2020届中考数学十大题型专练卷08 与圆有关的证明与计算题(含答案)

2020年中考数学培优专题 圆的计算及相关证明（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.如图，的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP:AP=1:5，则CD的长为（ ）.A. 24B.28C. 52D. 542.下列命题中，正确的是（ ）A ．函数3-=x y 的自变量x 的取值范围是x>3B ．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形C ．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形D ．三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等3.如图，AC ，BE 是⊙O 的直径，弦AD 与BE 交于点F ，下列三角形中，外心不是点O 的是（）A.△ABEB.△ACFC.△ABDD.△ADE4.如图，△ ABC 内接于⊙O ，D 为线段AB 的中点，延长OD 交⊙O 于点E ，连接AE ，BE ，则下列五个结论： ①AB ⊥DE, ②AE=BE,③OD=DE, ④∠AEO=∠C ,正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个个5.下列说法正确的有（ ）①相等的圆心角所对的弧相等； ②平分弦的直径垂直于弦；③在同圆中，相等的弦所对的圆心角相等； ④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴AA．1个 B．2个 C．3个 D．4个6.⊙O的半径为10cm，两平行弦AC，BD的长分别为12cm，16cm，则两弦间的距离是（）A. 2cmB. 14cmC. 6cm或8cmD. 2cm或14cm7.下列命题是真命题的有（）①对顶角相等；②两直线平行，内错角相等；③两个锐角对应相等的两个直角三角形全等；④有三个角是直角的四边形是矩形；⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。

A．1个B．2个C．3个D．4个8.下列说法正确的个数为（）①垂直于弦的直径平分这条弦；②垂直平分弦的直线必过圆心；③平分一条弧的直径必平分这条弧所对的弦；④弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧。

A.1B.2C.3D.49.如图，圆心在y轴的负半轴上,半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A(0,1),过点P(0,-7)的直线l与⊙B相交于C、D两点，则弦CD的长所有可能的整数值有（A．1个 B.2个 C.3个 D.4个10.圆O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A. 3≤OM≤5B. 4≤OM≤5C. 3＜OM＜5D. 4＜OM＜5二、填空题（共有6道小题）11.如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB，垂足为C，OC=3cm，则⊙O的半径为cm．12.如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心Ｏ，则折痕AB的长为 cm.13.在两个同心圆中，小圆的切线倍大圆截得的弦长为6，改弦分大圆的周长为3:1的两部分，则大圆的半径是 ，小圆的半径是 。

2020年九年级数学典型中考压轴题：圆专项训练题1、如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为直径，过点B的切线与AC的延长线交于点D，E是BD中点，连接CE．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=4，BC=2，求BD和CE的长．2、如图，在⊙O中，AB为直径，D、E为圆上两点，C为圆外一点，且∠E+∠C=90°．（1）求证：BC为⊙O的切线．（2）若sinA=，BC=6，求⊙O的半径．3、如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO．（1）求证：PC是⊙O的切线．（2）若OE：EA=1：2，PA=6，求⊙O的半径．4、如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE=∠CBE，BD与AE交于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABE，求证：DE2=DF•DB；（3）在（2）的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA=AO，DE=2，求PD的长．5、如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD （1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．6、已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED=EC．（1）求证：AB=AC；（2）若AB=4，BC=2，求CD的长．7、如图，O是△AB C内一点，与BC相交于F、G两点，且与AB、AC分别相切于点D、E，DE∥BC。

连接DF、EG。

(1) 求证：AB=AC(2) 已知AB=10，BC=12，求四边形DFGE是矩形时的半径.8、如图，过⊙O上的两点A、B分别作切线，并交BO、AO的延长线于点C、D，连接CD，交⊙O于点E、F，过圆心O作OM⊥CD，垂足为M点．求证：（1）△ACO≌△BDO；（2）CE=DF．9、如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，且四边形AOCD是平行四边形，过点D作⊙O的切线，分别交OA延长线与OC延长线于点E、F，连接BF．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）已知圆的半径为1，求EF的长．10、如图，在△ABC中，E是AC边上的一点，且AE=AB，∠BAC=2∠CBE，以AB 为直径作⊙O交AC于点D，交BE于点F．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若AB=8，BC=6，求DE的长．11、在图“书香八桂，阅读圆梦”读数活动中，某中学设置了书法、国学、诵读、演讲、征文四个比赛项目如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分线，点O在AB上，以点O为圆心，OB为半径的圆经过点D，交BC于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若OB=10，CD=8，求BE的长．12、如图，在⊙O中，半径OA⊥OB，过点OA的中点C作FD∥OB交⊙O于D、F 两点，且CD=，以O为圆心，OC为半径作，交OB于E点．（1）求⊙O的半径OA的长；（2）计算阴影部分的面积．13、如图，△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE=∠ADF．（1）判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若PF：PC=1：2，AF=5，求CP的长．14、如图所示，在Rt△ABC与Rt△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．（1）求证：∠B=∠ACD．（2）已知点E在AB上，且BC2=AB•BE．（i）若tan∠ACD=，BC=10，求CE的长；（ii）试判定CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A的位置关系，并请说明理由．15、如图，AB为⊙O的直径，直线CD切⊙O于点M，BE⊥CD于点E．（1）求证：∠BME=∠MAB；（2）求证：BM2=BE•AB；（3）若BE=，sin∠BAM=，求线段AM的长．16、如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，O是AB边上的一点，以OA为半径的⊙O与边BC相切于点E．（1）若AC=5，BC=13，求⊙O的半径；（2）过点E作弦EF⊥AB于M，连接AF，若∠F=2∠B，求证：四边形ACEF是菱形．17、如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．18、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，与AC，AB分别相交于点E，F，连接AD与EF相交于点G．（1）求证：AD平分∠CAB；（2）若OH⊥AD于点H，FH平分∠AFE，DG=1．①试判断DF与DH的数量关系，并说明理由；②求⊙O的半径．参考答案：1、【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：∵BD是⊙O的切线，∴∠CBE=∠A，∠ABD=90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°，∠BCD=90°，∵E是BD中点，∴CE=BD=BE，∴∠BCE=∠CBE=∠A，∵OA=OC，∴∠ACO=∠A，∴∠ACO=∠BCE，∴∠BCE+∠BCO=90°，即∠OCE=90°，CE⊥OC，∴CE是⊙O的切线；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AB===2，∵tanA====，∴BD=AB=，∴CE=BD=．2、【解答】（1）证明：∵∠A与∠E所对的弧都是，∴∠A=∠E，又∵∠E+∠C=90°，∴∠A+∠C=90°，在△ABC中，∠ABC=180°﹣90°=90°，∵AB为直径，∴BC为⊙O的切线；（2）解：∵sinA=，BC=6，∴=，即=，解得AC=10，由勾股定理得，AB===8，∵AB为直径，∴⊙O的半径是×8=4．3、【解答】（1）证明：连结OC，如图，∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∵PC2=PE•PO，∴PC：PO=PE：PC，而∠CPE=∠OPC，∴△PCE∽△POC，∴∠PEC=∠PCO=90°，∴OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线；（2）解：设OE=x，则EA=2x，OA=OC=3x，∵∠COE=∠POC，∠OEC=∠OCP，∴△OCE∽△OPC，∴OC：OP=OE：OC，即3x：OP=x：3x，解得OP=9x，∴3x+6=9x，解得x=1，∴OC=3，即⊙O的半径为3．4、【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=90°，∴∠EAB+∠ABE=90°，∵∠EAB=∠BDE，∠BDE=∠CBE，∴∠CBE+∠ABE=90°，即∠ABC=90°，∴AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵BD平分∠ABE，∴∠1=∠2，而∠2=∠AED，∴∠AED=∠1，∵∠FDE=∠EDB，∴△DFE∽△DEB，∴DE：DF=DB：DE，∴DE2=DF•DB；（3）连结DE，如图，∵OD=OB，∴∠2=∠ODB，而∠1=∠2，∴∠ODB=∠1，∴OD∥BE，∴△POD∽△PBE，∴=，∵PA=AO，∴PA=AO=BO，∴=，即=，∴PD=4．5、【解答】解：（1）连接OC．∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，∴∠A=∠B=∠1=∠2．∵∠ACO=∠DCO+∠2，∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，又∵BD是直径，∴∠BCD=90°，∴∠ACO=90°，又C在⊙O上，∴AC是⊙O的切线；（2）由题意可得△DCO是等腰三角形，∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，在直角△BCD中，BC===2．又AC=BC，∴AC=2．作CE⊥AB于点E．在直角△BEC中，∠B=30°，∴CE=BC=，=AB•CE=×6×=3．∴S△ABC6、【解答】（1）证明：∵ED=EC，∴∠EDC=∠C，∵∠EDC=∠B，∴∠B=∠C，∴AB=AC；（2）解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB=AC，∴BE=CE=BC=，∵CE•CB=CD•CA，AC=AB=4，∴•2=4CD，∴CD=．7、解析：（1）证明：∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，∴AD＝AE．∴∠ADE＝∠AED．∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED．∴∠B＝∠C．∴AB＝AC．（2）解：如图，连接AO，交DE 于点M，延长AO 交BC 于点N，连接OE、DG．设⊙O 的半径为r．∵四边形DFGE 是矩形，[来源:学科网]∴∠DFG＝90°．∴DG 是⊙O 的直径．∵⊙O 与AB、AC 分别相切于点D、E，∴OD⊥AB，OE⊥AC．又OD＝OE，∴AN 平分∠BAC．又AB＝AC，∴AN⊥BC，BN＝12BC＝6．在Rt△ABN 中，AN＝＝8．∵OD⊥AB，AN⊥BC，∴∠ADO＝∠ANB＝90°．又∠OAD＝∠BAN，∴△AOD∽△ABN．．∵OD⊥AB，∴∠GDB＝∠ANB＝90°．又∠B＝∠B，∴△GBD∽△ABN．∴四边形DFGE 是矩形时⊙O 的半径为60 17·8、【解答】证明：（1）∵过⊙O上的两点A、B分别作切线，∴∠CAO=∠DBO=90°，在△ACO和△BDO中∵，∴△ACO≌△BDO（ASA）；（2）∵△ACO≌△BDO，∴CO=DO，∵OM⊥CD，∴MC=DM，EM=MF，∴CE=DF．9、【解答】（1）证明：连结OD，如图，∵四边形AOCD是平行四边形，而OA=OC，∴四边形AOCD是菱形，∴△OAD和△OCD都是等边三角形，∴∠AOD=∠COD=60°，∴∠FOB=60°，∵EF为切线，∴OD⊥EF，∴∠FDO=90°，在△FDO和△FBO中，∴△FDO≌△FBO，∴∠ODF=∠OBF=90°，∴OB⊥BF，∴BF是⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠FOB=60°，而tan∠FOB=，∴BF=1×tan60°=．∵∠E=30°，∴EF=2BF=2．10、【解答】（1）证明：∵AE=AB，∴△ABE是等腰三角形，∴∠ABE=（180°﹣∠BAC=）=90°﹣∠BAC，∵∠BAC=2∠CBE，∴∠CBE=∠BAC，∴∠ABC=∠ABE+∠CBE=（90°﹣∠BAC）+∠BAC=90°，即AB⊥BC，∴BC是⊙O的切线；（2）解：连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵∠ABC=90°，∴∠ADB=∠ABC，∵∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB，∴=，∵在Rt△ABC中，AB=8，BC=6，∴AC==10，∴，解得：AD=6.4，∴DE=AE﹣AD=8﹣6.4=1.6．11、【解答】（1）证明：连接OD，∵BD为∠ABC平分线，∴∠1=∠2，∵OB=OD，∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴OD∥BC，∵∠C=90°，∴∠ODA=90°，则AC为圆O的切线；（2）解：过O作OG⊥BC，∴四边形ODCG为矩形，∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，∴BC=BG+GC=6+10=16，∴△AOD∽△ABC，∴=，即=，解得：OA=，∴AB=+10=，连接EF，∵BF为圆的直径，∴∠BEF=90°，∴∠BEF=∠C=90°，∴EF∥AC，∴=，即=，解得：BE=12．12、【解答】解；（1）连接OD，∴∠AOB=90°，∵CD∥OB，∴∠OCD=90°，在RT△OCD中，∵C是AO中点，CD=，∴OD=2CO，设OC=x，∴x2+（）2=（2x）2，∴x=1，∴OD=2，[来源:Z|xx|]∴⊙O的半径为2．（2）∵sin∠CDO==，∴∠CDO=30°，∵FD∥OB，∴∠DOB=∠ODC=30°，∴S圆=S△CDO+S扇形OBD﹣S扇形OCE=×+﹣=+．13、【解答】解：（1）AB是⊙O切线．理由：连接DE、CF．∵CD是直径，∴∠DEC=∠DFC=90°，∵∠ACB=90°，∴∠DEC+∠ACE=180°，∴DE∥AC，∴∠DEA=∠EAC=∠DCF，∵∠DFC=90°，∴∠FCD+∠CDF=90°，∵∠ADF=∠EAC=∠DCF，∴∠ADF+∠CDF=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AD，∴AB是⊙O切线．（2）∵∠CPF=∠CPA，PCF=∠PA C，∴△PCF∽△PAC，∴=，∴PC2=PF•PA，设PF=a．则PC=2a，∴4a2=a（a+5），∴a=，∴PC=2a=．14、【解答】解：（1）∵∠ACB=∠DCO=90°，∴∠ACB﹣∠ACO=∠DCO﹣∠ACO，即∠ACD=∠OCB，又∵点O是AB的中点，∴OC=OB，∴∠OCB=∠B，∴∠ACD=∠B，（2）（i）∵B C2=AB•BE，∴=，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△CBE，∴∠ACB=∠CEB=90°，∵∠ACD=∠B，∴tan∠ACD=tan∠B=，设BE=4x，CE=3x，由勾股定理可知：BE2+CE2=BC2，∴（4x）2+（3x）2=100，∴解得x=2，∴CE=6；（ii）过点A作AF⊥CD于点F，∵∠CEB=90°，∴∠B+∠ECB=90°，∵∠ACE+∠ECB=90°，∴∠B=∠ACE，∵∠ACD=∠B，∴∠ACD=∠ACE，∴CA平分∠DCE，∵AF⊥CE，AE⊥CE，∴AF=AE，∴直线CD与⊙A相切．15、【解答】解：（1）如图，连接OM，∵直线CD切⊙O于点M，∴∠OMD=90°，∴∠BME+∠OMB=90°，∵AB为⊙O的直径，∴∠AMB=90°．∴∠AMO+∠OMB=90°，∴∠BME=∠AMO，∵OA=OM，∴∠MAB=∠AMO，∴∠BME=∠MAB；（2）由（1）有，∠BME=∠MAB，∵BE⊥CD，∴∠BEM=∠AMB=90°，∴△BME∽△BAM，∴，[来源:学科网]∴BM2=BE•AB；（3）由（1）有，∠BME=∠MAB，∵sin∠BAM=，∴sin∠BME=，在Rt△BEM中，BE=，∴sin∠BME==，∴BM=6，在Rt△ABM中，sin∠BAM=，∴sin∠BAM==，∴AB=BM=10，根据勾股定理得，AM=8．16、【解答】（1）解：连接OE，设圆O半径为人，在Rt△ABC中，BC=13，AC=5，根据勾股定理得：AB==12，∵BC与圆O相切，∴OE⊥BC，∴∠OEB=∠BAC=90°，∵∠B=∠B，∴△BOE∽△BCA，∴=，即=，解得：r=；（2）∵=，∠F=2∠B，∴∠AOE=2∠F=4∠B，∵∠AOE=∠OEB+∠B，∴∠B=30°，∠F=60°，∵EF⊥AD，∴∠EMB=∠CAB=90°，∴∠MEB=∠F=60°，CA∥EF，∴CB∥AF，∴四边形ACEF为平行四边形，∵∠CAB=90°，OA为半径，∴CA为圆O的切线，∵BC为圆O的切线，∴CA=CE，∴平行四边形ACEF为菱形．[来源:学|科|网]17、【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∵AC平分∠BAE，∴∠OAC=∠CAE，∴∠OCA=∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD=∠E，∵AE⊥DE，∴∠E=90°，∴∠OCD=90°，∴OC⊥CD，∵点C在圆O上，OC为圆O的半径，∴CD是圆O的切线；（2）在Rt△AED中，∵∠D=30°，AE=6，∴AD=2AE=12，在Rt△OCD中，∵∠D=30°，∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，∴DB=OB=OC=AD=4，DO=8，∴CD===4，∴S△OCD===8，∵∠D=30°，∠OCD=90°，∴∠DOC=60°，∴S扇形OBC=×π×OC2=，∵S阴影=S△COD﹣S扇形OBC∴S阴影=8﹣，∴阴影部分的面积为8﹣．18、【解答】解：（1）如图，连接OD，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∵∠C=90°，∴OD∥AC，∴∠CAD=∠ODA，∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∴∠CAD=∠BAD，∴AD平分∠CAB．（2）①DF=DH，理由如下：∵FH平分∠AFE，∴∠AFH=∠EFH，又∠DFG=∠EAD=∠HAF，∴∠DFG=∠EAD=∠HAF，∴∠DFG+∠GFH=∠HAF+∠HFA，即∠DFH=∠DHF，∴DF=DH．②设HG=x，则DH=DF=1+x，∵OH⊥AD，∴AD=2DH=2（1+x），∵∠DFG=∠DAF，∠FDG=∠FDG，∴△DFG∽△DAF，∴，∴，∴x=1，∵DF=2，AD=4，∵AF为直径，∴∠ADF=90°，∴AF=∴⊙O的半径为．。

