第1讲-绝对值、有理数的巧算专题精选.

第一讲有理数的巧算【知识要点】有理数运算是中学数学中一切运算的基础．它要求同学们在理解有理数的有关概念、法则的基础上，能根据法则、公式等正确、迅速地进行运算．不仅如此，还要善于根据题目条件，将推理与计算相结合，灵活巧妙地选择合理的简捷的算法解决问题，从而提高运算能力，发展思维的敏捷性与灵活性．【例题讲解】一、一、联想类比探求利用数学结构的和谐统一和互相渗透的辨证关系，在观察、分析、联想、类比过程中，求出结果。

[例1] 计算：51+52+53+…+100分析：联想梯形面积公式，类比把所求的和摞成一个梯形，用梯形面积公式来求和。

解：原式=（51+100）×50÷2=3775二、直接探求把问题当作求解题来解，把满足条件的数学对象直接求出。

[例2] 将1、2、3、…、100这100个自然数，任意分成50组，每组两个数，现将每组中任一数值记作a，另一个记作b，代人代数式0.5（|a-b|+a+b）中进行计算，求出其结果，50组数代人后可求得50个值，求这50个值的和的最大值。

解：不妨设a＞b，原式=a，由此知每组数的两个数代人代数式运算后的结果为两个数中较大的一个，从整体上看，只要将51、52、53、…、100这50个数依次代人，便可求出50个值的和的最大值：51+52+…+100=3775三、观察猜测探求[例3]在数1，2，3，…，1998前添符号“+”和“-”，并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？分析与解因为若干个整数和的奇偶性，只与奇数的个数有关，所以在1，2，3，…，1998之前任意添加符号“+”或“-”，不会改变和的奇偶性．在1，2，3，…，1998中有1998÷2个奇数，即有999个奇数，所以任意添加符号“+”或“-”之后，所得的代数和总为奇数，故最小非负数不小于1．现考虑在自然数n，n+1，n+2，n+3之间添加符号“+”或“-”，显然n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0．这启发我们将1，2，3，…，1998每连续四个数分为一组，再按上述规则添加符号，即(1-2-3+4)+(5-6-7+8)+…+(1993-1994-1995+1996)-1997+1998=1．所以，所求最小非负数是1．四、数形结合探求[例4] 试求|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2001|的最小值。

三人行教育陈老师教案一一绝对值及有理数加减运算：请同学们认真答题，每一道题都经过精选3绝对值（满分100分）知识要点：1•绝对值的概念：在数轴上表示数a 的点与原点的叫做数a 的绝对值，记作.2. 绝对值的求法：由绝对值的意义可以知道： （1） 一个正数的绝对值是；（2）零的绝对值是；a 0（3） 一个负数的绝对值是.即a a 0 a 03. 绝对值的非负性：数轴上表示数a 的点与原点的距离零，所以，任意有理数 a 的绝对值总是一个， 即a 0.4. 有理数大小的比较：一个有理数的绝对值越大，在数轴上表示这个数的点就离原点越，所以，两个负数比较大小，绝对 值大的；正数都零；负数都；正数一切负数.5. 绝对值等于a a 0的有理数有两个，它们.（基础知识填空20分，每错一空扣2分）同步练习A 组（共40分）一、填空题（每空 1 分）1. （1） | 2； （2） | 7 ；2 （3）3- ； （4） 6 .31 2. 2-的绝对值是，绝对值等于5的数是和.23. 绝对值最小的数是；绝对值小于 2.5的整数是；绝对值小于3的自然数有；绝对值大于3且小于6 的负整数有.4. 如果a a ，那么a 是，如果a a ，那么a 是.；若a 》0，贝U a 1 .5.若 a w 0,则 a、选择题（每题3分）6.下列说法C.任何数的绝对值都是非负数D.F 列说法中，错误的是（） 7. A.绝对值小于2的数有无穷多个 C.绝对值大于2的数有无穷多个 8. 有理数的绝对值一定是（）A.B.绝对值小于2的整数有无穷多个 （D ） 绝对值大于2的整数有无穷多个正数 B. 9. 如果m 是一个有理数，那么下面结论正确的是（ A.m —定是负数B.m 一定是正数C.整数 ） m 一定是负数C. 正数或零D.D.非正数 m 不是负数10.如果甲数的绝对值大于乙数，那么（）A.甲数大于乙数 1，b11.设 aA. a b c 三、解答题(每题2分) (1) 13, 524 8 B.甲数小于乙数C.甲、乙两数符号相反 1，c 是1的相反数， B. a b c C.12.比较下列各数的大小则a,b,c 的大小关系是a b c D. （要有解答过程） 13. （3分））若一个数a 的绝对值是3,且a 在数轴上的位置如图所示,D.甲、乙两数的大小不能确定1721试求a 的相反数a正确的是（）A.绝对值相等的数相等B.不相等两数的绝对值不等绝对值大的数反而小B 组（40分）一、填空题（每题3分） 14.| 5的相反数是；4的相反数的绝对值是；的相反数是它本身.15. 若a2，给出下面4个结论：①a a •、②a a :③-a ；④丄a •其中不正确的有（填序号）.16.aa若 m 1 m 1,则 m l ；若 m 1 m 1,则 m l ；若x 4，则x ；若x 1，则x .17. 最小的自然数与绝对值最小的整数的和是. 18. 若aa ，则数a 在数轴上对应的点的位置在.二、解答题（5分）19.分别写出a 为何值时，下列各式成立？（1） a I a ；（2） a a ;（3）回 1 ；（4）訂 1a同20. 已知a 2, b 2, c 3，且有理数a,b, c 在数轴上的位置如图所示，计算 a b c 的值.（6分）b 0 a c21. 已知x 5， y 3，且x y x y ，求x y 的值.（6分）C 组22. 已知甲数的绝对值是乙数的绝对值的B 倍，且在数轴上表示这两个数的点位于原点的两侧两点之间的距离 是8,求这两个数。

