2020中考数学专项解析：角的计算

2020 中考专题 3 ——几何模型之定边对定角 班级 姓名 模型讲解】∠P 保持不变，∠ P 所对的边长为 d 保持不变，则∠ P 的顶点 P 的轨迹为圆弧 . （简称：定边对定角 ）【例题分析】例 1.在正方形 ABCD 中， AD ＝2，E ，F 分别为边 DC ，CB 上的点，且始终保持 DE ＝CF ，连 接 AE 和 DF 交于点 P ，则线段 CP 的最小值为 .圆，直线 BD 交⊙O 于P 点，交 BC 于 E 点，弧 AE ＝ CP ，则 AD 的最小值为（例 2. 如图，在边长为 2 3 的等边△ ABC 中，点 E 为 AC 上一点， AE=CD ，连接 BE 、AD 相交于点 P ， BC ＝4 2 ，∠ ACB ＝45°， D 为△ABC 内一动点， ⊙O 为△ACD 的外接C ． 2D ．41 4 2则 CP 的最小值为A ．1B ．2【巩固训练】1. 如图 1，O 的半径为 2，弦AB=2，点P 为优弧 AB 上一动点， AC ⊥AP 交直线 PB 于点 C ，则△ABC 的最大面积是 .2. 如图 2，半径为 2cm ，圆心角为 90°的扇形 OAB 的弧 AB 上有一运动的点 P 从点 P 向半径 OA 引 垂线 PH 交 OA 于点 H ，设△OPH 的内心为 I ，当点 P 在弧 AB 上从点 A 运动到点 B 时，内心 I 所经过的路径长为 .3. 如图 3,以G(0,1)为圆心,半径为 2 的圆与 x 轴交于 A 、B 两点,与 y 轴交于 C 、D 两点,点E 为OG 上 一动点 ,CF ⊥AE 于 F,当点 E 从点 B 出发顺时针运动到点 D 时，点F 所经过的路径长为4. 如图 4,以正方形 ABCD 的边 BC 为一边向内部做一等腰 是△BEC 的内心，连接 AP ，若 AB=2，则 AP 的最小值为5.如图 5,Rt △ABC 中,AB ⊥BC,AB=6，BC=4，P 是△ABC 内部的一个动点，且满足∠ PAB=∠PBC,则 线段 CP 长的最小值为 . 6. 如图 6，在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，AC=10，BC=12，点 D 为线段 BC 上一动点 .以 CD 为⊙ O 直径， 作 AD 交⊙ O 于点 E ，连 BE ，则 BE 的最小值为 .7. 如图 7,在等腰 Rt △ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,BC= 4 2,点D 是AC 边上一动点 ,连接 BD ，以 AD 为直径的圆交 BD 于点 E,则线段 CE 长度的最小值为 .△BCE ，CE=CB ，过 E 做 EH ⊥BC ，点P 图4图78.等腰直角 △ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4，D 为线段AC 上一动点，连接 BD ，过点 C 作CH ⊥BD 于 H ，连接 AH ，则 AH 的最小值为 . 9. 如图 9，直线 y=x+4 分别与 x 轴、y 轴相交与点 M 、N,边长为 2 的正方形 OABC 一个顶点 O,在坐 标系的原点 ,直线 AN 与 MC 相交与点 P,若正方形绕着点 O 旋转一周 ,则点 P 到点（ 0,2）长度的最小 值是10. 如图 10，矩形 OABC 的边 OA 、OC 分别在 x 轴、 y 轴上，点 B 的坐标为（ 7,3），点 E 在边 AB 上，且 AE=1，已知点 P 为 y 轴上一动点，连接 EP ，过点 O 作直线 EP 的垂线段，垂足为点 H ， 在点 P 从点 F （0, 25 ）运动到原点 O 的过程中，点 H 的运动路径长为 .411. 如图 11，AB 是⊙O 的直径， AB ＝2，∠ ABC ＝ 60°，P 是上一动点， D 是AP 的中点，连接 CD ，则 CD 的最小值为12. 如图 12，已知△ ABC 是边长为 4 的等边三角形，取 AC 的中点Ｅ，△ ABC 绕E 点旋转任意角度得 到△ GMN ，直线 BN 、GC 相 交于点Ｈ．求△ GMN 绕点 E 旋转时过程中，线段 AH 的最大值是图8 图 102020 中考专题 3——几何模型之定边对定角 参考答案 第 4 页 共 5 页例 1 【解析】解：如图，在△ ADE 和△ DCF 中， AD DCADE DCFDE CF∴△ ADE2△ DCF （SAS ）∴∠ DAE ＝∠ CDF∵∠ DAE ＋∠ AED ＝90°∴∠CDF ＋∠ AED ＝90°，∴∠ DPE ＝∠ APD ＝90° . ∠ APD ＝ 90°保持不变∴点 P 的轨迹为以 AD 为直径的一段弧上∴取 AD 中点 Q ，连接 CQ ，与该圆弧交点即为点 P ，此时 CP 值最小在 Rt △ CQD 中， CQ 5＝∴CP ＝CQ －PQ ＝ 5 －1 例 2. 解析：可证△ AEB?△CDA ∴∠ABE=∠CAD ∵∠ CAD+∠BAD=60° ∴∠ABE+∠BAD=60°即∠ BPB=60°∵ AB 为定边，∠ APB=120°为定角 ∴P 在以 AB 为弦且圆心角为 120 °的圆弧上运动。

专题23 多边形内角和问题1．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形。

2．多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。

3．多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角叫多边形的外角。

4．多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。

5．正多边形：在平面内，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。

6．多边形内角和公式：n边形的内角和等于（n-2）·180°7．多边形的外角和：多边形的内角和为360°。

8.多边形对角线的条数：（1）从n边形的一个顶点出发可以引（n-3）条对角线，把多边形分成（n-2）个三角形。

（2）n边形共有23)-n(n条对角线。

【例题1】（2019贵州铜仁）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°【答案】C．【解析】一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．专题知识回顾专题典型题考法及解析【例题2】（2019广西梧州）正九边形的一个内角的度数是（）A．108°B．120°C．135°D．140°【答案】D．【解析】先根据多边形内角和定理：180°•（n﹣2）求出该多边形的内角和，再求出每一个内角的度数．该正九边形内角和＝180°×（9﹣2）＝1260°，则每个内角的度数＝．【例题3】（2019湖南湘西州）已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是（）A．五边形B．六边形C．七边形D．八边形【答案】D【解析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理。

初中数学角的重要知识点总结
初中数学中，角是一个重要的概念。

下面是一些与角相关的重要知识点总结：
1. 角的定义：角是由两条射线所围成的图形，其中一条射线称为角的边，另一条射线
称为角的始边。

2. 角的度量：角的度量可以用角度来表示。

一周角等于360度。

常用的角度单位还有
弧度。

3. 角的分类：根据角的大小，可以将角分为锐角（小于90度），直角（等于90度），钝角（大于90度），和平角（等于180度）。

4. 角的实际意义：角可以用来表示物体之间的夹角，例如两条线的交点处的夹角。

5. 角的性质：角的两个重要性质是互补和补角。

两个角互补意味着它们的度数之和为90度；两个角补角意味着它们的度数之和为180度。

6. 角的大小比较：可以通过比较两个角的度数来判断它们的大小。

7. 角的运算：可以对角进行加法和减法运算，即将两个角的度数相加或相减。

8. 角的平分线：角的平分线是指将一个角分成两个相等的角的射线。

9. 相似角：相似角是指角的度数相等，但是形状和位置不同的角。

10. 角的度数单位换算：可以通过弧度和角度之间的换算来进行角度的单位转换。

以上是初中数学中关于角的重要知识点的总结。

掌握这些知识点可以帮助学生正确理解和运用角的概念，解决角的计算和应用问题。

角的计算方法与技巧角是平面几何中非常重要的概念，它是由两条射线共同端点所构成的图形。

在实际生活和数学领域中，角的计算方法和技巧是非常重要的，它们被广泛应用在各种问题的解决中。

本文将从基本概念开始，以及角的计算方法和技巧展开讨论。

一、基本概念1.角的定义角是由平面上两条射线共同端点构成的图形，其中这两条射线被称为角的边，它们的共同端点被称为角的顶点。

2.角的记号通常情况下，角的记号是以角顶点为中心标记一个点，然后用这个点的上面加一个角的字母。

3.角的分类按照角的大小，角可以被分为三类：锐角、直角和钝角。

4.角的度量角的度量通常用角度来表示，1个直角等于90度，1个圆周等于360度。

二、角的计算方法1.角的度量单位角的度量单位有度、弧度和梯度。

度是常用的角的度量单位，弧度是物理学和数学上常用的角的单位，梯度则常用于工程和建筑领域。

2.角的度数制在度数制下，角的度数是用箭头表示的角对应的圆周弧长所占圆的半径的百分比。

3.角的弧度制在弧度制下，角的度量是指这个角所对应的圆周上的弧所占整个圆周的比例。

1个完整的圆周等于2π弧度。

4.角的换算在不同的度量单位之间，可以相互换算。

例如，1度等于π/180弧度，1弧度等于180/π度。

5.角的运算在数学运算中，角可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

例如，两个角的和等于它们的对应的圆周弧的和所对应的角。

6.角的三角函数三角函数是用角度作为自变量的函数，常用的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们在解决角的计算问题中起着重要的作用。

