无穷级数-单元测试

无穷级数习题一、填空题1、设幂级数0nn n a x ∞=∑的收敛半径为3，则幂级数11(1)n n n na x ∞+=-∑的收敛区间为 .2、幂级数0(21)n n n x ∞=+∑的收敛域为 。

3、幂级数211(3)2n n nn n x ∞-=-+∑的收敛半径R = 。

4、幂级数0nn ∞=的收敛域是 . 5、级数21(2)4nnn x n ∞=-∑的收敛域为 . 6、级数0(ln3)2nnn ∞=∑的和为 。

7、111()2n n n ∞-==∑ 。

8、设函数2()f x x x π=+ ()x ππ-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin )2n n n a a nx b nx ∞=++∑，则其系数3b 的值为 。

9、设函数21,()1,f x x -⎧=⎨+⎩ 0,0,x x ππ-<≤<≤ 则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处的敛于 。

10、级数11(1)(2)n n n n ∞=++∑的和 。

11、级数21(2)4nnn x n ∞=-⋅∑的收敛域为 。

参考答案：1、(2,4)- 2、(1,1)- 3、R 4、[1,1)- 5、(0,4) 6、22ln 3- 7、4 8、23π 9、212π 10、1411、(0,4)二、选择题1、设常数0λ>,而级数21n n a ∞=∑收敛，则级数1(1)nn ∞=-∑( ）。

（A)发散 (B ）条件收敛 （C ）绝对收敛 （D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2n nn a a q -=, 1.2n =,则下列命题中正确的是( ）。

（A ）若1n n a ∞=∑条件收敛,则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛.（B ）若1n n a ∞=∑绝对收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑都收敛。

（C ）若1n n a ∞=∑条件收敛，则1n n p ∞=∑与1n n q ∞=∑的敛散性都不一定。

《无穷级数》单元检测参考答案一 选择题1, （C ） 2, (D) 3, (C) 4, (A) 5, (B)二 填空题1, )3,3(- 2 , ln2 3 , ⎪⎩⎪⎨⎧-=11)(x e x S x 00=≠x x 4 , 0 5, α>35三 （1）当λ≠0，±1，±2，⋯时，0sin )(lim ≠=+∞→λππμλπnn ,级数发散。

（2）当λ=0，±1，±2，⋯时，πμμπλπλ∑∑∞=∞=--=+-11sin )1()1()sin()1(n n nn n n ，μ≠0时，级数收敛，μ=0时，级数收敛于0。

四 设nn nn u )1()1(-+-=，由于11)1(1)1()1(+≥-+=-+-n n n nnn ，所以原级数非绝对收敛。

下面讨论其条件收敛情况：)21121()4151()2131(2n n S n -+++-+-=上式中括号内每项小于0，所以⎨S 2n ⎬单调下降。

又2122121)21221()4161()2141(2->++-=-+++-+->n n n S n ，所以，⎨S 2n ⎬有下界。

故S S n n =∞→2lim。

又S u S S n n n n n =+=+∞→+∞→)(lim lim 22212， 故原级数条件收敛。

五 因为{}0lim,,0≥=∴↓≥∞→a a a a n n n n 。

若0lim ==∞→a a n n ，则∑∞=-1)1(n n n a 收敛，与∑∞=-1)1(n n na 发散矛盾，所以，0lim>=∞→a a n n 。

对∑∞=+1)11(n nn a ，用柯西判别法：111)11(lim <+=+∞→a a n n n n ，所以，级数收敛。

六 由于 f(-x)=f(x),所以)00(='f .又02)0(>=''f ，所以f(x)在x=0取得极小值1，由泰勒公式：)(0)0(!21)0()0()(22x x f f f x f +''+'+=。

第十二章无穷级数练习题含答案第十二章无穷级数练习1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n?);?n?1n!n?;n?n?1(2n?13n?2)2n?12.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？（？1）n？1n？1n1；[n？]3n2??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn3.求幂级数?n?0(x?1)nn?1的收敛区间。

4.证明系列？N1n！NNX何时|x |？当e是绝对收敛时，当| x |？E.1n）处的散度单调增加，而limxn？En??nn注：数列xn?(1?5.找出区间（？1,1）中的幂级数n?1xn?1n的和函数。

6.找到这个系列吗？N21（n？1）和22 n。

一7.设a1?2,an?1?12(an?1an)（n?1,2,?）证明1）利曼存在；2）连续剧？（n？Anan？1？1）收敛。

n?18.设定一个？？40? ntanxdx1）求?n?11n(an?an?2)的值；2）验证：对于任何常数？？0系列？N1安？汇聚19.设正项数列{an}单调减少，且?(?1)nan发散，试问a?1?是否收敛？并说明理N1.N1n拜拜。

