2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列在生活中的应用

在实际生活和经济活动中、很多问题都与数列密切相关。如分期付款、个人投资理财以及人口问题、资源问题等都可运用所学数列知识进行分析、从而予以解决。与此同时,数列在艺术创作上也有突出的作用! 数学家华罗庚曾经说过：宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、日用之繁、无处不用数学。这是对数学与生活关系的精彩描述。

首先, 我重点分析等差数列、等比数列在实际生活和经济活动中的应用。

（一）按揭货款中的数列问题

随着中央推行积极的财政政策、购置房地产按揭货款（公积金贷款）制度的推出、极大地刺激了人们的消费欲望、扩大了内需、有效地拉动了经济增长。

众所周知、按揭货款（公积金贷款）中都实行按月等额还本付息。这个等额数是如何得来的、此外若干月后、还应归还银行多少本金、这些人们往往很难做到心中有数。下面就来寻求这一问题的解决办法。

若贷款数额a0元,贷款月利率为p,还款方式每月等额还本付息a元.设第n月还款后的本金为an,那么有:

a1=a0(1+p)-a,

a2=a1(1+p)-a,

a3=a2(1+p)-a,

......

an+1=an(1+p)-a,.........................(*)

将（*）变形、得（an+1-a/p）/（an-a/p）=1+p.

由此可见、{an-a/p}是一个以a1-a/p为首项、1+p为公比的等比数列。日常生活中一切有关按揭货款的问题、均可根据此式计算。

（二）有关数列的其他经济应用问题

数列知识除在个人投资理财方面有较为广泛的应用外、在企业经营管理上也是不可或缺的。一定做过大量的应用题吧！虽然这些应用题是从实际生活中抽象出的略高于生活的问题、但他们是数学习题中最能反映数学知识与实际生活密切关系的一类问题。因此、解答应用问题有助于我们对数学在日常生活中广泛应用的理解和认识。

2016年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷）

数学（理工类)

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要

求的一项．

（1）已知集合{}|2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-则A B =（ ） （A){}0,1 (B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D){}1,0,1,2-

(2) 若,x y 满足20,3,0,x y x y x -≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩ 则2x y +的最大值为（ )

（A ）0 （B ）3 (C ）4 （D)5

(3)执行如图所示的程序框图,若输入的a 值为1,则输出的k 值为( ）

（A ）1

(B ）2

（C)3 (D）4

(4)设a,b是向量，则“a b

="是“+

a b a b

=-”的( ）

（A）充分而不必要条件(B）必要而不充分条件(C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（5）已知,x y∈R，且0

x y

>>，则（）

（A）11

x y

->(B）sin sin0

x y

->（C）

11

22

x y

⎛⎫⎛⎫

-<

⎪ ⎪

⎝⎭⎝⎭

（D）ln ln0

x y

+>

(6）某三棱锥的三视图如图所示，则三棱锥的体积为( ）

（A)1

6

（B）

1

3

（C)

1

2

（D）1

（7）将函数

π

sin2

3

y x

⎛⎫

=-

⎪

⎝⎭

图像上的点

π

,

4

P t

⎛⎫

⎪

⎝⎭

向左平移()0

s s>个单位长度得到点P'．若

P'位于函数sin2

y x

=的图像上，则( )

（A)

1

2

t=，s的最小值为

π

6

（B）

3

t,s的最小值为

π

6

（C）

2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2x﹣3＞0}，则A∩B=（）A．（﹣3，﹣）B．（﹣3，）C．（1，）D．（，3）2．（5分）设（1+i）x=1+yi，其中x，y是实数，则|x+yi|=（）A．1B．C．D．2

3．（5分）已知等差数列{a n}前9项的和为27，a10=8，则a100=（）A．100B．99C．98D．97

4．（5分）某公司的班车在7：00，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）

A．B．C．D．

5．（5分）已知方程﹣=1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离

为4，则n的取值范围是（）

A．（﹣1，3）B．（﹣1，）C．（0，3）D．（0，）6．（5分）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）

A．17πB．18πC．20πD．28π

7．（5分）函数y=2x2﹣e|x|在[﹣2，2]的图象大致为（）

A．B．

C．D．

8．（5分）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（）

A．a c＜b c B．ab c＜ba c

C．alog b c＜blog a c D．log a c＜log b c

9．（5分）执行下面的程序框图，如果输入的x=0，y=1，n=1，则输出x，y的值满足（）

省2016年普通高校招生（春季）考试

数学试题

注意事项：

1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。满分120分，考试时间120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，除题目有具体要求外，最后结果精确到0.01。

卷一（选择题，共60分）

一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有

一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上） 1.

已

知

集

合

A =

{}

1,3，

B =

{}

2,3，则

A B

等于

（ ）

A.∅

B.{}1,2,3

C.{}1,2

D.{}3

【答案】B 【解析】因为A ={}1,3,B ={}2,3,所以A B {}1,2,3=.