2020中考数学 专题练习：圆的综合题（含答案） 类型一 与全等结合1. 如图，⊙O 的直径AB ＝4，C 为⊙O 上一点，AC ＝2.过点C 作⊙O 的切线DC ，P 点为优弧CBA ︵上一动点(不与A 、C 重合)．(1)求∠APC 与∠ACD 的度数；(2)当点P 移动到劣弧CB ︵的中点时，求证：四边形OBPC 是菱形；(3)当PC 为⊙O 的直径时，求证：△APC 与△ABC 全等．第1题图(1)解：∵AC ＝2，OA ＝OB ＝OC ＝12AB ＝2，∴AC ＝OA ＝OC ，∴△ACO 为等边三角形，∴∠AOC ＝∠ACO ＝∠OAC ＝60°，∴∠APC ＝12∠AOC ＝30°，又∵DC 与⊙O 相切于点C ，∴OC ⊥DC ，∴∠DCO ＝90°，∴∠ACD ＝∠DCO －∠ACO ＝90°－60°＝30°；第1题解图(2)证明：如解图，连接PB ，OP ，∵AB 为直径，∠AOC ＝60°，∴∠COB ＝120°，当点P 移动到CB ︵的中点时，∠COP ＝∠POB ＝60°，∴△COP 和△BOP 都为等边三角形，∴OC ＝CP ＝OB ＝PB ，∴四边形OBPC 为菱形；(3)证明：∵CP 与AB 都为⊙O 的直径，∴∠CAP ＝∠ACB ＝90°，在Rt △ABC 与Rt △CPA 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CPAC ＝AC ，∴Rt △ABC ≌Rt △CPA (HL)．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，CA 、CD 分别切⊙O 于点A 、D ，CO的延长线交⊙O 于点M ，连接BD 、DM .(1)求证：AC ＝DC ；(2)求证：BD ∥CM ；(3)若sin B ＝45，求cos ∠BDM 的值．第2题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵CA 、CD 分别与⊙O 相切于点A 、D ，∴OA ⊥AC ，OD ⊥CD ，在Rt △OAC 和Rt △ODC 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD OC ＝OC ， ∴Rt △OAC ≌Rt △ODC (HL)，∴AC ＝DC ；(2)证明：由(1)知， △OAC ≌△ODC ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∴∠AOD ＝2∠AOC ，∵∠AOD ＝2∠OBD ，∴∠AOC ＝∠OBD ，∴BD ∥CM ；(3)解：∵BD ∥CM ，∴∠BDM ＝∠M ，∠DOC ＝∠ODB ，∠AOC ＝∠B ，∵OD ＝OB ＝OM ，∴∠ODM ＝∠OMD ，∠ODB ＝∠B ＝∠DOC ，∵∠DOC ＝2∠DMO ，∴∠DOC ＝2∠BDM ，∴∠B ＝2∠BDM ，如解图，作OE 平分∠AOC ，交AC 于点E ，作EF ⊥OC 于点F ，第2题解图∴EF ＝AE ，在Rt △EAO 和Rt △EFO 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OEAE ＝EF ，∴Rt △EAO ≌Rt △EFO (HL)，∴OA ＝OF ，∠AOE ＝12∠AOC ，∴点F 在⊙O 上，又∵∠AOC ＝∠B ＝2∠BDM ，∴∠AOE ＝∠BDM ，设AE ＝EF ＝y ，∵sin B ＝45， ∴在Rt △AOC 中，sin ∠AOC ＝AC OC ＝45， ∴设AC ＝4x ，OC ＝5x ，则OA ＝3x ，在Rt △EFC 中，EC 2＝EF 2＋CF 2，∵EC ＝4x －y ，CF ＝5x －3x ＝2x ，∴(4x －y )2＝y 2＋(2x )2，解得y ＝32x ， ∴在Rt △OAE 中，OE ＝OA 2＋AE 2 ＝（3x ）2＋（32x ）2＝352x ， ∴cos ∠BDM ＝cos ∠AOE ＝OA OE ＝3x 352x ＝255. 3. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 为直径，AB ︵＝BD ︵，BE ⊥DC 交DC的延长线于点E .(1)求证：∠1＝∠BCE ；(2)求证：BE 是⊙O 的切线；(3)若EC ＝1，CD ＝3，求cos ∠DBA .第3题图(1)证明：如解图，过点B 作BF ⊥AC 于点F ，∵AB ︵＝BD ︵，∴AB ＝BD在△ABF 与△DBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF ＝∠BDE ∠AFB ＝∠DEB AB ＝DB，∴△ABF ≌△DBE (AAS)，∴BF ＝BE ，∵BE ⊥DC ，BF ⊥AC ，∴∠1＝∠BCE ；(2)证明：如解图，连接OB ，∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，即∠1＋∠BAC ＝90°，∵∠BCE ＋∠EBC ＝90°，且∠1＝∠BCE ，∴∠BAC ＝∠EBC ，∵OA ＝OB ，∴∠BAC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＝∠OBA ，∴∠EBC ＋∠CBO ＝∠OBA ＋∠CBO ＝90°，∴∠EBO ＝90°，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；第3题解图(3)解：在△EBC 与△FBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠CFB ，∠ECB ＝∠FCB ，BC ＝BC ，∴△EBC ≌△FBC (AAS)，∴CE ＝CF ＝1.由(1)可知：AF ＝DE ＝1＋3＝4，∴AC ＝CF ＋AF ＝1＋4＝5，∴cos ∠DBA ＝cos ∠DCA ＝CD CA ＝35. 类型二 与相似结合4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，过点A 作AD ∥BC ，与∠ABC 的平分线交于点D ，BD 与AC 交于点E ，与⊙O 交于点F .(1)求∠DAF 的度数；(2)求证：AE 2＝EF ·ED ；(3)求证：AD 是⊙O 的切线．第4题图(1)解：∵AB ＝AC ，∠BAC ＝36°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－36°)＝72°， ∴∠AFB ＝∠ACB ＝72°，∵BD 平分∠ABC ，∴∠DBC ＝36°，∵AD ∥BC ，∴∠D ＝∠DBC ＝36°，∴∠DAF ＝∠AFB －∠D ＝72°－36°＝36°；(2)证明：∵∠EAF ＝∠FBC ＝∠D ，∠AEF ＝∠AED ，∴△EAF ∽△EDA ，∴AE DE ＝EF EA， ∴AE 2＝EF ·ED ；(3)证明：如解图，过点A 作BC 的垂线，G 为垂足，∵AB ＝AC ，∴AG 垂直平分BC ，∴AG 过圆心O ，∵AD ∥BC ，∴AD ⊥AG ，∴AD 是⊙O 的切线．第4题解图5. 如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，OC ⊥AB ，D 为BC ︵的中点，连接DA 、DB 、DC ，过点C 作DC 的垂线交DA 于点E ，DA 交OC 于点F .(1)求证：∠CED ＝45°；(2)求证：AE ＝BD ；(3)求AO OF的值．第5题图(1)证明：∵∠CDA ＝12∠COA ＝12×90°＝45°，又∵CE ⊥DC ，∴∠DCE ＝90°，∴∠CED ＝180°－90°－45°＝45°；(2)解：如解图，连接AC ，∵D 为BC ︵的中点，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12×45°＝22.5°，而∠CED ＝∠CAE ＋∠ACE ＝45°，∴∠CAE ＝∠ACE ＝22.5°，∴AE ＝CE ，∵∠ECD ＝90°，∠CED ＝45°，∴CE ＝CD ，又∵CD ︵＝BD ︵，∴CD ＝BD ，∴AE ＝CE ＝CD ＝BD ，∴AE ＝BD ；第5题解图(3)解：设BD ＝CD ＝x ，∴AE ＝CE ＝x ，由勾股定理得，DE ＝2x ，则AD ＝x ＋2x ，又∵AB 是直径，则∠ADB ＝90°，∴△AOF ∽△ADB ，∴AO OF ＝AD DB ＝x ＋2x x＝1＋ 2.6. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 点为半径OA 上异于点O 和点A 的一个点，过P 点作与直径AB 垂直的弦CD ，连接AD ，作BE ⊥AB ，OE //AD 交BE 于E 点，连接AE 、DE ，AE 交CD 于点F .(1)求证：DE 为⊙O 的切线；(2)若⊙O 的半径为3，sin ∠ADP ＝13，求AD ； (3)请猜想PF 与FD 的数量关系，并加以证明．第6题图(1)证明：如解图，连接OD ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA ，∵OE ∥AD ，∴∠OAD ＝∠BOE ，∠DOE ＝∠ODA ，∴∠BOE ＝∠DOE ，在△BOE 和△DOE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ∠BOE ＝∠DOE OE ＝OE，∴△BOE ≌△DOE (SAS)，∴∠ODE ＝∠OBE ，∵BE ⊥AB ，∴∠OBE ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∵OD 为⊙O 的半径，∴DE 为⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∵AB ⊥CD ，∴∠ADP ＋∠BAD ＝90°，∴∠ABD ＝∠ADP ，∴sin ∠ABD ＝AD AB ＝sin ∠ADP ＝13， ∵⊙O 的半径为3，∴AB =6，∴AD ＝13AB ＝2；第6题解图(3)解：猜想PF ＝FD ，证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AB ，∴CD ∥BE ，∴△APF ∽△ABE ，∴PF BE ＝AP AB， ∴PF ＝AP ·BE AB， 在△APD 和△OBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APD ＝∠OBE ∠PAD ＝∠BOE ， ∴△APD ∽△OBE ，∴PD BE ＝AP OB， ∴PD ＝AP ·BE OB， ∵AB ＝2OB ，∴PF ＝12PD ， ∴PF ＝FD .7. 如图①，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，OD ∥AC ，OD 交⊙O 于点E ，且∠CBD ＝∠COD .(1)求证：BD 是⊙O 的切线；(2)若点E 为线段OD 的中点，求证：四边形OACE 是菱形．(3)如图②，作CF ⊥AB 于点F ，连接AD 交CF 于点G ，求FG FC 的值．第7题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BCA ＝90°，∴∠ABC ＋∠BAC ＝90°，∵OD ∥AC ，∴∠ACO ＝∠COD .∵OA ＝OC ，∴∠BAC ＝∠ACO ，又∵∠COD ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠BAC ，∴∠ABC ＋∠CBD ＝90°，∴∠ABD ＝90°，即OB ⊥BD ，又∵OB 是⊙O 的半径，∴BD 是⊙O 的切线；(2)证明：如解图，连接CE、BE，∵OE＝ED，∠OBD＝90°，∴BE＝OE＝ED，∴△OBE为等边三角形，∴∠BOE＝60°，又∵AC∥OD，∴∠OAC＝60°，又∵OA＝OC，∴△OAC为等边三角形，∴AC＝OA＝OE，∴AC∥OE且AC＝OE，∴四边形OACE是平行四边形，而OA＝OE，∴四边形OACE是菱形；第7题解图(3)解：∵CF⊥AB，∴∠AFC＝∠OBD＝90°，而AC∥OD，∴∠CAF＝∠DOB，∴Rt△AFC∽Rt△OBD，∴FCBD＝AFOB，即FC＝BD·AFOB，又∵FG∥BD，∴△AFG∽△ABD，∴FGBD＝AFAB，即FG＝BD·AFAB，∴FCFG＝ABOB＝2，∴FGFC＝12.8. 如图，AB是⊙O的直径，点E为线段OB上一点(不与O、B重合)，作EC⊥OB交⊙O于点C，作直径CD过点C的切线交DB的延长线于点P，作AF⊥PC于点F，连接CB.(1)求证：AC平分∠FAB；(2)求证：BC2＝CE·CP；(3)当AB ＝43且CF CP ＝34时，求劣弧BD ︵的长度． 第8题图 (1)证明：∵PF 切⊙O 于点C ，CD 是⊙O 的直径，∴CD ⊥PF ，又∵AF ⊥PC ，∴AF ∥CD ，∴∠OCA ＝∠CAF ，∵OA ＝OC ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∴∠CAF ＝∠OAC ，∴AC 平分∠FAB ；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠DCP＝90°，∴∠ACB＝∠DCP＝90°，又∵∠BAC＝∠D，∴△ACB∽△DCP，∴∠EBC＝∠P，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵CD是⊙O的直径，∴∠DBC＝90°，∴∠CBP＝90°，∴∠BEC＝∠CBP，∴△CBE∽△CPB，∴BCPC＝CECB，∴BC2＝CE·CP；(3)解：∵AC 平分∠FAB ，CF ⊥AF ，CE ⊥AB ，∴CF ＝CE ，∵CF CP ＝34， ∴CE CP ＝34， 设CE ＝3k ，则CP ＝4k ，∴BC 2＝3k ·4k ＝12k 2，∴BC ＝23k ，在Rt △BEC 中，∵sin ∠EBC ＝CE BC ＝3k 23k ＝32， ∴∠EBC ＝60°，∴△OBC 是等边三角形，∴∠DOB ＝120°，∴BD ︵＝120π·23180＝43π3. 类型三 与全等相似结合9. 如图，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BAD ＝90°，AC 为直径，过点A 作圆O 的切线交CB 的延长线于点E ，过AC 的三等分点F (靠近点C )作CE 的平行线交AB 于点G ，连接CG .(1)求证：AB ＝CD ；(2)求证：CD 2＝BE ·BC ；(3)当CG ＝3，BE ＝92，求CD 的长．第9题图(1)证明：∵AC 为直径，∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ABC ＝∠BAD ＝90°，∴BC ∥AD ，∴∠BCA ＝∠CAD ，又∵AC ＝CA ，∴△ABC ≌△CDA (AAS)，∴AB ＝CD ；(2)证明：∵AE 为⊙O 的切线且O 为圆心，∴OA ⊥AE ，即CA ⊥AE ，∴∠EAB ＋∠BAC ＝90°，而∠BAC ＋∠BCA ＝90°，∴∠EAB ＝∠BCA ，而∠EBA ＝∠ABC ，∴△EBA ∽△ABC ，∴EB AB ＝BA BC， ∴AB 2＝BE ·BC ，由(1)知AB ＝CD ，∴CD 2＝BE ·BC ；(3)解：由(2)知CD 2＝BE ·BC ，即CD 2＝92BC ①， ∵FG ∥BC 且点F 为AC 的三等分点，∴G 为AB 的三等分点，即CD ＝AB ＝3BG ，在Rt △CBG 中，CG 2＝BG 2＋BC 2，即3＝(13CD )2＋BC 2②， 将①代入②，消去CD 得，BC 2＋12BC －3＝0， 即2BC 2＋BC －6＝0，解得BC ＝32或BC ＝－2(舍)③， 将③代入①得，CD ＝332. 10．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为圆外一点，AC 交⊙O 于点D ，BC 2＝CD ·CA ，ED ︵＝BD ︵，BE 交AC 于点F .(1)求证：BC 为⊙O 的切线；(2)判断△BCF 的形状并说明理由；(3)已知BC ＝15，CD ＝9，∠BAC ＝36°，求BD ︵的长度(结果保留π).第10题图(1)证明：∵BC 2＝CD ·CA ，∴BC CA ＝CD BC， ∵∠C ＝∠C ，∴△CBD ∽△CAB ，∴∠CBD ＝∠BAC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，即∠BAC ＋∠ABD ＝90°，∴∠ABD ＋∠CBD ＝90°，即AB ⊥BC ，又∵AB 为⊙O 的直径，∴BC 为⊙O 的切线；(2)解：△BCF 为等腰三角形．证明如下：∵ED ︵＝BD ︵，∴∠DAE ＝∠BAC ，又∵△CBD ∽△CAB ，∴∠BAC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝∠DAE ，∵∠DAE ＝∠DBF ，∴∠DBF ＝∠CBD ，∵∠BDF ＝90°，∴∠BDC ＝∠BDF ＝90°，∵BD ＝BD ，∴△BDF ≌△BDC ，∴BF ＝BC ，∴△BCF 为等腰三角形；(3)解：由(1)知，BC 为⊙O 的切线，∴∠ABC ＝90°∵BC 2＝CD ·CA ，∴AC ＝BC 2CD ＝1529＝25，由勾股定理得AB ＝AC 2－BC 2＝252－152＝20，∴⊙O 的半径为r ＝AB 2＝10，∵∠BAC ＝36°， ∴BD ︵所对圆心角为72°.则BD ︵＝72×π×10180＝4π.。