1211??11?xlndx。

10.已知1?2?2[参见教材246页]，计算??1?x3580x。

二无穷级数例题选解1.判断下列数列的收敛性和发散性：n?1sin1n?;2?n?1ln(1?1n21n?);n?1n!n2?;n?n?1(2n?13n?2)2n?1解决方案：1）？sin1n2和N11n收敛，由比较审敛法知2）?ln(1?1n?n?1sin1n2收敛。

)~ 1n（n？？）和N1.1n散度，由比较审敛法的极限形式知联合国？1un？N1ln（1？1n）散度。

n3）??lim?nlim(n?1)!(n?1)n?1?n??1?nlim，NN1n！Ennn？？知识收敛比1n1n!n2收敛。

14）?? 林恩？？un4？2n？1.2n？1.N林N3n？29 3n？2.2n？1.2n？1.汇聚1.从根值收敛法，我们可以知道3n？2.N1.2.判断下列序列是绝对收敛、条件收敛还是发散？N1（？1）n？1n1；[n？]3n?n?12??n?1ncosn3n2?；N1（？1）n？11n？lnn解：1）对于级数?(?1)n?1n32n，N1人？？林？|联合国？1 | | un | n？1n13.知道进展情况吗？（？1）n？1.N32n绝对收敛，n1[n?]条件收敛。

第十一章 无穷级数§11.1 常数项级数的概念与性质一、判断题 1．∑∞=1n n u 收敛，则3)3(lim 2=+-∞→n n n u u （ ）2．若0lim ≠∞→n n u ，∑∞=1n nu发散。

（ ）3.∑∞=1n nu收敛,则∑∞=+1)10(n nu收敛。

（ ）4．∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv发散，则)(1n n nv u-∑∞=也发散。

（ ）5．若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+12n n u也收敛。

（ ）二、填空题1．∑∞=⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。

2．级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。

3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x 的一般项为 。

4．级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。

三、选择题1． 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n n （B ）∑∞=-1848n n nn （C ）∑∞=+1842n n nn （D ）∑∞=⋅1842n nn n2． 下列级数中不收敛的是（ ）（A ）)11(ln 1n n +∑∞= （B ）∑∞=131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+14)1(3n nnn3． 如果∑∞=1n nu收敛，则下列级数中（ ）收敛。

（A ）∑∞=+1)001.0(n n u （B ）∑∞=+11000n n u （C ）∑∞=12n n u (D) ∑∞=11000n nu4． 设∑∞=1n n u =2，则下列级数中和不是1的为（ ）（A ）∑∞=+1)1(1n n n （B ）∑∞=121n n （C ）∑∞=22n n u (D)∑∞=12n nu 四、求下列级数的和1．∑∞=+1523n nnn 2. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n3.)122(1n n n n ++-+∑∞= 4.)1()12(11<-∑∞=-q qn n n五、判断下列级数的收敛性。

第十一章练习题一、 填空题1．级数)21)1(1(1nn n n -+∑∞=的和为（ ）． 2．若∑∞=1n n u 为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n n u 收敛的充要条件是（ ）．3.级数∑∞=122sin2n nn π的敛散性为（ ）．4.幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为（）．5.幂级数∑∞=-122)1(n nnnx的收敛域为（ ）．6.将函数2)1(1x +展开成x 的幂级数为（ ）．7．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f (x )在x=0处左连续，且)(lim ,2)0(,1)0(0x f S f x +→=-=则=（ ）． 8．设)(x f 是周期为２π的函数，在一个周期上可积．当)(x f 是奇函数时，它的傅里叶系数为 =n a （ ），=n b （ ）．二、 单项选择题1. 若级数∑∞=1n n a 条件收敛，则下列结论不正确的是（ ）.A. 交换律成立；B.结合律成立；C.分配律成立；D.以上都不成立。

2．在下面级数中，绝对收敛的级数是（ ）．A.∑∞=+1121n n ； Ｂ．nn n)23()1(1∑∞=-；Ｃ．311)1(nn n∑∞=-； Ｄ．nn n n1)1(1--∑∞=．3. 在下列级数中，条件收敛的级数是（ ）.A. ∑∞=+-11)1(n nn n ；Ｂ．∑∞=-11)1(n nn；Ｃ．∑∞=-121)1(n nn；Ｄ．∑∞=+-1)1(1)1(n nn n4. 已知级数∑∑∞=∞=--==-111215,2)1(n n n n n aa ，则级数∑∞==1n n a （ ）A. 3 ； Ｂ． 7 ； Ｃ． 8 ； Ｄ． 95．幂级数nxnn ∑∞=1的和函数是（ ）．Ａ．)1ln(x --； Ｂ． )1ln(x -； Ｃ．)1ln(x +; Ｄ． )1ln(x +- 6. 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）.A. ∑∞=02!n nn xＢ．∑∞=⋅-02!)1(n n n n xＣ．∑∞=0!n n n xＤ．∑∞=⋅-0!)1(n nn n x7. 若∑∞=-1)1(n nn x a 在1-=x 处收敛，则此级数在2=x 处（ ）.A.条件收敛；Ｂ．绝对收敛；Ｃ．发散；Ｄ．收敛性不能确定。

