启恩中学2013届高三数学(理)综合训练题(四)

启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题（九）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．1、函数lg(1)y x =-的定义域为A ，函数1()3x y =的值域为B ，则A B ⋂= （ ）A . (0,1) B. 1(,1)3C. φD. R2、 复数31i i+的模等于（ ）A . 12B. 2C.D. 13.若 函 数()y f x =的图象和sin()4y x π=+的图 象关于点P(,0)4π对称则()f x 的 表 达式 是（ ） A ．)4cos(π+x B ．)4cos(π--x C ．)4cos(π+-x D ．)4cos(π-x4、在实数数列{}n a 中，已知01=a ，|1|||12-=a a ，|1|||23-=a a ，…，|1|||1-=-n n a a ，则4321a a a a +++的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．4 5．设随机变量2(2,8),X N 且(24)0.3,P X <<=则(0)P X <=（ ）．A ．0.8B ．0.2C ．0.5D ．0.46．已知关于x 的不等式|2|3x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是( )A. 1m <B.1m ≤C.1m >D.1m ≥7．已知1F 、2F 是椭圆:C 12222=+by a x 的左右焦点，P 是C 上一点，2214||||3b PF PF =⋅→→，则C的离心率的取值范围是（ ）A ．]21,0( B ．]23,0( C ．)1,23[ D ． )1,21[8．以下三个命题：①关于x 的不等式11≥x的解为]1,(-∞②曲线2sin 2y x =与直线0x =，34x π=及x 轴围成的图形面积为1s ，曲线y =0x =，2x =及x 轴围成的图形面积为2s ，则122s s += ③直线03=-y x 总在函数x y ln =图像的上方其中真命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3二、填空题： 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9、某校对全校男女学生共1600名进行健康调查，选用分层抽样法抽取一个容量为200的样本，已知女生比男生少抽了10人，则该校的女生人数应是 人.10.已知向量(2,3),(,6)a b x ==-共线，则x = .11、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动12π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是 . 12. 将直线1=+y x 绕点（1，0）顺时针旋转90°，再向上平移1个单位后，与圆222)1(r y x =-+相切，则半径r 的值是 . 13、已知函数6(3) 3 (6)() (x>6)x a x x f x a---≤⎧=⎨⎩(),n a f n n N *=∈，{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14．（《几何证明选讲》选做题） 如图，⊙O 和⊙'O 都经过点A 和点B ，PQ 切⊙O 于点P ，交⊙'O 于Q 、M ，交AB 的延长线于N ，1NM =，3MQ =，则PN = 15．（《坐标系与参数方程》选做题）极坐标系下，圆2cos()2πρθ=+上的点与直线sin()4πρθ+= 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知向量(cos ,sin )a αα= ，(cos ,sin )b ββ= ， 且||a b -= （I ）求cos()αβ-的值；（II ）若202π<α<<β<π-,且5sin 13β=-,求sin α的值.17．（本小题满分12分）现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物，等可能地向左，右两边落下。

2013届高三理科数学综合试卷 2013.4一、选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513-（2）设a 是实数，且1i 1i 2a +++是实数，则a =（ ） A ．12 B ．1 C ．32D ．2（3）设a b ∈R ，，集合{}10ba b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-（4）下面给出的四个点中，到直线10x y -+=，且位于1010x y x y +-<⎧⎨-+>⎩，表示的平面区域内的点是（ ） A ．(11)， B ．(11)-， C ．(11)--， D ．(11)-， （5）如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12AA AB =，则异面直线1A B 与1AD 所成角的余弦值为（ ） A ．15B ．25C ．35D ．45（6）设1a >，函数()log a f x x =在区间[]2a a ，上的最大值与最小值之差为12，则a =（ ） AB ．2 C． D ．4（7）21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为15，则n =（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6AB1B1A1D1C CD（8）．如图，三行三列的方阵中有9个数(123123)ij a i j ==，，；，，，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（ ）A ．1314 B ．47C ．114D ．37二、填空题：本大题共6小题，每小题5分共30分。

9．已知向量)3,(),2,4(x b a ==向量，且a ∥b ，则x = ． 10．曲线sin y x =在点（3π）处的切线方程为 ．11．已知等比数列{}n a 的前三项依次为1a -，1a +，4a +，则n a = ．12．已知正方形ABCD ，则以A B ，为焦点，且过C D ，两点的椭圆的离心率为_________．从以下三题中选做两题，如有多选，按前两题记分.13．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，点()1,0到直线()cos sin 2ρθθ+=的距离为 ．14．（不等式选讲选做题）不等式142x x -<-+的解集是 ．15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆Ｏ的直径为６，Ｃ为圆周上 一点。

启恩中学2013届高三理科数学考练试题（11）时间：60分一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的. 1．设i z -=1（为虚数单位），则=+zz 22 （ ）A ．i --1B ．i +-1C i +1D ． i -12 设m ，n 是平面α内的两条不同直线；l 1，l 2是平面β内的两条相交直线．则α∥β的一个充分而不必要条件是（ ）A m ∥β且l 1∥αB m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 2 3 若关于x 的不等式2124x x a a+--<-有实数解，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(,1)(3,)-∞+∞UB ．(1,3)C ．(,3)(1,)-∞--+∞UD ．(3,1)--4．已知函数()f x 满足：当x ≥1时，()f x =)1(-x f ；当x ＜1时，()f x =x 2，则)7(log2f =（ ） A ．167 B ．87C ．47D ．275、在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若b 2＋c 2－bc ＝a 2，且ab＝3，则角C 的度数是（ ）A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°6设()()()20f x x ax bx c a =++≠的两个极值点分别为1x =和1x =-，则下列点中一定在x 轴上的是（ ）A ．(a ，c )B ．(),c a b +C ．(),2a b b c ++D ．(),a b7 已知双曲线2213yx -=的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为（ ）A ．164-B ．116-C. 2- D ．5-8.定义：()00>>=y ,xy)y ,x (F x，已知数列{}n a 满足()()n ,F ,n F a n 22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为 （ ）A 12B 2 C89D 98班级 姓名 坐号 总分二、填空题:本大共6小题,每小题5分，满分30分9．等比数列{}n a 中，372,8,a a == 则5a =10．10(x -的展开式中，的系数是___11．命题“x R ∃∈，230x x -≤”的否定是 ．12．已知|a |=|b |=|b a -|=2，则|2a b -|的值为13．在实数的原有运算法则中，定义新运算3a b a b ⊗=-，则()()418x x xx ⊗-+-⊗>的解集为 14已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为 三、解答题:本大题共1小题,满分14分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：1a a=(0)a ≠，1n n a rS +=(n ∈N*，,1)r R r ∈≠-．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若存在k ∈N*，使得1k S +，k S ，2k S +成等差数列，是判断：对于任意的m ∈N*，且2m ≥，1m a +，m a ，2m a +是否成等差数列，并证明你的结论．启恩中学2013届高三理科数学考练试题（11）参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有本大题共6小题， 每小题5分，满分30分．9．4 10．1890 11．x R ∀∈，230x x -> 12． 13．115,88x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭14 2 三、解答题:本大题共1小题,满分14分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.15解：（I ）由已知1,n n a rS +=可得21n n a rS ++=，两式相减可得2111(),n n n n n a a r S S r a ++++-=-=即21(1),n n a r a ++=+又21,a ra ra ==所以r=0时，数列{}n a 为：a ，0，…，0，…；当0,1r r ≠≠-时，由已知0,0n a a ≠≠所以（*n N ∈），于是由21(1),n n a r a ++=+可得211()n n a r n N a *++=+∈，23,,,n a a a ∴+成等比数列，∴≥当n 2时，2(1).n na r r a -=+综上，数列{}n a 的通项公式为21,(1),2nn n a n a r r a n -=⎧=⎨+≥⎩（II ）对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，证明如下：当r=0时，由（I ）知，,1,0,2m a n a n =⎧=⎨≥⎩ ∴对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列，当0r ≠，1r ≠-时，21211,.k k k k k k S S a a S a +++++=+++ 若存在*k N ∈，使得112,,k k S S S++成等差数列，则122k k kS S S +++=，1221222,2,k k k k k k S a a S a a ++++∴++==-即由（I ）知，23,,,,m a a a的公比12r +=-，于是对于任意的*m N ∈，且122,2,4,m m m m m a a a a ++≥=-=从而12122,,,m m m m m ma a a a a a ++++∴+=即成等差数列，综上，对于任意的*m N ∈，且122,,,m m m m a a a ++≥成等差数列。

启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题(三)说明：考试时间120分钟，满分150分一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，满分40分） 1.复数11z i=-的共轭复数．．．．是（ ）A.1122i +B.1122i -C. 1i -D. 1i +2. 已知全集U R =，{|2}xS y y ==，{|ln(1)0}T x x =-<，则S T = （ ） A. φB. {|02}x x <<C. {|01}x x <<D. {|12}x x <<3. 为了得到函数2sin()36x y π=+，x R ∈的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点（ ） A. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）B. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍（纵坐标不变）C. 向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）D. 向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）4. 给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行 ②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线12,l l 与同一平面所成的角相等，则12,l l 互相平行 ④若直线12,l l 是异面直线，则与12,l l 都相交的两条直线是异面直线 其中假．命题的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么，|a +A.D. 46. 为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100 名高三学生的视力情况，得到频率分布直方图如右，由于不慎将部分数据丢失，但知道前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，设最大频率为a ，视力在4.6到5.0之间的学生人数为b ，则a 、b 的值分别为（ ） A. 0.27，78B. 0.27，83C. 2.7，78D. 2.7，837. 某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费1y 与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费2y 与仓库到车站的距离成正比。

2013届高三理科数学高考模拟考试4本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数z 满足(2)117z i i -=+（i 为虚数单位），则z 为（ ）..35A i + .35B i - .35C i -+ .35D i --2. 设0a >且1a ≠，则“函数()x f x a =在R 上是减函数”是“函数()()32g x a x =-在R 上是增函数”的（ ）..A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充分必要条件 .D 既不充分也不必要条件 3. 采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2,,960, 分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[]1,450的人做问卷A ，编号落入区间[]451,750的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ）. .7A .9B .10C .15D4. 设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是（ ）.3.,62A ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 3.,12B ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ [].1,6C - 3.6,2D ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦5. 执行右面的程序框图，如果输入4a =，那么输出的n 的值为（ ）..2A .3B .4C .5D 6. 已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为.双曲线221x y -=的渐近线与椭圆C 有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C 的方程为（ ）..A 22182x y += .B 221126x y +=.C 221164x y += .D 221205x y += 7. 现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）..232A .252B .472C .484D8. 设函数()()()21,,,0f x g x ax bx a b R a x==+∈≠，若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点()()1122,,,A x y B x y ，则下列判断正确的是（ ）..A 当0a <时，12120,0x x y y +<+> .B 当0a <时，12120,0x x y y +>+< .C 当0a >时，12120,0x x y y +<+< .D 当0a >时，12120,0x x y y +>+>二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9. 若不等式42kx -≤的解集为{}13x x ≤≤，则实数k =__________.10. 如图，正方体1111ABCD A BC D -的棱长为1，,E F 为线段1AA ，1BC 上的点，则三棱锥1D EDF -的体积为___________.11. 设0a >，若曲线y =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ，则a =___________.12.定义在R 上的函数()f x 满足()()6f x f x +=，当31x -≤<-时，()()22f x x =-+；当13x -≤<时，()f x x =.则()()()()1232013f f f f ++++= ___________. 13. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在()0,1，此时圆上一点P 的位置在()0,0，圆在x 轴上沿正方向滚动.当圆滚动到圆心位于()2,1时，OP的坐标为____________.（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点p 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ，且PB =7，C 是圆上一点使得BC =5，∠BAC =∠APB , 则AB = .15．（坐标系与参数方程选讲选做题）1A 图 4已知两面线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩ 和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为___________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16. （本小题满分12分）已知向量()()sin ,1,cos ,cos 202A m x n x x A ⎫==>⎪⎭，函数()f x m n =⋅ 的最大值为6. （1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 在50,24π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域.17. （本小题满分13分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，//AB CD ，60,DAB FC ∠=⊥平面ABCD ，,AE BD CB CD CF ⊥==. （1）求证：BD ⊥平面AED ；（2）求二面角F BD C --的余弦值.18. （本小题满分13分）现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为34，命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为23，每命中一次得2分，没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. （1）求该射手恰好命中一次的概率；（2）求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX .19. （本小题满分14分）在等差数列{}n a 中，345984,73a a a a ++==. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间()29,9m m内的项的个数记为m b .求数列{}m b 的前m 项和m S .20. （本小题满分14分）在平面直角坐标系,xOy F 是抛物线()2:20C x py p =>的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过,,M F O 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为34. （1）求抛物线C 的方程；（2）是否存在点M ，使得直线MQ 为抛物线C 相切于点M ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.（3）若点M 直线1:4l y kx =+与抛物线C 有两个不同的交点,,A B l 与圆Q 有两个不同的交点,D E ，求当122k ≤≤时，22AB DE +的最小值.21. （本小题满分14分） 已知函数()ln xx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求k 的值；（2）求()f x 的单调区间；（3）设()()()2g x x x f x '=+，其中()f x '为()f x 的导函数，证明：对任意0x >，()21g x e -<+.。

