河北科技大学2009—2010高数试卷

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河北科技师范学院 2009-2010学年第二学期 专业 高等数学1 试卷A
一、（本题12分) 已知两点坐标为(4,1,3)A -、 (2,4,1)B ，(1,3,2)C D = ，写出下列各题的结果：
1、向量AB =
2、模A B =
3、直线AB 的方程为：
4、AB CD =⋅
5、AB CD ⨯=
6、AB 和CD 所在平面方程为： 二、（本题10分）设(,)z z x y =是由方程333z xyz a -=确定的隐函数，求,z z x y ∂∂∂∂。

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三、（本题7分）求函数2y z xe =在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P
到点(2,1)Q -的方向导数。

四、（本题15分）计算二重积分22()D I x y dxdy =+⎰⎰，其中D 是 以(0,0)为圆心，半径为a 的圆所围区域。

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五、（本题10分）求函数
22(,)4()f x y x y x y =---的极值。

六、（本题共15分）计算曲线积分：
231(2)()3L x y y dx x x dy -+-⎰ ，其中L 为以1x =
,2y x y x ==为边的三角形正向边界。

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七、（本题15分）zdxdy xdydz ydzdx ∑++⎰⎰ ,其中∑为
平面0,x =0,y =0z =，236x y z ++=所围四面体外侧。

八、（本题16分）设有幂级数13
n
n
n x
n ∞=∑，
（1）求收敛域； （2）求和函数.。

浙江科技学院2009 -20010学年第一学期考试试卷A 卷考试科目 高等数学B1 考试方式 闭 完成时限 2小时 拟题人 审核人 批准人 年 月 日 院 年级 专业参考答案及评分标准一、选择题。

在题后括号内，填上正确答案代号（本大题共6小题，每小题3分，共18分）。

1、D;2、C;3、B;4、D;5、C;6、A二、填空题。

在题中“ ”处填上答案（本大题共7小题，每小题3分，共21分）。

1、x 2sec ; 2、xe C arctan +; 3、2; 4、0; 5、π; 6、y x cx ln =； 7、x x y C e C e 312-=+三、试解下列各题(本大题共6小题，每小题7分，共42分)。

1、解：函数的定义域为(,)-∞+∞ ……………………………………1分令x y x2201'==+，得x 0= ……………………………………2分因为当x 0<时y 0'<，当x 0>时y 0'> ………………………3分 所以，函数在(,0]-∞上单调减少，在[0,)+∞上单调增加；………………4分 令x y x 22(1)0(1)-''==+，得x 1=±，此时，y ln2= ……………………5分因为当x 1<-或x 1>时y 0''<，当x 11-<<时y 0''>所以，点(1,ln2)-和(1,ln2)是曲线的两个拐点， ……………………6分 曲线在(,1]-∞-和[1,)+∞上为凸弧，在[1,1]-上为凹弧。

