高数 微分方程PPT

特解必须分成两个方程来求解. 特解必须分成两个方程来求解.
( 1)
y′′ − y = sin x, λ = 0,ω = 1,
λ + ω i = i不是特征方程的根 * y1 = Acos x + Bsin x;
⇒ k = 0.
( 2)
y′′ − y = cos 2 x , λ = 0,ω = 2,
为二阶线性非齐次微分方程的一个特解, 又y1 = 3为二阶线性非齐次微分方程的一个特解, 所以,二阶线性非齐次微分方程的通解为: 所以,二阶线性非齐次微分方程的通解为:
2
x
y = Y + y1 = C1 x + C2e + 3.
2 x
例9 设a , b, A,ϕ 均是待定常数，则 方程y′′ + y = cos x 特解 . 的一个 特解具有形式（）
作变量变换
x = e t 或 t = ln x ,
将自变量换为 t ,
dy dy dt 1 dy , = = dx dt dx x dt
d 2 y 1 d 2 y dy = 2 2 − , 2 dx x dt dt d3y 1 d3y d2y dy = 3 3 − 3 2 + 2 , LL 3 dx x dt dt dt
2
例2 写出微分方程 y′′ − 4 y′ + 4 y = 6 x 2 + 8e 2 x 的待定特解的形式. 的待定特解的形式 解 设 y′′ − 4 y′ + 4 y = 6 x 的特解为 y
2
* 1 * 2
设 y′′ − 4 y′ + 4 y = 8e
*
2x * 1
的特解为 y
* 则所求特解为 y = y + y2
3 x 通解 y = Y + y = C1e + C2e + e − cos3x + sin3x . : 50 10
* x 3x 2x
的一个特解. 例5 求微分方程 y′′ + y = ( 3x + 1) cos2x的一个特解.
f ( x) = eλ x[Pl ( x)cosω x + Pn ( x)sinω x] 型. 解 此方程属
Q r 2 − 4r + 4 = 0
∴ 特征根 r1, 2 = 2
* y2 = Dx 2e 2 x
* ∴ y1 = Ax 2 + Bx + C
* * y * = y1 + y2 = Ax 2 + Bx + C + Dx 2 e 2 x .
y′′ + py′ + qy = f (x)
二、f ( x) = e [P ( x)cosω x + P ( x)sinω x] 型 l n
r1 = 1，r2 = 2，
*
对应齐次方程通解 Y = C1e x + C 2e 2 x ,
于是 y = x( x − 1)e 2 1 x 2x y = C1e + C2e + x( x − 1)e2 x . 原方程通解为
( Ax + B)e2 x , Q λ = 2 是单根，设 y = x 是单根， 1 A = 2 , 代入方程, 代入方程 得 2 Ax + B + 2 A = x ∴ B = −1 1 * 2x
λx
e iθ = cosθ + i sinθ , e − iθ = cosθ − i sinθ . 利用欧拉公式： 利用欧拉公式：
可得非齐次微分方程 的特解形式为
y′′ + py′ + qy = f (x)
(1) (2) y* = x k e λ x [ Rm ( x )cosω x + Rm ( x )sinω x]
( ( 次多项式， 其中 Rm1) ( x ), Rm2 ) ( x )是m 次多项式， m = max{l , n}
不是根, 0 λ + iω 不是根, k= 是根. 1 λ + iω 是根.
记住此公式
y′′ − 4 y′ + 3 y = xe2 x cos3x 的通解. 的通解. 例4 求微分方程
选(B)
三、欧拉方程
形如
x n y ( n ) + p1 x n−1 y ( n−1 ) + L + pn−1 xy′ + pn y = f ( x )
的方程(其中 为常数) 欧拉方程. 的方程 其中 p1 , p2 L pn 为常数 叫欧拉方程 特点： 特点：各项未知函数导数的阶数与乘积因子 自变量的幂指数相同． 自变量的幂指数相同． 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程， 解法：欧拉方程是特殊的变系数方程，通过 变量代换可化为常系数微分方程. 变量代换可化为常系数微分方程
( r = ±1)
⇒ k = 0.
