变化率与导数

导数与函数的变化率关系解析与归纳在微积分中，导数是一个重要的概念，它描述了函数在某一点处的变化率。

函数的变化率是指函数的输出值随着输入值变化而变化的快慢程度。

导数不仅对于研究函数的性质和特征有着重要的作用，还在物理学、经济学等多个领域中具有广泛的应用。

本文将解析导数与函数的变化率之间的关系，并对导数的性质进行归纳和总结。

1. 导数的定义在数学中，函数f(x)在x点处的导数可以通过极限的概念定义为：f'(x) = lim (h->0) [f(x+h) - f(x)] / h其中，f'(x)表示函数f(x)在点x处的导数，h表示自变量的增量。

导数可以理解为函数在该点附近的平均变化率。

2. 变化率与导数的关系函数的变化率与导数密切相关。

导数可以用来描述函数在某一点的瞬时变化率，即函数在该点处的瞬时变化速度。

具体来说，如果函数在某点的导数为正，说明函数在该点处递增；如果函数的导数为负，说明函数在该点处递减；如果函数的导数为零，说明函数在该点处取得极值。

3. 导数与函数的性质导数具有许多重要的性质，这些性质对于研究函数的变化率和特征非常有用。

以下是几个常见的导数性质：- 导数的可导性：几乎所有常见的函数都具有导数。

只有在某些特殊的情况下，函数可能不可导。

例如，函数在某一点处的导数不存在，当且仅当该点存在间断、角点或垂直切线。

- 导数的线性性质：导数具有线性运算的性质。

即，对于任意常数a 和b，以及函数f(x)和g(x)，有以下成立：- [af(x) + bg(x)]' = af'(x) + bg'(x)- 导函数的乘积法则：对于两个函数f(x)和g(x)，其乘积的导数可以通过以下公式计算：- [f(x) * g(x)]' = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)- 链式法则：对于复合函数，可以使用链式法则计算导数。

链式法则是导数运算中的一种基本规则。

函数的导数与变化率函数的导数是微积分中的基础概念之一，它描述了函数在某一点上的变化率。

在实际问题中，我们经常需要了解一个函数在某一点的变化情况，以便更好地理解问题的本质和解决方法。

本文将详细介绍函数的导数的概念、性质以及在实际应用中的意义和计算方法。

一、导数的概念函数的导数是函数变化率的度量，表示了函数在某一点上的变化速度。

形式上，设函数y=f(x)，若该函数在点x处的导数存在，则导数被定义为：f'(x)=lim(h→0)[f(x+h)-f(x)]/h其中，f'(x)表示函数在点x处的导数，h表示自变量x的变化量。

