初1第3讲 有理数综合(3)

第3讲有理数加减乘除及混合运算1.有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）互为相反数的两个数相加得0；（4）一个数同0相加，仍得这个数。

2.有理数减法法则即减去一个数，等于加这个数的相反数。

有理数的减法可以转化为加法来进行。

如果你记不住上面的加减法规则，请参照以下：傻瓜加减法则1、遇见小数减大数，负号表示“差多少”（其实就是符号不同的两数相加的情况）2、遇见减去负数时，负负得正变加号（其实就是小学的去括号变号问题）3.有理数乘法的法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数同0相乘，都得0．4.几个有理数相乘时积的符号法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．几个有理数相乘，有一个因数为0，积就为0．注意：第一个因数是负数时，可省略括号．5.有理数的除法法则：除以一个数，等于乘上这个数的倒数，0不能做除数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．）0除以任何一个不为0的数，都得0．【例题1】选择正确答案（1）若a＋b=a b+，则a 、b 的关系是（ ）A 、a 、b 绝对值相等B 、a 、b 异号C 、a 、b 的和是非负数D 、a 、b 同号或其中至少一个为0 （2）若一个有理数减去它的相反数是一个负数，则（ ） A 、这个有理数一定是负数 B 、这个有理数一定是正数C 、这个有理数可以为正数、负数D 、这个有理数为零（3）已知有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示。

则下列结论错误的是（ ） A 、b ＋c<0 B 、-a ＋b ＋c<0 C 、a b+>a c+ D 、a b+<a c+（4）已知|a|>a,|b|>b,且|a|>|b|,则( ) A 、a>b B 、a<b C 、不能确定 D 、a=b（5）一个数在数轴上对应点与其相反数在数轴上对应点的距离为12单位长，则这个数是( ) A 、12或-12 B 、14或-14 C 、12或-14 D 、-12或14【例题2】计算：(1) 7.27.27.2---+ (2) 13616--++-【例题3】计算：.)702.11()6514(537(6155(5213(---++++-+)532()]57()323(6.8[324-+-++-+【例题4】如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y 的值是多少？【练习1】|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值【例题5】完成下列填空1、两数相乘，同号得 ，异号得 ，并把绝对值 。

1.3 有理数的大小1．利用数轴进行有理数的大小比较(1)数轴上不同的两个点表示的数，右边点表示的数总比左边点表示的数大．(2)正数大于零，零大于负数，正数大于负数．(3)因为正数都大于0，反过来，大于0的数都是正数，所以可以用a ＞0表示a 是正数；反之，a 是正数也可以表示为a ＞0.同理，a ＜0表示a 是负数；反之，a 是负数也可以表示为a ＜0.另外可以用a ≥0表示a 是非负数，用a ≤0表示a 是非正数．谈重点 利用数轴判断正数的大小(1)利用数轴比较两个正数的大小，离原点越远，表示的数就越大，离原点越近，表示的数就越小．(2)利用数轴比较两个负数的大小，离原点越近，表示的数就越大，离原点越远，表示的数就越小．【例1－1】 有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，试用“＝”“＞”或“＜”填空： a ________0，b ________0，a ________b .解析：a 在原点的左边，是负数，负数小于0；b 在原点的右边，是正数，正数大于0；数b 的对应点在数a 的对应点的右边，数轴上右边的数总是大于左边的数．答案：＜ ＞ ＜【例1－2】 比较下列各数的大小：(1)－|－1|__________－(－1)；(2)－(－3)__________0；(3)－⎝⎛⎭⎫－16__________－⎪⎪⎪⎪－17； (4)－(－|－3.4|)________－(＋|3.4|)．解析：(1)化简－|－1|＝－1，－(－1)＝1，因为负数小于正数，所以－|－1|＜－(－1)；(2)化简－(－3)＝3，因为正数都大于0，所以－(－3)＞0；(3)分别化简两数，得－⎝⎛⎭⎫－16＝16，－⎪⎪⎪⎪－17＝－17，因为正数大于负数，所以－⎝⎛⎭⎫－16＞－⎪⎪⎪⎪－17；(4)同时化简两数，得－(－|－3.4|)＝3.4，－(＋|3.4|)＝－3.4，所以－(－|－3.4|)＞－(＋|3.4|)．在比较大小时，有时可能出现含有负数的绝对值或负数的相反数的形式给出的数，这种形式给出的数不容易直接观察出大小，我们要先化简，然后再选择适当的方法进行大小比较．答案：(1)＜ (2)＞ (3)＞ (4)＞2．两个负数的大小比较(1)利用绝对值比较两个负数的大小的法则两个负数比较大小，绝对值大的反而小，即在数轴上绝对值较大的负数一定在绝对值较小的负数的左边．例如：|－3|＝3，|－5|＝5，而3＜5，所以－3＞－5.(2)利用绝对值比较两个负数大小的步骤①分别求出两个负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③根据“两个负数，绝对值大的反而小”作出正确的判断．解技巧 正确比较两个分数的大小在比较两个分数大小时，一般不要改变两数原来的顺序，以免最后判断时失误．例如比较－12与－13的大小时，先求得－12的绝对值是12，－13的绝对值是13，然后比较12与13的大小得12＞13，从而－12＜－13，在整个解答过程中，－12与－13的顺序不变． 【例2】 比较－23与－34的大小． 分析：两个负数比较大小，要先求出它们的绝对值，再根据绝对值的大小和两个负数大小比较的法则，确定出原数的大小．两个负分数化成同分母分数之后，分子越大，分数值越小．解：因为⎪⎪⎪⎪－23＝23＝812，⎪⎪⎪⎪－34＝34＝912，而812＜912，所以－23＞－34. 3．有理数的大小比较几个有理数的大小比较主要有以下几条法则：(1)正数都大于零，负数都小于零，正数大于一切负数；(2)绝对值越大的正数就越大，绝对值越大的负数反而越小；(3)在数轴上表示的有理数，右边的数总比左边的数大．“数无形时少直观，形无数时难入微”，利用数形结合思想解题，可以化难为易，化繁为简．利用数轴能揭示点的位置关系与数的大小关系的联系，所以较好地体现了数形结合的思想，利用它能方便地解决多个有理数(或其绝对值、相反数等)大小比较的问题．【例3】 在数轴上表示出下列各数，并把它们按从小到大的顺序用“＜”号连接起来：－4,3,0，－0.5，＋412，－212. 分析：在数轴上表示上述数时，关键是：＋412应在4的右边，－212应在－2的左边；－0.5应在原点的左边、－1的右边．本题解题时的一般步骤：①画数轴；②描点；③有序排列；④不等号连接．利用数轴比较有理数的大小时，关键是每个数的位置必须正确确定．解：如图所示，－4＜－212＜－0.5＜0＜3＜＋412. 4.利用数轴比较含有字母的有理数的大小“数”可准确澄清“形”的模糊，“形”能直观启迪“数”的计算，利用数轴这一工具，加强数形结合的训练可沟通知识间的联系，它使数和直线上的点建立了对应关系，它揭示了数和形之间的内在联系，为我们研究问题提供了新的方法．含有字母的有理数的大小本来是不确定的，例如字母a 可以表示任意有理数，但是只要把字母的位置确定在数轴上，它们的大小关系就能确定．【例4】 有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，试比较a ，－a ，b ，－b ，c ，－c,0的大小，并用“＜”连接．分析：观察数轴知a ＜0，b ＜0，c ＞0；根据绝对值的意义，得|a |＞|b |＞|c |；根据相反数的几何意义，可以把a ，－a ，b ，－b ，c ，－c,0都表示在数轴上，从而利用数轴比较大小．解：把a ，－a ，b ，－b ，c ，－c,0表示在数轴上，如图所示：所以a ＜b ＜－c ＜0＜c ＜－b ＜－a .5．有理数大小比较的拓展 有理数的大小比较是初中数学的一个重要内容．有理数的大小比较常规的方法有很多，这里再介绍两种常用的方法．(1)差值比较法：设a ，b 是任意两数，则a －b ＞0⇔a ＞b ；a －b ＜0⇔a ＜b ；a －b ＝0⇔a ＝b .(2)商值比较法：设a ，b 是任意两个正数，则a b ＞1⇔a ＞b ；a b ＝1⇔a ＝b ；a b＜1⇔a ＜b .【例5－1】 比较5251与2627的大小． 分析：计算5251与2627的商，再用商与1进行比较．若大于1则被除数大于除数；若小于1则被除数小于除数．解：因为5251÷2627＝5251×2726＝5451＞1，所以5251＞2627. 【例5－2】 比较13与0.3的大小． 分析：计算13与0.3的差．若大于零，则被减数大于减数；若小于零，则被减数小于减数；若等于零，则两数相等．解：因为13－0.3＝1030－930＝130＞0，所以13＞0.3.。

初一数学讲义（三）有理数的混合运算姓名成绩知识要点：1、有理数加减混合运算中，减法可以根据减法法则转化成加法，统一成只含有加法运算的和式．例如：（-5）+（-3）-（-7）-（+2）可转化为：（-5）+（-3）+（+7）+（-2）2、在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，如上式可写成：-5-3+7-23、省略加号的和式的读法有两种如-5-3+7-2，其意义表示-5，-3，+7，-2的和，只不过加号省略未写，因此，它可读作“-5，-3，+7，-2的和”；第二种读法是按习惯读作：“负5减3加7减2”。