启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题（八）一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合{}1,2,3M =，{}2,3,4N =，则A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．{}2,3M N =D ．{}1,4M N = .2复数=-i i2 A ．i 5251+- B ． i 5251-- C ．i 5251- D ．i21+3.不可能为．．．．①长方形； ②正方形； ③ 圆； ④ 椭圆. 其中正确的是（ ）A ．①②B ．②③ C．③④ D．①④4. 把函数)6sin(π+=x y 图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再将图象向右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为 A ．2π-=x B ．4π-=x C ．8π=x D ．4π=x5．已知m 是两个正数8,2的等比中项，则圆锥曲线122=+my x 的离心率为 A ．23或25 B ．23 C ．5 D ．23或5 6.在12(2的展开式中不含．．6x 项的系数的和为 A.-1 B.0 C.1 D.27．对任意非零实数a b 、，定义一种运算：a b ⊗， 其结果b a y ⊗=的值由右图确定，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭( ) A ．1 B ．21C ．43D ．35第1个第2个第3个。

8．在股票买卖过程中，经常用到两种曲线，一种是即时价格曲线y ＝f (x )，一种是平均价格曲线y ＝g (x )(如f (2)＝3表示开始交易后第2小时的即时价格为3元；g (2)＝4表示开始交易后两个小时内所有成交股票的平均价格为4元).下面所给出的四个图象中，实线表示y ＝f (x )，虚线表示y ＝g (x )，其中可能正确的是 （ ）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．某大型超市销售的乳类商品有四种：纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉，且纯奶、酸奶、婴幼儿奶粉、成人奶粉分别有30种、10种、35种、25种不同的品牌．现采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n 的样本进行三聚氰胺安全检测，若抽取的婴幼儿奶粉的品牌数是7，则=n ．10．曲线233y x =-与轴所围成的封闭图形面积为 .11. 黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案： 则第n 个图案中有白色地面砖的块数是 ．12．设关于x 的不等式1x x a +-<(a ∈R ). 若2a =，则不等式的解集为 ；若不等式的解集为∅，则a 的取值范围是 . 13．对于任意两个正整数,m n ,定义某种运算“※”如下:当,m n 都为正偶数或正奇数时,m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数,另一个为正奇数时,m ※n =mn ．则在此定义下,集合{(,)M a b a =※12,,}b a b **=∈∈N N 中的元素个数是 ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）若直线340x y m ++=与曲线 ⎩⎨⎧+-=+=θθsin 2cos 1y x （θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是____________.15. （几何证明选讲选做题）如图，⊙O 1与⊙O 2交于M 、N 两点，直线AE 与这两个圆及MN 依次交于A 、B 、C 、D 、E ．且AD ＝19，BE ＝16，BC ＝4，则AE ＝ ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知函数)(xf=A)(sin2ϕ+ωx (A>0,ω>0,0<ϕ<2π)，且)(xfy=的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点（1,2）．（1）求ϕ；（2）计算)2011(...)2()1(fff+++．17．（本小题满分12分）亚运组委会计划对参加某项田径比赛的12名运动员的血样进行突击检验，检查是否含有兴奋剂HGH成分.采用如下检测方法：将所有待检运动员分成4个小组，每组3个人，再把每个人的血样分成两份，化验室将每个小组内的3个人的血样各一份混合在一起进行化验，若结果中不含HGH成分，那么该组的3个人只需化验这一次就算合格；如果结果中含HGH成分，那么需对该组进行再次检验，即需要把这3个人的另一份血样逐个进行化验，才能最终确定是否检验合格，这时，对这3个人一共进行了4次化验，假定对所有人来说，化验结果中含有HGH成分的概率均为110．（Ⅰ）设一个小组检验次数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望；（Ⅱ）求至少有两个小组只需经过一次检验就合格的概率．（精确到0.01，参考数据：30.2710.020≈，40.2710.005≈，20.7290.500≈）18.（本小题满分14分）已知正方形ABCD的边长为2，AC BD O=．将正方形ABCD沿对角线BD折起，使AC a=，得到三棱锥A BCD-，如图所示．（1）当2a=时，求证：AO BCD⊥平面；（2）当二面角A BD C--的大小为120 时，求二面角A BC D--的正切值．19．（本题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4.设y BC x AB ==,2。

启东中学2013届高三数学（综合）训练三一、填空题（本题共14题，每题5分，计70分，请把答案填写在答题．．纸．相应位置上．．．．．） 1.已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R . 2.命题:“(0,)x ∀∈+∞,210x x ++>”的否定是 . 3.已知()()i 1i z a =-+（a ∈R ，i 为虚数单位），若复数z 在复平面内对应的点在实轴上，则a = ． 4.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是____ ____.5.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的s 值 等于______.6.椭圆()222210x y a b a b=>>+的右焦点为1F ，右准线为1l ，若过点1F 且垂直于x 轴的弦的弦长等于点1F 到1l 的距离，则椭圆的离心率是 ．7．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DC DE ⋅的最大值为______. 8.设,,a b R ∈且2,a ≠若定义在区间(),b b -内的函数()1lg 12axf x x+=+是奇函数，则a b +的取值范围是 .9.巳知函数))2,0((cos )(π∈=x x x f 有两个不同的零点21,x x ，且方程m x f =)(有两个不同的实根43,x x .若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m 的值为____ ______.10.关于x 的不等式2x ＋25＋|3x －52x |≥ax 在[1，12]上恒成立，则实数a 的取值范围是 .11.已知正数x ，y 满足(1＋x )(1＋2y )＝2，则4xy ＋1xy 的最小值是____ 。

12.已知函数()4322f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处有极值，则a 的取值范围是 ．13.已知)(,,c b a c b a <<成等差数列，将其中的两个数交换，得到的三个数依次成等比数列，则2222a c b +的值为 ．14.如图，用一块形状为半椭圆1422=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则1S的最小值是 ．二、解答题(本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （本小题满分14分）在△ABC 中，,,A B C 为三个内角,,a b c 为三条边，23ππ<<C ，且.2sin sin 2sin CA Cb a b -=- （I ）判断△ABC 的形状；（II ）若||2BA BC +=，求BA BC ⋅的取值范围．16．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC. （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ； （2） 点F 在BE 上，若DE ∥平面ACF ，求BEBF的值．ABCDxyo17．（本小题满分15分）已知椭圆C ：x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，3 2).（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M .问点M 满足什么条件时，圆M 与y 轴有两个交点?(Ⅲ)设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求点D 、E 距离的最大值.18. （本小题满分15分）如图，AB 是沿太湖南北方向道路,P 为太湖中观光岛屿, Q 为停车场， 5.2PQ =km ．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q ,已知游船以13km/h 的速度沿方位角θ的方向行驶，135sin =θ．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点Q 与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M 处，然后乘出租汽车到点Q (设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车)．假设游客甲乘小船行驶的方位角是α，出租汽车的速度为66km/h ．(Ⅰ)设54sin =α，问小船的速度为多少km/h 时，游客甲才能和游船同时到达点Q ； (Ⅱ)设小船速度为10km/h ，请你替该游客设计小船行驶的方位角α，当角α余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达Q ．19．(本小题满分16分)已知各项均为正数的等差数列{}n a 的公差d 不等于0，设13,,k a a a 是公比为q 的等比数列{}n b 的前三项，（I ）若k=7，12a =（i ）求数列{}n n a b 的前n 项和T n ；（ii ）将数列{}n a 和{}n b 的相同的项去掉，剩下的项依次构成新的数列{}n c ，设其前n 项和为S n ，求211*21232(2,)n n n n S n n N -----+⋅≥∈的值；（II ）若存在m>k,*m N ∈使得13,,,k m a a a a 成等比数列，求证k 为奇数.20.(本小题满分16分)已知函数x a x g b x x x f ln )(,)(23=++-=． （I ）若)(x f 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∈1,21x 上的最大值为83，求实数b 的值；（II ）若对任意[]e x ,1∈，都有x a x x g )2()(2++-≥恒成立，求实数a 的取值范围； (Ⅲ)在（1）的条件下，设()()⎩⎨⎧≥<=1,1,)(x x g x x f x F ，对任意给定的正实数a ，曲线)(x F y =上是否存在两点Q P ,，使得POQ ∆是以O 为直角顶点的直角三角形（O 为坐标原点），且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．参考答案一、填空题1. {|01}x x <<2.01),,0(2≤+++∞∈∃x x x 3.14. 44π-5. 3-6. 217. 1 8.]23,2(--10.]10,(-∞ 11. 12 12.88,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦13．10二、解答题15. (Ⅰ)解：由CA Cb a b 2sin sin 2sin -=-及正弦定理有：C B 2sin sin = ∴2B C =或π=+C B 2若2B C=，且32C ππ<<，∴23B ππ<<，)(舍π>+C B ；∴2B C π+=，则A C =，∴ABC ∆为等腰三角形．………………7分(Ⅱ)∵ ||2BA BC +=，∴222cos 4a c ac B ++⋅=，∴222cos ()a B a c a-==，而C B 2cos cos -=，∴1cos 12B <<，∴2413a <<，∴2(,1)3BA BC ⋅∈． (14)分16.解：（1）证明：因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥BC ；又因为平面ABCD ⊥平面BCE ，且平面ABCD ∩平面BCE ＝BC ，AB ⊂面ABCD ， 所以AB ⊥平面BCE ， ……………………3分 因为CE ⊂平面BCE ，所以CE ⊥AB ………………3分 又因为CE ⊥BE ，AB ⊂面ABE ，BE ⊂面ABE ，AB ∩BE ＝B ， 所以CE ⊥面ABE ………………6分 又CE ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面ABE ；…………………8分 （2）连结BD 交AC 于点O ，连结OF ，因为DE ∥平面ACF ，DE ⊂平面BDE ，平面ACF ∩平面BDF ＝OF ，所以DE ∥OF ， ………………12分 又因为矩形ABCD 中，O 为BD 中点，所以F 为BE 的中点，从而BF ：BE ＝1：2． ………………………14分 17.解：(Ⅰ)∵椭圆x 2 a 2 +y 2 b 2 =1(a ＞b ＞0)的离心率为1 2 ，且经过点P (1，32)，∴⎩⎨⎧a 2-b 2 a =121 a2 +9 4b 2=1，即 ⎩⎪⎨⎪⎧3a 2-4b 2=01 a 2 +9 4b 2 =1，解得 ⎩⎨⎧a 2=4b 2=3，∴椭圆C 的方程为x 2 4 +y 23=1。

