2005年高考数学(江苏卷)试题及答案

2005年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）第一卷（选择题共60分）参考公式：三角函数的和差化积公式sin sin 2sin cos sin sin 2cos sin 2222cos cos 2cos cos cos cos 2sin sin 2222αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+-+=-=+-+-+=-=-若事件A 在一次试验中发生的概率是p ，则它在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()(1)k k n k n n P k C p p -=-一组数据12,,,n x x x 的方差2222121()()()n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ 其中x 为这组数据的平均数值一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的。

（1） 设集合A={1,2}，B={1,2,3}，C={2,3,4}，则()A B C ⋂⋃=（A ）{1,2,3} （B ）{1,2,4} （C ）{2,3,4} （D ）{1,2,3,4}（2） 函数123()x y x R -=+∈的反函数的解析表达式为（A ）22log 3y x =- （B ）23log 2x y -= （C ）23log 2x y -= （D ）22log 3y x =- （3） 在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝（A ）33 （B ）72 （C ）84 （D ）189（4） 在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1则点A 到平面A 1BC 的距离为（A）4 （B）2 （C）4（D（5） △ABC 中，,3,3A BC π==则△ABC 的周长为 （A）)33B π++ （B）)36B π++ （C ）6sin()33B π++ （D ）6sin()36B π++（6） 抛物线y=4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（A ）1716 （B ）1516 （C ）78（D ）0 （7） 在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为（A ）9.4, 0.484 （B ）9.4, 0.016 （C ）9.5, 0.04 （D ）9.5, 0.016（8） 设,,αβγ为两两不重合的平面，l ,m ,n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,αγβγ⊥⊥则α∥β；②若,,m n m αα⊂⊂∥,n β∥,β则α∥β；③若α∥,,l βα⊂则l ∥β；④若,,,l m n l αββγγα⋂=⋂=⋂=∥,γ则m ∥n .其中真命题的个数是（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（9） 设k=1,2,3,4,5,则（x +2）5的展开式中x k 的系数不可能是（A ）10 （B ）40 （C ）50 （D ）80（10） 若1sin(),63πα-=则2cos(2)3πα+= （A ）79- （B ）13- （C ）13 （D ）79 （11） 点P （-3,1）在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上.过点P 且方向为a =(2,-5)的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（A ）3 （B ）13 (C)2 （D ）12（12） 四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（A ）96 （B ）48 （C ）24 （D ）0参考答案：DACBD CDBCA AB第二卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分。

2005年高考数学江苏卷试题及答案一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,12.函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ） A ．32log 2-=x y B ．23log 2-=x y C ．23log 2x y -= D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A1的距离为（ ） A ．43 B ．23 C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ）A ．33sin 34+⎪⎭⎫⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ） A ．1617 B ．1615 C ．87 D ．07.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.9 8.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||；③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βα ，m =γβ ，n =αγ ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中kx 的系数不可能是 （ ） A ．10 B ．40 C ．50 D ．80 10.若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ ）A ．97-B ．31-C ．31D ．9711.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22D ．2112.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0 二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置13.命题“若b a >，则122->ba ”的否命题为__________14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________16.若[)1,,618.03+∈=k k a a ，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(+∙的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率； ⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合； ⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立005年高考数学江苏卷试题及答案参考答案(1)D (2)A (3)C (4)B (5)D (6)B (7)D (8)B (9)C (10)A (11)A (12)B（13）若b a >，则122->ba （14）014=--y x（15）]1,43()0,41[ -（16）-1 （17）2 （18）-2 （19）以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0），由已知PN 2PM =，得222PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）（20）（Ⅰ）记“甲连续射击4次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击4次，相当于4次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-4)32(81答：甲射击4次，至少1次未击中目标的概率为8165； (Ⅱ) 记“甲射击4次，恰好击中目标2次”为事件A 2，“乙射击4次，恰好击中目标3次”为事件B 2，则278)321()32()(242242=-=-C A P ，6427)431()43()(143342=-=-C B P ，由于甲、乙设计相互独立，故86427278)()()(2222=⋅==B P A P B A P 答：两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率为81； （Ⅲ）记“乙恰好射击5次后，被中止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击为击中” 为事件D i ，（i=1，2，3，4，5），则A 3=D 5D 4)(123D D D ，且P （D i ）=41，由于各事件相互独立，故P （A 3）= P （D 5）P （D 4）P （)(123D D D ）=41×41×43×（1-41×41）=102445，答：乙恰好射击51024（21）（Ⅰ）连结BE ，延长BC 、ED 交于点F ，则∠DCF=∠CDF=600，∴△CDF 为正三角形，∴CF=DF又BC=DE ，∴BF=EF 因此，△BFE 为正三角形，∴∠FBE=∠FCD=600，∴BE//CD所以∠SBE （或其补角）就是异面直线CD 与SB 所成的角 ∵SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，∴SB=22，同理SE=22，又∠BAE=1200，所以BE=32，从而，cos ∠SBE=46， ∴∠46 所以异面直线CD 与SB 所成的角是46 (Ⅱ) 由题意，△ABE 为等腰三角形，∠BAE=1200，∴∠ABE=300，又∠FBE =600，∴∠ABC=900，∴BC ⊥BA∵SA ⊥底面ABCDE ，BC ⊂底面ABCDE ， ∴SA ⊥BC ，又SA BA=A ，∴BC ⊥平面SAB（Ⅲ）二面角B-SC-D 的大小8282arccos-π（22）（Ⅰ）由题意，|2|)(2-=x x x f当2<x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得0=x 或1=x ；当2≥x 时，由x x x x f =-=)2()(2，解得1+=x 综上，所求解集为}21,1,0{+ (Ⅱ)设此最小值为①当1≤a 时，在区间[1，2]上，23)(ax x x f -=，因为0)32(323)('2>-=-=a x x ax x x f ，)2,1(∈x ， 则)(x f 是区间[1，2]上的增函数，所以f m -==1)1(②当21≤<a 时，在区间[1，2]上，0||)(2≥-=a x x x f ，由0)(=a f 知)(==a f m③当2>a 时，在区间[1，2]上，32)(x ax x f -=)32(332)('2x a x x ax x f -=-=若3≥a ，在区间（1，2）上，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，2]上的增函数， 所以1)1(-==a f m 若32<<a ，则2321<<a 当a x 321<<时，0)('>x f ，则)(x f 是区间[1，a 32]上的增函数， 当232<<x a 时，0)('<x f ，则)(x f 是区间[a 32，2]上的减函数， 因此当32<<a 时，1)1(-==a f m 或)2(4)2(-==a f m当372≤<a 时，1)2(4-≤-a a ，故)2(4)2(-==a f m ， 当337<<a 时，1)2(4-<-a a ，故1)1(-==a f m 总上所述，所求函数的最小值⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤<-≤<≤-=37172)2(421011a a a a a a a m（23）（Ⅰ）由已知，得111==a S ，7212=+=a a S ，183213=++=a a a S 由B An S n S n n n +=+--+)25()85(1，知⎩⎨⎧+=-+=--BA S SB A S S 2122732312，即⎩⎨⎧-+-=+48228B A B A 解得8,20-=-=B A .(Ⅱ) 由（Ⅰ）得820)25()85(1--=+--+n S n S n n n ① 所以 2820)75()35(12--=+--++n S n S n n n ②②-①得 20)25()110()35(12-=++---++n n n S n S n S n ③ 所以 20)75()910()25(123-=+++-++++n n n S n S n S n ④ ④-③得 )25()615()615()25(123=+-+++-++++n n n n S n S n S n S n因为 n n n S S a -=++11所以 0)75()410()25(123=+++-++++n n n a n a n a n 因为 0)25(≠+n所以 02123=+-+++n n n a a a所以 1223++++-=-n n n n a a a a ，1≥n 又 51223=-=-a a a a 所以数列}{n a 为等差数列（Ⅲ）由(Ⅱ) 可知，45)1(51-=-+=n n a n ， 要证15>-n m mn a a a只要证 n m n m mn a a a a a 215++>， 因为 45-=mn a mn ，16)(2025)45)(45(++-=--=n m mn n m a a n m ，故只要证 >-)45(5mn n m a a n m mn 216)(20251+++-+， 即只要证 n m a a n m 2372020>-+，因为 372020)291515(8558552-+=-++-+<-+=+≤n m n m n m n m a a a a n m n m 所以命题得证。