第一种读法有利于用加法运算律简化运算．4、在运用加法交换律和结合律时，要注意连同前面的符号一起移动，如计算-5-3+7-2时，先交换成-5-3-2+7，再进行结合为（-5-3-2）+7，无论交换加数的位置，还是进行结合，都应连同符号移动，当省略“＋”号的首项移到后面时，应补上“＋”，如5-7+3＝-7+5+3，事实上，代数和中符号应看作数的一部分．5、有理数加减混合运算的步骤（1）把算式中的减法转化成加法；（2）省略加号与括号写成代数和的形式；（3）用加法法则计算，尽可能运用运算律简便计算．例1：把（-36）-（-28）+（+125）+（-4）-（+53）-（-40）写成省略加号的和的形式并把它读出来．例2、计算-8+（-11）-2003.12-9-（-9）-（+2）-（-2003.12）.例3、已知a=13，b=-12.1，c=-10，d=25.1求a-b-（c+d）的值综合练习一、判断题1．一个数的相反数一定比原数小；（）2．如果两个有理数不相等，那么这两个有理数的绝对值也不相等；（）3．|-2.7|>|-2.6|； ( )4.若a+b=0，则a,b互为相反数。

( )二．选择题1．相反数是它本身的数是（）A. 1B. ﹣1C. 0D.不存在2．下列语句中，正确的是（）A.不存在最小的自然数B.不存在最小的正有理数C.存在最大的正有理数D.存在最小的负有理数3．两个数的和是正数，那么这两个数（）A.都是正数B.一正一负C.都是负数D.至少有一个是正数4、下列各式中，等号成立的是（）A、－=6 B、=－6 C、－=－1D、=－3.145、在数轴上表示的数8与－2这两个点之间的距离是（）A、6B、10C、-10 D-66、一个有理数的绝对值等于其本身，这个数是（）A、正数B、非负数C、零D、负数三、填空题1. |－4|－|－2.5|+|－10|＝________;2. 最大的负整数是___ ___;最小的正整数是____________3. 绝对值小于5的整数有______个；绝对值小于6的负整数有_______个4. 数轴三要素是__________,___________,___________5. 若上升6米记作＋6米，那么－8米表示。

有理数的混合运算知识点1 有理数的乘除一、有理数乘法例1计算:（1） (-8)×4； （2）（-6）×（- 73）（3）5×（-3）× 15例2 若a + b < 0, ab > 0,则这两个数（ ）A.都是正数B.都是负数C.—正一负D.符号不能确定二、有理数除法例3 计算：（1）3× （- 56）÷（- 134） （2） 58 ×13 ÷5×（-8）三、乘法分配律例4 计算：（1）（-36）×（13+ 56-34）（2）（-36）×（14-19-112）×（-12）练4.1 计算：（1112-76+ 34-1324）×（-48）知识点2 有理数的乘方一、有理数的乘法例5(1) .下列各式中，不相等的是( )A.(-3)2与-32B.(-2)3与-23C.(-3)2与32D.|-2|3与|-23|练5.1对于任意有理数a，下列各式一定成立的是（）A.a2 = (- a)2B.a3 = (-a)3C.-a2 = |a|2D.|a|3 = a3二、正指数科学计数法例6用激光测距仪测得两座山峰之间的距离为165000米，将数据165000用科学记数法表示为______________.练6.1“嫦娥一号”卫星顺利进入绕月工作轨道，行程约有1800000千米，1800000这个数用科学记数法可以表示为（）。

A. 0.18 x 107B. 1.8 x 105C. 1.8 x 106D. 18 x 105例7截止2016年底，国家开发银行对“一带一路”沿线国家累计发放贷款超过1600亿美元，其中1600亿用科学记数法表示为（）知识点3 有理数的混合运算一、有理数的五则混合运算例8 计算：（1）|- 2|+（-1）2019+ 1×（-3）29（2）4+（-2）3×5-（-28）÷4+（-6）2（3）-14-32÷[（-2）3+4]练8.1 计算：（1）- 12+3×（-2）2+ ×（-9）÷（-13）2（2）- 12 +（-2）3+ |- 3|÷13（3）[-22+ （-1）2019 ] ÷154×43。

初一数学上册重点知识学习参考第一章 有理数一、知识结构有理数： 按定义分 按符号分正整数 正整数 正有理数0 整数 有 正分数（含正有限小数负整数 理 0 和循环小数）有限小数 正分数 数 负整数分数 负有理数无限循环小数 负分数 负分数（含负有限小数和循环小数）注意：常见的不是有理数的数有π和有规律的但不循环的小数。

如：0.0100100010001000010000010000001……二、掌握要点1、了解有理数的概念（什么是有理数、有理数包含的范围有哪些、有理数之间的大小比较）。

（1）大于0的数叫做正数，如3、1.8、5%等。

（2）在正数前面加上负号“—”的数叫负数，即小于0的数，如-3、-2.5、-5%等。

（3）数0既不是正数，也不是负数。

0除了表示一个也没有以外，是正数和负数的分界，是基准。

（4）在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。

强调：用正数、负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是他们的意义相反，如向东与向西、收入与支出；二是他们都是数量，而且是同类的量。

（5）正整数、0、负整数统称整数。

整数可以看作分母为1的分数。

（6）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

（7）把一些数放在一起，就组成了一个数的集合，简称“数集”。

所有有理数组成的数集叫“有理数集”，所有整数组成的数集叫“整数集”，所有负数组成的数集叫“负数集”……数集一般用圆圈或大括号表示，因为集合中的数是无限的。

（8）有理数可以按不同的标准进行分类，标准不同，分类结果也不同。

问：有理数可分为正数和负数两大类，对吗？为什么？有理数可分为整数和分数两大类，对吗？为什么？2、有理数与数轴上的点一一对应（数轴的三要素、怎样看数轴、掌握应用数轴来进行去绝对值符号的简单运算）。

（1）通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴。

数轴三要素：原点、正方向、单位长度原点——在直线上任取一点表示数0，这个点叫原点。

七年级上数学培优第3讲 有理数综合培优一．选择题：1. 已知数轴上的三点A 、B 、C 分别表示有理数,1,1a -，那么|1|a +表示（ ）A ． A 、B 两点的距离 B ．A 、C 两点的距离C ．A 、B 两点到原点的距离之和D ．A 、C 两点到原点的距离之和2. 若||5,||3,0a b a b ==+>，那么a b -的值是（ ）A ．2或8B ．2或-2C ．8或-8D ．-2或-83. 定义运算符号“*”的意义为：abb a b a +=*（其中a 、b 均不为0）。

下面有两个结论 （1）运算“*”满足交换律；（2）运算“*”满足结合律。

其中（ ）A ．只有（1）正确B ．只有（2）正确C ．（1）和（2）都正确D ．（1）和（2）都不正确4. 如果,,a b c 为非零有理数，则||||||a b c a b c++的值有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5. 设0a b c ++=，0abc >，则||||||b c a c a b a b c +++++的值是（ ） A ．-3 B ．1 C ． 3或－1 D ．－３或１6. 有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20102011a b +等于（ ）A ．０B ．１C ．－１D ．２7. 若||1m m =+，则()201041m +=（ ）A ．－１B ．１C ．12-D ．128． 初一“数学晚会”上，有10个同学藏在10个大盾牌后面。

男同学的盾牌前面写的是一个正数，女同学的盾牌前面写的是一个负数。

这10个盾牌如下所示：3030）（-、255--、12+a 、200912009）（-、97198-、8-、2--、333）（-，）（24-⨯、15-⨯。

则盾牌后面的同学中，男同学有 个，女同学有 个。

9．已知|4||1|0x y -++=，则32011x y 的值为_________；10. 数轴上有A 、B 两点，如果点A 对应的数是-2，且A 、B 两点的距离为3，则点B 对应的数是_________；11．已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为2，点A 与原点O 的距离为6，则所有满足条件的点B 与原点O 的距离的和为_________；12．|2||3|x x -++的最小值是_________；13．在数轴上，点A 、B 分别表示2141，-，则线段AB 的中点所表示的数是_________；14．若,a b 互为相反数，,m n互为倒数，P 的绝对值为3，则()20102a b mn p p ++-=_________；15．若||5,||3x y ==，且||x y y x -=-，求()||x y x y ++的值。

第1讲有理数【教学目标】1.了解正负有理数的概念,会对有理数按照一定的标准进行分类；2.了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义。

【教学重难点】正确理解有理数的概念。

【教学内容】一、正数和负数的概念负数：比0小的数；正数：比0大的数；0既不是正数，也不是负数。

注意：①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a是正数；当a表示0时，-a仍是0。

（当出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，如+a,-a就不能做出简单判断）②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。

所以省略“+”的正数的符号是正号。

例题1.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是()A．前进-18米的意义是后退18米B．收入-4万元的意义是减少4万元C．盈利的相反意义是亏损D．公元-300年的意义是公元后300年变式训练. 某项科学研究，以45分钟为1个时间单位，并记每天上午10时为0，10时以前记为负，10时以后记为正，例如9：15记为﹣1，10：45记为1等等，依此类推，上午7：45应记为。

二、具有相反意义的量若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上8℃表示为：+8℃；零下8℃表示为：-8℃。

三、0表示的意义1. 0表示“ 没有”，如教室里有0个人，就是说教室里没有人；2. 0是正数和负数的分界线，0既不是正数，也不是负数。

例题：关于数“0”，以下各种说法中，错误的是( )A．0是整数B．0是偶数C．0是正整数D．0既不是正数也不是负数四、有理数1. 有理数的概念（1）正整数、0、负整数统称为整数（0和正整数统称为自然数）；（2）正分数和负分数统称为分数；（3）正整数，0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。

