沪教版高一下册数学最简三角方程教案一级第二学期(3)

沪教版(上海) 高一第二学期新高考辅导与训练第6章三角函数
6.11 最简三角方程（2）
一、解答题
(★★) 1. 解下列三角方程：
（1）；
（2）；
（3）．
(★★) 2. 已知关于 x的方程在区间内有两个相异的实数根，求实
数 k的取值范围及两根之和.
(★★) 3. 根据条件，求下列方程的解集：
（1）；
（2）.
(★★★) 4. 已知关于 x的方程．
（1）当时，求方程的解；
（2）要使此方程有解，试确定 m的取值范围．
(★★) 5. 已知函数在一个周期内的图像如图所示，求直线与函数图像的交点坐标．
(★★★) 6. 方程在上有两个不间的实数根，求实数 a的取值范围及两实数根之和．
二、填空题
(★) 7. 方程的解集为___________．
(★) 8. 方程的解集为____________.
(★★) 9. 方程的解集为________．
(★) 10. 方程的解集为__________．
(★★) 11. 方程的解集为 _________ .
(★★) 12. 方程的解集为___________．
(★) 13. 函数，的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是_____.
三、单选题
(★★) 14. 方程的解集是（）
A．B．
C．D．
(★★) 15. 设方程的解集为 M，方程的解集为 N，则（）．A．B．C．D．以上都不对(★★) 16. 方程的解集是（）．
A．B．
C．D．。

课 题：6.5-最简三角方程第1课时：教学目标：1. 知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念；能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集。

2. 通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。

3. 进一步提高数形结合思想教学重点：三角方程的求解教学难点：三角方程的求解教学过程：三角方程的定义：我们把含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程；把满足三角方程的所有的未知数的集合称为三角方程的解集。

如1sin x 2=，cos x =等。

点评：一般地，由于三角函数具有周期性，因此三角方程的解集一般含有无穷多个元素。

最简三角方程：1、方程sin x a =的解集[例1] 求三角方程1sin x 2=的解集； 解：在区间(,]-ππ上，满足1sin x 2=的x 6π=或5x 6π=， 而y sin x =是周期为2π的函数，则x 2k 6π=π+或5x 2k 6π=π+（k Z ∈）， 则方程的解集为{x |x 2k ,k Z}6π=π+∈ 或5{x |x 2k ,k Z}6π=π+∈。

解集还可以写成k {x |x k (1),k Z}6π=π+-∈。

——给学生讲讲为什么。

归纳方程sin x a =的解：（i ）当|a |1>时，方程无解；（ii ）当|a |1≤时，x 2k arcsin a =π+或x 2k arcsin a =π+π-（k Z ∈）也可写成k x k (1)arcsina =π+-（k Z ∈）。

特别的：当a 0=时，x k =π（k Z ∈）。

当a 1=时，x 2k 2π=π+（k Z ∈）。

当a 1=-时，x 2k 2π=π-（k Z ∈）。

注意：1、函数y sin x =，x (,]∈-ππ图像与方程解之间的关系。

2、单位圆和三角函数线与方程解之间的关系。

练习：口答下列方程的解（1）sin x 0=；（2）sin x =；（3）sin x 1=-；（4）1sin x 3=。

6.5最简三角方程（2）【教学目标】1．会解简单的三角方程（形如sin cos A x B x C +=，2sin sin A x B x C +=，2sin cos A x B x C +=等）． [说明]把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）化为同角、同名的三角函数；（2）因式分解法；（3）化为sin x 、cos x 的齐次式；（4）引入辅助角． ２．利用函数的图像解与三角函数有关的方程问题． 【教学重点与难点】重点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程基本方法与合理选用公式和变换方法； 难点：简单的三角方程转化为最简单的三角方程的过程中合理选用公式和变换方法，及含有字母三角方程的实数解讨论． 【教学过程】 1．概念辨析已知三角函数值求角（实际上是求解最简三角方程），要熟练掌握最简三角方程的解集，并在理解的基础上熟记下表：把简单的三角方程转化为最简单的三角方程，一是要掌握基本方法，二是要合理选用公式和变换方法．其基本的转化方法有：（1）可化为同角、同名的三角函数的方程，通常用解代数方程的方法，转化为最简的三角方程；（2）一边可以分解，而另一边为零的方程，通常用因式分解法，转化为最简的三角方程；（3）关于sin x 、cos x 的齐次方程，，通常化为关于tan x 的方程。

