九年级数学上册第四章图形的相似3相似多边形相似多边形的性质的应用素材北师大版讲解

第四章图形的相似3 相似多边形教学目标教学反思1.了解相似多边形的定义，掌握相似多边形的性质.2.在探索相似多边形的性质时掌握类比的方法.3.体会相似多边形与相似三角形的区别与联系.教学重难点重点：相似多边形的判定.难点：两个多边形相似性质的简单应用.教学过程导入新课教师用多媒体出示几个图形，让学生找出形状相同的图形，并连线.然后教师提出问题形状相同的两个图形有什么样的关系？由这一问题来引入本节课要研究的课题.探究新知一、预习新知下图中的两个多边形分别是幻灯片上的多边形ABCDEF和银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1.它们的形状相同吗？教学反思师：它们的形状相同吗？生：六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1形状相同.师：在上面的两个多边形中，是否有相等的内角？设法验证你的猜测.生：∠A与∠A1，∠B与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别对应相等.师：这样的角我们称为对应角，在上面的两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？生：通过测量AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，F A与F1A1的比相等.师：这样的边我们称为对应边.师：从上面的讨论结果来看，大家能否猜到相似多边形的定义呢？生：可以，各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.师：相似怎样表示呢？请同学们认真看书.生：六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A1B1C1D1E1F1.师：相似多边形对应边的比叫做相似比，一般用字母k表示，“∽”读作“相似于”.在记两个多边形相似时，需要注意什么？生：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.二、合作探究观察下面两组图形.（1）（2）师：（1）中的两个图形相似吗？生：（1）中的两个图形不相似.师：为什么？教学反思生：虽然这两个图形的对应边成比例，但是对应角不相等，所以这两个图形不相似.师：（2）中的两个图形相似吗？生：也不相似.师：这又是为什么呢？生：虽然这两个图形的对应角相等，但是对应边不成比例，所以这两个图形不相似.教师补充：两个多边形不相似，它们的对应角可能相等，如上面的（2）；两个多边形不相似，它们的对应边可能成比例，如上面的（1）.师：任意两个等边三角形相似吗？生：相似，因为它们的对应角都为60°，对应边成比例.师：任意两个正方形呢？生：也是相似的师：那任意两个正n边形呢？生：两个正n边形的对应角相等，对应边成比例，所以它们都是相似的.师：任意两个菱形相似吗？生：不一定相似师：为什么？生：虽然对应边成比例，但是菱形对应角不一定相等，所以不一定相似.巩固练习在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，下列四个矩形中与矩形ABCD相似的是()答案：A典型例题【例1】如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x 的值．【问题探索】此题考查相似多边形的性质，如何用相似多边形的性质求∠A 的度数与x 的值？【解】由相似图形的性质，知∠A ＝∠A ′＝107°，4x ＝52，x ＝85.【总结】相似多边形的对应边成比例，对应角相等． 【例2】在宽为20 m ，长为30 m 的矩形花坛四周修筑小路．(1)如果四周的小路的宽均相等，都是x ，如图1，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似吗？请说明理由；(2)如果相对着的两条小路的宽均相等，宽度分别为x ，y ，如图2，试问小路的宽x 与y 的比值为多少时，能使得小路四周所围成的矩形A′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似？请说明理由．图1 图2【问题探索】判断两个矩形是否相似要从边出发，求小路的宽x 与y的比值，要运用相似图形的性质．【解】(1)如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似．理由：设四周的小路的宽为x m.30230x +＝1515x +，20220x +＝1010x+. ∵ 30230x +20220x+≠， ∴ 小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 不相似． (2)∵ 当20220y +＝30230x+时，小路四周所围成的矩形A ′B ′C ′D ′和矩形ABCD 相似，解得xy＝32， 教学反思∴路的宽x与y的比值为3∶2时，能使小路四周所围成的矩形A′B′C′D′和矩形ABCD相似．【总结】相似多边形的对应边成比例，对应角相等，两个边数相同的多边形，如果各边对应边成比例，各角对应相等，那么它们就相似．课堂练习1.放大镜中的多边形与原多边形的关系是()A．形状不同，大小不同B．形状相同，大小相同C．形状相同，大小不同D．形状不同，大小相同2.给出下列命题：①所有的正方形都相似；①所有的矩形都相似；①所有的三角形都相似；①所有的等腰直角三角形都相似；①所有的正五边形都相似.其中，正确命题为()A.①①①B.①①①C.①①①D.①①①3.若△ABC①△A′B′C′，且AB︰A′B′=1∶2，则△ABC与△A′B′C′相似比是，△A′B′C′与△ABC的相似比是．4.如图，ABCD∽AEFB，且AB＝3 cm，BC＝6 cm.求AE的长.参考答案1.C2.C3.1224.解：∵ABCD∽AEFB，∴ABAE =BCEF.又∵AB＝3 cm，BC＝6 cm，EF＝AB＝3 cm，∴AE＝3×36=32.课堂小结(学生总结，老师点评)1.相似多边形的定义2.相似多边形的性质3.相似比的定义布置作业习题4.4第1题、第2题板书设计第四章图形的相似3 相似多边形1.相似多边形：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2.相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比.。