2005年全国统一高考数学试卷ⅰ（理）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i2．（5分）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）3．（5分）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．4．（5分）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．5．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．6．（5分）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．7．（5分）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．8．（5分）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．9．（5分）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）10．（5分）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．311．（5分）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③12．（5分）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m=．（lg2≈0.3010）14．（4分）的展开式中，常数项为．（用数字作答）15．（4分）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=度．16．（4分）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为．（写出所有正确结论的编号）三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．18．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．19．（12分）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．20．（12分）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）21．（14分）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．22．（12分）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．2005年河北省高考数学试卷Ⅰ（理）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）（2005•安徽）复数=（）A．﹣i B．i C．2﹣i D．﹣2+i【分析】两个复数相除，分子、分母同时乘以分母的共轭复数，复数的乘法按多项式乘以多项式的方法进行．【解答】解：复数====i，故选B．2．（5分）（2005•安徽）设I为全集，S1、S2、S3是I的三个非空子集，且S1∪S2∪S3=I，则下面论断正确的是（）A．∁I S1∩（S2∪S3）=∅B．S1⊆（∁I S2∩∁I S3）C．∁I S1∩∁I S2∩∁I S3=∅ D．S1⊆（∁I S2∪∁I S3）【分析】根据公式C U（A∩B）=（C U A）∪（C U B），C U（A∪B）=（C U A）∩（C U B），容易判断．【解答】解：∵S1∪S2∪S3=I，∴C I S1∩C I S2∩C I S3）=C I（S1∪S2∪S3）=C I I=∅．故答案选C．3．（5分）（2008•湖北）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A．B． C．D．【分析】做该题需要将球转换成圆，再利用圆的性质，获得球的半径，解出该题即可．【解答】解：截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知，故选B．4．（5分）（2005•安徽）已知直线l过点（﹣2，0），当直线l与圆x2+y2=2x 有两个交点时，其斜率k的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】圆心到直线的距离小于半径即可求出k的范围．【解答】解：直线l为kx﹣y+2k=0，又直线l与圆x2+y2=2x有两个交点故∴故选C．5．（5分）（2005•安徽）如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF=2，则该多面体的体积为（）A． B． C．D．【分析】该几何体是一个三棱柱截取两个四棱锥，体积相减即为该多面体的体积．【解答】解：一个完整的三棱柱的图象为：棱柱的高为2；底面三角形的底为1，高为：，其体积为：；割去的四棱锥体积为：，所以，几何体的体积为：，故选A．6．（5分）（2005•安徽）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条准线与抛物线y2=﹣6x的准线重合，则该双曲线的离心率为（）A． B．C． D．【分析】先根据抛物线和双曲线方程求出各自的准线方程，然后让二者相等即可求得a，进而根据c=求得c，双曲线的离心率可得．【解答】解：双曲线的准线为抛物线y2=﹣6x的准线为因为两准线重合，故=，a2=3，∴c==2∴该双曲线的离心率为=故选D7．（5分）（2005•安徽）当0＜x＜时，函数的最小值为（）A．2 B．C．4 D．【分析】利用二倍角公式化简整理后，分子分母同时除以cosx，转化成关于tanx的函数解析式，进而利用x的范围确定tanx＞0，最后利用均值不等式求得函数的最小值．【解答】解：=．∵0＜x＜，∴tanx＞0．∴．当时，f（x）min=4．故选C．8．（5分）（2005•安徽）设b＞0，二次函数y=ax2+bx+a2﹣1的图象为下列之一，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．D．【分析】根据题中条件可先排除前两个图形，然后根据后两个图象都经过原点可求出a的两个值，再根据抛物线的开口方向就可确定a的值【解答】解：∵b＞0∴抛物线对称轴不能为y轴，∴可排除掉前两个图象．∵剩下两个图象都经过原点，∴a2﹣1=0，∴a=±1．∵当a=1时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左方，∴第四个图象也不对，∴a=﹣1，故选B．9．（5分）（2005•安徽）设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），则使f（x）＜0的x的取值范围是（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，log a3）D．（log a3，+∞）【分析】结合对数函数、指数函数的性质和复合函数的单调性可知：当0＜a＜1，log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0时，有a2x﹣2a x﹣2＞1，解可得答案．【解答】解：设0＜a＜1，函数f（x）=log a（a2x﹣2a x﹣2），若f（x）＜0则log a（a2x﹣2a x﹣2）＜0，∴a2x﹣2a x﹣2＞1∴（a x﹣3）（a x+1）＞0∴a x﹣3＞0，∴x＜log a3，故选C．10．（5分）（2005•安徽）在直角坐标平面上，不等式组所表示的平面区域面积为（）A． B．C．D．3【分析】先依据不等式组，结合二元一次不等式（组）与平面区域的关系画出其表示的平面区域，再利用三角形的面积公式计算即可．【解答】解：原不等式组可化为：或画出它们表示的可行域，如图所示．可解得A（，﹣），C（﹣1，﹣2），B（0，1）原不等式组表示的平面区域是一个三角形，其面积S△ABC=×（2×1+2×）=，故选C．11．（5分）（2005•安徽）在△ABC中，已知tan=sinC，给出以下四个论断：①tanA•cotB=1，②1＜sinA+sinB≤，③sin2A+cos2B=1，④cos2A+cos2B=sin2C，其中正确的是（）A．①③B．②④C．①④D．②③【分析】先利用同角三角函数的基本关系和二倍角公式化简整理题设等式求得cos=进而求得A+B=90°进而求得①tanA•cotB=tanA•tanA等式不一定成立，排除；②利用两角和公式化简，利用正弦函数的性质求得其范围符合，②正确；③sin2A+cos2B=2sin2A不一定等于1，排除③；④利用同角三角函数的基本关系可知cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，进而根据C=90°可知sinC=1，进而可知二者相等．④正确．【解答】解：∵tan=sinC∴=2sin cos整理求得cos（A+B）=0∴A+B=90°．∴tanA•cotB=tanA•tanA不一定等于1，①不正确．∴sinA+sinB=sinA+cosA=sin（A+45°）45°＜A+45°＜135°，＜sin（A+45°）≤1，∴1＜sinA+sinB≤，所以②正确cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1，sin2C=sin290°=1，所以cos2A+cos2B=sin2C．所以④正确．sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1不一定成立，故③不正确．综上知②④正确故选B．12．（5分）（2005•安徽）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有（）A．18对B．24对C．30对D．36对【分析】直接解答，看下底面上的一条边的异面直线的条数，类推到上底面的边；再求侧面上的异面直线的对数；即可．【解答】解：三棱柱的底面三角形的一条边与侧面之间的线段有3条异面直线，这样3条底边一共有9对，上下底面共有18对．上下两个底边三角形就有6对；侧面之间的一条侧棱有6对，侧面面对角线之间有6对．加在一起就是36对．（其中棱对应的两条是体对角线和对面的面与其不平行的另一条对角线）．故选D．二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13．（4分）（2005•安徽）若正整数m满足10m﹣1＜2512＜10m，则m= 155．（lg2≈0.3010）【分析】利用题中提示lg2≈0.3010，把不等式同时取以10为底的对数，再利用对数的运算性质，转化为关于m的不等式求解即可．【解答】解：∵10m﹣1＜2512＜10m，取以10为底的对数得lg10m﹣1＜lg2512＜lg10m，即m﹣1＜512×lg2＜m又∵lg2≈0.3010∴m﹣1＜154.112＜m，因为m是正整数，所以m=155故答案为155．14．（4分）（2005•安徽）的展开式中，常数项为672．（用数字作答）=C n r a n﹣r b r求出通项，进行指【分析】利用二项式定理的通项公式T r+1数幂运算后令x的指数幂为0解出r=6，由组合数运算即可求出答案．=C9r（2x）9﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r x9【解答】解：由通项公式得T r+1﹣r=（﹣1）r29﹣r C9r，令9﹣=0得r=6，所以常数项为（﹣1）623C96=8C93=8×=672故答案为67215．（4分）（2005•山西）如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠ABC=50°，∠ACB=80°，则∠BOC=115度．【分析】由三角形内切定义可知：OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线；再利用角平分线的定义可知∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB），代入数值即可求答案．【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（50°+80°）=65°，∴∠BOC=180°﹣65°=115°．故答案为：115°．16．（4分）（2005•安徽）在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则：①四边形BFD′E一定是平行四边形；②四边形BFD′E有可能是正方形；③四边形B FD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．以上结论正确的为①③④．（写出所有正确结论的编号）【分析】由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．【解答】解：①：∵平面AB′∥平面DC′，平面BFD′E∩平面AB′=EB，平面BFD′E∩平面DC′=D′F，∴EB∥D′F，同理可证：D′E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF⊂平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．故答案为：①③④三、解答题（共6小题，17~20、22题每题12分，21题14分，满分74分）17．（12分）（2005•山西）设函数f（x）=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜0），y=f（x）图象的一条对称轴是直线．（Ⅰ）求φ，并指出y=f（x）由y=sin2x作怎样变换所得．（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间；（Ⅲ）画出函数y=f（x）在区间[0，π]上的图象．【分析】（I）由图象的一条对称轴是直线，从而可得，解的∅，根据平移法则判断平移量及平移方向（II）令，解x的范围即为所要找的单调增区间（III）利用“五点作图法”做出函数的图象【解答】解：（Ⅰ）∵x=是函数y=f（x）的图象的对称轴，∴，∴，k∈Z．∵．由y=sin2x向右平移得到．（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知ϕ=﹣，因此y=．由题意得，k∈Z．所以函数的单调增区间为，k∈Z．（3分）（Ⅲ）由知x 0 πy ﹣﹣1 0 1 0 ﹣故函数y=f（x）在区间[0，π]上图象是（4分）18．（12分）（2005•安徽）已知四棱锥P﹣ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1，AB=2，M 是PB的中点．（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小．【分析】法一：（Ⅰ）证明面PAD⊥面PCD，只需证明面PCD内的直线CD，垂直平面PAD内的两条相交直线AD、PD即可；（Ⅱ）过点B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC与PB所成的角，解直角三角形PEB求AC与PB所成的角；（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足为N，连接BN，说明∠ANB为所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC与面BMC所成二面角的大小．法二：以A为坐标原点AD长为单位长度，建立空间直角坐标系，（Ⅰ）求出，计算，推出AP⊥DC．，然后证明CD垂直平面PAD，即可证明面PAD⊥面PCD；（Ⅱ），计算．即可求得结果．（Ⅲ）在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，说明∠ANB 为所求二面角的平面角．求出，计算即可取得结果．【解答】法一：（Ⅰ）证明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，∴由三垂线定理得：CD⊥PD．因而，CD与面PAD内两条相交直线AD，PD都垂直，∴CD⊥面PAD．又CD⊂面PCD，∴面PAD⊥面PCD．（Ⅱ）解：过点B作BE∥CA，且BE=CA，则∠PBE是AC与PB所成的角．连接AE，可知AC=CB=BE=AE=，又AB=2，所以四边形ACBE为正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=，∴．∴AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足为N，连接BN．在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，∴△AMC≌△BMC，∴BN⊥CM，故∠ANB为所求二面角的平面角∵CB⊥AC，由三垂线定理，得CB⊥PC，在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．在等腰三角形AMC中，AN•MC=，∴．∴AB=2，∴故所求的二面角为．法二：因为PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A为坐标原点AD长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0），P（0，0，1），M（Ⅰ）证明：因为，故，所以AP⊥DC．又由题设知AD⊥DC，且AP与AD是平面PAD内的两条相交直线，由此得DC⊥面PAD．又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD（Ⅱ）解：因，故=，所以由此得AC与PB所成的角为．（Ⅲ）解：在MC上取一点N（x，y，z），则存在使，，∴x=1﹣λ，y=1，z=λ．要使AN⊥MC，只需即，解得．可知当时，N点坐标为，能使．，有由得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB为所求二面角的平面角．∵，∴．故所求的二面角为arccos．19．（12分）（2005•安徽）设等比数列{a n}的公比为q，前n项和S n ＞0（n=1，2，…）．（Ⅰ）求q的取值范围；（Ⅱ）设，记{b n}的前n项和为T n，试比较S n与T n 的大小．【分析】（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1），根据S1＞0可知a1大于零，当q不等于1时，根据等比数列前n项和公式，进而可推知1﹣q n＞0且1﹣q＞0，或1﹣q n＜0且1﹣q＜0，进而求得q的范围，当q=1时仍满足条件，进而得到答案．（Ⅱ）把a n的通项公式代入，可得a n和b n的关系，进而可知T n和S n的关系，再根据（1）中q的范围来判断S n与T n的大小．【解答】解：（Ⅰ）设等比数列通式a n=a1q（n﹣1）根据S n＞0，显然a1＞0，当q不等于1时，前n项和s n=所以＞0 所以﹣1＜q＜0或0＜q＜1或q＞1当q=1时仍满足条件综上q＞0或﹣1＜q＜0（Ⅱ）∵∴b n==a n q2﹣a n q=a n（2q2﹣3q）∴T n=（2q2﹣3q）S n∴T n﹣S n=S n（2q2﹣3q﹣2）=S n（q﹣2）（2q+1）又因为S n＞0，且﹣1＜q＜0或q＞0，所以，当﹣1＜q＜﹣或q＞2时，T n﹣S n＞0，即T n＞S n；当﹣＜q＜2且q≠0时，T n﹣S n＜0，即T n＜S n；当q=﹣，或q=2时，T n﹣S n=0，即T n=S n．20．（12分）（2005•安徽）9粒种子分种在3个坑内，每坑3粒，每粒种子发芽的概率为0.5，若一个坑内至少有1粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．假定每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，用ξ表示补种费用，写出ξ的分布列并求ξ的数学期望．（精确到0.01）【分析】首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率，由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元，得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，根据独立重复试验得到概率的分布列．【解答】解：首先根据独立重复试验的概率公式计算出一个坑不需要补种的概率p=1﹣C330.53=0.875由题意知一共种了3个坑，每个坑至多补种一次，每补种1个坑需10元得到变量ξ的可能取值是0，10，20，30，ξ=0，表示没有坑需要补种，根据独立重复试验得到概率P（ξ=0）=C330.8753=0.670P（ξ=10）=C320.8752×0.125=0.287P（ξ=20）=C31×0.875×0.1252=0.041P（ξ=30）=0.1253=0.002∴变量的分布列是ξ0 10 20 30P0.670 0.287 0.041 0.002∴ξ的数学期望为：Eξ=0×0.670+10×0.287+20×0.041+30×0.002=3.7521．（14分）（2005•安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，﹣1）共线．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设M为椭圆上任意一点，且=λ+μ（λ，μ∈R），证明λ2+μ2为定值．【分析】（Ⅰ）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（Ⅱ）用向量运算将λμ用坐标表示，再用坐标的关系求出λ2+μ2的值．【解答】解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=x﹣c，代入，化简得（a2+b2）x2﹣2a2cx+a2c2﹣a2b2=0．令A（x1，y1），B（x2，y2），则．∵与共线，∴3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1﹣c，y2=x2﹣c，∴3（x1+x2﹣2c）+（x1+x2）=0，∴．即，所以a2=3b2．∴，故离心率．（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2．设M（x，y），由已知得（x，y）=λ（x1，y1）+μ（x2，y2），∴∵M（x，y）在椭圆上，∴（λx1+μx2）2+3（λy1+μy2）2=3b2．即λ2（x12+3y12）+μ2（x22+3y22）+2λμ（x1x2+3y1y2）=3b2．①由（1）知．∴，∴x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1﹣c）（x2﹣c）=4x1x2﹣3（x1+x2）c+3c2==0．又x12+3y12=3b2，x22+3y22=3b2，代入①得λ2+μ2=1．故λ2+μ2为定值，定值为1．22．（12分）（2005•安徽）为了了解某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩，从中抽取了部分学生的竞赛成绩（均为整数），整理后绘制成如下的频数分布直方图（如图），请结合图形解答下列问题．（1）指出这个问题中的总体；（2）求竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率；（3）如果竞赛成绩在90分以上（含90分）的同学可获得奖励，请估计全校约有多少人获得奖励．【分析】（1）根据总体的概念：所要考查的对象的全体即总体进行回答；（2）根据频率=频数÷总数进行计算；（3）首先计算样本中的频率，再进一步估计总体．【解答】解：（1）总体是某校2000名学生参加环保知识竞赛的成绩．（2），答：竞赛成绩在79.5～89.5这一小组的频率为0.25．（3），答：估计全校约有300人获得奖励．。