………………7分2t =，则有 ……………………………………2分t x te 2dt =⎰⎰ ……………………………………3分t ttt e te e t 2d 2(d )==-⎰⎰……………………………………5分t t e C 2(1)=-+……………………………………6分C 1)=-+ ……………………………………7分3、解：原式()x x t t x 21t212d 0lim0→+⎛⎫= ⎪-⎝⎭⎰ ……………………………………2分 ()x x x x x21212(2)lim2→+⋅=- ……………………………………3分()x x x212lim 12→=-+ ……………………………………4分e 2=- ……………………………………7分 4、解：令x t t tan ,22ππ=-<<，则dx t t 2sec d = …………………………2分x t x t1,,,43ππ==== …………………………………3分原式t t t t t t t 2332244sec d cos d tan sec sin ππππ==⋅⎰⎰ …………………………………4分 t t t 323441(sin )dsin sin ππππ-==-⎰ ……………………………………6分= ……………………………………7分 解二：令x t 1,=则dx t t21d =- ……………………………………2分x t x t1,1,3====……………………………………3分原式21112==……………………………………5分t121⎡=+=⎣……………………………………7分5、解：原式=xx x111()d1+∞-+⎰……………………………………2分x x1[ln ln(1)]+∞=-+……………………………………4分xx1ln1+∞=+……………………………………5分ln2=……………………………………7分解二：令xt1,=则dx tt21d=-……………………………………2分则x t x t1,1,,0==→+∞→……………………………………3分原式=tt11d1+⎰……………………………………5分t1ln(1)ln2=+=……………………………………7分解三：令x t2tan,=则dx t t t22tan sec d=…………………………2分则x t x t1,,,42ππ==→+∞→………………………………3分原式=tt2412dtanππ⎰……………………………………5分t242ln(sin)ln2ππ==……………………………………7分6、解：因为P x Q x x 2(),()==……………………………………2分 所以dx dx xxy e dx C 22()-⎰⎰=+⎰……………………………………4分C x 21()=+ arc x C x 21(sin )=+ ……………………………………6分 故方程的通解为y arc x C x21(sin )=+ ……………………………………7分解二：方程两边同乘以x 2，得x y y 22'+=……………………………………2分即x y d x x C2a r c s i n ==+ ……………………………………4分 故有 y a r c x C x 21(s i n )=+ ……………………………………6分 故方程的解为y arc x C x21(sin )=+ ……………………………………7分四、应用题（本大题共2小题，第1小题6分，第2小题7分，共13分）1、解：选y 为积分变量，y 01≤≤，曲线为yx e = …………………………2分y A e dy 1=⎰ ……………………………………4分e 1=- ……………………………………6分 解二：选x 为积分变量，曲线ln y x =与直线y 1=的交点为e (,1) ……………2分eA x dx 11(1ln )=+-⎰ ……………………………………4分ex x x 11[2l n ]=+- ……………………………………5分 e 1=- ……………………………………6分 2解：曲线ln y x =与直线y 1=的交点为e (,1) ………………………………1分eV e xdx 21ln ππ=-⎰ ……………………………………3分eee x x x d x211l n 2l n πππ=-+⎰……………………………………5分 ee e x x x 12[l n ]πππ=-+- ……………………………………6分2π= ……………………………………7分解二：（柱壳法）选y 为积分变量，y 01≤≤，曲线为yx e = …………………2分yV y e d y12π=⎰……………………………………4分 y y ye e 102[]π=- ……………………………………6分 2π= …………………………………………7分五、证明题(本题6分)(1、2两题可任选一题，如果两题全做,则按做第1题给分) 1、证明：令xxabF x f t dt dt f t 1()()()=+⎰⎰……………………………………1分 因为f x ()在[,]a b 上连续，由f x a b ()0,><， 得ab ba F a dt Fb f t dt f t 1()0,()()0()=<=>⎰⎰ …………………………2分由零点定理，a b (,)ξ∃∈，使得F ()0ξ= …………………………………3分即方程xxabf t dt dt f t 1()0()+=⎰⎰在(,)a b 内有实根. ……………………4分 又因为'F x f x f x 1()()0()=+> ……………………………………5分 所以函数F x ()在a b [,]上单调增加，故方程xxabf t dt dt f t 1()0()+=⎰⎰在(,)a b 内仅有一个实根. ……………………………………6分 2、证明一：因为xxF x x f t dt tf t dt 0()()()---=--⎰⎰…………………………2分令t u ,=-则tu t x u x 0,0,,===-= ，则有xuF x x f u du u f u du 00()()()()()()-=-------⎰⎰xx xf u du uf u du 00()()=---⎰⎰ …………………………4分若f x ()是偶函数，即f x f x ()()-=，则有 xxF x xf u du uf u du F x 0()()()()-=-=⎰⎰故F x ()也是偶函数. …………………………6分证明二：因为xxF x x f t dt tf t dt 0()()()---=--⎰⎰x x xf t dt tf t dt 0()()--=+⎰⎰ ①………………2分若f x ()是偶函数，则xf x ()为奇函数，即有xxf t d t f t d t 0()()-=⎰⎰，xxtf t dt tf t dt 0()()-=-⎰⎰ ②………………4分把②代入①得xxF x x f t dt tf t dt F x 0()()()()-=-=⎰⎰故F x ()也是偶函数. …………………………6分 证明三：因为xxF x x f t dt tf t dt 0()()()---=--⎰⎰① ……………2分且若f x ()是偶函数，则xf t dt 0()⎰为奇函数，x tf t dt 0()⎰为偶函数，即xxf t dt f t dt 00()()-=-⎰⎰，x xtf t dt tf t dt 0()()-=⎰⎰ ②……………4分把②代入①得 xxF x xf t dt tf t dt F x 00()()()()-=-=⎰⎰故F x ()也是偶函数. …………………………6分。

