2002年普通高等学校招生全国统一考试
数学试卷（理科）及答案
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．
第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．第I 卷1至2页．第II 卷3至9页．共150分．考试时间120分钟． （1）圆1)1(22=+-y x
的圆心到直线3
y x =
的距离是
（A ）
2
1 （B ）
2
3 （C ）1 （D ）3
（2）复数3
)2
32
1(
i +
的值是
（A ）i - （B ）i （C ）1- （D ）1 （3）不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是
（A ）}10|{<≤x x （B ）0|{<x x 且}1-≠x （C ）}11|{<<-x x （D ）1|{<x x 且}1-≠x （4）在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 的取值范围是 （A ）)4
5,
()2,4(
πππ
π （B ）),4
(
ππ
（C ）)45,
4
(
ππ
（D ）)2
3,
4
5(
),4
(ππππ
（5）设集合},41
2|{Z k k x x M ∈+=
=，},2
1
4|{Z k k
x x N ∈+
=
=，则
（A ）N M = （B ）N M ⊂ （C ）N M ⊃ （D ）∅=N M
（6）点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==t
y t x 22
（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为
（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）2
（7）一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积恰好与半球的体积相等，那么这个圆锥轴截面顶角的余弦值是 （A ）
4
3 （B ）
5
4 （C ）
5
3 （D ）5
3-
（8）正六棱柱111111F E D C B A ABCDEF -的底面边长为1，侧棱长为2，则这个棱柱侧面对角线D E 1与1BC 所成的角是
（A ）︒90 （B ）︒60 （C ）︒45 （D ）︒30 （9）函数c bx x y ++=2（),0[+∞∈）是单调函数的充要条件是 （A ）0≥b （B ）0≤b （C ）0>b （D ）0<b （10）函数1
11--=x y 的图象是
（11）从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有 （A ）8种 （B ）12种 （C ）16种 （D ）20种
（12）据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》：“2001年国内生产总值达到95933亿元，比上年增长7.3%”，如果“十•五”期间（2001年－2005年）每年的国内生产总值都按此年增长率增长，那么到“十•五”末我国国内年生产总值约为
（A ）115000亿元 （B ）120000亿元 （C ）127000亿元 （D ）135000亿元
第II 卷(非选择题共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线． （13）函数x
a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝ （14）椭圆552
2=+ky
x 的一个焦点是)2,0(，那么=k
（15）7
2
)2)(1(-+x x 展开式中3
x 的系数是
（16）已知2
21)(x
x
x f +=
，那么)4
1
()4()3
1()3()2
1()2()1(f f f f f f f ++++++＝
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
（17）已知12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，)2
,
0(π
α∈，求αsin 、αtg 的值（18）如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==（20<<a ）
（1）求MN 的长；
（2）a 为何值时，MN 的长最小；
（3）当MN 的长最小时，求面MNA 与面MNB 所成二面角α的大小
（19）设点P 到点)0,1(-、)0,1(距离之差为m 2，到x 、y 轴的
距离之比为2，求m 的取值范围
（20）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的
6%，并且每年新增汽车数量相同为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？
（21）设a 为实数，函数1||)(2+-+=a x x x f ，R x ∈ （1）讨论)(x f 的奇偶性； （2）求)(x f 的最小值
（22）设数列}{n a 满足：12
1+-=+n n n na a a ， ,3,2,1=n （I ）当21=a 时，求432,,a a a 并由此猜测n a 的一个通项公式； （II ）当31≥a 时，证明对所的1≥n ，有 （i ）2+≥n a n （ii ）
2
1111111113
2
1
≤++
+++
++
+n
a a a a
A
D
E
参考答案 一、选择题
二、填空题
（13）2 （14）1 （15）1008 （16）2
7
三、解答题
（17）解：由12cos cos 2sin 2sin 2=-+αααα，得
0cos 2cos sin 2cos sin 42
222=-+ααααα 0)1sin sin 2(cos 22
2
=-+ααα 0)1)(sin 1sin 2(cos 22=+-ααα
∵)2
,
0(π
α∈
∴01sin ≠+α，0cos 2≠=α ∴01sin 2=-α，即2
1sin =α
∴6
π
α=
∴3
3=αtg