有理数的巧算一．结合律加法结合律：三个数相加，先把前面两个数相加，再加第三个数，或者先把后面两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变．乘法结合律：三个数相乘,先把前面两个数相乘,先乘第三个数,或者先把后面两个数相乘,再和第一个数相乘,它们的积不变．二．分配律乘法分配律：两个数的和同一个数相乘,等于把两个加 数分别同这个数相乘,再把两个积加起来,结果不变.三．裂项法在一些题型中，需要运用拆项法（也称裂项法）进行简便运算，运用拆项法使得拆项后的一些数能够互相抵消，达到简化运算的目的．常用拆项公式：（1）()11111n n n n =-++； （2）()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭； （3）()()()()()1111122112n n n n n n n ⎡⎤=-⎢⎥+++++⎢⎥⎣⎦，或()()()()()21112112n n n n n n n =-+++++；（4）11a ba b a b+=+⨯，11b aa b a b-=-⨯．四．换元法我们经常会遇到一些数据大、关系复杂的计算题，令人望而生畏，无从下手．这时，如果我们仔细观察数据特点，探究数据规律，巧妙利用字母代替数字（换元法），能够达到化繁为简，化难为易的效果．探索算式的结构往往是解决这类问题的突破口，其步骤大致分为三步：（1）比对观察：寻找并发现题目中的结构与规律；（2）总结归纳：把数字转化为字母，化繁为简；（3）代数计算：利用代数的方法，仔细地将冗长的题目化难为易，解决问题．一．考点：结合律、分配律、裂项法、换元法．二．重难点：裂项法、换元法．三．易错点：裂项法要注意相邻两数之差是多少．题模一：结合律例1.1.1151515 8124292929⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-+⨯--⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】0【解析】该题考查的是有理数巧算．观察该题，发现都含有共同的因数1529-．因此先提取公因数 原式()15812429⎛⎫=-+-⨯- ⎪⎝⎭， 15029⎛⎫=⨯- ⎪⎝⎭ 0=例1.1.2 计算：()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯【答案】 49.5- 【解析】 ()()()3.2289 3.7729 1.59⨯-+-⨯--⨯ 3.2289 3.7729 1.59=-⨯-⨯+⨯ ()3.228 3.772 1.59=--+⨯5.59=-⨯49.5=-．题模二：分配律例1.2.1 计算：1﹣24×（﹣311836+-）． 【答案】 6．【解析】 原式=1+9﹣8+4=6．例1.2.2 阅读下列材料： 计算（﹣130）÷（23﹣110+16﹣25） 解法①：原式=（﹣130）÷23﹣（﹣130）÷110+（﹣130）÷16﹣（﹣130）÷25=﹣120+13﹣15+112=16解法②：原式=（﹣130）÷[（23+16）﹣（110+25）]=（﹣130）÷（56﹣12）=﹣130×3=﹣110 解法③：原式的倒数为（23﹣110+16﹣25）÷（﹣130）=（23﹣110+16﹣25）×（﹣30）=﹣20+3﹣5+12=﹣10故原式=﹣110（1）上面得出的结果不同，其中肯定有错误的解法，你认为解法_____是错误的．在正确的解法中，你认为解法_____最简便，该解法运用的运算律是_____．（2）请计算：（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）． 【答案】 （1）①；③；乘法分配律（2）﹣18【解析】 （1）上面得出的结果不同，有错误的解法，我认为解法①是错误的．在正确的解法中，我认为解法③最简便，该解法运用的运算律是乘法分配律．（2）∵（16﹣314+23﹣37）÷（﹣142） =（16﹣314+23﹣37）×（﹣42） =16×（﹣42）﹣314×（﹣42）+23×（﹣42）﹣37×（﹣42） =﹣7+9﹣28+18=﹣8 ∴（﹣142）÷（16﹣314+23﹣37）=﹣18题模三：裂项求和例1.3.1 已知220ab a -+-=，求()()()()()()1111112220132013ab a b a b a b ++++++++++的值．【答案】 20142015【解析】 由220ab a -+-=知，2a =，1b =． 原式11111111111201411223342014201522334201420152015=++++=-+-+-++-=⨯⨯⨯⨯ 例1.3.2 计算：15791113151261220304256-+-+-+ 【答案】 98 【解析】 15791113151261220304256-+-+-+ 1223344556677812233445566778+++++++=-+-+-+⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 111111111111112233445566778⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++-+++-+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 111111111111112233445566778=+--++--++--++ 118=+ 98=． 题模四：换元法例1.4.1 计算：11111111111111232012232011232012232011⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++++-+++++++ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【答案】 12012【解析】 设111232012a =+++，111232011b =+++．则原式()()1112012a b b a a ab b ab a b =+-+=+--=-=．随练1.1 计算：()()()32419151515171717-⨯+-⨯--⨯ 【答案】 15-【解析】 提取公因数．()()()32419324191515151515171717171717⎛⎫-⨯+-⨯--⨯=-⨯+-=- ⎪⎝⎭． 随练1.2 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 【解析】 该题考查的是实数的混合运算． 3571491236⎛⎫--+÷ ⎪⎝⎭ 357364912⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭()395473=-⨯-⨯+⨯272021=--+26=-随练1.3 计算：1517()(36)126369-+--⨯- 【答案】 2【解析】 该题考查的是有理数的综合运算．原式()()()()151736363636126369=-⨯-+⨯--⨯--⨯- 330128=-++=2随练1.4 计算：()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 【答案】 91216- 【解析】 ()()999812512412161616⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()91285416⎛⎫=-⨯---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ 912116⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭ 91216=-．随练1.5 阅读材料：计算：12112()()3031065-÷-+- 解法1：原式＝1211215111()()()()()3303610530623010⎡⎤-÷++--=-÷-=-⨯=-⎢⎥⎣⎦； 解法2：原式的倒数为：()21121211230310653031065⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-÷-=-+-⨯- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭20351210=-+-+=-， 故原式＝110-。

