(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标；
（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.
讲解: 通过读图, 看出'
'
,B A 点的坐标.
(1 ) 显然()t A -1,1', ()，
，‘
t B +-11 于是 直线B A '' 的方程为1+-=tx y ；
（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,
1,122tx y y x
解出 ),(10P 、),(22
21112t t t t
Q +-+；
（3）t
t k PT 1001-=--=,
t t t t t
t t t t k QT
11112011222
22
=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.
需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?
例2 已知直线l 与椭圆)0(122
22>>=+b a b
y a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以
线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．
讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,
由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得
.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程
.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a
于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①
在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S k
m
R -
令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12
2
22=+y
b x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．
方程12
2
22
=+y
b x
a 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?
例3已知双曲线12222=-b
y a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-b
y a x 的距离.
3,1.2322==∴==+=a b c ab
b a ab d .
故所求双曲线方程为 .13
22
=-y x
（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则
.
11,315
5311520020
02210k
x y k k kx y k k x x x BE
-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x
即
7,0,0315311522
2=∴≠=+-+-k k k k
k k k 又 故所求k=±7.
为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.
例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．
讲解：（1）设 112212||,||,||2PF r PF r F F c ===对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得
1)2
(2441244242)(24cos 2
212
22
12221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F
0212=-=e ， 解出 .2
2=e
（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况：
i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………① 椭圆方程为),(),,(,1221122
22y x B y x A b
y a x =+
由.2
2=e 得 2222,2c b c a ==.
于是椭圆方程可转化为 222
220x y c +-=………………②
将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,
整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k . 则x 1、x 2是上述方程的两根．且
2
21221122||k k c x x ++=
-，
2
2122
21)1(22||1||k k c x x k AB ++=
-+=，
AB 边上的高,1||2sin ||2
2121k k c F BF F F h +⨯
=∠=
c k
k k k c S 21||)211(2221222
+++=
.
2141224412221||12222
42
4
2422
2
22
c k k c k k k k c k k k c
<++
=+++=++=
ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得
2,||,2y c AB S =±
== 由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a
故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12
62122
2=+y x
下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）
也可这样求解：