2013届高三第一学期理科数学综合训练题四一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -1 2.已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为( )B. -2D. 2-3．若110lg lg lg lg 1092=++++x x x x ，则x x x x 1092lg lg lg lg ++++ 的值是( ) A ．1022 B ．1024C ．2046D ．20484．圆C 关于直线:210l x y -+=对称且圆心在x 轴上，圆C 与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．1)1(22=+-y x B ．1)1(22=++y xC ．41)21(22=-+y x D ．41)21(22=++y x5．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线； ③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．46．已知函数2221,0()21,0x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不等式成立的是( )A. 12()()0f x f x +<B. 12()()0f x f x +>C. 12()()0f x f x ->D. 12()()0f x f x -<7．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任2011年世界大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知其中同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方法共有( )A ．24种B ．36种C ．48种D ．60种8.设},,20,20|),{(R ∈<<<<=c a c a c a A ，则任取A c a ∈),(，关于x 的方程022=++c x ax 有实根的概率为( )A ．22ln 1+ B ．22ln 1- C ．42ln 21+ D ．42ln 23-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9.已知命题“,|||1|2x R x a x ∃∈-++≤”是假命题，则实数a 的取值范围是____ ____. 10．在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx =+⎰，则公比q 为 ．11．如图1，已知一个锥体的正视图（也称主视图），左视图（也称侧视图）和俯视图均为直角三角形， 且面积分别为3，4，6，则该锥体的体积是 ．12.在二项式52a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中， x 的一次项系数是10-，则实数a 的值为 ．13．定义在R 上的奇函数()f x 满足(3)(f x f x -=+，且(1)f =，则(2011)(f f -= ． 14. 给出如图所示的程序框图，那么输出的数是________．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）某种项目的射击比赛，开始时在距目标100m 处射击，如果命中记6分，且停止射击；若第一次射击未命中，可以进行第二次射击，但目标已经在150m 处，这时命中记3分，且停止射击；若第二次仍未命中，还可以进行第三次射击，此时目标已经在200m 处，若第三次命中则记1分，并停止射击；若三次都未命中，则记0分，且不再继续射击．已知射手甲在100m 处击中目标的概率为12，他的命中率与其距目标距离的平方成反比，且各次射击是否击中目标是相互独立的．（1）分别求这名射手在150m 处、200m 处的命中率；（2）设这名射手在比赛中得分数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．正视图 左视图图116.（本题满分12分）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+(0,0,,)2A x ωϕπ>><∈R 的图象的一部分如下图所示.（1）求函数()f x 的解析式;（2）当2[6,]3x ∈--时,求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值.17.（本题满分14分）已知椭圆C ：)0( 12222>>=+b a by ax的离心率为23，过坐标原点O 且斜率为21的直线l 与C 相交于A 、B ，102||=AB ．（1）求a 、b 的值；（2）若动圆1)(22=+-y m x 与椭圆C 和直线 l 都没有公共点，试求m 的取值范围．18、（本小题满分14分）如图，AC 是圆O 的直径，点B 在圆O 上，︒=∠30BAC ，AC BM ⊥交AC 于点M ，⊥EA 平面ABC ，EA FC //，134===FC EA AC ，，． （1）证明：BF EM ⊥；（2）求平面BEF 与平面ABC 所成的锐二面角的余弦值．E19．（本小题满分14分）平面直角坐标系中，已知直线l :4=x ，定点)0,1(F ，动点),(y x P 到直线l 的距离是到定点F 的距离的2倍.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）若M 为轨迹C 上的点，以M 为圆心，MF 长为半径作圆M ，若过点)0,1(-E 可作圆M 的两条切线EA ,EB （A ，B 为切点），求四边形EAMB 面积的最大值．20．（本题满分14分）已知三次函数()()32,,f x ax bx cx a b c R =++∈.（1）若函数()f x 过点(1,2)-且在点()()1,1f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式；（2）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有12()()f x f x t -≤，求实数t 的最小值；（3）当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时()f x 的表达式.班级：__________ 座号：__________ 姓名：__________2013届高三第一学期理科数学训练题四答题卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9．______________；10．______________；11．______________；12．______________；13．______________；14．______________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．15．（本小题满分12分）16．（本小题满分12分）17．（本小题满分14分）18．（本小题满分14分）19．（本小题满分14分）ABC EFMO20．（本小题满分14分）。

高三二轮加强版练习综合卷（四）一、选择题1．已知i（A ）－1 （B）1 （C ）i （D ）－i2．公差不为零的等差数列的第二、三、六项依次成等比数列，则公比是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．532所示，则函数表达式为（ ）A B CD4．直线cos140sin 400x y ︒+︒=的倾斜角是（ ） A ．040 B ．050 C ．0130 D ．01405．一枚硬币连掷5次，则至少一次正面向上的概率为（ ）A B C D 6．在1022)1)(1(x x x +-+展开式中4x 的系数为 （ ）A ．55B ．35C ．45D ．507．已知某个几何体的三视图如图（主视图中的弧线是半圆），根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）高考资源网（ ），您身边的高考专家A． BC ． D8．如图所示程序框图，若输出的结果y的值为1，则输入的x 的值的集合为A．{3} B ．{2，3} C ．9．已知点),(y x P 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+≤632x y y x xy ，则y x z 2-=的最大值是（ ）（A ）3- （B ）2- （C ）1- （D ）2 （B ）10．如图S 为正三角形ABC 所在平面外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝AB ，E 、F 分别为SC 、AB 中点，则异面直线EF 与AB 所成角为 ( )A ．60ºB ．90ºC ．45ºD ．30º11．，）的右焦点与抛物线的焦点相同，8π+12π+0m >0n >28y x =（）A. B. C.D.12．若存在过点的直线与曲线都相切，则等于( )A．．或二、填空题13___________．14．在平面直角坐标系xOy中，过定点(0)C，1作直线与抛物线22x y=相交于A B，两点．若点N是点C关于坐标原点O的对称点，则ANB△面积的最小值为．15①②的最大值是2；③函数)(xfy=有两个零点；R上恒成立；其中正确的命题有．（把正确的命题序号都填上）16．F作一条渐近线的垂线，若垂足恰在线段OF（O 为原点）的垂直平分线上，则双曲线的离心率为___________．三、解答题17．（本小题满分12分）(1,0)3y x=a 1-1-7()f x()f x高考资源网（ ），您身边的高考专家的最小正周期为．（Ⅰ）求；时，求函数的值域． 18．（本小题满分12分）某赛季，甲、乙两名篮球运动员都参加了7场比赛，他们所有比赛得分的情况用如图所示的茎叶图表示．（Ⅰ）求甲、乙两名运动员得分的中位数； （Ⅱ）你认为哪位运动员的成绩更稳定？（Ⅲ）如果从甲、乙两位运动员的7场得分中各随机抽取一场的得分，求甲的得分大于乙的得分的概率．19．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形，其中∠=90º，．点、分别是、的中点，现将△沿着边折起到△位置，使⊥，连结、．（Ⅰ）求证：⊥；（Ⅱ）求二面角的余弦值．20．（本小题满分12分）π()f x )(x f RBC RBC 2==BC RB A D RB RC RAD AD PAD PA AB PB PC BC PB P CD A --ABCPDR（22{}n n c c n +的前项和为n T ，是否存在正整整m ，使得对于*n N ∈恒成立，若存在，求出m 的最小值，若不存在，说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数，（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围； （2）令，是否存在实数，当（是自然常数）时，函数的最小值是3，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）当时，证明：22．（本小题满分13分）（注意：在试题卷上作答无效）和圆O ：222x y b +=，过椭圆上一点P 引圆O 的两条切线，切点分别为,A B ． （Ⅰ）（ⅰ）若圆O 过椭圆的两个焦点，求椭圆的离心率e ；（ⅱ）若椭圆上存在点P ，使得90APB ∠=，求椭圆离心率e 的取值范围； （Ⅱ）设直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点M ，N ，求证：值．23．选修4-1：几何证明选讲（10分）如图ABC ∆内接于圆O ，AC AB =，直线MN 切圆O 于点C ，弦BD AC MN BD 与,//相交于点E 。