2.已知集合A ，B ，则“A B ⊆”是“A B =”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 【答案】 B 【解析】

A B A B =⇒⊆，又A B A B A B ⊆⇒=或，∴“A B ⊆”是

“A B =”的必要不充分条件. 3.不等式23x +>的解集是（ ） A.()(),51,-∞-+∞ B.()5,1-

C.()

(),15,-∞-+∞ D.()1,5-

【答案】A 【解析】231

23235

x x x x x +>>⎧⎧+>⇒⇒⎨

⎨

+<-<-⎩⎩，即不等式的解集为 ()(),51,-∞-+∞.

4.若奇函数()y f x =在()0,+∞上的图像如图所示，则该函数在(),0-∞上的图像可能是（ ）

参考公式:数学I试题

样本数据兀，x Zf•••,忍的方差s'= —X）：,其中E =丄n *•!n 21

竣柱的体积V^Sh,其中S是棱柱的底面积，人是髙. 棱幣的体积v = j-SA,其中S是綾锥的底面积，人是高.

一、填空题：本大舗共14小题.每小题5分.共计70分.诘把答案填写在答题卡相应位養上.

1.已知集合・4 = -1,2, 3, 6 , B = 2t|-2<Jt<3|,

贝0.405= ▲・

2.复数二=（1^217（3 - i）,其中i为虚数单位，则z的实部是_▲_

・

3.在平面直角坐标系◎中，双曲线W 一£ = 1的焦距是▲•

4.已知一组数据4.7,4.8F

5. 1,5.4, 5.5F则该组数据的方差是▲•

5.函数v = “3 - 2% - /的定义域是▲・

6.右罟臭一个算法的流程图，则输出苗忌值是▲.

7.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1, 2, 3. 4, 5. 6个点

的正方宦玩具）先后枪掷2次.则出現向上的点数之和小于10的槪

率是▲・

（第6

腔

&已知仏堤等差数列，S“是其前八项和.若a:+a?= -3, S3= 10,则6的值是▲・9•定义在区间［0, 3TT］±的函Sy = Sin2*的匡象与y = cosx的匡象的交点个数是_ ▲

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆令+石=1 （a > 6 > 0）的右焦点，直线

} = y与楠圆交于B, C两点，且厶BFC = 90°,则该椎圆的

粵心率是▲

11. ft刃>）是定义在R上且周期为2的在区间［-」）上,

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足

1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；

（2）证明：

312n n a -=

. 解：（1）2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=.

（2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---

1

2

1313

3

312n n n a ---+=++

++=， 所以证得312n n a -=

.

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{

}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

由题意可得2

新高考题型：解答题开放性问题（条件3选1）

《数列》

1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的首项12a =，前n 项和是n S ，且____（①1a ，3a ，7a 成等比数列，①(3)

2

n n n S +=，①816a =，任选一个条件填入上空），设12n n n b a -=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．

2．在①35a =，2526a a b +=；①22b =，3433a a b +=；①39S =，4528a a b +=，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知等差数列{}n a 的公差为(1)d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b =，d q =， ．

（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记n

n n

a c

b =，求数列{}n

c 的前n 项和n T ．

3．在等差数列{}n a 中，已知612a =，1836a =． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）若____，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 在①1

4

n n n b a a +=

，①(1)n n n b a =-，①2n a n n b a =这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．

4．在①414S =-，①515S =-，①615S =-三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答．

已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足： ，*n N ∈． （1）求n S 的最小值；

（2）设数列67

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥.

（1）求32,a a ；

（2）证明：

312n n a -=

. 解：（1）

2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q . （2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ

1

2

1313

3

312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -=

.

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{

}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

2016年高考全国2卷理数试题（含答案）

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）已知在复平面内对应的点在第四象限，则实数m的取值范围是

（A）（B）（C）（D）

（2）已知集合，，则

（A）（B）（C）（D）

（3）已知向量，且，则m=

（A）－8 （B）－6 （C）6 （D）8

（4）圆的圆心到直线的距离为1，则a=

（A）（B）（C）（D）2

（5）如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

（A）24 （B）18 （C）12 （D）9

（6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π

（7）若将函数y=2s 2x的图像向左平移个单位长度，则评议后图象的对称轴为

（A）x=- (k∈Z) （B）x=+ (k∈Z) （C）x=- (k∈Z) （D）x=+ (k∈Z)

（8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的x=2，n=2，依次输入的a为2，2，5，则输出的s=

2016年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学

注意事项：

1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号框。写在本试卷上无效。 3．答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 4．考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷

一、 选择题：本大题共12小题。每小题5分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

（1）已知集合{1

23}A =，，，2{|9}B x x =<，则A B =

（A ）{210123}--，，，，， （B ）{21012}--，，，， （C ）{123}，，

（D ）{12}，

（2）设复数z 满足i 3i z +=-，则z =

（A ）12i -+（B ）12i -（C ）32i +（D ）32i - (3) 函数=sin()y A x ωϕ+的部分图像如图所示，则

（A ）2sin(2)6y x π

=-

（B ）2sin(2)3y x π

=-

（C ）2sin(2+)6y x π

=

（D ）2sin(2+)3

y x π

=

(4) 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为

（A）12π（B）32

3

π（C）8π（D）4π

(5) 设F为抛物线C：y2=4x的焦点，曲线y=k

x

（k>0）与C交于点P，PF⊥x轴，则k=

（A）1

2

（B）1 （C）

3

2

（D）2

高中数学 等比数列典型例题素材

【例1】已知{}n a 为等比数列，162,262==a a ，则=10a ．

【解析】方法1： 81162

2451612=⇒⎩⎨⎧====q q a a q a a ∴131228116246

9110=⨯===q a q a a 方法2： ，∴13122811624610=⨯==q

a a

方法3： {}n a 为等比数列 131222162222

61026

102===⇒=⋅a a a a a a 【例2】等比数列{}n a 中，25

2a a =-，341a a +=-，求数列{}n a 通项公式． 【解析】方法1：设公比为

q ， 解得

则 或

方法2：设公比为q ，知25342a a a a ==-。 解得 或进而求出

1a 和q ．

【例3】已知等比数列{}n a 满足

0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，212221log log log n a a a -++

+=（ ） A ． (21)n n - B ． 2(1)n + C ． 2n D ． 2(1)n -

【解析】由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则

n n a 2=,+⋅⋅⋅++3212log log a a 2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-，

选C ．

【例4】 等比数列同时满足下列三个条件： ⑴1611a a += ⑵ ⑶三个数成等差数列．试求数列{}n a 通项公式。

数列题目精选精编

【典型例题】

（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质

例题1. 已知数列}{n a 满足

1

111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；

（2）证明：

312n n a -=

. 解：（1）2

1231,314,3413a a a =∴=+==+=Q .

（2）证明：由已知1

13--=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=---Λ

1

2

1313

3

312n n n a ---+=++++=L ， 所以证得312n n a -=

.

例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥

（Ⅰ）求{

}n a 的通项公式；

（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T .

解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，

两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，

又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列

∴1

3n n a -=

（Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，

2016年高考数学文试题分类汇编

数列

一、选择题

1、（2016年浙江高考）如图，点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上，且

*1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈N ，

*1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈N .

(P ≠Q 表示点P 与Q 不重合)

若n n n d A B =，n S 为1n n n A B B +△的面积，则（ ）

A.{}n S 是等差数列

B.{}2n S 是等差数列

C.{}n d 是等差数列

D.{}

2

n d 是等差数列

【答案】A

二、填空题学科网

1、（2016年江苏省高考）已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 ▲ . 【答案】20.

2、（2016年上海高考）无穷数列{a n }由k 个不同的数组成，S n 为{a n }的前n 项和.若对任意的*n ÎN ，{23}n S Î，则k 的最大值为 .

【答案】4

三、解答题

1、（2016年北京高考）已知{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，且b 2=3，b 3=9，a 1=b 1，a 14=b 4. （Ⅰ）求{a n }的通项公式；

（Ⅱ）设c n = a n + b n ，求数列{c n }的前n 项和. 解：（I ）等比数列{}n b 的公比329

33

b q b =

==， 所以2

11b b q

=

=，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ． 因为111a b ==，14427a b ==， 所以11327d +=，即2d =．

2016 年上海高考数学（理科）真题

一、解答题（本大题共有14 题，满分56 分）

1. 设x R，则不等式x 3 1的解集为________________

【答案】(2,4)

【解析】 1 x 3 1，即 2 x 4 ，故解集为(2,4)

2. 设

3 2i

z ，其中i 为虚数单位，则Im z _________________ i

【答案】 3

【解析】z i(3 2i) 2 3i ，故Im z 3

3. l1 : 2x y 1 0 , l 2 : 2x y 1 0 , 则l1,l2 的距离为__________________

【答案】2 5 5

【解析】 d 1 1 2 5

2 2

2 1

5

4. 某次体检， 6 位同学的身高（单位: 米）分别为 1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77 ，则这组数据的中位数是___

（米）

【答案】 1.76

x

5. 已知点(3,9) 在函数 f (x) 1 a 的图像上，则 f (x) 的反函数f x ____________ 1

( )

1

( )

【答案】log 2(x1)

【解析】x

3 1 9

a ，故 a 2 ，( ) 1 2

f x

∴x log2 ( y 1)

∴ 1

f (x) lo

g ( x 1)

2

6. 如图，在正四棱柱ABCD A1B1C1 D1 中，底面ABCD 的边长为3，BD1 与底面所成角的大小为

则该正四棱柱的高等于____________________

arctan 2

3 ，

【答案】 2 2

【解析】BD 3 2 , DD1 BD 2

3

2 2