导数的定义是一个极限的概念，表示了自变量逐渐接近某一点时，函数变化的趋势。

二、导数的性质1. 导数的存在性函数在某一点上的导数存在的充分条件是函数在该点附近连续，并且左右导数相等。

2. 导数与函数图像的关系函数的导数可以反映函数图像的一些特征，比如导数正值表示函数在该点上升，导数负值表示函数在该点下降，导数等于零表示函数在该点取得极值。

3. 导数的计算法则导数具有一组计算法则，可以用于计算各种复杂函数的导数。

常见的导数运算法则包括常数法则、幂法则、和差法则、乘积法则和商数法则等。

三、变化率与导数的关系函数的导数即为函数在某一点上的变化率。

当自变量的变化量很小时，导数可以近似地表示函数的变化率。

函数的变化率可以分为平均变化率和瞬时变化率两种。

平均变化率是指函数在两个点之间的变化率，可以通过函数的增量和自变量的增量来计算。

瞬时变化率是指函数在某一点上的瞬时变化率，可以通过函数的导数来求得。

四、导数在实际应用中的意义导数在实际问题中有着广泛的应用。

以物理学为例，速度即为位移对时间的导数，加速度即为速度对时间的导数。

在经济学中，边际成本和边际收益也可以通过导数来计算和分析。

导数还可以用于优化问题、曲线拟合和图像处理等领域。

五、导数的计算方法为了计算导数，我们可以利用导数的定义进行计算，也可以利用导数的运算法则简化计算过程。

变化率与导数
变化率与导数是微积分中的重要概念，它们能够帮助我们准确地表达和计算特定函数在特定点的斜率。

变化率可以定义为一个函数在某一点的变化量与该点前后变化量之比。

其定义式如下:
变化率 = 变化量/原始量
其中，变化量就是位于某一点处曲线上的一段段区域的变化量，而原始量则是位于曲线前后的一段段区域的变化量。

变化率的单位一般用“%”或者“1/X”表示，其中X 代表原始量。

变化率是一个值，用来估计特定函数在特定点处的变化情况。

当我们想要更加精确地表达函数变化情况时，就需要使用导数。

导数是变量x的函数y在x处的一阶微分，也就是某一点处函数的斜率。

它可以用下面的公式来表示:
dy/dx=f'(x)
其中，f'(x) 是函数y关于x的导数，它可以表示函数y在x处的斜率，也就是函数y在x处的变化速率。

因此，导数有助于我们更精确地表达函数的变化情况，它可以表示函数在特定点处的变化速度。

总之，变化率与导数都是微积分中重要的概念，它们都是用来表示函数在特定点处的变化情况。

变化率用来表
示函数在特定点处的变化量与原始量之比，而导数则是根据函数的一阶微分来表示函数在特定点处的斜率，从而表示函数在特定点处的变化速率。

变化率与导数导数的计算一、变化率与导数的关系在数学中，变化率是指一个量相对于另一个量的变化程度，常用来衡量两个变量之间的关系。

而导数则是描述函数在其中一点上的变化率的概念。

在一个数学函数中，比如说y=f(x)，x和y分别代表自变量和因变量。

那么，当x发生微小变化Δx时，对应的y值也会发生一定的变化Δy。

这时，我们可以计算出y随着x的变化而变化的速率，也就是变化率。

变化率可以通过求平均变化率和瞬时变化率来进行计算。

平均变化率指的是通过两个点之间的变化率来计算，可以用Δy/Δx来表示。

而瞬时变化率则是在其中一点上的变化率，通过取Δx趋近于0时的极限来计算，也就是导数。

二、导数的定义与计算导数是用来衡量函数在其中一点上的变化率的数值，用dy/dx来表示。

导数的定义是：f'(x) = lim(Δx→0) (f(x+Δx) - f(x))/Δx导数表示函数f(x)在x点处的瞬时变化率。

导数可以用各种方法进行计算，其中最常用的方法包括求导法则和导数的性质。

1.求导法则（1）常数法则：如果c是一个常数，那么d(c)/dx = 0。

（2）幂法则：如果f(x) = x^n，那么d(f(x))/dx = nx^(n-1)。

（3）和差法则：如果f(x)=u(x) ± v(x)，那么d(f(x))/dx =d(u(x))/dx ± d(v(x))/dx。

（4）乘法法则：如果f(x) = u(x)v(x)，那么d(f(x))/dx =u(x)d(v(x))/dx + v(x)d(u(x))/dx。

（5）除法法则：如果f(x) = u(x)/v(x)，那么d(f(x))/dx =(v(x)d(u(x))/dx - u(x)d(v(x))/dx)/v(x)^2（6）复合函数法则：如果f(x) = g(u(x))，那么d(f(x))/dx =g'(u(x))d(u(x))/dx。

2.导数的性质（1）导数的和差性：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

函数的导数与变化率函数的导数是微积分中重要的概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

在本文中，我们将探讨函数的导数与变化率之间的关系以及它们在实际问题中的应用。

一、导数的概念与运算法则导数的定义是函数在某一点的斜率，表示函数在该点处的变化率。

对于给定的函数f(x)，它的导数可以表示为f'(x)或df(x)/dx。

导数的运算法则包括加减法则、乘法法则、除法法则和链式法则等，这些法则可以方便地求出复杂函数的导数。

二、导数与函数的单调性导数还与函数的单调性密切相关。

当导数大于零时，函数是递增的；当导数小于零时，函数是递减的。

利用导数可以确定函数的单调区间和极值点。

三、导数与函数的凹凸性函数的导数还能帮助判断函数的凹凸性。

当导数递增时，函数在该区间上是凹的；当导数递减时，函数在该区间上是凸的。

通过分析导数的变化情况，可以确定函数的拐点以及凹凸区间。

四、变化率与导数的关系导数不仅仅表示函数在某一点的变化率，还可以表示函数在整个定义域上的变化趋势。

具体来说，导数的绝对值越大，函数的变化越剧烈；导数为零时，函数处于极值点；导数的正负表示函数递增和递减的情况。

五、导数在实际问题中的应用函数的导数在物理、经济等实际问题中有广泛应用。

例如，求导可以帮助我们找到函数的最大值和最小值，从而优化生产过程或寻求最优解。

导数还可以用来描述物理量的变化速率，例如速度和加速度。

六、结论函数的导数与变化率密切相关，它不仅仅是微积分中的一个概念，还是其它学科中应用最广泛的工具之一。

通过对函数的导数的分析，我们可以研究函数的单调性、凹凸性以及变化趋势，并将其应用于实际问题中。

掌握导数的概念与运算法则，能够帮助我们更好地理解函数的性质和变化规律。

通过本文的介绍，我们希望读者能够对函数的导数与变化率有更深入的理解，并在实际问题中灵活应用这一概念，以提升问题的解决能力和分析能力。

对于想深入学习微积分和应用数学的读者来说，掌握函数的导数是一个重要的里程碑。

导数与函数的变化率函数是数学中的重要概念，在解决实际问题中经常用到。

而了解函数的变化率对于我们理解函数的性质、以及进一步研究函数的应用具有重要意义。

在这篇文章中，我们将探讨导数与函数的变化率之间的联系，并且阐述导数与函数变化率的定义与计算方法。

一、导数的定义与计算方法导数可以看作是函数在某一点处的变化率。

如果我们考虑一个函数f(x)，并且在区间[a, a+h]上的平均变化率为：\[ \frac{{f(a+h)-f(a)}}{h} \]而当h趋近于0时，这个平均变化率就趋近于某个值，这个值便是函数f(x)在点a处的导数。

