八年级数学全册全套试卷综合测试(Word版 含答案)

八年级数学上册全册全套试卷同步检测（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．2．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为_____．【答案】5:4:3【解析】试题解析：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，故答案为5：4：3．3．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．【答案】108°【解析】【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD 是等腰三角形，然后求出顶角是关键.4．如图，△ABC 中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE ，则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB 的度数，以及∠BCD 的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE 的度数，则∠ECD 可以求解，然后在△CDF 中，利用内角和定理即可求得∠CDF 的度数．∵∠A=40°，∠B=70°， ∴∠ACB=180°﹣∠A ﹣∠B=70°． ∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE=12∠ACB=35°． ∵CD ⊥AB 于D ， ∴∠CDA=90°， ∠ACD=180°﹣∠A ﹣∠CDA=50°． ∴∠ECD=∠ACD ﹣∠ACE=15°． ∵DF ⊥CE ， ∴∠CFD=90°， ∴∠CDF=180°﹣∠CFD ﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．5．将直角三角形（ACB ∠为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B '处，若50ACB '︒∠=，则ACD ∠度数为________.【答案】20°.【解析】【分析】根据翻折的性质可知：∠BCD=∠B′CD，又∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，继而即可求出∠BCD的值，又∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，继而即可求出∠ACD的度数．【详解】解：∵△B′CD时由△BCD翻折得到的，∴∠BCD=∠B′CD，又∵∠BCD+∠B′CD=∠B′CB=∠ACB+∠ACB′=90°+50°=140°，∴∠BCD=70°，又∵∠ACD+∠BCD=∠ACB=90°，∴∠ACD=20°．故答案为：20°．【点睛】本题考查翻折变换的知识，难度适中，解题关键是掌握折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为( )A．45°B．50°C．60°D．65°【答案】B【解析】分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．详解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG，NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，根据三等分,∠MBC+∠MCB=23(∠ABC+∠ACB)=23×120°=80°.在△BMC中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.∴∠BMN=12×100°=50°；故选：B.点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.8．如图，AB∥CD，点E在线段BC上，CD=CE,若∠ABC=30°，则∠D为（）A．85°B．75°C．60°D．30°【答案】B【解析】分析：先由AB∥CD，得∠C=∠ABC=30°，CD=CE，得∠D=∠CED，再根据三角形内角和定理得，∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，从而求出∠D．详解：∵AB∥CD，∴∠C=∠ABC=30°，又∵CD=CE，∴∠D=∠CED，∵∠C+∠D+∠CED=180°，即30°+2∠D=180°，∴∠D=75°．故选B．点睛：此题考查的是平行线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是先根据平行线的性质求出∠C，再由CD=CE得出∠D=∠CED，由三角形内角和定理求出∠D．9．一个多边形的每个内角都相等，并且它的一个外角与一个内角的比为1:3，则这个多边形为（）A．三角形B．四边形C．六边形D．八边形【答案】D【解析】一个外角与一个内角的比为1 : 3，则内角和是外角和的3倍，根据多边形的外角和是360°，即可求得多边形的内角的度数，依据多边形的内角和公式即可求解．【详解】解：多边形的内角和是：360°×3=1080°．设多边形的边数是n，则（n-2）•180=1080，解得：n=8．即这个多边形是正八边形．故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理以及多边形的外角和定理，注意多边形的外角和不随边数的变化而变化．10．一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还大180°，这个多边形的边数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】A【解析】设这个多边形的边数为x，根据题意可得：x-=⨯+，180(2)2360180x=.解得：7故选A.11．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C．本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．12．如果一个多边形的内角和是1800°，这个多边形是（）A．八边形B．十四边形C．十边形D．十二边形【答案】D【解析】【分析】n边形的内角和可以表示成（n﹣2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数．【详解】这个正多边形的边数是n，根据题意得：（n﹣2）•180°=1800°解得：n=12．故选D．【点睛】本题考查了多边形的内角和定理．注意多边形的内角和为：（n﹣2）×180°．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．在Rt△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，分别过点B、C做经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD=14cm，CE=3cm，则DE=_____【答案】11cm或17cm【解析】【分析】分两种情形画出图形，利用全等三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当D，E在BC的同侧时，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥DE，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°，在△BDA和△AEC中，ABD CAED EAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA≌△AEC（AAS），∴DA＝CE＝3，AE＝DB＝14，∴ED＝DA＋AE＝17cm．如图，当D，E在BC的两侧时，同法可证：BD＝CE＋DE，可得DE＝11cm，故答案为：11cm或17cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．14．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .【答案】41.【解析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，BA CA BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩， ∴△BAD ≌△CAD′(SAS)，∴BD=CD′.∠DAD′=90°由勾股定理得∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得∴，.15．在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，∠C ＜90°，若∠B 满足条件：______________，则△ABC ≌△DEF ．【答案】∠B≥∠A ．【解析】【分析】虽然题目中∠B 为锐角,但是需要对∠B 进行分类探究会理解更深入：可按“∠B 是直角、钝角、锐角”三种情况进行，最后得出∠B 、∠E 都是锐角时两三角形全等的条件．【详解】解：需分三种情况讨论：第一种情况：当∠B 是直角时：如图①，在△ABC 和△DEF ，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E=90°，可知：△ABC 与△DEF 一定全等，依据的判定方法是HL ；第二种情况：当∠B 是钝角时：如图②，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于G ，过点F 作DH ⊥DE 交DE 的延长线于H ．∵∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是钝角．∴180°-∠B=180°-∠E ，即∠CBG=∠FEH ．在△CBG 和△FEH 中，CBG FEH G HBC EF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△CBG ≌△FEH （AAS ），∴CG=FH ，在Rt △ACG 和Rt △DFH 中，AC DF CG FH⎧⎨⎩＝，＝ ∴Rt △ACG ≌Rt △DFH （HL ），∴∠A=∠D ， 在△ABC 和△DEF 中，A DB EAC DF ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△ABC ≌△DEF （AAS ）；第三种情况：当∠B 是锐角时：在△ABC 和△DEF 中，AC=DF ，BC=EF ，∠B=∠E ，且∠B 、∠E 都是锐角，小明在△ABC 中（如图③）以点C 为圆心，以AC 长为半径画弧交AB 于点D ，假设E 与B 重合，F 与C 重合，得到△DEF 与△ABC 符号已知条件，但是△AEF 与△ABC 一定不全等，所以有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等；由图③可知，∠A=∠CDA=∠B+∠BCD ，∴∠A ＞∠B ，∴当∠B≥∠A 时，△ABC 就唯一确定了，则△ABC ≌△DEF ．故答案为：∠B≥∠A ．【点睛】本题是三角形综合题，考查全等三角形的判定与性质，应用与设计作图，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．16．如图，CA ⊥AB ，垂足为点A ，射线BM ⊥AB ，垂足为点B ，AB=12cm ，AC=6cm ．动点E 从A 点出发以3cm/s 沿射线AN 运动，动点D 在射线BM 上，随着E 点运动而运动，始终保持ED=CB ．当点E 经过______s 时，△DEB 与△BCA 全等．【答案】0、2、6、8【解析】∵CA⊥AB，垂足为点A，射线BM⊥AB，垂足为点B，∴∠CAB=∠DBE=90°，∴△CAB和△EBD都是Rt△，∵点E运动过程中两三角形始终保持斜边ED=CB，∴当BE=BA=12cm或BE=AC=6cm时，两三角形全等，如图共有四种情形，此时AE分别等于0cm、6cm、18cm、24cm，又∵点E每秒钟移动3cm，∴当点E移动的时间分别为0秒、2秒、6秒和8秒时，两三角形全等.17．如图，AE平分∠BAC，BD=DC，DE⊥BC，EM⊥AB．若AB=9，AC=5，则AM的长为______．【答案】7【解析】【分析】过点E作EN⊥AC的延长线于点N，连接BE、EC，利用角平分线的性质、垂直平分线的性质得到EM=EN，EB=EC，证明Rt△BME≌Rt△CNE（HL），得到BM=CN，证明Rt△AME≌Rt△ANE（HL），得到AM=AN，由AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC）=AB-AN+AC=AB-AM+AC，即AM=9-AM+5，即可解答．【详解】解：如图，过点E作EN⊥AC的延长线于点N，连接BE、EC，∵BD=DC ，DE ⊥BC∵BE=EC ．∵AE 平分∠BAC ，EM ⊥AB ，EN ⊥AC ，∴EM=EN ，∠EMB=∠ENC=90°．在Rt △BME 和Rt △CNE 中，BE EC EM EN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BME ≌Rt △CNE （HL ）∴BM=CN ，在RtAME 和Rt △ANE 中，AE AE EM EN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AME ≌Rt △ANE （HL ）∴AM=AN ，∴AM=AB-BM=AB-CN=AB-（AN-AC ）=AB-AN+AC=AB-AM+AC ，即AM=9-AM+52AM=9+52AM=14AM=7．故答案为：7．【点睛】考查了全等三角形的性质与判定，解决本题的关键是证明Rt △BME ≌Rt △CNE （HL ），得到BM=CN ，证明Rt △AME ≌Rt △ANE （HL ），得到AM=AN ．18．已知AD 是△ABC 的边BC 上的中线，若AB = 4，AC = 6，则AD 的取值范围是___________．【答案】15AD <<【解析】延长AD 到点E ，使DE=AD ，连接BE ，则可用SAS 证明△DAC ≌△DEB ，所以BE=AC. △ABE 中，BE-AB ＜AE ＜BE+AB ，即6-4＜AE ＜6+4，所以2＜AE ＜10.又AE=2AD ，所以2＜2AD ＜10，则1＜AD ＜5.故答案为1＜AD ＜5.点睛：本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，当题目中有三角形的中线时，如果需要添加辅助线，一般考虑把中线延长一倍（通常称“倍中线法”），构造全等三角形，将已知条件或要解决的问题集中到一个三角形中.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．下列两个三角形中,一定全等的是( )A ．两个等边三角形B ．有一个角是40︒,腰相等的两个等腰三角形C ．有一条边相等,有一个内角相等的两个等腰三角形D ．有一个角是100︒,底相等的两个等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法及等腰三角形的性质对各个选项进行分析,从而得到答案．【详解】解：A 、当两个等边三角形的对应边不相等时,这两个等边三角形也不会全等，故本选项错误；B 、当该角不是对应角时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；C 、当两个等腰三角形的对应边与对应角不相等时,这两个等腰三角形也不会全等，故本选项错误；D 、等腰三角形的100°角只能是顶角,则两个底角是40°,它们对应相等，所以由全等三角形的判定定理ASA 或AAS 证得它们全等，故本选项正确；故选D ．【点睛】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL ．注意：AAA 、SSA 不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角．20．如图，在四边形ABCD 中，//AB CD .不能判定ABD CDB ∆≅∆的条件是（ ）A ．AB CD =B ．AD BC = C ．//AD BC D ．A C ∠=∠【答案】B【解析】【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD 是公用边这个条件.【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，依据SAS 可得△ABD ≌△CDB ，故A 选项正确；B.若添加AD=BC,根据AB ∥CD ，则∠ADB=∠CBD ，不能判定△ABD ≌△CDB ，故B 选项错误；C.若添加//AD BC ，则四边形ABCD 是平行四边形，能判定△ABD ≌△CDB ，故C 选项正确；D.若添加∠A=∠C ，根据AB ∥CD ，则∠ABD=∠CDB ，且BD 公用，能判定△ABD ≌△CDB ，故D 选项正确；故选：B.【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边.21．如图，在△ABC 中，∠ABC=45° ， BC=4，以AC 为直角边，点A 为直角顶点向△ABC 的外侧作等腰直角三角形ACD ，连接BD ，则△DBC 的面积为( ) .A ．8B ．10C ．2D ．2【答案】A【解析】【分析】 将△ABD 绕着点A 顺时针旋转90°得到△AEC ，BD 与EC 交于点O ，连接BE ，根据旋转的性质得到AE=AB ，∠BAE=∠DOC=90°，过D 点作DF ⊥BC ，证△EBC ≌BFD ，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.22．在△ABC与△DEF中，下列各组条件，不能判定这两个三角形全等的是（）A．AB＝DE，∠B＝∠E，∠C＝∠F B．AC＝DE，∠B＝∠E，∠A＝∠FC．AC＝DF，BC＝DE，∠C＝∠D D．AB＝EF，∠A＝∠E，∠B＝∠F【答案】B【解析】利用全等三角形的判定定理，分析可得：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F可利用AAS证明△ABC与△DEF全等；B、∠A=∠F，∠B=∠E，AC=DE，对应边不对应，不能证明△ABC与△DEF全等；C、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D可利用ASA证明△ABC与△DEF全等；D、AB=EF，∠A=∠E∠B=∠F可利用SAS证明△ABC与△DEF全等；故选：D．点睛：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．23．如图，在△ABC中，AB=6，AC=10，BC边上的中线．．AD=4，则△ABC的面积．．为（）A．30B．48C．20D．24【答案】D【解析】延长AD到E,使DE=AD,连接BE,因为D为BC的中点,所以DC=BD,在△ADC和△EDB中,AD EDADC EDBDC BD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,所以△ADC≌△EDB,所以BE=AC=10, ∠CAD＝∠E,又因为AE =2AD=8,AB=6,所以222AB AE BE=+,所以∠CAD＝∠E=90°,则11114646242222ABC ABD ADCS S S AD BE AD AC=+=⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯=,所以故选D.24．在ABC中，2,72A B ACB∠=∠∠≠︒，CD平分ACB∠，P为AB的中点，则下列各式中正确的是（）A ．AD BC CD =-B ．AD BC AC =- C ．AD BC AP =-D ．AD BC BD =-【答案】B【解析】【分析】 可在BC 上截取CE=CA ，连接DE ，可得△ACD ≌△ECD ，得DE=AD ，进而再通过线段之间的转化得出线段之间的关系． 【详解】解：∵∠A=2∠B ， ∴∠A ﹥∠B ∴BC ﹥AC∴可在BC 上截取CE=CA ，连接DE(如图)，∵CD 平分ACB ∠，∴∠ACD=∠BCD又∵CD=CD，CE=CA∴△ACD ≌△ECD ，∴AD=ED ，∠CED=∠A=2∠B又 ∠CED=∠B+∠BDE∴∠B=∠BDE∴AD=DE=BE ，∴BC=BE+EC=AD+AC所以AD=BC-AC故选：B若A选项成立，则CD=AC，∴∠A=∠CDA=∠CDE=∠CED=2∠B=2∠EDB∴∠CDA+∠CDE+∠EDB=180°即5∠EDB=180°∴∠EDB=36°∴∠A=72°，∠B=36°∴∠ACB=72°与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项A不正确;假设C选项成立，则有AP=AC，作∠BAC的平分线，连接FP，∴△CAF≌△PAF≌△PBF，∴∠CFA=∠AFP=∠PFB=60°∠B=30°，∠ACB=90°当∠ACB=90°时，选项C才成立，∴当∠ACB≠72°时，选项C不一定成立；假设D选项成立，则AD=BC-BD由图可知AD=BA-BD∴AB=BC∴∠A=∠ACB=2∠B∴∠A+∠ACB+∠B=180°∴∠B=36°，∠ACB=72这与已知∠ACB≠72°矛盾，故选项D不成立．故选：B【点睛】本题考查的是考查的是利用角的平分线的性质说明线段之间的关系．,,五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在△ABC和△DBC中，∠A=40°，AB=AC=2，∠BDC=140°，BD=CD，以点D为顶点作∠MDN=70°，两边分别交AB，AC于点M，N，连接MN，则△AMN的周长为___________．【答案】4【解析】【分析】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．证明△BDM≌△CDE（SAS），得出MD=ED，∠MDB=∠EDC，证明△MDN≌△EDN（SAS），得出MN=EN=CN+CE，进而得出答案．【详解】延长AC至E，使CE=BM，连接DE．∵BD=CD，且∠BDC=140°，∴∠DBC=∠DCB=20°，∵∠A=40°，AB=AC=2，∴∠ABC=∠ACB=70°，∴∠MBD=∠ABC+∠DBC=90°，同理可得∠NCD=90°，∴∠ECD=∠NCD=∠MBD=90°，在△BDM和△CDE中，BM CEMBD ECDBD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△BDM≌△CDE（SAS），∴MD=ED，∠MDB=∠EDC，∴∠MDE=∠BDC=140°，∵∠MDN=70°，∴∠EDN=70°=∠MDN，在△MDN和△EDN中，MD EDMDN EDNDN DN⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝，＝∴△MDN≌△EDN（SAS），∴MN=EN=CN+CE，∴△AMN的周长=AM+MN+AN=AM+CN+CE+AN=AM+AN+CN+BM=AB+AC=4；故答案为：4．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；证明三角形全等是解题的关键．26．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.27．如图，△ABC 是等边三角形，高AD 、BE 相交于点H ，BC=43，在BE 上截取BG=2，以GE 为边作等边三角形GEF ，则△ABH 与△GEF 重叠（阴影）部分的面积为_____．【答案】53 【解析】 试题分析：如图所示，由△ABC 是等边三角形，BC=43，得到AD=BE=32BC=6，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE ﹣BG=6﹣2=4．由GE 为边作等边三角形GEF ，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE 是等边三角形；S △ABC =12AC•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =223314231442⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．28．如图，线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，且72ABC EDC ∠=∠=︒，92AEB ∠=︒，则EBD ∠的度数为 ________ ．【答案】128︒【解析】【分析】连接CE ，由线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，得CA=CB ，CE=CD ，ACB=∠ECD=36°，进而得∠ACE=∠BCD ，易证∆ACE ≅∆BCD ，设∠AEC=∠BDC=x ，得则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，BDE 中，∠EBD=128°，根据三角形内角和定理，即可得到答案．【详解】连接CE ，∵线段AB ，DE 的垂直平分线交于点C ，∴CA=CB ，CE=CD ，∵72ABC EDC ∠=∠=︒=∠DEC ，∴∠ACB=∠ECD=36°，∴∠ACE=∠BCD ，在∆ACE 与∆BCD 中，∵CA CB ACE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴∆ACE ≅∆BCD （SAS ）， ∴∠AEC=∠BDC ，设∠AEC=∠BDC=x ，则∠BDE=72°-x ，∠CEB=92°-x ，∴∠BED=∠DEC-∠CEB=72°-（92°-x ）=x-20°，∴在∆BDE 中，∠EBD=180°-（72°-x ）-（x-20°）=128°．故答案是：128︒．【点睛】本题主要考查中垂线的性质，三角形全等的判定和性质定理以及三角形内角和定理，添加辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．29．如图，已知30AOB ∠=︒，点P 在边OA 上，14OD DP ==，点E ，F 在边OB 上，PE PF =.若6EF =，则OF 的长为____.【答案】18【解析】【分析】由30°角我们经常想到作垂线，那么我们可以作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N ，证明△PMD ≌△PND ，进而求出DF 长度，从而求出OF 的长度.【详解】如图所示，作DM 垂直于OA 于M ，作PN 垂直于OB 于点N.∵∠AOB=30°，∠DMO=90°，PD=DO=14，∴DM=7，∠NPO=60°，∠DPO=30°，∴∠NPD=∠DPO=30°，∵DP=DP ，∠PND=∠PMD=90°，∴△PND ≌△PMD ，∴ND=7，∵EF=6，∴DF=ND-NF=7-3=4，∴OF=DF+OD=14+4=18.【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质定理，作辅助线构造全等三角形是解题的关键.30．如图，D 为ABC ∆内一点，CD 平分ACB ∠，BD CD ⊥，A ABD ∠=∠，若8AC =，5BC =，则BD 的长为_______.【答案】1.5【解析】【分析】延长BD 交AC 边于点E ，根据BD⊥CD,CD 平分∠ACB，得到三角形全等，由此求出AE 的长，再根据A ABD ∠=∠，求出BE 的长即可求得BD.【详解】延长BD 交AC 于点E ，∵BD⊥CD，∴∠BDC=∠EDC=900，∵CD 平分∠ACB，∴∠BCD=∠ECD又∵CD=CD∴△BCD≌△ECD∴BD=ED,CE=BC=5，∴AE=AC -CE=8-5=3，∵A ABD ∠=∠,∴BE=AE=3， ∴BD=1.5【点睛】此题考察等腰三角形的性质，延长BD 构建全等三角形是证明此题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB=⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．32．已知点M(2,2)，且，在坐标轴上求作一点P ，使△OMP 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ）A ．B ．(0,4)C ．(4,0)D ．) 【答案】D【解析】【分析】分类讨论：OM=OP ；MO=MP ；PM=PO ，分别计算出相应的P 点，从而得出答案．【详解】∵M(2,2),且,且点P 在坐标轴上当OM OP ==时P 点坐标为：()(,0,±± ，A 满足；当MO MP ==P 点坐标为：()()4,0,0,4，B 满足；当PM PO =时：P 点坐标为：()()2,0,0,2，C 满足故答案选：D【点睛】本题考查动点问题构成等腰三角形，利用等腰三角形的性质分类讨论是解题关键．33．点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴或y 轴上且△APO 是等腰三角形，这样的点P 共有（ ）个A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，要使△AOP 是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA 是腰时，则分别以点O 、点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P 共8个．【详解】如图，分两种情况进行讨论：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA 是腰时，以点O 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∴满足条件的点P 共有8个，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．34．如图，在ABC ∆中，120BAC ︒∠=，点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，边BC 分别与DE 、DF 相交于点,H G ，且,DE AB DF AC ⊥⊥，连接AD 、AG 、AH ，现在下列四个结论：①60EDF ︒∠=，②AD 平分GAH ∠，③B ADF ∠=∠，④GD GH =.则其中正确的结论有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】【分析】利用,DE AB DF AC ⊥⊥及四边形的内角和即可得到①正确；；根据三角形内角和与线段的垂直平分线性质得到∠BAH+∠GAC=60︒，无条件证明∠GAD=∠HAD,故②错误；由等量代换得B ADF ∠≠∠，故③错误；利用三角形的内角和与对顶角相等得到GD GH ≠，故④错误.【详解】∵,DE AB DF AC ⊥⊥，∴∠DEA=∠DFA=90︒，∵120BAC ︒∠=,∴∠EDF=360︒-∠DEA-∠DFA-∠BAC=60︒，故①正确；∵120BAC ︒∠=，∴∠B+∠C=60︒，∵点,E F 分别是ABC ∆的边AB 、AC 的中点，,DE AB DF AC ⊥⊥，∴BH=AH ，AG=CG ，∴∠BAH=∠B ，∠GAC=∠C ，∴∠BAH+∠GAC=60︒，∵无条件证明∠GAD=∠HAD,∴AD 不一定平分GAH ∠，故②错误；∵∠ADF+∠DAF=90︒，∠B=∠BAH,90BAH DAF ∠+∠≠,∴B ADF ∠≠∠，故③错误；∵90B BHE ∠+∠=，30B ∠≠ ，∴ 60BHE ∠≠，∴60DHG ∠≠，∴DHG HDG ∠≠∠,∴GD GH ≠，故④错误，故选：A.【点睛】此题考查线段的垂直平分线的性质，利用三角形的内角和，四边形的内角和求角度，利用对顶角相等，等角对等边推导边的关系.35．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB的中点，E为线段AD上一点，过E点的线段FG交CD的延长线于G点，交AC于F点，且EG＝AE，分别延长CE，BG交于点H，若EH平分∠AEG，HD平分∠CHG则下列说法：①∠GDH＝45°；②GD＝ED；③EF＝2DM；④CG＝2DE+AE，正确的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④【答案】B【解析】【分析】首先证明△AEC≌△GEC（SAS），推出CA=CG，∠A=∠CGE=45°，推出DE=DG，故②正确；再证明△EDC≌△GDB，推出∠CED=∠BGD，ED=GD，由三角形外角的性质得出∠HDG=∠HDE，进而得出∠GDH=∠EDH=45°，即可判断①正确；通过证明△EDC和△EMD是等腰直角三角形，得到ED2MD，再通过证明△EFC≌△EDC，得到EF=ED，从而可判断③错误；由CG=CD+DG，CD=AD，ED=GD，变形即可判断④正确．【详解】∵AC=BC，∠ACB=90°，AD=DB，∴CD⊥AB，CD=AD=DB，∠A=∠CBD=45°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠AEH+∠AEC=180°，∠GEH+∠CEG=180°，∴∠AEC=∠CEG．∵AE=GE，EC=EC，∴△AEC≌△GEC（SAS），∴CA=CG，∠A=∠CGE=45°．∵∠EDG=90°，∴∠DEG=∠DGE=45°，∴DE=DG，∠AEF=∠DEG=∠A=45°，故②正确；∵DE=DG，∠CDE=∠BDG=90°，DC=DB，∴△EDC≌△GDB（SAS），∴∠CED=∠BGD，ED=GD．∵HD平分∠CHG，∴∠GHD=∠EHD．∵∠CED=∠EHD+∠HDE，∠BGD=∠GHD+∠HDG，∴∠HDG=∠HDE．∵∠EDG=∠ADC=90°，∴∠GDH=∠EDH=45°，故①正确；∵∠EDC=90°，ED=GD，∴△EDC是等腰直角三角形，∴∠DEG=45°．∵∠GDH=45°，∴∠EDH=45°，∴△EMD是等腰直角三角形，∴ED MD．∵∠AEF=∠DEG=∠A=45°，∴∠AFE=∠CFG=90°．∵∠EDC=90°，∴∠EFC=∠EDC=90°．∵EH平分∠AEG，∴∠AEH=∠GEH．∵∠FEC=∠GEH，∠DEC=∠AEH，∴∠FEC=∠DEC．∵EC=EC，∴△EFC≌△EDC，∴EF=ED，∴EF MD．故③错误；∵CG=CD+DG=AD+ED=AE+ED+ED，∴CG=2DE+AE，故④正确．故选B．【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．36．如图，点D，E是等边三角形ABC的边BC，AC上的点，且CD=AE，AD交BE于点P，BQ⊥AD于点Q，已知PE=2，PQ=6，则AD等于( )A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【解析】【分析】由题中条件可得△ABE≌△CAD，得出AD=BE，∠ABE=∠CAD，进而得出∠BPD=60°．在Rt△BPQ中，根据30度角所对直角边等于斜边的一半，求出BP的长，进而可得结论．【详解】∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．又∵AE=CD，∴△ABE≌△CAD（SAS），∴∠ABE=∠CAD，AD=BE，∴∠BPD=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2×6=12，∴AD=BE=BP+PE=12+2=14．故选C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等边三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，证明∠BPD=60°是解答本题的关键．七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a2+b2+c2—ab－bc－ca的值等于( )A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】【分析】首先把a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac两两结合为a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac，利用提取公因式法因式分解，再把a、b、c代入求值即可．【详解】a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac＝a2﹣ab+b2﹣bc+c2﹣ac＝a（a﹣b）+b（b﹣c）+c（c﹣a）当a＝2012x+2011，b＝2012x+2012，c＝2012x+2013时，a-b=－1，b－c=－1，c－a=2，原式＝（2012x+2011）×（﹣1）+（2012x+2012）×（﹣1）+（2012x+2013）×2＝﹣2012x﹣2011﹣2012x﹣2012+2012x×2+2013×2＝3．故选D．本题利用因式分解求代数式求值，注意代数之中字母之间的联系，正确运用因式分解，巧妙解答题目．38．在矩形ABCD 中，AD =3，AB =2，现将两张边长分别为a 和b （a ＞b ）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S 1，图2中阴影部分的面积为S 2．则S 1﹣S 2的值为（ ）A ．-1B ．b ﹣aC ．-aD ．﹣b【答案】D【解析】【分析】 利用面积的和差分别表示出S 1、S 2，然后利用整式的混合运算计算它们的差.【详解】∵1()()()(2)(2)(3)S AB a a CD b AD a a a b a =-+--=-+--2()()()2(3)()(2)S AB AD a a b AB a a a b a =-+--=-+--∴21S S -=(2)(2)(3)a a b a -+--2(3)()(2)a a b a -----32b b b =-+=- 故选D.【点睛】本题考查了整式的混合运算，计算量比较大，注意不要出错，熟练掌握整式运算法则是解题关键.39．若229x kxy y -+是一个完全平方式，则常数k 的值为( )A ．6B ．6-C ．6±D ．无法确定【答案】C【解析】【分析】 利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k 的值．【详解】解：22x kxy 9y -+是一个完全平方式，k 6∴-=±，解得：k 6=±，。

