公式的意义,了解递推公式是给出数列的一种方法,并能根据递推公式写出数列的前几项.数列与不等式的给合往往得高考数学的热点之一,也成为诸多省份的最后压轴大题,解决此类问题,必须有过硬的数学基础知识与过人的数学技巧,同时运用数学归纳法也是比较好的选择,不过在使用数学归纳法的过程中,一定要遵循数学归纳法的步骤.。
．2020年高考全真模拟卷（1）数学（理）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．455．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点2,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1B C ．2D ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．1310．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13-B ．12-C ．D ．11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a t x a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，则A B =U （ ） A ．(,1]-∞ B ．(,3)-∞C ．(0,1]D ．(1,3)【答案】B【解析】Q 集合{|03}A x x =<<，{|1}B x x =≤，(){|3},3A B x x =<=-∞U ，故选B ． 2．设复数z 满足13iz z +=，则||z =（ ）A ．10B C D【答案】A【解析】13iz z +=，1131313101010i z i i +===+-，||10z =，故选A ． 3．甲乙两名同学6次考试的成绩统计如图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙标准差分别为σ甲、σ乙，则( )A ．x x <甲乙，σσ<甲乙B ．x x <甲乙，σσ>甲乙C ．x x >甲乙，σσ<甲乙D ．x x >甲乙，σσ>甲乙【答案】C【解析】由图可知，甲同学除第二次考试成绩略低与乙同学，其他次考试都远高于乙同学，可知x x >甲乙，图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故σσ<甲乙．故选．4．从1，2，3，4，5这五个数字中随机选择两个不同的数字，则它们之和为偶数的概率为（ ）A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】B【解析】从1，2，3，4，5这五个数字中，随机抽取两个不同的数字，基本事件总数n =C 52=10，这两个数字的和为偶数包含的基本事件个数m =C 22+C 32=4，∴这两个数字的和为偶数的概率为p =m n=410=0．4，故选B ．5．双曲线()2210mx ny mn +=<的渐近线于圆()2259x y -+=相切，且该双曲线过点P ⎛ ⎝⎭，则该双曲线的虚轴长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．8 【答案】D【解析】双曲线221(0)mx ny mn +=<0=． 圆22:(5)9E x y -+=的圆心(5,0)，半径3r =．Q 渐近线与圆22:(5)9E x y -+=相切，∴3=，即16||9||m n =，①该双曲线过点P ，45414n m ∴+=，② 解①②可得19n =，116m =-，双曲线221916y x -=，该双曲线的虚轴长为8，故选D ． 6．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】A【解析】依题意，33334444log 15log 3log 51log 5,log 20log 4log 51log 5a b ==+=+==+=+，6666log 30log 6log 51log 5c ==+=+，由3log y x =，4log y x =，6log y x =的图象如图：可得346log 5log 5log 5>>，故a b c >>，故选A ．7．在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1cos 2a C cb +=，22()12bc a +-=，则ABC V 的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．【答案】B【解析】1cos 2a C c b +=Q ，由正弦定理得：1sin cos sin sin sin()2A C CB AC +==+， 1sin cos sin sin cos cos sin 2A C C A C A C ∴++=+，sin 0C ≠，解得1cos 2A =，且()0,A π∈，即3A π=，又22222cos 2312b c a bc bc A bc bc +-+=+==，4bc =，1sin 2ABC S bc A ∆==B ．8．函数ln ||cos ()sin x xf x x x⋅=+在[,0)(0,]ππ-U 的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为ln ||cos ()()sin x xf x f x x x⋅-=-=-+，所以()f x 为奇函数，关于原点对称，故排除A ，又因为()10f ±=，()02f π±=，()03f π>，()0f π<，故排除B 、C ，故选D ．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C 到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A B C ．12D ．13【答案】A【解析】易知AB =1C P ，在直角1CC P ∆中，可计算12C P ==；又1112,4A P A C ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ∆中，tan 2CO CPO PO ∠==．10．已知函数()sin 24f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，若方程()13f x =在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，则()12sin x x -=（ ）A ．13- B ．12-C ．D ． 【答案】D 【解析】242x k πππ-=+Q 382k x ππ∴=+，即函数()f x 的对称轴为382k x ππ=+，()13f x =Q 在区间()0,π内的解为()1212,x x x x <，12328x x π+∴=，2134x x π∴=-，()12sin x x ∴-113sin 2cos 244x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．又因为12x x <，2134x x π=-，所以1388x ππ<<， 所以120,42x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以1cos 243x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以()12sin 3x x -=-，故选D ． 11．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =【答案】C【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02pMF x =+，AB 所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =，故选C ．12．已知函数21()(2)e x f x x x -=-，若当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，则m 的取值范围为（ ）A ．1m £B ．1m <-C ．1m >-D ．m 1≥【答案】C【解析】由题意，函数21()(2)ex f x x x -=-，则导数21()(2)ex f x x -'=-，所以函数()f x 在上递减，在)+∞上递增，当2x >时，()0f x >，又由(1)1f =-，1f <-，(2)0f =，当1x > 时，()10f x mx m -++≤有解，即函数()y f x =和(1)1y m x =--的图象有交点，如图所示， 又因为在点(1,(1))f 的切线的斜率为(1)1f '=-，所以1m >-．二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．在 ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若60A =o ，a bc =2，则sinBsinC =_______． 【答案】34【解析】因为60A =o ，a bc =2，所以2sin sin sin A B C =，所以23(24sinBsinC ==，故答案为：34．14．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为 ．【答案】212y x =【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02p MF x =+，AB 所在直线2px =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-，因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272px p x -=+， 整理得03x p =，所以(3M p ，将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >，解得6p =，所以抛物线方程为212y x =．15．平行四边形ABCD 中，△ABD 是腰长为2的等腰直角三角形，90ABD ∠=︒，现将△ABD 沿BD 折起，使二面角A BD C --大小为23π，若,,,A B C D 四点在同一球面上，则该球的表面积为_____． 【答案】20π【解析】由题意，取AD ，BC 的中点分别为12,O O ，过1O 作面ABD 的垂线与过2O 作面BCD 的垂线，两垂线交点O 即为所求外接球的球心，取BD 中点E ，连结12,O E O E ，则12O EO ∠即为二面角A BD C --的平面角，又由121O E O E ==，连接OE ，在Rt △1O OE中，则1OO =Rt △1O OA中，1O A ，得OAR OA ==，所以球面积为24S R =π=20π．16．若存在[]1,2a ∈，使得关于x 的方程22()()a a tx a x+-=有四个不等的实数根，则实数t 的取值范围是_______．【答案】( 【解析】由22()||a a t x a x +-=，得3223,0()(),0x ax x a a t x a x x ax x ⎧->+=-=⎨-+<⎩，令33,0(),0x ax x f x x ax x ⎧->=⎨-+<⎩，当0x >时，2()3f x x a '=-，当x ∈时，()0f x '<，当x ⎫∈+∞⎪⎪⎭时，()0f x '>， ()f x ∴在上为减函数，在⎫+∞⎪⎪⎭上为增函数； 当0x <上，2()3f x x ax '=-+，当(,x ∈-∞时，()0f x '<，当x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x ∴在(,-∞上为减函数，在⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭上为增函数，则332()min f x f a a ==-=． 作出函数()f x 的图象，如图：由图可知，要是关于x 的方程22()||a a tx a x +-=有四个不等的实数根，则需2()y a a t =+与()y f x =的图象有四个不同交点，则322()0a a a t <+<，即存在[]1,2a ∈，有3229a t a a >+，令()3229ag a a a=+，则()322(1)'0a a g a a a -+…， ()g a ∴在[]1,2上为增函数，则()(1)min g a g ==，又0t <，∴实数t的取值范围是(，故答案为：(9-． 三、解答题：（本大题共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）记首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()12331nnn n S a +⋅=- ．（1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若()29(1)log n n n b a =-⋅，求数列{}n b 的前2n 项和．【解析】（1）依题意，11213n n nS a +⎛⎫=-⎪⎝⎭，1211213n n n S a +++⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两式相减可得，()21111303n n n a a +++⎛⎫--= ⎪⎝⎭，故213n n a a ++=， 而1222S 3a =，故213a a =，故数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列． （2）由（1）可13,n n a -=所以()()2212991(1)log (1)log 3(1)(1)4nnn n n n b a n -=-⋅=-⋅=⋅-⋅-， 故2122221211(1)(22)(1)(21)(43)44n n n n b b n n n --⎡⎤+=⋅-⋅-+-⋅-=-⎣⎦， 记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ，则22111(15943)424n T n n n =+++⋯+-=-．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若PB PC =，E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=︒，2BC =，求二面角B PA E --的余弦值． 【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ⊥BC ． ∵平面PBC ⊥平面ABCD ，平面PBC ∩平面ABCD =BC ，CD 平面ABCD ，∴CD ⊥平面PBC ，∴CD ⊥PB ．∵PB ⊥PD ，CD ∩PD =D ，CD 、PD 平面PCD ，∴PB ⊥平面PCD ．∵PB平面P AB ，∴平面P AB ⊥平面PCD ．（2）设BC 中点为O ，连接,PO OE ，,PB PC PO BC =∴⊥Q ，又面PBC ⊥面ABCD ，且面PBC I 面ABCD BC =，所以PO ⊥面ABCD ．以O 为坐标原点，OC u u u v的方向为x 轴正方向，OC u u u v 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -．由（1）知PB ⊥平面PCD ，故PB ⊥112PC PO BC ∴==，设AB a =，可得()()()0,0,1,1,,0,1,,0,1,0,0,2a P E A a B ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以1,,1,2,,0,22a a PE EA ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u v u uu v 由题得0PE EA =⋅u u u v u u u v，解得a =所以()()(),1,,BA PA EA ==--=-u u u v u u u v u u u v设(),,n x y z =r 是平面PAB 的法向量，则00n PA n BA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即00x z ⎧-+-=⎪⎨=⎪⎩，可取()1,0,1n =-r ．设(),,m x y z r =是平面PAE 的法向量，则00m PA m EA ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v r u u u v r，即020x z x ⎧-+-=⎪⎨-+=⎪⎩，可取()m =．则cos ,6n m n m n m ⋅==-r r r r r r ，所以二面角A PB C --的余弦值为-．19．（本小题满分12分）某市有两家共享单车公司，在市场上分别投放了黄、蓝两种颜色的单车，已知黄、蓝两种颜色的单车的投放比例为2：1．监管部门为了了解两种颜色的单车的质量，决定从市场中随机抽取5辆单车进行体验，若每辆单车被抽取的可能性相同．（1）求抽取的5辆单车中有2辆是蓝色颜色单车的概率；（2）在骑行体验过程中，发现蓝色单车存在一定质量问题，监管部门决定从市场中随机地抽取一辆送技术部门作进一步抽样检测，并规定若抽到的是蓝色单车，则抽样结束，若抽取的是黄色单车，则将其放回市场中，并继续从市场中随机地抽取下一辆单车，并规定抽样的次数最多不超过n （*n N ∈）次．在抽样结束时，已取到的黄色单车以ξ表示，求ξ的分布列和数学期望． 【解析】(I) 因为随机地抽取一辆单车是蓝色单车的概率为13，用X 表示“抽取的5辆单车中蓝颜色单车的个数”，则X 服从二项分布，即X ～153B （，），所以抽取的5辆单车中有2辆是蓝颜色单车的概率3225218033243P C ＝＝⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2) ξ的可能取值为：0，1，2，…，n ．()103P ξ==，()2121339P ξ==⨯=，()221233P ξ⎛⎫==⨯ ⎪⎝⎭，……，()121133n P n ξ-⎛⎫=-=⋅⎪⎝⎭， ()23nP n ξ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以ξ的分布列为：ξ的数学期望为：()2312121212121231333333333n nE n n L ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， (1) ()()2311221212121212213333333333n nn E n n n ξ-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⋅+⨯⋅++-⨯⋅+-⨯⋅+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ． (2)(1)－(2)得：()2311121212121221213333333333333n n n n E n n n ξ-+⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⨯--⨯⋅-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L2311212121212133333333333n nE ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 2312222233333n n E ξ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L 22133213n⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=- 2213n ⎡⎤⎛⎫=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以2223nE ξ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．