2013届高三数学二轮复习 解答题规范练2 理

2013年4月高三理科数学二轮复习试题(含答案)山东省济南一中2013届高三二轮复习质量检测数学试题（理工类）2013.4本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。

2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效。

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。

5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。

第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，则CU(A∪B)等于A．{6,8}B．{5,7}C．{4,6,7}D．{1,3,5,6,8}2．已知为虚数单位，复数z=，则复数的虚部是A．B．C．D．3．函数y=与y=图形的交点为（a，b），则a所在区间是A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）4.已知F1、F2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的两个焦点，以线段F1F2为边作正△MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为A．4＋23B.3－1C.3＋12D.3＋15.阅读右边的程序框图，若输出S的值为－14，则判断框内可填写A．iC．i6.函数f(x)=A．在上递增，在上递减B．在上递增，在上递减C．在上递增，在上递减D．在上递增，在上递减7.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A．13B．23C.1D.28.已知点是边长为1的等边的中心，则等于A．B．C．D．9．从6名同学中选4人分别到A、B、C、D四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去D 城市游览，则不同的选择方案共有A．96种B．144种C．240种D．300种10．在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是A．95B．91C．88D．7511.已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于A．3B.4C.D.12.设函数f(x)=x-,对任意恒成立，则实数m的取值范围是A．(-1,1)B.C.D.或（第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知函数f(x)＝ax＋1x＋2在区间(－2，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是________________.14.已知向量则的值为.15.在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为。

2012—2013学年度下学期高三二轮复习 数学（理）综合验收试题（2）【新课标】本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，共4页。

满分150分。

考试用时120分钟，考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式：锥体的体积公式：V=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。

如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ）；如果事件A,B 独立，那么P （AB ）=P （A ）·P（B ）。

第I 卷（共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1． 设集合A={3123|≤-≤-x x }，集合B 为函数)1lg(-=x y 的定义域，则A ⋂B= （ ） A ．（1，2） B ．[1，2] C ． [ 1，2） D ．（1，2 ] 2．下列有关命题的叙述错误的是（ ） A ．对于命题 p ：∃x∈R， 210x x ++<，则p ⌝为： ∀x∈R，210x x ++≥ B ．命题“若2x －3x + 2 = 0，则 x = 1”的逆否命题为“若 x≠1，则2x －3x+2≠0” C ．若 p∧q 为假命题，则 p ，q 均为假命题D ．“x > 2”是“ 2x －3x + 2 > 0”的充分不必要条件3．i 为虚数单位，复平面内表示复数2iz i-=+的点在 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4． 右图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于（ ）A ．34+B ．6+C ．6+D ．17+5． 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50m ，∠ACB = 45°，∠CAB = 105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为（ ）A．B．C．D．6． 要得到函数)12cos(+=x y 的图象，只要将函数x y 2cos =的图象（ ）A ． 向左平移1个单位B ． 向右平移1个单位C ． 向左平移12个单位 D ． 向右平移12个单位 7． 执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为6， 则输出s 的值为 （ ）A ．105B ．16C ．15D ．18． 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换， 任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的 两位同学互赠一份纪念品，已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（ ） A ．1或3 B ．1或4 C ． 2或3 D ．2或4 9．在251(2)x x-的二项展开式中,x 的系数为（ ） A ．10B ．10-C ．40D ．40-10． 设x ，y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩,若目标函数z ＝ax ＋by （a ＞0，b>0）的最大值为12，则23a b+的最小值为（ ）A ．256 B ．83C ．113D ．411．已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 是各项均为正数的等比数列，且公比1q >，若11a b =，20112011a b =则10061006a b 与的大小关系是（ ）A ．10061006a b =B ．10061006a b <C ．10061006a b >D ．10061006a b ≥12． 在同一个坐标系中画出函数,sin x y a y ax ==的部分图象，其中01a a >≠且，则下列所给图象中可能正确的是（ ）第Ⅱ卷（共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

江苏省2013届高三数学二轮专题训练：解答题（30）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．(本小题满分14分)设函数f (x )=a b ⋅，其中向量a =(2cos x ,1),b =(cos x ,3sin2x ),x ∈R .(1) 若f (x )=0且x ∈(－π2,0), 求tan2x ；(2) 设△ABC 的三边a ,b ,c 依次成等比数列，试求f (B )的取值范围．2．(本小题满分14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为矩形，且AB ＝2，BC ＝1，E ，F 分别为AB ，PC 中点. （1）求证：EF ∥平面PAD ；（2）若平面PAC ⊥平面ABCD ，求证：平面PAC ⊥平面3．（本小题满分14分）某商店经销一种青奥会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a 元（a 为常数，2≤a ≤5）的税收.设每件产品的日售价为x 元（35≤x ≤41），根据市场调查，日销售量与e x (e 为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元时，日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x )元与每件产品的日售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的日售价为多少元时，该商店的日利润L(x )最大，并求出L(x )的最大值.4．(本小题满分16分)已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x >0)在x = 1处取得极值c --3，其中a ,b ,c 为常数。

