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第十一章无穷级数练习题

第十一章无穷级数

§11.1 常数项级数的概念与性质

一、判断题 1．

∑∞

n n u 收敛，则3)3(lim 2

=+-∞

→n n n u u （）

2．若0lim ≠∞

→n n u ，

∑∞

n n

发散。（）

∑∞

n n

收敛,则

∑∞

=+1)10(n n

收敛。（）

4．

∑∞

n n

发散，

∑∞

n n

发散，则

)(1

n n n

v u

-∑∞

=也发散。（）

5．若

∑∞

n n

收敛，则

∑∞

=+1

n n u

也收敛。（）

二、填空题

1．∑∞

=??-???1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是。

2．级数???-+-+-5

2的一般项是。

3．级数???+???+

??+?+8

6426424

x x x x x 的一般项为。

4．级数)2

)1(1(

n n n n -+∑∞

=的和为。三、选择题

1．下列级数中收敛的是（）

（A ）

∑∞

=+1

884n n n （B ）

∑∞

=-1848n n n n （C ）∑∞=+1

842n n n n （D ）∑∞=?1842n n n

2．下列级数中不收敛的是（）

（A ）)11(ln 1

n n +∑∞

= （B ）∑∞

=131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+1

4)1(3

n n

3．如果∑∞

n n

收敛，则下列级数中（）收敛。

（A ）

∑∞

=+1

)001.0(n n u （B ）

∑∞

=+1

1000

n n u

（C ）

∑∞

=12

n n u (D)

∑

∞

=11000n n

4．设

∑∞

n n

=2，则下列级数中和不是1的为（）

（A ）∑∞

=+1)1(1n n n （B ）∑∞

=121n n （C ）∑∞=22

n n u (D)

∑∞

n n

四、求下列级数的和

1．∑∞

=+1

523n n

n 2. ∑∞

=+-1)

12)(12(1

n n n

)122(

n n n n ++-+∑∞

= 4.

)1()12(1

<-∑∞

=-q q

n n n

五、判断下列级数的收敛性。 1．???++???+++n 31916131 2. ???++???+++n 3

13131313 3.n n 512

130121************++???++++++ 六、已知∑∞

n n

收敛，且0>n u ，)2,1(12???==-n u v n n 求证：

∑∞

n n

也收敛。

158

§11.2 常数项级数的审敛法（1）

一、判断题 1．若正项级数

∑∞

=1n n

收敛，则

∑∞

2n n

也收敛。（）

2．若正项级数∑∞

n n u 发散，则11

lim

>=+∞

→r u u n

n n 。（）二、填空题 1．

∑∞

n p n ，当p 满足条件时收敛。 2．若

∑∞

n n

为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则

∑∞

n n

收敛的充要条件是。

三、选择题

1．下列级数中收敛的是

（A ）∑∞

=11

n n

n n （B ）∑∞

=++1)2(1n n n n （C ）∑∞=?12

3n n n

n （D ）∑∞

=+-1)3)(1(4n n n 2.

∑∞

n n

为正项级数，下列命题中错误的是

（A ）如果

lim

<=+∞

→ρn n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛。(B)如果11lim >=+∞→ρn n n u u ，则∑∞=1

n n u 发散。 (C)如果11<+n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛。 (D)如果11

>+n n u u ，则∑∞

n n u 发散。

2．判断

∑

∞

=+1

11n n

的收敛性，下列说法正确的是（）

（A ）∴>+.011n

此级数收敛。（B ）∴=+∞

→.0111lim

n n

此级数收敛。

（C ）∴>+.1111n n n

级数发散。（D ）以上说法均不对。

四、用比较判断法或其极限形式判定下列级数的收敛性。

1．∑∞

=-1

121

n n 2. ∑

∞

=+1

)1(3cos n n n n λ

3．∑∞

=++1)

3)(1(1

n n n 4.

∑∞

arctan n n

5．)1

cos 1(1

∑∞

=-n n 6.

)sin (

∑∞

=-n n

n π

五、用比值判断法判断下列级数的收敛性。

1．∑∞

=110

n n n 2.