2020届中考数学 几何专题：与圆有关的性质（含答案）一、选择题1.如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知∠B ＝60°，则∠CAO 的度数是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°2.如图，⊙O 的半径为1，AB 是⊙O 的一条弦，且AB＝，则弦AB 所对圆周角的度数为（）A.30°B.60° C.30°或150° D.60°或120°3.如图，⊙P 内含于⊙O ，⊙O 的弦AB 切⊙P 于点C ，且AB ∥OP ．若阴影部分的面积为，则弦AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．94.如图，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB ＝28°，则∠C 的大小为（ ）A ．28°B ．56°C ．60°D ．62°5.如图，弦CD 垂直于⊙O 的直径AB ，垂足为H ，且CD ＝BD ，则AB 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53 96.如图，∠AOB 是⊙0的圆心角，∠AOB ＝80°，则弧AB 所对圆周角∠ACB 的度数是( )A ．40°B ．45°C ．50°D ．80°7.如图，已知⊙O 的两条弦AC ，BD 相交于点E ，∠A ＝70o ，∠C ＝50o，那么sin ∠AEB 的值为( )A. B. C. D.8.如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形（劣弧），其跨度为24米， 拱的半径为13米，则拱高为( ) A ．5米 B ．8米 C ．7米 D ．5米9.如图，△ABC 内接于⊙O ，连结OA 、OB ，若∠ABO＝25°，则∠C 的度数为（ ）A ．55°B ．60°C ．65°D ．70°10.一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是（ ）．213322233A ．0.4米B ．0.5米C ．0.8米D ．1米11.如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿的路径运动一周．设为，运动时间为，则下列图形能大致地刻画与之间关系的是（ ）12.如图，AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于D 交⊙O 于E ，则下列说法错误．．的是（ ）A ．AD ＝BDB ．∠ACB ＝∠AOEC ．D ．OD ＝DE13.如图，⊙O 的直径AB 垂直弦CD 于点P ，且P 是半径OB 的中点，CD ＝6cm ，则直径AB 的 长是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2OA AB BO --OP s t s t AE BE =O A ． B ．C ．D ．15．如图，⊙O 的半径为5，弦AB ＝8，M 是弦AB 上的动点，则OM 不可能为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．516．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，∠CDB ＝30°,⊙O的半径为，则弦CD 的长为（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，AB 为半圆O 的直径，延长AB 到点P ，使BP ＝AB ，PC 切半圆O 于点C ，点D 是上和点C 不重合的一点，则的度数为 .2.如图，在⊙O 中，∠ACB ＝20°，则∠AOB ＝______度.3.如图所示，A 、B 、C 、D 是圆上的点，则 度． cm 33cm 23cm 9cm 12AC D ∠17040A ∠=∠=°，°，C ∠=4.在⊙O 中，已知⊙O 的直径AB 为2，弦AC 长为，弦AD 长为．则DC 2＝______5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上 ，OD∥AC ，若BD ＝1，则BC 的长为6.已知的直径为上的一点，，则＝ _ ．7.如图，的半径弦点为弦上一动点，则点到圆心的最短距离是 cm ．8.如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为上一点，若∠CEA ＝，则∠ABD ＝°.9.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，若∠A CO ＝32°，则∠COB 的度数等于 ． 32O ⊙8cm AB C =，O ⊙30BAC ∠=°BC cm O 5cm OA =，8cm AB =，P AB P O BC 28BABCD 1三、解答题1.如图，AB 是⊙O 的直径，C 是弧BD 的中点，CE⊥AB，垂足为E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ＝BF ；（2）若AD ＝2，⊙O 的半径为3，求BC 的长．2.已知：如图，⊙O 1与坐标轴交于A （1，0）、B （5，0）两点，点O 1的纵坐标为．求⊙O 1的半径．3.已知：如图，⊙O 的直径AD ＝2，，∠BAE ＝90°．(1)求△CAD 的面积；(2)如果在这个圆形区域中，随机确定一个点P ，那么点P 落在四边形ABCD 区域的概率是多少？5图2 BC CD DE ==4.如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，连结BC ，AC ，过点C 作直线CD⊥AB 于点D ，点E 是AB 上一点，直线CE 交⊙O 于点F ，连结BF ，与直线CD 交于点G ．求证：.【参考答案】选择题1. B2.DBF BG BC ⋅=23. C4. D5. B6. A7. D8. B9. C10. D11. C12. D13. D14. A15. A16. B填空题1. 30°2. 403. 304.5. 26. 47. 38. 289. 64º解答题1. 证明：（1） 连结AC ，如图。