相似多边形的性质的应用1、相似多边形的性质（1）相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原相似多边形的相似比． （2）相似多边形中,对应线段的比等于相似比．（3）相似多边形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 2、重要方法相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，运用这两个性质解决实际问题时，一定要弄清他们的关系，并努力把实际问题与之联系，从而把实际问题简单化. 相似三角形的性质（1）回答了相似三角形中所有对应线段都构成比例的问题，这个性质为我们今后证明线段的比例式提供了极大的方便．性质（2）、（3)揭示了相似三角形的周长、面积与相似比的关系，利用它可以解决相似三角形中有关周长和面积的问题,这里要注意这些性质的灵活运用．如：两个相似三角形的相似比,等于它的周长比；也等于它们的面积比的算术平方根．例1 一个多边形的边长分别为2，3，4，5，6，另一个多边形和这个多边形相似,其最短边长为6，则最长边长为 （ )A ．12B ．18C ．24D ．30【思路与技巧 由相似多边形对应边成比例，设最长边为x 。

∴x662 ,∴2x=36,x=18. 答案 B点评本题根据相似多边形的对应边成比例的性质,第一个多边形的最短边与第二个多边形的最短边,第一个多边形的最长边与第二个多边形的最长边分别是对应边，切记不可将对应关系弄错．例2 如图在□ABCD中，AB=6，AD=4,EF∥AD,若□ABCD∽□EFDA,求AE的长．思路与技巧(1）图形中有几对相似的平行四边形？为什么？对应边分别是什么？(2）AE的对应边应是哪条线段？为什么?（3）试一试:求S□ABCD∶S□EFDA的值.解∵EF∥AD，四边形ABCD是平行四边形，AD=4 ∴EF=AD=4，∵□ABCD∽□EFDA，∴(相似多边形对应边成比例），又∵AB=6,∴∴.点评由相似的条件，可知AE的对应边是DA，一般的在条件中，若使用的是相似符号,则对应边则是确定的，因此书写相似多边形时，对应的字母要写在对应的位置上.例3 已知:如图，正方形ABCD中，E是AC上一点，EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，AB=6,AE∶EC=2∶1，求S四边形AFEG．思路与技巧(1）四边形AFEG是什么图形？为什么?（2）AE∶EC的值与哪两条线段的比相等？为什么？如何求出AF的长？(3）任意的两个正方形都相似吗？为什么？所有的矩形都相似吗?所有的菱形都相似吗？解∵正方形ABCD，EF⊥AB，EG⊥AD∴EF∥CB，EG∥DC∵∠1=∠2=45° ∴EF=AF∵∠FAG=90°，∴AFEG是正方形，∴正方形ABCD∽正方形AFEG,∴S正ABCD∶S正AFEG=AB2∶AF2（相似多边形的面积比等于相似比的平方），在△ABC中，EF∥CB ∴AE∶EC=AF∶FB=2∶1，又AB=6 ∴AF=4 ∴S正ABCD∶S正AFEG=36∶16，∴。

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相似三角形的性质用处多学完了相似三角形后，同学们都知道,若两个三角形相似,则这两个三角形的对应边成比例、对应角相等。