2006年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，选择一个符合题目要求的选项。

1．定义集合运算：{|(),,}A B z z xy x y x A y B ==+∈∈ ，设集合{0,1},{2,3}A B ==，则集合A B 的所有元素之和为 （A ）0 （B ）6 （C ）12 （D ）18 2．函数1(01)x y a a =+<<的反函数的图象大致是23log (1) 2x x -≥⎪⎩（A ）(1,2)(3,)+∞ （B ）)+∞（C ）(1,2))+∞ （D ）(1,2)4．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知,13A a b π===，则c =（A ）1 （B ）2 （C 1 （D 5．设向量a =（1,-3），b =（-2,4），c =（-1,-2），若表示向量4a 、4b -2c 、2（a -c ）、d 的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d 为 （A ）（2,6） （B ）（-2,6） （C ）（2,-6） （D ）（-2,-6） 6．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为 （A ）-1 （B ）0 （C ）1 （D ）2 71，则该椭圆的离心离为（A（B ）（C ）12（D 8．设221:200,:0||2x p x x q x ---><-，则p 是q 的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件9．已知集合{5},{1,2},{1,3,4}A B C ===，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为 （A ） 33 （B ） 34 （C ） 35 （D ） 3610．已知2(n x -的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式中常数项是 （A ）45i - （B ）45i （C ）45- （D ）4511．某公司招收男职员x 名，女职员y 名，x 和y 须满足约束条件51122239211x y x y x -≥-⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则1010z x y =+的最大值是 （A ）80 （B ）85 （C ）90 （D ）95 12．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P －DCE 的外接球的体积为（A （B （C （DAC D A 1B 1C 1D 1第Ⅱ卷 （共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，答案须填在题中横线上。