∑∞

7!)!

2(n n

n n 3.

∑

∞

2n n

n a

（a 为常数） 4.∑∞

=12

)

!(n n

n n

六、用根值判断法判断下列级数的收敛性。

1. n

n n n )1413(1

∑∞

=+- 2.

∑∞

=--1

13(n n n n

160

3．∑∞

)(

n n

a b ，其中0,,),(>∞→→a b a n a a n n 。

七、判断∑∞

=1!

n n n b

n e 的收敛性。

八、设,0,>n n b a 且

3,2,1,1

1=≤++n b b a a n

n n n 1．若∑∞

n n

收敛，则

∑∞

n n

收敛。 2.若

∑∞

n n

发散，则

∑∞

n n

发散。

九、若02

lim >=∞

→A a

n n

n ，问∑∞

n n a 是否收敛？

十、偶函数f(x)的二阶导数)(x f ''在x=0的某个区域内连续，且2)0(,1)0(=''=f f 。求证：

∑∞

=-1

]1)1

([n n f 收敛。

§11.2 常数项级数的审敛法（2）

一、判断题 1．若

∑∞

2n n

，

∑∞

2n n

都收敛，则

n n n v u ∑∞

绝对收敛。（）

2．级数

∑∞

=-?-1

110

)1(n n n n

条件收敛的。（）二、填空题

1．∑∞

=--1

)1(n n n 的和为。

2．级数

)3,2,1,0()

1(1

=>?-∑∞

=-n u u n n n n 若满足条件则此级数收敛。

三、选择题

1．下列级数中条件收敛的是（）（A ）

n n n 1

)

1(11

∑∞

=+- （B ）2

11)1(n n n

∑∞

=-（C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）)1(1)1(1

+-∑∞

=n n n n

2．下列级数中绝对收敛的是（）

（A ）n n n

1)1(1∑∞

=- （B ）∑∞=+-21ln )1(n n n （C ）∑∞=+-11)1(n n n n （D ）∑∞

=+-21

ln )1(n n n

四、用适当的方法判定下列级数的收敛性。 1．∑∞

=-1

)(cos 1(n n αα

为常数） 2. ∑

∞

=+1

n n

3．∑∞

=14

n n n 4.

∑

∞

=-??-????1)

13(852)

12(531n n n

162

5．

∑

∞

=+1

411

n n

x 6.

)0()1(1

>+∑∞

=a n an n n

五、判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？ 1．∑∞

=---1

1(n n n n 2.

∑∞

=-+-1

)

1ln(1

)1(n n n

3．∑

∞

=++1

1sin

n n n ππ

]11

)1[(1

n n n

+-∑∞

六、已知级数∑∞

2n n u 收敛。证明：∑

∞

=1n n

u 必绝对收敛。

§11.3 幂级数

一、判断题

1．若幂级数n n n x a )2

3(1

-∑∞

=在x=0处收敛，则在x=5处必收敛。（）

2．已知

n n

x a

∑∞

=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21

∑∞

=的收敛半径为R 。（）

3．

n n n

x a

∑∞

=1的收敛半径为R ，在（-R ，R ）内的和为S(x)，则在（-R ，R ）内任一点S(x)有

任意一阶导数存在。（） 4．

n n

x a

∑∞

和

n n x

b ∑∞

的收敛半径分别为b a R R ,，则

n n n n

x b a

∑∞

=+1

)(的收敛半径

R=),min(b a R R 。（） 5．若

21lim

=+∞

→n n n c c ，则幂级数n n n x c 21

∑

∞

=的收敛半径为2。（）二、填空题

1．幂级数n n n

x n

∑∞

=12的收敛区间为。 2．幂级数n n x n )3

2(11

-∑∞

=的收敛区间为。

3． ∑∞

=--1121

2n n n x 的收敛区间为，和函数S(x)为。

4． n n n x a ∑∞

在x=-3时收敛，则

n n n

x a

∑∞

在

三、选择题

1．若幂级数

n n n

x a

∑∞

在0x x =处收敛，则该级数的收敛半径R 满足（）

（A ）0x R = （B ）0x R < （C ）0x R ≤ （D ）0x R ≥ 2．级数∑∞

=--1)5(n n

x 的收敛区间（）

（A ）（4，6）（B ）[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6] 3．若级数∑∞

=--1

12)2(n n

n a x 的收敛域为[)4,3，则常a =（）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对。 4．级数n n x

x n )1(11-∑∞

=的和函数为（）

164

（A ）x x ---)1ln(

（B ）)2ln(x - （C ）x ln （D ）以上都不对。四、确定下列幂级数的收敛区间。

1．n

n x n ∑∞

=13

2. ∑∞

=?????1)