λ + ω i = 2i不是特征 方程的根 * y2 = C cos2x + Dsin2x;
原方程y′′ − y = sin x + cos 2 x的特解为：
* * y* = y1 + y2 = Acos x + Bsin x + C cos2x + Dsin2x. 1 1 * 将y 代入原方程 ⇒ A = 0, B = − , C = − , D = 0, 2 5 1 1 * y = − sin x − cos2x, 2 5 原方程y′′ − y = sin x + cos 2 x的通解为： 1 1 * x −x y = Y + y = C1e + C2e − sin x − cos2x. 2 5
1 a = − 10 −10a = 1, −10b + bc = 0, b = 0, 解得 → 比较系数可得 −10c = 0, c = 0, −6a − 10d = 0. 3 d = . 50 x 3 * 2x ∴ y = e − cos 3 x + sin 3 x . 50 10
解 对应齐次方程 y′′ − 4 y′ + 3 y = 0
⇒ r1 =1,r2 =3.
x 3x
⇒ r 2 − 4r + 3 = 0,
齐次方程的通解为 Y = C1e + C2e .
λ = 2,ω = 3, λ + iω = 2 + 3i不是特征方程的根. 不是特征方程的根.
∴ y* = e2 x ( ax + b) cos3x + ( cx + d ) sin3x
y* = x ( A cos 3 x + B sin 3 x ) .
例7 求微分方程y′′ − y = sin x + cos 2 x的通解 .
解
′′ − y = 0 ⇒ r 2 − 1 = 0 ⇒ r = ±1, y
⇒ Y = C1e + C2e .
x
−x
不相等, 因为sin x + cos 2 x的ω 不相等,故非齐次方程的
′ , y* ′′ 代入原方程并消去e 2 x可得: 可得: 将y , y
*
( −10ax −10b + bc) cos3x + ( −10cx − 6a −10d ) sin3x = xcos3x.
( ) ( )
*
( −10ax −10b + bc) cos3x + ( −10cx − 6a −10d ) sin3x = xcos3x.
( λ = 0, Pl ( x ) = 2, Pn ( x ) = 0.)
对应齐次方程为 y′′ + 9 y = 0.
特征根 其对应特征方程为 r 2 + 9 = 0. r1,2 = ±3i . →
由于 λ + iω = 3i是特征方程的根, ⇒ k = 1.
故原方程的特解形式为: 故原方程的特解形式为:
下面我们用待定系数法研究 下面我们用待定系数法研究 y* 的求法 待定系数法
′′ + py′ + qy = eλ x P ( x) y m
设非齐次方程特解为 y* = Q( x)eλ x 代入原方程
′′( x ) + ( 2λ + p)Q′( x ) + (λ2 + pλ + q )Q ( x ) = Pm ( x ) Q
(λ = 0,ω =2,Pl ( x ) = ( 3 x + 1 ) , Pn ( x ) = 0).
特征方程的根 → 其特征方程为 r 2 + 1 = 0, r1,2 = ± i . λ + iω = 2i 不是特征根, ⇒ k = 0. 不是特征根,
⇒ y* = ( ax + b) cos2x + ( cx + d ) sin2x.
0 k = 1 2
记住此公式
设 y* = xkeλ xQm ( x) , 注意 上述结论可推广到n阶常系数非齐次线性 上述结论可推广到 阶常系数非齐次线性
微分方程（ 是重根次数 是重根次数） 微分方程（k是重根次数）.
例1 求方程 y′′ − 3 y′ + 2 y = xe2 x 的通解. 解 特征方程 r 2 − 3r + 2 = 0, 特征根
( A) ( C)
axcos x + bsin x (B) Ax sin( x + ϕ ) xcos( Ax + ϕ ) ( D) x sin( Ax + ϕ )
解 由 ± i 是相应齐次方程的特征根，故特解形式为 是相应齐次方程的特征根，
x (c1 cos x + c2 sin x ) = Ax sin( x + ϕ )