北师大版-数学-九年级上册-2.3 用公式法求解一元二次方程导学案

北师大版数学九年级上册第二章第3节用公式法解一元二次方程（第2课时）导学案【教学目标】1．理解一元二次方程根的判别式；2．不解方程，会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实数根和两个实数根是否相等．教学重点：一元二次方程根的判别式教学难点：理解一元二次方程根的判别式【教学过程】[知识回顾：]一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式是：x ＝－b ±b 2－4ac 2a(其中b 2―4ac ≥0)． 这个公式成立的条件是：b 2―4ac ≥0．那么，有没有b 2―4ac ＜0的一元二次方程呢？如果有，这样的方程的解的情况又是怎样的？[问题探究：]对于方程x 2－2x ＋3＝0，有a ＝1，b ＝－2，c ＝3，得b 2―4ac ＝(－2) 2―4×1×3＝－8＜0,不满足b 2―4ac ≥0的条件，所以该方程不能用求根公式求解．事实上，将方程x 2－2x ＝―3，配方，得x 2－2x ＋1＝―3＋1，即(x －1) 2＝－2．∵x 取任何实数时，总有左边＝(x －1) 2≥0,而右边＝－2＜0,∴x 取任何实数时，都不能使(x －1) 2＝－2成立，即方程(x －1) 2＝－2无实数根．也就是方程x 2－2x ＋3＝0无实数根．[归纳总结，得出结论：]对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，(1) 当b 2―4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根，（x ＝－b ±b 2－4ac 2a） (2) 当b 2―4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根，（x 1＝x 2＝－b 2a） (3) 当b 2―4ac ＜0时，方程无实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的情况可以由b 2―4ac 来判定．我们把b 2―4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根的判别式，通常用“△”（读：delta ）来表示．[例1]不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 2x 2＋5＝7x ； (2) 4x (x －1)＋1＝0； (3) (x ＋1)(4x ＋1)＝2x ．[跟踪练习1]1．不解方程，判断下列方程的根的情况：(1) 5x 2＋x ＝7； (2) 25x 2＋20x ＋4＝0； (3) x 2－2x ＋3=0．[例2]若关于x的一元二次方程(k－1) x 2＋2x－2＝0有两个不相等实数根，求k的取值范围．[跟踪练习2]1．关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0无实数根，则实数m的取值范围是（）A．m＜1B．m≥1C．m≤1D．m＞12．关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0根的情况是()A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定3．已知关于x的一元二次方程x2－(2k－1)x＋k2＋3＝0有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围是________．4．已知关于x的一元二次方程kx2－2(k＋1)x＋k－1＝0有两个不相等的实数根，求k的取值范围；5．关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有两个实数根，求k的取值范围；[本课知识、方法总结：]1．我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式，记作：△＝b2－4ac，(1)当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；即x1＝－b＋b2－4ac2a，x2＝－b―b2－4ac2a；(2)当△＝0时，方程有两个相等的实数根；即x1＝x2＝－b2a．(3)当△＜0时，方程无实数根．反过来也成立．[拓展延伸：]1．某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m），另三边用木栏围成，木栏总长40m．(1) 鸡场的面积能达到180m2吗？(2) 鸡场的面积能达到200m2吗？(3) 鸡场的面积能达到250m2吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．（提示：设平行于墙的一边为x m）答案例1（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程没有实数根；[跟踪练习1]1．（1）方程有两个不相等的实数根；（2）方程有两个相等的实数根；（3）方程有两个不相等的实数根；例2 解：根据题意，得⎩⎨⎧△＝4－4×(－2)×(k －1)＞0k －1≠0 解得k ＞12且k ≠1． [跟踪练习2]1．D2．A3．k ＜－1144．k 的取值范围是k ＞－13且k ≠0． 5．k 的取值范围是k ≥32且k ≠2． [拓展延伸：]1．解：设平行于墙的一边长为x 米，则垂直于墙的一边长为40－x 2米，鸡场的面积为x ·40－x 2平方米． （1）当x ·40－x 2＝180时，解得 x 1＝20－210，x 2＝20＋210（不合题意，舍去）．∴鸡场的面积能达到180m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为（20－210）米，垂直于墙的一边长为（10＋2010）米．（2）当x ·40－x 2＝200时，解得 x 1＝x 2＝20．∴鸡场的面积能达到200m 2，此时鸡场平行于墙的一边长为20米，垂直于墙的一边长为10米．（3）当x ·40－x 2＝250时，整理，得 x 2－40x ＋500＝0．∵△＝1600－4×1×500＜0，∴该方程没有实数根．∴鸡场的面积不能达到250m 2．。