河北科技大学2016-2017学年第二学期《高等数学》下册期末试卷一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设平面区域22:19D x y ≤+≤，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰ 【 】A. 2π901d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰B. 2π901d (cos ,sin )d f r r r θθθ⎰⎰ C. 2π301d (cos ,sin )d f r r r r θθθ⎰⎰ D. 2π301d (cos ,sin )d f r r r θθθ⎰⎰ 2. 若[]1(,,)d d (,,)d d (,,)(,,)d 3P x y z y z Q x y z z x P x y z kQ x y z S ∑∑+=+⎰⎰⎰⎰，其中∑是平面221x y z ++=在第一卦限部分的上侧，则k = 【 】A. 1B. 2 D. 233. 过点(1,2,1)且与两平面0x y +=与50y z +=都垂直的平面方程为 【 】A. 5140x y z -+-=B. 540x y z -+-=C. 540x y z ---=D. 510x y z ++-=4. 设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处可微，且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==，则(,)f x y 在点00(,)x y 处 【 】A.可能有极值，也可能没有极值B.必有极大值C.必有极值，可能有极大值，也可能有极小值D.必有极小值5. 若级数1n n u ∞=∑收敛，而级数1n n v ∞=∑发散，则级数1()n n n u v ∞=±∑ 【 】A.收敛B. 发散C. 敛散性不定D. 等于11n n n n u v ∞∞==±∑∑二、填空题（每小题3分，共15分）1. 曲面22z x y =+与222z x y =--的交线在xOy 面上的投影方程为 .2. 已知曲面∑为平面0,0,0,2,x y z x ====2,1y z ==所围成立体的表面的外侧，则积分d d d d d d x y z y z x z x y ∑++=⎰⎰ .3. 幂级数12nn x n ∞=∑的收敛半径为R = .4. 设44224z x y x y =+-，则2z x y ∂=∂∂ . 5. 微分方程2y y '+=的通解为 .三、计算下列各题（每小题7分，共21分）1.计算曲线积分s ⎰，其中L 是曲线2x y =上从(0,0)O 到(1,1)A 的一段弧.2. 计算二重积分2e d d x Dx y ⎰⎰，其中D 是由直线y x =、0y =及1x =所围成的闭区域.3. 将函数()ln()(0,)f x a x a a x a =+>-<<展开成x 的幂级数.四、解答题（每小题8分，共40分）1. 计算三重积分22()d d d x y x y z Ω+⎰⎰⎰，其中Ω是由曲面22x y z +=与平面1z =所围成的立体.2. 计算曲线积分2(1)d d L yx y y ++⎰，其中L 为正弦曲线sin y x =与2sin (0π)y x x =≤≤所围区域的正向边界.3. 求微分方程21y y '''=+的通解.4. 在过直线1,:20x y z L x y z ++=⎧⎨++=⎩的所有平面中，求与原点的距离最大的平面的方程. 5. 已知曲面z xy =上的点(,,)M x y z 处的法线垂直于平面390x y z +++=，求点M 的坐标.五、综合题（9分）已知函数()y x 为幂级数0()!nn x x n ∞=-∞<<∞∑的和函数，验证函数()y x 为微分方程3e x y y y '''++=的解，并求该微分方程的通解.。

级高等数学(二)期末试卷4．若曲面∑：2222a z y x =++，则S d z y x ⎰⎰++∑)(222＝（ ）.A. 4a p ；B. 42a p ；C. 44a p ；D. 46a p .5．已知函数22(,)f x y xy x y +=+，则(,)(,)f x y f x y x y∂∂+∂∂＝（ ）. A.22x y +； B.22x -； C.22x y -； D.22x +.二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．直线32321x y z++==-与平面2260x y z +++=的交点为 ． 7．幂级数11212n n n x n-+∞-=∑的收敛半径为 ．8．设)(x f 是周期为π的周期函数，它在区间(0,]π上定义为2,(0)2()1,()2x x f x x x πππ⎧<<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩,则)(x f 的傅立叶级数在π处收敛于 ．9．0(,)xudu f u v dv =⎰⎰变换积分次序 ．10．设空间立体Ω所占闭区域为1,0,0,0x y z x y z ++≤≥≥≥，Ω上任一点的体密度是(,,)1x y z ρ=，则此空间立体的质量为． 三、解答题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．2lim x y π→→求.12．已知2(,)x y f x y e =，求(1,1)x f ，(1,1)y f ．13．设函数(,)z z x y =由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定，求(1,1)dz．14．设2(,2)z f x y x y =-，其中f 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂．15．1111(1)5()2n n n n n n n n a x na x -∞∞-==-+∑∑设级数的收敛半径为，求的收敛半径．16．设Ω是由2221x y z +-=,2z =-,2z =所围的有界闭区域.试计算2(1)I z dV Ω=-⎰⎰⎰．四、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．设)(x f 可微，1)0(=f 且曲线积分2[2()]()x Lf x e ydx f x dy ++⎰与路径无关，求)(x f ．18．计算∑，其中∑为下半球面z =侧．五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．设级数1nn a∞=∑绝对收敛，1n n b ∞=∑条件收敛，证明()1n n n a b ∞=+∑条件收敛．20．设{}1),(22≤+=y x y x D ，),(y x u 与),(y x v 在D 上具有一阶连续偏导数，j y v x v i y u x u G j y x u i y x v F ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂=+=,),(),(，且在D 的边界曲线L （正向）上有y y x v y x u ≡≡),(,1),(，证明： πσ-=⎰⎰⋅d G F D.。

河北科技大学理工学院2009——2010学年第二学期《普通物理学》期末考试试卷 （A ’）一、选择题（每题3分，共计30分。

将答案填写在下面表格内） 1、下列各种说法中，正确的说法是： （A ）速度等于位移对时间的一阶导数；（B ）在任意运动过程中，平均速度()2/0t v v v+=；（C ）任何情况下，v v ∆=∆ ，r r ∆=∆； （D ）瞬时速度等于位置矢量对时间的一阶导数。