根据相似三角形的这两个性质，我们可以解决许多数学问题，现举例说明如下．一、说明两个角相等例1 如图，BD ，CE 是△ABC 的高，试说明:∠AED=∠ACB.分析：要说明∠AED=∠ACB，而∠AED 和∠ACB 分别在△ADE 和△ABC 中,从而可以考虑说明△ADE∽△ABC.因为∠A=∠A，则需要说明AC AB AE AD =，要得到这个条件只需说明△ABD∽△ACE 即可.解:由已知可得∠ADB=∠AEC=90°,∠A=∠A，所以△ABD∽△ACE.所以AC AB AE AD =,即AC AE AB AD =， 又∠A=∠A，所以△ADE∽△ABC。

所以∠AED=∠ACB。

跟踪训练1 如图，△ABC 中,E ，F 分别是AB ，AC 边上的两点,且AE ＝1 cm ，AF=2 cm,EB=2 cm ，FC=4 cm ，试说明:∠AFE=∠C.二、说明线段的积相等例 2 如图，在平行四边形ABCD 中,E 是CB 延长线上一点,DE 交AB 于F ，试说明:AD·AB=AF·CE。

北师大版九年级上册第四章图形的相似知识点归纳及例题【学习目标】1、了解比例的基本性质，线段的比、成比例线段；2、通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方；3、探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；4、了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标变化；5、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养推理能力，发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力，以及综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力.【知识点网络】【知识点梳理】要点一、相似图形及比例线段1．相似图形：在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 知识点诠释：(1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形；(2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 2.相似多边形如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多形． 知识点诠释：（1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段：对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a :b =c :d ，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 知识点诠释：（1）若a :b =c :d ，则ad=bc ；（d 也叫第四比例项） （2）若a :b=b :c ，则 =ac （b 称为a 、c 的比例中项）． 4.平行线分线段成比例：基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例. 知识点二、相似三角形 1. 相似三角形的判定:判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似.判定方法（二）：两角分别相等的两个三角形相似. 知识点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 判定方法（三）：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.2b知识点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必须是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.判定方法（四）：三边成比例的两个三角形相似.2.相似三角形的性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；（2）相似三角形中的重要线段的比等于相似比；相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.知识点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.(3) 相似三角形周长的比等于相似比；（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方。

3 相似多边形1．了解相似多边形和相似比的定义，会根据相似多边形的定义判断两个多边形是否相似．2．能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．重点了解相似多边形的定义，判断两个多边形是否相似．难点能运用相似多边形的性质解决简单的几何问题．一、情境导入教师：在生活中，我们常会看到这样一些图片(课件出示下图)．观察下列各组图片，你发现了什么？你能得出什么结论？二、探究新知1．课件出示形状相同的正三角形ABC与正三角形A1B1C1，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1，正五边形ABCDE与正五边形A1B1C1D1E1，提出问题：(1)在每组图形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．(2)在每组图形中，夹相等内角的两边是否成比例？学生思考后给出答案，教师点评．2．课件出示形状相同的六边形ABCDEF和六边形A1B1C1D1E1F1，提出问题：(1)在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？设法验证你的猜测．(2)在这两个多边形中，夹相等内角的两边是否成比例？学生分组讨论后给出答案，教师点评，并讲解：图中的六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形，其中∠A与∠A1，∠B 与∠B1，∠C与∠C1，∠D与∠D1，∠E与∠E1，∠F与∠F1分别相等，称为对应角；AB与A1B1，BC与B1C1，CD与C1D1，DE与D1E1，EF与E1F1，FA与F1 A1的比都相等，称为对应边．教师：回忆一下，我们刚才探究过的每一组多边形，你能发现它们的共同特点吗？引导学生总结相似多边形的概念：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形．例如，在上图中六边形ABCDEF 与六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，记作六边形ABCDEF∽六边形A 1B 1C 1D 1E 1F 1，“∽”读作“相似于”．相似多边形对应边的比叫做相似比．教师强调以下几点：(1)在记两个多边形相似时，要把对应顶点的字母写在对应的位置上．(2)相似多边形的定义既是最基本、最重要的判定两个多边形相似的方法，也是最本质、最重要的性质．(3)相似比有顺序性．例如，五边形ABCDE∽五边形A 1B 1C 1D 1E 1，对应边的比为AB A 1B 1＝BC B 1C 1＝CD C 1D 1＝DE D 1E 1＝EA E 1A 1＝45.因此五边形ABCDE 与五边形A 1B 1C 1D 1E 1的相似比k 1＝45，五边形 A 1B 1C 1D 1E 1与五边形ABCDE 的相似比k 2＝54. (4)相似比为1的两个图形是全等形. 因此全等形是相似图形的特殊情况．三、举例分析例1 (1)观察下面两组图形，图①中的两个图形相似吗？(2)图②中的两个图形相似吗？为什么？你从中得到什么启发？引导学生得出：如果两个多边形不相似，它们的对应角可能都相等；如果两个多边形不相似，对应边也可能成比例．但如果两个多边形不相似，那么它们不可能各角对应相等且各边对应成比例．例2 一块长3 m 、宽1.5 m 的矩形黑板如图所示，镶在其外围的木质边框宽7.5 cm .边框的内外边缘所成的矩形相似吗？为什么？学生思考后给出答案，教师点评并提问：如果镶的纵向边框宽7.5 cm ，那么当镶的横向边框宽为多少时，边框的内外边缘所成的矩形相似？学生分组讨论后举手回答，教师点评．四、练习巩固1．教材第87～88页“随堂练习”第1，2题．2．如图所示的两个矩形相似吗？为什么？如果相似，相似比是多少？五、小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？2．相似多边形的概念是什么？3．相似比的概念是什么？六、课外作业教材第88页习题4.4第1～4题．本节课在探索相似多边形定义的过程中，我刻意地回避了“两个图形的形状相同吗”的问题，而是直接明确指出两个图形相似，然后探索相似的本质特征．因为我认为形状相同没有一个明确的定义(实质就是相似)，只是一种感性的认识，这种认识会影响到黑板边框内外边缘是否相似的正确判断．从教学效果看这样处理减少了学生判断黑板边框问题的错误．。

