高中数学解析几何专题及典型例题

高考数学《解析几何》专项训练一、单选题1．已知直线l 过点A （a ，0）且斜率为1，若圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，则a 的值为( )A ．B ．±C ．2±D ．2．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，过右焦点F 的直线与两条渐近线分别交于A ，B ，且AB BF =uu u r uu u r，则直线AB 的斜率为（ ） A ．13-或13B ．16-或16C ．2D ．163．已知点P 是圆()()22:3cos sin 1C x y θθ--+-=上任意一点，则点P 到直线1x y +=距离的最大值为（ ）AB ．C 1D 2+4．若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为（ ）A ．⎡⎣B ．(C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭5．已知抛物线C ：22x py =的焦点为F ，定点()M ，若直线FM 与抛物线C 相交于A ，B 两点(点B 在F ，M 中间)，且与抛物线C 的准线交于点N ，若7BN BF =，则AF 的长为（ ）A ．78B ．1C ．76D6．已知双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>的两个焦点分别为1F ,2F ，以12F F 为直径的圆交双曲线C 于P ,Q ,M ,N 四点，且四边形PQMN 为正方形，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．2-BC ．2D7．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ）A ．24y x =B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =8．已知离心率为2的椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 且斜率为1的直线与椭圆E 在第一象限内的交点为A ，则2F 到直线1F A ，y 轴的距离之比为（ ）A ．5B ．35C ．2D二、多选题9．已知点A 是直线:0l x y +=上一定点，点P 、Q 是圆221x y +=上的动点，若PAQ ∠的最大值为90o ，则点A 的坐标可以是（ ）A ．(B ．()1C ．)D ．)1,110．已知抛物线2:2C y px =()0p >的焦点为F ，F ，直线l 与抛物线C交于点A 、B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．4p = B ．DF FA =uuu r uu rC ．2BD BF = D ．4BF =三、填空题11．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________．12．已知圆()2239x y -+=与直线y x m =+交于A 、B 两点，过A 、B 分别作x 轴的垂线，且与x轴分别交于C 、D 两点，若CD =m =_____．13．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的焦距为4，()2,3A 为C 上一点，则C 的渐近线方程为__________.14．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题： （1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ；（4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________.四、解答题15．已知圆22:(2)1M x y ++=，圆22:(2)49N x y -+=，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设不经过点(0,Q 的直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线QA 与直线QB 的斜率均存在且斜率之和为-2，证明：直线l 过定点.16．已知椭圆方程为22163x y +=．（1）设椭圆的左右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上运动，求1122PF PF PF PF +⋅u u u r u u u u r的值；（2）设直线l 和圆222x y +=相切，和椭圆交于A 、B 两点，O 为原点，线段OA 、OB 分别和圆222x y +=交于C 、D 两点，设AOB ∆、COD ∆的面积分别为1S 、2S ，求12S S 的取值范围．参考答案1．D 【解析】 【分析】因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，即圆心到直线l 的距离为1，根据点到直线的距离公式即可求出a 的值． 【详解】直线l 的方程为：y x a =-即0x y a --=．因为圆224x y +=上恰有3个点到l 的距离为1，所以与直线l 平行且距离为1的两条直线，一条与圆相交，一条与圆相切，而圆的半径为2，即圆心到直线l 的距离为1．1=，解得a =故选：D ． 【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系的应用，以及点到直线的距离公式的应用，解题关键是将圆上存在3个点到l 的距离为1转化为两条直线与圆的位置关系，意在考查学生的转化能力与数学运算能力，属于中档题． 2．B 【解析】 【分析】根据双曲线的离心率求出渐近线方程，根据AB BF =u u u r u u u r，得到B 为AF 中点，得到B 与A 的坐标关系，代入到渐近线方程中，求出A 点坐标，从而得到AB 的斜率，得到答案. 【详解】因为双曲线2222:1x y C a b-=(0,0)a b >>，又222c e a =22514b a =+=，所以12b a =，所以双曲线渐近线为12y x =± 当点A 在直线12y x =-上，点B 在直线12y x =上时， 设(),A A Ax y (),B B B x y ，由(c,0)F 及B 是AF 中点可知22A B A B x c x y y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，分别代入直线方程，得121222A A A A y x y x c ⎧=-⎪⎪⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得24A Ac x c y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以,24c c A ⎛⎫-⎪⎝⎭， 所以直线AB 的斜率AB AFk k =42cc c =--16=-，由双曲线的对称性得，16k =也成立. 故选：B. 【点睛】本题考查求双曲线渐近线方程，坐标转化法求点的坐标，属于中档题. 3．D 【解析】 【分析】计算出圆心C 到直线10x y +-=距离的最大值，再加上圆C 的半径可得出点P 到直线10x y +-=的距离的最大值. 【详解】圆C 的圆心坐标为()3cos ,sin θθ+，半径为1，点C 到直线10x y +-=的距离为sin 14d πθ⎛⎫===++≤+ ⎪⎝⎭因此，点P 到直线1x y +=距离的最大值为12122++=+. 故选：D. 【点睛】本题考查圆上一点到直线距离的最值问题，当直线与圆相离时，圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，则圆上一点到直线的距离的最大值为d r +，最小值为d r -，解题时要熟悉这个结论的应用，属于中等题. 4．D 【解析】设直线方程为(4)y k x =-，即40kx y k --=，直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，圆心到直线的距离小于等于半径22411k k d k -=≤+，得222141,3k k k ≤+≤，选择C 另外，数形结合画出图形也可以判断C 正确． 5．C 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出AB 的斜率，得到AB 的方程，求得p ，可得抛物线方程，联立直线方程与抛物线方程，求解A 的坐标，再由抛物线定义求解AF 的长． 【详解】解：如图，过B 作'BB 垂直于准线，垂足为'B ，则'BF BB =，由7BN BF =，得7'BN BB =，可得1sin 7BNB '∠=， 3cos 7BNB '∴∠=-，tan 43BNB '∠=又()23,0M ，AB ∴的方程为2343y x =-， 取0x =，得12y =，即10,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则1p =，∴抛物线方程为22x y =． 联立223432y x x y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，解得23A y =．12172326A AF y ∴=+=+=． 故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题． 6．D 【解析】 【分析】设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点，根据对称性可得出22,22P c ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，将点P 的坐标代入双曲线C 的方程，即可求出双曲线C 的离心率. 【详解】设双曲线C 的焦距为()20c c >，设P 、Q 、M 、N 分别为第一、二、三、四象限内的点， 由双曲线的对称性可知，点P 、Q 关于y 轴对称，P 、M 关于原点对称，P 、N 关于x 轴对称，由于四边形PQMN 为正方形，则直线PM 的倾斜角为4π，可得,22P c ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入双曲线C 的方程得2222122c c a b -=，即()22222122c c a c a -=-， 设该双曲线的离心率为()1e e >，则()2221221e e e -=-，整理得42420e e -+=，解得22e =，因此，双曲线C 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，解题的关键就是求出双曲线上关键点的坐标，考查计算能力，属于中等题. 7．C 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，表示出MF ，再表示出MD ，利用5sin 7MFA ∠=，得到0x 和p 之间的关系，将M 点坐标，代入到抛物线中，从而解出p 的值，得到答案.【详解】抛物线C ：22(0)y px p =>， 其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫> ⎪⎝⎭是抛物线上一点， 所以02p MF x =+AB所在直线2p x =， 设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57 MD MF=，即5272pxpx-=+整理得03x p=所以()3,66M p将M点代入到抛物线方程，得()26623p p=⨯，0p>解得6p=，所以抛物线方程为212y x=故选：C.【点睛】本题考查抛物线的定义，直线与圆的位置关系，求抛物线的标准方程，属于中档题.8．A【解析】【分析】结合椭圆性质，得到a,b,c的关系，设2AF x=，用x表示112,AF F F,结合余弦定理，用c表示x，结合三角形面积公式，即可。