2、质点做半径为R 的匀速圆周运动，周期为T ，在T 2时间里，其平均速度大小、平均速率分别为： （A ）T R T R ππ2,2 ； （B ）T R π2,0 ； （C ）0,0 ； （D ） 0,2TRπ 。

3、狭义相对论的两条基本原理是： (A) 在一切惯性系中，物理规律有着相同的形式；光速都相等； (B) 在一切参照系中，物理规律相同；真空中的光速都相等；(C) 在一切惯性系中，物理规律有着相同的形式；在一切惯性系中，光速都相等；(D) 在一切惯性系中，物理规律有着相同的形式；在一切惯性系中，真空中的光速都相等。

考场 座位 学 班级__________姓名__________学号_____________密 封 线 内 不 要 答 题4、一物体的速度使其质量增加了%10，求此物体在运动方向上缩短了百分之多少： (A) %8.1； (B) %1.9； (C) %9.1； (D) %1.8。

5、在边长为a 的正方体中心处放置一电量为Q 的点电荷，则正方体顶角处电场强度的大小为： (A)2012a Q πε； (B)206a Q πε；(C)203a Q πε； (D)20a Qπε。

6、一个半径为r 的半球面如图放在均匀磁场中，通过半球面的磁通量为： （A ）B r 2π2； （B ） B r 2π； （C ）αB r cos π22； （D ） αB r cos π2；7、用白光光源进行双缝干涉实验，若用一个纯红色的滤光片遮盖一条缝，用一个纯蓝色的滤光片遮盖另一条缝，则： (A) 干涉条纹的宽度将发生改变； (B) 产生红光和蓝光的两套彩色干涉条纹； (C) 干涉条纹的亮度将发生改变； (D) 不产生干涉条纹。

河北科技大学理工学院2009—2010学年第 2 学期《 电工学》考试试卷A考场号 座位号 班级 姓名 学号一、填空题。

（每空2分，共20分 ）1、当三极管的发射结和集电结都正向偏置时，三极管工作在 状态。

2、能够将正弦交流电压变换为脉动的直流电压的电路叫做 电路。

3、已知正弦交流电流)45(22 -ω=t sin i A ，则电流的有效值为 ，初相位为 。

4、图1-1电路中，二极管为理想器件，若u i ＞5V ，输出电压u o ＝ 。

5、图1-2电路中，U 2＝20V 。

正常工作时输出电压的平均值U 0＝ 。

6、三相对称负载每相阻抗Z ＝80＋j 60（Ω），每相负载额定电压为220V ，已知三相电源的线电压为220V ，此三相负载的连接方式应为 ，负载相电流I P =。

图1-2 u Ou u o 图1-17、测得某线性有源二端网络的开路电压为12V ，外接8Ω负载电阻时，流过负载的电流为1A ，若外接的负载电阻为2Ω，则此时流过负载的电流为 。

