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第十一章 无穷级数自测题 A一、 选择题：1．下列级数中，收敛的是( )。
A ． ∑∞=11n n B ． ∑∞=11n nnC ． ∑∞=1321n n D ． ∑∞=-1)1(n n2．下列级数中，收敛的是( )。
A ． 11)45(-∞=∑n n B ． 11)54(-∞=∑n nC ． 111)45()1(-∞=-∑-n n n D ． ∑∞=-+11)5445(n n3．下列级数中，收敛的是( )。
A ． ∑∞=1222)!(n n nB ． ∑∞=1!3n n n nnC ． 21sin nn nππ∞=∑D ． ∑∞=++1)2(1n n n n4．部分和数列{}n s 有界是正项级数∑∞=1n n u 收敛的( )。
A ． 充分条件B ． 必要条件C ． 充要条件D ． 既非充分又非必要条件5．设a 为非零常数,则当( )时,级数∑∞=1n n r a收敛 。
A ． 1<r B ． 1≤r C ． a r <D ． 1>r6.(3)1,6.....n n n a x x x A B C D ∞=-=-=∑若级数在处收敛则此级数在处（）绝对收敛发散条件收敛敛散性不定二、 填空题：1．设级数∑∞=-12)1(n nn na 收敛，则级数∑∞=1n n a 。
2．设级数∑∞=12n n u ，∑∞=12n n v 收敛， 则级数∑∞=1n n n v u 。
3．若级数∑∞=1n n u 的前n 项和)12(2121+-=n s n ，则=n u ，∑∞=1n n u = 。
4．函数 f(x)=lnx 在 x=1 处的幂级数展开式为______________________。
5．级数11n n nx ∞-=∑的和为__________________(ln 3)6.2级数的和为nnn ∞=∑ . 三、 判别下列级数的收敛性:1．∑∞=1222)!(n n n 2．∑∞=1223cos n nn n π3．判别级数∑∞=+-11ln)1(n n nn 的敛散性。
第十一章 无穷级数一、选择题1、无穷级数∑∞=1n nu的部分和数列}{n S 有极限S ，是该无穷级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 2、无穷级数∑∞=1n nu的一般项n u 趋于零，是该级数收敛的 C 条件。
A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分且必要D 、既不充分，又非必要 3、若级数∑∞=1n nu发散，常数0≠a ，则级数∑∞=1n nauBA 、一定收敛B 、一定发散C 、当0>a 收敛，当0<a 发散D 、当1<a 收敛，当1>a 发散。
4、若正项级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数必定收敛的是 AA 、∑∞=+1100n n uB 、∑∞=+1)100(n nuC 、∑∞=-1)100(n n u D 、∑∞=-1)100(n n u5、若级数∑∞=1n na 收敛，∑∞=1n nb发散，λ为正常数，则级数∑∞=-1)(n n nb aλ BA 、一定收敛B 、一定发散C 、收敛性与λ有关D 、无法断定其敛散性 6、设级数∑∞=1n nu的部分和为n S ，则该级数收敛的充分条件是 DA 、0lim =∞→nn u B 、1lim1<=+∞→r u u nn nC 、21n u n≤D 、n n S ∞→lim 存在7、设q k 、为非零常数，则级数∑∞=-11n n qk收敛的充分条件是 CA 、1<qB 、1≤qC 、1>qD 、1≥q8、级数∑∞=+111n p n发散的充分条件是 AA 、0≤pB 、1-≤pC 、0>pD 、1->p9、级数∑∞=1n na收敛，是级数∑∞=1n na绝对收敛的 C 条件A 、充分，但非必要B 、必要，但非充分C 、充分必要D 、既不充分，又非必要10、交错级数∑∞=++-111)1(n p n n绝对收敛的充分条件是 A A 、0>p B 、0≥p C 、1>p D 、1≥p11、设常数0>k ，则级数∑∞=+-12)1(n n n n k BA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与k 有关 12、设常数0>a ，则级数∑∞=12sin n naAA 、绝对收敛B 、条件收敛C 、发散D 、敛散性与a 有关13、级数∑∞=12!n nn 与∑∞=+-11)1(n nn 的敛散性依次是 、D A 、收敛，收敛 B 、发散，发散 C 、收敛，发散 D 、发散，收敛 14、下列级数中，为收敛级数的是 CA 、∑∞=131n n B 、∑∞=+111n n C 、∑∞=+121n nn D 、∑∞=+112n n n 15、下列级数中，为发散级数的是 BA 、∑∞=1!2n nn B 、∑∞=12!n nn C 、∑∞=+121n n n D 、∑∞=-12)1(n n n16、下列级数中，为绝对收敛级数的是 DA 、∑∞=+111n n B 、∑∞=+-11)1(n n