第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++ .3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321 ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321- 的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321- 是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x 的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x 的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++ ，求333333028642+++++ 的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯ 计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+- 的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。

第一讲 有理数的巧算【讲义解析】1、有理数的运算时初中代数中最基本的运算，在运算过程中，根据题目的结构特点灵活采用算法和技巧，不仅可以简化运算，提高解题速度，而且可以养成勤于动脑，善于观察到良好习惯.2、有理数的相关概念和性质法则：⑴有理数的运算法则 ⑵有理数的运算律及其性质3、常用运算技巧⑴巧用运算律； ⑵凑整法； ⑶拆项法（裂项相消）； ⑷分组相约法； ⑸倒序相加法； ⑹错位相减法； ⑺换元法； ⑻观察探究、归纳法.【专题精讲】【例1】计算：32333333251233()0.750.5()1()4()44372544-⨯+⨯-+⨯⨯+÷-.【练习】计算：（1）999998998999998999999998⨯-⨯；（2）121121(111315)()()(111315)111315111315⨯⨯⨯-++-+÷⨯⨯；（3）2123246...23()15721014...57n n n n n n⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅⨯⨯+⨯⨯++⋅⋅.【例2】计算：（1）123456789101112...2013201420152016.--++--++--+++--+（2）12713923(0.125)(1)(8)()35-⨯-⨯-⨯-.【练习】计算：（1）12345678910...2017+--++--++-+；（2）201510012016100015(0.75)( 1.2)(1)()36-⨯-⨯-⨯-.【例3】计算：（1）11111++++...+2612209900； （2）11111 (4287013010300)+++++.【练习】计算：（1）4812164000...1335577919992001-+-+-⨯⨯⨯⨯⨯；（2）1111+++...+135357579301303305⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯；（3）111320152+...+1111111(1)(1+(1)(1+(1+223232015++++））...）.【反思】一般地，多个分数相加减，如果分子相同，分母是两个整数的积，且每个分母中因数差相同，可用裂项相消法求值.【常见裂项公式】① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()(1)(1)211n n n n =--+-+； ③ 1111()()n n d d n n d =-++； ④ 1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =-+++++. 【例4】计算：20151111+++...+2482 .【练习】2320151+2+2+2+ (2)+【例5】计算： 1121231232015+()()...(...)2334442016201620162016++++++++++.【练习】159...7997++++.【反思】一般地，等差数列求和，可用倒序相加法.【例6】计算：2320151111+++ (3333)【练习】2320151111+++...+5555.【反思】一般地，等比数列求和，可用错位相减法.【例7】计算：11111111111111(1...)(...)(1...)(...)23201523420162320162342015++++++++-++++++++【练习】（1）1111111111(...)(1...)(1...)( (2320002199922000231999)+++++-++++++；（2）11191008551(152627)(315355)1733201517332015+-÷+-= .【例8】请你归纳出3333123...n ++++的公式，并计算3333123...200++++的值.【练习】计算：（1）1111(1)(1)(1)...(1)2016201520141000---⋅⋅-；（2）1111(1)(1)(1)...(1)13243520152017+++⋅⋅+⨯⨯⨯⨯；（3）1111...1+21+2+31+2+3+ (100)+++.。