47． 已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，其短轴为2．（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的直线交椭圆E 于M ，N 两点，设直线FM 和FN 的斜率为1k ，2k ，试判断12k k +是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．48． 如图，椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>⎛ ⎝⎭，P 为椭圆上的一动点.（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆224:5O x y +=，过点P 作圆O 的两条切线1l ，2l ，两切线的斜率分别为1k ，2k . ①求12k k 的值；①若1l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，与圆O 切于点A ，与x 轴正半轴交于点B ，且满足OPA OQB S S =△△，求1l 的方程.49． 已知椭圆E ：22221x y a b +=（a ＞b ＞0）的左、右焦点分別为12,F F ，离心率为e =左焦点1F 作直线1l 交椭圆E 于A ，B 两点，2ABF 的周长为8. （1）求椭圆E 的方程；（2）若直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=相切，且与椭圆E 交于M ，N 两点，22MF NF +是否存在最小值？若存在，求出22MF NF +的最小值和此时直线2l 的方程.50． 已知动点M 与两个定点()0,0O ，()3,0A 的距离的比为12，动点M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的轨迹方程，并说明其形状；（2）过直线3x =上的动点()()3,0P p p ≠分别作C 的两条切线PQ 、PR （Q 、R 为切点），N 为弦QR 的中点，直线l ：346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，求NEF 的面积S的取值范围.51． 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：20x y ++=和圆O ：221x y +=，P 是直线l 上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B . （1）若PA PB ⊥，求点P 的坐标； （2）求线段PA 长的最小值；（3）设线段AB 的中点为Q ，是否存在点T ，使得线段TQ 长为定值？若存在，求出点T ；若不存在，请说明理由.52． 已知以1C 为圆心的圆221:1C x y +=.（1）若圆222:(1)(1)4C x y -+-=与圆1C 交于,M N 两点，求||MN 的值；（2）若直线:l y x m =+和圆1C 交于,P Q 两点，若132PC PQ ⋅=，求m 的值. 53． 已知圆()22:21M x y +-=，点P 是直线:20l x y +=上的一动点，过点P 作圆M 的切线P A ，PB ，切点为A ，B ．（1）当切线P A P 的坐标；（2）若PAM △的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB 长度的最小值．54． 已知圆22:2O x y +=，直线:2l y kx =-．（1）若直线l 与圆O 交于不同的两点,A B ，当90AOB ∠=︒时，求实数k 的值；（2）若1,k P =是直线l 上的动点，过P 作圆O 的两条切线PC 、PD ，切点为C 、D ，试探究：直CD 是否过定点．若存在，请求出定点的坐标；否则，说明理由．55． 在平面直角坐标系xOy中，(A，B ，C 是满足π3ACB ∠=的一个动点． （1）求ABC 垂心H 的轨迹方程；（2）记ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y kx m =+（0km ≠）与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2221x y +=交于P ，Q 两点，且||2||DE PQ =，求证：||k > 56． 平面上一动点C的坐标为),sin θθ.（1）求点C 轨迹E 的方程；（2）过点()11,0F -的直线l 与曲线E 相交于不同的两点,M N ，线段MN 的中垂线与直线l 相交于点P ，与直线2x =-相交于点Q .当MN PQ =时，求直线l 的方程.答案及解析47．（1）2212x y +=；（2）是定值，该定值为0．【分析】（1）依题意求得,a b ，进而可得椭圆E 的方程；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠，与椭圆E 方程联立，利用韦达定理和斜率公式即可求得12k k +的值. 【详解】（1）由题意可知：22b =，1b =，椭圆的离心率c e a ==a =①椭圆E 的标准方程：2212x y +=；（2）设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠．22(2)12y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得：()2222128820k x k x k +-+-=．设()11,M x y ，()22,N x y ， 则2122812k x x k +=+，21228212k x x k -=+，()()()1212121212121212222211111k x k x y y x x k k k x x x x x x x x ⎡⎤--+-+=+=+=-⎢⎥-----++⎢⎥⎣⎦222222228242122208282111212k k k k k k k k k k ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-+=-=-=⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥-+⎢⎥++⎣⎦． ①120k k +=为定值．【点睛】关键点点睛：第（2）问的关键点是：得出()12121212221x x k k k x x x x ⎡⎤+-+=-⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦.48．（1）2214x y +=；（2）①14- ；①yy =+【分析】（1）根据已知条件结合222c a b =-列关于,a b 的方程，解方程即可求解；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-，利用圆心到切线的距离列方程，整理为关于k 的二次方程，计算两根之积结合点P 在椭圆上即可求12k k ；①由OPA OQB S S =△△可得PA BQ =，可转化为A B P Q x x x x +=+，设1l ：y kx m =+，与椭圆联立可得P Q x x +，再求出A x 、B x ，即可求出k 的值，进而可得出m 的值，以及1l 的方程. 【详解】（1）因为22222234c a b e a a -===，所以2a b =，因为点⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=即2213144b b +=， 解得：1b =，2a =，所以椭圆方程为：2214x y +=；（2）①设()00,P x y ，切线:l 00()y y k x x -=-即000kx y y kx -+-= 圆心()0,0O到切线的距离d r ==整理可得：2220000442055x k x y k y ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭，所以2020122200441451544455x y k k x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===---，①因为OPA OQB S S =△△所以PA BQ =，所以A P Q B x x x x -=-，所以A B P Q x x x x +=+， 设切线为1:l y kx m =+，由2244y kx m x y =+⎧⎨+=⎩可得：()222418440k x kmx m +++-= 所以2841P Q kmx x k -+=+， 令0y =可得B mx k=-，设(),A A A x kx m +， 则1A OA A kx m k x k +==-，所以21A km x k -=+， 所以228411P Q km m kmx x k k k --+==-+++， 整理可得：()()()2222814121k k k k +=++，所以221k =，解得：k =， 因为圆心()0,0O 到1:l y kx m =+距离d ，所以mm =，因为0B mx k=->，所以当k =m =k =时，m =；所以所求1l的方程为y =或y = 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中解决定值、定点的方法（1）从特殊入手，求出定值、定点、定线，再证明定值、定点、定线与变量无关； （2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量是此类问题的特点，设而不求的方法、整体思想和消元思想的运用可以有效的简化运算.49．（1）2214x y +=；（2）最小值为2，0x =或0x +-=.【分析】(1)由椭圆定义结合已知求出a ，半焦距c 即可得解；(2)由直线2l 与圆O 相切得221m k =+，联立直线2l 与椭圆E 的方程消去y ，借助韦达定理表示出22MF NF +，利用函数思想方法即可作答. 【详解】（1）依题意，结合椭圆定义知2ABF 的周长为4a ，则有4a =8，即a =2，又椭圆的离心率为c e a =c =2221b a c =-=， 所以椭圆E 的方程为2214x y +=；（2）因直线2l ：y =kx +m (km <0)与圆O ：221x y +=1=，即221m k =+，设()()()112212,,,,2,2M x y N x y x x ≤≤，而点M 在椭圆E 上，则221114x y +=，即221114x y =-，又2F ，21|2|MF x =-=12x -，同理222NF x =，于是得)22124MF NF x x +=+， 由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=，显然Δ0>，则122814km x x k +=-+， 又km <0，且221m k =+，因此得1228||14km x x k +=+令2411t k =+≥，则12x x +=113t =，即t =3时等号成立，于是得22MF NF +存在最小值，且)221242MF NF x x +=+≥，22MF NF +的最小值为2，由2221413m k k ⎧=+⎨+=⎩，且km <0，解得k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 所以所求直线2l的方程为y x =y x =0x =或0x +=.【点睛】关键点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 50．（1）()2214x y ++=，曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆；（2）5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【分析】（1）设出动点M 坐标，代入距离比关系式，化简方程可得；（2）先求切点弦方程，再根据切点弦过定点及弦中点性质得出N 点轨迹，然后求出动点N 到定直线EF 的距离最值，最后求出面积最值.切点弦方程的求法可用以下两种方法.法一：由两切点即为两圆公共点，利用两圆相交弦方程（两圆方程作差）求出切点弦方程；法二：先分别求过Q 、R 两点的切线方程，再代入点P 坐标，得到Q 、R 两点都适合的同一直线方程，即切点弦方程. 【详解】解：（1）设(),M x y ，由12MO MA =12=. 化简得22230x y x ++-=，即()2214x y ++=. 故曲线C 是以1,0为圆心，半径为2的圆.（2）法一(由两圆相交弦方程求切点弦方程)：由题意知,PQ 、PR 与圆相切，Q 、R 为切点，则DQ PQ ⊥，DR PR ⊥，则D 、R 、P 、Q 四点共圆，Q 、R 在以DP 为直径的圆上(如图).设()1,0D -，又()()3,0P p p ≠，则DP 的中点为1,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，DP .以线段DP 为直径的圆的方程为()22212p x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 整理得22230x y x py +---=①(也可用圆的直径式方程()()()()1300x x y y p +-+--=化简得. ) 又Q 、R 在C ：22230x y x ++-=①上， 由两圆方程作差即①-①得：40x py +=. 所以，切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 法二(求Q 、R 均满足的同一直线方程即切点弦方程)： 设()1,0D -，()11,Q x y ，()22,R x y .由DQ PQ ⊥，可得Q 处的切线上任一点(,)T x y 满足0QT DQ ⋅=(如图)， 即切线PQ 方程为()()()()1111100x x x y y y -++--=.整理得()221111110x x y y x y x ++---=.又22111230x y x ++-=，整理得()111130x x y y x +++-=.同理，可得R 处的切线PR 方程为()222130x x y y x +++-=. 又()3,P p 既在切线PQ 上，又在切线PR 上，所以()()11122231303130x py x x py x ⎧+++-=⎪⎨+++-=⎪⎩，整理得11224040x py x py +=⎧⎨+=⎩. 显然，()11,Q x y ，()22,R x y 的坐标都满足直线40x py +=的方程. 而两点确定一条直线，所以切点弦QR 所在直线的方程为40x py +=. 则QR 恒过坐标原点()0,0O .由()2240,14x py x y +=⎧⎪⎨++=⎪⎩消去x 并整理得()22168480p y py +--=. 设()11,Q x y ，()22,R x y ，则122816py y p +=+.点N 纵坐标1224216N y y py p +==+. 因为0p ≠，显然0N y ≠，所以点N 与点()1,0D -，()0,0O 均不重合.(或者由对称性可知，QR 的中点N 点在x 轴上当且仅当点P 在x 轴上，因为0p ≠，点P 不在x 轴上，则点N 也不在x 轴上，所以点N 与D 、O 均不重合.) 因为N 为弦QR 的中点，且()1,0D -为圆心，由圆的性质，可得DN QR ⊥，即DN ON ⊥(如图).所以点N 在以OD 为直径的圆上，圆心为1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径12r =.因为直线346x y +=分别与x 轴、y 轴交于点E 、F ，所以()2,0E ，30,2F ⎛⎫⎪⎝⎭，52EF =.又圆心1,02G ⎛⎫- ⎪⎝⎭到直线3460x y +-=的距离32d ==. 设NEF 的边EF 上的高为h ，则点N 到直线346x y +=的距离h 的最小值为31122d r -=-=； 点N 到直线346x y +=的距离h 的最大值为31222d r +=+=(如图).则S 的最小值min 1551224S =⨯⨯=，最大值max 1552222S =⨯⨯=.因此，NEF 的面积S 的取值范围是5542⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.【点睛】设00(,)P x y 是圆锥曲线外一点，过点P 作曲线的两条切线，切点为A 、B 两点，则 A 、B 两点所在的直线方程为切点弦方程.常见圆锥曲线的切点弦方程有以下结论： 圆222()()x a y b r -+-=的切点弦方程：200()()()()x a x a y b y b r --+--=， 圆220x y Dx Ey F ++++=的切点弦方程： 0000022x x y yx x y y D E F ++++++= 椭圆22221x y a b+=的切点弦方程：00221x x y y a b +=；双曲线22221x y a b-=的切点弦方程：00221x x y y a b -=；抛物线22y px =的切点弦方程为：00()y y p x x =+.特别地，当00(,)P x y 为圆锥曲线上一点时，可看作两切线重合，两切点A 、B 重合，以上切点弦方程即曲线在P 处的切线方程.51．（1）()1,1P --；（2）1；（3）存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.理由见解析.【分析】（1）依题意可得四边形PAOB 为正方形，设(),2P x x --，利用平面直角坐标系上两点的距离公式得到方程，计算可得；（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小，利用点到线的距离公式求出PO 的最小值，即可得解；（3）设()00,2P x x --，求出以OP 为直径的圆的方程，即可求出公共弦AB 所在直线方程，从而求出动点Q 的轨迹方程，即可得解； 【详解】解：（1）若PA PB ⊥，则四边形PAOB 为正方形， 则P①P 在直线20x y ++=上，设(),2P x x --，则OP =，解得1x =-，故()1,1P --.（2）由221PA PO =-可知当线段PO 长最小时，线段PA 长最小. 线段PO 长最小值即点O 到直线l的距离，故min PO ==所以min 1PA =.（3）设()00,2P x x --，则以OP 为直径的圆的方程为()2222000022224x x x x x y +----⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简得()220020x x x x y y -+++=，与221x y +=联立，可得AB 所在直线方程为()0021x x x y -+=，联立()002221,1,x x x y x y ⎧-+=⎨+=⎩得()222000002443024x x x x x x x ++----=， ①Q 的坐标为002200002,244244x x x x x x --++++⎛⎫⎪⎝⎭，可得Q 点轨迹为22111448x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，圆心11,44⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径R =.其中原点()0,0为极限点（也可以去掉）.故存在点11,44T ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，使得线段TQ 长为定值.【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、方程思想、数形结合方法、转化方法，考查运算求解能力和应用意识．52．（1；（2）m = 【分析】（1）由两个圆相交，可将两个圆的方程相减求得直线MN 的方程.利用圆心到直线的距离，结合垂径定理即可求得||MN 的值.（2）设()()1122,,,P x y Q x y ，利用向量的坐标运算表示出1,PC PQ .将直线方程与圆的方程联立，化简后由>0∆求得m 的取值范围，并表示出12x x +，12x x ，进而由直线方程表示出12y y .根据平面向量数量积的坐标运算，代入化简计算即可求得m 的值. 【详解】（1）直线MN 的方程为2222(1)(1)410x y x y -+----+=， 即2 2 10x y ++=；故圆1C 的圆心到2210x y ++=的距离d =故||MN == （2）设()()1122,,,P x y Q x y ，则()()1112121,,,PC x y PQ x x y y =--=--，由22,1,y x m x y =+⎧⎨+=⎩化简可得222210x mx m ++-=， 故()222481840,m m m ∆=--=->解得m < 12x x m +=-，2121,2m x x -=所以()()()212121212y y x m x m x x m x x m =++=+++，又()()2211121211212113,,2PC PQ x y x x y y x x y y x y ⋅=--⋅--=--++=， 又22111x y +=故121212x x y y +=-，故()21212122x x m x x m +++=-， 将12x x m +=-，2121,2m x x -=代入可得222112m m m --+=-，解得m =又因为m <所以2m =± 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系及公共弦长度的求法，直线与圆位置关系的综合应用，由韦达定理求参数的值，平面向量数量积的运算，综合性强，计算量大，属于难题.53．（1）()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）当25b =时，AB 有最小【分析】（1）设()2,P b b -，由MP b ，得出结果；（2）因为A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，所以圆N 的方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭，化简为()()222220x y b x y y -+++-=，由方程恒成立可知2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆M 和圆N 方程作差可得直线AB 方程，设点()0,2M 到直线AB 的距离d ，则AB =.【详解】（1）由题可知，圆M 的半径1r =，设()2,P b b -， 因为P A 是圆M 的一条切线，所以90MAP ∠=︒，所以2MP ==，解得0b =或45b =， 所以点P 的坐标为()0,0P 或84,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．（2）设()2,P b b -，因为90MAP ∠=︒， 所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径， 其方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()()222220x y b x y y -+++-=，由2222020x y x y y -+=⎧⎨+-=⎩， 解得02x y =⎧⎨=⎩或4525x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以圆过定点()0,2，42,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（3）因为圆N 方程为()()222242224b b b x b y +-+⎛⎫++-=⎪⎝⎭， 即()222220x y bx b y b ++-++=①又圆22:430M x y y +-+=①①-①得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为 ()22230bx b y b --+-=．点()0,2M 到直线AB的距离d =所以相交弦长AB == 所以当25b =时，AB【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 54．（1）k =（2）直线CD 过定点(1,1)- 【分析】（1）由已知结合垂径定理求得圆心到直线的距离，再由点到直线的距离公式列式求得k ； （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，求出两条切线方程，计算出直线CD 的方程，从而得到定点坐标；解法2：由题意可知，O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP为直径的圆上，求出公共弦所在直线方程，再由直线系方程求得定点坐标. 【详解】（1）2AOB π∠=，∴点O 到l 的距离2d r =，k = （2）解法1：设切点11(,)C x y ，22(,)D x y ，动点00(,)P x y ，则圆在点C 处的切线方程为 1111()()0y y y x x x -+-=，所以221111x x y y x y +=+，即112x x y y +=同理，圆在点D 处的切线方程为222x x y y += 又点00(,)P x y 是两条切线的交点， 10102x x y y ∴+=，20202x x y y +=，所以点()11,C x y ，()22,D x y 的坐标都适合方程002x x y y +=， 上述方程表示一条直线，而过C 、D 两点的直线是唯一的， 所以直线CD 的方程为：002x x y y +=. 设(,2)P t t -，则直线CD 的方程为(2)2tx t y +-=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-.解法2：由题意可知：O 、P 、C 、D 四点共圆且在以OP 为直径的圆上， 设(,2)P t t -，则此圆的方程为：()(2)0x x t y y t -+-+=， 即：22(2)0x tx y t y -+--=， 又C 、D 在圆22:2O x y +=上，两圆方程相减得():220CD l tx t y +--=， 即()(22)0x y t y +-+=， ∴0220x y y +=⎧⎨+=⎩，解得11x y =⎧⎨=-⎩，故直线CD 过定点(1,1)-. 【点睛】本题考查了直线与圆的相交问题，由弦长求直线斜率，只需结合弦长公式计算圆心到直线的距离，然后求得结果，在求直线恒过定点坐标时，一定要先表示出直线方程，然后在求解. 55．（1）22(1)4x y ++=（2y ≠-）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由题可求出顶点C 的轨迹方程，再利用相关点法可求垂心H 的轨迹方程；（2）利用弦长公式可求||DE ，再利用韦达定理法求||PQ ，由||2||DE PQ =得出2221m k ≥+，然后结合判别式大于零即可证. 【详解】设ABC 的外心为1O ，半径为R ，则有22sin ABR ACB==∠，所以1πcos 13OO R ==即1(0,1)O ，设(,)C x y ，()00,H x y ，有1O C R =，即有22(1)4x y +-=（0y ≠）， 由CH AB ⊥，则有0x x =，由AH BC ⊥，则有(00(0AH BC x x y y ⋅=+=，所以有(220(3(1)12x x x y y y yy y---=-===-，则有()220014x y ++=（02y ≠-），所以ABC 垂心H 的轨迹方程为22(1)4x y ++=（2y ≠-）； （2）记点(0,1)-到直线l 的距离为d ，则有d =所以||DE==，设()11,P x y，()22,Q x y，联立2221y kx mx y=+⎧⎨+=⎩，有()2222210k x kmx m+++-=，所以()224220k m∆=+->，||PQ==由||2||DE PQ=，可得()()()()()2222222222222418141(1)8412222k m k km mk k kk k++++-=-≤-+++++，所以()22222248(1)212m mk kk++≤+++，即有()()()22222224181(1)22k k mmk k+++≤+++，所以()()()22222222418122(1)22k k mm mk k+++--≥-++，即22222222222221(1)101222k k m k mm mk k k k⎛⎫-=-⇒-≥⇒≥+⎪+++⎝⎭又0∆>，可得2212km<+，所以222112kk+<+，解得22k>，故||k>56．（1）2212xy+=；（2）10x y±-=.【分析】（1）利用22sin cos1θθ+=求得点C的轨迹E的方程.（2）设直线l的方程为1x my=-，联立直线l的方程和曲线E的方程，化简写出根与系数关系，求得MN、PQ,由1PQMN=求得m的值，从而求得直线l的方程.【详解】 （1）设(),C x y ，则,sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即cos sin yθθ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以2212x y +=，所以E 的方程为2212x y +=.（2）由题意知，直线l 的斜率不为0，设直线:1l x my =-，()()()1122,,,,,p p M x y N x y P x y .联立2221,1x y x my ⎧+=⎨=-⎩，消去x ，得()22+2210m y my --=，此时()281m ∆=+0>，且12222m y y m +=+，12212y y m =-+又由弦长公式得MN =整理得2212m MN m ++. 又122+=22p y y m y m =+，所以2212p p x my m -=-=+，所以222222p m PQ x m ++=+，所以1PQMN =， 所以21m =，即1m =±.综上，当1m =±，即直线l 的斜率为±1时，MN PQ =， 此时直线l 为10x y ±-=. 【点睛】求解直线和圆锥曲线相交所得弦长，往往采用设而不求，整体代入的方法来求解.。