2(642n n

n x

3. n

n n n

n x 2)1(1

?-+∞

=∑ 4. n n x n

)2(1112

-++∑∞

五、求下列幂级数的和函数。 1．)1(1

<-∞

=∑x x

n n n 2. )1(1

411

4<+∑∞

=+x n x n n

3． 1

2)1(-∞

=-∑+n n n x n n 并求 ∑∞

=-+1

1(n n n n

§11.4 函数展开成幂级数

一、判断题

1．若对某一函数使?不)0()

(m f

，则f(x)就不能展开成x 的幂级数。（）

2．式n n

n x x ∑∞

=-=+0

)1(11

只有在（-1，1）内成立，所以由逐项积分原则，等式

=+)1ln(x ∑∞

=++-0

1)1(n n n n x 也能在（-1，1）内成立。（）

3．函数f(x)在x=0处的泰勒级数

+++''+'+n

n x n f x f x f f !

)0(!2)0(!1)0()0()(2必收敛于f(x)。（）

二、填空题

1． )2ln()(x x f +关于x 的幂级数展开式为，其收敛域是。 2．2

)(2++=

x x x f 展开成x+4的幂级数为，收敛域为。

三、选择题

1．函数2

)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（）

（A ）∑∞

=02!n n n x （B ）∑∞=?-0

2!)1(n n

n n x （C ）∑∞=0!n n n x （D ）∑∞=?-0!)1(n n n n x

2．)0()

(n f

存在是f(x)可展开成x 的幂级数的（）

（A ）充要条件（B ）充分但非必要条件

（C ）必要而不充分条件（D ）既不是充分条件也非必要条件

3．),()(+∞-∞在x f 内展开成x 的幂级数，则下列条件中只有（）是必要的。（A ）)2,1)(0()

( =n f

n 存在。（B ）)2,1)(0()( =n f n 处处存在。

（C ）0)(lim )

(=∞

→x f

n n (D)以上都不对

4．2

1x x -展开成x 的幂级数是（）

（A ）

n x 21

∑

∞

= （B ）n

n n

x 21

)1(∑∞=- （C ）n

n x 22

∑∞= （D ）n n n x 22

)1(∑∞

四、将下列函数展成x 的幂级数。

166

1．2

x e e shx --= 2.)1ln()1(x x ++

3．

1x x + 4.21ln arctan x x x +-

五、将下列函数展成x-1的幂级数，并指出展开式成立的区间。 1．x

1 2.x e x --)2(

六、将x x f cos )(=展成3

+x 的幂级数

§11.6 函数的幂级数展开式的应用

一、填空题

1．利用x arctan 的麦克劳林展开式计算dx x x

I ?=

0arctan 时要使误差不超过0.001，则计算

I 的近似值时，应取级数的前项和作为近似值。 2．据欧拉公式有π

i e 。

二、利用函数的幂级数展式求近似值（精确到0.00001） 1．2.1ln 2.e

1 三、求?

.00

10sin xdx x 的近似值（精确到0.00001）

四、求?