理解：只有能化成分数的数才是有理数。

①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。

有理数的基本概念和分类现在开始学习有理数及其运算，主要内容是有理数的有关概念 .首先是借助生活中的实例引入负数，体会引入负数的必要性和广泛的应用性．理解有理数的意义及分类，判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量．其次是通过与温度计的类比认识数轴，用数轴上的点表示有理数，借助数轴引入相反数的概念及互为相反数的一对数在数轴上的位置关系，利用数轴比较有理数的大小．第三是借助数轴引入绝对值的概念及求一个数的绝对值，利用绝对值比较两个负数的大小，通过应用题解决实际问题，体会绝对值的意义和作用.教学建议：从我们所学过的数引入课题重点知识归纳及讲解1、正数和负数的概念比0大的数叫做正数；在正数前面加上“－”号的数叫做负数；0既不是正数，也不是负数.为了突出数的符号，可以在正数前面加“＋”号，一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略 .对于正数和负数的概念，不能简单的理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数 .2、有理数的概念及分类整数和分数统称为有理数：正数、负数和零也统称为有理数．整数包括正整数、零和负整数、分数包括正分数和负分数；正数包括正整数和正分数；负数包括负整数和负分数．到目前为止，我们学过的数细分有五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，因为有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以把有限小数和无限循环小数都看作分数．有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的分数，但本章中的分数是指不包括分母是1的分数.通常把正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数和零统称为非负整数，即为自然数；负整数和零统称为非正整数 .3、数轴的概念及画法规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.数轴的概念中包含有三层含义：一是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二是说数轴具有原点，正方向和单位长度三要素，三者缺一不可；三是说数轴原点的选定，正方向的取向、单位长度大小的确定，是根据实际需要规定的.画数轴的步骤：（1）画一条直线，一般画成水平的直线；（2）在直线上选取一点为原点，用实心点表示，在原点下边标上0；（3）用箭头表示正方向，一般规定向右为正；（4）选取适当的长度为单位长度，用细短线画出，并在下边标上对应的数.4、相反数的概念如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等，这就是相反数的几何意义 .一般地，数a的相反数是－a，这里a表示任意一个数，可以是正数、负数或零，还可以代表任意一个代数式，表示或求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上一个“－”号就可以了.相反数是成对出现的，不能单独存在，单独的一个数不能说是相反数；不能理解为只要符号不同的两个数就互为相反数，只有符号不同的两个数是说除了符号不同以外完全相同 .5、绝对值的概念在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，数a的绝对值记作“|a|”.正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，这就是绝对值的代数意义，也可表示为：6、绝对值的有关性质（1）对任意有理数a，都有|a|≥0；（2）若|a|=0，则a=0；（3）若|a|=|b|，则a=b或a=－b；（4）若|a|=b（b>0），则a=±b；（5）若|a|＋|b|=0，则a=0且b=0；（6）对任意有理数a，都有|a|=|－a|.7、有理数大小的比较法则在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.三、难点知识剖析1、负数的产生及其意义随着社会的发展，小学学过的自然数、分数和小数已不能满足实际的需要，为了满足实际需要，引入了负数，负数是由于实际需要产生的，负数也是客观存在的数.正数和负数通常表示具有相反意义的量，若正数表示某种意义的量，则负数就表示其相反意义的量，反之亦然. 2、数集的概念把一些数放在一起，就组成一个数的集合，简称数集．所有的有理数组成的数集叫做有理数集，类似地，所有整数组成的数集叫做整数集，所有正数组成的数集叫做正数集，所有负数组成的数集叫做负数集，等等.3、多重符号的化简规律单独一个有理数前面的“＋”号和“－”号，一般都是性质符号，读作“正”号或“负”号.括号前是“＋”号时，去掉括号和“＋”号后，括号内的数不变，括号前是“－”号时，去掉括号和“－”号后，括号内的数就变成它的相反数.在一个数的前面添加一个“＋”号，仍然与原数相同；在一个数的前面添加一个“－”号，就成为原数的相反数.4、两个负有理数的大小比较两个负有理数的大小比较与其它数一样，可以利用数轴找准两个负有理数在数轴上的对应点，右边的数总比左边的数大.两个负有理数的大小比较，还可以利用绝对值，求这两个数的绝对值，比较两个数绝对值的大小，绝对值大的反而小.5、有关绝对值的计算及化简灵活正确运用绝对值的代数意义及有关性质.四、典型例题解析例1、一个物体沿着南北两个相反方向运动，如果把向南的方向规定为正，那么走6km，走－4.5km，走0km的意义各是什么？分析：正数与负数可表示具有相反意义的量，正数表示向南运动，则负数表示向北运动 .0表示原地不动，0表示正数与负数的分界，在实际问题中也有确定的意义.解：走 6km表示物体向南走6km；走－4.5km表示物体向北走4.5km；走 0km表示物体原地不动.例2、某老师把某一小组五名同学的成绩简记为：＋10、－5、0、＋8、－3，又知记为0的实际成绩表示90分，正数表示超过90分，则这五位同学的平均成绩为多少分？分析：由题意先求出这五位同学的实际成绩，如简记为＋10的学生实际成绩为100，然后再求平均成绩.解：依题意知，五位同学的实际成绩分别为：100、85、90、98、87，其平均成绩为：（分）.例3、如图所示的数轴上，A、B、C、D、E各点分别表示什么数？分析：根据各点在原点的左侧，右侧还是在原点上，来确定数是负数，正数还是 0，根据各点距离原点多少个长度单位，来确定数的值.解：点A表示数3；点B表示数；点C表示数0；点D表示－3；点E表示数－4.例4、在数轴上画出表示下列各数的点，并用“ <”连接起来；分析：首先画出数轴，三要素要齐全；再把各数在数轴上的对应点找出来；然后根据这些数在数轴上的位置顺序比较大小，再用“ <”连接起来.解：这些数在数轴上的表示如图所示 .它们从小到大的排列为：.例5、化简下列各数的符号：分析：（1）－（－3）表示－3的相反数，即3，所以－（－3）=3；（2）＋（－4）表示－4本身，即－4，所以＋（－4）=－4；（3）因为－（－5）表示－5的相反数，即5；－[－(－5)]表示－（－5）的相反数，即表示5的相反数，即－5，所以－[－(－5)]=－5.（4）因为－(＋2)表示＋2的相反数，即－2；＋[－(＋2)]表示－(＋2)本身，即－2本身；－{＋[－(＋2)]}表示＋[－(＋2)]的相反数，即－2的相反数，即2，所以－{＋[－(＋2)]}=2.解：（1）－（－3）=3；（2）＋（－4）=-4；（3）－[－(－5)]=－5；（4）－{＋[－(＋2)]}=2.例6、利用绝对值比较下列有理数的大小 .（1）－0.6，－60 （2）分析：比较负数的大小，先求出各数的绝对值，关键是比较绝对值的大小，绝对值大的反而小，比较分数大小，一般要化成同分母的分数来比较 .解：（1）|－0.6|=0.6 |－60|=60∵ 0.6<60，∴－0.6>－60.（2）例7、已知|a|=5，求a.分析：除 0以外，绝对值相等的数都有两个，它们互为相反数，一定不能遗漏.解：∵ |5|=5，|－5|=5∴ a=5或a=－5例8、已知|a＋2|＋|b－3|=0，求a和b的值.分析：由绝对值的非负性可知， |a＋2|≥0，|b－3|≥0，而且只有当|a＋2|和|b－3|都等于0时，|a＋2|＋|b－3|=0才成立，因为只有0的绝对值等于0，所以a=－2，b=3.解：∵ |a＋2|＋|b－3|=0，又∵ |a＋2|≥0，|b－3|≥0，∴ |a＋2|=0，|b－3|=0．∴ a＋2=0，b－3=0．∴ a=－2，b=3．例9、已知有理数a、b、c如图所示，试比较a，－a，b，－b，c，－c，0的大小，并用符号“<”连接起来.分析：a与－a，b与－b，c与－c是互为相反数，它们在数轴上表示的点关于原点对称，即与原点的距离相等，且分布在原点的两旁，据此先描出－a，－b，－c在数轴上表示的点的位置，即可比较出大小.解：－a，－b，－c在数轴上表示的点位置如图所示，它们的大小关系为：a<－c<b<0<－b<c<－a例10、解方程：|x－6|=5.分析：绝对值是5的数是＋5或－5，从而得出关于x的两个等式，然后再求出x即可.解：∵ |x－6|=5，∴ x－6=5或x－6=－5，∴ x=5＋6或x=6－5即x=11或x=1．1、“甲比乙大－3岁”表示的意义是（）A．甲比乙小3岁B．甲比乙大3岁C．乙比甲大－3岁D．乙比甲小3岁2、正整数集合与负整数集合合并在一起组成的集合是（）A．整数集合B．有理数集合C．自然数集合D．以上说法都不对3、下列说法中正确的个数有（）（1）0是整数；（2）－1是负分数；（3）3.2不是正数；（4）自然数一定是正数；（5）负分数一定是负有理数.A．1个B．2个C．3个D．4个4、文具店、书店和玩具店依次坐落在一条南北走向的大街上，文具店在书店北边20m处，玩具店位于书店南边100m处，小明从书店沿街向南走了40m，接着又向南走了－60m，则此时小明的位置在（）A．玩具店B．文具店C．文具店北边40m D．玩具店南边－60m5、下列各对数中，互为相反数的有（）（1）（－1）与＋（－1）；（2）＋（＋1）与－1；（3）－（－2）与＋（－2）；（4）－（－）与＋（＋）；（5）＋[－（＋1）]与－[＋（－1）]；（6）－（＋2）与－（－2）. A．6对B．5对C．4对D．3对6、一个数的相反数小于它本身，这个数是（）A．任意有理数B．零C．负有理数D．正有理数7、绝对值等于4的数是（）A．4B．－4 C．±4D．以上都不对8、绝对值大于2而小于5的所有正整数之和为（）A．7B．8C．9D．109、下列各式中，正确的是（）A．－|－16|>0B．|0.2|>|－0.2| C．D．|－6|<010、若有理数a、b在数轴上的对应点如图所示，则下列结论中正确的是（）A．a>b B．|a|<b C．|a|>|b|D．a>|b|答案：ADCBC DCACC11、下列各数：－2，5，－，0.63，0，8，－0.05，－6，9，，1，其中正数有____________个，负数有____________个，正分数有____________个，负分数有____________个，自然数有____________个，整数有____________个.12、如果将点B向左移动3个单位长度，再向右移动5个单位长度，这时点B表示的数是0，那么点B原来表示的数是____________.13、在数轴上，点A表示的数是－2，点B表示的数是＋4，则线段AB的中点所表示的数是____________.14、如果|a|＋|b|=5，且a=－1，则b=____________.11、7，4，3，2，5，7 12、－213、1 14、±4【巩固练习】1、课桌的高度比标准高度高2毫米记作＋2毫米，那么比标准高度低3毫米记作什么？现有5张课桌，量得它们的尺寸比标准尺寸高＋1毫米，－1毫米，0毫米，＋3毫米，－1.5毫米，若规定课桌的高度比标准高度最高不超过2毫米，最低不能少于2毫米就算合格，问上述5张课桌中有几张合格？1、－3毫米，4张2、画出数轴，把下列各组数分别表示在数轴上，并按由小到大的顺序排列，用“<”连接起来．（1）－1，0，－2，4，－4，1（2）－1，－3，0，2，1，4，－53、化简下列各数的符号，并分别归纳符号化简规律（1）－（＋7）；（2）－（－5）；（3）－[＋（－）]；（4）－[－（－4）]；（5）＋{－[＋（－3）]}；（6）－{－[－（－1.5）]}.3、（1）－7 （2）＋5（3）＋（4）－4（5）＋3 （6）＋1.5符号化简规律：一个数前面有“＋”号可以直接去掉；一个数前面有偶数个“－”号，其结果为正；一个数前面有奇数个“－”号，其结果为负 .4、比较下列各组数的大小：4、若|a|=3，|b|=4，且a、b同号，求|a＋b|的值.。