8、若用触发器构成六进制计数器，至少需用 个触发器。

二、单项选择题。

（每小题2分，共20分）1、图2-1电路中，当R 2增大时，电流源两端电压U 的值将（ ）。

A ．不变B ．增大C ．减小2、图2-2电路中，已知U S = 2V ， I S = 2A ，R 1 = R 2 = 2Ω。

则电阻R 1和R 2消耗的功率由（ ）供给。

A ．电压源和电流源B ．电压源C ．电流源3、三相四线制电路中，中线的作用是使星形连接的不对称负载的（ ）保持对称。

A ．相电压B ．相电流C ．相电压和相电流4、某元件电压和电流关系的相量形式为U I 30j ，可判断该元件是（ ）。

A ．电感元件B ．电容元件C ．电阻元件5、通过在感性负载两端并联适当电容来提高电路的功率因数，并联电容前后，关于电路的三种功率，下列说法正确的是（ ）。

A ．视在功率不变B ．平均功率不变C ．无功功率不变6、集成运算放大器可以放大的信号为（ ）。

东海科技学院 2009 - 2010学年第 二 学期 《高等数学》课程期末考试卷A 参考答案一、选择题（每小题3分，共计15分）1．二阶齐次线性微分方程06=-'-''y y y 的通解为（ B ） A ．x x e C e C y 3221--+= B ．x x e C e C y 3221+=- C ．x x e C e C y 3221-+= D ．x x e C e C y 3221+=2．过点()10,3-，且与平面012573=-+-z y x 平行的平面方程是（ A ） A ．04573=-+-z y x B ．01573=-+-z y x C ．0423=-+-z y x D ．0123=-+-z y x 3．关于二元函数),(y x f 的下面4条性质：①),(y x f 在),(00y x 处连续；②),(y x f 在),(00y x 处两偏导数连续； ③),(y x f 在),(00y x 处可微；④),(y x f 在),(00y x 处两偏导数存在. 则下面关系正确的是（ A ）A ．②⇒③⇒①B ．③⇒②⇒①C ．③⇒④⇒①D ．③⇒①⇒④ 4. 平面环形区域D 的边界曲线L 中，为正向边界的是（ C ）A B C D5．下列级数中，收敛的是（ D ） A ．∑∞=11i nB ．∑∞=1321i n C ．∑∞=11i n D ．∑∞=-11)1(i n n二、填空题：（每小题3分，共计15分）1. 一阶微分方程02=-'xy y 的通解为=y ．（答案：2x Ce y =）学院专业班级姓名学2.=+→xy yx y x 2lim)2,1(),( ．（答案：2）3. 222y x z +=表示空间曲面 ．（答案：抛物面）4．⎰⎰=1010xydy dx ．（答案：41）5. 若L 表示抛物线2x y =上点)0,0(与点)1,1(的一段弧，则第一类曲线积分⎰Lds y = ．（答案：)155(121-）三、计算题：（每小题6分，共计48分） 1．设2221y x z +=，求全微分dz . 解：x xz=∂∂ ……………………………………………………………….2分 y yz2=∂∂……………………………………………………………….2分 y d y x d x dz 2+=………………………………………………………2分 2．设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，求b a ⋅和b a ⨯．解：51)2(10)3(1-=⨯-+⨯+-⨯=⋅b a …………………………….3分}1,5,2{52113201=++=--=⨯k j i k j ib a ………………………..3分3．求过点()132,，-且平行于直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的直线方程.解：直线⎩⎨⎧=-+=+-025032z y x z y x 的方向向量为k j i kj i 135251132++=-- …………………………………….4分 所求直线方程为1315312-=-=+z y x ……………………………….2分 4．设z xy x z y x f +-=23),,(，求),,(z y x f 在)0,1,1(0P 的梯度f ∇及f ∇.解：k j i k f j f i f f z y x +-=++=∇22 ………………………………….4分31)2(222=+-+=∇f …………………………………………….2分5．计算二重积分σd xy ⎰⎰D，其中D 是由直线1=y 、2=x 和x y =所围闭区域.解：把D 看成X 型区域{}x y x y x ≤≤≤≤1,21),(………..……………2分89)(21213211D=-==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x xydy dx d xy xσ………………………….4分 6．计算三重积分dV x e y )2sin (2⎰⎰⎰Ω+，其中Ω：10,10,11≤≤≤≤≤≤-z y x .解：注意到积分区域Ω关于YOZ 面对称，x e y sin 2为x 的奇函数…….2分4112212sin )2sin (22=⨯⨯⨯=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩΩdV dV x e dV x ey y …...4分7．L 为封闭正向圆周曲线122=+y x ，求⎰-Lydx x dy xy 22.解：y x P 2-=，2xy Q =………………………………………………….2分由格林公式⎰-Lydx x dy xy 22σσd y x d y Px Q DD⎰⎰⎰⎰+=∂∂-∂∂=)()(22 ⎰⎰=⋅=ππρρρθ20122d d …..………………4分8．判断级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+的敛散性. 解：注意到πn n n n cos 2)12(12∑∞=+≤∑∞=+122)12(n nn …………………………….2分 而级数∑∞=+122)12(n nn 利用比值审敛法，得 121lim1<=+∞→nn n u u ………………………....2分则由比较审敛法，级数πn n n ncos 2)12(12∑∞=+收敛.…………………....2分四、解答题（每小题8分，共计16分）1. 求二阶非齐次线性微分方程x e y y y 244-=+'+''的通解.解：注意到右端项为x m e x P x f λ)()(=型（其中2,1)(-==λx P m ）…….2分 且原方程对应的齐次方程的特征方程为0442=++r r ,特征根2-=λ为二重根.......................................................................................2分 设原方程的一个特解为x e ax y 22*-=代入原方程解出21=a ………………....2分 则原方程通解为()xx e x e x C C y 2222121--++=....................................................2分 2．设)(x f 的周期为π2，且在],[ππ-上2)(x x f =，试将)(x f 展开成傅里叶级数. 解：依题)(x f 在],[∞-∞上连续，且满足狄利克雷收敛定理条件，则0=n b ),2,1( =n ,…………………………………………....2分3222020πππ==⎰dx x a ,…………………………………….……2分⎰⎰⎰===ππππππ02020sin 2cos 2cos )(2nx d x n dx nx x dx nx x f a n⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=πππππ02002c o s 4s i n 2s i n 2nx xd n dx nx x nx x n 2002)1(4cos cos 4n nxdx nx x n n -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰πππ ),2,1( =n ……2分由收敛性定理可知，∑∞=-+=1222c o s )1(43n n n nx x π …………….……………….……2分 五、应用题（本题6分）某养殖场饲养两种鱼。