a (A)(B) (C)(D) 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81 B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[||||(+∞∈+=λλAC AB OA OP 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为],0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题 ①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）D EKBC 1A 1B 1 A F CG 18．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分 解：由),()(,)(x f x f x f =-得是偶函数.0cos ,0,sin cos sin cos ),sin()sin(=>=-+=+-ϕωωϕωϕϕωϕω所以得且都成立对任意所以即x xx x x.232,;]2,0[)2sin()(,310,0;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0.,2,1,0),12(32,,3,2,1,243,0,043cos ,43cos )243sin()43(,43cos )243sin()43(,0),43()43(,)(.2,0==+==≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=∴=+==+-=-=≤≤ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππωππωπππππϕπϕ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设x x f k x x f k x x f k k k k k f f x x f x f M x f 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AED A V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED⋅=⋅∆∆1.2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .362.36226221的距离为到平面即AED A h =⨯=∴解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平ABD 所成的角.则A(2a ,0,0),B(0,2a ,0),D(0,0,1).37arccos .372131323/14||||cos ).31,34,32(),2,2,2(.1.03232).1,2,0(),32,3,3().31,32,32(),1,,(),2,0,2(1111121所成角是与平面解得ABD B A BG BA BG A BG BA a a BD GE a BD a a CE a a G a a E a A =⋅=∠∴-=-=∴==+-=⋅∴-==∴（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,,0)0,1,1()2,0,0(,0)0,1,1()1,1,1(11AED ED E AA ED ED AA ED AE 平面又平面⊂⊥∴=--⋅=⋅=--⋅-=⋅（Ⅰ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （Ⅱ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121()2,2121(22a a F a a E ---和 （Ⅲ）当,22时>a 方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0())21(21,0(22---+a a F a a E 和为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k k n x a --)(， 所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C（Ⅱ）对函数n n n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>-即对任意).()1()1(,1n f n n f a n n n '+>+'≥+（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa a Q a a a P a a Q ⋅⋅++- ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n a a a a a a a ， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k ka a a a a a a1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k ka a a a a a a a an k kk 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe yx e +=∈+∞-a(A) (B) (C) (D)（C ）1,(,0)1x xe y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x a x b x c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦ （9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

(A) {1,2} (B) {0,1,2} (C){x|0 ≤x<3} (D) {x|0 ≤x ≤3}(C) { x －1≤ x ≤1}(D) { x －1≤ x <1}3. （ 2010辽宁文）（1）已知集合 U 1,3,5,7,9 ， A 1,5,7 ，则C U A7. ( 2010山东文)(1)已知全集 U R ，集合 M x x 24 0 ，则 C U M =A.x 2 x 2B.x 2 x 2C ．x x 2或 x 2 D. x x 2或 x 228. ( 2010北京理)(1) 集合 P {x Z 0 x 3},M {x Z x 29}，则 PI M =第一章 集合与常用逻辑用语 一、选择题 1. （ 2010浙江理）（1）设 P={x ︱x <4},Q={x ︱ x 2<4}，则 A ) p QB )Q P (C )p CR Q (D ) Q CR P2. （2010 陕西文） 1. 集合 A ={x －1≤ x ≤2}， B ＝{ x x<1},则 A ∩B =（ (A){ x x< 1}B ){x －1≤ x≤2} A ) 1,3 B ) 3,7,9C ) 3,5,9D ) 3,94. ( 2010辽宁理) 1.已知 A ，B 均为集合 U={1,3,5,7,9} 的子集，且 A ∩B={3}, eu(A ){1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}5. ( 2010 江 西 理 ) 2. 若 集 合 A= x| x 1， xR ，A. x| 1 x 1B. x|x 0C. x|0 x 1D.6. ( 2010浙江文)(1)设 P {x|x 1}, Q {x|x 24},则 P Q(A) {x| 1 x 2} (B) {x| 3 x 1} (C) { x|1 x 4}(D){x| 2 x 1}9. （2010 天津文）（7）设集合A x||x-a|<1,x R ,B x|1 x 5,x R .若A B ，则实数 a 的取值范围是（A）a|0 a 6 （B）a|a 2,或a 4（C）a|a 0,或a 6 （D）a|2 a 410. （2010天津理）（9）设集合A= x||x a| 1,x R ,B x||x b| 2,x R .若 A B,则实数a,b 必满足（A）|a b| 3 （B）|a b| 3（C）|a b| 3 （D）|a b| 311. （2010广东理） 1.若集合A={ x -2< x <1} ，B={ x 0< x <2}则集合 A ∩ B=（）A. { x -1<x<1}B. { x -2< x<1}C. { x -2< x<2}D. { x 0< x <1}12. （2010广东文）10. 在集合a,b,c,d 上定义两种运算○+ 和○* 如下那么d ○* （a ○+ c）A. aB. bC. cD. d13. （2010广东文） 1.若集合A 0,1,2,3 ，B 1,2,4 则集合A BA. 0,1,2,3,4B. 1,2,3,4C. 1,2D. 01. 设集合M={1,2,4,8},N={x|x 是2 的倍数} ，则M∩ N=14. （2010 湖北文）A.{2, 4}B.{1,2,4}C.{2,4,8}D{1,2,8}15. （2010山东理） 1.已知全集 U=R ，集合 M={x||x-1| 2}, 则C U M= x 3} (C){x|x<-1 或 x>3} (D){x|x -1 或 x 3}2、若集合 A x log 1 x 1，则 e R A2R集的个数是二、填空题k=2k1 2k2 12k n1，则(1) a 1,,a 3 是 E 的第 __ 个子集； (2)E 的第 211个子集是 ____4. ( 2010 重庆理) (12) 设 U= 0,1,2,3 ，A= x U x 2mx 0 ，若 U A 1,2 ，则实数m= ________ .5. ( 2010江苏卷) 1、设集合 A={-1,1,3} ，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3} ，则实数 a = .6. ( 2010重庆文)(11)设 A x|x 1 0 ,B x|x 0 ，则 A B = ______________ .A ) {x|-1<x<3} (B){x|-1 16. （2010 安徽理）17. A ． C ． 18. A 、( ,0]2010 湖南理） M N B.B 、221. 已知集合 M={1,2,3} ， NMM N {2,3} D. M N{1,4}2010 湖北理）C 、 ( ,0] [22, ) D 、[ 22, )N={2,3,4} ，则 222．设集合A { x, y |x4 1y 61} ， B {( x, y)| y 3x } ，则 A B 的子A ． 4B ．3C ．2D ．12. （ 2010 湖南文） 15. 若规定 E=a 1,a 2...a 10 的子集 a k 1a k 2..., a k n为 E 的第 k个子集，其中、选择题1. （2009 年广东卷文 ）已知全集 U R ，则正确表示集合 M { 1,0,1} 和 N x|x2x 集合 u(A IB) 中的元素共有 (A. 3 个B. 4 个C. 5 个D. 6 个答案 A3. ( 2009浙江理) 设U R ， A {x|x 0}， B {x|x 1} ，则 A e U B ( )A ．{x|0 x1} B ．{x|0 x 1} C ．{x|x 0} D ．{x|x 1}5. ( 2009 浙 江 文 ) 设 U R ， A {x|x 0} ， B {x|x 1} ， 则 A e U B A ．{x|0x 1} B ．{x|0 x 1} C ．{x|x 0} D ．{x|x 1}6. ( 2009北京文) 设集合 A {x|1 x 2}, B {x x 21} ，则 A B (21A ．{x 1 x 2}B ．{x| x 1}2C ．{x|x 2}D ．{x|1 x 2}7. (2009 山东卷理 )集合 A 0,2,a , B 1,a 2,若 A B 0,1,2,4,16 ,则 a 的值 为 A.0 B.1 C.2 D.49. ( 2009全国卷Ⅱ文) 已知全集 U ={1，2，3，4，5，6，7，8} ，M ={1，3，5，7}，N ={5 ，6，7} ，则 C u ( M N )=( )10. ( 2009 广东 卷 理 ) 已知全集 U R ，集合 M {x 2 x 1 2} 和2009 年高考题0 关系2. （2009 全国卷Ⅰ理） 设集合 A={ 4，5，7，x 2k 1,k 1,2, } 的关系的韦恩（ Venn ）图如图 1 所示，则阴影部分所示的集合的元A. mn14.（2009 湖北卷理 ） 已知P {a|a (1,0) m(0,1), m R},Q {b|b (1,1) n( 1,1),n R} 是两个向量集合，则P I Q （ ）A ．{〔1，1〕} B. {〔-1 ，1〕}C. {〔1，0〕}D. { 〔0，1〕}15. （2009 四川卷文） 设集合 S＝{x ｜ x 5 }， T ＝{ x ｜(x 7)(x 3) 0}.则 S T ＝（）A. { x ｜－7< x <－5 }B. {x ｜ 3 < x < }C.{x ｜ －5 < x <3}D.{x ｜－7< x <5 }x116. (2009 全国卷Ⅱ理) 设集合 A x|x 3 ,B x| 0 ，则 A B = x4A. B. 3,4 C. 2,1 D. 4.18. （ 2009 辽宁卷文） 已知集合 M ＝﹛ x| －3<x 5﹜ ,N ＝﹛ x|x <－ 5 或 x >5﹜，则 M NN {x 素共有 A. 3个C. 1B.2 D.个 无穷多11. 2009 安徽卷理） 若集合 A x |2x 1| 3 ,B2x 10 ,则 A ∩B 是 3xA.1x 1 x1或2 x 3 B.x2 x 3 C. x1x 2 D. 212. 2009 安徽卷文） 若集合，则 是13. A ．{1 ，2，3}C. {4 ，5}B. {1 ，2} D. {1 ，2，3，4，5}2009 江西卷理） 已知全集 U A B 中有 m 个元素， （痧UA ） （ UB ）中有 n 个元素．若AI B 非空，则 AI B 的元素个数为 mn＝A. ﹛x|x <－5 或x>－3﹜B. ﹛x| －5<x<5﹜C.﹛x| －3<x<5﹜D. ﹛x|x <－3 或x>5﹜220. （2009 陕西卷文）设不等式x2 x 0 的解集为M，函数f（x） ln（1 |x |）的定义域为N 则M N 为（）A.[0 ，1)B. (0，1)C.[0 ，1]D.（-1，0]21. （2009 四川卷文）设集合S＝{ x｜x 5 }，T ＝{ x｜(x 7)(x 3) 0 } 则S T（）A. { x｜－7< x <－5 }B. {x｜3 < x<5 }C.{ x｜－5 < x<3}D. {x｜－7< x <5 }22.（2009 全国卷Ⅰ文）设集合A={4，5，6，7，9}，B={3，4，7，8，9}，全集=A B，则集合［u （A B）中的元素共有A.3 个B.4 个C. 5 个D. 6 个24. （2009 四川卷理）设集合S x| x 5 ,T x|x2 4x 21 0 ,则S TＡ.x| 7 x 5 Ｂ.x|3 x 5 Ｃ.x| 5 x 3 Ｄ.x| 7 x 525. （2009 福建卷文）若集合A x|x 0. B x|x 3 ，则A B 等于A．{x|x 0}B{x|0 x 3}C{x|x 4}D R二、填空题26.（2009年上海卷理）已知集合A x|x 1 ，B x|x a ，且A B R ，则实数a的取值范围是__________________ .27.（2009重庆卷文）若U {n n是小于9 的正整数} ，A {n U n 是奇数} ，B {n U n是3的倍数} ，则e U （A B）．28..（2009 重庆卷理）若A x R x 3 ，B x R 2x 1 ，则A B ．29..（2009 上海卷文）已知集体A={x| x≤1},B={x | ≥a},且A∪ B=R ，则实数 a 的取值范围是____________ .30.（2009 北京文）设 A 是整数集的一个非空子集，对于k A ，如果k 1 A且k 1 A，那么k 是 A 的一个“孤立元” ，给定S {1,2,3,4,5,6,7,8,} ，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有个.31..（2009 天津卷文）设全集U A B x N *|lgx 1 ，若B m|m 2n 1,n 0,1,2,3,4 ，则集合B= __________ .A CU【考点定位】本试题主要考查了集合的概念和基本的运算能力。