第二章 一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时 利用一元二次方程解决面积问题教学目标1.会用公式法解决一元二次方程的实际问题.2.通过一元二次方程的建模过程，体会方程的根必须符合实际意义，增强应用数学的意识，巩固解一元二次方程的方法.3.通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际问题的勇气、才能及个性.教学重难点重点：能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. 难点：掌握利用面积法建立一元二次方程的数学模型.教学过程导入新课1.用公式法解下列方程： （1）2x 2-3x -1＝0； （2）3x 2-7x +2＝0.2.一元二次方程x 2－x －2＝0的根的情况是（ ） A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.不能确定3.一元二次方程x 2+2x +a ＝0有实根，则a 的取值范围是 _______.4.关于x 的一元二次方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ＞﹣1B.k ＞1C.k ≠0D.k ＞﹣1且k ≠0答案：1.（1）x 1＝3+√174，x 2＝3−√174（2）x 1＝13，x 2＝2 2.A 3.a ≤1 4.D5.现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决.在一块长为16 m ，宽为12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园占地面积为荒地面积的一半.你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？学生的设计多种多样，这里只选具有代表性的几种.（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7）教学反思通过征集设计方案，激发学生的内在动力.学生先独立思考、独自设计，再合作交流、互相补充，充分发挥学生的主体作用，使教师真正成为学生学习的组织者、促进者、合作者.探究新知思考如何具体解决上面问题： 1.如何设未知数？怎样列方程？ 2.分组解答图(5)(6)所列的方程. 图(5)的解答：解：设两个矩形所夹区域的宽为x m ， 由题意得(16－2x )(12－2x )＝16×12×12，整理，得x 2－14x ＋24＝0，x 2－14x ＋49＝－24＋49，(x －7)2＝25， 即x 1＝12（舍去），x 2＝2.问题：你认为小路的宽为12 m 和2 m 都符合实际意义吗？ 不都符合. 图(6)的解答：解：设扇形的半径为x m ，由题意得πx 2＝16×12×12，πx 2＝96，x ＝±√96π≈±5.5， 即x 1≈5.5，x 2≈－5.5(舍去).例1 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD (围墙MN 最长可利用25 m)，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料（材料恰好无剩余），当矩形花园的面积为300 m 2时，求AB 的长.解：设AB 的长为x m ，则BC 的长为(50－2x )m. 根据题意，得x (50－2x )＝300， 解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10时，AD ＝BC ＝50－2x ＝30>25，不合题意， 所以x ＝10应该舍去.当x ＝15时，AD ＝BC ＝50－2x ＝20<25， 所以x ＝15满足条件. 答：AB 的长为15 m.注意：解决实际问题时，要根据具体问题中的实际意义检验方程解的合理性.课堂练习1.某小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( )A.x (x －10)＝900B. x (x ＋10)＝900C.10(x ＋10)＝900D.2[x ＋(x ＋10)]＝900教学反思2.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m ，则可列方程为( )A.(x ＋1)(x ＋2)＝18B.x 2－3x ＋16＝0C.(x －1)(x －2)＝18D.x 2＋3x ＋16＝03.一个直角三角形的两条直角边相差5 cm ，面积是7 cm 2，则它的两条直角边长分别为 .4.在一幅长50 cm 、宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色边，制成一幅矩形 挂画，如图所示.如果要使整个矩形挂画（包括边）的面积是1 800 cm 2，设金色边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为 .5.如图所示，某小区规划在一个长为40 m 、宽为26 m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草.若使每一块草坪的面积为144 m 2，求小路的宽度.参考答案1.B2.C3.2 cm,7 cm4.x 2+40x -75＝05.解：设小路的宽度为x m,可列方程（40-2x ）(26-x )＝144×6， 化简得x 2-46x +88＝0， 解得x 1＝2,x 2＝44(舍去). 答：小路的宽度为2 m.课堂小结教学反思解决几何图形问题，要注意寻求其中的等量关系转化为一元二次方程问题.教学反思布置作业课本习题2.6 问题解决1，2，3 联系拓广 4板书设计3用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题。

认识一元二次方程（1）一，自主探究活动内容：问题一：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．地毯中央长方形图案的面积为１８m2。

根据这一情境，结合已知量你想求哪些量？你能根据条件列出关于这个量的什么关系式？问题二：你能找到关于102、112、122、132、142这五个数之间的等式吗？得到等式102+112+122=132+142之后你的猜想是什么？根据猜想继续找五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和。

问题三：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m.那么梯子的底端滑动多少米？8二，总结归纳活动内容：归纳一元二次方程的概念：结合上面三个问题得到的三个方程，观察它们的共同点，得到一元二次方程的概念及其各部分的名称。

一元二次方程概念：含有一个未知数并且未知数的最高次数是2的整式方程。

经过整理后，一个一元二次方程可化简为ax2+bx+c=0(a≠0)，即它的一般形式：ax2+bx+c=0(a ≠0)。

应从两方面理解一元二次方程的一般形式：(1)若ax2+bx+c=0是一元二次方程，则有a≠0；(2) 若a≠0(b、c可以为零)，则ax2+bx+c=0是一元二次方程。

判断一个方程是不是一元二次方程，满足三个条件：①含有一个未知数并且未知数的最高次数是2;②必须是整式方程；③二次项系数不能为零。

简而言之是指经化简后，若符合ax2+bx+c=0(a≠0) ，则为一元二次方程，否则不是。

三，学以致用活动内容：1、把方程(3x ＋2)2＝4(x －3)2化成一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．2．从前有一天，一个醉汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽４尺，竖着比门框高２尺，另一个醉汉教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个醉汉一试，不多不少刚好进去了．你知道竹竿有多长吗？请根据这一问题列出方程．易错易混点1. 下列关于x 的方程：(1) ax 2+bx+c=0 ；(2)532=+aa ；(3)0322=--x x ；(4)0223=+-x x x 中，一元二次方程的个数是（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 判断方程m 2(x 2+m)+2x=x(x+2m)-1是不是关于x 的一元二次方程。