20．（本小题满分12分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的半焦距为c ，圆222:O x y c +=与椭圆C 有且仅有两个公共点，直线2y =与椭圆C 只有一个公共点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知动直线l 过椭圆C 的左焦点F ，且与椭圆C 分别交于,P Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点R ，使得RP RQ ⋅u u u v u u u v为定值?若存在，求出该定值和点R 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）22184x y +=（2）在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，使得·RP RQ u u u v u u u v 为定值74- 【解析】(1)依题意，得2c b ==，则222448a b c =+=+=，故椭圆的标准方程为22184x y +=．()2①当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为()2y k x =+，代人椭圆C 的方程，可得()2222218880k k x x k +++-=，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则2122821k x x k -+=+，21228821k x x k -=+， 设(),0R m ，则()()1122,,RP RQ x m y x m y =--u u u r u u u rg g()()1212x m x m y y =--+=()()()122112224x m x k x x x m x +--+++⎡⎤⎣⎦()()22222228288421211k k k m k m k k k --++=+-++()2222284821m m k m k +++-=+，若()2222284821m m k m k +++-+为定值，则22812842m m m -=++，解得52m =-， 此时()222228487214mm k m k +++-=-+，R 点的坐标为5,02⎛⎫- ⎪⎝⎭．②当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为2x =-，代人22184x y +=，得2x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩不妨设((,2,P Q --，若5,02R ⎛-⎫ ⎪⎝⎭，则11,,22RP RQ ⎛⎛== ⎝⎝u u u r u u u r ，74RP RQ =-u u ur u u u r g ．综上所述，在x 轴上存在点5,02R ⎛-⎫⎪⎝⎭，使得RP RQ u u u r u u u r g 为定值74-．21．（本小题满分12分）已知函数()(1)ln f x x x =-，3()ln eg x x x =--． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅰ）令()()()(0)h x mf x g x m =+>两个零点1212,()x x x x <，证明：121ex e x +>+． 【解析】（Ⅰ）由题意，函数()(1)ln f x x x =-，则1()ln 1f x x x=+-'，且()01f '=， 当01x <<时，()0f x '<，函数()f x 单调递减； 当1x ≥时，()0f x '≥，函数()f x 单调递增；所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在[1,)+∞上单调递增． （Ⅰ）由3()(1)ln ln h x m x x x x e=-+--有两个零点， 由11()(1ln )1h x m x x x-'=++-且0m >可知 当01x <<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 当1x ≥时，()0h x '≥，函数()h x 单调增；即()h x 的最小值为3(1)10h e=-<， 因此当1x e =时，1113(1)2()(1)(1)(1)0m e e h m e e e e e-+-=--+---=>，可知()h x 在1(,1)e 上存在一个零点；当x e =时，3()(1)10h e m e e e=-+-->，可知()h x 在(1,)e 上也存在一个零点， 因此211x x e e -<-，即121x e x e+>+．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分） 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的普通方程是πtan (π)2y x αα=<<，曲线1C 的参数方程是cos sin x a a y a ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线2C 的极坐标方程是2sin b ρθ=．（1）写出l 及1C 的极坐标方程； （2）已知12a =，1b =，l 与1C 交于,O M 两点，l 与2C 交于,O N 两点，求22||||||OM OM ON +的最大值．【解析】（1）把cos x ρθ=，sin y ρθ=代入tan y x α=得πtan tan (π)2θαα=<<， 所以l 的极坐标方程是π(,π)2θαρα=∈<<R ， 1C 的普通方程是2220x y ax +-=，其极坐标方程是2cos a ρθ=．（2）1C ：cos ρθ=，2C ：2sin ρθ=，θα=分别代入1C ，2C 得||cos OM α=-，||2sin ON α=．所以22π2||||||2cos 2cos sin 1cos 2sin 22)14OM OM ON αααααα+=-=+-=-+． 因为ππ2α<<，所以7ππ3π2444α-<-<-，则当7π8α=时，π3π242α-=-πsin(2)14α-+1，所以22||||||OM OM ON +1． 23．选修4-5：不等式选讲（本小题满分10分） 已知函数()|3||1|f x x x =+-- ． （Ⅰ）解关于x 的不等式()1f x x +≥ ；（Ⅰ）若函数()f x 的最大值为M ，设0,0a b >>，且(1)(1)a b M ++=，求+a b 的最小值．【解析】（Ⅰ）由题意(3)(1),34,3()(3)(1),3122,31(3)(1),14,1x x x x f x x x x x x x x x x ----<--<-⎧⎧⎪⎪=+---≤≤=+-≤≤⎨⎨⎪⎪+-->>⎩⎩，21 当3x <-时，41x -+≥，可得5x ≤-，即5x ≤-；当31x -≤≤时，221x x ++≥，可得1x ≥-，即11x -≤≤； 当1x >时，41x +≥，可得3x ≤，即13x <≤．综上，不等式()1f x x +≥的解集为(,5][1,3]-∞--U ．（Ⅰ）由（Ⅰ）可得函数()f x 的最大值4M =，且14ab a b +++=， 即23()()2a ba b ab +-+=≤，当且仅当a b =时“=”成立，可得2(2)16a b ++≥，即2a b +≥，因此+a b 的最小值为2．。
一 选择题（每小题5分，共60分）1 下列四组函数中，表示同一函数的是（ ）A ．2)1(1-=-=x y x y 与B ．111--=-=x x y x y 与C ．2lg 2lg 4x y x y ==与D ．100lg 2lg xx y =-=与 2 （文科学生做）“c b a 2>+”的一个充分条件是（ ）c b c a >>或 c b c a <>或 c b c a >>且c b c a <>且*2 （理科学生做）已知0>c , 在下列不等式中成立的一个是（ ）A c c 2>B c c )21(> C c c )21(2< D c c )21(2>3 （文科学生做）二次函数c bx ax y ++=2中，若0<ac ，则其图象与x 轴交点个数是（ ） A ．1个B ．2个C ．没有交点D ．无法确定（理科学生做）已知一个二次函数的对称轴为x ＝2，它的图象经过点(2, 3)，且与某一次函数的图象交于点(0, －1)，那么已知的二次函数的解析式是（ ）A ． f (x )＝－x 2－4x －1B ． f (x )＝－x 2＋4x ＋1C ． f (x )＝－x 2＋4x －1D ． f (x )＝x 2－4x ＋14 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5，当x ∈(－2, ＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞, －2)时是减函数，则f (1)的值是（ ）A －7B 25C 1 7D 15 命题p ：若a b ∈R ，则|a |+|b|>1是|a +b|>1的充分而不必要条件；命题q ：函数y =2|1|--x 的定义域是（－∞，－1]∪[3，+∞)，则（ ） (A)“p 或q ”为假 (B)“p 且q ”为真 (C) p 真q 假 (D)p 假q 真6 （文科学生做）如果奇函数)(x f 在]7,3[上是增函数且最小值是5，那么)(x f 在]3,7[-- 上是（ ）A ．增函数且最小值是5-B ．增函数且最大值是5-．C ．减函数且最小值是5-D ．减函数且最大值是5- *6 （理科学生做）函数xax x f 1)(2-=在),0(+∞上是增函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．0≥aB ．0>aC ．0≤aD ．0<a7 设f (x )＝2|1|2,||1,1, ||11x x x x --≤⎧⎪⎨>⎪+⎩，则f [f (21)]＝ ( )A ．21B ．413C ．－95D ．25418 已知实数a , b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式①0<b <a ②a <b <0③0<a <b④b <a <0⑤a =b 其中不可能．．．成立的关系式有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9 （文科学生做）函数)10()2(log )(<<+=a x x f a 的图象必不过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限*9 （理科学生做）)(x f '是)(x f 的导函数，)(x f '的图象如图所示，则)(x f 的图象只可能是（ ）A BC D10 已知函数1)(2+-=ax x x f 有负值，那么实数a 的取值范围是（ ）A ． 22>-<a a 或B ．22<<-aC ． 2±≠aD ．31<<a11 下列各图象表示的函数中，存在反函数的只能是（）A BCD12 （文科学生做）若函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，在]0,(-∞上是减函数，且0)2(=f ，则使得0)(<x f 的x 的取值范围是（ ）A ．)2,(-∞B ．),2(+∞C ．),2()2,(+∞--∞YD ．（－2，2）*12 （理科学生做）设()()()ba b x g ax x f xx x+-=++=是奇函数，那么是偶函数，24110lg 的值为（ ）A 1B -1C 21- D21 二 填空题 (每小题4分,共16分)13 已知{}2,2,1x x ∈，则实数x = 函数()），（，∞+-∈+=112x xxy 的图象与其反函数的图象的交点的坐标为______________(文科学生做) 若122=+b a ，且b a c +<恒成立，则c 的取值范围是_______________*15 (理科学生做)若2log -=y x ,则y x +的最小值为________________(文科学生做)定义运算()()⎩⎨⎧>≤=*b a bb a a b a ,例如1*2=1, 则x 21*的取值范围是________*16 (理科学生做)设[]x R x ，∈表示不大于x 的最大整数，如[][]0]21[22.13=-=-=，，π，则使 [12-x ]=3成立的x 的取值范围是_____________ 三 解答题17 （本题满分12分）已知集合{}{}2222|190,|log (58)1A x x ax a B x x x =-+-==-+=，集合{}228|1,0,1x x C x m m m +-==≠≠满足Φ=⋂Φ≠⋂C A B A ，，求实数a 的值18 （本题满分12分）设函数()10log )(≠>=a a x x f a 且，函数()(),211222)(2=+-+++-=ff c bx x xg 且()x g 的图像过点A(54-，)及B(52--，)，(1)求)(x f 和()x g 的表达式； （2）求函数()[]x g f 的定义域和值域19 （本题满分12分）某种汽车购买时费用为10万元，每年应交保险费 养路费及汽油合计为9千元，汽车维修费平均为：第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，…依次成等差数列逐年递增．问：这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的平均费用最少）？20 （本题满分12分）已知函数()ax x f -=，()122++=ax x x g （a 为正常数），且函数()x f 与()x g 的图象在y 轴上的截距相等 ⑴求a 的值；⑵求函数()()x g x f +的单调递增区间21 (文科学生做（本题满分12分）已知函数()()()223，，为常数k A k k x f x -+=是函数()x fy 1-=图像上的点 (Ⅰ)求实数k的值及函数()x f y 1-=的表达式（Ⅱ）将函数()x f y 1-=的图像沿x 轴向右平移3个单位，得到函数()x g y =的图像 求函数()()()x g x f x F -=-12的最小值*21(理科学生做)（本题满分12分）设函数)10(3231)(223<<+-+-=a b x a ax x x f（1）求函数()x f 的极大值和极小值；（2）当x ∈［21++a a ，］时，不等式a x f ≤'|)(|恒成立，求实数a 的取值范围(文科学生做) （本小题满分14）已知函数()x f 的定义域为()()∞+⋃∞-，，00，且满足条件：①()()()y f x f y x f +=⋅，②()，12=f ③当()0,1>>x f x 时⑴求证：函数()x f 为偶函数； ⑵讨论函数()x f 的单调性；⑶求不等式()()23≤-+x f x f 的解集*22 (理科学生做) （本小题满分14）设函数()x f 的定义域是R ，对于任意实数n m ，，恒有()()()().10,0<<>=+x f x n f m f n m f 时，且当 （1）求证：()()；有时，且当1,010><=x f x f （2）判断函数()x f 在R 上的单调性； （3）设集合()()()(){}1,22f y f x f y x A >=，集合()(){}R a y ax f y x B ∈=+-=,12,，若φ=⋂B A ，求实数a 的取值范围参考答案一 选择题： DC(D)B ©BD B(A)BBA(D)A DD(D)二 填空题：（13）0，2 （14）（0，0），（1，1）（15）（文科）()2-∞-，，（理科）2233（16）（文科）（0，1]，（理科）[)(]2552--⋃，， 三 解答题：17 a ＝－218 （1）()()32log 22++-==x x x g xx f（2）定义域为（－1，3） 值域为（－∞,2] 19 使用10年最合算20 解：⑴由题意，()()00g f =，1||=a 又0>a ，所以1=a⑵()()12|1|2+++-=+x x x x g x f当1≥x 时，()()x x x g x f 32+=+，它在[)∞+,1上单调递增；当1<x 时，()()22++=+x x x g x f ，它在[)1,21-上单调递增 21 （文科）（1）由题知，点()()39222-=+=-∴=-k k k x f y k ，图象上，在，所以 ()()()33log 31->+=-x x x f ，（2）()()()()0,96log log 3log 2log 23333>++=-+=∴=x x x x x x x F x x g ＝12log 69log 3≥⎪⎭⎫⎝⎛++xx s 当且仅当x ＝3时，取“＝”所以F （x ）的最小值为123log（理科）解（1）∵f ′(x )=－x 2+4ax －3a 2=－(x －3a )(x －a ),由f ′(x )>0得：a <x <3a由f ′(x )<0得，x <a 或x >3a ，则函数f (x )的单调递增区间为（a , 3a ），单调递减区间为（－∞，a ）和（3a ，+∞） 列表如下：∴函数f (x )的极大值为b ，极小值为－3a 3+b…………………………（6分）（2）]2,1[)(,)2(34)(2222++'∴+--=-+-='a a x f a a x a ax x x f 在Θ上单调递减，因此44)2()(,12)1()(min max -=+'='-=+'='a a f x f a a f x f∵不等式|f ′(x )|≤a 恒成立， 154:,4412<≤⎩⎨⎧-≥-≤-a aa a a 解得即a 的取值范围是154<≤a ……………………………………（12分） 22 （文科）1）在①中令x =y=1, 得f (1)= f (1)+ f (1)⇒ f (1)=0,令x =y=－1, 得f (1)= f (－1)+ f (－1)⇒ f (－1)=0,再令y=－1, 得f (－x )= f (x )+ f (－1)⇒ f (x ), ∴f (x )为偶函 数；（2）在①中令),()1()1()()1(,1x f xf x f x f f x y -=⇒+==得先讨论),0()(+∞在x f 上的单调性， 任取x 1 x 2，设x 2>x 1>0，,1),()1()()()(12121212>=+=-∴x x x x f x f x f x f x f Θ由③知：)(12x x f >0，∴f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x )在（0，+∞）上是增函数，∵偶函数图象关于y 轴对称 ，∴f (x )在（－∞，0）上是减函数； （3）∵f [x (x －3)]= f (x )+ f (x －3)≤2， 由① ②得2=1+1= f (2)+f (2)= f (4)= f (－4)，1）若x (x －3)>0 , ∵f (x )在（0，+∞）上为增函数， 由f [x (x －3)] ≤f (4) 得;430141304)3(0)3(≤<<≤-⇒⎩⎨⎧≤≤-><⇒⎩⎨⎧-≤->-x x x x x x x x x 或或 2）若x (x －3)<0, ∵f (x )在（－∞，0）上为减函数；由f [x (x －3)] ≤f (－4)得 ;30304)3(0)3(<<⇒⎩⎨⎧∈<<⇒⎩⎨⎧-≥-<-x Rx x x x x x ∴原不等式的解集为：}.43|{}30|{}01|{≤<⋃<<⋃<≤-x x x x x x（理科）解：⑴f (m+n)=f (m)f (n)，令m=1,n=0，则f (1)=f (1)f (0)，且由x >0时，0<f (x )<1，∴f (0)=1；设m=x <0，n=－x >0，∴f (0)=f (x )f (－x )，∴f (x )＝1()f x ->1 ⑵设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴0<f (x 2－x 1)<1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f [(x 2－x 1)+x 1]－f (x 1)＝f (x 2－x 1)f (x 1)－f (x 1)＝f (x 1)[f (x 2－x 1)－1]<0，∴f (x )在R 上单调递减⑶∵f (x 2)f (y 2)>f (1)，∴f (x 2+y 2)>f (1)，由f (x )单调性知x 2+y 2<1，又f (ax －y +2)=1=f (0)，∴ax －y +2=0，又A ∩B ＝∅1≥，∴a 2+1≤4，从而a ≤≤。