苏州市高三数学 解析几何一．填空题【考点一】：直线方程及直线与直线的位置关系例1．若直线ax ＋(2a －1)y ＋1＝0和直线3x ＋ay ＋3＝0垂直，则a 的值为_________． 【答案】a ＝0或a ＝－1．【解析】由两直线垂直得3a ＋(2a －1)a ＝0，解得a ＝0或a ＝－1．例2．若直线l ：y ＝kx －3与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的范围是_________． 【答案】⎝⎛⎭⎫π6，π2．【解析】方法一：由⎩⎨⎧y ＝kx －3，2x ＋3y －6＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋332＋3k ，y ＝6k －232＋3k .因为交点在第一象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧6＋332＋3k ＞0，6k －232＋3k ＞0，解得：k ＞33． 所以，直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．方法二：因为直线l ：y ＝kx －3恒过定点(0，－3)，直线2x ＋3y －6＝0与x 轴，y 轴交点的坐标分别为(3,0)，(0,2) ．又点(0，－3)与点(3,0)连线的斜率为0＋33－0＝33，点(0，－3)与点(0,2)连线的斜率不存在，所以要使直线l 与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，则k ＞33，所以直线l 的倾斜角的范围是⎝⎛⎭⎫π6，π2．例3．已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是 ． 【答案】⎝⎛⎭⎫1－22，12．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝ax ＋b 消去x ，得y ＝a ＋ba ＋1，当a ＞0时，直线y ＝ax ＋b 与x 轴交于点⎝⎛⎭⎫－b a ，0，结合图形知12×a ＋b a ＋1×⎝⎛⎭⎫1＋b a ＝12，化简得(a ＋b )2＝a (a ＋1)，则a ＝b 21－2b．∵a ＞0，∴b 21－2b ＞0，解得b ＜12．考虑极限位置，即a ＝0，此时易得b ＝1－22，故答案为⎝⎛⎭⎫1－22，12． 例4．设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则P A ·PB 的最大值是 ． 【答案】5．【解析】因为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0分别过定点A ，B ，所以A (0,0)，B (1,3)． 当点P 与点A (或B )重合时，P A ·PB 为零； 当点P 与点A ，B 均不重合时，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，且易知此两直线垂直， 所以△APB 为直角三角形，所以AP 2＋BP 2＝AB 2＝10，所以P A ·PB ≤P A 2＋PB 22＝102＝5，当且仅当P A ＝PB 时，上式等号成立．【考点二】： 圆方程及直线与圆的位置关系例5．圆心在直线y ＝－4x 上，且与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的标准方程是 ． 【答案】(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．【解析】方法一： 如图，设圆心(x 0，－4x 0)，依题意得4x 0－23－x 0＝1，∴x 0＝1，即圆心坐标为(1，－4)，半径r ＝22， 故圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．方法二：设所求方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2，根据已知条件得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+=--+--=r y x r y x x y 2|1|)2()3(4002202000，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-==224100r y x ，因此所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8．例6．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m ，0)，B (m ，0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为________． 【答案】6【解析】如图所示，则圆心C 的坐标为(3，4)，半径r ＝1，且AB ＝2m ．因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知OP ＝12AB ＝m ．要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为OC ＝32＋42＝5， 所以OP max ＝OC ＋r ＝6， 即m 的最大值为6．例7．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A ，O 是坐标原点，若在直线0x y m ++=上总存在点P，使得PA ，则实数m 的取值范围是 ．【答案】11m +≤．【解析】设P (x ,y ),由PA =得,化简得22(1)3x y ++=,所以点P 是直线0x y m ++=与圆22(1)3x y ++=,的公共点，即直线与圆,解得11m -≤．例8．已知圆C ：22(1)5x y +-=，A 为圆C 与x 负半轴的交点，过点A 作圆的弦AB ，记线段AB 的中点为M ．若OA OM =，则直线AB 的斜率 ． 【答案】2k =．【解析】设直线AB ：(2)y k x =+． 因为CM AB ⊥，直线CM ：11y x k=-+． 将它与直线AB 的方程联立得222(12)2(,)11k k k kM k k -+++．因为2OA OM ==2=，2k =±． 当2k =-不符合，故2k =．例9．已知直线3y ax =+与圆22280x y x ++-=相交于,A B 两点，点00(,)P x y 在直线2y x =上，且PB PA =，则0x 的取值范围为 ．【答案】(1,0)(0,2)-．【解析】先从第一个条件出发，确定参数a 的取值范围．因为P 在线段AB 的中垂线上，从而用a 的代数式表示直线PC 的斜率后得到00211x x a=-+， 3,04a a <->解得：0x 的取值范围为(1,0)(0,2)-．例10．设P 为直线3x ＋4y ＋3＝0上的动点，过点P 作圆C ：x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形P ACB 的面积的最小值为________． 【答案】3．【解析】圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1的圆心是点C (1,1)，半径是1， 易知PC 的最小值等于圆心C (1,1)到直线3x ＋4y ＋3＝0的距离，即105＝2，而四边形P ACB 的面积等于2S △P AC ＝2×(12P A ·AC )＝P A ·AC ＝P A ＝PC 2－1＝22－1＝3，因此四边形P ACB 的面积的最小值是3．例11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()41:22=-+y x C ．若等边PAB ∆的一边AB为圆C 一条弦，则PC 的最大值为 ． 【答案】4．【解析】由PAB ∆为等腰三角形，PAB ∆为等边三角形，故PC 与AB 垂直，设PC 与AB 交于点H ，记,,AH BH x PH y PC t ====，则CH =，满足()224,0x y x y t y ⎧+=>⎪⎨=+⎪⎩求PC的最小值．记直线:l y t =+，利用线性规划作图，可知当直线l 与圆弧()224,0x y x y +=>相切时，则t 取最大值，求得max 4t =，即PC 的最大值为4．例12．已知圆C 的方程为22(1)(1)9x y -+-=，直线:3l y kx =+与圆C 交于,A B 两点，M 为弦AB 上一动点，以M 为圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的范围________． 【答案】k ≥34-． 【解析】因为5MC <，只要MC ≥1对于任意的点M 恒成立， 只需点位于的中点时存在公共点即可． 点（1，1）到直线的距离d =≥1，解得：k ≥34-． 【考点三】： 圆锥曲线方程与性质例13．若椭圆2215x y m+=的离心率e =，则m 的值是________．【答案】3或253． 【解析】当焦点在x轴上时，e ==3m =； 当焦点在y轴上时，e ==253m =． 例14．设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上的一点,∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为________． 【答案】34．【解析】∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== ．例15．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连接AF ，BF ．若AB ＝10，BF ＝8，cos ∠ABF ＝45，则C 的离心率为________．【答案】35．【解析】如图，设AF ＝x ，则cos ∠ABF ＝82＋102－x 22×8×10＝45． 解得x ＝6，∴∠AFB ＝90°，由椭圆及直线关于原点对称可知AF 1＝8，∠F AF 1＝∠F AB ＋∠FBA ＝90°，△F AF 1是直角三角形，所以F 1F ＝10，故2a ＝8＋6＝14，2c ＝10，∴c a ＝57．例16．若点O 和点F 分别为椭圆22143x y +=的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 ． 【答案】6．【解析】由题意，F （-1，0），设点P 00(,)x y ，则有2200143x y +=,解得22003(1)4x y =-， 因为00(1,)FP x y =+，00(,)OP x y =，所以2000(1)OP FP x x y ⋅=++=00(1)OP FP x x ⋅=++203(1)4x -=20034x x ++，此二次函数对应的抛物线的对称轴为02x =-，因为022x -≤≤，所以当02x =时，OP FP ⋅取得最大值222364++=．例17．设P 是有公共焦点F 1，F 2的椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点，且PF 1⊥PF 2，椭圆C 1的离心率为e 1，双曲线C 2的离心率为e 2.若e 2＝3e 1，则e 1＝________．【答案】53． 【解析】设椭圆C 1的长半轴长为a 1，短半轴长为b 1，双曲线C 2的实半轴长为a 2，虚半轴长为b 2.∵ PF 1⊥PF 2，根据椭圆的性质可得S △PF 1F 2＝b 21，又e 1＝c a 1，∴ a 1＝c e 1，∴ b 21＝a 21－c 2＝c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1.根据双曲线的性质可得S △PF 1F 2＝b 22，∵ e 2＝c a 2，a 2＝c e 22，∴ b 22＝c 2－a 22＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，∴ c 2⎝⎛⎭⎫1e 21－1＝c 2⎝⎛⎭⎫1－1e 22，即1e 21＋1e 22＝2.∵ 3e 1＝e 2，∴ e 1＝53. 例18．已知直线:20l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -，(2,0)B 连线的斜率34MA MB K K =-，则实数m 的值是___________．【答案】[]4,4-．【解析】点M 的轨迹为221(2)43x y x +=≠． 把直线:2l x y m =-代入椭圆方程得，221612(312)0y my m -+-=． 根据条件，上面方程有非零解，得△≥0，解得－4≤m ≤4．例19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>．双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个焦点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为 ．【答案】152022=+y x ． 【解析】因为椭圆的离心率为23, 所以23==a c e ,2243a c =,222243b a ac -==，所以2241a b =,即224b a =． 双曲线的渐近线为x y ±=，代入椭圆得12222=+bx a x ，即1454222222==+b x b x b x ． 所以b x b x 52,5422±==,2254b y =,b y 52±=， 则第一象限的交点坐标为)52,52(b b ．四边形的面积为16516525242==⨯⨯b b b ，故52=b ．因此，椭圆方程为152022=+y x ． 例20．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=＞＞，的左、右焦点分别为12F F ，，以12F F 为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为P ．若1230PF F ∠=︒，则该双曲线的离心率为 ．1．【解析】由双曲线定义易得，12122,PF PF a PF -==，1212212F F ce a PF PF ===-． 例21．已知圆O ：224x y +=与x 轴负半轴的交点为A ，点P 在直线l0y a +-=上，过点P 作圆O 的切线，切点为T ．（1）若a ＝8，切点1)T -,求直线AP 的方程； （2）若P A =2PT ，求实数a 的取值范围．【解析】由题意，直线PT 切于点T ，则OT ⊥PT ，又切点T 的坐标为(4,3)-，所以OT k =，1PT OT k k =-=，故直线PT的方程为1y x +-40y --=． 联立直线l 和PT，40,80,y y --=+-=解得2,x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩即2)P ，所以直线AP的斜率为k ===，故直线AP的方程为2)y x =+，即1)21)0x y -+=，即1)20x y -+=．（2）设(,)Pxy ，由P A ＝2PT ，可得2222(2)4(4)x y x y ++=+-，即22334200x y x ++-=，即满足P A ＝2PT 的点P 的轨迹是一个圆22264()39x y -+=，所以问题可转化为直线0y a +-=与圆22264()39x y -+=有公共点，所以83d =，即16|3a -≤a ． 例22．已知圆C ：x 2＋(y －1)2＝5，直线l ：mx －y ＋1－m ＝0． (1)求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总有两个交点；(2)设直线l 与圆C 交于点A ，B ，若AB ＝17，求直线l 的倾斜角；(3)设直线l 与圆C 交于A ，B ，若定点P (1,1)满足2AP →＝PB →，求此时直线l 的方程． 【解析】(1)证明 直线l 恒过定点P (1,1)，由12＋(1－1)2<5知点P 在圆C 内， 所以直线l 与圆C 总有两个交点．(2)圆心到直线的距离d ＝222⎪⎭⎫ ⎝⎛-AB r ＝32，又d ＝|0－1＋1－m |m 2＋1，所以32＝|0－1＋1－m |m 2＋1，解得m ＝±3，所以，l 的倾斜角为π3或2π3．(3)方法一：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由2AP →＝PB →得：2(1－x 1,1－y 1)＝(x 2－1，y 2－1)， 所以x 2＋2x 1＝3，①直线l 的斜率存在，设其方程为y －1＝k (x －1)，⎩⎨⎧=-+-=-5)1()1(122y x x k y ⇒(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－5＝0， 所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+=+③②,15,1222212221k k x x k k x x由①②③消去x 1，x 2解得k ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．方法二：如图，过点C 作CD ⊥AB 于D ，设AP ＝t ，则PB ＝2t ，AD ＝1．5t ，PD ＝0．5t ．在Rt △CDP 中，有CP 2＝CD 2＋PD 2，得CD 2＝1－(0．5t )2，在Rt △CDA 中，CD 2＝5－()1.5t 2，所以t ＝2， 从而，CD ＝22，又直线AB 的方程为mx －y ＋1－m ＝0，d ＝|m |m 2＋1＝22， 解得m ＝±1，故所求直线l 的方程为x －y ＝0或x ＋y －2＝0．例23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上一点(在x 轴上方)，连结PF 1并延长交椭圆于另一点Q ，设PF 1→＝λF 1Q →.(1) 若点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32，且△PQF 2的周长为8，求椭圆C 的方程； (2) 若PF 2垂直于x 轴，且椭圆C 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，求实数λ的取值范围．【解析】 (1) 因为F 1，F 2为椭圆C 的两焦点，且P ，Q 为椭圆上的点，所以PF 1＋PF 2＝QF 1＋QF 2＝2a ， 从而△PQF 2的周长为4a .由题意，得4a ＝8，解得a ＝2.因为点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫1，32， 所以1a 2＋94b2＝1，解得b 2＝3.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2) (法1)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方，故设P (c ，y 0)，y 0＞0.设Q (x 1，y 1)． 因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a ，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a .因为F 1(－c ，0)，所以PF 1→＝⎝⎛⎭⎫－2c ，－b 2a ，F 1Q →＝(x 1＋c ，y 1)．由PF 1→＝λF 1Q →，得－2c ＝λ(x 1＋c )，－b 2a＝λy 1，解得x 1＝－λ＋2λc ，y 1＝－b2λa ，所以Q ⎝⎛⎭⎪⎫－λ＋2λc ，－b 2λa .因为点Q 在椭圆上，所以⎝⎛⎭⎫λ＋2λ2e 2＋b2λ2a2＝1，即(λ＋2)2e 2＋(1－e 2)＝λ2，(λ2＋4λ＋3)e 2＝λ2－1.因为λ＋1≠0，所以(λ＋3)e 2＝λ－1，从而λ＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.(法2)因为PF 2⊥x 轴，且P 在x 轴上方， 故设P (c ，y 0)，y 0＞0.因为P 在椭圆上，所以c 2a 2＋y 20b 2＝1，解得y 0＝b 2a，即P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a . 因为F 1(－c ，0)，故直线PF 1的方程为y ＝b 22ac(x ＋c )．由⎩⎨⎧y ＝b22ac（x ＋c ），x 2a 2＋y2b 2＝1，得(4c 2＋b 2)x 2＋2b 2cx ＋c 2(b 2－4a 2)＝0.因为直线PF 1与椭圆有一个交点为P ⎝⎛⎭⎫c ，b 2a ，设Q (x 1，y 1)，则x 1＋c ＝－2b 2c 4c 2＋b 2，即－c －x 1＝2b 2c4c 2＋b 2.因为PF 1→＝λF 1Q →所以λ＝2c －c －x 1＝4c 2＋b 2b 2＝3c 2＋a 2a 2－c 2＝3e 2＋11－e 2＝41－e 2－3. 因为e ∈⎣⎡⎦⎤12，22，所以14≤e 2≤12，即73≤λ≤5.所以λ的取值范围是⎣⎡⎦⎤73，5.例24．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P (1，32)，离心率e ＝12，直线l 的方程为x＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记P A ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3.问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解析】(1)由P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆上得，1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② ②代入①解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设直线AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12并整理，得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4(k 2－3)4k 2＋3.④在方程③中令x ＝4得，M 的坐标为(4,3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.由于A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ，即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝⎛⎭⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.⑤④代入⑤得k 1＋k 2＝2k －32·8k 24k 2＋3－24(k 2－3)4k 2＋3－8k 24k 2＋3＋1＝2k －1，又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意．法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)，则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M ⎝⎛⎭⎫4，3y 0x 0－1，从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12(x 0－1)，联立⎩⎨⎧y ＝y 0x 0－1(x －1)，x 24＋y23＝1，得A ⎝⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线P A 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)，直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32(x 0－1)，所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52(x 0－1)＋2y 0－32(x 0－1)＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．例25．如图6，已知椭圆22:1124x y C +=，点B 是其下顶点，过点B 的直线交椭圆C 于另一点A （A 点在x 轴下方），且线段AB 的中点E 在直线y x =上． （1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于,A B 的动点，且直线,AP BP 分别交直线y x =于点,M N ，证明：OM ON ⋅为定值．【解析】（1）设点E （m ，m ），由B （0，－2）得A （2m ，2m +2）． 代入椭圆方程得224(22)1124m m ++=，即22(1)13m m ++=， 解得32m =-或0m =（舍）． 所以A （3-，1-）．故直线AB 的方程为360x y ++=．（2）设00(,)P x y ，则22001124x y +=，即220043x y =-． 设),(M M y x M ，由M P A ,,三点共线， ∴)3)(1()1)(3(00++=++M M x y y x ． 又点M 在直线x y =上，图6解得M 点的横坐标000032M y x x x y -=-+．设),(N N y x N ，由N P B ,,三点共线， ∴00(2)(2)N N x y y x +=+．点N 在直线y x =上，解得N 点的横坐标00022N x x x y -=--．所以OM ON ⋅0|0|M N x x --=2||||M N x x ⋅＝200003||2y x x y --+0002||2x x y -⋅--=2000200262||()4x x y x y ---=2000220000262||23x x y x x x y ---=2000200032||3x x y x x y --=6． 例26．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知直线l 交椭圆C 于A ，B 两点．① 若直线l 经过椭圆C 的左焦点F ，交y 轴于点P ，且满足P A →＝λAF →，PB →＝μBF →.求证：λ＋μ为定值；② 若OA ⊥OB (O 为原点)，求△AOB 面积的取值范围．【解析】(1)由题设知c ＝1，a 2c＝2，a 2＝2c ，∴ a 2＝2，b 2＝a 2－c 2＝1，∴ 椭圆C ：x 22＋y 2＝1.(2) ① 证明：由题设知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则P (0，k )．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线l 方程代入椭圆方程，得x 2＋2k 2(x ＋1)2＝2，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，∴ x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.由P A →＝λAF →，PB →＝μBF →知，λ＝－x 11＋x 1，μ＝－x 21＋x 2，∴ λ＋μ＝－x 1＋x 2＋2x 1x 21＋x 1＋x 2＋x 1x 2＝－－4k 21＋2k 2＋4k 2－41＋2k 21＋－4k 21＋2k 2＋2k 2－21＋2k2＝－－4－1＝－4(定值)． ②当直线OA ，OB 分别与坐标轴重合时，易知△AOB 的面积S ＝22.当直线OA ，OB 的斜率均存在且不为零时，设OA ：y ＝kx ，OB ：y ＝－1kx .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，将y ＝kx 代入椭圆C 方程，得x 2＋2k 2x 2＝2，∴ x 21＝22k 2＋1，y 21＝2k 22k 2＋1，同理可得x 22＝2k 22＋k 2，y 22＝22＋k 2， △AOB 的面积S ＝OA ·OB 2＝（k 2＋1）2（2k 2＋1）（k 2＋2）.令t ＝k 2＋1∈[1，＋∞)，则S ＝t 2（2t －1）（t ＋1）＝12＋1t －1t2；令u ＝1t∈(0，1)，则S ＝1－u 2＋u ＋2＝1－⎝⎛⎭⎫u －122＋94∈⎣⎡⎭⎫23，22. 综上所述，S ∈⎣⎡⎦⎤23，22，即△AOB 面积的取值范围是⎣⎡⎦⎤23，22.三．课本改编题1．课本原题（必修2第112页习题2．2第12题）：已知点(,)M x y 与两个定点(0,0),(3,0)O A 的距离之比为12，那么点M 的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M 所构成的曲线．改编1：（2008高考江苏卷第13题）满足条件2,AB AC ==的三角形ABC 的面积的最大值为 ．改编2：（2013高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (0,3)，直线l ：y=2x －4．设圆C 的半径为1，圆心在l 上．（1）若圆心C 也在直线y =x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线方程； （2）若圆C 上存在点M ，使MA =2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．[说明]：利用阿波罗尼斯圆进行命题的经典考题很多，最著名的当属高考中出现的这两题．课本上虽未出现阿波罗尼斯圆的字眼，但是必修2教材上的这道习题已经体现了这类问题的本质．如果我们平时能钻研教材，对这道习题有所研究，那么我们的数学意识就会有所增强，再碰到此类问题时就会得心应手．2．课本原题（1）（选修2-1第42页习题第5题）在ABC D 中，(6,0),(6,0)B C -，直线AB 、AC 的斜率乘积为94，求顶点A 的轨迹．原题（2）（选修2-2第105页复习题第14题）：已知椭圆具有如下性质：设M 、N 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上关于原点对称的两点，点P 是椭圆上的任意一点．若直线PM 、PN 的斜率都存在并分别记为,PM PN k k ，则P M P N k k ×是与点P 的位置无关的定值．试类比椭圆，写出双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一个类似性质，并加以证明．改编1：（2012年南通市高三数学第二次模拟考试第13题）在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b2=1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，B 、C 分别为椭圆的上、下顶点，直线BF 2与椭圆的另一交点为D ．若cos ∠F 1BF 2=725，则直线CD 的斜率为____．改编2：（2013苏北四市期末18题第2、3问）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E的方程为22143x y +=．若点A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，直线l 经过点B 且垂直于x 轴，点P 是椭圆 上异于A ，B 的任意一点，直线AP 交l 于点.M（1）设直线OM 的斜率为,1k 直线BP 的斜率为2k ，求证：21k k 为定值；（2）设过点M 垂直于PB 的直线为m ．求证：直线m 过定点，并求出定点的坐标．改编3：（2011年高考江苏卷第18题）如图，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆22142x y+=的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线P A的斜率为k．（1）当直线P A平分线段MN，求k的值；（2）当k=2时，求点P到直线AB的距离d；（3）对任意k>0，求证：P A⊥PB．[说明]原题是推理与证明中的复习题，教学中可以把握教材前后的联系，在椭圆的学习中就可以对该结论进行探究．利用该结论进行命题的经典考题非常多，以上几例利用这个结论会大大降低运算的难度．平时我们要多留意课本上的常见结论，加强知识储备，这对提高我们的解题能力大有帮助．3．课本原题（必修2 P88思考运用13）：已知直线l 过点（2，3），与两坐标轴在第一象限围成的三角形面积为16，求该直线l 的方程改编1：过点（-5，-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 ． [解析]设所求直线方程为)5(4+=+x k y ．依题意有5)45)(54(21=--k k． ∴01630252=+-k k （无解）或01650252=+-k k ，解得52=k ,或58=k ． ∴直线的方程是01052=--y x ,或02058=+-y x ．改编2：（2006年上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 面积的最小值为 ． [解析]设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ，则1111111(2)(12)44[4(4)()][442222OAB S k k k k k k ∆=--=--=+-+-+=≥，当且仅当k k 14-=-即21-=k 时取等号， ∴当21-=k 时，OAB S ∆有最小值4． 改编3：已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ，在射线l 上求一点N ，使直线MN 与l 及x 轴围成的三角形面积S 最小． [解析]设)1)(4,(000>x x x N ，则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x ．令0=y 得1500-=x x x ， ∴]211)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S2]40=≥， 当且仅当11100-=-x x 即20=x 时取等号． ∴当N 为（2，8）时，三角形面积S 最小．[说明]原题的本质是建立三角形的面积与斜率之间的方程关系，通过解方程求出未知量，而变体题则是建立这两者之间的函数关系，利用求函数最值的知识解决问题。

