基于几何连续约束的带参数λ的四次Bézier曲线延拓

Bézier曲线曲面的扩展研究中文摘要Bézier曲线和曲面广泛应用于CAGD(计算机辅助几何设计)和计算机图形学,对Bézier 曲线或者曲面的设计和形状修改是一个重要的问题。

给定了控制顶点及相应的Bernstein 基以后，Bézier 曲线就确定了；若要修改曲线的形状，必须调整控制顶点。

所以在本文第二章给出了Bézier 曲线的定义以及其相关性质，第三章讨论了吴晓勤,韩旭里等前辈给出的针对四次的Bézier曲线的扩展,得到带有参数λ的曲线,具有与四次Bézier曲线类似的性质；如端点性、对称性、凸包性等.在控制顶点不变的情况下,随着参数λ不同,曲线退化为四次Bézier曲线.在第四章给出了一组含有参数λ的六次多项式基函数,是五次Bernstein 基函数的扩展；分析了此组基的性质,基于该组基定义了带形状参数的多项式曲线.曲线不仅具有五次Bézier曲线的特性,而且具有形状的可调性和更好的逼近性.参数λ有明确的几何意义：λ越大,曲线越逼近控制多边形,当λ=0 时,曲线退化为五次Bézier曲线.实例表明,定义的曲线为曲线/曲面的设计提供了一种有效的方法.关键词：Bernstein基函数；Bézier曲线；形状参数；曲线设计Research on Extension of Bézier Curve and SurfaceABSTRACTBézier curve and surfaces are one kind of the most commonly used parametric curves in computer aided geometric design (CAGD) and computer graphics. Developing more convenient techniques for designing and modifying Bézier curve and surfaces are an important problem. Given the control vertex and the corresponding Bernstein, B e zier curve identified; if you want to modify the shape of curve, you must adjust the control vertexes. So in this paper, we give the definition of Bézier curve and its correlation properties in section 2. In section 3, the extension of quartic B e zier curve of Wu and Han are discussed and we get the quartic B e zier curve with shape parameterλ.This curve inherit the outstanding properties of quartic B e zier curve, such as symmetry, endpoint property, convex hull property. And this curve converge to quartic B e zier curve when λ=0.In this paper, a class of polynomial basis functions with an adjustable parameter λis presented. They are extensions of quintic Bernstein basis functions. Properties of this basis are analyzed and the corresponding polynomial curve with a shape parameterλis defined accordingly. This curve not only inherits the outstanding properties of quintic Bézier curve, but also is adjustable in shape and fit close to the control polygon. This curve converge to quintic Bézier curve whenλ=0. Some examples illustrate the variation curve shapes with different values ofλ.KEY WORD: Bernstein basis function; Bézier curve; shape parameter; curve design第一章 前言1.1 问题的提出曲线曲面表示是计算机辅助几何设计（CAGD ）中一个重要的研究课题,其中,以Bernstein 基构造的Bézier 曲线由于结构简单、直观而成为CAGD 中表示曲线和曲面的重要工具之一.然而给定控制顶点及相应的Bernstein 基以后,Bézier 曲线的形状就被唯一的确定了,若要修改Bézier 曲线的形状,必须调整控制多边形的顶点.有理Bézier 曲线通过引入了权因子,不改变 控制顶点,由权因子可调整曲线的形状；但有理Bézier 曲线还有一定的缺陷：如权因子的如何选取、权因子对曲线的形状影响还不是十分清楚,求导次数增加,求积分的不方便等.1.2 研究现状随着几何造型工业的发展,往往要求调整曲线的形状或改变曲线的位置；人们开始想法推广Bézier 曲线,在文献[1],[2]中给出了以Bernstein 基定义的Bézier 曲线以及其相关性质.齐从谦等[]3,讨论了一类可调控Bézier 曲线, 针对(1)n +个控制点,用Bernstein 基构造一类Bézier 曲线.该类曲线的参数几何意义不明显、曲线次数过高、增加了曲线的计算量.刘根洪等[]4,通过将参数t 重新参数化,提出了广义Bézier 曲线和曲面；其目的在于提高连接两端Bézier 曲线的连续阶.梁锡坤[]5,通过将参数t 有理参数化提出Bernstein －Bézier 类曲线,但曲线不具有对称性.而韩旭里 等[]67-提出了二次,三次，四次Bézier 曲线的扩展,其所用的方法是提高多项式次数以获得不同于Bernstein 基且含有参数λ的基函数,得到的曲线具有Bézier 曲线类似的性质.此外这种带一个形状参数的曲线还可以在三角多项式空间[10],[11]中生成，同样也是利用这一形状参数的不同取值可对曲线作整体调控。