导数用f'(a)或者\[\frac{{df}}{{dx}}(a)\]来表示。

那么如何计算导数呢？一般来说，我们可以使用几种方法来计算函数的导数：1. 使用函数的定义式来计算。

根据导数的定义，我们可以将函数的表达式代入到导数的定义式中，然后求解极限，从而得到导数的值。

2. 使用导数的性质来计算。

根据导数的性质，我们可以利用一些常见函数的导数公式，比如多项式函数的导数公式、幂函数的导数公式等，来计算函数的导数。

3. 使用数值计算方法来近似计算。

当函数的表达式较为复杂时，我们可以使用数值计算方法来近似计算导数的值，比如使用微分方程或者数值微分等方法。

二、了解导数与函数的变化率之间的关系可以帮助我们更好地理解函数的性质。

具体而言，导数可以告诉我们函数在某一点处的变化趋势。

1. 导数的正负性与函数的单调性导数的正负性可以帮助我们判断函数在某一区间上的单调性。

如果函数在某一区间上的导数始终大于0，那么函数在该区间上是递增的；如果函数在某一区间上的导数始终小于0，那么函数在该区间上是递减的。

2. 导数的零点与函数的极值点函数在某一点处导数为0时，这个点称为函数的驻点。

如果函数在驻点的导数存在，那么该点为函数的极值点。

当导数从正数变为负数时，函数在该点取得极大值；当导数从负数变为正数时，函数在该点取得极小值。

函数的导数与变化率知识点总结函数的导数是微积分中一个重要的概念，它在研究函数的性质和变化规律时起到了重要的作用。

导数可以用于求函数的切线方程、最值、极值等性质，因此在许多实际问题中都有广泛的应用。

本文将对函数的导数与变化率的知识点进行总结，并介绍其基本概念、计算方法以及几个典型应用。

1. 导数的基本概念导数表示了函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数的斜率。

对于函数f(x)，其在某一点x=a处的导数记为f'(a)，可以通过下式进行计算：f'(a) = lim(h→0) [f(a+h) - f(a)] / h其中，h表示变化的增量。

导数的计算实际上是求取函数在某一点的极限。

若导数存在，则说明函数在该点可微，也就是函数在该点的图像是光滑的。

2. 导数的计算方法导数的计算方法有多种，根据函数的性质和表达式的不同而有所不同。

以下是几种常见的导数计算方法：2.1 基本初等函数的导数计算对于多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数，都有相应的导数公式可以直接使用。

例如，多项式函数f(x)=ax^n的导数为f'(x)=anx^(n-1)，指数函数f(x)=e^x的导数为f'(x)=e^x，对数函数f(x)=ln(x)的导数为f'(x)=1/x，三角函数如sin(x)、cos(x)的导数分别为cos(x)和-sin(x)等。

2.2 导数的基本运算法则导数的计算还可以利用导数的基本运算法则，如和差法则、积法则、商法则等。

通过将复杂函数分解为基本初等函数的求导结果，并利用这些基本运算法则进行运算，可以较容易地求得复合函数的导数。

2.3 链式法则链式法则是求复合函数导数的常用方法。

对于函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过以下公式进行计算：dy/dx = dy/du * du/dx3. 变化率与导数的关系导数不仅表示了函数在某一点的瞬时变化率，还可以用于描述函数在整个定义域上的变化规律。

初中数学：变化率和导数变化率和导数是初中数学中比较重要的概念，它们是描述一个函数在某一点的变化程度的工具。

在高中数学和大学数学中，它们也是重要的基础概念，是微积分学的核心概念之一。

掌握变化率和导数的概念和计算方法，对于理解函数的性质和解决实际问题都具有重要意义。

一、变化率变化率是指在一段时间内某个量的变化幅度，通常用单位时间内的变化量来衡量。

对于函数而言，变化率就是函数在某一点的斜率。

函数在某一点的变化率，可以用该点的切线斜率来表示。

练习题：1. 如果一辆汽车在40秒内从起点行驶100米，它的平均速度是多少？2. 某人每秒钟走1米，他走了t秒钟之后，他走的距离是多少？3. 什么是函数在某一点的斜率？4. 函数在某一点的变化率可以用什么来表示？5. 函数y = 2x在x = 1处的斜率是多少？答案：1. 平均速度是2.5米/秒。

2. 他走的距离是t米。

3. 函数在某一点的斜率是该点的切线斜率。

4. 函数在某一点的变化率可以用切线斜率来表示。

5. 斜率是2。

二、导数导数是函数在某一点的变化率的极限值，是描述函数在某一点上离散的变化情况下的连续性的指标。

导数可以表示函数的局部变化速度，是微积分学中一个重要的概念。

练习题：1. 函数y = x^2在x = 2处的导数是多少？2. 函数y = x^3在x = 1处的导数是多少？3. 函数y = sinx在x = π/2处的导数是多少？4. 什么是导数？5. 导数可以用来描述什么？答案：1. 导数是2。

