北师大版第二学期八年级数学分解因式11

十字相乘法分解因式（1）多项式c bx ax ++2，称为字母 x 的二次三项式，其中 ax^2 称为二次项， bx 为一次项， c 为常数项．例如：322--x x 和652++x x 都是关于x 的二次三项式．（2）在多项式2286y xy x +-中，如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式；如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式．（3）在多项式37222+-ab b a 中，看作一个整体，即 ，就是关于 的二次三项式．同样，多项式12)(7)(2++++y x y x ，把 看作一个整体，就是关于 的二次三项式．(1)对于二次项系数为1方法的特征是“拆常数项，凑一次项”当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．(2)对于二次项系数不是1的二次三项式它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．例1 把下列各式分解因式：(1)1522--x x ；=（x+3）（x+5）(2)2265y xy x +-．=（x-3y ）（x-2y ）例2 把下列各式分解因式：(1)3522--x x ；=（-x+3）（-2x-1）例3 把下列各式分解因式：(1)91024+-x x ；=（x-1）（x+1）（x-3）（x+3）(2))(2)(5)(723y x y x y x +-+-+；=[7(x+y)^2-5(x+y)-2](x+y)=(7x+7y-1)(x+y+2)(x+y)(3)120)8(22)8(222++++a a a a ．=(a^2+8a+10)(a^2+8a+12)=(a^2+8a+10)(a+2)(a+6)例4 分解因式：90)242)(32(22+-+-+x x x x ．=(x^2+2x-18)(x^2+2x-9)例5 分解因式653856234++-+x x x x ．=(6x^4+5x^3-39x^2)+(x^2+5x+6)=x^2(6x^2+5x-39)+(x+2)(x+3)=x^2(x+3)(6x-13)+(x+2)(x+3)=(x+3)(6x^3-13x^2+x+2)=(x+3)(6x^3-13x^2+2x-x+2)=(x+3)[x(6x^2-13x+2)-(x-2)]=(x+3)[x(x-2)(6x-1)-(x-2)]=(x+3)[(x-2)(6x^2-x-1)]=(x+3)(x-2)(2x-1)(3x+1)例6 分解因式655222-+-+-y x y xy x ．=(x^2-2xy+y^2)-5(x-y)-6=(x-y)^2-5(x-y)-6=[(x-y)-6][(x-y)+1]=(x-y-6)(x-y+1)例7、已知12624+++x x x 有一个因式是42++ax x ，求a 值和这个多项式的其他因式．把下列各式分解因式：(1)22157x x ++(2) 2384a a -+(3) 2576x x +-(4) 261110y y --(5) 2252310a b ab +-(6) 222231710a b abxy x y -+(7) 22712x xy y -+(8) 42718x x +-(9) 22483m mn n ++(10) 53251520x x y xy --一、选择题1．如))((2b x a x q px x ++=+-，那么p 等于 ( )A ．abB ．a ＋bC ．－abD ．－(a＋b )2．如果305)(22--=+++⋅x x b x b a x ，则b 为( )A ．5B ．－6C ．－5D ．63．多项式a x x +-32可分解为(x －5)(x －b )，则a ，b 的值分别为( )A ．10和－2B ．－10和2C ．10和2D ．－10和－24．不能用十字相乘法分解的是( )A ．22-+x xB ．x x x 310322+-C ．242++x xD ．22865y xy x --5．分解结果等于(x ＋y －4)(2x ＋2y －5)的多项式是( )A ．20)(13)(22++-+y x y xB ．20)(13)22(2++-+y x y xC ．20)(13)(22++++y x y xD ．20)(9)(22++-+y x y x6．将下述多项式分解后，有相同因式x －1的多项式有( )①672+-x x ； ②1232-+x x ； ③652-+x x ；④9542--x x ； ⑤823152+-x x ； ⑥121124-+x xA ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题7．=-+1032x x (x-2)(x+5)．8．=--652m m (m ＋a )(m ＋b )． a ＝，b ＝．9．=--3522x x (x －3)()．10．+2x ____=-22y (x －y )(__________)．11．22____)(____(_____)+=++a mn a ． 12．当k ＝______时，多项式k x x -+732有一个因式为(__________)．13．若x －y ＝6，3617=xy ，则代数式32232xy y x y x +-的值为__________． 三、解答题14．把下列各式分解因式：(1)6724+-x x ；(2)36524--x x ；(3)422416654y y x x +-；(4)633687b b a a --；(5)234456a a a --；(6)422469374b a b a a +-．15．把下列各式分解因式：(1)2224)3(x x --；(2)9)2(22--x x ；(3)2222)332()123(++-++x x x x ；(4)60)(17)(222++-+x x x x ；(5)8)2(7)2(222-+-+x x x x ；(6)48)2(14)2(2++-+b a b a ．16．已知x ＋y ＝2，xy ＝a ＋4，x^3+y^3=36，求a 的值． x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)[(x+y)^2-3xy]x+y=2,xy=a+4x^3+y^3=2*(4-3a-12)=36a=-26/3。