再用解代数方程的方法，转化为关于tan x 最简的三角方程；（4）形如sin cos a x b x c +=的方程，通常是引入辅助角，化原方程为sin()x θ+=1时，方程有解．2．例题分析例1、解方程22sin 3cos 0x x +=．解：原方程可化为 22(1cos )3cos 0x x -+=，即22cos 3cos 20x x --=． 解这个关于cos x 的二次方程，得cos 2x =，1cos 2x =-． 由cos 2x =，得解集为φ；由1cos 2x =-，得解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为22,3x x k k Z ππ⎧⎫=±∈⎨⎬⎩⎭． [说明]方程中的2sin x 可化为21cos x -，这样原方程便可看成以cos x 为未知数的一元二次方程，当0∆≥时，可用因式分解将原方程转化成两个最简方程，从而求得它们的解．例2、解方程22sin cos cos 0x x x x -=． 解一 因为cos 0x ≠（使cos 0x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以2cos x ，得 2tan tan 10x x -=．解关于tan x 的二次方程，得tan x =，tan x =由tan x =,3x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭；由tan x =,6x x k k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭．所以原方程的解集为,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明]若方程的每一项关于sin cos x x 及的次数都是相同的（本题都是二次）,那么这样的方程叫做关于sin cos x x 及的齐次方程．它的解法一般是,先化为只含有未知数的正切函数的三角方程，然后求解．解二 降次得1cos 21cos 22022x xx -+-=，化简得2cos 20x x +=．因为cos 20x ≠（使cos 20x =的x 的值不可能满足原方程），所以在方程的两边同除以cos 2x ，得tan 2x =由tan 2x =，得 2,3x k k Z ππ=-∈，即,26k x k Z ππ=-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，但当k 是偶数2n 时，26k ππ-变成n 6ππ-；当k 是奇数2n+1时，26k ππ-变成n 3ππ+，所以实质上,,36x x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或与,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭是相等的集合．解三 降次得1cos 21cos 22022x xx -+-=，化简得2cos 20x x +=，即 sin(2)03x π+=， 得 2,3x k k Z ππ+=∈，即,26k x k Z ππ=-∈． 所以原方程的解集为,26k x x k Z ππ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭． [说明]一般说来，对于形如sin cos a x b x c +=的三角方程，可先在方程的两边都除以，然后引入辅助角，原方程变形为sin()x θ+=1时，方程有解．例3、若方程cos 22sin 10x x m -+-=存在实数解，求m 的取值范围． 解一 由原方程，得 22sin 2sin 0x x m +-=，即 2sin sin 02mx x +-=解这个以sin x 为未知数的一元二次方程，因为1sin 1x -≤≤要使方程有解，只需14()021102m m ⎧∆=-⋅-≥⎪⎪⎨⎪+-≥⎪⎩ 解得142m -≤≤． 所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明] 有关三角方程的实数解问题，不仅要考虑以sin x 为未知数的一元二次方程的0∆≥，而且必须考虑sin x 的值在[]1,1-内．解二 由原方程得 22sin 2sin 0x x m +-=，得22112sin 2sin 2(sin )22m x x x =+=+- 因为1sin 1x -≤≤，所以142m -≤≤． 所以m 的取值范围为1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． [说明] 当方程sin (x t t =为常数）有解时，必须满足1t ≤，则原题就转化为求[]2112(),1,122m t t =+-∈-的最大值、最小值问题． 3．问题拓展例4、求方程sin 2cos()x x π=-的解集． 解一 由原方程得2sin cos cos x x x ⋅=-， 得 cos 0x =，1sin 2x =-，由cos 0x =，得解集为,2x x k k Z ππ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭； 由1sin 2x =-，得解集为(1),6K x x k k Z ππ⎧⎫=--∈⎨⎬⎩⎭． 所以原方程的解集为(1),26Kx x k x k k Z ππππ⎧⎫=+=--∈⎨⎬⎩⎭或． 解二 由原方程得sin 2cos x x =－，即3sin 2sin()2x x π=+，得3222x k x ππ=++或322()2x k x πππ=+-+， 即322x k ππ=+或236k x ππ=-，k Z ∈．所以原方程的解集为322,236k x x k x k Z ππππ⎧⎫=+=-∈⎨⎬⎩⎭或． 解三 由原方程得sin 2cos x x =－，即cos(2)cos 2x x π+=，得222x k x ππ+=+或222x k x ππ+=-，即22x k ππ=-或236k x ππ=-，k Z ∈． 所以原方程的解集为22,236k x x k x k Z ππππ⎧⎫=-=-∈⎨⎬⎩⎭或． [说明] 由于转化方法的不同，所得解集的表达形式不同，通过验证这些解集是相等的集合．对于两个相等的同名三角函数所组成的三角方程，可直接利用以下关系得到方程的解． （1）sin sin αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z αππβ=+-∈； （2）cos cos αβ=，则2k απβ=+或2,k k Z απβ=-∈； （3）tan tan αβ=，则,k k Z απβ=+∈． 三、巩固练习1、解下列方程的解集：（1）22sin 3cos 30x x +-=；（2）28sin 5sin 21x x =-．2、关于x 的方程0cos sin 2=++k x x 有实数解,求实数k 的取值范围.3、求方程1cos(sin )2x π=的解集． 4、已知函数2sin 42cos 2cos 42sin )(2424x x x x x f +-+=， （1）化简)(x f ，并求)625(πf ；（2）若πα<<0，0)2()(=+ααf f ，求α． 四、课堂小结本节课的内容是把简单的三角方程转化为最简三角方程。