《计算机图行学》学习包本课程为有关专业的必修课程（或选修课程）。

通过本课程的教学，学生可以学习、了解和掌握计算机图形学中有关的基本原理、概念、方法和技术，培养和提高交互式图形设计的能力。

计算机图形学与图象处理，计算机图形学的研究内容，计算机图形学的发展简史，计算机图形学的发展方向，本课程教学要求与学习方法。

本章无习题计算机图形系统的组成、功能与分类，计算机图形显示器，图形输入设备，图形输出设备，图形软件系统，图形软件标准。

课后习题1. 某光栅系统中，显示器的分辨率为1280×768，其中每个象素点的颜色深度为12 bit，则该系统需要多大的帧缓存（即多少KB）？2. 有甲乙两台光栅图形显示器，它们的产品说明书介绍均称可以显示4096种颜色，但甲机在显示一幅画面时却只有256种颜色，问其中究竟是什么原因？参考答案1．1280×768×12 / (8×1024) = 1440(KB)2．(1) 甲机：8个位平面，采用一张有256个单元，每个单元有12 bit的彩色查找表。

(2) 乙机：12个位平面，没有采用查找表。

1点的生成，生成直线的DDA算法和Bresenham 算法，二次曲线，区域的简单种子填充算法和扫描线种子填充算法，多边形的扫描转换，字符的生成，反走样技术。

课后习题1. 用对称DDA算法画出A(0,0)到B(5,3)连线的各象素点的位置，并在表内填出相应的中间数据。

rx=5, ry=3,x=0,y=0,steps=5,dx=1,dy=0.6;2. 用Bresenham算法画出A(0,0)到B(5,3)连线的各象素点的位置，并在表内填出相应的中间数据。

dx=5, dy=3, d=2dy-dx=1, x=0, y=0, 2dy-2dx=-4, 3dy=6;23. 用Bresenham算法画出圆心为（0,0），半径为8的顺时针90至45的1/8圆弧上各象素点的位置。

带边界约束的4片相邻三角Bézier曲面的近似合并
陈军;王国瑾
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2009(021)008
【摘要】L1范数形式精确给出.通过提高合并三角Bézier曲面的次数,可减小合并误差、改善合并效果.数值实例表明,该方法计算简单、直接,适用性强,逼近效果佳.【总页数】7页(P1047-1053)
【作者】陈军;王国瑾
【作者单位】浙江大学数学系计算机图象图形研究所,杭州,310027;浙江大学CAD,&,CG国家重点实验室,杭州,310027
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.两相邻张量积Bézier曲面的近似合并 [J], 郭清伟;朱功勤
2.两相邻Bézier曲线的近似合并 [J], 郭清伟
3.两相邻带参四次Bézier曲线的近似合并 [J], 岳丽;秦新强;胡钢;李凯
4.两相邻Bézier曲线近似合并的一种方法 [J], 郭清伟;朱功勤
5.带形状参数的三次三角域Bézier曲面 [J], 查东东;刘华勇;王曾珍
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逼近三次B样条导矢曲线的四次Hermite插值样条郭啸;韩旭里;黄琳【摘要】给出了形状可调的四次Hermite插值样条曲线的构造方法.四次样条曲线可提供额外的自由度用于调整曲线具有合理形状.利用导矢逼近使得四次Hermite 样条曲线具有与三次B样条曲线相似的形状.通过最小化曲线间的导矢误差给出了确定自由度的方法,提出了四次Hermite插值样条曲线的构造方法.该方法增加了自由度控制曲线形状能更好满足保形要求.最后以实例对构造的四次Hermite样条曲线和标准三次Hermite插值样条曲线进行了比较.【期刊名称】《图学学报》【年(卷),期】2016(037)002【总页数】6页(P149-154)【关键词】Hermite插值样条;保形插值;形状可调【作者】郭啸;韩旭里;黄琳【作者单位】中南大学数学与统计学院,湖南长沙410083;长沙师范学院,湖南长沙410083;中南大学数学与统计学院,湖南长沙410083;长沙师范学院,湖南长沙410083【正文语种】中文【中图分类】TP391.72参数曲线的保形插值是计算机辅助几何设计中的重要研究内容。

