新浙教版七年级数学上册知识点归纳及复习测试卷

第一章．从自然数到有理数一．知识结构：1．1从自然数到分数：1．知识点：自然数：历史上最早出现的数，0，1等。

自然数的应用：计数和测量，标号或排序分数和小数：分数都可以化成小数1．2有理数：1有理数：正数负数零统称整数；正分数、负分数统称分数；整数分数统称有理数注意：零既不是正数也不是负数。

2．有理数的分类：ⅰ整数（正整数和负整数），分数（正分数和负分数），零。

ⅱ正有理数，负有理数，零。

3．负数的现实意义：4．正负数是表示相反意义的量1．3数轴：规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴。

1．三个要素：原点，单位长度，正方向。

2．数轴的画法。

3．相反数：零的相反数是零，在数轴上，表示互为相反数（零除外）的两个点，位于原点的两侧，并且到原点的距离相等。

4．相反数在数轴上的位置关系5．求一个数的相反数6．复习倒数，如何求一个数的倒数1．4值对值：把一个数在数轴上对应点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

1．正数的值对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零，互为相反数的两个数的绝对值相等。

2．求一个数的值对值：a=（分类讨论思想）-a≠负数。

1．5有理数的大小比较：1．在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，正数都大于零，负数都小于零，正数都大于负数。

（没有最大的有理数也没有最小的有理数）2．两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小。

3．作差比较和作商比较。

第二章有理数的运算1．加运算法则：ⅰ同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。

ⅱ异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

ⅲ互为相反数的两个数相加得零，一个烽同零相加，仍得这个数。

2．减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。

3．乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与零相乘法积为零。

4．除法：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，零除以任何一个不等于零的数都得零；除以一个数等于乘以这个数的倒数。

第一章有理数期中复习知识清单一、全章知识结构二、回顾正数、负数的意义及表示方法 1、正数的表示方法：a>0， 2、负数的表示方法：a<0 三、有理数的分类定义：整数和分数统称为有理数有限小数和无限循环小数都是有理数而无限不循环小数却不是有理数 分类2、按数的正负性分类⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数负整数负数零正分数正整数正数有理数.1、按整数分数3、在数轴上分类数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

数轴的作用：（1）用数轴上的点表示有理数； （2）在数轴上比较有理数的大小；（3）可用数轴揭示一个数的绝对值和互为相反数的几何意义；（4）在数轴上可求任意两点间的距离：两点间的距离=|x －y|=|y －x|=大数-小数 四、有理数中具有特殊意义的数：相反数、倒数、绝对值、非负数 1、相反数：（1）几何意义：在数轴上表示一对相反数的两个点与原点的距离相等。

（2）代数意义：只有符号不同的两个数。

（3）互为相反数的特性：a+b=0，0的相反数是0。

（4）会求一个数的相反数：a 的相反数为 a-b 的相反数为 2、倒数:（1）乘积是1的两个数互为倒数 （2）互为倒数的特性: ab=1, （3）0没有倒数（4）互为负倒数: 乘积是－1的两个数互为负倒数; ab=－1 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数..3、非负数：（1）就是大于或等于0的数：a ≥0（2）数轴上，在原点的右边包括原点的点表示的数 （3）任何数的平方数都是非负数（4）非正数：就是小于或等于0的数：a ≤0（5）数轴上，在原点的左边包括原点的点表示的数 4、绝对值：（1）几何意义：一个数的绝对值就是它到原点的距离。

（2）代数意义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

突破点: 一个数绝对值就是它离开原点的距离。

特性：a 、互为相反数的绝对值是相等的b 、如果一个数的绝对值是正数，那么这个数一定有两个且互为相反数 c 、绝对值一定为正数或0即非负数d 、正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零。

期末复习二有理数的运算要求知识与方法了解有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则倒数的概念，会求一个数的倒数乘方、幂、指数、底数的概念计算器的简单使用理解有理数的混合运算的运算顺序，能进行有理数的混合运算用科学记数法表示较大的数说出一个由四舍五入法得到的有理数的精确位数及根据精确度取近似值运用合理运用运算律简化有理数混合运算的过程利用有理数的混合运算解决简单的实际问题一、必备知识：1．若两个有理数的乘积为____________，就称这两个有理数____________．2．有理数的各种运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律．3．有理数混合运算的法则是：先算____________，再算____________，最后算____________．如有括号，先进行____________运算．4．把一个数表示成____________与____________的幂相乘的形式叫做科学记数法．二、防范点：1．倒数不要和相反数混淆，倒数符号不变，相反数要变号．2．乘方运算不要和乘法运算混淆，如23和32不相等．3．有理数混合运算中注意运算顺序，特别是乘、除同级运算时，注意从左到右的运算顺序．4．求用科学记数法表示的数及带单位的有理数的精确位数时要注意单位及10的幂的位数．倒数的概念例1 (1)2017的倒数为( )A ．－2017B ．2017C ．－12017D .12017(2)已知a 与b 互为倒数，m 与n 互为相反数，则12ab －9m －9n 的值是________． 【反思】互为倒数的两个数乘积为1，注意互为倒数的两数符号是相同的，不要与相反数混淆起来．有理数运算法则及运算顺序例2 下列计算错在哪里？应如何改正？(1)74－22÷70＝70÷70＝1；(2)(－112)2－23＝114－6＝－434； (3)23－6÷3×13＝6－6÷1＝0.【反思】乘方运算是初中阶段新学的一种运算，要弄清楚它的法则，不要和乘法混淆起来；运算顺序也是学生的一个易错点，特别是乘、除同级运算过程中要遵循从左到右的运算顺序．有理数的混合运算例3 计算：(1)(－2)2＋3×(－2)－1÷(14)2； (2)－32－[－(12)2－116]×(－2)÷(－1)2017.【反思】有理数的混合运算要注意运算的顺序不要搞错，－32的求值也是学生的一个易错点．有理数的简便计算例4 用简便方法计算：(1)(－6134)－(－512)＋(134)－(＋8.5)； (2)19999899×(－11)； (3)(－5)×713＋7×(－713)－(＋12)×713.【反思】合理地利用加法和乘法的运算律可以加快速度，分配律和分配律的逆向使用也是简便计算的一种重要的方法．近似数及科学记数法例5 (1)数361000000用科学记数法表示，以下表示正确的是( )A ．0.361×109B ．3.61×108C ．3.61×107D ．36.1×107(2)下列近似数精确到哪一位？①4.7万 ②17.68(3)用四舍五入法按要求取下列各数的近似数：①0.61548(精确到千分位)；②73540(精确到千位)．【反思】求带单位的近似数的精确度时，要注意单位也是有效的．有理数混合运算的应用例6 出租车司机王师傅从上午8：00～9：00在某市区东西向公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，王师傅营运八批乘客里程如下：(单位：千米)＋5，－6，＋3，－7，＋5，＋4，－3，－4.(1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在第一批乘客出发地的什么位置？(2)已知王师傅的车在市区耗油成本约为0.6元/千米，若出租车的收费标准为：起步价8元(不超过3千米)，若超过3千米，超过部分按每千米2元收费，则王师傅在上午8：00～9：00扣除耗油成本后赚了多少元？【反思】用有理数的运算解决实际问题，主要是要抓住题中各数量之间的关系，弄清是求各数之和还是各数的绝对值之和．1．计算：3×(－1)3＋(－5)×(－3)____________．2．已知(x －2)2＋||2y ＋6＝0，则x ＋y ＝____________.3．如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则a 与b 之间的关系是____________．(写出一个正确关系式即可)第3题图4．由四舍五入得到的近似数0.50，精确到____________位，它表示大于或等于____________且小于____________的数．5．数轴上A 、B 两点位于原点O 的两侧，点A 表示的实数是a ，点B 表示的实数是b ，若||a －b ＝2016，且AO ＝2BO ，则a ＋b 的值是____________．6．计算：(1)(34－112＋13)×(－60)；(2)(－3)2÷92＋(－1)2017－|－2|.7．已知x ，y 为有理数，现规定一种新运算※，满足x ※y ＝xy ＋1.(1)求2※3的值；(2)求(3※5)※(－2)的值；(3)探索a ※(b ＋c)与a ※b ＋a ※c 的关系，并用等式把它们表达出来．参考答案期末复习二 有理数的运算【必备知识与防范点】1．1 互为倒数 3.乘方 乘除 加减 括号里的 4.a(1≤a<10) 10【例题精析】例1 (1)D (2)12例2 (1)运算顺序错．改正为：74－22÷70＝74－4÷70＝74－235＝733335； (2)运算法则错．改正为：(－112)2－23＝94－8＝－234； (3)运算法则和运算顺序都错．改正为：23－6÷3×13＝8－6×13×13＝8－23＝713.例3 (1)－18 (2)－838例4 (1)－63 (2)－2199989(3)－176 例5 (1)B (2)①千位 ②百分位 (3)①0.615 ②7.4×104例6 (1)正西方向3千米处 (2)67.8元【校内练习】1．12 2.－1 3.答案不唯一，如a ＞b4．百分 0.495 0.505 5.±6726．(1)(34－112＋13)×(－60)＝－60×34＋60×112－60×13＝－45＋5－20＝－60. (2)(－3)2÷92＋(－1)2017－|－2|＝9×29－1－2＝－1. 7．(1)7 (2)－31 (3)∵a ※(b ＋c)＝a(b ＋c)＋1＝ab ＋ac ＋1，a ※b ＋a ※c ＝ab ＋1＋ac ＋1.∴a ※(b ＋c)＋1＝a ※b ＋a ※c.。

初一数学上册第一单元有理数知识点归纳一．有理数：(1)凡能写成形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数;正分数、负分数统称分数;整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数;-a不一定是负数，+a也不一定是正数;π不是有理数;(2)有理数的分类:①②(3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性;这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性;(4)2.数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线.3.相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数;0的相反数还是0;(2)注意：a-b+c的相反数是-a+b-c;a-b的相反数是b-a;a+b的相反数是-a-b;(3)4.绝对值：(1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数;注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离;(2)绝对值可表示为：绝对值的问题经常分类讨论;(3)(4)|a|是重要的非负数，即|a|≥0;注意：|a|·|b|=|a·b|,5.有理数比大小：(1)正数的绝对值越大，这个数越大;(2)正数永远比0大，负数永远比0小;(3)正数大于一切负数;(4)两个负数比大小，绝对值大的反而小;(5)数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大;(6)大数-小数>0，小数-大数<0.二．有理数法则及运算规律。

(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加;(2)异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值;(3)一个数与0相加，仍得这个数.2.有理数加法的运算律：(1)加法的交换律：a+b=b+a;(2)加法的结合律：(a+b)+c=a+(b+c).3.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数;即a-b=a+(-b).4.有理数乘法法则：(1)两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘;(2)任何数同零相乘都得零;(3)几个数相乘，有一个因式为零，积为零;各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定.5.有理数乘法的运算律：(1)乘法的交换律：ab=ba;(2)乘法的结合律：(ab)c=a(bc);(3)乘法的分配律：a(b+c)=ab+ac.6.有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数;注意：零不能做除数，.7.有理数乘方的法则：(1)正数的任何次幂都是正数;三．乘方的定义。