2009-2010学年第二学期高等数学(2)期末试卷及其答案2009 至2010 学年度第2 期高等数学（下）课程考试试题册A试题使用对象：2009 级理科各专业(本科)命题人：考试用时120 分钟答题方式采用：闭卷说明：1．答题请使用黑色或蓝色的钢笔、圆珠笔在答题纸上书写工整．2．考生应在答题纸上答题，在此卷上答题作废．一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分）1．已知(2,1,),(1,2,4)a m b==，则当m=时，向量a b⊥．2．(,)(2,0)sin()lim x yxy y→=．3．设区域D为22yx+≤x2，则二重积分D dσ=⎰⎰．4．函数(,),(,)P x y Q x y在包含L的单连通区域G内具有一阶连续偏导数，如果曲线积分(,)(,)LP x y dx Q x y dy+⎰与路径无关，则(,),(,)P x y Q x y 应满足条件 ．5． 当p 时，级数211pn n +∞=∑收敛．二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分）1．直线221:314x y z L -+-==-与平面:6287x y z π-+=的位置关系是 ．A ．直线L 与平面π平行；B ．直线L 与平面π垂直；C ．直线L 在平面π上；D ．直线L 与平面π只有一个交点，但不垂直．2． 函数(,)f x y 在点(,)x y 可微分是(,)f x y 在该点连续的（ ）．A ．充分条件； B. 必要条件； C. 充分必要条件； D. 既非充分也不必要条件 3．改变积分次序，则100(,)y dy f x y dx⎰⎰．A ．1(,)xdx f x y dy ⎰⎰； B ．11(,)dx f x y dy ⎰⎰；C ．11(,)x dx f x y dy ⎰⎰；D ．11(,)xdx f x y dy ⎰⎰6．计算22()(sin )Lxy dx x y dy--+⎰，其中L 是上半圆周y =x 轴所围区域的边界，沿逆时针方向．7．将函数1()3f x x =+展开成(3)x -的幂级数． 8．计算曲面积分xydydz yzdzdx xzdxdy ∑++⎰⎰，其中∑为1x y z ++=，0,x =y =，0z =所围立体的外侧．9．求抛物面22z xy =+到平面10x y z +++=的最短距离．2009 至 2010 学年度第 2 期高等数学（下）课程试题A 参考答案试题使用对象： 2009 级 理科各专业(本科) 向瑞银一．填空题（本题共15 分，共5 小题，每题 3 分） 1. 1-； 2. 2； 3. π； 4.y P ∂∂=xQ ∂∂； 5.12p >二．选择题（本题共15分，共5小题，每题3 分） 1．B ； 2．A ； ３．D ； ４．C ； ５．C 三． 求解下列各题（本题共70分，共9小题，1~2每题7 分，3~9每题8 分）．1．z z u z vx u x v x∂∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂……4分sin cos u u ye v e v=+(sin()cos())xy e y x y x y =-+-……7分 2．2212()(tan())y y uf x y f xy y∂''''=⋅-+∂ ……4分2122sec ()()yyf f xy xy '''=-+2122sec ()yf xf xy ''=-+……7分 3． 令22(,,)1F x y z xy z=+--，则法向量(2,2,1)n x y =-，(2,1,4)(4,2,1)n=- ……3分在点(2,1,4)处的切平面方程为 4(2)2(1)(4)0x y z -+---=．即4260x y z +--=． (6)分法线方程为214421x y z ---==-． ……8分 4．22Dx d yσ⎰⎰22121xxx dx dy y=⎰⎰……4分221/11()x xx dxy=-⎰……6分231()x x dx =-⎰322111()42x x =-94=……8分5．令cos ,sin x a y a θθ==，则sin ,cos x a y a θθ''=-=，ds θ=ad θ= ……3分20a Le ad πθ=⎰⎰ ……6分＝2aae π ……8分6．2P xy=-，1P y ∂=-∂ ，2(sin )Q x y =-+，1Q x∂=-∂ ， ……4分()0DDQ PI dxdy dxdy x y∂∂=-=∂∂⎰⎰⎰⎰ ……6分=……8分 7．1136(3)x x =++-113616x =-+ ……4分 当316x -<，即 39x -<<时，13x +013()66nn x +∞=-=-∑ ……8分8． ⎰⎰∑++zxdxdy yzdzdx xydydz=()x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰……4分 =1110()xx ydx dy x y z dz---++⎰⎰⎰……6分81=……8分9．设抛物面一点(,,)x y z ，它到平面的距离为1d x y z =+++满足条件220x y z +-= ……3分 拉格朗日函数为222(1)()3x y z L x y z λ+++=++- ……5分2(1)203x x y z L x λ+++=+=，2(1)203yx y z Ly λ+++=+=2(1)3z x y z L λ+++=-=，220Lx y z λ=+-=解方程组得，12x y ==-，12z =． 由问题本身知最短距离存在，所以最短距离为0.5,0.5,0.5)d --=6=……8分。