2020届新高考数学模拟试题（1）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设集合2{|}A x x x =，1{|1}B x x=，则(A B = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]2． 已知i 为虚数单位，a ，b R ∈，复数12ii a bi i+-=+-，则(a bi -= ) A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．2155i +3． 命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定式是( )A ．[2x ∀∈，)+∞，24x <B ．(,2)x ∀∈-∞，24xC ．0[2x ∃∈，)+∞，204x < D ．0[2x ∃∈，)+∞，24x 4． 已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(,1)c m =．若//(2)c a b +，则(m = ) A ．0B ．1C ．2D ．35． 二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式中3x 项的系数为10，则(n = ) A ．8B ．6C ．5D ．106． 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<7． 已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．48． 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为( )AB． C ．18 D ．27二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 下列说法正确的是( )A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位10． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12||2||PF PF =，若12sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是( )A．e B ．2e = C．b = D．b =11． 已知函数()x x f x e e -=-，()x x g x e e -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<- B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值12． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13． 若tan 3α=，则sin 2tan()4απα+的值为 ．14． 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志原者，则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数 （用数字作答）．15． 抛物线2:2C y x =的焦点坐标是 ，经过点(4,1)P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += ．16． 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB ，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3．（1）求{}n a 的通项公式；（2）著21a ≠，2log ||n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．（12分）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点． （1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．20．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？附：相关系数公式()()nnii i ixx y y x ynxyr ---==∑∑，0.55≈0.95≈．回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-21．（12分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，||PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且||OM =，求AOB ∆面积的最大值．22．（12分）已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．2020届新高考数学模拟试题（1）答案解析一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1． 设集合2{|}A x x x =，1{|1}B x x=，则(A B = )A ．(-∞，1]B ．[0，1]C ．(0，1]D ．(-∞，0)(0⋃，1]【解析】[0A =，1]，(0B =，1]；(0A B ∴=，1]．【答案】C ．2． 已知i 为虚数单位，a ，b R ∈，复数12ii a bi i+-=+-，则(a bi -= ) A ．1255i -B ．1255i +C ．2155i -D ．2155i +【解析】由12i i a bi i +-=+-，得(1)(2)12(2)(2)55i i i i a bi i i ++-=-=+-+，∴1525a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则1255a bi i -=+． 【答案】B ．3． 命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定式是( )A ．[2x ∀∈，)+∞，24x <B ．(,2)x ∀∈-∞，24xC ．0[2x ∃∈，)+∞，204x < D ．0[2x ∃∈，)+∞，24x 【解析】命题为全称命题，则命题“[2x ∀∈，)+∞，24x ”的否定是：0[2x ∃∈，)+∞，204x <，4． 已知向量(1,2)a =，(2,2)b =-，(,1)c m =．若//(2)c a b +，则(m = ) A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】2(4,2)a b +=，//(2)c a b +，240m ∴-=，2m ∴=．【答案】C ．5． 二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式中3x 项的系数为10，则(n = ) A ．8B ．6C ．5D ．10【解析】由二项式(1)(*)n x n N +∈的展开式的通项1r n rr nT C x -+=得： 令3n r -=，得3r n =-，所以3310n nn C C -==，所以(1)(2)60n n n --=，解得5n =， 【答案】C ．6． 已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则( ) A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<【解析】0.2log 21a =<，20.2(0,1)b =∈，0.231c =>，a b c ∴<<． 【答案】A ．7． 已知圆22:240C x y x y +-+=关于直线32110x ay --=对称，则圆C 中以(,)22a a-为中点的弦长为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】依题意可知直线过圆心(1,2)-，即34110a +-=，2a =．故(,)(1,1)22a a-=-．圆方程配方得22(1)(2)5x y -++=，(1,1)-与圆心距离为1，故弦长为4=．8． 用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件，则该零配件体积的最大值为( )A B ． C ．18 D ．27【解析】用一个体积为36π的球形铁质原材料切割成为正三棱柱的工业用零配件， 球形铁质原材料的半径3R =，设正三棱柱的高为2h ，底面的边长为x ，则底面外接圆半径23r ==，h =∴该零配件体积：221sin 602923x V x =︒-=，设6493x y x =-，则35362y x x '=-，由0y '=，得x =∴当x =49(32)27maxV =-=．【答案】D ．二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分． 9． 下列说法正确的是( )A ．从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样B ．某地气象局预报：5月9日本地降水概率为90%，结果这天没下雨，这表明天气预报并不科学C ．在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好D ．在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 增加0.1个单位【解析】从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样不是分层抽样，是系统抽样，故A 错误；5月9日本地降水概率为90%，只是表明下雨的可能性是90%，故B 错误； 在回归分析模型中，残差平方和越小，说明模型的拟合效果越好，故C 正确； 在回归直线方程ˆ0.110yx =+中，当解释变量x 每增加1个单位时， 预报变量ˆy增加0.1个单位，故D 正确． 【答案】CD ．10． 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线上一点，且12||2||PF PF =，若12sin F PF ∠=a ，b ，c ，e 的有关结论正确的是( )A ．eB ．2e =C ．b =D ．b =【解析】由双曲线定义可知：122||||||2PF PF PF a -==，1||4PF a ∴=，由12sin F PF ∠，可得121cos 4F PF ∠=±，在△12PF F 中，由余弦定理可得：222416412244a a c a a +-=±⨯⨯，解得：224c a =或226c a =，2ce a∴==．2c a ∴=或c =又222c a b =+，b ∴或b =【答案】ABCD ．11． 已知函数()x x f x e e -=-，()x x g x e e -=+，则以下结论错误的是( )A ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x -<-B ．任意的1x ，2x R ∈且12x x ≠，都有1212()()0g x g x x x -<-C ．()f x 有最小值，无最大值D ．()g x 有最小值，无最大值 【解析】1()x x f x e e =-在R 上单调递增，无最值，故选项AC 错误；1()xx g x e e=+为偶函数，易知其在(,0)-∞为减函数，在(0,)+∞为增函数，且在1x =处取得最小值，无最大值，故选项B 错误； 【答案】ABC ．12． 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，动点E 在线段11A C 上，F 、M 分别是AD 、CD 的中点，则下列结论中正确的是( )A ．11//FM ACB ．BM ⊥平面1CC FC ．存在点E ，使得平面//BEF 平面11CCD D D ．三棱锥B CEF -的体积为定值【解析】:A F ，M 分别是AD ，CD 的中点， 11////FM AC AC ∴，故A 正确；B ：由平面几何得BM CF ⊥，又1BMC C ⊥，BM ∴⊥平面1CC F ，故B 正确；:C BF 与平面11CC D D 有交点，∴不存在点E ，使平面//BEF 平面11CC D D ，故C 错误；D ：三棱锥B CEF -以面BCF 为底，则高是定值，∴三棱锥B CEF -的体积为定值，故D 正确．【答案】ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13． 若tan 3α=，则sin 2tan()4απα+的值为 ．【解析】由于tan 3α=，所以22tan 3sin 21tan 5ααα==+，1tan 4tan()241tan 2πααα++===---所以3sin 235210tan()4απα==--+． 【答案】310-14． 甲、乙等5名同学参加志愿者服务，分别到三个路口疏导交通，每个路口有1名或2名志原者，则甲、乙在同一路口的分配方案共有种数 （用数字作答）． 【解析】根据题意，分2步进行分析：①、将5名同学分成3组，要求甲乙在同一组，需要将其他三人分为1、2的两组即可，有133C =种分组方法；②，将分好的三组对应三个路口，有336A =种情况，则有3618⨯=种安排方法； 【答案】18．15． 抛物线2:2C y x =的焦点坐标是 1(2，0) ，经过点(4,1)P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则||||AF BF += ．【解析】由抛物线2:2C y x =，得22p =，1p =，则122p =，∴抛物线的焦点1(2F ，0)．过A 作AM ⊥准线，BN ⊥准线，PK ⊥准线，M 、N 、K 分别为垂足， 则由抛物线的定义可得||||||||AM BN AF BF +=+．再根据P 为线段AB 的中点，有19(||||)||22AM BN PK +==，||||9AF BF ∴+=，【答案】1(,0)2，9．16． 在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒且AB ，14BB =，设其外接球的球心为O ，且球O 的表面积为28π，则ABC ∆的面积为． 【解析】如图，由于90BAC ∠=︒，连接上下底面外心PQ ，O 为PQ 的中点，OP ⊥平面ABC ，则球的半径为OB ，球O 的表面积为28π，OB ∴=由题意，14BB =，90BAC ∠=︒，所以BC ==， 所以3AC =，则ABC ∆的面积为12S AB AC =⨯⨯=．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3．（1）求{}n a 的通项公式；（2）著21a ≠，2log ||n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．【解析】（1）设公比为q ，则213q q ++=，解得1q =或2q =-，所以1n a =或1(2)n n a -=-． （2）依题意可得1n b n =-，所以121111(1)1n n b b n n n n ++==-++， 所以11111111223111n nT n n n n =-+-+⋯+-=-=+++． 18．（12分）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点． （1）求sin sin BADDAC∠∠的值；（2）若2BAD DAC ∠=∠，求AD ．【解析】（1）在ABC ∆中，2AB =，3AC =，D 为BC 边上的中点， 根据面积相等，11sin sin 22AB AD BAD AC AD CAD ∠=∠，故32AC AB ==， （2）2BAD DAC ∠=∠，得sin sin22sin cos BAD DAC DAC DAC ∠=∠=∠∠， 所以3cos 4DAC ∠=，所以21cos 2cos 18BAD DAC ∠=∠-=，在三角形ABD 中，2214228BD AD AD=+-， 2239234CD AD AD=+-，由BD CD =，上式化简得54AD =，故54AD =．19．（12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥底面ABCD ，其中底面ABCD 为等腰梯形，//AD BC ，PA AB BC CD ===，PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，Q 为PD 的中点． （1）证明：//CQ 平面PAB ； （2）求二面角P AQ C --的余弦值．【解析】（1）证明：取PA 中点N ，连结QN ，BN ， Q ，N 是PD ，PA 的中点，//QN AD ∴，且12QN AD =， PA PD ⊥，60PAD ∠=︒，12PA AD ∴=，12BC AD ∴=，QN BC ∴=，又//AD BC ，//QN BC ∴，BCQN ∴为平行四边形， //BN CQ ∴，又BN ⊂平面PAB ，且CQ ⊂/平面PAB ，//CQ ∴平面PAB ．（2）解：取AD 中点M ，连结BM ，取AM 的中点O ，连结BO ，PO ，设2PA =， 由（1）得2PA AM PM ===，APM ∴∆为等边三角形，PO AM ∴⊥，同理，BO AM ⊥， 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =， PO ⊂平面PAD ，PO ∴⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，分别以OB ，OD ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0A ，1-，0)，C 2，0)，(0P ，0，(0Q ，32，(3,3,0)AC =，(0AQ =，52，设平面ACQ 的法向量(m x =，y ，)z ，则330502m ACx y m AQ y z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，取y =(3m =，5)， 平面PAQ 的法向量(1n =，0，0)，337cos ,||||37m n m n m n ∴<>==，由图得二面角P AQ C --的平面角为钝角，∴二面角P AQ C --的余弦值为．