浙教版七年级上册初中数学全册知识点梳理及重点题型巩固练习有理数的意义【学习目标】1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】要点一、正数与负数像+3、+1.5、12+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、12-、－584等在正数前面加“－”号的数，叫做负数．要点诠释：（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线．要点二、有理数的分类（1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类：要点诠释：（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】类型一、正数与负数1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（）A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】C【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C．【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．举一反三：【：有理数的意义 356786概念的应用例3（1）】【变式1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克【答案】D．解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m【答案】B2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0（1）这8名男生有百分之几达到标准？（2）他们共做了多少引体向上？【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5100%62.5% 8⨯=；答：这8名男生有62.5%达到标准.（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个.【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.类型二、有理数的分类【：有理数的意义 356786 概念的应用例2】3．下面说法中正确的是( )．A．非负数一定是正数．B．有最小的正整数，有最小的正有理数．C．a-一定是负数．D ．正整数和正分数统称正有理数．【答案】D【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a-为正数或0，而不是负数；(D)对【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.举一反三：【变式1】判断题：（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）【答案】√，⨯，⨯，⨯【变式2】下列四种说法，正确的是( ).(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数(C)正有理数包括整数和分数 (D)0不是最小的有理数【答案】D4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,723-，.正整数集合:{ …}，负整数集合:{ …}，整数集合:{ …}，正分数集合:{ …}，负分数集合:{ …}，分数集合:{ …}，非负数集合：{ …}，非正数集合：{ …}.【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；负分数： -3.88，7 23 -；分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，723-； 非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0，；非正数：-700, -3.88, 0, 723- 【解析】 【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括0和正数；非正数包括0和负数. 举一反三：【变式】（2014秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有 个．【答案】2.类型三、探索规律5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒. 【答案】(12+n )【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关. 举一反三：【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，，根据这个规律，那么第2010个数是：【答案】-3【变式2】观察下列有规律的数：,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是： 【答案】901 【巩固练习】一、选择题1. （2014•甘肃模拟）下列语句正确的（ ）个 （1）带“﹣”号的数是负数；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数； （3）不存在既不是正数又不是负数的数； （4）0℃表示没有温度．A. 0B. 1C. 2D. 3 2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( ) A ．0是整数 B ．0是偶数C ．0是正整数D ．0既不是正数也不是负数3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( ) A ．前进-18米的意义是后退18米 B ．收入-4万元的意义是减少4万元 C ．盈利的相反意义是亏损D ．公元-300年的意义是公元后300年 4.一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( ) A ．甲站的东边70千米处 B ．甲站的西边20千米处 C ．甲站的东边30千米处 D ．甲站的西边30千米处 5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）A ．身高增长cm 2.1和体重减轻kg 2.1是一对具有相反意义的量B ．有最大的数C ．没有最小的数，也没有最大的数D ．以上答案都不对6.下列各数是正整数的是 （ ）A ．－1B ．2C ．0．5D ． 2二、填空题 1．（2014秋•朝阳区期末）如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ． 2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 . 4．既不是正数，也不是负数的有理数是 . 5．（2016春•温州校级期中）如果向东行驶10米，记作+10米，那么向西行驶20米，记作 _________米．6．是整数而不是正数的有理数是 .7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .8．一种零件的长度在图纸上是（03.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米. 三、解答题1．说出下列语句的实际意义.（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.3．（2015秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了7天中每天行驶的路程，以50km 为标准，多于50km 的记为“+”，不足50km 的记为“﹣”，刚好50km 的记为“0”，记录数据如下表：时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km ） ﹣8 ﹣11 ﹣14 0 ﹣16 +41 +8 （1）请你估计小明家的小轿车一月（按30天计）要行驶多少千米？（2）若每行驶100km 需用汽油8L ，汽油每升7.14元，试求小明家一年（按12个月计）的汽油费用是多少元？4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，...(2)-1,21,-31,41,51-,61,71-, , ,... ,... 【答案与解析】一、选择题1.【答案】B【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确； （3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误； （4）0℃表示没有温度，错误． 综上，正确的有（2），共一个．2.【答案】C【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数. 3. 【答案】D【解析】D 错误，公元-300年的意义应该是公元前300年. 4. 【答案】 C【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处. 5.【答案】C【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有最小数；C 对. 6. 【答案】B 二、填空题1.【答案】﹣5米2.【答案】0.5，100，0，112；122-，0，-45 【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数. 3.【答案】公元前2008年【解析】正负数表示具有相反意义的量. 4.【答案】0【解析】既不是正数也不是负数的数只有零. 5.【答案】-20.【解析】解：∵向东行驶10米，记作+10米，∴向西行驶20米，记作﹣20米， 故答案为：﹣20．6.【答案】负整数和0【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0. 7.【答案】负分数【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数. 8.【答案】10，10.03，9.98【解析】03.002.010+-表示的数的范围为：大于-（100.02），而小于（10+0.03），即大于9.98而小于10.03.三、解答题1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；（2）运进-5t 表示运出5t ； （3）浪费-14元表示节约14元； （4）上升-2m 表示下降2m ； (5)向南走-7m 表示向北走7m.提示：“-”表示相反意义的量. 2．【解析】3.【解析】 解：（1）=50，50×30=1500（km）．答：小明家的小轿车一月要行驶1500千米；（2）×8×7.14×12=10281.6（元），答：小明家一年的汽油费用是10281.6元．4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…（2）111 ,,...,,... 892011 --数轴与相反数（基础）【学习目标】1．理解数轴的概念及三要素；2．理解有理数与数轴上的点的关系，并会借助数轴比较两个数的大小；3．会求一个数的相反数，并能借助数轴理解相反数的概念及几何意义；4. 掌握多重符号的化简.【要点梳理】要点一、数轴1.定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.要点诠释：（1）原点、正方向和单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可.（2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量线段的长度而制定的单位．有km、m、dm、cm等．（3）原点、正方向、单位长度可以根据实际灵活选定，但一经选定就不能改动．2. 数轴与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数，比如 .要点诠释：（1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示.（2）在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大.要点二、相反数1.定义：只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0.要点诠释：（1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同.（2）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能漏掉.（3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数.（4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可.2.性质：（1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原点对称）.（2）互为相反数的两数和为0.要点三、多重符号的化简多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正，如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 .要点诠释：（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5. （2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数.如－（－3）就是－3的相反数，因此，－（－3）＝3.【典型例题】类型一、数轴的概念1．如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( )A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4)【答案】C【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头.【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可．类型二、相反数的概念2．（2015•宜宾）﹣的相反数是（）A．5 B． C．﹣ D.-5【思路点拨】解决这类问题的关键是抓住互为相反数的特征“只有符号不同”，所以只要将原数的符号变为相反的符号，即可求出其相反数.【答案】B【总结升华】求一个数的相反数，只改变这个数的符号，其他部分都不变.举一反三：【：数轴和相反数例1（1）~（7）】【变式1】填空：(1) －(－2.5)的相反数是；(2) 是-100的相反数；(3)155-是的相反数；(4) 的相反数是-1.1；(5)8.2和互为相反数.（6）a和互为相反数 . （7）______的相反数比它本身大， ______的相反数等于它本身．【答案】（1）－2.5；（2）100；（3）155；（4）1.1；（5）-8.2；（6）-a；（7）负数， 0 .【：数轴和相反数例2】【变式2】下列说法中正确的有( )①－3和＋3互为相反数；②符号不同的两个数互为相反数；③互为相反数的两个数必定一个是正数，一个是负数；④π的相反数是－3.14；⑤一个数和它的相反数不可能相等．A. 0个B.1个C.2个D.3个或更多【答案】B3．（2016•泰安模拟）如图，数轴上有A，B，C，D四个点，其中表示2的相反数的点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【思路点拨】考查相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据定义，结合数轴进行分析．【答案】A【解析】解：∵表示2的相反数的点，到原点的距离与2这点到原点的距离相等，并且与2分别位于原点的左右两侧，∴在A，B，C，D这四个点中满足以上条件的是A．故选A．【总结升华】本题考查了互为相反数的两个数在数轴上的位置特点：分别位于原点的左右两侧，并且到原点的距离相等．类型三、多重符号的化简4.化简下列各数中的符号．（1）123⎛⎫-- ⎪⎝⎭（2）-(+5) （3）-(-0.25) （4）12⎛⎫+- ⎪⎝⎭（5）-[-(+1)] （6）-(-a)【答案】 (1)112233⎛⎫--=⎪⎝⎭（2）-(+5)＝-5 （3）-(-0.25)＝0.25（4）1122⎛⎫+-=-⎪⎝⎭（5）-[-(+1)]＝-(-1)＝1 (6)-(-a)＝a【解析】(1)123⎛⎫-- ⎪⎝⎭表示123-的相反数，而123-的相反数是123，所以112233⎛⎫--=⎪⎝⎭；（2）-(+5)表示+5的相反数，即-5，所以-(+5)=-5；（3）-(-0.25)表示-0.25的相反数，而-0.25的相反数是0.25，所以-(-0.25)＝0.25；（4）负数前面的“+”号可以省略，所以1122⎛⎫+-=-⎪⎝⎭；（5）先看中括号内-(+1)表示1的相反数，即-1，因此-[-(+1)]＝-(-1)而-(-1)表示-1的相反数，即1，所以-[-(+1)]＝-(-1)=1；(6)-(-a)表示-a的相反数，即a．所以-(-a)= a【总结升华】运用多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负．类型四、利用数轴比较大小5．在数轴上表示2.5，0，34-，-1，-2.5，114，3有理数，并用“＜”把它连接起来．【答案与解析】如图所示，点A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 分别表示有理数2.5，0，34-，-1，-2.5，114，3．由上图可得：∴312.5101 2.5344-<-<-<<<< 【总结升华】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小． 举一反三：【变式1】（2014秋•埇桥区校级期中）有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（ ）A ．b ﹣a ＞0B ．﹣b ＜0C ．﹣a ＞﹣bD ．﹣ab ＜0 【答案】D【：数轴和相反数 例4（2）】 【变式2】填空： 大于763-且小于767的整数有______个； 比533小的非负整数是____________． 【答案】11；0，1，2，3类型五、数轴与相反数的综合应用（数形结合的应用）6．已知数轴上点A 和点B 分别表示互为相反数的两个数a ，b(a ＜b)并且A 、B 两点间的距离是144，求a 、b 两数． 【思路点拨】因为a 、b 两数互为相反数(a ＜b)，所以表示a ，b 的两点A 、B 离原点的距离相等，而A 、B 两点间的距离是144，所以A 、B 两点到原点的距离就是1142248÷=． 【答案与解析】解：由题意A 、B 两点到原点的距离都是：1142248÷=而a ＜b ，所以128a =-，128b =．【总结升华】(1)理解相反数的几何意义． (2)从相反数的意义入手，明确互为相反数的两数关于原点对称．举一反三：【变式】填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个．【答案】（1）±5，提示：要注意两种情况，原点左右各一个点；（2）5，提示：画出数轴，容易看出-3和3之间的整数是-2，-1，0，1，2共5个．【巩固练习】一、选择题1.（2015•江阴市模拟）﹣5的相反数是（ ） A ．5 B ．-5 C ．±5 D ．﹣2．下列说法正确的是( )A ．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数B ．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数C ．有的有理数不能在数轴上表示出来D ．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 3．（2016•呼和浩特）互为相反数的两个数的和为（ ） A ．0 B ．﹣1 C ．1 D ．24．如图，有理数a ，b 在数轴上对应的点如下，则有( )．(A)a ＞0＞b (B)a ＞b ＞0 (C)a ＜0＜b (D)a ＜b ＜0 5. 一个数比它的相反数小，这个数是（ ） A.正数 B.负数 C.非正数 D.非负数 6. 如果0a b +=，那么,a b 两个数一定是 （ ）A.都等于0B.一正一负C.互为相反数D.互为倒数 二、填空题1．________________的两个数，叫做互为相反数；零的相反数是________．2.（2015春•岳池县期中）若3a ﹣4b 与7a ﹣6b 互为相反数，则a 与b 的关系为 ．3.（2016•岳阳）如图所示，数轴上点A 所表示的数的相反数是 ．4．数轴上离原点5个单位长度的点有______个，它们表示的数是 ，它们之间的关系是 . 5．化简下列各数： (1)23⎛⎫--= ⎪⎝⎭________ ；(2)45⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________ ；(3){[(3)]}-+-+=________. 【：数轴和相反数 例4（5）】6.已知－1＜a ＜0＜1＜b ，请按从小到大的顺序排列－1，－a ，0，1，－b 为__________． 三、解答题1．小敏的家、学校、邮局、图书馆坐落在一条东西走向的大街上，依次记为A 、B 、C 、D ，学校位于小敏家西150米，邮局位于小敏家东100米，图书馆位于小敏家西400米． (1)用数轴表示A 、B 、C 、D 的位置(建议以小敏家为原点)．(2)一天小敏从家里先去邮局寄信后．以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟．试问这时小敏约在什么位置?距图书馆和学校各约多少米?2.（2014秋•孟津县期中）已知：a 是﹣（﹣5）的相反数，b 比最小的正整数大4，c 是最大的负整数．计算：3a+3b+c 的值是多少？3．化简下列各数，再用“<”连接.(1)-(-54) (2)-(+3.6) (3)53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ (4)245⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．已知3m-2与-7互为相反数，求m 的值．【答案与解析】一、选择题 1.【答案】A 2.【答案】D【解析】A 、B 、C 都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不都表示有理数；一个有理数在数轴上只有一个表示它的点．数轴上表示有理数的点一个点对应一个有理数．3.【答案】A【解析】解：互为相反数的两个数的和为0．故选：A ．4. 【答案】C5. 【答案】B【解析】因为一个负数的相反数是一个正数，负数小于正数，所以选B 6. 【答案】C【解析】若0a b +=，则,a b 一定互为相反数；反之，若,a b 互为相反数，则0a b +=. 二、填空题1. 【答案】只有符号不同，零 【解析】相反数的定义2.【答案】a=b.【解析】∵3a ﹣4b 与7a ﹣6b 互为相反数，∴3a ﹣4b+7a ﹣6b=0，∴a=b. 3.【答案】2.【解析】解：数轴上点A 所表示的数是﹣2，﹣2的相反数是2，故答案为：2．4. 【答案】两个，±5，互为相反数5. 【答案】24;;335-【解析】多重符号的化简是由“-”的个数来定，若“-”个数为偶数个时，化简结果为正，；若“-”个数为奇数个时，化简结果为负.6. 【答案】－ b ＜-1＜0＜-a＜1.三、解答题1. 【解析】(1)如图所示(2)小敏从邮局出发，以每分钟50米的速度往图书馆方向走了约8分钟，其路程为50×8＝400(米)，由上图知，此时小敏位于家西300米处，所以小敏在学校与图书馆之间，且距图书馆100米，距学校150米．2. 【解析】∵a是﹣（﹣5）的相反数，∴a=﹣5，∵b比最小的正整数大4，∴b=1+4=5，∵c是最大的负整数，∴c=﹣1，∴3a+3b+c=3×（﹣5）+3×5﹣1，=﹣15+15﹣1，=﹣1．3．【解析】(1)-(-54)＝54(2)-(+3.6)＝-3.6(3)5533⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭（4）224455⎛⎫--=⎪⎝⎭，将化简后的数表示在数轴上，由图可得： -(+3.6) ＜53⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＜245⎛⎫-- ⎪⎝⎭＜-(-54).4．【解析】依题意：3m-2＝7，故m＝3．绝对值及有理数的大小比较（基础）【学习目标】1．借助数轴理解绝对值的概念，知道|a|的绝对值的含义； 2．会求一个数的绝对值，并会用绝对值比较有理数的大小； 3．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、绝对值1．定义：一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|. 要点诠释：（1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．即对于任何有理数a 都有：（2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质：（1）0除外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数． （2）互为相反数的两个数的绝对值相等.（3）绝对值具有非负性，即任何一个数的绝对值总是正数或0． 要点二、有理数的大小比较1．数轴法：在数轴上表示出两个有理数，左边的数总比右边的数小． 如：a 与b 在数轴上的位置如图所示，则a ＜b ． 2．法则比较法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下：两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0要点诠释：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小．3． 作差法：设a 、b 为任意数，若a-b ＞0，则a ＞b ；若a-b ＝0，则a ＝b ；若a-b ＜0，a ＜b ；反之成立．4． 求商法：设a 、b 为任意正数，若1a b >，则a b >；若1a b =，则a b =；若1ab<，则a b <；反之也成立．若a 、b 为任意负数，则与上述结论相反．5． 倒数比较法：如果两个数都大于零，那么倒数大的反而小．【典型例题】类型一、绝对值的概念1．求下列各数的绝对值． 112-，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭【思路点拨】112，-0.3，0，132⎛⎫-- ⎪⎝⎭在数轴上位置距原点有多少个单位长度，这个数字就是各数的绝对值．还可以用绝对值法则来求解． 【答案与解析】 解：方法1：因为112-到原点距离是112个单位长度，所以111122-=．因为-0.3到原点距离是0.3个单位长度，所以|-0.3|＝0.3．因为0到原点距离为0个单位长度，所以|0|＝0． 因为132⎛⎫-- ⎪⎝⎭到原点的距离是132个单位长度，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭．方法2：因为1102-<，所以111111222⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭．因为-0.3＜0，所以|-0.3|＝-(-0．3)＝0.3．因为0的绝对值是它本身，所以|0|＝0 因为1302⎛⎫--> ⎪⎝⎭，所以113322⎛⎫--= ⎪⎝⎭【总结升华】求一个数的绝对值有两种方法：一种是利用绝对值的几何意义求解(如方法1)，一种是利用绝对值的代数意义求解(如方法2)，后种方法的具体做法为：首先判断这个数是正数、负数还是零．再根据绝对值的意义，确定去掉绝对值符号的结果是它本身，是它的相反数，还是零．从而求出该数的绝对值．2．已知一个数的绝对值等于2009，则这个数是________．【思路点拨】若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数. 【答案】2009或-2009.【解析】根据绝对值的定义，到原点的距离是2009的点有两个，从原点向左侧移动2009个单位长度，得到表示数-2009的点；从原点向右侧移动2009个单位长度，得到表示数2009的点．【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出来． 举一反三：【变式1】（2015•镇江）已知一个数的绝对值是4，则这个数是 ． 【答案】±4.【：绝对值比大小 356845 典型例题3】【变式2】如果｜x ｜＝2，那么x ＝_____ _ ； 如果｜－x ｜＝2，那么x ＝______． 如果｜x －2｜＝1，那么x ＝ ； 如果｜x ｜＞3，那么x 的范围是 ． 【答案】2-2+或；2-2+或；1或3；x>3或x<-3.类型二、绝对值非负性的应用3.（2015•乐山期末）若|x ﹣2|与|y+3|互为相反数，则x+y= ．【思路点拨】由｜a ｜≥0即绝对值的非负性可知，｜x ﹣2｜≥0，｜y+3｜≥0，而它们的和为0．所以｜x ﹣2｜＝0，|y+3|＝0．由此算出结果． 【答案】-1.【解析】∵|x﹣2|与|y+3|互为相反数， ∴|x﹣2|+|y+3|=0， ∴x﹣2=0，y+3=0， 解得x=2，y=﹣3，∴x+y=2+（﹣3）=﹣1． 故答案为：﹣1．【总结升华】若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即|a|+|b|+…+|m|＝0时，则a ＝b ＝…＝m ＝0．类型三、有理数的大小比较4．（2016春•上海校级月考）比较大小： ﹣（﹣1.8）（填“＞”、“＜”或“=”）．【思路点拨】先化简，再比较大小，即可解答． 【答案】＜．【解析】解：|﹣1|=1=1.75，﹣（﹣1.8）=1.8， ∵1.75＜1.8，∴|﹣1|＜﹣（﹣1.8），故答案为：＜． 【总结升华】本题考查了有理数大小比较，解决本题的关键是掌握绝对值的化简以及多重复号的化简方法．举一反三：【：绝对值比大小 356845 典型例题2】 【变式】比大小： 653-______763- ； -|-3.2|______-(+3.2)； 0.0001______－1000；1.38______－1.384；－π______－3.14．【答案】＞；=；＞；＞；＜.【巩固练习】 一、选择题 1．（2015.常州）-3的绝对值是（ ）． A ． 3 B ．-3 C ．13 D ．13- 2．下列判断中，正确的是( )．A. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；B. 如果两个数相等，那么这两个数的绝对值相等；C.任何数的绝对值都是正数；D.如果一个数的绝对值是它本身，那么这个数是正数.3．下列各式错误的是( )．A ．115533+=B ．|8.1|8.1-=C ．2233-=-D ．1122--=- 4．（2016•娄底）已知点M 、N 、P 、Q 在数轴上的位置如图，则其中对应的数的绝对值最大的点是（ ）A ．MB ．NC ．PD ．Q5．若两个有理数a 、b 在数轴上表示的点如图所示，则下列各式中正确的是( )．A ．a ＞bB ．|a|＞|b|C ．-a ＜-bD ．-a ＜|b|6．若|a | + a ＝0，则a 是( )．A. 正数B. 负数C.正数或0D.负数或0二、填空题7．若m ，n 互为相反数，则| m |________| n |；| m |=| n |，则m ，n 的关系是________．8．已知| x |＝2，| y |＝5，且x ＞y ，则x ＝________，y ＝________．9．满足3.5≤| x | ＜6的x 的整数值是___________．10.（2015•大邑县模拟）在﹣2.1，﹣2，0，1这四个数中，最小的数是 ．11．数a 在数轴上的位置如图所示．则|a-2|＝ ．12．已知4334x x -=-，则x 的取值范围是________．三、解答题13．（2014秋•娄底期末）若有理数x 、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y ，求x ﹣y 的值．14．（2016春•桐柏县期末）若|a+1.2|+|b ﹣1|=0，那么a+（﹣1）+（﹣1.8）+b 等于多少？15．比较3a-2与2a+1的大小．【答案与解析】一、选择题。