2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 4：数列一、选择题1 ．（ 2013 年高考上海卷（理） ） 在数列 { a n } 中, a n 2n1, 若一个 7 行 12 列的矩阵的第 i行第 j 列的元素 aa a j a a j ,( i 1,2, ,7; j 1,2, ,12 ) 则该矩阵元素能取到 i ,j i i 的不同数值的个数为( ) (A)18 (B)28 (C)48 (D)63【答案】 A.2 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ） 已知数列 a n 满足 3a n 1 a n 0, a 2 4 的前10, 则 a n 项和等于 3(A) 6 1 3 10 (B) 1 1 310 (C) 3 1 3 10 (D) 3 1+3 109 【答案】 C3 ．（ 2013 年高考新课标1（理）） 设 A n B n C n 的三边长分别为 a n , b n , c n , A n B n C n 的面积为 S n , n 1,2,3, , 若b 1c 1,b 1 c 1 2a 1 , a n1 a n , b n 1c n an, c n 1b n a n , 则 ( ) 2 2 A.{ Sn} 为递减数列 B.{ Sn} 为递增数列C.{ S2n-1 } 为递增数列 ,{ S2n} 为递减数列D.{ S2n-1 } 为递减数列 ,{ S2n} 为递增数列【答案】 B4 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数 y=f (x) 的图 像如图所示 , 在区间a,b 上可找到 n(n 2) 个不同的数 x 1,x 2 ...,x n , 使得 f (x 1 ) f (x 2 ) f (x n )则 n 的取值范围是x 1 = = ,x 2 x n(A) 3,4 (B) 2,3,4 (C) 3,4,5 (D) 2,3【答案】 B5 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯 WORD版））已知等比数列{ a n }第 1 页共 19 页的公比为 q, 记 b n a m( n 1) 1 a m( n 1)2... a m (n 1) m , cn am(n 1) 1 am( n 1) 2 ... am (n 1) m (m, n N * ), 则以下结论一定正确的是 ( ) A. 数列 {b n }为等差数列, 公差为 q mB.数列 { b n } 为等比数列 , 公比为q 2mC.数列 { c n }为等比数列, 公比为 q m2 D. 数列 { c n } 为等比数列 , 公比为 q mm【答案】 C6 （． 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ 卷数学（理）（纯 WORD 版含答案））等比数列 a n 的前 n 项和为 S n , 已知S 3a 2 10a 1 , a 5 9 , 则 a 1 1 (B)111(A)3 (C)(D)39 9【答案】 C7（． 2013 年高考新课标 1（理））设等差数列 a n 的前 n 项和为 S n , S m 1 2, S m 0,S m 1 3 , 则 m ( )A.3B.4C.5D.6【答案】C8 ．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学 （理）试题（ WORD 版））d 0下面是关于公差 的等差数列a n 的四个命题 :p 1 : 数列 a n 是递增数列； p 2 : 数列 na n是递增数列；p 3 : 数列a n 是递增数列； p 4 : 数列 a n 3nd 是递增数列；n 其中的真命题为(A)p 1, p 2 (B ) p 3 , p 4 (C) p 2 ,p 3 (D) p 1, p 4 【答案】D9 ．（ 2013 年高考江西卷（理） ） 等比数列 x,3x+3,6x+6,.. 的第四项等于A.-24B.0 C.12 D.24 【答案】A二、填空题10．（ 2013 年高考四川卷（理））在等差数列{ a n } 中 , a2a18 , 且 a4为 a2和 a3的等比中项 ,求数列 { a n} 的首项、公差及前n 项和 .【答案】解 : 设该数列公差为 d , 前 n 项和为 s n . 由已知 , 可得第2 页共 19 页2a1 2d 8, a1 3d 2a1 d a1 8d .所以 a1 d 4,d d 3a10 ,解得 a14,d 0 , 或a11,d 3 , 即数列a n的首相为 4, 公差为 0, 或首相为 1, 公差为 3.所以数列的前 n 项和 s4n 或s n3n2n n211（． 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯 WORD版含答案））等差数列an的前 n 项和为 S , 已知S 0,S25 , 则 nS 的最小值为 ________.n 115 n【答案】4912．（ 2013 年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数1,3,6,10,, 第n个三角形数为n n 11 n21 n . 记第 n 个k边形数为2 2 2N n,k k 3 , 以下列出了部分k 边形数中第 n 个数的表达式 :三角形数N n,3 1 n2 1 n2 2正方形数N n,4 n2五边形数N n,5 3 n2 1 n2 2六边形数N n,6 2n2n可以推测 N n,k 的表达式 , 由此计算 N 10,24 ___________.选考题【答案】 100013．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））在正项等比数列{ an }中 , a5 12,a6a73, 则满足a1a2 ana1a2an 的最大正整数n 的值为_____________.【答案】1214．（ 2013 年高考湖南卷（理））设Sn 为数列an的前n 项和 ,Sn( 1)nan12n,nN , 则(1) a3 _____;(2)S1S2 S100___________.【答案】 1 ; 1( 110016 3 21)第3 页共19页15．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学 （理） 试题（纯 WORD 版））当 x R, x 1时 ,有如下表达式 :1x x 2 ... x n ... 1 1 .x 1 1 1 11 1 两边同时积分得 :21dx 2 xdx 2 x 2dx ... 2 x n dx ... 2 dx. 0 0 0 0 0 1 x从而得到如下等式 : 1 1 1 ( 1 )2 1 ( 1 ) 3 ... 1 ( 1 )n1 ... ln 2.2 2 23 2 n 1 2 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法, 计算 :0 11 1 1 2 1 2 1 3 1 n 1 n1C n 2 2C n( 2 ) 3C n( 2 ) ... n 1C n( 2) _____ 【答案】 n 1 [( 3 )n1 1]1 216．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）） 已知a n 是等差数 列, a 1 1, 公差 d0 , S n 为其前 n 项和 , 若 a 1 , a 2 , a 5 成等比数列 , 则S 8 _____ 【答案】6417．（ 2013 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）若等差数列的前 6 项和为 23, 前 9 项和为 57, 则数列的前 n 项和 S n =__________. 【答案】 5 n 2 7 n6618．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））在等差数列 an 中 , 已知 a 3a 810, 则 3a 5 a 7 _____.【答案】 2019．（ 2013 年高考陕西卷（理） ） 观察下列等式 :12 112 2 2 3 12 22 32 6122232421照此规律 ,2- 2232-n-1n2 （- 1) n 1第 n 个等式可为___1 （ - 1）2n(n 1)____.【答案】2-2232-n-1n2（ -1)n1n(n 1) 1 （ -1）220．（ 2013 年高考新课标1（理））若数列 { a n } 的前 n 项和为 Sn=2a n1, 则数列{a n } 的通项3 3第 4 页共 19 页公式是 a n =______.【答案】 a n = ( 2)n 1 .21．（ 2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））如图 , 互不 - 相同的点 A1 , A2 , X n , 和 B1, B2, B n , 分别在角 O的两条边上 , 所有 A n B n相互平行 , 且所有梯形 A n B n B n 1 A n 1的面积均相等 . 设 OA n a n . 若 a11, a22, 则数列a n的通项公式是_________.【答案】 a n3n 2, n N *22．（ 2013 年高考北京卷（理））若等比数列 { an} 满足a2+a4=20,a3+a5=40, 则公比q=_______;前n 项和 Sn=___________.【答案】 2, 2n 1 223．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（ WORD版））已知等比数列a n是递增数列 , S n是a n 的前 n 项和 , 若 a1，a3是方程x25x 4 0 的两个根 , 则S6 ____________. 【答案】 63三、解答题24．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））设函数f n (x) 1 x x2x2x n n) , 证明 : 22 2n2(x R, nN3( Ⅰ) 对每个n N n , 存在唯一的x n[2,1] , 满足 f n( x n );31( Ⅱ ) 对任意p N n , 由 ( Ⅰ ) 中x n构成的数列x n满足 0xnx np .n【答案】解: ( Ⅰ) n 2 3 4 n当 x 0时， y x 2是单调递增的f n( x) 1 x x 2x2x2x 2是 x的n 2 3 4n第 5 页共 19 页单调递增函数 , 也是 n 的单调递增函数 .且 f n (0) 1 0, f n (1) 1 1 0. 存在唯一 x n (0,1], 满足 f n( x n ) 0，且1 x 1 x 2 x 3 x n 0当 x (0,1).时, f n ( x) 1 x x 2 x 3x 4x n 1 x 2 1 x n 1 xx 2122 2222 22x 1 4 1 x4 1 x0 f n ( x n ) 1 x n xn 2 1 (x n 2)(3x n 2)0 x n2 4 1 x n [ ,1]3综上 , 对每个nN n , 存在唯一的 x n [ 2 ,1] , 满足 f n( x n )0 ;( 证毕 )3( Ⅱ) 由题知 1 x n x n p 0, f n ( x n ) 1 x n x n 2 x n 3 x n 4 x n n0 22 32 42 n 2 23 4 n n 1 n pf n p ( x n p ) 1 x n p x n p x n p xnpx n p x n p x n p 0 22 32 4 2 n 2 (n 1)2(n p)2上 式相减:x n 2 x n 3 x n 4x n n2 xn p 3xn p 4xn p nxn p n 1 n p x nx nxn pxn p 22 32 42 n 2 p 22 32 42 n 2 ( n 1) 2( n p) 2223 34 4nnn 1n px n - x n p （ xn p - xnxn p - xn xn p - xn xn p -xn ）（ xn p xn p ） 2 2 3 24 2 n 2 (n 1) 2 (n p) 2111 xn - xn 1 .n n p n pn法二 :第 6 页共 19 页25 ．（ 2013 年 高 考 上 海 卷（ 理 ）） (3分 +6 分 +9 分 ) 给 定 常 数 c 0 , 定 义 函 数 f ( x) 2 | x c 4 | | x c |, 数列 a 1 ,a 2 , a 3 , 满足 a n 1 f (a n ), n N *.(1) 若 a c 2 , 求 a 及 a ;(2) 求证 : 对任意 nN * , a 1 a c ,; 1 2 3 n n (3) 是否存在 a 1 , 使得 a 1 , a 2 , a n , 成等差数列 ? 若存在 , 求出所有这样的 a 1 , 若不存在 , 说 明理由 .【答案】 :(1)因为 c0 , a 1( c 2) , 故 a 2 f (a 1) 2| a 1 c 4| |a 1c | 2 , a 3 f (a 1) 2| a 2 c 4| | a 2 c | c 10第 7 页共 19 页(2) 要证明原命题 , 只需证明 f ( x) x c 对任意 x R 都成立 ,f ( x) x c 2 | x c 4 | | x c | xc即只需证明2 | x c 4 | | x c | +x c 若 x c 0 , 显然有2 | x c 4 | | x c | +x c=0 成立 ; 若 x c 0 , 则 2 |x c 4 | |x c | + x c x c 4 x c 显然成立 综上 , f ( x) x c 恒成立 , 即对任意的nN *, a n 1 a n c (3) 由(2)知, 若 { a n } 为等差数列 , 则公差 d c 0 , 故 n 无限增大时 , 总有 a n 0 此时 ,a n 1 f (a n ) 2(a nc 4)(a n c) a n c 8即 d c 8故 a 2f (a 1 ) 2| a 1 c 4| |a 1 c | a 1 c 8, 即2 | a 1 c 4 | | a 1 c | a 1 c 8,当 a c 0 时 , 等式成立 , 且 n 2 时 , a0 , 此时 { a } 为等差数列 , 满足题意 ; 1 n n 若 a 1 c 0 , 则 |a 1 c 4| 4 a 1 c 8 , 此时 ,a 20,a 3 c 8, , a n ( n 2)(c 8) 也满足题意 ;综上 , 满足题意的 a 1 的取值范围是 [c, ) { c 8} .26．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学） （已校对纯 WORD 版含附加题） ） 本小题满分10分 . k 个：1， 2， 2 , 3，,3 ,，3 ，4 ， k- 1 k -1设 数 列 （ ） ， ，（ ） , 即 当 a n - -- 4 ， ， 4 - 1k - - - - 1 k（ k ） k （ ）k 1 1 n k k 1 k N 时 , a n k ,记S n a 1 a 2 a n n N , 对2 2 （- 1）于 l N , 定义集合 P l n S n 是 a n 的整数倍，nN ，且 1 n l(1) 求集合 P 11 中元素的个数 ;(2) 求集合 P 2000 中元素的个数 .【答案】 本题主要考察集合. 数列的概念与运算 . 计数原理等基础知识 , 考察探究能力及运用 数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力.第 8 页 共 19 页(1)解 :由 数 列a n的 定义 得 : a 1 1 , a 22 , a3 2 , a4 3 , a5 3 , a6 3 , a7 4 , a8 4 , a 94 ,a104, a 11 5 ∴ S 1 1, S 2 1 , S 3 3 , S 40 , S 3 , S 6 , S 2 , S 8 2 , S 9 6 ,5 6 7 S1010 ,S 11 5 ∴ S 1 1 a 1 , S 4 0 a 4 ,S 51 a 5 , S 62 a 6 , S 11 1 a 11 ∴集合 P 11 中元素的个数为5 (2) 证明 : 用数学归纳法先证(21) Si ( 2i 1) i i事实上 ,① 当 i 1时 ,Si( 2i 1) S 31 (2 1)3 故原式成立② 假设当 i m 时 , 等式成立 , 即(2 1) 故原式成立 Sm(2 m 1) m m 则: i m 1, 时 ,S( m1)[ 2( m 1) 1} S ( m 1)( 2m 3} Sm(2m 1) ( 2m 1) 2 (2m 2)2m(2m 1) (2m 1) 2 (2m 2)2(2m 2 5m 3) ( m 1)( 2m 3)综合①②得 :Si (2 i 1) i (2 i 1) 于是S( i 1)[ 2i 1} Si ( 2i 1} (2i 1) 2 i (2i 1) (2i 1)2 (2i 1)(i 1) 由上可知 : S i ( 2i 1} 是 (2i1) 的倍数而 a 1)( 2i 1} j 2i 1( j 1,2, ,2i 1) , 所以 SSj i 1) 是( i i (2i 1)j i (2 i 1)(2a(i 1)( 2i 1} j ( j 1,2,,2i1) 的倍数又S( i 1)[2i1}(i1)(2 1)不是2i 2 的倍数 ,i而(2 2)( 1,2, ,2 2) a(i1)(2i1} j i j i所以(22) (2 1)( 1) (22)不是S( i1)( 2i1) j S(i1)(2i1) j i i i j i第 9 页共 19 页a(i 1)( 2 i 1} j ( j 1,2, ,2i 2) 的倍数故当 l i(2i1) 时, 集合 P l 中元素的个数为1 3 （2i -1） i2 于是当li( 2i 1) j （1 j 2i 1）时 , 集合 P l 中元素的个数为 i 2 j 又 2000 31 （2 31 1） 47 故集合 P 2000 中元素的个数为312 47 100827．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版）） 在公差为 d 的等 差数列 { a n } 中 , 已知 a 1 10 , 且 a 1 ,2a 2 2,5a 3 成等比数列 .(1) 求 d, a n ; (2) 若 d 0 , 求 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | . 【答案】 解:(Ⅰ) 由已知得到 :(2 a 2 2) 2 5a a 4(a d 1)2 50(a 2d ) (11 d ) 2 25(5 d ) 1 3 1 1121 22d d 2 125 25d d 2 3d 4 0d 4d 1a n 4n 或6a n 11 n ; ( Ⅱ) 由 (1) 知 , 当d0 时 , a n 11 n , ①当 1 n 11 时 ,a n0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1 a 2a 3a n n(10 11 n)n(21 n)2 2②当 12 n时 ,a n 0 | a 1 | | a 2 | | a 3 | | a n | a 1 a 2 a 3a11 (a 12 a 13 a n ) 2( a 1 a 2 a 3 a 11 ) (a 1 a 2 a 311(21 11) n(21 n) n 2 21n 220a n ) 2 2 2 2n(21 n) ,(1 n 11)所以 , 综上所述 : | a || a | | a || a 2 ; n |1 2 3n221n 22012)2,( n28．（ 2013 年高考湖北卷（理））已知等比数列a n 满足 :a2a310 , a1a2a3 125 .第 10 页共 19 页(I)求数列 a n的通项公式 ;(II) 是否存在正整数m , 使得1 1 11 ?若存在 , 求 m 的最小值 ; 若不存在 , 说a1a2a m明理由 .【答案】解 :(I) 由已知条件得 : a25 , 又a2q 1 10 , q 1或 3 ,所以数列an的通项或 a n53n2(II) 若 q 1, 1 111或 0 , 不存在这样的正整数m ;a1a2a m 5m9 , 不存在这样的正整数 m .若q 3, 1 1 1 9 1 1a1a2a m10 31029．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列 a 的前nn 项和为 S n , 且S44S2 , a2 n2a n1. ( Ⅰ) 求数列a n的通项公式 ;( Ⅱ) 设数列b n 前 n 项和为 T n , 且T n a n1( 为常数 ).令 c n b2n(nN * ) . 求数2n列 c n的前 n 项和 R n .【答案】解:( Ⅰ) 设等差数列an 的首项为a1 , 公差为d , 由S44S2 ,a2n 2a n 1得4a16d 8a14da1 (2n 1)2a1 2(n 1)d 1 ,解得,a1 1, d 2因此a n2n 1( nN * )T nn2 1( Ⅱ) 由题意知 : nb nT n T n nn1所以n12n22时 ,2n 1第 11 页共 19 页2n 2 1 n 1故, c n b2n22n 1 ( n1)( 4)(n N * )R n0 ( 1) 0 1 ( 1)1 2 ( 1) 2 3 ( 1) 3(n 1) ( 1) n 1所以4 4 4 4 4 ,1 R n0 ( 1)1 1 (1 )2 2 (1 )3(n 2) ( 1) n 1(n 1) ( 1)n 则4 4 44 4 43 R n( 1 )1 ( 1 )2( 1 )3 (1 )n1(n 1) (1 ) n两式相减得44 4 4 4 4 1 (1 )n1)(1 )n4 4 (n11 44R n 1 3n 1) (44n 1整理得9的前 n 项和Rn 13n 1所以数列数列c n9 (4 4n 1 ) 30．（ 2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））本小题满分16 分 . 设{ a} 是首项为a, 公差为 d 的等差数列(d0) , S是其前n项和 .记n nb n nS n, n N*, 其中c为实数 .n2 c(1 ) 若c 0 ,且 b1，b2，b4成等比数列 , 证明 : S nk n2S k ( k,nN* );(2 ) 若 { b n } 是等差数列 , 证明 : c0 .【答案】证明 : ∵ { a n} 是首项为 a , 公差为 d 的等差数列 ( d 0) ,S n是其前 n 项和∴ S n na n(n 1) d2(1) ∵0 ∴S n a n 1 dc bnn 2∵ b1， b2，b4成等比数列∴b2 2 b1b4∴ (a 1 d ) 2 a( a3 d )2 2∴1ad 1 d 2 0 ∴1 d( a1 d ) 0 ∵ d 0 ∴ a 1 d∴ d 2a2 4 22 2∴ S n na n(n 1) d na n(n 1) 2a n 2a2 2第 12 页共 19 页∴左边 =S nk(nk) 2 a n2 k 2 a 右边 = n 2S k n2 k 2 a∴左边 =右边∴原式成立(2) ∵ { b n } 是等差数列∴设公差为d1 , ∴b n b1(n1) d1带入b nnSn得:n2 cb1(n 1)d1nS n1d )n3(b1d1 a1 2cd1 n c(d1b1) 对n 2 c∴ ( d1 d ) n2 2n N 恒成立d1 1 d02∴ b1d1a 1 d02cd10c(d1b1 ) 0由①式得 : d1 1 d∵ d 0 ∴ d102由③式得 : c 0法二 : 证 :(1)若 c 0 , 则 a n a ( n 1)d , S n n[(n1)d 2a] , b n(n 1)d 2a .2 2当 b1， b2，b4成等比数列 ,b22b1b4 ,d 23d即: a a a , 得 : d 22ad , 又d0 , 故d 2a .22由此 : S n n 2 a ,S nk( nk) 2an 2k 2 a , n2S kn 2 k 2a .故: S nk n2S k ( k, n N * ).nS n n2(n1)d2a(2) b n2, n2c n 2 cn2(n 1)d2ac(n1)d 2ac(n1)d2a 2 2 2n2 c(n 1)d2ac(n 1)d 2an 22 . ( ※) 2 c若 { b n} 是等差数列 ,则 b n An Bn 型.观察 ( ※) 式后一项 , 分子幂低于分母幂 ,第 13 页共 19 页c(n 1) d 2a1)d 2a ( n 1)d2a故有 :2 (n≠0, n20 , 即 c 0 , 而2c 2故 c 0. 经检验 , 当c 0 时 {b n} 是等差数列 . 31．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））等差数列a n 的前 n 项和为 S n , 已知 S3=a22, 且 S1 , S2 , S4成等比数列 ,求 a n的通项式 .【答案】32．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为 3 的等比2数列{ a n } 不是递减数列 , 其前3 3 5 54 4成等差数n 项和为 S n ( n N *) , 且S + a ,S+a , S + a列. ( Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式 ;( Ⅱ )设 T nS n1 ( nN* ) ,求数列 { Tn } 的最大项的值与最小项的值 .S n【答案】第 14 页共 19 页-33 ．（2013 年高考江西卷（理））正项数列 {a n} 的前项和{an} 满足: sn2 (n2n 1)sn ( n2n) 0(1) 求数列 {a n} 的通项公式an;(2) 令b nn 12, 数列{b} 的前 n 项和为 T n . 证明 : 对于任意的 n* 5 2nN , 都有T n(n 2) a 64【答案】 (1) 解 : 由S n2(n2n 1)S n(n2n) 0 , 得S n(n2n) (S n1) 0 .由于an 是正项数列 , 所以 S 0, S n2n.n n于是 a1S12,n 2时 , an S n S n 1 n2n (n 1)2(n 1) 2n .综上 , 数列a n的通项 a n2n .(2) 证明 : 由于an2n, bnn 1. (n2) 2a n2则 b n n 1 1 1 1 .-4n2(n2)216 n2( n 2)2第 15 页共 19 页T n 1 1 1 1 1 1 1 ⋯ 1 11132 22 4232 52 (n 1)2 (n 1)2n 2 ( n 2)216 1 1 1 1 1 1 1 516 2 2 (n 2 (n 2) 2 (1 2 ) 64 . 1) 16 234．（ 2013 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯 WORD 版））设数列 a n 的前n项和为 S n . 已知 a 1 2S na n 1 2 n 2 n * 1,1 n , N . n 3 3( Ⅰ) 求 a 2 的值 ;( Ⅱ) 求数列 a n 的通项公式 ;( Ⅲ) 证明 : 对一切正整数n, 有 11 1 7 . a 1 a2 a n 4【答案】 .(1) 解 : 2S n an1 1 n2 n 2, n N . n3 3 当n 1 时 , 2a 1 2S 1a 2 1 1 2 a 2 2 3 3 又a 11, a 2 4(2)解 :2S n a n 1 1n 2 n 2 , n N . n 332S n na n 1 1 n3 n 22n na n 1 n n 1 n 2① 33 3当 n 2时 , 2S n 1 n 1 a n n 1 n n 1 ②3 由① — ②, 得2S n2S n 1 na n 1 n 1 a n n n 1 2a n 2S n 2S n 12a n na n 1 n 1 a n n n 1a n 1 a n 1 数列 a n 是以首项为a 1 1 , 公差为 1 的等差数列 .n 1 n n1 a n 1 1 n 1 n, a n n2 n 2n当 n 1时 , 上式显然成立 . a n n2 , n N *(3) 证明 : 由(2) 知 ,a nn2 ,n N *第 16 页共 19 页①当 n 1时 , 1 1 7 , 原不等式成立 .a 1 4 ②当 n 2 时 , 111 1 7原不等式亦成立 .a 1 a 2 , 4 4 ③当 n 3时,n 2n 1 n 1 , 1 n 1 1 1n 2 n111 1 1 11 1111a 1 a 2a n 12 22n 21 32 4 n 2 n n 1 n 11 1 1 1 1 1 1 1 111 1 1 111 1 32 2 42 3 5 2 n 2 n 2 n 1 n 121 1 1 1 1 1 111111 1 32 43 5n 2 n n 1 n 12 1 1 1 117 1117 112 n n 14 2n n 14 2 当 n 3时 ,, 原不等式亦成立 .综上 , 对一切正整数 n ,有 11 1 7 .a 1 a 2 a n 4 35．（ 2013 年高考北京卷（理） ）已知 { a } 是由非负整数组成的无穷数列 , 该数列前 n 项的最大n 值记为 An, 第 n 项之后各项 a n 1 , a n 2 , 的最小值记为 Bn,dn=An- Bn . (I) 若 { an} 为 2,1,4,3,2,1,4,3,, 4 的数列 ( 即对任意* a n ), 写出是一个周期为 n ∈N , a n 4 d1, d2 , d3, d4 的值 ;(II) 设 d 为非负整数 , 证明 : dn=- d( n=1,2,3) 的充分必要条件为 { an} 为公差为 d 的等差数列 ;(III) 证明 : 若 a =2, d =1( n=1,2,3,), 则 { a } 的项只能是 1 或者 2, 且有无穷多项为 1.1 n n【答案】 (I) d1d21,d3 d4 3.(II)( 充分性 ) 因为a n 是公差为d 的等差数列 ,且 d 0, 所以 a1a2a n.因此 A n a n , B n a n 1 ,d n a n a n1 d (n 1,2,3, ) .( 必要性 ) 因为 d n d0 (n 1,2,3, ) , 所以 A n B n d n B n .第 17 页共 19 页又因为a n A n , a n1B n,所以 ana n1.于是 Ana n , B n a n1.因此 a n 1a n B n A n d n d , 即 an是公差为 d 的等差数列 .(III) 因为a12,d11, 所以A1a1 2,B1A1 d11. 故对任意n 1,a n B1 1.假设 a (n2) 中存在大于2的项 .n设 m 为满足a n 2 的最小正整数 , 则m 2, 并且对任意1 km,a k 2 ,.又因为a1 2 ,所以 A m 12 , 且A m a m 2 .于是 B m A m d m 2 1 1,Bm1min a m , B m 2 .故 d m 1A m 1B m12 2 0 , 与 d m11 矛盾 .所以对于任意n 1, 有 a 2 , 即非负整数列an的各项只能为 1 或 2.n因此对任意n 1, a 2 a , 所以 A 2 .故B n A n d n 2 1 1.n 1 n因此对于任意正整数n , 存在 m 满足mn , 且 a m1, 即数列a n有无穷多项为1.36．（ 2013 年高考陕西卷（理））设 { a n } 是公比为 q 的等比数列 .( Ⅰ) 导 { a n } 的前 n 项和公式 ; ( Ⅱ ) 设 q≠1, 证明数列 { a n1} 不是等比数列 . 【答案】解:( Ⅰ) 分两种情况讨论 .①当q 1时，数列 { a n } 是首项为 a1的常数数列，所以S n a1a1a1na1 .②当q 1时，S n a1a2a n 1 a n qS n qa1qa2qa n 1qa n .上面两式错位相减: （1-q)S n a1(a2qa1 ) (a3 qa2 ) (a n qa n 1 ) qa n a1qa n .nSna1 qan . a1 (1 q ) .1 - q1- qna 1 ,(q1) ③综上 , Sna 1 (1q n )(q 1)1 ,q( Ⅱ ) 使用反证法 .第 18页 共 19 页设 { a n } 是公比 q≠1的等比数列 , 假设数列 { a n1} 是等比数列 . 则①当n N *，使得 an 1 =0 成立 , 则{ a n1}不是等比数列 .②当n N *，使得 an 1 0 成立 , 则an 1 1 a1q n 1 恒为常数a n 1 a1 q n 1 1a1q n 1 a1qn11当 a1 0时, q1. 这与题目条件≠1矛盾 .q③综上两种情况 , 假设数列 { a n 1} 是等比数列均不成立 , 所以当q≠1时 ,数列{ an1} 不是等比数列 .第 19 页共 19 页。