6.4反三角函数（1）——反正弦函数一、教学内容分析根据反函数的概念，正弦函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数.但是如果我们适当选取实数集R 的一个子集[-2π，2π]，那么函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]就存在反函数，为什么要选取[-2π，2π]，教师要作必要性说明.我们把函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1]，学生对符号的arcsinx 的理解比较困难，前面符号中的x 必须满足|x|≤1，arcsinx 是[-2π，2π]上的一个角的弧度数，这个角的正弦值为x.根据互为反函数间的图像关系，函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像和函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的图像应该关于直线y=x 对称，这样容易作出反正弦函数的图像，根据其图像可以得到反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]是奇函数，且单调递增. 二、教学目标设计1．理解函数y=sinx （x ∈R ）没有反函数；理解函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]有反函数；理解反正弦函数y=arcsinx 的概念，掌握反正弦函数的定义域是[-1，1]，值域是[-2π，2π]. 2．知道反正弦函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像.3．掌握等式sin （arcsinx ）=x ，x ∈[-1，1]和arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1]. 4．能够熟练计算特殊值的反正弦函数值，并能用反正弦函数值表示角. 5．会用数形结合等数学思想分析和思考问题. 三、教学重点及难点教学重点：理解反正弦函数概念以及反正弦函数符号的本质.教学难点：反正弦函数[]1,1,arcsin -∈=x x y 的产生和从本质上处理正弦函数()R x x y ∈=sin 的反函数问题.四、教学用具准备 直尺、多媒体设备 五、教学流程设计六、教学过程设计 一、 情景引入 1．复习我们学习过反函数，知道，对于函数y=f （x ），x ∈D ，如果对它的值域中的任意一个值y ，在定义域D 中都有唯一确定的值x 与它对应，使y=f （x ），这样得到的x 关于y 的函数叫做y=f （x ）的反函数.我们也明确不是任何一个函数都存在反函数.函数要存在反函数必须要求其自变量与因变量是一一对应的. 2．思考那么正弦函数是否存在反函数呢？[说明] 因为对于任一正弦值y 都有无数个角值x 与之对应.正弦函数的自变量与因变量是多对一的.故而不存在反函数. 3．讨论正弦函数不存在反函数.但只要选取某一区间使得x y sin 在该区间上存在反函数.因变量可以确定自变量，正弦值可以表示相应的角值，并且将该区间上的角值用相应的正弦值表示就可以了.学生讨论应该选取怎样的区间，使得x y sin =存在反函数呢？这个区间的选择依据两个原则：（1）x y sin =在所取区间上存在反函数； （2）能取到x y sin =的一切函数值[]1,1-. 可以选取闭区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2,2ππ，使得x y sin =在该区间上存在反函数，而这个反函数就是今天要学习的反正弦函数. 二、学习新课 1．概念辨析（1）反正弦函数的定义：函数y=sinx ， x ∈[-2π，2π]的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx ，x ∈[-1，1].（2）反正弦函数的性质： ①图像②定义域[-1，1]③值域[-2π，2π] ④奇偶性：奇函数，即arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] ⑤单调性：增函数[说明]互为反函数的两个函数图像关于直线x y =对称，函数y=sinx ，x ∈[-2π，2π]与函数y=arcsinx ，x ∈[-1，1]的图像关于直线x y =对称.2．例题分析例1．求下列反正弦函数的值：（1）arcsin21；（2）arcsin0；（3）arcsin （-23） 解：（1）因为sin6π=21，且6π∈[-2π，2π]，所以arcsin21=6π. （2）因为sin0=0，且0∈[-2π，2π]，所以arcsin0=0.（3）因为sin （-3π）=-23，且-3π∈[-2π，2π]，所以arcsin （-23）=-3π.例2．用反正弦函数值的形式表示下列各式的x ：（1）sinx=32，x ∈[-2π，2π]； （2）sinx=-51，x ∈[-2π，2π]； （3）sinx=-33，x ∈[-π，0].解：（1）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin32； （2）因为x ∈[-2π，2π]，由定义，可知x=arcsin （-51）=- arcsin 51； （3）在区间[-2π，0] 上，由定义，可知x=arcsin （-33）=- arcsin 33； 在区间[-π，-2π]上，由诱导公式，可知x=-π+arcsin33，满足 sinx=-33.因此x= arcsin33或x=-π+arcsin 33. 例3．化简下列各式：（1）arcsin （sin7π）；（2）arcsin （sin54π）；*（3）arcsin （sin20070） 解：（1）因为7π∈[-2π，2π]，设sin7π=α，所以arcsin α=7π，即arcsin （sin7π）=7π.（2）因为54π∉[-2π，2π]，而5π∈[-2π，2π]，且sin 5π=sin 54π，设sin 5π=sin 54π=α，所以arcsin （sin54π）= arcsin （sin 5π）= arcsin α=5π. （3）因为sin20070=sin （5×3600+2070）=sin2070=sin （1800+270）=-sin270所以arcsin （sin20070）= arcsin （-sin270）=- arcsin(sin270)=- 270.例4．求函数f （x ）=2arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.解：设y=2arcsin2x ，则2y= arcsin2x ，因为2x ∈[-1，1]，arcsin2x ∈[-2π，2π]，所以x ∈[-21，21]，y ∈[-л，л]，根据反正弦函数的定义，得2x=sin2y ，x=21 sin 2y ，将x ，y 互换，得反函数f -1（x ）=21 sin 2x ，定义域是[-л，л]，值域是[-21，21]. 3．问题拓展例1．证明等式：arcsin （-x ）=-arcsinx ，x ∈[-1，1] 证明：∵x ∈[-1，1]，∴ -x ∈[-1，1]∴sin[arcsin （-x ）]= -x ，sin （-arcsinx ）=-sin （arcsinx ）=-x又因为arcsin （-x ）∈[-2π，2π]，-arcsinx ∈[-2π，2π]，且正弦函数在[-2π，2π]上单调递增，所以arcsin （-x ）=-arcsinx ， x ∈[-1，1].[说明]这是证明角相等的问题，两个角仅有同名三角比相等，不能证明这两个角相等，教师应启发学生知道这个数学事实，并举例说明.例2．设x ∈[2π，23π]，sinx=31，用反正弦函数值表示x. 解：因为x ∈[2π，23π]，所以（π-x ）∈[-2π，2π]，又sin （π-x ）=sinx ，得sin （π-x ）=31，于是π-x=arcsin 31，x=π- arcsin 31. [说明] 对于用反正弦函数值表示区间[-2π，2π]外的角，教材不作要求，但考虑到在解实际问题中常要表示钝角，因此可补充用反正弦函数值表示钝角的练习. 以上两例教师应根据各自学校学生的实际情形进行教学.三、巩固练习判断下列各式是否成立?简述理由. （1）arcsin23=3π；（2）arcsin 3π=23；（3）arcsin1=2k л+2π，k ∈Z ；（4）arcsin （-3π）=- arcsin 3π；（5）sin （arcsin 2）=2；（6）arcsin 6π=21. 解：（1）式成立；（2）、（4）、（5）各式都不成立，理由是反正弦函数的定义域为[-1，1]；（3）式仅当k=0时成立，k 取其他整数时，不成立，理由是反正弦函数的值域为[-2π，2π]；（6）式不成立，因为与反正弦函数的定义不符. 四、课堂小结 教师引导学生总结： （1）反正弦函数的定义； （2）反正弦函数的性质.五、作业布置（1）书上练习6.4(1)中的1、2、3、4（2）思考题：求函数f （x ）=2π-arcsin2x 的反函数f -1（x ），并指出反函数的定义域和值域.七、教学设计说明 1．关于教学内容反正弦函数作为基本初等函数之一，对后继课程的学习有着重要的作用，特别是在反三角函数中，反正弦函数有着模本的作用.而反正弦函数是反三角函数单元学习的重点和难点.本节课与反函数的基本概念、性质有着紧密的联系，通过对这一节课的学习，既可以让学生掌握反正弦函数的概念，又可使学生加深对反函数概念的理解，而且为学习其它反三角函数奠定了基础，起到承上启下的重要作用. 2．关于教学方法为了充分调动学生学习的积极性，体现学生的自主式学习，我选用了启发、自我探究的教学方式.在课堂教学过程中，始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的教学思想，通过引导学生观察、比较、分析和概括，使学生能根据已有数学知识的准备：已掌握三角函数的概念及性质、反函数，自主探究反正弦函数及其性质.。

课 题：6.5-最简三角方程第2课时：教学目标：1. 进一步掌握解三角方程的方法集，能利用最简三角方程解决简单的三角问题。

2. 通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。

3. 进一步提高三角变换能力。

教学重点：解三角方程教学难点：解三角方程教学过程：一、最简三角方程：1、 若sinx ＝13，则x ＝2k π＋arcsin 13或x ＝2k π＋π－arcsin 13，k ∈Z 2、 若cosx ＝－13，则x ＝2k π±(π－arccos 23)，k ∈Z 3、 若tanx ＝－2，则x ＝k π－arctan2)，k ∈Z二、形如sinf(x)＝a 的方程，其中－1≤a ≤14、)14π-=解：sin(2x )4π-=，得2x －4π＝2k π＋2π，则x ＝k π＋38π，k ∈Z 5、 tan(x)13π-= 解：tan(x )13π-=-，得x －3π＝k π－4π，则x ＝k π＋12π，k ∈Z三、形如f(sinx)＝a 的方程6、 22sin x cos x 10+-=解：22(1cos x)cos x 10-+-=，得22cos x cos x 10--=，解得cos x 1=或1cos x 2=-， 则x 2k =π或2x 2k 3π=π±，k Z ∈。

7、 7cos x 3cos 2x 0+= 解： 26cos x 7cos x 30+-=解得1cos x 3=或3cos x 2=-（舍），则1x 2k arccos 3=π±，k Z ∈。

8、 22sec x 5tan x 10-+=解：1x k arctan 2=π+或x k arctan 3=π+，k Z ∈。

四、形如asinx ＋bcosx ＝c(c ≠0)的方程 ——用辅助角转化为最简三角方程9、 sin x cos x 1-=-)14π-=-得sin(x )4π-=k x k (1)44ππ=π--+，k Z ∈。