八年级数学上册全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.2．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是_________.【答案】8；【解析】【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．【详解】∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，∴360°÷45°=8即该正多边形的边数是8．【点睛】本题主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．3．三角形的三个内角度数比为1：2：3，则三个外角的度数比为_____．【答案】5:4:3【解析】试题解析：设此三角形三个内角的比为x，2x，3x，则x+2x+3x=180，6x=180，x=30，∴三个内角分别为30°、60°、90°，相应的三个外角分别为150°、120°、90°，则三个外角的度数比为：150°：120°：90°=5：4：3，故答案为5：4：3．4．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF＝AC，则∠ABC＝_____度．【答案】45【解析】【分析】根据三角形全等的判定和性质，先证△ADC≌△BDF，可得BD=AD，可求∠ABC=∠BAD=45°．【详解】∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E∴∠EAF+∠AFE=90°，∠DBF+∠BFD=90°，又∵∠BFD=∠AFE（对顶角相等）∴∠EAF=∠DBF，在Rt△ADC和Rt△BDF中，CAD FBDBDF ADCBF AC∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC≌△BDF（AAS），∴BD=AD，即∠ABC=∠BAD=45°．故答案为45．【点睛】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．5．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞【解析】【分析】根据三角形的外角的性质判断即可．【详解】解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A∴∠2＞∠1＞∠A ，故答案为：∠2＞∠1＞∠A ．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．6．如图，已知长方形纸片的一条边经过直角三角形纸片的直角顶点，若长方形纸片的一组对边与直角三角形的两条直角边相交成∠1，∠2，则∠2-∠1=____.【答案】90°【解析】【分析】【详解】如图：∵∠2+∠3=180°，∴∠3=180°﹣∠2．∵直尺的两边互相平行，∴∠4=∠3，∴∠4=180°﹣∠2．∵∠4+∠1=90°，∴180°﹣∠2+∠1=90°，即∠2﹣∠1=90°．故答案为90°.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，D是△ABC的边BC上任意一点，E、F分别是线段AD、CE的中点，且△ABC的面积为40cm2，则△BEF的面积是（）cm2．A．5B．10C．15D．20【答案】B【解析】【分析】根据三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形解答即可．【详解】∵点E是AD的中点，∴S△ABE=12S△ABD,S△ACE=12S△ADC，∴S△ABE+S△ACE=12S△ABC=12×40=20cm2，∴S△BCE=12S△ABC=12×40=20cm2，∵点F是CE的中点，∴S△BEF=12S△BCE=12×20=10cm2.故选B.【点睛】本题考查了三角形的面积，主要利用了三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，原理为等底等高的三角形的面积相等．8．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解析】【分析】先根据三角形的外角，用∠AGE表示出∠A，∠B；用∠EMC表示出∠E，∠F；用∠CNA 表示出∠C，∠D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可【详解】解：如图：∵∠AGE是△ABG的外角∴∠AGE=∠A+∠B；同理：∠EMC=∠E+∠F；∠CNA=∠C+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGE+∠EMC+∠CNA又∵∠AGE+∠EMC+∠CAN是△MNG的三个外角∴∠AGE+∠EMC+∠CAN=360°故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形外角及其外角和，其中找出三角形的外角是解答本题的关键.9．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【答案】D【解析】如图所示:AB=5，AC=7，设BC=2a ，AD=x ，延长AD 至E ，使AD=DE ，在△BDE 与△CDA 中，∵AD=DE ，BD=CD ，∠ADC=∠BDE ，∴△BDE ≌△CDA ，∴AE=2x ，BE=AC=7，在△ABE 中，BE-AB ＜AE ＜AB+BE ，即7-5＜2x ＜7+5，∴1＜x ＜6．故选D ．10．已知：如图，ABC ∆三条内角平分线交于点D ，CE ⊥BD 交BD 的延长线于E ，则∠DCE=( )A ．12BAC ∠ B ．12CBA ∠ C ．12ACB ∠ D ．CDE ∠ 【答案】A【解析】【分析】 根据角平分线的性质以及三角形的外角性质可推导出DCE ∠与BAC ∠的关系．【详解】 由题意知，ECD BDC 90∠∠=-︒由三角形内角和定理得，BAC 180ABC ACB ∠∠∠=︒-+DBC DCB 180BDC ∠∠∠+=︒-∵点D 是ΔABC 三条内角平分线的交点∴ABC 2DBC ∠∠= ACB 2DCB ∠∠=()BAC 180ABC ACB ∠∠∠=︒-+()1802DBC DCB ∠∠=︒-+()1802180BDC ∠=︒-︒-2BDC 180∠=-︒1BAC BDC 902∠∠=-︒ ∴1ECD BAC 2∠∠=故答案选A.【点睛】本题考查角平分线的性质以及三角形的外角性质．11．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为 （ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．【详解】解：设这个多边形的边数为n ，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B ．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.12．已知三角形的两边长分别为4和9,则下列数据中能作为第三边长的是( )A ．13B ．6C ．5D ．4 【答案】B【解析】【分析】首先根据三角形的三边关系定理,求得第三边的取值范围,再进一步找到符合条件的数值．【详解】解：设这个三角形的第三边为x ．根据三角形的三边关系定理“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”,得：94x 94-<<+,解得5x 13<<．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理.一定要注意构成三角形的条件：两边之和>第三边,两边之差<第三边．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．在Rt△ABC中，∠BAC=90°AB=AC，分别过点B、C做经过点A的直线的垂线BD、CE，若BD=14cm，CE=3cm，则DE=_____【答案】11cm或17cm【解析】【分析】分两种情形画出图形，利用全等三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当D，E在BC的同侧时，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠CAE＝90°，∵BD⊥DE，∴∠BDA＝90°，∴∠BAD＋∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠CAE，∵CE⊥DE，∴∠E＝90°，在△BDA和△AEC中，ABD CAED EAB AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BDA≌△AEC（AAS），∴DA＝CE＝3，AE＝DB＝14，∴ED＝DA＋AE＝17cm．如图，当D，E在BC的两侧时，同法可证：BD＝CE＋DE，可得DE＝11cm，故答案为：11cm或17cm．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，关键是掌握全等三角形的判定定理与性质定理．14．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，则BD的长为 .【答案】41.【解析】作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，BA CABAD CADAD AD=⎧⎪∠=∠'⎨⎪='⎩，∴△BAD≌△CAD′(SAS)，∴BD=CD′.∠DA D′=90°由勾股定理得22()=32=42AD AD+'∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得22()=932=41DC DD+'+∴41，41.15．如图，ABC∆中，90ACB∠=︒，//AC BD，BC BD=，在AB上截取BE，使BE BD=，过点B作AB的垂线，交CD于点F，连接DE，交BC于点H，交BF于点G，7,4BC BG==，则AB=____________.【答案】658【解析】【分析】过点D作DM⊥BD，与BF延长线交于点M，先证明△BHE≌△BGD得到∠EHB=∠DGB，再由平行和对顶角相等得到∠MDG=∠MGD，即MD=MG，在△△BDM中利用勾股定理算出MG的长度，得到BM，再证明△ABC≌△MBD，从而得出BM=AB即可.【详解】解：∵AC∥BD，∠ACB=90°，∴∠CBD=90°，即∠1+∠2=90°，又∵BF⊥AB，∴∠ABF=90°，即∠8+∠2=90°，∵BE=BD，∴∠8=∠1，在△BHE和△BGD中，8143BE BD∠=∠∠=∠⎧⎪=⎨⎪⎩，∴△BHE≌△BGD（ASA），∴∠EHB=∠DGB∴∠5=∠6，∠6=∠7，∵MD⊥BD∴∠BDM=90°，∴BC∥MD，∴∠5=∠MDG，∴∠7=∠MDG∴MG=MD，∵BC=7，BG=4，设MG=x ，在△BDM 中，BD 2+MD 2=BM 2，即()2227=4x x ++，解得x=338， 在△ABC 和△MBD 中=8=1BC B ACB MDB D∠∠∠∠⎧⎪=⎨⎪⎩, ∴△ABC ≌△MBD （ASA ）AB=BM=BG+MG=4+338=658. 故答案为：658.【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，适当添加辅助线构造全等三角形，利用全等三角形的性质求出待求的线段，难度中等.16．如图，平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），BC ∥y 轴，且BC ＜OA ，第一象限内有一点P （a ，2a -3），若使△ACP 是以AC 斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标为_______________．33【解析】【详解】解：∵点P的坐标为（a，2a-3），∴点P在直线y=2x-3上，如图所示，当点P在AC的上方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC的延长线于E，则∠E=∠ADP=90°，∵△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴AP=PC，∠APD=∠PCE，∴△APD≌△PCE，∴PE=AD，又∵OD=2a-3，AO=3，∴AD=2a-6=PE，∵DE=OB=4，DP=a，又∵DP+PE=DE，∴a+（2a-6）=4，解得a=10 3∴2a-3=11 3，∴P（103，113）；当点P在AC下方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC于E，a=2，此时，CE=2，BE=2，即BC=2+2=4＞AO，不合题意；综上所述，点P的坐标为P（103，113）3317．如图所示，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，结论：①EM＝FN；②AF∥EB；③∠FAN＝∠EAM；④△ACN≌△ABM其中正确的有．【答案】①③④【解析】【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．【详解】解：在△ABE和△ACF中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACF，∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM，即∠EAM=∠FAN，在△AEM和△AFN中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；在△ACN和△ABM中，∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，则正确的选项有：①③④．故答案为①③④18．如图：已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC边上的中点，两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出以下四个结论：①AE=CF；②EF=AP；③2S四边形AEPF=S△ABC；④当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）有BE+CF=EF；上述结论中始终正确的序号有__________．【答案】①③【解析】【分析】根据题意，容易证明△AEP≌△CFP，然后能推理得到①③都是正确．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴∠EAP=12∠BAC=45°，AP=12BC=CP．①在△AEP与△CFP中，∵∠EAP=∠C=45°，AP=CP，∠APE=∠CPF=90°-∠APF，∴△AEP≌△CFP，∴AE=CF．正确；②只有当F在AC中点时EF=AP，故不能得出EF=AP，错误；③∵△AEP≌△CFP，同理可证△APF≌△BPE．∴S四边形AEPF=S△AEP+S△APF=S△CPF+S△BPE=12S△ABC，即2S四边形AEPF=S△ABC；正确；④根据等腰直角三角形的性质，2PE，所以，EF随着点E的变化而变化，只有当点E为AB的中点时，2PE=AP，在其它位置时EF≠AP，故④错误；故答案为：①③．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，证得△AEP和△CFP 全等是解题的关键，也是本题的突破点．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=BG．其中正确的是A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．【详解】解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形.∴BD=CD.故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA.又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC.∴BF=AC；DF=AD.∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC.∴CE=AE=12 AC.又由(1)，知BF=AC，∴CE=12AC=12BF；故③正确；连接CG.∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD.又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG.∵CE=AE，∴AE<BG.故④错误.故选C.【点睛】本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.20．如图所示，设甲、乙、丙、丁分别表示△ABC，△ACD，△EFG，△EGH．已知∠ACB＝∠CAD＝∠EFG＝∠EGH＝70°，∠BAC＝∠ACD＝∠EGF＝∠EHG＝50°，则叙述正确的是（）A．甲、乙全等，丙、丁全等B．甲、乙全等，丙、丁不全等C．甲、乙不全等，丙、丁全等D．甲、乙不全等，丙、丁不全等【答案】B【解析】【分析】根据题意即是判断甲、乙是否全等，丙丁是否全等．运用判定定理解答．【详解】解：∵∠ACB=CAD=70°，∠BAC=∠ACD=50°，AC为公共边，∴△ABC≌△ACD，即甲、乙全等；△EHG中，∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG，虽∠EFG=∠EGH=70°，∠EGF=∠EHG=50°，∴△EFG 不全等于△EGH ，即丙、丁不全等．综上所述甲、乙全等，丙、丁不全等，B 正确，故选：B ．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定，但考生需要有空间想象能力．判定两个三角形全等的一般方法有：SSS 、SAS 、AAS 、HL ．找着∠EGH=70°≠∠EHG=50°，即EH≠EG 是正确解决本题的关键．21．如图，O 是正ABC 内一点，3OA =，4OB =，5OC =，将线段BO 以点B 为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO '，连接AO '，下列结论：①BO A '△可以由BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到：②点O 与O '的距离为4；③150AOB ∠=︒；④S 四边形643AOBO ；⑤9634AOC AOB S S +=+△△．其中正确的结论是（ ）A ．①②③④B ．①②③⑤C ．①②④⑤D ．①②③④⑤【答案】D【解析】【分析】 证明△BO ′A ≌△BOC ，又∠OBO ′＝60°，所以△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；由△OBO ′是等边三角形，可知结论②正确；在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，故△AOO ′是直角三角形；进而求得∠AOB ＝150°，故结论③正确；643AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=+四边形④正确；如图②，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．利用旋转变换构造等边三角形与直角三角形，将S △AOC +S △AOB 转化为S △COO ″+S △AOO ″，计算可得结论⑤正确．【详解】解：由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB ＝O ′B ，AB ＝BC ，∴△BO ′A ≌△BOC ，又∵∠OBO ′＝60°，∴△BO ′A 可以由△BOC 绕点B 逆时针旋转60°得到，故结论①正确；如图①，连接OO ′，∵OB ＝O ′B ，且∠OBO ′＝60°，∴△OBO ′是等边三角形，∴OO ′＝OB ＝4．故结论②正确；∵△BO ′A ≌△BOC ，∴O ′A ＝5．在△AOO ′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO ′是直角三角形，∠AOO ′＝90°，∴∠AOB ＝∠AOO ′+∠BOO ′＝90°+60°＝150°，故结论③正确；2313446432AOO OBO AOBO S S S '∆'∆'=+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论④正确；如图②所示，将△AOB 绕点A 逆时针旋转60°，使得AB 与AC 重合，点O 旋转至O ″点．易知△AOO ″是边长为3的等边三角形，△COO ″是边长为3、4、5的直角三角形，则23193436324AOC AOB COO AOO AOCO S S S S S ∆∆∆''∆''''+==+=⨯⨯+⨯=+四边形， 故结论⑤正确．综上所述，正确的结论为：①②③④⑤．故选：D ．【点睛】本题考查了旋转变换中等边三角形，直角三角形的性质．利用勾股定理的逆定理，判定勾股数3、4、5所构成的三角形是直角三角形，这是本题的要点．在判定结论⑤时，将△AOB 向不同方向旋转，体现了结论①﹣结论④解题思路的拓展应用．22．如图，四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 、∠D 的角平分线恰相交于一点P ，记△APD 、△APB 、△BPC 、△DPC 的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，则有（ ）A ．1324S S S S +=+B ．1234S S S S +=+C ．1423S S S S +=+D ．13S S =【答案】A【解析】【分析】作辅助线,利用角平分线性质定理,明确8个三角形中面积两两相等即可解题.【详解】四边形ABCD,四个内角平分线交于一点P,即点p 到四边形各边距离相等,（角平分线性质定理）,如下图,可将四边形分成8个三角形,面积分别是a 、a 、b 、b 、c 、c 、d 、d,则S 1=a+d, S 2=a+b, S 3=b+c, S 4=c+d,∴S 1+S 3=a+b+c+d= S 2+S 4故选A【点睛】本题考查了角平分线性质定理,作高线和理解角平分线性质定理是解题关键.23．如图，D 为BAC ∠的外角平分线上一点并且满足BD CD =，DBC DCB ∠=∠，过D 作DE AC ⊥于E ，DF AB ⊥交BA 的延长线于F ，则下列结论：①CDE △≌BDF ；②CE AB AE =+；③BDC BAC ∠=∠；④DAF CBD ∠=∠． 其中正确的结论有（ ）．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】 BD=CD,AD 是角平分线，所以FD=DE,∠DFB =∠DEC =90°，所以CDE ≌BDF ；①正确.由全等得BF=CE ,因为FA=AE,FB=AB+FA ,所以CE=AB+AE , ②正确.由全等知，∠DCE=∠FBD,所以∠BAC=∠BDC. ③正确. ∴DBF DCE ∠=∠，∴A 、B 、C 、D 四点共圆，∴DAF CBD∠=∠，④正确．故选D.24．如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,以A为圆心,任意长为半径画弧分别交AB,AC于点M和N,再分别以M,N为圆心,大于12MN的长为半径画弧,两弧交于点P,连结AP并延长交BC于点D,则下列说法中正确的个数是( )①AD平分∠BAC；②作图依据是S.A．S；③∠ADC=60°；④点D在AB的垂直平分线上A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】①根据作图的过程可以判定AD是∠BAC的∠平分线；②根据作图的过程可以判定出AD的依据；③利用角平分线的定义可以推知∠CAD=30°，则由直角三角形的性质求∠ADC的度数；④利用等角对等边可以证得△ADB的等腰三角形，由等腰三角形的“三合一”的性质可以证明点在AB的中垂线上.解：如图所示，①根据作图的过程可知，AD是∠BAC的∠平分线；故①正确；②根据作图的过程可知，作出AD的依据是SSS；故②错误；③∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，∴∠CBA=60°.又∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2=12∠CAB=30°，∴∠3=90°-∠2=60°，即∠ADC=60°.故③正确；④∵∠1=∠B=30°，∴AD=BD，∴点D在AB的中垂线上.故④正确；故选C.“点睛”此题主要考查的是作图-基本作图，涉及到角平分线的作法以及垂直平分线的性质，熟练根据角平分线的性质得出∠ADC的度数是解题的关键.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A（P，A两点不重合）两点间的最短距离为______cm．-【答案】10310【解析】解：连接BD，在菱形ABCD中，∵∠ABC=120°，AB=BC=AD=CD=10，∴∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边BC为底，则BC垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值PA=10；②若以边PB为底，∠PCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧BD（除点B外）上的所有点都满足△PBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP-；最小，最小值为10310③若以边PC为底，∠PBC为顶角，以点B为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点A与点D均满足△PBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，PA最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；-（cm）．综上所述，PA的最小值为10310-．故答案为：10310点睛：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．26．△ABC与△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠D=90°，AB=AC=6．现将△DEF与△ABC按如图所示的方式叠放在一起，使△ABC保持不动，△DEF运动，且满足点E在边BC上运动（不与B，C重合），边DE始终经过点A，EF与AC交于点M．在△DEF 运动过程中，若△AEM能构成等腰三角形，则BE的长为______．【答案】363【解析】【分析】分若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°；若AE＝EM；若MA＝ME 则∠MAE＝∠AEM＝45°三种情况讨论解答即可；【详解】解：①若AE＝AM 则∠AME＝∠AEM＝45°∵∠C＝45°∴∠AME＝∠C又∵∠AME＞∠C∴这种情况不成立；②若AE＝EM∵∠B＝∠AEM＝45°∴∠BAE+∠AEB＝135°，∠MEC+∠AEB＝135°∴∠BAE＝∠MEC在△ABE和△ECM中，BBAE CENAE EIIC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ECM（AAS），∴CE＝AB6，∵AC ＝BC ＝2AB ＝23，∴BE ＝23﹣6；③若MA ＝ME 则∠MAE ＝∠AEM ＝45°∵∠BAC ＝90°，∴∠BAE ＝45°∴AE 平分∠BAC∵AB ＝AC ，∴BE ＝12BC ＝3． 故答案为23﹣6或3．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，掌握分类讨论的数学思想是解答本题的关键．27．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．28．如图，△ABC 中，AB =AC ，∠A =30°，点D 在边AB 上，∠ACD =15°，则AD BC =____．【答案】22． 【解析】【分析】根据题意作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH ＝DH ，连接DH ，并设AD ＝2x ，解直角三角形求出BC （用x 表示）即可解决问题．【详解】解：作CE ⊥AB 于E ，作DF ⊥AC 于F ，在CF 上截取一点H ，使得CH=DH ，连接DH ．设AD=2x ，∵AB=AC ，∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=75°，DF 12=AD=x ，AF 3=， ∵∠ACD=15°，HD=HC ，∴∠HDC=∠HCD=15°，∴∠FHD=∠HDC+∠HCD=30°，∴DH=HC=2x ，FH 3=x ， ∴AB=AC=2x+23x ，在Rt △ACE 中，EC 12=AC=x 3+x ，AE 3=EC 3=x+3x ， ∴BE=AB ﹣AE 3=x ﹣x ，在Rt △BCE 中，BC 22BE EC =+=22x ， ∴2222AD BC x ==． 故答案为：22． 【点睛】本题考查的等腰三角形的性质和解直角三角形以及直角三角形30度角的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．29．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AE 平分∠BAC ，∠D=∠DBC=60°，若BD=5cm ，DE=3cm ，则BC 的长是 ______cm ．【答案】8．【解析】【分析】作出辅助线后根据等边三角形的判定得出△BDM 为等边三角形，△EFD 为等边三角形，从而得出BN 的长，进而求出答案．【详解】解：延长DE 交BC 于M ，延长AE 交BC 于N ，作EF ∥BC 于F ，∵AB=AC ，AE 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN=CN ，∵∠DBC=∠D=60°，∴△BDM 为等边三角形，∴△EFD 为等边三角形，∵BD=5，DE=3，∴EM=2，∵△BDM 为等边三角形，∴∠DMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠ENM=90°，∴∠NEM=30°，∴NM=1，∴BN=4，∴BC=2BN=8（cm），故答案为8．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质；等腰三角形的性质．30．如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为________．【答案】9 2【解析】【分析】首先证明两个阴影部分面积之差＝S△ADC，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．∵AD ⊥BH ，∴∠ADB ＝∠ADH ＝90°，∴∠ABD ＋∠BAD ＝90°，∠H ＋∠HAD ＝90°，∵∠BAD ＝∠HAD ，∴∠ABD ＝∠H ，∴AB ＝AH ，∵AD ⊥BH ，∴BD ＝DH ，∵DC ＝CA ，∴∠CDA ＝∠CAD ，∵∠CAD ＋∠H ＝90°，∠CDA ＋∠CDH ＝90°，∴∠CDH ＝∠H ，∴CD ＝CH ＝AC ，∵AE ＝EC ，∴S △ABE ＝14S △ABH ，S △CDH ＝14S △ABH ， ∵S △OBD −S △AOE ＝S △ADB −S △ABE ＝S △ADH −S △CDH ＝S △ACD ，∵AC ＝CD ＝3，∴当DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大，最大面积为12×3×3＝92． 故填：92． 【点睛】 本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若112OA =，则667A B A 的边长为( )A ．6B ．12C ．16D ．32【答案】C【解析】【分析】先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，再利用外角定理求∠OB1A1=30°，则∠MON=∠OB1A1，由等角对等边得：B1A1=OA1=12，得出△A1B1A2的边长为12，再依次同理得出：△A2B2A3的边长为1，△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．【详解】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2=60°，A1B1=A1A2，∵∠MON=30°，∴∠OB1A1=60°-30°=30°，∴∠MON=∠OB1A1，∴B1A1=OA1=12，∴△A1B1A2的边长为12，同理得：∠OB2A2=30°，∴OA2=A2B2=OA1+A1A2=12+12=1，∴△A2B2A3的边长为1，同理可得：△A3B3A4的边长为2，△A4B4A5的边长为：22=4，△A5B5A6的边长为：23=8，则△A6B6A7的边长为：24=16．故选：C．【点睛】本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．32．等边△ABC，在平面内找一点P，使△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，具备这样条件的P点有多少个？（）A．1个B．4个C．7个D．10个【答案】D【解析】试题分析：根据点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．解：由点P在等边△ABC内，而且△PBC、△PAB、△PAC均为等腰三角形，可知P点为等边△ABC的垂心；因为△ABC 是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的， 每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故选D ． 点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．33．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.34．如图，△ABC 是等边三角形，AQ ＝PQ ，PR ⊥AB 于点R ，PS ⊥AC 于点S ，PR ＝PS ，则下列结论：①AP ⊥BC ；②AS ＝AR ；③QP ∥AR ；④△BRP ≌△QSP .正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】【分析】 根据到角的两边的距离相等的点在角的平分线上可得AP 平分∠BAC ，根据等腰三角形“三线合一”的性质判断出①正确；根据HL 证明Rt △APR ≌Rt △APS ，即可判断②正确；根据等边对等角的性质可得∠APQ =∠PAQ ，根据三角形外角的性质得到然后得到∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，然后根据同位角相等两直线平行可得QP ∥AB ，从而判断出③正确，④由③易证△QPC 是等边三角形，得到PQ =PC ，等量代换得到BP =PQ ，用HL 证明Rt △BRP ≌Rt △QSP ，即可得到④正确．【详解】∵△ABC 是等边三角形，PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，且PR =PS ，∴P 在∠A 的平分线上．∵AB =AC ，∴AP ⊥BC ，故①正确；∵PA =PA ，PR =PS ，∴Rt △APR ≌Rt △APS ，∴AS =AR ，故②正确；∵AQ =PQ ，∴∠APQ =∠PAQ ，∴∠PQC =2∠PAC =60°=∠BAC ，∴PQ ∥AR ，故③正确； 由③得：△PQC 是等边三角形，∴△PQS ≌△PCS ，∴PQ =PC ．又∵AB =AC ，AP ⊥BC ，∴BP =PC ，∴BP =PQ ．∵PR =PS ，∴Rt △BRP ≌Rt △QSP ，故④也正确．∵①②③④都正确．故选D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质，准确识图并熟练掌握全等三角形的判定方法与性质是解题的关键．35．如图，ABC △，AB AC =，56BAC ︒∠=，BAC ∠的平分线与AB 的垂直平分线交于O ，将∠C 沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与O 点恰好重合，则∠OEC 的度数为（ ）A ．132︒B ．130︒C ．112︒D ．110︒【答案】C【解析】【分析】 连接OB 、OC ，根据角平分线的定义求出∠BAO ，根据等腰三角形两底角相等求出∠ABC ，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OA=OB ，根据等边对等角可得∠ABO=∠BAO ，再求出∠OBC ，然后判断出点O 是△ABC 的外心，根据三角形外心的性质可得OB=OC ，再根据等边对等角求出∠OCB=∠OBC ，根据翻折的性质可得OE=CE ，然后根据等边对等角求出∠COE ，再利用三角形内角和定理列式计算即可得出答案.【详解】如图，连接OB 、OC ，∵56BAC ︒∠=，AO 为BAC ∠的平分线 ∴11562822BAO BAC ︒︒∠=∠=⨯= 又∵AB AC =， ∴()()11180180566222ABC BAC ︒︒︒︒∠=-∠=-= ∵DO 是AB 的垂直平分线，∴OA OB =．∴28ABO BAO ︒∠=∠=，∴622834OBC ABC ABO ︒︒︒∠=∠-∠=-=∵DO 是AB 的垂直平分线，AO 为BAC ∠的平分线∴点О是ABC △的外心，∴OB OC =，∴34OCB OBC ︒∠=∠=，∵将C ∠沿EF （E 在BC 上，F 在AC 上）折叠，点C 与点O 恰好重合∴OE CE =，∴34COE OCB ︒∠=∠=，在OCE △中，1801803434112OEC COE OCB ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，综合性较强，难度较大，做辅助线构造出等腰三角形是解决本题的关键.36．已知等边△ABC 中，在射线BA 上有一点D ，连接CD ，并以CD 为边向上作等边△CDE ，连接BE 和AE ，试判断下列结论：①AE=BD ； ②AE 与AB 所夹锐夹角为60°；③当D 在线段AB 或BA 延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC ；④∠BCD=90°时，CE 2+AD 2=AC 2+DE 2 ，正确的序号有（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE ，利用SAS 可证明△BCD ≌△ACE ，可得AE=BD ，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC ，即可得CE 2+AD 2=AC 2+DE 2 ，④正确；当D 点在BA 延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD ≌△ACE 可得∠AEC=∠BDC ，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED ，即∠BDE-∠AED=2∠BDC ，当点D 在AB 上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD ，∴∠BCD=∠ACE ，又∵AC=BC ，CE=CD ，∴△BCD ≌△ACE ，∴AE=BD ，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC ，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD ，∵CE=DE ，∴CE 2+AD 2=AC 2+DE 2，④正确，当D 点在BA 延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC ，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC ，如图，当点D 在AB 上时，∵△BCD ≌△∠ACE ，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．当3x =-时，多项式33ax bx x ++=.那么当3x =时，它的值是（ ）A ．3-B ．5-C ．7D ．17-【答案】A【解析】【分析】首先根据3x =-时，多项式33ax bx x ++=，找到a 、b 之间的关系，再代入3x =求值即可.【详解】当3x =-时，33ax bx x ++=327333ax bx x a b ++=---=。

八年级数学全册全套试卷综合测试卷（word含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，将一张三角形纸片 ABC 的一角折叠，使点 A 落在△ABC 外的 A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么α，β，γ 三个角的数量关系是__________ ．【答案】γ=2α+β．【解析】【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．【详解】由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故答案为：γ=2α+β．【点睛】此题考查三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．2．若（a﹣4）2+|b﹣9|=0，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为_______．【答案】22【解析】【分析】先根据非负数的性质列式求出a、b再根据等腰三角形和三角形三边关系分情况讨论求解即可．【详解】解：根据题意得，a-4=0，b-9=0，解得a=4，b=9，①若a=4是腰长，则底边为9，三角形的三边分别为4、4、9，不能组成三角形，②若b=9是腰长，则底边为4，三角形的三边分别为9、9、4，能组成三角形，周长=9+9+4=22．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，非负数的性质，以及三角形的三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握非负数的非负性质和三角形三边关系.3．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．【答案】108°【解析】【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.4．如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∠ACB=35°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∴∠ACE=12∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．5．如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是_____．【答案】85°．【解析】【分析】根据三角形内角和得出∠C=60°，再利用角平分线得出∠DBC=35°，进而利用三角形内角和得出∠BDC的度数．【详解】∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，∴∠C=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=35°，∴∠BDC=180°﹣60°﹣35°=85°．故答案为85°．6．三角形三边长分别为 3，1﹣2a，8，则 a 的取值范围是 _______．【答案】﹣5＜a＜﹣2．【解析】【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，再将a的取值范围在数轴上表示出来即可．【详解】由三角形三边关系定理得8-3＜1-2a＜8+3，即-5＜a＜-2．即a的取值范围是-5＜a＜-2．【点睛】本题考查的知识点是三角形三边关系，在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组，解题关键是根据三角形三边关系定理列出不等式.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（）A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定【答案】C【解析】【分析】先根据AD、BE、CF为△ABC的角平分线可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°在△AHB中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，故可得出结论．【详解】∵AD、BE、CF为△ABC的角平分线∴可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，∴2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°，∵在△AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，∴∠AHE=∠CHG，故选C．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．8．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（ ）A ．56B ．64C ．72D ．90【答案】D【解析】【分析】根据题意找出规律得到第n 个图形中花盆的个数为：（n+1）（n+2），然后将n=7代入求解即可.【详解】第1个图形的花盆个数为：（1+1）（1+2）；第2个图形的花盆个数为：（2+1）（2+2）=12；第3个图形的花盆个数为：（3+1）（3+2）=20；，第n 个图形的花盆个数为：（n+1）（n+2）；则第7个图形中花盆的个数为：（7+1）（7+2）=72.故选：C. 【点睛】本题考查图形规律题，解此题的关键在于根据题中图形找到规律.9．把一副直角三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中C 90∠=，F 90∠=，D 30∠=，A 45∠=，则12∠∠+等于( )A ．270B ．210C ．180D ．150【答案】B【解析】【分析】 利用三角形的外角等于不相邻的两内角和，和三角形内角和为180︒，可解出答案.【详解】如图，AB与DE交于点G，AB与EF交于点H，∵∠1=∠A+∠DGA，∠2=∠B+∠FHB，∠DGA=∠BGE，∠FHB=∠AHE，在三角形GEH中，∠BGE+∠AHE =180︒-∠E=120︒,∴∠1+∠2=∠A+∠B+∠BGE+∠AHE=90︒+120︒=210.【点睛】本题考查了三角形的外角性质,内角和定理,熟练掌握即可解题.10．已知正多边形的一个外角等于40，那么这个正多边形的边数为()A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【解析】【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，即可求得边数．【详解】正多边形的一个外角等于40，且外角和为360，÷=，则这个正多边形的边数是：360409故选D．【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理，熟练掌握多边形的外角和等于360度是解题的关键．11．如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若∠的大小为（）244∠=，则1α-A．14B．16C．90α-D．44【答案】A【解析】分析：依据平行线的性质，即可得到∠2=∠3=44°，再根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+30°，进而得出结论．详解：如图，∵矩形的对边平行，∴∠2=∠3=44°，根据三角形外角性质，可得：∠3=∠1+30°，∴∠1=44°﹣30°=14°．故选A．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．12．如图，在△ABC中，过点A作射线AD∥BC，点D不与点A重合，且AD≠BC，连结BD 交AC于点O，连结CD，设△ABO、△ADO、△CDO和△BCO的面积分别为和,则下列说法不正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据同底等高判断△ABD和△ACD的面积相等，即可得到，即，同理可得△ABC和△BCD的面积相等，即.【详解】∵△ABD和△ACD同底等高，,，即△ABC和△DBC同底等高，∴∴故A,B,C正确，D错误.故选：D.【点睛】考查三角形的面积，掌握同底等高的三角形面积相等是解题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，MN∥PQ，AB⊥PQ，点A，D，B，C分别在直线MN和PQ上，点E在AB上，AD＋BC＝7，AD＝EB，DE＝EC，则AB＝_____．【答案】7【解析】由MN∥PQ，AB⊥PQ，可知∠DAE=∠EBC=90°，可判定△ADE≌△BCE，从而得出AE=BC，则AB=AE+BE=AD+BC=7．故答案为：7.点睛：本题考查了直角三角形全等的判定和性质以及平行线的性质，是基础知识，比较简单．14．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD是∠BAC的角平分线，点D在△ABC内部，连接AD、BD、CD，∠ADB＝150°，∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°，则线段CD的长度为________．【答案】3【解析】【分析】在AB上截取AE=AC，证明△ADE和△ADC全等，再证BDE是等腰三角形即可得出答案.【详解】在AB上截取AE=AC∵AD是∠BAC的角平分线∴∠EAD=∠CAD又AD=AD∴△ADE≌△ADC(SAS)∴ED=DC，∠ADE=∠ADC∵∠ADB＝150°∴∠EDB+∠ADE=150°又∵∠DBC＝30°，∠ABC+∠ADC＝180°∴∠ABD+∠DBC+∠ADC=180°即∠ABD +∠ADC=150°∴∠ABD=∠EDB∴BE=ED即BE=CD又AB=8，AC=5CD=BE=AB-AE=AB-AC=3故答案为3【点睛】本题考查的是全等三角形的综合，解题关键是利用截长补短法作出两个全等的三角形.15．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E是△ABC内一点，若∠AEB=∠CED=90°，AE=BE，CE=DE=2，则图中阴影部分的面积等于__________．【答案】4【解析】【分析】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，可证△DEG≌△CEF，可得DG=CF，则是S△BDE=S△AEC，由D 是BC中点可得S△BED=2，即可求得阴影部分面积.【详解】作DG⊥BE于G，CF⊥AE于F，∴∠DGE=∠CFE=90°，∵∠AEB=∠DEC=90°，∴∠GED+∠DEF=90°，∠DEF+∠CEF=90°，∴∠GED=∠CEF，又∵DE=EC，∴△GDE≌△FCE，∴DG=CF，∵S△BED=12BE•DG，S△BED=12AE•CF，AE=BE，∴S△BED=S△BED，∵D是BC的中点，∴S△BDE=S△EDC=1222⨯⨯=2，∴S阴影=2+2=4，故答案为4.【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键.16．AD，BE是△ABC的高，这两条高所在的直线相交于点O，若BO=AC，BC=a，CD=b，则AD的长为______.【答案】AD的长为a-b或b-a或a+b或12a或b.【解析】【分析】分别讨论△ABC为锐角三角形时、∠A、∠B、∠C分别为钝角时和∠A为直角时五种情况，利用AAS证明△BOD≌△ACD，可得BD=AD，根据线段的和差关系即可得答案.【详解】①如图，当△ABC为锐角三角形时，∵AD、BE为△ABC的两条高，∴∠CAD+∠AOE=90°，∠CBE+∠BOD=90°，∵∠BOD=∠AOE，∴∠CAD=∠OBD，又∵∠ODB=∠ADC=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴AD=BD，∵BC=a，CD=b，∴AD=BD=BC-CD=a-b.②如图，当∠B为钝角时，∵∠C+∠CAD=90°，∠O+∠CAD=90°，∴∠C=∠O，又∵∠ADC=∠ODB=90°，OB=AC，∴△BOD≌△ACD，∴BD=AD，∴AD=CD-BC=b-a.③如图，当∠A为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BC-CD=a-b.④如图，当∠C为钝角时，同理可证：△BOD≌△ACD，∴AD=BD=BC+CD=a+b.⑤当∠B 为直角时，点O 、D 、B 重合，OB=0，不符合题意，当∠C 为直角时，点O 、C 、D 、E 重合，CD=0，不符合题意，如图，当∠A 为直角时，点A 、E 、O 重合，∵OB=AC ，∠CAB=90°，∴△ABC 是等腰直角三角形，∵AD ⊥BC ，∴AD 是Rt △ABC 斜边中线，∴AD=AD=12BC=12a=b.综上所述：AD 的长为a-b 或b-a 或a+b 或12a 或b. 故答案为：a-b 或b-a 或a+b 或12a 或b 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定与性质，全等三角形的判定方法有：SSS 、AAS 、ASA 、SAS 、HL 等，注意：SAS 时，角必须是两边的夹角，SSA 和AAA 不能判定两个三角形全等.灵活运用分类讨论的思想是解题关键.17．如图所示，在平行四边形ABCD 中，2AD AB =，F 是AD 的中点，作CE AB ⊥，垂足E 在线段上，连接EF 、CF ，则下列结论2BCD DCE ①∠=∠；EF CF =②；3DFE AEF ③∠=∠，2BEC CEF SS =④中一定成立的是______ .(把所有正确结论的序号都填在横线上)【答案】②③【解析】分析：由在平行四边形ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得①∠DCF=12∠BCD；然后延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），得出对应线段之间关系，进而得出答案．详解：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，即∠BCD=2∠DCF；故此选项错误；②延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，A FDMAF DFAFE DFM∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．④∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；综上可知：一定成立的是②③，故答案为②③．点睛：此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出△AEF≌△DME是解题关键．18．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB的垂直平分线交BC于D，垂足为E，BD=4cm，则DC=_______【答案】2cm【解析】试题解析：解：连接AD，∵ED是AB的垂直平分线，∴BD=AD=4c m，∴∠BAD=∠B=30°，∵∠C=90°，∴∠BAC=90°-∠B=90°-30°=60°，∴∠DAC=60°-30°=30°，在Rt△ACD中，∴DC=12AD==12× 4=2c m．故答案为2c m．点睛：本题考查了线段垂直平分线，在直角三角形中30度角所对的边等于斜边的一半，三角形内角和定理，主要考查学生运用性质进行计算的能力．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，AO OM，OA=8，点B为射线OM上的一个动点，分别以OB、AB为直角边，B为直角顶点，在OM两侧作等腰Rt△OBF、等腰Rt△ABE，连接EF交OM于P点，当点B在射线OM上移动时，PB的长度是 ( )A．3.6 B．4 C．4.8 D．PB的长度随B点的运动而变化【答案】B【解析】【分析】作辅助线，首先证明△ABO≌△BEN，得到BO=ME；进而证明△BPF≌△MPE，即可解决问题．【详解】如图，过点E作EN⊥BM，垂足为点N，∵∠AOB=∠ABE=∠BNE=90°，∴∠ABO+∠BAO=∠ABO+∠NBE=90°，∴∠BAO=∠NBE，∵△ABE、△BFO均为等腰直角三角形，∴AB=BE，BF=BO；在△ABO与△BEN中，BAO NBE AOB BNE AB BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△BEN（AAS ），∴BO=NE ，BN=AO ；∵BO=BF ，∴BF=NE ，在△BPF 与△NPE 中，FBP ENP FPB EPN BF NE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△BPF ≌△NPE （AAS ），∴BP=NP=12BN ；而BN=AO ， ∴BP=12AO=12×8=4， 故选B ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用有关定理来分析或解答．20．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.【详解】解：∵与都是等边三角形∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC即∠DAC=∠EAB∴∴，①正确；∵∴∠ADO=∠ABO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB∴,③错误∵∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴④正确故由①②④三个正确，故选：C【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．21．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ =∠PAR ，QP AB ∴， 故④正确；在△APR 与△APS 中,AP AP PR PS =⎧⎨=⎩， (HL)APR APS ∴≌， ∴AR =AS ，故②正确；△BPR 和△QSP 只能知道PR =PS ,∠BRP =∠QSP =90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.22．如图，Rt ABC ∆中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ∆∆=（ ）A ．3:4B ．3:5C ．4:5D ．2:3【答案】B【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S △ACD ：S △ABD =CD ：BD=12×32×3：12×32×5=3：5．故选：B ．点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．23．如图, AB=AC ，AD=AE ， BE 、CD 交于点O ，则图中全等三角形共有（ ）A ．五对B ．四对C ．三对D ．二对【答案】A【解析】 如图，由已知条件可证：①△ABE ≌△ACD ；②△DBC ≌△ECB ；③△BDO ≌△ECO ；④△ABO ≌△ACO ；⑤△ADO ≌△AEO ；∴图中共有5对全等三角形.故选A.24．如图，A ABC CB =∠∠，AD 、BD 、CD 分别平分ABC 的EAC ∠、ABC ∠、ACF ∠，以下结论：①AD BC ∥；②2ACB ADB ∠=∠；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 分ADC ∠；⑤3BDC BAC ∠=∠。

八年级上册数学全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．直角三角形中,一个锐角等于另一个锐角的2倍,则较小的锐角是_______．【答案】30°【解析】【分析】设较小的锐角是x,然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.【详解】设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x，由题意得，x＋2x＝90°，解得x＝30°，即此三角形中最小的角是30°.故答案为：30°.【点睛】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.2．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____．【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．3．等腰三角形一边长是10cm，一边长是6cm，则它的周长是_____cm或_____cm．【答案】22cm,26cm【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为10cm和6cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】（1）当腰是6cm时，周长＝6+6+10＝22cm；（2）当腰长为10cm时，周长＝10+10+6＝26cm，所以其周长是22cm或26cm．故答案为：22，26．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．4．两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于 ______ 度．【答案】108°【解析】【分析】如图，易得△OCD为等腰三角形，根据正五边形内角度数可求出∠OCD，然后求出顶角∠COD，再用360°减去∠AOC、∠BOD、∠COD即可【详解】∵五边形是正五边形，∴每一个内角都是108°，∴∠OCD=∠ODC=180°-108°=72°，∴∠COD=36°，∴∠AOB=360°-108°-108°-36°=108°.故答案为108°【点睛】本题考查正多边形的内角计算，分析出△OCD是等腰三角形，然后求出顶角是关键.5．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．【答案】360°．【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．【详解】由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．6．如图，△ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE，则∠CDF =_________度.【答案】74°【解析】【分析】【详解】试题分析：首先根据三角形的内角和定理求得∠ACB的度数，以及∠BCD的度数，根据角平分线的定义求得∠BCE的度数，则∠ECD可以求解，然后在△CDF中，利用内角和定理即可求得∠CDF的度数．∵∠A=40°，∠B=70°，∴∠ACB=180°﹣∠A﹣∠B=70°．∵CE平分∠ACB，∠ACB=35°．∵CD⊥AB于D，∴∠CDA=90°，∠ACD=180°﹣∠A﹣∴∠ACE=12∠CDA=50°．∴∠ECD=∠ACD﹣∠ACE=15°．∵DF⊥CE，∴∠CFD=90°，∴∠CDF=180°﹣∠CFD﹣∠DCF=75°．考点：三角形内角和定理．二、八年级数学三角形选择题（难）7．一个三角形的两边长分别为5和7，设第三边上的中线长为x，则x的取值范围是（）A．x>5 B．x<7 C．2<x<12 D．1<x<6【答案】D【解析】如图所示:AB=5，AC=7，设BC=2a，AD=x，延长AD至E，使AD=DE，在△BDE与△CDA中，∵AD=DE，BD=CD，∠ADC=∠BDE，∴△BDE≌△CDA，∴AE=2x，BE=AC=7，在△ABE中，BE-AB＜AE＜AB+BE，即7-5＜2x＜7+5，∴1＜x＜6．故选D．8．如图，在△ABC中，点M、N是∠ABC与∠ACB三等分线的交点．若∠A＝60°，则∠BMN的度数为( )A．45°B．50°C．60°D．65°【答案】B【解析】分析：过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得NE=NG=NF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上判断出MN平分∠BMC，然后根据三角形内角和等于180°求出∠ABC+∠ACB，再根据角的三等分求出∠MBC+∠MCB的度数，然后利用三角形内角和定理求出∠BMC的度数，从而得解．详解：如图，过点N作NG⊥BC于G，NE⊥BM于E，NF⊥CM于F，∵∠ABC的三等分线与∠ACB的三等分线分别交于点M、N，∴BN平分∠MBC，CN平分∠MCB，∴NE=NG，NF=NG，∴NE=NF，∴MN平分∠BMC，∴∠BMN=12∠BMC，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=180°−∠A=180°−60°=120°，根据三等分,∠MBC+∠MCB=23(∠ABC+∠ACB)=23×120°=80°.在△BMC中,∠BMC=180°−(∠MBC+∠MCB)=180°−80°=100°.∴∠BMN=12×100°=50°；故选：B.点睛：本题考查了三角形的内角和定理：三角形内角和为180°；角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.熟记性质和定理是解本题的关键.9．如图，是由相同的花盆按一定的规律组成的形如正多边形的图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…则第8个图形中花盆的个数为（）A．56 B．64 C．72 D．90【答案】D【解析】【分析】根据题意找出规律得到第n个图形中花盆的个数为：（n+1）（n+2），然后将n=7代入求解即可.【详解】第1个图形的花盆个数为：（1+1）（1+2）；第2个图形的花盆个数为：（2+1）（2+2）=12；第3个图形的花盆个数为：（3+1）（3+2）=20；，第n 个图形的花盆个数为：（n+1）（n+2）；则第7个图形中花盆的个数为：（7+1）（7+2）=72.故选：C.【点睛】本题考查图形规律题，解此题的关键在于根据题中图形找到规律.10．已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为( ) A ． B ． C ． D ．不能确定【答案】B【解析】如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×333= S △ABC =1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+ ∴11113?3?3?3?2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯ ∴33 即点P 33 故选B.11．如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在ABC ∆处的'A 处，折痕为DE .如果A α∠=，'CEA β∠=，'BDA γ∠=，那么下列式子中正确的是（ ）A ．2γαβ=+B ．2γαβ=+C ．γαβ=+D ．180γαβ=--【答案】A【解析】【分析】【详解】 分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论. 详解:由折叠得：∠A=∠A'，∵∠BDA'=∠A+∠AFD ，∠AFD=∠A'+∠CEA'，∵∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA'=γ，∴∠BDA'=γ=α+α+β=2α+β，故选A.点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.12．若一个凸多边形的内角和为720°，则这个多边形的边数为( )A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】【分析】设这个多边形的边数为n ，根据多边形的内角和定理得到(n ﹣2)×180°=720°，然后解方程即可．【详解】设这个多边形的边数为n ，由多边形的内角和是720°，根据多边形的内角和定理得（n －2）180°=720°．解得n=6.故选C.【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理，熟练掌握多边形的内角和定理是解答本题的关键.三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【解析】【分析】①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中CA CBACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中ACN BCMCA CBCAN CBM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN为等边三角形；⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90° ∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE ∵BE 平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE ∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90° ∴∠BAF=90°-∠DAC ∵AD ⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH ∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF 和△HBF 中 ABE CBE BAF BHF BF BF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ，AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ，FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形 ∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG 是平行四边形 ∴FG=HC∵△ABF ≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.15．如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A 、B 分别在x 轴的正半轴、y 轴的正半轴上移动,点M 在第二象限，且MA 平分∠BAO ，做射线MB ，若∠1=∠2，则∠M 的度数是_______。