2013-2014学年高三阶段测试（理科数学）答案一．选择题1—5 DABAD 6—10BCBBC 11—12BA二、填空题（每小题5分，共20分） 13.617 14.-e -x 15.0 16.97- 三．解答题 17.（本小题满分10分）若sin α＋cos αsin α－cos α ＝2，求sin αcos α的值是 解：sinα+cosα=2sinα-2cosαsinα=3cosα代入恒等式sin²α+cos²α=1cos²α=1/10原式=(3cosα)cosα=3cos²α=3/1018．（本小题满分12分） 已知函数21()cos sin cos 2222x x x f x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若32()10f α=,求sin 2α的值. 解： (1)由已知,f(x)=212x cos 2x sin 2x cos 2-- 21sinx 21cosx 121--+=）（ ）（4x cos 22π+= 所以f(x)的最小正周期为2π,值域为⎥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22,22， (2)由(1)知,f(α)=，）（10234cos 22=+πα 所以cos(534=+πα). 所以）（）（42cos 22cos 2sin πααπα+-=+-= 257251814cos 212=-=+-=）（πα19.（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,60A = ,32,b c =332ABC S ∆=. （Ⅰ）求b 的值；（Ⅱ）求sin B 的值.解：（Ⅰ）由60A = 和332ABC S ∆=可得133sin6022bc = , 所以6bc =, 又32,b c =所以2,3b c ==.（Ⅱ）因为2,3b c ==,60A = ,由余弦定理2222cos a b c bc A =+-可得2222367a =+-=，即7a =. 由正弦定理sin sin a b A B=可得 72sin sin60B= ，所以21sin 7B =. 20. (本小题满分12分）已知二次函数()f x 的图像过A(－１，０)，B(3，０)，Ｃ（１，－８）．（1）求()f x 的解析式；（2）求不等式()0f x ≥的解集；（3）将()f x 的图象向右平移2个单位，求所得图象的函数解析式()g x ．解：(1)由题意可设f(x)=a(x+1)(x-3)，将C(1，-8)代入得-8=a(1+1)(1-3)，∴a=2，即f(x)=2(x+1)(x-3)=2x 2-4x-6。