高二解析几何练习题高二解析几何练习题解析解析题一：已知直线l1的方程为y = kx + m，直线l2过点A（a，b）且与直线l1垂直，求直线l2的方程。

解析：由题意可知，直线l2与直线l1垂直，所以l1的斜率与l2的斜率的乘积为-1。

l1的斜率为k，故l2的斜率为-1/k。

又l2过点A（a，b），可得直线l2的方程为y - b = -(1/k)(x - a)。

解析题二：已知抛物线C的顶点为（h，k），与x轴交于点A，直线l经过点A，求证：l与抛物线C恰有两个交点。

解析：设点A的坐标为（a，0），则顶点（h，k）在线段OA上的中点。

设直线l的方程为y = mx + n。

将直线方程代入抛物线方程，得 ax^2 + 2ahx + ah^2 + 2bkx + b^2 - k^2 = 0。

由于顶点（h，k）在线段OA上的中点，所以ab = -hk。

因此，将ab代入抛物线方程，得 ax^2 + (2hx - k)x + hk = 0。

由二次方程的判别式可知，当判别式大于零时，方程有两个不同的实数解，即直线l与抛物线C有两个交点。

解析题三：已知圆C的圆心为O，点A，B，C在圆上，且∠AOB = 90°，OC 是AB的中垂线，求证：OC ⊥ AB。

解析：由题意可知，AB是直径，所以直线OC与直径AB垂直。

根据圆的性质，半径与半径垂直，故OC ⊥ AB。

解析题四：已知矩形ABCD，顶点A在直线l1上，且直线l1的斜率为k，点B 在直线l2上，且直线l2的斜率为-1/k，证明AC ⊥ BD。

解析：设直线l1的方程为y = kx + m，直线l2的方程为y = -(1/k)x + n。

矩形ABCD的对角线AC的斜率为(k - (-1/k))/(1 + k(-1/k)) = (k +1/k)/(1 - 1) = k + 1/k。

矩形ABCD的对角线BD的斜率为(k - (-1/k))/(1+ k(-1/k)) = (k +1/k)/(1 - 1) = k + 1/k。

高中解析几何典型题全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一、直线和平面的关系题目题目1：设直线L经过平面α和β两个平面的交点A和B，问直线L在平面α和平面β之间的位置关系是怎样的？解析：直线L在平面α和平面β之间的位置关系有三种情况，分别是直线L既不垂直于平面α，也不垂直于平面β；直线L既垂直于平面α，也垂直于平面β；直线L既不垂直于平面α，但垂直于平面β。

具体位置可根据直线和平面的垂直关系来确定。

解析：点P在平面α和平面β之间的位置关系根据两个平面的相交线和点P所在位置的具体情况来确定。

如果直线L和点P的位置不同，点P在两个平面之间；如果直线L和点P的位置相同，点P在两个平面外部；如果直线L和点P的位置重合，点P在两个平面上。

题目3：已知平面α和平面β相交于直线m，直线n与直线m相交于点A，平面α和平面β的交线分别为l1和l2，求证：∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠l1An=∠mAn，∠l2An=∠mAn，即∠l1An=∠l2An。

解析：根据已知条件可得到∠A和∠B垂直于直线m，因此∠A和∠B所成的角度为90度。

通过以上的几个典型题目及其解析，我们不难看出解析几何题目的解题思路主要是根据已知条件，运用几何知识和性质来推导出结论。

在解析几何的学习过程中，学生应该注重培养逻辑思维能力和数学运算能力，多进行几何图形的分析和推理，提高解题的能力和速度。

在解析几何的学习过程中，还需要注意以下几点：1、熟练掌握基本几何知识和性质，包括直线、角、三角形、四边形等几何图形的性质和计算方法。

2、善于画图分析，对于解析几何题目一定要画出清晰准确的图形，以便更直观地理解题意和计算。

3、多练习典型题目，通过多做题目来积累经验，查漏补缺，加深对解析几何知识的理解。

4、注意总结归纳，将解析几何的各种题目和性质进行分类和总结，形成自己的知识体系。

高中解析几何是一个非常重要的学科，学生在学习过程中要认真对待，多加练习，提高理解能力和解题能力，从而取得更好的学习成绩。

解析几何大量精选1.在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．⑴求轨迹C 的方程；⑴当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2214x y +=．⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 且22221212121224()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -⋅=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r． 由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程；⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅u u u u r u u u r的取值范围．【解析】 ⑴22143x y +=．⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．由22(4),1.43y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ①设点11(,)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．直线AE 的方程为212221()y y y y x x x x +-=--．令0y =，得221221()y x x x x y y -=-+．将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8x x x x x x x -+=+-．②由①得21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+代入②整理，得1x =．所以直线AE 与x 轴相交于定点(10)Q ，．⑶ 54,4⎡⎤--⎢⎥⎣⎦．３.设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重合，12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率12e =，过椭圆右焦点2F 的直线l 与椭圆C 交于M N 、两点．⑴ 求椭圆C 的方程；⑴ 是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-u u u u r u u u r．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】 ⑴22143x y +=．⑴ 由题意知，直线l 与椭圆必有两个不同交点．①当直线斜率不存在时，经检验不合题意． ②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11()M x y ，，22()N x y ，．由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， 21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++u u u u r u u u r2222222224128512(1)2343434k k k k k k k k k ---=+⋅-⋅+==-+++，所以k =故直线l的方程为1)y x =-或1)y x =-．本题直线l 的方程也可设为1my x =-，此时m 一定存在，不能讨论，且计算时数据更简单．４.如图，椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长．⑴ 求12C C ，的方程；⑴ 设2C 与y 轴的交点为M ，过坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A B ，，直线MA MB ，分别与1C 相交与D E ，． ①证明：MD ME ⊥；②记MAB MDE △，△的面积分别是12S S ，．问是否存在直线l ，使得121732S S =?请说明理由．【解析】 ⑴ 222114x y y x +==-，．⑴ ①由题意知，直线l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y kx =． 由21y kx y x =⎧⎨=-⎩得210x kx --=， 设()()1122A x y B x y ，，，，则12x x ，是上述方程的两个实根，于是12121x x k x x +==-，． 又点M 的坐标为()01-，，所以()()()212121212121212111111MA MB kx kx k x x k x x y y k k x x x x x x +++++++⋅=⋅===-， 故MA MB ⊥，即MD ME ⊥．②设直线KM 的斜率为1k ，则直线的方程为11y k x =-，由1211y k x y x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得01x y =⎧⎨=-⎩或1211x k y k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，则点A 的坐标为()2111k k -，． 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点B 的坐标为211111k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．于是211111111||||||||22||k S MA MB k k k +=⋅=-=．由1221440y k x x y =-⎧⎪⎨+-=⎪⎩得()22111480k x k x +-=， 解得01x y =⎧⎨=-⎩或12121218144114k x k k y k ⎧=⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，则点D 的坐标为21122118411414k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，； 又直线MB 的斜率为11k -，同理可得点E 的坐标21122118444k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 于是()()()21122211321||1||||2144k k S MD ME k k +⋅=⋅=++． 因此222111122211(14)(4)144176464S k k k S k k ⎛⎫++==++ ⎪⎝⎭，由题意知，212114174176432k k ⎛⎫++= ⎪⎝⎭解得214k =或2114k =． 又由点A B ，的坐标可知，21211111111k k k k k k k -==-+，所以32k =±．故满足条件的直线l 存在，且有两条，其方程分别为32y x =和32y x =-．５. 在直角坐标系xOy 中，点M到点()1,0F，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P和Q ．⑴ 求轨迹C 的方程；⑴ 当0AP AQ ⋅=u u u r u u u r时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．【解析】 ⑴ 2214x y +=．⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程，整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ①设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kbx x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 且22221212121224()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -⋅=++=+++=+，显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r． 由0AP AQ ⋅=u u u r u u u r，得1212(2)(2)0x x y y +++=．将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65b k =．经检验，都符合条件①当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符．当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭．显然，此时直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭点，满足题意．综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05⎛⎫- ⎪⎝⎭．。

高中数学解析几何深度练习题及答案1. 平面几何题目一：已知平面上三点A(1, -2)，B(3, 4)，C(7, 1)，求证：三角形ABC为等腰三角形。

解答：首先计算AB、AC、BC的长度，分别利用两点之间的距离公式：AB = √[(3-1)^2 + (4-(-2))^2] = √[4 + 36] = √40AC = √[(7-1)^2 + (1-(-2))^2] = √[36 + 9] = √45BC = √[(7-3)^2 + (1-4)^2] = √[16 + 9] = √25由于AB的平方等于BC的平方，即AB^2 = BC^2，可以得出AB = BC。

因此，三角形ABC为等腰三角形。

题目二：已知平面上直线L1过点A(2, -1)，斜率为k，与直线L2：3x + ky + 5 = 0 互相垂直，求k的值。

解答：首先计算直线L2的斜率：L2: 3x + ky + 5 = 0化简得：ky = -3x - 5因此，L2的斜率k2为 -3/k。

由于L1与L2互相垂直，根据垂直直线的特性可知斜率k1与k2之积为 -1。

即 k * (-3/k) = -1。

解上述方程可以得出：k^2 = 3，因此k的两个解为k = √3 和 k = -√3。

题目三：已知直线L1：4x + 3y - 2 = 0 与直线L2垂直，并且直线L2通过点A(5,-1)，求直线L2的方程式。

解答：由于L1与L2垂直，它们的斜率之积为 -1。

L1的斜率为 -4/3，所以L2的斜率为 3/4。

通过点斜式可以得到L2的方程式：y - (-1) = (3/4)(x - 5)化简得到：y = (3/4)x + 2因此，直线L2的方程式为：y = (3/4)x + 2。

2. 空间几何题目一：已知直线L1：x = 3 - 2t，y = 5 + 3t，z = -1 + 4t，求直线L1的参数方程。

解答：直线的参数方程为x = x0 + at，y = y0 + bt，z = z0 + ct，其中(a, b, c)为直线的方向向量。

高中解析几何试题及答案1. 已知圆的方程为 \((x-2)^2+(y-3)^2=9\)，求该圆的圆心坐标和半径。

答案：圆心坐标为 \((2, 3)\)，半径为 \(3\)。

2. 求直线 \(2x + 3y - 6 = 0\) 关于点 \((1, 2)\) 对称的直线方程。

答案：对称直线的方程为 \(2x - 3y + 8 = 0\)。

3. 已知椭圆 \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\)（其中\(a > b > 0\)）经过点 \((2, 3)\)，且离心率 \(e = \frac{c}{a}\) 为 \(\frac{1}{2}\)，求椭圆的长轴和短轴长度。

答案：根据离心率 \(e = \frac{c}{a} = \frac{1}{2}\)，我们有 \(c =\frac{a}{2}\)。

由于椭圆经过点 \((2, 3)\)，代入椭圆方程得\(\frac{4}{a^2} + \frac{9}{b^2} = 1\)。

又因为 \(c^2 = a^2 -b^2\)，代入 \(c = \frac{a}{2}\) 得 \(\frac{a^2}{4} = a^2 -b^2\)，解得 \(b^2 = \frac{3}{4}a^2\)。

将 \(b^2\) 代入椭圆方程，解得 \(a^2 = 16\) 和 \(b^2 = 12\)。

因此，椭圆的长轴长度为\(2a = 32\)，短轴长度为 \(2b = 24\)。

4. 求抛物线 \(y^2 = 4px\)（\(p > 0\)）的焦点坐标。

答案：焦点坐标为 \((\frac{p}{2}, 0)\)。

5. 已知双曲线 \(\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1\) 的一条渐近线方程为 \(y = \frac{b}{a}x\)，求双曲线的离心率。

答案：双曲线的离心率 \(e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}\)。

高三数学单元测试—解析几何注意事项：1．本试题分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间为120分钟。

2．答第Ⅰ卷前务必将自己的姓名、考号、考试科目涂写在答题卡上。

考试结束，试题和答题卡一并收回。

3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD ）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案。

第Ⅰ卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）。

1．已知椭圆的离心率为21，焦点是(-3,0)，(3,0)，则椭圆方程为 （ ）A ．1273622=+y x B ．1273622=-y x C ．1362722=+y x D ．1362722=-y x 2．当a 为任意实数时，直线024)32(=+-++a y x a 恒过定点P ，则过点P 的抛物线的标 准方程是（ ）A ．y x 322=或x y 212-= B ．y x 322-=或x y 212=C ．x y 322=或y x 212-=D ．x y 322-=或y x 212=3．设双曲线x 2 –y 2=1的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为E,P(x,y) 为该区域内的一个动点，则目标函数y x z 23-=的取值范围为（ ）A ．[22,0] B ．[223,22] C ．[225,22] D ． [225,0] 4．短轴长为2，离心率e=3的双曲线两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线于A 、B 两点， 且|AB|=8,则△ABF 2的周长为 （ ） A ．3 B ．6 C ．12 D ．245．已知F 1,F 2是椭圆的两个焦点，过F 1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A,B 两点，若△ ABF 2是正三角形，则这个椭圆的离心率是 （ ）A ．3B ．3C ．2D ．26．如果AC ＜0,且BC ＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限7．已知抛物线mx 2=2(0)y nx n = <(0<m )与椭圆n y x 229+=1有一个相同的焦点，则动点),(n m 的轨 迹是（ ）A ．椭圆的一部分B ．双曲线的一部分C ．抛物线的一部分D ．直线的一部分 8．如图，在四棱锥P-ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面为正方 形，侧面PAD 与底面ABCD 垂直，M 为底面内的一个动点，且满 足MP=MC ，则动点M 的轨迹为 （ ） A ．椭圆 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．直线9．若直线mx- ny = 4与⊙O: x 2+y 2= 4没有交点，则过点P(m,n)的直线与椭圆22194x y +=的 交点个数是（ ）A ．至多为1B ．2C ．1D ．010．若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的14，则该双曲线的渐近线方程是 （ ）A ．20x y ±=B ．20x y ±=C ．30x ±=D 30x y ±=11．过点P(x,y)的直线分别与x 轴和y 轴的正半轴交于A,B 两点,点Q 与点P 关于y 轴对称，O为坐标原点，若2BP PA =且OQ AB ⋅=1，则点P 的轨迹方程是 （ ） A ．22331(0,0)2x y x y +=>> B ．22331(0,0)2x y x y -=>>C ．22331(0,0)2x y x y -=>> D ．22331(0,0)2x y x y +=>> 12．椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点A 、B 是它的焦点，长轴长为2a ，焦距为2c ，静放在点A 的小球（小球的半径不计），从点A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时，小球经过的路程是 （ ） A ．4a B ．2()a c - C ．2()a c + D ．以上答案均有可能第Ⅱ卷二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4个小题，每小题4分，共16分）。

高中文科数学解析几何部分整理考点：平面直角坐标系，直线方程与圆的方程，两点间距离公式与点到直线的距离公式 一、 知识点 1.直线的方程1）倾斜角：范围0≤α＜180，0l x l x α=︒ 若轴或与轴重合时，。

90l x α⊥=︒若轴时，。

2）tan k α=斜率： ()()2111122221,,,y y P x y P x y k x x -=⇒=-已知平面上两点1290,x x k α==︒当时，不存在，0;0k k αα><为锐角时，为钝角时， 3）直线方程的几种形式斜截式：y=kx+b 不含y 轴和平行于y 轴的直线点斜式：()11y y k x x -=- 不含y 轴和平行于y 轴的直线两点式：121121x x x x y y y y --=--不含坐标轴，平行于坐标轴的直线截距式：1=+by ax 不含坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线一般式：Ax+By+C=0 A 、B 不同时为0几种特殊位置的直线：①x 轴：y=0②y 轴：x=0③平行于x 轴：y=b ④平行于y 轴：x=a 原点：y=kx 或x=04）直线系：（待定系数法的应用）（1）共点直线系方程：p0（x0,y0）为定值，k 为参数y-y0=k （x-x0） 特别：y=kx+b ，表示过（0、b ）的直线系（不含y 轴） 注意：运用斜率法时注意斜率不存在的情形。

（2）平行直线系：①y=kx+b ，k 为定值，b 为参数。

②Ax+By+入=0表示与Ax+By+C=0 平行的直线系 Bx-Ay+入=0表示与Ax+By+C 垂直的直线系2.两直线的位置关系L1：y=k1x+b1 L2：y=k2x+b2L1：A1X+B1Y+C1=0 L2：A2X+B2Y+C2=0L1与L2组成的方程组平行⇔k1=k2且b1≠b2212121C C B B A A ≠=无解重合⇔k1=k2且b1=b2212121C C B B A A == 有无数多解相交⇔k1≠k22121B B A A ≠有唯一解垂直⇔ k1·k2=-1 A1A2+B1B2=0有唯一解3.几个距离公式：1）点到直线距离：2200B A cBy Ax d +++=（已知点（p0(x0,y0)，L ：Ax+By+C=0）注：若直线为00()y y k x x -=-，即000kx y y kx -+-=2）点(),a b 到直线的距离为0021ka b y kx d k -+-=+（这是斜率法经常用到的）3）两行平线间距离：L1=Ax+By+C1=0 L2：Ax+By+C2=0⇒2221B A c c d +-=4)点间的距离公式()()22121212PP x x y y =-+-4.圆 1)圆的方程一般式：22x y a y 0x b c ++++=配方得：22224(x+)(y+)224aba b c+-+=圆心为：（2a，2b），半径为2242a b c+- 标准式：22200(x-x )(y )y r +-=， 圆心为（x ，y ），r 为该圆半径。

高三数学解析几何习题集
一、直线与平面
1. 已知直线L1的方程为x + 2y - 3 = 0，点A(2, -1)在该直线上，求直线L1与直线L2：2x - y + 4 = 0的交点坐标。

2. 平面α过点A(1, -2, 3)，且与直线L：x = 2 + 3t，y = -1 - t，z = 3t相交于点P(5, 1, -2)，求平面α的方程。

3. 已知平面α与平面β垂直，平面α通过点A(1, 2, -1)，平面β通过直线L：x = 2 - 4t，y = t，z = 3t，求平面β的方程。

二、曲线的方程
1. 曲线C为椭圆，已知其焦点F1(-3, 0)，F2(3, 0)，且顶点为(0, 2)，求曲线C的方程。

2. 曲线C为双曲线，已知其离心率为2，焦点为F1(3, 0)，F2(-3, 0)，求曲线C的方程。

3. 曲线C为抛物线，已知其焦点为F(2, -1)，过顶点V(0, 0)，求曲线C的方程。

三、空间向量与坐标系
1. 已知向量AB = 2i + j - k，向量AC = i - 2j + 3k，求向量BC的坐标表示。

2. 平行四边形ABCD中，已知向量AB = 2i - 3j + 4k，向量AC = 3i + 4j - k，求向量BD的坐标表示。

3. 在XYZ坐标系中，已知A(2, -1, 3)，B(-1, 2, -3)，C(4, 3, -2)，求三角形ABC的面积。

以上是高三数学解析几何习题集的部分题目，希望能对高三学生的数学学习有所帮助。

请自行努力解答，并核对答案，巩固知识理解和运用能力。

祝你学业进步，取得优异成绩！。

高三数学解析几何专题(含解析)1.【理科】已知动点P到点A(-1,0)和B(1,0)的距离分别为d1和d2，且∠APB=2θ，且d1d2cos2θ=1.Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；Ⅱ）过点B作直线l交轨迹C于M，N两点，交直线x=4于点E，求|EM||EN|的最小值。