七年级数学上期末总复习易错、热考点、综合难点考点、有理数的认识(热考点、易错)考纲：1、有理数的概念以及其分类有理数的定义：有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。

分类：2、正负数的应用3、相反数的表示和性质4、绝对值意义和求法以及含有字母的绝对值的化简5、有理数的大小比较6、数轴（数轴的概念、数轴上的点与有理数之间的关系类型一、正负数的应用xK b1. C o m1．如果零上3℃记作 +3℃，那么零下5℃记作（）A、－5B、5C、－5℃D、5℃2、如果中午以后的2小时记作+2小时，那么+2小时前3小时应记作。

3．“十.一”黄金周期间，我市中山陵风景区在7天假期中每天旅游的人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数）（1）若9月20日的游客人数记为a，请用a的代数式表示10月2日的游客人数。

（2）请判断七天内游客人数最多的是哪天？它们相差多少万人？（3）以9月30日的游客人数为0点，用折线统计图表示这7天的游客人数情况：人数变化（万人）3.22.82.42.01.61.20.80.40 1 2 3 4 5 6 7 日期（日）类型二、倒数/相反数1．－的倒数是；2．－2的倒数是( )．A．－2 B．－ C． D．23、x3的倒数与392-x互为相反数，那么x的值是（）A.23B.23- C.3 D.－34、互为相反数的两数（非零）的和是，商是；互为倒数的两数的积是。

5．（易错题，注意哦！）|－3|的相反数是（）A、3B、C、-3D、难点类型三、数轴1、在数轴上到－２的点距离为３的点表示数____________.2．如图，数轴上的点P表示的数是－1，将点P向右移动3个单位长度后，再向左移动2个单位长度得32212113-3±到点P′，则点P′表示的数是（）A．3 B．2 C．1 D．03. －3，，1三个数中离原点最近的数是4.为数轴上表示的点，将点沿数轴向右移动个单位长度到点，则点所表示的数为（）A．B． C．D．或5．如图，数轴的单位长度为1，若点B和点C所表示的两个数的绝对值相等，则点A表示的数是 . 6．实数a、b、c在数轴上表示如上图所示： X| k |B | 1 . c| O |m将a、b、c从小到大的顺序排列为：＜＜；7．在数轴上，M点表示1，距离M点3.5个单位长度的点表示的数是．8．在数轴上到原点距离等于4的点表示为.【答案】±48、在数轴上表示数4，0，－1，－3，并比较它们的大小，将它们从小到大的顺序用“＜”连接。

新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题实数知识框图朱国林定义一个数的平方等于a，这个数叫 a 的平方根一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数性质零的平方根是零；负数没有平方根熟记：平方根等于它本身的数是0平方根一个正数 a 的平方根表示成：± a （读做“正、负根号a”），其中 a 叫做符号表示被开方数。

如 3 的平方根是：± 3 ，那么4的平方根是：开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根定义正数的正平方根称为算术平方根，0 的算术平方根是0算术平方根性质熟记：算术平方根等于它本身的数是0 和 1定义一个数的立方等于 a，这个数叫 a 的立方根一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0 的立方根是 0性质熟记：立方根等于它本身的数是0， 1 和-1立方根一个数 a 的立方根表示成：3 a ，其中a叫做被开方数。

符号表示如 3 的立方根是：3 3 ，那么-8的立方根是：开立方求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根正有理数有限小数或无限循环小数，都可以写成M有理数零N负有理数形式（ M 、 N 均为整数，且N≠ 0）分类无理数正无理数无限不循环小数负无理数实数性质实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样注意掌握以下公式：①a2 3 a3a②考点一、关于“ 说法正确的是”的题型考点二、有关概念的识别考点三、计算类型题考点四、数形结合类型五、实数绝对值的应用考点六、实数非负性的应用考点七、实数应用题将考点与相关习题联系起来考点一、关于“ 说法正确的是”的题型1、下列说法正确的是（）A ．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数 D ．是分数42、有下列说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-17是 17 的平方根。

其中正确的有（）A．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个3、下列结论中正确的是（）A ．数轴上任一点都表示唯一的有理数B ．数轴上任一点都表示唯一的无理数C. 两个无理数之和一定是无理数D. 数轴上任意两点之间还有无数个点考点二、有关概念的识别.22 ，1、下面几个数：0.34 ，1.010010001，30.064 ，3π， 5 ，其中，无理数的个数有（）7A. 1B. 2C. 3D. 42、下列说法中正确的是（）A.81 的平方根是±3B. 1 的立方根是± 1C. 1=±1D. 5 是5的平方根的相反数3、一个自然数的算术平方根为a，则与之相邻的前一个自然数是考点三、计算类型题1、设26 =a，则下列结论正确的是（）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.54、对于有理数x，2013xx20131的值是x3、(32(329)10)4、 4(x-1) 2=9考点四、数形结合1. 点 A 在数轴上表示的数为 3 5 ，点B在数轴上表示的数为 5 ，则A，B两点的距离为______2、如图，数轴上表示1， 2 的对应点分别为 A ，B ，点 B 关于点 A 的对称点为C，则点 C 表示的数是（）A． 2 －1B．1－2C．2－2D． 2 －2考点五、实数绝对值的应用1、| 3 2 2|+| 32|-| 2 3 |考点六、实数非负性的应用21．已知：3a b| a 49|0，求实数a，b的值。

第一章有理数及其运算◆整数：包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。

正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。

◆0既不是正数也不是负数。

◆数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可）。

◆任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示。

（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数，因为还有无理数）◆相反数：只有符号不同的两个数互为相反数，a和-a互为相反数，0的相反数是0。

◆在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

数轴上，右边的数总比左边的数大。

◆绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| |”表示。

正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

◆互为相反数的两数（除0外）的绝对值相等，即|±b|=b任何数的绝对值总是非负数，即|a|≥0比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

第二章有理数的运算◆加法交换律：a+b=b+a加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)◆乘法交换律：axb=bxa乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：(a+b)c=a ◆有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

◆乘方的运算性质：①正数的任何次幂都是正数；②负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；③任何数的偶数次幂都是非负数；④1的任何次幂都得1，0的任何次幂都得0；⑤-1的偶次幂得1；-1的奇次幂得-1；⑥在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。

◆混合运算顺序：·先算乘方，再乘除，后加减；·如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

◆与实际相符的数，叫做准确数，与实际接近的数，叫近似数◆有效数字：一般地，一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，保留几位有效数字第三章实数◆一般地如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根,也叫a的二次方根. 一个正数有正负两个平方根,它们互为相反数; 0的平方根是0; 负数没有平方根. 正数的平方根称为算数平方根.◆实数定义：有理数与无理数统称为实数，有理数能写成有限小数和无限循环小数。

第一章从自然数到有理数的复习课一、目的要求进一步理解并运用有理数、数轴、相反数、绝对值等概念，会比较有理数的大小.二、内容分析小结与复习分作三部分。

第一部分概述了正数与负数、有理数、相反数、绝对值等概念，以及有理数的加、减、乘、除、乘方的运算方法与运算律，还有近似数与有效数字的问题，从而给出全章内容的大致轮廓,第二部分围绕有理数运算这一中心，提出了全章的三条教学要求，第三部分针对这一章新出现的思想、内容、方法等提出了5点应注意的问题。

三、教学过程我们已经学过了有理数全章内容。

概括起来说，这一章我们学的是有理数的概念及其运算。

这节课我们将复习有理数的意义及其有关概念。

复习提问：1．为什么要引入负数？温度为－4℃是什么意思？答：为了表示具有相反意义的量。

温度为－4℃表示温度是零下4摄氏度。

2．什么是有理数?有理数集包括哪些数?答:整数和分数统称为有理数。

有理数集包括：3．什么叫数轴？画出一个数轴来。

答：规定了正方向、原点和单位长度的直线叫数轴。

图略。

4．有理数和数轴上的点有什么关系？答：每一个有理数都可以用数轴上唯一确定的点来表示.但反过来以后可以看到，数轴上任一点并不一定表示有理数。

表示正有理数的点在原点的右边，表示零的点是原点，表示负有理数的点在原点的左边。

5．怎样的两个数叫互为相反数？零的相反数是什么？a的相反数是什么？两个互为相反数的和是什么？答：只有符号不同的两个数叫做互为相反数；并说其中一个是另一个的相反数。

零的相反数是零，a的相反数是－a。

两个互为相反数的和为零。

6．有理数的绝对值的意义是什么？如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值有什么关系？试举例说明。

答：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，数a的绝对值记作｜a｜。

如］|－6|=6，｜6｜=6；一般地，一个正数的绝对值是它本身。

一个负数的绝对值是它的相反数。

0的绝对值是0。

用式子表示就是：如果a＞0，那么|a｜=a；如果a＜0，那么｜a|=－a；如果a=0，那以|a｜=0.如果两个数互为相反数,那么它们的绝对值相等。

七年级数学（上册）第一章有理数及其观点正整数 (如 : 1, 2,3)整数零(0)负整数 (如 :1,2,3)有理数11正分数 (如 :,, 5.3, 3.8)分数21 ,31 ,负分数 (如 : 2.3, 4.8 )231. 整数：包括正整数和负整数，分数包括正分数和负分数。

正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数。

正整数和负整数通称为自然数2.正数：都比 0 大，负数比 0 小， 0 既不是正数也不是负数。

正整数、 0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。

数轴的三因素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不行）。

任何一个有理数，都能够用数轴上的一个点来表示。

（反过来，不可以说数轴上所有的点都表示有理数）3. 相反数：只有符号不一样的两个数互为相反数，a和 - a 互为相反数，0的相反数是 0。

在随意的数前方添上“- ”号，就表示本来的数的相反数。

在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。

数轴上两点表示的数，右侧的总比左侧的大。

正数在原点的右侧，负数在原点的左侧。

4. 绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| | ”表示。

正数的绝对值是它自己，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0。

a( a0)a(a0)愈来愈大| a |0(a0)或| a |0)-3 -2-10123a(a0)a(a即：当 a 是正数时，a a ；当a是负数时，a a ；当a=0时， a05.绝对值的性质：除 0 外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反数的两数（除0 外）的绝对值相等；任何数的绝对值老是非负数，即|a| ≥0①对任何有理数a，都有 |a| ≥0②若 |a|=0，则 |a|=0 ，反之亦然③若 |a|=b ，则 a=± b④对任何有理数a,都有 |a|=|-a|6.比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。

