高等数学微分方程的基本概念教学

y' x2
(1)
两边积分，得
y 1 x3 C
(2)
3
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4
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
上式表示的是曲线上任意一点的切线的斜率为x2的所 有曲线．但要求的是过点(0,0)的曲线，即
x = 0时， y = 0
x,y的关系式），它的定解条件通常是x=x0时，y=y0
或写成
y x x0
二阶微分方程的定解条件通常是x = x0时，y = y0、
y′ = y′0或写成 y ' x x0 y '0 或 y x x0 y0
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独立的任意常数的个数=微分方程的阶数 含有几个任意常数的表达式，如果它们不能合并而使 得任意常数的个数减少，则称这表达式中的几个任意 常数相互独立．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例如y = C1x + C2x + 1 与 y = Cx+1 (C1,C2，
(3)
将(3)式代入(2)式，得C = 0，所以
y 1 x3 3
为所求的曲线方程．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例2 一物体由静止开始从高处自由下落，已知物体 下落时的重力加速度是g ，求物体下落的位置与时间 之间的函数关系。
C都是任意常数）所表示的函数族是相同的，
因此y = C1x + C2x + 1中的C1，C2是不独立的；
而
s
1 2
gt
2
C1
C2
中的任意常数C1，C2是
不能合并的，即C1，C2是相互独立的．
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第六章 常微分方程
y'' y C1 cos x C2 sin x C1 cos x C2 sin x 0
又 y C1 cos x C2 sin x
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
中含有两个独立的常数，而
如果未知函数是两个或两个以上自变量的函数， 并且在方程中出现偏导数
如
2u 2u 2u x2 y2 z2 0
就是偏微分方程；
本章我们只介绍常微分方程。
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数.
如果其中的未知函数只与一个自变量有关，就 称为常微分方程。
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 , 都是常微分方程；
y(4) 4 y ' 4 y xex
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例 y y, y y 0,
第一节 微分方程的基本概念
通解 y ce x ; 通解 y c1 sin x c2 cos x;
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 初始条件: 确定任意常数取固定值的条件.
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第六章 常微分方程
所以 C1 2,C2 0
故
y 2 cos x
是该微分方程的特解.
第一节 微分方程的基本概念
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第六章 常微分方程
内容小结
第一节 微分方程的基本概念
本节基本概念： 微分方程； 微分方程的阶；微分方程的解； 通解，初始条件； 特解； 初值问题； 积分曲线．
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
本章讨论的一阶微分方程 y f ( x, y)，f(x,y)表示
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
追求人生的美好! 我们的共同目标!
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解 设物体的质量为m,由于下落过程中只受重力作用, 故物体所受之力为
F = mg，
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
又根据牛顿第二定律， F = ma
及加速度
d2s a dt 2
,所以
d2s m dt 2 mg,
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类2:按方程中未知函数导数的最高阶数，分为一阶、 二阶和高阶微分方程
一阶微分方程 F ( x, y, y) 0,
y f ( x, y);
高阶(n)微分方程
F ( x, y, y,, y(n) ) 0, y(n) f ( x, y, y,, y(n1) ).
由题意知 t = 0 时，
s 0, v ds 0 dt
(8)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
把(8)式分别代入(6)，(7)式，得
C1 = 0 , C2 = 0. 故(7)式为
s 1 gt 2
方程 y '' y 0 是二阶的，所以
y C1 sin x C2 cos x 是该微分方程的通解.
代入初始条件
y( ) 1, y( ) 1
4
4
得
2
2
2 C1 2 C2 1
2 2 C2
2 2 C1 1
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 一阶微分方程 第三节 可降阶的高阶微分方程 第四节 二阶线性微分方程解的结构 第五节 二阶常系数线性齐次微分方程
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
三、主要问题——求方程的解
微分方程的解:
代入微分方程能使方程成为恒等式的函数.
微分方程的解的分类：
(1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且 独立的任意常数的个数与微分方程的阶数相同.
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
例3 验证 y C1 cos x C2 sin x 是微分方程 y y 0 的
通解．并求此方程满足初始条件
y(
)
1,
y( ) 1
的特解。
4
4
解
y ' C1 sin x C2 cos x
y'' C1 cos x C2 sin x
把y和y″代入微分方程左端得
1
第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
第一节 微分方程的基本概念
本节主要内容:
一.问题引入 二.微分方程的定义 三.求微分方程的解
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
在力学、物理学及工程技术等领域中为了 对客观事物运动的规律性进行研究，往往需 要寻求变量间的函数关系，但根据问题的性 质，常常只能得到待求函数的导数或微分的 关系式，这种关系式在数学上称之为微分方 程。
即
d2s
dt 2 g
(5)
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
现在来求s与t之间的函数关系，对(5)式
两端积分得
ds dt
gt
C1
(6)
再两端积分，得
s
1 2
gt 2
C1
C2
(7)
这里C1，C2都是任意的常数．
如 y′= x2 , y′+ xy2 = 0 ,
xdy + ydx = 0
都是一阶微分方程；
d2s dt 2
g,
y ''
2 y '
y
3x2
1
都是二阶微分方程.
y(4) 4 y ' 4 y xex 是四阶微分方程；…等等．
二阶及二阶以上的微分方程称为高阶微分方程.
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(9)
2
这就是初速度为0的物体垂直下落时距离
s与时间t之间的函数关系．
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第六章 常微分方程
二、微分方程的定义
第一节 微分方程的基本概念
微分方程: 凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程.
例 y xy, y 2 y 3 y e x , (t 2 x)dt xdx 0,
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第六章 常微分方程
一、问题引入
第一节 微分方程的基本概念
例1 一曲线过点(0, 0)，且曲线上各点处的切线斜率等 于该点横坐标的平方，求此曲线方程．
解 设所求曲线的方程为y=y(x)
(x,y)为曲线上的任意点，在该点曲线的切线的 斜率为y′,依题意有：
y xy2 0, xdy ydx 0 y 2 y y 3x2 1
实质: 联系自变量,未知函数以及未知函数的某些导数(或 微分)之间的关系式.
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第六章 常微分方程
第一节 微分方程的基本概念
分类1:按自变量的个数，分为常微分方程和偏微分方程.