2.已知椭圆C：(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 (a>b>0)的离心率为2，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=7/2，PF·PF3/12=4.其中O为坐标原点。

I）求椭圆C的方程；Ⅱ）如图，过点S（0，1/3），且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

3.已知两定点F1(-2,0)、F2(2,0)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点。

Ⅰ）求k的取值范围；Ⅱ）如果AB=63，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和△ABC的面积S。

4.已知抛物线W:y=ax^2经过点A(2,1)，过A作倾斜角互补的两条不同的直线L1、L2.1）求抛物线W的方程及其准线方程；2）当直线L1与抛物线W相切时，求直线L2与抛物线W所围成封闭区域的面积；3）设直线L1、L2分别交抛物线W于B、C两点（均不与A重合），若以BC为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线BC的方程。

5.动点M(x,y)到定点F(-1,0)的距离与到y轴的距离之差为1.I）求动点M的轨迹C的方程；II）过点Q(-3,0)的直线l与曲线C交于A、B两点，问直线x=3上是否存在点P，使得△PAB是等边三角形？若存在，求出所有的点P；若不存在，请说明理由。

6.椭圆M的中心在坐标原点D，左、右焦点F1、F2在x轴上，抛物线N的顶点也在原点D，焦点为F2，椭圆M与抛物线N的一个交点为A(3,26)。

第七章平面解析几何初步§7。

1直线和圆的方程一、知识导学1．两点间的距离公式：不论A（1,1），B（2,2)在坐标平面上什么位置，都有d=｜AB|=,特别地,与坐标轴平行的线段的长|AB|=｜2－1｜或|AB｜=|2-1|.2．定比分点公式：定比分点公式是解决共线三点A(1，1），B（2，2），P（，)之间数量关系的一个公式，其中λ的值是起点到分点与分点到终点的有向线段的数量之比。

这里起点、分点、终点的位置是可以任意选择的，一旦选定后λ的值也就随之确定了.若以A为起点，B为终点，P为分点，则定比分点公式是。

当P点为AB的中点时，λ=1，此时中点坐标公式是。

3．直线的倾斜角和斜率的关系(1）每一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率.（2）斜率存在的直线,其斜率与倾斜角α之间的关系是=tanα.4．确定直线方程需要有两个互相独立的条件。

直线方程的形式很多,但必须注意各种形式的直线方程的适用范围。

5．两条直线的夹角.当两直线的斜率，都存在且·≠—1时，tanθ=，当直线的斜率不存在时，可结合图形判断.另外还应注意到：“到角”公式与“夹角”公式的区别.6．怎么判断两直线是否平行或垂直?判断两直线是否平行或垂直时，若两直线的斜率都存在，可以用斜率的关系来判断；若直线的斜率不存在，则必须用一般式的平行垂直条件来判断。

(1）斜率存在且不重合的两条直线1∶，2∶，有以下结论：①1∥2=，且ｂ1＝ｂ2②1⊥2·= —1（2）对于直线1∶，2∶，当1，2，1,2都不为零时，有以下结论：①1∥2=≠②1⊥212+12 = 0③1与2相交≠④1与2重合==7．点到直线的距离公式.(1)已知一点P（）及一条直线：,则点P到直线的距离d=；（2）两平行直线1：，2：之间的距离d=.8．确定圆方程需要有三个互相独立的条件。

圆的方程有两种形式，要知道两种形式之间的相互转化及相互联系（1）圆的标准方程：，其中（，b）是圆心坐标，是圆的半径；(2）圆的一般方程:(＞0），圆心坐标为（-，—），半径为=.二、疑难知识导析1．直线与圆的位置关系的判定方法.(1）方法一直线:；圆：.一元二次方程（2）方法二直线：；圆：，圆心（，b)到直线的距离为d=2．两圆的位置关系的判定方法。

[必刷题]2024高三数学下册解析几何专项专题训练（含答案）试题部分一、选择题：1. 在直角坐标系中，点A(2,3)关于原点O的对称点坐标是（）A. (2,3)B. (2,3)C. (2,3)D. (3,2)2. 已知直线l的斜率为1，且过点P(1,2)，则直线l的方程为（）A. x+y3=0B. xy+3=0C. x+y+3=0D. xy3=03. 圆C的方程为x^2+y^2=4，点D(3,0)在圆外，则直线CD的斜率为（）A. 1B. 1C. 3D. 34. 下列关于椭圆的方程中，离心率最小的是（）A. x^2/4 + y^2/9 = 1B. x^2/9 + y^2/4 = 1C. x^2/16 + y^2/25 = 1D. x^2/25 + y^2/16 = 15. 设双曲线x^2/a^2 y^2/b^2 = 1的渐近线方程为y=kx，则k 的值为（）A. a/bB. b/aC. a/bD. b/a6. 在平面直角坐标系中，点A(1,2)到直线y=3x+1的距离为（）A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知抛物线y^2=8x的焦点坐标为（）A. (2,0)B. (2,0)C. (0,2)D. (0,2)8. 若直线y=2x+3与圆(x1)^2+(y2)^2=16相交，则交点的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 39. 在等轴双曲线x^2 y^2 = 1上，点P到原点的距离为2，则点P的坐标为（）A. (1,1)B. (1,1)C. (1,1)D. (1,1)10. 已知点A(2,3)和点B(2,1)，则线段AB的中点坐标为（）A. (0,2)B. (0,4)C. (2,2)D. (2,4)二、判断题：1. 直线y=2x+1的斜率为2，截距为1。

（）2. 两个圆的半径分别为1和2，圆心距为3，则这两个圆相交。

（）3. 椭圆的离心率越大，其形状越接近圆。

（）4. 抛物线的焦点到准线的距离等于其焦距的一半。

高三数学解析几何试题答案及解析1.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图,是圆的直径，是半径的中点，是延长线上一点，且，直线与圆相交于点、（不与、重合），与圆相切于点，连结，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，求．【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）证明目标可看做线段成比例，即证明思路确定为证明三角形相似：利用切割线定理得：，又由与相似，得；所以（Ⅱ）由（1）知，，与相似，则，所以试题解析：（1）连接，,,为等边三角形，则，可证与相似，得；又，则（2）由（1）知，，与相似，则因为，所以【考点】三角形相似，切割线定理2.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标；（Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．【答案】（Ⅰ）的普通方程为，圆心；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）消去参数即可将的参数方程化为普通方程，在直角坐标系下求出圆心的坐标，化为极坐标即可；（Ⅱ）求出圆心到直线的距离，由勾股定理求弦长即可.试题解析：（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 2分圆的直角坐标方程, 4分所以圆心的直角坐标为，因此圆心的一个极坐标为. 6分(答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, 8分所以. 10分【考点】1.参数方程与普通方程的互化；2.极坐标与直角坐标的互化.：的焦点，且抛物线3.（本题满分12分）如图，O为坐标原点，点F为抛物线C1C1上点P处的切线与圆C2：相切于点Q．（Ⅰ）当直线PQ的方程为时，求抛物线C1的方程；（Ⅱ）当正数变化时，记S1，S2分别为△FPQ，△FOQ的面积，求的最小值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】第一问要求抛物线的方程，任务就是求的值，根据导数的几何意义，设出切点坐标，从而求得，再根据切点在切线上，得，从而求得，进而得到抛物线的方程，第二问根据三角形的面积公式，利用题中的条件，将两个三角形的面积转化为关于和切点横坐标的关系式，从而有，利用基本不等式求得最值．试题解析：（Ⅰ）设点，由得，，求导，……2分因为直线PQ的斜率为1，所以且，解得，所以抛物线C1的方程为．（Ⅱ）因为点P处的切线方程为：，即，根据切线又与圆相切，得，即，化简得，由，得，由方程组，解得，所以，点到切线PQ的距离是，所以，，所以，当且仅当时取“＝”号，即，此时，，所以的最小值为．【考点】导数的几何意义，三角形的面积，基本不等式．4.（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为F1（-3,0），F2（3,0），直线y=kx与椭圆交于A、B两点．（Ⅰ）若三角形AF1F2的周长为，求椭圆的标准方程；（Ⅱ）若，且以AB为直径的圆过椭圆的右焦点，求椭圆离心率e的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）直接由题意和椭圆的概念可列出方程组，进而可求出椭圆的标准方程即可；（Ⅱ）首先设出点，然后联立直线与椭圆的方程并整理可得一元二次方程，进而由韦达定理可得，再结合可列出等式并化简即可得到等式，最后结合已知，即可求出参数的取值范围，进而得出椭圆离心率e的取值范围即可．试题解析：（Ⅰ）由题意得，得．结合，解得，．所以，椭圆的方程为．（Ⅱ）由得．设．所以，易知，，因为，，所以．即，将其整理为．因为，所以，即，所以离心率．【考点】1、椭圆的标准方程；2、直线与椭圆的相交综合问题；5.（本小题满分12分）椭圆（）的上顶点为，是上的一点，以为直径的圆经过椭圆的右焦点．（1）求椭圆的方程；（2）动直线与椭圆有且只有一个公共点，问：在轴上是否存在两个定点，它们到直线的距离之积等于？如果存在，求出这两个定点的坐标；如果不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在两个定点，．【解析】（1）由题设可得①，又点P在椭圆C上，可得②，又③，由①③联立解得c，b2，即可得解．（2）设动直线l的方程为y=kx+m，代入椭圆方程消去y，整理得（﹡），由△=0，得，假设存在，满足题设，则由对任意的实数k恒成立．由即可求出这两个定点的坐标．试题解析：（1），，由题设可知，得①又点在椭圆上，，②③①③联立解得，，故所求椭圆的方程为（2）当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆方程，消去，整理得（）方程（）有且只有一个实根，又，所以，得假设存在，满足题设，则由对任意的实数恒成立，所以，解得，或当直线的斜率不存在时，经检验符合题意．总上，存在两个定点，，使它们到直线的距离之积等于．……12分【考点】1、直线与圆锥曲线的关系；2、椭圆的标准方程．【方法点晴】本题主要考查了椭圆的标准方程的解法，考查了直线与圆锥曲线的关系，综合性较强，属于中档题．处理直线与圆锥曲线的关系问题时，注意韦达定理的应用，同时还得特别注意直线斜率不存在时的情况的验证．6.直线被圆截得的弦长为（）A．1B．2C．4D．【答案】C【解析】圆心，圆心到直线的距离，半径，所以最后弦长为.故选Ｃ.【考点】点到直线的距离.7.（本小题12分）己知、、是椭圆：（）上的三点，其中点的坐标为，过椭圆的中心，且，。

解析几何专题高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题), 共计30分左右, 考查的知识点约为20个左右. 其命题一般紧扣课本, 突出重点, 全面考查. 选择题和填空题考查直线, 圆, 圆锥曲线, 参数方程和极坐标系中的基础知识. 解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点, 通过知识的重组与链接, 使知识形成网络, 着重考查直线与圆锥曲线的位置关系, 求解有时还要用到平几的基本知识, 这点值得考生在复课时强化.例1 已知点T 是半圆O 的直径AB 上一点，AB=2、OT=t (0<t<1)，以AB 为直腰作直角梯形B B A A ''，使A A '垂直且等于AT ，使B B '垂直且等于BT ，B A ''交半圆于P 、Q 两点，建立如图所示的直角坐标系.(1)写出直线B A ''的方程； （2）计算出点P 、Q 的坐标；（3）证明：由点P 发出的光线，经AB 反射后，反射光线通过点Q.讲解: 通过读图, 看出'',B A 点的坐标.(1 ) 显然()t A -1,1', ()，，‘t B +-11 于是 直线B A '' 的方程为1+-=tx y ；（2）由方程组⎩⎨⎧+-==+,1,122tx y y x解出 ),(10P 、),(2221112t t t tQ +-+；（3）tt k PT 1001-=--=,t t t t tt t t t k QT1111201122222=--=-+-+-=)(. 由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知，由点P 发出的光线经点T 反射，反射光线通过点Q.需要注意的是, Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式, 有趣吗?例2 已知直线l 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 有且仅有一个交点Q ，且与x 轴、y 轴分别交于R 、S ，求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程．讲解：从直线l 所处的位置, 设出直线l 的方程,由已知，直线l 不过椭圆的四个顶点，所以设直线l 的方程为).0(≠+=k m kx y 代入椭圆方程，222222b a y a x b =+ 得.)2(22222222b a m kmx x k a x b =+++ 化简后，得关于x 的一元二次方程.02)(222222222=-+++b a m a mx ka x b k a于是其判别式).(4))((4)2(222222222222222m b k a b a b a m a b k a m ka -+=-+-=∆ 由已知，得△=0．即.2222m b k a =+ ①在直线方程m kx y +=中，分别令y=0，x =0，求得).,0(),0,(m S kmR -令顶点P 的坐标为（x ，y ）， 由已知，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.,.,y m x y k m y k m x 解得 代入①式并整理，得 12222=+yb x a , 即为所求顶点P 的轨迹方程．方程12222=+yb xa 形似椭圆的标准方程, 你能画出它的图形吗?例3已知双曲线12222=-by a x 的离心率332=e ，过),0(),0,(b B a A -的直线到原点的距离是.23（1）求双曲线的方程；（2）已知直线)0(5≠+=k kx y 交双曲线于不同的点C ，D 且C ，D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值. 讲解：∵（1）,332=a c 原点到直线AB ：1=-by a x 的距离.3,1.2322==∴==+=a b c abb a ab d .故所求双曲线方程为 .1322=-y x（2）把33522=-+=y x kx y 代入中消去y ，整理得 07830)31(22=---kx x k . 设CD y x D y x C ),,(),,(2211的中点是),(00y x E ，则.11,315531152002002210kx y k k kx y k k x x x BE-=+=-=+=⋅-=+= ,000=++∴k ky x即7,0,03153115222=∴≠=+-+-k k k kk k k 又 故所求k=±7.为了求出k 的值, 需要通过消元, 想法设法建构k 的方程.例4 已知椭圆C 的中心在原点，焦点F 1、F 2在x 轴上，点P 为椭圆上的一个动点，且∠F 1PF 2的最大值为90°，直线l 过左焦点F 1与椭圆交于A 、B 两点，△ABF 2的面积最大值为12． （1）求椭圆C 的离心率； （2）求椭圆C 的方程．讲解：（1）设 112212||,||,||2PF r PF r F F c ===对,21F PF ∆ 由余弦定理, 得1)2(2441244242)(24cos 22122212221221221212221121-+-≥--=--+=-+=∠r r c a r r c a r r c r r r r r r c r r PF F0212=-=e ， 解出 .22=e（2）考虑直线l 的斜率的存在性，可分两种情况：i) 当k 存在时，设l 的方程为)(c x k y +=………………① 椭圆方程为),(),,(,122112222y x B y x A by a x =+由.22=e 得 2222,2c b c a ==.于是椭圆方程可转化为 222220x y c +-=………………②将①代入②，消去y 得 02)(22222=-++c c x k x ,整理为x 的一元二次方程，得 0)1(24)21(22222=-+++k c x ck x k . 则x 1、x 2是上述方程的两根．且221221122||k k c x x ++=-，2212221)1(22||1||k k c x x k AB ++=-+=，AB 边上的高,1||2sin ||22121k k c F BF F F h +⨯=∠=c kk k k c S 21||)211(2221222+++=.2141224412221||122224242422222c k k c k k k k c k k k c<++=+++=++=ii) 当k 不存在时，把直线c x -=代入椭圆方程得2,||,2y c AB S =±== 由①②知S 的最大值为22c 由题意得22c =12 所以2226b c == 2122=a故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x下面给出本题的另一解法,请读者比较二者的优劣： 设过左焦点的直线方程为：c my x -=…………① （这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思.）也可这样求解：椭圆的方程为：),(),,(,122112222y x B y x A by a x =+由.22=e 得：,,22222c b c a ==于是椭圆方程可化为：022222=-+c y x ……② 把①代入②并整理得：02)2(222=---c mcy y m于是21,y y 是上述方程的两根.21|||AB y y ==-2)2(441222222++++=m m c c m m2)1(2222++=m m c , AB 边上的高212mc h +=,从而222222)2(122122)1(2221||21++=+⨯++⨯==m m cm c m m c h AB S.221111222222c m m c ≤++++=当且仅当m=0取等号，即.22max c S =由题意知1222=c , 于是 212,26222===a c b .故当△ABF 2面积最大时椭圆的方程为： .12621222=+y x例 5 已知直线1+-=x y 与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上.（１）求此椭圆的离心率；（2 ）若椭圆的右焦点关于直线l 的对称点的在圆422=+y x 上，求此椭圆的方程.讲解:（1）设A 、B 两点的坐标分别为⎪⎩⎪⎨⎧=++-=11).,(),,(22222211b y ax x y y x B y x A ，则由 得 02)(2222222=-+-+b a a x a x b a ,根据韦达定理，得,22)(,2222212122221ba b x x y y b a a x x +=++-=++=+ ∴线段AB 的中点坐标为（222222,b a b b a a ++）.由已知得2222222222222)(22,02c a c a b a ba b b a a =∴-==∴=+-+故椭圆的离心率为22=e . （2）由（1）知,c b =从而椭圆的右焦点坐标为),0,(b F 设)0,(b F 关于直线02:=-y x l 的对称点为,02221210),,(000000=⨯-+-=⋅--yb x b x y y x 且则解得 b y b x 545300==且 由已知得 4,4)54()53(,42222020=∴=+∴=+b b b y x故所求的椭圆方程为14822=+y x .例6 已知⊙M ：x Q y x 是,1)2(22=-+轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，（1）如果324||=AB ，求直线MQ 的方程； （2）求动弦AB 的中点P 的轨迹方程.讲解:（1）由324||=AB ，可得,31)322(1)2||(||||2222=-=-=AB MA MP 由射影定理，得,3|||,|||||2=⋅=MQ MQ MP MB 得 在Rt △MOQ 中，523||||||2222=-=-=MO MQ OQ ，故55-==a a 或，所以直线AB 方程是;0525205252=+-=-+y x y x 或（2）连接MB ，MQ ，设),0,(),,(a Q y x P 由 点M ，P ，Q 在一直线上，得(*),22xy a -=-由射影定理得|,|||||2MQ MP MB ⋅= 即(**),14)2(222=+⋅-+a y x 把（*）及（**）消去a ，并注意到2<y ，可得).2(161)47(22≠=-+y y x适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在，还请读者反思其中的奥妙.例7 直线l 过抛物线)0(22≠=p px y 的焦点，且与抛物线相交于A ),(),(2211y x B y x 和两点. （1）求证：2214p x x =;（2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD ，直线l 不是CD 的垂直平分线.讲解: （1）易求得抛物线的焦点)0,2(P F .若l ⊥x 轴，则l 的方程为4,2221P x x P x ==显然.若l 不垂直于x 轴，可设)2(P x k y -=,代入抛物线方程整理得 4,04)21(221222P x x P x k P P x ==++-则. 综上可知 2214p x x =.（2）设d c d p d D c p c C ≠且),2(),,2(22，则CD 的垂直平分线l '的方程为)4(2222p d c x p d c d c y +-+-=+- 假设l '过F ，则)42(22022pd c p p d c d c +-+-=+-整理得0)2)((222=+++d c p d c 0≠p02222≠++∴d c p ，0=+∴dc .这时l '的方程为y=0，从而l '与抛物线px y 22=只相交于原点. 而l 与抛物线有两个不同的交点，因此l '与l 不重合，l 不是CD 的垂直平分线. 此题是课本题的深化，你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累，能力在联想中提升. 课本是高考试题的生长点，复课切忌忘掉课本！例8 某工程要将直线公路l 一侧的土石，通过公路上的两个道口A 和B ，沿着道路AP 、BP 运往公路另一侧的P 处，PA=100m ，PB=150m ，∠APB=60°，试说明怎样运土石最省工？讲解: 以直线l 为x 轴，线段AB 的中点为原点对立直角坐标系，则在l 一侧必存在经A 到P 和经B 到P 路程相等的点，设这样的点为M ，则 |MA|+|AP|=|MB|+|BP|, 即 |MA|－|MB|=|BP|－|AP|=50,750||=AB ,∴M 在双曲线1625252222=⨯-y x 的右支上. 故曲线右侧的土石层经道口B 沿BP 运往P 处，曲线左侧的土石层经道口A 沿AP 运往P 处，按这种方法运土石最省工.相关解析几何的实际应用性试题在高考中似乎还未涉及，其实在课本中还可找到典型的范例，你知道吗？ 解析几何解答题在历年的高考中常考常新, 体现在重视能力立意, 强调思维空间, 是用活题考死知识的典范. 考题求解时考查了等价转化, 数形结合, 分类讨论, 函数与方程等数学思想, 以及定义法, 配方法, 待定系数法, 参数法, 判别式法等数学通法.习题：1. 双曲线的实轴长是 （A ）2 (B) (C) 4x y 222-=82. 在极坐标系中，点到圆 的圆心的距离为 （A ）2 (B) (C)（D)3. 若直线过圆的圆心,则a 的值为 （A ） 1 (B) 1 (C) 3 (D) 34. 直线（I ）证明与相交；（II ）证明与的交点在椭圆5. .已知椭圆G ：，过点（m ，0）作圆的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点。

