高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共9小题，共45.0分）1. 已知集合A ={0,1，2}，B ={x −y|x ∈A,y ∈A}，则集合B 中元素的个数为( )A. 3B. 5C. 7D. 92. 若“0<x <1是“(x −a)[x −(a +2)]≤0”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A. [−1,0]B. (−1,0)C. (−∞,0]∪[1,+∞)D. (−∞,−1]∪[0,+∞)3. 设a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 是非零向量，已知命题p ：若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，b ⃗ ⋅c ⃗ =0，则a⃗ ⋅c ⃗ =0；命题q ：若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ ，则下列命题中真命题是( ) A. p ∨q B. p ∧q C. (￢p)∧(￢q) D. p ∨(￢q) 4. 已知函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)，且f(−1)=f(3)，则( )A. f(−3)<c <f(52)B. f(52)<c <f(−3)C. f(52)<f(−3)<cD. c <f(52)<f(−3)5. 设f(log 2x)=2x (x >0)，则f(2)的值是( )A. 128B. 16C. 8D. 2566. 已知函数f(x)={log 2(x+1),x >32x−3+1,x ≤3，满足f(a)=3，则f(a −5)的值为( )A. log 23B. 1716C. 32D. 17. 已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)=2xf′(e)+lnx ，则f′(e)=( )A. 1B. −1C. −e −1D. −e8. 在平面直角坐标系中，O 为原点，A(−1,0)，B(0,√3)，C(3,0)，动点D 满足|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是( ) A. [4,6]B. [√19−1,√19+1]C. [2√3,2√7]D. [√7−1,√7+1]9. 已知函数f(x)={1x+1−3, x ∈(−1,0]x, x ∈(0,1]，且g(x)=f(x)−mx −m 在(−1,1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−94,−2]∪(0，12] B. (−114,−2]∪(0，12]C. (−94,−2]∪(0，23]D. (−114,−2]∪(0，23]二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）10. 若x ≥0，y ≥0，且x +2y =1，则2x +3y 2的最小值是______ ． 11. 函数y =3x−1x+2的图象关于______ 对称．三、解答题（本大题共5小题，共58.0分）12. 定义在[−1,1]上的奇函数f(x)有最小正周期2，当0<x <1时，f(x)=2x 4x +1．(1)讨论f(x)在(0,1)上的单调性； (2)求f(x)在[−1,1]的表达式；(3)函数y =f(x)−a 有零点，求实数a 的取值范围．13.已知函数f(x)=log122−axx−1(a是常数且a<2)(1)求f(x)的定义域；(2)若f(x)在区间(2,4)上是增函数，求a的取值范围．14.△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，BD=2DC(Ⅰ)求sin∠Bsin∠C．(Ⅱ)若∠BAC=60∘，求∠B．15.已知函数f(x)=lnx−(x−1)22．(Ⅰ)求函数f(x)的单调递增区间；(Ⅱ)证明：当x>1时，f(x)<x−1．16.设函数f(x)=lnx+a(1−x)．(Ⅰ)讨论：f(x)的单调性；(Ⅱ)当f(x)有最大值，且最大值大于2a−2时，求a的取值范围．答案和解析【答案】 1. B 2. A 3. A4. D5. B6. C7. C8. D 9. A10. 0.75 11. (−2,3)12. 