Hermite样条插值方法是构造保形曲线的重要方法之一[1]。

关于Hermite插值曲线的构造方法，误差估计，形状保持以及插值应用已有较多研究成果[2-8]。

利用Hermite插值方法，可对给定有序控制点Pi( i= 0,1,…,n)及对应点的k阶导矢，构造出2k+1次的Hermite插值曲线，该曲线经过所有控制点且具有Ck连续性。

当确定一阶导矢后可构造出最简单的三次Hermite插值曲线。

但在某些情况下的三次Hermite插值曲线存在扭曲现象，对某些数据点集构造出的插值曲线存在重点，尖点或折叠的情况[9]。

三次Hermite插值曲线没有额外自由度用以调整曲线形状，存在较大的应用局限性。

提高插值阶次可以改善Hermite曲线的平滑性[10]，同时能增加自由度使曲线曲面具有更好的形状[11-12]。

基于三角函数多项式bézier曲线的延拓Bézier曲线是一种平滑，灵活而强大的曲线工具，它由法国工程师Pierre Bézier 发明于1960年，通常用于二维和三维计算机图形。

它建立在三角函数多项式的基础上，采用贝塞尔样条进行拓展，以实现精确的控制点控制，从而实现准确的曲线形状。

1. 基本原理Bézier曲线建立在三角函数多项式的基础上，并提供一个使用度较高的曲线方法，其基本原理是采用多项式和单参数函数的组合，来实现形状的精确控制。

基于三角函数多项式的关键性特征是可以将给定的点连接起来，并且不会产生拐点，采用此方法既可以实现从控制点P0到Pn的平滑连接，也可以实现从P0点到Pn点的准确控制。

2. 应用领域Bézier曲线能够实现多种应用，常见的应用如下：- 在计算机图形学方面：Bézier曲线可以快速拟合多个点，它可以实现准确精确的曲线图形，可以用于三维和二维图形编辑，以及游戏开发。