圆的证明与计算1.如图，已知八ABC内接于AO, P是圆外一点，PA为40的切线, = PB,连接0P ,线段AB与线段0P相交于点D.(1)求证：PB为40的切线；- 4⑵ 若PA=4P0, z\0的半径为10,求线段PD的长.5(1)证明：△△△△△0Az\0Bz\ZSPA/SPBA0AA0BA0PA0PA△ 3APz\8BP(SSS) △A210APA210BPA/SPAA210AAAAA210APA90 △A210BPA90 △A0BA210AAAA/SPBA210AAAA_ _ 4_ _ ............(2)解：APA/VP0A210AAAA 10A PA第1题图第1题解图△ △ Rt AOP A Z1OA A A J P O22\21|P O^ A10A人人八人50人A/POA V A3AO OD△ cos AOP/^O P A A O AAODA6A人_ _____ 32APD APOAODA-y.32.AAAAABCA/iAB^CA/lDABCAAAAADADCA/lAAB/SDAAAzOA AEA21OAAAAADE.A 1AAAACA/1OAAAAA2AA C OSA32^C A 24 A A A AE A A.第2题图(1)证明：AABAACAAD ADC △Az^CAz^BAz^DACA^CA△RAC△2△AAZEA21BA△RAC△任△Z^EA/IOAAAAA21ADEA90 △△任△21EAD"0° △A/DACA21EADA90 △△任AC490° △AOAA21OAAAAAACAODAAAA(2)解：AAAAADA DF 丛C△任△第2题解图DAADCCA…1… 人△CF A2ACA12ACF 3ARtzCDFAAA G(C/\C D A5A△DC A 20 △AAD A 20 △ARtzCDFAAAAAAA DF ,CD2-CF216 △A21ADEA21DFCA90 AEA21CAA21ADEA21DFCA噬噜△AE 20A— A20 AA Z^EA25A20 16A21OAA/AEA 25.3.如图，在AABC中，AB=BC,以AB为直径作AO,交BC于点D,交AC 于点E,过点E作AO的切线EF,交BC于点F.(1)求证：EFABC;(2)若 CD=2, tan C=2,求 AO 的半径.第3题图(1)证明：如解图，连接BE, OE.第3题解图AAB为AO的直径，△MEB=90 .AAB=BC,△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，AOEABC,△EF是AO的切线，△EF4E.△EFABC;(2)解：如解图，连接AD,八AB为AO的直径，△ AADB=90 ,△CD=2, tan C=AD 2CDAAD=4.设 AB=x,贝U BD=x-2.在 RtAABD 中, 由勾股定理得AB2=AD2+BD2,即 x2=42+ (x— 2) 2, 解得x=5,即AB=5,△ 8的半径为5 .24.AAAAZOWZ1ABAAAAABCAAADA21BCAAAAAE.A 1AAA/SDACA21DCEA..................1人人人人A2A ABA 2A siD △不△ AAE4/X.第4题图(1)证明：Z^DA/IOAAAA△PAB A90 .Z^BA/IOAAAAA21ACBA90 .A/DACA21CABA90 2ICABA/^ABCA 90 △A/DACA/^BC.AOCAOBAA.BCBCOCOCBAAAZDCEAz^OCBAA21DACA21DCEA(2)解：AABA2 △AAOA1.△sinD A ODAODA3ZDC A2 △ARtzDAOAA△△△△△AD △ OD2AOA2A2 2 △A21DACA21DCEA21DA/1DAA21DECA21DCAA A DC A DE A DA A DC 人2人DEA2 ,2 A2△RE △ ,2 △AAEAAD ADE △ 2.5.AAABA21OAAZDAA/DAAAAAADACDAOAA21ABA21EAA/OA1AAACEACBAA2AAAFABFAA/ABFAAAA人人-人人人 DE人5人人…人人人A3A/CDA 15ABE4 1OZ A E A13AAZ O AA A-(:第5题图(1)证明：△△△△△OB4A第5题解图BBCAOJAAAAAOBABCA AzOBCA 90 △A21OBAA21CBEA90 △AOAAOBAA21OABA21OBAAA21OAB+ACBEA 90 △A21CDAOAAA21OABA21DEAA90 △AA/CEBA21DEAAA21CBEA21CEBAACEACBA(2)解：△△△△△/△ADA ADO ACD AOAA AAF AOF △Az^OAAOFAA21AOFAAAAAAA/AOF=60O△」_1 _____ ____ _A21ABFA2^AOFA30 △(3)解：△△△△△C\CG》B△工△△CD AOAAA21ADEA21CGEA900△AA/AEDA21CEGAA21ADEA21CGEA人DE人EG人5人A AE A CE A13AACEABCAACEA13A人 (26)△DE -旌.-------- 24△ △•■△△△△△△" ..AE DE△石△486.AAAA/lABCDAAAzO^BA/lOAAAADADCAAAABAACDAAA EA/®FAECA21ECAAAAA/W\AZBD.△ 1 △△△ ABFC△2DAAA2AAE/^OAA cosADEAA3AAA 2AAAA/BCA6AzBFAA.第6题图(1)证明：Z^BA/IOAAAAA21BDAA90 .ABF /SECAA21BFCA90 △AAAABCDA/1OAAAAAAAA21BCFA21BADAA21BFCA21BDAA(2)解：△△△△△OD3C4A21BFCA21BDAABF BC△BD'^A B'AODA/lOAAAzADACDA AODAAAACAZ^BA/IOAAAA△ AACB=90 △AODABCA △任OD△心X OE ODA BE A BC AZ^E^OA21OEA2OB/SBEA3OBAOD OE 2△■占M—— -ABC BE 3ABC Z^ODA3瑞瑞舄△:△△ 21ADB A 90 △A21ADEA21BDFA90 △A21BDFA21DBFA90 △A21ADEA21DBFAR第6题解图/SRt/SBDFAA cosDBF 混率△ cos ADE2^A4(3)解：ABCz^ODABCA6AAODA4A /^EA4ZBEA12 △ △任OD△心CA 人DE人OD人A CE A BC A…人3 人ACEA2DEA △ △/EDA△八EBC△任△小£△A21AEDA21CEBA 人AE人DE人A C E A BE AADE CEAAE BEAADE 3D E A4X 12 △ /SDEA4V2( AAAA )△ACDA2V2A/^DA2V2AA21BFCA21BDAA 人CF 人AD 人A CF A2_J A△BC△母△造△ 8 △… 3 2ACF A^AARtzBCFAAAAAAAAAABFA . BC2A CF2Z^3~214.7.AAABAA OAAA/ICD^BAAAzHAAAAC△△知作EG3C交CD的延长线于点 G,连接AE交CD于点F,且EG=FG,连接CE.(1)求证：z\ECF△&CE;(2)求证：EG是AO的切线；(3)延长AB交GE的延长线于点 M ,若tan工=3 ,AH=3,4求EM的值.第7题图(1)证明：3cAEG,△8=3CG,「AB是AO的直径，ABACD,△A D = A C ,△3EF=AACD,△8=MEF,△任CF=4ECG,△任CF△&CE;(2)证明：如解图，连接OE,第7题解图△GF=GE,△&FE=^GEF=AAFH,△OA=OE,△3AE=4OEA,△AAFH+^FAH=90 ,△&EF+AAEO=90 ,△&EO=90 ,AGEAOE,VOEMAO的半径，△EG是AO的切线；(3)解：如解图，连接OC,设AO的半径为r.在 Rt「AHC 中，一一AH 3tan zACH=tan 应=空=± , HC 4AAH=3,AHC=4.在 Rt^HOC 中，△OC=r, OH=r—3, HC=4, △ (r —3) 2+42=r2,解得r= 25 ,6△GM AAC,△ 3AH=2\M,△ 3EM=AAHC=90 △ AAHC/XNEO,AH HCEM OE ，即高8.如图，AB 为AO 的直径，C 、G 是AO 上两点，过点 C 的直线CD^BG 交BG 的延长线于点D,交BA 的延长线于点E,连接BC,交OD 于点F, 且BC 平分4ABD.(1)求证：CD 是AO 的切线；⑵若OF 2,求4E 的度数； FD 3⑶连接AD,在(2)的条件下，若CD=2V3,求AD 的长.H第8题图(1)证明：如解图，连接OC,△ EM 25 8△OC=OB, BC 平分 AABD, △3CB=z\OBC, AOBC=ADBC,AzX)BC=AOCB,AOC ABD,Az^BDC=AECO,△CD ABD,△ z!BDC=90 ,△任CO=90 ,△OC 是AO 的半径，△CD 是AO 的切线；(2)解：由(1)知，OC^BD, △8CF=4DBF, △COFMBDF,A21OCFA21DBF, △.史FD△器AOC ABD, △任OC △任BD,△如 FD3,设 OE=2a,则 EB=3a,△OB=a,△OC=a,△3CE=90 , OC=1OE, 2△任=30 ;(3)解：△任=30 , ABDE=90 ,△任BD=60 ,VBC 平分 ADBE,/. AOBC=ADBC=1 EBD=30 , 2△CD=2 .3 ,ABC=4 3, BD=6,△空2 , DB 3△OC=4,如解图，过点D作DM3B于点M ,△RMB=90 ,ABD=6, ADBM=60 ,ABM=3, DM=3 3 ,△OC=4,△AB=8,AAM=AB—BM=5,△ RMA=90 , DM=3J3,AAD= VDM 2 AM 2 2V13 .9.如图，在3BC中，八ACB=90°,。