学好相似多边形的性质一．相似多边形的性质1.相似多边形对应角相等．对应边成比例;2.相似三角形对应高的比．对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比.3.相似多边形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方.温馨提示：（1)对于相似多边形问题，一般是通过添加辅助线（如对角线），将其转化为相似三角形的问题来解决。

（2）此三条性质可以简单记做“相似多边形的对应角相等，对应边成比例”，这是揭示相似多边形边．角关系的重要结论，利用这一结论可以解决很多与相似多边形有关的问题，下面结合例题予以分类剖析，供同学们参考:二．相似多边形性质的应用1．已知相似多边形的某些边求相似比例1 四边形ABCD 的四边长分别是3．4．7．9，四边形ABCD ∽四边形A′B′C′D′，其最长边是15，则四边形ABCD 与四边形A′B′C′D′的相似比是 。

分析：相似多边形对应边的比称为相似比，要求相似比关键是找出对应边.9是四边形ABCD 的最长边，15是四边形A′B′C′D′的最长边，因此，它们是对应边,所以四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的相似比是9：15，即53. 解：填53。

2．已知相似多边形的某些边求边例2 已知四边形ABCD 与四边形A 1B 1C 1 D 1相似，如图1,求BC ．CD 的长.分析:根据“两个多边形相似，对应边之比相等”列方程求解.解：由于两个四边形相似，它们的对应边之比相等，所以 56436CD BC ==,解得54=BC ,45=CD 。

图1 36A B CDA 1B 1C 1D4 63．已知相似多边形的某些角求角例3已知梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，∠A=62°，∠C′=110°，求∠D′．∠B的度数.分析：根据“两个多边形相似，对应角相等”可轻而易举地求到对应角的度数.解：因为梯形ABCD∽梯形A′B′C′D′，所以∠A′=∠A=62°，因为A′B′∥C′D′,所以∠D′＋∠A′=180°，所以∠D′=180°－62°=118°．因为∠C′＋∠B′=180°，所以∠B′=70°，所以∠B=∠B′=70°．尊敬的读者：本文由我和我的同事在百忙中收集整编出来，本文稿在发布之前我们对内容进行仔细校对，但是难免会有不尽如人意之处，如有疏漏之处请指正，希望本文能为您解开疑惑,引发思考。