三、角的计算技巧1.利用三角函数在实际问题中，有时候可以利用三角函数来解决角的计算问题。

例如，在三角形中，可以通过三角函数关系来求解各个角的大小。

2.利用相似三角形相似三角形在角度和边长的比例上具有一定的特点，可以通过相似三角形的性质来计算角的大小。

3.利用角的平分线和高度在一些几何形状中，可以利用角的平分线和高度的性质来计算角的大小，例如直角三角形中的角度。

角的认识与计算在几何学中，角是一个基本的概念。

它可以帮助我们理解和计算两条直线之间的关系以及形状的特征。

本文将介绍角的基本概念、角的类型、角的度量以及角的计算方法。

一、角的基本概念角是由两条射线或两条线段共享一个端点所形成的图形。

这个共享的端点被称为角的顶点，而两个射线或线段被称为角的边。

我们可以用“∠”来表示一个角。

二、角的类型1. 零角：零角是由两条重合的线段构成的角，角的度量为0度。

2. 直角：直角是由两条相互垂直的线段构成的角，角的度量为90度。

3. 锐角：锐角是度量小于90度的角。

4. 钝角：钝角是度量大于90度但小于180度的角。

5. 互补角：互补角是两个角的度量之和为90度的角。

6. 补角：补角是两个角的度量之和为180度的角。

三、角的度量角的度量可以用度、弧度或梯度来表示。

1. 度：度是最常用的角度量单位，一个完整的圆有360度。

2. 弧度：弧度是衡量角的另一种方式，一个完整的圆有2π弧度。

度数与弧度之间的关系是：180度= π弧度。

3. 梯度：梯度是角度量的第三种单位，一个完整的圆有400梯度。

度数与梯度之间的转换公式是：1度 = 10/9梯度。

四、角的计算方法1. 角度之和：当两条角的边相交时，我们可以用以下几种方法计算它们的度量之和。

a. 互补角：两个互补角的度量之和为90度。

b. 补角：两个补角的度量之和为180度。

c. 相对角：当两条平行线被一条横穿时，相对的内角或外角的度量之和为180度。

2. 角的运算：角可以进行加法和减法运算。

a. 加法运算：当我们需要计算两个角度量之和时，我们可以将它们的度量相加。

b. 减法运算：当我们需要计算两个角度量之差时，我们可以将它们的度量相减。

五、总结角是几何学中的重要概念，我们可以通过角的认识和计算来理解和解决与角有关的问题。

文章介绍了角的基本概念、角的类型、角的度量以及角的计算方法。

理解角的概念和运算能够帮助我们更好地掌握几何学知识，并应用于实际问题的解决中。

初中数学知识归纳角的计算及应用初中数学知识归纳：角的计算及应用角是初中数学中的重要概念之一。

它不仅在几何学中具有重要地位，而且在实际生活中有着广泛的应用。

本文将对初中数学中与角相关的计算方法及其应用进行归纳总结，帮助读者更好地理解和应用这些知识。

一、角的基本概念在初中数学中，我们常常会遇到角的概念。

角由两条射线或线段（称为角的边）共享一个公共端点而形成。

通常，角可以用大写字母标记，如∠ABC。

角可以被归类为锐角、直角、钝角和平角。

锐角小于90度，直角等于90度，钝角大于90度，而平角则等于180度。

这些分类对于后续的角的计算和应用非常重要。

二、角的计算方法1. 角度的度量角度的度量是角的一个重要概念。

我们通常用度（°）来表示角的度量值。

一个完整的圆是360度（°），而一个直角是90度（°）。

通过度量角，我们可以比较角的大小和关系。

2. 角的加法当两个角的边彼此相邻时，我们可以将它们放在一起形成一个更大的角。

例如，如下图所示，∠ABC和∠CBD彼此相邻，我们可以将它们放在一起形成∠ABD。

```A*\∠ABC* \ *∠ABD* *C---BD```若∠ABC的度量是a度，∠CBD的度量是b度，那么∠ABD的度量就是a + b度。

3. 角的补角与余角当两个角的度量加起来等于90度时，我们称它们为补角。

例如，如果∠ABC的度量是30度，那么∠CBD的度量就是60度，它们是补角。

当两个角的度量加起来等于180度时，我们称它们为余角。

例如，如果∠ABC的度量是60度，那么∠CBD的度量就是120度，它们是余角。

三、角的应用1. 三角形三角形是角的重要应用之一。

三角形有不同的分类，如等边三角形、等腰三角形和直角三角形等。

- 等边三角形的三个内角都是60度，三条边长度都相等。

- 等腰三角形有两个内角相等，两条边长度相等。

- 直角三角形有一个内角是90度。

通过对三角形中角的计算，我们可以求解三角形的边长、面积等问题。

【文库独家】解直角三角形（三角函数应用）1、（绵阳市）如图，在两建筑物之间有一旗杆，高15米，从A 点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C 点，且俯角α为60º，又从A 点测得D 点的俯角β为30º，若旗杆底点G 为BC 的中点，则矮建筑物的高CD 为（ A ）A ．20米B ．米C ．米D ．米［解析］GE//AB//CD ，BC=2GC ，GE=15米，AB=2GE=30米，AF=BC=AB•cot ∠ACB=30×cot60º=10 3 米，DF=AF •tan30º=10 3 ×33=10米，CD=AB-DF=30-10=20米。

2、（杭州）在Rt△ABC 中，∠C=90°，若AB=4，sinA=，则斜边上的高等于（ ）A ．B ．C ．D ．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：在直角三角形ABC 中，由AB 与sinA 的值，求出BC 的长，根据勾股定理求出AC 的长，根据面积法求出CD 的长，即为斜边上的高．解答：解：根据题意画出图形，如图所示，在Rt△ABC 中，AB=4，sinA=，∴BC=ABsinA=2.4，根据勾股定理得：AC==3.2，∵S △ABC =AC•BC=AB•CD， ∴CD==． 故选B点评：此题考查了解直角三角形，涉及的知识有：锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．3、（•绥化）如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于点D ，AB=8，∠ABD=30°，∠CAD=45°，求BC 的长．∴AD=AD=4．+44、（•鄂州）著名画家达芬奇不仅画艺超群，同时还是一个数学家、发明家．他曾经设计过一种圆规如图所示，有两个互相垂直的滑槽（滑槽宽度忽略不计），一根没有弹性的木棒的两端A、B能在滑槽内自由滑动，将笔插入位于木棒中点P处的小孔中，随着木棒的滑动就可以画出一个圆来．若AB=20cm，则画出的圆的半径为10 cm．∴OP=5、（安顺）在Rt△ABC中，∠C=90°，，BC=8，则△ABC的面积为．考点：解直角三角形．专题：计算题．分析：根据tanA的值及BC的长度可求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式进行计算即可．解答：解：∵tanA==，∴AC=6，∴△ABC的面积为×6×8=24．故答案为：24．点评：本题考查解直角三角形的知识，比较简单，关键是掌握在直角三角形中正切的表示形式，从而得出三角形的两条直角边，进而得出三角形的面积．6、（11-4解直角三角形的实际应用·东营中考）某校研究性学习小组测量学校旗杆AB的高度，如图在教学楼一楼C处测得旗杆顶部的仰角为60︒，在教学楼三楼D处测得旗杆顶部的仰角为30︒，旗杆底部与教学楼一楼在同一水平线上，已知每层楼的高度为3米，则旗杆AB 的高度为米.15. 9.解析：过B 作BE ⊥CD 于点E ，设旗杆AB 的高度为x ，在Rt ABC ∆中，tan AB ACB AC ∠=，所以tan tan 60AB x AC x ACB ====∠︒，在Rt BDE ∆中，BE AC x ==，60BOE ∠=︒，tan BE BDE DE ∠=，所以1tan 3BE DE x BDE===∠，因为CE=AB=x ，所以163DC CE DE x x =-=-=，所以x=9，故旗杆的高度为9米. 7、（•常德）如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，∠C=45°，sinB=，AD=1．（1）求BC 的长；（2）求tan∠DAE 的值．BD=2sinB=，∴AB==3∴BD==2∴BC=BD+DC=2∴CE=BC=+，CD=﹣∴tan∠DAE==﹣8、（13年山东青岛、20）如图，马路的两边CF 、DE 互相平行，线段CD 为人行横道，马路两侧的A 、B 两点分别表示车站和超市。

初中数学关于角度的公式初中数学中关于角度的公式是几何学中的基础内容，对于理解图形和解决实际问题至关重要。

以下是关于角度的几个重要公式及其解释：一、角度的基本性质角度是两条射线、一条直线和一点共同构成的几何量。

角度通常用度（°）、弧度（rad）或梯度（grad）来衡量，其中最常用的是度数。

二、角的补角和余角1.补角两个角的度数之和为90°，则这两个角互为补角。