3用公式法求解一元二次方程第2课时公式法的应用教学目标：1.能够建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.2.能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.教学重难点：重点:会应用解一元二次方程的一般方法求方程的解,会应用解方程的方法解决实际问题.难点:能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性.教学方法：讲授法、练习法教学课时：1教学过程：新课导入1.求解一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的方法:{(1)直接开平方法x2=a(a≥0)(2)配方法(x+m)2=n(n≥0)(3)公式法x=-b±√b2-4ac2a(b2-4ac≥0)2.我们把b24ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式,通常用符号“Δ”表示,即Δ=b24ac.讲授新课问题在一块长16 m,宽12 m的矩形荒地上,要建造一个花园,并使花园所占面积为荒地面积的一半.想一想,你会怎么设计这片荒地?(1)小明设计方案:如图所示,,得到小路的宽为2 m或12 m.问:你觉得他的结果对吗?解:不对.设小路的宽为x m,则(162x)(122x)=16×122.即x214x+24=0.解得x1=2,x2=12.x=12不符合题意舍去.(2)小亮设计方案:如图所示,其中花园每个角上的扇形都相同.问:你能帮小亮计算一下这扇形的半径吗?解:设扇形半径为x m ,则πx 2=16×122. 即πx 2=96.解得x 1=√96p ,x 2=√96p (舍去),答:扇形半径为√96p m.(3)小影设计方案:,,帮我得到小路的宽x 是多少吗?解:设小路的宽为x m ,根据题意,得(16x )(12x )=16×122. 即x 228x+96=0. 解得x 1=4,x 2=24(不合题意,舍去).答:小路的宽为4 m.(4)你还有其他的设计方案吗?解:其他方案如下:范例应用例题 如图所示,在一块宽为20 m,长为32 m 的矩形草坪上修筑同样宽的两条道路,要使草坪的面积为540 m 2,求道路的宽为多少?解:设道路的宽为x m ,则(32x )(20x )=540,整理,得x 252x+100=0, 解得x 1=2,x 2=50.当x=50时,32x=18,不合题意,舍去.所以x=2.变式训练1 如图所示,在宽为20 m,长为32 m的矩形草坪上修筑同样宽的道路,要使草坪的面积为540 m2,求这种方案下的道路的宽为多少(只列方程,不求解)?解:把图形平移可得:如图所示，设道路的宽为x m,可列方程为(32x)(20x)=540.变式训练2 在宽为20 m,长为32 m的矩形草坪上修筑同样宽的道路(如图所示),要使草坪的面积为540 m2,求这种方案下的道路的宽为多少(只列方程,不求解)?解:设道路的宽为x m,可列方程为(322x)(20x)=540.[方法归纳]利用平移可以把不规则图形转化为规则图形,然后根据规则图形的面积进行求解.课堂练习1.用一条长40 cm的绳子围成一个面积为64 cm2的长方形,设长方形的长为x cm,则可列方程为(B)A.x(20+x)=64B.x(20x)=64C.x(40+x)=64D.x(40x)=642.如图所示,某小区有一块长为30 m,宽为24 m的矩形空地,计划在其中修建两块相同的矩形绿地,它们的面积之和为480 m2,两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道,则人行通道的宽度为2m.3.在一幅长90 cm,宽40 cm的风景画四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边,72%.那么金边的宽应是多少?解:设金边的宽为x cm,根据题意,得(90+2x)(40+2x)×72%=90×40.即x2+65x350=0.解得x1=5,x2=70(舍去).答:金边的宽应是5 cm.4.某农场要建一个长方形的养鸡场,养鸡场的一边靠墙(墙长25 m),另外三边用木栏围成,木栏长40 m.养鸡场的面积能达到180 m2吗?如果能,请给出设计方案;如果不能,请说明理由.解:能.设养鸡场的长为x m,根据题意,得x40−x=180.2即x240x+360=0.解得x1=202√10,x2=20+2√10>25(舍去).答:养鸡场的长为(202√10)m时面积可以达到180 m2.课堂小结1.利用一元二次方程解决面积问题.2.常见类型.板书设计第2课时公式法的应用1.利用一元二次方程解决面积问题掌握几何图形面积公式.2.常见类型(1)花坛面积问题;(2)相框宽度问题.教学反思本节是在学生学习了使用配方法和公式法求解一元二次方程后的一节课,学生具备了一定的技能之后,将这些技能训练于问题的解决过程中,,应注意确定所求面积的几何图形的形状,利用面积公式得到等量关系.如果图形不规则应割补或平移转化为规则图形进行计算.。

用公式法求解一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生已学习了一元一次方程、二元一次方程组等内容；已经经历将一些实际问题抽象成数与代数问题的过程及一元二次方程的建模过程；学习了用配方法解一元二次方程，掌握了数与代数的基本知识和基本技能和一定的运算技能。

这些为本节进一步用配方法解一元二次方程提供了基础。

学生活动经验基础：学生在七年级和八年级中有过方案设计的经历，经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力，这些也构成了本课任务完成的活动经验基础。

二、教学任务分析体会方程是刻列出方程；课程标准对方程的要求是：能够根据具体问题中的数量关系，本节主要检验结果是否合理。

画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，因此设计了一个方案设计比较枯燥，为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，）通过一（1:活动，需要自行设计方案，因此需要适度的建模，为此制定本课时教学目标是巩固解一元体会方程的解必须符合实际意义，增强用数学的意识，元二次方程的建模过程，通过设计方案培养学生创新思维能力，展示自己驾驭数学去解决实际(2)二次方程的方法；问题的勇气、才能及个性。

三、教学过程分析整个教学过程共分七个环节进行。

第一环节：知识回顾；第二环节：情境引入；第三环节：方案设计；第四环节：问题解答；第五环节：学以致用；第六环节：反思归纳；第七环节：布置作业。

第一环节：知识回顾活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？活动目的： 1帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。

第二环节：情境引入活动内容：师提出问题：现在我遇到这样的问题，看大家能否帮我解决？并使花园所占面积为荒要建造一个花园，，宽为１２m的矩形荒地上，在一块长为１６m 地面积的一半。

你觉得这个方案能实现吗？若可以实现，你能给出具体的设计方案吗？活动目的：成为学生真正以同学生平等的身份提出问题，以情境引入课题，改变教师的权威地位，使学生真正成为意义上的合作者。