课时目标1.经历相似多边形概念的形成过程,了解相似多边形的含义.2.在探索相似多边形本质特征的过程中,进一步发展学生观察、操作、归纳、类比、反思、交流等多方面的能力,提高学生的数学思维水平,体会反例的作用.学习重点了解相似多边形及其相关概念,运用相似多边形的定义解决简单问题.学习难点运用相似多边形的定义解决简单问题.课时活动设计情境引入在生活中你看到过哪些形状相同的图片?各小组派代表展示自己课前所收集到的资料(可以是照片、图片、也可以是亲自制作的图形),并解说从中获取的信息及对于现实生活的实际意义(选3~4个小组代表讲解).设计意图:学生收集生活中的相似图形的素材,感受相似关系无处不在,并通过亲身体验归纳总结相似图形的共同特点,由此自然引出课题“相似多边形”.探究新知图中的两个多边形分别是计算机显示屏上的多边形ABCDEF和投射到银幕上的多边形A1B1C1D1E1F1,它们的形状相同吗?(1)在上面两个多边形中,你认为有相等的内角吗?如果有,请你把它一一表示出来?(2)在上面两个多边形中,你认为夹相等内角的两边是否成比例?如果有,请你把它一一表示出来?(3)在上述两问题中,你如何描述这些你所列的角和边的关系?解:六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1是形状相同的多边形,其中∠A与∠A1,∠B与∠B1,∠C与∠C1,∠D与∠D1,∠E与∠E1,∠F与∠F1对应相等,称为对应角;AB与A1B1,BC与B1C1,CD与C1D1,DE与D1E1,EF与E1F1,FA与F1A1的比都相等,称为对应边.学生组内合作交流,教师进行归纳总结.归纳总结:(1)相似多边形:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.(2)相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比.如:六边形ABCDEF与六边形A1B1C1D1E1F1相似,记作六边形ABCDEF∽六边形A 1B1C1D1E1F1,其中AB∶A1B1的值就是相似比.(3)相似符号“∽”读作“相似于”.(4)在记两个多边形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.设计意图:根据生活经验和直观判断,以问答的形式引导学生逐步深入的思考多边形相似的条件.典例精讲例下列每组图形(如图)形状相同,它们的对应角有怎样的关系?对应边呢?(1)正三角形ABC与正三角形DEF.(2)正方形ABCD与正方形EFGH.解:(1)由于正三角形每个内角都等于60°,所以∠A=∠D=60°,∠B=∠E=60°,∠C=∠F=60°.由于正三角形三边相等,所以ABDE =BCEF=CAFD.(2)由于正方形的每个角都是直角, 所以∠A=∠E=90°,∠B=∠F=90°,∠C=∠G=90°,∠D=∠H=90°.由于正方形四边相等,所以ABEF =BCFG=CDGH=DAHE.设计意图:借助特殊图形,分析两个等边三角形、两个正方形的对应角和对应边的关系,帮助学生理解相似多边形的定义.合作学习1.想一想:(1)如果两个多边形相似,那么它们的对应角有什么关系?对应边呢?(学生分组讨论,教师给予适当引导)解:相似多边形的对应角相等,对应边成比例.(2)任意两个等边三角形相似吗?任意两个正方形呢?任意两个正n边形呢?解:任意两个等边三角形相似;任意两个正方形相似;任意两个正n边形相似.(3)任意两个菱形相似吗?解:任意两个菱形不一定相似.2.(1)观察两组图形,提出问题.①图1中的两个图形相似吗?为什么?②图2中的两个图形呢?与同伴交流.图1图2 解:①不相似.因为两个图形的各角并不相等.②不相似.因为两个图形的各边并不成比例.(2)如果两个多边形不相似,那么它们的各角可能对应相等吗?它们的各边可能对应成比例吗?(让学生充分思考、讨论、交流,教师巡视指导,最后引导学生作出归纳)解:如果两个多边形不相似,它们的各角可能对应相等,它们的各边可能对应成比例.3.一块长3 m,宽1.5 m的矩形黑板,如图所示,镶在其外围的木质边框宽7.5 cm,边框的内外边缘所成的矩形相似吗?为什么?(让学生先判断,分组讨论,再通过计算验证自己的判断)解:不相似,因为两个矩形的各边不成比例.设计意图:在合作学习中,通过辨析相似多边形,分析相似多边形的对应角、对应边之间的关系,加深对所学知识的理解.能运用相似多边形的定义解决的生活中的简单问题,培养学生的推理能力,发展应用意识.巩固训练1.如图,五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E',∠E=80°,∠A'= 120°,C'D'=4,五边形A'B'C'D'E'与五边形ABCDE的相似比为2∶1.2.如图,下面的两个菱形相似吗?为什么?满足什么条件的两个菱形一定相似?解:相似.因为这两个菱形的对应角相等,对应边成比例.满足一组内角相等的两个菱形相似.设计意图:通过有参差的问题,加深学生对相似多边形的定义的理解,发展学生的推理能力.课堂小结通过本节课的学习,你有何收获?还有哪些疑问?1.各角对应相等,各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2.相似多边形对应边的比叫做相似比.3.相似多边形的对应角相等,对应边成比例.设计意图:鼓励学生结合本节课的学习内容,谈谈自己的收获与感想,让学生学会疏理、归纳和总结.课堂8分钟.1.课本第88页习题4.4第1,2,3题.2.七彩作业.4.3 相似多边形相似多边形:各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似比:相似多边形对应边的比叫做相似比.相似符号:“∽”读作“相似于”.注意:在记两个多边形相似时,要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.教学反思。