n C 、∑∞=+-1212)1(n nn n D 、∑∞=-12)1(n nn17、下列级数中，为条件收敛级数的是 AA 、∑∞=+-121)1(n n n n B 、∑∞=+-11)1(n n n n C 、∑∞=+-121)1(n nnn D 、∑∞=-12!)1(n nn n 18、幂级数∑∞=+12)1(n nnn x 的收敛区间是 BA 、[-2，2]B 、[)2,2- C 、(-2,2) D 、(]2,2-19、幂级数∑∞=-+-111)1(n nn n x 的收敛域是 、DA 、(-1,1)B 、[-1，1]C 、[)1,1-D 、(]1,1-20、幂级数∑∞=+++-111)1()1(n n n n x 的收敛域是 CA 、[-2，0]B 、（-2，0）C 、(]0,2-D 、[)0,2-二、填空题21、当参数α满足条件 时，级数∑∞=--+111n n n n α收敛。
第十一章 无穷级数(A)用定义判断下列级数的敛散性1． n 2n 1； ．1；3． 11 。
2n 1 2n 2n2n 13 n5 nn 1判断下列正项级数的敛散性．n! ；5． n e； 6．n 1；7． 2n 3；8． n 4 ；n 1 e n1 2nn 1 n n 3 n 1 n! n 1 100 n nn nn1 n9．；10．3n n 12n。
n 11求下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛．1n 1n 1 ； 12．1n1； 13．1.1 1.01 1.001 1.0001；112 nln nn 1n 214．122 2 3 1 4 1 ；21 32 4 2求下列幂级数的收敛半径和收敛区间．3n x n；16．1 n x n ； 17．n! xn； ．1 n；n n n 1 2n n n 1 n n 1n 119．1 2n 1； 20． n 2n；1 2 n 1xn 1 3 n xn求下列级数的和函数21． n 1 nxn 1； 22． n 1 21n 1 x2n 1；将下列函数展开成 x x 0 的幂的级数23． shx e xe x ， x 00 ；24． cos 2 x ， x 00 ；225． 1 x ln 1 x ， x 00 ； 26． 1， x 0 3 ；x将下列函数在区间, 上展开为付里叶级数27． A xcos x，x。
28． f x 2t ， x22x , 3x t 029．将函数 f x, 0 t 3 展开成付里叶级数。
xx, 0 xl2分别展开成正弦级数和余弦级数。
30．将函数 f xllx , x l2(B)用定义判断下列级数的敛散性1．1；2．1； 3．n 2 2 n 2n 03n 1 3n4n 1n n 1 n2n 1判断下列正项级数的敛散性2n n!2n2n3n na n． ； 5．；6． ，( a 0 )；4n3n 12n nn 1nn1n 11nb7．，其中 a na ( n)， a n ， b ， a 均为正数；n 1a n11x8．n，( a 0)；9． n 42x ；1 n 1 0 1 x n 1 1判断下列任意项级数的敛散性，收敛时要说明条件收敛或绝对收敛n 12 n 2n 1ln 2110．1；11．n 1；12．1n 1 nn!12 n 13n 2 3nn 1n 1nn 1求下列幂级数的收敛半径和收敛域．nx 2 n；14．x n ，( a 0 ,b 0 )； 1312n!n 1 anb nn 115．n12 n 1； 16． 3n2 nn；12 n4 n x 5x 1 n 1n 1n求下列级数的和函数17． nx 2n ；18．2n 1x 2 n ； 19． n 2 x n ；n 1n 1n ! n 120．求证： ln 21；n ；； 2将下列函数展开成 xx 0 的幂的级数21．f x21，x 0 0 ；22．f x12 ，x 01；23． x ，x 0 0 ； 2x3x 1x1 x 224．证明偶函数的付里叶级数数仅含余弦项；25．写出函数 f x1 x 2k ， x2k 1 , 2k1 ， k 0, 1, 2,的2付里叶级数，并讨论收敛情况。
第十一章 无穷级数A1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性 1）()∑∞=-+11n n n2） (1)2)(12(1...751531311++-++⋅+⋅+⋅n n3）) (6)sin(...)62sin()6sin(πππn +++2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。
1） )2sin()2sin()2sin(32nπππ+++2）∑∞=+111n na()1>a3）∑∞=++1)4)(1(1n n n 4） ...11 (3131212112)22n n+++++++++3、用比值审敛法判定级数收敛性 1）∑∞=+112tann n n π2）∑∞=123n n n3）∑∞=132n n n n4、用根值法判定级数收敛性 1）nn n n ∑∞=+1)13(2）[]∑∞=+1)1ln(1n nn5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1） (4)131211+-+- 2）∑∞=--113)1(n n nn3）∑∞=⋅-1231)1(n nn6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。
