安徽省安庆一中高二数学人教A版选修2-1课件：1.1.3 四种命题间的相互关系(共26张ppt)

1.1.3　四种命题间的相互关系问题引航1.四种命题的相互关系是什么?你会用图示表示它们之间的关系吗?2.四种命题的真假情况有几种?你会列表表示吗?1.四种命题的相互关系﹁p﹁q﹁q﹁p2.四种命题的真假关系(1)一般地,四种命题的真假性有且仅有下面四种情况:原命题逆命题否命题逆否命题真真______真___假_________真假___假___假真真假真假真假假(2)四种命题的真假性之间的关系:①两个命题互为_________,它们有相同的真假性.②两个命题为_________或_________,其真假性没有关系.逆否命题互逆命题互否命题1.判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)两个互逆命题的真假性相同.( )(2)若两个命题为互否命题,则它们的真假性肯定不相同.( )(3)对于一个命题的四种命题,可以一个真命题也没有.( )【解析】(1)错误.两个互逆命题的真假性没有关系.(2)错误.两个命题为互否命题,它们的真假性没有关系,但也可能相同,故此说法错误.(3)正确.一个命题的四种命题中,可能都是假命题,如若0<x<1,则x>1,此命题的四种命题均为假命题.答案:(1)×　(2)×　(3)√2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)命题“若x2≠1,则x≠1”的否命题是 (填“真”或“假”)命题.(2)若命题p的逆否命题是真命题,则命题p是 命题.(填“真”或“假”)(3)命题“若a>b,则a2>b2”的逆否命题为 ,其真假情况为 (填“真命题”或“假命题”).【解析】(1)由于否命题是“若x2=1,则x=1”,是假命题.答案:假(2)由于原命题与其逆否命题等价,故命题p是真命题.答案:真(3)逆否命题为:若a2≤b2,则a≤b,由于原命题是假命题,故其逆否命题也是假命题.答案:若a2≤b2则a≤b　假命题【要点探究】知识点四种命题间的关系对四种命题相互关系的三点认识(1)四种命题中原命题具有相对性,任意确定一个为原命题,其逆命题、否命题、逆否命题就确定了,所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性.(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中,有两对互逆命题,两对互否命题,两对互为逆否命题.它们分别为:①两对互逆命题:原命题与逆命题,否命题与逆否命题.②两对互否命题:原命题与否命题,逆命题与逆否命题.③两对互逆否命题:原命题与逆否命题,逆命题与否命题.(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同,所以原命题与其逆否命题是等价命题,因此当直接证明原命题困难时,可以转化【知识拓展】等价命题的证法与反证法在解答命题的过程中,注意借助逆否命题证明真命题与利用反证法证明真命题有本质区别,运用逆否命题的证法实质是把命题等价转化,而反证法是先假设结论不成立,接着推出矛盾,从而得出假设不成立.【微思考】(1)在四种命题中,它们的真假性有什么关系?提示:互为逆否的两个命题具有相同的真假性,互逆或互否的两个命题的真假性没有必然的联系.(2)原命题的逆命题与原命题的否命题真假性相同吗?提示:相同.因为原命题的逆命题与否命题互为逆否命题.【即时练】原命题、逆命题、否命题和逆否命题中,真命题的个数是____个.【解析】因为原命题与逆否命题同真假,逆命题与否命题同真假,因此真命题的个数为0个或2个或4个.答案:0或2或4【题型示范】类型一四种命题的相互关系【典例1】(1)若命题p的逆命题为q,命题q的否命题为r,则p是r的( )A.逆命题B.否命题C.逆否命题D.以上判断都不对(2)命题“若p不正确,则q不正确”的逆命题的等价命题是 ( ) A.若q不正确,则p不正确 B.若q不正确,则p正确C.若p正确,则q不正确D.若p正确,则q正确【解题探究】1.题(1)中命题p的条件与结论与命题r的条件与结论有什么关系?2.题(2)中原命题的逆命题是什么?逆命题的等价命题是什么?【探究提示】1.命题p的条件与结论分别是命题r的结论的否定与条件的否定.2.原命题的逆命题是“若q不正确,则p不正确”,逆命题的等价命题是:“若p正确,则q正确”.【自主解答】(1)选C.因为命题p与q的条件与结论交换,命题q 的条件与结论分别是r的条件与结论的否定.所以p与r的条件与结论既交换又否定,故选C.(2)选D.原命题的逆命题是“若q不正确,则p不正确”.因此逆命题的等价命题为“若p正确,则q正确”.【延伸探究】题(2)中“逆命题的等价命题”若换为“否命题的等价命题”,其结果又如何呢?【解析】选A.原命题的否命题为“若p正确,则q正确”,其等价命题为“若q不正确,则p不正确”.【方法技巧】判断四种命题之间四种关系的两种方法方法一:利用四种命题的定义判断;方法二:可以巧用“逆、否”两字进行判断,如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”字,是互否关系;而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字,其关系为逆否关系.