第二章一元二次方程第一节 认识一元二次方程(1)学习目标：1．探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识．2．在探索问题的过程中使学生感受到方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系．3．通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 学习重点：一元二次方程的概念．学习难点：如何把实际问题转化为数学方程．:预习案一、预习教材 二、感知填空先阅读教材“议一议”前面的内容，然后完成下面问题：1．在第一个问题中，地毯的长可以表示为_____________，宽可以表示为_____________，由矩形的面积公式可以列出方程为_________________________．2．在第二个问题中，如果设五个连续整数中间的一个数为x ，你又能列出怎样的方程呢 答：设五个连续整数中间的一个数为x ，由题意可列方程，得_________________________. 三、自主提问$探究案一、探究一：一元二次方程的概念例1：问题1：有一块矩形铁皮，长100cm ，宽50cm .在它的四个角分别切去一个面积相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm 2，那铁皮各角应切去多大的正方形你能设出未知数，列出相应的方程吗归纳结论：方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax 2＋b x ＋c ＝0(a 、b 、c 为常数，a ≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax 2是二次项，a 是二次项的系数；b x 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项． 》跟踪练习：1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A ．x 2＋2y －1＝0B ．x ＋2y 2＝5C ．2x 2＝2x －1D ．x 2＋1x －2＝02．将方程(x ＋3)2＝8x 化成一般形式为_______，其二次项系数为___，一次项系数是___，常数项是____．二、探究二：一元二次方程有关概念的应用例2：关于x 的方程mx 2－3x ＝x 2－mx ＋2是一元二次方程，m 应满足什么条件￥跟踪练习：1．关于x 的方程(a －1)x 2＋3x ＝0是一元二次方程，则a 的取值范围是______． 2．已知方程(m ＋2)x 2＋(m ＋1)x －m ＝0，当m 满足______时，它是一元一次方程；当m 满足________时，它是一元二次方程．作业案一、过关习题1．在下列方程中，是一元二次方程的有( )①2x 2－1＝0；②ax 2＋b x ＋c ＝0；③(x ＋2)(x －3)＝x 2－3；④2x 2－1x ＝0. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 —2．把方程(x －5)(x ＋5)＋(2x －1)2＝0化成一元二次方程的一般形式为( )A ．5x 2－4x －4＝0B ．x 2－5＝0C ．5x 2－2x ＋1＝0D ．5x 2－4x ＋6＝0 3．下列方程是一元二次方程的是（ ）A. 12=-y x B. 2560x x ++= C. ()()230x x ++= D. 122,3x x =-=-4．方程2354x x -=中，关于a 、b 、c 的说法正确的是（ ） A. 3,4,5a b c ===- B. 3,5,4a b c ==-= C. 3,4,5a b c =-=-=- D. 3,4,5a b c ==-=- 二、能力提升 《1．阅读材料，解答问题：有一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角上截去四个相同的正方形，然后做成底面积为1500cm 2的无盖盒子，想一想，应该怎样求出截去的小正方形的边长问题：(1)如果设小正方形的边长为x cm ，那么盒子底面的长为____________；宽为__________，根据题意，所列方程为____________________．(2)所列方程的一般形式是什么是哪一种方程并指出其各项的系数．2．已知关于x 的方程(m －2)x |m |＋3x －4＝0是一元二次方程，那么m 的值是( )A ．2B ．±2C ．－2D ．1第一节认识一元二次方程(2),学习目标：1．会进行简单的一元二次方程的试解．2．根据题意判定一个数是否是一元二次方程的根及利用试解方法解决一些具体问题．3．理解方程的解的概念，培养有条理的思考与表达的能力．学习重点：判定一个数是否是方程的根．学习难点：会在简单的实际问题中估算方程的解，理解方程解的实际意义．预习案一、预习教材）二、感知填空请同学独立完成下列问题．问题1：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，那么梯子的底端距墙多少米设梯子底端距墙为xm，那么，根据题意，可得方程为___________列表：45678 x012》3x2－36{问题2：一个面积为120m2的矩形苗圃，它的长比宽多2m，苗圃的长和宽各是多少设苗圃的宽为x m，则长为_________.根据题意，得________．整理，得______________．列表：1011 x5678;9x2＋2x－`120三、自主提问探究案一、探究一：探索一元二次方程的近似解例1：(1)问题1中一元二次方程的解是多少问题2中一元二次方程的解是多少(2)如果抛开实际问题，问题1中还有其他解吗问题2呢%跟踪练习：1．已知关于x的方程x2－k x－6＝0的一个根为x＝3，则实数k的值为() A．1B．－1C．2D．－2^2．下面哪些数是方程2x2＋10x＋12＝0的根－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.二、探究二：一元二次方程根的判定及应用例2：若x＝1是关于x的一元二次方程ax2＋b x＋c＝1(a≠0)的一个根，求代数式2016(a＋b ＋c)的值．跟踪练习：1．若x＝1是一元二次方程ax2＋b x＋c＝0的解，则a＋b＋c＝___；若x＝－1是一元二次方程ax2＋b x＋c＝0的解，则a－b＋c＝____．，2．如果x＝1是方程ax2＋b x＋3＝0的一个根，求(a－b)2＋4a b的值．作业案一、过关习题1．已知长方形宽为xcm，长为3xcm，面积为24cm2，则x最大不超过())A．1B．2C．3D．422＋p x＋q＝0，可列表如下：&则方程x2＋p x＋q＝0的正数解满足( )A．0＜x＜B．＜x＜1 C．1＜x＜D．＜x＜二、能力提升1.2'2~分析表格中的数据，估计方程（x+8）2﹣826=0的一个正数解x的大致范围为（）A. ＜x＜B. ＜x＜C. ＜x＜D. ＜x＜3．若关于x的一元二次方程为ax2+bx+5=0（a≠0）的解是x=1，则2013﹣a﹣b的值是（）A. 2018 B. 2008 C. 2014 D. 2012])第二节用配方法求解一元二次方程(1)学习目标：1．会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．2．理解一元二次方程的解法——配方法．3．会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．学习重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程．学习难点：用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的一般步骤．^预习案一、预习教材二、感知填空1．如果一个数的平方等于4，则这个数是________．2．已知x2＝9，则x＝______．3．填上适当的数，使下列等式成立．(1)x2＋12x＋____＝(x＋6)2；x2－6x＋_____＝(x－3)2.三、自主提问、探究案一、探究一：应用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程 例1：用配方法解方程x 2－2x －3＝0<归纳结论：通过配成完全平方式的方法，将一元二次方程转化成(x ＋m )2＝n(n≥0)的形式，进而得到一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法． 跟踪练习：用配方法解方程：x 2＋2x －1＝0.*作业案一、过关习题1．用配方法解方程，原方程应变形为（ ） A. B. C. D.2．用配方法解方程x 2＋4x －5＝0，则x 2＋4x ＋____＝5＋____，所以x 1＝______，x 2＝________．3．若三角形的两边长分别是6和8，第三边的长是一元二次方程(x －8)2＝4的一个根，则此三角形的周长为________．4．下列解方程的过程中，正确的是( ) ）A ．x 2＝－2，解方程，得x ＝± 2B ．(x －2)2＝4，解方程，得x －2＝2，x ＝4C ．4(x －1)2＝9，解方程，得4(x －1)＝±3，x 1＝74，x 2＝14 D ．(2x ＋3)2＝25，解方程，得2x ＋3＝±5，x 1＝1，x 2＝－4 5．解下列方程： (1)()2590x --=(2)4(x +6)2-9=0\(3)x 2－10x ＋25＝7 (4)x 2－14x ＝8|(5)x 2＋3x ＝1 (6)x 2＋2x ＋2＝8x ＋4二、#三、能力提升1.若2246130a a b b ++-+=，则a b +=（ ）A. 1B. 1-C. 5D. 5-2．若a ，b ，c 是△ABC 的三条边，且a 2＋b 2＋c 2＋50＝6a ＋8b ＋10c ，试判断这个三角形的形状．~第二节 用配方法解一般一元二次方程(2)学习目标: （1．理解配方法的意义，会用配方法解一般一元二次方程．2．通过探索配方法的过程，让学生体会转化的数学思想方法．3．学生在独立思考和合作探究中感受成功的喜悦，并体验数学的价值，增强学生学习数学的兴趣．学习重点：用配方法解一般一元二次方程．学习难点：用配方法解一元二次方程的一般步骤．预习案一、预习教材 @二、感知填空1．用配方法解一元二次方程x 2－3x ＝5，应把方程两边同时( ) A ．加上32 B ．加上94 C ．减去32 D ．减去94 2．解方程(x －3)2＝8，得方程的根是( )A ．x ＝3＋2 2B ．x ＝3－2 2C ．x ＝－3±2 2D ．x ＝3±22 3．方程x 2－3x －4＝0的两个根是____________． 三、自主提问探究案！一、探究一：用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 例1:用配方法解方程2x 2－6x ＋1＝0@用配方法求解一般一元二次方程的步骤是什么归纳结论：(1)把二次项系数化为1，方程的两边同时除以二次项系数；(2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；(3)配方，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，把方程化为(x ＋h)2＝k 的形式；(4)用直接开平方法解变形后的方程．跟踪练习：一小球以15m /s 的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m )与时间t(s )满足关系：h ＝15t －5t 2，小球何时能达到10米的高度》作业案一、过关习题1．要使方程x 2－72x ＝－32左边配方成完全平方式，应在方程两边同时加上( )A.2)27( B ．72 D.2)47(@2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ）A. x 2-2x-99=0化为(x-1)2=100B. x 2+8x+9=0化为(x+4)2=25C. 2t 2-7t-4=0化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭D. 3y 2-4y-2=0化为221039y ⎛⎫-= ⎪⎝⎭3.把方程21503x x --=,化成(x +m)2=n 的形式得 （ ） A. 232722x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ B.232924x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ C. 236924x ⎛⎫-=⎪⎝⎭ D. 235124x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭4．用配方法解方程：(1)4x 2＋8x －3＝0 (2)3x 2－9x ＋2＝0 (3)2x 2＋6＝7x)<二、能力提升 先化简，再求值：2352362m m m m m -⎛⎫÷+- ⎪--⎝⎭，其中m 是方程2310x x +-=的根.{第三节 用公式法求解一元二次方程^学习目标：1．理解求根公式的推导过程和判别公式．2．使学生能熟练地运用公式法求解一元二次方程．3．通过由配方法推导求根公式，培养学生推理能力和由特殊到一般的数学思想．学习重点：求根公式的推导和公式法的应用．学习难点：理解求根公式的推导过程及判别公式的应用．预习案一、预习教材'二、感知填空1．方程3x2－x＝2化成一般形式后，式中()A．a＝3，b＝－1，c＝2B．a＝2，b＝1，c＝－2C．a＝3，b＝－1，c＝－2 D．a＝3，b＝1，c＝－22．用配方法解下列方程：(1)x2－x－1＝0(2)2x2－4x＝1，三、自主提问探究案一、探究一：探索一元二次方程的求根公式例1：用配方法解方程：ax2＋b x＋c＝0(a≠0)．$^归纳总结：由上可知，一元二次方程ax2＋b x＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a、b、c而定，因此：(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋b x＋c＝0，当b2－4a c≥0时，将a、b、c代入式子x＝－b±b2－4ac2a，就可求出方程的根；(2)这个式子叫做一元二次方程的求根公式；(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法；(4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 二、探究二：用公式求解一元二次方程例2：用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论(1)2x 2－3x ＝0 (2)3x 2－23x ＋1＝0 (3)4x 2＋x ＋1＝0.。