公式表示为：A + B = 90°。

2.余角两个角的度数之和为180°，则这两个角互为余角。

公式表示为：A + B = 180°。

三、三角形中的角度关系1.内角和定理任何三角形的三个内角之和等于180°。

即：A + B + C = 180°。

2.外角定理三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。

即：外角 = A + B（或B + C，或A + C）。

四、平行线和交替内角1.两直线平行如果两条直线被第三条直线所截，且同位角相等或内错角相等，则这两条直线平行。

即：如果 A = B 或 A = C，则两直线平行。

2.平行线的交替内角性质交替内角的和为180°。

即：A + B = 180° 和 C + D = 180°。

五、相似三角形中的角度关系1.对应角相等定理如果两个三角形是相似的，则它们的对应角相等。

即：在两个相似三角形中，如果对应的顶点连接，则连接线段的夹角相等。

2.相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例。

六、多边形中的角度关系1.多边形的内角和定理n边形的内角和等于（n-2）×180°。

即：A + B + C + … = (n-2) × 180°.2.多边形的外角和定理任意多边形的外角和等于360°。

即：外角A + B + C + … = 360°.七、角度的变换公式1.正弦、余弦、正切的定义正弦（sin）是直角三角形中对边与斜边的比值；余弦（cos）是直角三角形中邻边与斜边的比值；正切（tan）是直角三角形中邻边与对边的比值。

角的概念与角的计算在几何学中，角是指由两条射线或线段共同端点所形成的图形。

角的概念及其相关计算是学习几何学的基础知识之一，它们在解决形状、测量和定位问题时起着重要的作用。

在本文中，我们将深入探讨角的概念以及常用的角的计算方法。

一、角的概念角可以分为直角、锐角和钝角三种类型。

直角是一种特殊的角，它由两条垂直的线段构成，形成一个90度的角。

直角通常由一个小方块"⊥"来表示。

锐角是指小于90度的角，而钝角则是指大于90度但小于180度的角。

角的度量可以用度或弧度来表示。

度是指一个角所占的平面角度的1/360；弧度则是一种更为精确的度量方式，是指弧长等于半径的弧所夹的角所占的角度。

在角的计算中，我们通常会使用度作为单位。

二、角的计算方法1. 角的度量计算一个角的度量需要测量角度的大小。

在实际操作中，我们可以使用直角器或度规来测量角度。

直角器可以帮助我们快速测量出直角、锐角或钝角的大小，而度规可以用来测量更加复杂的角度。

2. 角的运算（1）角的加法：当两个角共享一个公共边时，我们可以通过将这两个角的度数相加来计算它们的和。

例如，角A的度数为60度，角B 的度数为30度，则角A和角B的和为60°+30°=90°。

（2）角的减法：如果我们要计算两个角的差，可以通过将两者的度数相减来实现。

例如，角C的度数为130度，角D的度数为80度，则角C和角D的差为130°-80°=50°。

3. 角的乘法在某些情况下，我们需要计算两个角的乘积。

这通常发生在三角函数的计算中。

为了实现这一目的，我们首先将两个角的度数相乘，然后根据需要转化为所需的度量单位。

例如，角X的度数为45度，角Y 的度数为60度，那么角X和角Y的乘积为45° * 60° = 2700°。

4. 角的平分角的平分是指将一个角划分为两个度数相等的角。

当我们需要计算角的平分时，可以使用以下公式：角的平分度数 = 原角的度数 / 2。

三角形的角的计算三角形是一个非常重要的几何形状，在各种数学和物理问题中都有广泛的应用。

在三角形中，角是指两条边之间的夹角。

在本文中，我们将介绍关于三角形角的计算方法。

一、三角形角和角度的定义在三角形ABC中，A、B、C分别表示三个顶点，a、b、c表示三个边，α、β、γ表示三个角。

根据角的定义，A对应的角就是α，B对应的角就是β，C对应的角就是γ。

为了方便计算，我们通常使用角度来度量角的大小。

角度是以弧度或度数表示的。

1周等于360度，也是2π弧度。

一直角等于90度，也是π/2弧度。

二、三角形角的计算公式1.如果我们已知三个边长a、b、c，则我们可以使用余弦定理来计算三个角α、β、γ的大小。

余弦定理（Cosine Rule）如下所示：c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosγa^2 = b^2 + c^2 - 2bccosαb^2 = a^2 + c^2 - 2accosβ通过以上三个公式，我们可以计算出三个角的余弦值，然后再通过反余弦函数得到对应的角度值。

2.如果我们已知两个边长a、b和它们夹角的正弦值，则我们可以使用正弦定理来计算第三个角的大小。

正弦定理（Sine Rule）如下所示：sinα/a = sinβ/b = sinγ/c通过以上公式，我们可以计算出第三个角的正弦值，然后再通过反正弦函数得到对应的角度值。

3.如果我们已知一个角α和与它相对的边a，以及另外两个边长b 和c，我们可以使用正弦定理或余弦定理来计算另外两个角的大小。

例如，已知角α和边a，则可以使用正弦定理来计算第二个角β的大小：sinβ/b = sinα/a4.如果我们已知一个角α和与它相对的边a，以及与这个角相邻的两个边b和c，我们可以使用余弦定理来计算另外两个角的大小。

例如，已知角α和边a，则可以使用余弦定理来计算第二个角β的大小：cosβ = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)5.如果我们已知两个角α和β，我们可以计算出第三个角γ的大小。

角的基本概念和角度的四则运算从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角，或者定义为一条射线绕着他的端点O，从开始位置OA旋转到另一位置OB，就形成了一个角，叫做角AOB。

角分为锐角(大于0°而小于90°)、直角、钝角(大于90°小于180°)、平角、周角。

一周角=2平角=4直角=360°例题1：一个锐角中画若干条射线，加上OA和OB共有n条射线，共有多少个锐角。

它和数线段有些类似，根据角的定义当n=2时共2条射线，锐角的个数：1当n=3时共3条射线，锐角的个数：1+2当n=4时共4条射线，锐角的个数：1+2+3当n=5时共5条射线，锐角的个数：1+2+3+4以此类推，共n条射线时锐角的个数是n(n-1)/2或者根据角的定义，以O为端点的两条射线确定一个锐角。

那么共有n条射线，根据乘法原理或排列组合，也可以计算出共有n(n-1)/2个锐角。

角度的四则运算角的大小一般用度、分、秒来表示。

数学中表示角度的度、分、秒分别使用°、′、″符号进行表示。

度与分，分与秒之间一律采用六十进制。

即1°=60′；1′=60″例如0.15°=0.15×60′=9′15″=15÷60′=0.25′注意只是度、分、秒之间采用六十进制。

其它的数字还是十进制，不要混淆！下面看一下角度加减乘除的运算。

加法：满60进一，例如30′+ 31′= 61′=1°1′减法：前面借1当60，例如1′19″-20″= 79″-20″= 59″乘法：满60进一(计算顺序和普通乘法一样从右往左)，例如7′50″× 850″× 8 = 400″= 6′40″(400进6余40)7′× 8 = 56′7′50″× 8 = 56′+ 6′40″= 1°2′40″除法：前面余1当60，(计算顺序和普通除法一样从左往右)，例如12′20″÷512′÷5 = 2′余2′（即120″）(120″+ 20″)÷5 = 28″所以12′20″÷5 = 2′28″刚接触的时候如果觉得不好理解，可以参照时间的换算：时，分，秒(它们之间也是60进制)。

数学的角知识点总结一、角的基本概念1. 角的定义角是由两条射线共同端点组成的图形。

通常我们用大写字母A、B、C等表示角的端点，用小写字母a、b、c等表示角的顶点。

2. 角的度量角的度量通常以度或弧度为单位。

一度等于π/180弧度，一弧度等于180/π度。

3. 角的分类角可以按照其大小和位置来进行分类。

按照大小来说，角可以分为锐角、直角、钝角和平角。

按照位置来说，角可以分为内角、外角、顶角等。

二、角的性质和运算1. 角的性质①相邻角：指两个角的公共顶点在一条直线上，且互不重叠的两个角。

②互补角：指两个角的和为90度。

③补角：指两个角互为补角。

④余角：指两个角的差为90度。

即一个角的余角就是它的补角。

2. 角的运算角可以进行加法、减法、乘法和除法运算。

三、角的三角函数1. 正弦函数在直角三角形中，对于任意一个角θ，我们可以定义其正弦函数为：sin(θ) = 对边/斜边。

2. 余弦函数在直角三角形中，对于任意一个角θ，我们可以定义其余弦函数为：cos(θ) = 邻边/斜边。