1) ...)1(...21222nx x x nn -+++-2)∑∞=--122212n n nx n 3)∑∞=-1!21)1(n nnnx n7、利用逐项求导或积分求级数的和函数.1)∑∞=++11414n n n x 2)∑∞=-11n n nx8、将函数展开成x 的 幂级数并求收敛区间.1）2xx e e shx --=2）xa3）x 2sinB1、判断积数收敛性1) ∑∞=1!.2n n n nn2) ∑∞=-1!2)1(2n nnn2、利用逐项求导或积分求级数∑∞=+0212n nn x 的和函数.3、求幂级数∑∞=--1)5()1(n nnn x 的收敛域.4、将x cos 展开成3π+x 的幂级数.5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数.C1、求∑∞=-1n nxne的收敛域.2、求 ∑∞=+022!1n n n x n n 的和函数. 3、)(x f 是周期为2的周期函数，且在区间[]2,0上定义为：⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f 求傅里叶展开式. 4 利用3题结果证明用结果证明，∑∞==12261n n π第十一章 无穷级数答案习 题 答 案A1、1）发散 2) 收敛 3) 发散2、1) 收敛 2) 收敛 3）收敛 4)发散3、1) 收敛 2）收敛 3）收敛4、1) 收敛 2）收敛5、1） 条件收敛 2） 绝对收敛 3） 绝对收敛6、1) 收敛半径1=R ，收敛区间:[]1,1- 2) 收敛半径2=R ，收敛区间为：()2,2-3) 收敛半径∞=R , 收敛区间为：()∞∞-,7、1)∑∞=++11414n n n x x x x x --++=11ln 41arctan 21 )1(<x 2)211)1(1x nx n n -=∑∞=- )1(<x8、1）∑∞=---=-=112)!12(2n n x x n x e e shx ()+∞∞-∈,x2）n n nax x x n a ea ∑∞===0ln !ln ()+∞∞-∈,x 3）x 2sin =)!2(4)1(21212cos 212120n x x nn nn ∑∞=--=- ()+∞∞-∈,xB1、1) 解：1111)1(2lim )1()!1(2!.2lim lim-∞→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n n n n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n由比值法，级数∑∞=1!.2n n n nn 收敛 2) 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2、解：dx x x n x x n x x n n n n n n ⎰∑∑∑∞=∞=+∞==+=+00201202112112 dx x x x ⎰-=02111 x xx -+=11ln 21 )1(<x3、解:11lim lim1=-==∞→-∞→n n a a n n n n ρ，收敛半径11==ρr6=x 时级数()∑∞=-111n nn为交错级数收敛4=x 时级数为∑∞=11n n 发散，所以:收敛域为:(]6,44、)3sin(3sin )3cos(3cos )33(cos cos ππππππ+++=-+=x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)!12()3()1(23)!2()3()1(21n n nn n n n x n x ππ 或者直接展开为：n n x n n )3(!)23cos(0πππ∑∞=++-5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数解：设4+=x t 则4-=t x1121341)24(1)(---=+--+-=t t t t x ft t -+--=112121∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t )2(<t 所以231)(2++=x x x f =∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t C1、解:xxn nx n n n n e e n ne u u ----∞→-∞→=-=)1(1)1(lim lim当0>x 时1<-xe；0<x 时1>-xe；0=x 时∑∑∞=∞=-=11n n nxn ne发散所以:收敛域:()∞∈,0x 2、解：令t x =2∑∑∑∞=∞=∞=+=+02002!!2!1n n n n n n nt n n n t x n n n n tt n n e ∑∞=-+-+=1)!1(11n n n n t t n t n e ∑∑∞=∞=-+-+=211)2(1)!1(1ttte t te e 2++=)421(22x x e x ++= 3、解2121)(0021020====⎰⎰x xdx dx x f a⎰⎰==210c o s c o s )(xd xn x x d x n x f a n ππx d x n n x n x n x d x n xd n ⎰⎰-==11010sin 1sin 1sin 1ππππππ[]1)1()(1cos )(1212--==nn x n n πππ xdxn x xdx n x f b n ππsin sin )(120⎰⎰==xdx n n x n x n xdx n xd n ⎰⎰+-=-=11010cos 1cos 1cos 1ππππππ112)1(1sin )(1)1(1+-=+--=n n n x n n n ππππ所以：[]x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑当1=x 时：收敛于214、由⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f[]x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑（1≠x ） []∑∞==--=120)12(1241)0(n n f π 8)12(1212π=-∑∞=n n ，记48)2(1)12(112121212s n n n s n n n +=+-==∑∑∑∞=∞=∞=π所以：683412212ππ=⋅==∑∞=n n s 帮助，如果您还了解更多的相关知识，也欢迎您分享出来，让我们大家能共同进步、共同成长。
第十一章 无穷级数A1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性1）()∑∞=-+11n n n2）...12)(12(1...751531311++-++⋅+⋅+⋅n n3）) (6)sin(...)62sin()6sin(πππn +++2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。
1） )2sin()2sin()2sin(32n πππ+++2）∑∞=+111n n a ()1>a3）∑∞=++1)4)(1(1n n n4） ...11 (3131212112)22n n +++++++++3、用比值审敛法判定级数收敛性1）∑∞=+112tan n n n π2）∑∞=123n n n3）∑∞=132n n n n4、用根值法判定级数收敛性1）n n n n ∑∞=+1)13(2）[]∑∞=+1)1ln(1n n n5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛 1）...4131211+-+-2）∑∞=--113)1(n n nn3）∑∞=⋅-1231)1(n nn6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。
1) ...)1(...21222nx x x n n -+++-2)∑∞=--122212n n n x n3)∑∞=-1!21)1(n n n nx n7、利用逐项求导或积分求级数的和函数. 1)∑∞=++11414n n n x2)∑∞=-11n n nx8、将函数展开成x 的 幂级数并求收敛区间.1）2xx e e shx --=2）x a3）x 2sinB1、判断积数收敛性 1) ∑∞=1!.2n n n n n2) ∑∞=-1!2)1(2n n n n2、利用逐项求导或积分求级数∑∞=+0212n nn x 的和函数.3、求幂级数∑∞=--1)5()1(n nn n x 的收敛域.4、将x cos 展开成3π+x 的幂级数.5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数.C1、求 ∑∞=-1n nx ne的收敛域. 2、求 ∑∞=+022!1n n n x n n 的和函数. 3、)(x f 是周期为2的周期函数，且在区间[]2,0上定义为：⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f 求傅里叶展开式. 4 利用3题结果证明用结果证明，∑∞==12261n n π第十一章 无穷级数答案习 题 答 案A1、1）发散 2) 收敛 3) 发散2、1) 收敛 2) 收敛 3）收敛 4)发散3、1) 收敛 2）收敛 3）收敛4、1) 收敛 2）收敛5、1） 条件收敛 2） 绝对收敛 3） 绝对收敛6、1) 收敛半径1=R ，收敛区间:[]1,1-2) 收敛半径2=R ，收敛区间为：()2,2- 3) 收敛半径∞=R , 收敛区间为：()∞∞-,7、1)∑∞=++11414n n n x x x x x --++=11ln 41arctan 21 )1(<x 2)211)1(1x nx n n -=∑∞=- )1(<x 8、1）∑∞=---=-=112)!12(2n n x x n x e e shx ()+∞∞-∈,x 2）n n n a x x x n a e a ∑∞===0ln !ln ()+∞∞-∈,x 3）x 2sin =)!2(4)1(21212cos 212120n x x n n nn ∑∞=--=- ()+∞∞-∈,x B1、1) 解：1111)1(2lim )1()!1(2!.2lim lim -∞→--∞→-∞→-=--=n n n n n n n n nn n n n n n n u u 12)11(lim 21.