导学案年级：九年级 上册第二章一元二次方程 第3节用公式法求解一元二次方程（2）学习目标：1、用公式法解一元二次方程的过程中，进一步理解代数式b 2－4ac 对根的情况的判断作用2、能用b 2－4ac 的值判别一元二次方程根的情况预习案课前导学：1. 议一议：一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在什么情况下有实数根？在什么情况下没有实数根？尝试练习1.写出求根公式：2.用公式法解一元二次方程 ：（1） x 2-2x =1 （2）4y 2+12y+9=0学习案知识点拨一元二次方程ax 2 + bx+c ＝０（ａ≠０）在求解时， 起着重要的作用，我们可以根据 的值的符号来判断的根的情况，因此，我们把 24b ac -叫做___________________，通常用符号“ （读作delta ，它是希腊字母）”来表示，即 =24b ac -(1)()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若△＞0 则方程______________________若△ =0 则方程________________若△＜0则方程_______________________（2）()22004ax bx c a b ac ++=≠-在一元二次方程中，△＝若方程有两个不相等的实数根，则__________若方程有两个相等的实数根，则___________若方程没有实数根，则____________课内训练1、不解方程判别下列方程根的情况：（1） x2+3x-1 =0 （2）2y2-3y+4=02、k取什么值时，方程x2－kx +4=0有两个相等的实数根？反馈案基础训练1、方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= ，所以方程的根的情况是 .2、一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.不能确定3下列方程中，没有实数根的方程式（）A.x2=9B.4x2=3(4x-1)C.x(x+1)=1D.2y2+6y+7=04、方程(2x+1)(9x+8)=1的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.不能确定5、若方程2610-+=有实数根，则k的范围是_____________________。

