2020届中考数学十大题型专练卷 题型08 与圆有关的证明与计算题
一、单选题
1．如图，AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，点D 是O e 上一点，30ADC ∠=︒，则BOC ∠的度数为（ ）．
A ．30°
B ．40°
C ．50°
D ．60°
【答案】D
【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC =∠OCA =∠AOC ，得出△OAC 是等腰三角形，得出∠BOC =∠AOC =60°即可． 【详解】解：如图，∵30ADC ∠=︒， ∴260AOC ADC ∠=∠=︒．
∵AB 是O e 的弦，OC AB ⊥交O e 于点C ，
∴»»AC BC
=． ∴60AOC BOC ∠=∠=︒． 故选：D ．
【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明»»AC BC
=. 2．如图，AB 为O e 的切线，切点为A ，连接AO BO 、，BO 与O e 交于点C ，延长BO 与O e 交于点D ，连接AD ，若36ABO ∠=o ，则ADC ∠的度数为( )
A ．54o
B ．36o
C ．32o
D ．27o
【答案】D
【分析】由切线性质得到AOB ∠，再由等腰三角形性质得到OAD ODA ∠=∠，然后用三角形外角性质得出ADC ∠
【详解】切线性质得到90BAO ∠=o
903654AOB ∴∠=-=o o o
OD OA =Q
OAD ODA ∠=∠∴
AOB OAD ODA ∠=∠+∠Q
27ADC ADO ∴∠=∠=o
故选D
【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键
3．如图，ABC ∆是O e 的内接三角形，119A ∠=︒，
过点C 的圆的切线交BO 于点P ，则P ∠的度数为（ ）
A ．32°
B ．31°
C ．29°
D ．61°
【答案】A
【分析】根据题意连接OC ，COP ∆为直角三角形，再根据BC 的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的COP ∠的度，再根据直角三角形可得P ∠的度数. 【详解】根据题意连接OC .因为119A ∠=︒
所以可得BC 所对的大圆心角为2119238BOC ︒︒∠=⨯= 因为BD 为直径，所以可得23818058COD ︒︒︒∠=-= 由于COP ∆为直角三角形 所以可得905832P ︒︒︒∠=-= 故选A .
【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.
4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点O 是这段弧所在圆的圆心，40AB m =，点C 是¶AB 的中点，且10CD m =，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A ．25m
B ．24m
C ．30m
D ．60m
【答案】A
【分析】根据题意，可以推出AD ＝BD ＝20，若设半径为r ，则OD ＝r ﹣10，OB ＝r ，结合勾股定理可推出半径r 的值．
【详解】解：OC AB ⊥Q ，
20AD DB m ∴==，
在Rt AOD ∆中，222OA OD AD =+， 设半径为r 得：()2
221020r r =-+， 解得：25r m =，
∴这段弯路的半径为25m
故选：A ．
【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r 后，用r 表示出OD 、OB 的长度．
5．如图，点C 为扇形OAB 的半径OB 上一点，将OAC ∆沿AC 折叠，点O 恰好落在»AB 上的点D 处，且
¼¼:1:3BD AD ''=（¼BD
'表示»BD 的长），若将此扇形OAB 围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（ ）
A ．1:3
B ．1:π
C ．1:4
D ．2:9
【答案】D
【分析】连接OD ，求出∠AOB ，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可. 【详解】解：连接OD 交AC 于M ．
由折叠的知识可得：1
2
OM OA =
，90OMA ∠=︒， 30OAM ∴∠=︒， 60AOM ∴∠=︒，
Q 且¼¼:1:3BD AD ''=，
80AOB ∴∠=︒
设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，
802180
l
r ππ=， :2:9r l ∴=．
故选：D ．
【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.
6．如图，边长为ABC ∆的内切圆的半径为( )
A ．1 B
C ．2
D ．【答案】A
【分析】连接AO 、CO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图，利用内心的性质得CH 平分∠BCA ，AO 平分∠BAC ，再根据等边三角形的性质得∠CAB =60°，CH ⊥AB ，则∠OAH =30°，AH =BH =1
2
AB =3，然后利用正切的定义计算出OH 即可．
【详解】设ABC ∆的内心为O ，连接AO 、BO ，CO 的延长线交AB 于H ，如图， ∵ABC ∆为等边三角形，
∴CH 平分BCA ∠，AO 平分BAC ∠，∵ABC ∆为等边三角形， ∴60CAB ︒∠=，CH AB ⊥，
∴30OAH ︒∠=，1
2
AH BH AB ==
=