20．（12分）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y （百千克）与某种液体肥料每亩使用量x （千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系，请计算相关系数r 并加以说明（若||0.75r >，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；（2）求y 关于x 的回归方程，并预测液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量y 约为多少？附：相关系数公式()()nnii i ixx y y x ynxyr ---==∑∑，0.55≈0.95≈．回归方程ˆˆˆybx a =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1122211()()ˆ()nniii ii i nniii i x x yy x ynxy bx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-【解析】（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∴51()()(3)(1)(1)00010316i i i x x y y =--=-⨯-+-⨯+⨯+⨯+⨯=∑，，==∴相关系数5()()90.951052ii xx y y r --===∑． 0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）51521()()6ˆ0.320()iii ii x x yy bx x ==--===-∑∑．ˆˆ450.3 2.5ay bx =-=-⨯=． ∴回归方程为ˆ0.3 2.5yx =+．当12x =时，ˆ0.212 2.5 6.1y =⨯+=， 即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为6.1百千克．21．（12分）已知椭圆222:1(2x y C a a +=>的右焦点为F ，P 是椭圆C 上一点，PF x ⊥轴，||2PF =． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，且||OM =，求AOB ∆面积的最大值． 【解析】（1）由题知，点(P c ， 则有222212c a +=，又22222a b c c =+=+， 解得28a =，26c =，故椭圆C 的方程为22182x y +=．（2）当AB x ⊥轴时，M 位于x 轴上，且OM AB ⊥，由||OM =可得||AB =此时1||||32AOB S OM AB ∆== 当AB 不垂直x 轴时，设直线AB 的方程为y kx t =+，与椭圆交于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由22182x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得222(14)8480k x ktx t +++-=． ∴122814kt x x k -+=+，21224814t x x k -=+，从而224(,)1414kt tM k k -++，已知||OM =22222(14)116k t k+=+． 2222222221212222284816(82)||(1)[()4](1)[()4](1)1414(14)kt t k t AB k x x x x k k k k k ---+=++-=+-⨯=++++． 设O 到直线AB 的距离为d ，则2221t d k =+，22222222116(82)(1)4(14)1AOBk t t S k k k ∆-+=+++． 将22222(14)116k t k +=+代入化简得22222192(41)(116)AOB k k S k ∆+=+．令2116k p +=，则2222222112(1)(1)192(41)11443[3()]4(116)33AOB p p k k S k p p ∆--++===--++，当且仅当3p =时取等号，此时AOB ∆的面积最大，最大值为2． 22．（12分）已知函数21()2(2)2f x x alnx a x =+-+． （1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【解答】解（1）当1a =时，21()23(0)2f x x lnx x x =+->． 所以2232(2)(1)()3x x x x f x x x x x-+--'=+-==，令()0f x '，则01x <或2x ，令()0f x '<，则12x <<，所以()f x 的单调递增区间为(0，1]和[2，)+∞，单调递减区间为(1,2)；（2）假设存在实数a ，满足题设． 因为函数323414()()22929g x f x ax x x alnx x x =++=+-+，所以224()23a g x x x x '=+-+， 要使函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，224()20,(0,)3a g x x x x x '=+-+∈+∞， 即3243660x x x a +-+，32436(0,)6x x x x a +-∈+∞⇔-，(0,)x ∈+∞， 令32436()6x x x h x +-=，(0,)x ∈+∞，则2()21(21)(1)h x x x x x '=+-=-+， 所以当1(0,)2x ∈时，()0h x '<，()h x 在1(0,)2上单调递减， 当1(,)2x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 在1(,)2+∞上单调递增， 所以12x =是()h x 的极小值点，也是最小值点，且17()224h =-， 所以存在724a使函数34()()9g x f x ax x =++在(0,)+∞上单调递增关注《品数学》，获取更多精品资料。
2020年高考数学模拟试卷含答案详解数学（文）试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题（本题共12道小题，每小题0分，共0分）1.已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边，若cos cA b<，则△ABC 的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等边三角形 2.在△ABC 中，已知90BAC ∠=o ，6AB =，若D 点在斜边BC 上，2CD DB =，则AB AD ⋅u u u r u u u r的值为 （ ）．A. 6B. 12C. 24D. 483.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”正确的反设为（ ）A. a ，b ，c 中至少有两个偶数B. a ，b ，c 中至少有两个偶数或都是奇数C. a ，b ，c 都是奇数D. a ，b ，c 都是偶数 4.已知函数2(),2x f x x x +=∈+R ，则()22(2)f x x f x -<- 的解集是（ ） A. [－1,2) B.(－1,2)C.(0,2]D. (0,2)5.在区间[－6,9]内任取一个实数m ，设()2f x x mx m =-++，则函数()f x 的图像与x 轴有公共点的概率等于（） A. 815B.35C.23D.11156.已知β为锐角，角α的终边过点((),sin αβ+=cos β=（ ） A.12B.4C.4D.7.设集合A ={0,1}，B ={－1,0}，则A △B =（） A.{0,1} B. {－1,0,1}C. {0}D. {－1,0}8.设1,(2)()2(1),(2)xx f x f x x ⎧⎛⎫⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪+<⎩…，则()2log 3f 的值是（ ） A. 16B. -6C.13D. -39.设x ∈R ，则“21x <”是“31x <”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件10.()()131i i +-=（）A. 42i +B. 24i +C. 22i -+D. 22i -11.某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验．根据收集到的数据（如下表），由最小二乘法求得回归直线方程ˆy=0.67x +54.9，表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为（ ）12.a ＝0是复数z ＝a +bi （a ，b ∈R ）为纯虚数的（ ） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（本题共4道小题，每小题0分，共0分）13.已知函数22,(2)()log (1),(2)x t t x f x x x ⎧⋅<=⎨-≥⎩，且(3)3f =，则[(2)]f f = ____． 14.已知P 为△ABC 所在平面内一点，且2355A APB AC =+u u u vu u uv u u u v ，则:PAB ABC S S ∆∆=_____ 15.已知两点A （2，1）、B （1，）满足12AB u u u r ＝（sin α，cos β），α，β△（﹣2π，2π），则α+β＝_______________ 16.已知一组数1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数的方差为______.三、解答题（本题共6道小题,第1题0分,第2题0分,第3题0分,第4题0分,第5题0分,第6题0分,共0分） 17.已知函数()13f x x x =-++，()g x x a =+. （1）求不等式()6f x ≥的解集；（2）对x R ∀∈，都有()()0f x g x -≥，求实数a 的取值范围. 18.在四棱锥P -ABCD 中，四边形ABCD 是矩形，平面P AB △平面ABCD ，点E 、F 分别为BC 、AP 中点.（1）求证：EF ∥平面PCD ； （2）若1AD AP PB AB ===，求三棱锥P -DEF 的体积.19.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为为参数），坐标原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；（2）直线l 与y 轴的交点为P ，经过点P 的动直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，证明：||||PA PB ⋅为定值．20.某蛋糕店每天制作生日蛋糕若干个，每个生日蛋糕成本为50元，每个蛋糕的售价为100元，如果当天卖不完，剩余的蛋糕作垃圾处理．现搜集并整理了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个），得到如图所示的柱状图．100天记录的各需求量的频率作为每天各需求量发生的概率．（1）若该蛋糕店某一天制作生日蛋糕17个，设当天的需求量为，则当天的利润y （单位：元）是多少？（2）若蛋糕店一天制作17个生日蛋糕．①求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n 的函数解析式； ②求当天的利润不低于600元的概率；（3）若蛋糕店计划一天制作16个或17个生日蛋糕，请你以蛋糕店一天利润的平均值作为决策依据，应该制作16个还是17个生日蛋糕？21.如图，三棱锥D -ABC 中，△ABC 是正三角形，． （1）证明：；（2）若，，求点C 到平面ABD 的距离．cos (sin x y ααααα⎧=⎪⎨=⎪⎩cos()26πρθ+=()n n ∈N DA DC =AC BD ⊥90BAD ∠=︒2AB AD ==22.已知45cos α=-，且α为第二象限角． （Ⅰ）求22cos πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求24tan πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值．试卷答案1.A 【分析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求【详解】解：A Q 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，sin 0cos A cA b∴><Q 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B A A B ∴+<∴+<∴< 又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选：A 。
精品文档2020 年 4 月开学摸底考（新课标卷）高三数学（理）（考试时间：120 分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2, 1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2, 1,02．已知复数z a i a R 是纯虚数，则a的值为（）2i11C．2D．2A ．B．223．已知 a 3ln2， b2ln3 ， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A ．B．C．D．4．已知函数f (x)1），则 y= f (x) 的图象大致为（x ln x 1A ．B ．C ．D ．uuuvuuuv1uuuvuuuvuuuv ，ABAC ，则（）5．在 ABC中， D 为 BC 上一点， E 是 AD 的中点，若 BDDC CE31B ．17D ．7A ．3C ．6366．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a n a n 1 2a n 1 3a n 1an 1n 2, nN * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（）1B ．1C ．1D ．1 A ． n12n 12n 1 123n 17．已知函数f ( x) 2sin(x)(06,) 的图象经过点 ( , 2) 和 ( 2, 2) .若函数263g( x)f ( x) m 在区间 [,0] 上有唯一零点，则实数 m 的取值范围是（ ）2A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2 C ． (1,1]D ． { 2} U(1,1]28．已知 A3,2 ，若点 P 是抛物线 y 28x 上任意一点，点 Q 是圆 (x2) 2 y 2 1上任意一点，则PAPQ 的最小值为 ()A ． 3B ． 4C ． 5D ． 69．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A ．B．C．D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3, x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i1,2,3,4次，每次转动90，记T i i 1,2,3,4 为转动 i次后各区域内两数乘积之和，例如 T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2+x3x40 ， y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 49512．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含 A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面A1B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．14．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．精品文档15．已知双曲线x2y2中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在2b2 1(a 0,b 0)a线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P i (i 1,2)uuuuv uuuuv，使得 PA i 1PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是____________.16．四面体 A BCD 中，AB底面 BCD ，AB BD 2 ，CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为______三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）1n 1满足 b n 2n a n.17（．本小题满分12 分）已知数列a n的前n项和S n a n 2 n N *，数列b n2（Ⅰ）求证：数列b n是等差数列，并求数列a n的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n的前n项和为T n，求满足T n124n N *的 n 的最大nn a n，数列2n 1 a n 163值 .18．（本小题满分12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买 2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金7000 元，在延保的两年内可免费维修 2 次，超过2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金10000 元，在延保的两年内可免费维修 4 次，超过 4 次每次收取维修费1000 元.某医院准备一次性购买 2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50 台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0123台数5102015以这 50 台机器维修次数的频率代替 1 台机器维修次数发生的概率，记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（1）求 X 的分布列；（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？