高中数学(北师大版,选修11)：第四章+导数应用(课件+同步练习+章末归纳总结+综合检测,10份)第

3．解决优化问题的基本思路：
牛刀小试 1．设底面为等边三角形的直棱柱的体积为 V，则其表面 积最小时，底面边长为( )
A.3 V
B.3 2V
C.3 4V
D．23 V
[答案] C
[解析] 如图，设底面边长为 x(x>0)，
则底面积
S＝
43x2，∴h＝VS＝
4V 3x2.
S 表＝x·43Vx2×3＋ 43x2×2
设底面为正三角形的直棱柱的体积为 V，那么其表面积 最小时，底面边长为( )
3 A. V
3 B. 2V
3 C. 4V
D．23 V
[答案] C
[解析] 设底面边长为 x，侧棱长为 l，则 V＝12x2·sin60°·l， ∴l＝ 43Vx2.∴S 表＝2S 底＋3S 侧＝x2·sin60°＋3·x·l＝ 23x2＋ 4 3V x. ∴S 表′＝ 3x－4 x32 V＝0， ∴x3＝4V，即 x＝3 4V，又当 x∈(0，3 4V)时，S 表′<0； 当 x∈(3 4V，V)时，S 表′>0 ∴当 x＝3 4V时，表面积最小．
＝4 x3V＋ 23x2，
S′表＝ 3x－4 x32 V，令 S′表＝0 得 x＝3 4V，
因为 S 表只有一个极值，故 x＝3 4V为最小值点．
2．在周长为l的矩形中，面积的最大值为________．
[答案]
l2 16
[解析] 设一边长为 x，则另一边长为12(l－2x)，其面积 S ＝12x(l－2x) (0∴h＝2r，
又 r＝
6Sπ，∴h＝2
6Sπ＝
6πS 3π .
即当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 为
6πS 3π .
[方法规律总结] 1.利用导数解决实际问题中的最值的一 般步骤：
(1)分析实际问题中各量之间的关系，找出实际问题的数学 模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f(x)；
(2)求函数的导数f ′(x)，解方程f ′(x)＝0； (3)比较函数在区间端点和极值点的函数值大小，最大(小) 者为最大(小)值；
(4)把所得数学结论回归到数学问题中，看是否符合实际情 况并下结论．
2．面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几 何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示 为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．
(2)设用于技术改造的资金为 x(百万元)，则用于广告促销 的资金为(3－x)(百万元)，又设由此获得的收益是 g(x)，则有 g(x)＝(－13x3＋x2＋3x)＋[ －(3－x)2＋5(3－x)] －3＝－13x3＋4x ＋3 (0≤x≤3)，
由 S′＝12l－2x＝0 得 x＝4l ，此时 S＝1l26.
3．(2014·西安一中期中)从边长为10 cm×16 cm的矩形纸 板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则 盒子容积的最大值为________cm3.
[答案] 144
[解析] 设小正方形边长为 x，则盒子的容积为 v＝x(10 －2x)(16－2x)，
成才之路 ·数学
北师大版 ·选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第四章 导数应用
第四章 §2 导数在实际问题中的应用
第四章
2.2 最大值、最小值问题 第2课时 生活中的优化问题举例
1 自主预习学案 2 典例探究学案 3 巩固提高学案
自主预习学案
能利用导数知识解决实际生活中的利润最大、效率最高、 用料最省等最优化问题.
即 v＝4(x3－13x2＋40x)，(0<x<5)，v′＝4(3x2－26x＋40) ＝4(3x－20)(x－2)，
令 v′＝4(3x－20)(x－2)＝0 得，x＝2，x＝230(不符合题 意，舍去)，x＝2 是唯一极值点也就是最值点，
所以，x＝2 时，盒子容积的最大值为 144cm3.
典例探究学案
[ 解 析 ] (1) 设 投 入 t( 百 万 元 ) 的广 告 费 后 增 加 的 收 益 为 f(t)(百万元)，则有
f(t)＝(－t2＋5t)－t＝－t2＋4t＝－(t－2)2＋4 (0≤t≤3)， ∴当t＝2百万元时，f(t)取得最大值4百万元．即投入2百万 元的广告费时，该公司由此获得的收益最大．
重点：利用导数知识解决实际中的最优化问题． 难点：将实际问题转化为数学问题，建立函数模型.
优化问题
思维导航 1．生活中，我们经常遇到面积、体积最大，周长最小， 利润最大，用料最省，费用最低，效率最高等等一系列问题， 这些问题通常通称为优化问题，解决这些问题的基本思路、途 径、过程是什么？
新知导学 1．在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的 变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中 __自__变__量_____的取值范围． 2．实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值就是 __最__值___．
面积、容积最大问题
已知圆柱的表面积为定值 S，当圆柱的容积 V 最大时，圆柱的高 h 的值为________．
[答案]
6πS 3π
[分析] 将容积V表示为高h或底半径r的函数，运用导数求 最值．由于表面积S＝2πr2＋2πrh，此式较易解出h，故将V的表 达式中h消去可得V是r的函数．
[解析] 设圆柱的底面半径为 r，高为 h，则 S 圆柱底＝2πr2， S 圆柱侧＝2πrh，∴圆柱的表面积 S＝2πr2＋2πrh. ∴h＝S－2π2rπr2， 又圆柱的体积 V＝πr2h＝2r (S－2πr2)＝rS－22πr3，V′＝ S－26πr2，
利润最大问题
某集团为了获得更大的利益，每年要投入一定 的资金用于广告促销．经调查，每年投入广告费 t(百万元)可 增加销售额约为－t2＋5t(百万元)(0≤t≤5)
(1)若该公司将当年的广告费控制在三百万元之内，则应 投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？
(2)现该公司准备共投入 300 万元，分别用于广告促销和 技术改造．经预测，每投入技术改造费 x(百万元)，可增加的 销售额约为－13x3＋x2＋3x(百万元)．请设计一个资金分配方 案，使该公司由此获得的收益最大？(注：收益＝销售额－投 入)．