2. 导数是3。

3. 导数是0。

4. 导数是函数在某一点的变化率的极限值。

5. 导数可以用来描述函数的局部变化速度。

三、小结变化率和导数是初中数学中比较重要的概念，它们是描述一个函数在某一点的变化程度的工具。

学习变化率和导数，能够帮助我们更好地理解函数的性质，解决实际问题。

练习题答案：1. 4。

2. 3。

3. 导数是cos(π/2) = 0。

4. 导数是函数在某一点的变化率的极限值。

第十一节变化率与导数、导数的计算一、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)几何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数 称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数 导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.⎣⎡⎦⎤f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·广东高考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2. ∴该切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′ ＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．典题导入[例1] 用定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[自主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2， 所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．一质点运动的方程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求解)． 解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法一(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法二(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导入[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [自主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利用代数或三角恒等变换对函数进行化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使用商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎫x 2＋1x ＋1x 3； 解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′ ＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导入[例3] (1)(2011·山东高考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[自主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线方程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线方程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. 又f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线方程． 解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)， 由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2， ∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.又∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线方程为y －10＝3(x ＋1)， 即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解方程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利用k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线方程为________． (2)(2013·乌鲁木齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为⎝⎛⎭⎫a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.又切点⎝⎛⎭⎫1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线方程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝⎛⎭⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最小，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满足f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满足( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0， 即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁高考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线方程为y ＝4x －8，过点Q 的切线方程为y ＝－2x －2，联立两个方程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·黑龙江哈尔滨二模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin ⎝⎛⎭⎫x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan ⎝⎛⎭⎫2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′ ＝tan x ＋x ·⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同一条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3， 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为y －f (1)＝3(x －1)， 得：y ＋1＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线方程为y －g (1)＝3(x －1)． 得y ＋6＝3(x －1)，即切线方程为3x －y －9＝0， 所以，两条切线不是同一条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最小的切线与直线12x ＋y ＝6平行时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3⎝⎛⎭⎫x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最小值－9－a 23，因斜率最小的切线与12x ＋y ＝6平行， 即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘二模)等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)， ∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′ ＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ， 以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋…＋f 2 012⎝⎛⎭⎫π2＝503f 1⎝⎛⎭⎫π2＋f 2⎝⎛⎭⎫π2＋f 3⎝⎛⎭⎫π2＋f 4⎝⎛⎭⎫π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的方程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. 又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3， 即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3⎝⎛⎭⎫14－1＝－94. 所以l 的方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．解：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，则⎩⎨⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20·(x －x 0)，即y －⎝⎛⎭⎫x 0－3x 0＝⎝⎛⎭⎫1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为⎝⎛⎭⎫0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.【基础自测】1.（2013全国高考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（ ）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏一模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平行于直线2+=x y ，那么点P 的左标为 （ ）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州一模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为]4,0[π，则点P 横坐标的取值范围为 （ ） A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最小值为 （ ） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x fx f B. x f x x f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim,)(000'0'000--∆-∆-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线方程求曲线过点处的切线方程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。

第1节变化率与导数导数的计算导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点的变化率。

导数的概念最早由牛顿和莱布尼茨在17世纪提出，是微积分研究的基石之一、在实际问题中，导数的概念有着广泛的应用，如物理学中的速度、加速度、斜率等都是变化率的概念。

导数的定义是函数在其中一点的变化率，用极限表示，即：如果函数f(x)在点x=a处存在导数，则称函数在点x=a处可导，导数的值记为f'(a)，即：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)对于一个实函数来说，导数被定义为函数变化的斜率，表示的是函数在其中一点的瞬时变化速率。

在应用中，导数有许多计算方法，这里列举一些常用的计算方法：1.基本导数公式基本导数公式是指常用的函数的导数公式，如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的导数公式。

熟练掌握这些公式，可以快速计算函数的导数。

2.导数的基本性质导数有一些基本的性质，如积差、和差、复合函数的导数规则。

这些性质可以简化复杂函数的导数计算。

3.高阶导数高阶导数是指导数的导数。

如果一个函数的导数可导，则可以继续对导数求导，得到高阶导数。

高阶导数可以描述函数的凹凸性、拐点等特性。

4.隐函数求导有时函数的表达式不显含自变量，而是通过一个方程来描述函数与自变量之间的关系。

这种情况下，要通过隐函数求导的方法来计算导数。

5.参数方程求导对于参数方程描述的曲线，可以通过参数对函数进行求导，得到曲线的切线方程、法线方程等。

通过以上方法，可以计算得到函数在其中一点的导数值，进而研究函数的性质、变化规律等。

在实际问题中，导数的应用非常广泛。

例如，在物理学中，加速度是速度的导数，速度是位移的导数；在经济学中，边际成本、边际收益等概念都是导数的应用；在工程学中，导数是电路中信号变化的关键指标。

总之，导数是微积分中的重要概念，可以描述函数的变化率，通过导数的计算可以研究函数的性质和变化规律，并在实际问题中得到广泛应用。

变化率和导数变化率与导数1.瞬时变化率：设函数)(x f y =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应地改变)()(0x f x x f y -∆+=∆，如果当x ∆趋近于0时，平均变化率x x f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00趋近于一个常数c （也就是说平均变化率与某个常数c 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数c 称为函数)(x f 在点0x 的瞬时变化率。

2.导数： 当x ∆趋近于零时，x x f x x f ∆-∆+)()(00趋近于常数c 。

可用符号“→”记作：当0→∆x 时，x x f x xf ∆-∆+)()(00c →或记作c x x f x xf x =∆-∆+→∆)()(lim 000，符号“→”读作“趋近于”。

