数列求通项公式及求和9种方法

数列求和的九种方法

数列求和是数学中的一项基本技巧，在解题过程中经常会遇到。为了

求和一个数列，我们需要确定数列的通项公式，即根据数列中的规律找到

一个表示该数列的函数。

在数列求和的过程中，有许多不同的方法可以使用。下面将介绍九种

常见的数列求和方法：逐项相加法、换元法、望眼法、边缘和法、归纳法、递推法、辅助行法、减法求和法和计算机辅助法。

1.逐项相加法

逐项相加法是最基本的数列求和方法，即将数列中的每一项相加得到

总和。这种方法适用于数列的项数较少且没有明显的规律的情况。

2.换元法

换元法是将数列中的每一项用一个新的变量表示，从而简化数列求和。通过代入和逆代（将通项公式反解为原始项）两种方法，将数列求和转化

为变量求和，从而计算出数列的总和。

3.望眼法

望眼法是通过观察数列中的规律，寻找数列中的重复子列来简化求和。通过找到重复子列后可以将数列分解为几个相同的子列求和，从而简化计算。

4.边缘和法

边缘和法是将数列中的每一项的和用前面项的和表示，从而将数列求

和转化为前缀和的计算。该方法适用于数列中的每一项与前面的项之间有

明显的关系的情况。

5.归纳法

归纳法是通过数学归纳法的思想，利用数列的递推关系来计算数列的总和。通过假设前n-1项的和为Sn-1，并推导得到前n项的和Sn的表达式，从而计算数列的总和。

6.递推法

递推法是通过数列的递推关系来计算数列的总和。通过将数列中的每一项与前面的项之间的关系列出，从而将数列的求和转化为递推关系的计算。

7.辅助行法

辅助行法是将数列构造成一个表格的形式，通过辅助行的计算来求解数列的总和。通过辅助行的计算，可以将原本复杂的数列求和转化为简单的表格求和。

数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式

根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、

n

S是数列{}n a的前n项的和

1

1

(1)

(2)

n

n n

S n

a

S S n

-

=

⎧

=⎨

-≥

⎩

【方法】：“

1

n n

S S

-

-”代入消元消n a

。

【注意】漏检验n的值(如1

n=的情况

【例1】.（1）已知正数数列{}

n

a的前n项的和为n

S，

且对任意的正整数n满足1

n

a

=+，求数列{}

n

a的通项公式。

（2）数列{}

n

a中，1

1

a=对所有的正整数n都有

2

123n

a a a a n

⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a的通项公式

【作业一】

1－1.数列{}

n

a满足

21*

123

333()

3

n

n

n

a a a a n N

-

++++=∈，求数列

{}

n

a的通项公式．

（二）.累加、累乘型如

1

()

n n

a a f n

-

-=,

1

()

n

n

a

f n

a

-

=

导等差数列通项公式的方法）

【方法】

1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……，

21(2)a a f -=2n ≥，

从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+

+，检验1n

=的情

况

()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法）

【方法】2n ≥，12

121

()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---⋅⋅⋅=⋅-⋅⋅

即1

()(1)(2)n a f n f n f a =⋅-⋅⋅，检验1n =的情

况

【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）.

1

数列通项公式的九种求法

各种数列问题在很多情形下，就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较强 的数列问题中，数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 笔者总结出九种求解 数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法， 类型的题目.

2

例1 .等差数列｛

a

n

｝是递增数列，前n 项和为

S

1，且引，*3

，a

9成等比数列，S 5

^*5

.求 数列

｛a n

｝

的通项公式 解：设数列｛a

n

｝公差为d(d >0)

2

•/

a

1

，a 3，a 9 成等比数列，••• a 3 =a

1a

9 ,

2 2

即 @1 +2d)=印@1 +8d)，得 d =a 1d

...d H0 a

1

=d

--S s = a]

(n -1)n ,

1

a3 -a2 = ---

这种方法适应于已知数列

5a 1 +5

*4

d =⑻ +4d)2

a

1

=3 —5 =3 -5 由①②得：

3 •••an —5

点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差(公比)后再 写出通项。

二、累加法

求形如a n -a n 」= f(n) (f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列)的数列通项, …n — 1得到n — 1个式子累加求得通项。

+ (n-1)

3 =-n 5

可用累加法，即令 n=2, 3,

例2.已知数列｛a n ｝中, a

n _a

n4

解：由已知得

a 1=1，对任意自然数 1

a

n = a

n4 中

n 都有

n(n+1)，求 a

n .