19．（本小题满分 12分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱A1 A 底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12，AD CD5，且点 M 和N分别为B1C和D1D 的中点.（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角D1AC B1的正弦值；（ 3）设E为棱A1B1上的点，若直线NE 和平面 ABCD 所成角的正弦值为1，求线段A1E的长. 320．（本小题满分12 分）已知 A x1 , y1 , B x2 , y2是抛物线 C : x2 2 py p 0 上不同两点.（ 1）设直线l : y py x 1，且直线 l : yp与 y 轴交于点M，若A, B两点所在的直线方程为恰好平44分AFB，求抛物线 C 的标准方程.（ 2）若直线AB与x轴交于点P，与y轴的正半轴交于点Q，且y1 y2p2，是否存在直线AB ，使得4113PA PB PQ？若存在，求出直线AB 的方程；若不存在，请说明理由.21．（本小题满分12 分）已知函数 f x ln x 1 x2ax a R ， g x e x3 x2x .22（1）讨论f x的单调性；（ 2）定义：对于函数 f x ，若存在x0，使f x0x0成立，则称x0为函数f x 的不动点.如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数 a 的取值范围.请考生在第22、 23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10 分）选修4-4：坐标系与参数方程x 3t x 2 2cos 在直角坐标系 xOy 中，直线l的参数方程为（ t 为参数），曲线 C1的参数方程为2siny3t y（为参数），以该直角坐标系的原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2 3cos2sin．（1）分别求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；（2）设直线l交曲线C1于O，A两点，交曲线C2于O，B两点，求| AB |的长．23．（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知 a 0， b0， c 0 设函数 f (x)x b x c a ， x R（ I ）若a b c1，求不等式 f ( x)5的解集；（ II ）若函数 f(x) 的最小值为1，证明：149（ a b c ）a b b c18c a一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）1．已知集合A2,1,0,1,2 ，B x | y x ，则A I B（）A．1,2B．0,1,2C．2,1D．2,1,0【答案】 D【解析】因为A2, 1,0,1,2, B x x0，所以 AI B2,1,0.故选 D.2．已知复数z a i a R是纯虚数，则 a 的值为（）2i1B．1C．2D．2A ．2 2【答案】 A【解析】 Q z a i a i2i2a 1 2ai 是纯虚数2i2i2i552a151，解得： a2a 本题正确选项： A0253．已知 a 3ln2 ， b 2ln3， c3ln 2 ，则下列选项正确的是（）A．B．C．D．【答案】 D【解析】，，，∵ 6π＞0，∴ a， b， c 的大小比较可以转化为的大小比较．设 f（ x），则f′（x），当 x＝ e 时， f′（ x）＝ 0，当 x＞ e 时， f′（x）＞ 0，当 0＜ x＜ e 时， f′（ x）＜ 0∴ f （x）在（ e， +∞）上， f（ x）单调递减，∵ e＜ 3＜π＜ 4∴，∴ b＞c＞a，故选：D．14．已知函数 f (x)，则y= f (x)的图象大致为（）x ln x1A．B．C．D．【答案】 A【解析】由于f11220，排除 B 选项.2112ln 1 ln 222由于 f e2, f e22， f e f e2，函数单调递减，排除C选项.e2e23由于 f e10021010 ，排除D选项.故选A.e100uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv 5．在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，CE1 AB AC ，则31B．17D．7A ．3C．636【答案】 B 精品文档（）精品文档uuur 1 uuur uuuruuur1 uuur1 uuur 1 uuur1 uuur【解析】 CE 3 CB CAAC3 CB3 CA3 CD 3CA ，因为 E 是 AD 的中点， 所以1 1 ， 1 1 ，解得1 , 5 ， 1 .故选 B.3 2 3 22636．已知数列 { a n } 满足 a 1 1， a 21 ，若 a nan 12a n 13a n 1an 1n 2, n N * ，则数列 { a n } 的通3项 a n（ ）1111A．2n 1B ．2n 1C ．3n 1D ．2n 1 1【答案】 B【解析】 a n a n 12a n a n 1 3a n 1 a n 1 , 1 2 3 , 1 1 2(11 ) ,an 1an 1a nan 1a na nan 111则an 1a n 2 ,数列 11 是首项为 2，公比为2 的等比数列，11a na n 1a n an 11122n 12n ，利用叠加法，a n 1 a n1 ( 1 1 ) ( 1 1 ) ...... ( 1 1 ) 1 222 .......2n 1 ，a 1a 2a 1a 3a 2a n an 11 2n 1 2n 1 ，则 a n 1 1 .选 B.a n 2 12n7．已知函数f ( x)2sin( x)(06,) 的图象经过点 ( ,2)和(2, 2) .若函数2 63g( x)f ( x) m 在区间 [2 ,0] 上有唯一零点，则实数m 的取值范围是（）A ． ( 1,1]B ． { 1}U(1,1]2 2C ． (1,1]D ． { 2} U( 1,1]【答案】 D【解析】由题意得21N，得T，故24k2，因为0 6 ，36k T ，kT22k 1k N ，所以2.由f62sin32 ，得2k，因为2，故，所以326f x2sin2x，从而当 x,052x，令 t2x，则由题意得6时，626662sint m 0在 t 5,上有唯一解，故由正弦函数图象可得m1或1m16222，解得62m21,1故选D.8．已知A 3,2，若点P是抛物线y28x 上任意一点，点Q 是圆(x2) 2y21上任意一点，则PA PQ 的最小值为()A ． 3B． 4C． 5D． 6【答案】 B【解析】抛物线 y28x 的焦点F 2,0，准线l：x 2 ，圆 (x 2) 2y21的圆心为F 2,0，半径r 1 ，过点 P 作PB垂直准线l，垂足为 B ，由抛物线的定义可知PB PF |，则 PA PQ PA PF r PA PB1，当 A,P,B三点共线时PA PB 取最小值 3 2 5，PA PQ PA PB 1 5 1 4．即有 PA PQ 取得最小值4，故选 B．9．如图为我国数学家赵爽约3世纪初在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则区域涂色不相同的概率为A．B．C．D．【答案】 D【解析】提供 5 种颜色给其中 5 个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，根据题意，如图，设 5 个区域依次为,分 4 步进行分析：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域，与区域相邻，有 3 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，则区域有种选择，则不同的涂色方案有种，其中，区域涂色不相同的情况有：，对于区域，有 5 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 4 种颜色可选；，对于区域与区域相邻，有 2 种颜色可选；，对于区域，若与颜色相同，区域有2种颜色可选，若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有1种颜色可选，则区域有种选择，不同的涂色方案有种，区域涂色不相同的概率为,故选 D．10．已知两个半径不等的圆盘叠放在一起（有一轴穿过它们的圆心），两圆盘上分别有互相垂直的两条直径将其分为四个区域，小圆盘上所写的实数分别记为x1, x2 , x3 , x4，大圆盘上所写的实数分别记为y1, y2 , y3 , y4,如图所示 .将小圆盘逆时针旋转i i 1,2,3,4 次，每次转动90，记 T i i 1,2,3,4为转动i次后各区域内两数乘积之和，例如T1x1 y2x2 y3x3 y4x4 y1.若 x1 +x2 +x3x40 ，y1 +y2 +y3 +y40 ，则以下结论正确的是A ．T1, T2,T3,T4中至少有一个为正数B．T1,T2, T3,T4中至少有一个为负数C．T1, T2,T3,T4中至多有一个为正数D．T1,T2, T3,T4中至多有一个为负数【答案】 A【解析】根据题意可知：（x1+ x2+x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）>0,又（ x1 +x2 + x3x4）（ y1+y2 +y3 +y4）去掉括号即得：（ x1 +x2 +x3x4）（ y1 +y2 +y3 +y4）= T1T2T3T4>0,所以可知 T1 ,T2 ,T3, T4中至少有一个为正数，故选A11．已知集合A={1 ， 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9），在集合 A 中任取三个元素，分别作为一个三位数的个位数，十位数和百位数，记这个三位数为，现将组成的三个数字按从小到大排成的三位数记为（），按从大到小排成的三位数记为D（）（例如＝219，则（）＝129，D（）＝921），阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，任意输入一个，则输出 b 的值为（）A ． 792B． 693C． 594D． 495【答案】 D【解析】试题分析： A，如果输出的值为792，则，不满足题意．B，如果输出的值为693，则，，不满足题意．C，如果输出的值为594，则，不满足题意．D ，如果输出的值为495，则，，满足题意．故选D．12．如下图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，点E、F分别为棱BB1， CC1的中点，点 O 为上底面的中心，过 E、 F、 O 三点的平面把正方体分为两部分，其中含 A1的部分为 V1，不含A1的部分为 V2，连接 A1和 V2的任一点 M ，设A1M与平面 A1 B1C1D1所成角为，则 sin 的最大值为（）．A ．2B．2 5C．2 6D．2 62556【答案】 B【解析】连接EF，因为 EF//面 ABCD, 所以过 EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O且与EF平行的直线，过点O 作 GH //BC 交 CD 于点 G,交 AB 于 H 点，则 GH //EF,连接 EH，FG,则平行四边形 EFGH 为截面，则五棱柱 A1B1 EHA D1C1 FGD 为 V1，三棱柱EBH -FCG为 V2，设M点为 V2的任一点，过M 点作底面 A1 B1C1D1的垂线，垂足为N，连接A1N ,则MA1N即为A1M与平面A1B1C1D1所成的角，所以MN,要使α的正弦最大，必须 MN 最大，A1M最小，当点 M 与点 H 重合时符合MA1 N =α，因为sinα=A1M题意，故 sin α的最大值为MN=HN=25,故选B A1M A1H5二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13．已知函数 f x ln 1 x2x 1 ， f a 4 ，则 f a________．【答案】2【解析】因为 f x f x ln 1 x2x 1 ln 1 x2x 1 ln 1 x2x22 2 ，f a f a 2 ，且 f a 4 ，则 f a 2 .故答案为-214．已知随机变量X 服从正态分布N 2,1 ，若P X a 2 P X 2a 3 ，则a__________ ．【答案】 1【解析】由正态分布的性质可得正态分布的图像对称轴为X 2 ，a22a3a 1.故答案为1．结合题意有：22,15．已知双曲线x2y20,b 0)中， A1 , A2是左、右顶点， F 是右焦点，B是虚轴的上端点．若在22 1(aa b线段 BF 上（不含端点）存在不同的两点P (i 1,2)uuuuv uuuuv ，使得PA i 1 PA i 2 0 ，则双曲线离心率的取值范围是i____________.【答案】2，512【解析】设 c 为半焦距，则F c,0 ，又 B 0,b ，所以 BF : bxcy bc 0，uuuur uuuur以 A 1 A 2 为直径的圆的方程为e O ： x2y 2 a 2 ，因为 PA i 1 PA i 2 0 ，i1,2 ，所以 e O 与线段 BF 有两个交点（不含端点） ，bcac 4 3a 2c 2a4e 4 3e 21 0 所以b 2c 2即2a 2，故，c 2e 2 2b a解得 2 e5 1.故填2，5 1.2216．四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， AB BD2 ， CB CD 1 ，则四面体A BCD 的外接球的表面积为 ______【答案】 4【解析】如图，在四面体A BCD 中， AB 底面 BCD ， ABBD 2， CB CD 1，可得BCD 90 ，补形为长方体，则过一个顶点的三条棱长分别为1， 1，2 ，则长方体的对角线长为1212 ( 2) 2 2，则三棱锥 A BCD 的外接球的半径为 1．其表面积为 412 4 ．故答案为： 4 ．三、解答题（本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本小题满分 12 分）1 n 1b n 满足 b n 2n a n .已知数列a n 的前 n 项和 S na n2 n N * ，数列2（Ⅰ）求证：数列b n 是等差数列，并求数列a n 的通项公式；（Ⅱ）设 c nn n1c n 的前 n 项和为 T n ，求满足 T n124 n N * 的 n 的最大nn a n，数列 2 n 1 a n 163值 .n 1【解析】 (Ⅰ ) Q S n a n12 n N ，2n 21n 1当 n2时，S n 1 12 ，a nS nS n 1anan 1an 12，2化为 2n a n 2n 1 a n 11，Q b n2n a n , b nb n 1 1 ，即当 n 2时 , b n b n 1 1 ，令 n 1 ,可得 Sa 1 2 a ,即 1.a 11112又 b 1 2a 1 1 , 数列 b n 是首项和公差均为 1 的等差数列 .于是 b n1 n 1 1 nna nn2 a n ，n .2( Ⅱ)由( Ⅰ )可得c nn n 12 nn n nn 12n 12n 12n 1112n 1 2n 1 1 2,2n 1 2n 1 1T n1111 111242 11 23 1...1 2n 1 12 1,221222n2n 1 163可得 2n 164 26 ， n 5 ，因为 n 是自然数，所以 n 的最大值为 4.18．（本小题满分 12 分）某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2 台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金 7000 元，在延保的两年内可免费维修2 次，超过 2 次每次收取维修费2000 元；方案二：交纳延保金 10000 元，在延保的两年内可免费维修4 次，超过 4 次每次收取维修费 1000元 . 某医院准备一次性购买2 台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，为此搜集并整理了50台这种机器超过质保期后延保两年内维修的次数，得下表：维修次数0 1 2 3台数5 10 20 15以这 50 台机器维修次数的频率代替1 台机器维修次数发生的概率， 记 X 表示这2 台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．（ 1）求 X 的分布列；（ 2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，医院选择哪种延保方案更合算？【解析】（Ⅰ） X 所有可能的取值为0，1， 2，3， 4，5， 6，P X 0 1 11， P X11 1 21，PX211212 3 ，1010100105255551025P X 3 1 3212211，P X 42 2 3127 ，101055505510525P X 52326， P X339，5106101002510∴ X 的分布列为X012345611311769 P2525502525100 100（Ⅱ）选择延保一，所需费用Y1元的分布列为：Y170009000110001300015000P 1711769 100502525100EY117700011900071100061300091500010720（元）.100502525100选择延保二，所需费用Y2元的分布列为：Y2100001100012000P 6769 10025100EY26710000611000910420 （元）. 1002512000100∵ EY EY，∴该医院选择延保方案二较合算.19．（本小题满分12 分）如图，在四棱柱ABCD A1 B1C1 D1中，侧棱 A1 A底面ABCD，AB AC ，AB 1，AC AA12， AD CD5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点 .（1）求证：MN / /平面ABCD；（ 2）求二面角 D1AC B1的正弦值；（ 3）设 E 为棱 A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为1，求线段 A1E 的长. 3【解析】如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0),B(0,1,0), C (2,0,0), D (1, 2,0) ，又因为 M , N 分别为B1C和 D1D 的中点，得M 1,1,1 , N (1, 2,1). 