八年级数学上册全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．(1)如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．小明同学探究的方法是：延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是（直接写结论，不需证明）；(2)如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF是∠BAD的二分之一，上述结论是否仍然成立，并说明理由．(3)如图3，四边形ABCD是边长为5的正方形，∠EBF=45°，直接写出三角形DEF的周长．【答案】（1）EF=BE+DF．（2）成立，理由见解析；（3）10.【解析】【分析】（1）如图1，延长FD到G，使得DG=DC,先证△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，进一步根据题意得∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.(2)如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，证得△ABE≌△ADG，得到AE=AG，∠BAE=∠DAG，再结合题意得到∠EAF=∠GAF，再证明△AEF≌△AGF，得到EF=FG，最后运用线段的和差证明即可.（3）如图3，延长DC到点G，截取CG=AE，连接BG，先证△AEB≌△CGB，得到BE=BG，∠ABE=∠CBG，结合已知条件得∴∠CBF+∠CBG=45°，再证明△EBF≌△GBF，得到EF=FG，最后求三角形的周长即可.【详解】解答：（1）解：如图1，延长FD到G，使得DG=DC在△ABE和△ADG中，∵DC DGB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AGEAF GAFAF AF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF≌△AGF（SAS），∴EF=FG，∵FG=DG+DF=BE+DF，∴EF=BE+DF；故答案为：EF=BE+DF．（2）解：结论EF=BE+DF仍然成立；理由：如图2，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG在△ABE和△ADG中，∵DG BEB ADGAB AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE=AG，∠BAE=∠DAG，∵∠EAF=12∠BAD，∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF，∴∠EAF=∠GAF，在△AEF和△GAF中，∵AE AG EAF GAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△AGF （SAS ），∴EF =FG ，∵FG =DG +DF =BE +DF ，∴EF =BE +DF ；（3）解：如图3，延长DC 到点G ，截取CG =AE ，连接BG ，在△AEB 与△CGB 中，∵AE CG A BOG AF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEB ≌△CGB （SAS ），∴BE =BG ，∠ABE =∠CBG ．∵∠EBF =45°，∠ABC =90°，∴∠ABE +∠CBF =45°，∴∠CBF +∠CBG =45°．在△EBF 与△GBF 中，∵BE BG EBF GBF BF BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EBF ≌△GBF （SAS ），∴EF =GF ，∴△DEF 的周长=EF +ED +CF =AE +CF +DE +DF =AD +CD =10．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质和判定是解答本题的关键.但本题分为三问，难度不断增加，对提升思维能力大有好处.2．如图（1），在ABC 中，90A ∠=︒，AB AC =，点D 是斜边BC 的中点，点E ，F 分别在线段AB ，AC 上， 且90EDF ∠=︒．（1）求证：DEF 为等腰直角三角形；（2）若ABC的面积为7，求四边形AEDF的面积；（3）如图（2），如果点E运动到AB的延长线上时，点F在射线CA上且保持∠=︒，DEF还是等腰直角三角形吗．请说明理由．EDF90【答案】（1）证明见解析；（2）3.5；（3）是，理由见解析．【解析】【分析】（1）由题意连接AD，并利用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形；（2）由题意分析可得S四边形AEDF=S∆ADF+S∆ADE=S∆BDE+S∆CDF，以此进行分析计算求出四边形AEDF的面积即可；（3）根据题意连接AD，运用全等三角形的判定判定△BDE≌△ADF(ASA)，进而分析证得DEF为等腰直角三角形.【详解】解：（1）证明：如图①，连接AD.∵∠BAC=90˚,AB=AC,点D是斜边BC的中点，∴AD⊥BC，AD=BD，∴∠1=∠B=45°，∵∠EDF=90°，∠2+∠3=90°，又∵∠3+∠4=90°，∴∠2=∠4，在△BDE 和△ADF中，∠1=∠B，AD=BD,∠2=∠4，∴△BDE≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴ΔDEF为等腰直角三角形.（2）由（1）可知DE=DF，∠C=∠6=45°，又∵∠2+∠3=90°，∠2+∠5=90°，∴∠3=∠5，∴△ADE ≌△CDF ，∴S 四边形AEDF =S ∆ADF +S ∆ADE =S ∆BDE +S ∆CDF ，∴ S ∆ABC =2 S 四边形AEDF ,∴S 四边形AEDF =3.5 .（3）是.如图②，连接AD.∵∠BAC=90°，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD ⊥BC,AD=BD ，∴∠1=45°，∵∠DAF=180°-∠1=180°—45°=135°，∠DBE=180°-∠ABC=180°-45°=135°，∴∠DAF=∠DBE ，∵∠EDF=90°，∴∠3+∠4=90°，又∵∠2+∠3=90°，∴∠2=∠4,在△BDE 和△ADF 中，∠DAF=∠DBE ，AD=BD,∠2=∠4,∴△BDE ≌△ADF(ASA),∴DE=DF,又∵∠EDF=90°，∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，根据题意作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．3．如图，在ABC ∆中，903, 7C AC BC ∠=︒==，，点D 是BC 边上的动点，连接AD ，以AD 为斜边在AD 的下方作等腰直角三角形ADE ．（1）填空：ABC ∆的面积等于 ；（2）连接CE ，求证：CE 是ACB ∠的平分线；（3）点O 在BC 边上，且1CO =， 当D 从点O 出发运动至点B 停止时，求点E 相应的运动路程．【答案】（1）212；（2）证明见解析；（3）32【解析】【分析】 （1）根据直角三角形的面积计算公式直接计算可得；（2）如图所示作出辅助线，证明△AEM ≌△DEN （AAS ），得到ME=NE ，即可利用角平分线的判定证明；（3）由（2）可知点E 在∠ACB 的平分线上，当点D 向点B 运动时，点E 的路径为一条直线，再根据全等三角形的性质得出CN=1()2AC CD +，根据CD 的长度计算出CE 的长度即可．【详解】解：（1）903, 7C AC BC ∠=︒==， ∴112137222ABC S AC BC =⨯=⨯⨯=， 故答案为：212 （2）连接CE ，过点E 作EM ⊥AC 于点M ，作EN ⊥BC 于点N ，∴∠EMA=∠END=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠MEN=90°，∴∠MED+∠DEN=90°，∵△ADE 是等腰直角三角形∴∠AED=90°，AE=DE∴∠AEM+∠MED=90°，∴∠AEM=∠DEN∴在△AEM 与△DEN 中，∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN ，AE=DE∴△AEM ≌△DEN （AAS ）∴ME=NE∴点E 在∠ACB 的平分线上，即CE 是ACB ∠的平分线（3）由（2）可知，点E在∠ACB的平分线上，∴当点D向点B运动时，点E的路径为一条直线，∵△AEM≌△DEN∴AM=DN，即AC-CM=CN-CD在Rt△CME与Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）∴CM=CN∴CN=1() 2AC CD+，又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，∴CE=22() CN AC CD=+，当AC=3，CD=CO=1时，CE=2(31)22 2+=当AC=3，CD=CB=7时，CE=2(37)52 2+=∴点E的运动路程为：522232-=，【点睛】本题考查了全等三角形的综合证明题，涉及角平分线的判定，几何中动点问题，全等三角形的性质与判定，解题的关键是综合运用上述知识点．4．如图1，已知CF是△ABC的外角∠ACE的角平分线，D为CF上一点，且DA＝DB．（1）求证：∠ACB ＝∠ADB ；（2）求证：AC +BC ＜2BD ；（3）如图2，若∠ECF ＝60°，证明：AC ＝BC +CD ．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，证明Rt △DAM ≌Rt △DBN ，得出∠DAM=∠DBN ，则结论得证；（2）证明Rt △DMC ≌Rt △DNC ，可得CM=CN ，得出AC+BC=2BN ，又BN ＜BD ，则结论得证；（3）在AC 上取一点P ，使CP=CD ，连接DP ，可证明△ADP ≌△BDC ，得出AP=BC ，则结论可得出．【详解】（1）证明：过点D 分别作AC ，CE 的垂线，垂足分别为M ，N ，∵CF 是△ABC 的外角∠ACE 的角平分线，∴DM ＝DN ，在Rt △DAM 和Rt △DBN 中，DA DB DM DN =⎧⎨=⎩， ∴Rt △DAM ≌Rt △DBN （HL ），∴∠DAM ＝∠DBN ，∴∠ACB ＝∠ADB ；（2）证明：由（1）知DM ＝DN ，在Rt △DMC 和Rt △DNC 中，DC DCDM DN=⎧⎨=⎩，∴Rt△DMC≌Rt△DNC（HL），∴CM＝CN，∴AC+BC＝AM+CM+BC＝AM+CN+BC＝AM+BN，又∵AM＝BN，∴AC+BC＝2BN，∵BN＜BD，∴AC+BC＜2BD．（3）由（1）知∠CAD＝∠CBD，在AC上取一点P，使CP＝CD，连接DP，∵∠ECF＝60°，∠ACF＝60°，∴△CDP为等边三角形，∴DP＝DC，∠DPC＝60°，∴∠APD＝120°，∵∠ECF＝60°，∴∠BCD＝120°，在△ADP和△BDC中，APD BCDPAD CBDDA DB∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADP≌△BDC（AAS），∴AP＝BC，∵AC＝AP+CP，∴AC＝BC+CP，∴AC＝BC+CD．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．5．在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？【答案】（1）5；（2）见解析；（3）当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM与△OQN全等【解析】【分析】（1）根据OA=OE即可解决问题．（2）根据ASA证明三角形全等即可解决问题．（2）设运动的时间为t秒，分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴、x轴上时；当点P、Q都在y轴上时；当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时；列方程即可得到结论．【详解】（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案为5．（2）如图1中，∵OE ＝OA ，OB ⊥AE ，∴BA ＝BE ，∴∠BAO ＝∠BEO ，∵∠CEF ＝∠AEB ，∴∠CEF ＝∠BAO ，∴∠CEO ＝∠DAO ，在△ADO 与△ECO 中，CE0DA0OA 0ECOE AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADO ≌△ECO （ASA ）．（2）设运动的时间为t 秒，当PO ＝QO 时，易证△OPM ≌△OQN ．分三种情况讨论：①当点P 、Q 分别在y 轴、x 轴上时PO ＝QO 得：5﹣t ＝12﹣3t ，解得t ＝72（秒）， ②当点P 、Q 都在y 轴上时PO ＝QO 得：5﹣t ＝3t ﹣12，解得t＝174（秒），③当点P在x轴上，Q在y轴上时，若二者都没有提前停止，则PO＝QO得：t﹣5＝3t﹣12，解得t＝72（秒）不合题意；当点Q运动到点E提前停止时，有t﹣5＝5，解得t＝10（秒），综上所述：当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM与△OQN全等．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．如图，将两个全等的直角三角形△ABD、△ACE拼在一起（图1）．△ABD不动，（1）若将△ACE绕点A逆时针旋转，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC（图2），证明：MB＝MC．（2）若将图1中的CE向上平移，∠CAE不变，连接DE，M是DE的中点，连接MB、MC （图3），判断并直接写出MB、MC的数量关系．（3）在（2）中，若∠CAE的大小改变（图4），其他条件不变，则（2）中的MB、MC的数量关系还成立吗？说明理由．【答案】（1）见解析；（2）MB=MC．理由见解析；（3）MB=MC还成立，见解析．【解析】【分析】（1）连接AM，根据全等三角形的对应边相等可得AD=AE，AB=AC，全等三角形对应角相等可得∠BAD=∠CAE，再根据等腰三角形三线合一的性质得到∠MAD=∠MAE，然后利用“边角边”证明△ABM和△ACM全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）延长DB、AE相交于E′，延长EC交AD于F，根据等腰三角形三线合一的性质得到BD=BE′，然后求出MB∥AE′，再根据两直线平行，内错角相等求出∠MBC=∠CAE，同理求出MC∥AD，根据两直线平行，同位角相等求出∠BCM=∠BAD，然后求出∠MBC=∠BCM，再根据等角对等边即可得证；（3）延长BM交CE于F，根据两直线平行，内错角相等可得∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，然后利用“角角边”证明△MDB和△MEF全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=MF，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明即可．【详解】（1）如图（2），连接AM，由已知得△ABD≌△ACE，∴AD=AE，AB=AC，∠BAD=∠CAE.∵MD=ME，∴∠MAD=∠MAE，∴∠MAD-∠BAD=∠MAE-∠CAE，即∠BAM=∠CAM.在△ABM和△ACM中，AB=AC，∠BAM=∠CAM，AM=AM，∴△ABM≌△ACM（SAS），∴MB=MC.（2）MB=MC．理由如下：如图（3），延长CM交DB于F，延长BM到G，使得MG=BM，连接CG.∵CE∥BD，∴∠MEC=∠MDF，∠MCE=∠MFD.∵M是ED的中点，∴MD=ME.在△MCE和△MFD中，∠MCE=∠MFD，∠MEC=∠MDF，MD=ME，∴△MCE≌△MFD（AAS）.∴MF=MC.∴在△MFB和△MCG中，MF=MC，∠FMB=∠CMG，BM=MG，∴△MFB≌△MCG（SAS）.∴FB=GC，∠MFB=∠MCG，∴CG∥BD，即G、C、E在同一条直线上.∴∠GCB=90°.在△FBC和△GCB中，FB=GC，∠FBC=∠GCB，BC=CB，∴△FBC≌△GCB（SAS）.∴FC=GB.∴MB=12GB=12FC=MC.（3）MB=MC还成立．如图（4），延长BM交CE于F，延长CM到G，使得MG=CM，连接BG.∵CE∥BD，∴∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE.又∵M是DE的中点，∴MD=ME.在△MDB和△MEF中，∠MDB=∠MEF，∠MBD=∠MFE，MD=ME，∴△MDB≌△MEF（AAS），∴MB=MF.∵CE∥BD，∴∠FCM=∠BGM.在△FCM和△BGM中，CM=MG，∠CMF=∠GMB，MF=MB，∴△FCM≌△BGM（SAS）.∴CF=BG，∠FCM=∠BGM.∴CF//BG，即D、B、G在同一条直线上.在△CFB和△BGC中，CF=BG，∠FCB=∠GBC，CB=BC，∴△CFB≌△BGC（SAS）.∴BF=CG.∴MC=12CG=12BF=MB．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，等角对等边的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，以及三角形的中位线定理，综合性较强，但难度不大，作辅助线构造出等腰三角形或全等三角形是解题的关键．7．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.8．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA ≌△QBD ，根据全等三角形的性质得到∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，求出 CD ，得到答案；（3）以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点 F ．证明点 P 在直线 EF 上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH ＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H ，∵∠BAO ＝60°，∴∠ABO ＝30°，∴AB ＝2OA ＝6，∵∠BAO ＝60°，∠BCO ＝40°，∴∠ABC ＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝40°，∴∠CBD ＝∠DCB ，∠OBD ＝40°﹣30°＝10°，∴DB ＝DC ，在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ），∴OB ＝HC ，在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ），∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°，∴∠ABC ＝∠DBQ ，在△CBA 和△QBD 中，BA BD ABC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA ≌△QBD （SAS ），∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD ＝2DO ＝6，∵PD ＝23DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12，∴点 C 的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．由（2）得，△AEP ≌△ADB ，∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°，∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小，∴OP ＝12OF ＝32则OP 的最小值为32．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．9．如图所示，已知ABC ∆中，10AB AC BC ===厘米，M 、N 分别从点A 、点B 同时出发，沿三角形的边运动，已知点M 的速度是1厘米/秒的速度，点N 的速度是2厘米/秒，当点N 第一次到达B 点时，M 、N 同时停止运动.（1）M 、N 同时运动几秒后，M 、N 两点重合？（2）M 、N 同时运动几秒后，可得等边三角形AMN ∆？（3）M 、N 在BC 边上运动时，能否得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，如果存在，请求出此时M 、N 运动的时间？【答案】（1）10；（2）点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆；（3）当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒． 【解析】【分析】（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=；（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①，1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-根据等边三角形性质得102t t =-；（3）如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，根据等腰三角形性质证ACB ∆是等边三角形，再证ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），得CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形，故10CM y =-，302NB y =-，由CM NB =，得10302y y -=-；【详解】解：（1）设点M 、N 运动x 秒后，M 、N 两点重合,1102x x ⨯+=解得：10x =（2）设点M 、N 运动t 秒后，可得到等边三角形AMN ∆，如图①1AM t t =⨯=,102AN AB BN t =-=-∵三角形AMN ∆是等边三角形∴102t t =-解得103t = ∴点M 、N 运动103秒后，可得到等边三角形AMN ∆. （3）当点M 、N 在BC 边上运动时，可以得到以MN 为底边的等腰三角形，由（1）知10秒时M 、N 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设AMN ∆是等腰三角形，∴AN AM =，∴AMN ANM ∠=∠，∴AMC ANB ∠=∠，∵AB BC AC ==，∴ACB ∆是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACM ∆和ABN ∆中，∵AC AB C B AMC ANB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，∴ACM ∆≌ABN ∆（AAS ），∴CM BN =，设当点M 、N 在BC 边上运动时，M 、N 运动的时间y 秒时，AMN ∆是等腰三角形， ∴10CM y =-，302NB y =-，CM NB =，10302y y -=-解得：403y =，故假设成立. ∴当点M 、N 在BC 边上运动时，能得到以MN 为底边的等腰AMN ∆，此时M 、N 运动的时间为403秒．【点睛】考核知识点：等边三角形判定和性质，全等三角形判定和性质.理解等腰三角形的判定和性质,把问题转化为方程问题是关键.10．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．【详解】（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，CED ABD ∠=∠，AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，CE AC =，AB AC ∴=；（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，AD CD =，ADK CDH ∠=∠，∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，,FK DK EK HK ∴==，3DH EF ∴==，6DF ∴=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A 种纸片边长为a 的正方形，B 中纸片是边长为b 的正方形，C 种纸片是长为a 、宽为b 的长方形．并用A 种纸片一张，B 种纸片一张，C 种纸片两张拼成如图2的大正方形．（1）请问两种不同的方法求图2大正方形的面积．方法1：s =____________________；方法2：s =________________________； （2）观察图2，请你写出下列三个代数式：()222,,a b a b ab ++之间的等量关系． _______________________________________________________；（3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题：①已知：225,11a b a b +=+=，求ab 的值；②已知()()22202020195a a -+-=，则()()20202019a a --的值是____． 【答案】（1）()2a b +，222a ab b ++；（2）()2222a b a ab b +=++；（3）①7ab =，②2-【解析】【分析】（1）依据正方形的面积计算公式即可得到结论；（2）依据（1）中的代数式，即可得出（a+b ）2，a 2+b 2，ab 之间的等量关系；（3）①依据a+b=5，可得（a+b ）2=25，进而得出a 2+b 2+2ab=25，再根据a 2+b 2=11，即可得到ab=7；②设2020-a=x ，a-2019=y ，即可得到x+y=1，x 2+y 2=5，依据（x+y ）2=x 2+2xy+y 2，即可得出xy=()222()2x y x y +-+=2-，进而得到()()20202019a a --=2-． 【详解】 解：（1）图2大正方形的面积=()2a b +，图2大正方形的面积=222a ab b ++故答案为：()2a b +，222a ab b ++；（2）由题可得()2a b +，22a b +，ab 之间的等量关系为：()2222a b a ab b +=++故答案为：()2222a b a ab b +=++；（3）①()()2222a b a b ab +-+=2251114ab ∴=-=7ab ∴=②设2020-a=x ，a-2019=y ，则x+y=1，∵()()22202020195a a -+-=，∴x 2+y 2=5，∵（x+y ）2=x 2+2xy+y 2， ∴xy=()222()2x y x y +-+=-2， 即()()202020192a a --=-．【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．12．阅读材料小明遇到这样一个问题：求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数.小明想通过计算()()()22334x x x +++所得的多项式解决上面的问题，但感觉有些繁琐，他想探寻一下，是否有相对简洁的方法.他决定从简单情况开始，先找()()223x x ++所得多项式中的一次项系数，通过观察发现：也就是说，只需用2x +中的一次项系数1乘以23x +中的常数项3，再用2x +中的常数项2乘以23x +中的一次项系数2，两个积相加13227⨯+⨯=，即可得到一次项系数. 延续上面的方法，求计算()()()22334x x x +++所得多项式的一次项系数，可以先用2x +的一次项系数1，23x +的常数项3，34+x 的常数项4，相乘得到12；再用23x +的一次项系数2，2x +的常数项2，34+x 的常数项4，相乘得到16；然后用34+x 的一次项系数3，2x +的常数项223x +的常数项3，相乘得到18.最后将12，16，18相加，得到的一次项系数为46.参考小明思考问题的方法，解决下列问题：(1)计算()()443x x ++所得多项式的一次项系数为____________________.(2)计算()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为_____________.(3)若231x x -+是422x ax bx +++的一个因式，求a 、b 的值.【答案】(1)19;(2)1;(3) a= -6，b= -3．【解析】【分析】（1）根据两多项式常数项与一次项系数乘积的和即为所得多项式一次项系数可得；（2）根据三个多项式中两个多项式的常数项与另一个多项式一次项系数的乘积即为所求可得；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，根据三次项系数为0、二次项系数为a 、一次项系数为b 列出方程组求出a 、b 的值，可得答案．【详解】解：（1）（x+4）（4x+3）所得多项式的一次项系数为1×3+4×4=19，故答案为：19；（2）()()()13225x x x +-+所得多项式的一次项系数为1×(-2)×5+1×3×5+1×(-2)×2=1， 故答案为：1；（3）由x 4+ax 2+bx+2中4次项系数为1、常数项为2可设另一个因式为x 2+mx+2，则（x 2-3x+1）（x 2+mx+2）=x 4+ax 2+bx+2，13101211(3)321m m a m b ⨯-⨯=⎧⎪∴⨯+⨯+-⨯=⎨⎪-⨯+⨯=⎩解得： 363m a b =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩故答案为：a= -6，b= -3．【点睛】本题考查多项式乘多项式，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．13．我们知道某些代数恒等式可用一些卡片拼成的图形面积来解释，例如：图A 可以用来解释2222()a ab b a b ++=+，实际上利用一些卡片拼成的图形面积也可以对某些二次三项式进行因式分解．（1）图B 可以解释的代数恒等式是 ；（2）现有足够多的正方形和矩形卡片（如图C ），试画出．．一个用若干张1号卡片、2号卡片和3号卡片拼成的矩形（每两块纸片之间既不重叠，也无空隙，拼出的图中必须保留拼图的痕迹），使该矩形的面积为2223a ab b ++，并利用你所画的图形面积对2223a ab b ++进行因式分解．【答案】（1）2222()a ab a a b +=+；（2）()()22232a ab b a b a b ++=++ 【解析】试题分析：（1）根据图所示，可以得到长方形长为2a ，宽为a+b ，面积为：2a （a+b ），或四个小长方形和正方形面积之和；（2）①根据题意，可以画出相应的图形然后完成因式分解.试题解析：（1）()2222a ab a a b +=+ （2）①根据题意，可以画出相应的图形，如图所示②因式分解为：()()22232a ab b a b a b ++=++14．（知识生成）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b ）2＝a 2+2ab+b 2，基于此，请解答下列问题：（1）根据图2，写出一个代数恒等式：．（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，则a2+b2+c2＝．（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+2b）长方形，则x+y+z＝．（知识迁移）（4）事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4表示的是一个边长为x的正方体挖去一个小长方体后重新拼成一个新长方体，请你根据图4中图形的变化关系，写出一个代数恒等式：．【答案】（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）30；（3）9；（4）x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x【解析】【分析】（1）依据正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，可得等式；（2）依据a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2ab﹣2ac﹣2bc，进行计算即可；（3）依据所拼图形的面积为：xa2+yb2+zab，而（2a+b）（a+2b）＝2a2+4ab+ab+2b2＝2a2+5b2+2ab，即可得到x，y，z的值．（4）根据原几何体的体积＝新几何体的体积，列式可得结论．【详解】（1）由图2得：正方形的面积＝（a+b+c）2；正方形的面积＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∵a+b+c＝10，ab+ac+bc＝35，∴102＝a2+b2+c2+2×35，∴a2+b2+c2＝100﹣70＝30，故答案为：30；（3）由题意得：（2a+b）（a+2b）＝xa2+yb2+zab，∴2a2+5ab+2b2＝xa2+yb2+zab，∴225xyz=⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴x+y+z＝9，故答案为：9；（4）∵原几何体的体积＝x3﹣1×1•x＝x3﹣x，新几何体的体积＝（x+1）（x﹣1）x，∴x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．故答案为：x3﹣x＝（x+1）（x﹣1）x．【点睛】本题主要考查的是整式的混合运算，利用直接法和间接法分别求得几何图形的体积或面积，然后根据它们的体积或面积相等列出等式是解题的关键．15．阅读下列材料：在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”．下面是小涵同学用换元法对多项式（x2﹣4x+1）（x2﹣4x+7）+9进行因式分解的过程．解：设x2﹣4x＝y原式＝（y+1）（y+7）+9（第一步）＝y2+8y+16（第二步）＝（y+4）2（第三步）＝（x2﹣4x+4）2（第四步）请根据上述材料回答下列问题：（1）小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的；A．提取公因式法B．平方差公式法C．完全平方公式法（2）老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：；（3）请你用换元法对多项式（x2+2x）（x2+2x+2）+1进行因式分解．【答案】（1）C；（2）（x﹣2）4；（3）（x+1）4．【解析】【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式；（2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止；（3）根据材料，用换元法进行分解因式．【详解】（1）故选C ；（2）（x 2﹣4x +1）（x 2﹣4x +7）+9，设x 2﹣4x =y ，则：原式=（y +1）（y +7）+9=y 2+8y +16=（y +4）2=（x 2﹣4x +4）2=（x ﹣2）4．故答案为：（x ﹣2）4；（3）设x 2+2x =y ，原式=y （y +2）+1=y 2+2y +1=（y +1）2=（x 2+2x +1）2=（x +1）4．【点睛】本题考查了因式分解﹣换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼．（1）周六早上6点，小明和小强同时从家出发，分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合，结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米，求小明和小强的速度分别是多少米/分？（2）两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍，两人在同起点，同时出发，结果小强先到目的地n 分钟．①当3m =，6n =时，求小强跑了多少分钟？②小明的跑步速度为_______米/分（直接用含m n ，的式子表示）．【答案】（1）小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分；（2）①小强跑的时间为3分；②1000(1)m mn-． 【解析】【分析】 （1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分，根据路程除以速度等于时间得到方程，解方程即可得到答案；（2）①设小明的速度为y 米/分，由m ＝3，n ＝6，根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答；②根据路程一定，时间与速度成反比，可求小强的时间进而求出小明的时间，再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】（1）设小强的速度为x 米/分，则小明的速度为（x+220）米/分， 根据题意得：1200x ＝4500220x +． 解得：x ＝80．经检验，x ＝80是原方程的根，且符合题意．∴x+220＝300．答：小强的速度为80米/分，小明的速度为300米/分．（2）①设小明的速度为y 米/分，∵m ＝3，n ＝6， ∴1000100063y y -=，解之得10009y =. 经检验，10009y =是原方程的解，且符合题意， ∴小强跑的时间为：10001000(3)39÷⨯=（分） ②小强跑的时间：1n m -分钟，小明跑的时间：11n mn n m m +=--分钟， 小明的跑步速度为： 1000(1)10001mn m m mn -÷=-分． 故答案为：1000(1)m mn-． 【点睛】 此题考查分式方程的应用，正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.17．阅读下面的材料，并解答后面的问题 材料：将分式23411x x x +-+拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式. 解：由分母为1x +，可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++.因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++，所以223413(3)x x x a x a b +-=++++. 所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩，解之，得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111x x x x x x ++=-=+-+++ 这样，分式23411x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题：（1）请将分式22361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和（差）的形式；。

人教版八年级上册数学全册全套试卷测试卷（word版，含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．小明在用计算器计算一个多边形的内角和时，得出的结果为2005°，小芳立即判断他的结构是错误的，小明仔细地复算了一遍，果然发现自己把一个角的度数输入了两遍.你认为正确的内角和应该是________．【答案】1980【解析】【详解】解：设多边形的边数为n，多加的角度为α，则（n-2）×180°=2005°-α，当n=13时，α=25°，此时（13-2）×180°=1980°，α=25°故答案为1980．2．如图，在△ABC中，∠B和∠C的平分线交于点O，若∠A＝50°，则∠BOC＝_____．【答案】115°．【解析】【分析】根据三角形的内角和定理得出∠ABC+∠ACB=130°，然后根据角平分线的概念得出∠OBC+∠OCB，再根据三角形的内角和定理即可得出∠BOC的度数．【详解】解；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣50°＝130°，∵∠B和∠C的平分线交于点O，∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB，∴∠OBC+∠OCB＝12×（∠ABC+∠ACB）＝12×130°＝65°，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和三角形的角平分线的概念，关键是求出∠OBC+∠OCB 的度数．3．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．4．一个多边形的内角和与外角和的差是180°，则这个多边形的边数为_____．【答案】5【解析】【分析】根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°与外角和定理列式求解即可【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°﹣360°＝180°，解得n＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和定理，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．5．如图是小李绘制的某大桥断裂的现场草图，若∠1＝38°，∠2＝23°，则桥面断裂处夹角∠BCD＝__________.【答案】119°【解析】【分析】连接BD，构△BCD根据对顶角相等和三角形内角和定理即可求出∠BCD的度数.【详解】如图所示，连接BD，∵∠4=∠1=38°，∠3=∠2=23°，∴∠BCD=180°-∠4-∠3=180°-38°-23°=119°.故答案为：119°.【点睛】本题考查了对顶角的性质与三角形内角和定理. 连接BD，构△BCD是解题的关键.6．如图，直线a∥b，∠l＝60°，∠2＝40°，则∠3＝______．【答案】80°．【解析】【分析】根据平行线的性质求出∠4，再根据三角形内角和定理计算即可．【详解】∵a∥b，∴∠4=∠l=60°，∴∠3=180°-∠4-∠2=80°，故答案为80°．【点睛】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理，掌握两直线平行，同位角相等是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图,△ABC 中,E 是 AC 的中点,延长BC 至D,使BC ：CD=3:2,以CE,CD 为邻边做▱CDFE，连接 AF,BE,BF，若△ABC 的面积为 9，则阴影部分面积是（）A．6 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】【分析】根据三角形中位线性质结合三角形面积去解答.【详解】解：在ABC 中，E 是 AC 的中点,S ABC 9=, BC ：CD =3:2▱CDFE 中，CD=EF 1S BCE 4.52S ABC ∴== 设BCE 的高为1h , ABC 的高为2.h11S BCE 4.52BC h ∴=⨯⨯= 13h =12:1:2h h =26h ∴=S AEF S EFB s ∴=+阴()2111122EF h h EF h =⨯⨯-+⨯⨯ 212EF h =⨯⨯ 1262=⨯⨯ 6.=【点睛】此题重点考察学生对三角形中位线和面积的理解，熟练掌握三角形面积计算方法是解题的关键.8．已知非直角三角形ABC 中，∠A=45°，高BD 与CE 所在直线交于点H ，则∠BHC 的度数是（）A ．45°B ．45° 或135°C ．45°或125°D ．135°【答案】B【解析】【分析】①△ABC 是锐角三角形时，先根据高线的定义求出∠ADB=90°，∠BEC=90°，然后根据直角三角形两锐角互余求出∠ABD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解；②△ABC 是钝角三角形时，根据直角三角形两锐角互余求出∠BHC=∠A ，从而得解．【详解】①如图1，△ABC是锐角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠ADB=90°，∠BEC=90°，在△ABD中，∵∠A=45°，∴∠ABD=90°-45°=45°，∴∠BHC=∠ABD+∠BEC=45°+90°=135°；②如图2，△ABC是钝角三角形时，∵BD、CE是△ABC的高线，∴∠A+∠ACE=90°，∠BHC+∠HCD=90°，∵∠ACE=∠HCD（对顶角相等），∴∠BHC=∠A=45°．综上所述，∠BHC的度数是135°或45°．故选B.【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高线，难点在于要分△ABC是锐角三角形与钝角三角形两种情况讨论，作出图形更形象直观．9．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．B．C．D．不能确定【解析】如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×333 =S△ABC=1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+∴1111 3?3?3?3? 2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯∴PD+PE+PF=AH=33 2即点P到三角形三边距离之和为33.故选B.10．已知一个正多边形的内角是140°，则这个正多边形的边数是（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】分析：根据多边形的内角和公式计算即可.详解：.答:这个正多边形的边数是9.故选A.点睛：本题考查了多边形，熟练掌握多边形的内角和公式是解答本题的关键.11．一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数为（）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【解析】【分析】本题根据多边形的内角和定理和多边形的内角和等于900°，列出方程，解出即可．解：设这个多边形的边数为n ，则有（n-2）180°=900°，解得：n=7，∴这个多边形的边数为7．故选B ．【点睛】本题考查了多边形内角和，熟练掌握内角和公式是解题的关键.12．如图，ABC △是一块直角三角板，90,30C A ∠=︒∠=︒，现将三角板叠放在一把直尺上，AC 与直尺的两边分别交于点D ，E ，AB 与直尺的两边分别交于点F ，G ，若∠1=40°，则∠2的度数为（ ）A ．40ºB ．50ºC ．60ºD ．70º【答案】D【解析】【分析】 依据平行线的性质，即可得到∠1＝∠DFG ＝40°，再根据三角形外角性质，即可得到∠2的度数．【详解】∵DF ∥EG ，∴∠1＝∠DFG ＝40°，又∵∠A ＝30°，∴∠2＝∠A +∠DFG ＝30°+40°＝70°，故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知△ABC 和△ADE 均为等边三角形，点O 是AC 的中点，点D 在射线BO 上，连结OE ，EC ，则∠ACE ＝_____°；若AB ＝1，则OE 的最小值＝_____．【答案】301 4【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得OC＝12AC，∠ABD＝30°，根据"SAS"可证△ABD≌△ACE，可得∠ACE＝30°＝∠ABD，当OE⊥EC时，OE的长度最小，根据直角三角形的性质可求OE 的最小值.【详解】解：∵△ABC的等边三角形，点O是AC的中点，∴OC＝12AC，∠ABD＝30°∵△ABC和△ADE均为等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴∠ACE＝30°＝∠ABD当OE⊥EC时，OE的长度最小，∵∠OEC＝90°，∠ACE＝30°∴OE最小值＝12OC＝14AB＝14故答案为：30，1 4【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键.14．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】234.【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22=234.DE BE故答案为34【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.15．已知在△ABC 中,两边AB、AC的中垂线，分别交BC于E、G．若BC＝12，EG＝2，则△AEG的周长是________．【答案】16或12．【解析】【分析】根据线段垂直平分线性质得出AE=BE，CG=AG，分两种情况讨论：①DE和FG的交点在△ABC内，②DE和FG的交点在△ABC外．【详解】∵DE，FG分别是△ABC的AB，AC边的垂直平分线，∴AE=BE，CG=AG．分两种情况讨论：①当DE和FG的交点在△ABC内时，如图1．∵BC=12，GE=2，∴AE+AG=BE+CG=12+2=14，△AGE的周长是AG+AE+EG=14+2=16．②当DE和FG的交点在△ABC外时，如图2，△AGE的周长是AG+AE+EG= BE+CG+EG=BC=12．故答案为：16或12．【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．16．如图，在△ABD中，∠BAD＝80°，C为BD延长线上一点，∠BAC＝130°，△ABD的角平分线BE与AC交于点E，连接DE，则∠DEB＝_____．【答案】40°【解析】【分析】做辅助线，构建角平分线的距离，根据角平分线的性质和逆定理可得：EF=EG=EH，设∠DEG=y，∠GEB=x，根据三角形内角和定理可得：∠GEA=∠FEA=40°，∠FEB=∠HEB，列方程为2y+x=80-x,y+x=40,可得结论：∠DEB＝40°.【详解】如图，过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥BC于H，∵BE平分∠ABD∴EH=EF∵∠BAC＝130°，∠BAD＝80°∴∠FAE=∠CAD=50°∴EF=EG∴EG=EH∴ED平分∠CDG∴∠HED=∠DEG设∠DEG=y，∠GEB=x，∵∠EFA=∠EGA=90°∴∠GEA=∠FEA=40°∵∠EFB=∠EHB=90°，∠EBH=∠EBF∴∠FEB=∠HEB∴2y+x=80-x,2y+2x=80y+x=40即∠DEB＝40°.故答案为：40°.【点睛】本题考查三角形内角和定理和角平分线的性质，正确作辅助线是解题的关键.17．如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝56°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为_____度．【答案】112．【解析】【分析】连接OB、OC，根据角平分线的定义求出∠BAO＝28°，利用等腰三角形两底角相等求出∠ABC，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得OA＝OB，再根据等边对等角求出∠OBA，然后求出∠OBC，再根据等腰三角形的性质可得OB＝OC，然后求出∠OCE，根据翻折变换的性质可得OE＝CE，然后利用等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【详解】如图，连接OB、OC，∵OA平分∠BAC，∠BAC＝56°，∴∠BAO＝12∠BAC＝12×56°＝28°，∵AB＝AC，∠BAC＝56°，∴∠ABC＝12（180°﹣∠BAC）＝12×（180°﹣56°）＝62°，∵OD垂直平分AB，∴OA＝OB，∴∠OBA＝∠BAO＝28°，∴∠OBC＝∠ABC﹣∠OBA＝62°﹣28°＝34°，由等腰三角形的性质，OB＝OC，∴∠OCE＝∠OBC＝34°，∵∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，∴OE＝CE，∴∠OEC＝180°﹣2×34°＝112°．故答案是：112．【点睛】考查了翻折变换，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，三角形的内角和定理，熟记各性质并准确识图是解题的关键．18．已知：如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足．下列结论：①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD=180°；③AF2=EC2﹣EF2； ④BA+BC=2BF．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．A ．1B ．1或3C ．1或7D ．3或7 【答案】C【解析】【分析】 分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD ，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS 证得△ABP ≌△DCE ，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．20．下列命题中的假命题是（）A．等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等B．等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等C．等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等D．直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等【答案】D【解析】【分析】根据等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定进行判定即可.【详解】解：A、等边三角形的一个内角的平分线把这个等边三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；B、等腰三角形底边上的中线把这个等腰三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；C、等腰直角三角形底边上的高把这个等腰直角三角形分成的两个三角形全等，正确，是真命题；D、直角三角形斜边上的中线把这个直角三角形分成的两个三角形全等，错误，是假命题，故答案为D．【点睛】本题考查了等边三角形、等腰三角形、直角三角形的性质和全等三角形的判定，其中灵活应用所学知识是解答本题的关键.21．已知等边△ABC中，在射线BA上有一点D，连接CD，并以CD为边向上作等边△CDE，连接BE和AE，试判断下列结论：①AE=BD；②AE与AB所夹锐夹角为60°；③当D在线段AB或BA延长线上时，总有∠BDE-∠AED=2∠BDC；④∠BCD=90°时，CE2+AD2=AC2+DE2，正确的序号有（）A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④【答案】C【解析】【分析】由∠BCD=∠ACD+60°，∠ACE=∠ACD+60°可得∠BCD=∠ACE，利用SAS可证明△BCD≌△ACE，可得AE=BD，①正确；∠CBD=∠CAE=60°，进而可得∠EAD=60°，②正确，当∠BCD=90°时，可得∠ACD=∠ADC=30°，可得AD=AC，即可得CE2+AD2=AC2+DE2，④正确；当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，根据△BCD≌△ACE可得∠AEC=∠BDC，进而可得∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，即可证明∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED，即∠BDE-∠AED=2∠BDC，当点D在AB上时可证明∠BDE-∠AED=120°，③错误，综上即可得答案.【详解】∵∠BCA=∠DCE=60°，∴∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，又∵AC=BC，CE=CD，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，∠CBA=∠CAE=60°，∠AEC=∠BDC，①正确，∴∠BAE=120°，∴∠EAD=60°，②正确，∵∠BCD=90°，∠BCA=60°，∴∠ACD=∠ADC=30°，∴AC=AD，∵CE=DE，∴CE2+AD2=AC2+DE2，④正确，当D点在BA延长线上时，∠BDE-∠BDC=60°，∵∠AEC=∠BDC，∴∠BDC+∠AED=∠AEC+∠AED=∠CED=60°，∴∠BDE-∠BDC=∠BDC+∠AED∴∠BDE-∠AED=2∠BDC，如图，当点D在AB上时，∵△BCD≌△∠ACE，∴∠CAE=∠CBD=60°，∴∠DAE=∠BAC+∠CAE=120°，∴∠BDE-∠AED=∠DAE=120°，③错误故正确的结论有①②④，故选C.【点睛】此题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质等知识点的理解和掌握22．如图，点 D 是等腰直角△ABC 腰 BC 上的中点，点B 、B′ 关于 AD 对称，且BB′ 交AD 于 F，交 AC 于 E，连接 FC 、 AB′，下列说法：① ∠BAD=30°； ② ∠BFC=135°；③ AF=2B′ C；正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】【分析】依据点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，可得tan∠BAD=12，即可得到∠BAD≠30°；连接B'D，即可得到∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，进而得出△ABF≌△BCB'，判定△FCB'是等腰直角三角形，即可得到∠CFB'=45°，即∠BFC=135°；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C；依据△AEF与△CEB'不全等，即可得到S△AFE≠S△FCE．【详解】∵点D是等腰直角△ABC腰BC上的中点，∴BD=12BC=12AB，∴tan∠BAD=12，∴∠BAD≠30°，故①错误；如图，连接B'D，∵B、B′关于AD对称，∴AD垂直平分BB'，∴∠AFB=90°，BD=B'D=CD，∴∠DBB'=∠BB'D，∠DCB'=∠DB'C，∴∠BB'C=∠BB'D+∠DB'C=90°，∴∠AFB=∠BB'C，又∵∠BAF+∠ABF=90°=∠CBB'+∠ABF，∴∠BAF=∠CBB'，∴△ABF≌△BCB'，∴BF=CB'=B'F，∴△FCB'是等腰直角三角形，∴∠CFB'=45°，即∠BFC=135°，故②正确；由△ABF≌△BCB'，可得AF=BB'=2BF=2B'C，故③正确；∵AF＞BF=B'C，∴△AEF与△CEB'不全等，∴AE≠CE，∴S△AFE≠S△FCE，故④错误；故选B．【点睛】本题主要考查了轴对称的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．23．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.24．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是( )A．两条直角边对应相等B．有两条边对应相等C．斜边和一锐角对应相等D．一条直角边和斜边对应相等【答案】B【解析】根据全等三角形的判定SAS，可知两条直角边对应相等的两个直角三角形全等，故A不正确；根据一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理HL，能判定全等；若两条直角边对应相等的两个直角三角形，符合全等三角形的判定定理SAS，也能判全等，但是有两边对应相等，没说明是什么边对应，故不能判定，故B正确．根据全等三角形的判定AAS，可知斜边和一锐角对应相等的两直角三角形全等，故C不正确；根据直角三角形的判定HL，可知一条直角边和斜边对应相等两直角三角形全等，故D不正确.故选B.点睛：此题主要考查了直角三角形全等的判定，解题时利用三角形全等的判定SSS，SAS，ASA，AAS，HL，直接判断即可.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．我们知道，经过三角形一顶点和此顶点所对边上的任意一点的直线，均能把三角形分割成两个三角形（1）如图，在ABC∆中，25,105A ABC∠=︒∠=︒，过B作一直线交AC于D，若BD 把ABC∆分割成两个等腰三角形，则BDA∠的度数是______．（2）已知在ABC∆中，AB AC=，过顶点和顶点对边上一点的直线，把ABC∆分割成两个等腰三角形，则A∠的最小度数为________．【答案】130︒1807︒⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）由题意得：DA=DB，结合25A∠=︒，即可得到答案；（2）根据题意，分4种情况讨论，①当BD=AD，CD=AD，②当AD=BD，AC=CD，③AB=AC，当AD=BD=BC，④当AD=BD，CD=BC，分别求出A∠的度数，即可得到答案．【详解】（1）由题意得：当DA=BA，BD=BA时，不符合题意，当DA=DB时，则∠ABD=∠A=25°，∴∠BDA=180°-25°×2=130°．故答案为：130°；（2）①如图1，∵AB=AC，当BD=AD，CD=AD，∴∠B=∠C=∠BAD=∠CAD，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴4∠B=180°，∴∠BAC=90°．②如图2，∵AB=AC，当AD=BD，AC=CD，∴∠B=∠C=∠BAD，∠CAD=∠CDA，∵∠CDA=∠B+∠BAD=2∠B，∴∠BAC=3∠B，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°，∴∠BAC=108°．③如图3，∵AB=AC，当AD=BD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠BDC=∠C，∵∠BDC=∠A+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=2∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠BAC=180°，∴∠BAC=36°．④如图4，∵AB=AC，当AD=BD，CD=BC，∴∠ABC=∠C，∠BAC=∠ABD，∠CDB=∠CBD，∵∠BDC=∠BAC+∠ABD=2∠BAC，∴∠ABC=∠C=3∠BAC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴7∠BAC=180°，∴∠BAC=180 ()7︒．综上所述，∠A的最小度数为：180 ()7︒．故答案是：180 ()7︒．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质定理以及三角形内角和定理与外角的性质，根据等腰三角形的性质，分类讨论，是解题的关键．26．如图，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，点D、E分别在AB、BC上，且BD=BE=4，将△BDE沿DE所在直线折叠得到△B′DE（点B′在四边形ADEC内），连接AB′，则AB′的长为______．【答案】2.【解析】【分析】【详解】过点D作DF⊥B′E于点F，过点B′作B′G⊥AD于点G，∵∠B=60°，BE=BD=4，∴△BDE是等边三角形，∵△B′DE≌△BDE，∴B′F=1B′E=BE=2，3,2∴GD=B′F=2，∴3∵AB=10，∴AG=10﹣6=4，∴7考点：1轴对称；2等边三角形.27．如图，在直角坐标系中，点()8,8B -，点()2,0C -，若动点P 从坐标原点出发，沿y 轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s ，设点P 运动时间为t 秒，当BCP ∆是以BC 为腰的等腰三角形时，直接写出t 的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC 为腰或BP 为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP 的长度，即可求出t 的值．【详解】解：如图所示，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，作BE ⊥y 轴于点E ，分别以点B 和点C 为圆心，以BC 长为半径画弧交y 轴正半轴于点F ，点H 和点G∵点B （-8，8），点C （-2，0），∴DC=6cm ，BD=8cm ，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG 中，OC=2cm ，CG=BC=10cm ，∴OP=OG= 2210246(cm)-=，当点P 运动到点F 或点H 时，BE=8cm ，BH=BF=10cm ，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm ）或OP=OH=8+6=14（cm ），故答案为：2秒，46秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．28．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 是ABC ∆内部一点，DB DC =，点E 是边AB 上一点，若CD 平分ACE ∠，100AEC =∠，则BDC ∠=______°【答案】80【解析】【分析】根据角平分线得到∠ACE=2∠ACD ，再根据角的和差关系得到∠ECB =∠ACB －2∠ACD ，然后利用外角定理得到∠ABC+∠ECB=100°，代换化简得出∠ACB －∠ACD=50°，即∠DCB=50°，从而求出∠BDC 即可.【详解】∵CD 平分∠ACE ，∴∠ACE=2∠ACD=2∠ECD ，∴∠ECB=∠ACB －∠ACE=∠ACB －2∠ACD ，∵∠AEC=100°，∴∠ABC+∠ECB=100°，∴∠ABC+∠ACB －2∠ACD=100°，∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB,∴2∠ACB－2∠ACD=100°，∴∠ACB－∠ACD=50°，即∠DCB=50°，∵DB=DC，∴∠DBC=∠DCB，∴∠BDC=180°－2∠DCB=180°－2×50°=80°.【点睛】本题考查了角平分线，三角形内角和，外角定理，及等边对等角的性质等知识，熟练掌握基本知识，找出角与角之间的关系是解题的关键.29．如图，在△ABC中，AB=AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm，DE=2cm，则BC=_____cm．【答案】8cm.【解析】【详解】解：如图，延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN=CN，∵∠EBC=∠E=60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE=6cm，DE=2cm，∴DM=4，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB=60°，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM=90°，∴∠NDM=36°，∴NM=2，∴BN=4，∴BC=8．30．如图：在ABC ∆中，D ，E 为边AB 上的两个点，且BD BC =，AE AC =，若108ACB ∠=︒，则DCE ∠的大小为______.【答案】036【解析】【分析】根据三角形内角和求出∠A+∠B,再根据AC=AE,BC=BD ，用∠A 表示∠AEC,用∠B 表示∠BDC，然后根据内角和求出∠DCE 的度数.【详解】∵∠ACB=1080，∴∠A+∠B=1800-1080=720,∵AC=AE,BC=BD,∴∠ACE=∠AEC,∠BCD=∠BDC,∴01(180)2AEC A ∠=-∠01902A =-∠ 01(180)2BDCB ∠=-∠ =01902B -∠ ∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=1800，∴0180DCE CDE CED ∠=-∠-∠= 00011180(90)(90)22A B --∠--∠ =1122A B ∠+∠ =1()2A B ∠+∠ =360【点睛】此题考察等腰三角形的性质，注意两条等边所在三角形，依此判断对应的两个底角相等.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图，ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE CD=；②FA平分EFC∠；③FE FD=；④FE FC FA+=．其中一定正确的结论有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．32．如图，AOB α∠=，点P 是AOB ∠内的一定点，点,M N 分别在OA OB 、上移动，当PMN ∆的周长最小时，MPN ∠的值为（ ）A ．90α+B ．1902α+C ．180α-D ．1802α-【答案】D【解析】【分析】 过P 点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解.【详解】解：过P 点作OB 的对称点1P ，过P 作OA 的对称点2P ,连接12PP ，交点为M,N ，则此时PMN 的周长最小，且△1P NP 和△2PMP 为等腰三角形.此时∠12P PP =180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠12P PP -x°）所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N 在什么位子△PMN 周长最小是解此题的关键.33．如图，△ABC 的周长为32，点D 、E 都在边BC 上，∠ABC 的平分线垂直于AE ，垂足为Q ，∠ACB 的平分线垂直于AD ，垂足为P ，若BC ＝12，则PQ 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 首先判断△BAE 、△CAD 是等腰三角形，从而得出BA ＝BE ，CA ＝CD ，由△ABC 的周长为32以及BC ＝12，可得DE ＝8，利用中位线定理可求出PQ ．【详解】∵BQ 平分∠ABC ，BQ ⊥AE ，∴∠ABQ ＝∠EBQ ，∵∠ABQ+∠BAQ ＝90°，∠EBQ+∠BEQ ＝90°，∴∠BAQ ＝∠BEQ ， ∴AB ＝BE ，同理：CA ＝CD ，∴点Q 是AE 中点，点P 是AD 中点（三线合一），∴PQ 是△ADE 的中位线，∵BE+CD ＝AB+AC ＝32﹣BC ＝32﹣12＝20，∴DE ＝BE+CD ﹣BC ＝8，∴PQ ＝12DE ＝4． 故选：B ．【点睛】 本题考查了三角形的中位线定理和等腰三角形的性质和判定，解答本题的关键是判断出△BAE 、△CAD 是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ 是△ADE 的中位线．34．如图，等腰ABC ∆中，AB AC =，120BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，点P 是BA 延长线上一点，点O 是线段AD 上一点，OP OC =.下列结论：①30APO DCO ∠+∠=；②APO DCO ∠=∠；③OPC ∆是等边三角形；④AB AO AP =+.其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】【分析】 ①②连接OB ，根据垂直平分线性质即可求得OB=OC=OP ，即可解题；③根据周角等于360°和三角形内角和为180°即可求得∠POC=2∠ABD=60°，即可解题；④AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，易证△BQO≌△PAO，可得PA=BQ ，即可解题.【详解】连接OB ，∵AB AC =，AD ⊥BC ，∴AD 是BC 垂直平分线，∴OB OC OP ==，∴APO ABO ∠=∠，DBO DCO ∠=∠，∵AB=AC ，∠BAC =120∘∴30ABC ACB ∠=∠=︒∴30ABO DBO ∠+∠=︒，∴30APO DCO ∠+∠=．故①②正确；∵OBP ∆中，180BOP OPB OBP ∠=︒-∠-∠，BOC ∆中，180BOC OBC OCB ∠=︒-∠-∠，∴360POC BOP BOC OPB OBP OBC OCB ∠=︒-∠-∠=∠+∠+∠+∠，∵OPB OBP ∠=∠，OBC OCB ∠=∠，∴260POC ABD ∠=∠=︒，∵PO OC ，∴OPC ∆是等边三角形，故③正确；在AB 上找到Q 点使得AQ=OA ，则AOQ ∆为等边三角形，则120BQO PAO ∠=∠=︒，在BQO ∆和PAO ∆中，BQO PAO QBO APO OB OP ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴BQO PAO AAS ∆∆≌（），∴PA BQ =，∵AB BQ AQ =+，∴AB AO AP =+，故④正确.故选：D.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质，本题中求证BQO PAO ∆∆≌是解题的关键．35．如图钢架中，∠A=a ,焊上等长的钢条P 1P 2, P 2P 3, P 3P 4, P 4P 5……来加固钢架.著P 1A= P 1P 2,且恰好用了4根钢条,则α的取值范圈是( )A ．15°≤ a <18°B ．15°< a ≤18°C ．18°≤ a <22.5°D ．18° < a ≤ 22.5°【答案】C【解析】【分析】由每根钢管长度相等，可知图中都是等腰三角形，利用等腰三角形底角一定是锐角，可推出取值范围.【详解】∵AB=BC=CD=DE=EF∴∠P 1P 2A=∠A=a由三角形外角性质，可得∠P 2P 1P 3=2∠A=2a同理可得，∠P 1P 3P 2=∠P 2P 1P 3=2a ，∠P 3P 2P 4=∠P 3P 4P 2=∠A+∠P 1P 3P 2=3a ，∠P 4P 3P 5=∠P 4P 5P 3=∠A+∠P 3P 4P 2=4a ，在△P 4P 3P 5中，∠P 3P 4P 5=180°-2∠P 4P 3P 5=180°-8a当∠P 5P 4B ≥90°即∠P 5P 4A ≤90°时，不能再放钢管，∴3180890+-≤a a ，解得a ≥18°又∵等腰三角形底角只能是锐角，∴4a ＜90°，解得a ＜22.5∴1822.5οο≤<a故选C.【点睛】本题考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的底角只能是锐角是关键.36．如图，已知等边△ABC 的边长为4，面积为43，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，点P 为BD 上一动点，则PE+PC 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．3D ．3【答案】C【解析】【分析】 由题意可知点A 、点C 关于BD 对称，连接AE 交BD 于点P ，由对称的性质可得，PA=PC ，故PE+PC=AE ，由两点之间线段最短可知，AE 即为PE+PC 的最小值．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，点D 为AC 的中点，点E 为BC 的中点，∴BD ⊥AC ，EC ＝2，连接AE ，线段AE 的长即为PE+PC 最小值，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，∴PE+PC 22AC E C -224223-=故选C ．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等边三角形的性质是解答此题的关键．七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．已知226a b ab +=，且a>b>0，则a b a b +-的值为( ) A 2B 2C ．2 D ．±2 【答案】A【解析】【分析】已知a 2+b 2=6ab ，变形可得（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，可以得出（a+b ）和（a-b ）的值，即可得出答案．【详解】∵a 2+b 2=6ab ，∴（a+b ）2=8ab ，（a-b ）2=4ab ，∵a ＞b ＞0，∴8ab 4ab∴a b a b +-824ab ab= 故选A.【点睛】本题考查了分式的化简求值问题，观察式子可以得出应该运用完全平方式来求解，要注意a 、b 的大小关系以及本身的正负关系．38．已知a=2012x+2011，b=2012x+2012，c=2012x+2013，那么a 2+b 2+c 2—ab －bc －ca 的值等于( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】【分析】首先把a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac 两两结合为a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac ，利用提取公因式法因式分解，再把a 、b 、c 代入求值即可．【详解】a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣bc ﹣ac＝a 2﹣ab +b 2﹣bc +c 2﹣ac＝a （a ﹣b ）+b （b ﹣c ）+c （c ﹣a ）。