三角函数及反三角函数知识重点：1、三角函数定义、图像、性质（单调性、单调区间、奇偶性、周期性）2、重点掌握三角函数公式：（1）诱导公式（2）两角和差公式（3）倍角公式（4）万能公式（5）积化和差、和差化积公式（6）)sin(cos sin 22ϕ++=+=x b a x b x a y 其中ab tg =ϕ 3、掌握)sin(ϕω+=x A y 的周期、最值、单调区间、平移伸缩变换 4、三角变换的三条原则：（1）降低式子的次数：常用公式2cos 12sin2αα-=，2cos 12cos 2αα+=降次， 因式分解（或配方）也是常用方法（注：为了达到约分和化同名同角的目的，有时也需升次）（2）减少式中角的种数①造特殊角（60,45,30等）②寻找不同角间的关系（互补、互余、或和、差、倍、半等） ③利用已知条件中角的关系（如三角形内角和为180等） （3）减少式中三角函数的种类 常用方法：切割化弦 5、三角形中的边角关系： （1）π=++C B A （2）正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin ===（2R 为ABC ∆外接圆直径） （3）余弦定理：A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+= C ab b a c cos 2222-+= （a 、b 、c 分别为三内角A 、B 、C 的对边） 6、掌握四个反三角函数定义（包括定义域、值域）、图像、性质及其应用 练习题1、α是第四象限角，则1sec 1sec 22-⋅++⋅ααααtg tg等于（ ）(A) 1 (B)1± (C)1- (D)αα22sec tg + 2、若4=αtg ，则ααααsin 3cos 5cos 2sin 4+-=3、设ααααctg tg y ++=cos sin ，则y 的值为（ ）（A ）正值 （B ）负值 (C)非负值 （D ）正值或负值4、求值：)76cos()74cos()72cos(πππ= 5、要得到函数)32sin(π-=x y 的图像，只需将x y 2sin =的图像（ ）（A ）向左平移3π个单位 (B)向右平移3π个单位 (C) 向左平移6π个单位 (D) 向右平移6π个单位6、函数3sin 8)(2-=x x f 的递减区间是（ ） （A ）)(4,4Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-ππππ (B))(2,22Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ (C))(2,Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+πππ (D))(,2Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡-πππ 7、已知：5sin 6sin 2)(2-+-=x x x f ，则它的最大值，最小值是（ ） （A ）最大值不存在，最小值为21-（B ）最大值是21-，最小值不存在 (C)最大值是 -1，最小值是 -13 （D ）最大值是1，最小值是 -1 8、函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最大值为 9、函数)23sin(2sin x x y -⋅=π的最大值是（ ）（A ）23- (B)41 (C)21(D)22 10、化简xx xx cos sin 1cos sin 1++-+=11、求值：50cos 20sin 50cos 20sin 22++=12、ABC ∆中，已知tgB tgAba =22，则ABC ∆的形状为13、当∈a 时，方程1cos -=a x 无解14、函数)22cos(π+=x y 的图像的一条对称轴方程是（ ）（A ）2π-=x （B ）4π-=x (C)8π=x (D)π=x15、“1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小周期为π”的（ ） (A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分条件也非必要条件16、在ABC ∆中，若C A B sin sin cos 2=，则ABC ∆的形状为（ ） （A ）等腰直角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形 （D ）等边三角形 17、函数2cos 2sinxx y +=在)2,2(ππ-内的递增区间是 18、函数)0(1cos ≤≤-+=x x y π的反函数是（ ）（A ）)20)(1arccos(≤≤--=x x y (B))20)(1arccos(≤≤--=x x y π (C))20)(1arccos(≤≤-=x x y (D))20)(1arccos(≤≤-+=x x y π 19、函数)323)(arccos(sin ππ<<-=x x y 的值域是( ) (A))65,6(ππ (B)⎪⎭⎫⎢⎣⎡65,0π(C))32,3(ππ (D)⎪⎭⎫⎢⎣⎡32,6ππ 20、满足x x arccos )1arccos(≥-的x 的取值范围是（ ） （A ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--21,1 (B)⎥⎦⎤⎢⎣⎡-0,21 (C)⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0 (D)⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,2121、解简单的三角方程： （1）04sin 32sin82=-+x x（2）13cos cos 22=+x x22、已知：)24(12sin sin 22παπααα<<=++k tg ，试用k 表示ααcos sin -的值。

5.2(2) 任意角的三角比一、教学目标设计(1) 根据任意角的正弦、余弦、正切、余切 、正割、余割的定义，掌握这些三角比的值在各象限的符号；并能根据角α的某种三角比值的符号，反馈出α可能存在的象限；(2) 掌握诱导公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切值分别转化为求[0,2)π的这三种三角比的值．二、教学重点及难点任意角的正弦、余弦、正切在各象限内的符号及诱导公式一．三、教学流程设计一、情景引入设角,αβ均是第二象限角，依任意角三角比的定义，为了求,αβ的六个三角比值，只要分别在,αβ终边上取点1122(,),(,)P x y Q x y ，由比值11111111||||,,,,,||||y x y x OP OP OP OP x y x y 、22222222||||,,,,,||||y x y x OQ OQ OQ OQ x y x y 可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于,P Q 均在第二象限，故12,x x 同号，12,y y 同号，因而可见，,αβ的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同的.那么，当,αβ分别为一、三、四象限时，上述性质是否仍然成立呢？下面就讨论这一问题．二、学习新课1、任意角的三角比的符号今后我们还要经常用到三角比值在各个象限的符号，由于从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值，根据任意角三角比的定义可知，三角比值的符号取决于各象限内的坐标符号，请同学们分象限思考四个象限中三角比值的符号．观察六个三角比，可发现sin α与csc α，cos α与sec α，tan α与cot α互为倒数，因此它们的符号规律相同．s i n y rα=，csc r y α= (1) 当α在第一、二象限时，0,0y r >>，所以sin ,csc αα为正；(2) 当α在第三、四象限时，0,0y r <>，所以sin ,csc αα为负． 同理cos ,sec x r r xαα==，对于第一、四象限的角是正的，而对于第二、三象限的角是负的． tan ,cot y x x yαα==，对于第一、三象限的角是正的，而对于第二、四象限的角是负的． 现在我们将以上讨论结果整理成图1．图1[说明] 可以表达为正弦和余割上正下负，余弦与正割左负右正，正切与余切一、三象限为正，二、四象限为负．同学们还可以自己用口诀“全正， 正， 正， 正”来记忆．记法多种多样，老师可自由发挥.2、诱导公式一上节课我们已学过终边重合的角，例如94π和74π-的终边都与4π终边位置重合． ∵ 9244πππ=+，7244πππ-=-+ ∴由任意角三角比的定义可知它们的三角比值相同，即9s i n s i n 44ππ= 9cos cos 44ππ= 9tan tan 44ππ= 7s i n ()s i n 44ππ-= 7cos()cos 44ππ-= 7tan()tan 44ππ-= 推广到一般情形，我们可得到诱导公式一：终边重合的角的同一三角比值相等，即 sin(2)sin k παα+= （k Z ∈）cos(2)cos k παα+= （k Z ∈）tan(2)tan k παα+= （k Z ∈）cot(2)cot k παα+= （k Z ∈）sec(2)sec k παα+= （k Z ∈）csc(2)csc k παα+= （k Z ∈）[说明]这组公式的作用是把任意角的三角比值问题转化为[0,2)π角的三角比值问题．3、例题分析例1．确定下列三角比值符号：（1） 16cos 5π；（2）sin()4π-；（3）'tan(55612)- 答：（1）负；（2）负；（3）负.例2. 求证角θ为第三象限角的充分必要条件是 sin 0,tan 0θθ<>．证明：必要性：当θ为第三象限角时，sin 0,tan 0θθ<>；充分性：∵sin 0θ<成立，∴θ角的终边可能位于第三或第四象限，也可以位于y 轴的非正半轴上；又∵tan 0θ>成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限，因为要同时成立，所以θ角的终边只可能位于第三象限，于是角θ为第三象限角．例3. 求下列三角比值：（1）sin1470；（2）15cos()4π-；（3）25tan 3π．答：（1）12； （2）2；（3 例4. 如果θ在第二象限，那么sin(cos )cos(sin )θθ⋅的值是什么符号？答：∵θ在第二象限，∴1cos 0,0sin 1θθ-<<<<，∴sin(cos )0,cos(sin )0θθ<>，∴ sin(cos )cos(sin )0θθ⋅<.例5. 若α是第二象限的角，且|cos |cos 22αα=-，问2α是第几象限角？ 答：2α是第三象限的角． 例6. 求值：sin(1320)cos1110cos(1020)sin 750tan 495-+-+答：原式＝0.三、巩固练习练习5.2（2）四、课堂小结(1) 任意角的三角比的值在各象限的符号；(2) 诱导公式一.五、课后作业练习册 P15-17习题5.2 A组 3，4，5，6，7，8 习题5.2 B组 2，3。