河北科技大学线性代数考试题河北科技大学2009——2010学年第1学期《线性代数》期末考试试题(A )一 填空题 (本题共6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在答题纸指定位置)1.若12312,,,,αααββ均为4维列向量，且1231,,,m αααβ=，1223,,,n ααβα=，则31221,,,αββαα+= ．2.设2023A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A A *= ． 3.设n 阶方阵3. 2维向量空间2的基T T 12(1,0),(1,1)αα==-到基T 1(1,0),β=T 2(0,1)β=的过渡矩阵为 ．4.若n 元齐次线性方程组0Ax =的基础解系含有1个解向量，则()R A *= ．5.已知3阶矩阵A 的特征值为1, 1, 2，则2A A E *++= ．6.设矩阵001010100A ⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，则二次型T 123(,,)f x x x x Ax =的规范形为 ． 二 选择题 (本题共5小题，每小题4分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把正确选项前的字母填在答题纸指定位置)1.设A 为45⨯矩阵，()4R A =，B 为42⨯矩阵，则下列命题中正确的是( )(A) T T 0A x B ⎛⎫= ⎪⎝⎭只有零解 (B) (,)0A B x =只有零解 (C) 对于任意7维列向量b ，T T A x b B ⎛⎫= ⎪⎝⎭有惟一解 (D) 对于任意4维列向量b ，(,)A B x b =有惟一解2.向量组12,,,s ααα(2s >)线性无关的充分必要条件是( ) (A) 12,,,s ααα中没有零向量 (B) 12,,,s ααα中任意1s -个向量线性无关 (C) 12,,,s ααα中任意两个向量的分量不成比例- 3 -(D) 12,,,s ααα中任意一个向量均不能由其余1s -个向量线性表示3. 设A 为(2)n n ≥阶方阵,且2A E =，则下列命题正确的是（ ）(A) 1A = (B)1A E -= (C)()R A n = (D) A 的特征值均为14.设,A B 均是n 阶矩阵，且A 可逆，则( )(A) AB BA = (B) ()R B n = (C) AB 与BA 相似 (D) 0A *= 5.设T T 12(1,0,0),(0,0,1)αα==，向量β可由12,αα线性表示，则向量β为 ( )(A) T (1,2,1)- (B) T (0,2,1)- (C) T (3,0,4)- (D) T (1,3,0)三 计算题 (共50分，请将解答写在答题纸指定位置，应写出必要的计算过程)1.(本小题10分) 已知两个非齐次线性方程组(I ) 124123412326,41,3 3.x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (II )1234234345,211,2 1.x ax x x bx x x x x c +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-+⎩ (1) 求方程组(I )的通解；(2) 当,,a b c 取何值时，方程组(I )与(II )同解.2.(本小题15分) 设矩阵211020413A -⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭,求可逆阵P 及对角阵Λ，使得1P AP Λ-=． 3. (本小题10分) 计算n 阶行列式0010********n a aD a a=.4.(本小题10分) 设130210002B -⎛⎫⎪= ⎪⎝⎭，且满足A B AB +=，求A . 5.(本小题5分) 设向量组T T T 123(1,1,0,0), (1,2,1,1), (0,1,1,1),ααα=-=--=- T 4(1,3,2,1)α=-，求向量组1234,,,αααα的秩和一个最大无关组． 四 证明题 (共6分，请将证明写在答题纸指定位置，应写出主要的证明过程)设A 是元素全为1的n 阶方阵(1n >)，证明11()1E A E A n --=--.。

2009级高等数学（下）试卷（A 卷2009.6）校名___________ 系名___________ 专业___________ 姓名___________ 学号___________ 日期___________一、单项选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在题末的括号中） (本大题分4小题, 每小题4分, 共16分)1、曲面z x y =+22是（A ）zox 平面上曲线z x =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （B ）zoy 平面上曲线z y =绕z 轴旋转而成的旋转曲面 （C ）zox 平面上曲线z x =绕x 轴旋转而成的旋转曲面 （D ）zoy 平面上曲线z y =绕y 轴旋转而成的旋转曲面答：（）2、函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=001sin1cos ),(xy xy xy y x y x f ，则极限lim (,)x y f x y →→00= 。

(A)不存在(B)等于1 (C)等于零 (D)等于2答（）3、设u x x y =+arcsin22则∂∂u x= (A)x x y 22+(B)-+y x y 22(C) y x y22+ (D) -+x x y22答（ ）4、用格林公式计算，其中C 为圆周x 2+y 2=R 2,其方向为逆时针方向。

则得答( )二、填空题（将正确答案填在横线上） (本大题分5小题, 每小题4分, 共20分)1、已知级数∑∞=1n nu的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n则此级数的通项=n u 。

2、设幂级数∑∞=0n n nx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n nx a的收敛半径是 。