第三讲 有理数（3）【例1】计算：11112481024++++【例2】计算： 11212312341235859()()()()23344455556060606060++++++++++++++++【例3】计算：11111111111111(1)()(1)()23200923420102320092010232009--+-+++---+--+++【例4】请你从下表归纳出333331234n +++++的公式并计算出：33333123450+++++的值。

练习：1、计算：23201012222S =+++++123452468103691215481216205101520252、计算111112123123100+++⋅⋅⋅+++++++⋅⋅⋅+的值.3、计算：111132010241111111111(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)223234232010+++++++++++++的值。

快速训练题计算：1、⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+95759277292、9819375.41213145232852÷⎪⎭⎫⎝⎛+⨯-3、1.1973117325.1762585.3⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛÷+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯4、()()()()320613632⨯-+---5、()2212271324÷⨯-+⨯6、224431313131÷⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-7、()31213261⨯÷--⨯8、()()()232332--⨯⨯÷-9、()()()222323223+-+⨯-+-⨯10、⎪⎭⎫⎝⎛-÷÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-9727.2325.13211、2312312312⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷-⨯÷12、()()713132274244⨯-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-13、()()()()()8253958347823232222⨯+-⨯+⨯--⨯---⨯-⨯14、1995994199219949931994⨯-⨯15、873.31197.0372.2736.611217.0÷+⨯+÷-⨯-⨯ 16、16163125883225443325⨯+⨯+⨯17、()[]5.16.47.34.52.52.96.142.55.1010⨯-⨯+⨯-⨯÷-18、⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⨯-⨯+⨯-17985.03718721817885.0 19、29.2304342942927.443043029.4-⨯-⨯20、()()[]22223434435.01441094112140--⨯-⨯÷-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯-21、⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+--⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+9532121916131219161121916132953补充练习1、一次考试共有5道题，其中有81%的人做对第一题，第二题有91%的做对第二题，有85%的人做对第3题，79%的人做对第4题，74%的人做对第5题，做对三道题或三道以上的为合格，合格率最多是多少？，合格率最少是多少？2、有一台天平，只有5克和30克砝码各一个，现在要把300克盐平均分成三等份，至少要用这台天平秤几次？3、某修建队要安装一条31米长的管道，现有3米和5米长的水管，已知3米长的水管每根32元，5米长的水管每根50元，请问安装这条水管至少需要多少元？4、采石场采出了200块花岗岩石料,其中有120块各重7吨,其余的每块各重9吨,每节火车车厢至多载重40吨.问:为了运出这批石料,至少需要多少节车厢?5、某种健身球由1个黑球和1个白球组成一套，已知两个车间都生产这种健身球，甲车间每月用16天生产黑球，14天生产白球，共生产448套，乙车间每月用12生产黑球，18天生产白球，共生产了720套。

有理数的技巧计算（二）专题一：等比数列求和从第2项起，每一项与前一项的比都是一个常数，这个比值叫做该数列的公比．如果一个等比数列的首项为1a ，公比为q ，那么该等比数列第n 项的表达式为11n n a a q -=． 等比数列求和公式111na a q S q-=- ． 如：等比数列19719819920024816322222=+++++++++20122=-．阅读材料：求2342017122222++++++…的值．解：设234201620171222222S =+++++++…，将等式两边同时乘以2得：23452017201822222222S =+++++++…将下式减去上式得2018221S S -=-即201821S =-即2342017201812222221++++++=-…请你仿照此法计算：（1）2349122222++++++…；（2）234155555n ++++++…（其中n 为正整数）．计算：201617493437+++++计算：2310111113333+++++计算：()()()231002222-+-+-++-计算：()20161416644-+-++-专题二：裂项相消裂项相消是数列求和的一种方法，即把数列的通项拆成两项之差、正负相消，剩下首尾若干项．常见的拆项公式：（1）111(1)1n n n n =-++（2）()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ （3）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭ （4）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭先找规律，再填数：（1）111111111126122312233⎛⎫⎛⎫+=+=-+-=- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭； （2）1111111111111126121223341223344⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=++=-+-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则1111261220+++=________________________________________________________； 并归纳猜想：1111112233445(1)n n +++++=⨯⨯⨯⨯+__________________________．计算：111112233420182019++++⨯⨯⨯⨯计算：1111112612203042-----．先观察，再找规律：第1个式子是：111111111113352133525⎛⎫⎛⎫+=-+-=- ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭⎝⎭； 第2个式子是：111111111111=1133557213355727⎛⎫⎛⎫++=-+-+-- ⎪ ⎪⨯⨯⨯⎝⎭⎝⎭； 则，第4个式子是________________________________________________；第n 个式子是____________________________________________________．当100n =时，计算：()()11111144771010133231n n +++++⨯⨯⨯⨯-+计算：5555251335572325⎛⎫⨯++++ ⎪⨯⨯⨯⨯⎝⎭计算：111.....1232349899100+++⨯⨯⨯⨯⨯⨯专题三：技巧综合计算：（1）()11731348126424⎛⎫-+-⨯- ⎪⎝⎭（2）()1347415620512⎛⎫⨯-⨯--+- ⎪⎝⎭（3）()()55534176232323⎛⎫-⨯--⨯-⨯- ⎪⎝⎭（4）15511512277227⎛⎫⎛⎫⨯--⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭计算：（1）173********⎛⎫⎛⎫-⨯-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）112167342⎛⎫⎛⎫-+÷- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（3）()555831328666⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯---⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（4）113700.2524.5525%42⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭计算：552757275628⨯+⨯计算：21111296312864⨯-⨯1． 计算：（1）211110.5210.5100.5323⎛⎫⎛⎫-÷--÷-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （2）45812605615⎛⎫--⨯ ⎪⎝⎭2． 计算：（1）201310062015100620141007⨯-⨯．（2）()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-÷-+-⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-2423431625.6134313825.03． 先观察下列等式，然后用你发现的规律解答下列问题．111122=-⨯，1112323=-⨯，1113434=-⨯，…… ①计算111111223344556++++=⨯⨯⨯⨯⨯__________． ②探究1111......122334(1)n n ++++=⨯⨯⨯+__________．（用含有n 的式子表示） ③若1111......133557(21)(21)n n ++++⨯⨯⨯-+的值为1735，求n 的值．4． 计算：201615251255+++++5、计算222133599101+++⨯⨯⨯6、（非负性）已知|ab －2|与|a －1|互为相反数，试求下式的值． ()()()()()()1111112220072007ab a b a b a b ++++++++++7、计算11121123112341123100+++++++++++++++=。

初一数学第三章知识点总结第三章主要是讲了有理数的加法、减法、乘法和除法运算，以及有理数的应用。

一、有理数的加法、减法、乘法和除法运算1. 有理数加法的规律(1) 同号相加，取绝对值相加，并用同号；(2) 异号相加，取绝对值相减，并用较大的符号。

2. 有理数减法的规律引入相反数概念，将减法转化为加法，然后根据加法规律进行运算。

3. 有理数乘法的规律(1) 同号相乘，积为正；(2) 异号相乘，积为负。

4. 有理数除法的规律(1) 同号相除，商为正；(2) 异号相除，商为负。

二、有理数的应用1. 有理数的应用问题(1) 有关生活、实际问题中的正、负数表示；(2) 温度计上的正负数；(3) 钱的收入和支出等。

2. 有理数的绝对值任何有理数a的绝对值都记作|a|，|a|表示a到原点的距离，若a>0，则|a|=a，若a<0，则|a|=-a。

3. 有理数的比较(1) 可以通过加数的绝对值比较大小；(2) 可以先化为同号数再比较。

三、知识点总结本章主要是对有理数的四则运算进行了深入的学习和应用。

首先是对有理数的加法和减法进行了详细的规律介绍，使学生能够根据规律运用有理数的加法和减法进行计算，同时还学习了关于有理数的乘法和除法的规律，掌握了同号相乘、异号相乘、同号相除、异号相除等运算规律。