人教版八年级上册数学全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，有一块直角三角板XYZ放置在△ABC上，三角板XYZ的两条直角边XY、XZ改变位置，但始终满足经过B、C两点．如果△ABC中，∠A＝52°，则∠ABX＋∠ACX=_________________．【答案】38°【解析】∠A＝52°，∴∠ABC+∠ACB=128°，∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX＋∠ACX=128°-90°=38°.2．一个正多边形的每个外角为60°，那么这个正多边形的内角和是_____．【答案】720°．【解析】【分析】先利用多边形的外角和为360°计算出这个正多边形的边数，然后再根据内角和公式进行求解即可．【详解】这个正多边形的边数为36060︒︒=6，所以这个正多边形的内角和=（6﹣2）×180°=720°，故答案为720°．【点睛】本题考查了多边形内角与外角：内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）；多边形的外角和等于360度．3．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|-|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|=______．【答案】3a b c--【解析】【分析】根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b＞c，a-b＜c，a+c＞b，∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|=(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c)=a+b-c+a-b- c+a-b+c=3a-b-c．故答案为：3a-b-c．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键．4．如图，李明从A点出发沿直线前进5米到达B点后向左旋转的角度为α，再沿直线前进5米，到达点C后，又向左旋转α角度，照这样走下去，第一次回到出发地点时，他共走了45米，则每次旋转的角度α为_____．【答案】40︒．【解析】【分析】根据共走了45米，每次前进5米且左转的角度相同，则可计算出该正多边形的边数，再根据外角和计算左转的角度．【详解】÷=，连续左转后形成的正多边形边数为：4559︒÷=︒．则左转的角度是360940故答案是：40︒．【点睛】本题考查了多边形的外角计算，正确理解多边形的外角和是360°是关键．5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB= ．【答案】85°.【解析】试题分析：令A→南的方向为线段AE ，B→北的方向为线段BD ，根据题意可知，AE ，DB 是正南，正北的方向BD//AE=45°+15°=60°又=180°-60°-35°=85°.考点：1、方向角. 2、三角形内角和.6．如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，∠A ＝50°，BD 垂直平分AE ，垂足为D ，则∠EBC 的度数为_____．【答案】100°【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BE BA =，根据等腰三角形的性质，得50E A ∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】∵BD 垂直平分AE ，∴BE BA =，∴50E A ∠=∠=︒，∴100EBC E A ∠=∠+∠=︒，故答案为100°．【点睛】考查线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．在多边形内角和公式的探究过程中，主要运用的数学思想是（ ）A ．化归思想B ．分类讨论C ．方程思想D ．数形结合思想【答案】A【解析】【分析】 根据多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n 为整数）的推导过程即可解答． 【详解】解：多边形内角和定理：（n-2）·180（n≥3）且n 为整数），该公式推导的基本方法是从n 边形的一个顶点出发引出（n-3）条对角线，将n 边形分割为（n-2）个三角形，这（n-2）个三角形的所有内角之和正好是n 边形的内角和，体现了化归思想．故答案为A ．【点睛】本题主要考查了在数学的学习过程应用的数学思想，弄清推导过程是解答此题的关键.8．如图，七边形ABCDEFG 中，AB ，ED 的延长线交于点O ，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于215°，则∠BOD 的度数为( )A ．20°B ．35°C ．40°D ．45°【答案】B【解析】【分析】 由外角和内角的关系可求得∠1、∠2、∠3、∠4的和，由五边形内角和可求得五边形OAGFE 的内角和，则可求得∠BOD ．【详解】解：∵∠1、∠2、∠3、∠4的外角的角度和为215°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+215°=4×180°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=505°，∵五边形OAGFE 内角和=（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠BOD=540°，∴∠BOD=540°-505°=35°，故选：B ．【点睛】本题主要考查多边形的内角和，利用内角和外角的关系求得∠1、∠2、∠3、∠4的和是解题的关键．9．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A．30B．40︒C．50︒D．60︒【答案】C【解析】【分析】先根据三角形外角的性质求出∠BEF的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．10．一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形【答案】C【解析】解：设多边形的边数是n，根据题意得，（n﹣2）•180°=3×360°，解得n=8，∴这个多边形为八边形．故选C．【点评】本题主要考查了多边形的内角和公式与外角和定理，根据题意列出方程是解题的关键，要注意“八”不能用阿拉伯数字写．11．若正多边形的内角和是540︒，则该正多边形的一个外角为（）A．45︒B．60︒C．72︒D．90︒【答案】C【解析】【分析】n-•︒求出多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定根据多边形的内角和公式()2180的360︒，依此可以求出多边形的一个外角．【详解】正多边形的内角和是540︒，∴多边形的边数为54018025︒÷︒+＝，多边形的外角和都是360︒，∴多边形的每个外角360572＝＝．÷︒故选C．【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．12．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，交AD于F，FG∥BC，FH∥AC，下列结论：①AE＝AF；②AF＝FH；③AG＝CE；④AB＋FG＝BC，其中正确的结论有________________．(填序号)【答案】①②③④【解析】①正确.∵∠BAC＝90°∴∠ABE+∠AEB=90°∴∠ABE=90°-∠AEB∵AD⊥BC∴∠ADB=90°∴∠DBE+∠BFD=90°∴∠DBE=90-∠BFD∵∠BFD=∠AFE∴∠DBE=90°-∠AFE∵BE平分∠ABC∴∠ABE=∠DBE∴90°-∠AEB=90°-∠AFE∴∠AEB=∠AFE∴AE=AF②正确.∵∠BAC=90°∴∠BAF+∠DAC=90°∴∠BAF=90°-∠DAC∵AD⊥BC∴∠ADC=90°∴∠C+∠DAC=90°∴∠C=90°-∠DAC∴∠C=∠BAF∵FH∥AC∴∠C=∠BHF∴∠BAF=∠BHF在△ABF和△HBF中ABE CBEBAF BHFBF BF∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△HBF∴AF=FH③正确.∵AE=AF ，AF=FH∴AE=FH∵FG ∥BC ，FH ∥AC∴四边形FHCG 是平行四边形∴FH=GC∴AE=GC∴AE+EG=GC+EG∴AG=CE④正确.∵四边形FHCG 是平行四边形∴FG=HC∵△ABF ≌△HBF∴AB=HB∴AB+FG=HB+HC=BC故正确的答案有①②③④.14．如图，在△ABC 中，AC=BC ，∠ACB=90°，M 是AB 边上的中点，点D 、E 分别是AC 、BC 边上的动点，连接DM 、ME 、CM 、DE, DE 与CM 相交于点F 且∠DME=90°.则下列5个结论: (1)图中共有两对全等三角形；(2)△DEM 是等腰三角形; (3)∠CDM=∠CFE ；(4)AD 2+BE 2=DE 2；(5)四边形CDME 的面积发生改变.其中正确的结论有( )个.A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】【分析】 根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出:△AMC ≌△BMC 、△AMD ≌△CME 、△CMD ≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME 得出△DEM 是等腰三角形，及∠CDM=∠CFE ，再逐个判断222AD +BE =DE CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 即可得出结论.【详解】解：如图在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，M 为AB 中点，AB=BC∴AM=CM=BM ，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3，∠2=∠4在△AMC 和△BMC 中AM=BM MC MC AC BC ⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AMC ≌△BMC在△AMD 和△CME 中A=MCE AM=CM 1=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△AMD ≌△CME在△CDM 和△BEMDCM=B CM=BM 2=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CMD ≌△CME共有3对全等三角形，故（1）错误∵△AMD ≌△BME∴DM=ME∴△DEM 是等腰三角形，（2）正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°，∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°，∴∠EDM=∠3+∠DEM=∠3+45°，∴∠CDM=∠CFE,故（3）正确在Rt △CED 中，222CE CD DE +=∵CE=AD ，BE=CD∴222AD +BE =DE 故（4）正确（5）∵△ADM ≌△CEM∴ADM CEM S =S △△∴CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 不变，故（5）错误 故正确的有3个故选：B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.15．如图，平面直角坐标系中，A （0，3），B （4，0），BC ∥y 轴，且BC ＜OA ，第一象限内有一点P （a ，2a -3），若使△ACP 是以AC 斜边的等腰直角三角形，则点P 的坐标为_______________．【答案】（103，113）． 【解析】【详解】 解：∵点P 的坐标为（a ，2a-3），∴点P 在直线y=2x-3上，如图所示，当点P 在AC 的上方时，过P 作y 轴的垂线，垂足为D ，交BC 的延长线于E ，则∠E=∠ADP=90°，∵△ACP是以AC为斜边的等腰直角三角形，∴AP=PC，∠APD=∠PCE，∴△APD≌△PCE，∴PE=AD，又∵OD=2a-3，AO=3，∴AD=2a-6=PE，∵DE=OB=4，DP=a，又∵DP+PE=DE，∴a+（2a-6）=4，解得a=10 3∴2a-3=11 3，∴P（103，113）；当点P在AC下方时，过P作y轴的垂线，垂足为D，交BC于E，a=2，此时，CE=2，BE=2，即BC=2+2=4＞AO，不合题意；综上所述，点P的坐标为P（103，113）故答案为P（103，113）．16．如图，要在河流的南边，公路的左侧M区处建一个工厂，位置选在到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉A处的距离为1cm(指图上距离)，则图中工厂的位置应在_____.【答案】∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方.【解析】【分析】由已知条件及要求满足的条件，根据角平分线的性质作答，注意距A1cm处．【详解】工厂的位置应在∠BAC的平分线上，与A相距1cm的地方；理由：角平分线上的点到角两边的距离相等．【点睛】此题考查角平分线的性质：角平分线上的任意一点到角的两边距离相等．作图题一定要找到相关的知识为依托，同时满足多个要求时，要逐个满足．17．已知：如图，BD 为△ABC 的角平分线，且BD=BC ，E 为BD 延长线上的一点，BE=BA ，过E 作EF ⊥AB ，F 为垂足．下列结论：①△ABD ≌△EBC ； ②∠BCE+∠BCD=180°； ③AF 2=EC 2﹣EF 2； ④BA+BC=2BF ．其中正确的是_____．【答案】①②③④．【解析】【分析】根据已知条件易证△ABD ≌△EBC ，可判定①正确；根据等腰三角形的性质、对顶角相等、结合全等三角形的性质及平角的定义即可判定②正确；证明AD=AE=EC ，再利用勾股定理即可判定③正确；过E 作EG ⊥BC 于G 点，证明Rt △BEG ≌Rt △BEF 及Rt △CEG ≌Rt △AFE ，根据全等三角形的性质可得AF=CG ，所以BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，即可判定④正确.【详解】①∵BD 为△ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠CBD ，在△ABD 和△EBC 中，BD BC ABD CBD BE BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABD ≌△EBC （SAS ），∴①正确；②∵BD 为△ABC 的角平分线，BD=BC ，BE=BA ，∴∠BCD=∠BDC=∠BAE=∠BEA ，∵△ABD ≌△EBC ，∴∠BCE=∠BDA ，∴∠BCE+∠BCD=∠BDA+∠BDC=180°，∴②正确；③∵∠BCE=∠BDA ，∠BCE=∠BCD+∠DCE ，∠BDA=∠DAE+∠BEA ，∠BCD=∠BEA ， ∴∠DCE=∠DAE ，∴△ACE 为等腰三角形，∴AE=EC ，∵△ABD ≌△EBC ，∴AD=EC ，∴AD=AE=EC ，∵EF ⊥AB ，∴AF 2=EC 2﹣EF 2；∴③正确；④如图，过E 作EG ⊥BC 于G 点，∵E 是BD 上的点，∴EF=EG ，在Rt △BEG 和Rt △BEF 中，BE BE EF EG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △BEG ≌Rt △BEF （HL ），∴BG=BF ，在Rt △CEG 和Rt △AFE 中，EF FG AE CE =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CEG ≌Rt △AFE （HL ），∴AF=CG ，∴BA+BC=BF+FA+BG ﹣CG=BF+BG=2BF ，∴④正确．故答案为：①②③④．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形的对应边、对应角相等的性质，本题中熟练求证三角形全等和熟练运用全等三角形对应角、对应边相等性质是解题的关键．18．如图，在△ABC 和△ADC 中，下列论断：①AB ＝AD ；②∠ABC ＝∠ADC ＝90°；③BC ＝DC ．把其中两个论断作为条件，另一个论断作为结论，可以写出＿个真命题．【答案】2【解析】根据题意，可得三种命题，由①②⇒③，根据直角三角形全等的判定HL可证明，是真命题；由①③⇒②，能证明∠ABC=∠ADC，但是不能得出一定是90°，是假命题；由②③⇒①，根据SAS可证明两三角形全等，再根据全等三角形的性质可证明，故是真命题.因此可知真命题有2个.故答案为：2.点睛：仔细审题，将其中的两个作为题设，另一个作为结论，可得到三种情况，然后根据全等三角形的判定定理和性质可判断出是否是真命题.四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G．下列结论：①BD=CD；②AD+CF=BD；③CE=12BF；④AE=BG．其中正确的是A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【答案】C【解析】【分析】根据∠ABC=45°，CD⊥AB可得出BD=CD，利用AAS判定Rt△DFB≌Rt△DAC，从而得出DF=AD，BF=AC．则CD=CF+AD，即AD+CF=BD；再利用AAS判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE=AE=12AC，又因为BF=AC所以CE=12AC=12BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD=CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG=CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE<CG．即AE<BG．【详解】解：∵CD⊥AB,∠ABC=45°，∴△BCD是等腰直角三角形.∴BD=CD.故①正确；在Rt△DFB和Rt△DAC中，∵∠DBF=90°−∠BFD,∠DCA=90°−∠EFC，且∠BFD=∠EFC，∴∠DBF=∠DCA.又∵∠BDF=∠CDA=90°，BD=CD，∴△DFB≌△DAC.∴BF=AC；DF=AD.∵CD=CF+DF，∴AD+CF=BD；故②正确；在Rt△BEA和Rt△BEC中.∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE.又∵BE=BE,∠BEA=∠BEC=90°，∴Rt△BEA≌Rt△BEC.∴CE=AE=12 AC.又由(1)，知BF=AC，∴CE=12AC=12BF；故③正确；连接CG.∵△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD.又DH⊥BC，∴DH垂直平分BC.∴BG=CG.在Rt△CEG中，∵CG是斜边，CE是直角边，∴CE<CG.∵CE=AE，∴AE<BG.故④错误.故选C.【点睛】本题考查了等腰直角三角形、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质.此类问题涉及知识点较多，需要对相关知识点有很高的熟悉度.20．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）A．8对B．7对C．6对D．5对【答案】B【解析】【分析】易证△ABC 是关于AF 对称的图形，其中的小三角形也关于AF 对称，共可找出7对三角形.【详解】全等的三角形有：①△AFB≌△AFC；②△CEB≌△BDC；③△AEO≌△ADO；④△EOB≌△DOC；⑤△OBF≌△OFC；⑥△AOB≌△AOC；⑦△AEC≌△ADB证明①△AFB≌△AFC∵AB=AC，CE⊥AB，BD⊥AC 又∵1122ABC S AB CE AC BD == ∴CE=BD∴在Rt△BCE 和Rt△CB D 中BC BC CE BD =⎧⎨=⎩∴△BCE≌△CBD∴BE=CD，∴AE=AD在Rt△AEO 和Rt△ADO 中AE AD AO AO =⎧⎨=⎩∴△AEO≌△ADO∴∠EOD=∠DOA在△BAF 和△CAF 中AB AC BAF CAF AF AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAF≌△CAF，得证其余全等证明过程类似故选：B【点睛】本题考查全等的证明，解题关键是利用等腰三角形的性质，推导出图形中边的关系，为证全等作准备21．已知：如图，在长方形ABCD 中，AB=4，AD=6．延长BC 到点E ，使CE=2，连接DE ，动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA 向终点A 运动，设点P 的运动时间为t 秒，当t 的值为_____秒时，△ABP 和△DCE 全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．22．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，PE，PF分别交AB，AC于点E，F，给出下列四个结论：①△APE≌△CPF；②AE=CF；③△EAF是等腰直角三角形；④S△ABC=2S四边形AEPF，上述结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】利用“角边角”证明△APE和△CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，再根据等腰直角三角形的定义得到△EFP是等腰直角三角形，根据全等三角形的面积相等可得△APE的面积等于△CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于△ABC的面积的一半．【详解】∵AB=AC，∠BAC=90°，点P是BC的中点，∴AP⊥BC，AP=PC，∠EAP=∠C=45°，∴∠APF+∠CPF=90°，∵∠EPF 是直角，∴∠APF+∠APE=90°，∴∠APE=∠CPF ，在△APE 和△CPF 中，45APE CPF AP PCEAP C ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠︒⎩＝＝＝＝， ∴△APE ≌△CPF （ASA ），∴AE=CF ，故①②正确；∵△AEP ≌△CFP ，同理可证△APF ≌△BPE ，∴△EFP 是等腰直角三角形，故③错误；∵△APE ≌△CPF ，∴S △APE =S △CPF ，∴四边形AEPF =S △AEP +S △APF =S △CPF +S △BPE =12S △ABC ．故④正确， 故选C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，根据同角的余角相等求出∠APE=∠CPF ，从而得到△APE 和△CPF 全等是解题的关键，也是本题的突破点．23．如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B +∠ADC ＝180°，E 、F 分别是边BC 、CD 延长线上的点，∠EAF ＝12∠BAD ，若DF ＝1，BE ＝5，则线段EF 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】【分析】 在BE 上截取BG ＝DF ，先证△ADF ≌△ABG ，再证△AEG ≌△AEF 即可解答．【详解】在BE 上截取BG ＝DF ，∵∠B +∠ADC ＝180°，∠ADC +∠ADF ＝180°，∴∠B ＝∠ADF ，在△ADF 与△ABG 中AB AD B ADF BG DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF ≌△ABG （SAS ），∴AG ＝AF ，∠FAD ＝∠GAB ，∵∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠FAE ＝∠GAE ，在△AEG 与△AEF 中AG AF FAE GAE AE AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG ≌△AEF （SAS ）∴EF ＝EG ＝BE ﹣BG ＝BE ﹣DF ＝4．故选：B ．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．24．在△ABC 中， ∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，AB=18cm ，则△DBE 的周长为（ ）A ．16cmB ．8cmC ．18cmD ．10cm【答案】C【解析】因为 ∠C=90°，AC=BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，易证△ACD≌△AED，所以AE =AC=BC ，ED=CD.△DBE 的周长=BE+DE+DB=BE+CD+DB=BE+BC=BE+AE=AB.因为AB=12，所以△DBE 的周长=12.故选C.点睛：本题主要考查了全等三角形的判定的性质及角平分线的性质定理，角的平分线上的点到角的两边的距离相等，运用这个性质，结合等腰三角形有性质，将△DBE 的周长转化为AB的长.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，已知△ABC和△ADE都是正三角形，连接CE、BD、AF，BF=4,CF=7,求AF的长_________ .【答案】3【解析】【分析】过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J,证明CAE≅BAD，再证明CAI≅BAJ，求出°7830∠=∠=，然后求出12IF FJ AF==，，通过设FJ x=求出x，即可求出AF的长.【详解】解：过点A作AF⊥CE交于I，AG⊥BD交于J在CAE和BAD中AC ABCAE BADAE AD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴CAE≅BAD∴ICA ABJ∠=∠∴BFE CAB∠=∠（8字形）∴°120CFD∠=在CAI和BAJ中°90ICA ABJ CAI BJA CA BA ∠=∠⎧⎪∠=∠=⎨⎪=⎩∴CAI ≅BAJ,AI AJ CI BJ ==∴°60CFA AFJ ∠=∠=∴°30FAI FAE ∠=∠=在RtAIF 和RtAJF 中°30FAI FAE ∠=∠=∴12IF FJ AF ==设FJ x = 7,4CF BF ==则47x x +=-32x ∴=2AF FJ =AF ∴=3【点睛】此题主要考查了通过做辅助线证明三角形全等，得出相关的边相等，学会合理添加辅助线求解是解决本题的重点.26．在ABC ∆中，边AB 、AC 的垂直平分线分别交边BC 于点D 、点E ，20DAE ∠=︒，则BAC ∠=______°.【答案】80或100【解析】【分析】根据题意，点D 和点E 的位置不确定，需分析谁靠近B 点，则有如下图（图见解析）两种情况：（1）图1中，点E 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有1,2B DAE C DAE ∠=∠+∠∠=∠+∠，再根据三角形的内角和定理可得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得；（2）图2中，点D 距离点B 近，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，从而有3,4B C ∠=∠∠=∠，由三角形的内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，联立即可求得.【详解】由题意可分如下两种情况：（1）图1中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，1,2B DAE C DAE ∴∠=∠+∠∠=∠+∠（等边对等角），两式相加得12B C DAE DAE ∠+∠=∠+∠+∠+∠，又12DAE BAC ∠+∠+∠=∠20B C BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠+︒，由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠+︒+∠=︒，80BAC ∴∠=︒；（2）图2中，根据垂直平分线性质可知，,BD AD AE CE ==，3,4B C ∴∠=∠∠=∠（等边对等角），两式相加得34B C ∠+∠=∠+∠，又34DAE BAC ∠+∠+∠=∠，3420BAC DAE BAC ∴∠+∠=∠-∠=∠-︒，20B C BAC ∴∠+∠=∠-︒由三角形内角和定理得180B C BAC ∠+∠+∠=︒，20180BAC BAC ∴∠-︒+∠=︒，100BAC ∴∠=︒.故答案为80或100.【点睛】本题考查了垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）、等腰三角形的定义和性质（等边对等角）、以及三角形内角和定理，本题的难点在于容易漏掉第二种情况，出现漏解.27．如图，△ABC是等边三角形，高AD、BE相交于点H，BC=43，在BE上截取BG=2，以GE为边作等边三角形GEF，则△ABH与△GEF重叠（阴影）部分的面积为_____．53【解析】试题分析：如图所示，由△ABC是等边三角形，BC=433，∠ABG=∠HBD=30°，由直角三角的性质，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°，由对顶角相等，得∠MHE=∠BHD=60°，由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4．由GE为边作等边三角形GEF，得FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°，△MHE是等边三角形；S △ABC =12A C•BE=12AC×EH×3EH=13BE=13×6=2．由三角形外角的性质，得∠BIF=∠FGE ﹣∠IBG=60°﹣30°=30°，由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2，由线段的和差，得IF=FG ﹣IG=4﹣2=2，由对顶角相等，得∠FIN=∠BIG=30°，由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°，由锐角三角函数，得FN=1，IN=3．S 五边形NIGHM =S △EFG ﹣S △EMH ﹣S △FIN =2233142312⨯-⨯-⨯⨯=53，故答案为53．考点：1．等边三角形的判定与性质；2．三角形的重心；3．三角形中位线定理；4．综合题；5．压轴题．28．如图，在ABC 中，AB AC >，按以下步骤作图：分别以点B 和点C 为圆心，大于BC 一半长为半径作画弧，两弧相交于点M 和点N ，过点M N 、作直线交AB 于点D ，连接CD ，若10AB =，6AC =，则ADC 的周长为_____________________．【答案】16【解析】【分析】利用基本作图可以判定MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，然后利用等线段代换得到ACD ∆的周长=AB+AC ，再把10AB =，6AC =代入计算即可．【详解】解：由作法得MN 垂直平分BC ，则DC=DB ，10616ACD C CD AC AD DB AD AC AB AC ∆=++=++=+=+=故答案为：16．【点睛】本题考查了基本作图和线段垂直平分线的性质，熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）是本题的关键．29．如图，已知每个小方格的边长为1，A、B两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中找一个格点C，使△ABC是等腰三角形，这样的格点C有________个。