（1）试确定a ,b 的值； （2）求函数f (x )的单调增区间；（3）若对任意x >0，不等式f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c +9恒成立，求c 的取值范围.（第16题）5．(本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy 中，A (2a ，0)，B(a ，0)，a 为非零常数，动点P 满足PA ＝2PB ，记点P 的轨迹曲线为C ． （1）求曲线C 的方程；（2）曲线C 上不同两点Q (x 1，y 1)，R (x 2，y 2)满足→AR ＝λ→AQ ，点S 为R 关于x 轴的对称点．①试用λ表示x 1，x 2，并求λ的取值范围；②当λ变化时，x 轴上是否存在定点T ，使S ，T ，Q 三点共线，证明你的结论．6．(本小题满分16分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，S n = ta n+1 (n ∈N +,t ∈R)． （1）求数列{S n }的通项公式； 2）求数列{na n }的前n 项和为T n .1. 解：f (x )=a b ⋅=(2cos x ,1) (cos x , 3si n 2x )=2cos 2x +3si n 2x =3si n 2x +cos2x +1=2si n (2x +6π)+1(1) ∵f (x )= 0,∴si n (2x +6π)=-12,x ∈(－π2,0) ∴2x +6π∈(-5π6,π6) ∴2x +6π=-π6,∴x =-π6,tan2x=- 3 (2)∵a,b,c成等比数列, ∴b 2=ac 由余弦定理得∴cosB=ac b c a 2222-+=ac ac c a 222-+≥ac ac ac 22-=21∴0<B ≤3π∴6π<2B +6π≤65π∴21≤si n (2B +6π)≤1，∴2≤f (B )≤3 2.证明：（1）方法一：取线段PD 的中点M ，连结FM ，AM因为F 为PC 的中点，所以FM ∥CD ，且FM ＝12CD ． 因为四边形ABCD 为矩形，E 为AB 的中点， 所以EA ∥CD ，且EA ＝12CD ． 所以FM ∥EA ，且FM ＝EA ． 所以四边形AEFM 为平行四边形．所以EF ∥AM ． ……………………… 5分又AM ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． 方法二：连结CE 并延长交DA 的延长线于N ，连结PN 因为四边形ABCD 为矩形，所以AD ∥BC ， 所以∠BCE ＝∠ANE ，∠CBE ＝∠NAE ．又AE ＝EB ，所以△CEB ≌△NEA ．所以CE ＝NE ． 又F 为PC 的中点，所以EF ∥NP ．………… 5分又NP ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以EF ∥平面PAD ． …………… 2分方法三：取CD的中点Q，连结FQ，EQ．在矩形ABCD中，E为AB的中点，所以AE＝DQ，且AE∥DQ．所以四边形AEQD为平行四边形，所以EQ∥AD．又AD⊂平面PAD，EQ⊄平面PAD，所以EQ∥平面PAD．………………2分因为Q，F分别为CD，CP的中点，所以FQ∥PD．又PD⊂平面PAD，FQ⊄平面PAD，所以FQ∥平面PAD．又FQ，EQ⊂平面EQF，FQ∩EQ＝Q，所以平面EQF∥平面PAD．……………3分因为EF⊂平面EQF，所以EF∥平面PAD．………………………………2分（2）设AC，DE相交于G．在矩形ABCD中，因为AB＝2BC，E为AB的中点.所以DAAE＝CDDA＝2．又∠DAE＝∠CDA，所以△DAE∽△CDA，所以∠ADE＝∠DCA．又∠ADE＋∠CDE＝∠ADC＝90°，所以∠DCA＋∠CDE＝90°．由△DGC的内角和为180°，得∠DGC＝90°．即DE⊥AC．………………………2分因为平面PAC⊥平面ABCD因为DE⊂平面ABCD，所以DE⊥平面PAC，……………………………………3分又DE⊂平面PDE，所以平面PAC⊥平面PDE．…………………………2分说明：第一问，方法1和2，下结论时：不交代平面外一条直线与平面内一条直线平行，一律扣2分；方法3，直接由线线平行→面面平行，扣3分；第二问，不用平几证明DE⊥AC，扣2分；3.4．解：（1）由题意知(1)3f c =--，因此3b c c -=--，从而3b =-． 又对()f x 求导得()34341ln 4'bx xax x ax x f +⋅+=3(4ln 4)x a x a b =++． 由题意(1)0f '=，因此40a b +=，解得12a =．（2）由（1）知3()48ln f x x x '=（0x >），令()0f x '>，解得1x >． 因此()f x 的单调递增区间为(1)+，∞．（3）由（2）知，()f x 在1x =处取得极小值(1)3f c =--，此极小值也是最小值， 要使f (x )≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立， 即－3－c （≥－(c －1)4+(c －1)2－c+9（0x >）恒成立， 解得c ∈(－∞，－1]∪[3，＋∞).5.解 （1）设点P 坐标为(x ，y )．由PA ＝2PB ，得(x －2a )2＋y 2＝2(x －a )2＋y 2，平方整理，得x 2＋y 2＝2a 2． 所以曲线C 的方程为x 2＋y 2＝2a 2．（2）①→AQ ＝(x 1－2a ，y 1)，→AR ＝(x 2－2a ，y 2)，因为→AQ ＝λ→AR ，且⎩⎨⎧x 2－2a ＝λ(x 1－2a ) y 2＝λy 1．，即⎩⎨⎧x 2－λx 1＝2a (1－λ)…① y 2＝λy 1．…② 因为Q ，R 在曲线C 上，所以⎩⎨⎧x 12＋y 12＝2a 2，…③x 22＋y 22＝2a 2．…④消去y 1，y 2，得x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，…⑤ 由①，⑤得x 1＝3－λ2a ，x 2＝3λ－12λa ．因为－2a ≤x 1，x 2≤2a ，所以－2a ≤3－λ2a ≤2a ，－2a ≤3λ－12λa ≤2a ，且λ＞0 解得3－22≤λ≤3＋22． 又Q ，R 不重合，所以λ≠1．故λ的取值范围为[3－22，1）∪（1，3＋22]． ②存在符合题意的点T （a ，0），证明如下： →TS ＝(x 2－a ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－a ，y 1)，要证明S ，T ，Q 三点共线，只要证明→TQ ∥→TS ，即(x 2－a ) y 1－(x 1－a )(－y 2)＝0 因为y 2＝λy 1．又只要(x 2－a ) y 1＋λ(x 1－a )y 1＝0， 若y 1＝0，则y 2＝0，成立，若y 1≠0，只要x 2＋λx 1－a (1＋λ)＝0，由⑤知，此式成立． 所以存在点T （a ，0），使S ，T ，Q 三点共线．探究方法：假设存在符合题意的点T （m ，0）．则→TS ＝(x 2－m ，－y 2)，→TQ ＝(x 1－m ，y 1)，由S ，T ，Q 三点共线，得→TQ ∥→TS ， 从而(x 2－m ) y 1＝－y 2(x 1－m )，即(x 2－m ) y 1＋λy 1(x 1－m )＝0， 若y 1＝0，则y 2＝0，成立，若y 1≠0，则(x 2－m )＋λ(x 1－m )＝0，即x 2＋λx 1－m (1＋λ)＝0，又x 2＋λx 1＝a (1＋λ)，所以(a －m )(1＋λ)＝0，因为A 在圆C 之外，所以λ＞0，所以m ＝a ．6．(1)∵S n = ta n+1，∴S 1= a 1 =ta 2＝1，∴t ≠0. ∴S n = t (S n+1－S n ) ，∴S n+1=t+1t S n ， ∴当t=－1时，S n+1＝0，S 1= a 1＝1，当t ≠－1时，{S n }为等比数列，S n =(t+1t )n-1，综上 S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，(t+1t)n-1 n ≥2．(2)∵T n ＝a 1+ 2a 2+3a 3+……+na n . (1)∴T 1=1n ≥2时，又由(1)知a n+1＝t+1t a n ，a 2＝1t∴t+1t T n ＝t+1t a 1+ 2a 3+3a 4+……+(n-1)a n +na n +1 (2) (1)-(2)得－ 1t T n ＝－1t +2a 2+a 3+……+a n － na n +1＝－1t －a 1+a 2+(a 1+a 2+a 3+……+a n )－na n +1＝－1+S n － n (S n+1－S n )=－1+S n － n t S n＝t －n t S n －1＝t －n t (t+1t )n-1－1∴T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t当t ≠－1时，T 1=1也适合上式，故T n ＝(n －t )(t+1t )n-1+t (n ∈N +). 当t=－1时，T 1=1，T n+1＝－1. 解毕.也可综合为：T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，(n －t )(t+1t )n-1+t n ≥2．另解：先求出a n 再求S n分t=－1和t ≠－1情形，再综合a n＝⎩⎪⎨⎪⎧1 n =1，1t n ≥2，1t (t+1t )n-2n ≥3．再回到S n 和T n。