专题1.1 绝对值贯穿有理数经典题型（八大题型）【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】 【题型2 根据绝对值的非负性求值】 【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】 【题型4 根据绝对值的定义判断正误】 【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】 【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】 【题型8 绝对值中最值问题】【题型1 利用绝对值的性质化简或求值】【典例1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点的位置如图所示．（1）在数轴上表示﹣c ，|b |．（2）试把﹣c ，b ，0，a ，|b |这五个数从小到大用“＜”连接起来； （3）化简|a +b |﹣|a ﹣c |﹣2|b +c |．【变式1-1】有理数a ，b ，c 在数轴上对应的点如图所示，化简|b +a |+|a +c |+|c ﹣b |的结果是（ ）A ．2b ﹣2cB ．2c ﹣2bC ．2bD ．﹣2c【变式1-2】a 、b 、c 三个数在数轴上位置如图所示，且|a |＝|b |（1）求出a、b、c各数的绝对值；（2）比较a，﹣a、﹣c的大小；（3）化简|a+b|+|a﹣b|+|a+c|+|b﹣c|．【题型2 根据绝对值的非负性求值】【典例2】已知|a−|+|b+|+|c+|＝0，求a﹣|b|+（﹣c）的值．【变式2-1】已知实数a，b满足|a|＝b，|ab|+ab＝0，化简|a|+|﹣2b|+3a．【变式2-3】若|x﹣2|+2|y+3|+3|z﹣5|＝0．计算：（1）x，y，z的值．（2）求|x|+|y|﹣|z|的值．【变式2-4】已知m，n满足|m﹣2|+|n﹣3|＝0，求2m+n的值．【变式2-5】已知|a﹣3|与|2b﹣4|互为相反数．（1）求a与b的值；（2）若|x|＝2a+4b，求x的相反数．【变式2-6】若|a+2|+|b﹣5|＝0，求的值．【变式2-7】若a、b都是有理数，且|ab﹣2|+|a﹣1|＝0，求++ +……+的值．【题型3 根据参数的取值范围化简绝对值】【典例3】已知1＜a＜4，则|4﹣a|+|1﹣a|的化简结果为（）A．5﹣2a B．﹣3C．2a﹣5D．3【变式3-1】已知1＜x＜2，则|x﹣3|+|1﹣x|等于（）A．﹣2x B．2C．2x D．﹣2【变式3-2】若1＜x＜2，则化简|x+1|﹣|x﹣2|的结果为（）A．3B．﹣3C．2x﹣1D．1﹣2x【变式3-3】已知有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简|b+1|﹣|b﹣a|的结果为（）A．a﹣2b﹣1B．a+1C．﹣a﹣1D．﹣a+2b+1【变式3-4】若a＜0，则化简|3﹣a|+|2a﹣1|的结果为．【题型4 根据绝对值的定义判断正误】、【典例4】在实数a，b，c中，若a+b＝0，b﹣c＞c﹣a＞0，则下列结论：①|a|＞|b |，②a ＞0，③b ＜0，④c ＜0，正确的个数有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【变式4-1】将符号语言“|a |＝a （a ≥0）”转化为文字表达，正确的是（ ） A ．一个数的绝对值等于它本身 B ．负数的绝对值等于它的相反数C ．非负数的绝对值等于它本身D ．0的绝对值等于0【变式4-2】已知a 、b 、c 的大致位置如图所示：化简|a +c |﹣|a +b |的结果是（ ）A ．2a +b +cB ．b ﹣cC ．c ﹣bD ．2a ﹣b ﹣c【变式4-3】下列说法中正确的是（ ） A ．两个负数中，绝对值大的数就大 B ．两个数中，绝对值较小的数就小 C ．0没有绝对值D ．绝对值相等的两个数不一定相等【题型5 根据绝对值的意义求取值范围】【典例5】若|5﹣x |＝x ﹣5，则x 的取值范围为（ ） A ．x ＞5B ．x ≥5C ．x ＜5D ．x ≤5【变式5-1】已知|a |＝﹣a ，则化简|a ﹣1|﹣|a ﹣2|所得的结果是（ ） A ．﹣1B ．1C ．2a ﹣3D ．3﹣2a【变式5-2】若|1﹣a |＝a ﹣1，则a 的取值范围是（ ） A ．a ＞1B ．a ≥1C ．a ＜1D ．a ≤1【变式5-3】若不等式|x ﹣2|+|x +3|+|x ﹣1|+|x +1|≥a 对一切数x 都成立，则a 的取值范围是 ．【题型6 绝对值中分类讨论aa问题】 【典例6】计算：（abc ≠0）＝ ．【变式6-1】若n＝，abc＞0，则n的值为．【变式6-2】已知abc＞0，则式子：＝（）A．3B．﹣3或1C．﹣1或3D．1【变式6-3】已知a，b为有理数，ab≠0，且．当a，b取不同的值时，M的值等于（）A．±5B．0或±1C．0或±5D．±1或±5【变式6-4】已知：，且abc＞0，a+b+c＝0．则m 共有x个不同的值，若在这些不同的m值中，最大的值为y，则x+y＝（）A．4B．3C．2D．1【变式6-5】已知a、b、c均为不等于0的有理数，则的值为．【变式6-7】已知a，b，c都不等于零，且++﹣的最大值是m，最小值为n，求的值．【变式6-8】在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答题目后提出的“探究”【提出问题】三个有理数a、b、c满足abc＞0，求++的值．【解决问题】解：由题意得：a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数．①当a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则：++＝++＝1+1+1＝3；②当a，b，c有一个为正数，另两个为负数时，设a＞0，b＜0，c＜0，则：++＝++＝1﹣1﹣1＝﹣1所以：++的值为3或﹣1．【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题：（1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求++的值；（2）已知|a|＝3，|b|＝1，且a＜b，求a+b的值．【变式6-9】阅读下列材料完成相关问题：已知a，b、c是有理数（1）当ab＞0，a+b＜0时，求的值；（2）当abc≠0时，求的值；（3）当a+b+c＝0，abc＜0，的值．【题型7 绝对值中的分类讨论之多绝对值问题】【典例7】（2022•河北模拟）（1）数轴上两点表示的有理数是a、b，求这两点之间的距离；（2）是否存在有理数x，使|x+1|+|x﹣3|＝x？（3）是否存在整数x，使|x﹣4|+|x﹣3|+|x+3|+|x+4|＝14？如果存在，求出所有的整数x；如果不存在，说明理由．【变式7-1】（2022春•宝山区校级月考）已知|a﹣1|+|a﹣4|＝3，则a的取值范围为．【变式7-2】（2022秋•玉门市期末）在数轴上有四个互不相等的有理数a、b、c、d，若|a﹣b|+|b﹣c|＝c﹣a，设d在a、c之间，则|a﹣d|+|d﹣c|+|c﹣b|﹣|a﹣c|＝（）A．d﹣b B．c﹣b C．d﹣c D．d﹣a【题型8绝对值中最值问题】【典例8】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示3和2的两点之间的距离是；表示﹣2和1两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝2，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝4，|b+2|＝3，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣3与5之间，则|a+3|+|a﹣5|＝．（5）当a＝1时，|a﹣1|+|a+5|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-1】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．如果表示数a和﹣1的两点之间的距离是3，那么a＝．（2）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|的值为；（3）利用数轴找出所有符合条件的整数点x，使得|x+2|+|x﹣5|＝7，这些点表示的数的和是．（4）当a＝时，|a+3|+|a﹣1|+|a﹣4|的值最小，最小值是．【变式8-2】结合数轴与绝对值的知识回答下列问题：（1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是；表示﹣3和2两点之间的距离是；一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且数a、b在数轴上表示的数分别是点A、点B，则A、B两点间的最大距离是，最小距离是．（4）若数轴上表示数a的点位于﹣4与2之间，则|a+4|+|a﹣2|＝．【变式8-3】阅读下面材料并解决有关问题：我们知道：|x|＝．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分别求得x ＝﹣1，x＝2（称﹣1，2分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实数范围内，零点值x＝﹣1和，x＝2可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下3种情况：①当x＜﹣1时，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②当﹣1≤x＜2时，原式＝x+1﹣（x﹣2）＝3；③当x≥2时，原式＝x+1+x﹣2＝2x﹣1．综上讨论，原式＝．通过以上阅读，请你解决以下问题：（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．。