九年级（上）第四章图形的相似(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.(2) 相似多边形：如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比．一．成比例线段（1）线段的比如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,，那么就说这两条线段的比是nmb a =，或写成n m b a ::=．注：在求线段比时，线段单位要统一。

（2）成比例线段在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段．注：①比例线段是有顺序的，如果说a ,d c b ,,成比例，那么应得比例式为：b a =dc ． ②()a ca b c d b d==在比例式：：中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项,如果b=c ，即 a b bd =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2b ad =。

③判断给定的四条线段是否成比例的方法：第一排：现将四条线段的长度统一单位，再按大小顺序排列好；第二算:分别算出前两条线的长度之比与后两条线段的长度之比；第三判：若两个比相等，则这四条线段是成比例线段，否则不是（3）比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） 基本性质：① a:b=c:d 则有 ad=bc （两外项之积等于两内向之积）；② ②2::a b b c b a c =⇔=⋅．注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=，还可化为d b c a ::=，b a d c ::=，c a d b ::=，c d a b ::=，b d a c ::=，a b c d ::=，a c b d ::=．（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()a bc d a c d cb d b a d bc a ⎧=⎪⎪⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩，交换内项，交换外项．同时交换内外项（3）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=⇔=． （4）等比性质：如果)0(≠++++====n f d b nm f e d c b a ，那么b an f d b m e c a =++++++++ ． 注：①此性质的证明运用了“设k 法”（即引入新的参数k ）这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．③ 可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：ba f db ec a f ed c b a fe d c b a =+-+-⇒=--=⇒==32323322；其中032≠+-f d b ． （4）比例题常用的方法有：比例合分比法，比例等比法，设参法，连等设k 法，消元法二，平行线分线段成比例（1）平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例已知AD ∥BE ∥CF,可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BCBC EF AC DF AB DE AC DF DE EF=====或或或或等. 注意：是所截的线段成比例，而跟平行线无关，所以比例线段中不可能 有AD,BE,CF 的比例关系（2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 215-=≈0.618AB ．即AC BC AB AC == 简记为：12长短＝＝全长注：黄金三角形：顶角是360的等腰三角形。