永州市2013年高考第二次模拟考试 数学(理科)参考答案及评分标准一、选择题(每小题5分，共40分)D ADC BAAC二、填空题(每小题5分，共35分)(一）选做题（9－11题，考生只能从中选做2题，如果多做则按前两题计分）9． 2cos 0ρθ+= 10．1(1,)3-- 11． （二）必做题（12－16题）12． 90 13． i 14． －10 15． ＜16． （1）15（2）7 三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）解：（1）20人只有2人过关，过关率为110，估计100名学员中有11001010⨯=人一次过关； …………3分（2）设“过科目一、二、三”分别为事件A 、B 、C ，过科目一的12人中有2人过了科目二却没过科目三，故P ＝21(|)126P BC A ==；…6分 （3）设这个学员一次过关的科目数为η,则η的分布列为： …………………8分E η＝22119012355101010⨯+⨯+⨯+⨯=， ………………10分 ξ＝100η，E （ξ）＝E （100η）＝100 ×E （η）＝100×910＝90． ………………12分18．（本小题满分12分）解法一(1)证明：连接OE ，OF ，由图1知：OE //AC ，OF //AD ，而OE ，OF 不在平面ACD 上，且OE 交OF 于O ，故平面OEF //平面ACD ，所以EF //平面ACD ． ………………5分（2）取AD 的中点G ，连接OG ，则∠CGO 就是二面角C －AD －O 的平面角， OGCO ＝2，………………9分90oCOG ∠=，tan CO CGO OG∠===， ………………11分故二面角C －AD －O．……………12分解法二：证明（1）如图建立空间直角坐标系，A (0,－2,0),C (0,0,2),D,-1,0), E(0,),,1,0),(0,2,2),AC =(3,1,0)AD =, (3,1EF =设平面ACD 的法向量(,,)m x y z =，依题意有：m AC m AD ⊥⊥⎧⎪⎨⎪⎩(,,)(0,2,2)220(,,)0)0m AC x y z y z m AD x y z y ⋅=⋅=+=⇒⊥=⋅=+=⎧⎪⎨⎪⎩，令x =－1,则y，z =,则(m =-，………………3分因为(m EF ⋅=-⋅-0==，所以m EF ⊥，又EF 不在平面ACD 上，故EF//平面ACD ． ………………6分 （2）易求得平面OAD 的一个法向量(0,0,1)n =，设二面角C －AD －O 的大小为θ，由图知θ为锐角，(1,cos ||||||mn m n θ⋅-===，………………9分tan cos 3θθ===………………11分故二面角C －AD －O的正切值为3． ………………12分19．（本小题满分12分） 解：(1) 由|f (x )|＝|2sin(3πx ＋6π)|＝2得sin(3πx ＋6π)＝±1， 即3πx ＋6π＝k π＋2π，∴ x ＝3k ＋1，k ∈N ，∴ {a n }是首项为1，公差为3的等差数列，∴ a n ＝3n －2，n ∈N ＊， …………4分3222n a n n b -==，{n b }是首项是2，公比是8的等比数列，其前n 项和2(18)2(81)187n nn S -==--； ………………6分 (2) 12231tan tan tan tan tan tan n n n T a a a a a a +=+++tan1tan 4tan 4tan 7tan(32)tan(31)n n =⋅+⋅++-⋅+， ………………8分由tan(31)tan(32)tan 3tan[(31)(32)]1tan(31)tan(32)n n n n n n +--=+--=++⋅-， ………………9分有tan(31)tan(32)tan(32)tan(31)1tan 3n n n n +---⋅+=-， ………………10分14473231n T n n =⋅+⋅++-⋅+tan tan tan tan tan()tan()4174107111333---=-+-+-+tan tan tan tan tan tan ()()()tan tan tan313213n n +--+-tan()tan()[]tan 3113n n +-=-tan()tan tan ． ……………12分20．（本小题满分13分）解：(1) 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，直线BC 过焦点F （0,1）， 故设BC 的直线方程为y ＝kx ＋1，由 ⎩⎨⎧=+=yx kx y 412 得x 2－4kx －4＝0，故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4， ……………3分 ∴ |x 1－x 2|＝212214)(x x x x -+＝16162+k ∴ S △EBC ＝S △EBF ＋S △CEF ＝21|x 1| |EF |＋21|x 2| |EF | ＝|x 1－x 2|＝142+k ＝5，求得k ＝34±，此时，BC 方程为314y x =±+， 点 B 的坐标为(±4，4)，故l 的方程为514y x =±-； ………………6分 （2）设B (x 1，y 1)，A (x 3，y 3)，l 方程：y ＝kx －1，由⎩⎨⎧=-=yx kx y 412， 得x 2－4kx ＋4＝0，△＝16k 2－16>0，k 2>1，故x 1＋x 3＝4k ，x 1x 3＝4，又A 在E 与B 之间， ∴0＜∣x 3∣＜∣x 1∣， ∴0＜|x 3|2＜∣x 1 x 3∣＝4， ∴0＜∣x 3∣＜2，x 1＝34x ,直线BC 的方程为1111y y x x -=+， ………………9分 设M (3x ,y o )，点M 在直线BC 上，有13111o y y x x -=+，即2131141o x y x x -=+，整理得y o ＝2－234x ，M (3x ，2－234x )， (－2＜3x ＜2且3x ≠0)|EM|==,令234x ＝t ,则(0,1)t ∈,|EM|==． ………………12分 线段EM长的取值范围为． ………………13分 21．(本题满分13分)解：（1）连结 OP ，因30o BAP ∠=，120o ABP ∠=30oAPB ∴∠=．在三角形PBO 中，222102021020cos120700OP =+-⨯⨯=22(1012)OP >+ 即22OP >故该外轮未进入我领海主权范围内． ………………5分 （2）作PQ AN ⊥于Q ，PS AB ⊥于S，则AQ SP ==30PQ =，因60oNAP ∠=，NMP θ∠=，首先应有60oθ>， 30sin PM θ=，30cos sin AM θθ=，设MP 方向的船速为V ，则我救助船全速到达P 点共所需时间为130cos 13030cos ()]sin sin sin T VV VVθλθθλθθλθ-=+⋅=⨯, ……………7分221cos 301cos 30()sin sin T VVθλθλθλθθ--'=⨯=⨯,令()0T θ'=得1cos θλ=．设使1cos θλ=的那个锐角为λθ，则当(60,)oλθθ∈时，()0T θ'<，当(,90)o λθθ∈时，()0T θ'>，()T θ在(60,)oλθ位减函数，在(,90)o λθ位增函数，（注：将(60,)o λθ写成 (0,)oλθ 不扣分）所以当1cos θλ=时()T θ能取得最小值． ………………9分另一方面，延长PC 与AN 交于0M ，须0QM QM ≥（即0QM P θ≥∠）救助船才能沿直线MP 航行．0cos cos QM P θ∠===≤，由1λ≤解得λ≥．此时0Q M P λθ≥∠，而当λ<时，0Q M P λθ<∠，由()T θ的单调性知θ取0QM P ∠时()T θ最小． ………………11分综上知，为使到达P 点的时间最短，当λ≥时，救助船选择的拐角θ应满足1cos θλ=；当λ<时，救助船应在0M 处拐头直朝P 点航行，此时cosθ=． ………………13分22．(本题满分13分)解：（1）∵()2ln()f x a x b =+，∴2()af x x b'=+，则()f x 在切点(0,2ln )A a b 处切线的 斜率2(0)a k f b '==，则()f x 在点(0,2ln )A a b 处切线方程为22ln a y x a b b =+．又由2()1x g x e =-，得2()2x g x e '=，则()g x 在切点B(0,0)处切线的斜率(0)2k g '==， 则()g x 在点B 处切线方程为2y x =． 由22ab= 和2ln 0a b =解得1a =，1b =． ()2ln(1)(1)f x x x =+>-，2()1xg x e =-． ………………4分（2）由002[1g(x x m ->+202x m x e <-， 令2()2h x x e =-要使22m x e <-[0,)+∞上有解，只需max [()]m h x <． ………………5分 ①当0x =时，(0)0h =，所以0m <； ………………6分②当0x >时，2()2x h x e '=-，∵0x >，有2≥，e 1x >，∴2()20x h x e '=-<函数2()2h x x e =-[0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==， 所以0m <综合①②得实数m 的取值范围是(,0)-∞ ……………8分（3）令2()()()12ln(1)(1)x u x g x f x e x x =-=--+>-，则2222(1)2()211xx e x u x e x x +-'=-=++．∴当0x ≥时，由于21,11xex ≥+≥，所以 22(1)2x e x +≥∴()0u x '≥在0x ≥上恒成立， 函数()u x 在区间(0,)+∞上单调递增， ∴当0x >时，()(0)0u x u >=恒成立，故对于任意210x x >>，有2121()()g x x f x x ->-． ………………10分 又∵212121111()1011x x x x x x x x +--+-=>++，∴2212111ln(1)ln ln(1)ln(1)1x x x x x x +-+>=+-++． ∴2121()()()f x x f x f x ->-， ………………12分 从而2121()()()g x x f x f x ->-． ………………13分方法2：也可按下面思路：先证明212()2112()x x e x x -->- [构造2()12x u x e x =--，求导再分析单调性] 再证明2121ln(1)ln(1)x x x x ->+-+ [通过构造()ln(x 1)v x x =-+，求导后分析单调性]（详略）。