3. 正切函数在直角三角形中，对于任意一个角θ，我们可以定义其正切函数为：tan(θ) = 对边/邻边。

4. 三角函数的性质和公式①同角三角函数的基本关系式：sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1；1 + tan^2(θ) = sec^2(θ)；1 +cot^2(θ) = csc^2(θ)。

②同角三角函数的和差公式：sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ；cos(α±β) = cosαcosβ ∓sinαsinβ。

四、角的倍角、半角和同角变换1. 倍角公式sin(2θ) = 2sinθcosθ；cos(2θ) = cos^2(θ) - sin^2(θ) = 2cos^2(θ) - 1 = 1 - 2sin^2(θ)；tan(2θ) = 2tanθ/(1 - tan^2(θ))。

2020年数学中考复习专题：解直角三角形的应用（常考类型）一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．某商场为了方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图所示，已知原阶梯式扶梯AB长为10m，坡角∠ABD＝30°；改造后斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB＝9°，请计算改造后的斜坡AC的长度，（结果精确到0.01）【sin9°≈0.156，cos9°≈0.988，tan9°≈0.158】2．为了增强体质，小明计划晚间骑自行车调练，他在自行车上安装了夜行灯．如图，夜行灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为10°和14°，该夜行灯照亮地面的宽度BC长为米，求该夜行灯距离地面的高度AN的长．（参考数据：）3．太阳能热水器的玻璃吸热管与太阳光线垂直时，吸收太阳能的效果最佳．如图，某户根据本地区冬至时刻太阳光线与地面水平线的夹角（θ）确定玻璃吸热管的倾斜角（太阳光与玻璃吸热管垂直）．已知：支架CF＝100cm，CD＝20cm，FE⊥AD于E，若θ＝37°，求EF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈）4．公园内一凉亭，凉亭顶部是一圆锥形的顶盖，立柱垂直于地面，在凉亭内中央位置有一圆形石桌，某数学研究性学习小组，将此凉亭作为研究对象，并绘制截面示意图，其中顶盖母线AB与AC的夹角为124°，凉亭顶盖边缘B、C到地面的距离为2.4米，石桌的高度DE为0.6米，经观测发现：当太阳光线与地面的夹角为42°时，恰好能够照到石桌的中央E处（A、E、D三点在一条直线上），请你求出圆锥形顶盖母线AB的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin62°≈0.88，tan42°≈0.90）5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1：；将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1：4．求斜坡CD的长．（结果保留根号）6．汛期即将来临，为保证市民的生命和财产安全，市政府决定对一段长200米且横断面为梯形的大坝用土石进行加固．如图，加固前大坝背水坡坡面从A至B共有30级阶梯，平均每级阶梯高30cm，斜坡AB的坡度i＝1：1；加固后，坝顶宽度增加2米，斜坡EF的坡度i＝1：，问工程完工后，共需土石多少立方米？（计算土石方时忽略阶梯，结果保留根号）7．如图是某市一座人行天桥的示意图，天桥离地面的高BC是10米，坡面AC的倾斜角∠CAB＝45°，在距A点10米处有一建筑物HQ．为了方便行人推车过天桥，市政府部门决定降低坡度，使新坡面DC的倾斜角∠BDC＝30°，若新坡面下D处与建筑物之间需留下至少3米宽的人行道，问该建筑物是否需要拆除？（计算最后结果保留一位小数）．（参考数据：＝1.414，＝1.732）二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．如图，某地有甲、乙两栋建筑物，小明于乙楼楼顶A点处看甲楼楼底D点处的俯角为45°，走到乙楼B点处看甲楼楼顶E点处的俯角为60°，已知AB＝6m，DE＝10m．求乙楼的高度AC的长．（参考数据：≈1.41，≈1.73，精确到0.1m．）9．水城门位于淀浦河和漕港河三叉口，是环城水系公园淀浦河梦蝶岛区域重要的标志性景观．在课外实践活动中，某校九年级数学兴趣小组决定测量该水城门的高．他们的操作方法如下：如图，先在D处测得点A的仰角为20°，再往水城门的方向前进13米至C处，测得点A的仰角为31°（点D、C、B在一直线上），求该水城门AB的高．（精确到0.1米）（参考数据：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60）10．某校九年级数学兴趣小组的学生进行社会实践活动时，想利用所学的解直角三角形的知识测量教学楼的高度，他们先在点D处用测角仪测得楼顶M的仰角为30°，再沿DF方向前行40米到达点E处，在点E处测得楼项M的仰角为45°，已知测角仪的高AD为1.5米．请根据他们的测量数据求此楼MF的高．（结果精到0.1m，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.449）11．国庆期间，小明和爸爸妈妈去开元寺参观，对东西塔这对中国现存最高也是最大的石塔赞叹不已，也对石塔的高度产生了浓厚的兴趣．小明进行了以下的测量：他到与西塔距离26米的一栋大楼处，在楼底A处测得塔顶B的仰角为60°，再到楼顶C处测得塔顶B的仰角为30°．那么你能帮小明计算西塔BD和大楼AC的高度吗？12．如图，学校教学楼上悬挂一块长为3m的标语牌，即CD＝3m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小明在E 处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？若能，请计算；若不能，请说明理由（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内）（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86）13．某地为打造宜游环境，对旅游道路进行改造．如图是风景秀美的观景山，从山脚B到山腰D沿斜坡已建成步行道，为方便游客登顶观景，欲从D到A修建电动扶梯，经测量，山高AC＝154米，步行道BD＝168米，∠DBC＝30°，在D处测得山顶A的仰角为45°．求电动扶梯DA的长（结果保留根号）．14．我国于2019年6月5日首次完成运载火箭海上发射，这标志着我国火箭发射技术达到了一个崭新的高度．如图，运载火箭从海面发射站点M处垂直海面发射，当火箭到达点A处时，海岸边N处的雷达站测得点N到点A的距离为8千米，仰角为30°．火箭继续直线上升到达点B处，此时海岸边N处的雷达测得B处的仰角增加15°，求此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离．（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）三、解直角三角形的应用：方向角问题15．如图，A，B两市相距150km，国家级风景区中心C位于A市北偏东60°方向上，位于B市北偏西45°方向上．已知风景区是以点C为圆心、50km为半径的圆形区域．为了促进旅游经济发展，有关部门计划修建连接A，B两市的高速公路，高速公路AB是否穿过风景区？通过计算加以说明．（参考数据：≈1.73）16．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB＝10km．（1）求景点B与C的距离；（2）求景点A与C的距离．（结果保留根号）17．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏东70°方向上，轮船从A处以每小时30海里的速度沿南偏东50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时观测灯塔C位于北偏东25°方向上，求灯塔C与码头B之间的距离（结果保留根号）．18．如图为某海域示意图，其中灯塔D的正东方向有一岛屿C．一艘快艇以每小时20nmile 的速度向正东方向航行，到达A处时得灯塔D在东北方向上，继续航行0.3h，到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上，同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上，此时快艇与岛屿C的距离是多少？（结果精确到1nmile．