**一个文档精品尽在***北师大八年级下册第二章《分解因式》大全知识梳理1、分解因式的概念把一个多项式分成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式2、分解因式与整式乘法的关系分解因式与整式乘法是的恒等变形。

3、分解因式的一些注意点（1）结果应该是的形式；（2）必须分解到每个因式都不能为止；（3）如果结果有相同的因式，必须写成的形式。

1．公因式多项式中各项都含有的相同的因式，我们把这个因式叫做这个多项式的2.提公因式法如果多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积的形式,这种分解因式的方示叫做提公因式法.《重点辨析》提取公因式时的注意点【典型例题】 一、分解因式例1.下列各式从左边到右边的变形,哪些是分解因式,哪些不是? (1))11(22xx x x +=+ (2)1)5)(5(22--+=-a a b a (3)22))((n m n m n m -=-+ (4)22)2(44+=++x x x (5))23(232y x x x xy x -=+- (6)32)1)(3(2--=+-x x x x 例2.多项式b ax x ++2分解成)2)(1(-+x x ,求b a +的值.二、提公因式法例3．把下列各式分解因式（1）a ab a 3692+- （2）xy xy y x -+2252（3）234264x x x +-- （4）4324264xy y x y x +--例4．把下列各式分解因式（1）)2(3)2(2y x b y x a --- （2）)2(4)2(3)2(2y x c x y b y x a -----例5．分解因式（1）32)2()2(2x y b y x a -+- （2）32)3(25)3(15a b b a b -+-（3）432)(2)(3)(x y b x y a y x -+--- （4）n m n m x b x a x b x a )()()()(11++-++-+（1）5.12346.45.12347.115.12349.2⨯-⨯+⨯ （2）9910098992222--例7．已知2,32==+ab b a ，求代数式22222ab b a b a ++的值。

《因式分解》说课稿一、说教材1、关于地位与作用。

说课的内容：北师大版八年级数学下册第二章《分解因式》的第一课。

就本节课而言，它是整式乘法的逆向变形,与整式乘法运算有着密切的联系.着重阐述了两个方面，一是分解因式的概念，二是与整式乘法的相互关系。

它是继整式乘法的基础上来讨论分解因式概念，从而通过探究与整式乘法的关系，来寻求分解因式的原理。

这一思想实质贯穿后继学习的各种分解因式方法。

通过这节课的学习，不仅使学生掌握分解因式的概念和原理，而且又为后面学习分式化简,解方程等作好了充分的准备。

因此，它起到了承上启下的作用。

2、关于教学目标。

（一）知识与技能目标：①了解因式分解的必要性；②深刻理解因式分解的概念；③掌握从整式乘法得出分解因式的方法。

（二）过程与方法利用小学学过的分解因数知识与七年级的整式乘法的知识,采用类比方法进行教学.让学生体验分解因式的必要性；促进学生对分解因式概念的理解.感受整式乘法与因式分解的互逆关系；发展学生观察,发现,归纳,概括等能力以及有条理的思考与语言表达能力.学生采用独立思考与合作交流相结合的方法．（三）情感态度价值观：分解因式是代数式的一种重要变形方法，它不仅用于计算，化简，求值，解方程和不等式的代数内容，而且在几何，三角等解题与记忆中扮演着重要角色，它是学生开发智力，磨练思维的有效方法和手段，学生的品质和意志在此可以充分得到锻炼和升华．3、关于教学重点与难点。