【解析版】河北省衡水中学2013届高三二模数学理试题2013年河北省衡水中学高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分．下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上） 1．（5分）设，B={x|x ＞a}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．a ≤1 D ．a ＜1考点： 集合关系中的参数取值问题；集合的包含关系判断及应用． 专题：阅读型．分析： 根据题意A 集合中的元素是在区间（，5）内的整数，再利用A ⊆B ，求出a 符合的条件即可． 解答： 解：∵A={x|＜x ＜5，x ∈Z}，∴A={1，2，3，4} ∵A ⊆B ，∴a ＜1 故选D点本题考查集合中参数的取值问题．正确理解集合评： 语言是解决此类题的关键．2．（5分）（2011•福建）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名．现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ） A ． 6 B ．8 C ．10 D ．12考点： 分层抽样方法． 专题：计算题． 分析： 根据高一年级的总人数和抽取的人数，做出每个个体被抽到的概率，利用这个概率乘以高二的学生数，得到高二要抽取的人数． 解答： 解：∵高一年级有30名， 在高一年级的学生中抽取了6名，∴每个个体被抽到的概率是=∵高二年级有40名， ∴要抽取40×=8，故选B ．点评： 本题考查分层抽样，在分层抽样过程中每个个体被抽到的概率相等，这是解题的依据，本题是一个基础题．3．（5分）（2011•密山市模拟）已知等比数列{a n }满足a 1+a 2=3，a 2+a 3=6，则a 7=（ ） A ． 64 B ．81 C ．128 D ．243考点：等比数列． 分析： 由a 1+a 2=3，a 2+a 3=6的关系求得d ，进而求得a 1，再由等比数列通项公式求解． 解答： 解：由a 2+a 3=q （a 1+a 2）=3q=6，∴q=2 ∴a 1（1+q ）=3，∴a 1=1，∴a 7=26=64 故选A点评： 本题主要考查了等比数列的通项及整体运算．4．（5分）已知向量，满足||=||=|+|=1，则向量，夹角的余弦值为（ ）A ．B ．﹣ C ．D ．﹣考点：数量积表示两个向量的夹角． 专题：计算题；平面向量及应用． 分析： 将|+|=1两边平方，结合已知条件可算出•=﹣，再用两个向量的夹角公式即可算出向量，夹角的余弦值． 解答： 解：∵|+|=1， ∴（+）2=2+2•+2=1∵||=||=1，得2=2=1∴代入上式得：2•=﹣1，•=﹣ 因此，向量，夹角的余弦为cos θ==﹣故选：B点评： 本题给出向量、满足的条件，求它们夹角的余弦之值，着重考查了平面向量数量积的公式及其运算性质等知识，属于基础题．5．（5分）已知点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，则它的离心率为（ ）A ． 2B ．C ．D ．考点： 双曲线的简单性质． 专题：计算题． 分析： 通过点在双曲线上，以及双曲线的焦距，列出方程组，求出a ，b ，然后求出双曲线的离心率． 解答：解：点（2，3）在双曲线C ：上，C 的焦距为4，所以，解得，a=1，b=；又c=2，所以e==2． 故选A ．点评： 本题考查双曲线的简单性质的应用，注意椭圆与双曲线中a 、b 、c 的区别，考查计算能力．6．（5分）（2007•重庆）若（x+）n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（ ） A ． 10 B ．20 C ．30 D ．120考点： 二项式系数的性质． 专题：计算题． 分析： 根据二项式的展开式的二项式系数是64，写出二项式系数的表示式，得到次数n 的值，写出通项式，当x 的指数是0时，得到结果． 解答： 解：∵C n °+C n 1+…+C n n =2n =64， ∴n=6． T r+1=C 6r x 6﹣r x ﹣r =C 6r x 6﹣2r ，令6﹣2r=0，∴r=3， 常数项：T 4=C 63=20， 故选B ．点评： 本题是一个典型的二项式问题，主要考查二项式的性质，注意二项式系数和项的系数之间的关系，这是容易出错的地方，本题考查展开式的通项式，这是解题的关键．7．（5分）设集合A={0，1，2，3}，如果方程x 2﹣mx ﹣n=0（m ，n ∈A ）至少有一个根x 0∈A ，就称该方程为合格方程，则合格方程的个数为（ ） A ． 7 B ．8 C ．9 D ．10考点：根的存在性及根的个数判断． 专题：函数的性质及应用． 分析： 让m 分别取0，1，2，3，求出对应的n 值，则不同的（m ，n ）的个数即为所求．解答： 解：若方程为合格方程时，由于m ，n ∈A={0，1，2，3}，故对m 的取值进行分类讨论： 当m=0时，方程x 2﹣n=0，由于方程x 2﹣n=0至少有一个根x 0∈A ，故此时n=0，1； 同样地，当m=1时，n=0，2； 当m=2时，n=0，3； 当m=3时，n=0． 故合格方程的个数为7个， 故选A ．点评： 本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，排列、组合以及简单的计数原理，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．8．（5分）如图，ABCD 是边长为l 的正方形，O 为AD 的中点，抛物线的顶点为O ，且通过点C ，则阴影部分的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 定积分． 专题：计算题． 分析： 以抛物线的顶点为原点，以平行于AB 的直线为x轴建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，则阴影部分的面积等于正方形面积的一半减去抛物线与x=0，x=1，及x 轴所围成的曲边梯形的面积．解解：建立如图所示的坐标系，答：因为正方形ABCD 的边长为1，所以C （1，）， 设抛物线方程为y=ax 2（a ＞0），则，所以，抛物线方程为，图中阴影部分的面积为：==． 故选D ．点评： 本题考差了定积分，考查了定积分的简单应用，解答此题的关键是，正确建立平面直角坐标系，求出抛物线的方程，找出被积函数的原函数，从而运用微积分基本定理求解，此题是中档题．9．（5分）（2010•辽宁）设ω＞0，函数y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是（ ） A ． B ．C ．D ．3考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换． 专题：计算题；待定系数法． 分析： 求出图象平移后的函数表达式，与原函数对应，求出ω的最小值．解答： 解：将y=sin （ωx+）+2的图象向右平移个单位后为=，所以有=2k π，即，又因为ω＞0，所以k ≥1，故≥， 故选C点评： 本题考查了三角函数图象的平移变换与三角函数的周期性，考查了同学们对知识灵活掌握的程度．10．（5分）（2010•马鞍山模拟）点P 到点及到直线的距离都相等，如果这样的点恰好只有一个，那么a 的值是（ ）A ．B ．C ．D ．考点： 点到直线的距离公式；抛物线的应用． 专题：压轴题． 分析：到A 和到直线的距离相等，则P 点轨迹是抛物线方程，再注意B 点，用上P 到的距离和点P 到B 的距离相等：再注意这样的点恰好只有一个，因而有△=0，从而可求a 的值． 解答： 解：法一 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，设P （，y ），则有（+）2=（﹣a ）2+（y ﹣2）2，化简得（﹣a ）y 2﹣4y+a 2+=0，当a=时，符合题意；当a ≠时，△=0，有a 3﹣++=0，（a+）（a 2﹣a+）=0，a=﹣．故选D ．法二 由题意有点P 在抛物线y 2=2x 上，B 在直线y=2上，当a=﹣时，B 为直线y=2与准线的交点，符合题意；当a=时，B 为直线y=2与抛物线通径的交点，也符合题意，故选D ． 故选D ．点评： 本题主要考查抛物线的概念、性质，以及数形结合的思想．法一代数法，法二是几何法．11．（5分）（2011•大连二模）从点P 出发的三条射线PA ，PB ，PC 两两成60°角，且分别与球O 相切于A ，B ，C 三点，若球的体积为，则OP 两点之间的距离为（ ）A ．B ．C ．D ．2考点： 点、线、面间的距离计算． 专题：计算题． 分析： 连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：O'A==．由AO'⊥PO ，OA ⊥PA 可得，根据球的体积可得半径OA=1，进而求出答案．解答： 解：连接OP 交平面ABC 于O'，由题意可得：△ABC 和△PAB 为正三角形， 所以O'A==．因为AO'⊥PO ，OA ⊥PA ，所以，所以．又因为球的体积为， 所以半径OA=1，所以OP=．故选B ．点评： 本题考查空间中两点之间的距离，解决此类问题的方法是熟练掌握几何体的结构特征，考查计算能力．12．（5分）（2012•开封一模）已知以T=4为周期的函数，其中m ＞0，若方程3f（x ）=x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为（ ）A ． （，）B ． （，）C ． （，）D ．（，）考点：根的存在性及根的个数判断；函数的周期性． 专题：计算题；压轴题． 分析： 根据对函数的解析式进行变形后发现当x ∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x ）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y=与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．