函数在0x 的瞬时变化率，通常称作)(x f 在0x x =处的导数，并记作)(0x f '。

3.导函数：如果)(x f 在开区间),(b a 内每一点x 都是可导的，则称)(x f 在区间),(b a 可导。

这样，对开区间),(b a 内每个值x ，都对应一个确定的导数)(x f '。

于是，在区间),(b a 内，)(x f '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数)(x f y =的导函数。

记为)(x f '或y '（或x y '）。

4.导数的四则运算法则：1）函数和（或差）的求导法则：设)(x f ，)(x g 是可导的，则)()())()((x g x f x g x f '±'='±即，两个函数的和（或差）的导数，等于这两个函数的导数的和（或差）。

2）函数积的求导法则：设)(x f ，)(x g 是可导的，则)()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '+'='即，两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘第二个函数的导数。

(1)y ′＝(x211x)′＝－12x 112--＝－12x 32-＝－2321x (2)y ′＝2 017x ln2 017. (3)y ′＝(ln 3)′＝0. (4)因为y ＝x x 3，所以y ＝x 52， 所以y ′＝(x 52)′＝52x 5-12＝52x 32＝5x x2.类型二 利用导数公式求曲线的切线方程例2、 (1)求过曲线y ＝sin x 上一点P ⎝⎛⎭⎫π6，12且与过这点的切线垂直的直线方程．(2)已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程． 【解析】 (1)因为y ＝sin x ，所以y ′＝cos x ，曲线在点P ⎝⎛⎭⎫π6，12处的切线斜率是y ′|x ＝π6＝cos π6＝32. 所以过点P 且与切线垂直的直线的斜率为－23，故所求的直线方程为y －12＝－23⎝⎛⎭⎫x －π6， 即2x ＋ 3y －32－π3＝0.(2)因为y ′＝(x 2)′＝2x ，设切点为M (x 0，y 0)，则y ′|x ＝x 0＝2x 0，又因为直线PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，而切线平行于直线PQ ，所以k ＝2x 0＝1，即x 0＝12，所以切点为M ⎝⎛⎭⎫12，14. 所以所求的切线方程为y －14＝x －12，即4x －4y －1＝0. 方法归纳(1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况①若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．②如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． (2)求过点P 与曲线相切的直线方程的三个步骤跟踪训练 2 对于例2(2)改为是否存在与直线PQ 垂直的切线，若有求出切线方程，若没有，说明理由．解析：假设存在与直线PQ 垂直的切线，因为PQ 的斜率为k ＝4－12＋1＝1，所以与PQ 垂直的切线斜率k ＝－1，设切点为(x 0′，y 0′)，则y ′|x ＝x 0′＝2x 0′，令2x 0′＝－1，则x 0′＝－12，y 0′＝14，切线方程为y －14＝－⎝⎛⎭⎫x ＋12，即4x ＋4y ＋1＝0. |素养提升|1．基本初等函数的导数公式可分为四类第一类为幂函数，y ′＝(x α)′＝αx α－1(注意幂指数α可推广到全体非零实数)；第二类为三角函数，可记为正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为正弦函数的相反数； 第三类为指数函数，y ′＝(a x )′＝a x ln a ，当a ＝e 时，y ＝e x 的导数是指数函数的导数的一个特例；第四类为对数函数，y ′＝(log a x )′＝1x ln a ，也可写为(log a x )′＝1x·log a e ，当a ＝e 时，y ＝ln x 的导数是对数。

函数的导数与变化率的关系解读函数的导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在某一点的变化率。

导数在各个学科领域中都得到了广泛应用，从物理学中的速度、加速度，到经济学中的边际效应，都离不开导数的概念。

本文将深入解读函数的导数与变化率之间的关系。

首先，我们来回顾一下函数的导数的定义。

对于函数y=f(x)，在x点处的导数可以表示为f'(x)，它的定义如下：f'(x) = lim(h→0) [f(x+h)-f(x)]/h这个定义可以简单理解为，当我们取x点附近一个极小的增量h时，函数值的变化量除以增量h就是函数在x点处的变化率。