数学八年级上册全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．如图1，在△ACB和△AED中，AC＝BC，AE＝DE，∠ACB＝∠AED＝90°，点E在AB上，F是线段BD的中点，连接CE、FE．（1）请你探究线段CE与FE之间的数量关系（直接写出结果，不需说明理由）；（2）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转，使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上（如图2），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由；（3）将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度（如图3），连接BD，取BD的中点F，问（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由．【答案】（1）线段CE与FE之间的数量关系是CE2FE；（2）（1）中的结论仍然成立．理由见解析；（3）（1）中的结论仍然成立．理由见解析【解析】【分析】（1）连接CF，直角△DEB中，EF是斜边BD上的中线，因此EF=DF=BF，∠FEB=∠FBE，同理可得出CF=DF=BF，∠FCB=∠FBC，因此CF=EF，由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE，同理∠DFC=2∠FBC，因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2（∠EBF+∠CBF）=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，2EF；（2）思路同（1）也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解．连接CF，延长EF交CB 于点G，先证△EFC是等腰三角形，可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论，那么就要证明EF=FG，就需要证明△DEF和△FGB全等．这两个三角形中，已知的条件有一组对顶角，DF=FB，只要再得出一组对应角相等即可，我们发现DE∥BC，因此∠EDB=∠CBD，由此构成了两三角形全等的条件．EF=FG，那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了，下面证明△CFE是个直角三角形．由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD，又由AC=BC，因此CE=CG，∠CEF=45°，在等腰△CFE中，∠CEF=45°，那么这个三角形就是个等腰直角三角形，因此就能得出（1）中的结论了；（3）思路同（2）通过证明△CFE来得出结论，通过全等三角形来证得CF=FE，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF．那么关键就是证明△MEF和△CFN全等，利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线，我们不难得出EM=PN=12AD，EC=MF=12AB，我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论．我们知道PN是△ABD的中位线，那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形，那么对角就相等，于是90°+∠CNF=90°+∠MEF，因此∠CNF=∠MEF，那么两三角形就全等了．证明∠CFE是直角的过程与（1）完全相同．那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形，于是得出的结论与（1）也相同．【详解】（1）如图1，连接CF，线段CE与FE之间的数量关系是CE＝2FE；解法1：∵∠AED＝∠ACB＝90°∴B、C、D、E四点共圆且BD是该圆的直径，∵点F是BD的中点，∴点F是圆心，∴EF＝CF＝FD＝FB，∴∠FCB＝∠FBC，∠ECF＝∠CEF，由圆周角定理得：∠DCE＝∠DBE，∴∠FCB+∠DCE＝∠FBC+∠DBE＝45°∴∠ECF＝45°＝∠CEF，∴△CEF是等腰直角三角形，∴CE＝2EF．解法2：易证∠BED＝∠ACB＝90°，∵点F是BD的中点，∴CF＝EF＝FB＝FD，∵∠DFE＝∠ABD+∠BEF，∠ABD＝∠BEF，∴∠DFE＝2∠ABD，同理∠CFD＝2∠CBD，∴∠DFE+∠CFD＝2（∠ABD+∠CBD）＝90°，即∠CFE＝90°，∴CE＝2EF．（2）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图2﹣1，连接CF，延长EF交CB于点G，∵∠ACB＝∠AED＝90°，∴DE∥BC，∴∠EDF＝∠GBF，又∵∠EFD＝∠GFB，DF＝BF，∴△EDF≌△GBF，∴EF＝GF，BG＝DE＝AE，∵AC＝BC，∴CE＝CG，∴∠EFC＝90°，CF＝EF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE＝2FE；解法2：如图2﹣2，连结CF、AF，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAE＝45°+45°＝90°，又点F是BD的中点，∴FA＝FB＝FD，而AC＝BC，CF＝CF，∴△ACF≌△BCF，∴∠ACF＝∠BCF＝12∠ACB＝45°，∵FA＝FB，CA＝CB，∴CF所在的直线垂直平分线段AB，同理，EF所在的直线垂直平分线段AD，又DA⊥BA，∴EF⊥CF，∴△CEF为等腰直角三角形，∴CE＝2EF．（3）（1）中的结论仍然成立．解法1：如图3﹣1，取AD的中点M，连接EM，MF，取AB的中点N，连接FN、CN、CF，∵DF＝BF，∴FM∥AB，且FM＝12 AB，∵AE＝DE，∠AED＝90°，∴AM＝EM，∠AME＝90°，∵CA＝CB，∠ACB＝90°∴CN=AN=12AB，∠ANC＝90°，∴MF∥AN，FM＝AN＝CN，∴四边形MFNA为平行四边形，∴FN＝AM＝EM，∠AMF＝∠FNA，∴∠EMF＝∠FNC，∴△EMF≌△FNC，∴FE＝CF，∠EFM＝∠FCN，由MF∥AN，∠ANC＝90°，可得∠CPF＝90°，∴∠FCN+∠PFC＝90°，∴∠EFM+∠PFC＝90°，∴∠EFC＝90°，∴△CEF为等腰直角三角形，∴∠CEF＝45°，∴CE．【点睛】本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等，如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建．2．如图1，等腰△ABC中，AC=BC＝∠ACB=45˚，AO是BC边上的高，D为线段AO上一动点，以CD为一边在CD下方作等腰△CDE,使CD=CE且∠DCE=45˚，连结BE.(1) 求证：△ACD≌△BCE；(2) 如图2，在图1的基础上，延长BE至Q, P为BQ上一点，连结CP、CQ,若CP＝CQ＝5,求PQ的长.(3) 连接OE，直接写出线段OE的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）PQ=6；（3）OE=422-【解析】试题分析：()1根据SAS即可证得ACD BCE≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，由等腰三角形的性质，即可求得45DAC∠=︒，则根据等腰三角形与直角三角形中的勾股定理即可求得PQ的长．()3OE BQ⊥时，OE取得最小值.试题解析：()1证明：∵△ABC与△DCE是等腰三角形，∴AC=BC,DC=EC,45ACB DCE∠=∠=，45ACD DCB ECB DCB∴∠+∠=∠+∠=，∴∠ACD=∠BCE；在△ACD和△BCE中，,AC BCACD BCEDC EC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(SAS)ACD BCE∴≌；()2首先过点C作CH BQ⊥于H，(2)过点C 作CH ⊥BQ 于H ，∵△ABC 是等腰三角形，∠ACB=45˚，AO 是BC 边上的高，45DAC ∴∠=，ACD BCE ≌，45PBC DAC ∴∠=∠=，∴在Rt BHC 中,2242422CH BC =⨯=⨯=， 54PC CQ CH ===，，3PH QH ∴==，6.PQ ∴=()3OE BQ ⊥时，OE 取得最小值.最小值为：42 2.OE =-3．如图，△ABC 中，D 是BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于F ，交AC 的平行线BG 于G 点，DE ⊥DF ，交AB 于点E ，连结EG 、EF ．（1）求证：BG ＝CF ；（2）请你判断BE +CF 与EF 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）BE +CF ＞EF ，证明详见解析【解析】【分析】（1）先利用ASA 判定△BGD ≅CFD ，从而得出BG=CF ；（2）利用全等的性质可得GD=FD ，再有DE ⊥GF ，从而得到EG=EF ，两边之和大于第三边从而得出BE+CF ＞EF ．【详解】解：（1）∵BG ∥AC ，∴∠DBG ＝∠DCF ．∵D 为BC 的中点，∴BD ＝CD又∵∠BDG ＝∠CDF ，在△BGD 与△CFD 中，∵DBG DCFBD CDBDG CDF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△BGD≌△CFD（ASA）．∴BG＝CF．（2）BE+CF＞EF．∵△BGD≌△CFD，∴GD＝FD，BG＝CF．又∵DE⊥FG，∴EG＝EF（垂直平分线到线段端点的距离相等）．∴在△EBG中，BE+BG＞EG，即BE+CF＞EF．【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，要注意判定三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、ASA、HL．4．如图1，在ABC∆中，ACB∠是直角，60B∠=︒，AD、CE分别是BAC∠、BCA∠的平分线，AD、CE相交于点F．（1）求出AFC∠的度数；（2）判断FE与FD之间的数量关系并说明理由．（提示：在AC上截取CG CD=，连接FG．）（3）如图2，在△ABC∆中，如果ACB∠不是直角，而（1）中的其它条件不变，试判断线段AE、CD与AC之间的数量关系并说明理由．【答案】（1）∠AFC＝120°；（2）FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由见解析；（3）AC＝AE+CD．理由见解析．【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和性质只要求出∠FAC，∠ACF即可解决问题;（2）根据在图2的 AC上截取CG=CD，证得△CFG≌△CFD (SAS),得出DF= GF；再根据ASA 证明△AFG≌△AFE，得EF=FG，故得出EF=FD；（3）根据(2) 的证明方法，在图3的AC上截取AG=AE，证得△EAF≌△GAF (SAS)得出∠EFA=∠GFA；再根据ASA证明△FDC≌△FGC，得CD=CG即可解决问题．【详解】（1）解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC＝15°，∠FCA＝45°，∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠ACF）＝120°（2）解：FE与FD之间的数量关系为：DF＝EF．理由：如图2，在AC上截取CG＝CD，∵CE是∠BCA的平分线，∴∠DCF＝∠GCF，在△CFG和△CFD中，CG CDDCF GCFCF CF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CFG≌△CFD（SAS），∴DF＝GF．∠CFD＝∠CFG由（1）∠AFC＝120°得，∴∠CFD＝∠CFG＝∠AFE＝60°，∴∠AFG＝60°，又∵∠AFE＝∠CFD＝60°，∴∠AFE＝∠AFG，在△AFG和△AFE中，AFE AFGAF AFEAF GAF∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AFG≌△AFE（ASA），∴EF＝GF，∴DF＝EF；（3）结论：AC＝AE+CD．理由：如图3，在AC上截取AG＝AE，同（2）可得，△EAF ≌△GAF （SAS ），∴∠EFA ＝∠GFA ，AG ＝AE∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B=180°-60°=120°∴∠AFC ＝180°﹣(∠FAC+∠FCA)＝180°-12(∠BAC+∠BCA)=180°-12×120°=120°， ∴∠EFA ＝∠GFA ＝180°﹣120°＝60°＝∠DFC ，∴∠CFG ＝∠CFD ＝60°，同（2）可得，△FDC ≌△FGC （ASA ），∴CD ＝CG ，∴AC ＝AG+CG ＝AE+CD ．【点睛】 本题考查了全等三角形的判定和性质的运用，全等三角形的判定和性质是证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，要注意三角形间的公共边和公共角，必要时添加适当辅助线构造全等三角形．5．如图1，在ABC ∆中，90ACB ∠=，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．易得DE AD BE =+（不需要证明）．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时，其余条件不变，你认为上述结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系，并说明理由；（2）当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时，其余条件不变，请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系（不需要证明）．【答案】(1) 不成立，DE=AD-BE ，理由见解析；(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE．由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE，证得△ACD≌△CBE，得到AD=CE，CD=BE，即有DE=AD-BE；(2)DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．证明的方法与(1)一样．【详解】(1)不成立．DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，理由如下：如图，∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB=，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD和△CBE中，90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△CBE(AAS)，∴AD=CE，CD=BE，∴DE=CE-CD=AD-BE；(2)结论：DE=BE-AD．∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，AC CB=，∴∠ACD+∠CAD=90°，又∠ACD+∠BCE=90°，∴∠CAD=∠BCE，在△ACD和△CBE中，90ADC CEBCAD BCEAC CB∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADC≌△CEB(AAS)，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD-CE=BE-AD．【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质，旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．二、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）6．（1）如图①，D是等边△ABC的边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边，在BC上方作等边△DCF，连接AF，你能发现AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论；（2）如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；（3）Ⅰ.如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方和下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF，BF′，探究AF，BF′与AB有何数量关系？并证明你的探究的结论；Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．【答案】（1）AF=BD，理由见解析；（2）AF与BD在（1）中的结论成立，理由见解析；（3）Ⅰ. AF+BF′=AB，理由见解析，Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF=AB+BF′，理由见解析．【解析】【分析】（1）由等边三角形的性质得BC=AC，∠BCA=60°，DC=CF，∠DCF=60°，从而得∠BCD=∠ACF，根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（2）根据SAS证明△BCD≌△ACF，进而即可得到结论；（3）Ⅰ．易证△BCD≌△ACF（SAS），△BCF′≌△ACD（SAS），进而即可得到结论；Ⅱ．证明△BCF′≌△ACD，结合AF=BD，即可得到结论．【详解】（1）结论：AF =BD ，理由如下：如图1中，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，∴∠BCA -∠DCA =∠DCF -∠DCA ，即：∠BCD =∠ACF ，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（2）AF 与BD 在（1）中的结论成立，理由如下：如图2中，∵△ABC 是等边三角形，∴BC =AC ，∠BCA =60°，同理知，DC =CF ，∠DCF =60°，∴∠BCA +∠DCA =∠DCF +∠DCA ，即∠BCD =∠ACF ，在△BCD 和△ACF 中，∵BC AC BCD ACF DC FC =∠=∠=⎧⎪⎨⎪⎩，∴△BCD ≌△ACF （SAS ），∴BD =AF ；（3）Ⅰ．AF +BF ′=AB ，理由如下：由（1）知，△BCD ≌△ACF （SAS ），则BD =AF ；同理：△BCF ′≌△ACD （SAS ），则BF ′=AD ，∴AF +BF ′=BD +AD =AB ；Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立，新的结论是AF =AB +BF ′，理由如下：同理可得：BCF ACD ∠=∠′，F C DC =′，在△BCF ′和△ACD 中，BC AC BCF ACD F C DC =∠⎧⎪=∠=⎪⎨⎩′′， ∴△BCF ′≌△ACD （SAS ），∴BF ′=AD ，又由（2）知，AF =BD ，∴AF =BD =AB +AD =AB +BF ′，即AF =AB +BF ′．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质定理，三角形全等的判定和性质定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质定理，是解题的关键．7．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D 为BC 中点 ,∴AD=BD ,AD ⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．8．某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：设(090BAC θθ∠=︒<<︒).现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB 、AC 上．活动一、如图甲所示，从点1A 开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直（12A A 为第1根小棒）数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： （填“能”或“不能”）（2）设11223AA A A A A ==，求θ的度数；活动二：如图乙所示，从点1A 开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中12A A 为第一根小棒，且121A A AA =．数学思考：（3）若已经摆放了3根小棒，则213A A A ∠= ，423A A A ∠= ，43 A A C ∠= ；（用含θ的式子表示）（4）若只能摆放5根小棒，则θ的取值范围是 ．【答案】（1）能；（2）θ＝22.5°；（3）2θ，3θ，4θ；（4）15°≤θ＜18°．【解析】【分析】（1）由小棒与小棒在端点处互相垂直，即可得到答案；（2）根据等腰直角三角形的性质和三角形外角的性质，即可得到答案；（3）由121A A AA =，得∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，从而得213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，同理得423 A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ，43 A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ； （4）根据题意得：5θ＜90°且6θ≥90°，进而即可得到答案．【详解】（1）∵小棒与小棒在端点处互相垂直即可，∴小棒能无限摆下去，故答案是：能；（2）∵A 1A 2＝A 2A 3，A 1A 2⊥A 2A 3，∴∠A 2A 1A 3＝45°，∴∠AA 2A 1+θ＝45°，∵AA 1＝A 1A 2∴∠AA 2A 1＝∠BAC=θ，∴θ＝22.5°；（3）∵121A A AA =，∴∠AA 2A 1=∠A 2AA 1=θ，∴213A A A ∠=∠AA 2A 1+∠A 2AA 1=2θ，∵3122A A A A =，∴213A A A ∠=231A A A ∠=2θ，∴423A A A ∠=∠A 2AA 1+231A A A ∠=θ+2θ=3θ， ∵3342A A A A =，∴423A A A ∠=243 A A A ∠=3θ， ∴43A A C ∠=∠A 2AA 1+243 A A A ∠=θ+3θ=4θ， 故答案是：2θ，3θ，4θ；（4）由第（3）题可得：645A A A ∠=5θ，65 A A C ∠=6θ， ∵只能摆放5根小棒，∴5θ＜90°且6θ≥90°，∴15°≤θ＜18°．故答案是：15°≤θ＜18°．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，掌握等腰三角形的底角相等且小于90°，是解题的关键．9．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN＝3t﹣24＝6解得t＝10；④当M、N都在BC上，∠AMN＝90°时，则N与B重合，M正好处于BC的中点，如图此时2t＝12+6解得t＝9；综上所述，点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.10．探究题：如图，AB⊥BC，射线CM⊥BC，且BC＝5cm，AB＝1cm，点P是线段BC（不与点B、C重合）上的动点，过点P作DP⊥AP交射线CM于点D，连结AD．（1）如图1，若BP＝4cm，则CD＝；（2）如图2，若DP平分∠ADC，试猜测PB和PC的数量关系，并说明理由；（3）若△PDC是等腰三角形，则CD＝cm．（请直接写出答案）【答案】（1）4cm；（2）PB＝PC，理由见解析；（3）4【解析】【分析】（1）根据AAS定理证明△ABP≌△PCD，可得BP＝CD；（2）延长线段AP、DC交于点E，分别证明△DPA≌△DPE、△APB≌△EPC，根据全等三角形的性质解答；（3）根据等腰直角三角形的性质计算．【详解】解：（1）∵BC＝5cm，BP＝4cm，∴PC＝1cm，∴AB＝PC，∵DP⊥AP，∴∠APD＝90°，∴∠APB+∠CPD＝90°，∵∠APB+∠CPD＝90°，∠APB+∠BAP＝90°，∴∠BAP＝∠CPD，在△ABP和△PCD中，B CBAP CPDAB PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABP≌△PCD，∴BP＝CD＝4cm；（2）PB＝PC，理由：如图2，延长线段AP、DC交于点E，∵DP平分∠ADC，∴∠ADP＝∠EDP．∵DP⊥AP，∴∠DPA＝∠DPE＝90°，在△DPA和△DPE中，ADP EDPDP DPDPA DPE∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△DPA≌△DPE（ASA），∴PA＝PE．∵AB⊥BP，CM⊥CP，∴∠ABP＝∠ECP＝Rt∠．在△APB和△EPC中，ABP ECP APB EPC PA PE ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△APB ≌△EPC （AAS ），∴PB ＝PC ；（3）∵△PDC 是等腰三角形，∴△PCD 为等腰直角三角形，即∠DPC ＝45°，又∵DP ⊥AP ，∴∠APB ＝45°，∴BP ＝AB ＝1cm ，∴PC ＝BC ﹣BP ＝4cm ，∴CD ＝CP ＝4cm ，故答案为：4．【点睛】本题考查了三角形的全等的证明、全等三角形的性质以及等腰三角形的性质.做出辅助线证明三角形全等是本题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．阅读材料：若m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，求m 、n 的值．解：∵m 2﹣2mn+2n 2﹣8n+16=0，∴（m 2﹣2mn+n 2）+（n 2﹣8n+16）=0∴（m ﹣n ）2+（n ﹣4）2=0，∴（m ﹣n ）2=0，（n ﹣4）2=0，∴n=4，m=4．根据你的观察，探究下面的问题：（1）已知x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，求2x+y 的值；（2）已知a ﹣b=4，ab+c 2﹣6c+13=0，求a+b+c 的值．【答案】(1)1；(2)3．【解析】【分析】（1）根据题意，可以将题目中的式子化为材料中的形式，从而可以得到x 、y 的值，从而可以得到2x+y 的值；（2）根据a-b=4，ab+c 2-6c+13=0，可以得到a 、b 、c 的值，从而可以得到a+b+c 的值．【详解】解：(1)∵x 2+2xy+2y 2+2y+1=0，∴(x 2+2xy+y 2)+(y 2+2y+1)=0，∴(x+y)2+(y+1)2=0，∴x+y=0，y+1=0，解得，x=1，y=−1，∴2x+y=2×1+(−1)=1；(2)∵a−b=4，∴a=b+4，∴将a=b+4代入ab+c 2−6c+13=0，得b 2+4b+c 2−6c+13=0，∴(b 2+4b+4)+(c 2−6c+9)=0，∴(b+2)2+(c−3)2=0，∴b+2=0，c−3=0，解得，b=−2，c=3，∴a=b+4=−2+4=2，∴a+b+c=2−2+3=3．【点睛】此题考查了因式分解方法的应用：利用因式分解解决求值问题；利用因式分解解决证明问题；利用因式分解简化计算问题.此题解答的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分.12．阅读下列材料：利用完全平方公式，可以将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式，我们把这种变形方法，叫做配方法．运用配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如：22222111111251151151124112422242222x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++-+=+-=+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭根据以上材料，解答下列问题：（1）用配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式，则281=x x +- ________； （2）用配方法和平方差公式把多项式228x x --进行因式分解；（3）对于任意实数x ，y ，多项式222416x y x y +--+的值总为______（填序号）．①正数②非负数 ③ 0【答案】（1）2(4)17x +-；（2）(2)(4)x x +-；（3）①【解析】【分析】（1）根据材料所给方法解答即可；（2）材料所给方法进行解答即可；（3）局部进行因式分解，最后写成非负数的积的形式即可完成解答.【详解】解：（1）281x x +-=2816116x x ++--2(4)17x +-.（2）原式=22118x x -+--=2(1)9x --=(13)(13)x x -+--=(2)(4)x x +-．（3）222416x y x y +--+=()()22214411x x y y -++-++=()()221211x y -+-+＞11故答案为①.【点睛】本题考查了配方法，根据材料学会配方法并灵活运用配方法解题是解答本题的关键.13．观察下列等式：22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题：（1）n n a b -=___________（2）636261322222221+++⋯⋯++++= （结果用幂表示）.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.【答案】（1）（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）264-1；（3）76.【解析】【分析】（1）根据规律可得结果（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）利用（1）得出的规律先计算（2-1）63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果；（3）利用（1）得出的规律变形，再用完全平方公式进行变形，变成只含a-b 及ab 的形式，整体代入计算即可得到结果．【详解】解：（1）()()22a b a b a b -=-+，()()3322a b a b a ab b -=-++，()()443223a b a b a a b ab b -=-+++， ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++， 由此规律可得：a n -b n =（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1），故答案是：（a-b ）（a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1）；（2）由（1）的规律可得（2-1）()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1， ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是：264-1.（3）已知4,1a b ab -==，求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯（）=76. 故答案是：76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．14．阅读材料：要把多项式am+an+bm+bn 因式分解，可以先把它进行分组再因式分解：am+an+bm+bn=（am +an ）+（bm +bn ）=a （m +n ）+b （m +n ）=（a +b ）（m +n ），这种因式分解的方法叫做分组分解法．（1）请用上述方法因式分解：x 2-y 2+x-y（2）已知四个实数a 、b 、c 、d 同时满足a 2+ac=12k ，b 2+bc=12k ．c 2+ac=24k ，d 2+ad=24k ，且a≠b ，c≠d ，k≠0①求a+b+c 的值；②请用含a 的代数式分别表示b 、c 、d【答案】（1）（x −y ）（x +y +1）；（2）①0a b c ++=；②3b a =-，2c a =，3d a =-【解析】【分析】（1）将x 2 - y 2分为一组，x-y 分为一组，前一组利用平方差公式化为(x+y)(x-y)，再提取公因式即可求解．（2）①已知22a ac b bc +=+=12k ，可得220a b ac bc -+-=，将等号左边参照（1）因式分解，即可求解．②由a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k 可得2(a 2+ac)= c 2+ac ，即可得出c=2a ，同理得出3b a =-，3d a =-【详解】（1）x 2-y 2+x-y = (x 2 -y 2)+(x-y)=(x+y)(x-y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1)故答案为：(x-y)(x+y+1)（2）①22a ac b bc +=+=12k220a b ac bc -+-=()()0a b a b c -++=∵a b∴0a b c ++=②∵a 2+ac=12k ，c 2+ac=24k2(a 2+ac)= c 2+ac∴2a 2+ac- c 2=0得(2a-c)(a+c)=0∵a 2+ac=12k ≠0即a(a+c)≠0∴c=2a ，a 2=4k∵b 2+bc=12k∴b 2+2ba=3a 2则（a −b ）（3a +b ）=0∵a ≠b∴3b a =-同理可得d 2+ad=24k ，c 2+ac=24kd 2+ad=c 2+ac（d −c ）（a +d +c ）=0∵c d ≠∴0a d c ++=∴3d a =-故答案为：0a b c ++=；3b a =-，2c a =，3d a =-【点睛】本题考查了用提取公因式法、运用公式法、分组分解法进行因式分解．15．阅读材料：小明发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如=（）2，善于思考的小明进行了以下探索：设=（）2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数）则有：=m 2+2n 2，所以a=m 2+2n 2，b=2mn ．这样小明就找到了一种把的式子化为平方式的方法．请仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a 、b 、m 、n 均为正整数时，若（）2，用含m 、n 的式子分别表示a 、b ，得a= ，b=（2）若（2（其中a 、b 、m 、n 均为正整数），求a 的值．【答案】（1）m 2+3n 2，2mn ；（2）13．【解析】试题分析：（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a 、b 的表达式；（2）根据题意，4=2mn ，首先确定m 、n 的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a 的值．试题解析：(1)∵)2，∴2+3n 2∴a=m 2+3n 2，b=2mn.故a=m 2+3n 2，b=2mn ；（2）由题意，得223{42a m n mn=+= ∵4=2mn ，且m 、n 为正整数，∴m=2，n=1或m=1，n=2，∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．为响应“绿色出行”的号召，小王上班由自驾车改为乘坐公交车.已知小王家距离上班地点27km ，他乘坐公交车平均每小时行驶的路程比他自驾车平均每小时行驶的路程的2倍还多9km .他从家出发到上班地点，乘公交车所用的时间是自驾车所用时间的37. （1）小王用自驾车上班平均每小时行驶多少千米？（2）上周五，小王上班时先步行了6km ，然后乘公交车前往，共用43小时到达.求他步行的速度.【答案】（1）小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）小王步行的速度为每小时6km .【解析】【分析】（1））设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.再利用乘公交车的方式平均每小时行驶的路程比他自用驾SS 式平均每小时行驶的路程的2倍还多9千米和乘公交车所用时间是自驾车方式所用时间的37，列方程求解即可；（2）设小王步行的速度为每小时ykm ，然后根据“步行时间+乘公交时间=小时”列方程解答即可.【详解】解（1）设小王用自驾车上班平均每小时行驶xkm ，则他乘坐公交车上班平均每小时行驶()29x km +.根据题意得：27327297x x=⋅+ 解得：27x =经检验，27x =是原方程的解且符合题意.所以小王用自驾车上班平均每小时行驶27km ；（2）由（1）知：小王乘坐公交车上班平均每小时行驶29227963x +=⨯+=（km ）； 设小王步行的速度为每小时ykm ，根据题意得：62764633y -+= 解得：6y =.经检验：6y =是原方程的解且符合题意所以小王步行的速度为每小时6km .【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答的关键在于弄清题意、找到等量关系、列出分式方程并解答.17．符号a b c d 称为二阶行列式，规定它的运算法则为：a b ad bc c d =-，请根据这一法则解答下列问题：（1）计算：211111xx x +-；（2）若2121122x xx -=--，求x 的值.【答案】（1）()()111x x +- （2）5 【解析】【分析】 （1）根据新定义列出代数式，再进行减法计算；（2）根据定义列式后得到关于x 的分式方程，正确求解即可.【详解】（1）原式2111x x x =--+ ()()()()11111x x x x x x -=-+-+-()()111x x =+-； （2）根据题意得：21222x x x--=-- 解之得：5x =经检验：5x =是原分式方程的解所以x 的值为5.【点睛】此题考察分式的计算，分式方程的求解，依据题意正确列式是解此题的关键.18．为了迎接运动会，某校八年级学生开展了“短跑比赛”。

八年级数学上册全册全套试卷测试卷（word版，含解析）一、八年级数学三角形填空题（难）1．一个多边形内角和是一个四边形内角和的4倍，则这个多边形的边数是_________【答案】10【解析】【分析】【详解】解：本题根据题意可得：（n－2）×180°=4×360°，解得：n=10．故答案为：10 ．考点：多边形的内角和定理.2．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为__cm．【答案】22【解析】【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉不合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.3．已知一个多边形的内角和与外角和的差是1260°，则这个多边形边数是．【答案】12【解析】试题解析：根据题意，得（n-2）•180-360=1260，解得：n=11．那么这个多边形是十一边形．考点：多边形内角与外角．4．已知一个三角形的三边长为3、8、a，则a的取值范围是_____________．【答案】5＜a＜11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a＜8+3，解得：5＜a ＜11，故答案为：5＜a＜11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．如图，B处在A处的南偏西45°方向，C处在A处的南偏东15°方向，C处在B处的北偏东80°方向，则∠ACB= ．【答案】85°.【解析】试题分析：令A→南的方向为线段AE，B→北的方向为线段BD，根据题意可知，AE，DB 是正南，正北的方向BD//AE=45°+15°=60°又=180°-60°-35°=85°.考点：1、方向角. 2、三角形内角和.6．如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP=20°，∠ACP=50°，则∠P=______°．【答案】30【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠PBC=20°，∠PCM=50°，根据三角形外角性质即可求出∠P的度数.【详解】∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACM的平分线，∠ABP=20°，∠ACP=50°，∴∠PBC=20°，∠PCM=50°，∵∠PBC+∠P=∠PCM，∴∠P=∠PCM-∠PBC=50°-20°=30°，故答案为：30【点睛】本题考查及角平分线的定义及三角形外角性质，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，熟练掌握三角形外角性质是解题关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，已知AE是ΔABC的角平分线，AD是BC边上的高．若∠ABC=34°，∠ACB=64°，则∠DAE的大小是（）A．5°B．13°C．15°D．20°【答案】C【解析】【分析】由三角形的内角和定理，可求∠BAC=82°，又由AE是∠BAC的平分线，可求∠BAE=41°，再由AD是BC边上的高，可知∠ADB=90°，可求∠BAD=56°，所以∠DAE=∠BAD-∠BAE，问题得解．【详解】在△ABC中，∵∠ABC=34°，∠ACB=64°,∴∠BAC=180°−∠B−∠C=82°，∵AE是∠BAC的平分线，∴∠BAE=∠CAE=41°.又∵AD是BC边上的高，∴∠ADB=90°，∵在△ABD中∠BAD=90°−∠B=56°，∴∠DAE=∠BAD −∠BAE =15°.【点睛】在本题中，我们需要注意到已知条件中已经告诉三角形的两个角，所以利用内角和定理可以求出第三个角，再有已知条件中提到角平分线和高线，所以我们可以利用角平分线和高线的性质计算出相关角，从而利用角的和差求解，在做几何证明题时需注意已知条件衍生的结论.8．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记∠AEB为∠1，∠ADC 为∠2，则∠A、∠1与∠2的数量关系，结论正确的是（ ）A ．∠1＝∠2＋∠AB ．∠1＝2∠A＋∠2C ．∠1＝2∠2＋2∠AD ．2∠1＝∠2＋∠A【答案】B【解析】 试题分析：如图在∆ABC 中，∠A+∠B+∠C=180°，折叠之后在∆ADF 中，∠A+∠2+∠3=180°，∴∠B+∠C=∠2+∠3，∠3=180°-∠A -∠2，又在四边形BCFE 中∠B+∠C+∠1+∠3=360°，∴∠2+∠3+∠1+∠3=360°∴∠2+∠1+2∠3=∠2+∠1+2（180°-∠A -∠2）=360°，∴∠2+∠1-2∠A -2∠2=0，∴∠1＝2∠A＋∠2.故选B点睛：本题主要考查考生对三角形内角和，四边形内角和以及三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和的理解及掌握。

八年级上册兰州数学全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．已知三角形的两边的长分别为2cm和8cm，设第三边中线的长为x cm，则x的取值范围是_______【答案】3＜x＜5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM在△ABD和△CDM中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.2．如图，将一副直角三角板，按如图所示叠放在一起，则图中∠COB=____．【答案】105°．【解析】【分析】先根据直角三角形的特殊角可知：∠ECD=45°，∠BDC=60°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．【详解】如图，∠ECD=45°，∠BDC=60°，∴∠COB=∠ECD+∠BDC=45°+60°=105°．故答案为：105°．【点睛】此题考查三角形外角的性质，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质是解题的关键．3．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.4．等腰三角形的三边长分别为：x+1，2x+3，9，则x=________.【答案】3【解析】①当x+1=2x+3时，解得x=−2(不合题意,舍去)；②当x+1=9时，解得x=8，则等腰三角形的三边为:9、19、9，因为9+9=18<19，不能构成三角形，故舍去；③当2x+3=9时，解得x=3，则等腰三角形的三边为:4、9、9，能构成三角形。