4.7简单的指数方程【教学目标】：知识与技能：掌握简单的指数方程的解法过程与方法： 通过解决具体简单的指数方程，研究并总结解法情感态度与价值观：增强数形结合的意识，体会数学在解决实际问题中的应用，感受数学的科学价值；认识学习数学的价值；建立用数学解决实际问题的意识.【教学重点与难点】重点： 简单指数方程的解法难点： 简单指数方程的解法【教学过程】：一． 引入：由4.2节中反射性物质的剩留量解决时间的问题：0.840.5x =，求x .引入二.新课：1.指数方程：我们把指数里含有未知数的方程叫做指数方程.2.类型与解法：例1.解方程：2142x x -= ⇒ 13x =-. 例2.解方程462160x x -⋅-=⇒3x =.例3.小黑板出示问题：转化为解方程'kx a a e -=⋅要测定古物的年代，常用碳的放射性同位素14C 的衰减来测定：在动植物的体内都含有微量的14C ，动植物死亡后，停止了新陈代谢，14C 不再产生，且原有的14C 含量的衰变经过5570年（14C 的半衰期），它的残余量只有原始量的一半.若14C 的原始量为a ，则经过x 年后的残余量'a 与a 之间满足'kx a a e -=⋅.测得湖南长沙马王堆汉墓女尸中14C 的残余量约占原始含量的76.7％，试推算马王堆古墓的年代（精确到100年）.解 由'kx a a e -=⋅，得'kx a e a -=. 两边取对数，得'ln a kx a=- . ① 又知14C 得半衰期试5570年，即5570x =时，'12a a =， 所以 1ln 55702k =-则557012k e -⋅=⇒1lnln 2255705570k =-= 又'5570ln 5570ln 0.7672132ln 2ln 2a a x ⨯=-=-≈ 由此可知马王堆古墓约是2100多年的遗址.小结类型与方法（学生尝试）：1. 化为同底的幂：()0,1a a a a αβ=>≠的指数方程⇔αβ=；2. 换元法：()()()()()22000f x f x A a B a C At Bt C t ++=⇒++=>注意()f x a 0>对最后根的取舍. 3. 取对数法：()f x a b=()()log 0,1a f x b a a ⇒=>≠ 三.巩固与应用1.练习2214P ； 2.作业7813P四.小结：简单的指数方程的类型与解法教学反思。

第 8 课时：§3.3 几个三角恒等式【三维目标】：一、知识与技能1. 能运用两角和的正弦、余弦、正切公式、二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换(包括引导导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆). 揭示知识背景，培养学生的应用意识与建模意识.2.能够推导“和差化积”及“积化和差”公式，并对此有所了解.3.能较熟练地运用公式进行化简、求值、探索和证明一些恒等关系，进一步体会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会如何综合利用这些公式解决问题.4.梳理公式体系，通过本章知识结构图，进一步加强对各公式之间内在联系的理解。

5.通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力．二、过程与方法1.让学生自己导出“和差化积”及“积化和差”公式，领会这些三角恒等变形公式的意义和作用，体会公式所蕴涵的和谐美，激发学生学数学的兴趣；同时让学生初步体会如何利用三角函数研究简单的实际问题.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.2.通过总结知识结构图，发展学生推理能力和运算能力，进一步培养学生观察、类比、推广、特殊化和化归思想方法。

3.通过解决问题，引导学生明确三角变换是三角函数式的结构形式变换；角的变换；不同三角函数之间的变换。

4.通过恒等变换公式的简单应用，提升解决问题的基本能力。

5.提高三角变换的能力三、情感、态度与价值观1.通过本节的学习，使同学们对三角恒等变形公式的意义和作用有一个初步的认识；理解并掌握三角函数各个公式的灵活变形，体会公式所蕴涵的和谐美，增强学生灵活运用数学知识解决实际问题的能力.2.让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．3.通过公式的推导和应用培养学生严谨规范的思维品质和辩证唯物主义观点.4.通过知识结构图和公式应用使学生了解三角恒等变换及三角函数与数学变换的内在联系，培养学生严谨，规范的数学思维品质，发展正向、逆向思维和发散思维能力。