比较两个负数的大小的步骤以下：①先求出两个数负数的绝对值；②比较两个绝对值的大小；③依据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。

新浙教版七年级上册数学第三章?实数?知识点及典型例题知识框图朱国林定义一个数的平方等于a，这个数叫a的平方根一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数性质零的平方根是零；负数没有平方根熟记：平方根等于它本身的数是0平方根一个正数a的平方根表示成：±a〔读做“正、负根号a〞〕，其中a叫做符号表示被开方数。

如3的平方根是：±3，那么4的平方根是：开平方求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根定义正数的正平方根称为算术平方根，0的算术平方根是0 算术平方根性质熟记：算术平方根等于它本身的数是0和1定义一个数的立方等于a，这个数叫a的立方根一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，0的立方根是0 实数立方根性质熟记：立方根等于它本身的数是0，1和-1一个数a的立方根表示成：3a，其中a叫做被开方数。

符号表示如3的立方根是：33，那么-8的立方根是：开立方求一个数的平方根的运算叫做开平方，可用平方运算求一个数的平方根有理数正有理数零有限小数或无限循环小数，都可以写成MN形式〔M、N均为整数，且N≠0〕负有理数分类正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数性质实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样运算有理数的运算法那么、运算律在实数X围内仍然适用1注意掌握以下公式：①2a②3a3a考点一、关于“⋯⋯说法正确的选项是⋯⋯〞的题型考点二、有关概念的识别考点三、计算类型题考点四、数形结合类型五、实数绝对值的应用考点六、实数非负性的应用考点七、实数应用题将考点与相关习题联系起来考点一、关于“⋯⋯说法正确的选项是⋯⋯〞的题型1、以下说法正确的选项是〔〕A．有理数只是有限小数B．无理数是无限小数C．无限小数是无理数D．是分数42、有以下说法：①有理数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④-17 是17的平方根。

其中正确的有〔〕A．0个B．1个C．2个D．3个3、以下结论中正确的选项是〔〕A．数轴上任一点都表示唯一的有理数B．数轴上任一点都表示唯一的无理数C.两个无理数之和一定是无理数D.数轴上任意两点之间还有无数个点考点二、有关概念的识别1、下面几个数：.0.34，1.010010001⋯，30.064，3π，227，5，其中，无理数的个数有〔〕A. 1B. 2C. 3D. 42、以下说法中正确的选项是〔〕A.81的平方根是±3B. 1的立方根是±1C.1=±1D.5是5的平方根的相反数3、一个自然数的算术平方根为a，那么与之相邻的前一个自然数是考点三、计算类型题1、设26=a，那么以下结论正确的选项是〔〕A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.54、对于有理数x，2021xx2021 1x的值是3、22(39)(310)4、4(x-1)2=92考点四、数形结合1.点A在数轴上表示的数为35，点B在数轴上表示的数为5，那么A，B两点的距离为______2、如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，那么点C 表示的数是〔〕A．2－1 B．1－2C．2－2D．2－2考点五、实数绝对值的应用1、|322|+|32|-|23|考点六、实数非负性的应用1．：23ab|49|a，XX数a，b的值。

七年级（上册）1. 有理数1.1. 从自然数到有理数分数都可以化为小数。

分数在化成小数时, 结果可能是有限小数, 也可能是无限循环小数。

大于0的数, 叫正数；小于0的数, 叫负数；0既不是正数也不是负数。

整数和分数统称为有理数。

⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫负分数正分数分数负整数自然数零正整数整数有理数 ⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 1.2. 数轴像这样规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴。

任何一个有理数都可以用数轴上的点表示。

如果两个数只有符号不同, 那么我们称其中一个数为另一个数的相反数, 也称这两个数互为相反数。

0的相反数是0。

1.3. 在数轴上, 表示互为相反数（0除外）的两个点, 位于原点的两侧, 并且到原点的距离相等。

1.4. 绝对值我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。

一个数a 的绝对值表示为|a|。

一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。

互为相反数的两个数的绝对值相等。

1.5. 有理数的大小比较在数轴上表示的两个数, 右边的数总比左边的数大。

2. 正数都大于0, 负数都小于0, 正数大于负数。

3. 两个正数比较大小, 绝对值大的数大；两个负数比较大小, 绝对值大的数反而小。

4. 有理数的运算4.1. 有理数的加法同号两数相加, 取与加数相同的符号, 并把绝对值相加。

异号两数相加, 取绝对值较大的加数的符号, 并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加, 仍得这个数。