<=-+=---∞→e n n n n n 由比值法，级数∑∞=1!.2n n n nn 收敛2) 解： 12lim )!1(2!2lim lim 12)1(122>∞==-=-∞→-∞→-∞→n n n u u n n n n n n n n 由比值法，级数∑∞=-1!2)1(2n n nn 发散 2、解：dx x x n x x n x x n n n n n n ⎰∑∑∑∞=∞=+∞==+=+00201202112112 dx x x x ⎰-=02111 x x x -+=11ln 21 )1(<x3、解:11lim lim1=-==∞→-∞→n n a a n n n n ρ，收敛半径11==ρr 6=x 时级数()∑∞=-111n n n 为交错级数收敛4=x 时级数为∑∞=11n n 发散，所以:收敛域为:(]6,44、)3sin(3sin )3cos(3cos )33(cos cos ππππππ+++=-+=x x x x ∑∑∞=+∞=++-++-=01202)!12()3()1(23)!2()3()1(21n n nn n n n x n x ππ 或者直接展开为：n n x n n )3(!)23cos(0πππ∑∞=++- 5、将函数231)(2++=x x x f 展开成4+x 的幂级数 解：设4+=x t 则4-=t x1121341)24(1)(---=+--+-=t t t t x f t t -+--=112121∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t )2(<t 所以231)(2++=x x x f =∑∑∞=∞=+-=002)2(21n n n t t C1、解:x xn nx n n n n e e n ne u u ----∞→-∞→=-=)1(1)1(lim lim 当0>x 时1<-x e；0<x 时1>-x e ；0=x 时∑∑∞=∞=-=11n n nx n ne 发散所以:收敛域:()∞∈,0x2、解：令t x =2 ∑∑∑∞=∞=∞=+=+02002!!2!1n n n n n n n t n n n t x n n n n t t n n e ∑∞=-+-+=1)!1(11n n n n t t n t n e ∑∑∞=∞=-+-+=211)2(1)!1(1t t t e t te e 2++=)421(22x x e x++= 3、解2121)(00210200====⎰⎰x xdx dx x f a⎰⎰==2010c o s c o s )(x d x n x x d x n x f a n ππx d x n n x n x n x d x n xd n ⎰⎰-==101010sin 1sin 1sin 1ππππππ[]1)1()(1cos )(12102--==n n x n n πππ xdx n x xdx n x f b n ππsin sin )(1020⎰⎰==xdx n n x n x n xdx n xd n ⎰⎰+-=-=101010cos 1cos 1cos 1ππππππ 1102)1(1sin )(1)1(1+-=+--=n n n x n n n ππππ所以： []x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑ 当1=x 时：收敛于21 4、由⎩⎨⎧≤<≤≤=21,010,)(x x x x f[]x n n x n n x f n n n ππππsin )1(1)12cos()12(1241)(1112+∞=∞=-+---=∑∑（1≠x ）[]∑∞==--=120)12(1241)0(n n f π 8)12(1212π=-∑∞=n n ，记48)2(1)12(112121212s n n ns n n n +=+-==∑∑∑∞=∞=∞=π 所以：683412212ππ=⋅==∑∞=n n s。
第十一章 无穷级数§11.1 常数项级数的概念与性质一、判断题 1．∑∞=1n n u 收敛，则3)3(lim 2=+-∞→n n n u u （ ）2．若0lim ≠∞→n n u ，∑∞=1n nu发散。
（ ）3.∑∞=1n nu收敛,则∑∞=+1)10(n nu收敛。
（ ）4．∑∞=1n nu发散，∑∞=1n nv发散，则)(1n n nv u-∑∞=也发散。
（ ）5．若∑∞=1n nu收敛，则∑∞=+12n n u也收敛。
（ ）二、填空题1．∑∞=⋅⋅-⋅⋅⋅1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是 。
2．级数⋅⋅⋅-+-+-5645342312的一般项是 。