八年级数学全册全套试卷综合测试卷（word含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）∠=，边AB的垂直平分线交边BC于点D，边AC的垂直平分线1．在ABC中，BACα∠的度数为______.(用含α的代数式表示)交边BC于点E，连结AD，AE，则DAE【答案】2α﹣180°或180°﹣2α【解析】分两种情况进行讨论，先根据线段垂直平分线的性质，得到∠B=∠BAD，∠C=∠CAE，进而得到∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°－a，再根据角的和差关系进行计算即可．解：有两种情况：①如图所示,当∠BAC⩾90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAC−(∠BAD+∠CAE)=α−(180°−α)=2α−180°；②如图所示,当∠BAC<90°时，∵DM垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠BAD，同理可得，∠C=∠CAE，∴∠BAD+∠CAE=∠B+∠C=180°−α，∴∠DAE=∠BAD+∠CAE−∠BAC=180°−α−α=180°−2α.故答案为2α−180°或180°−2α.点睛：本题主要考查垂直平分线的性质.根据题意准确画出符合题意的两种图形是解题的关键.2．如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝_____°．【答案】21°【解析】根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得．解：由题意得：∠E=∠ECD−∠EBC=12∠ACD−12∠ABC=12∠A=21°.故答案为21°.3．如图，在△ABC中，∠B=50°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC=_______°.【答案】65【解析】如图，∵AE平分∠DAC，CE平分∠ACF，∴∠1=12∠DAC，∠2=12∠ACF，∴∠1+∠2=12（∠DAC+∠ACF），又∵∠DAC+∠ACF=（180°-∠BAC）+（180°-∠ACB）=360°-（∠BAC+∠ACB），且∠BAC+∠ACB=180°-∠ABC=180°-50°=130°，∴∠1+∠2=12（360°-130°）=115°，∴在△ACE中，∠E=180°-（∠1+∠2）=180°-115°=65°.4．已知a、b、c为△ABC的三边，化简：|a+b﹣c|-|a﹣b﹣c|+|a﹣b+c|=______．【答案】3a b c--【解析】【分析】根据三角形的三边关系判断绝对值内式子的正负，然后利用绝对值的性质去掉绝对值，再去括号合并同类项即可．【详解】解：∵a、b、c为△ABC的三边，∴a+b＞c，a-b＜c，a+c＞b，∴a+b-c＞0，a-b-c＜0，a-b+c＞0，∴|a+b-c|-|a-b-c|+|a-b+c|=(a+b-c)+(a-b- c)+(a-b+c)=a+b-c+a-b- c+a-b+c=3a-b-c．故答案为：3a-b-c．【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系定理和利用绝对值的性质进行化简，利用三角形的三边关系得出绝对值内式子的正负是解决此题的关键．5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内时，∠A与∠1＋∠2之间有始终不变的关系是__________．【答案】2∠A＝∠1＋∠2【解析】【分析】根据∠1与∠AED的2倍和∠2与∠ADE的2倍都组成平角，结合△AED的内角和为180°可求出答案．【详解】∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠1＋2∠AED＝180°，∠2＋2∠ADE＝180°，∴∠AED＝12（180°−∠1），∠ADE＝12（180°−∠2），∴∠AED＋∠ADE＝12（180°−∠1）＋12（180°−∠2）＝180°−12（∠1＋∠2）∴△ADE 中，∠A ＝180°−（∠AED ＋∠ADE ）＝180°−[180°−12（∠1＋∠2）]＝12（∠1＋∠2），即2∠A ＝∠1＋∠2．故答案为：2∠A ＝∠1＋∠2．【点睛】 本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°及图形翻折变换的性质是解答此题的关键．6．如图，A 、B 、C 三点在同一条直线上，∠A ＝50°，BD 垂直平分AE ，垂足为D ，则∠EBC 的度数为_____．【答案】100°【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质，得BE BA =，根据等腰三角形的性质，得50E A ∠=∠=︒，再根据三角形外角的性质即可求解．【详解】∵BD 垂直平分AE ，∴BE BA =，∴50E A ∠=∠=︒，∴100EBC E A ∠=∠+∠=︒，故答案为100°．【点睛】考查线段垂直平分线的性质以及三角形外角的性质，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键.二、八年级数学三角形选择题（难）7．已知，如图，AB ∥CD ，则图中α、β、γ三个角之间的数量关系为（ ）A ．α-β＋γ=180°B ．α＋β－γ=180°C ．α＋β＋γ=360°D ．α－β－γ=90°【答案】B【解析】【分析】延长CD交AE于点F，利用平行证得β=∠AFD；再利用三角形外角定理及平角定义即可得到答案.【详解】如图，延长CD交AE于点F∵AB∥CD∴β=∠AFD∵∠FDE+α=180°∴∠FDE=180°-α∵γ+∠FDE=∠ADF∴γ+180°-α=β∴α＋β－γ=180°故选B【点睛】本题考查平行线的性质以及三角形外角定理的应用，熟练掌握相关性质定理是解题关键. 8．如图：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F等于（）A．180°B．360°C．270°D．540°【答案】B【解析】【分析】先根据三角形的外角，用∠AGE表示出∠A，∠B；用∠EMC表示出∠E，∠F；用∠CNA 表示出∠C，∠D，然后再根据对顶角相等的性质解出它们的度数即可【详解】解：如图：∵∠AGE是△ABG的外角∴∠AGE=∠A+∠B；同理：∠EMC=∠E+∠F；∠CNA=∠C+∠D∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠AGE+∠EMC+∠CNA又∵∠AGE+∠EMC+∠CAN是△MNG的三个外角∴∠AGE+∠EMC+∠CAN=360°故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形外角及其外角和，其中找出三角形的外角是解答本题的关键.9．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（）A．∠AHE＞∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE=∠CHG D．不一定【答案】C【解析】【分析】先根据AD、BE、CF为△ABC的角平分线可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，由三角形内角和定理可知，2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°在△AHB中由三角形外角的性质可知∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，故可得出结论．【详解】∵AD、BE、CF为△ABC的角平分线∴可设∠BAD=∠CAD=x，∠ABE=∠CBE=y，∠BCF=∠ACF=z，∴2x+2y+2z=180°即x+y+z=90°，∵在△AHB中，∠AHE=x+y=90°﹣z，在△CHG中，∠CHG=90°﹣z，∴∠AHE=∠CHG，故选C．本题考查了三角形的内角和定理及三角形外角的性质，熟知三角形的内角和180°，三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．10．已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为( )A．B．C．D．不能确定【答案】B【解析】如图，∵等边三角形的边长为3，∴高线AH=3×333 22=S△ABC=1111••••2222BC AH AB PD BC PE AC PF ==+∴1111 3?3?3?3? 2222AH PD PE PF ⨯=⨯+⨯+⨯∴PD+PE+PF=AH=33 2即点P到三角形三边距离之和为33 2.故选B.11．如图，AB∥CD，DE⊥BE，BF、DF分别为∠ABE、∠CDE的角平分线，则∠BFD＝（）A．110°B．120°C．125°D．135°【答案】D【解析】【详解】如图所示，过E 作EG ∥AB ．∵AB ∥CD ，∴EG ∥CD ，∴∠ABE +∠BEG =180°，∠CDE +∠DEG =180°，∴∠ABE +∠BED +∠CDE =360°．又∵DE ⊥BE ，BF ，DF 分别为∠ABE ，∠CDE 的角平分线，∴∠FBE +∠FDE =12（∠ABE +∠CDE ）=12（360°﹣90°）=135°， ∴∠BFD =360°﹣∠FBE ﹣∠FDE ﹣∠BED =360°﹣135°﹣90°=135°．故选D ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补．解决问题的关键是作平行线．12．如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）A ．212A ∠=∠-∠B ．32(12)A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【详解】如图所示：∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到，∴∠A′=∠A ，又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，∵∠A+∠ADA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，整理得，2∠A=∠1-∠2．故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，已知OP 平分∠AOB ，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．CP ＝254，PD ＝6．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是_____．【答案】5．【解析】【分析】由角平分线的性质得出∠AOP=∠BOP ，PC=PD=6，∠PDO=∠PEO=90°，由勾股定理得出2274CE CP PE =-=，由平行线的性质得出∠OPC=∠AOP ，得出∠OPC=∠BOP ，证出254CO CP ==，得出OE=CE+CO=8，由勾股定理求出2210OP OE PE =+=，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案．【详解】∵OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ，∴∠AOP ＝∠BOP ，PC ＝PD ＝6，∠PDO ＝∠PEO ＝90°， ∴222257446CE CP PE ⎛⎫⎪⎭-⎝=-==， ∵CP ∥OA ，∴∠OPC ＝∠AOP ，∴∠OPC ＝∠BOP ，∴254CO CP ==， ∴725448OE CE CO =+=+=， ∴22228610OP OE PE =+=+=，在Rt △OPD 中，点M 是OP 的中点，∴125DM OP ==； 故答案为：5．【点睛】 本题考查了勾股定理的应用、角平分线的性质、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的性质等知识；熟练掌握勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质，证明CO=CP 是解题的关键．14．如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝5，∠ACB ＝80°，O 为△ABC 中一点，∠OAB ＝10°，∠OBA ＝30°，则线段AO 的长是_____．【答案】5【解析】【分析】作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，由等边对等角得到∠CAB ＝∠CBA ＝50°，再推出∠DAB ＝∠DBA ，得到AD ＝BD ，然后可证△ACD ≌△BCD ，最后证△ACD ≌△AOD ，即可得AO ＝AC ＝5．【详解】解：如图，作∠CAO 的平分线AD ，交BO 的延长线于点D ，连接CD ，∵AC ＝BC ＝5，∴∠CAB ＝∠CBA ＝50°，∵∠OAB ＝10°，∴∠CAD ＝∠OAD ＝1(CAB OAB)2∠-∠＝()150102︒︒-＝20°， ∵∠DAB ＝∠OAD+∠OAB ＝20°+10°＝30°，∴∠DAB ＝30°＝∠DBA ，∴AD ＝BD ，∠ADB ＝120°，在△ACD 与△BCD 中 AC BC AD BD CD CD =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ACD ≌△BCD （SSS ） ∴∠CDA ＝∠CDB ，∴∠CDA ＝∠CDB ＝()1360ADB 2︒-∠＝()13601202︒︒-＝120°， 在△ACD 与△AOD 中CDA ADO 120AD ADCAD OAD ︒⎧∠=∠=⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACD ≌△AOD （ASA ）∴AO ＝AC=5，故答案为5．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解决本题的关键.15．如图所示，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C ，AE ＝AF ，结论：①EM ＝FN ；②AF∥EB ；③∠FAN ＝∠EAM ；④△ACN ≌△ABM 其中正确的有 ．【答案】①③④【解析】【分析】由∠E=∠F=90°，∠B=∠C，AE=AF，利用“AAS”得到△ABE与△ACF全等，根据全等三角形的对应边相等且对应角相等即可得到∠EAB与∠FAC相等，AE与AF相等，AB与AC相等，然后在等式∠EAB=∠FAC两边都减去∠MAN，得到∠EAM与∠FAN相等，然后再由∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，利用“ASA”得到△AEM与△AFN全等，利用全等三角形的对应边相等，对应角相等得到选项①和③正确；然后再∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM，利用“ASA”得到△ACN与△ABM全等，故选项④正确；若选项②正确，得到∠F与∠BDN相等，且都为90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误．【详解】解：在△ABE和△ACF中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠B=∠C，∴△ABE≌△ACF，∴∠EAB=∠FAC，AE=AF，AB=AC，∴∠EAB-∠MAN=∠FAC-∠NAM，即∠EAM=∠FAN，在△AEM和△AFN中，∠E=∠F=90°，AE=AF，∠EAM=∠FAN，∴△AEM≌△AFN，∴EM=FN，∠FAN=∠EAM，故选项①和③正确；在△ACN和△ABM中，∠C=∠B，AC=AB，∠CAN=∠BAM（公共角），∴△ACN≌△ABM，故选项④正确；若AF∥EB，∠F=∠BDN=90°，而∠BDN不一定为90°，故②错误，则正确的选项有：①③④．故答案为①③④16．已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，若AB=10,AC=4,则AD的取值范围是_____.【答案】3＜AD＜7【解析】【分析】连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，利用SAS证得△BDE≌△CDA，进而得到BE=CA=4，利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可求得AE的取值范围，进而求出AD的取值范围.【详解】如图，连接AD并延长到点E，使DE=DA，连接BE，∵在△ABC中，AD是BC边上的中线∴BD=CD在△BDE和△CDA中BD CDBDE CDADE DA=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BDE≌△CDA（SAS）∴BE=CA=4在△ABE中，AB+BE>AE，且AB﹣BE＜AE∵AB=10,AC=4,∴6＜AE＜14∴3＜AD＜7故答案为3＜AD＜7【点睛】本题考点涉及三角形全等的判定及性质、三角形的三边关系等知识点，熟练掌握相关性质定理是解题关键.17．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）【答案】①③④【解析】【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵∠ABC =50°，∠ACB =60°，∴∠BAC =180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；∵BD 是∠ABC 的平分线，∴∠DBC =12∠ABC =25°，∴∠DOC =25°+60°=85°，②错误； ∠BDC =60°﹣25°=35°，③正确；∵∠ABC 的平分线BD 与∠ACE 的平分线CD 相交于点D ，∴AD 是∠BAC 的外角平分线，∴∠DAC =55°，④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．18．如图，△ABC 与△DEF 为等边三角形，其边长分别为a ，b ，则△AEF 的周长为___________．【答案】a+b【解析】先根据全等三角形的判定AAS 判定△AEF≌△BFD，得出AE=BF ，从而得出△AEF 的周长=AF+AE+EF=AF+BF+EF=a+b ．故答案为：a+b四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．已知：如图，ABC ∆、CDE ∆都是等腰三角形，且CA CB =，CD CE =，ACB DCE α∠=∠=，AD 、BE 相交于点O ，点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点.以下4个结论：①AD BE =；②180DOB α∠=-；③CMN ∆是等边三角形；④连OC ，则OC 平分AOE ∠.正确的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．①②③④【答案】B【解析】【分析】 ①根据∠ACB=∠DCE 求出∠ACD=∠BCE,证出ACD BCE ≅△△即可得出结论，故可判断； ②根据全等求出∠CAD=∠CBE,根据三角形外角定理得∠DOB=∠OBA+∠BAO,通过等角代换能够得到∠DOB=∠CBA+∠BAC,根据三角形内角和定理即可求出∠CBA+∠BAC,即可求出∠DOB ，故可判断；③根据已知条件可求出AM=BN,根据SAS 可求出CAM CBN ≅,推出CM=CN ，∠ACM=∠BCN,然后可求出∠MCN=∠ACB=α,故可判断CMN ∆的形状；④在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，根据ACD BCE ≅△△，可求出∠CEO=∠CDP ,根据SAS 可求出 CEO CDP ≅,可得∠COE=∠CPD,CP=CO,进而得到 ∠COP=∠COE ，故可判断.【详解】①正确，理由如下：∵ACB DCE α∠=∠=,∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE,又∵CA=CB,CD=CE,∴ACD BCE ≅△△(SAS),∴AD=BE,故①正确；②正确，理由如下：由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CAD=∠CBE,∵∠DOB 为ABO 的外角,∴∠DOB=∠OBA+∠BAO=∠EBC+∠CBA+∠BAO=∠DAC+∠BAO+∠CBA=∠CBA+∠BAC, ∵∠CBA+∠BAC+∠ACB=180°,∠ACB=α,∴∠CBA+∠BAC=180°-α,即∠DOB=180°-α,故②正确；③错误，理由如下：∵点M 、N 分别是线段AD 、BE 的中点,∴AM=12AD,BN= 12BE, 又∵由①知，AD=BE, ∴AM=BN,又∵∠CAD=∠CBE,CA=CB,∴CAM CBN ≅(SAS), ∴CM=CN ，∠ACM=∠BCN,∴∠MCN=∠MCB+∠CBN=∠MCB+∠ACM=∠ACB=α,∴MCN △为等腰三角形且∠MCN=α,∴MCN △不是等边三角形，故③错误；④正确，理由如下：如图所示，在AD 上取一点P 使得DP=EO,连接CP ，由①知，ACD BCE ≅△△，∴∠CEO=∠CDP ,又∵CE=CD,EO=DP ,∴CEO CDP ≅(SAS),∴∠COE=∠CPD,CP=CO,∴∠CPO=∠COP ,∴∠COP=∠COE,即OC 平分∠AOE,故④正确；故答案为：B.【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理，等边三角形的判定，根据已知条件作出正确的辅助线，找出全等三角形是解题的关键.20．在Rt △ABC 和Rt △A′B′C′中，∠C ＝∠C′＝90°，如图，那么下列各条件中，不能使Rt △AB C ≌Rt △A′B′C′的是( )A．AB＝A′B′＝5，BC＝B′C′＝3B．AB＝B′C′＝5，∠A＝∠B′＝40°C．AC＝A′C′＝5，BC＝B′C′＝3D．AC＝A′C′＝5，∠A＝∠A′＝40°【答案】B【解析】∵在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°A选项：AB=A′B′=5，BC=B′C′=3，符合直角三角形全等的判定条件HL，∴A选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；B选项：AB=B′C′=5，∠A=∠B′=40°，不符合符合直角三角形全等的判定条件，∴B选项不能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；C选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件SAS；∴C选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；D选项符合Rt△ABC和Rt△A′B′C全等的判定条件ASA，∴D选项能使Rt△ABC≌Rt△A′B′C′；故选：B．点睛：此题主要考查学生对直角三角全等的判定的理解和掌握，解答此题不仅仅是掌握直角三角形全等的判定，还要熟练掌握其它判定三角形全等的方法，才能尽快选出此题的正确答案．=，D、E是斜边BC上两点，且∠DAE=45°，将21．如图，在Rt△ABC中，AB AC△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，连接EF.列结论：+=①△ADC≌△AFB；②△ABE≌△ACD；③△AED≌△AEF；④BE DC DE 其中正确的是( )A．②④B．①④C．②③D．①③【答案】D【解析】解：∵将△ADC绕点A顺时针旋转90︒后，得到△AFB，∴△ADC≌△AFB，故①正确；②无法证明，故②错误；③∵△ADC≌△AFB，∴AF=AD，∠FAB=∠DAC．∵∠DAE=45°，∴∠BAE+∠DAC=45°，∠FA E=∠DAE=45°．在△FAE和△DAE中，∵AF=AD，∠FAE=∠DAE，AE=AE，∴△FAE≌△DAE，故③正确；④∵△ADC≌△AFB，∴DC=BF，∵△FAE≌△DAE，∴EF=ED，∵BF+BE＞EF，∴DC+BE＞ED ．故④错误．故选D．22．已知等边三角形ABC的边长为12，点P为AC上一点，点D在CB的延长线上，且BD=AP，连接PD交AB于点E，PE⊥AB于点F，则线段EF的长为（）A．6 B．5C．4.5 D．与AP的长度有关【答案】A【解析】【分析】作DQ⊥AB，交直线AB的延长线于点Q，连接DE，PQ，根据全等三角形的判定定理得出△APE≌△BDQ，再由AE=BQ，PE=QD且PE∥QD，可知四边形PEDQ是平行四边形，进而可得出EF=12AB，由等边△ABC的边长为12可得出DE=6．【详解】解；如图，作DQ⊥AB，交AB的延长线于点F，连接DE，PQ，又∵PE⊥AB于E，∴∠BQD=∠AEP=90°，∵△ABC是等边三角形，∴∠A=∠ABC=∠DBQ=60°，在△APE 和△BDQ 中，A DBQ AEP BQD AP BD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APE ≌△BDQ （AAS ），∴AE=BQ ，PE=QD 且PE ∥QD ，∴四边形PEDQ 是平行四边形，∴EF=12EQ ， ∵EB+AE=BE+BQ=AB ， ∴EF=12AB ， 又∵等边△ABC 的边长为12，∴EF=6．故选：A.【点睛】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解此题的关键在于根据题中PE ⊥AB 作辅助线构成全等的三角形.23．如图在ABC △中，P ，Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR AB ⊥，PS AC ⊥，垂足分别是R ，S ，AQ PQ =，PR PS =，下面三个结论：①AS AR =；②PQ AB ∥；③BRP △≌CSP △．其中正确的是（ ）．A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】连接AP ，由题意得，90ARP ASP ∠=∠=︒，在Rt APR 和Rt APS 中，AP AP PR PS=⎧⎨=⎩， ∴△APR ≌()APS HL ，∴AS AR =，故①正确．BAP SAP ∠=∠，∴2SAB BAP SAP SAP ∠=∠+∠=∠，在AQP △中，∴AQ PQ =，∴QAP APQ ∠=∠，∴22CQP QAP APQ QAP SAP ∠=∠+∠=∠=∠，∴PQ AB ∥，故②正确；在Rt BRP 和Rt CSP 中，只有PR PS =，不满足三角形全等的条件，故③错误．故选A ．点睛：本题主要考查三角形全等的判定方法以及角平分线的判定和平行线的判定，准确作出辅助线是解决本题的关键.24．如图，Rt ABC ∆中，90C =∠，3,4,5,AC BC AB ===AD 平分BAC ∠．则:ACD ABD S S ∆∆=（ ）A ．3:4B ．3:5C ．4:5D ．2:3【答案】B【解析】 如图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，由角平分线的性质可得出DE=CD ，由全等三角形的判定定理HL 得出△ADC ≌△ADE ，故可得出AE=AC=3，由AB=5求出BE=2，设CD=x ，则DE=x ，BD=4﹣x ，再根据勾股定理知DE 2+BE 2=BD 2，即x 2+22=（4﹣x ）2，求出x=32，进而根据等高三角形的面积，可得出：S△ACD：S△ABD=CD：BD=12×32×3：12×32×5=3：5．故选：B．点睛：本题考查的是角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．已知A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），以线段AB为直角边，在第一象限内作等腰直角三角形ABC，使∠BAC＝90°，如果在第二象限内有一点P（a，12），且△ABP和△ABC的面积相等，则a＝_____．【答案】-83．【解析】【分析】先根据AB两点的坐标求出OA、OB的值，再由勾股定理求出AB的长度，根据三角形的面积公式即可得出△ABC的面积；连接OP，过点P作PE⊥x轴，由△ABP的面积与△ABC的面积相等，可知S△ABP＝S△POA+S△AOB﹣S△BOP＝132，故可得出a的值．【详解】∵A、B两点的坐标分别为（0，3），（2，0），∴OA＝3，OB＝2，∴223+213AB＝＝∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴1113•1313222 ABCS AB AC＝＝＝，作PE⊥x轴于E，连接OP，此时BE＝2﹣a，∵△ABP的面积与△ABC的面积相等，∴111•••222 ABP POA AOB BOPS S S S OA OE OB OA OB PE ++＝﹣＝﹣，111113332222222a⨯⨯+⨯⨯⨯⨯＝（﹣）﹣＝，解得a＝﹣83．故答案为﹣83．【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，坐标与图象性质，三角形的面积公式，解题的关键是根据S△ABP=S△POA+S△AOB-S△BOP列出关于a的方程．26．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5，M，N分别是射线OA和OB上的动点，若△PMN周长的最小值为5，则∠AOB的度数为_____．【答案】30°．【解析】【分析】如图：分别作点P关于OB、AO的对称点P'、P''，分别连OP'、O P''、P' P''交OB、OA于M、N，则可证明此时△PMN周长的最小，由轴对称性，可证明△P'O P''为等边三角形，∠AOB=12∠P'O P''=30°.【详解】解：如图：分别作点P 关于OB 、AO 的对称点P'、P''，分别连OP'、O 、P' 交OB 、OA 于M 、N ，由轴对称△PMN 周长等于PN+NM+MP=P'N+NM+MP"=P'P"∴由两点之间线段最短可知，此时△PMN 周长的最小∴P'P"=5由对称OP=OP'=OP"=5∴△P'OP"为等边三角形∴∠P'OP"=60∵∠P'OB=∠POB ，∠P"OA=∠POA∴∠AOB=12∠P'O P''=30°. 故答案为30°.【点睛】 本题是动点问题的几何探究题，考查最短路径问题，应用了轴对称图形性质和等边三角形性质.27．如图，在ABC ∆中，点D 是BC 的中点，点E 是AD 上一点，BE AC =．若70C ∠=︒，50DAC ∠=︒ 则EBD ∠的度数为______．【答案】10︒【解析】【分析】延长AD 到F 使DF AD =，连接BF ，通过ACD FDB ≅，根据全等三角形的性质得到CAD BFD ∠=∠，AC BF =， 等量代换得BF BE =，由等腰三角形的性质得到F BEF ∠=∠，即可得到BEF CAD ∠=∠，进而利用三角形的内角和解答即可得．【详解】如图，延长AD 到F ，使DF AD =，连接BF ：∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵ADC FDB ∠=∠，AD DF =∴ACD FDB ≅∴AC BF =， CAD F ∠=∠，C DBF ∠=∠∵AC BE =， 70C ︒∠=， 50CAD ︒∠=∴BE BF =， 70DBF ︒∠=∴50BEF F ︒∠=∠=∴180180505080EBF F BEF ︒︒︒︒︒∠=-∠-∠=--=∴807010EBD EBF DBF ︒︒︒∠=∠-∠=-=故答案为：10︒【点睛】本题主要考查的知识点有全等三角形的判定及性质、等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，解题的关键在于通过倍长中线法构造全等三角形．28．如图，己知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，…均为等边三角形，若12OA =，则556A B A ∆的边长为________.【答案】32【解析】【分析】根据底边三角形的性质求出130∠=︒以及平行线的性质得出112233////A B A B A B ，以及22122A B B A =，得出332212244A B A B B A ===，441288A B B A ==，551216A B B A =⋯进而得出答案．【详解】解：△112A B A 是等边三角形，1121A B A B ∴=，341260∠=∠=∠=︒，2120∴∠=︒，30MON ∠=︒，11801203030∴∠=︒-︒-︒=︒，又360∠=︒，5180603090∴∠=︒-︒-︒=︒，130MON ∠=∠=︒，1112OA A B ∴==，212A B ∴=，△223A B A 、△334A B A 是等边三角形，111060∴∠=∠=︒，1360∠=︒，41260∠=∠=︒，112233////A B A B A B ∴，1223//B A B A ，，5890∠=∠=︒，22122242A B B A =∴==，33232B A B A =，33312428A B B A ∴===，同理可得:444128216A B B A ===，⋯∴△1n n n A B A +的边长为2n ，∴△556A B A 的边长为5232=．故答案为：32．【点睛】本题考查了等边三角形的性质以及30°直角三角形的性质，根据已知得出33124A B B A =，44128A B B A =，551216A B B A =进而发现规律是解题关键．29．如图，正五边形ABCDE 中，对角线AC 与BE 相交于点F ，则AFE ∠=_______度．【答案】72．【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB ∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==，BA BC =，，同理36ABE ∠︒＝，363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故答案为：72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．30．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝10，BC ＝12，AD ＝8，AD 是∠BAC 的平分线．若P ，Q 分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是_____．【答案】9.6．【解析】【分析】由等腰三角形的三线合一可得出AD 垂直平分BC ，过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长．在△ABC 中，利用面积法可求出BQ 的长度，此题得解．【详解】∵AB ＝AC ，AD 是∠BAC 的平分线，∴AD 垂直平分BC ，∴BP ＝CP ．过点B 作BQ ⊥AC 于点Q ，BQ 交AD 于点P ，则此时PC +PQ 取最小值，最小值为BQ 的长，如图所示．∵S △ABC 12=BC •AD 12=AC •BQ ，∴BQ 12810BC AD AC ⋅⨯===9.6． 故答案为：9.6．【点睛】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰三角形的性质以及三角形的面积，利用点到直线垂直线段最短找出PC +PQ 的最小值为BQ 是解题的关键．六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB =⎧⎨=⎩，∴AOP BOP≅∴APO BPO∠=∠，OA=OB，选项B，C正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP垂直平分AB，AB不一定垂直平分OP，选项D错误．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．32．如图，ABC，分别以AB、AC为边作等边三角形ABD与等边三角形ACE，连接BE、CD，BE的延长线与CD交于点F，连接AF，有以下四个结论：①BE CD=；②FA平分EFC∠；③FE FD=；④FE FC FA+=．其中一定正确的结论有（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】【分析】根据等边三角形的性质证出△BAE≌△DAC，可得BE=CD，从而得出①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，由△BAE≌△DAC得出∠BEA=∠ACD，由等角的补角相等得出∠AEM=∠CAN，由AAS可证△AME≌△ANC，得到AM=AN，由角平分线的判定定理得到FA平分∠EFC，从而得出②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，根据全等三角形的判定与性质得出△AGE≌△CFE，可得AG=CF，即可求得AF=CF+EF，从而得出④正确；根据CF+EF=AF，CF+DF=CD，得出CD≠AF，从而得出FE≠FD，即可得出③错误．【详解】∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠BAD=∠EAC=60°，AE=AC=EC．∵∠BAE+∠DAE=60°，∠CAD+∠DAE=60°，∴∠BAE=∠DAC，在△BAE和△DAC中，∵AB ADBAE DACAE AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD，①正确；过A作AM⊥BF于M，过A作AN⊥DC于N，如图1．∵△BAE≌△DAC，∴∠BEA=∠ACD，∴∠AEM=∠ACN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，∴∠AME=∠ANC．在△AME和△ANC中，∵∠AEM=∠CAN，∠AME=∠ANC，AE=AC，∴△AME≌△ANC，∴AM=AN．∵AM⊥BF，AN⊥DC，AM=AN，FA平分∠EFC，②正确；在FA上截取FG，使FG=FE，如图2．∵∠BEA=∠ACD，∠BEA+∠AEF=180°，∴∠AEF+∠ACD=180°，∴∠EAC+∠EFC=180°．∵∠EAC=60°，∴∠EFC=120°．∵FA平分∠EFC，∴∠EFA=∠CFA=60°．∵EF=FG，∠EFA=60°，∴△EFG是等边三角形，∴EF=EG．∵∠AEG+∠CEG=60°，∠CEG+∠CEF=60°，∴∠AEG=∠CEF，在△AGE和△CFE中，∵AE ACAEG CEFEG EF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AGE≌△CFE（SAS），∴AG=CF．∵AF=AG+FG，∴AF=CF+EF，④正确；∵CF+EF=AF，CF+DF=CD，CD≠AF，∴FE≠FD，③错误，∴正确的结论有3个．故选C ．【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确作辅助线是解答本题的关键．33．如图,ABC ∆中,3AC DC ==，BD 垂直BAC ∠的角平分线于D ,E 为AC 的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为( )A ．1.5B ．3C ．4.5D ．9【答案】C【解析】【分析】 首先证明两个阴影部分面积之差=S △ADC ，然后由DC ⊥AC 时，△ACD 的面积最大求出结论即可．【详解】延长BD 交AC 于点H ．设AD 交BE 于点O ．∵AD ⊥BH ，∴∠ADB =∠ADH =90°，∴∠ABD +∠BAD =90°，∠H +∠HAD =90°．∵∠BAD =∠HAD ，∴∠ABD =∠H ，∴AB =AH ．∵AD ⊥BH ，∴BD =DH ．∵DC=CA，∴∠CDA=∠CAD．∵∠CAD+∠H=90°，∠CDA+∠CDH=90°，∴∠CDH=∠H，∴CD=CH=AC．∵BD=DH，AC=CH，∴S△CDH=12S△ADH14=S△ABH．∵AE=EC，∴S△ABE14=S△ABH，∴S△CDH=S△ABE．∵S△OBD﹣S△AOE=S△ADB﹣S△ABE=S△ADH﹣S△CDH=S△ACD．∵AC=CD=3，∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为12⨯3×392=．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．34．如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ADC的周长为14，BC=8，则AC 的长为A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【解析】【分析】根据题意可得MN是直线AB的中点，所以可得AD=BD，BC=BD+CD，而△ADC为AC+CD+AD=14，即AC+CD+BD=14，因此可得AC+BC=14，已知BC即可求出AC.【详解】根据题意可得MN是直线AB的中点AD BD∴=ADC的周长为14AC CD AD++=14AC CD BD++=∴BC BD CD=+14AC BC=∴+已知8BD=6AC∴=，故选B【点睛】本题主要考查几何中的等量替换，关键在于MN是直线AB的中点，这样所有的问题就解决了.35．如图，在△ABC中，BI，CI分别平分∠ABC，∠ACB，过I点作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，给出下列结论：①△DBI是等腰三角形；②△ACI是等腰三角形；③AI平分∠BAC；④△ADE周长等于AB＋AC．其中正确的是( )A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】C【解析】【分析】根据角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质分别对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】①∵IB平分∠ABC，∴∠DBI=∠CBI．∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∴∠DBI=∠DIB，∴BD=DI，∴△DBI是等腰三角形．故本选项正确；②∵∠BAC不一定等于∠ACB，∴∠IAC不一定等于∠ICA，∴△ACI不一定是等腰三角形．故本选项错误；③∵三角形角平分线相交于一点，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，∴AI平分∠BAC．故本选项正确；④∵BD=DI，同理可得EI=EC，∴△ADE的周长=AD+DI+EI+AE=AD+BD+EC+AE=AB+AC．故本选项正确；其中正确的是①③④．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，熟记三角形的角平分线相交于一点是解题的关键．36．如图所示，在四边ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，若在BC和CD上分别找一点M，使得△AMN的周长最小，则此时∠AMN+∠ANM的度数为（）A．110°B．120°C．140°D．150°【答案】B【解析】【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作出A关于BC和CD的对称点A′，A″，即可得出∠AA′M+∠A″=60°，进而得出∠AMN+∠ANM=2（∠AA′M+∠A″）即可得出答案．【详解】作A关于BC和CD的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交CD于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．∵∠DAB=120°，∴∠AA′M+∠A″=180°-120°=60°，∵∠MA′A=∠MAA′，∠NAD=∠A″，且∠MA′A+∠MAA′=∠AMN，∠NAD+∠A″=∠ANM，∴∠AMN+∠ANM=∠MA′A+∠MAA′+∠NAD+∠A″=2（∠AA′M+∠A″）=2×60°=120°，故选B．【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法，以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识的综合应用，根据轴对称的性质，得出M，N的位置是解题的关键．七、八年级数学整式的乘法与因式分解选择题压轴题（难）37．248﹣1能被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（）A．61和63 B．63和65 C．65和67 D．64和67【答案】B【解析】248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1），即可求解．【详解】解：248﹣1＝（224+1）（224﹣1）＝（224+1）（212+1）（212﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（26﹣1）＝（224+1）（212+1）（26+1）（23+1）（23﹣1）＝（224+1）（212+1）×65×63，故选：B ．【点睛】此题考察多项式的因式分解，将248﹣1利用平方差公式因式分解得到（224+1）（212+1）×65×63，即可得到答案38．把多项式2425m -分解因式正确的是（ ）A ．(45)(45)m m +-B ．(25)(25)m m +-C ．(5)(5)m m -+D ．(5)(5)m m m -+【答案】B【解析】利用公式法分解因式的要点，根据平方差公式：()()22a b a b a b -=+-，分解因式为：()()()222425252525m m m m -=-=+-.故选B.39．若999999a =，990119b =，则下列结论正确是（ ） A ．a ＜bB ．a b =C ．a ＞bD ．1ab =【答案】B【解析】 ()9999999909990909119991111===99999a b +⨯⨯==⨯， 故选B.【点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.40．下列多项式中，能分解因式的是：A ．224a b -+B ．22a b --C ．4244x x --D ．22a ab b -+【答案】A根据因式分解的意义，可知A 、224a b -+能用平方差公式()()22a b a b a b -=+-分解，故正确；B 、22a b --=-（22a b +），不能进行因式分解，故不正确；C 、4244x x --不符合完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±，故不正确；D 、22a ab b -+既没有公因式，也不符合公式，故不正确.故选：A.点睛：此题主要考查了因式分解，解题时利用因式分解的方法：因式分解是把一个多项式化为几个因式积的形式.根据因式分解的一般步骤：一提（公因式）、二套（平方差公式()()22a b a b a b -=+-，完全平方公式()2222a ab b a b ±+=±）、三检查（彻底分解）.41．下列运算正确的是A ．532b b b ÷=B ．527()b b =C ．248·b b b =D ．2·22a a b a ab -=+（） 【答案】A【解析】选项A ， 532b b b ÷=，正确；选项B ， ()25b =10b ，错误；选项C ， 24·b b =6b ，错误；选项D ， 2·22a a b a ab -=-，错误.故选A.42．下列分解因式正确的是( )A ．22a 9(a 3)-=-B ．()24a a a 4a -+=-+C ．22a 6a 9(a 3)++=+D ．()2a 2a 1a a 21-+=-+ 【答案】C【解析】【分析】根据因式分解的方法（提公因式法，运用公式法），逐个进行分析即可.【详解】A. ()2a 9a 3a 3-=-+）（，分解因式不正确；B. ()24a a a 4a -+=--，分解因式不正确； C. 22a 6a 9(a 3)++=+ ，分解因式正确；D. ()2a 2a 1a 1-+=-2，分解因式不正确.故选：C【点睛】。

数学八年级上册全册全套试卷测试卷附答案一、选择题（每小题2分，共40分）1. A2. C3. B4. D5. C6. A7. D8. B9. D 10. C11. B 12. A 13. C 14. B 15. B16. C 17. A 18. C 19. B 20. A21. D 22. B 23. D 24. C 25. A26. B 27. A 28. C 29. D 30. A31. C 32. D 33. C 34. B 35. A36. D 37. B 38. A 39. C 40. D二、填空题（每小题2分，共20分）41. x = 3 42. y = -7 43. z = 3 44. p = 545. q = 8 46. r = 11 47. s = 2 48. t = 449. u = 13 50. v = -10三、解答题（每小题10分，共40分）51. 解：三角形ABC和三角形DEF的对应边分别相等，可得：AB/DE = BC/EF = CA/FD根据题意可得：AB/DE = BC/EF = CA/FD = 5/4所以三角形ABC和三角形DEF是相似的。

52. 解：已知矩形ABCD的周长为42 cm，设矩形的长为L，宽为W。

由题意可得2L + 2W = 42，化简得L + W = 21。

又已知矩形的面积为120平方厘米，即L * W = 120。

由上两式可得L = 21 - W，代入第二式得(21 - W) * W = 120。

展开化简后得W^2 - 21W + 120 = 0。

解这个二次方程得W = 5 或 W = 16。

当W = 5时，L = 21 - 5 = 16；当W = 16时，L = 21 - 16 = 5。

所以矩形的长和宽分别为16 cm和5 cm。

53. 解：已知正方形的周长为36 cm，设正方形的边长为x。

由题意可得4x = 36，化简得x = 9。

正方形的面积为x * x = 9 * 9 = 81 平方厘米。

八年级数学全册全套试卷综合测试卷（word含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，BE 平分∠ABC，CE 平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝_____°．【答案】21°【解析】根据三角形的外角性质以及角平分线的定义可得．解：由题意得：∠E =∠ECD −∠EBC =12∠ACD −12∠ABC =12∠A =21°. 故答案为21°.2．已知三角形的两边的长分别为2cm 和8cm ，设第三边中线的长为x cm ，则x 的取值范围是_______【答案】3＜x ＜5【解析】【分析】延长AD 至M 使DM=AD ，连接CM ，先说明△ABD ≌△CDM ，得到CM=AB=8，再求出2AD 的范围，最后求出AD 的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD 至M 使DM=AD ，连接CM在△ABD 和△CDM 中，AD MD ADB MDC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△MCD （SAS ），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.3．如图所示，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=__________度．【答案】360 °【解析】如图所示，根据三角形外角的性质可得，∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，根据四边形的内角和为360°，可得∠2+∠3+∠7+∠8=360°，即可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.点睛：本题考查的知识点：（1）三角形的内角和外角之间的关系：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）四边形内角和定理：四边形内角和为360°．4．已知一个三角形的三边长为3、8、a，则a的取值范围是_____________．【答案】5＜a＜11【解析】【分析】根据三角形的三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边可得8-3＜a＜8+3，再解即可．【详解】解：根据三角形的三边关系可得：8-3＜a＜8+3，解得：5＜a ＜11，故答案为：5＜a＜11．【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．5．如图所示，将△ABC沿着DE翻折，若∠1+∠2＝80°，则∠B＝_____度．【答案】40．【解析】【分析】利用三角形的内角和和四边形的内角和即可求得．【详解】∵△ABC沿着DE翻折，∴∠1+2∠BED＝180°，∠2+2∠BDE＝180°，∴∠1+∠2+2（∠BED+∠BDE）＝360°，而∠1+∠2＝80°，∠B+∠BED+∠BDE＝180°，∴80°+2（180°﹣∠B）＝360°，∴∠B＝40°．故答案为：40°．【点睛】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．6．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC=________．【答案】125°【解析】【分析】根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB，即可求出答案．【详解】：∵点O到AB、BC、AC的距离相等，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴12OBC ABC∠=∠，12OCB ACB∠=∠，∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∴1110552OBC OCB∠+∠=⨯︒=︒，∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°；故答案为：125．【点睛】本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB的度数是解此题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．已知△ABC，(1)如图①，若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，则∠P＝90°＋12∠A；(2)如图②，若P点是∠ABC和外角∠ACE的角平分线的交点，则∠P＝90°－∠A；(3)如图③，若P点是外角∠CBF和∠BCE的角平分线的交点，则∠P＝90°－12∠A.上述说法正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】C【解析】【分析】根据三角形的内角和外角之间的关系计算．【详解】解：（1）∵若P点是∠ABC和∠ACB的角平分线的交点，∴∠ABP=∠PBC，∠ACP=∠PCB∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB=180°-2（∠PBC+∠PCB）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB）∴∠P=90°+12∠A ； 故（1）的结论正确； （2）∵∠A=∠ACB-∠ABC=2∠PCE-2∠PBC=2（∠PCE-∠PBC ）∠P=∠PCE-∠PBC∴2∠P=∠A故（2）的结论是错误．（3）∠P=180°-（∠PBC+∠PCB ）=180°-12（∠FBC+∠ECB ） =180°-12（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC ） =180°-12（∠A+180°） =90°-12∠A ． 故（3）的结论正确． 正确的为：（1）（3）．故选：C【点睛】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和；（2）三角形的内角和是180度．求角的度数常常要用到三角形的内角和是180°这一隐含的条件．8．如图，把一张长方形纸条ABCD 沿EF 折叠，C 、D 两点落到'C 、'D 处.已知20DAC ∠=，且''//C D AC ，则AEF ∠的度数为( )A ．20B ．35C ．50D ．70【答案】B【解析】【分析】 依据C'D'//AC ，即可得到∠AHG=∠C′=90°，进而得出AGH 70∠=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，依据三角形外角性质得到1AEF GFE AGH 352∠∠∠===．【详解】如图，C'D'//AC ，， 又DAC 20∠=，AGH 70∠∴=，由折叠可得，CFE GFE ∠∠=，由AD//BC ，可得CFE GEF ∠∠=，1AEF GFE AGH 352∠∠∠∴===， 故选：B ．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解题时注意：两直线平行，内错角相等．9．如图将直尺与含30°角的三角尺摆放在一起，若120∠=︒，则2∠的度数是（ ）A ．30B ．40︒C ．50︒D ．60︒【答案】C【解析】【分析】 先根据三角形外角的性质求出∠BEF 的度数，再根据平行线的性质得到∠2的度数．【详解】如图，∵∠BEF是△AEF的外角，∠1=20︒，∠F=30︒，∴∠BEF=∠1+∠F=50︒，∵AB∥CD，∴∠2=∠BEF=50︒，故选：C．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握三角形外角的性质．∠的度数10．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30°，∠2=50°，则3等于（）A．50°B．30°C．20°D．15°【答案】C【解析】【分析】根据平行和三角形外角性质可得∠2=∠4=∠1+∠3，代入数据即可求∠3．【详解】如图所示，∵AB∥CD∴∠2=∠4=∠1+∠3=50°，∴∠3=∠4-30°=20°，故选C.11．一正多边形的内角和与外角和的和是1440°，则该正多边形是（）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形【答案】C【分析】依题意，多边形的内角与外角和为1440°，多边形的外角和为360°，根据内角和公式求出多边形的边数．【详解】解：设多边形的边数为n ，根据题意列方程得，（n ﹣2）•180°+360°＝1440°，n ﹣2＝6，n ＝8．故这个多边形的边数为8．故选：C ．【点睛】考查了多边形的外角和定理和内角和定理，熟练记忆多边形的内角和公式是解答本题的关键．12．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cmB ．7cm ，4cm ，2cmC ．3cm ，4cm ，8cmD ．3cm ，3cm ，4cm【答案】D【解析】【详解】A ．因为2+3=5，所以不能构成三角形，故A 错误；B ．因为2+4＜6，所以不能构成三角形，故B 错误；C ．因为3+4＜8，所以不能构成三角形，故C 错误；D ．因为3+3＞4，所以能构成三角形，故D 正确．故选D ．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】把点C向下平移1个单位得到点D（4，2），这时△ABD与△ABC全等，分别作点C，D关于y轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD与△ABC全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).14．如图，△ABC是等边三角形，AE＝CD，AD、BE相交于点P，BQ⊥DA于Q，PQ＝3，EP＝1，则DA的长是________.【答案】7【解析】试题解析：∵△ABC为等边三角形，∴AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°；又∵AE=CD，在△ABE和△CAD中，AB CABAE ACDAE CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE≌△CAD；∴BE=AD，∠CAD=∠ABE；∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD=∠BAD+∠CAD=∠BAE=60°；∵BQ⊥AD，∴∠AQB=90°，则∠PBQ=90°-60°=30°；∵PQ=3，∴在Rt△BPQ中，BP=2PQ=6；又∵PE=1，∴AD=BE=BP+PE=7．故答案为7.15．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG，△ADG和△AED的面积分别为48和36，求△EDF的面积________.【答案】6【解析】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形DNM的面积来求．【详解】作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC，∵AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，∵DE=DG，∴DG=DM，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），∵DG=DM， DN⊥AC，∴MN=NG，∴△DMN≌△DNG，∵△ADG和△AED的面积分别为48和36，∴S△MDG=S△ADG-S△ADM=48-36=12，∴S△DEF=12S△MDG=1212=6，故答案为：6【点睛】本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，正确地作出辅助线，将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求是解题关键．16．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.【答案】2【解析】【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可.【详解】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,∴∠BEA=∠AFD=90°∴∠2+∠3=90°∵∠BAD=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3∵AB=AD∴∴BE=AF∵AD=CD，DF⊥AC∴AF=∴BE=AF=∴∴AC=2故答案为：2【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.17．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

八年级全册全套试卷综合测试（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC 的角平分线AE 与AC 的中线BD 交于点F ，P 为CE 中点，连结PF ，若CP=2，15BFP S ∆=，则AB 的长度为_______．【答案】15【解析】【分析】作辅助线EH AB ⊥交AB 于H ，再利用等量关系用△BFP 的面积来表示△BEA 的面积，利用三角形的面积公式来求解底边AB 的长度【详解】作EH AB ⊥∵AE 平分∠BACBAE CAE ∴∠=∠EC EH ∴=∵P 为CE 中点4EC EH ==∴∵D 为AC 中点，P 为CE 中点=x =y PEF PCF CDF ADF S S S S ==△△△△∴设，15x BEF S =-△∴15+x+y BCD BDA S S ==△△∴y=15+x+y-y=15+x BFA BDA S S =-△△∴15x+15+x=30BEA BEF BFA S S S =+=-△△△∴1=302BEA S AB EH ⨯=△∵ =15AB ∴【点睛】本题考查了辅助线的运用以及三角形的中线平分三角形的面积，解题的关键在于如何利用△BFP的面积来表示△BEA的面积2．如图，AB∥CD，点P为CD上一点，∠EBA、∠EPC的角平分线于点F，已知∠F＝40°，则∠E＝_____度．【答案】80【解析】【详解】如图，根据角平分线的性质和平行线的性质，可知∠FMA=12∠CPE=∠F+∠1，∠ANE=∠E+2∠1=∠CPE=2∠FMA，即∠E=2∠F=2×40°=80°.故答案为80.3．若△ABC三条边长为a，b，c，化简：|a-b-c|-|a+c-b|=__________．【答案】2b-2a【解析】【分析】【详解】根据三角形的三边关系得：a﹣b﹣c＜0，c+a﹣b＞0，∴原式=﹣(a﹣b﹣c)﹣(a+c﹣b)=﹣a+b+c﹣a﹣c+b=2b﹣2a．故答案为2b﹣2a【点睛】本题考查了绝对值得化简和三角形三条边的关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数，据此解答即可.4．如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上移动,点M在第二象限，且MA平分∠BAO，做射线MB，若∠1=∠2，则∠M的度数是_______。

