变化率与导数、导数的运算
课前双击巩固
1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f (x ),
f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1
=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的 变化率
几何 意义 函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的
物理 意义 若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则Δy
Δx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度
(2)导数:
概念
点x 0处 lim
Δx→0Δy
Δx =lim
Δx→0
f(x 0+Δx)−f(x 0)
Δx
,我们称它为函数y=f (x )在 处的导数,记
为f'(x 0)或y'|x=x 0,即f'(x 0)=lim
Δx→0
Δy
Δx
= lim Δx→0
f(x 0+Δx)−f(x 0)
Δx
区间 (a ,b )
当x ∈(a ,b )时,f'(x )=lim Δx→0Δy
Δx =lim Δx→0 叫作函数在区间(a ,b )内的导数
几何 意义 函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0
)就是函数图像在该点处切线的 .曲线
y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是
物理 意义 函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x
时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程
2.导数的运算 常用 导数 公式
原函数
导函数
特例或推广
常数函数 C'=0(C 为常数)
幂函数
(x n
)'= (n ∈Z )
1x
'=-1
x 2
三角函数(sin x)'=,
(cos x)'=
偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数
的导数是周期函数
指数函数(a x)'=(a>0且a≠1) (e x)'=e x
对数函数(log a x)'=(a>0且
a≠1)
(ln x)'=1
x
,
(ln|x|)'=1
x
四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=
(∑
i=1
n
f i(x))'=
∑
i=1
n
f'i(x)
乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法
f(x)
g(x)
'=
(g(x)≠0)
1
g(x)
'=-g′(x)
[g(x)]2
复合
函数
导数
复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x=,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”
题组一常识题
1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.
2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x %时所需费用(单位:元)为
c(x)=5284
100−x
(80 3.[教材改编] y=sin(πx+φ)的导数是y'=. 4.[教材改编]曲线y=xe x-1在点(1,1)处切线的斜率等于. 题组二常错题 ◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x 0)与[f (x 0)]',f'(ax+b )与[f (ax+b )]'的区别. 5.函数f (x )=x 2 在区间[1,2]上的平均变化率为 ,在x=2处的导数为 . 6.已知函数y=sin 2x ,则y'= . 7.已知f (x )=x 2 +3xf'(2),则f (2)= . 8.已知f (x )=x 3,则f'(2x+3)= ,[f (2x+3)]'= . 课堂考点探究 探究点一 导数的运算 1(1)函数f (x )的导函数为f'(x ),且满足关系式f (x )=x 2 +3xf'(2)-ln x ,则f'(2)的值为( ) A.7 4 B.-7 4 C.9 4 D.-9 4 (2)已知f (x )=-sin x 2(1−2cos 2x 4),则f'(π 3 )= . [总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解 析式进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度,减少差错. (2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 式题 (1)函数y= sinx x 的导数为y'= . (2)已知f (x )=(x+1)(x+2)(x+a ),若f'(-1)=2,则f'(1)= . 探究点二 导数的几何意义 考向1 求切线方程 2 函数f (x )=e x ·sin x 的图像在点(0,f (0))处的切线方程是 . [总结反思] (1)曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程为y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意过某点的切线和曲线上某点处的切线的区别. 考向2 求切点坐标