3、已知向量 a 与{} c =-474,,方向相反，且 a =27，则a = ______ 。

4、曲面sin()cos()sin()x y y z z x +++--=++2323222在点(,,)πππ646-处的切平面方程是______。

河北科技大学2009——2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末考试试卷（A ）学院: 班级： 姓名： 学号：一 填空题(本题共6小题，每小题4分，共24分)1. 5个人独立地破译某密码，他们能单独破译出的概率分别为12、13、14、15、16，则此密码被破译出的概率为 ． 2. 设X 为连续型随机变量，a 为常数．则{}P X a == ． 3. 设X 、Y 是两个独立同分布随机变量，其分布函数均为()F x ．则max{,}Z X Y =的分布函数()Z F z = ． 4. 设~(2)X π，~(100,0.2)Y b ，且X 与Y 相互独立，则(2)D X Y -= ． 5．若~()(1)X t n n >，则21X 服从分布 ．(注：用符号表示并．．．．．．指明．．参数．．) 6．设2~(,)X N μσ(2σ未知)，12,,,n X X X 为总体X 的样本．则对于假设检验问题： 00:H μμ=，10:H μμ≠，显著性水平为(01)αα<<的检验的拒绝域为 ．二 单项选择题(本题共6小题，每小题4分，共24分)1. 已知A 、B 为两个随机事件，且A B ⊂，()0P B >，则必有( )(A) ()()P A P A B <； (B) ()()P A P A B ≤； (C) ()()P A P A B >； (D) ()()P A P A B ≥．2. 设2~(,)X N μσ，则随着σ的增大，概率{3}P X μσ-<( )(A) 单调增加； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定．3. 设X 、Y 为两个随机变量，若()E XY EX EY =⋅，则下列选项不正确．．．的是( ) (A) ()D X Y DX DY -=+； (B) ()D X Y DX DY +=+； (C) X 与Y 一定相互独立； (D) X 与Y 一定不相关．4. 设随机变量12,,,,n X X X 相互独立同服从参数为λ的指数分布，()x Φ为标准正态分布的分布函数，则( )(A)； (B) ；(C)； (D) ．5. 设123,,X X X 是来自均值为μ的正态分布总体的样本．现有μ的3个估计量：112311()42T X X X =++，21231(23)5T X X X =++，31231()3T X X X =++，则( )(A) 23T T 、是无偏的且2T 比3T 更有效； (B) 23T T 、是无偏的且3T 比2T 更有效； (C) 13T T 、是无偏的且1T 比3T 更有效； (D) 13T T 、是无偏的且3T 比1T 更有效． 6. 现有4个命题：① 在假设检验问题中，第一类错误和第二类错误不可能同时发生． ② 对于正态总体参数μ的假设检验问题：0010::H H μμμμ=≠，，只要0μ在μ的1α-置信区间外，就可以在显著性水平α下拒绝0H ． ③ 做显著性检验的目的就是为了接受原假设0H ．④ 参数θ的置信区间(,)θθ的置信度为1α-(01)α<<，意指θ落在给定区间(,)θθ内的概率为1α-． 以上命题正确的是( )(A) ①②； (B) ③④； (C) ①②④； (D) ②③④．lim ()n P x Φ→∞⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭lim ()n P x Φ→∞⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭ni X n x -≤∑n i X n x λ-≤∑lim ()n P x Φ→∞⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭lim ()n P x Φ→∞⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭1i i X x n λλ=-≤i X x λ-≤∑(三——六题为简答题，请写出必要的解题步骤)个球，观察颜色后放回并放入同颜色的球2个．然后再从袋子中抽取1个球，(1) 求第2次取到白球的概率；(2) 已知第2次取到的是白球，求第1次取到的也是白球的概率.四(本题12分) 设A 、B 为两个随机事件，且1()2P A =，1()3P B =，1()4P AB =．令1,0,A X A ⎧=⎨⎩发生不发生，1,0,B Y B ⎧=⎨⎩发生不发生，求 (1) 二维随机变量(,)X Y 的联合分布律；(2) 随机变量Z XY =的分布律．五（本题20分）设随机变量X 的概率密度函数为e ,0,()0,0.x kx x f x x -⎧≥=⎨<⎩ 当观察到X x =(0x ≥)时，随机变量Y 在区间(0,)x 上服从均匀分布．求(1) 常数k ；(2) X 与Y 的联合概率密度函数(,)f x y ； (3) 概率{1}P X Y ->； (4) Y 的概率密度函数()Y f y ； (5) 2Z Y =的概率密度函数()Z f z ．六(本题10分) 设总体X 的概率密度函数为1,1,()0,1,x x f x x θθ+⎧≥⎪=⎨⎪<⎩其中1θ>为未知参数.12,,,n X X X 为总体X 的样本.求(1)θ的矩估计量ˆMθ； (2)θ的最大似然估计量ˆLθ．。