而当h趋近于0时，这个变化率就趋近于一个确定的值，即函数在x点处的导数。

从这个定义中，我们可以看出函数的导数实际上描述了函数在不同点的变化率。

当导数的值为正时，表示函数在该点上升；当导数的值为负时，表示函数在该点下降；当导数的值为零时，表示函数在该点取得极值。

接下来，我们将考察一些常见函数的导数与其变化率之间的关系。

首先是线性函数，即f(x) = ax + b。

对于线性函数来说，它的导数为常数a，这表示线性函数的变化率在每个点处都是固定的。

第二个例子是幂函数，即f(x) = x^n，其中n为整数。

对于幂函数来说，它的导数为f'(x) = nx^(n-1)。

由此可以看出，幂函数的导数与自变量x的指数n和系数n之间的关系。

另一个例子是指数函数，即f(x) = a^x，其中a为常数。

对于指数函数来说，它的导数为f'(x) = a^x * ln(a)，其中ln(a)表示以e为底的对数。

这个导数表达式反映了指数函数的变化率与底数a的关系。

最后，我们来看一下三角函数的导数。

对于正弦函数f(x) = sin(x)和余弦函数f(x) = cos(x)，它们的导数分别为f'(x) = cos(x)和f'(x) = -sin(x)。

对于正切函数f(x) = tan(x)，它的导数为f'(x) = sec^2(x)，其中sec(x)表示余割函数。

（完整版）变化率与导数及导数的计算第⼗⼀节变化率与导数、导数的计算⼀、导数的概念1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数 (1)定义：称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)⼏何意义：函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的⼏何意义是在曲线y ＝f (x )上点(x 0，f (x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线⽅程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．2．函数f (x )的导函数称函数f ′(x )＝lim Δx →0f (x ＋Δx )－f (x )Δx为f (x )的导函数．⼆、基本初等函数的导数公式原函数导函数 f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x n (n ∈Q *) f ′(x )＝nx n －1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e x f ′(x )＝e x f (x )＝log a x f ′(x )＝1 x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x三、导数的运算法则1．[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； 2．[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；3.??f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)．1．(教材习题改编)若f (x )＝x e x ，则f ′(1)＝( ) A ．0 B ．e C ．2eD ．e 2解析：选C ∵f ′(x )＝e x ＋x e x ，∴f ′(1)＝2e.2．曲线y ＝x ln x 在点(e ，e)处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为( ) A ．2 B ．－2 C.12D ．－12解析：选A 依题意得y ′＝1＋ln x ，y ′ |x ＝e ＝1＋ln e ＝2，所以－1a ×2＝－1，a ＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是s (t )＝2t 3－12gt 2(g ＝10 m/s 2)，则当t ＝2 s 时，它的加速度是( )A ．14 m/s 2B ．4 m/s 2C ．10 m/s 2D ．－4 m/s 2解析：选A 由v (t )＝s ′(t )＝6t 2－gt ，a (t )＝v ′(t )＝12t －g ，得t ＝2时，a (2)＝v ′(2)＝12×2－10＝14(m/s 2)．4．(2012·⼴东⾼考)曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线⽅程为________．解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′ |x ＝1＝3×12－1＝2.∴该切线⽅程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝05．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________．解析：y ′＝(x cos x )′－(sin x )′＝x ′cos x ＋x (cos x )′－cos x ＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x . 答案：－x sin x 1.函数求导的原则对于函数求导，⼀般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应⽤，⽽且要特别注意求导法则对求导的制约作⽤，在实施化简时，⾸先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．2．曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别与联系(1)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线是指P 为切点，切线斜率为k ＝f ′(x 0)的切线，是唯⼀的⼀条切线．(2)曲线y ＝f (x )过点P (x 0，y 0)的切线，是指切线经过P 点．点P 可以是切点，也可以不是切点，⽽且这样的直线可能有多条．典题导⼊[例1] ⽤定义法求下列函数的导数． (1)y ＝x 2； (2)y ＝4x2.[⾃主解答] (1)因为Δy Δx ＝f (x ＋Δx )－f (x )Δx＝(x ＋Δx )2－x 2Δx＝x 2＋2x ·Δx ＋(Δx )2－x 2Δx ＝2x ＋Δx ，所以y ′＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0 (2x ＋Δx )＝2x . (2)因为Δy ＝4(x ＋Δx )2－4x 2＝－4Δx (2x ＋Δx )x 2(x ＋Δx )2， ΔyΔx ＝－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2，所以limΔx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ?－4·2x ＋Δx x 2(x ＋Δx )2＝－8x 3. 由题悟法根据导数的定义，求函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的步骤 (1)求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)计算导数f ′(x 0)＝li m Δx →0ΔyΔx. 以题试法1．⼀质点运动的⽅程为s ＝8－3t 2.(1)求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度；(2)求质点在t ＝1时的瞬时速度(⽤定义及导数公式两种⽅法求解)．解：(1)∵s ＝8－3t 2，∴Δs ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)＝－6Δt －3(Δt )2，v ＝ΔsΔt＝－6－3Δt . (2)法⼀(定义法)：质点在t ＝1时的瞬时速度 v ＝li m Δt →0ΔsΔt＝li m Δt →0 (－6－3Δt )＝－6. 法⼆(导数公式法)：质点在t 时刻的瞬时速度 v ＝s ′(t )＝(8－3t 2)′＝－6t . 当t ＝1时，v ＝－6×1＝－6.