重点：因式分解的概念以及与整式乘法的关系。

难点：理解因式分解与整式乘法的相互关系，以及它们之间的关系进行因式分解的思想。

二、说过程与方法。

一.创建问题情境,利用分解因数类比分解因式。

1.993-99能被100整除吗?你是怎样思考的?可能学生是用计算器按的结果,970200,然后说能被100整除.这时可以引导学生即9702×100.并板书.然后可以让学生想想还有其他方法吗?如果学生回答不到点子上,可以引导学生思考如果不用计算器该怎样解决这个问题.安排这一过程的意图是：引导学生把这个数式分解成几个数的积的形式,进而类比数式的分解因数引出多项式的分解因式.2.想一想993-99还能被那些正整数整除?3.怎样解决上述问题的关键是什么?安排这一过程的意图是：让学生体会把数式化成几个数的积的形式是解决这类问题的关键,从而为引出分解因式的概念奠定基础.4.议一议:你能尝试把a3-a化成几个整式的乘积的形式吗?鼓励学生类比数的分解将a3-a分解.二. 建立分解因式模型,理解与整式乘法的关系做一做:计算下列各式:(1)3x(x-1)=_____________(2)m（a+ b+c）=__________(3)(m+n)(m-n)=____________(4)(y-3)2=____________根据上面的算式填空:(1) 3x2- 3x=___________(2) m2-n2= __________(3)ma+ mb+mc= ____________(4)y2-6y+9 =___________安排这一过程的意图是：一是复习整式的乘法，激活学生原有整式乘法的认知结构，促使新旧认知结构的联结，满足“温故而知新”的教学原理。