广东省汕尾市陆丰市启恩中学2013年高考数学全真模拟试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．（5分）（2011•惠州模拟）已知集合A={（x，y）|x+y=0，x，y∈R}；B=[（x，y）|x﹣y=0，解：联立两集合中的方程得：，2．（5分）的值是（）解：因为===3．（5分）（2011•惠州模拟）已知向量，，若向量，⇔，，4．（5分）已知a＞0，且a≠1，（）=5．（5分）（2011•惠州模拟）已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中：①若α∥β，l⊂α，则l∥β ②若α∥β，l⊥α，则l⊥β③若l∥α，m⊂α，则l∥m ④若α⊥β，α∩β=l，m⊥l，则m⊥β其中，真命题6．（5分）（2013•河东区二模）给出计算的值的一个程序框图如图，其中判断框内应填入的条件是（）时，总共经过了28．（5分）（2011•惠州模拟）规定记号“⊗”表示一种运算，即a⊗b=ab+a+b2（a，b为正实数），二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）9．（5分）在约束条件下，函数S=2x+y的最大值为 2 ．有约束条件（10．（5分）如图，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的体积为π．故答案为：11．（5分）（2012•普陀区一模）的展开式中的常数项是﹣20 ．（用数字作答）12．（5分）（2011•惠州模拟）一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：（其*则样本在区间[10，50 ）上的频率0.7 ．=13．（5分）已知数列{a n}满足a1=2，a n+1=2a n+1（n∈N*），则a4= 23 ，该数列的通项公式a n= 3•2n﹣1．14．（5分）（2012•汕头二模）（几何证明选讲选做题）四边形ABCD内接于⊙O，BC是直径，MN切⊙O于A，∠MAB=25•，则∠D=115°．所对的弧是15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是ρ=2cos（θ﹣1）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（12分）在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a，b，c，已知，且最长边的边长为l，求：（1）角C的大小；（2）△ABC最短边的长．；，解得．17．（12分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+5，在函数f（x）图象上一点P（1，f（1））处切线的斜率为3．（1）若函数y=f（x）在x=﹣2时有极值，求f（x）的解析式；（2）若函数y=f（x）在区间[﹣2，1]上单调递增，求b的取值范围．时，18．（14分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；（2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率；（3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望．根据独立重复事件的定义知：=3×=）．，=3×19．（14分）（2012•孝感一模）如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD=AB=2，E，F，G分别为PC、PD、BC的中点．（1）求证：PA⊥EF；（2）求二面角D﹣FG﹣E的余弦值．=，得=∴，得=＜，20．（14分）（2008•广州一模）已知函数f（x）=e x﹣x（e为自然对数的底数）．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若n∈N*，证明：．令则∴．令．∵，21．（14分）（2012•湖南模拟）已知抛物线L：x2=2py（p＞0）和点M（2，2），若抛物线L 上存在不同的两点A、B满足．（1）求实数p的取值范围；（2）当p=2时，抛物线L上是否存在异于A、B的点C，使得经过A、B、C三点的圆和抛物线L在点C处有相同的切线？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．先利用上存在点，∴解得．．。

启恩中学2013届高三数学（理）综合训练题(一)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知R 为实数集，2{|20},{|1}M x x x N x x =-<=≥，则=)(N C M R ( ) A ．{|01}x x << B ．{|02}x x << C ．{|1}x x < D ．∅ 2．若(12)1ai i bi +=-，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则||a bi += （ ）A ．12i + BC． D ．543.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A. 3y x = B. ln y x = C. 21y x =D. cos y x = 4．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d =( ) A ．23-B ．13-C ．13D ．235．函数2()ln(1)f x x x=+-的零点所在的大致区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ． )3,2( D ．(3,4)6．已知双曲线)0,0(,12222>>=-b a by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为( ) A ．34 B ．23 C ．45 D ．357．若一个正三棱柱的三视图如图所示，则 这个正三棱柱的表面积为( ) A ．318 B ．315C ．3824+D ．31624+8．已知平面区域1(,)01y x x y y x ⎧⎫+⎧⎪⎪⎪Ω=⎨⎨⎬⎪⎪⎪⎩⎩⎭≤≥≤,||1(,)0y x M x y y ⎧⎫-+⎧⎪⎪=⎨⎨⎬⎩⎪⎪⎩⎭≤≥，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为( ) A ．12 B ．13C ．14D ．23二、填空题：(本大题共7小题，其中9-13题为必做题. 14、15题为选做题，任选一题完成。

2013届启恩中学高三理科数学考练试题（时间：60分钟 满分：82分）一．选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B=（ ） （A ）（1，2） （B ）[1，2] （C ）[ 1，2） （D ）（1，2 ]2.设i 为虚数单位，则复数34ii+=（ ） A. 43i -- B. 43i -+ C. 43i + D. 43i -3.命题“存在实数x ，使x > 1”的否定是（ ）（A ）对任意实数x , 都有x >1 （B ）不存在实数x ，使x ≤1 （C ）对任意实数x , 都有x ≤1 （D ）存在实数x ，使x ≤1 4.下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（ ） A. 1y x =+ B. 2y x =- C. 1y x= D. ||y x x = 5．若f x x (ln )=+34，则f x ()的表达式为（ ） A ．3ln x B ．3ln 4x + C ．3xe D ．34xe +6．函数()ln 26f x x x =+-的零点一定位于下列哪个区间（ ） A ．()1,2 B ．()2,3 C ．()3,4 D ．()5,67.设变量,x y 满足约束条件22,24,41,x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则目标函数3z x y =-的取值范围是( ）(A)3[,6]2- (B)3[,1]2-- (C)[1,6]- (D)3[6,]2-8．函数2()21f x ax x =++在(,0)-∞上至少有一个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．0a < B ．1a ≤ C ．0a <或01a <≤ D ．01a <≤班级 姓名 座号 总分二、填空题（本大题共6题，每小题5分，满分30分。

2013届高三理科数学综合训练题（二）（本试卷共4页，21小题，满分150分。

考试用时120分钟）参考公式：如果在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率记为(|)P B A ,那么()()(|)P AB P A P B A =.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 已知集合，集合，则A B = （ ） A. B. C. D. 2．若p 是真命题，q 是假命题，则（ ）A ．p q ∧是真命题B ．p q ∨是假命题C ．p ⌝是真命题D ．q ⌝是真命题 3．4)2(x x +的展开式中3x 的系数是（ ）A ．6B ．12C ．24D ．484．在A B C ∆中，a b c ，，分别为角A B C ，，所对边，若2cos a b C =，则此三角形一定是( )A ．等腰直角三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形5．已知实数4,,9m 构成一个等比数列，则圆锥曲线221xy m+=的离心率为（ ）630.A 7.B 7630.或C 765.或D6．阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是（ ）．A ．3B ．11C ．38D ．123 7．已知x 、y 的取值如下表所示：若y 与x 线性相关， 且ˆ0.95y x a =+，则a =（ ） x 0 1 3 4 y2.24.34.86.7开始 1a =10?a <输出 结束22a a =+ 是否A 、2.2B 、2.9C 、2.8D 、2.68．对实数a 和b ，定义运算“⊗”：,1,,1.a ab a b b a b -≤⎧⊗=⎨->⎩．设函数()()()221f x x x =-⊗-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( )．A ．(]()1,12,-+∞B ．(](]2,11,2--C ．()(],21,2-∞-D ．[]2,1-- 二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） （一）必做题：第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9.复数Ｚ＝2(1)1i i+-（i 是虚数单位）则复数Ｚ的虚部等于 ．10.若向量()1,1a =，()1,2b =- ，则a 与b 夹角余弦值等于_____________．11.已知函数,0,()ln ,0,x e x f x x x ⎧<=⎨>⎩则1[()]f f e = ．12.计算：1211xd x --=⎰．13．18世纪的时候，欧拉通过研究，发现凸多面体的面数F 、顶点数V 和棱数E 满足一个等式关系. 请你研究你熟悉的一些几何体（如三棱锥、三棱柱、正方体……），归纳出F 、V 、E 之间的关系等式： ．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分。