第四章　图形的相似3　相似多边形复习导入　悬念激趣让学生在音乐中欣赏，感受生活中形状相同的图形，并找出图中哪些图形是相同的．图4－3－1[说明与建议] 说明：让学生留心观察生活中存在着大量形状相同的图形，增加学生的感性认识，带着音乐欣赏美丽的图片提高了学生学习的兴趣．从而让学生感受到数学学习的内容都是现实的、有趣的，让学生感到数学就在我们身边．建议：让学生经历从现实世界中抽象出平面图形的过程，直观地感受到图片中有很多相同的图形，从而引出课题．图4－3－2[归纳] 相似多边形的定义：各角分别__相等__、各边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形．[说明与建议] 说明：通过图形的比较让学生感受相似多边形所具备的共同特征，同时，引导学生能自然地得出相似多边形的定义．建议：在得到相似多边形定义的时候要抓住两个关键点：一是各角分别相等；二是各边成比例．这些图形的形状相同，大小不等，我们称之为相似图形，今天，老师就带领同学们来了解相似王国里的一个伟大家族——相似多边形(板书课题)．图4－3－3[说明与建议] 说明：通过此活动，希望学生能从中获取尽可能多的相似图形的信息，体会相似图形在生活中的实际意义，培养学生善于观察生活的品质，同时此活动所收集的图片可为引出相似多边形的定义提供极好的素材准备，能极大地激发学生学习的积极性与主动性．而且由此自然引出课题——相似多边形．建议：让学生欣赏图片，观察图片，教师提问学生这些图片之间有什么特征，让学生口答，教师补充．素材二 考情考向分析[命题角度] 利用相似多边形的定义判断相似多边形的定义中包含两个关键点：第一是各角分别相等；第二是各边分别成比例．这是我们在多边形学习过程中经常使用的判定方法，要学会灵活地运用这种方法解决相关问题．例　[莆田中考] 下列四组图形中，一定相似的是(D )A ．正方形与矩形B ．正方形与菱形C ．菱形与菱形D ．正五边形与正五边形素材三 教材习题答案P87随堂练习1．图中每组两个矩形相似吗？说说你的理由．解：(1)相似，因为对应角相等，对应边成比例．(2)不相似，因为对应边不成比例．2．如图，一个矩形广场的长为60 m ，宽为40 m ，广场内两条纵向小路的宽均为1.5 m ，如果设两条横向小路的宽都为x m ，那么当x 为多少时，小路内外边缘所围成的两个矩形相似？解：x ＝1 m.P88习题4.41．如图，矩形ABCD ∽矩形EFGH ，它们的相似比是2∶3，已知AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，求EF ，FG 的长．解：EF ＝ cm ，FG ＝ cm. 921522．在菱形ABCD 与菱形EFGH 中，∠A ＝∠E ，这两个菱形相似吗？为什么？解：相似，因为对应角相等，对应边成比例．3．以正方形各边中点为顶点，可以组成一个新正方形，求新正方形与原正方形的相似比．2解：1∶.4．现有大小相同的正方形纸片30张，小亮用其中3张拼成一个如图所示的长方形，小芳也想拼一个与它形状相同但比它大的长方形，则她至少要用几张正方形纸片(不得把每个正方形纸片剪开)？你知道她可能拼出什么样的图形吗？请你试着画一画．解：略．素材四图书增值练习专题　与相似多角形的性质与判定有关的题1．相似多边形指的是（ ）A．各角都相等的多边形B．各边都相等的多边形C．各边对应成比例的多边形D．边数相同，对应角相等，对应边成比例的多边形2.如图，若两个多边形相似，求x的值.3. 图中的两个多边形相似吗？说说你判断的理由．【知识要点】1. 各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.2. 相似多边形的对应边的比叫做相似比.【温馨提示】相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．【方法技巧】找准对应角、对应边是解决本题的关键．参考答案1.D2. 解：∵相似多边形的对应边成比例，∴12：18=21：x，解得：x=31.5．3. 解：不相似．理由：∵∠D=360°-135°-95°-72°=58°，∠E=360°-135°-95°-59°=71°，∴两个四边形中不可能有“对应角相等”，又∵没法判定对应边成比例，∴不相似．素材五数学素养提升《苏轼巧分田产》相传，北宋大文学家苏轼在凤翔作官时，为官清正，秉公执法，深得百姓拥戴.一天，有兄弟四人前来告状.苏轼坐在公案前，展开状纸一看：“小民杨大毛，家住城南寨.先父临终时，留下两顷田.只因分不均，兄弟反目.青天大老爷，请把理来断.”苏轼接过地契，心中暗暗盘算，杨家田地为工字形，如何分配，才让四兄弟满意呢？沉思片刻，计上心来,遂唤一名差役耳语道：“只需如此如此……”差役遵嘱叫上四兄弟当场丈量，不一会儿，只见四兄弟满面带笑地跑过来，叩头不迭道：“多谢恩公明断！”你知道苏轼是怎样使分开后的四块田地形状相同，面积相等的吗？分法如下：。