八年级全册全套试卷综合测试（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，ABC ∆的面积为1，第一次操作：分别延长AB ，BC ，CA 至点111,,A B C ，使111,,A B AB B C BC C A CA ===，顺次连接111,,A B C ，得到111A B C ∆；第二次操作：分别延长111111,,A B B C C A 至点222,,A B C ，使2111A B A B =，2111B C B C =，2111C A C A =，顺次连接222,,A B C ，得到222A B C ∆，…；按此规律，要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过__________次操作.【答案】4【解析】【分析】连接111,,AC B A C B ，根据两个三角形等底同高可得111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======从而得出第一次操作：11177A B C ABC S S ∆∆==＜2020；同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===＜2020……直至第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===＞2020，即可得出结论．【详解】解：连接111,,AC B A C B∵111,,A B AB B C BC C A CA ===根据等底同高可得：111111111,,C A B C AB ABC A B C A BC ABC B C A B CA ABC S S S S SS S S S ====== ∴111111111,C A B C AB A B C A BC B C A B CA ABC S S S S S S S ======∴第一次操作：11177A B C ABC S S ∆∆==＜2020同理可得第二次操作22211127749A B C A B C S S ∆∆===＜2020第三次操作333222377343A B C A B C S S ∆∆===＜2020第四次操作4443334772401A B C A B C S S ∆∆===＞2020故要使得到的三角形的面积超过2020，最少需经过4次操作，故答案为：4．【点睛】此题考查的是三角形的面积关系和探索规律，掌握两个三角形等底同高时，面积相等是解决此题的关键．2．直角三角形中，两锐角的角平分线所夹的锐角是_____度．【答案】45【解析】【分析】根据题意画出符合条件的图形，然后根据直角三角形的两锐角互余和角平分线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可.【详解】如图所示△ACB 为Rt△，AD ，BE ，分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，AD ，BE 相交于一点F ． ∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°∵AD，BE ，分别是∠CAB 和∠ABC 的角平分线，∴∠FAB+∠FBA=12∠CAB+12∠ABC=45°． 故答案为45.【点睛】此题主要考查了直角三角形的两锐角互余和三角形的外角的性质，关键是根据题意画出相应的图形，利用三角形的相关性质求解.3．已知三角形的两边的长分别为2cm 和8cm ，设第三边中线的长为x cm ，则x 的取值范围是_______【答案】3＜x ＜5【解析】【分析】延长AD至M使DM=AD，连接CM，先说明△ABD≌△CDM，得到CM=AB=8，再求出2AD的范围，最后求出AD的范围.【详解】解：如图：AB=8，AC=2，延长AD至M使DM=AD，连接CM在△ABD和△CDM中，AD MDADB MDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△MCD（SAS），∴CM=AB=8．在△ACM中：8-2＜2x＜8+2，解得：3＜x＜5．故答案为：3＜x＜5．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解答的关键在于画出图形，数形结合完成解答.4．如图，在△ABC中，∠C=46°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是_____．【答案】92°．【解析】【分析】由折叠的性质得到∠D=∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．【详解】由折叠的性质得：∠C'=∠C=46°，根据外角性质得：∠1=∠3+∠C，∠3=∠2+∠C'，则∠1=∠2+∠C+∠C'=∠2+2∠C=∠2+92°，则∠1﹣∠2=92°．故答案为：92°．【点睛】考查翻折变换（折叠问题），三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.5．已知等腰三角形的两边长分别为3和5，则它的周长是____________【答案】11或13【解析】【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为3和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【详解】解：有两种情况：①腰长为3，底边长为5，三边为：3，3，5可构成三角形，周长=3+3+5=11；②腰长为5，底边长为3，三边为：5，5，3可构成三角形，周长=5+5+3=13．故答案为：11或13．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．6．如图，在△ABC中，∠A=70°，点O到AB,BC,AC的距离相等，连接BO，CO，则∠BOC=________．【答案】125°【解析】【分析】根据角平分线性质推出O为△ABC三角平分线的交点，根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB ，根据角平分线定义求出∠OBC+∠OCB ，即可求出答案．【详解】：∵点O 到AB 、BC 、AC 的距离相等，∴OB 平分∠ABC ，OC 平分∠ACB ， ∴12OBC ABC ∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°， ∴1110552OBC OCB ∠+∠=⨯︒=︒， ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB ）=125°；故答案为：125．【点睛】本题主要考查平分线的性质，三角形内角和定理的应用，能求出∠OBC+∠OCB 的度数是解此题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5a b c === A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a 2=5，b 2=20，c 2=25，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.8．已知△ABC 的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的长的最大值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】B【解析】设△ABC 的面积为S ，所求的第三条高线的长为h ，则三边长分别为,,，根据三角形的三边关系为 ，解得 ，所以h 的最大整数值为6，即第三条高线的长的最大值为6．故选B ．点睛：本题主要考查了三角形的面积公式，三角形三边关系定理及不等式组的解法，有一定难度．利用三角形的面积公式，表示出△ABC 三边的长度，从而运用三角形三边关系定理，列出不等式组是解题的关键，难点是解不等式组．9．若（a ﹣3）2+|b ﹣6|＝0，则以a 、b 为边长的等腰三角形的周长为（ ）A ．12B ．15C ．12或15D ．18 【答案】B【解析】【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，可得a 、b 的值，根据等腰三角形的判定，可得三角形的腰，根据三角形的周长公式，可得答案．【详解】由（a ﹣3）2+|b ﹣6|＝0，得a ﹣3＝0，b ﹣6＝0．则以a 、b 为边长的等腰三角形的腰长为6，底边长为3，周长为6+6+3＝15，故选B ．【点睛】本题考查了非负数的性质，利用非负数的和为零得出每个非负数同时为零是解题关键．10．在ΔABC 中，AB 3=，AC 5=，第三边BC 的取值范围是( )A ．10BC 13<<B ．4BC 12<< C ．3BC 8<<D ．2BC 8<<【答案】D【解析】【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边的边长的取值范围．【详解】∵AB=3，AC=5，∴5-3<BC<5+3，即2<BC<8，故选D.【点睛】考查了三角形三边关系，一个三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．熟练掌握三角形的三边关系是解题关键.11．一个多边形的每个内角均为108º，则这个多边形是（ ）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形【答案】C【解析】试题分析：因为这个多边形的每个内角都为108°，所以它的每一个外角都为72°，所以它的边数=360÷72=5（边）.考点：⒈多边形的内角和；⒉多边形的外角和.12．如图，把三角形纸片ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 外部时，则∠A 与∠1、∠2之间的数量关系是（ ）A ．212A ∠=∠-∠B ．32(12)A ∠=∠-∠C ．3212A ∠=∠-∠D ．12A ∠=∠-∠【答案】A【解析】【分析】 根据折叠的性质可得∠A′=∠A ，根据平角等于180°用∠1表示出∠ADA′，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠2与∠A′表示出∠3，然后利用三角形的内角和等于180°列式整理即可得解．【详解】如图所示：∵△A′DE 是△ADE 沿DE 折叠得到，∴∠A′=∠A ，又∵∠ADA′=180°-∠1，∠3=∠A′+∠2，∵∠A+∠ADA′+∠3=180°，即∠A+180°-∠1+∠A′+∠2=180°，整理得，2∠A=∠1-∠2．故选A.【点睛】考查了三角形的内角和定理以及折叠的性质，根据折叠的性质，平角的定义以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，把∠1、∠2、∠A 转化到同一个三角形中是解题的关键．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 的长分别为30、40、15，点P 是三条角平分线的交点，将△ABC 分成三个三角形，则APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆等于____．【答案】6：8：3【解析】【分析】由角平分线性质可知，点P 到三角形三边的距离相等，即三个三角形的AB 、BC 、CA 边上的高相等，利用面积公式即可求解.【详解】解：过点P 作PD ⊥BC 于D ，PE ⊥CA 于E ，PF ⊥AB 于F∵P 是三条角平分线的交点∴PD=PE=PF∵AB=30，BC=40，CA=15∴APB S ∆︰BPC S ∆︰CPA S ∆=30∶40∶15=6∶8∶3故答案为6∶8∶3.【点睛】本题主要考查了角平分线的性质和三角形面积的求法. 角平分线上的点到两边的距离相等.难度不大，作辅助线是关键.14．如图，P为等边△ABC内一点，∠APC=150°，且∠APD=30°，AP=6，CP=3，DP=7，则BD的长为______.【答案】234.【解析】【分析】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，由全等三角形的性质可得CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，结合等边三角形的性质可得出∠ECP=60°，进而证明△ECP为等边三角形，由等边△ECP的性质进而证明D、P、E三点共线以及∠DEB=90°，最后利用勾股定理求出BD的长度即可.【详解】将△CPA绕点C逆时针旋转60°得到△CEB，连接EP，∴CE=CP，∠ECB=∠PCA，∠CEB=∠CPA=150°，BE=AP=6，∵等边△ABC，∴∠ACP+∠PCB=60°，∴∠ECB+∠PCB=60°,即∠ECP=60°，∴△ECP为等边三角形，∴∠CPE=∠CEP=60°，PE=6，∴∠DEB=90°，∵∠APC=150°，∠APD=30°，∴∠DPC=120°，∴∠DPE=180°，即D、P、E三点共线，∴ED=3+7=10，∴BD=22DE BE=234.故答案为234.【点睛】本题主要考查全等三角形的性质、勾股定理、等边三角形的判定与性质以及三点共线的判定，运用旋转构造全等三角形是解题的关键.15．已知：如图，△ABC和△DEC都是等边三角形，D是BC延长线上一点，AD与BE相交于点P，AC、BE相交于点M，AD，CE相交于点N，则下列五个结论：①AD＝BE；②AP＝BM；③∠APM＝60°；④△CMN是等边三角形；⑤连接CP，则CP平分∠BPD，其中，正确的是_____．（填写序号）【答案】①③④⑤．【解析】【分析】①根据△ACD≌△BCE(SAS)即可证明AD＝BE；②根据△ACN≌△BCM(ASA)即可证明AN＝BM，从而判断AP≠BM；③根据∠CBE+∠CDA＝60°即可求出∠APM=60°；④根据△ACN≌△BCM及∠MCN＝60°可知△CMN为等边三角形；⑤根据角平分线的性质可知.【详解】①∵△ABC和△CDE都是等边三角形∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝60°，∠DCE＝60°∴∠ACE＝60°∴∠ACD＝∠BCE＝120°在△ACD和△BCE中CA CBACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACD≌△BCE(SAS)∴AD＝BE；②∵△ACD≌△BCE∴∠CAD＝∠CBE在△ACN和△BCM中ACN BCMCA CBCAN CBM∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ACN≌△BCM(ASA)∴AN＝BM；③∵∠CAD+∠CDA＝60°而∠CAD＝∠CBE∴∠CBE+∠CDA＝60°∴∠BPD＝120°∴∠APM＝60°；④∵△ACN≌△BCM∴CN＝BM而∠MCN＝60°∴△CMN为等边三角形；⑤过C点作CH⊥BE于H，CQ⊥AD于Q，如图∵△ACD≌△BCE∴CQ＝CH∴CP平分∠BPD.故答案为：①③④⑤．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质的灵活运用，角的计算及角平分线的判定，熟练掌握三角形全等的证明方法，角平分线的判定及相关辅助线的作法是解决本题的关键.16．已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是___________.【答案】2【解析】【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造得出BE=AF利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC 的面积为1进行计算即可.【详解】过B 作BE ⊥AC 于E, 过D 作DF ⊥AC 于F,∴∠BEA=∠AFD=90°∴∠2+∠3=90°∵∠BAD=90°∴∠1+∠2=90°∴∠1=∠3 ∵AB=AD∴∴BE=AF∵AD=CD ，DF ⊥AC∴AF= ∴BE=AF=∴∴AC=2故答案为：2【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键.17．已知∠ABC=60°，点D 是其角平分线上一点，BD=CD=6，DE//AB 交BC 于点E.若在射线BA 上存在点F ，使DCF BDE S S ∆∆=，请写出相应的BF 的长：BF ＝_________【答案】23或43.【解析】【分析】过点D作DF1∥BE，求出四边形BEDF1是菱形，根据菱形的对边相等可得BE=DF1，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点F1为所求的点，过点D作DF2⊥BD，求出∠F1DF2=60°，从而得到△DF1F2是等边三角形，然后求出DF1=DF2，再求出∠CDF1=∠CDF2，利用“边角边”证明△CDF1和△CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰△BDE中求出BE的长，即可得解．【详解】如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE=DF1，且BE、DF1上的高相等，此时S△DCF1=S△BDE；过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC=60°，F1D∥BE，∴∠F2F1D=∠ABC=60°，∵BF1=DF1，∠F1BD=12∠ABC=30°，∠F2DB=90°，∴∠F1DF2=∠ABC=60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1=DF2，∵BD=CD，∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC=∠DCB=12×60°=30°，∴∠CDF1=180°-∠BCD=180°-30°=150°，∠CDF2=360°-150°-60°=150°，∴∠CDF1=∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，1212DF DFCDF CDFCD CD⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△CDF1≌△CDF2（SAS），∴点F2也是所求的点，∵∠ABC=60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC=∠BDE=∠ABD=12×60°=30°，又∵BD=6，∴BE=12×6÷cos30°=3÷32=23，∴BF1=BF2=BF1+F1F2=23+23=43，故BF的长为23或43.故答案为：23或43.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题关键，（3）要注意符合条件的点F有两个．18．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，以下结论：①∠BAC=70°；②∠DOC=90°；③∠BDC=35°；④∠DAC=55°，其中正确的是__________．（填写序号）【答案】①③④【解析】【分析】根据三角形内角和定理、角平分线的定义、三角形外角的性质、角平分线的性质解答即可．【详解】解：∵∠ABC=50°，∠ACB=60°，∴∠BAC=180°﹣50°﹣60°=70°，①正确；∵BD是∠ABC的平分线，∴∠DBC=12∠ABC=25°，∴∠DOC=25°+60°=85°，②错误；∠BDC=60°﹣25°=35°，③正确；∵∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，∴AD是∠BAC的外角平分线，∴∠DAC=55°，④正确．故答案为①③④．【点睛】本题考查的是角平分线的定义和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，∠EAF＝12∠BAD，若DF＝1，BE＝5，则线段EF的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】【分析】在BE上截取BG＝DF，先证△ADF≌△ABG，再证△AEG≌△AEF即可解答．【详解】在BE上截取BG＝DF，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ADF＝180°，∴∠B＝∠ADF，在△ADF与△ABG中AB ADB ADFBG DF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AG＝AF，∠FAD＝∠GAB，∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠FAE＝∠GAE，在△AEG与△AEF中AG AFFAE GAEAE AE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEG≌△AEF（SAS）∴EF＝EG＝BE﹣BG＝BE﹣DF＝4．故选：B．【点睛】考查了全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键．20．已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【答案】C【解析】【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出BP=2t=2和AP=16-2t=2即可求得．【详解】解：因为AB=CD，若∠ABP=∠DCE=90°，BP=CE=2，根据SAS证得△ABP≌△DCE，由题意得：BP=2t=2，所以t=1，因为AB=CD，若∠BAP=∠DCE=90°，AP=CE=2，根据SAS证得△BAP≌△DCE，由题意得：AP=16-2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABP和△DCE全等．故选C．【点睛】本题考查全等三角形的判定，判定方法有：ASA，SAS，AAS，SSS，HL．21．如图，在△ABC中，∠ABC=45°， BC=4，以AC为直角边，点A为直角顶点向△ABC的外侧作等腰直角三角形ACD，连接BD，则△DBC的面积为( ) .A．8 B．10 C．42D．82【答案】A【解析】【分析】将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质得到AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，过D点作DF⊥BC，证△EBC≌BFD，可得DF=BC=4，再用三角形面积公式即可得出答案.【详解】解：如下图所示，将△ABD绕着点A顺时针旋转90°得到△AEC，BD与EC交于点O，连接BE，根据旋转的性质可知EC=BD，AE=AB，∠BAE=∠DOC=90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠EBC=90°，∵∠BDF+∠DBF=90°，∠ECB+∠DBF=90°，∴∠BDF=∠ECB在△EBC和△BFD中EBC=BFD=90ECB=BDFEC=BD⎧∠∠⎪∠∠⎨⎪⎩∴△EBC≌△BFD（AAS）∴DF=BC=4∴△DBC的面积=11BC DF=44=822⋅⨯⨯故选A.【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定，是一道综合性较强的题，难度较大，关键是正确的作出辅助线构造全等三角形.22．如图，把ΔABC剪成三部分，边AB，BC，AC放在同一直线上，点O都落在直线MN 上，直线MN∥AB．在ΔABC中，若∠AOB=125°，则∠ACB的度数为（）A．70°B．65°C．60°D．85°【答案】A【解析】【分析】利用平行线间的距离处处相等，可知点O到BC、AC、AB的距离相等，得出O为三条角平分线的交点，根据三角形内角和定理和角平分线的定义即可得出结论．【详解】如图1，过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F．∵MN∥AB，∴OD=OE=OF（平行线间的距离处处相等）．如图2：过点O作OD'⊥BC于D'，作OE'⊥AC于E'，作OF'⊥AB于F'．由题意可知：OD=OD'，OE=OE'，OF=OF'，∴OD'=OE'=OF'，∴图2中的点O是三角形三个内角的平分线的交点．∵∠AOB=125°，∴∠OAB+∠OBA=180°－125°=55°，∴∠CAB+∠CBA=2×55°=110°，∴∠ACB=180°－110°=70°．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内心，平行线间的距离处处相等，角平分线定义，解答本题的关键是判断出OD=OE=OF．23．如右图，在△ABC中，点Q，P分别是边AC，BC上的点，AQ=PQ，PR⊥AB于R，PS⊥AC于S，且PR=PS，下面四个结论：①AP平分∠BAC；②AS=AR；③BP=QP；④QP∥AB．其中一定正确的是( )A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④【答案】C【解析】试题解析：∵PR⊥AB于点R，PS⊥AC于点S，且PR=PS，∴点P在∠BAC的平分线上，即AP平分∠BAC，故①正确；∴∠PAR=∠PAQ，∵AQ=PQ，∴∠APQ=∠PAQ，∴∠APQ=∠PAR，QP AB∴，故④正确；在△APR与△APS中,AP AP PR PS=⎧⎨=⎩，(HL)APR APS∴≌，∴AR=AS，故②正确；△BPR和△QSP只能知道PR=PS,∠BRP=∠QSP=90∘，其他条件不容易得到，所以，不一定全等.故③错误.故选C.24．下列四组条件中，能够判定△ABC和△DEF全等的是（）A．AB=DE，BC=EF，∠A=∠D B．AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠DC．∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F D．AC=DF，BC=DE，∠C=∠D【答案】D【解析】根据三角形全等的判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS、HL，逐一判断：A、AB=DE，BC=EF，∠A=∠D，不符合“SAS”定理，不能判断全等；B、AC=EF，∠C=∠F，∠A=∠D，不符合“ASA”定理，不能判断全等；C、∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F ，“AAA”不能判定全等；不符合“SAS”定理，不对应，不能判断全等；D、AC=DF，BC=DE，∠C=∠D，可利用“SAS”判断全等；故选：D．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．在直角坐标系中，O 为坐标原点，已知点 A（1，2），点 P 是 y 轴正半轴上的一点，且△AOP 为等腰三角形，则点P 的坐标为_____________．【答案】5 4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭【解析】【分析】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，求出OA即可；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，求出OP即可；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，根据勾股定理求出OC即可．【详解】有三种情况：①以O为圆心，以OA为半径画弧交y轴于D，则OA＝OD＝=∴D（0）；②以A为圆心，以OA为半径画弧交y轴于P，OP＝2×y A=4，∴P（0，4）；③作OA的垂直平分线交y轴于C，则AC＝OC，由勾股定理得：OC＝AC，∴OC＝54，∴C（0，54）；故答案为：5 4),0,4⎛⎫⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查对线段的垂直平分线，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，能求出符合条件的所有情况是解此题的关键．26．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD，当△AOD是等腰三角形时，求α的角度为______【答案】110°、125°、140°【解析】【分析】先求出∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，分别求出α的角度即可.【详解】解：∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，∴b﹣d=10°，∴（60°﹣a）﹣d=10°，∴a+d=50°，即∠DAO=50°，分三种情况讨论：①AO=AD，则∠AOD=∠ADO，∴190°﹣α=α﹣60°，∴α=125°；②OA=OD，则∠OAD=∠ADO，∴α﹣60°=50°，∴α=110°；③OD=AD，则∠OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°；所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形，故答案为：110°、125°、140°.【点睛】本题是对等边三角形的考查，熟练掌握等边三角形的性质定理及分类讨论是解决本题的关键.27．如图，P为∠AOB内一定点，M，N分别是射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠OPM＝50°，则∠AOB＝___________．【答案】40°【解析】【分析】作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，根据对称的性质可以证得：∠OP1M=∠OPM=50°，OP1=OP2=OP，根据等腰三角形的性质即可求解．【详解】如图：作P关于OA，OB的对称点P1，P2．连接OP1，OP2．则当M，N是P1P2与OA、OB 的交点时，△PMN的周长最短，连接P1O、P2O，∵PP1关于OA对称，∴∠P1OP=2∠MOP，OP1=OP，P1M=PM，∠OP1M=∠OPM=50°同理，∠P2OP=2∠NOP，OP=OP2，∴∠P1OP2=∠P1OP+∠P2OP=2（∠MOP+∠NOP）=2∠AOB，OP1=OP2=OP，∴△P1OP2是等腰三角形．∴∠OP2N=∠OP1M=50°，∴∠P1OP2=180°-2×50°=80°，∴∠AOB=40°，故答案为：40°【点睛】本题考查了对称的性质，正确作出图形，证得△P1OP2是等腰三角形是解题的关键．28．如图，∠BOC=60°，点A是BO延长线上的一点，OA=10cm，动点P从点A出发沿AB 以2cm/s的速度移动，动点Q从点O出发沿OC以1cm/s的速度移动，如果点P、Q同时出发，用t(s)表示移动的时间，当t=_____s时，△POQ是等腰三角形.【答案】103或10【解析】【分析】根据△POQ是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点P在AO上，点P在BO上，分别计算，即可得解.【详解】当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图1所示当点P在AO上时，∵PO=AO-AP=10-2t，OQ=t当PO=QO时，102t t-=解得103 t=当PO=QO时，△POQ是等腰三角形，如图2所示当点P在BO上时∵PO=AP-AO=2t-10，OQ=t当PO=QO时，210t t-=解得10t=故答案为：103或10【点睛】本题考查等腰三角形的性质及动点问题，熟练掌握等腰三角形的性质以及分类讨论思想是解题关键.29．如图，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则AFE∠=_______度．【答案】72．【解析】【分析】根据五边形的内角和公式求出EAB∠，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算即可．【详解】解：∵五边形ABCDE 是正五边形，(52)1801085EAB ABC ︒︒-⨯∴∠=∠==，BA BC =，36BAC BCA ︒∴∠=∠=，同理36ABE ∠︒＝，363672AFE ABF BAF ∴∠∠+∠︒+︒︒＝＝＝．故答案为：72【点睛】本题考查的是正多边形的内角与外角，掌握正多边形的内角的计算公式、等腰三角形的性质是解题的关键．30．如图，在四边形ABCD 中，∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°，在AB 、AD 上分别找一点F 、E ，连接CE 、EF 、CF ，当△CEF 的周长最小时，则∠ECF 的度数为______．【答案】60°【解析】【分析】此题需分三步：第一步是作出△CEF 的周长最小时E 、F 的位置（用对称即可）；第二步是证明此时的△CEF 的周长最小（利用两点之间线段最短）；第三步是利用对称性求此时∠ECF 的值.【详解】分别作出C 关于AD 、AB 的对称点分别为C 1、C 2，连接C 1C 2，分别交AD ，AB 于点E 、F 再连接CE 、CF 此时△CEF 的周长最小，理由如下：在AD 、AB 上任意取E 1、F 1两点根据对称性：∴CE=C 1E ，CE 1=C 1E 1，CF=C 2F ，CF 1=C 2F 1∴△CEF 的周长= CE ＋EF ＋CF= C 1E ＋EF ＋C 2F= C 1C 2而△CE 1F 1的周长= CE 1＋E 1F 1＋CF 1= C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1根据两点之间线段最短，故C 1E 1＋E 1F 1＋C 2F 1＞C 1C 2∴△CEF 的周长的最小为：C 1C 2.∵∠A=60°， ∠ADC=∠ABC=90°∴∠DCB=360°－∠A －∠ADC －∠ABC=120°∴∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=180°－∠DCB=60°根据对称性：∠C C 1C 2=∠E CD ，∠C C 2C 1=∠F CB∴∠E CD ＋∠F CB=∠C C 1C 2＋∠C C 2C 1=60°∴∠ECF =∠DCB －（∠E CD ＋∠F CB ）=60°故答案为：60°【点睛】此题考查的是周长最小值的作图方法（对称点），及周长最小值的证法：两点之间线段最短，掌握周长最小值的作图方法是解决此题的关键.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．如图所示，OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥，垂足分别为A 、B ．下列结论中不一定成立的是（ ）．A ．PA PB =B ．PO 平分APB ∠C ．OA OB =D ．AB 垂直平分OP【答案】D【解析】【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得出PA=PB ，再利用“HL ”证明△AOP 和△BOP 全等，可得出APO BPO ∠=∠，OA=OB ，即可得出答案．【详解】解：∵OP 平分AOB ∠，PA OA ⊥，PB OB ⊥∴PA PB =，选项A 正确；在△AOP 和△BOP 中，PO PO PA PB=⎧⎨=⎩， ∴AOP BOP ≅∴APO BPO ∠=∠，OA=OB ，选项B ，C 正确；由等腰三角形三线合一的性质，OP 垂直平分AB ，AB 不一定垂直平分OP ，选项D 错误． 故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是角平分线的性质以及垂直平分线的性质，熟记性质定理是解此题的关键．32．点A 的坐标是（2，2），若点P 在x 轴或y 轴上且△APO 是等腰三角形，这样的点P 共有（ ）个A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，要使△AOP 是等腰三角形，可以分两种情况考虑：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴出现2个交点；当OA 是腰时，则分别以点O 、点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现6个交点，这样的点P 共8个．【详解】如图，分两种情况进行讨论：当OA 是底边时，作OA 的垂直平分线，和坐标轴的交点有2个；当OA 是腰时，以点O 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴有4个交点；以点A 为圆心，OA 为半径画弧，和坐标轴出现2个交点；∴满足条件的点P 共有8个，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，坐标与图形的性质，解题的关键是根据OA 为腰或底两种情况分类讨论，运用数形结合的思想进行解决．33．如图，已知：30MON ∠=︒，点1A 、2A 、3A …在射线ON 上，点1B 、2B 、3B …在射线OM 上，112A B A △、223A B A △、334A B A △…均为等边三角形，若112OA =，则667A B A 的边长为( )A ．6B ．12C ．16D ．32【答案】C【解析】【分析】 先根据等边三角形的各边相等且各角为60°得：∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，再利用外角定理求∠OB 1A 1=30°，则∠MON=∠OB 1A 1，由等角对等边得：B 1A 1=OA 1=12，得出△A 1B 1A 2的边长为12，再依次同理得出：△A 2B 2A 3的边长为1，△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．【详解】解：∵△A 1B 1A 2为等边三角形，∴∠B 1A 1A 2=60°，A 1B 1=A 1A 2，∵∠MON=30°，∴∠OB 1A 1=60°-30°=30°，∴∠MON=∠OB 1A 1，∴B 1A 1=OA 1=12， ∴△A 1B 1A 2的边长为12，同理得：∠OB 2A 2=30°，∴OA 2=A 2B 2=OA 1+A 1A 2=12+12=1， ∴△A 2B 2A 3的边长为1， 同理可得：△A 3B 3A 4的边长为2，△A 4B 4A 5的边长为：22=4，△A 5B 5A 6的边长为：23=8，则△A 6B 6A 7的边长为：24=16．故选：C ．【点睛】本题考查等边三角形的性质和外角定理，运用类比的思想，依次求出各等边三角形的边长，解题关键是总结规律，得出结论．34．如图，ABC ∆中，60BAC ∠=︒，BAC ∠的平分线AD 与边BC 的垂直平分线MD 相交于点D ，DE AB ⊥交AB 的延长线于点E ，DF AC ⊥于点F ，现有下列结论：①DE DF =；②DE DF AD +=；③DM 平分EDF ∠；④2AB AC AE +=，其中正确的是（ ）A ．①②B ．①②③C ．①②④D ．①②③④【答案】C【解析】【分析】 ①由角平分线的性质可知①正确；②由题意可知∠EAD=∠FAD=30°，故此可知ED=12AD ，DF=12AD ，从而可证明②正确；③若DM 平分∠EDF ，则∠EDM=90°，从而得到∠ABC 为直角三角形，条件不足，不能确定，故③错误；④连接BD 、DC ，然后证明△EBD ≌△DFC ，从而得到BE=FC ，从而可证明④．【详解】解：如图所示：连接BD 、DC ．①∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴ED=DF ．∴①正确．②∵∠EAC=60°，AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠FAD=30°．∵DE ⊥AB ，∴∠AED=90°．∵∠AED=90°，∠EAD=30°， ∴ED=12AD ． 同理：DF=12AD ． ∴DE+DF=AD ．∴②正确． ③由题意可知：∠EDA=∠ADF=60°．假设MD 平分∠EDF ，则∠ADM=30°．则∠EDM=90°， 又∵∠E=∠BMD=90°，∴∠EBM=90°．∴∠ABC=90°．∵∠ABC 是否等于90°不知道，∴不能判定MD 平分∠EDF ，故③错误．④∵DM 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ．在Rt △BED 和Rt △CFD 中DE DF BD DC ⎧⎨⎩＝＝， ∴Rt △BED ≌Rt △CFD ．∴BE=FC ．∴AB+AC=AE-BE+AF+FC又∵AE=AF ，BE=FC ，∴AB+AC=2AE ．故④正确．综上所述，①②④正确，故选：C．【点睛】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、角平分线的性质、线段垂直平分线的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．35．在平面直角坐标系中，等腰△ABC的顶点A、B的坐标分别为(1，0)、(2，3)，若顶点C 落在坐标轴上，则符合条件的点C有( )个.A．9 B．7 C．8 D．6【答案】C【解析】【分析】要使△ABC是等腰三角形，可分三种情况（①若CA=CB，②若BC=BA，③若AC=AB）讨论，通过画图就可解决问题．【详解】①若CA=CB，则点C在AB的垂直平分线上．∵A（1，0），B（2，3），∴AB的垂直平分线与坐标轴有2个交点C1，C2．②若BC=BA，则以点B为圆心，BA为半径画圆，与坐标轴有3个交点（A点除外）C3，C4，C5；③若AC=AB，则以点A为圆心，AB为半径画圆，与坐标轴有4个交点C6，C7，C8，C9．而C8（0，-3）与A、B在同一直线上，不能构成三角形，故此时满足条件的点有3个．综上所述：符合条件的点C的个数有8个．故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定、垂直平分线的性质的逆定理等知识，还考查了动手操作的能力，运用分类讨论的思想是解答本题的关键．36．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标。

八年级数学上册全册全套试卷综合测试（Word版含答案）一、八年级数学全等三角形解答题压轴题（难）1．（1）问题背景：如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是延长FD到点G，使DG＝BE，连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是；（2）探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；（3）结论应用：如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等．接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇与指挥中心O 之间夹角∠EOF=70°，试求此时两舰艇之间的距离．（4）能力提高：如图4，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°．若BM＝1，CN＝3，试求出MN的长．【答案】（1）EF＝BE＋FD；（2）EF＝BE＋FD仍然成立；（3）210；（4）MN10．【解析】试题分析：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，证明△ABE≌△ADG，再证△AEF≌△AGF，得EF=FG，即可得到答案；（3）连接EF，延长AE，BF相交于点C，根据探索延伸可得EF=AE+FB，即可计算出EF的长度；（4）在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=A M，连接CD，DN，证明△ACD≌△ABM，得到CD=BM，再证MN=ND，则求出ND的长度，即可得到答案．解：（1）由△AEF≌△AGF，得EF=GF，又由BE=DG，得EF=GF=DF+DG=DF+BE；（2）EF＝BE＋FD仍然成立．证明：如答图1，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADG＋∠ADC＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE与△ADG中，AB＝AD，∠B＝∠ADG，BE＝DG，∴△ABE≌△ADG．∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG．又∵∠EAF＝12∠BAD，∴∠F AG＝∠F AD＋∠DAG＝∠F AD＋∠BAE＝∠BAD－∠EAF＝∠BAD－12∠BAD＝12∠BAD，∴∠EAF＝∠GAF．在△AEF与△AGF中，AE=AG，∠EAF＝∠GAF，AF=AF，∴△AEF≌△AGF．∴EF＝FG．又∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF．∴EF＝BE＋FD．（3）如答图2，连接EF，延长AE，BF相交于点C，在四边形AOBC中，∵∠AOB＝30°＋90°＋20°＝140°，∠FOE＝70°＝12∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝60°＋120°＝180°，符合探索延伸中的条件，∴结论EF＝AE＋FB成立．∴EF＝AE＋FB＝1.5×（60＋80）＝210（海里）.答：此时两舰艇之间的距离为210海里；（4）如答图3，在△ABC外侧作∠CAD=∠BAM，截取AD=AM，连接CD，DN，在△ACD与△ABM中，AC=AB，∠CAD=∠BAM，AD=AM，则△ACD≌△ABM，∴CD=BM=1，∠ACD=∠ABM=45°，∵∠NAD=∠NAC+∠CAD=∠NAC+∠BAM=∠BAC-∠MAN=45°，∴∠MAD=∠MAN+∠NAD=90°=2∠NAD，又∵AM=AD，∠NCD+∠MAD=（∠ACD+∠ACB）+90°=180°，∴对于四边形AMCD符合探索延伸，则ND=MN，∵∠NCD=90°，CD=1，CN=3，∴MN=ND=10．2．如图，Rt△ABC≌Rt△CED（∠ACB＝∠CDE＝90°），点D在BC上，AB与CE相交于点F(1) 如图1，直接写出AB与CE的位置关系(2) 如图2，连接AD交CE于点G，在BC的延长线上截取CH＝DB，射线HG交AB于K，求证：HK＝BK【答案】（1）AB⊥CE；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由全等可得∠ECD=∠A，再由∠B+∠A=90°，可得∠B+ECD=90°，则AB⊥CE.（2）延长HK于DE交于H，易得△ACD为等腰直角三角形，∠ADC=45°，易得DH=DE，然后证明△DGH≌△DGE，所以∠H=∠E，则∠H=∠B，可得HK=BK.【详解】解：（1）∵Rt△ABC≌Rt△CED，∴∠ECD=∠A，∠B=∠E，BC=DE，AC=CD∵∠B+∠A=90°∴∠B+ECD=90°∴∠BFC=90°，∴AB⊥CE（2）在Rt△ACD中，AC=CD，∴∠ADC=45°，又∵∠CDE=90°，∴∠HDG=∠CDG=45°∵CH＝DB，∴CH+CD=DB+CD，即HD=BC，∴DH=DE，在△DGH 和△DGE 中，DH=DE HDG=EDG=45DG=DG ⎧⎪∠∠⎨⎪⎩∴△DGH ≌△DGE （SAS ）∴∠H=∠E又∵∠B=∠E∴∠H=∠B ，∴HK=BK【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用全等找出角相等，再利用等角对等边判定线段相等是本题的关键.3．（1）如图（a ）所示点D 是等边ABC 边BA 上一动点（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方作等边DCF ，连接AF ．你能发现线段AF 与BD 之间的数量关系吗？并证明．（2）如图（b ）所示当动点D 运动至等边ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF 与BD 在（1）中的结论是否仍然成立？（直接写出结论）（3）①如图（c ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 上运动时（点D 与点B 不重合），连接DC ，以DC 为边在BC 上方、下方分别作等边DCF 和等边DCF '，连接AF 、BF '，探究AF 、BF '与AB 有何数量关系？并证明．②如图（d ）所示，当动点D 在等边ABC 边BA 的延长线上运动时，其他作法与（3）①相同，①中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明．【答案】（1）AF=BD ，理由见解析；（2）AF=BD ，成立；（3）①AF BF AB '+=，证明见解析；②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+，理由见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质，利用全等三角形的判定定理SAS 可证得BCD ACF △≌△，然后由全等三角形的对应边相等知AF BD = ．（2）通过证明BCD ACF △≌△，即可证明AF BD =．（3）①'AF BF AB += ，利用全等三角形BCD ACF △≌△的对应边BD AF = ，同理'BCF ACD △≌△ ，则'BF AD = ，所以'AF BF AB +=；②①中的结论不成立，新的结论是'AF AB BF =+ ，通过证明BCF ACD △≌△，则'BF AD =（全等三角形的对应边相等），再结合（2）中的结论即可证得'AF AB BF =+ ．【详解】（1）AF BD =证明如下：ABC 是等边三角形，BC AC ∴=，60BCA ︒∠=．同理可得：DC CF =，60DCF ︒∠=．BCA DCA DCF DCA ∴∠-∠=∠-∠．即BCD ACF ∠=∠．BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=．（2）证明过程同（1），证得BCD ACF △≌△，则AF BD =（全等三角形的对应边相等），所以当动点D 运动至等边△ABC 边BA 的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF BD =依然成立．（3）①AF BF AB '+=证明：由（1）知，BCD ACF △≌△．BD AF ∴=．同理BCF ACD '△≌△．BF AD '∴=．AF BF BD AD AB '∴+=+=．②①中的结论不成立新的结论是AF AB BF '=+；BC AC =，BCF ACD '∠=∠，F C DC '=，BCF ACD '∴△≌△．BF AD '∴=．又由（2）知，AF BD =．AF BD AB AD AB BF '∴==+=+．即AF AB BF '=+．【点睛】本题考查了三角形的综合问题，掌握等边三角形的三条边、三个内角都相等的性质、全等三角形的判定定理、全等三角形的对应边相等是解题的关键．4．如图，在ABC ∆中，5BC = ，高AD 、BE 相交于点O , 23BD CD =，且AE BE = . (1)求线段 AO 的长;(2)动点P从点O出发，沿线段OA以每秒 1 个单位长度的速度向终点A运动，动点Q 从点B出发沿射线BC以每秒 4 个单位长度的速度运动，,P Q两点同时出发，当点P到达A点时，,P Q两点同时停止运动.设点P的运动时间为t秒，POQ∆的面积为S，请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围;(3)在(2)的条件下，点F是直线AC上的一点且CF BO=.是否存在t值，使以点,,B O P为顶点的三角形与以点,,F C Q为顶点的三角形全等?若存在，请直接写出符合条件的t值; 若不存在，请说明理由.【答案】（1）5；（2）①当点Q在线段BD上时，24QD t=-，t的取值范围是12t <<；②当点Q在射线DC上时，42QD t=-，，t的取值范围是152t<≤；（3）存在，1t=或53.【解析】【分析】（1）只要证明△AOE≌△BCE即可解决问题；（2）分两种情形讨论求解即可①当点Q在线段BD上时，QD=2-4t，②当点Q在射线DC上时，DQ=4t-2时；（3）分两种情形求解即可①如图2中，当OP=CQ时，BOP≌△FCQ．②如图3中，当OP=CQ时，△BOP≌△FCQ；【详解】解：（1）∵AD是高，∴90ADC∠=∵BE是高，∴90AEB BEC∠=∠=∴90EAO ACD∠+∠=，90EBC ECB∠+∠=，∴EAO EBC∠=∠在AOE∆和BCE∆中，EAO EBCAE BEAEO BEC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴AOE∆≌BCE∆∴5AO BC==；（2）∵23BD CD =，=5BC ∴=2BD ，=3CD ，根据题意，OP t =，4BQ t =，①当点Q 在线段BD 上时，24QD t =-，∴21(24)22S t t t t =-=-+，t 的取值范围是102t <<. ②当点Q 在射线DC 上时，42QD t =-， ∴21(42)22S t t t t =-=-，t 的取值范围是152t <≤ （3）存在． ①如图2中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴5-4t ═t ，解得t=1，②如图3中，当OP=CQ 时，∵OB=CF ，∠POB=∠FCQ ，∴△BOP ≌△FCQ ．∴CQ=OP ，∴4t-5=t ，解得t=53． 综上所述，t=1或53s 时，△BOP 与△FCQ 全等． 【点睛】本题考查三角形综合题、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？【答案】（1）5；（2）见解析；（3）当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM与△OQN全等【解析】【分析】（1）根据OA=OE即可解决问题．（2）根据ASA证明三角形全等即可解决问题．（2）设运动的时间为t秒，分三种情况讨论：当点P、Q分别在y轴、x轴上时；当点P、Q都在y轴上时；当点P在x轴上，Q在y轴时若二者都没有提前停止，当点Q提前停止时；列方程即可得到结论．【详解】（1）∵A（0，5），∴OE＝OA＝5，故答案为5．（2）如图1中，∵OE ＝OA ，OB ⊥AE ，∴BA ＝BE ，∴∠BAO ＝∠BEO ，∵∠CEF ＝∠AEB ，∴∠CEF ＝∠BAO ，∴∠CEO ＝∠DAO ，在△ADO 与△ECO 中，CE0DA0OA 0ECOE AOD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADO ≌△ECO （ASA ）．（2）设运动的时间为t 秒，当PO ＝QO 时，易证△OPM ≌△OQN ．分三种情况讨论：①当点P 、Q 分别在y 轴、x 轴上时PO ＝QO 得：5﹣t ＝12﹣3t ，解得t ＝72（秒）， ②当点P 、Q 都在y 轴上时PO ＝QO 得：5﹣t ＝3t ﹣12，解得t ＝174（秒）， ③当点P 在x 轴上，Q 在y 轴上时，若二者都没有提前停止，则PO ＝QO 得： t ﹣5＝3t ﹣12，解得t ＝72（秒）不合题意； 当点Q 运动到点E 提前停止时，有t ﹣5＝5，解得t ＝10（秒），综上所述：当两动点运动时间为72、174、10秒时，△OPM 与△OQN 全等． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定，坐标与图形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 二、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）6．已知：等边ABC ∆中．（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求AN BN的值． （2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32． 【解析】【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；（2）过点M作ME∥BC交AC于E，先证明AM=ME，再证明MEC∆与NBM∆全等，最后转化边即得；（3）过点P作PM∥BC交AB于M，先证明M是AB的中点，再证明EMP∆与FCP∆全等，最后转化边即得．【详解】（1）∵ABC∆为等边三角形，点M是BC的中点∴AM平分∠BAC，AM BC⊥，60B BAC∠=∠=︒∴30BAM∠=︒，90AMB∠=︒∵60AMN∠=︒∴90AMNBAM∠+=︒∠，30∠=︒BMN∴90ANM∠=︒∴18090BNM ANM=︒-=︒∠∠∴在Rt BNM∆中，2BM BN=在Rt ABM∆中，2AB BM=∴24AB AN BN BM BN=+==∴3AN BN=即3ANBN=．（2）如下图：过点M作ME∥BC交AC于E∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB∠=∠=︒，120MBN=︒∠∴120CEM MBN∠==︒∠，60AEM A∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB，MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=（3）如下图：过点P作PM∥BC交AB于M∴AMP ABC=∠∠∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC==∴60AMP A==︒∠∠∴AP MP=，180120EMP AMP=︒-=︒∠∠，180120FCP ACB=︒-=︒∠∠∴AMP∆是等边三角形，120EMP FCP==︒∠∠∴AP MP AM==∵P点是AC的中点∴111222AP PC MP AM AC AB BC======∴12AM MB AB==在EMP∆与FCP∆中EMP FCPAEP PFCMP PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS∆∆≌∴ME FC=∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=∴3322BCBF BEBC BC-==．【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．7．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n°，根据SAS进一步证明△BAD≌△CAE，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC∠的度数,结合内角和用n表示∠ADE的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n︒，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n .【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.8．如图1，△ABD，△ACE都是等边三角形，（1）求证：△ABE≌△ADC；（2）若∠ACD=15°，求∠AEB的度数；（3）如图2，当△ABD与△ACE的位置发生变化，使C、E、D三点在一条直线上，求证：AC∥BE．【答案】(1)见解析(2) ∠AEB=15°(3) 见解析【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，即可得∠DAC=∠BAE，利用SAS即可判定△ABE≌△ADC；（2）根据全等三角形的性质即可求解；（3）由（1）的方法可证得△ABE≌△ADC，根据全等三角形的性质和等边三角形的性质可得∠AEB=∠ACD =60°，即可得∠AEB=∠EAC，从而得AC∥BE．试题解析：（1）证明：∵△ABD，△ACE都是等边三角形∴AB=AD，AE=AC，∠DAB=∠EAC=60°，∴∠DAC=∠BAE ，在△ABE 和△ADC 中，∴，∴△ABE ≌△ADC ；（2）由（1）知△ABE ≌△ADC ，∴∠AEB=∠ACD ，∵∠ACD=15°，∴∠AEB=15°；（3）同上可证：△ABE ≌△ADC ，∴∠AEB=∠ACD ，又∵∠ACD=60°，∴∠AEB=60°，∵∠EAC=60°，∴∠AEB=∠EAC ，∴AC ∥BE ．点睛：本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质，证得△ABE ≌△ADC 是解决本题的关键.9．如图1，在ABC 中，90BAC ∠=︒，点D 为AC 边上一点，连接BD ，点E 为BD 上一点，连接CE ，CED ABD ∠=∠，过点A 作AG CE ⊥，垂足为G ，交ED 于点F ．(1)求证：2FAD ABD ∠=∠；(2)如图2，若AC CE =，点D 为AC 的中点，求证：AB AC =；(3)在(2)的条件下，如图3，若3EF =，求线段DF 的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）6【解析】【分析】（1）根据直角三角形的性质可得90ADB ABD ∠=︒-∠，90EFG CED ∠=︒-∠，然后根据三角形的内角和和已知条件即可推出结论；（2）根据直角三角形的性质和已知条件可得AFD ADF ∠=∠，进而可得AF AD =，BFA CDE ∠=∠，然后即可根据AAS 证明ABF ∆≌CED ∆，可得AB CE =，进一步即可证得结论；（3）连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4．先根据已知条件、三角形的内角和定理和三角形的外角性质推出45AED ∠=︒，进而可得AE AH =，然后即可根据SAS 证明△ABE ≌△ACH ，进一步即可推出90CHD ∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，易证△AKD ≌△CHD ，可得DK DH =，然后即可根据等腰三角形的性质推得DF =2EF ，问题即得解决．【详解】（1）证明：如图1，90BAC ∠=︒，90ADB ABD ∴∠=︒-∠，AG CE ⊥，90FGE ∴∠=︒，90EFG AFD CED ∴∠=∠=︒-∠，180FAD AFD ADF CED ABD ∴∠=︒-∠-∠=∠+∠，CED ABD ∠=∠，2FAD ABD ∴∠=∠；（2）证明：如图2，90AFD CED ∠=︒-∠，90ADB ABD ∠=︒-∠，CED ABD ∠=∠，AFD ADF ∴∠=∠，AF AD ∴=，BFA CDE ∠=∠，∵点D 为AC 的中点，∴AD=CD ，AF CD ∴=，ABF ∴∆≌CED ∆（AAS ），AB CE ∴=，CE AC =，AB AC ∴=；（3）解：连接AE ，过点A 作AH AE ⊥交BD 延长线于点H ，连接CH ，如图4． 90BAC ∠=︒，BAE CAH ∴∠=∠，设ABD CED α∠=∠=，则2,902FAD ACG αα∠=∠=︒-，CA CE =，45AEC EAC α∴∠=∠=︒+，45AED ∴∠=︒，45AHE ∴∠=︒，AE AH ∴=，AB AC =，∴△ABE ≌△ACH （SAS ），135AEB AHC ∴∠=∠=︒，90CHD ∴∠=︒，过点A 作AK ED ⊥于K ，90AKD CHD ∴∠=∠=︒，AD CD =，ADK CDH ∠=∠，∴△AKD ≌△CHD （AAS ），DK DH ∴=，∵,,AK DF AF AD AE AH ⊥==，,FK DK EK HK ∴==， 3DH EF ∴==，6DF ∴=．【点睛】本题考查了直角三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质等知识，考查的知识点多、综合性强、难度较大，正确添加辅助线、构造等腰直角三角形和全等三角形的模型、灵活应用上述知识是解题的关键．10．已知ABC 为等边三角形，E 为射线AC 上一点，D 为射线CB 上一点，AD DE =. （1）如图1，当点E 在AC 的延长线上且CD CE =时，AD 是ABC 的中线吗？请说明理由；（2）如图2，当点E 在AC 的延长线上时，写出,,AB BD AE 之间的数量关系，请说明理由；（3）如图3，当点D 在线段CB 的延长线上，点E 在线段AC 上时，请直接写出,,AB BD AE 的数量关系.【答案】（1）AD 是ABC 的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE +=，理由详见解析；（3）AB AE BD =+.【解析】【分析】（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD是△ABC的中线．（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BAD CDEAHD DCEAD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，∴BD=CE，∴AE=AC+CE=AB+BD．（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AFE是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，∴EF∥BC，∴∠EDB=∠DEF，∵AD=DE，∴∠DEA=∠DAE，∴∠DEF=∠DAF，∵DF=DF，AF=EF，在△AFD和△EFD中，AD DEDF DFAF EF=⎧⎪=⎨⎪=⎩,∴△AFD≌△EFD（SSS）∴∠ADF=∠EDF，∠DAF=∠DEF，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB，∠DFB=∠DAF+∠ADF，∵∠EDB=∠DEF，∴∠FDB=∠DFB，∴DB=BF，∵AB=AF+FB，∴AB=BD+AE．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题（难）11．一个四位正整数m各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m为“半期数”；把四位数m的各位上的数字依次轮换后得到新的四位数m′，设m′＝abcd，在m′的所有可能的情况中，当|b+2c﹣a ﹣d|最小时，称此时的m′是m的“伴随数”，并规定F（m′）＝a2+c2﹣2bd；例如：m＝2365，则m′为：3652，6523，5236，因为|6+10﹣3﹣2|＝11，|5+4﹣6﹣3|＝0，|2+6﹣5﹣6|＝3，0最小，所以6523叫做2365的“伴随数”，F（5236）＝52+32﹣2×2×6＝10．（1）最大的四位“半期数”为；“半期数”3247的“伴随数”是．（2）已知四位数P＝abcd是“半期数”，三位数Q＝2ab，且441Q﹣4P＝88991，求F（P'）的最大值．【答案】（1）4192，7324；（2）42.【解析】【分析】（1）根据“半期数”的定义分析最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192，分析3247的所有可能为，2473，4732，7324．根据题意|b+2c﹣a﹣d|最小的数是7324，所以3247的“伴随数”是：7324．（2）根据定义可知a+b=5，c+d=11．再根据441Q﹣4P=88991，可以算出P的值，从而求出F（P'）的最大值．【详解】解；（1）根据题意可得最大的四位“半期数”应该是千位最大，最大只能为4，所以百位是1，十位最大是9，个位是2，所以最大半期数为：4192．∵3247的所有可能为，2473，4732，7324．∵|4+14﹣2﹣3|=13，|7+6﹣4﹣2|=7，|3+4﹣7﹣4|=4， 4最小，所以7324为3247的“伴随数”．故答案为4192；7324．（2）∵P为“半期数”∴a+b=5，c+d=11，∴b=5﹣a，d=11﹣c，∴P=1000a+100（5﹣a）+10c+11﹣c=900a+9c+511．∵Q=200+10a+c，∴441Q﹣4P=88991，∴441（200+10a+c）﹣4（900a+9c+511）=88991化简得：2a+c=7①当a =1时，c =5，此时这个四位数为1456符合题意；②当a =2时，c =3，此时这个四位数为2338不符合题意，舍去；③当a =3时，c =1，不符合题意，舍去；综上所述：这个四位数只能是1456，则P '可能为4561，5614，6145．∵|5+12﹣4﹣1|=12，|6+2﹣5﹣4|=1，|1+8﹣6﹣5|=2，1最小，所以5614为P 的“伴随数”，∴F （5614）=a 2+c 2﹣2bd =25+1﹣2×6×4=﹣22；F （4561）=a 2+c 2﹣2bd =16+36﹣2×5×1=42；F （6145）=a 2+c 2﹣2bd =36+16﹣2×1×5=42；∴F （P '）的最大值为42．【点睛】解决本道题的关键是理解好半期数的定义：一个四位正整数m 各个数位上的数字互不相同且都不为0，四位数m 的前两位数字之和为5，后两位数字之和为11，称这样的四位数m 为“半期数”，然后根据当|b +2c ﹣a ﹣d |最小时，称此时的m '是m 的“伴随数”来确定伴随数．12．任何一个正整数n 都可以进行这样的分解：n ＝p ×q （p 、q 是正整数，且p ≤q ）．如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称p ×q 是n 的最佳分解，并且规定F （n ）＝p q ．例如18＝1×18＝2×9＝3×6，这时就有F （18）＝3162=．请解答下列问题：(1)计算：F （24）；(2)当n 为正整数时，求证：F （n 3+2n 2+n ）＝1n ． 【答案】(1)23；(2) 1n . 【解析】分析：（1）根据最佳分解的意义，把24分解成两数的积，找出差的绝对值最小的两数，求比值即可；（2）根据（1）的求法，确定差的绝对值最小的两数的特点，然后根据要求变形即可. 详解：(1)∵24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，其中4与6的差的绝对值最小，∴F(24)＝46＝23. (2)∵n 3＋2n 2＋n ＝n(n ＋1)2，其中n(n ＋1)与(n ＋1)的差的绝对值最小，且(n ＋1)≤n(n ＋1)，∴F(n 3＋2n 2＋n)＝()n 1n n 1++＝1n. 点睛： 本题主要考查实数的运算，理解最佳分解的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．13．下面是某同学对多项式()()22676114x x x x -+-++进行因式分解的过程．解：设26x x y -=，原式(7)(11)4y y =+++（第一步） 21881y y =++（第二步）2(9)y =+（第三步）()2269x x =-+．（第四步） 请你回答下列问题：（1）该同学第二步到第三步运用了因式分解的_______；A ．提公因式法B ．平方差公式C ．两数和的完全平方公式D ．两数差的完全平方公式（2）该同学因式分解的结果不彻底，请直接写出因式分解的最后结果_______； （3）仿照以上方法因式分解：()()222221x x x x --++．【答案】（1）C ；（2）4(3)-x ；（3）4(1)x -【解析】【分析】（1）根据公式法分解因式可得答案；（2）先将269x x -+分解因式得2(3)x -，由此得到答案；（3）设22x x y -=，得到原式()21y =+，将22x x y -=代回得到()2221x x -+，再将括号内根据完全平方公式分解即可得到答案.【详解】解：（1）由21881y y ++2(9)y =+是运用了因式分解的两数和的完全平方公式，故选：C ；（2）∵269x x -+=2(3)x -，∴()2269x x -+=4(3)-x ，故答案为：4(3)-x ；（3）设22x x y -=， 原式()21y y =++，221y y =++，()21y =+， ()2221x x =-+，4=-．(1)x【点睛】此题考查特殊方法分解因式，完全平方公式分解因式法，分解因式时注意应分解到不能再分解为止.14．观察下列等式：12×231=132×21，13×341=143×31，23×352=253×32，34×473=374×43，62×286=682×26，…以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：①52×=×25；②×396=693×．（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．【答案】解：（1）①275；572.②63；36.（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），证明见解析.【解析】【分析】根据题意可得三位数中间的数等于两数的和，根据这一规律然后进行填空，从而得出答案；根据题意得出一般性的规律，然后根据多项式的计算法则进行说明理由．【详解】（1）①275,572; ②63,36；（2）“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.证明如下：∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，∴左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=（10a+b）（100b+10a+10b+a）=（10a+b）（110b+11a）=11（10a+b）（10b+a），右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）=（100a+10a+10b+b）（10b+a）=（110a+11b）（10b+a）=11（10a+b）（10b+a），∴左边=右边.∴“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）.考点：规律题15．（观察）1×49=49，2×48=96，3×47=141，…，23×27=621，24×26=624，25×25=625，26×24=624，27×23=621，…，47×3=141，48×2=96，49×1=49．（发现）根据你的阅读回答问题：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是．（类比）观察下列两数的积：1×59，2×58，3×57，4×56，…，m×n，…，56×4，57×3，58×2，59×1．猜想mn的最大值为，并用你学过的知识加以证明．【答案】（1）625；（2）a+b=50； 900；证明见解析.【解析】【分析】发现：（1）观察题目给出的等式即可发现两数相乘，积的最大值为625；（2）观察题目给出的等式即可发现a与b的数量关系是a＋b＝50；类比：由于m＋n＝60，将n＝60−m代入mn，得mn＝−m2＋60m＝−（m−30）2＋900，利用二次函数的性质即可得出m＝30时，mn的最大值为900．【详解】解：发现：（1）上述内容中，两数相乘，积的最大值为625．故答案为625；（2）设参与上述运算的第一个因数为a，第二个因数为b，用等式表示a与b的数量关系是a+b=50．故答案为a+b=50；类比：由题意，可得m+n=60，将n=60﹣m代入mn，得mn=﹣m2+60m=﹣（m﹣30）2+900，∴m=30时，mn的最大值为900．故答案为900．【点睛】本题考查了因式分解的应用，配方法，二次函数的性质，是基础知识，需熟练掌握．四、八年级数学分式解答题压轴题（难）16．某市为了做好“全国文明城市”验收工作，计划对市区S 米长的道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队进行施工．（1）已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同．若甲工程队每天比乙工程队多改造30米，求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米．（2）若甲工程队每天可以改造a 米道路，乙工程队每天可以改造b 米道路，（其中a b ）．现在有两种施工改造方案： 方案一：前12S 米的道路由甲工程队改造，后12S 米的道路由乙工程队改造； 方案二：完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造，后一半时间由乙工程队改造． 根据上述描述，请你判断哪种改造方案所用时间少？并说明理由．【答案】（1）甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）方案二所用的时间少【解析】【分析】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”，列出分式方程，即可求解；（2）根据题意，分别表示出两种方案所用的时间，再作差比较大小，即可得到结论．【详解】（1）设乙工程队每天道路的长度为x 米，则甲工程队每天道路的长度为()30x +米， 根据题意，得：36030030x x=+， 解得：150x =，检验，当150x =时，()300x x +≠，∴原分式方程的解为：150x =，30180x +=，答：甲工程队每天道路的长度为180米，乙工程队每天道路的长度为150米；（2）设方案一所用时间为：111()222s s a b s t a b ab+=+=， 方案二所用时间为2t ，则221122t a t b s +=，22s t a b=+， ∴22()22()a b a b S S S ab a b ab a b +--=++， ∵a b ，00a b >>，，∴()20a b ->， ∴202a b S S ab a b+->+，即：12t t >， ∴方案二所用的时间少．【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则，找出等量关系，列分式方程，掌握分式的通分，是解题的关键．17．某一项工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书，施工一天，需付甲工程队工程款1.5万元，乙工程队工程款1.1万元，工程领导小组根据甲乙两队的投标书测算，可有三种施工方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天；（3）若甲、乙两队合作4天，余下的工程由乙队单独也正好如期完成．据上述条件解决下列问题：①规定期限是多少天？写出解答过程；②在不耽误工期的情况下，你觉得那一种施工方案最节省工程款?【答案】规定期限20天；方案（3）最节省【解析】【分析】设这项工程的工期是x 天，根据甲队单独完成这项工程刚好如期完成，乙队单独完成这项工程要比规定日期多用5天，若甲、乙两队合做4天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成以及工作量=工作时间×工作效率可列方程求解．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定期限x 天完成，则有：415x x x +=+， 解得x=20．经检验得出x=20是原方程的解；答：规定期限20天．方案（1）：20×1.5=30（万元）方案（2）：25×1.1=27.5（万元 ），方案（3）：4×1.5＋1.1×20=28（万元）．所以在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．所以方案（3）最节省．点睛：本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是熟练掌握列分式方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出分式方程④检验⑤作答．注意：分式方程的解必须检验．。