历年全国高考数学试题分类汇编——三角函数1.（200全国卷Ⅰ理第7题，文第7题）当20π<<x 时，函数xxx x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（A ）2（B ）32（C ）4（D ）342.（2005全国卷Ⅰ理第11题，文第11题）在ABC ∆中，已知C BA sin 2tan =+，给出以下四个论断： ① 1cot tan =⋅B A② 2sin sin 0≤+<B A③ 1cos sin 22=+B A④ C B A 222sin cos cos =+其中正确的是 （A ）①③（B ）②④ （C ）①④ （D ）②③3.（2005全国卷Ⅱ理第1题，文第1题）函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A)4π (B)2π（C ）π （D ）2π4.（2005全国卷Ⅱ理第4题，文第4题）已知函数y =tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 <ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -15.（2005全国卷Ⅱ理第7题）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 06.（2005全国卷Ⅱ理第14题）设a 为第四象限的角，若513sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________.7.（2005全国卷Ⅲ理第1题，文第1题）已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （A ）第一或第二象限 （B ）第二或第三象限 （C ）第一或第三象限 （D ）第二或第四象限设02x π≤≤,sin cos x x =-,则 (A) 0x π≤≤ (B)744x ππ≤≤(C) 544x ππ≤≤ (D) 322x ππ≤≤9.（2005全国卷Ⅲ理第8题，文第8题）22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα(A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)1210．（2005辽宁卷第8题）若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是 （ ） A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）11．（2005辽宁卷第16题）ω是正实数，设)](cos[)(|{θωθω+==x x f S 是奇函数}，若对每个实数a ，)1,(+⋂a a S ω的元素不超过2个，且有a 使)1,(+⋂a a S ω含2个元素，则ω的取值范围是 .12．（2005江苏卷第5题）ABC BC A ABC ∆==∆则中,3,3,π的周长为（ ）A ．3)3sin(34++πB B ．3)6sin(34++πBC ．3)3sin(6++πBD ．3)6sin(6++πB13、（2005江苏卷第10题）若316sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫⎝⎛+απ232cos =（ ） A ．97- B ．31- C ．31 D ．97对任意的锐角α，β，下列不等关系中正确的是 （A ）sin(α+β)>sin α+sin β （B ）sin(α+β)>cos α+cos β （C ）cos(α+β)<sinα＋sinβ （D ）cos(α+β)<cosα＋cosβ15.（2005北京卷理第8题）函数f (x（A ）在[0,),(,]22πππ上递增，在33[,),(,2]22ππππ上递减 （B ）在3[0,),[,)22πππ上递增，在3(,],(,2]22ππππ上递减 （C ）在3(,],(,2]22ππππ上递增，在3[0,),[,)22πππ上递减 （D ）在33[,),(,2]22ππππ上递增，在[0,),(,]22πππ上递减16.（2005北京卷理第10题）已知tan 2α=2，则tanα的值为－34，tan ()4πα+的值为 ．17.（2005北京卷文第12题）在△ABC 中，AC =3，∠A =45°，∠C =75°，则BC 的长为 ．18.（2005天津卷理第8题） 要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（ ）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度 (B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度 (D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度19（2005天津卷文第8题）函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为（ ）（A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π-π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)48sin(4π+π=x y20.（2005上海卷文第5题）函数x x x y cos sin 2cos +=的最小正周期T=__________。