第一讲 有理数（1）一、知识提要1、 整数和分数统称为有理数。

2、 有理数还可以这样定义：形如mp（其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。

这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。

3、 有理数的数系表：正整数 正整数 整数 零 正有理数负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数分数 负分数负有限小数负分数负无限循环小数 4、 有理数可以用数轴上的点表示。

5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。

6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。

如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。

7、 有理数的运算法则： （1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。

（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。

（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++； 乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯； 乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。

②如果a < b , 那么b > a 。

③如果a < b , b < c , 那么 a < c ④如果a = b , b = c , 那么 a = c ⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。

第一讲绝对值一. 学习目标理解绝对值的含义，会做绝对值的相关题型。

二. 重点、难点重点：深刻绝对值的意义，会比较有理数的大小.难点：有理数绝对值意义的理解和运用.三. 知识要点1、绝对值的几何意义：在数轴上表示一个数的点离开原点的距离叫这个数的绝对值．2、绝对值运算法则：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．即：3、绝对值性质：任何一个实数的绝对值是非负数．四、典型例题（一）去绝对值符号例1. （1）a＞0时，|2a|=________；当a＞1时，|a-1|=________；（2），则；|1-x |=1，则x=_______．练习：（1）若|x-1| =0，则x=____；，则．（2）如果，则，．例2、有理数、、在数轴上的位置如图, （1）判断正负,用“>”或“<”填空—＿＿0, —＿＿0, +＿＿0（2）化简:.练习：1、数、、c 在数轴上的位置如图所示，则| c 一|―|一|=_________；2、已知a 、b 、c 在数轴上位置如图：则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b（二）绝对值非负性：任何一个实数的绝对值是非负数． 例3 、1、 += 0, 求2-+y x 的值。

2、已知|x|＝4，|y|＝2，求x ＋y ，y x -的值.练习： 1、已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，求a 、b 的值．2、│a －2│+│b －3│+│c －4│=0,则a+2b+3c=3、已知│x │=2003，│y │=2002,且x ＞0，y ＜0，求x+y 的值。