410

2dx e

x 的级数表达式，取其前三项计算其近似值，并估计误差。

168

§11.8 傅立叶级数

一、判断题

1．π2)(是以x f 为周期的函数，并满足狄利克雷条件， )

2,1(),2,1,0( ==n b n a n n 是)(x f 的傅立叶级数，则必有)sin cos (2)(1

0nx b nx a a x f n n n ++=∑∞= （）

2．π2)(以x f 为周期，][sin )(,cos )(ππ，在-nx x f nx x f 上可积，那么f(x)的傅立叶级数，

n nxdx x f a ππ2cos )(1

，?

n nxdx x f b ππ2sin )(1

，其中h 为任意实数。（）

3．f(x)的傅立叶级数，每次只能单独求0a ，但不能求出n a 后，令n=0而得0a 。（）

4 如果f(x)的傅立叶级数][)sin cos (21

0ππ，在-++∑∞=nx b nx a a n n n 上收敛，

则0lim n =∞→n a 。（）

二、填空题

1．)(x f 满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S(x)，已知f(x)在x=0处左连续，且

)(lim ,2)0(,1)0(0

x f S f x +

→=-=则= 。 2．设??????

≤≤-≤≤-+=ππ

ππx x x x x x f 0,10,)(展成以π2为周期的傅立叶级数的和函数为S(x)，则S （-3）= ，S （12）= ，S )(πk = ，k 为整数。

3.π2)(是以x f 为周期的函数，已知其傅立叶级数为n n b a ,，若)(),()(x g x f x g 则-=的傅立叶系数*

,n n b a 与n n b a ,的关系式*

n a = 。*

n b = 。三、选择题

1．)(x f 是以周期为π2的周期函数，它在],[ππ-的表达式为??

?≤≤≤≤-=π

πx x x x f 0,00,)(，)(x f 的傅立叶级数的和函数为S （x ），则)(πS =（）（A ）2

（B ）π- （C ）0 （D ）其它值

2．)(sin )(ππ≤≤-=x x x f 的傅立叶系数n n b a ,满足（）

（A ）)2,1(0),2,1,0(0 =≠==n b n a n n （B ）)2,1,0(0),2,1(012 ====-k a n b k n （C ）)2,1(0),2,1,0(0 ===≠n b n a n n （D ）以上结论都不对。 3 利用2

)(x x f =在],[ππ-上的傅立叶展开式可求得

∑∞

n n =（）（A ）3

π （B ）6

π （C ）9

π （D ）12

四、下列函数)(x f 满足以π2为周期的函数，试将)(x f 展开成傅立叶级数（并画出傅立叶

级数和函数S(x)的图形） 1．)()(22πππ≤≤--=x x x f

2．b a x ax x bx x f ,(0,0

,)(??

?≤≤≤≤-=π

π为常数，且)0>>b a 。

五、将下列函数在所给区间上展成以π2为周期的傅立叶级数。 1．)(sin )(ππ≤≤-=x x x f

2．???≤≤≤≤-=π

πx x e x f x 0,10

,)(。

§11.9 正弦级数与余弦级数

170

一、判断题

1．[]π,0)(在x f 上连续且符合狄利克雷条件，则它的余弦级数处处收敛，且在[]π,0上收敛于f(x)。（） 2．定义在],[ππ-上的任意函数)(x f ，只要符合狄利克雷的条件，就既可展成正弦级数，也可展成余弦级数。（）二、填空题 1．)0(2

)(ππ≤≤-=

x x

x f 展成正弦级数为。

2．)()(ππ≤≤-=x x x f 展成余弦级数为。三、选择题

1．求[]π,0)(在x f 上的正弦级数，实际上就是求（）中[]ππ,)(-在x f 上的傅立叶

级数。（A ）??

?≤≤---≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ （B ）???≤≤--≤≤=0

),(0),()(x x f x x f x F ππ

（C ）???≤≤--≤≤=0),(0),()(x x f x x f x F ππ （D ）?

??≤≤-≤≤=0,00),(2)(x x x f x F ππ

2.设???<<-+<<=0

,20,)(x x x x x F πππ

展成傅立叶级数, )sin cos (210x n b x n a a n n n ππ∑∞=++

则系数n a 满足（）

（A ）)2,1,0(0 ==n a n （B ）)2,1(0,20 ===n a a n π （C ）)2,1(0 =≠n a n （D ）)2,1(0,00 =≠=n a a n 四、将2

cos )(x

x f =)0(π≤≤x 展开成以π2为周期的傅立叶级数。

五、将????