典题导⼊[例2] 求下列函数的导数． (1)y ＝x 2sin x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1； [⾃主解答] (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2＝e x (e x －1)－(e x ＋1)e x (e x －1)2＝－2e x (e x －1)2.则y ′＝(ln u )′u ′＝12x －5·2＝22x －5，即y ′＝22x －5.由题悟法求导时应注意：(1)求导之前利⽤代数或三⾓恒等变换对函数进⾏化简可减少运算量．(2)对于商式的函数若在求导之前变形，则可以避免使⽤商的导数法则，减少失误．以题试法2．求下列函数的导数．(1)y ＝e x ·ln x ；(2)y ＝x x 2＋1x ＋1x 3；解：(1)y ′＝(e x ·ln x )′＝e x ln x ＋e x ·1x ＝e x ln x ＋1x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x 3.典题导⼊[例3] (1)(2011·⼭东⾼考)曲线y ＝x 3＋11在点P (1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( )A ．－9B ．－3C ．9D ．15(2)设函数f (x )＝g (x )＋x 2，曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线⽅程为y ＝2x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．－14B ．2C ．4D ．－12[⾃主解答] (1)y ′＝3x 2，故曲线在点P (1,12)处的切线斜率是3，故切线⽅程是y －12＝3(x －1)，令x ＝0得y ＝9.(2)∵曲线y ＝g (x )在点(1，g (1))处的切线⽅程为y ＝2x ＋1，∴g ′(1)＝k ＝2. ⼜f ′(x )＝g ′(x )＋2x ，∴f ′(1)＝g ′(1)＋2＝4，故切线的斜率为4. [答案] (1)C (2)C若例3(1)变为：曲线y ＝x 3＋11，求过点P (0,13)且与曲线相切的直线⽅程．解：因点P 不在曲线上，设切点的坐标为(x 0，y 0)，由y ＝x 3＋11，得y ′＝3x 2，∴k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 20.⼜∵k ＝y 0－13x 0－0，∴x 30＋11－13x 0＝3x 20. ∴x 30＝－1，即x 0＝－1. ∴k ＝3，y 0＝10.∴所求切线⽅程为y －10＝3(x ＋1)，即3x －y ＋13＝0.由题悟法导数的⼏何意义是切点处切线的斜率，应⽤时主要体现在以下⼏个⽅⾯： (1)已知切点A (x 0，f (x 0))求斜率k ，即求该点处的导数值：k ＝f ′(x 0)； (2)已知斜率k ，求切点A (x 1，f (x 1))，即解⽅程f ′(x 1)＝k ；(3)已知切线过某点M (x 1，f (x 1))(不是切点)求切点，设出切点A (x 0，f (x 0))，利⽤k ＝f (x 1)－f (x 0)x 1－x 0＝f ′(x 0)求解．以题试法3．(1)(2012·新课标全国卷)曲线y ＝x (3ln x ＋1)在点(1,1)处的切线⽅程为________． (2)(2013·乌鲁⽊齐诊断性测验)直线y ＝12x ＋b 与曲线y ＝－12x ＋ln x 相切，则b 的值为( )A ．－2B ．－1C ．－12D ．1解析：(1)y ′＝3ln x ＋1＋3，所以曲线在点(1,1)处的切线斜率为4，所以切线⽅程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3.(2)设切点的坐标为a ，－12a ＋ln a ，依题意，对于曲线y ＝－12x ＋ln x ，有y ′＝－12＋1x ，所以－12＋1a ＝12，得a ＝1.⼜切点1，－12 在直线y ＝12x ＋b 上，故－12＝12＋b ，得b ＝－1. 答案：(1)y ＝4x －3 (2)B1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．已知物体的运动⽅程为s ＝t 2＋3t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194 B.174 C.154D.134解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.3． (2012·哈尔滨模拟)已知a 为实数，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x 的导函数f ′(x )是偶函数，则曲线y ＝f (x )在原点处的切线⽅程为( )A ．y ＝－3xB ．y ＝－2xC ．y ＝3xD ．y ＝2x解析：选B ∵f (x )＝x 3＋ax 2＋(a －2)x ，∴f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋a －2. ∵f ′(x )为偶函数，∴a ＝0. ∴f ′(x )＝3x 2－2.∴f ′(0)＝－2.∴曲线y ＝f (x )在原点处的切线⽅程为y ＝－2x .4．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平⾏，则实数a 等于( ) A ．－1 B.12 C ．－2D ．2解析：选A ∵y ′＝－sin 2x －(1＋cos x )cos x sin 2x ＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′|x ＝π2＝－1.由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1.5．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意⼀点，则点P 到直线y ＝x －2的最⼩距离为( ) A ．1 B. 2 C.22D. 3解析：选B 设P (x 0，y 0)到直线y ＝x －2的距离最⼩，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1.得x 0＝1或x 0＝－12(舍)．∴P 点坐标(1,1)．∴P 到直线y ＝x －2距离为d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.6．f (x )与g (x )是定义在R 上的两个可导函数，若f (x )，g (x )满⾜f ′(x )＝g ′(x )，则f (x )与g (x )满⾜( )A ．f (x )＝g (x )B ．f (x )＝g (x )＝0C ．f (x )－g (x )为常数函数D ．f (x )＋g (x )为常数函数解析：选C 由f ′(x )＝g ′(x )，得f ′(x )－g ′(x )＝0，即[f (x )－g (x )]′＝0，所以f (x )－g (x )＝C (C 为常数)．7．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________. 解析：∵f ′(x )＝1x －2f ′(－1)x ＋3，f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，∴f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8.答案：88．(2012·辽宁⾼考)已知P ，Q 为抛物线x 2＝2y 上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，－2，过P ，Q 分别作抛物线的切线，两切线交于点A ，则点A 的纵坐标为________．解析：易知抛物线y ＝12x 2上的点P (4,8)，Q (－2,2)，且y ′＝x ，则过点P 的切线⽅程为y ＝4x －8，过点Q 的切线⽅程为y ＝－2x －2，联⽴两个⽅程解得交点A (1，－4)，所以点A 的纵坐标是－4.答案：－49．(2012·⿊龙江哈尔滨⼆模)已知函数f (x )＝12x －14sin x －34cos x 的图象在点A (x 0，y 0)处的切线斜率为1，则tan x 0＝________.解析：由f (x )＝12x －14sin x －34cos x 得f ′(x )＝12－14cos x ＋34sin x ，则k ＝f ′(x 0)＝12－14cos x 0＋34sin x 0＝1，即32sin x 0－12cos x 0＝1，即sin x 0－π6＝1. 