3．级数⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅+⋅+86426424222x x x x x 的一般项为 。
4．级数)21)1(1(1n n n n -+∑∞=的和为 。
三、选择题1． 下列级数中收敛的是（ ）（A ）∑∞=+1884n n n （B ）∑∞=-1848n n n n （C ）∑∞=+1842n n n n （D ）∑∞=⋅1842n n nn2． 下列级数中不收敛的是（ ）（A ）)11(ln 1n n +∑∞= （B ）∑∞=131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+14)1(3n nnn3． 如果∑∞=1n nu收敛，则下列级数中（ ）收敛。
（A ）∑∞=+1)001.0(n n u （B ）∑∞=+11000n n u（C ）∑∞=12n n u (D)∑∞=11000n nu4． 设∑∞=1n nu=2，则下列级数中和不是1的为（ ）（A ）∑∞=+1)1(1n n n （B ）∑∞=121n n （C ）∑∞=22n n u (D)∑∞=12n nu四、求下列级数的和1．∑∞=+1523n nnn 2. ∑∞=+-1)12)(12(1n n n3.)122(1n n n n ++-+∑∞= 4.)1()12(11<-∑∞=-q qn n n五、判断下列级数的收敛性。
1．⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 31916131 2. ⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n 313131313 3.n n 512130121************++⋅⋅⋅++++++ 六、已知∑∞=1n nu收敛，且0>n u ，)2,1(12⋅⋅⋅==-n u v n n 求证：∑∞=1n nv也收敛。
158§11.2 常数项级数的审敛法（1）一、判断题 1．若正项级数∑∞=1n nu收敛，则∑∞=12n nu也收敛。
（ ）2．若正项级数∑∞=1n n u 发散，则11lim>=+∞→r u u nn n 。
（ ） 二、填空题 1．∑∞=11n p n ，当p 满足条件 时收敛。
2．若∑∞=1n nu为正项级数，且其部分和数列为{}n s ，则∑∞=1n nu收敛的充要条件是 。
三、选择题1． 下列级数中收敛的是（A ）∑∞=11n nn n （B ）∑∞=++1)2(1n n n n （C ）∑∞=⋅123n n nn （D ）∑∞=+-1)3)(1(4n n n 2.∑∞=1n nu为正项级数，下列命题中错误的是（A ） 如果11lim<=+∞→ρn n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛。
(B)如果11lim >=+∞→ρn n n u u ，则∑∞=1n n u 发散。
(C)如果11<+n n u u ，则∑∞=1n n u 收敛。
(D)如果11>+n n u u ，则∑∞=1n n u 发散。
2． 判断∑∞=+1111n nn的收敛性，下列说法正确的是（ ）（A ）∴>+.011n此级数收敛。
（B ）∴=+∞→.0111limnn n此级数收敛。
（C ）∴>+.1111n n n级数发散。
（D ）以上说法均不对。
四、用比较判断法或其极限形式判定下列级数的收敛性。
1．∑∞=-1121n n 2. ∑∞=+132)1(3cos n n n n λ3．∑∞=++1)3)(1(1n n n 4.∑∞=12arctan n n5．)1cos 1(1∑∞=-n n 6.)sin (1∑∞=-n nn ππ五、用比值判断法判断下列级数的收敛性。
1．∑∞=110!n n n 2.∑∞=17!)!2(n nn n 3.∑∞=122n nn a（a 为常数） 4.∑∞=12)!(n nn n六、用根值判断法判断下列级数的收敛性。
1. nn n n )1413(1∑∞=+- 2.∑∞=--112)13(n n n n1603．∑∞=1)(n nna b ，其中0,,),(>∞→→a b a n a a n n 。
七、判断∑∞=1!n n n bn e 的收敛性。
八、设,0,>n n b a 且3,2,1,11=≤++n b b a a nn n n 1． 若∑∞=1n nb收敛，则∑∞=1n na收敛。
2.若∑∞=1n na发散，则∑∞=1n nb发散。
九、若02lim >=∞→A an nn ，问∑∞=1n n a 是否收敛？十、偶函数f(x)的二阶导数)(x f ''在x=0的某个区域内连续，且2)0(,1)0(=''=f f 。
求证：∑∞=-1]1)1([n n f 收敛。
§11.2 常数项级数的审敛法（2）一、判断题 1．若∑∞=12n nu，∑∞=12n nv都收敛，则n n n v u ∑∞=1绝对收敛。
（ ）2．级数∑∞=-⋅-1110)1(n n n n条件收敛的。
（ ） 二、填空题1．∑∞=--11)1(n n n 的和为 。
2．级数)3,2,1,0()1(11=>⋅-∑∞=-n u u n n n n 若满足条件 则此级数收敛。