第四章因式分解●教学目标（一）教学知识点1.复习因式分解的概念，以及提公因式法，运用公式法分解因式的方法，使学生进一步理解有关概念，能灵活运用上述方法分解因式.2.熟悉本章的知识结构图.（二）能力训练要求通过知识结构图的教学,培养学生归纳总结能力,在例题的教学过程中培养学生分析问题和解决问题的能力.（三）情感与价值观要求通过因式分解综合练习,提高学生观察、分析能力；通过应用因式分解方法进行简便运算，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识.●教学重点复习综合应用提公因式法,运用公式法分解因式.●教学难点利用分解因式进行计算及讨论.●教学方法引导学生自觉进行归纳总结.●教具准备投影片三张第一张（记作§4.6 A）第二张（记作§4.6 B）第三张（记作§4.6 C）●教学过程Ⅰ.创设问题情境,引入新课［师］前面我们已学习了因式分解概念,提公因式法分解因式,运用公式法分解因式的方法,并做了一些练习.今天,我们来综合总结一下.Ⅱ.新课讲解（一）讨论推导本章知识结构图［师］请大家先回忆一下我们这一章所学的内容有哪些?［生］（1）有因式分解的意义,提公因式法和运用公式法的概念.（2）分解因式与整式乘法的关系.（3）分解因式的方法.［师］很好.请大家互相讨论,能否把本章的知识结构图绘出来呢?（若学生有困难,教师可给予帮助）［生］（二）重点知识讲解［师］下面请大家把重点知识回顾一下.1.举例说明什么是分解因式.［生］如15x3y2+5x2y－20x2y3=5x2y（3xy+1－4y2）把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解成为因式5x2y与3xy+1－4y2的乘积的形式,就是把多项式15x3y2+5x2y－20x2y3分解因式.［师］学习因式分解的概念应注意以下几点:（1）因式分解是一种恒等变形,即变形前后的两式恒等.（2）把一个多项式分解因式应分解到每一个多项式都不能再分解为止.2.分解因式与整式乘法有什么关系?［生］分解因式与整式乘法是两种方向相反的变形.如:ma+mb+mc=m（a+b+c）从左到右是因式分解,从右到左是整式乘法.3.分解因式常用的方法有哪些?［生］提公因式法和运用公式法.可以分别用式子表示为:ma+mb+mc=m（a+b+c）a2－b2=（a+b）（a－b）a2±2ab+b2=（a±b）24.例题讲解投影片（§4.6 A）个整式的积的形式是因式分解，否则不是.［生］解:（1）不是因式分解,因为右边的运算中还有加法.（2）不是因式分解,因为6x2y3不是多项式而是单项式,其本身就是积的形式,所以不需要再因式分解.（3）不是因式分解,而是整式乘法.（4）是因式分解.投影片（§4.6 B）［生］可以.分解因式的一般步骤为:（1）若多项式各项有公因式,则先提取公因式.（2）若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.（3）每一个多项式都要分解到不能再分解为止.Ⅲ.课堂练习1.把下列各式分解因式（1）16a 2－9b 2;（2）（x 2+4）2－（x+3）2;（3）－4a 2－9b 2+12ab;（4）（x+y ）2+25－10（x+y ）解:（1）16a 2－9b 2=（4a ）2－（3b ）2=（4a+3b ）（4a －3b ）;（2）（x 2+4）2－（x+3）2=［（x 2+4）+（x+3）］［（x 2+4）－（x+3）］=（x 2+4+x+3）（x 2+4－x －3）=（x 2+x+7）（x 2－x+1）;（3）－4a 2－9b 2+12ab=－（4a 2+9b 2－12ab ）=－［（2a ）2－2·2a·3b+（3b ）2］=－（2a －3b ）2;（4）（x+y ）2+25－10（x+y ）=（x+y ）2－2·（x+y ）·5+52=（x+y －5）22.利用因式分解进行计算（1）9x 2+12xy+4y 2,其中x=34,y=－21;（2）（2ba +）2－（2ba -）2,其中a=－81,b=2.解:（1）9x 2+12xy+4y 2=（3x ）2+2·3x·2y+（2y ）2=（3x+2y ）2当x=34,y=－21时 原式=［3×34+2×（－21）］2 =（4－1）2=32=9（2）（2b a +）2－（2b a -）2 =（2b a ++ 2b a -）（2b a +－2b a -） =ab 当a=－81,b=2时 原式=－81×2=－41. Ⅳ.课时小结1.师生共同回顾,总结因式分解的意义,因式分解的方法及一般步骤,其中要特别指出:必须使每一个因式都不能再进行因式分解.2.利用因式分解简化某些计算.Ⅴ.课后作业复习题 A 组Ⅵ.活动与探究求满足4x 2－9y 2=31的正整数解.分析:因为4x 2－9y 2可分解为（2x+3y ）（2x －3y ）（x 、y 为正整数），而31为质数.所以有⎩⎨⎧=-=+1323132y x y x 或⎩⎨⎧=-=+3132132y x y x 解：∵4x 2－9y 2=31∴（2x+3y ）（2x －3y ）=1×31∴⎩⎨⎧=-=+1323132y x y x 或⎩⎨⎧=-=+3132132y x y x 解得⎩⎨⎧==58y x 或⎩⎨⎧-==58y x 因所求x 、y 为正整数，所以只取x=8,y=5. ●板书设计。

初中数学试卷金戈铁骑整理制作因式分解一、基本概念：1、分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式。

如：（1）()322232291263342x y x y xy xy x x y +-+-＝（2）))((22b a b a b a -+=-； 2、分解因式的基本要求：（1）最终结果要以乘积的形式表示；（2）每个因式必须是整式，并且每个因式的次数必须低于原来多项式的次数； （3）必须分解到每个因式不能再分解为止。