???<≤<≤--<≤--ππ

πππ

x x x x 2,222,2,2展成以π2为周期的傅立叶级数。

六、设)(x f 是以π2为周期的奇函数，且)()(x f x f =-π，证明：)(x f 的傅立叶级数满

足)2,1(,0,0,020 ====n b a a n n 。

172

§11.10 周期为π2的周期函数的傅立叶系数

一、判断题

1．周期为2的周期函数f(x)满足收敛的条件，则f(x)=)sin cos (21

0x n b x n a a n n n ππ∑∞

=++

其中?

-==

)2,1,0(cos )( n xdx n x f a n π，?-=1

sin )(xdx n x f b n π （）

2．],[)(b a x f 定义在上并满足收敛条件，则它有周期b-a 的傅立叶级数展开式：

)sin cos (21

0x n b x n a a n n n ππ∑∞

=++ （）二、将)11()(2≤≤-=x x x f 展开成以2为周期的傅立叶级数，并由该级数求下列数项级

数的和。

1．∑∞

=121

n n

∑∞

=+-1

1)1(n n n

三、将f(x)=x 在[0，3]上展开成以6为周期的正弦级数。

第十一章无穷级数(已改)

第十一章无穷级数一、常数项级数（A:§11.1,§11.2; B:§10.1,§10.2） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）理解无穷级数敛散及和的概念。（ⅱ）记忆无穷级数收敛的必要条件，了解无穷级数的基本性质。（ⅲ）记忆等比级数和p 级数的敛散性。（ⅳ）掌握正项级数的比值审敛法，学会运用正项级数的比较审敛法及其极限形式，了解正项级数收敛的充要条件。（ⅴ）掌握交错级数的莱布尼兹定理，了解一般项级数绝对收敛与条件收敛的概念及关系。 Ⅱ、基本题型：（ⅰ）无穷级数基本性质的客观题。 1．是非题：（每题4分）（1）∑∞ =1 n n u 收敛，则0lim =∞ →n n u ，反之亦然。（ ? ）（2）∑∞=1 n n u 收敛，∑∞=1 n n v 发散，则∑∞ =+1 )(n n n v u 必发散。（√ ）（ⅱ）涉及等比级数和p 级数敛散性的客观题。 2．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ C ） (A) ∑ ∞ =1 1n n (B) )1(1 ∑ ∞ =- n n (C) ∑ ∞ =--1 1 2 )1(n n n (D) ∑ ∞ =1 1n n 3．（4'）下列级数收敛的是--------------------------------------------------------------------（ D ）（A ）∑∞ =1 3n n （B ）∑ ∞ =+1 3 1n n （C ）∑ ∞ =+1 1 n n n （D ）∑ ∞ =+1 3 1 1n n （ⅲ）运用比较审敛法及其极限形式判定简单正项级数的敛散性。 4．判别下列级数的敛散性：（每题6分）（1）∑ ∞ =+12 1 n n n （2）∑∞ =1 2sin n n π （3）∑∞ =+ 1 )11ln(n n （4）∑∞ =+1 )1 2( n n n n 解：（1）解：11 1 lim 2 =+∞→n n n n ∑ ∞ =1 1n n 发散 ∴ ∑ ∞ =+1 2 1 n n n 发散。