2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分1至2页，第Ⅱ卷3至10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）如果函数2y ax bx a =++的图象与x 轴有两个交点，则点(,)a b aOb 在平面上的区域（不包含边界）为（ c ）（2）抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为 （ b ）（A ）81 （B ）－81 （C ）8 （D ）－8 （3）已知==-∈x tg x x 2,54cos ),0,2(则π（ ）（A ）247 （B ）－247 （C ）724 （D ）－724 （4）设函数0021,1)(0,,0,12)(x x f x x x x f x 则若>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-的取值范围是（ ） （A ）（－1，1） （B ）(1,)-+∞（C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）（5）O 是平面上一定点，A B C 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足[)(),0,,AB AC OP OA P ABACλλ=++∈+∞则的轨迹一定通过ABC 的（A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心（6）函数1ln,(1,)1x y x x +=∈+∞-的反函数为（ ）a (A)(B) (C) (D)（A ）1,(0,)1x x e y x e -=∈+∞+ （B ）1,(0,)1x xe y x e +=∈+∞- （C ）1,(,0)1x x e y x e -=∈-∞+ （D ）1,(,0)1x xe y x e +=∈-∞- （7）棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（ ）（A ）33a （B ）34a （C ）36a （D ）312a（8）设20,()a f x ax bx c >=++，曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处切线的倾斜角的取值范围为0,,4P π⎡⎤⎢⎥⎣⎦则到曲线()y f x =对称轴距离的取值范围为 （ ） （A ）10,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）10,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）0,2b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）10,2b a ⎡-⎤⎢⎥⎣⎦（9）已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的的等差数列，则=-||n m （ ）（A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83（10）已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0），直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ） （A ）14322=-y x （B ）13422=-y x （C ）12522=-y x （D ）15222=-y x （11）已知长方形的四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1），一质点从AB 的中点0P 沿与AB 的夹角θ的方向射到BC 上的点1P 后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角），设4P 的坐标为（4x ，0），若214<<x ，则tg θ的取值范围是 （ ） （A ）（31，1） （B ）（31，32） （C ）（52，21） （D ）（52，32）（12）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）（A ）π3（B ）4π（C ）π33（D ）π62003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数 学（理工农医类）第Ⅱ卷（非选择题共90分）二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分把答案填在题中横线上（13）92)21(xx -的展开式中9x 系数是（14）某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取___________，__________，___________辆（15）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有___________________种（以数字作答）（16）对于四面体ABCD ，给出下列四个命题①,,AB AC BD CD BC AD ==⊥若则②,,AB CD AC BD BC AD ==⊥若则③,,AB AC BD CD BC AD ⊥⊥⊥若则④,,AB CD AC BD BC AD ⊥⊥⊥若则 其中真命题的序号是__________________.（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或或演算步骤（17）（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别为0.90,0.95和0.95，各抽取一件进行检验（Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率（精确到0.001）（18）（本小题满分12分）已知函数()sin()(0,0)f x x R ωϕωϕπ=+>≤≤是上的偶函数，其图象关于点3(,0)4M π对称，且在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调函数ωϕ和的值 （19）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，︒=∠90ACB ，侧棱21=AA ，D 、E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G （Ⅰ）求B A 1与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） （Ⅱ）求点1A 到平面AED 的距离E GD CBAC 1B 1A 1（20）（本小题满分12分）已知常数0,(0,),a c a i >==向量经过原点O 以c i λ+为方向向量的直线与经过定点(0,)2A a i c λ-以为方向向量的直线相交于P ，其中R λ∈试问：是否存在两个定点E 、F ，使得PE PF +为定值若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由（21）（本小题满分12分）已知0,a n >为正整数（Ⅰ）设()n y x a =-，证明1'()n y n x a -=-；（Ⅱ）设()()n nn f x x x a =--，对任意n a ≥，证明1'(1)(1)'(n n f n n f n ++>+（22）（本小题满分14分）设0a >，如图，已知直线:l y ax =及曲线2:,C y x C =上的点1Q 的横坐标为11(0).(1)n a a a C Q n <<≥从上的点作直线平行于x 轴，交直线11n n l P P ++于点，再从点作直线平行于y 轴，交曲线1.(1,2,3,n n C Q Q n +=于点 …）的横坐标构成数列{}n a（Ⅰ）试求1n n a a +与的关系，并求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）当111,2a a =≤时，证明1211()32n k k k k a a a ++=-<∑ （Ⅲ）当1a =时，证明1211()3nk k k k a a a ++=-<∑2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分。

a(A) (B) (C)(D) 2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两上交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为2．抛物线2ax y =的准线方程是y=2，则a 的值为 （ ）A ．81 B ．－81 C ．8D ．－8 3．已知==-∈x x x 2tan ,54cos ),0,2(则π（ ）A ．247 B ．－247 C ．724D ．－7244．设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （ ）A ．（－1，1）B ．（－1，+∞）C ．（－∞，－2）∪ （0，+∞）D ．（－∞，－1）∪（1，+∞）5．O 是平面上一定点，A 、B 、C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足 ),,0[),||||(+∞∈+=λλAC AB 则P 的轨迹一定通过△ABC 的 （ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心 6．函数),1(,11ln+∞∈-+=x x x y 的反函数为（ ）A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y xx B ．),0(,11+∞∈-+=x e e y xxC ．)0,(,11-∞∈+-=x e e y xx D ．)0,(,11-∞∈-+=x e e y xx 7．棱长为a 的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为 （ ）A ．33aB ．43aC ．63aD ．123a8．设,)(,02c bx ax x f a ++=>曲线)(x f y =在点))(,(x f x P 处切线的倾斜角的取值范围为],0[π，则P到曲线)(x f y =对称轴距离的取值范围为 （ ）A ．[a1,0] B ．]21,0[a C ．|]2|,0[ab D ．|]21|,0[ab - 9．已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|=（ ）A ．1B ．43 C ．21 D ．83 10．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F （7，0）直线y=x －1与其相交于M 、N 两点，MN 中点的横坐标为32-，则此双曲线的方程是 （ ）A ．14322=-y x B ．13422=-y x C ．12522=-y x D ．15222=-y x 11．已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 0沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）A ．)1,31(B ．)32,31(C ．)21,52(D ．)32,52(12．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 （ ）A ．3πB ．4πC ． 33πD ．6π第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上. 13．92)21(xx -展开式中x 9的系数是 14．某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取 ， ， 辆 15．某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法 有 种.（以数字作答）16．对于四面体ABCD ，给出下列四个命题 ①若AB=AC ，BD=CD ，则BC ⊥AD. ②若AB=CD ，AC=BD ，则BC ⊥AD. ③若AB ⊥AC ，BD ⊥CD ，则BC ⊥AD. ④若AB ⊥CD ，BD ⊥AC ，则BC ⊥AD. 其中真命题的序号是 .（写出所有真命题的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是0.90，0.95和0.95，各抽取一件进行检验. （Ⅰ）求恰有一件不合格的概率；（Ⅱ）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）D EKBC 1A 1B 1 A F CG 18．（本小题满分12分）已知函数)0,0)(sin()(πϕωϕω≤≤>+=x x f 上R 上的偶函数，其图象关于点)0,43(πM 对称，且在区间]2,0[π上是单调函数，求ϕ和ω的值.19．（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G.（Ⅰ）求A 1B 与平面ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）； （Ⅱ）求点A 1到平面AED 的距离.20．（本小题满分12分） 已知常数0>a ，向量).0,1(),,0(==i a c 经过原点O 以i c λ+为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以c i λ2-为方向向量的直线相交于点P ，其中.R ∈λ试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.21．（本小题满分12分）已知n a ,0>为正整数. （Ⅰ）设1)(,)(--='-=n n a x n y a x y 证明；（Ⅱ）设).()1()1(,,)()(1n f n n f a n a x x x f n n n n n '+>+'≥--=+证明对任意 22．（本小题满分14分）设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a（a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a （Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-nk k k k a a a 121321)(（Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-nk k k k a a a 121.31)(2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题（江苏卷）答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分60分.1．C 2．B 3．D 4．D 5．B 6．B 7．C 8．B 9．C 10．D 11．C 12．A 二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题4分，满分16分. 13．221- 14．6,30,10 15．120 16．①④三、解答题17．本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分. 解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A 、B 和C. （Ⅰ）95.0)()(,90.0)(===C P B P A P ， .50.0)()(,10.0)(===C P B P A P因为事件A ，B ，C 相互独立，恰有一件不合格的概率为176.095.095.010.005.095.090.02)()()()()()()()()()()()(=⨯⨯+⨯⨯⨯=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅C P B P A P C P B P A P C P B P A P C B A P C B A P C B A P 答：恰有一件不合格的概率为0.176. 解法一：至少有两件不合格的概率为)()()()(C B A P C B A P C B A P C B A P ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅012.005.010.095.005.010.0205.090.022=⨯+⨯⨯⨯+⨯= 解法二：三件产品都合格的概率为812.095.090.0)()()()(2=⨯=⋅⋅=⋅⋅C P B P A P C B A P由（Ⅰ）知，恰有一件不合格的概率为0.176，所以至有两件不合格的概率为.012.0)176.0812.0(1]176.0)([1=+-=+⋅⋅-C B A P答：至少有两件不合的概率为0.012.（18）在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分解：由),()(,)(x f x f x f =-得是偶函数.0cos ,0,sin cos sin cos ),sin()sin(=>=-+=+-ϕωωϕωϕϕωϕω所以得且都成立对任意所以即x xx x x.232,;]2,0[)2sin()(,310,0;]2,0[)22sin()(,2,1;]2,0[)232sin()(,32,0.,2,1,0),12(32,,3,2,1,243,0,043cos ,43cos )243sin()43(,43cos )243sin()43(,0),43()43(,)(.2,0==+==≥+===+====+=∴=+=>=∴=+=∴=+==+-=-=≤≤ωωππωωππωππωωππωπωωπωππωππωππωπππππϕπϕ或综合得所以上不是单调函数在时当上是减函数在时当上是减函数在时当得又得取得对称的图象关于点由所以解得依题设x x f k x x f k x x f k k k k k f f x x f x f M x f 19．本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一：（Ⅰ）解：连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠EBG 是A 1B 与平面ABD 所成的角. 设F 为AB 中点，连结EF 、FC ，.32arcsin.323136sin .3,32,22,2.36321,2.3,1,31.,,,,,,112211所成的角是与平面于是中在直角三角形的重心是连结为矩形平面又的中点分别是ABD B A EB EG EBG EB B A AB CD FC EG ED FD EF FD FD FG EF EFD DF G ADB G DE CDEF ABC DC B A CC E D ∴=⋅==∠∴===∴===⨯===∴==⋅=∈∴∆∴⊥（Ⅱ）连结A 1D ，有E AA D AEDA V V 11--=,,,F AB EF EF ED AB ED =⋂⊥⊥又AB A ED 1平面⊥∴, 设A 1到平面AED 的距离为h ，则ED S h S AB A AED ⋅=⋅∆∆1.2621,24121111=⋅==⋅==∆∆∆ED AE S AB A A S S AED AB A AE A 又 .362.36226221的距离为到平面即AED A h =⨯=∴解法二：（Ⅰ）连结BG ，则BG 是BE 在面ABD 的射影，即∠A 1BG 是A 1B 与平ABD 所成的角.则A(2a ,0,0),B(0,2a ,0),D(0,0,1).37arccos .372131323/14cos ).31,34,32(),2,2,2(.1.03232).1,2,0(),32,3,3().31,32,32(),1,,(),2,0,2(1111121所成角是与平面解得ABD B A BG A BA a a BD GE a BD a a CE a a G a a E a A =⋅=∠∴-=-=∴==+-=⋅∴-==∴（Ⅱ）由（Ⅰ）有A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1).,,0)0,1,1()2,0,0(,0)0,1,1()1,1,1(11AED ED E AA ED ED AA 平面又平面⊂⊥∴=--⋅=⋅=--⋅-=⋅（Ⅰ）当22=a 时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ； （Ⅱ）当220<<a 时，方程①表示椭圆，焦点)2,2121()2,2121(22a a F a a E ---和 （Ⅲ）当,22时>a 方程①也表示椭圆，焦点))21(21,0())21(21,0(22---+a a F a a E 和为合乎题意的两个定点. （21）本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分. 证明：（Ⅰ）因为nk knnC a x 0)(=∑=-k k n x a --)(， 所以1)(--=-='∑k kn nk kn xa kC y nk n 0=∑=.)()(1111------=-n k k n k n a x n x a C （Ⅱ）对函数n n n a x x x f )()(--=求导数:nn n n n n n n n n n n n n a n n a n n a n x a x x x f a x x f a x a n n n n f a x n nx x f )()1()1(,,.)()(,.0)(,0].)([)(,)()(1111-->-+-+≥--=≥∴>'>≥--='--='----时当因此的增函数是关于时当时当所以∴))()(1(])1()1)[(1()1(1n n n n n a n n n a n n n n f --+>-+-++=+'+).()1())()(1(1n f n a n n n n n n n '+=--+>-即对任意).()1()1(,1n f n n f a nn n '+>+'≥+（Ⅰ）解：∵).1,1(),,1(),,(422122121n n n n n n n n n a aa a Q a a a P a a Q ⋅⋅++- ∴,121n n a a a ⋅=+ ∴2222122221)1()1(11-+--=⋅=⋅=n n n n a a a a a a a a ==⋅=-++-+3222222122321)1()1()1(n n a aa a a =1111221211221221)()1()1(---+-==-+++n n n n n a a a a a a a ， ∴.)(121-=n aa a a n（Ⅱ）证明：由a =1知,21n n a a =+ ∵,211≤a ∴.161,4132≤≤a a ∵当.161,132≤≤≥+a a k k 时 ∴∑∑=++=++<-=-≤-nk n k k n k k k ka a a a a a a1111121.321)(161)(161)( （Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知，当a =1时，,121-=n a a n因此∑∑∑=++-==++-≤-=-+-nk i i i i nk k k ka a a a a a a a an k kk 1221111121212121121)()()(11∑-=-⋅-<-=1213131211312111)1()1(n i i a a a a a a a = .31121151<++a a a。