（三）绝对值的几何意义从数轴上看，a 表示数a 的点到原点的距离(长度，非负)；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离．例4、观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2-， 3与5， 2-与6-， 4-与3.并回答下列各题：（1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离可以表示为 ；练习： x 与-2之间的距离表示为： ； X 与3之间的距离表示为： ； a 与b 之间的距离表示为： ；（3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 __ .分析：2-x 即x 与2的差的绝对值，它可以表示数轴上x 与2之间的距离。

第一讲 绝对值、有理数的巧算专题一、知识梳理1.非负数一个数的绝对值是非负数，一个数的平方（四次方，六次方等偶次方）都是非负数. 即，0≥a ，02≥a ，为正整数）（其中n a n 02≥2.裂项常用到的关系式（1）ba ab b a 11+=+； （2）111)1(1+-=+a a a a ； （3）b a a b a a b +-=+11)(； （4）2)1(321n n n ⨯+=++++Λ.3.绝对值表示距离的应用n n a x a x a x a x a x a x -+-++-+-+-+--14321Λ：表示求数x 分别到数 n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ的距离和（其中n n a a a a a a 、、、、、、14321-Λ是数轴 上依次排列的点表示的有理数）.（1）当n 为偶数时，若122+≤≤n n a x a ，则原式有最小值；（2）当n 为奇数时，若21+=n a x ，则原式有最小值.4.乘方中的计算公式（1）n n n b a b a ⨯=⨯)(； （2）⎪⎩⎪⎨⎧-=-为偶数时当，为奇数时当，n a n a a n n n)( 二、典例剖析专题一：一个数的绝对值与其本身的关系的应用——aa 例题1 用a 、b 、c 表示任意三个非零的有理数，求cc b b a a ++的值.【活学活用】1.设0<a ,且x ≤a a,则=--+21x x .2.若0≠ab ，则bb a a+的取值不可能是（ ） A.0 B.1 C.2 D.-23.用a 、b 表示任意两个有理数，若0≠ab ，则abab b b a a ++的取值可能是（ ） A. 0 B.1 C.3或1 D.3或-1★4．三个有理a 、b 、c 满足0,0>++<c b a abc ,当x=c cb ba a++时，代数式29219+-x x 的值为 .5.已知1-=++c c b b a a ，试求abc abc ca ca bc bc ab ab +++的值.6.已知：a 、b 、c 都不为0，且abcabc c c b b a a +++的最大值为m ，最小值为n ，则 2004)(n m += .7.已知0≠abc ，且M=abc abcc cb ba a+++，当a 、b 、c 取不同的值时，M 有（ ）A ．惟一确定的值B ．3种不同的取值C ．4种不同的取值D ．8种不同的取值专题二：绝对值的非负性——0≥a引例 若2)1(-a 与2+b 互为相反数，则2010)(b a += .例题2 若,,a b c 为整数，且19191a bc a -+-=，试计算c a a b b c -+-+-的值.【活学活用】1.已知：1,,____a b a b a b +=-=且为整数，则.2.如果02)31(2=-++y x ，则y x = .3.若1+=m m ，则=+2010)14(m .★4.如果,2-<x 那么x +-11等于（ ）A.x --2B.x +2C.xD.x -★5.若x ＜2,则|x －2|+ |2+x|=_____________★6.已知a 、b 、c 都是负数，且0=-+-+-c z b y a x ，则xyz 是（ ）A.负数B.非负数C.正数D.非正数★7.如果2-x ＋x －2＝0，那么x 的取值范围是（ ）A.x ＞2B.x ＜2C.x ≥ 2D.x ≤28.已知0)3(254=++-y x ，求2010)2(y x +的值.9.计算：若2)2(-a 与88|b - 1|2003 互为相反数，则a-b a+b的值为？★10..已知55)(2+=+++b b b a ，且012=--b a ，求ab 的值.专题三：绝对值表示距离的应用解决数轴上两点之间的距离问题（数形结合的解题思想）若数轴上点A 对应的数是a ，点B 对应的数是b ，则A 、B 两点之间的距离为数a 、b 的 差的绝对值，即b a AB -=.例题3 如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为n m 、，则A 、B 间的距离是 .（用含n m 、的式子表示）【活学活用】有理数c b a 、、在数轴上的位置如图所示.m 0 nB A试化简：a b a c b c c +--++-.例题4 绝对值表距离的应用（1）51-+-x x 的最小值是 . （2）32-++x x 的最小值是 .（3）421-+-++x x x 的最小值是 .（4）试求7654321-+-+-+-+-+-+-x x x x x x x 的最小值.（5）试求2010321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.（6）试求2011321-++-+-+-x x x x Λ的最小值.【活学活用】(★)若x 为有理数，则173++++-x x x 的最小值为_____________.专题四：乘方中的计算公式——nn n b a b a ⨯=⨯)(c b 0 a例题5 已知14400151432133333=+++++Λ，求333333028642+++++Λ的 值.专题五：整数的分解例题6 若d c b a 、、、是互不相等的整数（d c b a <<<），且121=⨯⨯⨯d c b a ，求 d c b a +的值.【活学活用】若d c b a 、、、是互不相等的正整数，且441=⨯⨯⨯d c b a ，求d c b a +++的值.专题六：有理数运算的技巧——裂项、凑整、换元例题7 已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的 值.【活学活用】1.已知|321(2)0x y -+-=，求111(1)(1)(2008)(2008)xy x y x y +++++++……的值.2.201220091141111181851521⨯++⨯+⨯+⨯+⨯Λ计算.3.计算1111131517192153042567290110-+-+-+例题8 计算：1＋211+＋3211++＋…＋100993211+++++Λ例题9 计算8989889988999889999833333++++【活学活用】1.计算2005×0.5-2006×2.5-2007÷12.5．2.计算89-899+8999-89999+…+89999999得（ ）A.-818181810B.-81818189C.81818189D.818181810三、家庭作业★1.已知ab 2c 3d 4e 5<0,下列判断正确的是 （ ）A ．abcde<0 B.ab 2cd 4e<0 C.ab 2cde<0 D.abcd 4e<02.（-2）2004+3×（-2）2003的值为（ ）A.-22003B.22003C.-22004D.22004 3．已知，则当1=a 时，=2A __________，当1-=a 时， A=_______.4.若一个数的绝对值是8，另一个数的绝对值是4，这两个数的乘积为负数，则这两个数 中，大数除以小数的商是 .5.（2008佛山）若20072008a =，20082009b =，则a ，b 的大小关系是a b .6.计算：2010120071200712008120081200912009120101---+-+-.7.11(23++…11)(120102+⨯++…11)(120092+-++…111)(201023+⨯++…1).2009+8.求)2009120101()2008120091()4151()3141()2131()121(-+-++-+-+-+-Λ的 值.9.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求c xy b a 312-++的值.10.已知a 、b 、m 、n 、x 是有理数，且a 、b 互为相反数，m 、n 互为倒数，x 的绝 对值等于3.求201020092)()()(mn b a mn b a x -+++++-的值.11.有理数综合运算 020********)1()2(}375.0)161(]212)75.0(81[2)2(3{)21(2）（-+-⨯----÷+--⨯--⨯-----π。