2023学年九年级数学自主学历案13班级： 年级 班 姓名： 学号：一、学习指南：【课程名称】用公式法求解一元二次方程（1）【知识技能目标】1、推导一元二次方程的求根公式；2、会用求根公式解一元二次方程．3、会用根的判别式判别方程根的情况.【思维发展目标】通过推导求根公式，让学生进一步理解配方法.二、学习任务：1.用配方法解下列方程:（1）01422=++x x（2）)0(02≠=++a c bx ax小结：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式是 ， 用求根公式解一元二次方程的方法称为 ．【例题演练】用公式法解下列方程：(1)01872=--x x解：这里a= ，b= ，c= ∵=-ac b 42（2）01692=++x x（3）0322=+-x x小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤是：【基础训练】1.一元二次方程2310x x +-=根的判别式的值为______．2.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）A ．230x =B ．(3)(2)0x x -+=C ．22550x x -+=D ．2440x x ++=3.关于x 的一元二次方程x 2﹣6x +m ＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可能是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．11【自我检测】4．用公式法解一元二次方程3x 2﹣4x ＝8时，化方程为一般式，当中的a ，b ，c 依次为（ ） A ．3，﹣4，8 B ．3，﹣4，﹣8 C ．3，4，﹣8 D ．3，4，85.关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）A ．m ≥2B ．m ≤2C ．m ＞2D ．m ＜26.若一元二次方程2x 2﹣3x+c ＝0无实数根，则c 的取值范围为 ．7.若关于x 的一元二次方程ax 2+4x ﹣2＝0有实数根，则a 的取值范围为 ．8.用公式法解方程：（1）012=--x x（2）()()1532=--x x（3）03322=+-x x【拓展提升】已知关于x 的方程mx 2﹣（3m ﹣1）x +2m ﹣2＝0．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根．（2）若m 是整数，且方程总有两个整数根，求m 的值．。

北师大版九年级（上）数学科导学案（13）课题：2.3用公式法求解一元二次方程（1）（P41-43） 主备： 审核：初三备课组班级 姓名 学号 家长签名：【学习目标】： 1、通过推导求根公式，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。

2、会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程。

一、课前预习：预习评价： （师傅检查后填写）1、一元二次方程05322=--x x 中，二次项系数为____，一次项系数__________， 常数项为________;2、把方程1532=--））（（x x 化为一般形式_______________；其中 a = ________，b = __________，c = ___________;3、用配方法解下列方程： 05322=--x x4、你能用配方法解方程)0(02≠=++a c bx ax 吗？解：两边都除以a ，得：2、通过上述的推导得到一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式为： 当042≥-ac b 时，x =__________________________二．预习交流。

三、互助探究1、用公式法解下列方程：05322=--x x解：这里a= _______, b =________, c =________∵b 2－4ac = __________ = ___________ > 0∴x = ___________ = ____________即 1x = ___________, 2x = _______2、解方程: x 2－7x －18=0四、分层提高：1、用公式法解下列方程：（1）23210x x +-= （2）21683x x +=（3）29610x x ++= （4） 22350x x -+=能力提高：1、对于一元二次方程来说)0(02≠=++a c bx ax ，方程是否有解，由___________决定。

当b 2－4ac ________0，方程有___________个根，根是_____________________；当b 2－4ac ________0，方程有___________个根，根是_____________________；当b 2－4ac ________0，方程___________根。

2.3 .1用公式法求解一元二次方程教学目的：1、理解一元二次方程求根公式的推导过程，理解公式法的概念，会纯熟应用公式法解一元二次方程．2、复习详细数字的一元二次方程配方法的解题过程，引入ax2+bx+c=0〔a≠0〕•的求根公式的推导公式，并应用公式法解一元二次方程．教学重难点：重点：求根公式的推导和公式法的应用．难点：一元二次方程求根公式法的推导．教学过程一、复习引入惯用配方法解一元二次方程的一般步骤.2＋bx＋c＝0(a≠0)?3.前面我们学习过解一元二次方程的“直接开平方法〞，比方，方程〔1〕x2=4 (2)(x-2) 2=7提问1 这种解法的〔理论〕根据是什么？提问2 这种解法的局限性是什么？〔只对那种“平方式等于非负数〞的特殊二次方程有效，不能施行于一般形式的二次方程。

〕4．面对这种局限性，怎么办？〔使用配方法，把一般形式的二次方程配方成可以“直接开平方〞的形式。

〕〔学生活动〕用配方法解方程 2x2+3=7x总结用配方法解一元二次方程的步骤：(1)现将方程化为一般形式；(2)化二次项系数为1；(3)常数项移到右边；〔4〕方程两边都加上一次项系数的一半的平方，使左边配成一个完全平方式；〔5〕变形为(x+p)2=q的形式，假如q≥0，方程的根是x=-p±q；假如q＜0,方程无实根．二、探究新知用配方法解方程（1）a x2－7x+3 =0 (2)a x2+bx+3=0(3)假如这个一元二次方程是一般形式ax2+bx+c=0〔a≠0〕，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根，请同学独立完成下面这个问题．问题：ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕，试推导它的两个根x 1，x 2(这个方程一定有解吗?什么情况下有解？) 分析：因为前面详细数字已做得很多，我们如今不妨把a 、b 、c 也当成一个详细数字，根据上面的解题步骤就可以一直推下去． 解：移项，得：ax 2+bx=-c二次项系数化为1，得x 2+x=-配方，得：x 2+x+〔〕2=-+〔〕2即〔x+〕2=∵4a 2>0，4a2＞0, 当b 2-4ac ≥0时≥0 ∴〔x+〕2)2 直接开平方，得：x+=即 ∴x 1，x 2由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0〔a ≠0〕的根由方程的系数a 、b 、c 而定，因此：2ba 2ba 2b a 2244b ac a -2244b a c a -2b a 2ba〔1〕解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2+bx+c=0，当b 2-4ac ≥0时，•将a 、b 、c 代入式子就得到方程的根．(公式所出现的运算，恰好包括了所学过的六中运算，加、减、乘、除、乘方、开方，这表达了公式的统一性与和谐性。