解答：解：∵当x ∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x 2+=1（y ≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示， 同时在坐标系中作出当x ∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线 y=与第二个椭圆（x ﹣4）2+=1（y ≥0）相交，而与第三个半椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将 y=代入（x ﹣4）2+=1 （y ≥0）得，（9m 2+1）x 2﹣72m 2x+135m 2=0，令t=9m 2（t ＞0）， 则（t+1）x 2﹣8tx+15t=0，由△=（8t ）2﹣4×15t （t+1）＞0，得t ＞15，由9m 2＞15，且m ＞0得 m ， 同样由 y=与第三个椭圆（x ﹣8）2+=1 （y ≥0）由△＜0可计算得 m ＜， 综上可知m ∈（ ，） 故选B点本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判评：断，及函数的周期性，其中根据方程根与函数零点的关系，结合函数解析式进行分析是解答本题的关键．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13．（5分）已知cos2θ=，则sin 4θ+cos 4θ= ．考点： 二倍角的余弦． 专题：计算题． 分析： 把sin 4θ+cos 4θ配方为完全平方式，然后根据同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简后，把cos2θ的值代入即可求出值． 解答： 解：==；故答案为．点评： 本题要求学生灵活运用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简求值，是一道基础题．14．（5分）在约束条件下，过点（1，1）目标函数z取得最大值10，则目标函数z=x+9y（写出一个适合题意的目标函数即可）．简单线性规划．考点：专不等式的解法及应用．题：分画出满足约束条件的可行域，设出目标函数析：的解析式，结合目标函数z在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，可构造出满足条件a，b的关系式，取一组满足条件的a，b的值，即可得到答案．解解：满足约束条件的可行域如下图所示：答：设目标函数为z=ax+by 则y=x+若目标函数z 在点（1，1）取得最大值10， 则令a=1，则b=9满足条件故答案为：x+9y （主观题，满足条件即可） 点评： 本题考查的知识点是简单线性规划，其中根据目标函数z 在点（1，1）取得最大值10，结合直线斜截式方程的几何意义，构造出满足条件a ，b 的关系式，是解答的关键．15．（5分）四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点都在一个球面上，E 、F 分别是棱AB 、CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为，则该球表面积为 12π ．考点： 球内接多面体；由三视图还原实物图；球的体积和表面积． 专题：计算题；压轴题． 分析： 将三视图还原为直观图，得四棱锥P ﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．由此结合题意，可得正文体的棱长为2，算出外接球半径R ，再结合球的表面积公式，即可得到该球表面积．解答： 解：将三视图还原为直观图如右图，可得四棱锥P﹣ABCD 的五个顶点位于同一个正方体的顶点处，且与该正方体内接于同一个球．且该正方体的棱长为a设外接球的球心为O ，则O 也是正方体的中心，设EF 中点为G ，连接OG ，OA ，AG 根据题意，直线EF 被球面所截得的线段长为，即正方体面对角线长也是可得AG==a ，所以正方体棱长a=2 ∴Rt △OGA 中，OG=a=1，AO= 即外接球半径R=，得外接球表面积为4πR 2=12π 故答案为：12π点评： 本题将三视图还原为直观图，并且求外接球的表面积，着重考查了正方体的性质、三视图和球内接多面体等知识，属于基础题．16．（5分）已知等差数列a n 的首项a 1及公差d 都是整数，前n 项和为S n ，若a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9，设b n =2n a n ，则b 1+b 2+…+b n 的结果为 4+n •2n+1 ．考点：数列的求和． 专题：计算题；压轴题．分析： 由已知可得a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2结合等差数首项a 1及公差d 都是整数可得a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1，从而可得a n =2+1×（n ﹣1）=n+1，b n =2n a n =2n （n+1），利用乘公比错位相减的方法求和即可解答：解：因为a 1＞1，a 4＞3，S 3≤9， 所以a 1+3d ＞3，3a 2≤9⇒d ＞，a 1+d ≤3⇒a 1≤3﹣d ＜3﹣==2．∵等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都是整数 ∴a 1=2 则＜d ≤1⇒d=1． ∴a n =2+1×（n ﹣1）=n+1． ∴b n =2n a n =2n （n+1） 令S n =b 1+b 2+…+b n=2•21+3•22+…+n •2n ﹣1+（n+1）•2n ①∴2S n =2•22+3•23+…+n •2n +（n+1）2n+1② ①﹣②得，﹣S n =2•21+22+…+2n ﹣（n+1）•2n+1==﹣n •2n+1 ∴S n =n •2n+1 故答案为：n •2n+1点等差数列、等比数列的通项公式、和的求解的综评：合一直是数列部分的考查重点之一，而数列的求和中“错位相减”的求和方法又是求和的重点和难点，要注意方法的把握．三.解答题（共6个小题，共70分）17．（10分）（2013•南开区二模）对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：分组频数频率[10，15）10 0.25[15，20）24 n[20，25）m p[25，30）20.05合计M 1（Ⅰ）求出表中M，p及图中a的值；（Ⅱ）若该校高三学生有240人，试估计该校高三学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数；（Ⅲ）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至多一人参加社区服务次数在区间[25，30）内的概率．考点： 随机抽样和样本估计总体的实际应用；频率分布直方图．专题：计算题；图表型． 分析： （I ）根据频率，频数和样本容量之间的关系即频率等于频数除以样本容量，写出算式，求出式子中的字母的值．（II ）根据该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人． （III ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设出在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2，列举出所有事件和满足条件的事件，得到概率．解答： 解：（Ⅰ）由分组[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，，∴M=40．∵频数之和为40，∴10+24+m+2=40，m=4.．∵a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商， ∴ （Ⅱ）因为该校高三学生有240人，分组[10，15）内的频率是0.25，∴估计该校高三学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为60人．（Ⅲ）这个样本参加社区服务的次数不少于20次的学生共有m+2=6人，设在区间[20，25）内的人为a 1，a 2，a 3，a 4，在区间[25，30）内的人为b 1，b 2．则任选2人共有（a 1，a 2），（a 1，a 3），（a 1，a 4），（a 1，b 1），（a 1，b 2），（a 2，a 3），（a 2，a 4），（a 2，b 1），（a 2，b 2），（a 3，a 4），（a 3，b 1），（a 3，b 2），（a 4，b 1），（a 4，b 2），（b 1，b 2）15种情况，而两人都在[25，30）内只能是（b 1，b 2）一种， ∴所求概率为． 点评： 本题考查频率分步直方图，考查用样本估计总体，考查等可能事件的概率，考查频率，频数和样本容量之间的关系，本题是一个基础题．18．（12分）已知α为锐角，且，函数，数列{a n }的首项a 1=1，a n+1=f （a n ）． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求证：数列{a n +1}为等比数列； （3）求数列{a n }的前n 项和S n ．考点：数列与函数的综合． 专题：综合题；转化思想． 分析：（1）由，将代入可求解，由α为锐角，得α=，从而计算得进而求得函数表达式．（2）由a n+1=2a n +1，变形得a n+1+1=2（a n +1），由等比数列的定义可知数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列．（3）由（2）得a n =2n ﹣1，转化为一个等比数列与一个等差数列的和的形式，可计算得．解答：解：（1）∵又∵α为锐角 ∴α=∴∴f （x ）=2x+1（2）∵a n+1=2a n +1，∴a n+1+1=2（a n +1） ∵a 1=1∴数列{a n +1}是以2为首项，2为公比的等比数列． （3）由上步可得a n +1=2n ，∴a n =2n ﹣1 ∴点评： 本题主要考查数列与三角函数的综合运用，主要涉及了倍角公式，求函数解析式，证明数列以及前n 项和．19．（12分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ﹣ABCD 中AD ∥BC ，PD ⊥平面ABCD ，AD=1，，BC=4．（Ⅰ）求证：BD ⊥PC ；（Ⅱ）求直线AB 与平面PDC 所成的角； （Ⅲ）设点E 在棱PC 上，，若DE ∥平面PAB ，求λ的值．考点：用空间向量求直线与平面的夹角；直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角．专题：空间角；空间向量及应用．分析：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F 分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）只要证明，即可得到BD⊥PC；（2）由（1）即可得到平面PDC 的法向量为，求出，求出向量与的夹角，即可得到线面角；（3）先求出平面PAB 的法向量，若DE∥平面PAB，则即可得出λ．