（18）解（I ）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连结PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且NQ MP =，即MNQP 是平行四边形
∴PQ MN =
由已知a BN CM ==，1===BE AB CB ∴2=
=BF AC ，a BQ CP 22=
=
)
20( 2
1)22( )
2
(
)21( )1(2
2
2
2
2<<+
-=+-
=
=+-==a a a a BQ CP PQ MN
（II ）由（I ） 2
1)2
2( 2
+
-
=
a MN
所以，当2
2=a 时，2
2=
MN
即当M 、N 分别为AC 、BF 的中点时，MN 的长最小，最小值为2
2
（III ）取MN 的中点G ，连结AG 、BG ， ∵BN BM AN AM ==,，G 为MN 的中点
∴MN BG MN AG ⊥⊥,，即AGB ∠即为二面角的平面角α
又4
6==BG AG ，所以，由余弦定理有
3
14
6
4621)4
6(
)4
6(
cos 2
2
-
=⋅
⋅
-+=
α
故所求二面角为3
1arccos -=πα
（19）解：设点P 的坐标为),(y x ，依题设得2|
|||=x y ，即x y 2±=，0≠x
因此，点),(y x P 、)0,1(-M 、)0,1(N 三点不共线，得
2||||||||=<-MN PN PM
∵0||2||||||>=-m PN PM ∴1||0<<m
因此，点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为||2m 的双曲线上，故 112
22
2=--
m
y
m
x
将x y 2±=代入
112
22
2=--
m
y
m
x ，并解得
2
22
2
51)1(m
m m x
--=
，因012>-m
所以0512>-m
解得5
5||0<<m
即m 的取值范围为)5
5,
0()0,5
5( -
（20）解：设2001年末汽车保有量为1b 万辆，以后各年末汽车保有量依次为2b 万辆，3b 万辆，…，每年新增汽车x 万辆，则 301=b ，x b b +⨯=94.012
对于1>n ，有
)94.01(94.0 94.02
11x b x b b n n n ++⨯=+⨯=-+
所以)94.094.094.01(94.0211n
n n x b b +++++⨯=+
x b n
n
06
.094.0194
.01-+
⨯=
n
x x 94.0)06
.030(06
.0⨯-+=
当006
.030≥-
x
，即8.1≤x 时
3011=≤≤≤+b b b n n
当006
.030<-
x ，即8.1>x 时
数列}{n b 逐项增加，可以任意靠近
06
.0x
06
.0]94.0)06
.030(06
.0[
lim lim 1
x x x b n n n n =
⨯-
+=-+∞
→+∞
→
因此，如果要求汽车保有量不超过60万辆，即
60≤n b （ ,3,2,1=n ）
则
6006
.0≤x ，即6.3≤x 万辆
综上，每年新增汽车不应超过6.3万辆
（21）解：（I ）当0=a 时，函数)(1||)()(2x f x x x f =+-+-=- 此时，)(x f 为偶函数
当0≠a 时，1)(2+=a a f ，1||2)(2++=-a a a f ，
)()(a f a f -≠，)()(a f a f --≠
此时)(x f 既不是奇函数，也不是偶函数
（II ）（i ）当a x ≤时，4
3)21(1)(2
2+
+-=++-=a x a x x x f
当2
1≤
a ，则函数)(x f 在],(a -∞上单调递减，从而函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为
1)(2
+=a a f ．
若21
>
a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f +=
43
)21(，且)()2
1
(a f f ≤．
（ii ）当a x ≥时，函数4
3)21(1)(22
+-+=+-+=a x a x x x f
若21-≤a ，则函数)(x f 在],(a -∞上的最小值为a f -=
-
4
3)2
1(，且)()2
1(a f f ≤-
若2
1-
>a ，则函数)(x f 在),[+∞a 上单调递增，从而函数)(x f 在),[+∞a 上的最小值为
1)(2
+=a a f ．
综上，当2
1-
≤a 时，函数)(x f 的最小值为
a -4
3
当2
12
1≤<-
a 时，函数)(x f 的最小值为12
+a
当2
1>a 时，函数)(x f 的最小值为
a +43．
（22）解（I ）由21=a ，得3112
12=+-=a a a 由32=a ，得41222
23=+-=a a a 由43=a ，得5133234=+-=a a a
由此猜想n a 的一个通项公式：1+=n a n （1≥n ） （II ）（i ）用数学归纳法证明：
①当1=n 时，2131+=≥a ，不等式成立． ②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么
3521)2)(2(1)(1+≥+=+-++≥+-=+k k k k k k a a a k k k ．
也就是说，当1+=k n 时，2)1(1++≥+k a k 据①和②，对于所有1≥n ，有2n a n ≥+． （ii ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（i ），对2≥k ，有
1)1(11++-=--k a a a k k k
121)121(11+=++-+-≥--k k a k k a
……
1)1(2
122
2
11
2
11
-+=++++≥---a a a k k k k
于是
1
1
2
11111-⋅
+≤
+k k
a a ，2≥k
2
13
12122
1112
1111111
1
1
1
1
2
1
1
1
1
=
+≤
+≤
+=
++
+≤
+∑
∑
∑=-=-=a a a a a
n
k k n
k k n
k k。