最新北师大版九年级上册数学导学案（全册共119页）目录第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形的性质第2课时菱形的判定1.2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质第2课时矩形的判定1.3正方形的性质与判定第1课时正方形的性质第2课时正方形的判定第二章一元二次方程2.1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2.2 用配方法求解一元二次方程第1课时用配方法求解简单的一元二次方程第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程2.3 用公式法求解一元二次方程第1课时用公式法求解一元二次方程第2课时利用一元二次方程解决面积问题2.4 用因式分解法求解一元二次方程2.5一元二次方程的根与系数的关系2.6 应用一元二次方程第1课时几何问题及数字问题与一元二次方程第2课时第三章概率的进一步认识3.1 用树状图或表格求概率第1课时用树状图或表格求概率第2课时概率与游戏的综合运用3.2 用频率估计概率第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时线段的比和成比例线段第2课时比例的性质4.2 平行线分线段成比例4.3 相似多边形4.4 探索三角形相似的条件第1课时利用两角判定三角形相似第2课时利用两边及夹角判定三角形相似第3课时利用三边判定三角形相似第4课时黄金分割4.5 相似三角形判定定理的证明4.6 利用相似三角形测高4.7 相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比第2课时相似三角形的周长和面积之比4.8 图形的位似第1课时位似多边形及其性质第2课时平面直角坐标系中的位似变换第五章投影与视图5.1 投影第1课时投影的概念与中心投影第2课时平行投影与正投影5.2 视图第1课时简单图形的三视图第2课时复杂图形的三视图第六章反比例函数6.1 反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第1课时反比例函数的图象第2课时反比例函数的性质第一章 特殊平行四边形1.1 菱形的性质与判定第1课时 菱形的性质学习目标：①通过折、剪纸张的方法，探索菱形独特的性质。

第二章一元二次方程3 用公式法求解一元二次方程第2课时一、教学目标1.通过对学校荒地改造方案的设计，体会用一元二次方程解决实际问题的重要性.2.学会建立一元二次方程模型解决有关面积的问题.3.在解决问题的过程中进一步熟练用公式法解一元二次方程.4.能从题意中分析具体问题情境，发展学生逻辑推理核心素养能力.二、教学重难点重点：分析各图形面积之间的关系，找出等量关系，建立方程模型.难点：能根据具体问题的实际意义检验结果的合理性，对方程的解进行恰当的取舍.三、教学用具电脑、多媒体、课件、教学用具等四、教学过程设计想一想，你会怎么设计这片荒地？看一看：下面几位同学的设计方法是否合理？小明的设计方案：如右图所示.其中花园四周小路的宽都相等.通过解方程, 得到小路的宽为2m或12m.解：设小路的宽为x m, 根据题意得：即x2- 14x + 24 = 0.解方程得x1 = 2 , x2 = 12.将x =12 不符合题意舍去.所以小路的宽为2m.结论：小明的这样设计是可行的，但是结果不能取小路的宽为12m.小亮的设计方案：如右图所示.其中花园每个角上的扇形都相同.问题：你能帮小亮计算一下这个扇形的半径是多少吗？解：设扇形半径为 x m, 根据题意得：216122x ⨯π=， 即 πx 2= 96.解方程得 x 1 =96 5.5≈π，x 2 =96-π(舍去). 所以扇形半径约为5.5m. 结论：小亮的设计方案是可行的. 小颖的设计方案：如右图所示.其中花园是两条互相垂直的小路,且它的宽都相等.问题：你能帮小颖计算一下图中x 吗？ 解：设小路的宽为 x m, 根据题意得：()()161216122x x ⨯--= 即 x 2 - 28x + 96 = 0. 解方程得x 1 = 4 , x 2 = 24, x =24 不符合题意舍去. 所以小路的宽为4m.结论：小颖的设计方案是可行的. 【延伸】思考：你还有其他的设计方案吗？ 预设：其他的设计方案：其他的设计方案不止这4种，可以充分调动学生的参与性，只要合理即可.并让学生试着自己验证这些方案的合理性？【典型例题】教师提出问题，学生先独立思考，解答.然后再在小组内交流探讨，如遇到有困难的学生适当点拨，最终教师展示答题过程.例如图,在一块长为92m ,宽为60m 的矩形耕地上挖三条水渠,水渠的宽都相等,水渠把耕地分成面积均为885m2的 6 个矩形小块,水渠应挖多宽？分析：动画演示：设水渠宽为x m，将所有耕地的面积拼在一起，变成一个新的矩形，长为(92 – 2x )m, 宽(60 -x)m.解：设水渠的宽应挖x m .(92-2x)(60 -x)= 6×885教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解.1.在一幅长90 cm、宽40 cm 的风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅挂图，如果要求风景画的面积是整个挂图面积的72%，那么金边的宽应该是多少？2.某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长25 m)，另三边用木栏围成，木栏长40 m.(1)鸡场的面积能达到180 m2吗？能达到200 m2吗？(2)鸡场的面积能达到250 m2吗？3.如图，圆柱的高为 15 cm ，全面积(也称表面积) 为 200 π cm 2，那么圆柱底面半径为多少？答案：1.解:设金色纸边的宽度是 x cm ．()()409090240272%x x ⨯=++ 解得x 1＝-70(舍去)，x 2＝5 所以，金色纸边的宽度是 5cm ． 2.解: (1)设鸡场的宽为x m ．由题意，得40 - 2x > 0，40 - 2x ≤ 25， 解得：7.5 ≤ x ＜ 20．当鸡场的面积为180 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝180， 解得()121010,1010x x =+=-舍去， 即鸡场宽为 (1010+) m 时，鸡场面积达到 180 m 2．当鸡场的面积为200 m 2时，列方程得： x (40-2x )＝200，解得 x 1＝x 2＝10．即鸡场宽为 10 m 时，鸡场面积达到 200 m 2． (2)当鸡场的面积为250 m 2时，列方程得：x (40-2x )＝250，方程无解． 即鸡场面积达不到 250 m 2． 3.解: 设圆柱底面半径为 r cm ．2πr 2＋15×2πr ＝ 200π 解得 r 1＝-20(舍去)，r 2＝5． 所以，圆柱底面半径为 5 cm ．思维导图的形式呈现本节课的主要内容：教科书第45页题2.6 第4题。

北师大版数学九年级上册《用公式法求解一元二次方程》教案1一. 教材分析北师大版数学九年级上册《用公式法求解一元二次方程》是学生在学习了一元二次方程的解法基础上，进一步学习用公式法求解一元二次方程。

通过本节课的学习，学生能够掌握一元二次方程的公式法解法，并能够灵活运用解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了一元二次方程的解法，对于解一元二次方程有一定的基础。