通过这些规律的掌握，学生能够更加熟练地进行有理数的四则运算。

其次，本章还介绍了有理数的应用问题，通过生活中的实际问题引导学生运用有理数进行计算，如温度计上的正负数、钱的收入和支出等，使学生了解有理数在实际问题中的应用，并通过练习来提高学生对有理数应用问题的解决能力。

另外，本章还介绍了有理数的绝对值和比较，通过学习绝对值的概念，使学生能够准确地理解有理数的绝对值，并掌握了有理数的比较方法，使学生能够利用比较方法解决实际问题，并对有理数的大小关系有更深入的理解。

总的来说，本章的学习内容比较丰富，通过对有理数四则运算、应用问题、绝对值和比较的学习，使学生对有理数的认识更加全面，能够灵活运用有理数进行计算，并且能够理解和应用到生活中的实际问题中。

第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算进门测易1.﹣2019的相反数是（）A．﹣2019B．﹣C．2019D．【解答】解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：C．2.若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣1【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．3.﹣25的绝对值是（）A．﹣25B．25C．D．【解答】解：|﹣25|＝25，故选：B．4.若a是非零实数，则（）A．a＞﹣a B．C．a≤|a|D．a≤a21【解答】解：当a＝﹣1时，a＜﹣a，a＝，故选项A、B错误；当a＝时，a＞a2，故选项D错误；当a时非0实数时，a≤|a|，故选项C正确．故选：C．5.下面说法：①﹣a一定是负数；②若|a|＝|b|，则a＝b；③一个有理数中不是整数就是分数；④一个有理数不是正数就是负数．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①﹣a一定是负数，说法错误，如果a＝﹣1，则﹣a＝1；②若|a|＝|b|，则a＝b，说法错误，例如|3|＝|﹣3|，但是3≠﹣3；③一个有理数中不是整数就是分数，说法正确；④一个有理数不是正数就是负数，说法错误，还有0，0既不是正数也不是负数；正确的个数有1个，故选：A．6.下列说法正确的是（）①0是绝对值最小的有理数②相反数大于本身的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④两个数比较，绝对值大的反而小．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【解答】解：0是绝对值最小的有理数，所以①正确；相反数大于本身的数是负数，所以②正确；数轴上在原点两侧且到原点的距离相等的数互为相反数，所以③错误；两个负数比较，绝对值大的反而小，所以④错误．故选：A．2中1.如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：∵a与﹣3互为相反数，∴a＝3．故选：B．2.若m﹣2的相反数是5，那么﹣m的值是（）A．+7B．﹣7C．+3D．﹣3【解答】解：∵m﹣2的相反数是5，∴m﹣2=﹣5，解得：m=﹣3，故﹣m=3．故选：C．3.下列各组数中，互为相反数的一组是（）A．﹣和0.333B．﹣[+（﹣7）]和﹣（﹣7）C．﹣0.25和0.25D．﹣（﹣6）和6【解答】解：A、﹣和互为相反数，此选项错误；B、﹣[+（﹣7）]＝7，﹣（﹣7）＝7，则﹣[+（﹣7）]＝﹣（﹣7），此选项错误；C、﹣0.25和0.25互为相反数，此选项正确；D、﹣（﹣6）＝6，此选项错误；故选：C．34.若|﹣a|＝a，则a应满足的条件为．【解答】解：∵|﹣a|＝a，∴a≥0，故答案为：a≥0．5.绝对值小于2.5的所有整数是．【解答】解：绝对值小于2.5的所有整数是﹣2、﹣1、0、1、2．故答案为：﹣2、﹣1、0、1、2．难1.若a﹣5和﹣7互为相反数，求a的值．【解答】解：根据性质可知a﹣5+（﹣7）＝0，得a﹣12＝0，解得：a＝12．2.（1）已知：x和2x﹣12互为相反数，求x的值（2）已知：a是1的相反数，b的相反数是﹣3，c是最大的负整数，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x和2x﹣12互为相反数，∴x+2x﹣12=0，解得：x=4；（2）∵a是1的相反数，∴a=﹣1，∵b的相反数是﹣3，∴b=3，4∵c是最大的负整数，∴c=﹣1，∴a+b+c=﹣1+3﹣1=1．3.如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点．（填“A”、“B”“C”或“D”）【解答】解：由图示知，b﹣a＝4，①当a＞0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，舍去；②当a＜0，b＜0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，故数轴的原点在D点；③当a＜0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即﹣a＝3b，解得a＝﹣3，b＝1，故数轴的原点在C点；综上可得，数轴的原点在C点或D点．故填C、D．4.﹣4，5，﹣7三数的和比这三数的绝对值的和小多少？【解答】解：根据题意得：|﹣4|+|5|+|﹣7|﹣（﹣4+5﹣7）=4+5+7+4﹣5+7=22，则﹣4、﹣5、+7三个数的和比这三个数绝对值的和小22．5.化简：|2x﹣3|+|3x﹣5|﹣|5x+1|【解答】解：①当x＜﹣时，原式＝3﹣2x+5﹣3x+5x+1＝9．②当﹣≤x时，原式＝3﹣2x+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣10x+7．③当≤x＜时，原式＝2x﹣3+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣6x+1．④当x≥时，原式＝2x﹣3+3x﹣5﹣5x﹣1＝﹣95有理数的加减法及混合运算知识讲解1. 有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数加减，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③一个数同0相加仍得这个数．✓方法指引：在进行有理数加法运算时，首先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从而确定用哪一条法则．在应用过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）2. 加法运算律加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．2. 有理数减法法则减去一个数，等于加这个数的相反数．即：a-b=a+（-b）✓方法指引：①在进行减法运算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类比，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进行计算．3. 有理数加减混合运算的方法有理数加减法统一成加法．✓方法指引：①在一个式子里，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的6和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应用加法的运算律，使计算简化．典型例题1.计算：（1）（+）+（﹣）（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）【解答】解：（1）（+）+（﹣）＝﹣＝＝；（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）＝﹣11.8；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）＝（﹣﹣）+（﹣+）7＝﹣1﹣2＝﹣3；（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）＝（0.56+0.44）+（﹣0.9﹣8.1）＝﹣8．2.计算：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）；（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）．【解答】解：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）＝（﹣2﹣3﹣4）+（3+1+3+2）＝﹣9+9＝0（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）＝（3+5）﹣（2+8）＝9﹣11＝﹣2．3.﹣﹣【解答】解：﹣﹣＝（﹣）+（﹣）＝（﹣）+（﹣）＝﹣．4.计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．【解答】解：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）=﹣（﹣）﹣9﹣12=1﹣21=﹣2085.0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．【解答】解：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1=（0.47+1.53）﹣（4+1）=2﹣6=﹣4．6.计算：（+5）﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（+12）【解答】解：原式＝5+3﹣7﹣12，＝﹣11．7.计算：【解答】解：原式＝1+﹣＝1﹣＝1．8.计算：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）【解答】解：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）＝（﹣5﹣1）+（2+）＝﹣7+3＝﹣4．变式练习1.计算：（﹣）+（0.75）+（+）++1【解答】解：原式＝﹣++++1＝﹣++++1＝﹣++1＝．92.（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）【解答】解：原式＝（﹣3﹣6）+（15.5﹣5）＝﹣10+10＝0．3.