解答：解：如图，在平面ABCD内过D作直线DF∥AB，交BC于F，分别以DA、DF、DP所在的直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．（1）证明：设PD=a，得B，P（0，0，a），C则，∵，∴BD⊥PC．（2）由（1）知．由条件知A（1，0，0），B（1，，0），设AB与面PDC所成角大小为θ，则．∵0°＜θ＜90°，∴θ=60°，即直线AB与平面PDC所成角为60°．（3）由（2）知C（﹣3，，0），记P（0，0，a），则，，，，而，∴，==．设为平面PAB的法向量，则，即，即取z=1，得x=a，进而得，由DE∥平面PAB，得，∴﹣3aλ+a﹣aλ=0，而a≠0∴．点评： 熟练掌握通过建立空间直角坐标系．利用向量垂直与数量积的关系、平面PDC 的法向量为与斜线的夹角得到线面角DE ∥平面PAB ⇔等是解题的关键．20．（12分）已知椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），且其右焦点与抛物线的焦点F 重合．①求椭圆C 1的方程；②直线l 经过点F 与椭圆C 1相交于A 、B 两点，与抛物线C 2相交于C 、D 两点．求的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：①首先求出抛物线的焦点坐标，则c 可求，结合椭圆的隐含条件及点M （1，）在椭圆上，进一步列式可求椭圆方程；②分直线l 的斜率存在和不存在两种情况分析，当斜率不存在时，可以直接求出A ，B ，C ，D 四点的坐标，则的值可求，当斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程及抛物线方程联立后，运用弦长公式把用直线的斜率表示，然后利用基本不等式求其最值． 解答： 解：如图，①解法1：由抛物线方程为y 2=4x ，得其焦点F （1，0），∵椭圆右焦点与抛物线焦点重合，∴c=1． 故a 2﹣b 2=c 2=1 ① 又椭圆C 1经过点，∴②由①②消去a 2并整理，得，4b 4﹣9b 2﹣9=0，解得：b 2=3，或（舍去）， 从而a 2=b 2+1=4． 故椭圆的方程为．解法2：由抛物线方程，得焦点F （1，0）， ∴c=1．∴椭圆C 1的左右焦点分别为F 1（﹣1，0），F 2（1，0）． ∵椭圆（a ＞b ＞0）经过点M （1，），∴=4．∴a=2，则a2=4，b2=a2﹣c2=4﹣1=3．故椭圆的方程为．②当直线l垂直于x轴时，则A（1，），B（1，），C（1，2），D（1，﹣2）．∴．当直线l与x轴不垂直，设其斜率为k（k≠0），则直线l的方程为：y=k（x﹣1）．联立，得：（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．△=（﹣8k2）2﹣4×（3+4k2）×（﹣12）=64k4+192k2+144＞0．∴方程有两个不等的实数根．设A（x1，y1），B （x2，y2）．则，．所以，===．由，得，k2x2﹣（2k2+4）x+k2=0．△=[﹣（2k 2+4）]2﹣4k 4=16k 2+16＞0，∴方程有两个不等的实数根．设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4）． ∵k ≠0，∴，由抛物线的定义，得．∴=．综上，当直线l 垂直于x 轴时，取得最大值．点评： 本题考查了椭圆标准方程的求法，考查了直线和圆锥曲线的位置关系，考查了数形结合的解题思想及分类讨论思想，考查了弦长公式，解答此类问题的关键是，常常采用设而不求的方法，即设出直线与圆锥曲线交点的坐标，解答时不求坐标，而是运用根与系数关系求出两个点的横坐标的和与积，然后结合已知条件整体代入求解问题，此题是难题．21．（12分）（2010•海淀区二模）给定椭圆，称圆心在原点O ，半径为的圆是椭圆C 的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为，其短轴上的一个端点到F 的距离为．（I ）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程．（II ）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过点P 作直线l 1，l 2，使得l 1，l 2与椭圆C 都只有一个交点，且l 1，l 2分别交其“准圆”于点M ，N ．①当P 为“准圆”与y 轴正半轴的交点时，求l 1，l 2的方程；②求证：|MN|为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题． 专题：综合题；压轴题；分类讨论． 分析： （I ）由椭圆的方程与准圆的方程关系求得准圆的方程（II ）（1）由准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2，与准圆方程联立，由椭圆与y=kx+2只有一个公共点，求得k ．从而得l 1，l 2方程（2）分两种情况①当l 1，l 2中有一条无斜率和②当l 1，l 2都有斜率处理． 解答： 解：（I ）因为，所以b=1 所以椭圆的方程为，准圆的方程为x 2+y 2=4．（II ）（1）因为准圆x 2+y 2=4与y 轴正半轴的交点为P （0，2），设过点P （0，2），且与椭圆有一个公共点的直线为y=kx+2， 所以，消去y ，得到（1+3k 2）x 2+12kx+9=0，因为椭圆与y=kx+2只有一个公共点， 所以△=144k 2﹣4×9（1+3k 2）=0， 解得k=±1．所以l 1，l 2方程为y=x+2，y=﹣x+2．（2）①当l 1，l 2中有一条无斜率时，不妨设l 1无斜率， 因为l 1与椭圆只有一个公共点，则其方程为或， 当l 1方程为时，此时l 1与准圆交于点，此时经过点（或）且与椭圆只有一个公共点的直线是y=1（或y=﹣1），即l2为y=1（或y=﹣1），显然直线l1，l2垂直；同理可证l 1方程为时，直线l1，l2垂直．②当l1，l2都有斜率时，设点P（x0，y0），其中x02+y02=4，设经过点P（x0，y0）与椭圆只有一个公共点的直线为y=t（x﹣x0）+y0，则，消去y得到x2+3（tx+（y0﹣tx0））2﹣3=0，即（1+3t2）x2+6t（y0﹣tx0）x+3（y0﹣tx0）2﹣3=0，△=[6t（y0﹣tx0）]2﹣4•（1+3t2）[3（y0﹣tx0）2﹣3]=0，经过化简得到：（3﹣x02）t2+2x0y0t+1﹣y02=0，因为x02+y02=4，所以有（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，设l1，l2的斜率分别为t1，t2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，所以t1，t2满足上述方程（3﹣x02）t2+2x0y0t+（x02﹣3）=0，所以t 1•t 2=﹣1，即l 1，l 2垂直．综合①②知：因为l 1，l 2经过点P （x 0，y 0），又分别交其准圆于点M ，N ，且l 1，l 2垂直， 所以线段MN 为准圆x 2+y 2=4的直径，所以|MN|=4．点评： 本题主要考查直线与曲线的位置关系，通过情境设置，拓展了圆锥曲线的应用范围，同时渗透了其他知识，考查了学生综合运用知识的能力． 22．（12分）设函数．（Ⅰ）当时，求f （x ）的最大值；（Ⅱ）令，（0＜x ≤3），其图象上任意一点P （x 0，y 0）处切线的斜率k ≤恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅲ）当a=0，b=﹣1，方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，求正数m 的值．考点： 利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题：计算题；压轴题．分（I ）函数的定义域是（0，+∞），把代入函析：数解析式，求其导数，根据求解目标，这个导数在函数定义域内只有一个等于零的点，判断这唯一的极值点是极大值点即可；（II ）即函数F （x ）的导数在（0，3]小于或者等于恒成立，分离参数后转化为函数的最值； （III ）研究函数是单调性得到函数的极值点，根据函数图象的变化趋势，判断何时方程2mf （x ）=x 2有唯一实数解，得到m 所满足的方程，解方程求解m ．解答：解：（I ）依题意，知f （x ）的定义域为（0，+∞），当时，，（2′）令f'（x ）=0，解得x=1．（∵x ＞0）因为g （x ）=0有唯一解，所以g （x 2）=0，当0＜x ＜1时，f'（x ）＞0，此时f （x ）单调递增； 当x ＞1时，f'（x ）＜0，此时f （x ）单调递减． 所以f （x ）的极大值为，此即为最大值…（4分） （II ），x ∈（0，3]，则有≤，在x 0∈（0，3]上恒成立， 所以a ≥，x 0∈（0，3]，当x 0=1时，取得最大值，所以a≥…（8分）（III）因为方程2mf（x）=x2有唯一实数解，所以x2﹣2mlnx﹣2mx=0有唯一实数解，设g（x）=x2﹣2mlnx﹣2mx，则．令g'（x）=0，x2﹣mx﹣m=0．因为m＞0，x＞0，所以（舍去），，当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减，当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．（12′）则既所以2mlnx2+mx2﹣m=0，因为m＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，即，解得．…（12分）点本题考查导数在研究函数性质、研究不等式和方评：程问题中的综合运用，试题的难度不大，但考查点极为全面．本题的难点是第三问中方程解的研究，当函数具有极值点时，在这个极值点左右两侧，函数的单调性是不同的，这样就可以根据极值的大小，结合函数图象的变化趋势确定方程解的个数，如本题中函数在定义域内有唯一的极值点，而且是极小值点，也就是最小值点，如果这个最小值小于零，函数就出现两个零点，方程就有两个不同的实数解，只有当这个最小值等于零时，方程才有一个实数解，而最小值等于零的这个极小值点x满足在此点处的导数等于零，函数值也等于零，即我们的解析中的方程组，由这个方程组求解m使用了构造函数通过函数的性质得到x2的方法也是值得仔细体会的技巧．。