—n(n+1),

a

n ~ a

n

-2 1

a 2

y,

1

求递推数列的通项公式的九种方法

利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年代以来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一.

一、作差求和法例1

在数列{n a }中，31=a ,)

1(1

1++

=+n n a a n n ，求通项公式n a .

解：原递推式可化为：1111+-+

=+n n a a n n 则,211112-+=a a 3

12123-+=a a 413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故n

a n 1

4-=.

二、作商求和法例2

设数列{n a }是首项为1的正项数列，且0)1(12

2

1=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…），则它的通项公式是

n a =▁▁▁（2000年高考15题）

解：原递推式可化为：

)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0∵n n a a ++1＞0，

1

1+=+n n

a a n n 则

,43,32,21342312===a a a a a a ……，n

n a a n n 1

1-=-逐项相乘得：

n

a a n 11=，即n a =n 1

.

三、换元法例3

已知数列{n a }，其中913,3421==

a a ，且当n≥3时，)(3

1

211----=-n n n n a a a a ，求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）.

解：设11---=n n n a a b ，原递推式可化为：

}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列，9134913121=-=-=a a b ，公比为31.故n n n n b b 3

数列求和及求通项

一、数列求和的常用方法

1、公式法：利用等差、等比数列的求和公式进行求和

2、错位相减法：求一个等差数列与等比数列的乘积的通项的前n 项和，均可用错位相减法 例：已知数列1

3

1

2--=

n n n a ，求前n 项和n S 3、裂项相消法：将通项分解，然后重新组合，使之能消去一些项

①形如)(1k n n a n +=

，可裂项成)1

1(1k

n n k a n +-=，列出前n 项求和消去一些项

②形如k

n n a n ++=1，可裂项成)(1

n k n k

a n -+=

，列出前n 项求和消去一些项 例：已知数列1)2()

1)(1(1

1=≥+-=

a n n n a n ，，求前n 项和n S

4、分组求和法：把一类由等比、等差和常见的数列组成的数列，先分别求和，再合并。

例：已知数列122-+=n a n

n ，求前n 项和n S

5、逆序相加法：把数列正着写和倒着写依次对应相加（等差数列求和公式的推广）

一、数列求通项公式的常见方法有：

1、关系法

2、累加法

3、累乘法

4、待定系数法

5、逐差法

6、对数变换法

7、倒数变换法 8、换元法 9、数学归纳法

累加法和累乘法最基本求通项公式的方法

求通项公式的基本思路无非就是：把所求数列变形，构造成一个等差数列或等比数列，再通过累加法或累乘法求出通项公式。

二、方法剖析

1、关系法：适用于)(n f s n =型

求解过程：⎩⎨

⎧≥-===-)

2()

1(111n s s n s a a n n n

例：已知数列{}n a 的前n 项和为12

++=n n S n ，求数列{}n a 的通项公式

常见递推数列通项的九种求解方法

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常见递推数列通项的九种求解方法

高考中的递推数列求通项问题，情境新颖别致，有广度，创新度和深度，是高考的热点之一。是一类考查思维能力的好题。要求考生进行严格的逻辑推理，找到数列的通项公式，为此介绍几种常见递推数列通项公式的求解方法。

类型一：1()n n

a a f n +=+（()f n 可以求和）

−−−−→解决方法累加法 例1、在数列{}n a 中，已知1a =1，当2n ≥时，有121n n a a n -=+-()2n ≥，求数列的通项公式。

解析：121(2)n n a a n n --=-≥

∴21324311

3

521n n a a a a a a a a n --=⎧⎪-=⎪⎪

-=⎨⎪⎪-=-⎪⎩ 上述1n -个等式相加可得： ∴211n a a n -=- 2n a n ∴=

评注：一般情况下，累加法里只有n-1个等式相加。

【类型一专项练习题】

1、已知11a =，1n n a a n -=+（2≥n ），求n a 。

2、已知数列{}n a ，1a =2，1n a +=n a +3n +2，求n a 。

3、已知数列}a {n 满足1a 1n 2a a 1n 1n =++=+，，求数列}a {n 的通项公式。

4、已知}{n a 中，n n n a a a 2,311+==+，求n a 。

5、已知112a =,112n

n n a a +⎛⎫

=+ ⎪⎝⎭*()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.