计算（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）．【解答】解：（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）＝（﹣3.14+2.14）+（4.96﹣7.96）＝﹣1﹣3＝﹣4．4.计算（1）﹣5++（﹣1）（2）﹣++（﹣）（3）|﹣|++（﹣）【解答】解：（1）﹣5++（﹣1）＝﹣6+＝﹣；（2）﹣++（﹣）＝﹣；（3）|﹣|++（﹣）10＝+﹣＝﹣＝．5.10﹣（﹣7）【解答】解：10﹣（﹣7）＝10+7＝17．6.计算：（﹣5）﹣（+12）﹣（﹣7）．【解答】解：原式=﹣5+（﹣12）+7=﹣17+7=﹣10．7.计算：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6．【解答】解：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6＝12+18﹣5﹣6＝30﹣5﹣6＝19．8.计算：3+（﹣）﹣2．【解答】解：3+（﹣）﹣2＝3﹣2﹣＝1﹣＝．9.（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．11【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4＝﹣﹣﹣+++4＝﹣4++4＝．有理数的乘除法及混合运算知识讲解1.（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．（4）方法指引：①运用乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确又简单．2. 倒数：乘积是1的两数互为倒数．一般地，a•=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．✓方法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法与相反数一样，非常重要．倒数是伴随着除法运算而产生的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，而0没有倒数，这与相反数不同．【规律方法】求相反数、倒数的方法求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求“-”求求12求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求注意：0没有倒数．3.（1）有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a•（b≠0）（2）方法指引：①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数，都得0．②有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除一般采用“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采用“除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时一定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．4. 有理数乘除混合运算的方法有理数乘除法统一成乘法．✓方法指引：①在一个式子里，有乘法也有除法，根据有理数除法法则，把除法都转化成乘法，然后确定积的符号，最后把各乘数的绝对值相乘求出结果．②把除法都转化成乘法后，就可以应用乘法的运算律，使计算简化．典型例题1.（﹣8）×（﹣）×（﹣1.25）×【解答】解：原式＝﹣8×1.25××＝﹣．2.计算：（）×24．【解答】解：原式＝×24+×24﹣×24＝3+16﹣1813＝19﹣18＝1．3.用简便方法计算：（﹣9）×18．【解答】解：原式＝（10﹣）×（﹣18）＝﹣180+＝﹣179．4.（﹣）÷（﹣）【解答】解：原式＝×＝．5.计算：6÷（﹣3）×（）．【解答】解：6÷（﹣3）×（）＝﹣2×（）＝3．6.计算：【解答】解：原式＝﹣16÷5＝﹣．7.计算：×（﹣4）÷1【解答】解：原式=．8.（﹣）×（﹣）÷（﹣2）．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．14变式练习1.×（﹣）××．【解答】解：×（﹣）××＝（×）×（﹣×）＝×（﹣）＝﹣．2.（﹣3）××（﹣）×（﹣）【解答】解：（﹣3）××（﹣）×（﹣）=（﹣）×（﹣）×（﹣）=×（﹣）=﹣3.﹣99×36．【解答】解：﹣99×36＝（﹣100+）×36＝﹣100×36+×36＝﹣3600+＝﹣3599．154.计算：（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1；（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．【解答】解：（1）原式＝﹣0.75×（﹣0.4 ）×＝××＝；（2）原式＝0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣×××＝﹣1．5.计算：【解答】解：原式＝××＝．6.计算（1）﹣2.5÷（2）﹣4×÷（﹣）×2【解答】解：（1）原式=﹣××（﹣）=1；（2）原式=﹣4××（﹣2）×2=8．7.计算：﹣×16【解答】解：原式=﹣××=﹣．8.÷（﹣1）×．【解答】解：原式＝﹣××＝﹣．有理数的加减乘除混合运算知识讲解1. 有理数加减乘除混合运算的方法（1）有理数的加减乘除混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号的先计算括号里面的；（2）同级运算中，按照自左向右的顺序计算．典型例题1.（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）（2）（﹣+﹣）×（﹣36）【解答】解：（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）＝﹣1﹣2×+2＝﹣1﹣+2＝；（2）（﹣+﹣）×（﹣36）＝16+（﹣30）+1517＝1．2.计算：①13+（﹣5）﹣（﹣21）﹣19．②（﹣3）×6÷（﹣2）×．【解答】解：①原式＝13﹣5+21﹣19＝34﹣24＝10；②原式＝＝＝．3.计算：（﹣24）÷4+（﹣4）×（﹣）．【解答】解：原式＝﹣6+6＝0．4.计算：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）【解答】解：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）＝﹣6﹣6+3＝﹣9．变式练习1.计算：（1）2+3÷18（2）（3）2（4）1【解答】解：（1）2+3÷＝2+3×5＝2+15＝17；（2）＝＝4；（3）2＝2÷（）×＝2÷×＝2×＝15；（4）1＝＝÷[（）×]19＝÷（4×）＝＝＝．2.计算：﹣1﹣（1+0.5）×|﹣|÷（﹣4）【解答】解：﹣1﹣（1+0.5）×|﹣|÷（﹣4）＝﹣1﹣＝﹣1+＝﹣．3.计算：【解答】解：原式＝×（﹣）+×2＝1﹣+＝1+＝．4.计算：（1）﹣7﹣3+8（2）20【解答】解：（1）原式＝﹣10+8＝﹣2；（2）原式＝﹣×6+4﹣30＝﹣30．出门测易1. 8+（﹣21）【解答】解：8+（﹣21）＝﹣（21﹣8）＝﹣13．2. 9+（﹣17）+21+（﹣23）【解答】解：原式＝9+21+（﹣17）+（﹣23）＝30+（﹣40）＝﹣10 3.计算：12﹣（﹣18）+（﹣7）﹣20【解答】解：原式＝12+18﹣7﹣20＝30﹣27＝3．4.计算：．【解答】解：原式＝×（﹣60）﹣×（﹣60）﹣×（﹣60）＝﹣40+55+56＝71．5.计算：（﹣1）×（﹣）＝．【解答】解：原式＝×＝．中211.计算：（﹣5）+（﹣17）﹣（+3）．【解答】解：原式＝﹣5﹣17﹣3＝﹣25．2.计算：1.25【解答】解：原式＝＝＝．3.（﹣+）÷（﹣）【解答】解：原式＝（﹣+）×（﹣36）＝×（﹣36）﹣×（﹣36）+×（﹣36）＝（﹣9）﹣（﹣1）+（﹣4）＝（﹣9）+（+1）+（﹣4）＝﹣12．4.计算：3×（﹣）÷（﹣1）．【解答】解：原式＝＝．5.计算：（1）﹣（﹣）．（2）10+（）×（﹣12）．22【解答】解：（1）﹣（﹣）＝＝1；（2）10+（）×（﹣12）＝10+（﹣3）+6+（﹣8）＝5．难1.计算（1）9+（﹣7）+10+（﹣3）+（﹣9）（2）12+（﹣14）+6+（﹣7）（3）﹣（4）﹣4.2+5.7+（﹣8.7）+4.2．【解答】解：（1）原式＝9﹣7+10﹣3﹣9＝0；（2）原式＝12﹣14+6﹣7＝﹣3；（3）原式＝﹣﹣﹣+＝﹣1﹣＝﹣1；（4）原式＝﹣4.2+4.2+5.7﹣8.7＝﹣3．2.计算：10﹣8﹣（﹣6）﹣（+4）．【解答】解：10﹣8﹣（﹣6）﹣（+4），＝10﹣8+6﹣4，＝10+6﹣8﹣4，23＝4．3.计算题（1）（﹣6）+（+11）（2）﹣28+（﹣4）+29+（﹣24）（3）（﹣0.6）﹣（3）﹣（+7）+2﹣2（4）12.32﹣14.17﹣|﹣2.32|+（﹣5.83）【解答】解：（1）原式＝11﹣6＝5；（2）原式＝﹣（28+4+24）+29＝﹣56+29＝﹣27；（3）原式＝﹣+（﹣7）+2﹣3﹣2＝﹣8﹣﹣2＝﹣10；（4）原式＝12.32﹣2.32﹣（14.17+5.83）＝10﹣20＝﹣10．4.计算：（1）（2）2×（﹣7）﹣6×（﹣9）．【解答】解：（1）原式＝；（2）原式＝﹣14+54＝40．5.（1）（﹣）×（﹣3）÷（﹣1）÷3（2）[（+）﹣（﹣）﹣（+）]÷（﹣）【解答】解：（1）原式＝﹣×××＝﹣；24（2）原式＝（+﹣）×（﹣105）＝﹣15﹣35+21＝﹣29．课后巩固易1.计算﹣6+4的结果为（）A．10B．﹣10C．2D．﹣2【解答】解：原式＝﹣2，故选：D．2.计算4+（﹣3）的结果等于（）A．﹣7B．7C．﹣1D．1【解答】解：4+（﹣3）＝4﹣3＝1故选：D．3.计算（﹣5）﹣3的结果等于（）A．﹣8B．﹣2C．2D．8【解答】解：（﹣5）﹣3＝（﹣5）+（﹣3）＝﹣8，故选：A．4.计算﹣3﹣5结果正确的是（）A．﹣8B．﹣2C．2D．8【解答】解：﹣3﹣5＝﹣8，故选：A．5.按照有理数加法则，计算（﹣180）+（+20）的正确过程是（）A．﹣（180﹣20）B．+（180+20）C．+（180﹣20）D．﹣（180+20）25【解答】解：（﹣180）+（+20）＝﹣（180﹣20）＝﹣160，故选：A．