解析几何题型考点 1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,构造方程解之 .例 1．假设抛物线 y 22 px 的焦点与椭圆 x 2 y 2 p 的值为〔〕 6 1的右焦点重合，那么2A ． 2B ． 2C ． 4D ． 4考查意图 : 此题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的根本几何性质 .解答过程：椭圆 x 2y 21的右焦点为 (2,0)，所以抛物线 y 22 px 的焦点为 (2,0)，那么 p 4，62考点 2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一 ,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距离公式解之 .例 2．抛物线 y-x 2+3 上存在关于直线x+y=0 对称的相异两点 A 、B ，那么 |AB| 等于22考查意图 : 此题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线 AB 的方程为 yx b ，由 yx 2 3 x 2 x b 3 0x 1 x 2 1，yx b进而可求出 AB 的中点 M ( 1 ,1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出22 2 2b 1 ，∴ x 2x2 0 ，由弦长公式可求出 AB1 12 12 4 ( 2)3 2 ．22例 3．如图，把椭圆x y1 的长轴25 16AB 分成 8 等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 1 23 45 67七个点， F 是椭圆的一个焦点，P ,P , P , P , P , P , P那么PF 1P 2 F P 3F P 4F P 5F P 6 F P 7 F ____________.考查意图 : 此题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用. 解答过程：由椭圆 x 2y 2 1 的方程知 a 2 25, a 5.25 16∴PF 1PF 2 P 3FP 4F P 5F P 6 F P 7 F 7 2a7 a 7 5 35.2考点 3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用 :(1)椭圆的离心率 e＝c∈(0,1) (e 越大那么椭圆越扁 );a (2) 双曲线的离心率 e＝c∈(1, ＋∞ ) (e 越大那么双曲线开口越大). a例 4．双曲线的离心率为 2 ，焦点是 ( 4,0) ， (4,0) ，那么双曲线方程为A． x2 y2 1 B． x2 y 2 1 C． x2 y2 1 D． x2 y 2 14 12 12 4 10 6 6 10考查意图 :此题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等根本概念.解答过程：Q e c 2,c 4, 所以a 2, b2 12. 应选(A).a例 5．双曲线3x 2 y 2 9 ,那么双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于〔〕A. 2B. 2 3C. 2 3考查意图 : 此题主要考查双曲线的性质和离心率 e＝c∈ (1, ＋∞ ) 的有关知识的应用能力 . a解答过程：依题意可知 a 3, c a2 b 2 3 9 2 3．考点 4.求最大 (小 )值求最大 (小 )值 , 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大 (小 )值 :特别是 ,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例 6．抛物线 y2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，那么 y12+y22的最小值是.考查意图 : 此题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小 )值的方法 . 解: 设过点 P(4,0)的直线为y k x 4 , k 2 x2 8x 16 4x,k 2 x2 8k 2 4 x 16 k2 0,y 2 y 2 4 x1 x2 4 8k 2 4 16 2 1 32.1 2k2 k2故填 32.考点 5 圆锥曲线的根本概念和性质例 7．在平面直角坐标系xOy 中 ,圆心在第二象限、半径为 2 2的圆 C 与直线 y=x 相切于坐标原点 O.椭圆x2 y2 =1 与圆 C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.a2 9〔1〕求圆 C 的方程；〔2〕试探究圆 C 上是否存在异于原点的点Q，使 Q 到椭圆右焦点 F 的距离等于线段OF 的长.假设存在，请求出点Q 的坐标；假设不存在，请说明理由.[解答过程 ] (1) 设圆 C 的圆心为(m, n)那么mn, 解得m2,n 2 2 2, n 2.所求的圆的方程为(x 2) 2 ( y 2) 2 8 (2) 由可得2a 10 ， a 5 ．椭圆的方程为x2 y2右焦点为F( 4, 0) ;251 ,9假设存在 Q 点 2 2 2 cos ,2 2 2 sin 使QF OF ,2 2 2 cos22 2 2 sin2．4 4整理得sin 3cos 2 2 ，代入 sin2 cos2 1 ．212 2 cos 7 0 , cos 12 2 8 12 2 2 2得:10cos 10 10 1．因此不存在符合题意的Q 点 .例 8．如图 ,曲线 G 的方程为y2 2 x( y 0) .以原点为圆心，以t (t 0)为半径的圆分别与曲线G 和 y 轴的正半轴相交于 A 与点 B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C.〔Ⅰ〕求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标 c 的关系式；〔Ⅱ〕设曲线G 上点 D 的横坐标为 a 2 ,求证：直线CD的斜率为定值. [ 解答过程 ] 〔 I〕由题意知，A(a, 2a).因为 | OA | t,所以 a 2 2a t 2 .由于t 0,故有t a 2 2a . 〔1〕由点 B〔0， t 〕， C〔 c，0〕的坐标知，直线BC的方程为xy 1.c t又因点 A 在直线 BC上，故有a2a 1, c t将〔 1〕代入上式，得 a 2a 1,解得c a 2 2( a 2) .c a(a 2)（I I〕因为D(a 2 2(a 2) )，所以直线 CD 的斜率为kCD 2( a 2)2(a2)2(a 2)a 2 ca 2 ( a 22(a2) )2(a1，2)所以直线 CD 的斜率为定值 .22例 9．椭圆 E :x2y 21(ab 0) ，AB 是它的一条弦，M(2,1) 是弦 AB 的中点，假设以ab点 M(2,1) 为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线C 和直线 AB 交于点 N(4, 1) ，假设椭圆离心率e 和双曲线离心率 e 1 之间满足 ee 1 1 ，求：〔1〕椭圆 E 的离心率；〔 2〕双曲线 C 的方程 .解答过程：〔 1〕设 A 、 B 坐标分别为 A(x 1 , y 1 ), B(x 2 , y 2 ) ， 那么x 12 y 121 ，x 22y 22 1 ，二式相减得：a2b2a 2b2ky 1 y 2 (x 1x 2 )b 2 2b 2 kMN1 ( 1)ABx 1 x 2(y 1y 2 )a 2a 21，2 4所以 a 22b 2 2(a 2 c 2 ) ， a 2 2c 2 ，那么ec2 ；a2〔2〕椭圆 E 的右准线为 xa 2 ( 2c) 22c ，双曲线的离心率 e 11 2 ，cce设 P(x, y) 是双曲线上任一点，那么：| PM | (x 2)2 (y 1)22，| x 2c || x 2c |两端平方且将 N(4, 1) 代入得： c 1或 c 3 ，当 c 1时，双曲线方程为： (x 2) 2 (y 1)20 ，不合题意，舍去；当 c 3时，双曲线方程为：(x 10)2 (y1) 2 32 ，即为所求 .考点 6利用向量求曲线方程和解决相关问题例 10．双曲线 C 与椭圆x 2y 21有相同的焦点，直线 y=3x 为 C 的一条渐近线 .8 4(1)求双曲线 C 的方程；(2)过点 P(0,4)的直线 l ，交双曲线C 于 A,B 两点，交 x 轴于 Q 点〔 Q 点与 C 的顶点不重合〕 .uuuruuuruuur8时，求 Q 点的坐标 .当PQ1QA2 QB，且123考查意图 : 此题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力 ,以及运用数形结合思想 ,方程和转化的思想解决问题的能力. 解答过程：〔Ⅰ〕设双曲线方程为x 2 y 2 1 ,a2b 2由椭圆 x2y 2 1,求得两焦点为 ( 2,0),(2,0) ，8 4对于双曲线 C : c 2 ，又 y3x 为双曲线 C 的一条渐近线b 3 解得 a 21,b 23 ，a双曲线 C 的方程为 x 2 y 2 13〔Ⅱ〕解法一：由题意知直线 l 的斜率 k 存在且不等于零 .设 l 的方程： y kx 4, A( x , y ) ， B( x 2 , y 2 ) ,那么Q( 4,0) .11kuuuruuur 4 4Q PQ1 QA, ( 1( x 1, 4) , y 1).k k 44 )x 14 41 (x 1 k k1kk 44 1y 1 y 11Q A( x 1 , y 1) 在双曲线 C 上，162 (11 )216 10 .k1116 32 1 16 1216 k2k220.(16 k 2) 1232 11616k 2 0.33同理有： (16 k 2)2232 216 16 k 2 0.3假设16k 20, 那么直线l过顶点，不合题意 .16 k 20,1, 2 是二次方程(16k 2 )x 2 32x 16 16 k 2 0.的两根 .8 , 31232k 4 ，此时 0, k 2 .2k 2 163所求 Q 的坐标为 ( 2,0) .解法二：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程， y kx 4, A( x , y ), B(x 2, y ) ，那么Q( 4,0) .112kuuuruuurQ uur1 . Q PQ1QA，分 PA 的比为由定比分点坐标公式得4 1x 1 x 14(1 1 ) k 1 1k 14 1y 14y 1111下同解法一解法三：由题意知直线l 的斜率 k 存在且不等于零设 l 的方程： y kx4, A( x 1, y 1 ), B( x 2 , y 2 ) ，那么Q(4,0) .kuuuruuuruuur( 4, 4)1( x 1 4, y 1)4, y 2 ) .Q PQ1 QA2QB ，2(x 2k kk41y1 2 y 2，14，24 ，y 1y 2又 128 ， 1 1 2,即 3( y 1 y 2 ) 2 y 1 y 2 .3y 1 y 23将 y kx 4 代入 x2y 2 1得 (3 k 2 )y 224 y 48 3k 20 .3Q 3 k 20 ，否那么l与渐近线平行 .y 1 y 23 24 , y 1y 2 48 3k 2 .k 2 3 k 22448 3k 2 . k 2 3 3 k 2 23 k 2Q( 2,0) .解法四： 由题意知直线 l 得斜率 k 存在且不等于零， 设 l 的方程： y kx 4 ， A( x 1 , y 1 ), B( x 2, y 2 ) ,那么Q(4 k ,0)uuuvuuuv(x 14, y 1 ) .Q PQ1 QA, ( 4, 4)1kk4 441k.同理1.4 kx 1 4kx 2 4x 1k12 44 8 .kx 1 4kx 2 43即2k 2 x x25k( xx ) 8.〔 * 〕1 1 2y kx 4又x2y 213消去 y 得 (3k 2 ) x 2 8kx 190 .当 3 k 20 时，那么直线 l 与双曲线得渐近线平行，不合题意，3 k 20 .x 1x 28kk 2由韦达定理有：319x 1 x 23 k 2代入〔 * 〕式得k 2 4, k2 .所求 Q 点的坐标为 ( 2,0) .例 11．设动点 P 到点 A(－ l ，0)和 B(1， 0)的距离分别为 d 1 和 d 2，∠APB ＝ 2θ,且存在常数λ (0＜λ＜ 1＝ ,使得 d 1 d 2 sin 2θ＝λ．（ 1〕证明：动点 P 的轨迹 C 为双曲线，并求出 C 的方程；（ 2〕过点 B 作直线交双曲线 C 的右支于 M 、 N 两点 ,试确定λ的范围 ,使 OM · ON ＝ 0,其中点 O 为坐标原点．[解答过程 ] 解法 1：〔 1〕在 △PAB 中， AB2 ，即 22d 12 d 22 2d 1d 2 cos 2 ，4 (d 1 d 2 ) 2 4d 1d 2 sin 2，即d 1 d 244d 1d 2 sin 22 12 〔常数〕，点 P 的轨迹 C 是以 A ，B 为焦点，实轴长 2a2 1 的双曲线．方程为： x 2y 211．（2〕设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)①当 MN 垂直于 x 轴时， MN 的方程为 x 1 ， M (11)， ， N (1， 1) 在双曲线上．即11 1115，因为 01 ，所以5 1 ．2122②当 MN 不垂直于 x 轴时，设 MN 的方程为 y k( x1) ．x 2 y 21 得：(1 )k 2 x22(1 )k 2x (1)( k2)，由1yk( x 1)由题意知：(1)k 2，所以x 1x 2 2k 2 (1) ，x 1x 2(1 )( k 2) ．(1 )k 2(1 )k 2于是：y 1 y 2k 2 (x 1 1)(x 2 1)k 2 2．(1) k 2因为 OM ON0，且 M ，N 在双曲线右支上，所以x 1x 2x 1x 1x 2y 1y 2 0 k 22(1 )(1 )5 1 2．x 2 012 1 12223k1 01由①②知，5 12 ．2≤3解法 2：〔 1〕同解法 1（2〕M ( x1，y1)，N( x2，y2)，MN的中点E(x0，y0)．①当 x1 x22121 0，1，MB 1因 0 1 ，所以 5 1 ；2x 2 y 21 1 1②当 x1 x2， 1 x0 ．kMNx22 y22 1 y011又k MN kBE y0 ．所以(1 ) y02 x02 x 0；x0 1MN 2MN2 2由∠ MON 得x02 y02 ，由第二定得e(x1 x2 ) 2a22 2 2121x0 1 x02 (1 ) 2x0．1 1所以 (1 ) y02 x02 2(1 ) x0 (1 ) 2．于是由(1 ) y02 x02 x0, 得x (1 ) 2 .(1 ) y02 x02 2(1 )x0 (1 ) 2, 0 2 3因 x0 1，所以(1)2 1，又0 1，2 3解得： 5 1 2．由①②知 5 1 ≤ 2 ．2 3 2 3 考点 7 利用向量理曲中的最例 12． E 的中心在坐原点O，焦点在 x 上，离心率3，点 C( 1,0) 的直3uuur uuurAOB 的面到达最大直和 E 的方交 E 于 A、 B 两点，且 CA 2BC ，求当程.解答程：因的离心率3，故可方程2x 2 3y 2 t(t 0) ，直方程3my x 1，由2x2 3y2 t得： (2m 2 3)y 2 4my 2 t 0 ，A(x1, y1), B(x2, y2)，my x 1y4my1 y2 ⋯⋯⋯⋯① A 2m 2 3CoxBuuur uuury 2) ，即 y 1 2y 2 ⋯⋯⋯⋯②又 CA2BC ，故 (x 1 1,y 1)2( 1 x 2,由①②得： y 18m，y 24m ，2m 22m 233S AOB1| y 1 y 2 | 6 | m 3 |＝66 ，22m 2322| m || m |当 m 23，即m6，AOB 面 取最大 ，22此y 1y 22 t32m 2 ，即 t 10 ，2m 2 3(2m 2 3)2所以，直 方程 x6 y 1 0 ， 方程 2x23y 210 .2uuur(xuuur(xuuuruuur6 ，求| 2x 3y 12 |的最大例 13． PA 5, y) ， PB5, y) ，且 | PA | | PB |和最小 .解答 程：P(x, y) ，A( 5,0) ， B( 5, 0) ， uuur uuur6 ，且 | AB | 2 5 6 ， 因 | PA | | PB |所以， 点 P 的 迹是以 A 、 B 焦点，6 的 ，方程 x 2y 2 1，令 x3cos , y 2sin，94| 2x3y 12 |＝ | 6 2 cos(4) 12 |，当cos() 1 ， | 2x3y 12 |取最大4当cos() 1 ， | 2x 3y 12 |取最小412 6 2 ，12 6 2 .考点 8 利用向量 理 曲 中的取 范例 14．〔 2006 年福建卷〕x 2y 21的左焦点 F ，2O 坐 原点 .y〔I 〕求 点 O 、 F ，并且与 的左准l 相切的 的方程；B〔II 〕 点 F 且不与坐 垂直的直 交 于 A 、 B 两点，FGOx段 AB 的垂直平分 与x 交于点 G ，求点 G 横坐 的取 范.lA考 意 :本小 主要考 直 、 、 和不等式等根本知 ，考平面解析几何的根本方法，考 运算能力和 合解 能力.解答 程：〔I 〕Q a 2 2,b 2 1, c 1,F ( 1,0), l : x2.Q 圆过点 O 、 F ，圆心 M 在直线 x1上 .2设M (1,t), 那么圆半径 r (1 ) ( 2)3 .222由OMr,得( 1 )2 t 2 3 ,2 2 解得 t2.所求圆的方程为 (x1)2 (y2) 2 9 .24 〔II 〕设直线 AB 的方程为 y k( x 1)(k 0),代入 x 2y 21,整理得(1 2k 2 )x 2 4k 2 x 2k 2 2 0.2Q 直线 AB 过椭圆的左焦点 F ， 方程有两个不等实根 .记A( x 1, y 1), B( x 2, y 2), AB 中点 N (x 0, y 0),那么x 1x 24 k 2,2k 21AB 的垂直平分线 NG 的方程为 y y 01(x x 0 ).k令 y 0,得x G x 0ky 02k 2 k 2k 2 1 1.1 2k 212k 212 4k22k 22Q k 0,1 0,x G2点 G 横坐标的取值范围为 (1,0).222例 15．双曲线 C ： x2y 21(a 0,b0) ， B 是右顶点， F 是右焦点，点A 在 x 轴正半abuuuruuur uuur轴上， 且满足 | OA |,| OB |,| OF | 成等比数列， 过 F 作双曲线 C 在第一、 三象限的渐近线的垂线l ，垂足为 P ，uuur uuuruuur uur〔1〕求证： PA OP PA FP ；〔2〕假设 l 与双曲线 C 的左、右两支分别相交于点D,E ，求双曲线 C 的离心率 e 的取值范围 .uuur uuuruuuruuur uuura2a2解答过程：〔 1〕因| OB |2,0) ，| OA |,| OB |,| OF |成等比数列，故| OA |uuur，即 A(|OF |cc直线 l ： ya(x c) ，ybDO PE FBx A由y a(x c) a2 abbP(，b x, )y c cauuur(0,ab uuur a2,ab uur b2 ab，故：PAc),OP ( ), FP (c, )c c c uuur uuur a2 b2 uuur uur uuur uuur uuur uur那么： PA OP c2 PA FP ，即PA OP PA FP ；uuur uuur uur uuur uur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uur 〔或 PA (OP FP) PA (PF PO) PA OF 0 ，即PA OP PA FP 〕y a c) 4 4 4 2(x (b 2 a )x 2 2 a cx (a c a2 b2 ) 0 ，〔2〕由 bb2x 2 a2 y 2 a2 b2 b2 b2 b2( a4 c2 a2b2 )b2由 x1 x 22 a4bb2〔或由k DF k DO a br r 例 16．