加法交换律：两个数相加, 交换加数的位置, 和不变。

a +b = b + a加法结合律: 三个数相加, 先把前面两个数相加, 或者先把后两个数相加, 和不变。

( a + b ) + c = a + ( b + c )4.2.有理数的减法4.3.减去一个数, 等于加上这个数的相反数。

浙教版七年级数学上册各章知识点总结一有理数一、必备知识：1．规定了____________、____________和____________的直线叫做数轴．2．在数轴上，表示互为相反数(0除外)的两个点，位于原点的____________，并且到原点的距离____________．3．一个正数的绝对值是____________；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.____________的两个数的绝对值相等．4．在数轴上表示的两个数，____________的数总比____________的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数____________．【答案】1．原点单位长度正方向 2.两侧相等 3.它本身互为相反数 4.右边左边反而小二、防范点：1．到数轴上的某点距离等于a的点所表示的数有两种情况，已知某数的绝对值求某数时也要注意有两个答案．2．两个负数比较大小时，注意绝对值大的数反而小．考点精练用正数、负数表示相反意义的量例1(1)如果南湖的水位升高0.4m，水位变化记做＋0.4m，那么水位下降0.3m时，水位变化可以记做________m.(2)在下列各组中，哪个选项表示互为相反意义的量( )A．足球比赛胜5场与负2场B．向东走3千米与向南走4千米C．长大1岁和减少2公斤D．下降与上升【答案】 (1)－0.3 (2)A有理数的分类例2 把下列各数分别填在题后相应的集合中： －52，0，－1，0.73，2，－5，78，－29.52，＋28. 正数集合：{ } 负整数集合：{ } 分数集合：{ } 非负整数集合：{ }【答案】正数：0.73，2，78，＋28；负整数：－1，－5；分数：－52，0.73，78，－29.52；非负整数：0，2，＋28.相反数与绝对值例3 (1)－32的相反数是________，－14的倒数是________，2－5的绝对值是________．(2)若实数a 、b 满足|a ＋2|＋b －4＝0，则ab＝________．(3)绝对值小于4的整数有________个，它们的和是________，积是________． 【答案】(1)32－45－2 (2)－12(3)7 0 0有理数的大小比较例4 (1)比较大小：－23________－34.(2)如图，在数轴上有a ，b 两个有理数，则下列结论中，不正确的是( )A ．a ＋b<0B ．a －b<0C ．ab<0D ．(－ab)3>0【答案】(1)> (2)B绝对值相关问题例5 (1)检验4个工件，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的工件是( )A ．－2B ．－3C ．3D ．5(2)已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是( )A ．|a|＜1＜|b|B ．1＜－a ＜bC．1＜|a|＜b D．－b＜a＜－1(3)x是2的相反数，|y|＝3，则x－y的值是________．【答案】 (1)A(2)A(3)－5或1数轴相关问题例6(1)把表示下列各数的点画在数轴上，再按从小到大的顺序，用”<”把这些数连接起来：3，－1，5，0，－|－4|.(2)如果数轴上的两点A，B，它们与原点O的距离分别是：A到O有3个单位，B到O 有5个单位，则A，B两点之间的距离等于________个单位．(3)一刻度尺如图所示放在数轴上(数轴的单位长度是1cm)，数轴上的原点对应刻度尺上的3.6cm，A点和B点分别对应刻度尺上的”15cm”和”0cm”，则A点和B点在数轴上分别表示数________和________．【答案】(1)画图略－|－4|<－1<0<3<5 (2)2或8 (3)11.4 －3.6用正、负数解决生活实际问题例7根据《青少年生长参考》的身高标准表，一个13周岁的男生的标准身高为156.0cm，若记该标准身高为0，高于该标准记为”＋”，低于该标准记为”－”．某校七年级一组男生共有8名13周岁的学生，在体检中测得他们的身高汇总如下表：姓名张民王峰李志伟吴浩王小飞赵康鹏胡彪张远身高(cm) －1.5 2.8 0.8 0 －0.7 1.6 0 －1.1(1)哪位学生的身高最高？哪位学生的身高最矮？(2)张民身高多少？李志伟呢？(3)该组男生中身高最高的比最矮的高多少？【答案】(1)王峰张民(2)154.5cm 156．8cm(3)4.3cm课后练习1．5个城市的国际标准时间(单位：时)在数轴上表示如图所示，那么北京时间1月4日20时应是( )第1题图A．伦敦时间1月4日11时B．巴黎时间1月4日13时C．纽约时间1月4日5时D．首尔时间1月4日19时2．数轴上到－3的距离等于2的数是____________．3．甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左移动甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数－10，那么此时甲温度计的度数－5正对着乙温度计的度数是____________．第3题图4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，…，依此规律，第7个图形的小圆个数是____________．第4题图5．在数轴上，点A与点B表示的数分别为a和2(a＜2)，已知点C是线段AB的三等分点，且点C表示的数为1，则a的值是____________．6．如图，已知数轴的单位长度为1.(1)如果点A，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是____________；(2)如果点D，B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是____________(填”正数”或”负数”)，图中表示的5个点中，表示的数的绝对值最小的一个点是____________，最小的绝对值是____________；(3)若点A 为原点，CF ＝3，求点F 表示的数．第6题图7．阅读：因为一个非负数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数，所以当a≥0时，a ＝a ；当a ＜0时，a ＝－a.根据以上阅读完成：(1)|3.14－π|＝____________；(2)计算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－13＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－14＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪199－1100.8．阅读理解：若A 、B 、C 为数轴上三点，点C 是线段AB 上一点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离的2倍，我们就称点C 是【A ，B 】的好点，如图1，点A 表示的数为－1，点B 表示的数为2，表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是【A ，B 】的好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 距离是2，那么点D 就不是【A ，B 】的好点，但点D 是【B ，A 】的好点．知识运用：如图2，M 、N 为数轴上两点，点M 所表示的数为－2，点N 所表示的数为4.(1)数____________所表示的点是【M ，N 】的好点；(2)如图3，A 、B 为数轴上两点，点A 所表示的数为－20，点B 所表示的数为40，现有一只电子蚂蚁P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度向左运动，到达点A 时停止，运动的时间为t 秒．当t 为何值时，点P 、A 和B 中恰有一个点为其余两点的好点？第8题图【答案】1．B 2.－5或－1 3.15 4.605．－1或12 【解析】①AC＝13AB 时，1－a ＝13(2－a)，得a ＝12；②BC＝13AB 时，2－1＝13(2－a)，得a ＝－1. 6．(1)－1 (2)正数 C 0.5 (3)5或－17．(1)π－3.14 (2)⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－13＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪13－14＋…＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪199－1100＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋199－1100＝1－1100＝99100.8．(1)2 (2)t 为10秒或20秒二 有理数的运算一、必备知识：1．若两个有理数的乘积为____________，就称这两个有理数____________． 2．有理数的各种运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律．3．有理数混合运算的法则是：先算____________，再算____________，最后算____________．如有括号，先进行____________运算．4．把一个数表示成____________与____________的幂相乘的形式叫做科学记数法． 【答案】1 互为倒数 3.乘方 乘除 加减 括号里的 4.a(1≤a<10) 10 二、防范点：1．倒数不要和相反数混淆，倒数符号不变，相反数要变号．2．乘方运算不要和乘法运算混淆，如23和32不相等．3．有理数混合运算中注意运算顺序，特别是乘、除同级运算时，注意从左到右的运算顺序．4．求用科学记数法表示的数及带单位的有理数的精确位数时要注意单位及10的幂的位数． 考点精练倒数的概念例1 (1)2020的倒数为( )A ．－2020B ．2020C ．－D .(2)已知a 与b 互为倒数，m 与n 互为相反数，则12ab －9m －9n 的值是________．【答案】 (1)D (2)12有理数运算法则及运算顺序例2 下列计算错在哪里？应如何改正？ (1)74－22÷70＝70÷70＝1； (2)(－112)2－23＝114－6＝－434；(3)23－6÷3×13＝6－6÷1＝0.【答案】(1)运算顺序错．改正为：74－22÷70＝74－4÷70＝74－235＝733335；(2)运算法则错．改正为：(－112)2－23＝94－8＝－234；(3)运算法则和运算顺序都错．改正为：23－6÷3×13＝8－6×13×13＝8－23＝713.有理数的混合运算例3 计算：(1)(－2)2＋3×(－2)－1÷(14)2；(2)－32－[－(12)2－116]×(－2)÷(－1)2017.【答案】(1)－18 (2)－838有理数的简便计算例4 用简便方法计算：(1)(－6134)－(－512)＋(134)－(＋8.5)；(2)19999899×(－11)；(3)(－5)×713＋7×(－713)－(＋12)×713.【答案】 (1)－63 (2)－2199989(3)－176近似数及科学记数法例5 (1)数361000000用科学记数法表示，以下表示正确的是( )A ．0.361×109B ．3.61×108C ．3.61×107D ．36.1×107(2)下列近似数精确到哪一位？ ①4.7万 ②17.68(3)用四舍五入法按要求取下列各数的近似数： ①0.61548(精确到千分位)；②73540(精确到千位)．【答案】 (1)B (2)①千位 ②百分位 (3)①0.615 ②7.4×104有理数混合运算的应用例6 出租车司机王师傅从上午8：00～9：00在某市区东西向公路上营运，共连续运载八批乘客．若规定向东为正，向西为负，王师傅营运八批乘客里程如下：(单位：千米)＋5，－6，＋3，－7，＋5，＋4，－3，－4.(1)将最后一批乘客送到目的地时，王师傅在第一批乘客出发地的什么位置？ (2)已知王师傅的车在市区耗油成本约为0.6元/千米，若出租车的收费标准为：起步价8元(不超过3千米)，若超过3千米，超过部分按每千米2元收费，则王师傅在上午8：00～9：00扣除耗油成本后赚了多少元？【答案】 (1)正西方向3千米处 (2)67.8元 课后练习1．计算：3×(－1)3＋(－5)×(－3)____________． 2．已知(x －2)2＋||2y ＋6＝0，则x ＋y ＝____________.3．如图，数轴上A 、B 两点分别对应实数a 、b ，则a 与b 之间的关系是____________．(写出一个正确关系式即可)第3题图4．