6.下列计算正确的是（）A．5+（﹣6）＝﹣11B．﹣1.3+（﹣1.7）＝﹣3 C．（﹣11）﹣7＝﹣4D．（﹣7）﹣（﹣8）＝﹣1【解答】解：A．5+（﹣6）＝﹣1，此选项错误；B．﹣1.3+（﹣1.7）＝﹣3，此选项正确；C．（﹣11）﹣7＝（﹣11）+（﹣7）＝﹣18，此选项错误；D．（﹣7）﹣（﹣8）＝（﹣7）+8＝1，此选项错误；故选：B．7.计算﹣1的结果是（）A．1B．﹣1C ．D ．﹣【解答】解：原式＝（﹣）＝1．故选：A．8.计算﹣×＝．【解答】解：﹣×＝﹣，故答案为：﹣．9.把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（）A．（﹣）×B ．（﹣）×C．（﹣）×（﹣）D．（﹣）×（﹣）26【解答】解：把（﹣）÷（﹣）转化为乘法是（﹣）×（﹣），故选：D．10.计算（﹣6）÷（﹣2）的结果是（）A．3B．﹣3C．4D．﹣4【解答】解：（﹣6）÷（﹣2）＝3，故选：A．11.计算﹣4÷×（﹣2）＝．【解答】解：原式＝﹣16×（﹣2）＝32，故答案为：32．中1.比﹣2大3的数是（）A．3B．1C．﹣2D．﹣3【解答】解：比﹣2大3的数是﹣2+3＝1，故选：B．2.下列说法中，正确的个数有（）①﹣a一定是负数；②|﹣a|一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④绝对值等于它本身的数是1；⑤两个有理数的和一定大于其中每一个加数；27⑥若a＝|b|，则a＝bA．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①﹣a不一定是负数，此结论错误；②|﹣a|一定是非负数，此选项错误；③倒数等于它本身的数是±1，此结论正确；④绝对值等于它本身的数是所有非负数，此结论错误；⑤两个有理数的和不一定大于其中每一个加数，此结论错误；⑥若a＝|b|，则a＝±b，此结论错误；故选：A．3.温度由﹣4℃上升7℃后的温度为（）A．﹣3℃B．3℃C．﹣11℃D．11℃【解答】解：根据题意知，升高后的温度为﹣4+7＝3（℃），故选：B．4.计算：﹣1﹣的值为（）A ．B ．﹣C ．D ．﹣【解答】解：﹣1﹣＝﹣1+（﹣）＝﹣，故选：D．5.北京、武汉两个城市在2019年一月份的平均气温分别是﹣4.5℃、3.5℃，则2019年一月份武汉市的平均气温比北京市的高（）A．﹣7℃B．7℃C．8℃D．﹣8℃【解答】解：3.5﹣（﹣4.5）＝8（℃）答：2019年一月份武汉市的平均气温比北京市的高8℃．286.已知a＝5，|b|＝8，且满足a+b＜0，则a﹣b的值为（）A．3B．﹣3C．﹣13D．13【解答】解：∵|b|＝8，∴b＝±8，又∵a＝5，a+b＜0，∴b＝﹣8，则a﹣b＝5﹣（﹣8）＝13，故选：D．7.在下列变形中，错误的是（）A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3﹣﹣5C．a+（b﹣c）＝a+b﹣cD．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c【解答】解：A．（﹣2）﹣3+（﹣5）＝﹣2﹣3﹣5，本选项正确；B．（﹣3）﹣（﹣5）＝﹣3++5，本选项错误；C．a+（b﹣c）＝a+b﹣c，本选项正确；D．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c，本选项正确；故选：B．8.把（﹣8）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）写成省略括号的代数和形式是（）A．﹣8+3﹣5﹣7B．﹣8﹣3+8﹣7C．﹣8+3+5+7D．﹣8+3+5﹣7【解答】解：由题意得：（﹣8）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣8+3+5﹣7，299.下列说法正确的是（）A．绝对值是它本身的数只有0B．如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0C．整数只包括正整数和负整数D．﹣1是最大的负有理数【解答】解：A、绝对值是它本身的数是非负数，故此选项错误；B、如果几个数积为0，那么至少有一个因数为0，正确；C、整数只包括正整数和负整数、0，故此选项错误；D、﹣1是最大的负整数，故此选项错误．故选：B．10.若“！”是一种数学运算符号，并且1！＝1，2！＝2×1＝2，3！＝3×2×1＝6，4！＝4×3×2×1，…，则的值为（）A ．B．49！C．2450D．2！【解答】解：＝＝50×49＝2450故选：C．11.若a+b＜0且ab＜0，那么（）A．a＜0，b＞0B．a＜0，b＜0C．a＞0，b＜0D．a，b异号，且负数绝对值较大30【解答】解：∵a+b＜0且ab＜0，∴a＞0，b＜0且|a|＜|b|或a＜0，b＞0且|a|＞|b|，即a，b异号，且负数绝对值较大，故选：D．12.计算：﹣2.5÷×（﹣）＝（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【解答】解：﹣2.5÷×（﹣）＝﹣××（﹣）＝1．故选：D．13.现有以下五个结论：①正数、负数和0统称为有理数；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①正有理数、负无理数和0统称为有理数，此结论错误；②若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1，此结论正确；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数，此结论错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，此结论错误；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误．故选：B．难1.亚民驾驶一辆宝马汽车从A地出发，先向东行驶15公里，再向西行驶25公里，然后又向东行驶20公里，再向西行驶40公里，问汽车最后停在何处？已知这种汽车行驶100公里消耗的油量为8升，并且31汽车最后回到A地，问亚民这次消耗了多少升汽油？【解答】解：设向东为正，向西为负，则15+（﹣25）+20+（﹣40）＝﹣30（公里），即汽车在A地西边30公里处；|15|+|﹣25|+|20|+|﹣40|+|﹣30|＝130，130×＝10.4（升），则亚民消耗了10.4升油．2.已知|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，求a+b的值．【解答】解：∵|a|＝3，|b|＝2，且a＜b，∴a＝﹣3，b＝2或﹣2，则a+b＝﹣1或﹣5．3.列式计算：（1）已知甲、乙两数之和为﹣2020，其中甲数是﹣7，求乙数；（2）已知x是5的相反数，y比x小﹣7，求x与﹣y的差．【解答】解：（1）根据题意知乙数为﹣2020﹣（﹣7）＝﹣2020+7＝﹣2013；（2）根据题意知x＝﹣5，y＝x﹣（﹣7）＝﹣5+7＝2，则x﹣（﹣y）＝﹣5﹣（﹣2）＝﹣3．4.已知：|m|＝7，|n|＝5，且m＜n．求：m﹣n+4的值．【解答】解：∵|m|＝7，|n|＝5，且m＜n，∴m＝﹣7，n＝±5，（1）m＝﹣7，n＝5时，m﹣n+4＝﹣7﹣5+4＝﹣8．（2）m＝﹣7，n＝﹣5时，m﹣n+4＝﹣7﹣（﹣5）+4＝2．32∴m﹣n+4的值是﹣8或2．5.列式计算：（1）4 与﹣3的和的相反数．（2）﹣1减去﹣与的和，所得的差是多少？【解答】解：（1）4 与﹣3的和的相反数是：﹣（4﹣3）＝﹣1；（2）根据题意得：﹣1﹣（﹣+）＝﹣，答：所得的差是﹣．6.阅读下面文字：对于（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）可以如下计算：原式＝[（﹣5）+（﹣）]+[（﹣9）+（﹣）]+（17+）+[（﹣3）+（﹣）]＝[（﹣5）+（﹣9）+17+（﹣3）]+[（﹣）+（﹣）++（﹣）]＝0+（﹣1）＝﹣1上面这种方法叫折项法，你看懂了吗？仿照上面的方法，计算：（1）﹣1+（﹣2）+7+（﹣4）＝计算：（2）（﹣2017）+2016+（﹣2015）+16．33【解答】解：（1）原式＝（﹣1﹣2+7﹣4）+（﹣﹣+﹣）＝﹣，故答案为：﹣；（2）原式＝（﹣2017+2016﹣2015+16）+（﹣+﹣+）＝﹣2000﹣＝﹣20007.小明在电脑中设置了一个有理数的运算程序：输入数a，加*键，在输入数b，就可以得到运算：a*b＝（a﹣b）﹣|b﹣a|．（1）求（﹣3）*2的值；（2）求（3*4）*（﹣5）的值．【解答】解：（1）（﹣3）*2＝（﹣3﹣2）﹣|2﹣（﹣3）|＝﹣5﹣5＝﹣10；（2）∵3*4＝（3﹣4）﹣|4﹣3|＝﹣2，（﹣2）*（﹣5）＝[（﹣2）﹣（﹣5）]﹣|﹣5﹣（﹣2）|＝0，∴（3*4）*（﹣5）＝0．8.乘积是6的两个负整数之和为．【解答】解：乘积是6的两个负整数为﹣1和﹣6或﹣2与﹣3，之和为﹣7或﹣5，故答案为：﹣7或﹣59.已知|x|＝5，|y|＝3．（1）若x﹣y＞0，求x+y的值；（2）若xy＜0，求|x﹣y|的值；（3）求x﹣y的值．【解答】解：∵|x|＝5，34∴x＝5或﹣5，∵|y|＝3，∴y＝3或﹣3，（1）当x﹣y＞0时，x＝5，y＝3或x＝5，y＝﹣3，此时x+y＝5+3＝8或x+y＝5+（﹣3）＝2，即x+y的值为：8或2；（2）当xy＜0，x＝5，y＝﹣3或x＝﹣5，y＝3，此时|x﹣y|＝8或|x﹣y|＝8，即|x﹣y|的值为：8；（3）①x＝5时，y＝3时，x﹣y＝5﹣3＝2；②x＝5时，y＝﹣3时，x﹣y＝5+3＝8；③x＝﹣5时，y＝3时，x﹣y＝﹣5﹣3＝﹣8；④x＝﹣5时，y＝﹣3时，x﹣y＝﹣5+3＝﹣2，综上：x﹣y＝±2或±8．10.现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于其本身的有理数是零；⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解答】解：①有理数包括所有正有理数、负有理数和0；故原命题错误；②若两个数（除零）互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；故原命题错误；③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数；故原命题错误；④绝对值等于其本身的有理数是零和正数，故原命题错误；⑤几个非零的有理数相乘，负因数个数为奇数则乘积为负数，故原命题错误．35故选：A．11.÷（）【解答】解：原式＝÷＝×3＝．36。