三、选择题1． 下列级数中条件收敛的是（ ） （A ）n n n 1)1(11∑∞=+- （B ）211)1(n n n∑∞=-（C ）1)1(1+-∑∞=n n n n （D ）)1(1)1(1+-∑∞=n n n n2． 下列级数中绝对收敛的是（ ）（A ）n n n1)1(1∑∞=- （B ）∑∞=+-21ln )1(n n n （C ）∑∞=+-11)1(n n n n （D ）∑∞=+-21ln )1(n n nn四、用适当的方法判定下列级数的收敛性。
1．∑∞=-1)(cos 1(n n αα为常数） 2. ∑∞=+11n nn3．∑∞=14!n n n 4.∑∞=-⋅⋅-⋅⋅⋅⋅1)13(852)12(531n n n1625．∑⎰∞=+14411n ndxx 6.)0()1(1>+∑∞=a n an n n五、判定下列级数是否收敛？若收敛是条件收敛还是绝对收敛？ 1．∑∞=---1113)1(n n n n 2.∑∞=-+-11)1ln(1)1(n n n3．∑∞=++111sinn n n ππ4.]11)1[(1nn n n+-∑∞=六、已知级数∑∞=12n n u 收敛。
证明：∑∞=1n nnu 必绝对收敛。
§11.3 幂级数一、判断题1．若幂级数n n n x a )23(1-∑∞=在x=0处收敛，则 在x=5处必收敛。
（ ）2．已知nn nx a∑∞=1的收敛半径为R ，则n n n x a 21∑∞=的收敛半径为R 。
（ ）3．n n nx a∑∞=1的收敛半径为R ，在（-R ，R ）内的和为S(x)，则在（-R ，R ）内任一点S(x)有任意一阶导数存在。
（ ） 4．nn nx a∑∞=1和nn n xb ∑∞=1的收敛半径分别为b a R R ,，则n n n nx b a∑∞=+1)(的收敛半径R=),min(b a R R 。
（ ） 5．若21lim=+∞→n n n c c ，则幂级数n n n x c 21∑∞=的收敛半径为2。
（ ） 二、填空题1． 幂级数n n nx n∑∞=12的收敛区间为 。
2． 幂级数n n x n )32(11-∑∞=的收敛区间为 。
3． ∑∞=--11212n n n x 的收敛区间为 ，和函数S(x)为 。
4． n n n x a ∑∞=1在x=-3时收敛，则n n nx a∑∞=1在3<x 时 。
三、选择题1． 若幂级数n n nx a∑∞=1在0x x =处收敛，则该级数的收敛半径R 满足（ ）（A ）0x R = （B ）0x R < （C ）0x R ≤ （D ）0x R ≥ 2． 级数∑∞=--1)5(n nnx 的收敛区间（ ）（A ）（4，6） （B ）[)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6] 3． 若级数∑∞=--112)2(n nn a x 的收敛域为[)4,3，则常a =（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对。
4． 级数n n xx n )1(11-∑∞=的和函数为（ ）164（A ）x x ---)1ln(（B ）)2ln(x - （C ）x ln （D ）以上都不对。
四、确定下列幂级数的收敛区间。
1．nn x n ∑∞=132. ∑∞=⋅⋅⋅⋅⋅1)2(642n nn x3. nn n nn x 2)1(121⋅-+∞=∑ 4. n n x nn)2(1112-++∑∞=五、求下列幂级数的和函数。
1．)1(11<-∞=∑x xn n n 2. )1(14114<+∑∞=+x n x n n3． 1112)1(-∞=-∑+n n n x n n 并求 ∑∞=-+112)1(n n n n§11.4 函数展开成幂级数一、判断题1．若对某一函数使∃不)0()(m f，则f(x)就不能展开成x 的幂级数。
（ ）2．式n nn x x ∑∞=-=+0)1(11只有在（-1，1）内成立，所以由逐项积分原则，等式=+)1ln(x ∑∞=++-011)1(n n n n x 也能在（-1，1）内成立。
（ ）3． 函数f(x)在x=0处的泰勒级数+++''+'+nn x n f x f x f f !)0(!2)0(!1)0()0()(2必收敛于f(x)。
（ ）二、填空题1． )2ln()(x x f +关于x 的幂级数展开式为 ，其收敛域是 。
2．231)(2++=x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 。
三、选择题1． 函数2)(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ）（A ）∑∞=02!n n n x （B ）∑∞=⋅-02!)1(n nn n x （C ）∑∞=0!n n n x （D ）∑∞=⋅-0!)1(n n n n x2．)0()(n f存在是f(x)可展开成x 的幂级数的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不是充分条件也非必要条件3．),()(+∞-∞在x f 内展开成x 的幂级数，则下列条件中只有（ ）是必要的。