几个三角恒等式三维目标 知识与技能掌握和差化积、积化和差公式的推导方法． 过程与方法通过和差化积和积化和差公和公式的推导，提高学生三角变换的能力． 情感、态度、价值观让学生经历数学探索和发现的欲望和信心，体验成功的感觉．重点难点重点：积化和差、和差化积公式的推导方法． 难点：三角恒等式的证明．教学过程 一、创设情境sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β．sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β．以上是用α，β的正余弦表示它们和或者差的正弦，反之，sin αcos β如何用sin(α＋β)和sin(α－β)来表示呢？二、讲解新课 数学理论：sin αcos β＝12[sin(α＋β)＋sin(α－β)]，cos αsin β＝12[sin(α＋β)－sin(α－β)]，cos αcos β＝12[cos(α＋β)＋cos(α－β)]，sin αsin β＝－12[cos(α＋β)－cos(α－β)]．以上这些表达式把三角函数的乘积化为同名的三角函数的和或者差，统称积化和差公式，对于这些结论不必加以记忆和运用．问题：由sin(α＋β)＋sin(α－β)＝2sin αcos β试推导sin α＋sin β． 令A ＝α＋β，B ＝α－β，可得sin A ＋sin B ＝2sin A ＋B 2cos A －B2，sin A －sin B ＝2cosA ＋B2sinA －B2， cos A ＋cos B ＝2 cosA ＋B2cosA －B2， cos A －cos B ＝－2sinA ＋B2sinA －B2．以上过程体现的换元的数学方法，这些表达式把同名的三角函数的和或者差化为三角函数的乘积，统称和差化积公式，对于这些结论也不必加以记忆和运用．例题讲解：例1 运用三角函数变换证明：tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α．证明：tan α2＝sin α2 cos α2＝2sin2α22sin α2cosα2＝1－cos αsin α．tan α2＝sin α2cos α2＝2sin α2cosα22cos 2α2＝sin α1＋cos α．例2 已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，求tan(α＋β)－tan α－tan βtan 2βtan(α＋β)的值． 解：由已知可得sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13．两式相加得sin αcos β＝512，相减得cos αsin β＝112．tan(α＋β)－tan α－tan βtan 2βtan(α＋β)＝tan(α＋β)－(1－tan αtan β)tan(α＋β)tan 2βtan(α＋β)＝tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5．课堂训练：1．设α，β，α＋β均为锐角，a ＝sin(α＋β)，b ＝sin α＋sin β，c ＝cos α＋cos β，则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．a ＜c ＜bD ．b ＜c ＜a 答案：A ．2．已知α是第三象限角，且sin α＝－2425，则tan α2的值为( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43答案：D ．3．在△ABC 中，求证：sin2A ＋sin2B －sin2C ＝2sin A sin B sin C ． 证明：sin 2A ＋sin 2B －sin 2C＝sin 2(B ＋C )＋1－cos2B 2－1－cos2C2＝sin 2(B ＋C )＋12(cos 2C －cos 2B )＝sin 2(B ＋C )＋sin(B ＋C )sin(B －C ) ＝sin(B ＋C )[ sin(B ＋C )＋sin(B －C )] ＝sin A·2sin B sin C ＝2sin A sin B sin C ．三、课堂小结。

上海市2010届高三数学专题教案：简单的三角方程【知识梳理】1.最简三角方程的解集（1）方程asin的解集：x=（2）方程ax=cos的解集：（3）方程atan的解集：x=2．简单三角方程的解法：（1）换元法；（2）化为sinx，cosx的齐次式；（3）利用辅助角公式【例题讲解】例1 解下列三角方程：（1）sinx+3cosx = 0 （2）sinx+3cosx = 1(3) 23cos2x=sinx (4)cos2x·secx+secx+1=0，]x2,0[π∈（5）1=xx (6)82-sinsin32sin2x-12(sinx-cosx)+12=0（7）0003600,01)602(2<≤=-+x x siin 例2．若6π是方程3)2cos(2=+αx 的解，且)2,0(πα∈求α的解集。

例3．若方程m x x x =-+22cos 22sin sin 有实数解，求实数m 的取值范围？例4．设方程cos2x+3sin2x=a+1在[0, 2π]上有两个不同的实数解，求a 的取值范围。

【巩固练习】1. 解下列最简三角方程。

①31sin =x②54cos =x ③2tan =x2. 解下列方程。

①0cos 2sin 3=-x x ②01cos 5sin 22=+-x x ③0cos 6cos sin 7sin 22=+-x x x x ④1cos cos sin sin 222=--x x x x ⑤12cos 2sin 3=+x x ]2,0[π∈x ⑥122sin -=a x3．若6π是方程3)2cos(2=+αx 的解，且)2,0(πα∈求α的解集。

4．若方程0sin cos 2=+-a x x 在20π≤<x 内有解，求实数a 的取值范围。

5．求函数R=,+20,1cos2π的最小值。

2sin-≤xaxay∈x<。

2019-2020年高一数学下册必修16.5《最简三角方程》教案3篇一、教案设计思考这节课的内容是给出三角方程的定义，以及解最简三角方程的基本方法，其中要应用到三角函数性质及图像、反三角函数、诱导公式等知识，还包括数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法，是对所学过的许多三角知识进行应用，在三角比和三角函数这两章内容中的地位还比较重要，它是先有三角比值，然后要研究满足这样的条件的角是什么，也完善了解三角形的理论基础这节课用解三角形时的一个问题来引入，简单并能引起同学的兴趣，然后整节课采用启发、探究的教学方法，调动同学积极思考问题二、教学目标理解三角方程、最简三角方程的定义，掌握三种最简三角方程的解法；体会由特殊到一般的研究问题的方法，能综合运用所学知识解决问题，能用数形结合、转换、分类讨论、类比等数学思想方法解决有关问题．三、教学重点、难点解三角方程的思想方法四、教学方法和手段采用启发式教学模式五、教学过程1、引入前面我们重点学习了三角函数的有关知识，研究了角的变化对三角比值的影响，在解三角形中我们已经遇到知道了一个角的三角比值，要求这个角，如知道，由于角是三角形中的内角，所以有或，今后我们会遇到类似的问题，特别是当角的大小没有条件限制时，那么满足的有多少呢？我们把这样的方程叫做三角方程，那么如何解这类方程呢？下面就请同学思考这个问题2、探究要研究如何解三角方程，先解决较简单的方程，就以为例，同学思考后，进行交流讨论同学1：这个方程应该有无数多个解，但还没有找到解决的方法．同学2：和都是方程的解，又函数的最小正周期是，所以此方程的解集是或，．教师：好，你的确找到了方程的许多解，但是会不会有其它的解遗漏了呢？同学3：不会遗漏，由于函数的最小正周期是，只要先找到在的解，那么方程的所有解都找到了，画出函数与的图象，发现在内的交点有且只有两个，交点横坐标为和，所以方程的解集是或，教师：很好，方程有无数个解，找到所有的解的方法是利用三角周期的性质，先在一个最小正周期内找到解，然后找到方程所有解．那么，方程又如何解呢？同学4：方法跟前面一样，只是在内的解要用反三角函数来表示，即方程的解集是或，．教师：很好，方程又如何解呢？同学5：方法跟前面一样，在内的解也有两个．教师：哪两个呢？同学5：一个是，另一个是．此时引起许多同学的争论，觉得这里有问题．同学6：先在内找到解，一个是，另一个是．教师：为什么？同学6：书上就是这样说的，先选取区间．又引起同学争论．同学7：先在内找到解，一个是，另一个是，然后是方程的解集就是或，．教师：很好，这里先选择哪个周期的标准是如何能顺利表示出解来，由反三角函数知识，这个区间最好包括，而在内的图象又是关于直线对称的．那么方程又如何解呢？同学8：在内的解是与，所以方程的解是或，．同学9：不对，要进行分类讨论，当时，方程无解．3、结论在同学的共同讨论下，关于方程，最后可以得到以下的结论：当时，函数和函数的图象无交点，方程无解，即解集为．当时，方程的解集为或4、继续探究从解方程的方法得到启发，如何解方程呢？同学10：由诱导公式，将方程转换为即可．教师：很好，体现了数学转换的思想，那么能不能用类似解的方法来解方程呢？同学11：那么还是用数形结合的方法，先分类讨论，当时，函数与的图象无交点，方程无解．当时，函数与的图象在区间内的交点有两个，横坐标是与，所以方程的解集为或教师：很好，理解了方程的解法之后，用类比的方法就很容易解方程了．那么又如何解方程呢？同学12：还是用数形结合的方法，函数与的图象在区间内的交点横坐标是，又由于函数的最小正周期是，所以方程的解集为．教师：很好，方程是最容易解的，函数与的图象在区间内的交点总是有且只有一个，不需要进行分类讨论．5、练习解下列方程：（1）；（2）；（3）．6、小结今天我们一起讨论了如何解三角方程，先研究如何解最简三角方程，掌握了解三种最简三角方程的基本方法，另外，解三角方程的基本思想方法主要体现在以下几个方面：（1）从特殊到一般的研究问题方法（2）利用函数的图象及性质，采用数形结合的方法；（3）转化思想，先找到一个周期内的解，再利用周期性质得到方程所有的解；（4）采用类比的思想方法．7、布置作业第106页习题1，2六、教学建议与反思最简三角方程这节内容两节课完成，这是第一节课，这节课的教学思路是这样设计的，先是通过复习解斜三角形引出问题，使同学产生研究的兴趣，课堂上学生对这个问题的确产生了兴趣，虽然引入没有花许多时间，但产生了明显的效果，然后是跟同学一起讨论如何解三角方程，，，，由简单到复杂逐步推进，从中逐步体会解三角方程的思想，如利用三角函数的周期性质，还有数形结合，分类讨论等数学方法，课堂上学生能进行积极思考和讨论，并能够对教材提出自己的独特的见解．完成对三角方程的求解之后，要求学生继续解三角方程和，学生的思维很积极，如能利用转换思想将方程转换为来解，能合理运用类比的思想方法，将解方程得到的方法应用到解方程和上，在课堂小结时，同学也能把本节课学习到的重要内容总结出来．由于这节课设计时要解决三个三角方程，在讨论好解的方法之后，继续研究如何解另外两个方程，这个过程培养了同学的类比能力，增强了同学的类比意识，但是也遇到一些问题，如课堂练习的时间比较少，没有能对方程的各种解法进行更进一步的探讨，其实可以从单位圆的角度，先把问题转换为找终边所在的位置，再求出终边所表示的角的集合，又如当时，方程的解集为或，这个集合也可以等价地表示为，，这个表示方法更加简洁．所以这节课的设计也可以考虑只解决方程的解法，把它讨论透彻，第二节课再研究另外两个方程的解法．课题：6.5-最简三角方程第1课时：教学目标：1.知道三角方程的概念，理解三角方程的解集概念；能从单位圆、三角函数图象等观点来理解并掌握最简三角方程求解方法及解集2.通过解三角方程，进一步理解三角函数及反三角函数。