但是，对于公式法解一元二次方程可能还不太熟悉，需要通过本节课的学习来进一步掌握和运用。

三. 教学目标1.让学生掌握一元二次方程的公式法解法。

2.让学生能够灵活运用公式法解一元二次方程解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握一元二次方程的公式法解法。

2.教学难点：让学生能够灵活运用公式法解一元二次方程解决实际问题。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和解决问题，让学生主动探索和发现一元二次方程的公式法解法，从而达到掌握和运用的目的。

六. 教学准备1.PPT课件七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的解法，引导学生思考如何用公式法解一元二次方程。

2.呈现（10分钟）讲解一元二次方程的公式法解法，让学生理解并掌握公式法解一元二次方程的步骤和原理。

3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题，运用公式法解一元二次方程，教师巡回指导，及时解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）让学生通过黑板上的练习题，运用公式法解一元二次方程，教师进行点评和讲解，巩固学生对公式法解法的掌握。

5.拓展（10分钟）让学生思考和解决实际问题，运用公式法解一元二次方程，培养学生的解决问题的能力。

6.小结（5分钟）总结本节课的学习内容，让学生明确一元二次方程的公式法解法及其应用。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，让学生课后巩固和提高一元二次方程的公式法解法。

8.板书（5分钟）板书一元二次方程的公式法解法及其步骤。

《用公式法一元二次方程》教学设计第1课时用公式法解一元二次方程教材分析:能够根据具体问题中的数量关系，列出方程；体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；能根据具体的实际意义，检验结果是否合理。

本节主要为了巩固解方程的方法，同时考虑到单纯的式的训练，比较枯燥，因此设计了一个方案设计活动，需要自行设计方案教学目标：【知识与技能】1．一元二次方程的求根公式的推导2．会用求根公式解一元二次方程【过程与方法】1．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力．2．会用公式法解简单的数字系数的一元二次方程．【情感态度与价值观】1．通过运用公式法解一元二次方程的训练，提高学生的运算能力，养成良好的运算习惯．2．通过公式推导，加强推理技能训练，进一步发展逻辑思维能力。

教学重难点：【教学重点】重点：掌握用公式法解一元二次方程【教学难点】难点：对公式法中求根公式的推导过程的理解．关键：运用配方法推导出一元二次方程的求根公式。

课前准备：多媒体教学过程：一、复习引入活动内容：你能举例说明什么是一元二次方程吗？它有什么特点？怎样用配方法解一元二次方程？怎样用公式法解一元二次方程？【设计意图】帮助学生回忆一元二次方程及其解法，为后面说明设计方案的合理性作铺垫。

二、 讲授新课问题：你能用配方法解方程02=++c bx ax 吗？ 通过推导得出答案：aac b b x 242+±-=）（042≥-ac b 【设计意图】这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解.三、典例精析例1：解方程（1） 01872=--x x（2） x x 4142=+解：（1）.这里 a =1 , b =-7 , c = -18.∵ b2 - 4ac = (-7 )2 - 4×1×（-18 ）=121 >0,∴.2117121217±=⨯±=x即 x1 = 9 x2 = -2.例2 解方程：02342=+-x x要点归纳：公式法解方程的步骤：1.变形: 化已知方程为一般形式;2.确定系数:用a,b,c 写出各项系数;3.计算: ac b 42-的值;4.判断：若ac b 42- ≥0，则利用求根公式求出;若ac b 42-<0，则方程没有实数根.【设计意图】规范配方法解一元二次方程的过程，让学生充分理解掌握用公式法解一元二次方程的基本思路四、拓展延伸活动1：问题：对于一元二次方程02=++c bx ax (a ≠0),如何来判断根的情况？对一元二次方程：02=++c bx ax (a ≠0)ac b 42->0时,方程有两个不相等的实数根.ac b 42-= 0时,方程有两个相等的实数根.ac b 42- < 0时,方程无实数根.我们把ac b 42-叫做一元二次方程02=++c bx ax 根的判别式，用符号“Δ”来表示. 练一练：不解方程判别下列方程的根的情况.(1)016-2=+x x ;(2)02-22=+x x ; (3)0412-92=+x x要点归纳：根的判别式使用方法：1、化为一般式，确定a,b,c 的值.2、计算 ∆的值，确定∆的符号3、判别根的情况，得出结论.活动2：例3 若关于x 的一元二次方程()01412=++-x x k 有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A. k ＜5B.k ＜5且k ≠1C. k ≤5且k ≠1D. k ＞5【设计意图】不解方程判别下列方程的根的情况，是中考新增加的一部分内容，因此拓展延伸需详细讲解和加以巩固。

九上数学§2.2配方法（3）【学习目标】．1．利用方程解决实际问题．2．训练用配方法解题的技能【学习重点】利用方程解决实际问题【学习指导】自学课本P60-61的内容，完成下列问题。

1、小明设计的方案：设花园四周小路的宽度均为x m，可列怎样的一元二次方程？一元二次方程的解是什么？这两个解都合要求吗？为什么？2、小亮设计的方案中可列怎样的一元二次方程？符合条件的解是多少？3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。

【课堂检测】（1、2每题30分，第3题40分）、1、课本P62随堂练习2、课本P62问题解决2※3、课本P63联系拓广九上数学§2.3公式法【学习目标】．1．会一元二次方程的求根公式的推导【学习重点】一元二次方程的求根公式．【自学指导】1、自学教材P64的内容，并完成公式推导推导求根公式：ax2+bx+c=0 (a≠0)解：方程两边都除以a，得___________________.移项，得：________________________配方，得：______________________即：___________________∵a≠0，所以4a2>0当b2－4ac≥0时，得_________________________________∴x=_______________________一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)当b2－4ac＞0时，它的根是x=_____________，一元二次方程有两个______的实数根_；当b2－4ac=0时，它的根是x=_____________，一元二次方程有两个______的实数根_；当b2－4ac<0时，一元二次方程_______________2、自学教材P65例1：【自学检验】：1、利用求根公式解方程：（1）2x2―9x+8=0 （2）9x2+6x+1=0 （3）16x2+8x=32、一个直角三角形三边的长为三个连续偶数，求这个三角形的三条边长。