——数列通项公式的九种求法

一、定义法

直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．

例1．等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，2

55a S =．求

数列}a {n 的通项公式

解：设数列}a {n 公差为)0d (d >

∵931a ,a ,a 成等比数列，∴

912

3a a a =， 即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得

d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=……………………①

∵25

5S a = ∴211)d 4a (d 24

5a 5+=⋅⨯+

…………②

由①②得：

53a 1=，53d =

∴n

5353)1n (53a n =⨯-+= 点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再

写出通项。

二、累加法

求形如a n -a n-1=f(n)（f(n)为等差或等比数列或其它可求和的数列）的数列通项，可用累加法，即令n=2，3，…n —1得到n —1个式子累加求得通项。

例2．已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11

(1)n n a a n n -=+

+，求n a ．

解：由已知得

11

(1)n n a a n n --=

+，

121

(1)n n a a n n ---=-，……，

32134a a -=

⨯，211

23a a -=

⨯，

以上

式

子

累

加

，

利

用

111

(1)1

n n n n =-

++得

n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++

数列求通项公式与求和的常用方法

求通项公式

一.公式法：（高中重点学了等差数列和等比数列，当题中已知数列是等差数列或等比数列，在求其通项公式时我们就可以直接利用等差或等比数列的公式来求通项，只需求得首项及公差公比） 1、等差数列公式

例1．已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10，求数列{a n }的通项公式.

2、等比数列公式

例2.设{}n a 是公比为正数的等比数列，12a =，324a a =+，求{}n a 的通项公式.

3、通用公式:

(若已知数列的前n 项和n S 的表达式，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥-==-211n S S n S a n n n n 求解。一

般先求出a1=S1，若计算出的an 中当n=1适合时可以合并为一个关系式，若不适合则分段表达通项公式)

例3．已知数列}{n a 的前n 项和12-=n s n ，求}{n a 的通项公式.

二.当题中告诉了数列任何前一项和后一项的递推关系即：n a 和a n-1的关系时我们可以根据具体情况采用下列方法

1、叠加法:(一般地，对于型如)(1n f a a n n +=+类的通项公式，且)()2()1(n f f f +++ 的和比较好求，我们可以采用此方法来求n a )即：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-+

+-1a +(2)n ≥；

例4．数列{}n a 的首项为3,{}n b 为等差数列且()*+∈-=N n a a b n n n 1．若则12,2103=-=b b ，则=8a ( )

一、数列通项公式的求法

（1）已知数列的前n 项和n S ,求通项n a ； （2）数学归纳法：先猜后证;

（3）叠加法(迭加法)：112211()()()n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+L ；

叠乘法(迭乘法)：

1

223322111a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅=-----ΛΛ. 【叠加法主要应用于数列{}n a 满足1()n n a a f n +=+，其中()f n 是等差数列或等比数列的条件下，可把这个式子变成1()n n a a f n +-=，代入各项，得到一系列式子，把所有的式子加到一起，经过整理，可求出n a ，从而求出n s 】

（4）构造法(待定系数法):形如1n n a ka b -=+、1n

n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列；

【用构造法求数列的通项或前n 项和：所谓构造法就是先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项的特征，构造出我们熟知的基本数列的通项的特征形式，从而求出数列的通项或前n 项和.】 （5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法”解决.【根据递推公式求通项公式的常见类型】 ①1+1=,()n n a a a a f n =+型，其中()f n 是可以和数列，用累加法求通项公式，即

1

思路（叠加法）1(1)n n a a f n --=-，依次类推有：12(2)n n a a f n ---=-、23(3)n n a a f n ---=-、…、

数列求通项公式及求和9种方法

数列是指按照一定规律排列的一系列数值。求数列的通项公式和求和的方法是数列研究的基础，下面将介绍9种常见的方法。

一、等差数列求通项公式和求和

等差数列是指数列中两个相邻项之间的差固定的数列。例如：1，3，5，7，9，……，其中差为2

1.1求通项公式

对于等差数列，可使用以下公式计算通项：

通项公式：a_n=a_1+(n-1)*d

其中a_n表示数列第n项，a_1表示数列第一项，d表示公差。

1.2求和

求和的公式为：

S_n=(a_1+a_n)*n/2

其中S_n表示数列前n项的和。

二、等比数列求通项公式和求和

等比数列是指数列中的两个相邻项之间的比值是固定的数列。例如：1，2，4，8，16，……，其中比值为2

2.1求通项公式

等比数列的通项公式为：

a_n=a_1*q^(n-1)

其中a_n表示数列的第n项，a_1表示数列的第一项，q表示公比。

2.2求和

求等比数列前n项和的公式为：

S_n=a_1*(q^n-1)/(q-1)