反三角函数与最简三角方程知识梳理2、最简单三角方程的解集：例题解析一、反三角函数的定义【例1】求下列反三角函数的值：（1）arcsin(2-；（2）arcsin1；（3）1arcsin 2（4）arccos2；（5）1arccos()2-； （6）arctan(1)-；（7）arctan 3【难度】★ 【答案】（1）3π-；（2）2π；（3）6π；（4）6π；（5）23π；（6）4π-；（7）6π【例2】已知中，，分别用反正弦函数值、反余弦函数值、反正切函数值表示． 【难度】★ 【答案】415arcsin-π；⎪⎭⎫⎝⎛-41arccos ；15arctan -π；【例3】用反三角函数的形式表示下列角： （1）已知13sin 42x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反正弦的形式表示x ； （2）已知1cos 042x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭＜＜，用反余弦的形式表示x ； （3）已知13tan 42x x ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭＜＜，用反正切的形式表示x ； 【难度】★★【答案】（1）1sin4x arc π=+；（2）1cos 4x arc =-；（3）1tan 4x arc π=+ 【解析】此类题目可用两种方法处理：①利用诱导公式转化为反三角函数的运算性质解决；②利用三角函数图像解决，此时应注意原函数与反函数的联系与区别；具体过程略【例4】关于t 的方程()2253172230848t x t x x +++++=有两个不同的实数根，求函数sin y x =的反函数． 【难度】★★【答案】x arcsin y -=π，()sin 4,sin 2x ∈ΔABC 234AB BC CA ===，，B ∠【解析】由()22531723420848x x x ⎛⎫∆=+-⨯++>⎪⎝⎭，得2680x x -+<，解得24x <<函数sin y x =，()2,4x ∈的值域为()sin 4,sin 2 由()sin sin y x x π==-，且,22x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，有arcsin x y π-=， 即arcsin x y π=-将x 与y 互换得到原函数的反函数为：()1arcsin y f x x π-==-，()sin 4,sin 2x ∈【巩固训练】1．求下列反三角函数的值：1）1arcsin 2⎛⎫-⎪⎝⎭2）arcsin 23 3）arccos 21 4）arccos （-23） 5）1arctan 6）arctan （-33）【难度】★ 【答案】（1）6π- ；（2）3π；（3）3π；（4）56π；（5）4π；（6）6π-2．用反正弦函数值表示下列式子中的x ： （1）1sin 5x=，(0,)2x π∈； （2）1sin 5x =，(,)2x ππ∈（3）1sin 5x=， x 是第一象限角； （4）1sin 5x =， x R ∈ 【难度】★★ 【答案】（1）1arcsin 5x=；（2）1arcsin 5x π=-；（3）12arcsin 5x k π=+，k Z ∈； （4）12arcsin5x k π=+或12arcsin 5x k ππ=+-，k Z ∈．3．函数3sin 22y x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，的反函数为 （ ）[]A y x x .arcsin =∈-，，11 []B y x x .arcsin =-∈-，，11 []C y x x .arcsin =+∈-π，，11 []D y x x .arcsin =-∈-π，，11【难度】★★ 【答案】D【解析】同上方法，两种皆可．选一种方法作以解释如下：ππ232≤≤x ∴-≤-≤-==ππππ22x x x y ，又sin()sin 由反正先函数的定义，得：arcsin x y π-=，又11y -≤≤，故反函数为：[]arcsin 11y x x π=-∈-，，4．已知1cos 3x=，根据所给范围用反余弦函数值表示x ： 1︒x 为锐角 2︒ x 为某三角形内角 3︒ x 为第二象限角 4︒ x R ∈【难度】★★【答案】（1）1arccos 3x =；（2）1arccos 3x =；（3）不存在；（4）12arccos 3x k π=±()k Z ∈5． 1）已知⎪⎭⎫⎝⎛-∈=2,231tan ππx x 且，求x ． 2）已知31tan =x 且[]π2,0∈x ，求x 的取值集合． 3）已知1tan 3x =且x R ∈，求x 的取值集合． 【难度】★★【答案】（1）1arctan 3x =；（2）1arctan 3x =或1arctan 3π+； （3）12arctan 3x k π=+或12arctan 3k ππ++()k Z ∈．6．下列命题中，正确命题的个数是（ ）（1）arcsin y x =的反函数是sin y x = （2）cos ,[,0]y x x π=∈-的反函数是arccos ,[1,1]y x x =-∈-（3）tan ,,23y x x ππ⎛⎫=∈- ⎪⎝⎭的反函数是arctan ,(y x x =∈-∞A .0个B .1个C .2个D . 3个 【难度】★★ 【答案】C二、反三角函数的图像与性质1、反三角函数的图像应用【例5】下列命题中正确的是①函数x y sin =与x y arcsin =互为反函数；②函数x y sin =与x y arcsin =都是增函数； ③函数x y sin =与x y arcsin =都是奇函数；④函数x y sin =与x y arcsin =都是周期函数． 【难度】★ 【答案】③【例6】根据反三角函数的图像比较下列各组数的大小：（1）2arcsin 5与；（2）2arccos 3与2arccos()3-；（3）2arcsin 3与2arccos 3【难度】★【答案】（1）2arcsin5<；（2）2arccos 3<2arccos(3-；（3）2arccos3=Q ，23<，2arcsin 3∴<，22arcsin arccos 33∴<【例7】求解下列不等式中x 的范围： （1）arcsin 1x ＜；（2）2arccos(21)arccos x x -＜； （3）arcsin arccos x x >；（4）()2arccos arccos 0x x --＞． 【难度】★★【答案】（1）1sin1x -≤＜；（2）112x -≤-＜（3）12⎛⎤ ⎥ ⎝⎦；（4）112x -≤＜【例8】求下列函数的反函数： （1）arcsin 2y x π=-，[1,1]x ∈-； （2）sin y x =（32x ππ≤≤） （3）2arccos(21)y x =+-； （4）1arctan 32x y = 【难度】★★★【答案】（1）反函数为cos y x =，[0,]x π∈；（2）反函数为arcsin y x π=-，[1,1]x ∈-； （3）反函数为11cos(2)22y x =-+，[2,2]x π∈+；（4）反函数为2tan(3)y x =，(,)66x ππ∈-．【巩固训练】1．若⎥⎦⎤⎝⎛∈653ππ,x arccos ，则x 的取值范围是 ． 【难度】★【答案】⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡-2123，2．解不等式：5arccos(2)6x π->． 【难度】★【答案】22⎛⎤+⎥ ⎝⎦【解析】原式即为：arccos(2)arccos(2x ->由arccos y x =为减函数，知12122x x -≤-≤⎧⎪⎨-<⎪⎩解得原不等式的解为：1,22⎡-⎢⎣⎭3．求下列不等式的解集：（1）2arcsin arcsin(1)x x <-；（2）arccos2arccos(1)x x <-；（3）2arctan 2arctan(3)0x x +->．【难度】★★ 【答案】（1）1[1,)2--；（2）11(,]32；（3）(1,3)-2、反三角函数的定义域、值域与最值【例9】写出下列函数的定义域： （1）y = （2）2arcsin()y x x =+ （3）2log arccos 23x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭【难度】★★【答案】（1）[0,1] （2）⎣⎦ （3）[2,1)-【例10】求下列函数的定义域和值域：（1）2arcsin 33x y π=+；（2）y =；（3）arc tan(21)y x =-． 【难度】★★【答案】（1）定义域为[3,3]-，值域为24[,33ππ-；（2）定义域为[1,1)-，值域为)+∞； （3）定义域为R ，值域为(,22ππ-；【例11】函数()21arcsin 2y x x =-的值域是 ．【难度】★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-41214arcsin ，π【解析】由22211124411x x x x x ⎧⎛⎫-=--+≤⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-≤-≤⎩⇒2114x x -≤-≤ ⇒()()21111arcsin 1arcsin arcsin 42224x x π-=-≤-≤【例12】求函数xarcsin y 1=的定义域与值域． 【难度】★★【答案】[)+∞,1，⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π 【解析】由⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≤≤-≠01arcsin 1110x x x 得1≥x ，故函数的定义域为[)+∞,1由20,21arcsin 01101ππ≤<∴≤<∴≤<⇒≥y x x x ∴函数的值域为⎥⎦⎤ ⎝⎛22,0π【例13】求函数()21arccos 5arccos ,,12y x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦的最大值和最小值，以及相应的x 的值． 【难度】★★【答案】最大值为0，此时1x =；最小值为241093ππ-，此时12x =-．【例14】函数1arctan arcsin 2y x x =+的值域是 ． 【难度】★★【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22ππ， 【解析】函数()1arctan arcsin 2y f x x x ==+在定义域[]1,1-上单调递增， 所以值域为()()1,1,22f f ππ⎡⎤-=-⎡⎤⎣⎦⎢⎥⎣⎦【例15】求函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域． 【难度】★★★ 【答案】⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6 【解析】先求函数的定义域∴≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤⇒⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-,2102121201211111211x x x x x x x 函数的定义域是}⎩⎨⎧≤≤210x x2)1arcsin(6,1121,210ππ≤-≤∴≤-≤∴≤≤x x x 同理：22arccos 0120π≤≤∴≤≤x x∴函数x x y 2arccos )1arcsin(+-=的值域是⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,6．【巩固训练】1．函数()()arccos arcsin y x a x a =+--（0a >）的定义域D =___________． 【难度】★★【答案】由11110x a x a a -≤+≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪>⎩⇔11110a x a a x a a --≤≤-⎧⎪-+≤≤+⎨⎪>⎩。