【变式训练】(2014·陕西高考)原命题为“若 <a n ,n∈N +,则{a n }为递减数列”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是　( )A.真,真,真B.假,假,真C.真,真,假D.假,假,假【解题指南】因为原命题和其逆否命题同真假,逆命题和否命题同真假,所以只要判断原命题和它的逆命题的真假即可.【解析】选A.由已知条件可以判断原命题为真,所以它的逆否命题也是真;而它的逆命题为真,所以它的否命题亦为真,故选A.【补偿训练】若命题p的否命题是q,命题q的逆命题是s,则p 是s的 命题.【解析】设命题p“若a,则b”,因为p的否命题是q,则q“若不是a,则不是b”,又因为q的逆命题是s,则s“若不是b,则不是a”,显然命题p与s的条件a和结论b交换位置且同时否定,所以互为逆否命题.答案:逆否类型二等价命题的应用【典例2】(1)命题:“已知a,x为实数,若关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,则a<2”的逆否命题是 命题(填“真”或“假”).(2)证明:如果p2+q2=2,则p+q≤2.【解题探究】1.题(1)中解集为空集的含义是什么?需要具备哪些条件?2.题(2)中命题的逆否命题是什么?【探究提示】1.题(1)中不等式的解集为空集,即此不等式无解,需要相应的Δ<0.2.此命题的逆否命题是:若p+q>2则p2+q2≠2.【自主解答】(1)先判断原命题的真假.因为关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,所以相应二次方程的判别式Δ=(2a+1)2-4(a2+2)=4a-7<0,所以a< <2.所以原命题为真命题.又因为原命题和它的逆否命题是等价命题.所以此命题的逆否命题为真命题.答案:真(2)该命题的逆否命题为:若p+q>2,则p2+q2≠2. p2+q2≥ (p+q)2.因为p+q>2,所以(p+q)2>4,所以p2+q2>2.即p+q>2时,p2+q2≠2成立.所以如果p2+q2=2,则p+q≤2成立.【延伸探究】在题(1)中,写出命题的逆命题,并判断其真假.【解析】逆命题:已知a,x为实数,若a<2,则关于x的不等式x2+(2a+1)x+a2+2≤0的解集为空集,由题(1)可知Δ=4a-7.所以当 ≤a<2时,Δ≥0,解集不为空集;当a< 时,Δ<0,解集为空集.所以不等式的解集为空集是假命题,故逆命题是假命题.【方法技巧】“正难则反”的处理原则(1)当原命题的真假不易判断,而逆否命题较容易判断真假时,可通过判断其逆否命题的真假来判断原命题的真假.(2)在证明某一个命题的真假性有困难时,可以证明它的逆否命题为真(假)命题,来间接地证明原命题为真(假)命题.【变式训练】证明:已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0.【解题指南】由于原命题不易证明,可转化为证明其逆否命题为真命题.【证明】原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”.若a+b<0,则a<-b,b<-a,又因为f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,所以f(a)<f(-b),f(b)<f(-a).所以f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),即逆否命题为真命题.所以原命题为真命题.【补偿训练】已知全集U的两个子集A,B,命题“若x∉A,则x∉B”是真命题,则下列结论正确的是( )A.B AB.( )∪B=UC.( )∪A=UD.A∩( )=∅【解析】选C.“若x∉A,则x∉B”等价于“若x∈B,则x∈A”为真命题,即B⊆A.故( )∪A=U.【规范解答】由等价命题求参数的取值范围【典例】(12分)(2013·临沂高二检测)命题:对任意x∈R,ax2-2ax-3>0不成立是真命题,求实数a的取值范围.【审题】抓信息,找思路【解题】明步骤,得高分【点题】警误区,促提升失分点1:解题时若在①处对原命题的等价命题写错,则会导致本例不得分.失分点2:本例若对不等式考虑不全面,即忽略②处对参数a的讨论,漏掉一解,则本例最多得8分.失分点3:若解题步骤不规范,漏掉③处最后的归纳,则本例最多得10分【悟题】提措施,导方向1.转化思想的应用在解决原命题遇到困难时,可转化为其等价命题解决,如本例中的不成立问题可转化为恒成立问题解决.2.分类讨论意识在解决含参数的问题时,切记分类讨论思想的应用,如本例对二次项系数的讨论.【类题试解】已知命题“对于任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”是真命题,求实数a的取值范围.【解析】命题“对于任意x∈R,x2+ax+1<0不成立”等价于“对于任意x∈R,x2+ax+1≥0成立”是真命题.由于函数f(x)=x2+ax+1是开口向上的抛物线,由二次函数的图象易知:Δ=a2-4≤0,解得:-2≤a≤2.所以实数a的取值范围是[-2,2].。