解：(1)当0<x <1时，f(x)=2x4x +1=12x +12x ，∵y =2x +12x 在(1,2)上单调递增， ∴f(x)在(0,1)上的单调递减；(2)当−1<x <0时,f(x)=−f(−x)=−2x4x +1，f(0)=0，f(−1)=−f(1)，f(−1)=f(−1+2)=f(1)， ∴f(−1)=f(1)=0， ∴f(x)={2x4x +1,0<x <10,x =0或x =±1−2x 4x +1,−1<x <0(3)f(x)在(0,1)上递减,取值范围为(25,12),f(x)在(−1,0)上递减，取值范围为(−12,−25)， f(0)=f(1)=f(−1)=0，故a 的范围为(25,12)∪{0}∪(−12,−25)． 13. 解：(1)根据f(x)=log 122−ax x−1(a <2)，可得当a =0时，f(x)=log 122x−1，x −1>0，求得定义域为(1,+∞)； 当a <0时，f(x)=log 122−ax x−1(a <2)，2−ax x−1>0，求得定义域为(−∞,2a)∪(1,+∞)；当2>a >0时，f(x)=log 122−ax x−1(a <2)，2−ax x−1>0，求得定义域为(1,2a).(2)令t =2−axx−1，y =log 12t ，函数f(x)=log 122−ax x−1在(2,4)上是增函数，则函数t =2−ax x−1在(2,4)上是减函数，∴t′=a−2(x−1)2<0，故a <2． 当x =4时，t =2−4a 4−1≥0，求得a ≤12．综上可得，a ≤12．14. 解：(Ⅰ)如图，由正弦定理得：ADsin∠B=BDsin∠BAD ,ADsin∠C =DCsin∠CAD ， ∵AD 平分∠BAC ，BD =2DC ， ∴sin∠Bsin∠C =DCBD =12；(Ⅱ)∵∠C =180∘−(∠BAC +∠B)，∠BAC =60∘，∴sin∠C =sin(∠BAC +∠B)=√32cos∠B +12sin∠B ，由(Ⅰ)知2sin∠B =sin∠C ， ∴tan∠B =√33，即∠B =30∘．15. (I)解：f′(x)=1x −x +1=−x2+x+1x，x ∈(0,+∞)．由f′(x)>0得{x >0−x 2+x +1>0解得0<x <1+√52．故f(x)的单调递增区间是(0,1+√52)．(II)证明：令F(x)=f(x)−(x −1)，x ∈(0,+∞)． 则有当x ∈(1,+∞)时，F′(x)<0，所以F(x)在[1,+∞)上单调递减， 故当x >1时，F(x)<F(1)=0， 即当x >1时，f(x)<x −1．16. 解：(Ⅰ)f(x)=lnx +a(1−x)的定义域为(0,+∞)， ∴f′(x)=1x −a =1−ax x，若a ≤0，则f′(x)>0，∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，若a >0，则当x ∈(0,1a )时，f′(x)>0，当x ∈(1a ,+∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0,1a )上单调递增，在(1a ,+∞)上单调递减，(Ⅱ)由(Ⅰ)知，当a ≤0时，f(x)在(0,+∞)上无最大值；当a >0时，f(x)在x =1a 取得最大值，最大值为f(1a )=−lna +a −1， ∵f(1a )>2a −2，∴lna +a −1<0， 令g(a)=lna +a −1，∵g(a)在(0,+∞)单调递增，g(1)=0， ∴当0<a <1时，g(a)<0， 当a >1时，g(a)>0， ∴a 的取值范围为(0,1)． 【解析】1. 解：∵A ={0,1，2}，B ={x −y|x ∈A,y ∈A}，①当x =0，y =0；x =1，y =1；x =2，y =2时，x −y =0，故0∈B ②当x =0，y =1；x =1，y =2时，x −y =−1，故−1∈B ③当=1，y =0；x =2，y =1时，x −y =1，故1∈B ④当x =0，y =2时，x −y =−2，故−2∈B ⑤当x =2，y =0时，x −y =2，故2∈B 综上，集合B 中元素的个数为5 故选B本题的关键是利用x ∈A ，y ∈A 做运算x −y 重新构造集合B 的元素，数出集合B 的元算即可．本题主要考查集合的元素，属于基础题．2. 解：由(x −a)[x −(a +2)]≤0得a ≤x ≤a +2，要使“0<x <1”是“(x −a)[x −(a +2)]≤0”的充分不必要条件， 则{a ≤0a+2≥1，∴−1≤a ≤0， 故选：A ．