大题规范练(一)“17题～19题＋二选一”46分练(时间：45 分钟分值：46 分)解答题(本大题共 4 小题，共46 分，第22～23题为选考题．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．已知正项等差数列{ a n} 的前n项和为S n，且知足a1＋a5＝2a723，S7＝63.(1)求数列{a n} 的通项公式a n；(2)若数列{b n}知足b1＝a1 且b n＋1－b n＝a n＋1，求数列1b n的前n项和T n.【导学号：07804229】[解] (1)法一：(等差数列的基本量)设正项等差数列{a n} 的首项为a1，公差为d，易知a n＞0，2a1＋a1＋4d＝1＋2d7 a则2，7a1＋21d＝63a＝31解得，d 2＝∴a n＝2n＋1.22法二：(等差数列的性质)∵{ a n} 是等差数列且a1＋a5＝3，∴2a3＝a7 272 a3，又a n＞0，∴a3＝7.∵S7＝a1＋a72＝7a4＝63，∴a4＝9，∴d＝a4－a3＝2，∴a n＝a3＋( n－3)d＝2n＋1.＋1－b n＝a n＋1 且a n＝2n＋1，(2)∵b n∴b n＋1－b n＝2n＋3，当n≥2时，b n＝( b n－b n －1－b n－2)＋⋯＋(b2－b1)＋b1＝(2 n＋1)＋(2n－1)＋⋯＋5＋3＝－1)＋(b nn(n＋2)，当n＝1时，b1＝3知足上式，故b n＝n( n＋2)．1 1 ∴＝b nn n＋＝121 1－n n＋2.1 ∴T n＝＋b11＋⋯＋b21＋b n－1－11b n1＝2 1－13＋1 1－2 4＋1－315＋⋯＋1－n－11n＋1＋1n－1n＋212＝1＋12－1 1－n＋1 n＋23 ＝－42n＋3n＋n＋.18．如图1，已知直角梯形ABCD 中，AB＝AD＝12CD＝2，AB∥DC，AB⊥AD，E为C D 的中点，沿AE 把△DAE 折起到△PAE 的地点(D 折后变成P)，使得PB＝2，如图2.(1)求证：平面PAE⊥平面ABCE；(2)求直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值．[解] (1)证明：如图(1)，取AE 的中点O，连结PO，OB，BE.因为在平面图形中，如题图(图1)，连结BD，BE，易知四边形ABED为正方形，图(1)因此在立体图形中，△PAE，△BAE为等腰直角三角形，因此PO⊥AE，OB⊥AE，PO＝OB＝2，因为PB＝2，因此PO2＋OB2＝PB2，因此PO⊥OB，又AE∩OB＝O，因此PO⊥平面ABCE，因为PO? 平面PAE，因此平面PAE⊥平面ABCE .(2)由(1)知，OB，OE，OP 两两垂直，以O为坐标原点，以OB，OE，OP 所在直线分别为x轴、y轴、z轴成立空间直角坐标系，如图(2)，则O(0,0,0)，P(0,0，2)，B( 2，0,0)，E(0，→→→＝( 2，0，－2)，EP＝(0，－2，2)，EC＝( 2，2，0)．2，0)，C( 2，2 2，0)，PB图(2)设平面PCE 的法向量为n＝(x，y，z)，→n·EP则→＝0，＝0，n·EC 即－2y＋2z＝0，2x＋2y＝0，令x＝1，得y＝－1，z＝－1，故平面PCE 的一个法向量为n＝(1，－1，－1)．→因此cos〈PB，n〉＝→PB·n 2 2＝＝→2 3|PB| ·|n|6，36因此直线P B 和平面PCE 所成角的正弦值为.319.某学校为鼓舞家校互动，与某手机通信商合作，为教师办理流量套餐．为认识该校教师手机流量使用状况，经过抽样，获得100 位教师近 2 年每人手机月均匀使用流量L(单位：M) 的数据，其频次散布直方图以下：图3若将每位教师的手机月均匀使用流量分别视为其手机月使用流量，并将频次视为概率，回答以下问题．(1)从该校教师中随机抽取 3 人，求这3人中至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率；(2)现该通信商推出三款流量套餐，详情以下：套餐名称月套餐费/元月套餐流量/MA 20 300B 30 500C 38 700这三款套餐都有以下附带条款：套餐费月初一次性收取，手机使用流量一旦高出套餐流量，系统就自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元；假如又高出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200 M 流量，资费20 元，以此类推，假如当月流量有节余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购此中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并肩负系统自动充值的流量资费的75%，其他部分由教师个人肩负，问学校正购哪一款套餐最经济？说明原因．[解] (1)记“从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量不超出300 M ”为事件 D.依题意，P(D )＝(0.000 8＋0.002 2) ×100＝0.3.X～这3 人中手机月使用流量不超出300 M 的人数为X，则中随机抽取 3 人，设从该校教师B(3,0.3)，中随机抽取 3 人，至多有 1 人手机月使用流量不超出300 M 的概率为P(X＝校教师因此从该0 03＋C31×0.3 ×(1－0.3)2＝0.343＋0.441＝0.784.0)＋P(X＝1)＝C3×0.3 ×(1－0.3)(2)依题意，从该校随机抽取 1 位教师，该教师手机月使用流量L∈(300,500] 的概率为(0.002 5(0.000 8＋0.000 2) ×100＝0.1.＋0.003 5) ×100＝0.6，L∈(500,700] 的概率为X1 元，则X1 的全部可能取值为当学校正购A 套餐时，设为学校为1位教师肩负的月花费20,35,50，且P(X1＝20)＝0.3，P(X1＝35)＝0.6，P( X1＝50)＝0.1，因此X1 的散布列为X1 20 35 50P 0.3 0.6 0.1因此E(X1)＝20×0.3＋35×0.6＋50×0.1＝32(元)．费X2元，则X2的全部可能取值为30,45，肩负的月花为当学校正购B 套餐时，设学校为1位教师且P(X2＝30)＝0.3＋0.6＝0.9，P(X2＝45)＝0.1，因此X2 的散布列为X2 30 45P 0.9 0.1因此E(X2)＝30×0.9＋45×0.1＝31.5(元)．为费X3 元，则X3 的全部可能取值为38，当学校正购C 套餐时，设学校为1位教师肩负的月花且P(X3＝38)＝1，因此E(X3)＝38×1＝38(元)．因为E(X2)＜E(X1)＜E(X3)，．济因此学校正购B 套餐最经(请在第22～23题中选一题作答，假如多做，则依据所做第一题计分)22．选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标方程为ρ系中，圆C的极坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3.若以极点O为原点，极轴所在成立平面直角坐标系.为x轴直线【导学号：07804230】(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y 的最大值，并求出此时点P 的．直角坐标2＝4ρ(cos θ＋sin θ)－3，[解] (1)因为ρ因此x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为方程，圆C 的直角坐标(θ为参数)．x＝2＋5cos θy＝2＋5sin θC的参数方程为因此圆2＋y2－4x－4y＋3＝0，整理得5y2＋4(1－t)y＋t2 (2)法一：设x＋2y＝t，得x＝t－2y，代入x－4t＋3＝0 (*) ，则对于y 的方程必有实数根．因此Δ＝16(1－t)2－20(t2－4t＋3) ≥0，化简得t2－12t＋11≤0，解得1≤t≤ 1 1，即x＋2y 的最大值为11.将t＝11 代入方程(*) 得y2－8y＋16＝0，解得y＝4，代入x＋2y＝11，得x＝3，故x＋2y 的最大值为11时，点P 的直角坐标为(3,4)．法二：由(1)可设点P(2＋5cos θ，2＋5sin θ)，则x＋2y＝6＋5cos θ＋2 5sin θ＝6＋55 2 55 cos θ＋ 5 sin θ，设s in α＝5 2 5，则c os α＝，因此x＋2y＝6＋5sin(θ＋α)，5 5当sin(θ＋α)＝1时，(x＋2y)max＝11，π此时，θ＋α＝＋2kπ，k∈Z，即θ＝2 π－α＋2kπk(∈Z)，2因此sin θ＝cos α＝2 55，cos θ＝sin α＝5，故点P 的直角坐标为(3,4)．523．选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|x－2|＋2，g(x)＝m|x|(m∈R)．(1)解对于x 的不等式f( x)＞5；(2)若不等式f(x) ≥g(x)对随意x∈R恒成立，求m 的取值范围．[解] (1)由f(x)＞5，得|x－2|＞3，∴x－2＜－3 或x－2＞3，解得x＜－1 或x＞5.故原不等式的解集为{ x|x＜－1 或x＞5} ．(2)由f(x) ≥g(x)，得|x－2|＋2≥m|x|对随意x∈R恒成立，当x＝0时，不等式|x－2|＋2≥0恒成立，|x－2|＋2当x≠0时，问题等价于m≤对随意非零实数恒成立，|x||x－2|＋2 |x－2＋2|∵＝1，∴m≤1，即m 的取值范围是(－∞，1]．≥|x| |x|。