启恩中学2013届理科数学全真模拟卷参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1．已知集合(){},|0,,A x y x y x y R =+=∈，(){},|0,,B x y x y x y R =-=∈，则集合A B =A.)0,0(B. {}{}00=⋃=y xC. {}0D. {})0,0(2．201111i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的值是A ．1B ．1-C ．iD ．i -3．已知向量(12)a = ，，(4)b x = ，，若向量a b ⊥，则x =A ．2B ．2- C ． 8 D ．8-4．已知0a >,且1a ≠,11(),()12xf x f x a =--则是 A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．奇偶性与a 有关5．已知直线l 、m ,平面βα、，则下列命题中： ①．若βα//，α⊂l ,则β//l ②．若βα//，α⊥l ,则β⊥l ③．若α//l ，α⊂m ,则m l // ④．若βα⊥，l =⋂βα, l m ⊥,则β⊥m 其中，真命题有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 6．给出计算201614121++++ 的值的一个 程序框图如右图，其中判断框内应填入的条件是．A ．10>iB ．10<iC ．20>iD ．20<i 7．lg ,lg ,lg x y z 成等差数列是2y xz =成立的A ．充分非必要条件能B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．规定记号“⊗”表示一种运算，即),(2为正实数b a b a ab b a ++=⊗，若31=⊗k ，则k =A ．2-B ．1C ．2- 或1D ．2二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）第6ADC OMN B9．在约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≤>012210y x y x 下，目标函数S =2x y +的最大值为 ．10．如右图，一个空间几何体的主视图和左视图都是 边长为1的正三角形，俯视图是一个圆，那么这个几 何体的体积为 ． 11．6)1(xx -的展开式中的常数项是 ．（用数字作答） 12．一个容量为20的样本，数据的分组及各组的频数如下表：(其中x ，y ∈N *) 分/组 [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70) 频 数2x3y24则样本在区间 [10，50 ) 上的频率 ．13．已知数列{}n a 满足12a =,*121()n n a a n N +=+∈,则4a = ， 该数列的通项公式n a = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如右图，四边形ABCD 内接 于⊙O ，BC 是直径，MN 切⊙O 于A ，∙=∠25MAB ，则=∠D ．15．（坐标系与参数方程选做题）以极坐标系中的点（1，1）为圆心，1为半径的圆的方程是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对边分别为a ，b ，c ，已知11tan ,tan 23A B ==，且最长边的边长为l ．， 求：（1）角C 的大小；（2）△ABC 最短边的长． 17．（本小题满分12分）已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3． （1）若函数)(x f y =在2-=x 时有极值，求)(x f 的解析式； （2）若函数)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，求b 的取值范围．18．（本小题满分14分）一个暗箱里放着6个黑球、4个白球．（1）依次取出3个球，不放回，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （2）有放回地依次取出3个球，若第1次取出的是白球，求第3次取到黑球的概率； （3）有放回地依次取出3个球，求取到白球个数ξ的分布列和期望． 19．（本小题满分14分）如右图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形， PD ⊥平面ABCD ，2PD AB ==，E ，F ，G 分别为 PC 、PD 、BC 的中点．（1）求证：PA EF ⊥； （2）求二面角D －FG －E 的余弦值． 20．（本小题满分14分）已知函数()xf x e x =-（e 为自然对数的底数）． （1）求函数()f x 的最小值；（2）若*n ∈N ，证明：1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．21．（本小题满分14分）已知抛物线L ：22x py =和点()2,2M ，若抛物线L 上存在不同两点A 、B 满足AM BM +=0． （1）求实数p 的取值范围；（2）当2p =时，抛物线L 上是否存在异于A 、B 的点C ，使得经过A 、B 、C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线，若存在，求出点C 的坐标，若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DCDABAAB1.选D 提示：求2条直线的交点.2.选C.提示：先将括号里面的式子化简.3.选D.提示：02121=+=⋅y y x x b a .4.选A.提示：)()(x f x f -=-.5.选B 提示：(2)(3)(4)为假命题6.选A.提示：11201614121=++++=i S 时，当 . 7.选A.提示：当x,z 都取负数时. 8.选B.提示：根据运算有1,,311*2=∴∈=++⋅k R k k k.二.填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．2 10．324π 11．20- 12．0.7 13．23 ；1321n -⋅- 14．115︒15．()2cos 1ρθ=- 9.2.提示：）处取得最大值，在点（121. 10.324π.提示：12此几何体为圆锥，底面圆的半径为， 32圆锥高为. 11.-20.提示：20)1(C 3336-=-xx 常数项为：.12.0.7.提示：7.02014205,9==++∴=+y x y x . 13.23 ；1321n -⋅-.提示：11231),1(21-+⋅=+∴+=+n n n n a a a .14.115︒.提示：，，，由已知得：连接090BAC 25BCA AC =∠=∠00115ADC 65ABC =∠=∠，.15.()2cos 1ρθ=-.提示：转化为直角坐标系求解.三.解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明.证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数基本公式和正弦定理等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）解：（1）tanC ＝tan[π－（A ＋B ）]＝－tan （A ＋B ）………………… 2分tan tan 1tan tan A BA B+=--112311123+=--⨯ 1=- ………………… 4分 ∵0C π<<， ∴34C π=………………… 6分（2）∵0<tanB<tanA ，∴A.B 均为锐角, 则B<A ，又C 为钝角，∴最短边为b ，最长边长为c, ………………… 8分 由1tan 3B =，解得10sin 10B =………………… 10分由sin sin b cB C =， ∴101sin 510sin 522c Bb C⨯⋅===．…………………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查函数与导数等知识，考查分类讨论，化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）解：由5)(23+++=bx ax x x f 求导数得b ax x x f ++='23)(2，由在函数)(x f 图像上一点))1(,1(f P 处切线的斜率为3， 知3)1(='f ，即323=++b a ，化简得02=+b a …… ① …………………2分（1） 因为)(x f y =在2-=x 时有极值，所以0)2(=-'f ， 即0412=+-b a …… ② 由①②联立解得4,2-==b a ，∴ 542)(23+-+=x x x x f ．…………………6分 （2）b ax x x f ++='23)(2，由①知02=+b a ， ∴ b bx x x f +-='23)(．)(x f y =在区间]1,2[-上单调递增，依题意)(x f '在]1,2[-上恒有0)(≥'x f ，………8分 即032≥+-b bx x 在]1,2[-上恒成立， 下面讨论函数()y f x '=的对称轴：① 在16≥=bx 时， 03)1()(min >+-='='b b f x f ，∴ 6≥b ．…………………9分 ② 在26-≤=bx 时， 0212)2()(min ≥++=-'='b b f x f ，无实数解．…………………10分 ③ 在162<<-b时， 01212)(2min≥-='b b x f ，∴ 60<≤b ．…………………11分 综合上述讨论可知，b 的取值范围是{}0≥b b ．…………………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查条件概率.二项分布等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力.运算求解能力和应用意识）解：设事件A 为“第1次取到白球”，B 为“第2次取到白球”，C 为“第3次取到白球”，则 （1）()()111114653612492|3C C C C C P C A C A +==． …………………4分 （2）因为每次取出之前暗箱的情况没有变化，所以每次取球互不影响，所以()63105P C ==．…………………8分 （3）设事件D 为“取一次球，取到白球”，则()25P D =， ()35P D =，…………………10分 这3次取出球互不影响， 则23,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，…………………12分 ()332355kkk P k C ξ-⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,1,2,3k =．…………14分19．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线线关系.面面关系.空间向量及坐标运算等知识，考查数形结合.化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力.推理论证能力和运算求解能力） （1）证法1：∵PD ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴CD PD ⊥．又ABCD 为正方形， ∴CD AD ⊥． ∵PD AD D = ，∴CD ⊥平面PAD ．…………………4分∵PA ⊂平面PAD ， ∴CD PA ⊥． ∵EF CD ，∴PA EF ⊥．…………………6分证法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,1)F ，(0,1,1)E ，(0,0,2)P ，(2,0,0)A ，(2,0,2)PA =- ，(0,1,0)EF =-．…………………4分∵()()2,0,20,1,00PA EF =--=，∴PA EF ⊥．…………………6分（2）解法1：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -， 则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF = ，(0,1,0)EF =-， (1,2,1)FG =-．…………………8分设平面DFG 的法向量为111(,,)x y z =m ，∵0,0.DF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ m m 11110,20.z x y z =⎧∴⎨+-=⎩ 令11y =，得()2,1,0=-m 是平面DFG 的一个法向量．…………10分 设平面EFG 的法向量为222(,,)x y z =n ，∵0,0.EF FG ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 22220,20.y x y z -=⎧∴⎨+-=⎩ 令21z =，得()1,0,1=n 是平面EFG 的一个法向量．……………12分 ∵cos ,||||⋅<>=⋅m n m n m n 252-=⋅210-=105=-． 设二面角D FG E --的平面角为θ，则,θ=<>m n ．所以二面角D FG E --的余弦值为105-．…………………14分 解法2：以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，则(0,0,0)D ，(0,0,1)F ，(1,2,0)G ，(0,1,1)E ，(0,0,1)DF =， (1,2,0)DG = ，(0,1,0)EF =-，(1,1,1)EG =- ，(1,2,1)FG =-．…………………8分过D 作FG 的垂线，垂足为M ，∵,,F G M 三点共线，∴()1DM DF DG λλ=+- ， ∵0DM FG =，∴()10DF FG DG FG λλ+-=，即()()1150λλ⨯-+-⨯=，解得56λ=．…………………10分 ∴51115,,66636DM DF DG ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭． 再过E 作FG 的垂线，垂足为N ，∵,,F G N 三点共线，∴()1EN EF EG μμ=+-， ∵0EN FG = ， ∴()10EF FG EG FG μμ+-=，即()()2140μμ⨯-+-⨯=，解得23μ=．∴21111,,33333EN EF EG ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭．∴10cos ,5DM EN DM EN DM EN ==-⋅．…………………12分 ∵DM 与EN所成的角就是二面角D FG E --的平面角，所以二面角D FG E --的余弦值为105-．…………………14分 20．（本小题满分14分）（本小题主要考查函数的导数.最值.等比数列等基础知识，考查分析问题和解决问题的能力.以及创新意识）（1）解：∵()xf x e x =-，∴()1xf x e '=-．令()0f x '=，得0x =．∴当0x >时，()0f x '>，当0x <时，()0f x '<．……………4分 ∴函数()x f x e x =-在区间(),0-∞上单调递减，在区间()0,+∞上单调递增．∴当0x =时，()f x 有最小值1．…………………6分（2）证明：由（1）知，对任意实数x 均有1xe x -≥，即1xx e +≤．令k x n =-（*,1,2,,1n k n ∈=-N ），则01k n k e n-<-≤，∴1(1,2,,1)nnkkn k e e k n n --⎛⎫⎛⎫-≤==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………9分 即(1,2,,1)n k n k e k n n --⎛⎫≤=- ⎪⎝⎭ ． ∵1,nn n ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴(1)(2)211211n n n nn n n n e e e e n n n n -------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≤+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．…12分 ∵(1)(2)2111111111n n n e eeee e e e e ----------+++++=<=--- ， ∴ 1211n n n nn n e n n n n e -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．……………14分21．（本小题满分14分）（本小题主要考查直线与圆锥曲线等基础知识，考查数形结合的数学思想方法，以及推理论证能力.运算求解能力）解法1：（1）不妨设A 211,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，B 222,2x x p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且12x x <，∵AM BM +=0 ，∴2212122,22,222x x x x p p ⎛⎫⎛⎫--+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0．∴124x x +=，22128x x p +=．…………………4分∵()21222122x x x x ++>（12x x ≠），即88p >，∴1p >，即p 的取值范围为()1,+∞．…………………6分 （2）当2p =时，由（1）求得A .B 的坐标分别为()0,0.()4,4．假设抛物线L 上存在点2,4t C t ⎛⎫⎪⎝⎭（0t ≠且4t ≠），…………8分使得经过A .B .C 三点的圆和抛物线L 在点C 处有相同的切线．设经过A .B .C 三点的圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则2420,4432,1641616.F D E F tD t E F t t ⎧=⎪++=-⎨⎪++=--⎩整理得 ()()3441680t E t E ++-+=． ①…………9分 ∵函数24x y =的导数为2x y '=， ∴抛物线L 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为2t ， ∴经过A .B .C 三点的圆N 在点2,4t C t ⎛⎫ ⎪⎝⎭处的切线 斜率为2t ．………10分 ∵0t ≠，∴直线NC 的斜率存在．∵圆心N 的坐标为,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ∴242122t E t D t +⨯=-+， 即()()324480t E t E ++-+=． ②…………………12分∵0t ≠，由①.②消去E ，得326320t t -+=．即()()2420t t -+=．∵4t ≠，∴2t =-．故满足题设的点C 存在，其坐标为()2,1-．…………………14分解法2：（1）设A ，B 两点的坐标为1122()()A x y B x y ,,,，且12x x <。

2013届启恩中学高三理科数学考练试题（时间：60分钟 满分：82分）一．选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.已知函数()x f 的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则函数()2+x f 的定义域和值域分别是（ ） A. [0，1] ，[1，2] B. [2，3] ，[3，4] C. [-2，-1] ，[1，2] D. [-1，2] ，[3，4]2. 已知0＜a ＜1，b ＜-1，则函数b a y x +=的图象必定不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限3.将函数()x x f 2=的图象向左平移一个单位得到图象1C ，再将1C 向上平移一个单位得图象2C ，作出2C 关于直线x y =对称的图象3C ，则3C 对应的函数的解析式为（ ） A. ()11log 2+-=x y B. ()11log 2--=x y C. ()11log2++=x y D.()11log2-+=x y4. 已知函数()()x x f a-=2log1在其定义域上单调递减，则函数()()21logx x g a-=的单调减区间是（ ）A. (]0,∞-B. ()0,1-C. [)+∞,0D. [)1,0 5. 方程2log2=+x x 和2log3=+x x 的根分别是α、β，则有（ ）A. α＜βB. α＞βC. α=βD. 无法确定α与β的大小 6. 若ax y =与xb y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3的单调性描述正确的是（ ）A. 在()+∞∞-,上是增函数B. 在),0(+∞上是增函数C. 在()+∞∞-,上是减函数D. 在)0,(-∞上是增函数，在()+∞,0上是减函数7. 已知奇函数()x f 在()0,∞-上单调递减，且()02=f ，则不等式()()11--x f x ＞0的解集是（ ）A. ()1,3--B. ()()3,11,1 -C. ()()+∞-,30,3D. ()()+∞-,21,3 8. 方程0122=++x ax 至少有一个负的实根的充要条件是（ ）A. 0<a ≤1B. a ＜1C.a ≤1D. 0<a ≤1或a < 0班级___________ 姓名___________ 座号___________ 总分___________一．选择题（本大题共8小题．每小题5分，共40分）二．填空题（本大题共6题，每小题5分，满分30分。