2r uuuur5,0 ，（Ⅰ）证明：依题意，可得n (0,0,1) 为平面ABCD的一个法向量，MN0,2 uuuur r由此可得，MN n 0，又因为直线 MN 平面 ABCD ，所以 MN / / 平面 ABCD精品文档urur uuuurn 1 AD 1 0（Ⅱ），设n 1( x, y, z) 为平面 ACD 1 的法向量，则 { uruuur ，即n 1 ACx 2 y 2z 0ur(0,1,1)，{，不妨设 z1，可得 n 12xuuruur uuuruuur( x, y, z) 为平面 ACB 1n 2 AB 1 0 (0,1,2)y 2z 0设n 2的一个法向量，则 { uur uuur 0，又 AB 1，得 { ，不妨设n 2 AC2x 0uurz 1，可得 n 2(0, 2,1)，ur uurur uurn 1 n 210ur uur310 ，因此有 cos n 1 , n 2uruur，于是sin n 1, n 2n 1 n 21010所以二面角 D 1AC B 1 的正弦值为310 .uuur uuuur10uuur（Ⅲ）依题意，可设A 1EA 1B 1，其中[0,1] ，则 E(0, ,2) ，从而 NE( 1,2,1) ，r (0,0,1) 为平面 ABCD 的一个法向量，由已知得又 nuuur r uuur r 1 1NE n2cos NE ,n uuur r，整理得43 0 ，( 1)2 ( 2)2 12NE n 3又因为[0,1] ，解得7 2 ，所以线段 A 1E 的长为7 2 .20．（本小题满分 12 分）已知 Ax 1 , y 1 , B x 2 , y 2 是抛物线 C : x 2 2 py p 0 上不同两点 .（ 1）设直线 l : ypy x 1，且直线 l : yp 与 y 轴交于点 M ，若 A, B 两点所在的直线方程为恰好平44分 AFB ，求抛物线 C 的标准方程 .（ 2）若直线 AB 与 x 轴交于点 P ，与 y 轴的正半轴交于点 Q ，且 y 1 y 2p 2 ，是否存在直线 AB ，使得411 3 AB 的方程；若不存在，请说明理由.PAPB？若存在，求出直线PQ【解析】（1）设 A x 1 , y 1 , B x 2 , y 2, M 0, px 22 py2px 2p0 ，，由 {，消去 y 整理得 x24y x 14p 2 8 p 0p则 { x 1 x 2 2 p ， ∵直线 y AFB ， ∴ k AF k BF0 ，平分x 1x 2 2 p 4∴y1p y 2 p，即：x 11px 2 1 pp x 1 x 24 44421 0 ，x 1x 2x 1x 24 x 1 x 2∴ p4 ，满足0 ，∴抛物线 C 标准方程为 x 2 8y ．（ 2）由题意知，直线AB 的斜率存在，且不为零，设直线 AB 的方程为： ykxb(k0， b0) ，y kx b4p 2 k 2 8 pb 02pkx2pb0， ∴{x 1x 2 2 pk由 { 2 ，得 x 2 ，x 2 pyx 1x 22 pb2 22pb 2∴y 1 y 2x 1 ?x 2b 2 ，4p 22p 2p∵y 1 y 2p 2 ， ∴ b 2 p 2 ， ∵ b 0 ， ∴ b p ．442∴直线 AB 的方程为： ykxp．2AB ，使得11 3PQPQ 假设存在直线PBPQ ，即PA3 ，PAPB作 AA x 轴， BB x 轴，垂足为A 、B ，∴ PQPQOQ OQ pp p y 1 y 2 2 2 ，PAPB AABB·y 1y 22 y 1y 2∵ y 1 y 2 k x 1 x 2 p 2pk 2p ， y 1y 2p 2，PQ PQ p 2pk 2 p21 ∴PAPB2·p 24k2，由4k22 3 ，得 k，4211 3 1 x p ． 故存在直线 AB ，使得PB，直线 AB 方程为 yPAPQ2 221 ．（本小题满分12 分）已知函数 f xln x1 x2 ax a R ， g xe x 3 x 2x .22（ 1）讨论 f x的单调性；（ 2）定义：对于函数f x ，若存在 x 0 ，使 f x 0x 0 成立，则称 x 0 为函数f x 的不动点 .如果函数F x f x g x 存在不动点，求实数a 的取值范围 .【解析】 (1) fx 的定义域为 0,x 2 ax 1， f xx 0 ，x对于函数 yx 2 ax 1 0 ，①当a 2 4 0 时，即 2 a 2 时， x 2 ax 1 0 在 x 0 恒成立 .fx 2 ax10,恒成立 .f x 在 0,为增函数；xx0 在②当0 ，即 a 2 或 a 2 时，当 a2 时，由 f x0 ，得 xaa 24或xa a 24，0aa 2 4 aa 2 4 ，222 2f x 在 0,aa 2 4 为增函数， aa 2 4 , a a 2 4 减函数 .222aa 2 4 , 为增函数，2当 a2x2ax 10,恒成立，时，由 f x0 在xf x 在 0,为增函数。
2020年高考数学仿真卷01（考试时间：120分钟 试卷满分：160分）数学I一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1.已知集合}{2,1,0=A ，}{11<<-=x x B ，则=⋂B A ______． 【答案】{0}【解析】由交集的定义可知{0}.2.已知复数z 1＝1－2i ，z 2＝a ＋2i （其中i 为虚数单位，a ∈R ）．若z 1z 2是纯虚数，则a 的值为______． 【答案】-4【解析】(1－2i)(a ＋2i)=a+4+(2-2a )i,因为z 1z 2是纯虚数，所以a=-4. 3. 如图的程序框图，运行相应的程序，输出S 的值为_______. 【答案】8【解析】按照程序框图运行程序，输入i=1，S=0 i=1不是偶数，则S=1，i=2<4，循环 i=2是偶数，则i=1，S=5，i=3<4，循环 i=3不是偶数，则S=8，i=4≥4，输出结果：S=8. 4.函数)67lg(2x x y -+=的定义域是_______. 【答案】（-1，7）【解析】由对数的意义知：7+6x -x 2>0,得x 2-6x -7<0知-1<x<7.5.若一组样本数据6，7，x ，8，9,10的平均数为8，则该组样本数据的方差为 . 【答案】35第3题图【解析】由平均数的定义得x =8，故方差为s 2=61[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=35. 6.从1,3,5,7这五个数中任取两个数，则这两个数之和是奇数的概率为_________. 【答案】53【解析】利用枚举法可知：从1,2,3,4,5这五个数中任取两个数共有10种基本事件，其中和为奇数包含6种基本事件，故概率为53. 7.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与准线的一个交点坐标为(13) ，，则双曲线的焦距为 . 【答案】4【解析】由题意知：点(13) ，代入x aby =得a b 3=，又12=c a ，联立解得c=2，故2c=4. 8.等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，则S 7＝ ． 【答案】127【解析】因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，a 1＝1，所以4a 1+a 3＝2a 2，即q=2，所以S 7＝qq a --1)1(71=127.9.3，母线与底面所成角为3π，则圆锥的表面积是_______．【答案】3π【解析】Q 3，母线与底面所成角为3π，∴如图，设圆锥底面半径AO OB r ==，则母线长2l SA r ==，高3SO r =，213333V r r π∴==，解得1r =，2l SA ∴==，3SO =∴该圆锥的表面积为223S rl r πππππ=+=+=．10.函数223)1(x x x y +-=的最大值是______.【答案】41【解析】222111x x x x y +-•+=，令αtan =x ，则ααα2sin 412cos 2sin 21==y ，故41max=y . 11.已知函数3()3()f x x x c x =-+∈R ，若函数()f x 恰有一个零点，则实数c 的取值范围是________． 【答案】(,2)(2,)-∞-+∞U【解析】f ′（x ）＝3x 2﹣3＝3（x ﹣1）（x +1）， f '（x ）＞0⇒x ＞1或x ＜-1；f '（x ）＜0⇒-1＜x ＜1，∴f （x ）在（﹣∞，-1）和（1，+∞）上单增，在（-1，1）上单减，∴()()()12()12f x f c f x f c ==-+=-=+极小极大，，函数f （x ）恰有一个零点，可得2c -+>0或2c +<0，解得c ＜-2或c 2＞．可得c 的取值范围是(,2)(2,)-∞-+∞U .12.,10=若平面上点P 满足对于任意R t ∈,3≥-则•的最小值为______.【答案】-16,3≥-所以P 到AB 的距离为3.设AB 的中点为O ，则[][]1610)2(41)()(412222-≥-=--+=•，故•的最小值为-16. 13.已知2tan tan()43παα-=，则cos(2)4πα-的值是______.【解析】tan tantan 124tan tan tan tan 41tan 31tan tan 4παπαααααπαα--⎛⎫-=⋅=⋅= ⎪+⎝⎭+ 解得：1tan 3α=-或tan 2α=()cos 2cos 2cos sin 2sin cos 2sin 24442πππααααα⎛⎫-=+=+ ⎪⎝⎭()222222cos sin 2sin cos cos sin 2sin cos 22cos sin αααααααααα-+=-+=⨯+221tan 2tan 1tan ααα-+=+ 当1tan 3α=-时，12193cos 21421019πα--⎛⎫-=⨯= ⎪⎝⎭+当tan 2α=时，144cos 2421410πα-+⎛⎫-== ⎪+⎝⎭,综上所述，cos 2410πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 14．设直线12,l l 分别是函数ln ,01()ln ,1x x f x x x -<<⎧=⎨>⎩图象上点12,P P 处的切线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l 与2l 分别与y 轴相交于点,A B ，则PAB ∆的面积的取值范围是_______. 【答案】（0，1）【解析】由题意可知，12,P P 分别在分段函数的两段上设()111,P x y ，()222,P x y 且1201x x <<<()1,011,1x xf x x x⎧-<<⎪⎪∴⎨>'=⎪⎪⎩ 111l k x ∴=-，221l k x = 1212111l l k k x x ∴⋅=-⋅=-，即：121=x x 1l ∴方程为：()1111ln y x x x x =---；2l 方程为：()2221ln y x x x x =-+ ()10,1ln A x ∴-，()20,ln 1B x - ()12121ln ln 12ln 2AB x x x x ∴=---=-=联立12,l l 可得P 点横坐标为：12121222x x x x x x =++ 121211122212PAB S AB x x x x x x ∆∴=⋅==+++()10,1x ∈Q 且1y x x =+在()0,1上单调递减111112x x ∴+>+=01PAB S ∆∴<<，即PAB ∆的面积的取值范围为：()0,1. 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C所对边的长，cos cos a B A =，cos A = （1）求角B 的值； （2）若a =△ABC 的面积．【解析】（1）在△ABC中，因为cos A =，0πA <<，所以sin A==因为cos cosa B A=，………………2分由正弦定理sin sina bA B=，得sin cos cosA B B A=．所以cos sinB B=．若cos=0B，则sin=0B，与22sin cos1B B+=矛盾，故cos0B≠．………………4分于是sintan1cosBBB==．又因为0πB<<，所以π4B=．………………6分（2）因为a=sin A=1）及正弦定理sin sina bA B==，………………8分所以b=又()()sin sinπsinC A B A B=--=+=sin cos cos sinA B A B+22==………………12分所以△ABC的面积为116sin22264S ab C++===.………………14分16.（本小题满分14分）如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为棱BC，CD上的点，且BD∥平面AEF．（1）求证：EF∥平面ABD；（2）若BD⊥CD，AE⊥平面BCD，求证：平面AEF⊥平面ACD．【解析】（1）因为BD ∥平面AEF ，BD ⊂平面BCD ，平面AEF ∩平面BCD ＝EF ，………………4分所以BD ∥EF ．因为BD ⊂平面ABD ，EF ⊄平面ABD ，所以EF ∥平面ABD ．………………8分 （2）因为AE ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，所以AE ⊥CD ．………………10分因为BD ⊥CD ，BD ∥EF ，所以CD ⊥EF ，又AE ∩EF ＝E ，AE ⊂平面AEF ，EF ⊂平面AEF ，所以CD ⊥平面AEF ．又CD ⊂平面ACD ，所以平面AEF ⊥平面ACD ．………………14分17.（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点()61 2，，其离心率等于22．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若A ，B 分别是椭圆E 的左，右顶点，动点M 满足MB ⊥AB ，且MA 交椭圆E 于点P ，求证：OP OM ⋅u u u r u u u u r 为定值.【解析】(1）由题得223121 2 a b c a ⎧⎪+=⎪⎨⎪=⎪⎩，，且222c a b =-，解得224 2 a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，，………………2分所以椭圆E 的方程为22142x y +=．………………4分（2）设0(2 )M y ，，11( )P x y ，， ABCFED（第16题）AOBPQMN（第18题）直线MA 的方程为0042y y y x =+，代入椭圆得()2222000140822y y y x x +++-=，………………6分由()201204828y x y --=+得()20120288y x y --=+，012088y y y =+，………………10分 所以()20002200288 (2 )88y y OP OM y y y --⎛⎫⋅=⋅ ⎪++⎝⎭u u u r u u u u r ，，()22002200488488y y y y --=+=++．………………14分 18．（本小题满分16分）如图，OM ，ON 是某景区的两条道路（宽度忽略不计，OM 为东西方向），Q 为景区内一景点，A 为道路OM 上一游客休息区．已知tan ∠MON ＝－3，OA ＝6(百米)，Q 到直线OM ，ON 的距离分别为3(百米)，6105(百米)．现新修一条自A 经过Q 的有轨观光直路并延伸至道路ON 于点B ，并在B 处修建一游客休息区．（1）求有轨观光直路AB 的长；（2）已知在景点Q 的正北方6 百米的P 处有一大型组合音乐喷泉，喷泉表演一次的时长为9分钟．表演时，喷泉喷洒区域以P 为圆心，r 为半径变化，且t 分钟时，2r at =百米)（0≤t ≤9，0＜a ＜1）．当喷泉表演开始时，一观光车S （大小忽略不计）正从休息区B 沿（1）中的轨道BA 以2(百米/分钟)的速度开往休息区A ，问：观光车在行驶途中是否会被喷泉喷洒到，并说明理由．【解析】（1）以点O 为坐标原点，直线OM 为x 轴，建立平面直角坐标系．则由题设得A (6，0)，直线ON 的方程为()()003 30y x Q x x =->，，． 03361010x +=03x =，所以()3 3Q ，． 故直线AQ 的方程为()6y x =--，………………4分由360y x x y =-⎧⎨+-=⎩，得39x y =-⎧⎨=⎩，，即()3 9B -，，故()2236992AB =--+答：水上旅游线AB 的长为92．………………6分（2）将喷泉记为圆P ，由题意可得P (3，9)，生成t 分钟时，观光车在线段AB 上的点C 处，则BC ＝2t ，0≤t ≤9，所以C (－3＋t ，9－t )． 若喷泉不会洒到观光车上，则PC 2＞r 2对t ∈[0，9]恒成立，即PC 2＝(6－t )2＋t 2＝2t 2－12t ＋36＞4at ， 当t ＝0时，上式成立，………………12分当t ∈(0，9]时，2a ＜t ＋18t －6，(t ＋18t －6)min ＝62－6，当且仅当t ＝32时取等号，因为a ∈(0，1)，所以r ＜PC 恒成立，即喷泉的水流不会洒到观光车上． 答：喷泉的水流不会洒到观光车上．………………16分 19．（本小题满分16分）已知函数x xnmx x f ln )(--=，R n m ∈,. （1）若函数)(x f 在（2，f （2））处的切线与x -y=0平行，求实数n 的值；（2）试讨论函数)(x f 在区间[]+∞,1上的最大值；（3）若1=n 时，函数)(x f 恰有两个零点21,x x （210x x <<）,求证：221>+x x . 【解析】（1）122)2(,)(22=-='-='n f x x n x f ，得n=6.………………4分 （2）n x x f n x x f x xxn x f <>'><'>-='时，时，0)(;0)(),0()(2，所以当 )(1x f n 时，≤在[]+∞,1上单调减，故n m y -=max ；当)(1x f n 时，>在[]n ,1上单调增，在),(+∞n 上单调减故n m y ln 1max --=.………………8分（3）函数)(x f 恰有两个零点21,x x （210x x <<），则0ln 1)(1111=--=x x mx x f ，0ln 1)(2222=--=x x mx x f ，可得2211ln 1ln 1x x x x m +=+=于是2112x x x x -=1212ln ln ln x x x x =-，令112>=x x t ，则11ln tx t t -=，tt t x ln 11-=，于是 )1(121+=+t x x x ，所以tt t t x x ln )ln 21(22221--=-+.………………12分 令t t t t h ln 21)(2--=，因为02)1()(22>-='t t t h ，所以)(t h 在),1(+∞上递增.又0)1()(,1=>>h t h t ，又 112>=x x t ，0ln >t ，又0ln ,1>>t t ，故221>+x x .………………16分 20．（本小题满分16分）已知数列{a n }前n 项和为S n ，数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，且满足S 5＝2a 4＋a 5，a 9＝a 3＋a 4．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a m a m ＋1＝a m ＋2，求正整数m 的值；（3）是否存在正整数m ，使得122+m mS S 恰好为数列{a n }中的一项？若存在，求出所有满足条件的m 值，若不存在，说明理由．【解析】（1）设12531,,,,-k a a a a Λ的公差为d ，k a a a a 2642,,,Λ的公比为q ，则d a d d a a q q a a 41,1,291324+=+=+===由⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧++=+=⇒⎩⎨⎧+=+=322421134439545q d q d a d a S a a a a a a S ，………………2分 所以⎪⎩⎪⎨⎧⋅=-为偶数为奇数n n n a n n ,32,12．