先求出不等式的等价条件，根据充分不必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式之间的关系是解决本题的关键．3. 解：若a ⃗ ⋅b ⃗ =0，b ⃗ ⋅c ⃗ =0，则a ⃗ ⋅b ⃗ =b ⃗ ⋅c ⃗ ，即(a ⃗ −c ⃗ )⋅b ⃗ =0，则a⃗ ⋅c ⃗ =0不一定成立，故命题p 为假命题，若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a⃗ //c ⃗ 平行，故命题q 为真命题， 则p ∨q ，为真命题，p ∧q ，(￢p)∧(￢q)，p ∨(￢q)都为假命题， 故选：A ．根据向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假，利用复合命题之间的关系即可得到结论．本题主要考查复合命题之间的判断，利用向量的有关概念和性质分别判断p ，q 的真假是解决本题的关键．4. 解：∵函数f(x)=ax 2+bx +c(a >0)，且f(−1)=f(3)， 故函数的图象开口朝上，且以直线x =1为对称轴， 故函数f(x)=ax 2+bx +c 在(−∞,1]上为减函数， ∵f(52)=f(−12)，f(0)=c ， 故c <f(52)<f(−3)，故选：D由已知可得函数的图象开口朝上，且以直线x =1为对称轴，进而可得函数f(x)=ax 2+bx +c 在(−∞,1]上为减函数，结合f(52)=f(−12)，f(0)=c ，可得答案．本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，其中根据已知分析出函数的单调性和对称性是解答的关键．5. 解：由题意，令log 2x =2，解得x =4， 则f(log 2x)=2x =24=16， 故选B ．根据题意令log 2x =2，求出对应的函数的自变量的值，再代入函数解析式求解． 本题考查了对数的运算和求函数的值，对于复合函数需要根据解析式求出原函数对应的自变量的值，再代入解析式求函数的值．6. 解：若a >3，则f(a)=log 2(x +1)=3，解得a =7，则a −5=2≤3，f(a −5)=f(2)=22−3+1=32若a ≤3，f(a)=2a−3+1=3，解得a =4(舍去) 综上f(a −5)=32故选C根据已知中分段函数的解析式，根据f(a)=3，求出满足条件的a 值，进而判断a −5与3的大小关系后，代入分段函数的解析式可得答案．本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，指数函数的图象和性质，分段函数，函数值的求法，其中确定出满足条件的a 值是解答的关键．7. 解：由关系式f(x)=2xf′(e)+lnx ，两边求导得，令x =e 得，所以；故选：C ．首先对等式两边求导得到关于的等式解之．本题考查了求导公式的运用；关键是对已知等式两边求导，得到关于的等式，对x 取e 求值．8. 解：∵动点D 满足|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，C(3,0)， ∴可设D(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π))． 又A(−1,0)，B(0,√3)，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cosθ,√3+sinθ)． ∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(2+cosθ)2+(√3+sinθ)2=√8+4cosθ+2√3sinθ=√8+2√7sin(θ+φ)，(其中sinφ=2√7，cosφ=√3√7) ∵−1≤sin(θ+φ)≤1，∴(√7−1)2=8−2√7≤8+2√7sin(θ+φ)≤8+2√7=(√7+1)2，∴|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[√7−1,√7+1]． 或|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,√3)，将其起点平移到D 点，由其与CD 同向反向时分别取最大值、最小值，即|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是[√7−1,√7+1]． 故选：D ．