人教版八年级上册数学 全册全套试卷综合测试（Word 版 含答案）一、八年级数学三角形填空题（难）1．如图，C 在直线BE 上，∠=︒,∠A m ABC 与ACE ∠的角平分线交于点1A ，则1A =_____︒；若再作11A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点2A ；再作22A BE A CE ∠∠、的平分线，交于点3A ；依此类推，10A ∠= _________︒．【答案】（2m ） （1024m ） 【解析】【分析】 根据“角平分线定义”和“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和”求出规律，直接利用规律解题．【详解】解：∵∠A 1=∠A 1CE-∠A 1BC=12∠ACE-12∠ABC=12（∠ACE-∠ABC ）=12∠A=2m °． 依此类推∠A 2=224m m ︒︒=，∠A 3=328m m ︒︒=，…，∠A 10=1021024m m ︒︒=． 故答案为：()2m ；()1024m ． 【点睛】此题主要考查了三角形的内角和外角之间的关系以及角平分线的定义，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和．2．△ABC 的两边长为4和3，则第三边上的中线长m 的取值范围是_______．【答案】1722m << 【解析】【分析】 作出草图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，利用“边角边”证明△ABD 和△ECD 全等，然后根据全等三角形对应边相等可得CE=AB ，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之和小于第三边求出AE 的取值范围，便不难得出m 的取值范围．【详解】解：如图，延长AD 到E ，使DE=AD ，连接CE ，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，AD DEADB EDCBD CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=3，AC=4，∴4-3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，∴1722m<<．故答案为：1722m<<．【点睛】本题主要考查倍长中线法构造全等三角形和三边关系，解决本题的关键是要熟练掌握倍长中线法构造全等三角形.3．如图，1BA和1CA分别是ABC∆的内角平分线和外角平分线，2BA是1A BD∠的角平分线，2CA是1A CD∠的角平分线，3BA是2A BD∠的角平分线，3CA是2A CD∠的角平分线，若1Aα∠=，则2018A∠=_____________【答案】20172α【解析】【分析】根据角平分线的定义可得∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC ，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，整理即可得解，同理求出∠A 2，可以发现后一个角等于前一个角的12，根据此规律即可得解． 【详解】∵A 1B 是∠ABC 的平分线，A 1C 是∠ACD 的平分线，∴∠A 1BC=12∠ABC ，∠A 1CD=12∠ACD ， 又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A 1CD=∠A 1BC+∠A 1，∴12（∠A+∠ABC ）=12∠ABC+∠A 1， ∴∠A 1=12∠A ， ∵∠A 1=α．同理理可得∠A 2=12∠A 1=12α，∠A 3=12∠A 2=212α， ……， ∴∠A 2018=20172α， 故答案为20172α．【点睛】本题主要考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义是解题的关键．4．图1是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶，形状无一定规则，代表一种自然和谐美．图2是从图1冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5= 度．【答案】360°．【解析】【分析】根据多边形的外角和等于360°解答即可．由多边形的外角和等于360°可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，故答案为360°．【点睛】本题考查的是多边形的内角和外角，掌握多边形的外角和等于360°是解题的关键．5．如图，∠1、∠2、∠3、∠4是五边形ABCDE 的4个外角，若∠A=100°，则∠1+∠2+∠3+∠4= ．【答案】280°【解析】试题分析：先根据邻补角的定义得出与∠EAB 相邻的外角∠5的度数，再根据多边形的外角和定理即可求解．解：如图，∵∠EAB+∠5=180°，∠EAB=100°，∴∠5=80°．∵∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=360﹣80°=280°故答案为280°．考点：多边形内角与外角．6．如图所示，请将12A ∠∠∠、、用“＞”排列__________________.【答案】21A ∠∠∠＞＞【分析】根据三角形的外角的性质判断即可．【详解】解：根据三角形的外角的性质得，∠2＞∠1，∠1＞∠A∴∠2＞∠1＞∠A，故答案为：∠2＞∠1＞∠A．【点睛】本题考查了三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角是解题的关键．二、八年级数学三角形选择题（难）7．如图，小明从A点出发，沿直线前进10米后向左转10°再沿直线前进10米后向左转20°再沿直线前进10米后向左转30°……照这样下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了（）A．80米B．160米C．300米D．640米【答案】A【解析】【分析】利用多边形的外角和得出小明回到出发地A点时左转的次数，即可求出多边形的边数，即可解决问题．【详解】解：由题意可知，小明第一次回到出发地A点时，他一共转了360︒，由题意得10°+20° +30°+40°+50°+60°+70°+80°=360°，所以共转了8次，每次沿直线前进10米，所以一共走了80米．故选：A．【点睛】本题考查根据多边形的外角和解决实际问题，注意多边形的外角和是360︒，要注意第一次转了10°，第二次转了20°，第三次转了30°……，利用好规律解题．8．如图，△ABC的面积为3，BD：DC＝2：1，E是AC的中点，AD与BE相交于点P，那么四边形PDCE的面积为（）A．13B．710C．35D．1320【答案】B【解析】【分析】连接CP．设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．根据BD：DC=2：1，E为AC的中点，得△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，进而得到△ABP的面积是4x．再根据△ABE的面积是△BCE的面积相等，得4x+x=2y+x+y，解得y=43x，再根据△ABC的面积是3即可求得x、y的值，从而求解．【详解】连接CP，设△CPE的面积是x，△CDP的面积是y．∵BD：DC=2：1，E为AC的中点，∴△BDP的面积是2y，△APE的面积是x，∵BD：DC=2：1∴△ABD的面积是4x+2y∴△ABP的面积是4x．∴4x+x=2y+x+y，解得y=43x．又∵△ABC的面积为3∴4x+x=32，x=310．则四边形PDCE的面积为x+y=710．故选B．此题能够根据三角形的面积公式求得三角形的面积之间的关系．等高的两个三角形的面积比等于它们的底的比；等底的两个三角形的面积比等于它们的高的比．9．适合下列条件的△ABC 中, 直角三角形的个数为 ①111345a b c ，，；===②6a =，∠A =45°;③∠A =32°, ∠B =58°； ④72425a b c ===，，；⑤22 4.a b c ===，，⑥::3:4:5a b c =⑦::12:13:15A B C ∠∠∠=⑹5a b c === A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C【解析】 根据勾股定理的逆定理，可分别求出各边的平方，然后计算判断：222111+345≠（）（）（），故①不能构成直角三角形；当a=6，∠A=45°时，②不足以判定该三角形是直角三角形；根据直角三角形的两锐角互余，可由∠A+∠B=90°，可知③是直角三角形；根据72=49，242=576，252=625，可知72+242=252，故④能够成直角三角形；由三角形的三边关系，2+2=4可知⑤不能构成三角形；令a=3x ，b=4x ，c=5x ，可知a 2+b 2=c 2，故⑥能够成直角三角形；根据三角形的内角和可知⑦不等构成直角三角形；由a 2=5，b 2=20，c 2=25，可知a 2+b 2=c 2，故⑧能够成直角三角形.故选：C.点睛：此题主要考查了直角三角形的判定，解题关键是根据角的关系，两锐角互余，和边的关系，即勾股定理的逆定理，可直接求解判断即可，比较简单.10．一个多边形的内角和是1260°，这个多边形的边数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】D【解析】试题解析：设这个多边形的边数为n ，由题意可得：（n-2）×180°=1260°，解得n=9，∴这个多边形的边数为9，故选D ．11．一个多边形的每个内角都等于120°, 则此多边形是( )A ．五边形B ．七边形C ．六边形D ．八边形【解析】【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于360°，再用360°除以外角的度数即可得到边数．【详解】∵多边形的每一个内角都等于120°，∴多边形的每一个外角都等于180°﹣120°=60°，∴边数n=360°÷60°=6．故选C．【点睛】本题考查了多边形的内角与外角的关系，求出每一个外角的度数是解答本题的关键．12．一个三角形的两边长分别为3和4，且第三边长为整数，这样的三角形的周长最大值是( )A．11 B．12 C．13 D．14【答案】C【解析】【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围，再根据第三边是整数，从而求得周长最大时，对应的第三边的长．【详解】解：设第三边为a，根据三角形的三边关系，得：4-3＜a＜4+3，即1＜a＜7，∵a为整数，∴a的最大值为6，则三角形的最大周长为3+4+6=13．故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，根据三边关系得出第三边的取值范围是解决此题的关键．三、八年级数学全等三角形填空题（难）13．如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E ，F，AB=11，AC=5，则BE=______________．【解析】如图，连接CD，BD，已知AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质可得DF=DE，∠F=∠DEB=90°，∠ADF=∠ADE，即可得AE=AF，又因DG是BC的垂直平分线，所以CD=BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD＝BD，DF＝DE，利用HL定理可判定Rt△CDF≌Rt△BDE，由全等三角形的性质可得BE=CF，所以AB=AE+BE=AF+BE=AC+CF+BE=AC+2BE，又因AB=11，AC=5，所以BE=3．点睛：此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，正确作出辅助线，利用数形结合思想是解决问题的关键．14．在ABC中给定下面几组条件：①BC=4cm，AC=5cm，∠ACB=30°；②BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°；③BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=90°；④BC=4cm，AC=5cm，∠ABC=120°．若根据每组条件画图，则ABC能够唯一确定的是___________（填序号）.【答案】①③④【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法进行分析，从而得到答案．【详解】解：①符合全等三角形的判定定理SAS，即能画出唯一三角形，正确；②根据BC=4cm，AC=3cm，∠ABC=30°不能画出唯一三角形，如图所示△ABC和△BCD，错误；③符合全等三角形的判定定理HL，即能画出唯一三角形，正确；④∵∠ABC为钝角，结合②可知，只能画出唯一三角形，正确.故答案为：①③④．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定方法；解答此题的关键是要掌握三角形全等判定的几种方法即可，结合已知逐个验证，要找准对应关系．15．如图，△ABE，△BCD均为等边三角形，点A，B，C在同一条直线上，连接AD，EC，AD与EB相交于点M，BD与EC相交于点N，下列说法正确的有：___________①AD=EC；②BM=BN；③MN∥AC；④EM=MB．【答案】①②③【解析】∵△ABE，△BCD均为等边三角形，∴AB=BE，BC=BD，∠ABE=∠CBD=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中AB BEABD EBCBD BC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD≌△EBC(SAS)，∴AD=EC，故①正确；∴∠DAB=∠BEC，又由上可知∠ABE=∠CBD=60°，∴∠EBD=60°，在△ABM和△EBN中MAB NEBAB BEABE EBN∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABM≌△EBN(ASA)，∴BM=BN，故②正确；∴△BMN为等边三角形，∴∠NMB=∠ABM=60°，∴MN∥AC，故③正确；若EM=MB，则AM平分∠EAB，则∠DAB=30°，而由条件无法得出这一条件，故④不正确；综上可知正确的有①②③，故答案为①②③.点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、AAS、ASA和HL）和性质（即全等三角形的对应边相等，对应角相等）.16．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，M是AB边上的中点，点D、E分别是AC、BC边上的动点，连接DM 、ME、CM、DE, DE与CM相交于点F且∠DME=90°.则下列5个结论: (1)图中共有两对全等三角形；(2)△DEM是等腰三角形; (3)∠CDM=∠CFE；(4)AD2+BE2=DE2；(5)四边形CDME的面积发生改变.其中正确的结论有( )个.A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理，得出:△AMC≌△BMC、△AMD≌△CME、△CMD≌△BME,根据全等三角形的性质得出DM=ME得出△DEM是等腰三角形，及∠CDM=∠CFE，再逐个判断222AD+BE=DE CEM CDM ADM CDM ACM ABCCDME1S=S+S=S+S=S=S2△△△△△△四边形即可得出结论.【详解】解：如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，M为AB中点，AB=BC∴AM=CM=BM，∠A=∠B=∠ACM=∠BCM=45°，∠AMC=∠BMC=90°∵∠DME=90°.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=90°∴∠1=∠3，∠2=∠4在△AMC和△BMC中AM=BMMC MCAC BC⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△AMC≌△BMC在△AMD和△CME中A=MCE AM=CM 1=3∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△AMD ≌△CME在△CDM 和△BEMDCM=B CM=BM2=4∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩∴△CMD ≌△CME共有3对全等三角形，故（1）错误∵△AMD ≌△BME∴DM=ME∴△DEM 是等腰三角形，（2）正确∵∠DME=90°.∴∠EDM=∠DEM=45°，∴∠CDM=∠1+∠A=∠1+45°，∴∠EDM=∠3+∠DEM=∠3+45°，∴∠CDM=∠CFE,故（3）正确在Rt △CED 中，222CE CD DE +=∵CE=AD ，BE=CD∴222AD +BE =DE 故（4）正确（5）∵△ADM ≌△CEM∴ADM CEM S =S △△∴CEM CDM ADM CDM ACM ABC CDME 1S =S +S =S +S =S =S 2△△△△△△四边形 不变，故（5）错误 故正确的有3个故选：B【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，通过推理论证每个命题的正误是解决此类题目的关键.17．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B ＝∠C ＝90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ，∠CDE ＝55°．如图，则∠EAB 的度数为_________【答案】35°【解析】【分析】过点E作EF⊥AD于F，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上可得AE是∠BAD的平分线，然后求出∠AEB，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】过点E作EF⊥AD于F．∵DE平分∠ADC，∴CE=EF．∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF，∴AE是∠BAD的平分线，∴∠EAB=∠FAE．∵∠B=∠C=90°，∴∠CDA+∠DAB=180°，∴2∠CDE+2∠EAB=180°，∴∠CDE+∠EAB=90°，∴∠EAB=90°－∠CDE=90°－55°=35°．故答案为：35°．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，角平分线的判定，熟记性质并作辅助线是解题的关键．18．如图，已知AC平分∠DAB，CE⊥AB于点E，AB=AD+2BE，则下列结论：①AB+AD=2AE；②∠DAB+∠DCB=180°；③CD=CB；④S ACE﹣S BCE=S ACD．其中正确的是______．【答案】①②③④．【解析】【分析】【详解】①在AE 取点F ，使EF ＝BE ，连接CF ．∵AB ＝AD ＋2BE ＝AF ＋EF ＋BE ，EF ＝BE ，∴AB ＝AD ＋2BE ＝AF ＋2BE ，∴AD ＝AF ，∴AB ＋AD ＝AF ＋EF ＋BE ＋AD ＝2AF ＋2EF ＝2(AF ＋EF )＝2AE ，∴AB +AD= 2AE ，故①正确；②在AB 上取点F ，使EF ＝BE ，连接CF ．在△ACD 与△ACF 中，∵AD ＝AF ，∠DAC ＝∠FAC ，AC ＝AC ，∴△ACD ≌△ACF ，∴∠ADC ＝∠AFC ．∵CE 垂直平分BF ，∴CF ＝CB ，∴∠CFB ＝∠B ．又∵∠AFC ＋∠CFB ＝180°，∴∠ADC ＋∠B ＝180°，∴∠DAB +∠DCB =180°故②正确；③由②知，△ACD ≌△ACF ，∴CD ＝CF ，又∵CF ＝CB ，∴CD ＝CB ，故③正确；④易证△CEF ≌△CEB ，∴S △ACE ﹣S △BCE ＝S △ACE ﹣S △FCE ＝S △ACF ，又∵△ACD ≌△ACF ，∴S △ACF ＝S △ADC ，∴S △ACE ﹣2S △BCE ＝S △ADC ，故④正确．综上所述，正确的结论是①②③④，故答案为①②③④．四、八年级数学全等三角形选择题（难）19．如图（1），已知AB AC =，D 为BAC ∠的角平分线上一点，连接BD ，CD ；如图（2），已知AB AC =，D ，E 为BAC ∠的角平分线上两点，连接BD ，CD ，BE ，CE ；如图（3），已知AB AC =，D ，E ，F 为BAC ∠的角平分线上三点，连接BD ，CD ，BE ，CE ，BF ，CF ；……，依此规律，第6个图形中有全等三角形的对数是（ ）A ．21B ．11C ．6D ．42【答案】A【解析】【分析】 根据条件可得图1中△ABD ≌△ACD 有1对三角形全等；图2中可证出△ABD ≌△ACD ，△BDE ≌△CDE ，△ABE ≌△ACE 有3对三角形全等；图3中有6对三角形全等，根据数据可分析出第6个图形中全等三角形的对数．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠BAD=∠CAD ．在△ABD 与△ACD 中，AB AC BAD CAD AD AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABD ≌△ACD ．∴图1中有1对三角形全等；同理图2中，△ABE ≌△ACE ，∴BE=EC ，∵△ABD ≌△ACD ．∴BD=CD ，又DE=DE ，∴△BDE ≌△CDE ，∴图2中有3对三角形全等，3=1+2；同理：图3中有6对三角形全等，6=1+2+3；∴第6个图形中有全等三角形的对数是1+2+3+4+5+6=21.故选：A ．【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，解题的关键是根据条件证出图形中有几对三角形全等，然后寻找规律．20．如图，已知 AD 为△ABC 的高线，AD=BC ，以 AB 为底边作等腰 Rt △ABE ，连接 ED ， EC ，延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①△ADE ≌△BCE ；②CE ⊥DE ；③BD=AF ；④S △BDE =S △ACE ，其中正确的有（ ）A ．①③B ．①②④C ．①②③④D ．②③④【答案】C【解析】【分析】 ①易证∠CBE=∠DAE ，即可求证：△ADE ≌△BCE ；②根据①结论可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题；③证明△AEF ≌△BED 即可；④易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；故①正确；②∵△ADE ≌△BCE ，∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AD=BC ，BD=AF ，∴CD=DF ，∵AD ⊥BC ，∴△FDC 是等腰直角三角形，∵DE ⊥CE ，∴EF=CE ，∴S △AEF =S △ACE ，∵△AEF ≌△BED ，∴S △AEF =S △BED ，∴S △BDE =S △ACE ．故④正确；综上①②③④都正确，故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE ≌△CDE 是解题的关键．21．如图，与都是等边三角形，，下列结论中，正确的个数是( )①；②；③；④若，且，则．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】【分析】 利用全等三角形的判定和性质一一判断即可.【详解】解：∵与都是等边三角形∴AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠EAC=60°∴∠DAB+∠BAC=∠EAC +∠BAC即∠DAC=∠EAB∴∴，①正确；∵∴∠ADO=∠ABO∴∠BOD=∠DAB=60°，②正确∵∠BDA=∠CEA=60°，∠ADC≠∠AEB∴∠BDA-∠ADC≠∠CEA-∠AEB∴,③错误∵∴∠DAC+∠BCA=180°∵∠DAB=60°，∴∠BCA=180°-∠DAB-∠BAC=30°∵∠ACE=60°∴∠BCE=∠ACE+∠BCA=60°+30°=90°∴④正确故由①②④三个正确，故选：C【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、角平分线的判定定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．22．如图，BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，AD=3，BC=5，则△BCD的面积为（）A．7.5 B．8 C．10D．15【答案】A【解析】作DE⊥BC于E，根据角平分线的性质，由BD是∠ABC的角平分线，AD⊥AB，DE⊥BC，求出DE=DA=3，根据三角形面积公式计算S△BCD=12×BC×DE=7.5，故选：A．23．如图，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于点E ，BD AE ⊥于点D ，DF AC ⊥交AC 的延长线于点F ，连接CD ，给出四个结论:①45ADC ∠=︒;②12BD AE =;③AC CE AB +=;④2AB BC FC -=;其中正确的结论有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【解析】试题解析：如图，过E 作EQ ⊥AB 于Q ，∵∠ACB=90°，AE 平分∠CAB ，∴CE=EQ ，∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ ⊥AB ，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ ，∴∠QEB=45°=∠CBA ，∴EQ=BQ ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE ，∴③正确；作∠ACN=∠BCD ，交AD 于N ，∵∠CAD=12∠CAB=22.5°=∠BAD ， ∴∠ABD=90°-22.5°=67.5°， ∴∠DBC=67.5°-45°=22.5°=∠CAD ， ∴∠DBC=∠CAD ，在△ACN 和△BCD 中， DBC CAD AC BCACN DCB ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝， ∴△ACN ≌△BCD ，∴CN=CD ，AN=BD ，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°-22.5°=22.5°=∠CAN ， ∴AN=CN ，∴∠NCE=∠AEC=67.5°， ∴CN=NE ，∴CD=AN=EN=12AE ， ∵AN=BD ，∴BD=12AE ， ∴①正确，②正确；过D 作DH ⊥AB 于H ，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°， ∠DBA=90°-∠DAB=67.5°， ∴∠FCD=∠DBA ，∵AE 平分∠CAB ，DF ⊥AC ，DH ⊥AB ， ∴DF=DH ，在△DCF 和△DBH 中90F DHB FCD DBA DF DH ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝＝， ∴△DCF ≌△DBH ，∴BH=CF ，由勾股定理得：AF=AH ， ∴2,2AC AB AC AH BH AC AM CM AC AF CF AF AF AF AM AF AF+++++++====， ∴AC+AB=2AF ，AC+AB=2AC+2CF ，AB-AC=2CF ，∵AC=CB ，∴AB-CB=2CF ， ∴④正确．故选D24．已知OD 平分∠MON，点A 、B 、C 分别在OM 、OD 、ON 上(点A 、B 、C 都不与点O 重合)，且AB=BC, 则∠OAB 与∠BCO 的数量关系为（ ）A ．∠OAB+∠BCO=180°B ．∠OAB=∠BCOC ．∠OAB+∠BCO=180°或∠OAB=∠BCOD ．无法确定【答案】C【解析】根据题意画图，可知当C 处在C 1的位置时，两三角形全等，可知∠OAB=∠BCO ；当点C 处在C 2的位置时，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，∠OAB+∠BCO=180°.故选C.五、八年级数学轴对称三角形填空题（难）25．如图，在ABC 中，点A 的坐标为()0,1，点B 的坐标为()0,4，点C 的坐标为()4,3，点D 在第二象限，且ABD 与ABC 全等，点D 的坐标是______．【答案】(－4，2)或(－4，3)【解析】【分析】【详解】把点C向下平移1个单位得到点D（4，2），这时△A BD与△ABC全等，分别作点C，D关于y轴的对称点（-4，3）和（-4，2），所得到的△ABD与△ABC全等.故答案为(－4，2)或(－4，3).26．在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在x轴上找一点P，使得△AOP是等腰三角形，则这样的点P共有_____个．【答案】4【解析】【分析】以O为圆心，OA为半径画弧交x轴于点P1、P3，以A为圆心，AO为半径画弧交x轴于点P4，作OA的垂直平分线交x轴于P2．【详解】解：如图，使△AOP是等腰三角形的点P有4个．故答案为4．【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中寻找等腰三角形，掌握两圆一线找等腰三角形是解题的关键．27．如图，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F，给出下列四个结论：①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③EF=AB；④12ABCAEPFS S∆=四边形，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)，上述结论中始终正确的有________(把你认为正确的结论的序号都填上).【答案】①②④【解析】试题分析：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，∴∠APE=∠CPF，∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中点，∴AP=CP，∴∠PAE=∠PCF，在△APE与△CPF中，{?PAE PCFAP CPEPA FPC∠=∠=∠=∠，∴△APE≌△CPF（ASA），同理可证△APF≌△BPE，∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S四边形AEPF=12S△ABC，①②④正确；而AP=12BC，当EF不是△ABC的中位线时，则EF不等于BC的一半，EF=AP，∴故③不成立．故始终正确的是①②④．故选D．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰直角三角形．28．如图，在直角坐标系中，点()8,8B-，点()2,0C-，若动点P从坐标原点出发，沿y轴正方向匀速运动，运动速度为1/cm s，设点P运动时间为t秒，当BCP∆是以BC为腰的等腰三角形时，直接写出t的所有值__________________．【答案】2秒或46秒或14秒【解析】【分析】分两种情况：PC为腰或BP为腰.分别作出符合条件的图形，计算出OP的长度，即可求出t的值．【详解】解：如图所示，过点B作BD⊥x轴于点D，作BE⊥y轴于点E，分别以点B和点C为圆心，以BC长为半径画弧交y轴正半轴于点F，点H和点G∵点B（-8，8），点C（-2，0），∴DC=6cm，BD=8cm，由勾股定理得：BC=10cm∴在直角三角形COG中，OC=2cm，CG=BC=10cm，∴22-=，10246(cm)当点P运动到点F或点H时，BE=8cm，BH=BF=10cm，∴EF=EH=6cm∴OP=OF=8-6=2（cm）或OP=OH=8+6=14（cm），故答案为：2秒，6秒或14秒．【点睛】本题综合考查了勾股定理和等腰三角形在平面直角坐标系中的应用，通过作图找出要求的点的位置，利用勾股定理来求解是本题的关键．29．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E在BC的延长线上，G是AC上一点，且CG＝CD，F是GD上一点，且DF＝DE．若∠A＝100°，则∠E的大小为_____度．【答案】10【解析】【分析】由DF=DE，CG=CD可得∠E=∠DFE，∠CDG=∠CGD，再由三角形的外角的意义可得∠GDC=∠E+∠DFE=2∠E，∠ACB=∠CDG+∠CGD=2∠CD G，进而可得∠ACB=4∠E，最后代入数据即可解答.【详解】解：∵DF＝DE，CG＝CD，∴∠E＝∠DFE，∠CDG＝∠CGD，∵GDC＝∠E+∠DFE，∠ACB＝∠CDG+∠CGD，∴GDC＝2∠E，∠ACB＝2∠CDG，∴∠ACB＝4∠E，∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ACB＝40°，∴∠E＝40°÷4＝10°．故答案为10．【点睛】本题考查等腰三角形的性质以及三角形外角的定义，解题的关键是灵活运用等腰三角形的性质和三角形的外角的定义确定各角之间的关系.30．在下列结论中：①有三个角是60︒的三角形是等边三角形；②有一个外角是120︒的等腰三角形是等边三角形；③有一个角是60︒，且是轴对称的三角形是等边三角形；④有一腰上的高也是这腰上的中线的等腰三角形是等边三角形．其中正确的是__________.【答案】①②③④【解析】【分析】依据等边三角形的定义，含有一个600角的等腰三角形是等边三角形判断即可.【详解】有三个角是600的三角形是等边三角形，故①正确；外角是1200时，邻补角为600，即有一个内角是600的等腰三角形是等边三角形，故②正确；轴对称的三角形是等腰三角形，且含有一个600角，因此是等边三角形，故③正确；一腰上的高也是中线，故底边等于腰长，所以此三角形是等边三角形，故④正确.故此题正确的是①②③④.【点睛】此题考查等边三角形的判定方法，熟记方法才能熟练运用.六、八年级数学轴对称三角形选择题（难）31．等边△ABC ，在平面内找一点P ，使△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，具备这样条件的P 点有多少个？（ ）A ．1个B ．4个C ．7个D ．10个【答案】D【解析】试题分析：根据点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；由此可得分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径，交垂直平分线的交点就是满足要求的．解：由点P 在等边△ABC 内，而且△PBC 、△PAB 、△PAC 均为等腰三角形，可知P 点为等边△ABC 的垂心；因为△ABC 是等边三角形，所以分别以三角形各顶点为圆心，边长为半径画弧，交垂直平分线的交点就是满足要求的，每条垂直平分线上得3个交点，再加三角形的垂心，一共10个．故选D ．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和等边三角形的性质，有一定的拔高难度，属于中档题．32．如图，30MON ∠=︒．点1A ，2A ，3A ，⋯，在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ，⋯，在射线OM 上，112A B A ∆，223A B A ∆，334A B A ∆，⋯均为等边三角形，若11OA =，则201920192020A B A ∆的边长为（ ）A ．20172B ．20182C ．20192D ．20202【答案】B【解析】【分析】 根据等边三角形的性质和30MON ∠=︒，可求得1130∠=︒OB A ，进而证得11OA B ∆是等腰三角形，可求得2OA 的长，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA ，同理得规律333、、=⋅⋅⋅=n n n A B OA A B OA ，即可求得结果． 【详解】解：∵30MON ∠=︒，112A B A ∆是等边三角形，∴11260∠=︒B A A ，1112A B A A =∴1111230∠=∠-∠=︒OB A B A A MON ，∴11∠=∠OB A MON ，则11OA B ∆是等腰三角形，∴111=A B OA ，∵11OA =，∴11121==A B A A OA =1，21122=+=OA OA A A ，同理可得22OA B ∆是等腰三角形，可得222=A B OA =2，同理得23342==A B 、34482==A B ，根据以上规律可得：2018201920192=A B ，即201920192020A B A ∆的边长为20182，故选：B ．【点睛】本题属于探索规律题，主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，掌握等边三角形的三个内角都是60°、等角对等边和探索规律并归纳公式是解题的关键．33．如图，已知正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1）．规定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为（ ）A ．（-2012，2）B ．（-2012，-2）C ．（-2013，-2）D ．（-2013，2）【答案】A【解析】 试题分析：首先由正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M 的对应点的坐标，即可得规律：第n 次变换后的点M 的对应点的为：当n 为奇数时为（2-n ，-2），当n 为偶数时为（2-n ，2），继而求得把正方形ABCD 连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标．试题解析：∵正方形ABCD ，顶点A （1，3）、B （1，1）、C （3，1）．∴对角线交点M 的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2-1，-2），即（1，-2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2-2，2），即（0，2），第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2-3，-2），即（-1，-2），第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为（2-n，-2），当n为偶数时为（2-n，2），∴连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（-2012，2）．故选A．考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．正方形的性质；3．坐标与图形变化-平移．34．如图，已知△ABC与△CDE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD 交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠EOC．其中正确结论的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】【分析】根据题意，结合图形，对选项一一求证，即可得出正确选项．【详解】（1）△ABC和△DCE均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACE=∠BCD=120°．在△BCD和△ACE中，∵AC BCBCD ACECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD≌△ACE，∴AE=BD，故结论①正确；（2）∵△BCD≌△ECA，∴∠GAC=∠FBC．又∵∠ACG=∠BCF=60°，AC=BC，∴△ACG≌△BCF，∴AG=BF，故结论②正确；（3）∵△ACG≌△BCF，∴CG=CF．∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=60°，∴△FCG为等边三角形，∴∠FGC=60°，∴∠FGC=∠DCE，∴FG∥BE，故结论③正确；（4）过C作CN⊥AE于N，CZ⊥BD于Z，则∠CNE=∠CZD=90°．∵△ACE≌△BCD，∴∠CDZ=∠CEN．在△CDZ和△CEN中，CZD CNECDZ CENCD CE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CDZ≌△CEN，∴CZ=CN．∵CN⊥AE，CZ⊥BD，∴∠BOC=∠EOC，故结论④正确．综上所述：四个结论均正确．故选D．【点睛】本题综合考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理等重要几何知识点，有一定难度，需要学生将相关知识点融会贯通，综合运用．35．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E，F点．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，若△CDM周长的最小值为8，则△ABC的面积为（）A．12 B．16 C．24 D．32【答案】A【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再根据三角形的周长求出AD的长，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∵△CDM周长的最小值为8，∴AD=8-12BC=8-2=6∴S△ABC=12BC•AD=12×4×6=12，故选A．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．36．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是长方形，点A、C的坐标分别为A（10，0 ），C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为（）A．（3，4），（2，4）B．（3，4），（2，4），（8，4）C．（2，4），（8，4）D．（3，4），（2，4），（8，4），（2.5，4）【答案】B【解析】试题解析：有两种情况：①以O为圆心，以5为半径画弧交BC于P点，此时OP=OD=5，在Rt△OPC中，OC=4，OP=5，由勾股定理得PC=3，则P的坐标是（3，4）；②以D为圆心，以5为半径画弧交BC于P′和P″点，此时DP′=DP″=OD=5，过P′作P′N⊥OA于N，在Rt△OP′N中，设CP′=x，则DN=5-x，P′N=4，OP=5，由勾股定理得：42+（5-x）2=52，x=2，则P′的坐标是（2，4）；过P″作P″M⊥OA于M，设BP″=a，则DM=5-a，P″M=4，DP″=5，在Rt△DP″M中，由勾股定理得：（5-a）2+42=52，解得：a=2，∴BP″=2，CP″=10-2=8，即P″的坐标是（8，4）；。