参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45）19．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为25海里．在某时刻，哨所A 与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上，位于哨所B 南偏东37°的方向上．（1）求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离；（2）若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截，求缉私艇的速度为多少时，恰好在D处成功拦截．（结果保留根号）（参考数据：sin37°＝cos53°≈，cos37°＝sin53°≈，tan37°≈，tan76°≈4）20．某海域有A，B，C三艘船正在捕鱼作业，A船突然出现故障，向B，C两船发出紧急求救信号，此时C船位于B船的北偏西81°方向，距B船36海里的海域，A船位于B船的北偏东24°方向，同时又位于C船的北偏东69°方向．（1）求∠ACB的度数；（2）B船以每小时30海里的速度前去救援，问多长时间能到出事地点（结果精确到0.01小时．参考数据：≈1.414，≈1.732）．21．如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，丙地位于乙地北偏东66°方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点A、B、C，可抽象成图（2）所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长AB（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．参考答案一、解直角三角形的应用：坡度坡角问题1．【解答】解：在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，AB＝10m，∴AD＝AB sin∠ABD＝10×sin30°＝5（m），在Rt△ACD中，∠ACD＝9°，sin9°＝，∴AC＝＝≈32.05（m），答：改造后的斜坡AC的长度为32.05米．2．【解答】解：解：过点A作AD⊥MN于点D，在Rt△ADB与Rt△ACD中，由锐角三角函数的定义可知：tan10°＝＝＝，tan14°＝＝，故4AD＝DC，则＝，解得：AD＝1，答：该夜行灯距离地面的高度AN的长为1m．3．【解答】解：地面水平线与吸热管夹角∠1与θ互余，延长ED交BC的延长线于点H，则∠H＝θ＝37°，在Rt△CDH中，HC＝，∴HF＝HC+CF＝+CF，在Rt△EFM中，EF＝（+CF）•sin37°≈＝76答：EF的长为76cm．4．【解答】解：如图，连接BC、AE，交于点O，则AE⊥BC．由题意，可知OE＝2.4﹣0.6＝1.8，∠OBE＝42°，∠BAO＝∠BAC＝62°．在Rt△OBD中，∵tan∠OBE＝，∴OB＝≈＝2．在Rt△OAB中，∵sin∠OAB＝，∴AB＝≈≈2.3（m）．答：圆锥形顶盖母线AB的长度约为2.3米．5．【解答】解：∵∠AEB＝90°，AB＝200，坡度为1：，∴tan∠ABE＝，∴∠ABE＝30°，∴AE＝AB＝100，∵AC＝20，∴CE＝80，∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1：4，∴，即，解得，ED＝320，∴CD＝＝米，答：斜坡CD的长是米．6．【解答】解：过A作AH⊥BC于H，过E作EG⊥BC于G，则四边形EGHA是矩形，∴EG＝AH，GH＝AE＝2，∵斜坡AB的坡度i＝1：1，∴AH＝BH＝30×30＝900cm＝9米，∴BG＝BH﹣HG＝7，∵斜坡EF的坡度i＝1：，∴FG＝9，∴BF＝FG﹣BG＝9﹣7，∴S梯形ABFE＝（2+9﹣7）×9＝，∴共需土石为×200＝900（9﹣5）立方米．7．【解答】解：由题意知，AH＝10米，BC＝10米，在Rt△ABC中，∵∠CAB＝45°，∴AB＝BC＝10米在Rt△DBC中，∵∠CDB＝30°，∴DB＝＝10（米）∵DH＝AH﹣DA＝AH﹣（DB﹣AB）＝10﹣10+10＝20﹣10≈2.7（米）∴建筑物需要拆除．二、解直角三角形的应用：仰角俯角问题8．【解答】解：如图，过点E作EF⊥AC于F，则四边形CDEF为矩形，∴EF＝CD，CF＝DE＝10，设AC＝xm，则CD＝EF＝xm，BF＝（x﹣16）m，在Rt△BEF中，∠EBF＝60°，tan∠EBF＝，∴＝，∴x＝24+8≈37.8m答：乙楼的高度AC的长约为37.8m．9．【解答】解：由题意得，∠ABD＝90°，∠D＝20°，∠ACB＝31°，CD＝13，在Rt△ABD中，∵tan∠D＝，∴BD＝＝，在Rt△ABC中，∵tan∠ACB＝，∴BC＝＝，∵CD＝BD﹣BC，∴13＝，解得AB≈11.7米．答：水城门AB的高为11.7米．10．【解答】解：设MC＝x，∵∠MAC＝30°，∴在Rt△MAC中，AC＝＝＝x．∵∠MBC＝45°，∴在Rt△MCB中，MC＝BC＝x，又∵AB＝DE＝40，∴AC﹣BC＝AB＝40，即x﹣x＝40，解得：x＝20+20≈54.6，∴MF＝MC+CF＝54.6+1.5＝56.1（米），答：楼MF的高56.1米．11．【解答】解：作CE⊥BD于E，则四边形ACED为矩形，∴CE＝AD＝26，AC＝DE，在Rt△BAD中，tan∠BAD＝，则BD＝AD•tan∠BAD＝26，在Rt△BCE中，tan∠BCE＝，则BE＝CE•tan∠BCE＝，∴AC＝DE＝BD﹣BE＝，答：西塔BD的高度为26米，大楼AC的高度为米．12．【解答】解：能，理由如下：延长EF交CH于N，则∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，则NF＝CN＝（x+3）m，∴EN＝5+（x+3）＝x+8，在Rt△DEN中，tan∠DEN＝，则DN＝EN•tan∠DEN，∴x≈0.6（x+8），解得，x＝12，则DH＝DN+NH＝12+1.2＝13.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为13.2m．13．【解答】解：作DE⊥BC于E，则四边形DECF为矩形，∴FC＝DE，DF＝EC，在Rt△DBE中，∠DBC＝30°，∴DE＝BD＝84，∴FC＝DE＝84，∴AF＝AC﹣FC＝154﹣84＝70，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，∴AD＝AF＝70（米），答：电动扶梯DA的长为70米．14．【解答】解：如图所示：连接MN，由题意可得：∠AMN＝90°，∠ANM＝30°，∠BNM ＝45°，AN＝8km，在直角△AMN中，MN＝AN•cos30°＝8×＝4（km）．在直角△BMN中，BM＝MN•tan45°＝4km≈6.9km．答：此时火箭所在点B处与发射站点M处的距离约为6.9km．三、解直角三角形的应用：方向角问题15．【解答】解：高速公路AB不穿过风景区．过点C作CH⊥AB于点H，如图所示．根据题意，得：∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，在Rt△CHB中，∵tan∠CBH＝＝1，∴CH＝BH．设BH＝tkm，则CH＝tkm，在Rt△CAH中，∵tan∠CAH＝＝，∴AH＝tkm．∵AB＝150km，∴t+t＝150，∴t＝75﹣75≈75×1.73﹣75＝54.75．∵54.75＞50，∴高速公路AB不穿过风景区．16．【解答】解：（1）过点C作CD⊥直线l，垂足为D，如图所示．根据题意，得：∠CAD＝30°，∠CBD＝60°．设CD＝xkm．在Rt△ACD中，cot∠CAD＝＝，∴AD＝xkm；在Rt△BCD中，cot∠CBD＝＝，sin∠CBD＝＝，∴BD＝xkm，BC＝xkm．∴AB＝AD﹣BD＝x＝10，∴x＝5，∴BC＝x＝10km．（2）在Rt△ACD中，sin∠CAD＝＝，∴AC＝2CD＝10km．17．【解答】解：过点B作BD⊥AC，交AC于点D由题意知，AB＝30海里，∠DAB＝60°，∠ABC＝50°+25°＝75°，∴∠C＝45°在Rt△ABD中，∵sin∠DAB＝，∴sin60°＝∴BD＝海里在Rt△BCD中，∵sin∠C＝，∴sin45°＝∴BC＝海里答：灯塔C与码头B之间的距离为海里．18．【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥AB于点F，如图所示．则DE∥CF，∠DEA＝∠CF A＝90°．∵DC∥EF，∴四边形CDEF为平行四边形．又∵∠CFE＝90°，∴▱CDEF为矩形，∴CF＝DE．根据题意，得：∠DAB＝45°，∠DBE＝60°，∠CBF＝45°．设DE＝x（nmile），在Rt△DEA中，∵tan∠DAB＝，∴AE＝＝x（nmile）．