- 交通工程领域：Bézier曲线可以实现准确的路径跟踪，并辅助自动制造圆滑连接通行，为自动车辆提供实时车辆行驶路线规划。

- 在机器人应用方面：Bézier曲线可以用来实现机器人的精确定位，从而实现其在指定的定位点内的移动和操作。

- 建筑般在：Bézier曲线可以用于建筑设计中，将房屋的包层或入口窗外沿进行精确划分，实现从窗口到门框的平滑连接。

3. 优点Bézier曲线具有以下优点：- 高度灵活性：Bézier曲线提供了一种灵活多变的方式，可很容易更改其拐点和控制点，来调整曲线的形状。

- 方便实现：Bézier曲线可以通过简单的工程来实现，不需要进行复杂的计算。

- 控制效率：Bézier曲线可以很容易的通过控制点来改变运行轨迹，避免重新编写复杂的脚本。

- 便捷性: Bézier曲线可以直接在浏览器内嵌入并实现立即实现，而不需要提前进行复杂的编程等繁琐过程。

242理论研究0　引言 目前的CNC 系统，对于直线和圆弧可以采用脉冲增量插补原理直接进行插补。

而对于Bezier 曲线、样条曲线等的插补只能采用数据采样插补原理，先进行粗插补，然后再用脉冲增量插补法对微小的直线段进行精插补。

数据采样法在原理上决定了其逼近的过程中肯定会产生轨迹误差，而且插补程序比较复杂。

为了避免数据采样插补法所带来的问题，在de Casteljau 算法的几何模型的启发下，提出了用DDA 法递推插补出Bezier 曲线的基本思想。

1　de Casteljau 算法 de Casteljau 算法最基本的过程就是在向量上取一个点C，使得C 分向量为t t −1:((这里为)上取Bezier A 和B 的坐标以及[]()1,0∈t t 的值，点C 的坐标便为：()()B t A t t A B A C ×+×−=×−+=1。

当Bezier 曲线阶数大于等于2时，即可利用上述过程进行迭代，具体步骤如下。

定义Bezier 曲线的控制点编号为ij，其中i 表示迭代次数，j 表示每次迭代中的控制点序号。

为了计算n 阶贝塞尔曲线(控制点个数为n+1)上的点C(t ),[]1,0∈t ，首先将控制点依次连接形成一条折线00-01-02-……-0(n-1)-0n。

按上述过程，在构成折线的每条线段上取Bezier 点，总共有n 个，记为10、11、12、……、1(n-2)、1(n-1)，然后再把这些点依次连成一条折线10-11-12-……-1(n-2)-1(n-1)，再在此折线的每条线段上取Bezier 点，总共有n-1个，以此类推。

2　利用DDA 法对Bezier 曲线进行直接插补 在上述de Casteljau 算法的理论基础上，研究出了直接用直线插补迭代递推出Bezier 曲线的方法。

2.1　二阶及以上Bezier 曲线插补一种基于de Casteljau 算法的Bezier曲线插补方法宋　健,桑运晓,刘同壮（山东科技大学机械电子工程学院,山东 青岛 266590）摘　要：为了克服数据采样法插补Bezier 曲线必然会产生轨迹误差而且运算量大、实时性不好的问题，以Paul de Casteljau 在1959年提出的de Casteljau 算法为理论依据，研究出了一种用DDA 直线插补器级联的方式递推出任意阶Bezier 曲线的新方法。

Bézier曲线的扩展研究的开题报告一、研究背景和意义Bézier曲线是计算机图形学中的一种常用曲线模型，其具有简单、易于计算、形状可控性强等优点。

由于Bézier曲线的应用广泛，因此对其进行扩展研究，将有助于更好地满足各种实际应用需求，提高曲线模型的表达能力和计算性能，具有重要的理论和实际意义。

二、研究内容和技术路线本文将针对Bézier曲线的扩展研究展开，主要涉及以下内容：1. 对Bézier曲线进行更一般化的表示和计算方法探索。

目前Bézier 曲线仅限于二维空间内的表示和计算，本文将探讨在三维及以上空间的表示和计算方法，以及相关算法的实现细节。

2. 对Bézier曲线的拟合和逼近问题进行深入研究。

在实际应用中，噪声点和数据异常点会对曲线的拟合和逼近效果产生影响，本文将探讨针对这些问题的改进算法，并在模拟数据集和真实数据集上进行验证。

3. 对Bézier曲线的变形和变形动画问题进行研究。

Bézier曲线的形状控制性强，在变形动画中应用广泛。

本文将探讨在Bézier曲线基础上的形变算法，可用来实现形状变化，如曲面弯曲、速度/加速度场形变、表面展开等。

4. 对Bézier曲线的可视化和交互设计进行研究。

Bézier曲线的可视化和交互设计是使用Bézier曲线的应用中至关重要的环节，本文将探讨基于Bézier曲线的可视化工具的设计与实现，以及基于交互的动态操作。

在技术路线方面，本文将采用Python编程实现算法，并使用OpenGL等图形库进行模拟与可视化。

通过相应的对比实验，验证算法的可行性和有效性。

三、预期研究成果1. 提出Bézier曲线更一般化的表示和计算方法；2. 针对Bézier曲线拟合和逼近问题，提出改进算法，并基于数据集进行验证；3. 提出基于Bézier曲线的形变算法，并基于模拟和实验数据进行验证；4. 设计基于Bézier曲线的可视化工具并进行实现，验证其在交互设计中的有效性。