【高考试卷】2005年高考数学江苏卷试题及答案 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分项是符合题意要求的1.设集合{}2,1=A ，{}3,2,1=B ，{}4,3,2=C ，则()C B A Y I =（ ） A ．{}3,2,1 B ．{}4,2,1 C ．{}4,3,2 D ．{}4,3,2,1 2.函数)(321R x y x ∈+=-的反函数的解析表达式为 （ ）A ．32log 2-=x yB ．23log 2-=x yC ．23log 2x y -=D ．xy -=32log 2 3.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，首项31=a ，前三项和为21，则543a a a ++=（ ）A ．33B ．72C ．84D ．1894.在正三棱柱111C B A ABC -中，若AB=2，11AA =则点A 到平面BC A 1的距离为（ ）A ．43B ．23C ．433 D ．3 5.ABC ∆中，3π=A ，BC=3，则ABC ∆的周长为 （ ） A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB C ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB D ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB 6.抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615C ．87 D ．0 7.在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：7.9,4.9,6.9,9.9,4.9,4.8,4.9，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为 （ ）A ．484.0,4.9B ．016.0,4.9C ．04.0,5.9D ．016.0,5.98.设γβα,,为两两不重合的平面，n m l ,,为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若γα⊥，γβ⊥，则βα||；②若α⊂m ，α⊂n ，β||m ，β||n ，则βα||； ③若βα||，α⊂l ，则β||l ；④若l =βαI ，m =γβI ，n =αγI ，γ||l ，则m ||其中真命题的个数是 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．49.设5,4,3,2,1=k ，则5)2(+x 的展开式中k x 的系数不可能是 （ ）A ．10B ．40C ．50D ．8010.若316sin =⎪⎭⎫⎝⎛-απ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+απ232cos = （ ） A ．97- B ．31- C ．31 D ．97 11.点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=a 的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ ） A ．33 B ．31 C ．22 D ．21 12.四棱锥的8条棱代表8种不同的化工产品，有公共点的两条棱代表的化工产品放在同一仓库是危险的，没有公共顶点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的，现打算用编号为①.②.③.④的4个仓库存放这8种化工产品，那么安全存放的不同方法种数为（ ）A ．96B ．48C ．24D ．0二.填写题：本大题共6小题，每小题4分，共24分把答案填在答题卡相应位置 13.命题“若b a >，则122->b a ”的否命题为__________ 14.曲线13++=x x y 在点)3,1(处的切线方程是__________ 15.函数)34(log 25.0x x y -=的定义域为__________ 16.若[)1,,618.03+∈=k k a a ，()k Z ∈,则k =__________17.已知b a ,为常数，若34)(2++=x x x f ，2410)(2++=+x x b ax f ，则b a -5=__________ 18.在ABC ∆中，O 为中线AM 上一个动点，若AM=2，则)(OC OB OA +•的最小值是__________三.解答题：本大题共5小题，共66分解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤19.（本小题满分12分）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N 分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程20.（本小题满分12分，每小问满分4分）甲.乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是324假设两人射击是否击中目标，相互之间没有影响；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有影响⑴求甲射击4次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；⑶假设某人连续2次未击中．．．目标，则停止射击问：乙恰好射击5次后，被中止射击的概率是多少？21.（本小题满分14分，第一小问满分6分，第二.第三小问满分各4分）如图，在五棱锥S —ABCDE 中，SA ⊥底面ABCDE ，SA=AB=AE=2，3==DE BC ，=∠=∠=∠120CDE BCD BAE ⑴求异面直线CD 与SB 所成的角（用反三角函数值表示）；⑵证明：BC ⊥平面SAB ；⑶用反三角函数值表示二面角B —SC —D 的大小不必写出解答过程）22.（本小题满分14分，第一小问满分4分，第二小问满分10分）已知R a ∈，函数|)(2a x x x f -=⑴当2=a 时，求使x x f =)(成立的x 的集合；⑵求函数)(x f y =在区间]2,1[上的最小值23.（本小题满分14分，第一小问满分2分，第二.第三小问满分各6分） 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11,6,1321===a a a ，且 Λ,3,2,1,)25()85(1=+=+--+n B An S n S n n n ，其中A.B 为常数 ⑴求A 与B 的值；⑵证明：数列{}n a 为等差数列；⑶证明：不等式15>-n m mn a a a 对任何正整数n m ,都成立。