绝对值问题的解题策略与方法策略一去掉绝对值符号根据绝对值的基本性质去掉绝对值符号，是解决绝对值问题的常用策略方法.例1三个有理数。

、b、c的积是负数，它们的和是正数，且工=回+叫+ M时，求a b c代数式-x2016 + 2x + 2016的值.分析由三个有理数。

、b.。

的积是负数，它们的和是正数，确定出负因数的个数,\b\ c然后可以把尤=口 + 口 + 一中的绝对值去掉，求出尤，再代入代数式求值.a b c解T a、b、c的积是负数，它们的和是正数，「・。

、b、。

必是一负两正.不妨设ovO, Z?>0, c>0 ,rll -a h c t则尤=——+ —+ —= 1, a b c..・原式=一12°】6+ 2 + 2016 = 2017.例2关于工的方程尸_4|』+ 5 =，〃有四个全不等的实根，求实数机取值范围.分析先分两种情况：工20和x<0去掉绝对值，再把方程左、右两边分别看作函数且作出图象，观察图象求解.解设y = /_4尤+5,则(1)当X 2 0 时，y = x2 -4x + 5;(2)当x v()时，y = r +4尤 + 5.作出〃=尤2一4工+5图象，如图1图1要使尤2 -4x+5 = m有四个全不相等的实根，需使函数Y >的图象与直线y - m有四个不同的交点，由图象，可知1 <m<5.策略二添加绝对值符号利用后=叫2,把关于。

的问题转化关于为的问题，可以达到出奇制胜的效果.例3 解方S:X2-3|X|-10=0.分析此题可以分尤20和尤vO两种情况，先去掉绝对值再解方程.若把原方程中的F项的工添加绝对值符号，把原方程转化为关于|尤|的方程来解，则更简捷.解方程可化为”一3工一10 = 0则(|x|-5)(|x| + 2) = 0,乂 = 5 ,或国=一2（舍去）,二工］=5 , X2=—5.例4关于x的方程%2 - 2 x + 2 = zn有三个实根，求m的值.解方程化为:旧_2同+ 2 =初,且设它的两个根为时,原方程有三个实根，则孔，工，中必有一个大于0, —个等于0, 1 乙把同=0代入原方程，得m = 2.当〃2 = 2 时，x2—2 x = 0 ,工=0, x = 2>0..・.工|=0,易=2，工3=一2，方程有三个实根，..・，〃 =2即为所求.策略三运用绝对值的几何意义a\是数轴上表示数。

第一讲 有理数（1）一、知识提要1、 整数和分数统称为有理数。

2、 有理数还可以这样定义： 形如mp （其中m 、p 均为整数，且m ≠0）的数是有理数。

这种表达形式常被用来证明或判断某个数是不是有理数。

3、 有理数的数系表：正整数 正整数 整数 零 正有理数负整数 正分数 有理数 正有限小数 或 有理数 零正分数 负整数 正无限循环小数 负有理数分数 负分数负有限小数负分数负无限循环小数4、 有理数可以用数轴上的点表示。