带三参数的类四次Bezier曲线及其应用研究仇茹;杭后俊;潘俊超【摘要】通过引入带三参数的Bernstein基函数，对四次Bezier曲线进行了多参数的扩展，得到了一种类四次Bezier曲线，讨论了曲线的基本性质以及与五次Bezier曲线之间的关系。

通过对三参数的调节使曲线更具可调控性以及对圆锥曲线较好的逼近性。

能够在不改变控制点的情况下，仅仅通过局部调节部分形状参数的值便能实现曲线间的G2拼接，从而更能满足实际应用的需要。

最后给出了部分具体的实例。

%This paper extends the representation of quartic Bezier curve called quasi quartic bezier curve by introducing Bernstein basis function with three shape parameters and discusses the basis properties and the inner relations between quasi quartic bezier curves and quintic bezier curves. Taking different values of the shape parameters, shape of the curves can be modified easily. Without adjusting the control points, it can realize G2 merging of quasi quartic bezier curves by changing the values of the shape parameters locally which can better meet the practical applications. Finally, some specific examples are provided.【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2014(000)020【总页数】5页(P158-162)【关键词】Bernstein基函数;Bezier曲线;拼接【作者】仇茹;杭后俊;潘俊超【作者单位】安徽师范大学数学计算机学院，安徽芜湖 241000;安徽师范大学数学计算机学院，安徽芜湖 241000;安徽师范大学数学计算机学院，安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】TP391在工程中，Bezier方法由于其诸多的优良性质而被广泛用于自由曲线曲面的表示。

圆弧的四次Bézier曲线逼近
储理才;曾晓明
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2010(022)007
【摘要】针对Bézier曲线不能精确表示圆弧,导致在基于Bézier曲线曲面造型的CAD系统中存在圆弧的Bézier曲线逼近问题,提出一种用四次Bézier曲线逼近圆
弧的方法.根据圆弧与Bézier曲线都具有的对称性确定带待定参数的Bézier曲线
的控制顶点;再由误差函数的零点分布情况确定待定参数,给出控制顶点的计算公式、误差的解析表达式和逼近阶.与采用已有方法得到的最好结果相比较,文中方法的逼
近阶虽然也是8,但系数不到已有方法的一半,因而具有更好的逼近精度.
【总页数】5页(P1094-1098)
【作者】储理才;曾晓明
【作者单位】厦门大学数学科学学院,厦门,361005;集美大学理学院,厦门,361021;
厦门大学数学科学学院,厦门,361005
【正文语种】中文
【中图分类】TP391.7
【相关文献】
1.C-Bézier曲线的双圆弧逼近 [J], 陈建兰
2.基于单位圆弧段逼近的Bézier曲线等距线生成算法 [J], 徐少平;叶发茂;江顺亮;
熊宇虹
3.用四次有理Bézier曲线表示圆弧与圆 [J], 王成伟;姚云
4.四次C-Bézier 曲线的降阶逼近研究 [J], 沈仙华;赵玉林
5.三次Bézier曲线的圆弧样条逼近 [J], 邓达
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四次有理Bézier曲线曲面造型的研究的开题报告一、研究背景：有理Bézier曲线曲面是一种常用的三维曲面造型方法，其在计算机图形学、计算机辅助设计和数字控制加工等领域有着广泛的应用。