a (x,0) ， b0 得： b4 a4 b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2.b b2 c2 a2 a2 e2 2 e 2 〕ar r r r(1,y) ， (a 3b) (a 3b) ，〔 1〕求点P(x, y) 的轨迹C的方程；〔 2〕假设直线y kx m(m 0) 与曲线 C 交于 A、 B 两点，D(0, 1) ，且 | AD | | BD | ，试求 m 的取值范围 .r r ，解答过程：〔〕 a 3b ＝(x,0) 3(1,y) (x 3, 3y)1r r(x,0) 3(1, y) (x 3, 3y)a 3b ＝，r r r r r r r r0 ，因 (a 3b) (a 3b) ，故 (a 3b) (a 3b)即 (x 3, 3y) (x 3, 3y) x 2 3y 2 3 0 ，故 P 点的轨迹方程为x2 y 2 1.3y kx m得： (1 3k 2 )x 2 6kmx 3m2 3 0 ，〔2〕由3y2 3x 2设 A(x 1 , y 1), B(x 2 , y 2 ) ， A 、 B 的中点为 M(x 0 , y 0 )那么 (6km)24(1 3k 2 )( 3m 2 3) 12(m 2 1 3k 2 ) 0 ，x 1 x 26km ， x 0 x 1 x 2 3km ， y 0 kx 0 mm ，1 3k 22 1 3k 21 3k 2即 A 、 B 的中点为 (3km2 ,m 2 ) ，1 3k 1 3k m1)(x3km2 ) ，那么线段 AB 的垂直平分线为： y1 2(3kk 1 3k将 D(0, 1) 的坐标代入，化简得： 4m 3k 2 1 ，那么由m 2 1 3k 2得：m24m 0 ，解之得 m0 或 m 4 ，4m 3k 2 1又 4m3k 21 1，所以 m1 ，14 故 m 的取值范围是 () .,0) U (4,4考点 9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题例 17． A,B,C 是长轴长为4 的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个顶点， BC 过椭圆的中uuur uuur uuur uuur心 O ，且 AC BC 0 ， | BC | 2 | AC |，〔1〕求椭圆的方程；〔 2 〕如果椭圆上的两点P,Q 使PCQ 的平分线垂直于 OA ，是否总存在实数，使得λuuur uuurPQ λAB ？请说明理由；yC解答过程：〔 1〕以 O 为原点， OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，那么A(2,0) ，OAxx 2 y 2 BQ设椭圆方程为1，不妨设 C 在 x 轴上方，P4b2uuur uuur uuur uuur uuur由椭圆的对称性， | BC | 2 | AC | 2 | OC | | AC | | OC | ，uuur uuur AC OC ，即 OCA 为等腰直角三角形，又 AC BC 0由 A(2,0) 得： C(1,1) ，代入椭圆方程得：b 24，3即，椭圆方程为x 23y 241；42λuuuruuurAB// PQ〕假设总存在实数λAB ，即 ，〔 ，使得 PQ由 C(1,1) 得 B( 1, 1) ，那么 kAB0 ( 1) 1 ，2 ( 1) 3假设设 CP ： y k(x 1) 1，那么 CQ ：yk(x 1) 1 ，x 23y 21(1 3k 2 )x 2 3k 2 由 44 6k(k 1)x 6k 10 ，y k(x 1) 1由 C(1,1)得 x1 是方程 (1 3k2 )x 2 6k(k 1)x 3k 2 6k 1 0 的一个根，由韦达定理得： x Px P 1 3k 2 6k 1 ，以 k 代 k 得 x Q 3k26k 1 ，1 3k2 1 3k 2故k PQ y P y Qk(x Px Q ) 2k1，故 AB// PQ ，x P x Qx Px Q3uuur uuur即总存在实数 λ，使得 PQ λAB .考点 10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例 18．设 G 、M 分别是 ABC 的重心和外心， A(0, a) ， B(0,a)(auuuur uuur0) ，且 GM AB ，〔 1〕求点 C 的轨迹方程；uuur uuur？〔 2〕是否存在直线 m ，使 m 过点 (a,0) 并且与点 C 的轨迹交于 P 、Q 两点，且 OP OQ 假设存在，求出直线 m 的方程；假设不存在，请说明理由. 解答过程：〔 1〕设 C(x, y) ，那么 G( x,y) ，uuuuruuur3 3因为 GMAB ，所以 GM// AB ，那么 M( x,0) ，3由 M 为 ABC 的外心，那么 |MA| | MC | ，即( x )2a2(xx) 2 y 2 ，33整理得：x 2 y 2 1(x0) ；3a2a2〔2〕假设直线 m 存在，设方程为y k(x a) ，y k(x a)由 x 2y 2 1(x得： (1 3k 2 )x 2 6k 2 ax 3a 2 (k 2 1)0 ，3a 2 a 20)设 P(x 1, y 1 ),Q(x 2 , y 2 ) ，那么x 1x 26k 2 a ，x 1x 23a 2 (k 2 1) ，1 3k2 1 3k 2y 1 y 2 k 2 (x 1 a)(x 2 a) k 2[x 1 x 2a(x 1 x 2 ) a 2] ＝2k 2a 2，1 3k 2uuur uuur0 得： x 1x 2 y 1y 2 0 ，由 OP OQ3a 2 (k 2 1)2k 2a 2 0 ，解之得 k3 ， 即1 3k21 3k2又点 (a,0) 在椭圆的内部，直线 m 过点 (a,0) ，故存在直线 m ，其方程为 y 3(xa) . 【专题训练与高考预测】 一、选择题1．如果双曲线经过点 (6, 3) ，且它的两条渐近线方程是y1x ，那么双曲线方程是〔〕3A ． x 2y 2 1B ． x 2y 21C ． x 2y 2 1D ． x 2y 2 136 981 9918 32．椭圆x 2y 2 1 和双曲线 x 2 y 21 有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方 5n 22m 2 3n 23m 2程为〔 〕A. x15 yB. y15 x C. x3 yD. y3 x42243．F, F为椭圆x 2 y 2的焦点， M 为椭圆上一点，MF12 a 2 b 2 1(a b 0)1 垂直于 x 轴，且 FMF 1 2 60 ，那么椭圆的离心率为〔 〕A.1B.2 C. 3D. 322324．二次曲线x 2y 2 1，当 m [ 2, 1] 时，该曲线的离心率 e 的取值范围是〔〕4mA. [ 2 , 3]B. [ 3 , 5]C.[ 5 , 6]D. [ 3 , 6 ]2 222 2 2 2 25．直线 m 的方程为 y kx1 ，双曲线 C 的方程为2 y 2 1，假设直线 m 与双曲线 C 的右支 x相交于不重合的两点，那么实数 k 的取值范围是〔 〕A. ( 2, 2)B. (1, 2)C.[ 2, 2)D.[1, 2)6．圆的方程为x 2 y 2 4 ，假设抛物线过点 A( 1,0) ， B(1,0) ，且以圆的切线为准线，那么抛物线的焦点的轨迹方程为〔 〕A. x 2 y 21(y0)B. x 2y 2 1(y 0)3 44 3C. x 2 y 2 1(x0)D. x 2y 2 1(x 0)344 3二、填空题7 ． 已 知 P 是 以 F 1 、 F 2 为 焦 点 的 椭 圆x 2y 21(a b 0) 上 一 点 ， 假设 PF 1 PF 2a 2b 2tan PF 1 F 21，那么椭圆的离心率为______________ .28． 椭圆 x 2 +2y 2=12，A 是 x 轴正方向上的一定点，假设过点 A ，斜率为 1 的直线被椭圆截得的弦长为4 13，点 A 的坐标是 ______________ .39．P 是椭圆x 2y 21 上的点， F 1, F2 是椭圆的左右焦点，设 | PF | | PF | k ，那么 k 的最大值4 3 1 2与最小值之差是 ______________ . 10．给出以下命题：①圆 (x2) 2 (y 1)2 1关于点 M(1,2) 对称的圆的方程是 (x 3) 2(y3)2 1 ；②双曲线 x2y 2 1 右支上一点 P 到左准线的距离为 18，那么该点到右焦点的距离为29 ；16 92③顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点( 4, 3) 的抛物线方程只能是y29x ；4④ P 、 Q 是椭圆 x 2 4y 216 上的两个动点， O 为原点，直线 OP,OQ 的斜率之积为1，那么4|OP |2 | OQ|2 等于定值 20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上 _________________ .三、解答题11．两点 A( 2,0)， B(2, 0) ，动点 P 在 y 轴上的射影为uuur uuur uuuur，Q ， PA PB2PQ 2〔 1〕求动点 P 的轨迹 E 的方程；〔 2〕设直线 m 过点 A ，斜率为 k ，当 0 k 1时，曲线 E 的上支上有且仅有一点 C 到直线 m 的距离为2 ，试求 k 的值及此时点 C 的坐标 .12．如图， F ( 3,0) ，F2 (3,0) 是双曲线 C 的两焦点，直线x 4是双曲线 C的右准线，A1, A21 3是双曲线 C 的两个顶点，点P 是双曲线 C 右支上异于A2 的一动点，直线 A 1 P 、 A 2P 交双曲线 C 的右准线分别于 M,N 两点，y〔1〕求双曲线 C 的方程；MP〔2〕求证：uuuur uuuur是定值 .F1 F 2 FM F N A 1 o A 2x1 2N13．uuur uuurOFQ 的面积为 S，且OF FQ 1 ，建立如下图坐标系，y〔1〕假设S 1 ，uuur2 ，求直线FQ的方程；Q | OF |2uuur，S 3c，假设以 O 为中心， F 为焦点的椭圆过点uuurF〔2〕设| OF | c(c 2) Q，求当| OQ |取ox4得最小值时的椭圆方程 .14．点H( 3,0) ，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M 在直线 PQ 上，且满足uuur uuur uuur 3 uuuurHP PM 0 ， PM MQ ，2〔1〕当点 P 在 y 轴上移动时，求点M 的轨迹 C；y〔2〕过点T( 1,0)作直线 m 与轨迹 C 交于 A、 B 两点，假设在 x 轴上存在一点PE(x 0 ,0) ，使得ABE 为等边三角形，求x0的值.o Q EHT M xAB15．椭圆x2 y 21(a b 0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M 向 x 轴a 2 b2作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与OM是共线向量．〔 1〕求椭圆的离心率e；〔 2〕设 Q 是椭圆上任意一点，F1、 F2分别是左、右焦点，求∠F1 QF2的取值范围；16．两点M〔 -1，0〕， N〔 1， 0〕且点 P 使MP MN , PM PN , NM NP 成公差小于零的等差数列，〔Ⅰ〕点 P 的轨迹是什么曲线？〔Ⅱ〕假设点P 坐标为 ( x 0 , y 0 ) ，为 PM 与 PN 的夹角，求tan θ ．【参考答案】一. 1． C .提示，设双曲线方程为 ( 1 1x y)，将点 (6, 3) 代入求出 即可 .x y)( 3 32 ． D . 因 为双 曲线的 焦点 在 x 轴上 ， 故椭 圆焦 点 为 ( 3m 22， 双 曲 线焦点 为5n ,0) ( 2m 23n 2 ,0) ， 由 3m 25n 2 2m 2 3n 2 得 | m | 2 2 | n | ， 所 以 ， 双 曲 线 的 渐 近 线 为y6 | n | 3x .2 | m |43．C .设 | MF 1 | d ，那么 | MF 2 |2d ，1 2|3d ，| FFe c 2c| FF 12 | d 3d 3 .a 2a |MF 1 | | MF 2 |2d3曲线为双曲线，且 51，应选 C ；或用 a 2 4 ， b 2m 来计算.4.C .25．B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6．B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义 .二.7． 解： 设 c 为为椭圆半焦距，∵PFPF 0 ，∴ PFPF.12122PF 2221 PF 1(2c) ∴又tan PF 1 F 2PF 2 2a2PF 1PF 2 1PF 12c 2 5c 5解得： ( a)9 ,ea3 ．选 D ．8． 解： 设 A 〔x ， 0〕〔 x ＞ 0〕，那么直线 l 的方程为 y=x-x ，设直线l 与椭圆相交于 P 〔 x ，1y 〕， Q 〔 x 、y 〕，由 y=x-x可得 3x 2 -4x x+2x2，1220 0 0x 2+2y 2=12x 1x 24x 0，x 1x 22x 02 12 ，那么33| x 1 x 2 | ( x 1 x 2 ) 24x 1 x 2 16x 0 2 8x 0 2 48 22．9336 2 x 03∴ 4 141 x2 | x 1x 2 |，即4 142236 2 x 02 ．333∴ x 02=4，又 x 0 ＞ 0，∴ x 0=2，∴ A 〔2， 0〕．9．1； k | PF 1 | | PF 2 | (a ex)(a ex) a 2 e 2x 2.10．②④ .uuuruuur( 2 x,y) ，三. 11．解〔 1〕 点 P 的坐 (x, y) ， 点 Q(0, y) ， PQ (x,0) ，PAuuur (2 x,uuur uuurx 2 2y 2 ， PB y) ， PA PBuuur uuuruuuur2 y 22x 2 ，因 PA PB2PQ2，所以 x 2即 点 P 的 迹方程 ： y 2 x 22 ；〔 2〕 直 m ： yk(x2)(0 k 1) ，依 意，点 C 在与直 m 平行，且与m 之 的距离2 的直 上，此直 m : y kxb ，由|2k b | 2 ，即 b 22 2kb 2 ，⋯⋯①1k21把 ykx b 代入 y 2 x 22 ，整理得： (k 2 1)x 2 2kbx (b 22) 0 ，4k 2b 24(k 2 1)(b 2 2) 0 ，即 b 2 2k 22 ，⋯⋯⋯⋯②由①②得： k25， b10 ， 55此 ，由方程y2 5 x1010).5 5C(2 2,y 2 x 2 212．解：〔 1〕依 意得： ca 24a 225 ，3 ，，所以， bc 3所求双曲C 的方程x 2 y 21 ；45〔2〕 P(x 0 , y 0 ) ， M(x 1 , y 1 ) ， N(x 2 , y 2 ) ， A 1 (2,0) ， A 2 (2,0) ，uuuur2,y uuuur(x2, y)， uuuur 10， uuuur2 ，A P (x) ，A P0 A 1M ( , y 1)A 2N ( , y 2 )1233uuuur uuuur(x 02)y 110y 0 ，y 110y 0，同理： y 22y 0 因 A 1P 与 A 1M 共 ，故3(x 03(x 0 ，32)2)uuuur 13 uuuur ( 5 2 )FM 1 ( , y 1 ) ，F 2 N , y ，3 3uuuuruuuur 656520y 0265 205(x 02 4)y 1y 2 ＝＝410.所以 FM 1F 2 N ＝9924) 99(x 0 9(x 024)uuuruuuruuur13．解：〔 1〕因 | OF | 2， F(2,0) ， OF (2,0)， Q(x 0 , y 0 ) ， FQ(x 0 2,y 0 ) ，uuur uuur 5 ， OF FQ 2(x 0 2) 1，解得 x 01 uuur12 151由 S|，得 y 0| OF | | y 0 | | y 02，故 Q( , ) ，22 2 2所以， PQ 所在直 方程y x 2 或 yx2 ；uuuruuur〔 2〕 Q(x 0 , y 0 ) ，因 | OF |c(c2)， FQ(x 0 c,y 0 )，uuur uuur 1由 OF FQ c(x 0 c) 1 得： x 0 c ，c又 S1c | y 0 |3c ， y 03 ，242Q(c1 3 uuur2 (c1 2 9，,) ，| OQ |)4c2uuurc3) ，易知，当 c2， | OQ | 最小，此 Q( 5,22方程x22a 2b 2 4210 ，y 1,(a b 0) ，259 ，解得 aa2b 21 b 264a 24b 2所以， 方程x 2y 2 1 .10614．解：〔 1〕 M(x,uuur3 uuuuryx，y) ，由 PMMQ 得： P(0,) ， Q(,0)uuur uuur223得： (3, y )(x, 3y ) 0 ，即 y 2 4x由 HP PM ，22由点 Q 在 x 的正半 上，故 x 0 ，即 点 M 的 迹 C 是以 (0,0) 点，以 (1,0)焦点的抛物 ，除去原点；〔2〕 m : yk(x 1)(k0) ，代入 y 2 4x 得：k 2x 2 2(k 2 2)x k 20 ⋯⋯⋯⋯①A(x 1 , y 1) ， B(x 2 , y 2 ) ， x 1 , x 2 是方程①的两个 根，x 1 x 22(k 22) ， x 1x 21，所以 段AB 的中点 (2 k2 , 2) ， k 2k 2k线段 AB 的垂直平分线方程为y21 2 k 2k(xk 2)，k令 y0 ，x 02 1，得E( 2 1,0)，k 2k 2因为 ABE 为正三角形，那么点E 到直线 AB 的距离等于3| AB | ，2又| AB|(x 1 x 2 )2(y 1 y2 )2＝41 k 2k 2，k 21所以，23 1 k 421 k 2，解得： k3， x 011 .k 2| k |2315．解：〔 1〕∵ F ( c,0), 那么 xMc, yMb 2 ，∴ k OMb 2 .1a ac∵ k ABb,OM 与 AB 是共线向量，∴b 2b，∴ b=c,故 e2 .aaca2〔 2〕设 FQr 1, F 2Q r 2 , F 1 QF 2,1r 1 r 2 2a, F 1 F 2 2c,cosr 12 r 22 4c 2(r 1 r 2 )2 2r 1r 2 4c 2a 2 1a 21 02r 1r 22r 1r 2r 1r 2( r 1 r 2 ) 22当且仅当 r 1r 2 时， cos θ =0，∴θ [ 0, ] .216． 解：〔Ⅰ〕记 P 〔 x,y 〕，由 M 〔 -1， 0〕N 〔1 ，0〕得uuuuruuur( 1 x, y), PN NP ( 1 x, y) ， MNNM (2,0) .PMMP 所以 MP MN2(1 x) . PM PN x 2 y 21， NM NP 2(1 x) .于是， MP MN , PM PN , NMNP 是公差小于零的等差数列等价于x 2 y 2 1 1 [2(1 x) 2(1 x)]即x 2y 23.2x 02(1 x) 2(1 x) 0所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心，3 为半径的右半圆 .〔Ⅱ〕点 P 的坐标为 ( x , y ) 。