在Rt△DEB中，∵tan∠DBE＝，∴BE＝＝x（nmile）．∵AB＝20×0.3＝6（nmile），AE﹣BE＝AB，∴x﹣x＝6，解得：x＝9+3，∴CF＝DE＝（9+3）nmile．在Rt△CBF中，sin∠CBF＝，∴BC＝＝＝9+3≈20（nmile）．答：此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile．19．【解答】解：（1）在△ABC中，∠ACB＝180°﹣∠B﹣∠BAC＝180°﹣37°﹣53°＝90°．在Rt△ABC中，sin B＝，∴AC＝AB•sin37°＝25×＝15（海里）．答：观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里；（2）过点C作CM⊥AB于点M，由题意易知，D、C、M在一条直线上．在Rt△AMC中，CM＝AC•sin∠CAM＝15×＝12，AM＝AC•cos∠CAM＝15×＝9．在Rt△AMD中，tan∠DAM＝，∴DM＝AM•tan76°＝9×4＝36，∴AD＝＝＝9，CD＝DM﹣CM＝36﹣12＝24．设缉私艇的速度为x海里/小时，则有＝，解得x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．答：当缉私艇的速度为6海里/小时时，恰好在D处成功拦截．20．【解答】解：（1）∵BD∥CE，∴∠DBC+∠ECB＝180°，∴∠ECB＝180°﹣81°＝99°，∴∠ACB＝99°﹣69°＝30°；（2）如图，作BH⊥AC，垂足为H．在△ABC中，∠CAB＝180°﹣81°﹣24°﹣30°＝45°．∵∠ACB＝30°，∴在Rt△BCH中，BH＝BC＝18，∵在Rt△ABH中，sin∠CAB＝，∴AB＝＝＝18．则B船到A船出事地点的时间是：≈≈0.85（小时）．答：B船约0.85小时能到达A船出事地点．21．【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，∵丙地位于甲地北偏西30°方向，距离甲地460km，．在Rt△ACD中，∠ACD＝30°，∴AD＝AC＝230km．CD＝AC＝230km．∵丙地位于乙地北偏东66°方向，在Rt△BDC中，∠CBD＝24°，∴BD＝＝（km）．∴AB＝BD+AD＝230+（km）．答：公路AB的长为（230+）km．。

线段与角考点图解技法透析1．与直线、射线、线段有关的知识(1)直线：①直线的概念，一根拉得很紧的线，给我们以直线的形象，直线是直的，并且是向两方无限延伸的．②直线的表示方法：如图记作“直线AB”或“直线BA”；l记作“直线l”．③直线的性质：过两点有且只有一条直线，即：两点确定一条直线．(2)射线：①射线的概念，直线上一点和它一旁的部分叫射线，这一点叫射线的端点．射线向一方无限延伸．②射线的表示方法：如图记作“射线AB”；l记作射线l，注意必须把表示端点的字母写在前面．(3)线段：①线段的概念：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，这两个点叫做线段的端点，线段不延伸．②线段的表示方法：如图记求“线段AB”或“线段BA”或“线段a”．③线段的性质：两点的所有连线中，线段最短．即两点之间，线段最短．(4)直线、射线、线段的区别与联系．①联系：直线、射线都可以看作是线段无限延伸得到的；反过来，射线和线段都是直线的一部分，线段可以看作是直线上两点及这两点间的部分，射线可以看作是直线上一点及其一旁的部分．②区别：如下表(5)线段的画法：①用直尺可以画出以A、B为端点的线段，画时不能向任何一方延伸．②“连接AB”的意义就是画出以A、B为端点的线段．③线段的延长线，如图，延长AB是指按由A向B的方向延长．延长BA是指按由B向A的方向延长．(也可说反向延长AB)(6)线段的比较①度量法：测量线段的长度后比较大小，②叠合法：用圆规把一条线段移到另一条线段上比较大小．(7)画一条线段等于已知线段，如：已知线段a，画一条线段AB＝a，有两种画法：①先画射线AC，再在射线AC上截取AB＝a．②先测量线段a的长度、再画一条等于这个长度的线段AB即可．(8)线段的中点及等分点的概念①如图①点O把线段AB分成相等的两条线段，AO与OB，点O叫线段AB的中点，显然有AO＝OB＝12AB（或AB＝2AO＝2OB）②如图②点O1，O2把线段AB分成相等的三条线段AO1＝O1O2＝O2B，则点O1，O2叫做线段AB的三等分点，显然有：AO1＝O1O2＝O2B＝13AB(或AB＝3AO，＝3O1O2＝3O2B)③如图③，点O1，O2，O3把线段AB分成相等的四条线段，则点O1，O2，O3叫做线段AB的四等分点，显然有：AO1＝O1O2＝O2O3＝O3B＝14AB(或AB＝4AO1＝4O1O2＝4O2O3＝4O3B)(9)两点间的距离：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．2．与角有关的知识(1)角的概念：角既可以看成有公共端点的两条射线组成的图形，又可以看成是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所组成的图形．(2)角的四种表示方法：①一般可以用三个大写字母表示，且表示顶点的字母必须写在中间．如图①，记作∠AOB（或∠BOA）；②当角的顶点处只有一个角时，可以用角的顶点字母来表示这个角，如图①可记作∠O；③可以用一个小写希腊字母（如α、β、γ等）表示，如图②∠BOC记作∠a；④用一个阿拉伯数字表示如图②∠AOC记作∠1．(3)特殊角及角的分类：①平角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置在同一条直线上时所成的角．②周角：一条射线绕着它的端点旋转，当转到与起始位置重合时所成的角．③直角：等于90°的角叫直角．④锐角：小于直角的角叫锐角．⑤钝角：大于直角而小于平角的角叫钝角．(4)角度制及角的画法：①角度制：以度、分，秒为单位的角的度量制，1°＝60'，1'＝60"．②借助三角尺和量角器画角．(5)角的和、差、倍、分的关系①每的和、差，如图所示：∠AOC＝∠AOB＋∠BOC，∠AOB＝∠AOC－∠BOC②角的倍、分：角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，如图所示，若∠1＝∠2，则OC是∠AOB的平分线，此时有∠1＝∠2＝12∠AOB（或∠AOB＝2∠1＝2∠2）．同理，还有角的三等分线、四等分线……等．(6)余角和补角：①定义：如果两个角的和等于90°，那么这两个角互为余角；如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．②性质：同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的补角相等(7)方位角：方位角是表示方向的角．具体表示时．是南（或北）在先，再说偏东（或偏西）3．钟表上有关角的问题(1)钟表上，相邻两个数字之间有5个小格，每个小格表示1分钟，如果与角度联系起来，每一小格对应6°；(2)秒针每分钟转过360°，分钟每分钟转过6°，时针每分钟转过0.5°．(3)时针与分针成一直线必须成180°的角，两针重合必须成0°的角，名题精讲考点1例1 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为_______个，最多为_______个．【切题技巧】可以通过画图来探求，先从简单情形、特殊情形考虑，再进行归纳，得出结论．①当平面内两两相交的6条直线相交于一点，此时交点的个数最少为1个，②当平面内两两相交的5条直线相交于一点，第6条直线与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋5＝6个，③当平面内两两相交的4条直线相交于一点，第5条直线与前面的4条直线都相交，第6条直线再与前面的5条直线都相交，此时交点的个数为1＋4＋5＝10个……，因此为使平面内两两相交的直线的交点个数最多，则要使任意两直线相交都产生新的交点，即任意两条直线相交都确定一个交点，且任意三条直线都不过同一点，于是可得交点数最多为：1＋2＋3＋4＋5＝()1552+⨯＝15(个)【规范解答】分别填1个，15个．(1)本例可进行如下推广：若平面内有两两相交的n条直线，其交点最少为1个，最多为1＋2＋3＋…＋（n＋1）＝12n（n－1）个交点；(2)一般地，平面内n条直线两两相交，且任意三条直线都不共点，那么这些直线将平面分成12（n＋1）n＋1个互不重叠的部分．(3)－般地，如果一条直线上有n个点，那么这条直线上的不同线段的条数为（n－1）＋（n－2）＋…＋2＋1＝12n（n－1）条；共有2n条不同的射线．【同类拓展】1．如图，数一数图中共有多少条不同的线段，多少条不同的射线？考点2线段长度的计算例2 如图C、D、E将线段AB分成2：3：4：5四部分，M、P、Q、N分别是AC、CD、DE、EB的中点，且MN＝42，求PQ的长．