5、 零是正数和负数的分界点；零不是正数也不是负数。

6、 如果两个数的和为0，则称这两个数互为相反数。

如果两个数的积为1，则称这两个数互为倒数。

7、 有理数的运算法则：（1）、加法：两数相加，同号的取原来的符号，并把绝对值相加；异号的取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，绝对值相等时，和为0；一个数与0相加，仍得这个数。

（2）、减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）、乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；一个数与0相乘， 积为0. 乘方：求n 个相同因数a 的积的运算称为乘方，记为na 。

（4）、除法：除以一个数等于乘以这个数的倒数。

8、有理数的运算律：加法交换律：a b b a +=+；加法结合律：)()(c b a c b a ++=++；乘法交换律：c b b a ⨯=⨯；乘法结合律：)()(c b a c b a ⨯⨯=⨯⨯；乘法分配律：c b c a c b a ⨯+⨯=⨯+)(；9、有理数具有以下性质①对于任意两个有理数a , b ,在a < b , a = b ,a > b 三种关系中，有且只有一种成立。

②如果a < b , 那么b > a 。

③如果a < b , b < c , 那么 a < c④如果a = b , b = c , 那么 a = c⑤如果a = b , 那么 b = a⑥任意一对有理数，对应的和、差、积、商（除数不为零）仍是有理数。

有理数混合运算的绝对值应用技巧混合运算是数学中常见的问题类型之一，也是在实际生活中经常会遇到的情况。

而有理数混合运算则是在混合运算中常常涉及到的一种情况，它需要我们运用一些技巧和方法来解决。

本文将介绍有理数混合运算中的一个重要技巧——绝对值的应用。

一、绝对值的定义在讲解绝对值应用技巧之前，我们先来回顾一下绝对值的定义。

对于一个实数a，其绝对值记作|a|，定义如下：当a≥0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a。

二、绝对值应用技巧1. 确定绝对值部分在进行有理数混合运算时，首先需要确定哪些部分需要求绝对值。

通常来说，对于涉及到负数的计算，我们会选择将负数部分进行绝对值运算。

例如，计算-3+5+|-7|时，我们需要先将-7的绝对值计算出来再进行运算，即|-7|=7。

这样，原来的运算式就变为了-3+5+7。

2. 注意正负号在有理数混合运算中，要特别注意正负号的运用。

当运算式中同时存在正数和负数时，需要根据正负号的不同来进行相应的运算。

例如，计算-2+3-5时，我们可以将其改写为3+(-2)+(-5)。

这样，我们就可以按照正数相加、负数相减的原则进行运算，即3+(-2)+(-5)=3-2-5=-4。

3. 利用绝对值与正负号的关系绝对值与正负号之间存在着一定的关系，我们可以根据这个关系来进行运算简化。

例如，计算|-3|+|-5|，我们可以利用绝对值的定义来进行计算。

|-3|=3，|-5|=5，所以|-3|+|-5|=3+5=8。

4. 应用技巧在实际的混合运算中，我们还可以应用一些技巧来简化计算。

例如，计算|-9|+3-|4|+5，我们可以先利用绝对值的定义来计算出各个绝对值的值，即|-9|=9，|4|=4，然后将其代入原来的运算式中，得到9+3-4+5。

接下来，我们可以按照顺序进行相加减的计算，即9+3-4+5=17。

通过以上的讲解，我们了解了有理数混合运算中绝对值的应用技巧。

在实际解题中，我们需要根据具体的题目要求和情况来确定是否需要运用绝对值，以及如何运用绝对值来简化计算。

专题01绝对值化简的四种考法
【知识点精讲】
1.绝对值的意义
绝对值：数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做a 的绝对值，记作a 2.绝对值的性质
绝对值表示的是点到原点的距离，故有非负性a
≥0，即：,00,0
,0a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
互为相反数的两个数绝对值相等3.绝对值与数的大小1）正数大于0，0大于负数。

2）理解：绝对值是指距离原点的距离
所以：两个负数，绝对值大的反而小；两个正数，绝对值大的大。

类型一、利用数轴化简绝对值
【答案】22b c
+
(1)用“＜”连接：a ,a -,b ,b -,c ,c -；a b c c b a ∴<<-<<-<-；
(1)填空：A ，B 之间的距离为______，B ，(2)化简：22a b c b c a +--+-．
利用数形结合思想回答下列问题：(1)数轴上表示2和6两点之间的距离是
【答案】4b
(1)在如图所示的数轴上将a ，b ，c 三个数表示出来；
（2）解：根据数轴位置关系，可得：0a >、0b c +<、
(1)a=______；c=______；
(2)若将数轴折叠，使得A点与B点重合，则点C与数
(3)若点P为数轴上一动点，其对应的数为x，当代数式
【点睛】本题主要考查了非负性的性质，绝对值的几何意义，数轴上两点的距离，用数轴表示有理数等等，熟知相关知识是解题的关键．。