高等数学：第11章无穷级数自测题答案

《高等数学》单元自测题答案第十一章无穷级数一．选择题： 1.B ； 2. D ； 3.A ； 4.B ； 5.B ； 6.B ； 7. C ； 8.C . 二．填空题： 1. () ∑∞=-021n n n x ，()1,1-∈x ；2. ()x +1ln ； 3. [)6,0； 4. 2 k . 三．判断题： 1. 解因为02121lim ≠=+∞ →n n n ，故级数发散. 2. 解因为n n n n n n n 1)3(3)3(32=++>++，而∑∞=11n n 发散，故原级数发散. 3. 解设n n n n u )13( +=，因为13113lim lim <=+=∞→∞→n n u n n n n ，故级数收敛. 4. 解因为()∑∞=-+1 212n n n ∑∑∞=∞=--+=111)21()21(n n n n ,并且级数∑∑∞=∞=--111)21()21(n n n n 和均收敛,故级数()∑∞=-+1212n n n 收敛. 四．判断题： 1. 解 ()∑∑∞=-∞=--=-11111221n n n n n n n ，因为12121lim 221lim lim 11<=+=?+=∞→-∞→+∞→n n n n u u n n n n n n n 故∑∞=-112n n n 收敛，从而()∑∞=---11121n n n n 绝对收敛. 2. 解 ∑∞=-+-=++-+++-1 212221)1(14413312221n n n n ， ∑∑∞=∞=-+=+-1212111)1(n n n n n n n ，因为11lim 11lim 222=+=+∞→∞→n n n n n n n ，而级数∑∞=11n n 发散，故绝对值级数∑∞=-+-121 1 )1(n n n n 发散，因此所给级数不是绝对收敛的.由于所给级数是交错级数，且满足1 )1(11,01lim 222+++>+=+∞→n n n n n n n ，据莱布尼兹判别法知，

第十章无穷级数

第10章无穷级数【学习目标】 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。【能力目标】【教学重点】 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α+的麦克劳林展开式；【教学难点】 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法；

3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数； 5、泰勒级数；【教学方法】启发式、引导式【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课 §１第2 次课 §2 第3 次课 §3 第4 次课 §4 第5次课 §5 第6次课 §6 第7次课 §7 第8次课 §8 第9次课习题课 10. 1 常数项级数的概念和性质一、无穷级数的概念定义10.1 设有无穷序列 123,,, ,, n u u u u ??????, 则由此序列构成的表达式 123 n u u u u +++???++???称为无穷级数, 简称级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 3211 ???++???+++=∑∞ =n n n u u u u u , 其中第n 项n u 叫做级数的一般项. 如果(1,2,...)n u n =都为常数，则称该级数为常数项级数，简称数项级数；如果 (1,2,...)n u n =为变量x 的函数()n u x ，则称该级数为函数项级数. 二、数项级数的敛散性概念级数的部分和: 作级数∑∞ =1n n u 的前n 项和

第十一章-无穷级数(习题及解答)

第十一章无穷级数 §11.1 级数的概念、性质一、单项选择题 1. 若级数 1 n n a q ∞ =∑收敛(a 为常数)，则q 满足条件是( )． (A)1q =； (B)1q =-； (C) 1q <； (D) 1q >．答(D)． 2. 下列结论正确的是( )． (A)若lim 0n n u →∞=，则1 n n u ∞ =∑收敛；(B)若1lim()0n n n u u +→∞-=，则1 n n u ∞ =∑收敛； (C)若1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =；(D)若1 n n u ∞ =∑发散，则lim 0n n u →∞ ≠. 答(C)． 3. 若级数1 n n u ∞=∑与1 n n v ∞ =∑分别收敛于12,S S ，则下述结论中不成立的是( )． (A)121 ()n n n u v S S ∞ =±=±∑； (B) 11n n ku kS ∞ ==∑； (C) 21 n n kv kS ∞==∑； (D) 1 12 n n n u S v S ∞ ==∑．答(D). 4. 若级数1 n n u ∞=∑收敛，其和0S ≠，则下述结论成立的是( )． (A)1()n n u S ∞ =-∑收敛； (B) 11 n n u ∞ =∑收敛； (C) 1 1 n n u ∞ +=∑收敛； (D) n ∞ =收敛. 答(C). 5. 若级数1 n n a ∞ =∑收敛，其和0S ≠，则级数121 ()n n n n a a a ∞ ++=+-∑收敛于( )． (A)1S a +； (B)2S a +； (C)12S a a +-； (D)21S a a +-．答(B). 6. 若级数 ∑∞ =1n n a 发散， ∑∞ =1 n n b 收敛则 ( )． (A) ∑∞ =+1)(n n n b a 发散； (B) ∑∞ =+1)(n n n b a 可能发散，也可能收敛； (C) ∑∞ =1 n n n b a 发散； (D) ∑∞ =+1 22)(n n n b a 发散. 答(A).