不同于普通的Bézier曲面，有理Bézier曲面将曲线的控制点加入了权值的概念，从而能够更加灵活地控制曲面的形状。

当前，四次有理Bézier曲线曲面是应用最广泛的类型之一，其研究将对相关领域的发展产生重要影响。

二、研究目的：本研究旨在深入分析四次有理Bézier曲线曲面的基本原理和特点，探究影响曲面造型的关键因素，并开展相关算法的研究和实践。

通过对四次有理Bézier曲线曲面的深入研究和探究，进一步发展并完善该领域的相关理论和技术，为曲面造型应用的进一步发展提供基础支撑。

三、研究内容：1. 四次有理Bézier曲线曲面的基本原理和定义。

2. 基于四次有理Bézier曲线曲面的造型技术研究：曲面细分、控制点权值确定、曲面拟合、曲面渲染等。

3. 基于四次有理Bézier曲面曲面的模拟和可视化实验研究。

4. 四次有理Bézier曲线曲面在工程设计、数字制造等领域的应用案例分析。

四、研究方法：1. 文献综述和理论分析，在掌握四次有理Bézier曲线和曲面基本概念的基础上，对该曲面造型方法的基本原理、特点和应用功能进行深入解析和研究。

2. 算法实现和仿真模拟，基于Matlab等数据处理和图形展示工具，进行四次有理Bézier曲线曲面的模拟和实验研究，从而深入研究其造型技术和应用价值。

3. 应用案例研究，通过对四次有理Bézier曲线曲面在工程设计、数字制造等领域的应用案例进行分析，从实际应用中发现该曲面造型方法的优势和不足，提出改进和创新点。

五、研究意义：1. 通过对四次有理Bézier曲线曲面的研究和实践，进一步深化和完善其理论基础和相关算法，为曲面造型应用的发展提供新的思路和途径。

用四个顶点的函数表示Bezier曲线一、Bezier曲线简介Bezier曲线是计算机图形学中常用的曲线类型，它通过定义一组控制点来描述曲线的路径。

其中，使用四个顶点来表示Bezier曲线是一种较为常见的方式。

二、Bezier曲线的表示方法在计算机图形学中，Bezier曲线通常使用参数方程来表示。

而使用四个顶点来定义Bezier曲线的参数方程为：B(t) = (1-t)^3 * P0 + 3*(1-t)^2 * t * P1 + 3*(1-t) * t^2 * P2 + t^3 * P3其中： - P0、P1、P2、P3分别代表四个控制点的坐标； - t是一个介于0和1之间的参数。

三、Bezier曲线的控制点选择选择合适的控制点是绘制出符合需求的Bezier曲线的关键。

由于Bezier曲线的性质，曲线会通过起始点P0和结束点P3，而中间的两个控制点P1和P2则决定了曲线的形状。

四、Bezier曲线的性质Bezier曲线具有以下特点： 1. 平滑性：Bezier曲线具有良好的平滑性，可以绘制出流畅的曲线。

2. 局部控制性：通过调整控制点的位置和权重，可以灵活地调整Bezier曲线的形状。

3. 可递推性：Bezier曲线的参数方程可以通过递推公式进行计算，从而实现高效绘制。

4. 可与直线相连：由于参数t的取值范围为0到1之间，因此Bezier曲线的起始点和结束点可以与其他直线段相连，实现复杂形状的绘制。

五、绘制Bezier曲线的算法绘制Bezier曲线的算法主要包括以下几个步骤： 1. 确定四个控制点P0、P1、P2、P3的坐标； 2. 将t的取值范围划分为一系列小的步长，例如0.01； 3. 对于每个t值，根据参数方程计算Bezier曲线上的点坐标； 4. 将计算得到的点坐标连接起来，即可绘制出Bezier曲线。

六、示例代码下面是一个使用Python编写的绘制Bezier曲线的示例代码：import matplotlib.pyplot as pltimport numpy as npdef bezier_curve(P0, P1, P2, P3, t):u = 1 - treturn u**3 * P0 + 3 * u**2 * t * P1 + 3 * u * t**2 * P2 + t**3 * P3# 设置四个控制点的坐标P0 = np.array([0, 0])P1 = np.array([1, 3])P2 = np.array([4, 2])P3 = np.array([6, 5])# 设置t的取值范围t = np.linspace(0, 1, 100)# 计算Bezier曲线上的点坐标x = bezier_curve(P0[0], P1[0], P2[0], P3[0], t)y = bezier_curve(P0[1], P1[1], P2[1], P3[1], t)# 绘制Bezier曲线plt.plot(x, y)plt.scatter([P0[0], P1[0], P2[0], P3[0]], [P0[1], P1[1], P2[1], P3[1]], c='red ')plt.xlabel('x')plt.ylabel('y')plt.title('Bezier Curve')plt.show()七、总结通过四个顶点的函数可以轻松地表示和绘制Bezier曲线。