第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算进门测易1.﹣2019的相反数是（）A．﹣2019B．﹣C．2019D．【解答】解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：C．2.若实数a、b互为相反数，则下列等式中成⽴的是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣1【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．3.﹣25的绝对值是（）A．﹣25B．25C．D．【解答】解：|﹣25|＝25，故选：B．4.若a是⾮零实数，则（）A．a＞﹣a B．C．a≤|a|D．a≤a21【解答】解：当a＝﹣1时，a＜﹣a，a＝，故选项A、B错误；当a＝时，a＞a2，故选项D错误；当a时⾮0实数时，a≤|a|，故选项C正确．故选：C．5.下⾯说法：①﹣a⼀定是负数；②若|a|＝|b|，则a＝b；③⼀个有理数中不是整数就是分数；④⼀个有理数不是正数就是负数．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①﹣a⼀定是负数，说法错误，如果a＝﹣1，则﹣a＝1；②若|a|＝|b|，则a＝b，说法错误，例如|3|＝|﹣3|，但是3≠﹣3；③⼀个有理数中不是整数就是分数，说法正确；④⼀个有理数不是正数就是负数，说法错误，还有0，0既不是正数也不是负数；正确的个数有1个，故选：A．6.下列说法正确的是（）①0是绝对值最⼩的有理数②相反数⼤于本⾝的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④两个数⽐较，绝对值⼤的反⽽⼩．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【解答】解：0是绝对值最⼩的有理数，所以①正确；相反数⼤于本⾝的数是负数，所以②正确；数轴上在原点两侧且到原点的距离相等的数互为相反数，所以③错误；两个负数⽐较，绝对值⼤的反⽽⼩，所以④错误．故选：A．2中1.如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：∵a与﹣3互为相反数，∴a＝3．故选：B．2.若m﹣2的相反数是5，那么﹣m的值是（）A．+7B．﹣7C．+3D．﹣3【解答】解：∵m﹣2的相反数是5，∴m﹣2=﹣5，解得：m=﹣3，故﹣m=3．故选：C．3.下列各组数中，互为相反数的⼀组是（）A．﹣和0.333B．﹣[+（﹣7）]和﹣（﹣7）C．﹣0.25和0.25D．﹣（﹣6）和6【解答】解：A、﹣和互为相反数，此选项错误；B、﹣[+（﹣7）]＝7，﹣（﹣7）＝7，则﹣[+（﹣7）]＝﹣（﹣7），此选项错误；C、﹣0.25和0.25互为相反数，此选项正确；D、﹣（﹣6）＝6，此选项错误；故选：C．34.若|﹣a|＝a，则a应满⾜的条件为．【解答】解：∵|﹣a|＝a，∴a≥0，故答案为：a≥0．5.绝对值⼩于2.5的所有整数是．【解答】解：绝对值⼩于2.5的所有整数是﹣2、﹣1、0、1、2．故答案为：﹣2、﹣1、0、1、2．难1.若a﹣5和﹣7互为相反数，求a的值．【解答】解：根据性质可知a﹣5+（﹣7）＝0，得a﹣12＝0，解得：a＝12．2.（1）已知：x和2x﹣12互为相反数，求x的值（2）已知：a是1的相反数，b的相反数是﹣3，c是最⼤的负整数，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x和2x﹣12互为相反数，∴x+2x﹣12=0，解得：x=4；（2）∵a是1的相反数，∴a=﹣1，∵b的相反数是﹣3，∴b=3，4∵c是最⼤的负整数，∴c=﹣1，∴a+b+c=﹣1+3﹣1=1．3.如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点．（填“A”、“B”“C”或“D”）【解答】解：由图⽰知，b﹣a＝4，①当a＞0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，舍去；②当a＜0，b＜0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，故数轴的原点在D点；③当a＜0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即﹣a＝3b，解得a＝﹣3，b＝1，故数轴的原点在C点；综上可得，数轴的原点在C点或D点．故填C、D．4.﹣4，5，﹣7三数的和⽐这三数的绝对值的和⼩多少？【解答】解：根据题意得：|﹣4|+|5|+|﹣7|﹣（﹣4+5﹣7）=4+5+7+4﹣5+7=22，则﹣4、﹣5、+7三个数的和⽐这三个数绝对值的和⼩22．5.化简：|2x﹣3|+|3x﹣5|﹣|5x+1|【解答】解：①当x＜﹣时，原式＝3﹣2x+5﹣3x+5x+1＝9．②当﹣≤x时，原式＝3﹣2x+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣10x+7．③当≤x＜时，原式＝2x﹣3+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣6x+1．④当x≥时，原式＝2x﹣3+3x﹣5﹣5x﹣1＝﹣95有理数的加减法及混合运算知识讲解1. 有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数加减，取绝对值较⼤的加数的符号，并⽤较⼤的绝对值减去较⼩的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③⼀个数同0相加仍得这个数．⽅法指引：在进⾏有理数加法运算时，⾸先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从⽽确定⽤哪⼀条法则．在应⽤过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）2. 加法运算律加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．2. 有理数减法法则减去⼀个数，等于加这个数的相反数．即：a-b=a+（-b）⽅法指引：①在进⾏减法运算时，⾸先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：⼀是运算符号（减号变加号）；⼆是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类⽐，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进⾏计算．3. 有理数加减混合运算的⽅法有理数加减法统⼀成加法．⽅法指引：①在⼀个式⼦⾥，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的6和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应⽤加法的运算律，使计算简化．典型例题1.计算：（1）（+）+（﹣）（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）【解答】解：（1）（+）+（﹣）＝﹣＝＝；（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）＝﹣11.8；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）＝（﹣﹣）+（﹣+）7＝﹣1﹣2＝﹣3；（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）＝（0.56+0.44）+（﹣0.9﹣8.1）＝﹣8．2.计算：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）；（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）．【解答】解：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）＝（﹣2﹣3﹣4）+（3+1+3+2）＝﹣9+9＝0（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）＝（3+5）﹣（2+8）＝9﹣11＝﹣2．3.﹣﹣【解答】解：﹣﹣＝（﹣）+（﹣）＝（﹣）+（﹣）＝﹣．4.计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．【解答】解：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）=﹣（﹣）﹣9﹣12=1﹣21=﹣2085.0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．【解答】解：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1=（0.47+1.53）﹣（4+1）=2﹣6=﹣4．6.计算：（+5）﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（+12）【解答】解：原式＝5+3﹣7﹣12，＝﹣11．7.计算：【解答】解：原式＝1+﹣＝1﹣＝1．8.计算：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）【解答】解：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）＝（﹣5﹣1）+（2+）＝﹣7+3＝﹣4．变式练习1.计算：（﹣）+（0.75）+（+）++1【解答】解：原式＝﹣++++1＝﹣++++1＝﹣++1＝．92.（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）【解答】解：原式＝（﹣3﹣6）+（15.5﹣5）＝﹣10+10＝0．3.计算（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）．【解答】解：（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）＝（﹣3.14+2.14）+（4.96﹣7.96）＝﹣1﹣3＝﹣4．4.计算（1）﹣5++（﹣1）（2）﹣++（﹣）（3）|﹣|++（﹣）【解答】解：（1）﹣5++（﹣1）＝﹣6+＝﹣；（2）﹣++（﹣）＝﹣；（3）|﹣|++（﹣）10＝+﹣＝﹣＝．5.10﹣（﹣7）【解答】解：10﹣（﹣7）＝10+7＝17．6.计算：（﹣5）﹣（+12）﹣（﹣7）．【解答】解：原式=﹣5+（﹣12）+7=﹣17+7=﹣10．7.计算：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6．【解答】解：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6＝12+18﹣5﹣6＝30﹣5﹣6＝19．8.计算：3+（﹣）﹣2．【解答】解：3+（﹣）﹣2＝3﹣2﹣＝1﹣＝．9.（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．11【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4＝﹣﹣﹣+++4＝﹣4++4＝．有理数的乘除法及混合运算知识讲解1.（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①⼏个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②⼏个数相乘，有⼀个因数为0，积就为0．（4）⽅法指引：①运⽤乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确⼜简单．2. 倒数：乘积是1的两数互为倒数．⼀般地，a?=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．⽅法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法与相反数⼀样，⾮常重要．倒数是伴随着除法运算⽽产⽣的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，⽽0没有倒数，这与相反数不同．【规律⽅法】求相反数、倒数的⽅法求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求“-”求求12求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求注意：0没有倒数．3.（1）有理数除法法则：除以⼀个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a?（b≠0）（2）⽅法指引：①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何⼀个不等于0的数，都得0．②有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除⼀般采⽤“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采⽤“除以⼀个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时⼀定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．4. 有理数乘除混合运算的⽅法有理数乘除法统⼀成乘法．⽅法指引：①在⼀个式⼦⾥，有乘法也有除法，根据有理数除法法则，把除法都转化成乘法，然后确定积的符号，最后把各乘数的绝对值相乘求出结果．②把除法都转化成乘法后，就可以应⽤乘法的运算律，使计算简化．典型例题1.（﹣8）×（﹣）×（﹣1.25）×【解答】解：原式＝﹣8×1.25××＝﹣．2.计算：（）×24．【解答】解：原式＝×24+×24﹣×24＝3+16﹣1813＝19﹣18＝1．3.⽤简便⽅法计算：（﹣9）×18．【解答】解：原式＝（10﹣）×（﹣18）＝﹣180+＝﹣179．4.（﹣）÷（﹣）【解答】解：原式＝×＝．5.计算：6÷（﹣3）×（）．【解答】解：6÷（﹣3）×（）＝﹣2×（）＝3．6.计算：【解答】解：原式＝﹣16÷5＝﹣．7.计算：×（﹣4）÷1【解答】解：原式=．8.（﹣）×（﹣）÷（﹣2）．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．14变式练习1.×（﹣）××．【解答】解：×（﹣）××＝（×）×（﹣×）＝×（﹣）＝﹣．2.（﹣3）××（﹣）×（﹣）【解答】解：（﹣3）××（﹣）×（﹣）=（﹣）×（﹣）×（﹣）=×（﹣）=﹣3.﹣99×36．【解答】解：﹣99×36＝（﹣100+）×36＝﹣100×36+×36＝﹣3600+＝﹣3599．154.计算：（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1；（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．【解答】解：（1）原式＝﹣0.75×（﹣0.4 ）×＝××＝；（2）原式＝0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣×××＝﹣1．5.计算：【解答】解：原式＝××＝．6.计算（1）﹣2.5÷（2）﹣4×÷（﹣）×2【解答】解：（1）原式=﹣××（﹣）=1；（2）原式=﹣4××（﹣2）×2=8．7.计算：﹣×16【解答】解：原式=﹣××=﹣．8.÷（﹣1）×．【解答】解：原式＝﹣××＝﹣．有理数的加减乘除混合运算知识讲解1. 有理数加减乘除混合运算的⽅法（1）有理数的加减乘除混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号的先计算括号⾥⾯的；（2）同级运算中，按照⾃左向右的顺序计算．典型例题1.（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）（2）（﹣+﹣）×（﹣36）【解答】解：（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）＝﹣1﹣2×+2＝﹣1﹣+2＝；（2）（﹣+﹣）×（﹣36）＝16+（﹣30）+1517＝1．2.计算：①13+（﹣5）﹣（﹣21）﹣19．②（﹣3）×6÷（﹣2）×．【解答】解：①原式＝13﹣5+21﹣19＝34﹣24＝10；②原式＝＝＝．3.计算：（﹣24）÷4+（﹣4）×（﹣）．【解答】解：原式＝﹣6+6＝0．4.计算：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）【解答】解：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）＝﹣6﹣6+3＝﹣9．变式练习1.计算：（1）2+3÷18（2）（3）2（4）1【解答】解：（1）2+3÷＝2+3×5＝2+15＝17；（2）＝＝4；（3）2＝2÷（）×＝2÷×＝2×＝15；（4）1＝＝÷[（）×]19。