所以x 0－π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，解得x 0＝2k π＋2π3，k ∈Z.故tan x 0＝tan 2k π＋2π3＝tan 2π3＝－ 3. 答案：－ 310．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋x cos 2x. (2)y ′＝(x ＋1)′(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11. 11．已知函数f (x )＝x －2x ，g (x )＝a (2－ln x )(a >0)．若曲线y ＝f (x )与曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率相同，求a 的值，并判断两条切线是否为同⼀条直线．解：根据题意有曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线斜率为f ′(1)＝3，曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线斜率为g ′(1)＝－a .所以f ′(1)＝g ′(1)，即a ＝－3.曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线⽅程为y －f (1)＝3(x －1)，得：y ＋1＝3(x －1)，即切线⽅程为3x －y －4＝0. 曲线y ＝g (x )在x ＝1处的切线⽅程为y －g (1)＝3(x －1)．得y ＋6＝3(x －1)，即切线⽅程为3x －y －9＝0，所以，两条切线不是同⼀条直线．12．设函数f (x )＝x 3＋ax 2－9x －1，当曲线y ＝f (x )斜率最⼩的切线与直线12x ＋y ＝6平⾏时，求a 的值．解：f ′(x )＝3x 2＋2ax －9＝3x ＋a 32－9－a 23，即当x ＝－a 3时，函数f ′(x )取得最⼩值－9－a 23，因斜率最⼩的切线与12x ＋y ＝6平⾏，即该切线的斜率为－12，所以－9－a 23＝－12，即a 2＝9，即a ＝±3.1．(2012·商丘⼆模)等⽐数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，f ′(x )为函数f (x )的导函数，则f ′(0)＝( )A ．0B ．26C ．29D ．212解析：选D ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(x )＝x ′(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′＝(x －a 1)…(x －a 8)＋x [(x －a 1)…(x －a 8)]′，∴f ′(0)＝(－a 1)·(－a 2)·…·(－a 8)＋0＝a 1·a 2·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝(2×4)4＝(23)4＝212. 2．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1π2＋f 2π2＋…＋f 2 012π2＝________. 解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ， f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )，⼜∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1π2＋f 2π2＋…＋f 2 012π2＝503f 1π2＋f 2π2＋f 3π2＋f 4π2＝0. 答案：03．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上⼀点P (1，－2)，过点P 作直线l ，根据以下条件求l 的⽅程．(1)直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点； (2)直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P .解：(1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，故所求的直线⽅程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另⼀点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3. ⼜直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)，故其斜率可表⽰为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)．解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝314－1＝－94. 所以l 的⽅程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.设函数f (x )＝ax －bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线⽅程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任⼀点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三⾓形⾯积为定值，并求此定值．解：(1)⽅程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.⼜f ′(x )＝a ＋bx2，则2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得?a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x .(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任⼀点，由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线⽅程为y －y 0＝1＋3x 20·(x －x 0)，即y －x 0－3x 0＝1＋3x 20(x －x 0)．令x ＝0得y ＝－6x 0，从⽽得切线与直线x ＝0的交点坐标为0，－6x 0.令y ＝x 得y ＝x ＝2x 0，从⽽得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三⾓形⾯积为12－6x 0|2x 0|＝6. 故曲线y ＝f (x )上任⼀点处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三⾓形的⾯积为定值，此定值为6.【基础⾃测】1.（2013全国⾼考）已知曲线124++=ax x y 在点)2,1(+-a 处的切线的斜率为8，则a =（）A.9B.6C.-9D.-62.（2014宁夏⼀模）如果过曲线12++=x x y 上的点P 处的切线平⾏于直线2+=x y ，那么点P 的左标为（）A.（1,0）B.（0,-1） B.（0,1） D.（-1,0）3.（2013惠州⼀模）设P 为曲线C ：322++=x x y 上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜⾓的取值范围为]4 ,0[π，则点P 横坐标的取值范围为（）A.]21,1[-- B.]0,1[- C.]1,0[ D.]1,21[4.（2013宁夏联考）已知⼆次函数c bx ax x f ++=2)(的导数为)('x f ，且0)0('>f ，对于任意实数x 都有0)(≥x f ，则)0()1('f f 的最⼩值为（） A.3 B.25 C.2 D.23.)1()1(lim,2)1(1)(1'的值求处可导，且在】设函数【例hh f h f f x x f --+==x f D. x f x f B. x f xx f x x f x x f )()(.C )()(.A )()(lim ,)(000'0'000--?-?-）等于（则处可导在【变式】设函数.)0,1()2(1)1(.123的切线⽅程求曲线过点处的切线⽅程；求曲线在】已知曲线【例--=+=x x y。