【切题技巧】先根据比例把AC、CD、DE、EB用含x的代数式表示，再利用线段的和差及线段的中点的意义可得到相应的方程，从而求得PQ的长．【规范解答】∴【借题发挥】几何问题本身是研究图形的性质和数量关系，准确地画出图形，能使问题中各个量之间的关系直观化．本题的分析要着眼于找出未知线段的联系，使未知向已知转化，求线段的长度要充分利用线段的和差与线段的中点、等分点的意义，其解题方法与途径不是唯一的，需要我们根据题意灵活运用不同方法解决实际问题．【同类拓展】2．已知三条线段a、b、c在同一条直线上，他们有共同的起点，a的终点是b的中点，c的中点是b的终点，且a＋b＋c＝7cm，求a、b、c的长．考点3角的个数及角的度数的计算例3 如图已知OA、OC是∠AOD内部的两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD．(1)若∠AOD＝70°，∠MON＝50°求∠BOC的大小；(2)若∠AOD＝α；∠MON＝β，求∠BOC的大小（用含α、β的式子表示）．利用角的平分线性质，角的和、差之间的转化，先找出∠AOD，∠MON与∠BOC之间的数量关系，为方便角的表示，可用含α、β的式子表示所求的角，也可设未知数，把几何问题代数化，通过整体变形、列方程，从而确定出角的大小．【规范解答】【借题发挥】(1)对于求角的度数的计算，通常有两种思路：一是根据各个量之间的关系，用已知量来表示未知量，直接求未知量；二是通过设辅助未知数，把几何问题代数化，根据图形中角的相等关系列方程或方程组，从而求解，应注意挖掘题目中的隐含的条件，适当转换．(2)一般地，同一平面内，在平角∠AOB的内部引以O为端点的（n－1）条射线，则图中共有：n＋（n－1）＋（n－2）＋…＋3＋2＋1＝12n（n＋1）个小于平角的角．【同类拓展】3．如图，∠AOB＝100°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，则∠MON＝_______．考点4钟表上有关的角度问题例4 时钟在下午4点至5点的什么时刻：(1)分针和时针重合？(2)分针和时针成一条直线？(3)分针和时针成45°角？【切题技巧】4点整时针已转过4大格，每大格30°，这时可看成时针在分针前面120°，若设所需时间为x分钟，则有6x－12x的值等于1200时，两针就重合；当时针与分针之间的角度为1200＋180°时两针成一条直线；当时针与分针之间的角度差等于120°－45°（时针在前）或120°＋45°（分针在前）时，两针成45°角．【规范解答】【借题发挥】钟表上时针和分钟问题实质是数学中的追及问题，钟面上有12大格，60小格，每个大格为30°的角，每个小格为6°的角．如果把单位时间内，分针和时针转过的度数当作是它们的“速度”，那么分针的速度为6°／分，时针的速度为0.5°／分，因此，分针速度是时针速度的12倍．在时针与分针的转动过程中，总是分针追及时针，然后超过时针又转化为追及时针，【同类拓展】4．王老师在活动课上为学生们讲数学故事，他发现故事开始时挂钟上的时针和分针恰好成90°角，这时是7点多；故事结束时两针恰好也是90°角，这时是8点多，他还发现，讲故事中，两针成90°角的有趣图形还出现过一次，求王老师讲故事所花的时间多少分？考点5与线段有关的实际问题例5摄制组从A市到B市有1天的路程，计划上午比下午多走100千米到C市吃中饭，由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了400千米，傍晚才停下来休息．司机说，再走从C市到这里路程的二分之一就到达目的地了，问A、B两市相距多少千米？【切题技巧】题目中所给条件只有路程，而没有给出时间与速度，所以可以画出线段表示各段路程，借助图形，思考它们之间的数量关系，从而利用形数结合思想解决问题．【规范解答】如图，设小镇为D，傍晚汽车E处休息，令AD＝x，则AC＝3x，DE＝400，CE＝400－2x ED＝12(400－2x)＝200－x，于是有：AB＝AC＋CE＋EB＝3x＋400－2x＋200－x＝600(km)答：A、B两市相距600千米，【借题发挥】利用“线段图”将实际问题转化为几何问题，借助图形，利用“形数结合”思想解决实际问题是数学竞赛中的常用方法，如：A、B、C、D、E、F六支足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出A、B、C、D、E五队已分别比赛了5、4、3、2、1场球，则还没有与B队比赛的球队是哪支队？此题用算术或代数方法求解容易陷入困境，此时可考虑用6个点表示A、B、C、D、E、F 这6支足球队，若两队已赛过一场、就在相应的两个点之间连一条线，这样用“线段图”来辅助解题，形象直观，如图所示，则还没有与B队比赛的球队是E队．【同类拓展】5．某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30个，B区有15人，C区有10人，三个区在同一条直线上．位置如图所示，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在( )A．A区B．B区C．C区D．A、B两区之间参考答案1．(1)21(条)(2)14(条) 2．1cm，2cm，4cm．3．50°4．1小时零5511分钟．5．A。

钟面上时针与分针之间夹角的计算公式与应用(初一)钟面上时针与分针之间夹角的计算在新课标教材七年级数学习题中常常出现。

我们在教学过程中按探究性教学模式进行教学设计，将钟面角计算转化为钟表行程问题，让同学们通过类似于科学研究的方式“做数学”得到了计算钟面角的公式，使这一问题的解决方法更具一般性和更易于操作。

下面是我们关于《钟面角计算》的探究性教学过程：教材背景：学习了角的画法，会画一个角等于已知角，会画角的和、差、倍。

创设情景1：如图1，时钟在12点20分时分针、时针成多少度的角？图1 图2分析引导：从图1中抽象出几何图形如图2，时钟在12点时分针与时针重合，设为射线OA ，分针、时针绕O 点旋转，时钟在12点20分时，时针旋转到OB ，分针旋转到OC ，此时分针与时针的夹角：∠COB = ∠COA －∠BOA 。

时针的速度V 时针 = 0.5°／分，分针的速度V 分针 = 6°／分，时间t 时针= t 分针=20分，而路程=速度×时间，所以若将分针与时针之间的夹角看作是分针与时针的距离，则：∠COA = V 分针×t 分针∠BOA = V 时针 ×t 时针∠COB = V 分针×t 分针 － V 时针 ×t 时针解：设12点20分时分针、时针所成角为αα = V 分针× t 分针 － V 时针 × t 时针= 6°／分×20分－0.5°／分×20分= 5.5°创设情景2：如图3，时钟在4点10分时分针、时针成多少度的角？图3 图4 同学们很快就画出了图4，找到等量关系：∠COB = ∠BOA －∠COA解：时钟在4点10分时分针、时针所成角为αA OBC A CBα = V时针×t时针－V分针×t分针= 0.5°／分×（4×60分＋10分）－6°／分×10分= 65°创设情景3：时钟在m点n分时分针、时针成多少度的角？经过同学们的热烈讨论，找到了计算时钟在m点n分时分针、时针夹角α的公式：α =∣V时针×t时针－V分针×t分针∣=∣0.5°／分×（m×60分＋n分）－6°／分×n分∣=∣30°×m ＋0.5°×n－6°×n∣=∣30°×m －5.5°×n∣同学们探究得到这一公式后，所有钟面角计算问题就变的十分容易了。

七年级上学期第四章：角的计算方法总结归纳1、七年级上学期数学第四章：几何图形中角的计算基本理解问题一：图中有几个角？答：三个，∠BAC，∠CAD，∠BAD问题二：这三个角之间有什么联系？答：∠BAC+∠CAD=∠BAD，∠BAD−∠BAC=∠CAD∠BAD−∠CAD=∠BAC∠BAD 问题三：如果射线AC是∠BAD的角平分线，那么∠BAC=∠CAD =12问题四：如果∠BAC：∠CAD=2:3，∠BAD=500，求其他的角解：设∠BAC的度数为2x,则∠CAD的度数为3x2x+3x=50解得x=10则∠BAC=2x=200, ∠CAD=3x=3002、角的计算①直接计算典型例题1、如图，已知∠AOB=90°，∠EOF=60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠COB和∠AOC的度数．解：因为∠AOB=90°，OE平分∠AOB所以∠BOE=12∠AOB=450因为∠EOF=60°所以∠BOF=∠EOF−∠BOE=150因为OE平分∠AOB所以∠COB=2∠BOF=300所以∠AOC=∠AOB+∠COB=1200分析：正推：将题目所给的条件联系起来，通过一个条件（已知）或者两个条件（已知）联合可以推出哪些（未知），最后联系已知和推出来的未知联合在一起，看能否得出结论。

反推：又或者倒推题目，要求出所求的问题，求出知道哪些，进而求出这些所需要的条件是什么，再看看题目已经知道的条件是什么，还需要什么变式训练：1、如下图所示，已知∠AOC=∠BOD=800,∠BOC=350，求∠AOD的度数O DCBA2、O是直线上一点，OC是任一条射线，OD、OF分别是∠AOC和∠BOC的平分线。