2020中考数学 专题复习：圆的综合（含答案）类型一 与基本性质有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的直径，点D 是AE ︵上的一点，且∠BDE ＝∠CBE ，BD 与AE 交于点F . (1)求证：BC 是⊙O 的切线；(2)若BD 平分∠ABE ，求证：DE 2＝DF ·DB ；(3)在(2)的条件下，延长ED ，BA 交于点P ，若P A ＝AO ，DE ＝2，求PD 的长．第1题图(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB ＝90°， ∴∠EAB ＋∠ABE ＝90°，∵∠BDE ＝∠EAB ，∠BDE ＝∠CBE ， ∴∠EAB ＝∠CBE ，∴∠ABE ＋∠CBE ＝∠ABE ＋∠EAB ＝90°，即CB ⊥AB . 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴BC 是⊙O 的切线； (2)证明：∵BD 平分∠ABE ， ∴∠ABD ＝∠DBE ，AD ︵＝DE ︵， ∴∠ABD ＝ ∠DEA ， ∴∠DEA ＝ ∠DBE ， ∵∠EDB ＝∠BDE ， ∴△DEF ∽△DBE ，∴DE DB ＝DF DE， ∴DE 2＝ DF ·DB ；(3)解：如解图，连接OD ，延长ED 交BA 的延长线于点P ，第1题解图∵OD ＝OB ， ∴∠ODB ＝∠OBD ， ∵BD 平分∠ABE ， ∴∠OBD ＝ ∠EBD ， ∴∠EBD ＝∠ODB ， ∴OD ∥BE ， ∴△PDO ∽△PEB ， ∴PD PE ＝POPB， ∵P A ＝AO ， ∴P A ＝AO ＝OB ， ∴PO PB ＝PD PE ＝23， ∵PD PE ＝PD PD ＋DE ＝23，DE ＝2， ∴PD ＝4.2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD ︵的中点，CE ⊥AB ，垂足为E ，BD 交CE 于点F . (1)求证：CF ＝BF ；(2)若BE ＝4，EF ＝ 3，求⊙O 的半径．第2题图(1)证明：连接AC ，如解图，∵点C 是BD ︵的中点，∴∠DBC ＝∠BAC ， 在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CE ⊥AB ，第2题解图∴∠BCE ＋∠ECA ＝∠BAC ＋∠ECA ＝90°， ∴∠BCE ＝∠BAC ， 又∵C 是BD ︵的中点， ∴∠DBC ＝∠CDB ， ∴∠BCE ＝∠DBC ， ∴CF ＝ BF ；(2)解：∵BE ＝ 4，EF ＝ 3， ∴BF ＝32＋42＝ 5，∴CF ＝ 5，∴CE ＝ 5＋3＝ 8， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝ 90°， ∴CE 2＝BE ·AB ， ∴AB ＝CE 2BE ＝ 644＝ 16，∴AO ＝ 8，∴⊙O 的半径为8.3. 如图，⊙O 中，直径CD ⊥弦AB 于E ，AM ⊥BC 于M ，交CD 于N ，连接AD . (1)求证：AD ＝AN;(2)若AB ＝8，ON ＝ 1，求⊙O 的半径．第3题图(1)证明：∵CD ⊥AB ， ∴∠CEB ＝ 90°， ∴∠C ＋∠B ＝ 90°， 同理∠C ＋∠CNM ＝ 90°， ∴∠CNM ＝∠B ， ∵∠CNM ＝ ∠AND ， ∴∠AND ＝ ∠B ， ∵AC ︵＝AC ︵， ∴∠ADN ＝ ∠B ， ∴∠AND ＝ ∠ADN ， ∴AN ＝AD ；第3题解图(2)解：设OE 的长为x ，连接OA ， ∵AN ＝AD ，CD ⊥AB ， ∴DE ＝ NE ＝x ＋1，∴OD ＝OE ＋ED ＝x ＋x ＋1＝2x ＋1， ∴OA ＝ OD ＝ 2x ＋1，∴在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝ OA 2， ∴x 2＋42＝(2x ＋1)2，解得x ＝53或x ＝－3(不合题意，舍去)，∴OA ＝ 2x ＋1＝ 2×53＋1＝ 133，即⊙O 的半径为133.4. 如图，A 、B 、C 为⊙O 上的点，PC 过O 点，交⊙O 于D 点，PD ＝ OD ，若OB ⊥AC 于E 点．第4题图(1)判断A 是否是PB 的中点，并说明理由； (2)若⊙O 半径为8，试求BC 的长． 解：(1)A 是PB 的中点， 理由：连接AD ，如解图，第4题解图∵CD 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥AC ， ∵OB ⊥AC ， ∴AD ∥OB ， ∵PD ＝ OD ，∴AD 是△PBO 的中位线， ∴P A ＝AB ， ∴A 是PB 的中点； (2)∵AD ∥OB ， ∴△APD ∽△BPO ， ∴AD BO ＝PD PO ＝ 12， ∵⊙O 半径为8， ∴OB ＝ 8， ∴AD ＝4， ∴AC ＝CD 2－AD 2＝ 415，∵OB ⊥AC ， ∴AE ＝CE ＝ 215， ∴OE ＝12AD ＝ 2，∴BE ＝6， ∴BC ＝BE 2＋CE 2＝4 6.5. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、E 是⊙O 上的点，且AC ︵＝EC ︵，连接AC 、BE ，并延长交于点D ，已知AB ＝2AC ＝6.第5题图(1)求DC 的长； (2)求EC ︵的长．解：(1)如解图，连接BC ，第5题解图∵ AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB ＝90°，CB ⊥AD ， ∵AC ︵＝EC ︵， ∴∠ABC ＝∠DBC ， ∴△ABD 为等腰三角形， ∵AB ＝2AC ＝6， ∴DC ＝AC ＝3；(2)如解图，连接OC 、OE ， ∵AB ＝2AC ＝6，∠ACB ＝90°， ∴∠ABC ＝30°，OC ＝OE ＝3， ∴∠DBC ＝∠ABC ＝30°∴∠COE ＝2∠DBC ＝60°，∴l EC ︵＝60×π×3180＝π.6. 如图，AB 为圆O 的直径，CD ⊥AB 于点E ，交圆O 于点D ，OF ⊥AC 于点F .第6题图(1)求证：OF ＝12BD ；(2)当∠D ＝30°，BC ＝1时，求圆中阴影部分的面积． (1)证明：如解图，连接OC ，第6题解图∵OF ⊥AC ，OA ＝OC ， ∴AF ＝FC ，∵OA ＝OB ，∴OF 是△ABC 的中位线，∴OF ＝12BC ，∵AB ⊥CD ，∴BC ︵＝BD ︵， ∴BC ＝BD ， ∴OF ＝12BD ；(2)解：∵∠D ＝30°， ∴∠A ＝∠D ＝30°， ∴∠COB ＝2∠A ＝60°， ∴∠AOC ＝120°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，BC＝1，∴AB＝2，AC＝3，由(1)可知OF＝12BC＝1 2，∵∠COB＝60°，OB＝OC，∴△BOC是等边三角形，∴OA＝OB＝BC＝1，∴S△AOC＝12AC ·OF＝12×3×12＝34，S扇形AOC＝120πOA2360＝π3，∴S阴影＝S扇形AOC－S△AOC＝π3－34.7. 如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，OD⊥AB交⊙O于点D，AC、OD的延长线交于点E，连接CD.(1)求证：∠ECD＝∠BCD；(2)当AC＝CD时，求证：CE＝CB.第20题图证明：(1)∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ECB＝90°，∵OD⊥AB，∴∠DOB＝90°，∴∠BCD＝12∠DOB＝45°，∴∠ECD＝∠ECB－∠BCD＝90°－45°＝45°，∴∠ECD ＝∠BCD ；(2)如解图，连接OC 、BD ，第7题解图∵AC ＝CD ，∴∠AOC ＝∠DOC ，∠ABC ＝∠DBC ， 又∵∠E ＋∠A ＝∠ABC ＋∠A ＝90°， ∴∠E ＝∠ABC ＝∠DBC ， 在△ECD 和△BCD 中⎩⎨⎧∠E ＝∠DBC∠ECD ＝∠BCD CD ＝CD， ∴△ECD ≌△BCD (AAS)， ∴CE ＝ CB .8. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，且BD 为直径，∠ACB ＝ 45°，过A 点的AC 的垂线交BC 的延长线于点E . (1)求证：BE ＝ DC ； (2)如果AD ＝2，求图中阴影的面积．第8题图解：(1)∵BD 是⊙O 的直径， ∴∠BAD ＝90°，∵∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠ACB ＝ 45°， ∵AE ⊥AC ，∴△ACE 与△ABD 是等腰直角三角形，∴AE ＝ AC ，AB ＝ AD ，∠EAC ＝ ∠BAD ＝ 90°， ∴∠EAB ＝ ∠CAD ， 在△ABE 与△ADC 中，⎩⎨⎧AE ＝AC∠EAB ＝ ∠CAD AB ＝AD， ∴△ABE ≌△ADC ， ∴BE ＝DC ；第8题解图(2)如解图，连接AO ，则∠AOD ＝ ∠ABD ＝90°， ∵AD ＝ 2， ∴AO ＝ OD ＝ 1， ∴S 阴影＝ S 扇形－S △AOD ＝90 ·π×12360－12×1×1＝ π4－12. 9. 如图，在△ABC 中，以AC 为直径的⊙O 分别交AB ，BC 于点D ，E ，连接DE ，AD ＝BD ，∠ADE ＝120°. (1)证明：△ABC 是等边三角形； (2)若AC ＝2，求图中阴影部分的面积．第9题图(1)证明：如解图，连接CD ， ∵AC 为⊙O 的直径， ∴CD ⊥AB ， ∵AD ＝BD ， ∴AC ＝BC ，∵∠ADE ＝120°，∴∠ACE ＝60°， 又∵AC ＝BC ，∴△ABC 是等边三角形；第9题解图(2)解：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB ＝∠ACB ＝∠B ＝60°，∵∠ADE ＝120°，∴∠BED ＝∠BDE ＝∠B ＝60°， ∴△BDE 是等边三角形， ∴BD ＝ED ， ∵AD ＝BD ，∴DE ＝AD ＝ BE ＝12AB ＝ 12BC ，∴DE ︵＝AD ︵，DE 为△ABC 的中位线，E 为BC 的中点， ∴S 弓形DE ＝S 弓形AD ，∴S 阴影＝S △DEB ＝ 12S △BDC ，∵AC ＝2，∴AD ＝BD ＝1，∴DC ＝3，∴S 阴影＝12×12×1×3＝ 34.10. 如图，在△ABC 中，AB ＝ AC ，以AB 为直径的半圆分别交AC ，BC 边于点D ，E ，连接BD .第10题图(1)求证：点E 是BD ︵的中点；(2)当BC ＝ 12，且AD ∶CD ＝1∶2，求⊙O 的半径． (1)证明：如解图，连接AE ，DE ，第10题解图∵AB 是直径， ∴AE ⊥BC ， ∵AB ＝ AC ， ∴BE ＝ EC ，∵∠CDB ＝90°，DE 是斜边BC 的中线， ∴DE ＝ EB ， ∴ED ︵＝ EB ︵，即点E 是BD ︵的中点； (2)设AD ＝x ，则CD ＝ 2x ， ∴AB ＝AC ＝3x ，∵AB 为直径， ∴∠ADB ＝90°， ∴BD 2＝ (3x )2－x 2＝8x 2， 在Rt △CDB 中， (2x )2＋8x 2＝122， ∴x ＝23， ∴OA ＝ 32x ＝33，即⊙O 的半径是3 3.类型二 与切线有关的证明与计算1. 如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，圆心O 在AC 上，∠A ＝ 30°，D 为BC ︵的中点．第1题图(1)求证：AB ＝BC ；(2)试判断四边形BOCD 的形状，并说明理由． 解：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴∠OBA ＝ 90°，∠AOB ＝ 90°－30°＝ 60°. ∵OB ＝OC ，∴∠OBC ＝∠OCB ，∠OCB ＝ ∠A ＝ 30°， ∴AB ＝ BC ；(2)四边形BOCD 为菱形，理由如下：连接OD 交BC 于点M ， ∵D 是BC ︵的中点，第1题解图∴OD 垂直平分BC ， 在Rt △OMC 中， ∵∠OCM ＝ 30°， ∴OC ＝2OM ＝OD ， ∴OM ＝MD ，∴四边形BOCD 为菱形．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上两点，∠BAC ＝∠DAC ，过点C 作直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC .(1)求证：EF 是⊙O 的切线；(2)若DE ＝1，BC ＝2，求劣弧BC ︵的长l .第2题图(1)证明：如解图，连接OC ， ∵OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝∠OCA ， ∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴∠DAC ＝∠OCA ， ∴AD ∥OC ， ∵EF ⊥AD ， ∴∠AEC ＝90°，∴∠OCF ＝∠AEC ＝90°， ∴EF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，连接OD ，DC .第2题解图∵∠DAC ＝12∠DOC ，∠OAC ＝12∠BOC ，∠DAC ＝∠OAC ， ∴∠DOC ＝∠BOC ， ∴DC ＝BC ＝2， 在Rt △EDC 中， ∵ED ＝1，DC ＝2， ∴sin ∠ECD ＝DE DC ＝12， ∴∠ECD ＝30°，∴∠OCD ＝90°－30°＝60°， 又∵OC ＝OD ，∴△DOC 为等边三角形，∴∠BOC ＝∠COD ＝60°，OC ＝2， ∴l ＝60π×2180＝23π. 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径的⊙O 与边BC ，AC 分别交于D ，E 两点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F .第3题图(1)求证：DF 是⊙O 的切线； (2)若AE ＝4，cos A ＝25，求DF 的长．(1)证明：如解图，连接OD ，第3题解图∵OB ＝OD ， ∴∠ODB ＝∠B . 又∵AB ＝AC ， ∴∠C ＝∠B . ∴∠ODB ＝∠C . ∴OD ∥AC ， ∵DF ⊥AC ， ∴∠DFC ＝90°.∴∠ODF ＝∠DFC ＝90°， ∵OD 是⊙O 的半径， ∴DF 是⊙O 的切线；(2)解：如解图，过点O 作OG ⊥AC ，垂足为点G . ∴AG ＝12AE ＝2.∵cos A ＝AG OA ＝25，∴OA ＝225＝5.∴OG ＝OA 2－AG 2＝21.∵∠ODF ＝∠DFG ＝∠OGF ＝90°. ∴四边形OGFD 为矩形， ∴DF ＝OG ＝21.4. 如图，已知△ABC为直角三角形，∠C＝90°，边BC是⊙O的切线，切点为D，AB经过圆心O并与圆相交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若AC＝8，tan∠DAC＝34，求⊙O的半径．第4题图(1)证明：如解图，连接OD，第4题解图∵BC是⊙O的切线，∴OD⊥BC，∴∠ODB＝90°，又∵∠C＝90°，∴AC∥OD，∴∠CAD＝∠ADO，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠CAD＝∠OAD，∴AD平分∠BAC；(2)解：∵AC＝8，tan∠P AC＝CDAC＝34，∴CD＝6，在Rt△ACD中，AD＝AC2＋CD2＝10，如解图，连接DE ，∵AE 为⊙O 的直径， ∴∠ADE ＝ 90°， ∴∠ADE ＝ ∠C ， ∵∠CAD ＝∠OAD ， ∴△ACD ∽△ADE ， ∴AD AC ＝ AE AD ，即108＝ AE10， ∴AE ＝252，∴⊙O 的半径是254.5. 如图，AB 为⊙O 的直径，CB ，CD 分别切⊙O 于点B ，D ，CD 交BA 的延长线于点E ，CO 的延长线交⊙O 于点G ，EF ⊥OG 于点F .(1)求证：∠FEB ＝∠ECF ； (2)若BC ＝6，DE ＝4，求EF 的长．第5题图(1)证明：∵EF ⊥OG ，BC 是⊙O 的切线， ∴∠CBA ＝ ∠EFC ＝90°，∴∠EOF ＋∠FEB ＝ 90°，∠BOC ＋∠BCO ＝90°， ∵∠EOF ＝ ∠COB ， ∴∠FEB ＝ ∠BCO ， ∵CB ，CD 是⊙O 的切线， ∴∠ECF ＝ ∠BCO ， ∴∠FEB ＝ ∠ECF ；(2)解：如解图，连接OD ，则OD ⊥CE ，第5题解图∵CB，CD为⊙O的切线，BC＝6，DE＝4，∴CD＝BC＝6，∴CE＝CD＋DE＝6＋4＝10，在Rt△CBE中，根据勾股定理得BE＝CE2－BC2＝102－62＝8，设OD＝x，则OE＝8－x，在Rt△ODE中，根据勾股定理得OE2＝OD2＋ED2，即(8－x)2＝x2＋42，解得x＝3，则OE＝5.在Rt△ODC中，根据勾股定理得OC＝CD2＋OD2＝62＋32＝35，∵∠EOF＝∠COB，∠EFO＝∠CBO，∴△EFO∽△CBO，∴EFCB＝OEOC，即EF6＝535，解得EF＝2 5.6. 如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB＝30°，延长CB至点D，使得CB＝BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE.(1)求证：BE是⊙O的切线；(2)当BE＝3时，求图中阴影部分的面积．第6题图 (1)证明：如解图，连接OB,第6题解图∵OB ＝OC ，∠ACB ＝30°，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°，∴∠D ＝60°，∵CB ＝BD ，∴BE ＝BD ，∴△BDE 为等边三角形，∴∠DBE ＝60°，∴∠EBO ＝180°－∠DBE －∠OBC ＝180°－60°－30°＝90°，即OB ⊥BE ，又∵OB 为⊙O 的半径，∴BE 是⊙O 的切线；(2)解：∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，在Rt △ABC 中，BC ＝BD ＝BE ＝3，∠ACB ＝30°，∴AB ＝BC ·tan30°＝ 3，AC ＝ 2AB ＝23，∴OA ＝12AC ＝3，∴S △ABC ＝12AB ·BC ＝ 12×3×3＝332， ∴S 阴影＝ S 半圆－S △ABC ＝ 12π×(3)2－332＝3π－332. 7. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO .(1)求证：BC 是∠ABE 的平分线；(2)若DC ＝ 8，⊙O 的半径OA ＝6，求CE 的长．第7题图(1)证明：∵BE ∥CO ，∴∠OCB ＝∠EBC ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ，∴∠OBC ＝∠EBC ，∴BC 是∠ABE 的平分线；(2)解：∵CD 是⊙O 的切线，∴CD ⊥CO ，∴∠DCO ＝90°，在Rt △DCO 中，有DC 2＋CO 2＝DO 2，即82＋62＝DO 2，∴DO ＝10，∵CO ∥BE ，∴CE DC ＝BO DO ，即CE 8＝610， ∴CE ＝4.8.8. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，以AB 为直径的⊙O 交AC 于点D ，BD 是⊙O 的弦，点E 是BC 的中点，连接DE .第8题图(1)求证：DE 是⊙O 的切线；(2)若CD ∶AD ＝1∶3，BC ＝2，求线段BD 的长． （1）证明：如解图，连接OD .第8题解图∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ADB ＝90°，∴∠CDB ＝90°，在Rt △CDB 中，∵点E 是BC 的中点，∴DE 是Rt △CDB 斜边BC 上的中线，∴ED ＝12BC ，EB ＝12BC ， ∴ED ＝EB ，∴∠EDB ＝∠EBD ，∵OD ＝OB ，∴∠ODB ＝∠OBD ，∠OBD ＋∠EBD ＝∠ODB ＋∠EDB ＝∠ABC ＝90°，∴∠ODE ＝90°，∴OD ⊥DE ，又∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线．（2）解：在Rt △CDB 和在Rt △CBA ，∵∠C=∠C ，∠CDB=∠ABC=90°，∴Rt △CDB ≌Rt △CBA.∴CD ：BC= BC ：AC ，∵CD ：AD=1：3，∴设CD 为x ,则AD =3x ，AC=4x ，∴x ：2=2：4x ，解得x 1=1， x 2=-1（舍），∴CD =1，∴BD=222221 3.BC CD -=-=9. 如图，在⊙O 中，AB 为直径，C 为圆上一点且∠P ＋12∠AOC ＝90°. (1)求证：P A 是⊙O 的切线；(2)cos B ＝45，P A ＝8，求⊙O 的半径．第9题图(1)证明：∵∠B 与∠AOC 所对的弧都为弧AC ，∴∠B ＝12∠AOC ， 又∵∠P ＋12∠AOC ＝90°， ∴∠P ＋∠B ＝90°.在△ABP 中，∠BAP ＝180°－90°＝90°，∴P A ⊥AB .又∵AB 为⊙O 的直径，∴P A 是⊙O 的切线；(2)解：在Rt △ABP 中，∵cos B ＝45，P A ＝8，∴AB PB ＝45. ∴设AB ＝4x ，则PB ＝5x ，根据勾股定理得P A 2＋AB 2＝PB 2，∴82＋(4x )2＝(5x )2，化简得：9x 2＝64，解得x ＝83. ∴AB ＝4×83＝323， ∴AO ＝12AB ＝12×323＝163. ∴⊙O 的半径为163.10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝ BC ＝ DC .(1)若∠CDB ＝39°，求∠BAD 的度数；(2)求证：∠1＝∠2.第10题图(1)解：∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝ 39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝ 39°，∠CAD ＝ ∠CBD ＝ 39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝ 39°＋39°＝ 78°；(2)证明：∵BC ＝ EC ，∴∠CBE ＝∠CEB ，∵∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝ ∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠CBD ，∴∠1＝ ∠2.。