数学解析几何经典例题~一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线x 22－y 21＝1的焦点坐标是( ) A ．(1,0)，(－1,0) B ．(0,1)，(0，－1)C ．(3，0)，(－3，0)D ．(0，3)，(0，－3)解析： c 2＝a 2＋b 2＝2＋1，∴c ＝ 3.∴焦点为(3，0)，(－3，0)，选C.答案： C2．“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线 x －ay ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析： 当a ＝1时，直线x ＋y ＝0与直线x －y ＝0垂直成立；当直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0垂直时，a ＝1.所以“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0与直线x －ay ＝0互相垂直”的充要条件．答案： C3．(2010·福建卷)以抛物线y 2＝4x 的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A ．x 2＋y 2＋2x ＝0B ．x 2＋y 2＋x ＝0C ．x 2＋y 2－x ＝0D ．x 2＋y 2－2x ＝0解析： 抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆心，且过坐标原点的圆的半径为r ＝12＋02＝1，所以圆的方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2－2x ＝0，故选D.答案： D4．方程mx 2＋y 2＝1所表示的所有可能的曲线是( )A ．椭圆、双曲线、圆B ．椭圆、双曲线、抛物线C ．两条直线、椭圆、圆、双曲线D ．两条直线、椭圆、圆、双曲线、抛物线解析： 当m ＝1时，方程为x 2＋y 2＝1，表示圆；当m <0时，方程为y 2－(－m )x 2＝1，表示双曲线；当m >0且m ≠1时，方程表示椭圆；当m ＝0时，方程表示两条直线．答案： C5．直线2x －y －2＝0绕它与y 轴的交点逆时针旋转π2所得的直线方程是( ) A ．－x ＋2y －4＝0 B ．x ＋2y －4＝0C ．－x ＋2y ＋4＝0D ．x ＋2y ＋4＝0解析： 由题意知所求直线与直线2x －y －2＝0垂直．又2x －y －2＝0与y 轴交点为(0，－2)．故所求直线方程为y ＋2＝－12(x －0)， 即x ＋2y ＋4＝0.答案： D6．直线x －2y －3＝0与圆C ：(x －2)2＋(y ＋3)2＝9交于E 、F 两点，则△ECF 的面积为( )A.32B.34C ．2 5 D.355解析： 圆心(2，－3)到EF 的距离d ＝|2＋6－3|5＝ 5. 又|EF |＝29－5＝4，∴S △ECF ＝12×4×5＝2 5. 答案： C 7．若点P (2,0)到双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的一条渐近线的距离为2，则该双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C ．2 2D ．2 3解析： 由于双曲线渐近线方程为bx ±ay ＝0，故点P 到直线的距离d ＝2b a 2＋b2＝2⇒a ＝b ，即双曲线为等轴双曲线，故其离心率e ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2＝ 2.答案： A8．过点M (1,2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝9分成两段弧，当其中的劣弧最短时，直线l 的方程是( )A ．x ＝1B ．y ＝1C ．x －y ＋1＝0D ．x －2y ＋3＝0解析： 由条件知M 点在圆内，故当劣弧最短时，l 应与圆心与M 点的连线垂直，设圆心为O ，则O (2,0)，∴k OM ＝2－01－2＝－2. ∴直线l 的斜率k ＝12， ∴l 的方程为y －2＝12(x －1)， 即x －2y ＋3＝0.答案： D9．已知a >b >0，e 1，e 2分别为圆锥曲线x 2a 2＋y 2b 2＝1和x 2a 2－y 2b2＝1的离心率，则lg e 1＋lg e 2的值( )A ．大于0且小于1B ．大于1C ．小于0D ．等于0解析： 由题意，得e 1＝a 2－b 2a ，e 2＝a 2＋b 2a (a >b >0)， ∴e 1e 2＝a 4－b 4a 2＝1－b 4a4<1， ∴lg e 1＋lg e 2＝lg(e 1e 2)＝lga 4－b 4a 2<0. 答案： C10．已知A (－3,8)和B (2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|AM |＋|BM |为最短，那么点M 的坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C.⎝⎛⎭⎫225，0D.⎝⎛⎭⎫0，225 解析： 点B (2,2)关于x 轴的对称点为B ′(2，－2)，连接AB ′，易求得直线AB ′的方程为2x ＋y －2＝0，它与x 轴交点M (1,0)即为所求．答案： B11．已知椭圆x 216＋y 29＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上．若P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为( )A.95B ．3 C.977 D.94解析： 设椭圆短轴的一个端点为M .由于a ＝4，b ＝3，∴c ＝7<b .∴∠F 1MF 2<90°，∴只能∠PF 1F 2＝90°或∠PF 2F 1＝90°.令x ＝±7得y 2＝9⎝⎛⎭⎫1－716＝9216， ∴|y |＝94. 即P 到x 轴的距离为94. 答案： D12．过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若AF →＝FB →，BA →·BC →＝48，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝4xC ．y 2＝16xD ．y 2＝42x解析： 由AF →＝FB →及|AF →|＝|AC →|知在Rt △ACB 中，∠CBF ＝30°，|DF |＝p 2＋p 2＝p ， ∴AC ＝2p ，BC ＝23p ，BA →·BC →＝4p ·23p ·cos 30°＝48，∴p ＝2. 抛物线方程为y 2＝4x .答案： B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上) 13．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 2－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为________． 解析： 双曲线x 2－y 23＝1的右焦点为(2,0)， 由题意，p 2＝2，∴p ＝4.答案： 414．两圆(x ＋1)2＋(y －1)2＝r 2和(x －2)2＋(y ＋2)2＝R 2相交于P 、Q 两点，若点P 坐标为(1,2)，则点Q 的坐标为______．解析： ∵两圆的圆心分别为(－1,1)，(2，－2)，∴两圆连心线的方程为y ＝－x .∵两圆的连心线垂直平分公共弦，∴P (1,2)，Q 关于直线y ＝－x 对称，∴Q (－2，－1)．答案： (－2，－1)15．设M 是椭圆x 24＋y 23＝1上的动点，A 1和A 2分别是椭圆的左、右顶点，则MA 1→·MA 2→的最小值等于________．解析： 设M (x 0，y 0)，则MA 1→＝(－2－x 0，－y 0)，MA 2→＝(2－x 0，－y 0)⇒MA 1→·MA 2→＝x 20＋y 20－4＝x 20＋⎝⎛⎭⎫3－34x 20－4＝14x 20－1， 显然当x 0＝0时，MA 1→·MA 2→取最小值为－1.答案： －116．已知双曲线x 216－y 29＝1的左、右焦点为F 1、F 2，P 是双曲线右支上一点，且PF 1的中点在y 轴上，则△PF 1F 2的面积为________．解析： 如图，设PF 1的中点为M ，则MO ∥PF 2，故∠PF 2F 1＝90°.∵a ＝4，b ＝3，c ＝5，∴|F 1F 2|＝10，|PF 1|＝8＋|PF 2|.由|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2得(8＋|PF 2|)2＝|PF 2|2＋100，∴|PF 2|＝94，S △PF 1F 2＝12·|F 1F 2|·|PF 2|＝454. 答案： 454三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)双曲线的两条渐近线方程为x ＋y ＝0和x －y ＝0，直线2x －y －3＝0与双曲线交于A ，B 两点，若|AB |＝5，求此双曲线的方程．解析： ∵双曲线渐近线为x ±y ＝0，∴双曲线为等轴双曲线．设双曲线方程为x 2－y 2＝m (m ≠0)，直线与双曲线的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －3＝0，x 2－y 2＝m ， 得3x 2－12x ＋m ＋9＝0，则x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝m ＋93. 又|AB |2＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(x 1－x 2)2＋[(2x 1－3)－(2x 2－3)]2＝(x 1－x 2)2＋4(x 1－x 2)2＝5(x 1－x 2)2＝5[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]， ∴(5)2＝5⎣⎢⎡⎦⎥⎤42－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋93， 解得m ＝94. 故双曲线的方程为x 2－y 2＝94. 18．(12分)已知圆C 的方程为(x －m )2＋(y ＋m －4)2＝2.(1)求圆心C 的轨迹方程；(2)当|OC |最小时，求圆C 的一般方程(O 为坐标原点)．解析： (1)设C (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ，y ＝4－m .消去m ，得y ＝4－x ，∴圆心C 的轨迹方程为x ＋y －4＝0.(2)当|OC |最小时，OC 与直线x ＋y －4＝0垂直，∴直线OC 的方程为x －y ＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，x －y ＝0，得x ＝y ＝2. 即|OC |最小时，圆心的坐标为(2,2)，∴m ＝2.圆C 的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝2.其一般方程为x 2＋y 2－4x －4y ＋6＝0.19．(12分)(盐城市三星级高中20XX 届第一次联考)已知圆C 1的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝203，椭圆C 2的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，且C 2的离心率为22，如果C 1、C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰好为C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程．解析： 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．A 、B 在椭圆上，∴b 2x 21＋a 2y 21＝a 2b 2，b 2x 22＋a 2y 22＝a 2b 2. ∴b 2(x 2＋x 1)(x 2－x 1)＋a 2(y 2＋y 1)(y 2－y 1)＝0.又线段AB 的中点是圆的圆心(2,1)，∴x 2＋x 1＝4，y 2＋y 1＝2，∴k AB ＝－b 2(x 2＋x 1)a 2(y 2＋y 1)＝－2b 2a 2， 椭圆的离心率为22，∴b 2a 2＝1－e 2＝12， k AB ＝－2b 2a2＝－1， 直线AB 的方程为y －1＝－1(x －2)，即x ＋y －3＝0.由(x －2)2＋(y －1)2＝203和x ＋y －3＝0得 A ⎝⎛⎭⎫2＋103，1－103. 代入椭圆方程得：a 2＝16，b 2＝8，∴椭圆方程为：x 216＋y 28＝1. 20．(12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e . (1)若半焦距c ＝22，且23、e 、43成等比数列，求椭圆C 的方程； (2)在(1)的条件下，直线l ：y ＝ex ＋a 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，P 是直线l 与椭圆C 的一个交点，且M P →＝λMN →，求λ的值；(3)若不考虑(1)，在(2)中，求证：λ＝1－e 2.【解析方法代码108001121】解析： (1)∵e 2＝23×43，∴e ＝223， ∴a ＝3，b ＝1，∴椭圆C 的方程为x 29＋y 2＝1. (2)设P (x ，y )，则⎩⎨⎧ y ＝223x ＋3x 29＋y 2＝1，解得P ⎝⎛⎭⎫－22，13. ∵M ⎝⎛⎭⎫－924，0，N (0,3)，M P →＝λMN →， ∴λ＝19. (3)证明：∵M 、N 的坐标分别为M ⎝⎛⎭⎫－a e ，0，N (0，a )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ex ＋ax 2a 2＋y 2b 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－cy ＝b 2a (其中c ＝a 2－b 2)，∴P ⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a . 由M P →＝λMN →得⎝⎛⎭⎫－c ＋a e ，b 2a ＝λ⎝⎛⎭⎫a e ，a ， ∴⎩⎨⎧ a e －c ＝λ·a eb 2a ＝λa ，∴ λ＝1－e 2. 21．(12分)设椭圆C ：x 2a 2＋y 22＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，A 是椭圆C 上的一点，且AF 2→·F 1F 2→＝0，坐标原点O 到直线AF 1的距离为13|OF 1|. (1)求椭圆C 的方程；(2)设Q 是椭圆C 上的一点，过Q 的直线l 交x 轴于点P (－1，0)，交y 轴于点M ，若M Q →＝2QP →，求直线l 的方程．解析： (1)由题设知F 1(－a 2－2，0)，F 2(a 2－2，0)，由于AF 2→·F 1F 2→＝0，则有AF 2→⊥F 1F 2→，所以点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 2－2，±2a ， 故AF 1所在直线方程为y ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫x a a 2－2＋1a ， 所以坐标原点O 到直线AF 1的距离为a 2－2a 2－1(a >2)， 又|OF 1|＝a 2－2，所以a 2－2a 2－1＝13a 2－2，解得a ＝2(a >2)，所求椭圆的方程为x 24＋y 22＝1. (2)由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，则有M (0，k )，设Q (x 1，y 1)，由于M Q →＝2QP →，∴(x 1，y 1－k )＝2(－1－x 1，－y 1)，解得x 1＝－23，y 1＝k 3. 又Q 在椭圆C 上，得⎝⎛⎭⎫－2324＋⎝⎛⎭⎫k 322＝1， 解得k ＝±4，故直线l 的方程为y ＝4(x ＋1)或y ＝－4(x ＋1)，即4x －y ＋4＝0或4x ＋y ＋4＝0.22．(14分)已知椭圆y 2a 2＋x 2b 2＝1的一个焦点为F (0,22)，与两坐标轴正半轴分别交于A ，B 两点(如图)，向量A B →与向量m ＝(－1，2)共线．(1)求椭圆的方程；(2)若斜率为k 的直线过点C (0,2)，且与椭圆交于P ，Q 两点，求△POC 与△QOC 面积之比的取值范围．【解析方法代码108001122】解析： (1)y 216＋x 28＝1. (2)设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，且x 1<0，x 2>0.PQ 方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程并消去y ，得(2＋k 2)x 2＋4kx －12＝0，x 1＋x 2＝－4k 2＋k 2，① x 1x 2＝－122＋k 2.② 设S △QOC S △POC ＝|x 2||x 1|＝－x 2x 1＝λ，结合①②得 (1－λ)x 1＝－4k 2＋k 2，λx 21＝122＋k 2. 消去x 1得λ(1－λ)2＝34⎝⎛⎭⎫1＋2k 2>34，解不等式λ(1－λ)2>34，得13<λ<3. ∴△POC 与△QOC 面积之比的取值范围为⎝⎛⎭⎫13，3.。