（1）请你直接写出图中∠BOD的补角，∠BOE的余角。

（2）当∠BOF=25°时，试求∠DFE和∠AOD的度数分别是多少。

3、如图,O为直线AB上一点,∠AOC＝50°,OD平分∠AOC,∠DOE＝90°(1)请你数一数, 图中有_______个小于平角的角；(2)求出∠BOD的度数；(3)请通过计算说明OE是否平分∠BOC.②方程的思想典型例题1、如图，O是直线AB上一点，∠AOC=∠BOD，射线OE 平分∠BOC，∠EOD=42°，求∠EOC的大小．解：设∠AOC的度数为x度，则∠BOD的度数也是x度因为∠EOD=42°所以∠BOE=x+420因为射线OE平分∠BOC∠EOC=∠BOE=x+420则x+x+42+x+42=180解得：x=320∠EOC=x+420=740分析：一般用方程思想的题目，给出的角的度数比较少，角与角之间的关系比较多。

认识角和相似的关系及计算方法在数学中，角是一个重要的概念。

人们通过对角的认识和理解，可以更好地掌握几何学和三角学的基本原理。

本文将介绍认识角和相似的关系，并讨论角的计算方法。

一、认识角1. 角的定义角是由两条射线共享一个公共端点而形成的图形。

这个公共端点被称为角的顶点，两条射线则分别被称为角的边。

例如图1所示：【插入图1】2. 角的分类根据角的大小，可以将角分为以下三类：- 锐角：角的大小小于90度；- 直角：角的大小等于90度；- 钝角：角的大小大于90度。

二、角和相似的关系1. 直角的相似角直角是一个特殊的角，它和任何其他角都不相似。

这是因为直角的大小是固定的，即90度。

2. 锐角和钝角的相似角对于两个锐角或两个钝角，它们的相似角大小相等。

这是因为它们的两条边之间的夹角关系是相同的。

【插入图2】三、角的计算方法1. 角的度量单位角的度量单位主要有两种：度（°）和弧度（rad）。

度是最常见的角度单位，360度等于一个圆周。

弧度则是另一种角度单位，用于在数学和物理学中进行角度计算。

2. 角的计算公式计算角的大小通常使用三角函数来实现。

以下是一些常用的角计算公式：- 正弦定理：sin(A) = 边1 / 斜边；- 余弦定理：cos(A) = 边2 / 斜边；- 正切定理：tan(A) = 边1 / 边2。

这些公式可以帮助我们计算任何角的大小，以及角的各边之间的关系。

四、总结通过以上内容，我们了解了角和相似的关系，以及角的计算方法。

角是数学和几何学中重要的概念，通过深入理解角的特点和相似性，我们可以更好地应用数学和几何学原理解决实际问题。

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角的分类与计算角是几何学中的重要概念之一，广泛应用于数学、物理等学科。

本文将介绍角的分类和计算方法，为读者深入理解和应用角的概念提供帮助。

一、角的基本概念角是由两条有公共端点的线段所形成的图形，其中公共端点称为角的顶点，两条线段称为角的边。

角的大小可以通过边和边之间的夹角来衡量，单位通常为度或弧度。

二、角的分类根据角的大小，可以将角分为以下几类：1. 零角：两条边在同一直线上，夹角为0度。

2. 直角：两条边垂直相交，夹角为90度。

3. 钝角：夹角大于90度但小于180度。

4. 有钝角和直角不同，锐角指夹角小于90度。

5. （角的大小可以通过度数来表达，在数学中常用度作为单位，当夹角为一周时，为360度）三、角的计算方法1. 角的度数计算：- 如果两条边在直线上，角的度数为0度。

- 如果两条边相互垂直，角的度数为90度。

- 对于一般角度，可以使用量角器或通过三角函数等方法进行度数的测量和计算。

2. 角的弧度计算：弧度是另一种衡量角大小的单位，表示角所对应的弧长与半径的比值。

一弧度等于角所对应的弧长等于半径的弧长的角度，对应关系为：1弧度=180/π度。

3. 角的和与差：当两个角的边相交时，可以通过角的和与差来计算新角度数。

两个角的和等于两个角的度数之和，两个角的差等于两个角的度数之差。

4. 角的倍数关系：如果一个角的度数是另一个角度数的倍数，这两个角被称为倍角关系。

如45度和90度、30度和60度等。

5. 角的平分：如果一个角被分成两个大小相等的角，这两个角被称为该角的平分角。

四、应用举例角的概念和计算方法在实际中有广泛的应用。

举例如下：1. 建筑设计中，使用角的概念计算房屋的旋转角度，确保建筑物的结构正确。

2. 航海中，通过角的计算可以确定船只的航向和航行方向。

3. 物理学中，角的概念被用于描述物体的旋转和转动。

4. 电子游戏中，角的概念被用于计算角色的转向和视角。

五、总结本文介绍了角的分类和计算方法，通过了解角的基本概念和应用，读者可以更好地理解和运用角的概念。

三角形有关的角度计算三角形是最简单的多边形之一，它由三条边和三个角组成。

在三角形中，角度的求解是一个重要的问题。

本文将探讨有关三角形角度的计算方法和相关公式。

一、三角形角度的基本概念在三角形ABC中，我们可以定义以下几个基本概念：1.内角：指位于三角形内部的角。

在三角形ABC中，角A、角B和角C都是内角。

2.外角：指位于三角形外部的角。

在三角形ABC中，角D、角E和角F都是外角。

3.锐角：指小于90度的角。

在三角形ABC中，如果角A、角B和角C 都小于90度，则它是一个锐角三角形。

4.直角：指等于90度的角。

在三角形ABC中，如果角A、角B或角C 等于90度，则它是一个直角三角形。

5.钝角：指大于90度但小于180度的角。

在三角形ABC中，如果角A、角B或角C有一个大于90度，则它是一个钝角三角形。

6.外角和内角的关系：任意一个外角等于其对应的两个内角之和。

在三角形ABC中，对于外角D来说，有D=A+B。

二、角度计算的基本原理要计算三角形的角度，我们需要使用一些基本原理和公式：1.三角形的内角和为180度：在三角形ABC中，角A+角B+角C=180度。

2.外角和内角的关系：在三角形ABC中，任意一个外角等于其对应的两个内角之和。

如D=A+B。

3.相似三角形的角度关系：如果两个三角形相似，他们的内角分别相等。

如在相似三角形ABC和DEF中，角A=角D、角B=角E、角C=角F。

1.等边三角形：一个等边三角形的三个角度都是60度。

因为等边三角形的三条边都相等，所以三个内角也相等。

2.直角三角形：一个直角三角形的一个角度是90度。

因为直角三角形的其中一个角是直角（90度）。

3.等腰三角形：一个等腰三角形的两个底角（底边两边对应的内角）是相等的。

因为等腰三角形的两条底边是相等的，根据相似三角形的性质，两个底角也是相等的。

对于普通三角形ABC，如果已知其中两个角，我们可以用180度减去这两个角的和，得到第三个角的度数。

角的性质与计算在我们的日常生活和数学学习中，角是一个常见且重要的概念。

从简单的几何图形到复杂的物理现象，角都扮演着不可或缺的角色。

那么，什么是角？它又有哪些性质和计算方法呢？让我们一起来探索。

首先，我们来明确角的定义。

角是由两条有公共端点的射线组成的几何图形。

这两条射线叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。

比如，我们常见的三角板，它的三个角就是由边和顶点组成的。

角有多种分类方式。

按照角的大小，可以分为锐角、直角、钝角、平角和周角。

锐角是指大于 0 度小于 90 度的角；直角恰好是 90 度；钝角则是大于 90 度小于 180 度；平角为 180 度；周角是 360 度。

角的性质是我们理解和计算角的基础。

其中一个重要的性质是：角的大小与边的长短无关，只与两条边张开的程度有关。

也就是说，不管边有多长或多短，只要两条边张开的幅度不变，角的大小就不变。

这就好比一把可以伸缩的扇子，不管扇骨变长或变短，只要打开的角度不变，扇出的角度就不会改变。

在角的计算中，我们常常会用到一些基本的定理和公式。

比如，三角形的内角和为 180 度。

这在解决很多几何问题时非常有用。

假设我们有一个三角形，其中两个角分别为 50 度和 70 度，那么第三个角的度数就可以通过 180 度减去已知的两个角的度数来计算，即180 50 70 ＝ 60 度。

再比如，在一个直角三角形中，如果一个锐角是 30 度，那么另一个锐角就是 60 度，因为直角是 90 度，所以剩下两个锐角的和必然是90 度。

在几何图形中，两条直线相交会形成对顶角和邻补角。

对顶角是相等的，邻补角的和为 180 度。

例如，两条直线相交，形成了四个角，其中一对对顶角分别为∠A和∠B，那么∠A ＝∠B。

如果其中一个角是 120 度，那么它的邻补角就是 180 120 ＝ 60 度。

角的计算还经常涉及到角度的度量。

我们通常使用度作为角的度量单位，将一个圆平均分成360 等份，每一份所对的角的大小就是1 度。