三、斐波那契数列求通项公式和求和

斐波那契数列是指数列中的每一项都等于前两项之和。例如：0，1，1，2，3，5，8，13，……

3.1求通项公式

斐波那契数列的通项公式为：

a_n=a_(n-1)+a_(n-2)

其中a_n表示数列的第n项。

3.2求和

斐波那契数列前n项和的公式为：

S_n=a_(n+2)-1

四、等差数列的和差公式求通项公式和求和

对于等差数列，如果已知首项、末项和项数，可以使用和差公式求通项公式和求和。

4.1公式

和差公式是指通过首项、末项和项数计算公差的公式。

数列求和的七种方法

1. 求和公式法：利用数列的通项公式和求和公式，将每一项的值代入公式求和。

2. 算术数列求和法：对于等差数列，可以利用求和公式 S =

n/2(2a + (n-1)d)，其中a为首项，d为公差，n为项数。

3. 几何数列求和法：对于等比数列，可以利用求和公式 S =

a(1-q^n)/(1-q)，其中a为首项，q为公比，n为项数。

4. 分割求和法：将数列分割成多个子序列，分别求和后再将结果相加。

5. 枚举法：遍历数列中的每一项，依次相加求和。

6. 递推关系式法：通过建立递推关系式，根据当前项与前一项的关系来求和。

7. 数学归纳法：对于特定的数列，可以利用数学归纳法证明求和公式的正确性，然后代入数值计算求和结果。

数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧

导语：数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础.在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.数列求和及数列的通项公式是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧.

（一）数列求和

一、利用常用求和公式求和.

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)

1(11)1()1(111q q q a a q

q a q na S n n

n

3、)1(21

1

+==∑=n n k S n

k n

4、)12)(1(61

12++==∑=n n n k S n

k n

5、21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n k n

【例1】求和：)0(1422242≠++⋯+++++x x x x x n n 【解】∵x≠0

∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列，而且有n+3项 当x 2＝1，即x ＝±1时，和为n+3.

当12

≠x ，即1±≠x 时，和为2

6

2232111)(1x x x x n n --=--++.

评注：

(1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论．

(2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 二、错位相减法求和.

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法

1.形如)(1n f a a n n =-+型

（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+. （2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

)2(21-=---n f a a n n ，

)2(23f a a =-

)1(12f a a =-

所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=-

即：∑

-=+

=1

1

1)(n k n k f a a .

为了书写方便，也可用横式来写：

2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，

∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- . 例 1. （2003天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3

,111

1≥+==--n a a a n n n ,

证明2

13-=

n

n a

证明：由已知得：故,3

1

1--=-n n n a a

112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---

=.2

13133

3

2

1

-=

++++--n

n n ∴2

13-=

n

n a .

例 2.已知数列

{}

n a 的首项为1，且*

12()n n a a n n N

+=+∈写出数列{}n a 的通项公式.

数列求通项公式及求和的方法

数列专题-数列求通项公式及求和的方法

考点1：求通项公式

1、公式法：已知数列{an}为等差或等比数列，可根据通项公式an=a1+(n-1)d或an=a1qn-1进行求解。

例1：已知{an}是一个等差数列，且a2=1，a5=-5，求{an}的通项公式。

变式：已知等差数列{an}中，a10=28，S6=51，求{an}的通项公式。

2、前n项和法：已知数列{an}的前n项和Sn的解析式，可求出an。

例2：已知数列{an}的前n项和Sn=2n-1，求通项an。

变式：已知下列数列{an}的前n项和Sn的公式为

Sn=3n2-2n(n∈N*)，求{an}的通项公式。

3、Sn与an的关系式法：已知数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系式，可求出an。

例3：已知数列{an}的前n项和Sn满足an+1=Sn，其中a1=1，求an。

变式：已知{an}中，an+1=nan，且a1=2，求{an}的通项公式。

4、累加法：当数列{an}中有an-an-1=f(n)，即第n项与第n-1项的差是个有“规律”的数时，可用这种方法。

例4：a1=0，an+1=an+2(n-1)，求通项an。

变式：已知数列{an}的首项a1=1，且an=an-1+3(n≥2)，求通项an。

5、累乘法：当数列{an}中有an/an-1=f(n)，即第n项与第

n-1项的商是个有“规律”的数时，可用这种方法。

例5：a1=1，an=an-1(n)，求通项an。

6、构造法：

1）配常数法：在数列{an}中有an=kan-1+b（k、b均为常