2020中考数学 几何综合训练-圆（含答案）一、单选题（共有10道小题）1.在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（ ）A. 若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B. 若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点C. 若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点D. 若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径参考答案:C .2. 如图所示是某公园为迎接“中国——南亚博览会”设置的一休闲区．∠AOB =90°，»AB 的半径OA 长是6米，C 是OA 的中点，点D 在»AB 上，CD ∥OB ，则图中休闲区（阴影部分）的面积是（ ）平方米 A．10π⎛⎝ B．π⎛ ⎝C．6π⎛-⎝D．(6π-参考答案:C3.已知⊙O 的半径是6cm ，点O 到同一平面内直线l 的距离为5cm ，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A.相交B.相切C.相离D.无法判断参考答案:A4. 如图，AB 是⊙O 的弦，半径OA=2，∠AOB =120°，则弦AB 的长是（ ）A. 22B. 32C. 5D. 23参考答案:B5.如图，圆锥体的高h =r =2cm ，则圆锥体的全面积为（ ）cm 2草坪休闲区DCA OA ．43πB ．8πC ．12πD ．（43+4）π参考答案:D6.一个正多边形的每个外角都等于36°，那么它是( )A ．正六边形B ．正八边形C ．正十边形D ．正十二边形参考答案:C7.如图，半圆O 的直径AB =10cm ，弦AC =6cm ，AD 平分∠BAC ，则AD 的长为（ ）A.45cmB.35cmC.55cmD.4cm参考答案连接OD ，OC ，作DE ⊥AB 于E ，OF ⊥AC 于F ， ∵∠CAD=∠BAD （角平分线的性质），∴。