启恩中学高三理科数学综合训练题（4）1．已知集合{}2|60A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()R C A B =IA ．[3)+∞，B ．(13]，C ．(13)，D ．(3)+∞， 2．已知复数321i z i-=-，i 为虚数单位，则2||z =132 C. 134D. 23．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S ，且415S =，2410a a +=，则2a = A ．1 B ．2- C ．2 D ．1-4．如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图根据频率分布直方图，下列说法正确的是①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④新养殖法/kg旧养殖法/kg5．函数42()(23)f x x a x =+-，则()f x 在其图像上的点(12)-，处的切线的斜率为 A.1 B.1- C.2 D.2-6．ABCD Y 中，1AB e =uu u r u r ，2AD e =uuu r u r ，E 为CD 中点．若12BE e e λμ=+uur u r u r，则λμ=A ．38 B ．18- C ．12- D ．127．如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ∆，C 为PA 中点，PA =6PO =，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为A.B. 6D. 8．设12F F 、是双曲线2222(10):0x y C a ba b -=>>，的左右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点， 12||10F F =，212PF F F ⊥，216||3PF =， O 为坐标原点，则OA OP ⋅=uu r uu u r A.293-B. 163C. 15D. 15-9．如图所示，平面直角坐标系xoy 中，阴影部分是由抛物线2y x =及线段OA 围成的封闭图形，现在在OAB ∆内随机的取一点P ，则P 点恰好落在阴影内的概率为 A.23 B. 43 C. 49 D. 2910.S 为顶点的正四面体S ABC -D 为SC 的中点，则BD 与AC 所成角的余弦值为1611. 函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧=⎨->⎩≤，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取值范围是 A. {}(0]2-∞， B. {}[0)2+∞-，C. (0]-∞，D. [0)+∞，12. 抛物线2:4C y x =与直线:(2)l y k x =-交于点M N 、二点，过点M 作x 轴的平行线与ON 交于A 点，过点A 作抛物线C 的切线，切点为B ，切线AB 与直线:2l x '=交于D点．已知点(20)E ，，则22DE AE -= A. 8 B.8- C. 16 D. 16-13．变量x y ，满足034040x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤，则2z x y =+的最小值为_____．14． 由01234、、、、五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有_____个．15．数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若545S =，660S =，则7a = ． 16．函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+<的图像向左平移6π个单位长度，得到偶函数()g x 的图像，则ϕ的最大值为_________．17.ABC ∆中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，ABC ∆的面积为S，若222b c a =+-（1）求角A ；（2）若2a =，b =C ．18.如图，四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点，以BE 为折痕将BEC ∆折起，使C 到C '的位置，且平面BEC '⊥平面ABEDC /EDC(1)求证：AE BC '⊥；(2)求二面角C AE B '--的余弦值．19.某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？ (2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为(01)p p <<，且相互独立．①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；②若以①中的0p 作为p 的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润X （单位：元）的期望．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12F F 、是其左右焦点，12A A 、为其左右顶点，12B B 、为其上下顶点，若126B F O π∠=，11||2F A =(1)求椭圆C 的方程；(2)过12A A 、分别作x 轴的垂线12l l 、，椭圆C 的一条切线:(0)l y kx m k =+≠，l 与12l l 、交于M N 、二点，求证：12MF N MF N ∠=∠．21.已知函数21()ln f x x a x x=-+ (1)若3a =-时，讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12x x 、，求a 的取值范围．22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过定点(1P ，且与直线OP 垂直．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=． (1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程； (2)设直线l 与曲线C 交于A B 、二点，求11||||PA PB +的值．启恩中学高三理科数学综合训练题（4）答案1．已知集合{}2|60A x x x =--<，集合{|1}B x x =>，则()R C A B =I AA ．[3)+∞，B ．(13]，C ．(13)，D ．(3)+∞， 2．已知复数321i z i-=-，i 为虚数单位，则2||z = BA.2 B. 132 C. 134D. 23．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S ，且415S =，2410a a +=，则2a =C A ．1 B ．2- C ．2 D ．1-4．如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图 B新养殖法/kg旧养殖法/kg根据频率分布直方图，下列说法正确的是①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④5．函数42()(23)f x x a x =+-，则()f x 在其图像上的点(12)-，处的切线的斜率为 D A.1 B.1- C.2 D.2-6．ABCD Y 中，1AB e =uu u r u r ，2AD e =uuu r u r ，E 为CD 中点．若12BE e e λμ=+uur u r u r，则λμ=ＣA ．38 B ．18- C ．12- D ．127．如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ∆，C 为PA中点，PA =6PO =，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为 AA.B. 6D.8．设12F F 、是双曲线2222(10):0x y C a ba b -=>>，的左右焦点，A 为左顶点，点P 为双曲线C 右支上一点， 12||10F F =，212PF F F ⊥，216||3PF =， O 为坐标原点，则OA OP ⋅=uu r uu u r Ｄ A.293-B. 163C. 15D. 15-9．如图所示，平面直角坐标系xoy 中，阴影部分是由抛物线2y x =及线段OA 围成的封闭图形，现在在OAB ∆内随机的取一点P ，则P 点恰好落在阴影内的概率为 Ｄ A.23 B. 43 C. 49 D. 2910.S 为顶点的正四面体S ABC -D 为SC 的中点，则BD 与AC 所成角的余弦值为Ｃ1611. 函数11()ln(1)1x e x f x x x -⎧=⎨->⎩≤，若函数()()g x f x x a =-+只一个零点，则a 的取值范围是Ａ A. {}(0]2-∞， B. {}[0)2+∞-，C. (0]-∞，D. [0)+∞，12. 抛物线2:4C y x =与直线:(2)l y k x =-交于点M N 、二点，过点M 作x 轴的平行线与ON 交于A 点，过点A 作抛物线C 的切线，切点为B ，切线AB 与直线:2l x '=交于D点．已知点(20)E ，，则22DE AE -= B A. 8 B.8- C. 16 D. 16-第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请将答案填在答题卡相应位置.13．变量x y ，满足034040x y x y x y +⎧⎪+-⎨⎪--⎩≥≤≤，则2z x y =+的最小值为_____． 2-14． 由01234、、、、五个数字任取三个数字，组成能被3整除的没有重复数字的三位自然数，共有_____个．2015．数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，若545S =，660S =，则7a = ．17 16．函数()sin(2)(0)f x x ϕϕ=+<的图像向左平移6π个单位长度，得到偶函数()g x 的图像，则ϕ的最大值为_________．56π-三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）ABC ∆中，内角A BC ，，的对边分别为a b c ，，，ABC ∆的面积为S ，若222b c a =+-（1）求角A ；（2）若2a =，b =C ． 解：(1)QABC∆中，22133s i n 2b a S bc A+==⋅=………………1分∴222cos 2b c a A A bc+-==………………………………4分∴tan A =………………………………5分Q 0A π<<∴6A π=………………………………6分(2) Q 2a =，b =，6A π=∴由sin sin a bA B=得1sin 2sin 2b AB a===………………………………8分Q 506B π<<且B A > ∴3B π=或23π………………………………10分∴2C π=或6π………………………………12分18.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点，以BE 为折痕将BEC ∆折起，使C 到C '的位置，且平面BEC '⊥平面ABED (1)求证：AE BC '⊥；(2)求二面角C AE B '--的余弦值． (1)证明：四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点∴ADE ∆、BCE ∆都是等腰直角三角形∴045AED BEC ∠=∠=………………………………1分 ∴090AEB ∠=………………………………2分Q 平面BEC '⊥平面ABED ………………………………4分∴AE ⊥平面BEC '∴AE BC '⊥………………………………6分(2)解：由(1)知BC E '∆是等腰直角三角形∴045BEC '∠=………………………………7分Q 由(1)知AE ⊥平面BEC '∴EB AE ⊥，EC AE '⊥………………………………10分∴BEC '∠是二面角C AE B '--的平面角………………………………11分 ∴二面角C AE B '--．………………………………12分19.（本小题满分12分）某芯片代工厂生产某型号芯片每盒12片，每批生产若干盒，每片成本1元，每盒芯片需检验合格后方可出厂．检验方案是从每盒芯片随机取3片检验，若发现次品，就要把全盒12片产品全部检验，然后用合格品替换掉不合格品，方可出厂；若无次品，则认定该盒芯片合格，不再检验，可出厂．(1)若某盒芯片中有9片合格，3片不合格，求该盒芯片经一次检验即可出厂的概率？ (2)若每片芯片售价10元，每片芯片检验费用1元，次品到达组装工厂被发现后，每片须由代工厂退赔10元，并补偿1片经检验合格的芯片给组装厂.设每片芯片不合格的概率为(01)p p <<，且相互独立．C /EDCBA①若某箱12片芯片中恰有3片次品的概率为()f p ，求()f p 的最大值点0p ；②若以①中的0p 作为p 的值，由于质检员操作疏忽，有一箱芯片未经检验就被贴上合格标签出厂到组装工厂，试确定这箱芯片最终利润X （单位：元）的期望．解:（1）设“该盒芯片经一次检验即可出厂”的事件为A ………………………………1分 则3931221()55C P A C ==………………………………2分 答：该盒芯片可出厂的概率为2155．………………………………3分 (2) ①某箱12片芯片中恰有3片次品的概率33912()(1)f p C p p =-………………………………4分9312121(3)(3)(3)(1)(1)(1)]2712p p p p p p C +++-+-++-6444444444447444444444448L 共个≤[ …………………………6分3121213()274C =………………………………7分 当且仅当31p p =-，即14p =时取“=”号 故()f p 的最大值点014p =． ………………………………8分 ②由题设知，014p p == 设这箱芯片不合格品个数为n 则1(12)4n B :，………………………………9分 故1()1234E n =⨯=………………………………10分 则()12012303272E X =---⨯=………………………………11分∴这箱芯片最终利润X的期望是72元．………………………………12分20.（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，12F F 、是其左右焦点，12A A 、为其左右顶点，12B B 、为其上下顶点，若126B F O π∠=，11||2F A =(1)求椭圆C 的方程； (2)过12A A 、分别作x 轴的垂线12l l 、，椭圆C 的一条切线:(0)l y kx m k =+≠，l 与12l l 、交于M N 、二点，求证：12MF N MF N ∠=∠．解：(1)由题设知2222c a c a b c ⎧=⎪⎪⎪-=-⎨⎪⎪⎪=+⎩解得2a =，1b =，c =3分∴椭圆C 的方程为2214x y +=………………………………4分 (2)由题设知，1:2l x =-，2:2l x =………………………………5分l 与C 的方程联立消y 得222(14)84(1)0k x kmx m +++-=*L “”………………………………6分 Q l 与C 相切∴*“”的22226416(14)(1)0k m k m ∆=-+-= ………………………………7分 得2241m k -=………………………………8分l 与1l 、2l 联立得(22)M k m --+，，(22)N k m +，………………………………9分又12(0)0)F F 、∴1122411MF NF m k k k -⋅===-- ∴11MF NF ⊥，即12MF N π∠=………………………………10分 同理可得22MF N π∠=………………………………11分∴12MF N MF N ∠=∠ ………………………………12分21.（本小题满分12分） 已知函数21()ln f x x a x x=-+ (1)若3a =-时，讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 有两个极值点12x x 、，求a 的取值范围．解：(1)3a =-时，21()3ln f x x x x=--，0x >32213231()2x x f x x x x x -+'=+-=2211(1)()()22x x x x =--+………………………………1分112x <<时()0f x '<，102x <<或1x >时()0f x '>………………………………3分∴()f x 的减区间是1)，增区间是(0和(1)+∞，………………………………4分(2)若()f x 有两个极值点12x x 、， 则须322121()2a x ax f x x x x x ++'=++=有两个不等异号正零点 令3()21(0)g x x ax x =++>，故须()g x 有两个不等异号正零点………………………………5分则2()6g x x a '=+①0a ≥时，()0g x > ∴()g x 不可能有两个不等正零点故()f x 不可能有两个极值点………………………………6分②0a <时，22()66[()]6(6a g x x a x x x '=+=--=+………………………………7分0x <<时，()0g x '<；x >()0g x '>故()g x 在(0上单减，在)+∞上单增………………………………8分∴须min ()10g x g ==<解得2a <-………………………………9分 Q 32762a <-<-，3271254a <-<-∴13a a -<- 而312()0g a a -=->，322(3)54313(181)10g a a a a a -=--+=-++>…………………………10分∴故()g x 在(0上和)+∞上各一个异号零点 ∴()g x 有两个不等异号正零点………………………………11分∴()f x 有两个极值点综上，a 的取值范围是(,-∞．………………………………12分 请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 过定点(1P ，且与直线OP 垂直．以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0ρθθ-=．(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A B 、二点，求11||||PA PB +的值． 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为22y x =………………………………2分直线l的参数方程为112x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)．………………………………4分(2)设A B 、对应的参数分别为12t t 、………………………………5分将直线l 与曲线C的方程联立得240t -+=*L “”………………………………6分 则12t t 、是*“”的二根则12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩8分 故12t t 、同正∴1212121111||||||||t t PA PB t t t t ++=+===．………………………………10分 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x x a x =-+-．(1)若()f x 的最小值为4，求a 的值；(2)当[24]x ∈，时，()f x x <恒成立，求a 的取值范围． 解：(1)Q ()f x 的最小值为4∴()3|3|f x x a x a =-+--≥………………………………1分∴|3|4a -=………………………………2分解得7a =或1-．………………………………4分(2)①34x ≤≤时，()f x x <恒成立等价于||3x a -<恒成立………………………………5分 即33a x a -<<+在34x ≤≤时恒成立………………………………6分即3334a a -<⎧⎨+>⎩解得16a <<………………………………7分②23x <≤时，()f x x <恒成立等价于||23x a x -<-恒成立………………………………8分 即333x a a x >-+⎧⎪+⎨>⎪⎩在23x <≤时恒成立 须32323a a -+<⎧⎪+⎨<⎪⎩ 解得13a <<………………………………9分综上，a 的范围是(13)，．………………………………10分。