基于四次带参广义Bézier 曲面的汽车造型设计方法
郭磊;张春红;胡钢
【期刊名称】《中国机械工程》
【年(卷),期】2015(000)023
【摘要】提出了用多张四次带参广义Bézier 曲面拼接描述汽车车身曲面的方法。

由设计师构建多张四次带参广义Bézier 曲面，并对这些曲面进行光滑拼接，在调整各曲面公共边界的位置及形状参数的条件下，形成不同的汽车造型方案。

该方法基于四次带参广义Bézier 曲面生成及拼接原理，可以迅速调整车身曲面和公共边界，获得光滑的曲面过渡效果，从而快速获得多种车身造型方案。

【总页数】5页(P3130-3133,3139)
【作者】郭磊;张春红;胡钢
【作者单位】电子科技大学中山学院，中山，528402;电子科技大学中山学院，中山，528402;西安理工大学，西安，710048
【正文语种】中文
【中图分类】TP391
【相关文献】
1.基于四次带参Bézier曲线的汽车前脸造型设计 [J], 郭磊;吉晓民;胡钢;初建杰
2.广义带多参Bézier-like曲面及其拼接条件 [J], 胡钢;吉晓民;白晓波
3.四次带参Bézier旋转曲面设计 [J], 胡钢;吉晓民;秦新强
4.四次带参广义Bézier曲面构造与光滑拼接技术 [J], 胡钢;吉晓民;郭磊
5.四次带参Bézier曲线曲面的光滑拼接 [J], 胡钢;戴芳;秦新强;张素霞
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1 引言曲线的生成算法是计算机图形学的重要内容。

1971年法国雷诺汽车公司的工程师Bezier 提出了一种新的参数曲线表示法。

这种方法能方便地控制输入参数(控制点)以改变曲线的形状，被称为Bezier曲线，数学原理使用了伯恩斯坦多项式。

Bezier曲线是一种采用样条逼近的方法描述的曲线，它的许多性质使它在外形设计中更加好用，更容易实现。

所以，Bezier样条在许多图形系统和CAD系统中得以广泛应用。

对于Bezier曲线的绘制，现在经常采用的是基于几何的算法，对某一变量的每次增加一个步长并计算其他变量的值以便算出曲线上的点，然后将这些点用小直线段，折线相连而生成曲线，该算法需要浮点运算，以及所绘制的曲线不能细致，曲线光滑性差，计算量大，另一常用算法是基于像素的算法，用整数运算来逐点计算曲线图的像素，减少了计算量，能够保持曲线的光滑性，但由于自由曲线是不确定的，即曲线每一段的走向是没有规律的，要绘制自由曲线就要更多地依赖计算机自动判断方向，并且算法复杂。

本文通过对Bezier曲线算法的原理及性质进行了分析，对于实验数据，采用统计分析的方法，大胆提出了可变参数的曲线生成算法，使计算机量大大减少，提高了曲线生成速度，而且准确性依然较高。

2 Bezier曲线生成算法分析投稿加微信 LSN20202.1 Bezier曲线生成原理Bezier曲线的形状是通过一组多边折线(控制多边形)的各顶点P0，P1，…，Pm所定义出来的。

在多边折线的各顶点中，只有第一点P0和最后一点Pm在曲线上，其余的点则用以定义曲线的阶次。

如果给定n+1个控制点：，则逼近由这些控制点构成的特征多边形的n次Bezier曲线可表示为：（1）其中，为控制点向量，为Bezier混合函数，它是用伯恩斯坦（Bernstein）多项式来定义的，即：（2）其中（3）（4）（5）（6） 2.2 Bezier曲线的性质Bezier曲线具有以下性质：1)端点性当t=0时，）P(0)=P0，故P0决定曲线的起点，当t=1时，P(1。