………………4分 （2）若)(12*∈-=N k k m ，则1221321232)12(11-+=⋅⇒+=⋅⋅---k k k k k ，因为132-⋅k 为正整数，所以122-k 为正整数， 即1112=⇒=-k k ，此时3320≠⋅，不成立，舍去．………………6分若)(2*∈=N k k m ，则1312=⇒=+k k ，2=m ，成立， 综上，2=m ．………………8分（3）若122-m m S S 为}{n a 中的一项，则122-m m S S为正整数， 因为)()(2242123112---+++++++=m m m a a a a a a S ΛΛ1313)13(22)121(211-+=--+-+=--m m m m m ，………………10分所以313)1(2321212212122≤-+--=+=----m m S a S S S m m m m m m ， 故若122-m mS S 为}{n a 中的某一项，只能为321,,a a a ．………………12分 ①若φ∈⇒=-+---m m m m 113)1(23212， ②2013213)1(2321212=⇒=-+⇒=-+----m m m m m m ， ③11313)1(232212=⇒=⇒=-+---m m m m m ，………………15分 综上，1=m 或2=m ．………………16分数学Ⅱ（附加题）（满分：40分考试时间：30分钟）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵．【解析】由题意，λ＝2是矩阵M 的一个特征值，所以2=M αα，所以0112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………2分 所以2a b ==，………………4分由方程22()402f λλλλ-==-=-．所以2λ=或2λ=-，所以M 的另一个特征值－2．………………6分 又因为02240-⨯=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．………………………10分 B ．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t ，y ＝－t (t 为参数)与圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝m ＋2sin θ(θ为参数)相交于A ，B 两点，m 为常数. (1)当m ＝0时，求线段AB 的长；(2)当圆C 上恰有三点到直线的距离为1时，求m 的值.【解析】(1)直线l ：x ＋y －1＝0，曲线C ：x 2＋y 2＝4，………………2分圆心到直线的距离d ＝12，故AB ＝2r 2－d 2＝14.………………4分(2)圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y －m )2＝4，直线l ：x ＋y －1＝0，………………8分 由题意，知圆心到直线的距离d ＝|m －1|2＝1，∴m ＝1± 2.………………10分C ．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥． 【解析】因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，…………………3分又⋅++)(133221x x x x x x 2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭≥，…………………8分所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）将4名大学生随机安排到A ，B ，C ，D 四个公司实习． （1）求4名大学生恰好在四个不同公司的概率；（2）随机变量X 表示分到B 公司的学生的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）． 【解析】（1）将4人安排四个公司中，共有44＝256种不同放法．记“4个人恰好在四个不同的公司”为事件A ，事件A 共包含A 44=24个基本事件，所以4名大学生恰好在四个不同公司的概率P （A ）=24256=332．…………………………4分（2）方法1：X 的可能取值为0，1，2，3，4，P （X ＝0）=3444=81256，P （X ＝1）=C 41×3344=2764， P （X ＝2）=C 42×3244=27128，P （X ＝3）=C 43×344=364，P （X ＝4）=C 444=1256．所以X 的分布列为： X 0 1 2 3 4 P812562764271283641256…………………………………………………………8分 所以X 的数学期望为：E （X ）=0×81256+1×2764+2×27128+3×364+4×1256=1．………………10分23．（本小题满分10分）已知数列通项公式为，其中为常数，且，．等式，其中为实常数．（1）若，求的值；（2）若，且，求实数的值． 【解析】（1）比较可知； ………………2分{}n a 11n n a At Bn -=++,,A B t 1t >n N *∈()()()()1022020122022111x x b b x b x b x ++=+++++⋅⋅⋅++()0,1,2,,20i b i =⋅⋅⋅0,1A B ==1021n nn a b=∑1,0A B ==()1011212222n n nn ab =-=-∑t ()()()1010222211x x x ++=++=()()()24200121010101010111C C x C x C x ++++⋅⋅⋅++()()()22001220111b b x b x b x =+++++⋅⋅⋅++()210,1,2,,10nn b C n ==⋅⋅⋅而时,所以.………………4分设，也可以写成，相加得即，所以．………………6分（2）当时，，结合（1）中结论可知………………8分=，即因为关于t 的式子递增，所以关于t 的方程最多只有一解，而观察③可知，有一解t=2，综上可知：t=2． ………………10分0,1A B ==111n n a At Bn n -=++=+()10101010210101011111nn nn nn n n n a bn C nC C =====+=+∑∑∑∑T =10012101010101010101210n n nCC C C C ==⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅∑T T =102101010101010210C C C C ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅102102T =⋅1052T =⋅10101010102101011152216143nnn nn n n a bnC C ====+=⋅+-=∑∑∑1,0A B ==1111n n n a At Bn t --=++=+10101012221010101111110(22)222(1)2n n nnn n n nnn n n n n n n ab a b b tC C =====--=-=+-∑∑∑∑∑101010101110111222[((1)1)21][(12)1](1)223122t t t t t +-+--+-=+-+--+=-101022(1)310t t t+--+=。
备战2020高考全真模拟卷1数学（理）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2019·内蒙古高三月考（理））集合U =R ，{}2|4120A x x x =--≤，则U C A =（ ） A ．()2,6-B ．()6,2-C ．()(),26,-∞-⋃+∞D ．()(),62,-∞-+∞U【答案】C 【解析】 【分析】求出A 中不等式的解集确定出A ，根据全集U ＝R ，求出A 的补集即可． 【详解】依题意，{}{}2|4120|26A x x x x x =--≤=-≤≤，故()(),26,U C A -∞-⋃=+∞，故选：C . 【点睛】此题考查了补集的运算及一元二次不等式的解法，熟练掌握补集的定义是解本题的关键．2．（2020·辽宁高三期末（理））复数5iz i=+的虚部为（ ） A ．526B ．526i C ．526-D ．526i -【答案】A 【解析】 【分析】 化简得到152626z i =+计算虚部得到答案. 【详解】()515262626i i z i -==+，所以5i z i =+的虚部为526. 故选：A 【点睛】本题考查了复数虚部的计算，属于简单题. 3．（2019·河南高三月考）已知51log 83a =，51log 814b =，0.013c =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．b c a <<B ．b a c <<C ．a c b <<D ．a b c <<【答案】D 【解析】 【分析】利用指数对数的运算性质以及对数函数的单调性即可判断出大小关系. 【详解】由5log 21a =<，5log 31b =<，1c >， 又55log 2log 3<，所以a b c <<， 故选：D . 【点睛】本题考查了指数、对数的运算性质以及对数函数的单调性，需熟记对数的运算性质，属于基础题. 4．（2019·四川高三月考（理））我国古代数学名著《九章算术》中，割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，如在222+++L 中，“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定x 的值，类似地32323+++L 的值为（ ）A ．3B ．1312+ C ．6D ．22【答案】A 【解析】 【分析】通过已知得到求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），再运用该方法，注意两边平方，得到方程，解出方程舍去负的即可． 【详解】解：令32323(0)m m +++⋯=>， 则两边平方得，则232323m +++⋯=， 即232m m +=，解得，3,1m m ==-舍去． 故选：A ． 【点睛】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道中档题．5．（2020·河南高三月考）“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样，为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷2000个点，己知恰有800个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是A ．165B ．185C ．10D ．325【答案】B 【解析】 【分析】边长为3的正方形的面积S 正方形＝9，设阴影部分的面积为S 阴，由几何概型得8002000S S =阴正方形，由此能估计阴影部分的面积． 【详解】解：为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为3的正方形将其包含在内， 则边长为3的正方形的面积S 正方形＝9， 设阴影部分的面积为S 阴，∵该正方形内随机投掷2000个点，已知恰有800个点落在阴影部分， ∴8002000S S =阴正方形， 解得S 阴800800189200020005S =⨯=⨯=正方形， ∴估计阴影部分的面积是185．故选：B ． 【点睛】本题考查阴影面积的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．（2019·辽宁高三期中（理））函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图象不可能．．．是（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C 【解析】 【分析】由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，再分类讨论当0m >时，当0m =时，当0m <时，函数对应的单调性，再逐一判断即可得解. 【详解】解：由(),0,0m x x m xf x x m x x x x ⎧->⎪⎪=-=⎨⎪--<⎪⎩，则当0m >时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(),m -∞-为减函数，在(),0m -为增函数，即选项D 满足题意；当0m =时，函数()f x 在()0,∞+为增函数，在(),0-∞为减函数，即选项A 满足题意； 当0m <时，函数()f x 在(),0-∞为减函数，在()0,m -为减函数，在(),m -+∞为增函数，即选项B 满足题意， 即函数()mf x x x=-（其中m R ∈）的图像不可能是选项C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了分段函数的图像，重点考查了分段函数的单调性，属基础题.7．已知边长为2的正方形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接BE ,则=u u u r u u u rg BE EA （ ） A ．-2 B ．-1C ．1D ．2【答案】B 【解析】 【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系，标出各个对应点坐标，计算·BE EA u u u v u u u v得到答案.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立直角坐标系 则(0,0)A ，(2,0)B (0,1)E(2,1)BE =-u u u v (0,1)EA =-u u u v ·1BE EA =-u u u v u u u v故答案选B 【点睛】本题考查了向量的乘积，建立坐标系可以简化运算.8．（2019·河北高三期末（理））执行如图所示的程序框图，则输出的a 值为（ ）A ．3-B ．13C ．12-D ．2【答案】D 【解析】 【分析】由题知，该程序是利用循环结构计算，输出变量a 的值，可发现周期为4，即可得到2020i =，2a =，2021i =，此时输出2a =.【详解】1i =，3a =-.2i =，12a =-.3i =，13a =.4i =，2a =.5i =，3a =-.可发现周期4，2020i =，2a =，2021i =. 此时输出2a =. 故选：D 【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构和条件结构，周期是4是解决本题的关键，属于简单题. 9．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，则S 8＝（ ） A ．36 B ．42 C ．48 D ．60【答案】C 【解析】 【分析】设出等差数列的等差d ，根据a 3是a 2与a 6的等比中项，S 3＝3，利用等比数列的性质和等差数列的前n 项和的公式化简得到关于等差数列首项和公差方程组，求出方程组的解集即可得到首项和公差，然后再利用等差数列的前n 项和的公式求出S 8即可 【详解】设公差为d （d ≠0），则有21111()(5)(2)32332a d a d a d a d ⎧++=+⎪⎨⋅+⋅=⎪⎩， 化简得：()11201d a d a d ⎧+=⎨+=⎩，因为d ≠0，解得a 1＝-1，d ＝2， 则S 8＝-8872⨯+⨯2＝48． 故选：C ． 【点评】此题考查运用等差数列的前n 项和的公式及等比数列的通项公式化简求值，意在考查公式运用，是基础题．10．（2019·陕西高二期末（理））已知点F 是椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点，过F 作垂直于长轴的垂线交椭圆于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则该椭圆的离心率为（ ） A ．22B ．32C ．512- D ．312- 【答案】C 【解析】 【分析】设椭圆的焦距为()20c c >，计算出22b AB a =，可得出2b c a=，可得出关于a 、c 所满足的等式，即可求出该椭圆离心率的值. 【详解】设椭圆的焦距为()20c c >，离心率为e ，则222c a b =-，点F 的坐标为(),0c ，将x c =代入椭圆方程得22221c y a b +=，2222221y c b b a a ∴=-=，2b y a ∴=±，22bAB a∴=，由于以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则2AB c =，可得2b c a=，即2b ac =，即220c ac a +-=，等式两边同时除以2a 得210e e +-=，01e <<Q ，解得512e -=. 因此，该椭圆的离心率为512-. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆离心率的计算，解题的关键就是要得出关于a 、b 、c 的齐次等式，考查计算能力，属于中等题.11．（2020·辽宁高三期末（理））已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点，I 为12PF F ∆的内心，且1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，若椭圆的离心率为e ，则λ=（ ） A ．1eB ．2eC ．eD ．2e【答案】A 【解析】 【分析】设12PF F ∆内切圆的半径为r ，根据题意化简得到1212F F PF PF λ=+，代入数据计算得到答案. 【详解】设12PF F ∆内切圆的半径为r 则1112IPF S r PF ∆=⋅，2212IPF S r PF ∆=⋅，121212IF F S r F F ∆=⋅· ∵1221IPF IF F IPF S S S λ∆∆∆=-，∴112211222r PF r F F r PF λ⋅=⋅-⋅整理得1212F F PF PF λ=+.∵P 为椭圆上的点，∴22c a λ⋅=，解得1eλ=.故选：A 【点睛】本题考查了椭圆离心率相关问题，根据面积关系化简得到1212F F PF PF λ=+是解得的关键. 12．（2020·陕西高三月考（理））设函数()f x 的定义域为R ，满足()()22f x f x +=，且当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-．若对任意(],x m ∈-∞，都有()23f x ≥-，则m 的取值范围是（ ） A ．215⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，B ．163⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，C ．184⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，D ．194⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，【答案】D 【解析】 【分析】利用对勾函数求得()f x 在(]0,2x ∈的最小值，再()()22f x f x +=得图象向右移动2个单位，其函数值扩大2倍，从而求解. 