由四舍五入得到的近似数0.50，精确到____________位，它表示大于或等于____________且小于____________的数．5．数轴上A 、B 两点位于原点O 的两侧，点A 表示的实数是a ，点B 表示的实数是b ，若||a －b ＝2016，且AO ＝2BO ，则a ＋b 的值是____________．6．计算：(1)(34－112＋13)×(－60)；(2)(－3)2÷92＋(－1)2017－|－2|.7．已知x ，y 为有理数，现规定一种新运算※，满足x※y＝xy ＋1. (1)求2※3的值； (2)求(3※5)※(－2)的值；(3)探索a※(b＋c)与a※b＋a※c 的关系，并用等式把它们表达出来．【答案】．12 2.－1 3.答案不唯一，如a ＞b 4．百分 0.495 0.505 5.±6726．(1)(34－112＋13)×(－60)＝－60×34＋60×112－60×13＝－45＋5－20＝－60.(2)(－3)2÷92＋(－1)2017－|－2|＝9×29－1－2＝－1. 7．(1)7 (2)－31(3)∵a※(b＋c)＝a(b ＋c)＋1＝ab ＋ac ＋1，a ※b ＋a※c＝ab ＋1＋ac ＋1.∴a※(b＋c)＋1＝a※b＋a※c.三 实数一、必备知识：1．一个正数a 有____________个平方根，正平方根用____________表示，负平方根用____________表示.0的平方根等于____________，____________没有平方根．2．一个正数有一个____________的立方根；一个负数有一个____________的立方根；0的立方根是____________．3．____________叫做无理数．常见的无理数有三种形式：①带π的，②开不尽的方根，③不是循环规律的无限小数．4．在数轴上表示两个实数，____________的数总比____________的数大．数轴上的点与____________一一对应．【答案】1．正、负两 a － a 0 负数 2.正 负 0 3.无限不循环小数 4.右边 左边 实数二、防范点：1．区分平方根和算术平方根的概念，注意一个正数的平方根必有两个． 2．不要把无限小数都认为是无理数．如227，0.31等无限小数都是有理数．考点精练平方根、算术平方根及立方根例1 (1)14的算术平方根是________，16的平方根是________，64的立方根是________．(2)下列说法中正确的是( )A ．9的立方根是3B ．－9的平方根是－3C ．±4是64的立方根D ．4是16的算术平方根【答案】(1)12±2 2 (2)D算术平方根的双重非负性例2 (1)已知实数x ，y 满足|x －5|＋y ＋6＝0，求(x ＋y)2017的值；(2)对于有理数x ，2017－x ＋x －2017＋1x的值是( )A ．0B ．2017C .12017D ．－2017 【答案】(1)－1 (2)C无理数、实数的概念及实数的分类例3 (1)在－4，3.14，π，10，1.51，27中，无理数的个数是( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个(2)在0，3.14，13，2π，－8，81，－0.4，－9，4.262262226…(每两个”6”之间依次多一个”2”)中，属于有理数的有 ； 属于无理数的有 ； 属于正实数的有 ； 属于负实数的有 ． 【答案】(1)A (2)有理数有：0，3.14，13，81，－0.4，－9；无理数有：2π，－8，4.262262226…(每两个“6”之间依次多一个“2”)；正实数有：3.14，13，2π，81，4.262262226…(每两个“6”之间依次多一个“2”)；负实数有：－8，－0.4，－9.用有理数估计无理数，实数的大小比较例4 (1)估计11的值在( )A ．1与2之间B ．2与3之间C ．4与5之间D ．3与4之间(2)10的整数部分是________，37的小数部分是________． (3)把下列实数表示在数轴上，并将它们用”<”连接起来： －1.5，－3，3，0，π【答案】(1)D (2)337－6 (3)画图略 －3<－1.5<0<3<π实数与数轴相关问题例5 (1)如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数2的点为圆心，正方形对角线长为半径画半圆，交数轴于点A 和点B ，则点A 表示的数是________；点B 表示的数是________．(2)如图所示，数轴上表示2，5的点分别为C ，B ，点C 是AB 的中点，则点A 表示的数是________．【答案】(1)2－ 2 2＋ 2 (2)4－5实数的运算例6 计算下列各题： (1)16－(3－27＋4)；(2)9－(－3)2＋3（－8）2－（－2）2；(3)用计算器计算3＋(－3)×(2－3)(结果精确到0.001)．【答案】(1)3 (2)2 (3)2.686运用实数的运算解决一些简单的实际问题例7 将一个半径为10cm 的圆柱体容器里的药液，倒进一个底面是正方形的长方体容器内，如果药液在两个容器里的高度是一样的，那么长方体容器的底面边长是多少？(结果精确到0.1)．【答案】17.7cm 课后练习1．已知3≈1.732，30≈5.477，那么30000≈( )A ．173.2B ．±173.2C ．547.7D ．±547.72．请写出两个无理数，使它们的和是有理数____________． 3．若a ＜14＜b ，且a ，b 为连续正整数，则a 2－b 2＝____________. 4．计算：(1)4－144＋||－16－5116＝____________； (2)()－22＋||2－1－(2＋1)＝____________.5．在如图所示的数轴上，点B 与点C 到点A 的距离相等，A 、B 两点对应的实数分别是1和－3，则点C 对应的实数是____________．第5题图6．计算：(1)9－169＋|－4|－614；(2)（－3）2＋|3－1|－(3＋1)．7．当运动中的汽车撞击到物体时，汽车所受到的损坏程度可以用”撞击影响”来衡量．某种型号的汽车的撞击影响可以用公式I ＝2v 2来表示，其中v(千米/分)表示汽车撞击时的行驶速度．假设这种型号的汽车在一次撞车实验中测得撞击影响为17，试求出撞击时该车的行驶速度(精确到1千米/分)．【答案】1．A 2．答案不唯一，如：－π，π 3．－7 4．(1)－814 (2)0 5．2＋ 36．(1)原式＝3－13＋2－52＝－1012. (2)原式＝3＋3－1－3－1＝1.7．根据I ＝2v 2，I ＝17，∴v 2＝I 2＝172，∴v ＝172≈3千米/分． 答：撞击时该车的行驶速度约为3千米/分．四 代数式一、必备知识：1．数和表示数的字母相乘，或字母和字母相乘时，____________可以省略不写，或用____________来代替．数和字母相乘，在省略乘号时，要把数字写在字母的____________．2．由数与字母或字母与字母相乘组成的代数式叫做____________．单项式中数字因数叫做这个单项式的____________，所有字母的指数的____________叫做这个单项式的____________．3．由几个____________相加组成的代数式叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的____________，不含字母的项叫做____________，____________就是这个多项式的次数．4．合并同类项法则：把同类项的____________相加，所得的结果作为系数，____________不变．5．整式的加减运算可归结为____________和____________．【答案】1．乘号 “·” 前面 2.单项式 系数 和 次数 3.单项式 项 常数项 次数最高的项的次数 4.系数 字母和字母的指数 5.去括号 合并同类项二、防范点：1．用代数式表示简单数量关系时，若是带单位的和式不要遗漏括号．2．区分单项式次数和多项式次数的概念，单项式次数是所有字母指数和，而多项式次数只是次数最高的项的次数，指数不用求和．3．求代数式值的过程中，当字母表示的数为负数或分数时，注意添加括号． 4．进行整式加减运算的过程中，往往每个多项式都要添加括号进行加减．5．当括号前是”－”号时，去掉括号和”－”号时，各项都要改变符号，不要遗漏． 考点精练用代数式表示简单的数量关系及代数式的实际背景或几何意义例1 (1)用代数式表示： ①x 的2倍与y 的－3倍的差； ②a 与b 的平方的和； ③x 的相反数与3的倒数的差． (2)说出下列代数式的意义： ①3a ＋b ； ②(a－b)2； ③x－1y .【答案】 (1)①2x－(－3y)； ②a＋b 2； ③－x －13.(2)①a 的3倍与b 的和； ②a 与b 的差的平方； ③x 与y 的倒数的差求代数式的值例2 (1)当a ＝3，b ＝－2时，代数式(a －b)(a ＋b)的值是________； (2)当a ＋b ＝2，a －b ＝5时，代数式(a ＋b)3·(a －b)2的值是________； (3)当x ＋2y ＝－6时，代数式－x ＋10－2y 的值是________． 【答案】(1)5 (2)200 (3)4单项式和多项式例3 (1)下列说法正确的是( )A ．单项式－25x 2y 的系数是25，次数是2 B ．单项式x 的系数是0，次数是0 C .ab －32是二次单项式 D ．单项式－3x 2y 2的系数是－32，次数为3(2)多项式15x 3－2y 4－1是________次________项式，次数最高项是________．【答案】(1)D (2)四 三 －2y 4整式的加减例4 (1)化简：2(a 2＋a －3)－3(a 2－1)．(2)先化简，再求值：5a 2b －{2a 2b －[3ab 2－(4ab 2－2a 2b)]}，其中a ＝－3，b ＝0.5. (3)试说明代数式(2a －3b ＋5)－(2－b ＋a)－(a －2b －6)的值与a ，b 的取值无关．【答案】(1)－a 2＋2a －3 (2)原式＝5a 2b －ab 2＝23.25(3)化简结果为9，所以和a ，b 的取值无关．运用整式加减解决简单的实际问题例5 如图，四边形ABCD 和四边形ECGF 都是正方形． (1)用含x ，y 的式子表示三角形BGF 的面积； (2)用含x ，y 的式子表示阴影部分面积；(3)求当x ＝2cm ，y ＝3cm 时，阴影部分的面积是多少？【答案】(1)12xy ＋12y 2(2)12x 2＋12y 2－12xy (3)72cm 2课后练习1．已知代数式3x 2－4x ＋6的值为9，则x 2－43x ＋9的值为____________．2．已知A ＝x －5x 2，B ＝x 2－11x ＋6，那么化简2A －B 的结果是____________． 3．一个两位数的个位数字为a ，十位数字比个位数字大2，则这个数为____________．(用含有a 的代数式表示)4．(1)先化简，再求值：2(a 2－ab)－3(23a 2－ab)，其中a ＝23，b ＝－6；(2)若代数式(2x 2＋ax －y ＋b)－(2bx 2＋3x ＋5y ＋1)的值与字母x 的取值无关，求a ，b 的值．5．台风登陆浙江，使余姚、宁波受灾严重．某企业在杭州和绍兴的两个分厂同时捐赠生活物资若干，杭州厂可支援外地4车，绍兴厂可支援外地10车．现在决定给余姚8车，宁波6车，每车的运费如下表.设杭州运往余姚的生活物资为x 车． (1)用含x 的代数式填表：(2)若总运费为6750元，则杭州运往余姚的生活物资应为多少车？ 【答案】1．10 2.13x －11x 2－6 3.11a ＋204．(1)原式＝2a 2－2ab －2a 2＋3ab ＝ab ，当a ＝23，b ＝－6时，原式＝ab ＝23×(－6)＝－4. (2)原式＝(2－2b)x 2＋(a －3)x －6y ＋b －1，∵代数式的值与字母x 的取值无关，∴2－2b ＝0，a －3＝0，即a ＝3，b ＝1.5．(1)(2)由题意得：6750＝550x ＋800(4－x)＋300(8－x)＋560(2＋x)，解得x ＝3.答：若总运费为6750元，则杭州运往余姚的生活物资应为3车．一元一次方程(一)一、必备知识：1．方程的两边都是____________，只含有____________未知数，并且未知数的指数是____________，这样的方程叫做一元一次方程．2．等式的性质1：等式的两边都加上(或都减去)____________数或式，所得结果仍是等式．等式性质2：等式的两边都乘或除以同一个____________(除数不能为0)，所得结果仍是等式．3．解方程常见的变形有____________，____________，____________，____________，____________.【答案】1．整式 一个 一次 2.同一个 数或式 3.去分母 去括号 移项 合并同类项 两边同除以未知数的系数 二、防范点：1．利用等式性质2时，注意除数或式不能为0. 2．移项要注意变位置，变符号两个变．3．去分母时不要漏乘没分母的单项式，去掉分母后，分子部分为一个整体，要添加括号．4．用分配律去括号时注意不要漏项，并注意每一项的符号变化． 考点精练一元一次方程的概念例1 (1)下列方程中，是一元一次方程的是( )A ．x 2－4x ＝3B ．x ＋2y ＝1C ．x －1＝0D ．