第十二章无穷级数A同步测试卷教学文案

第十二章无穷级数A 同步测试卷

第十二章无穷级数同步测试A 卷一、单项选择题(每小题3分，共15分) 1．下列级数中，收敛的是（） 2100111111 () 22223++++++++L L L A n 2111111()23100222 ++++++++L L L n B 211111 ()(1)()()2222+++++++L L n C n 2111111 ()(1)()23222++++++++++L L L L n D n 2．设1 ∞ =∑n n u 为数项级数，下列结论中正确的是（） 1 ()lim ,1+→∞=

4. 设常数0>k ，则级数1 21 (1)∞ -=+-∑n n k n n （）. ()A 发散. ()B 条件收敛. ()C 绝对收敛. ()D 收敛性与k 有关. 5. 周期为2π的函数()f x ，在一个周期上的表达式为 (0) ()2(2)πππππ≤≤?=? -≤≤?x f x x x ，设它的傅里叶级数的和函数是()S x ，则(2)π=S （）. () ()()2()02 π ππA B C D 二、填空题(每小题4分，共20分) 6. 级数111 ( )23∞ =+∑n n n 的和为 . 7. 幂级数21 12(3) ∞ -=+-∑ n n n n n x 的收敛半径为 . 8. 已知级数1 211 1 (1)2,5∞ ∞ --==-==∑∑n n n n n u u ，则级数1 ∞ ==∑n n u . 9．将1 ()2= -f x x 展开为x 的幂级数时，其收敛域为 . 10．将()1(0)π=+≤≤f x x x 展开为余弦级数时，0=a . 三、解答题(共65分) 11. （8分）判断下列运算过程是否正确，若不正确，指出错误所在. 因为1 1ln(1)(1) ∞ -=+=-∑n n n x x n ，因此取2=x 得11 2ln 3(1)∞ -==-∑n n n n . 12. （8 分）讨论级数2∞ =n . 13. （8分）求级数2012!∞ =+∑g n n n n x n 的和函数.

第10章无穷级数习题详解

第十章无穷级数习题10-1 3. 判定下列级数的敛散性: （1）∑∞ =- +1)1(n n n ; （2）∑ ∞ =+-1 ) 12)(12(1 n n n ; （3） ++++?+?) 1(13212 11n n ; （4） ++++6 πsin 6 π2sin 6 πsin n ; （5）∑∞ =+ +-+1 )122(n n n n ; （6） ++ + + 4 3 3 1 3 1 3 13 1; （7）2 2 111111()()()323 2 3 2 n n -+-++- + ; （8） ++-+++++1 2129 77 55 33 1n n ; （9）)(1 21 12-∞ =+- ∑n n n a a （0a >）; (10) ++ + ++ + + ++ n n ) 11(1) 311(1) 211(11 1113 2 . 解（1）因为 11)1()34()23()12(-+= - +++- +- +-=n n n S n 当 ∞→n 时，∞→n S ，故级数发散. （2）因为 )1211 21 ( 21 )12)(12(1 +- -= +-n n n n ) 12)(12(1 7 515 313 11 +-+ +?+ ?+?= n n S n )]1 211 21 ( )5 131()3 11[(2 1+- -+- +-=n n ]1 21 1[2 1+- = n , 当∞→n 时，2 1→n S ，故级数收敛. (3) 因为 1 11) 1(1+-= +n n n n ， ) 1(14 313 212 11++ +?+ ?+?= n n S n