由于动点D 满足|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，C(3,0)，可设D(3+cosθ,sinθ)(θ∈[0,2π)).再利用向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性即可得出．本题考查了向量的坐标运算、数量积性质、模的计算公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题． 9. 解：由g(x)=f(x)−mx −m =0，即f(x)=m(x +1)，分别作出函数f(x)和y =ℎ(x)=m(x +1)的图象如图：由图象可知f(1)=1，ℎ(x)表示过定点A(−1,0)的直线，当ℎ(x)过(1,1)时，m =12此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0<m ≤12，当ℎ(x)过(0,−2)时，ℎ(0)=−2，解得m =−2，此时两个函数有两个交点，当ℎ(x)与f(x)相切时，两个函数只有一个交点， 此时1x+1−3=m(x +1)， 即m(x +1)2+3(x +1)−1=0， 当m =0时，x =−23，只有1解，当m ≠0，由△=9+4m =0得m =−94，此时直线和f(x)相切， ∴要使函数有两个零点， 则−94<m ≤−2或0<m ≤12，故选：A由g(x)=f(x)−mx −m =0，即f(x)=m(x +1)，作出两个函数的图象，利用数形结合即可得到结论．本题主要考查函数零点的应用，利用数形结合是解决此类问题的基本方法． 10. 解：由题意x ≥0，y ≥0，且x +2y =1 ∴x =1−2y ≥0，得y ≤12，即0≤y ≤12 ∴2x +3y 2=3y 2−4y +2=3(y −23)2+23，又0≤y ≤12，∴当y =12时，函数取到最小值为0.75故答案为：0.75．由题设条件x ≥0，y ≥0，且x +2y =1，可得x =1−2y ≥0，从而消去x ，将2x +3y 2表示成y 的函数，由函数的性质求出最小值得出答案 本题考查求函数的值域，解答本题关键是将求最值的问题转化为求二次函数在闭区间上的最值，本题易因为转化后忘记限制自变量的取值范围而导致错误，转化一定要注意等价，本题考查了转化的思想与配方的方法，有一定的综合性11. 解：y =3x−1x+2=3−7x+2，函数y =3x−1x+2的图象是函数y =−7x 的图象向左平移两个单位，然后再向上平移3个单位得到， 故y =3x−1x+2的图象关于点(−2,3)对称．故答案为：(−2,3)．分离常数化简函数的解析式，利用函数的图象的变换，求出对称中心即可． 本题考查函数的图象的变换，对称中心的求法，考查计算能力．12. (1)当0<x <1时，f(x)=2x4x +1=12x +12x，利用y =2x +12x 在(1,2)上单调递增，即可得出f(x)在(0,1)上的单调性；(2)利用奇函数的性质，求f(x)在[−1,1]的表达式；(3)函数y =f(x)−a 有零点，根据函数的值域，求实数a 的取值范围． 本题考查奇偶性及函数单调性，考查函数解析式求解，综合性较强． 13. (1)根据函数的解析式，分类讨论求得函数的定义域． (2)由题意可得函数t =2−axx−1在(2,4)上是减函数，故 t′=a−2(x−1)2<0，故a <2.且当x =4时，t =2−4a 4−1≥0，求得a ≤12，综合可得a 的范围．本题主要考查求函数的定义域，复合函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，属于中档题．14. (Ⅰ)由题意画出图形，再由正弦定理结合内角平分线定理得答案；(Ⅱ)由∠C=180∘−(∠BAC+∠B)，两边取正弦后展开两角和的正弦，再结合(Ⅰ)中的结论得答案．本题考查了内角平分线的性质，考查了正弦定理的应用，是中档题．15. (Ⅰ)求函数f(x)的导数，利用导函数大于0，求解不等式得到函数的单调递增区间；(Ⅱ)构造函数，利用导数判断函数的单调性，然后证明当x>1时，f(x)<x−1．本题考查函数的导数的应用，函数的单调性与对数的关系，不等式的证明的方法，考查分析问题解决问题的能力．16. (Ⅰ)先求导，再分类讨论，根据导数即可判断函数的单调性；(Ⅱ)先求出函数的最大值，再构造函数(a)=lna+a−1，根据函数的单调性即可求出a的范围．本题考查了导数与函数的单调性最值的关系，以及参数的取值范围，属于中档题．。