x －1＝1x(2)关于x 的方程(m －1)x n －2－3＝0是一元一次方程，则m ，n 应满足的条件为：m________，n________．【答案】(1)C (2)≠1 ＝3一元一次方程的解例2 (1)请写出一个未知数x 的系数为2，且解为x ＝－3的一元一次方程________．(2)若x ＝－2是关于x 的方程2x ＋3m ＋5＝0的解，则m 的值为________．(3)已知关于x 的方程9x －3＝kx ＋14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝__________．【答案】(1)答案不唯一，如2x ＝－6 (2)－13(3)8，10，－8，26等式的基本性质例3 (1)如果a ＝b ，那么下列式子不一定成立的是( )A ．a ＋c ＝b ＋cB ．c －a ＝c －bC ．ac ＝bcD .a c ＝b c(2)已知2x ＋y ＝0，且x≠0，则yx的值为( )A ．－2B ．－12 C ．2 D .12(3)在括号内填写解方程中一些步骤的依据： 2－x 4＝x3＋1. 解：去分母，得：3(2－x)＝4x ＋12( )， 去括号，得：6－3x ＝4x ＋12( )， 移项，得：－3x －4x ＝12－6( )， 合并同类项，得：－7x ＝6， 系数化为1，得：x ＝－67( )．【答案】(1)D (2)A (3)等式性质2 去括号法则或分配律 等式性质1 等式性质2解一元一次方程例4 (1)解方程2x 0.3＋0.5－0.1x 0.2＝1时，把分母化为整数正确的是( )A .20x 3＋5－x 2＝10B .20x 3＋5－x 2＝1C .20x 3＋0.5－0.1x 2＝10 D .2x 3＋5－x2＝1(2)某同学在解关于y 的方程2y －13＝y ＋a 2－1去分母时，方程右边的－1没有乘6，结果求得方程的解为y ＝2，试求a 的值及此方程的解．(3)解方程：①5(x ＋8)－5＝6(2x －7)； ②3y －14－1＝5y －76； ③0.1x －0.20.02－x ＋10.5＝3.【答案】 (1)B (2)a ＝13，y ＝－3. (3)①x＝11； ②y＝－1； ③x＝5.课后练习1．下列各项正确的是( )A ．7x ＝4x －3移项得7x －4x ＝3B ．由2x －13＝1＋x －32去分母得2(2x －1)＝1＋3(x －3) C ．由2(2x －1)－3(x －3)＝1去括号得4x －2－3x －9＝1 D ．由2(x ＋1)＝x ＋7去括号、移项、合并同类项得x ＝52．关于x 的方程|m －1|x|n －2|－13＝0是一元一次方程，则m ，n 应满足的条件为：m____________，n____________.3．定义新运算a※b 满足：(a ＋b)※c＝a※c＋b ，a ※(b ＋c)＝a※b－c ，并规定：1※1＝5，则关于x 的方程(1＋4x)※1＋1※(1＋2x)＝12的解是x ＝____________.4．当x 取何值时，代数式3x ＋26和x －2是互为相反数？5．解方程：(1)1－3x －52＝1＋5x 3；(2)32[23(x4－1)－2]－x ＝2.【答案】1．D 2.≠1 ＝3或1 3.14．由题意得3x ＋26＋x －2＝0，解方程得x ＝109.5．(1)x ＝1 (2)x ＝－8一元一次方程(二)一、必备知识：1．问题解决的基本步骤：____________，____________，____________，____________. 2．行程问题：速度×时间＝路程，速度和×时间＝总路程，速度差×时间＝追及的路程．3．工程问题：工作效率×工作时间＝工作总量，甲、乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率．4．利率问题：本金×利率×存期＝利息，利息×税率＝利息税，本金＋利息－利息税＝实得本利和．【答案】1.理解问题 制订计划 执行计划 回顾 二、防范点：1．各类问题中的数量关系要理清．如行程问题中速度、时间、路程之间的关系，工程问题中工作效率、工作时间、工作总量之间的关系等．利用常见的相等关系列方程．2．调配问题中要分清是内部调配还是外部调配，配套问题中注意两个量之间的比例关系不要搞错．3．题意比较复杂时要用线段图示、列表等方法分析题意． 考点精练一元一次方程的应用例1 (1)小华带x 元钱去买甜点，若全买红豆汤圆，刚好可买30杯；若全买豆花，刚好可买40杯．已知豆花每杯比红豆汤圆便宜1元，依据题意可列出的方程是________________．(2)如图，要求以下的”□”内填入同一个数字．求这个数字是________．9 □ 1 × 3 □763(3)要锻造一个边长为50mm 的立方体零件毛坯，需要取直径为100mm 的圆钢长为________mm (结果保留π)．(4)小华的爸爸三年前为小华存了一份5000元的教育储蓄，今年到期时的本息和是5405元，请你帮小华算一算，这种储蓄的年利率是________．(5)植树节期间，我市某初中学校组织植树活动，已知在甲处植树的有13人，在乙处植树的有17人．现调15人去支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的12，问应调往甲、乙两处各多少人？(6)甲、乙两人分别从A 、B 两地出发，甲骑摩托车，乙骑自行车，沿同一条路线相向匀速行驶．出发后经3小时两人相遇．已知在相遇时乙比甲少行驶了90千米，相遇后经1小时甲到达B 地．问甲、乙行驶的速度分别是多少？【答案】(1)x 30＝x 40＋1 (2)2 (3)50π(4)2.7% (5)调往甲处2人，调往乙处13人． (6)甲的速度是45千米/小时，乙的速度是15千米/小时．利用一元一次方程解决方案决策问题例2 一家电信公司推出两种移动电话计费方法：计费方法A 是每月收月租费58元，通话时间不超过160分钟的部分免费，超过160分钟的按每分钟0.25元加收通话费；计费方法B 是每月收取月租费88元，通话时间不超过250分钟的部分免费，超过250分钟的按每分钟0.20元收通话费．现在设通话时间是x 分钟．(1)当通话时间超过160分钟，请用含x 的代数式表示计费方法A 的通话费用；(2)当通话时间超过250分钟，请用含x的代数式表示计费方法B的通话费用；(3)用计费方法A的用户一个月累计通话360分钟所需的话费，若改用计费方法B，则可通话多少分钟？(4)请你分析，当通话时间超过多少分钟时采用计费方法B合算？【答案】(1)A：58＋0.25(x－160)＝(0.25x＋18)元；(2)B：88＋0.2(x－250)＝(0.2x＋38)元；(3)由题意得：0.2x＋38＝0.25×360＋18，解得：x＝350.(4)由于超过一定时间后，B的计费方式每分钟费用小于A的计费方式，因此时间越多，B的计费方式越合算．当用x分钟时，两种计费方式所需费用一样，得0.2x＋38＝0.25x＋18，解得：x＝400.答：当通话时间超过400分钟时，采用计费方法B合算．例3霞霞和瑶瑶两位学生在数学活动课中，把长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条黏合起来．霞霞按图1所示方法黏合起来得到长方形ABCD，黏合部分的长度为a cm；瑶瑶按图2所示方法黏合起来得到长方形A1B1C1D1，黏合部分的长度为b cm.【图形理解】若霞霞和瑶瑶两位学生按各自要求分别黏合两张白纸条(如图3)，则DC ＝____________cm，D1C1＝____________cm(用含a或b的代数式表示)；若霞霞和瑶瑶两位学生按各自要求分别黏合n张白纸条(如图1、2)，则DC＝____________cm(用含a和n的代数式表示)，D1C1＝____________cm(用含b和n的代数式表示)；【问题解决】若a＝b＝6，霞霞用7张长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条黏合成一个长方形ABCD，瑶瑶用n张长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条黏合成一个长方形A1B1C1D1.若长方形ABCD的面积与长方形A1B1C1D1的面积相等，求n的值？【拓展应用】若a＝6，b＝4，长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条共有30张．问如何分配30张长方形白纸条，才能使霞霞和瑶瑶按各自要求黏合起来的长方形面积相等(要求30张长方形白纸条全部用完)？若能，请求出霞霞和瑶瑶分别分配到几张长方形白纸条；若不能，请说明理由．【答案】图形理解：(60－a) (20－b) [30n－a(n－1)] [10n－b(n－1)]问题解决：由题知：10×[30×7－6×(7－1)]＝30×[10n－6×(n－1)]，∴1560＝120n，∴n＝13.答：n的值为13.拓展应用：设长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条分配给霞霞x张，则瑶瑶(30－x)张．∴10×[30x－6×(x－1)]＝30×[10×(30－x)－4×(30－x－1)]，∴24x＋6＝3(300－10x－120＋4x＋4)，∴x＝13，∴30－x＝30－13＝17(张)．答：长为30cm，宽为10cm的长方形白纸条分配给霞霞13张，瑶瑶17张．课后练习1．甲、乙两人分别从相距162千米的A，B两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，相向匀速行驶．已知乙的速度是甲的3倍．经过2小时后，乙的摩托车发生故障，停在路边等待甲，又经过了1小时两人相遇，问甲、乙两人的速度各是多少？2．民航规定：旅客可以免费携带a kg物品，若超过a kg，则要收取一定的费用，当携带物品的质量为b kg(b>a)时，所交费用为Q＝10b－200(单位：元)．(1)若小明携带了35kg物品，质量大于a kg，则他应该交多少费用？(2)若小王交了100元费用，则他携带了多少千克的物品？(3)若收费标准以超重部分的质量m(kg)计算，在保证所交费用Q不变的情况下，试用m 表示Q.3．某地的一种绿色蔬菜，在市场上若直接销售，每吨利润为1000元，经粗加工后销售，每吨利润4000元，经精加工后销售，每吨利润7000元．当地一家公司现有这种蔬菜140吨，该公司加工厂的生产能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨，如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但每天两种方式不能同时进行．受季节等条件的限制，必须用15天时间将这批蔬菜全部销售或加工完毕．为此，公司研制了三种方案：方案一：将蔬菜全部进行粗加工；方案二：尽可能地对蔬菜进行精加工，没来得及加工的蔬菜，在市场上直接销售；方案三：将一部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并刚好15天完成．如果你是公司经理，你会选择哪一种方案，说明理由．【答案】1．设甲的速度是x千米/小时，则乙的速度是3x千米/小时，由题意可得：2(x＋3x)＋x＝162，解得x＝18，∴3x＝54千米/小时．答：甲的速度是18千米/小时，乙的速度是54千米/小时．2．(1)Q＝35×10－200＝150元．(2)设小王携带了x kg物品，由10x－200＝100，得x＝30.(3)由10a－200＝0，得a＝20，则m＝b－a＝b－20，即b＝m＋20，Q＝10b－200＝10m 元．3．方案一：4000×140＝560000(元)；方案二：15×6×7000＋(140－15×6)×1000＝680000(元)；方案三：设精加工x吨，则x6＋140－x16＝15，解得x＝60，7000×60＋4000×(140－60)＝740000(元)．答：选择第三种方案．图形的初步知识(一)一、必备知识：1．点、线、面、体称为____________．2．经过两点____________一条直线．3．线段有____________端点，它可以用表示它的____________端点的____________字母表示，也可以用一个____________字母表示．射线有____________端点，它可以用表示它的端点和射线上另外一个点的两个____________字母表示，表示端点的字母要写在____________．直线____________端点，它可以用它上面任意两个点的____________字母表示，也可以用一个____________字母表示．4．在所有连结两点的线中，____________最短．连结两点的____________叫做两点间的距离．【答案】1．几何图形 2.有一条而且只有 3.两个两个大写小写1个大写前面没有大写小写 4.线段线段的长度二、防范点：1．表示线段、直线时，注意区分大小写字母，小写字母一个就够，大写字母表示的话要两个字母，不要大小写字母一起用．射线的表示注意端点字母必在前．2．两点间距离概念注意两个关键词，一个是”线段”，一个是”长度”，两者缺一不可．考点精练几何图形例1(1)如图，长方形绕它的一条边MN所在的直线旋转一周形成的几何体是( )(2)你能说出下面的图形中，哪些是平面图形，哪些是立体图形吗？。