∴∠DOB=∠OAC=2∠BAD 。

又∵AO=DO ，∴△AOF ≌△OED （AAS ）。

2020中考数学压轴冲刺专题圆的几何证明与计算（含答案）1.如图，已知AB为⊙O的直径，F为⊙O上一点，AC平分∠BAF且交⊙O于点C，过点C作CD⊥AF于点D，延长AB、DC交于点E，连接BC、CF.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)若AD＝6，DE＝8，求BE的长；(3)求证：AF＋2DF＝AB.第1题图（1）证明：如解图，连接OC.第1题解图∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠CAD，又∠OAC=∠OCA,∴∠OCA=∠CAD，∴CO∥AD.又CD⊥AD，∴CD⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴CD 是⊙O 的切线；（2）解：在Rt △ADE 中，∵AD =6，DE =8，根据勾股定理得：AE =10，∵CO ∥AD ，∴△EOC ∽△EAD ,∴ADOC EA EO =. 设⊙O 的半径为r ，∴OE =10-r . ∴61010r r -=， ∴r =415， ∴BE =10-2r =25； （3）证明：如解图，过点C 作CG ⊥AB 于点G .∵∠OAC =∠CAD ，AD ⊥CD ，∴CG =CD ，在Rt △AGC 和Rt △ADC 中，∵CG =CD ，AC =AC ，∴Rt △AGC ≌Rt △ADC （HL ），∴AG =AD .又∵∠BAC =∠CAD ，∴BC =CF ，在Rt △CGB 和Rt △CDF 中，∵BC =FC ，CG =CD ，∴Rt △CGB ≌Rt △CDF （HL ），∴GB =DF .∵AG +GB =AB ，∴AD +DF =AB ，即AF +2DF =AB .2. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，E 是AC 的中点，OE 交CD 于点F .(1)若∠BCD ＝36°，BC ＝10，求BD ︵的长；(2)判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(3)求证：2CE 2＝AB ·EF .第2题图 （1）解：如解图，连接OD ，第2题解图 ∵∠BCD ＝36°，∴∠BOD ＝2∠BCD ＝2×36°＝72°，∵BC 是⊙O 的直径，BC ＝10，∴OB ＝5，∴l BD ︵＝72π×5180＝2π；(2)解：DE 是⊙O 的切线；理由如下：∵BC 是⊙O 的直径，∴∠ADC ＝180°－∠BDC ＝90°，又∵点E 是线段AC 中点，∴DE ＝12AC ＝EC ，在△DOE 与△COE 中，⎩⎪⎨⎪⎧OD ＝OCOE ＝OE DE ＝CE，∴△DOE ≌△COE (SSS)．∵∠ACB ＝90°，∴∠ODE ＝∠OCE ＝90°，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线；(3)证明：由(2)知，△DOE ≌△COE ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线，∴点F 是线段CD 中点，∵点E 是线段AC 中点，则EF ＝12AD ， ∵∠BAC ＝∠CAD ，∠ADC ＝∠ACB ，∴△ACD ∽△ABC ，则AC AB ＝AD AC ，即AC 2＝AB ·AD ， 而AC ＝2CE ，AD ＝2EF ，∴(2CE )2＝AB ·2EF ，即4CE 2＝AB ·2EF ，∴2CE 2＝AB ·EF .3. 如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，直线PO 交⊙O 于点E 、F ，过点B 作PO 的垂线BA ，垂足为点D ，交⊙O 于点A ，延长AO 与⊙O 交于点C ，连接BC ，AF .(1)求证：直线P A 为⊙O 的切线；(2)求证：EF 2＝4OD ·OP ；(3)若BC ＝6，tan F ＝12，求AC 的长.第3题图（1）证明：如解图，连接OB ，第3题解图∵PB 是⊙O 的切线，∴∠PBO ＝90°，∵OA ＝OB ，BA ⊥PO 于点D ，∴AD ＝BD ，∴点D 为AB 的中点，即OP 垂直平分AB ，∴∠APO ＝∠BPO ，∵∠ADP ＝∠BDP ＝90°，∴△APD ≌△BPD ，∴AP ＝BP ，在△P AO 和△PBO 中，⎩⎪⎨⎪⎧P A ＝PB ∠APO ＝∠BPO OP ＝OP，∴△P AO ≌△PBO （SAS ），∴∠P AO ＝∠PBO ＝90°，∵OA 为⊙O 的半径，∴直线P A 为⊙O 的切线；(2)证明：∵∠P AO ＝∠PDA ＝90°，∴∠OAD ＋∠AOD ＝90°，∠OP A ＋∠AOP ＝90°，∴∠OAD ＝∠OP A ，∴△OAD ∽△OP A ，∴OA OP ＝OD OA，即OA 2＝OD ·OP ， 又∵EF ＝2OA ，∴EF 2＝4OD ·OP ；(3)解：∵OA ＝OC ，AD ＝BD ，BC ＝6，∴OD ＝12BC ＝3， 设AD ＝x ，∴tan F ＝AD DF ＝x DF ＝12， ∴DF ＝2x ，∴OA ＝OF ＝2x －3，在Rt △AOD 中，由勾股定理得(2x－3)2＝x2＋32，解得x1＝4或x2＝0(不合题意，舍去)，∴OA＝2x－3＝5，∵AC为⊙O的直径，∴AC＝2OA＝10.4.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交直径AB于点F，连接BE.(1)求证：AC平分∠DAB；(2)求证：PC=PF；(3)若tan∠PCB＝34，BE＝52，求PF的长．第4题图（1）证明：如解图，连接OC，第4题解图∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，∵PC是⊙O的切线，且AD⊥CD，∴∠OCP＝∠D＝90°，∴OC∥AD，∴∠CAD＝∠OCA＝∠OAC，即AC平分∠DAB；(2)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠PCB＋∠ACD＝90°，又∵∠CAD＋∠ACD＝90°，∴∠CAB＝∠CAD＝∠PCB.∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE ＝∠BCE ，∵∠PFC ＝∠CAB ＋∠ACE ，∠PCF ＝∠PCB ＋∠BCE ， ∴∠PFC ＝∠PCF ，∴PC ＝PF ；(3)解：如解图，连接AE ，∵∠ACE ＝∠BCE ，∴AE ︵＝BE ︵，∴AE ＝BE ， 又∵AB 是直径，∴∠AEB ＝90°，AB ＝2BE ＝10，∴OB ＝OC ＝5，∵∠PCB ＝∠P AC ，∠P ＝∠P ，∴△PCB ∽△P AC ，∴PB PC ＝BC CA ， ∵tan ∠PCB ＝tan ∠CAB ＝34，∴PB PC ＝BC CA ＝34， 设PB ＝3x ，则PC ＝4x ，在Rt △POC 中，根据勾股定理得，(3x ＋5)2＝(4x )2＋52，解得x 1＝0，x 2＝307. ∵x ＞0，∴x ＝307，∴PF ＝PC ＝1207. 5. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 、G 是⊙O 上两点，且点C 是劣弧»AG 的中点，过点C 的直线CD ⊥BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F .(1)求证：CD 是⊙O 的切线；(2)若ED ＝3DB ，求证：3OF ＝2DF ；(3)在(2)的条件下，连接AD ，若CD ＝3，求AD 的长．第5题图(1)证明：如解图①，连接OC 、AC 、CG ，∵AC ︵＝CG ︵，∴AC ＝CG ， ∴∠ABC ＝∠CBG ，∵OC ＝OB ，∴∠OCB ＝∠OBC ， ∴∠OCB ＝∠CBG ，∴OC ∥BG ，∵CD ⊥BG ，∴OC ⊥CD ，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；第5题解图○1(2)证明：∵O C∥BD，∠CFO＝∠DFB，∴∠OCB＝∠CBD，∠EOC＝∠EBD，∴△OCF ∽△DBF，△EOC ∽△EBD，∴OCBD＝OFDF，OCBD＝OEBE，∴OFDF＝OEBE，∵ED＝3DB，∠EDB＝90°，∴∠E＝30°，∴OC＝12OE，∵OA＝OC，∴AE＝OA＝OC＝OB，∴OFDF＝OEBE＝2OA3OA＝23，即3OF＝2DF；(3)解：如解图②，过A作AH⊥DE，交DE于点H，∵∠E ＝30°，∴∠EBD ＝60°，∵∠ABC ＝∠CBD ，∴∠CBD ＝12∠EBD ＝30°， ∵CD＝3，∴BD ＝CD tan30°＝33， ∴BE ＝33sin30°＝63，DE ＝3BD ＝9， ∵AE ＝13BE ，AH ∥BD ， ∴AH ＝13BD ＝3，DH ＝23DE ＝6， ∴AD ＝（3）2＋62＝39.第5题解图○26. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线.以O 为圆心，OC 长为半径作⊙O ，连接AO 交⊙O 于点E ，延长AO 交⊙O 于点D.(1)求证：AB 是⊙O 的切线；(2)若tan D ＝12，求AE AC的值； (3)设⊙O 的半径为3，求AB 的长．第6题图(1)证明：如解图，过O作OF⊥AB交AB于F，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∵AO是△ABC的角平分线，OF⊥AB，∴CO＝FO，∴FO为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线；第6题解图(2)解：如解图，连接CE，∵ED是⊙O的直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ECO＋∠OCD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACE＋∠ECO＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠ODC，∵∠CAE＝∠CAE，∴△ACE∽△ADC，∴AEAC＝CEDC，∵tan D＝CECD＝12，∴AEAC＝12；(3)解：由(2)知AEAC＝12，设AE＝c，则AC=2c，在Rt△ACO中，∴(2c)2＋32＝(c＋3)2，解得c＝2或c=0（舍去），∴AF＝AC＝2c＝4，∵在△BFO和△BCA中，∠B＝∠B，∠BFO＝∠BCA＝90°，∴△BFO∽△BCA，∴BFBC＝FOCA＝BOAB，设BF＝x，BO＝y，∴x3＋y＝34＝y4＋x，解得x＝727，y＝757，∴AB＝AF＋BF＝4＋727＝1007.7.如图，⊙O是△ABC的外接圆，O点在BC边上，∠BAC的平分线交⊙O于点D，连接BD，CD.过点D作BC的平行线，与AB的延长线相交于点P.(1)求证：PD是⊙O的切线；(2)求证：△PBD∽△DCA；(3)当AB＝6，AC＝8时，求线段PB的长．第7题图(1)证明：∵圆心O在BC上，∴BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°.如解图，连接OD.第7题解图∵AD平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠DAC.∵∠DOC＝2∠DAC，∴∠DOC＝∠BAC＝90°.即OD⊥BC.∵PD∥BC，∴OD⊥PD.又OD是⊙O的半径，∴PD是⊙O的切线；(2)证明：∵PD∥BC，∴∠P＝∠ABC.又∠ABC＝∠ADC，∴∠P＝∠ADC.∵∠PBD＋∠ABD＝180°，∠ACD＋∠ABD＝180°，∴∠PBD＝∠ACD.∴△PBD∽△DCA；(3)解：∵△ABC是直角三角形，∴BC2＝AB2＋AC2＝62＋82＝100.∴BC＝10.∵OD垂直平分BC，∴DB＝DC.∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°.在等腰直角三角形BDC中．DC＝DB＝5 2.∵△PBD∽△DCA，∴PBDC＝BDCA，即PB＝DC·BDCA＝52×528＝254.8.如图，AB是⊙O的直径，点P在AB的延长线上，弦CE交AB于点D，连接OE，AC，且∠P＝∠E，∠POE＝2∠CAB.(1)求证：CE⊥AB；(2)求证：PC是⊙O的切线；(3)若BD＝2OD，且PB＝9，求tan P的值．第8题图（1）证明：如解图，连接OC，第8题解图∴∠COB＝2∠CAB，又∵∠POE＝2∠CAB，∴∠COD＝∠EOD，又∵OC＝OE，∴CE⊥AB;(2)证明：∵CE⊥AB，∠P＝∠E，∴∠P＋∠PCD＝∠E＋∠PCD＝90°，又∠OCD＝∠E，∴∠OCD＋∠PCD＝∠PCO＝90°，∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线；(3)解：设⊙O的半径为r，OD＝x，则BD＝2x，r＝3x，∵CD⊥OP，OC⊥PC，∴Rt△OCD∽Rt△OPC，∴OC2＝OD·OP，即(3x)2＝x(3x＋9)，解得x＝32或x=0（舍去），∴⊙O的半径r为9 2，同理可得PC2＝PD·PO＝(PB＋BD) ·(PB＋OB)＝162，∴PC＝92，在Rt△OCP中，tan P＝OCPC＝24.9.如图，AC是⊙O的直径，弦BE⊥AC于H，F为⊙O上的一点，过点F的直线与AC的延长线交于点D，与BE的延长线交于点M，连接AF交BM于G，且MF＝MG.(1)求证：MD为⊙O的切线；(2)求证：当MD∥AB时，FG2＝MF·EG；(3)在(2)的条件下，若cos M＝45，FD＝6，求AG的长．第9题图(1)证明：∵MF＝MG，∴∠MFG＝∠MGF＝∠AGB，如解图，连接FO，∵OF＝AO，∴∠OF A=∠OAF，∵BE⊥AC，∴∠AGH+∠OAF=∠MFG+∠OF A=90°，即∠MFO＝90°，∵OF为⊙O的半径，∴MD为⊙O的切线；(2) 证明：∵MD∥AB，∴∠M＝∠ABM，如解图，连接EF，∵∠EFG＝∠ABM，∴∠M＝∠EFG，∵∠MGF＝∠FGE，∴△MGF∽△FGE，∴FGMG＝EGFG，又∵MG=MF，∴FG2＝MF·EG；第9题解图（3）∵∠M＝∠ABM，cos M＝45，∴设AH＝3k，AB＝5k，HB＝4k，如解图，连接OB，∵∠FOD＝∠M，FD＝6，∴FO＝8＝OB＝OA，∴OH＝8－3k，∴OH 2＋HB 2＝OB2，∴(4k)2＋(8－3k)2＝82，解得k＝4825或k=0（舍去），∵MD∥AB，∴∠MFG＝∠BAF，∴∠BGA＝∠BAG，∴AB＝GB＝5k，∴GH＝k，∴AG＝10k，∴AG＝48 2510.10.如图①，AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E.(1)求证：DE是⊙O的切线;(2)若AB＝10，AC＝6，求BD的长；(3)如图②，若F是OA的中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG＝194，tan∠BAD＝34，求⊙O的半径．图①图②第10题图（1）证明：如解图①，连接OD，第10题解图①∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD＝∠DAE，∴∠ODA＝∠DAE，∴OD∥AE，∴∠ODE＋∠AED＝180°，∵∠AED＝90°，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE，∵OD是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2)解：如解图①，连接BC，交OD于点N，∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA＝90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON＝12AC，∴∠ONB＝90°，且ON＝3，OB=5，则BN＝4，ND＝2，∴BD＝42＋22＝25；（3）解：如解图②，设FG与AD交于点H，第10题解图②根据题意，设AB＝5x，AD＝4x，则AF＝54x，FH＝AF·tan∠BAD＝54x·34＝1516x，AH＝AFcos∠BAD＝54x45＝2516x，HD＝AD－AH＝4x－2516x＝3916x，由（1）可知，∠HDG＋∠ODA＝90°，在Rt△HF A中，∠F AH＋∠FHA＝90°，∵∠OAD＝∠ODA，∠FHA＝∠DHG，∴∠DHG＝∠HDG，∴GH＝GD，过点G作GM⊥HD，交HD于点M，∴MH＝MD，∴HM＝12HD＝12×3916x＝3932x，∵∠F AH＋∠AHF＝90°，∠MHG＋∠HGM＝90°，∴∠F AH＝∠HGM，在Rt △HGM 中，HG ＝HM sin ∠HGM ＝3932x 35＝6532x ， ∵FH ＋GH ＝194， ∴1516x ＋6532x ＝194， 解得x ＝85， ∴此⊙O 的半径为52×85＝4.。