【详解】当(]0,2x ∈时，()194f x x x =+-的最小值是1,4-由()()22f x f x +=知当(]2,4x ∈时，()()19224f x x x =-+--的最小值是1,2- 当(]4,6x ∈时，()()19444f x x x =-+--的最小值是1,- 要使()23f x ≥-，则()1924443x x -+-≥--， 解得：194x ≤或16.3x ≥故选D. 【点睛】本题考查对勾函数和()()22f x f x +=的图象平移和函数值的倍数关系，属于难度题.第Ⅱ卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年普通高等学校招生全国统一考试(模拟卷)数 学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 设集合(){}(){}2,2,,A x y x y B x y y x A B =+===⋂=，则A.(){}11， B.(){}24-，C.()(){}1124-，，， D. ∅2. 已知()1,1ia bi ab R i -+∈+是的共轭复数，则a b += A. 1-B. 12-C. 12D.13. 设向量()()()1,1,1,3,2,1a b c ==-=，且()a b c λ-⊥，则λ= A.3B.2C. 2-D. 3-4. 101x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数是（理科生做） A. 210-B. 120-C.120D.2104. 函数f (x )＝x 2-5 x +6的定义域为（文科生做） A. {x | x ≤ 2 或x ≥ 3}B.{x | x ≤ - 3 或 x ≥ -2}C. {x | 2 ≤ x ≤ 3}D. {x | -3 ≤ x ≤-2} 5. 已知三棱锥S ABC -中，,4,213,2,62SAB ABC SB SC AB BC π∠=∠=====，则三棱锥S ABC-的体积是 A.4B.6C. 3D. 36. 已知点A 为曲线()40y x x x=+>上的动点，B 为圆()2221x y -+=上的动点，则AB 的最小值是 A.3B.4C. 32D. 427. 设命题p ：所有正方形都是平行四边形，则p ⌝为 A.所有正方形都不是平行四边形 B.有的平行四边形不是正方形C.有的正方形不是平行四边形D.不是正方形的四边形不是平行四边形8. 若21a b c ac b >>><且，则 A. log log log a b c b c a >>B. log c b > log b a > log a cC. log log log b a c c b a >>D. log log log b c a a b c >>二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年2月普通高考[山东卷]全真模拟卷数 学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：高中全部内容。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设U ＝R ，A ＝2{|40}x x x -<，B ＝{|1}x x ≤，则()U A C B ⋂＝ A ．{}04x x <≤ B ．{}14x x ≤< C ．{}04x x << D ．{}14x x <<【答案】D【解析】A ＝2{|40}{04}x x x x x -<=<<，U {1}B x x =>ð，U (){14}A B x x ⋂=<<ð．故选:D ．2．是虚数单位，若，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】由题意得，所以 ，故选C ．3．已知实数a ，b ，c ，m 满足3m a =，13log b m =，log 3m c =，命题p ：若2020m =，则a c b >>；命题q ：若12020m =，则a b c >>，则下列命题中的真命题的是 A ．p q ∧ B ．()p q ⌝∧C ．()p q ∧⌝D ．()()p q ⌝∧⌝【答案】C【解析】当2020m=时，2020120203log20200,0log31,31<<<>Q，a c b∴>>，所以命题p是真命题；当12020m=时，12020113202031log30,log log2020302020<=>>Q，b a c∴>>，所以命题q 是假命题，q⌝是真命题，则()p q∧⌝为真命题．故选：C4．如图，lαβ=I，点,A Cα∈，点Bβ∈，且BAα⊥，BC β⊥，那么直线l与直线AC 的关系是A．异面B．平行C．垂直D．不确定【答案】C【解析】BAα⊥Q，lαβ=I，lα∴⊂，BA l∴⊥；同理BC l⊥；又BA BC B⋂=，l∴⊥平面ABC．AC⊂Q平面ABC，l AC∴⊥．故选：C．5．已知非零向量、满足，．设与的夹角为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意知，，故选A．6．已知点p是直线0x y m-+=上的动点，由点p向圆22:1O x y+=引切线，切点分别为M，N且90MPN∠=︒，若满足以上条件的点p有且只有一个，则m=A．2B．2±C2D．2【答案】B【解析】由题得090,1PMO PNO MON MO ON∠=∠=∠===，∴四边形PMON是正方形，∴2，∵满足以上条件的点P有且只有一个，∴OP l ⊥， ∴2,211b b -=∴=±+．故选B ．7．已知函数()()2,log x a f x a g x x -==(0a >且1a ≠)，若()()440f g -<，则()(),f x g x 在同一坐标系内的图象大致是A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】恒成立，又，所以，，．所以函数在上单调递减，函数在上也单调性递减，故B 正确．8．已知双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，A 为左顶点，过点A 3直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M ，若120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r，则该双曲线的离心率是 A 2 B 21C 13D ．53【答案】B【解析】双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a =±，设点,b M m m a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为120MF MF ⋅=u u u u r u u u u r ，即12MF F ∆为直角三角形，且12F MF ∠为直角， 所以1212OM F F =，则222bm m c a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭上，解得m a =， 故(),M a b ，又(),0A a -，所以直线AM 的斜率32b k a ==，所以2243b a =，故该双曲线的离心率22211c b e a a ==+=．故选：B ． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
数 学一． 选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1) 已知条件01:2=++x x p ,条件012:2=++x x q ,则p q ⌝⌝是的 (A) 充分不必要条件(B)必要不充分条件 (C) 既不充分也不必要条件(D)充要条件(2) 设b a ,表示两条直线,α表示平面,给出下列四个命题 ①若b a ,α⊥∥α⊥b a 则, ②若b a ,α⊥∥a b ⊥则,α ③若b a b a 则,,⊥⊥α∥α ④若a b a 则,,αα⊥⊥∥b 其中正确的命题个数是 (A) 1(B) 2(C)3(D)4(3) 若ξ～),(2σμN ,则下列说法正确的是 (A) σξμξ==D E ,(B) 2,σξμξ==D E(C) 当1,0==σμ时,若总体小于0x 的取值为)(0x Φ,则)()(00x x Φ=-Φ(D) 总体落在区间)3,3(σμμσ++-内的事件称为小概率事件. (4) 给出下列命题;①若βα,均为第一象限角,且βα>,则βαsin sin >; ②若函数)3cos(2ax y -=π的最小正周期是π4,则21=a ;③函数1sin sin sin 2--=x xx y是奇函数;④函数)4sin(π+=x y 在]2,2[ππ-上是增函数.其中正确命题个数是 (A) 0(B) 1(C) 2(D)3(5) 曲线2ln x x y -=在点)1,1(-P 处的切线方程为 (A) 0=-y x (B)0=+y x(C)01=+-y x(D)01=++y x(6) 椭圆122=+my x 的焦点在x 轴上,长轴长是短轴长的4倍.则曲线122=-my x 的离心率为(A) 17 (B)417(C)417 (D)415 (7) 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<->-=01||log 012)(2x x x x f x ,)(x f 的反函数为)(1x f -.则=--)1(1f(A) 1± (B) 1 (C)1- (D)2(8) 如图所示为x y x y x y x y cot ,tan ,cos ,sin ====在]2,4[ππ上的图像,则它们所对应的图像编号顺序是(A) ①②③④ (B) ①③②④ (C) ③①②④ (D)③①④②(9) (理科)设a xa x x f cos )(+-=在),1(+∞上总是增函数,则实数a 取值范围是 (A) ),0[+∞ (B) ),1[+∞ (C) ),2[+∞-(D)),1[+∞-(文科)函数x y ϖcos 2=在区间]32,0[π上递减，且有最小值1，则ϖ的值是 (A)2(B)31(C)3 (D)21 (10) (理科)已知R b a ∈,,2422=+++b a b a ,则 (A) 8-≤b a +≤6(B) 6-≤b a +≤8(C) 127--≤b a +≤127-(D) 7-≤b a +≤7(文科)若不等式a x <-|1|成立的充分条件是40<<x ，则实数a 的取值范围是 (A) a ≥3(B) a ≥1(C)a ≤1(D)a ≤3(11) 等比数列{}n a 中,6137=⋅a a ,5182=+a a ,则=1430a a (A)32(B)23(C)2332或(D)2332--或(12) 若函数x x a a x f )21()1(2)12()(2⋅-+⋅+=没有最小值,则实数a 的取值范围是 (A) 1>a (B) 211-<<-a(C) a ≤1(D)21-<a第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二. 填空题: 本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中横线上.(13) 已知数列{}n a 前n 项和为12+-=n n S n ,则=+++++1197531a a a a a a ____________________.(14) 已知函数)(x f 在R 上连续,且n x f =)(0)(*N n ∈,则=-++-+++----→n nn r n r n r n n n n n n x f x x C C C C C )1(4)1(4443lim 22110)(0ΛΛ____________-.(15) (理)复数z 和ϖ满足0122=+-+ϖϖi iz z ,若3||=z .则=-|4|i ϖ______________.(文)设πθπθθ<<=+2,33cos sin ,则=-θθcot tan __________________.(16) 今年某校有4位报考艺术专业的学生参加艺术类的考试,同时该校有4名老师参加监考. 考试中心有10个考室,若要求该校任何两名考生不在同一考室,4位老师每两位必须在同一考室,但不得监考本校学生,则安排方法共有__________种.(结果用数据回答)三. 解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.(17) (本小题满分12分)一出租车司机从某饭店到火车站途中有六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是31. (1) 求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率; (2) 求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差.(18) (本小题满分12分)已知向量)2sin ,23(cos ),23sin ,2(cos x x x x== 且]2,32[ππ∈x . (1) 求||b a b a +⋅及;(2) 求函数||)(b a b a x f ++⋅=的最值.(19) (本小题满分12分,以下两题选做一题,若甲,乙都做,只按甲题计分)(甲)长方体1111D C B A ABCD -中,4,31===BB BC AB 连接C B 1过B 作C B BE 1⊥交E CC 于1,交C B 1于F.(1) 求证:BDE C A 平面⊥1; (2) 求三棱锥BDE C -的体积; (3) 求二面角D BE C --的正切值.(乙)直四棱柱1111D C B A ABCD -的高为6,底面是边长为4,︒=∠60DAB的菱形,BD AC 与相交于O 点,11C A 与11D B 相交于1O 点,点E 是A O 1的中点.(1) 求二面角D BC O --1的大小;(2) 分别以射线1,,OO OB OA 为x 轴,y 轴,z 轴的正半轴建立空间直角坐标系,求点E D B ,,11的坐标,并求异面直线E D OB 11与所成角的大小.(20)（本小题满分12分）我国北方某城市严重缺水,曾一度取消全市的洗车行业.时间久了,车容影响了市容市貌.今年该市决定引进一种高科技产品污水净化器,允许洗车行开始营业,规定洗车行必须购买这种污水净化器,使用净化后的污水(达到生活用水标准)洗车.污水净化器的价格是每台100万元,全市统一洗车价格10元.该市今年的汽车总量是101000辆,预计今后每年汽车数量将增加2000辆.洗车行A经过测算,如果全市的汽车总量是x,那么一年内在1x,该洗车行每年的其他费用是1该洗车行洗车的平均辆次是20万元.问:洗车行A从今年开始至少经过多少年才能收回购买净化器的成本?（21）(本小题满分12分)已知),(2a a A 为抛物线2x y =上任意一点，直线l 为过点A 的切线，设直线l 交y 轴于点B .l P ∈,且PB AP 2=. (1) 当A 点运动时,求点P 的轨迹方程; (2) 求点)121,0(-C 到动直线l 的最短距离,并求此时l 的方程.(22)(本小题满分14分,文科学生做(1),(2),理科学生做(1),(2),(3))已知函数)(x g与函数2y=对称.且函数=x)(+h图像关于xxgxx=,(其中Rx⋅f+)](lg[)(mm∈,m为常数)(1)求函数)(x f的定义域;(2)问是否存在实数p,使得)f-px+,若存在,请求出p,=)f(x(p若不存在,说明理由;(3)函数)(x f的定义域与值域能否同时为实数集R?并证明你的结论.数学答案一 选择题1.A2.C3.B4.A5.B6.C7.C8.D9.理D 文D 10.理A 文A 11.C 12.C 二 填空题（13）61 （14）1 （15）理33 文5- （16）18900三 解答题(17)(1)因为这位司机第一二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯.所以27431)311)(311(=--=P(2)设司机遇到红灯次数为随机变量ξξ则,～)31,6(B 2316=⨯=ξE34)311(316=-⨯⨯=ξD .(18)(1).cos )223cos(2sin 23sin 23cos 2cos x xx x x x x b a =-=+=⋅)2sin 23sin ,23cos 2(cos xx x x b a ++=+x x b a cos 12cos 22||+⋅=+=+(2)211)212(cos 212cos 22cos 2cos 12cos )(22--+=-+=+⋅+=x x xx x x f当34π=x 时,23)(min -=x f当32π=x 时,21)(max =x f(19)甲 (1)由已知C B B A 111平面⊥,又C B BE 1平面⊂ ∴BE B A ⊥11 又 ∵C B BE 1⊥ ∴1111B B A C B =⋂C B A C B 111平面⊂ C B A B A 1111平面⊂∴C B A BE 11平面⊥∵ C B A C A 111平面⊂∴ BE C A ⊥1 又 ∵ABCD A A 平面⊥1 BD AC ⊥ 由三垂线定理 BD C A ⊥1 ∵ B BE BD =⊥ ∴ 平面⊥C A 1BED(2)在BEC C BB ∆∆和1中,BC B 1∆～BEC ∆则49,121==∴=B B BC EC EC BC BC B B故82749332131=⨯⨯⨯⨯==--BDC E BDE C V V (3)由于BEC DC 平面⊥ D C 为∴在平面BEC 上的射影/ 又 23=BD Θ DE BE ==+=41516819834941732321=⨯⨯=∴∆BDE S 又 82749321=⨯⨯=∆BEC S343cos =∴θ 故 345sin =θ 故 35tan =θ.乙(1) 由已知过O 作H BC OH 于⊥,连接H O 1,由ABCD O O 平面⊥1 BC H O ⊥∴1 故 1OHO ∠即为二面角BED O -1的平面角.易求 3236tan 3,61==∴==θOH O O(2) 由已知)3,0,3(),6,2,0(),6,2,0(11E D B - 由)3,2,3(),6,2,0(11-==E D OB 设E D OB 11与的夹角为α40107||||cos 1111-=⋅=∴E D OB α 故异面直线1OB 与E D 1所成角为40107arccos(20)设从今年开始至少经过n 年收回成本，n年内的汽车数量构成以101000为首,2000为公差的等差数列，汽车数量总和为20002)1(101000⨯-+⋅n n n n 年内的洗车收入为(20110⨯⨯20002)1(101000⨯-+⋅n n n ） 依题意有(20110⨯⨯20002)1(101000⨯-+⋅n n n ）41010010000⨯≥⨯-n 化简得 02000802≥-+n n解得 20≥n （年）答:至少经过20年才能收回成本.(21)设),(y x P 因为a x y a x A2|2'===，所以过点A 的切线方程为)(22a x a a y -=-.令2,0a y x -==则,B 点坐标为(0,)2a -又PB AP 2=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==∴332a y a x 消去a ，得23x y -= （2）设C 到l 的距离为d ，则]143214[41141212222+-+=++=a a a a d 设)1(142≥=+t t a ，则t tt d 为)32(41-=的增函数121)321(41min =-=∴d故C 到l 的最短距离为121，此时l 的方程为0=y 。