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⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧有理数⎪⎩⎪⎨⎧)3,2,1:()3,2,1:( 如负整数如正整数整数)0(零⎪⎩⎪⎨⎧----)8.4,3.2,31,21:( 如负分数分数)8.3,3.5,31,21:( 如正分数七年级数学（上册）第一章 有理数及其概念1.整数:包含正整数和负整数，分数包含正分数和负分数。

正整数和正分数通称为正数，负整数和负分数通称为负数.正整数和负整数通称为自然数2.正数：都比0大，负数比0小，0既不是正数也不是负数。

正整数、0、负整数、正分数、负分数这样的数称为有理数。

数轴的三要素：原点、正方向、单位长度(三者缺一不可）。

任何一个有理数，都可以用数轴上的一个点来表示.（反过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）3.相反数:只有符号不同的两个数互为相反数，a a 和-互为相反数，0的相反数是0。

在任意的数前面添上“—”号，就表示原来的数的相反数.在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等.数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。

正数在原点的右边,负数在原点的左边。

4.绝对值：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，用“| ｜”表示.正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。

浙教版七年级上册数学知识点复习资料一、有理数（一）正数和负数正数：大于 0 的数。

负数：小于 0 的数。

0 既不是正数也不是负数。

用正负数表示具有相反意义的量，如向东走 5 米记为+5 米，那么向西走 3 米记为－3 米。

（二）有理数的分类1、按定义分：有理数包括整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。

2、按性质分：有理数包括正有理数（正整数、正分数）、0、负有理数（负整数、负分数）。

（三）数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。

（四）相反数绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数。

0 的相反数是 0。

互为相反数的两个数之和为 0。

（五）绝对值数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值。

正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0。

二、有理数的运算（一）加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

异号两数相加，绝对值相等时和为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。

一个数同 0 相加，仍得这个数。

（二）减法减去一个数，等于加上这个数的相反数。

（三）乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数与 0 相乘都得 0。

几个不为 0 的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数。

（四）除法除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数。

0 除以任何一个不为 0 的数都得 0。

（五）乘方求 n 个相同因数 a 的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在 an 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

（六）混合运算先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的。

三、实数（一）平方根如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根。

一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是 0；负数没有平方根。

完整版)新浙教版七年级上册数学第三章《实数》知识点及典型例题实数是数学中一个重要的概念，它包括有理数和无理数两种。

其中，一个数的平方等于a时，这个数就叫做a的平方根。

一个正数有正、负两个平方根，它们互为相反数。

需要注意的是，零的平方根是零，而负数没有平方根。

另外，一个正数a的平方根表示成±a（读做“正、负根号a”），其中a叫做被开方数。

例如，3的平方根是±3，4的平方根是±2.类似地，一个数a的立方等于a时，这个数就叫做a的立方根。

一个正数有一个正的立方根，一个负数有一个负的立方根，它们互为相反数。

需要注意的是，立方根等于它本身的数是1和-1.一个数a的立方根表示成3a，其中a叫做被开方数。

例如，3的立方根是33，-8的立方根是-2.实数可以分为有理数和无理数两种。

有理数包括正有理数、负有理数和零，它们可以用分数表示，而无理数则不能用分数表示。

有限小数或无限循环小数都是有理数，而无限不循环小数是无理数。

实数的相反数、绝对值、倒数的意义与有理数一样，有理数的运算法则、运算律在实数范围内仍然适用。

最后需要注意的是，在求一个数的平方根时，我们可以使用开平方运算，它可以用平方运算来计算。

例如，一个数的正平方根称为算术平方根，它可以表示为M/N的形式（M、N 均为整数，且N≠0）。

81的平方根是±9.1的立方根是±1.1=±1.-5是5的平方根的相反数。

一个自然数的算术平方根为a，则与之相邻的前一个自然数是a-1.考点三、计算类型题1、设26=a，则下列结论正确的是（）A.4.5<a<5.0B.5.0<a<5.5C.5.5<a<6.0D.6.0<a<6.5答案：B4、对于有理数x，2013-x+（3π-9）^2/4=（3π-10）/2，求x的值。

答案：x=2014-3π考点四、数形结合1.点A在数轴上表示的数为35，点B在数轴上表示的数为-5，则A，B两点的距离为40.2、如图，数轴上表示1，2的对应点分别为A，B，点B 关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（）A．2－1 B．1－2C．2－2D．2－2答案：B考点五、实数绝对值的应用1、|3-22|+|3+2|-|2-3|=2考点六、实数非负性的应用1．已知：x²-2x-3≥0，求x的取值范围。