2020中考数学临考大专题复习：圆（含答案）一、选择题（本大题共8道小题）1. 如图，AB为☉O的切线.切点为A，连接AO，BO，BO与☉O交于点C，延长BO与☉O交于点D，连接AD.若∠ABO=36°，则∠ADC的度数为()A.54°B.36°C.32°D.27°2. 如图，AB，AC分别是☉O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，若AB=10，AC=8，则BD的长为()A.2√5B.4C.2√13D.4.83. 下列四个命题:①直径所对的圆周角是直角;②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形;③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等;④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为 ()A.1B.2C.3D.4⏜=CB⏜.若∠C=110°，4. 如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，DC则∠ABC的度数等于()A.55°B.60°C.65°D.70°5. 如图，☉O的直径AB垂直于弦CD.垂足是点E，∠CAO=22.5°，OC=6，则CD的长为()A.6√2B.3√2C.6D.126. 如图，已知AB是☉O的直径，点P在BA的延长线上，PD与☉O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C.若☉O的半径为4，BC=6，则P A的长为()A.4B.2√3C.3D.2.57. 小红不小心把家里的一块圆形玻璃镜打碎了，需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是()A.AB，AC边上的中线的交点B.AB，AC边上的垂直平分线的交点C.AB，AC边上的高所在直线的交点D.∠BAC与∠ABC的角平分线的交点8. 如图，弦CD垂直于⊙O的直径AB，垂足为H，且CD＝22，BD＝3，则AB的长为()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5道小题）9. 如图所示，AB是☉O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，CD=2√3，则☉O的半径是.10. 如图所示，AB为☉O的直径，点C在☉O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC=65°，连接AD，则∠BAD=度.11. 如图，∠AOB=90°，∠B=30°，以点O为圆心，OA为半径作弧，交AB于点A，C，交OB于点D，若OA=3，则阴影部分的面积为.12. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE，若∠ABC=64°，则∠BAE的度数为.⏜上.若13. 如图，☉O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧EDF∠BAC=66°，则∠EPF等于度.三、解答题（本大题共4道小题）14. 如图，四边形ABCD是正方形，以边AB为直径作☉O，点E在BC边上，连接AE交☉O于点F，连接BF并延长交CD于点G.(1)求证:△ABE≌△BCG.⏜的长.(结果保留π)(2)若∠AEB=55°，OA=3，求BF15. 如图，AB是☉O的直径，点C，D为半圆O的三等分点，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E.(1)求证:CE为☉O的切线.(2)判断四边形AOCD是否为菱形?并说明理由.16. 如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝α，且DM交AC于F，ME交BC于G.(1)写出图中两对相似三角形，并证明其中的一对；(2)请连接FG，如果α＝45°，AB＝42，AF＝3，求FG的长．17. 如图，过☉O外一点P作☉O的切线P A，切☉O于点A，连接PO并延长，与☉O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC，CM.(1)求证:CM2=MN·MA;(2)若∠P=30°，PC=2，求CM的长.2020中考数学 临考大专题复习：圆-答案一、选择题（本大题共8道小题）1. 【答案】D [解析]∵AB 为☉O 的切线，∴∠OAB=90°. ∵∠ABO=36°，∴∠AOB=90°-∠ABO=54°.∵OA=OD ，∴∠ADC=∠OAD ，∵∠AOB=∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC=12∠AOB=27°，故选D .2. 【答案】C[解析]∵AB 是直径，∴∠C=90°，∴BC=√AB 2-AC 2=6.∵OD ⊥AC ，∴CD=AD=12AC=4， ∴BD=√BC 2+CD 2=2√13，故选C .3. 【答案】C4. 【答案】A[解析]连接AC ，∵四边形ABCD 是半圆的内接四边形，∴∠DAB=180°-∠C=70°.∵DC ⏜=CB ⏜，∴∠CAB=12∠DAB=35°.∵AB 是直径，∴∠ACB=90°， ∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，故选A .5. 【答案】A[解析]∵∠A=22.5°，∴∠COE=45°，∵☉O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∴∠CEO=90°，CE=DE. ∵∠COE=45°， ∴CE=OE=√22OC=3√2， ∴CD=2CE=6√2，故选A .6. 【答案】A[解析]如图，连接OD.∵PC切☉O于点D，∴OD⊥PC.∵☉O的半径为4，∴PO=P A+4，PB=P A+8.∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC，∴△POD∽△PBC，∴ODBC =POPB，即46=PA+4PA+8，解得P A=4.故选A.7. 【答案】B[解析]本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B.8. 【答案】B【解析】由垂径定理可得DH＝2，所以BH＝BD2－DH2＝1，又可得△DHB∽△ADB，所以有BD2＝BH·BA，(3)2＝1×BA，AB＝3.二、填空题（本大题共5道小题）9. 【答案】2[解析]连接OC，则OA=OC，∴∠A=∠ACO=30°，∴∠COH=60°.∵OB⊥CD，CD=2√3，∴CH=√3，∴OH=1，∴OC=2.10. 【答案】20[解析]如图，连接DO，∵CO⊥AB，∴∠COB=90°，∵∠AEC=65°，∴∠C=25°，∵OD=OC，∴∠ODC=∠C=25°，∴∠DOC=130°，∴∠DOB=40°，∵2∠BAD=∠DOB，∴∠BAD=20°.11. 【答案】34π[解析]连接OC，过点C作CN⊥AO于点N，CM⊥OB于点M，∵∠AOB=90°，∠B=30°，∴∠A=60°，∵OA=OC，∴△AOC为等边三角形，∵OA=3，∴CN=32√3，CM=ON=32，∴S扇形AOC =32π，S△AOC=94√3，在Rt △AOB 中，OB=√3OA=3√3，S △OCB =94√3，∠COD=30°，S 扇形COD =34π，∴S 阴影=S 扇形AOC -S △AOC +S △OCB -S 扇形COD =34π.12. 【答案】52°[解析]∵圆内接四边形对角互补，∴∠B +∠D=180°，∵∠B=64°，∴∠D=116°.∵点D 关于AC 的对称点是点E ，∴∠D=∠AEC=116°. ∵∠AEC=∠B +∠BAE ，∴∠BAE=52°.13. 【答案】57[解析]连接OE ，OF .∵☉O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ，∴OF ⊥AC ，OE ⊥AB ，∴∠BAC +∠EOF=180°，∵∠BAC=66°， ∴∠EOF=114°.∵点P 在优弧EDF ⏜上， ∴∠EPF=12∠EOF=57°.故填:57.三、解答题（本大题共4道小题）14. 【答案】解:(1)证明:∵四边形ABCD 是正方形，AB 为☉O 的直径， ∴∠ABE=∠BCG=∠AFB=90°，AB=BC ， ∴∠BAF +∠ABF=90°，∠ABF +∠EBF=90°， ∴∠EBF=∠BAF ， 在△ABE 与△BCG 中，{∠BAF =∠EBF ，AB =BC ，∠ABE =∠BCG ，∴△ABE ≌△BCG (ASA). (2)连接OF ，∵∠ABE=∠AFB=90°，∠AEB=55°， ∴∠BAE=90°-55°=35°， ∴∠BOF=2∠BAE=70°. ∵OA=3， ∴BF⏜的长=70×π×3180=7π6.15. 【答案】解:(1)证明:如图，连接OD ，∵点C ，D 为半圆O 的三等分点， ∴∠AOD=∠COD=∠COB=60°. ∵OA=OD ，∴△AOD 为等边三角形， ∴∠DAO=60°， ∴AE ∥OC. ∵CE ⊥AD ， ∴CE ⊥OC ， ∴CE 为☉O 的切线. (2)四边形AOCD 为菱形. 理由:∵OD=OC ，∠COD=60°， ∴△OCD 为等边三角形， ∴CD=CO. 同理:AD=AO. ∵AO=CO ，∴AD=AO=CO=DC ， ∴四边形AOCD 为菱形.16. 【答案】解：(1)△AMF ∽△BGM ，△DMG ∽△DBM ，△EMF ∽△EAM 等．(写出两对即可)以下证明△AMF ∽△BGM.由题知∠A ＝∠B ＝∠DME ＝α，而∠AFM ＝∠DME ＋∠E ，∠BMG ＝∠A ＋∠E ，∴∠AFM ＝∠BMG ，∴△AMF ∽△BGM. (2)当α＝45°时，可得AC ⊥BC 且AC ＝BC ，∵M 为AB 中点， ∴AM ＝BM ＝2 2.由△AMF ∽△BGM 得，AF·BG ＝AM·BM ，∴BG ＝83.又AC ＝BC ＝42cos 45°＝4，∴CG ＝4－83＝43，CF ＝4－3＝1，∴FG ＝（43）2＋12＝53.17. 【答案】解:(1)证明:∵在☉O 中，点M 是半圆CD 的中点，∴∠CAM=∠DCM ， 又∵∠CMA 是△CMN 和△AMC 的公共角， ∴△CMN ∽△AMC ，∴CM AM =MNMC ，∴CM 2=MN ·M A . (2)连接OA ，DM ，∵P A 是☉O 的切线，∴∠P AO=90°， 又∵∠P=30°， ∴OA=12PO=12(PC +CO ). 设☉O 的半径为r ，∵PC=2，∴r=12(2+r )，解得r=2. 又∵CD 是直径，∴∠CMD=90°， ∵点M 是半圆CD 的中点，∴CM=DM ， ∴△CMD 是等腰直角三角形， ∴在Rt △CMD 中，由勾股定理得CM 2+DM 2=CD 2，∴2CM 2=(2r )2=16，∴CM 2=8，∴CM=2√2.。