最简三角方程教学目标1、理解三角方程的定义，会写出三角方程a x =sin ，a x =cos 和a x =tan 的解集；2、在解决问题的过程中，掌握从特殊到一般的研究数学问题的方法；3、进一步体会数形结合、分类讨论和类比的思想方法。

教学重点三角方程a x =sin ，a x =cos 和a x =tan 的解集教学难点利用三角函数图像或单位圆求出最简三角方程的解集教材分析最简三角方程是三角学的重要内容之一，是三角函数的周期性和反三角函数概念的最直接运用．其学习要求是在理解三角方程意义的基础上，牢固掌握最简三角方程的解集，并会解简单的三角方程．同时，解三角方程需要用到较多的三角、代数知识，这有利于温故而知新，在复习旧知识的基础上，培养综合、灵活运用知识和方法的能力．此外，需要指出的是由于三角函数是周期函数，有无限多个自变量对应于同一函数值，因此三角方程的解集通常是无限集．学情分析在前一阶段的学习过程中，学生初步掌握了三角函数的周期性和反三角函数的概念，但，对三角函数的概念的理解不够深刻，应用还不够熟练。

因此在教学过程中，教师应该适当放低要求，多搭脚手架，循序渐进，引导学生进行探究学习，尽量让学生自己在最近发展区内去发现问题、解决问题。

教学过程一、师生共同探究方程21sin =x 在R x ∈上的解集.变式1：求方程31sin =x 的解集. 变式2：求方程a x =sin 的解集.二、利用类比的方法小组合作探究方程a x =cos 的解集.三、独立探究方程a x =tan 的解集并向全体师生汇报探究结果.通过师生共同和小组讨论学习自主归纳三角方程的解集，三角方程的方法，培养自主探索并解决新问题的能力，一般的学习策略。