第八章 无穷级数一、基本要求1.理解常数项级数收敛与发散的概念,收敛级数和的概念,掌握级数的基本性质和收敛的必要条件；2.掌握几何级数,P —级数的敛散性；3.掌握正项级数的比较判别性,比值判别法,会用根值判别法,了解积分判别法；4.掌握交错级数的莱布尼兹判别法；5.了解函数项级数的绝对收敛与条件收敛的概念,以及二者之间的关系；6.了解函数项级数的收敛域及和函数的概念；7.掌握幂级数的收敛半径,收敛区间以及收敛域的求法；8.了解幂级数在收敛区间内的一些基本性质,会求一些幂级数在收敛区间内的和函数,并会由此求出某些数项级数的和； 9.了解泰勒公式、泰勒级数；掌握xe ,sin x ,[]0, ,()ln 1x +及()1x α+的麦克劳林展开式,并能利用这些展开式将一些简单的函数展成幂级数； 10.了解幂级数在近似计算中的简单应用；11.了解傅立叶级数的概念以及函数展开成傅立叶级数的狄利克莱定理；12.会将定义在[],ππ-,[],- 及[]0,π,[]0, 上的函数展开为傅立叶级数,会写出傅立叶级数的和的表达式。

二、主要内容1. 数项级数的定义（1）设有数列{},1,2,3,n u n = ,则121nn u u u∞=++=∑ 称作以1u 为首项,以n u 为近项的无穷级数。

（2）121nn kn k u u u us +=++==∑ 称作无穷级数1n n u ∞=∑的前n 项的部分和。

（3）若lim n n s s →∞=,则称级数1nn u∞=∑收敛于s ,s 称为级数1nn u∞=∑的和,即1nn us ∞==∑；若lim n n s →∞不存在,则称级数1nn u∞=∑发散,即1nn u∞=∑的和不存在。

（4）一般项数列{}n u 与部分和数列{}n s 关系：1n n n u s s -=-2. 数项级数的性质 （1）级数1nu∞∑收敛的必要条件是：lim 0n n u →∞=,当lim 0n n u →∞≠或lim n n u →∞不存在时,1nn u∞=∑必发散。

第九章 无穷级数 测试题一、选择题（每小题4分，共24分） 1.级数∑∞=+111n na 敛散的情况是（ ） A. 当0>a 时收敛 B. 当0>a 时发散C. 当10≤<a 时发散，当1>a 时收敛D.当10≤<a 时收敛，当1>a 时发散 2. 级数()∑∞=⎪⎭⎫ ⎝⎛--1cos 11n n n α （常数0>α） （ ）（A ）发散； （B ）条件收敛；（C ）绝对收敛； （D ）敛散性与α有关. 3. 设0lim =∞→n n a ，则常数项级数∑∞=1n na（ ）（A ）一定收敛且和为0 （B ）一定收敛但和不一定为0（C ）一定发散 （D ）可能收敛也可能发散 4. 若∑∞=1n nu收敛，则下列级数中哪一个必收敛。

（ ）(A)∑∞=-1)1(n n nu (B)∑∞=12n nu(C)()∑∞=+-11n n nu u(D)∑∞=1n nu5、如果81lim 1=+∞→nn n a a ,则幂级数∑∞=03n n n x a ( )(A)当2<x 时收敛 (B) 当8<x 时收敛 (C) 当81>x 时发散 (D) 当21>x 时发散 6、级数 ∑∞=1!2n n n n n （1） 与级数∑∞=1!3n n n nn （2）( )（A ）级数（1）（2）都收敛 （B ）级数（1）（2）都发散（C ）级数（1）收敛，级数（2）发散 （D ）级数（1）发散，级数（2）收敛二、填空题（每小题4分，共28分） 1.已知级数∑∞=1n n u 的前n 项部分和13+=n ns n () 2, 1=n 则此级数的通项=n u .2.设幂级数∑∞=0n nnx a的收敛半径是4，则幂级数∑∞=+012n n n x a 的收敛半径是 .3. 幂级数()()()∑∞=---121311n n nn n x 的收敛域为 . 4. x ln 在10=x 处展开成的泰勒级数为x ln =_____________________ 5、如果幂级数()nn n x a 10-∑∞=的收敛半径是1，则级数在开区间 内收敛.6、幂级数nn nx n n ∑∞=12cos 的收敛域是 . 7、幂级数()∑∞=-15n n nx 的收敛半径是 ，收敛域是 .三、解答下列各题（每题12分，共48分）1. 判别级数21cos 32n n n n π∞=∑的敛散性。