第十一章无穷级数

第十一章无穷级数第一节常数项级数的概念与性质 1、由P189性质2引出的类似问题（考研经常考到这类选择题）：（1） 1 n n u ∞ =∑、 1n n v ∞ =∑都为收敛级数 ① 级数 1()n n n u v ∞ =±∑收敛 ② 级数 1 ()n n n u v ∞ =?∑收敛（2） 1 n n u ∞ =∑收敛， 1 n n v ∞ =∑发散 ① 1()n n n u v ∞ =±∑必发散 ② 1 ()n n n u v ∞ =?∑不一定发散，有可能收敛。例如，当1()2n n u =、1(1)n n v -=-时，级数231 1111 ()()()2222 n n n u ∞ == +++++∑ 必收敛（这是一个等比级数，公比1 112q -<=<），级数11(1)1(1)n n v ∞==+-++-+∑ 发散，但是对于级数1 ()n n n u v ∞=?∑而言，由于 1 1 ||n n n n n u v u ∞ ∞ ==?=∑∑收敛，即1 ()n n n u v ∞ =?∑绝对收敛，那么1 ()n n n u v ∞ =?∑本身也收敛。（关于绝对收敛P201页，你复习了后面的内容后就会理解这个例子了）（3） 1 n n u ∞ =∑、 1n n v ∞ =∑都发散 ① 1 ()n n n u v ∞ =±∑不一定发散，有可能收敛。当n n u v =-，且1 n n u ∞=∑发散时，那么1 n n v ∞ =∑也发散，而 1 ()000n n n u v ∞ =+=++++∑ 必收敛。同样当n n u v =时，且1 n n u ∞ =∑发散时，

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第11章无穷级数

第十一章无穷级数教学目的： 1．理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。 2．掌握几何级数与P 级数的收敛与发散的条件。 3．掌握正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法。 4．掌握交错级数的莱布尼茨判别法。 5．了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系。 6．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7．理解幂级数收敛半径的概念，并掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法。 8．了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质（和函数的连续性、逐项微分和逐项积分），会求一些幂级数在收敛区间内的和函数，并会由此求出某些常数项级数的和。 9．了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10．掌握,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式，会用它们将一些简单函数间接展开成幂级数。 11. 了解傅里叶级数的概念和函数展开为傅里叶级数的狄利克雷定理，会将定义在[-l ，l]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义在[0，l]上的函数展开为正弦级数与余弦级数，会写出傅里叶级数的和的表达式。教学重点： 1、级数的基本性质及收敛的必要条件。 2、正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法和根值判别； 3、交错级数的莱布尼茨判别法； 4、幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域； 5、,sin ,cos x e x x ，ln(1)x +和(1)a α +的麦克劳林展开式； 6、傅里叶级数。教学难点： 1、比较判别法的极限形式； 2、莱布尼茨判别法； 3、任意项级数的绝对收敛与条件收敛； 4、函数项级数的收敛域及和函数；

第十二章无穷级数

第十二章无穷级数 1下列无穷级数中发散的无穷级数是（） A.∑ ∞ =+1 n 2 2 1n 3n B. ∑ ∞ =+-1 n n 1n )1( C. ∑ ∞ =--3 n 1 n n ln )1( D. ∑ ∞ =+1 n 1n n 32 2.设幂级数∑∞ --1 )3(n n n x a 在x =1处收敛,则在x =4处该幂级数( ) A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不定 3．下列无穷级数中，收敛的无穷级数是（） A ．∑ ∞ =++15312n n n B ．∑ ∞ =--+11)1(1n n n C ．∑ ∞ =-15 1 n n D ．∑ ∞ =--1 1 )1(n n n 4．设正项级数∑∞ =1 n n u 收敛，则下列无穷级数中一定发散的是（） A ．∑∞=+1 100n n u B ．∑∞=++1 1)(n n n u u C ．∑∞ =1 )3(n n u D ．∑∞ =+1 )1(n n u 5.下列无穷级数中，发散的无穷级数为（） A.()∑ ∞ =+11 1 n n n B. ∑ ∞ =??? ??+13101n n C. ∑ ∞ =?? ? ??+12 110 1 n n n D. ∑ ∞ =+11 3 2n n n 6.无穷级数∑∞ =023n n n 的前三项和S 3=( ) A.-2 B. 419 C.8 27 D. 8 65 7.幂级数1! n n x n ∞ =∑的和函数为（） A.1x e - B.x e C.1x e + D.2x e + 8.已知幂级数()n 1 1n n a x ∞ =+∑在x =-3处收敛，则该级数在x =0处是 A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 D.敛散性不确定 9.无穷级数1 1 !n n ∞ =∑ 的和为______. 10.设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上表达式为1()1 f x -?=?? , , 0x x ππ -≤≤≤＜