2005年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国卷Ⅱ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页。

第Ⅱ卷3到10页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷注意事项：1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

不能答在试题卷上。

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式)()()(B P A P B A P +=+ 24R S π=如果事件A 、相互独立，那么 其中R 表示球的半径)()()(B P A P B A P ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一 选择题（1）函数f (x) = | sin x +cos x |的最小正周期是 (A).4π (B)2π（C ）π （D ）2π(2) 正方体ABCD —A 1 B 1 C 1 D 1中，P 、Q 、R 、分别是AB 、AD 、B 1 C 1的中点。

那么正方体的过P 、Q 、R 的截面图形是（A ）三角形 （B ）四边形 （C ）五边形 （D ）六边形 （3）函数Y=32x -1（X≤0）的反函数是（A ）Y=3)1(+x （X≥-1） (B)Y= -3)1(+x （X≥-1）(C) Y=3)1(+x (X≥0) (D)Y= -3)1(+x (X≥0)(4)已知函数Y=tan x ω 在（-2π，2π）内是减函数，则 （A ）0 < ω ≤ 1 （B ）-1 ≤ ω < 0 （C ）ω≥ 1 （D ）ω≤ -1（5）设a 、b 、c 、d ∈R,若dic bia ++为实数，则 （A ）bc+ad ≠ 0 (B)bc-ad ≠ 0 (C) bc-ad = 0 (D)bc+ad = 0(6)已知双曲线 62x - 32y = 1的焦点为F 1、、F 2，点M 在双曲线上且MF 1 ⊥ x 轴，则F 1到直线F 2 M 的距离为 （A ）563 （B ）665 （C ）56 （D ）65（7）锐角三角形的内角A 、B 满足tan A -A2sin 1= tan B,则有（A ）sin 2A –cos B = 0 (B)sin 2A + cos B = 0 (C)sin 2A – sin B = 0 (D) sin 2A+ sin B = 0(8)已知点A （3,1）,B(0,0),C （3，0）.设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有λ= ，其中 λ 等于（A ）2 （B ）21 （C ）-3 （D ） - 31（9）已知集合M={x∣2x -3x -28 ≤0},N = {x|2x -x-6>0}，则M∩N 为（A ）{x|- 4≤x< -2或3<x≤7} （B ）{x|- 4<x≤ -2或 3≤x<7 }（C ）{x|x≤ - 2或 x> 3 } （D ）{x|x<- 2或x≥3} （10）点P 在平面上作匀数直线运动，速度向量v =（4，- 3）（即点P 的运动方向与v 相同，且每秒移动的距离为|v |个单位）.设开始时点P 的坐标为（- 10，10），则5秒后点P 的坐标为 （A ）（- 2，4） （B ）（- 30，25） （C ）（10，- 5） （D ）（5，- 10） （11）如果21,a a … ,8a 为各项都大于零的等差数列，公差d≠0,则（A>81,a a >54,a a (B) 81,a a < 54,a a (C> 5481a a a a +>+ (D) 81,a a = 54,a a(12)将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 （A ）3623+ （B ）2+362 （C ）4+362 （D ）36234+第Ⅱ卷注意事项：1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上。

2005年江苏省高考数学试题与解答
无
【期刊名称】《中学数学研究》
【年(卷),期】2005(000)009
【总页数】4页(P11-14)
【作者】无
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G4
【相关文献】
1.高观点解答高考数学试题两例 [J], 林毅
2.类比方法在解答高考数学试题中的应用 [J], 刘兴明;周吉祥
3.利用高等几何极点与极线关系解答高考数学试题 [J], 罗珊珊
4.2005年浙江省高考数学试题（理科、文科）与解答 [J], 无
5.1998高考数学试题部分选择题、填空题解答及部分解答题不同于标准答案的解法 [J], 童诗翁
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例析影响试题效度的几种原因缪选民江苏省泰州市海陵区教育局教研室225300“效度”是评价试题的一项重要指标，意指“一个测验或量表实际能测出其所要测量的特性的程度”，通俗地讲就是测试结果与测试目标的符合程度。

例如，一道试题，本打算检测学生的思维能力，但实际所测的是学生的作图技能，那么这道题就检测学生的思维能力而言不是真正有效的。

在各种正式考试中，往往整卷的效度达到了要求，但其中不乏有少量试题，学生在解答这类试题时往往违背命题人的本意，使检测某项知识或技能的目标落空，不能客观地反映学生对某项知识或技能的掌握情况，从而导致该题未能发挥出其应有的检测功能，这在教育测量上叫做试题的效度低。

粗略地讲，以下几种原因常能引起试题的效度降低：1．试题表述中存在误导性语句。

一道试题除了要考虑其准确性、科学性、严谨性等因素外，字面表述也很重要。

如果试题中带有误导性语句，致使学生思维紊乱，则该题就未必能测试出学生的真实水平，对成绩好的学生来讲，尤其是这样。

例1．（06年泰州中考）如图，在10×10的正方形网格纸中，线段AB、CD的长均等于5。

则图中到AB和CD所在直线的距离相等的网格点的个A．2个 B．3个 C． 4个 D．5个该题的本意是利用网格考查学生对勾股定理的掌握情况及逻辑思维能力，但实际测得的情况并非如此。

在阅卷中发现，低分考生选对了本题，而部分高分考生却没有选对该题。

笔者调阅了一些试卷，发现选对的学生大部分是作出了AB 、CD 的角平分线，选错的学生中有的根据勾股定理在图中确定了两对全等三角形，但没能找全所有的格点（包括一名147分的学生）。

该题就考查学生的思维水平而言效度是低的，可以说没有达到预定的目标。

如果仅仅为了考查角平分线的作法，没有必要交待AB 、CD 的长均等于5，AB 、CD 任意长都能作出两条直线相交后的角平分线。

笔者以为，该题的表述欠妥，交待AB 、CD 的长均为5就等于误导了思维层次较高的学生，不交待AB 、CD 的长，说不定他们也用作角平分线的方法；还有，该题编排在选择题的第12题（最后一道选择题），成绩好的学生以为该题较难，想不到作角平分线。

春风又绿江南岸——透视2005年江苏高考数学卷祁 平（苏州市教育科学研究院 215003）伴随着新课改的脚步，今年的江苏高考数学卷（以下简称试卷）向我们“迎面走来”，这是江苏高考自主命题的第二年。

试卷重视数学基础的考查，在能力立意上也下了很大功夫。

在体现课改精神（理念）、时代特征和数学文化方面，试卷也作了积极的、可喜的、成功的尝试。

1 再次强调“基础”——数学是需要基础的高考数学是考查数学基础的考试。

为高校选拔合格的新生，必须测试其必备的数学基础；作为数学学科的特点，基础更具有其特殊的意义。

为此，试卷首先在选择题部分“低开平走”。

如试题⑴简单的集合运算，试题⑵求函数123()x y x R -=+∈的反函数等等。

试题1到试题7均很普通，又很基础，与2004年江苏卷非常一致。

试题8－10，仍立足基础。

试题8重点考查基本概念：线线关系、线面关系和面面关系。

通过长方体模型，迅速判断命题①、命题②是假命题，命题③是真命题；通过建立三棱柱模型，发现命题④也是真命题。

试题⑼、⑽考查基本运算，要求考生对数学概念准确理解、把握，灵活应用。

其次，试卷在填空题部分增加了2个填空题，进一步增加了对基础问题的考查。

如⒀题要求考生写已知命题的否命题，试题⒁要求考生写曲线31y x x =++在点（1，3）处的切线方程，试题⒂求函数定义域等等。

这此试题对基础的理解、要求、运用，也体现了不同的层次。

试卷的最后5个大题在不同程度上也考查了数学的基本概念、基本运算、基本数学思想方法。

重视数学基础的考查，无论对数学学科本身还是中学数学教学的导向都是很有意义的，很有必要的。

试卷也为当前的中学数学课程改革提了个醒：数学是需要基础的，数学教学应重视基础训练。

缺乏基础的能力是脆弱的。

建议1：解答题第一大题（解析几何）是否能给定坐标系，让考生进入熟悉的情景，突出考查重点“求轨迹方程的基本方法”及“基本运算能力”。

则将大大增加考生在此问题上的得分率，同时也减少阅卷的工作量。