如：分解因式44x y -二、分解因式的基本方法： 1、提公因式法：问题1、将下列各式分解因式：（1）32642x x x -+ （2）222axy ax y axz --+（3）()()2362a b a a b --- （4）()()24312x x ---（5）222a ab ac bc -+- （6）()()22122nn x x +-+- （n 是正整数）练习：把下列各式分解因式：（1）33)(6)(3x y y y x x ---； （2）23)(6)(4a b b b a a ---；（3）)2()2()2(x c x b x a -+-+-； （4）)()(22m n xy n m y x ---．（5）)1)(32()23()1(52a a a a --+--； （6）))((3))((2y x z x y z y x y x ---+-++；（7）222)()()(b a ac a b a b a ab ---+--；（9）421212288+++++-m m m m y x yx；（8）3222)2(12)2(24)2(18x y x x y xy y x x -----）；（10）)(2)1(311n n n x x x x-+-++．2、公式法：逆用乘法公式：()()22a b a b a b -=-+()2222a ab b a b ++=+ ()2222a ab b a b -+=- ()()3322a b a b a ab b +=+-+ ()()3322a b a b a a b b-=-++ 问题2、把下列各式分解因式： （1）221164a b -（2）2925x -+（3）()()2223362a b a b +-- （4）4348x -（5）22m n m n -++ （6）229644a ab b ++（7）225101x x -+- （8）222212123m n m n m -+（9）()()22221a b a b -+-+ （10）()222x y x xy y -+-+问题3、把下列各式分解因式：（1）421681x x -+ （2）()22222x y xy x y +--（3）2222a b c bc --+ （4）()()221a b b a b +-+（5）()()221816m n m n --+- （6）2221x xy y -+-（7）3233x x x +-- （8）()()2222249x x xx ---++练习：1、把下列各式分解因式： （1）424y a - （2）224925y x -（3）448116n m -（4）22)3()32(4b a b a --+2、把下列各式分解因式：（1）mn n m 32922-+ （2）42222c abc b a -+-（3）16)4(8)4(222+-+-x x x x （4）2294942y x xy --（5）22222)(624b a b a +-（6）2222)(4)(12)(9b a b a b a ++---（7）a a -5（8）242455m b m a -问题4、已知4316x mx nx ++-有因式()()12x x --和，求,m n 的值。

北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》教案一. 教材分析北师大版数学八年级下册4.1《因式分解》是初中数学的重要内容，主要让学生掌握因式分解的方法和应用。

因式分解是代数运算的基础，对于提高学生的数学思维能力和解决问题的能力具有重要意义。

本节课的内容包括提公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，通过这些方法的学习，使学生能够灵活运用因式分解解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了整式的乘法运算，具备了一定的代数基础。

但因式分解较为抽象，对于部分学生来说，理解起来存在一定的困难。

因此，在教学过程中，要关注学生的学习差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的学习兴趣和自信心。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握因式分解的方法，能够灵活运用各种方法进行因式分解。

2.过程与方法目标：通过小组合作、讨论交流，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。

四. 教学重难点1.重点：因式分解的方法。

2.难点：灵活运用各种方法进行因式分解，解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过创设生活情境，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生主动思考，培养学生的创新能力。

3.小组合作学习：培养学生团队协作能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关教案、PPT、教学素材等。

2.准备黑板、粉笔、投影仪等教学用品。

3.提前让学生预习本节课的内容，了解因式分解的基本概念。

七. 教学过程1. 导入（5分钟）利用生活实例或趣味数学问题，引入因式分解的概念，激发学生的学习兴趣。

2. 呈现（10分钟）通过PPT展示因式分解的方法，包括提公因式法、公式法、分组分解法等。

引导学生了解各种方法的特点和应用。

3. 操练（10分钟）对学生进行分组，每组选定一个因式分解问题，运用所学的methods进行解决。

教师巡回指导，解答学生的疑问。