北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试（理工类）2013.5（考试时间120分钟 满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. （1）已知集合{}0,1,3M =，集合{}3,N x x a a M ==∈，则M N =A.{}0B.{}0,3C. {}1,3,9D. {}0,1,3,9 （2）若12()d 0xmx x +=⎰，则实数m 的值为A ．13-B ．23- C ．1- D ．2- （3）执行如图所示的程序框图．若输出的结果是16，则判断框内的条件是A. 6n >?B. 7n ≥?C. 8n >?D. 9n >?（第5题图）（第3题图）111正视图侧视图俯视图（4）若双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与抛物线22y x =+有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是A ．[3,)+∞B ．(3,)+∞C ．(1,3]D ．(1,3) （5）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为A ．16B ．13 C ．12D ．1 （6）某岗位安排3名职工从周一到周五值班，每天只安排一名职工值班，每人至少安排一天，至多安排两天，且这两天必须相邻，那么不同的安排方法有A ．10种B ．12种C ．18种D ．36种（7）已知函数()21(0)xf x a a =⋅+≠，定义函数(),0,()(),0.f x x F x f x x >⎧=⎨-<⎩给出下列命题：①()()F x f x =； ②函数()F x 是奇函数；③当0a <时，若0mn <，0m n +>，总有()()0F m F n +<成立，其中所有正确命题的序号是 A ．②B ．①②C ．③D ．②③（8）点P 是棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -的底面1111A B C D 上一点，则1PA PC的取值范围是A ．1[1,]4-- B ．11[,]24-- C ．[1,0]- D ．1[,0]2- 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上. （9）i 为虚数单位，计算3i1i+=+ ． （10）若直线l 与圆2cos ,:12sin x C y θθ=⎧⎨=-+⎩（θ为参数）相交于A ，B 两点，且弦AB 的中点坐标是(1,2)-，则直线l 的倾斜角为 ．（11）如图，PC 切圆O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，4,8PC PB ==，则tan COP ∠= ，△OBC 的面积是 ．（12）某公司一年购买某种货物600吨，每次都购买x 吨，运费为3万元/次，一年的总存储费用为2x万元，若要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次需购买 吨．（13将一个质点随机投放在关于,x y 的不等式组3419,1,1x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所构成的三角形区域内，则该质点到此三角形的三个顶点的距离均不小于1的概率是 ．（14）数列{21}n -的前n 项1,3,7,,21n - 组成集合{1,3,7,,21}()n n A n *=-∈N ，从集合n A 中任取k (1,2,3,,)k n = 个数，其所有可能的k 个数的乘积的和为k T （若只取一个数，规定乘积为此数本身），记12n n S T T T =+++ ．例如当1n =时，1{1}A =，11T =，11S =；当2n =时，2{1,3}A =，113T =+，213T =⨯，213137S =++⨯=.则当3n =时，3S = ；试写出n S = ．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. （15）（本小题满分13分） 在△ABC 中， ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2()2cossin()sin 222A A A f A =π-+-2cos 2A. （Ⅰ）求函数()f A 的最大值；（Ⅱ）若()0,,12f A C a 5π===b 的值．（16）（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 是正方形，EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，22AD PD EA ===，F ，G ，H 分别为PB ，EB ，PC 的中点．（Ⅰ）求证：FG 平面PED ；（Ⅱ）求平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小； （Ⅲ）在线段PC 上是否存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成的角为60？若存在，求出线段PM 的长；若不存在，请说明理由.（17）（本小题满分13分） 为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”.比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级．从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表：A DB CPEFGH（Ⅰ）根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率；（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生（参赛人数很多）中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ； （Ⅲ）从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于20分”的概率．（18）（本小题满分13分）已知函数()mxf x x =++211（m ≠0），2()e ()ax g x x a =∈R . （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）当m >0时，若对任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立，求a 的取值范围.（19）（本小题满分14分）已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的右焦点为F (1,0)，短轴的端点分别为12,B B ,且12FB FB a ⋅=-.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 且斜率为k (0)k ≠的直线l 交椭圆于,M N 两点，弦MN 的垂直平分线与x 轴相交于点D .设弦MN 的中点为P ，试求DP MN的取值范围．（20）（本小题满分13分）已知实数12,,,n x x x （2n ≥）满足||1(1,2i x i n≤= ，记121(,,,)n i j i j nS x x x x x ≤<≤=∑．（Ⅰ）求2(1,1,)3S --及(1,1,1,1)S --的值； （Ⅱ）当3n =时，求123(,,)S x x x 的最小值； （Ⅲ）求12(,,,)n S x x x 的最小值．注：1i j i j nx x ≤<≤∑表示12,,,n x x x 中任意两个数i x ,j x （1i j n ≤<≤）的乘积之和.北京市朝阳区高三年级第二次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013.５一、选择题：二、填空题：（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题： （15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为22()2cossin sin cos 2222A A A Af A =+- sin cos )4A A A π=-=-.因为A 为三角形的内角，所以0A <<π，所以444A ππ3π-<-<. 所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A ………6分（Ⅱ）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又因为444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，所以4A π=．又因为12C 5π=，所以3B π=．由正弦定理sin sin a b A B =得，sinsin 33sin sin 4a Bb A π===π． …………13分 （16）（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为F ,G 分别为PB ，BE 的中点，所以FG PE .又FG ⊄平面PED ，PE ⊂平面PED ，所以FG 平面PED . …………4分 （Ⅱ）因为EA ⊥平面ABCD ，EA PD ，所以PD ⊥平面ABCD ， 所以PD AD ⊥，PD CD ⊥. 又因为四边形ABCD 是正方形， 所以AD CD ⊥.如图，建立空间直角坐标系， 因为22AD PD EA ===,所以D ()0,0,0，P ()0,0,2，A ()2,0,0，C ()0,2,0，B ()2,2,0，(2,0,1)E ．…………5分因为F ，G ， H 分别为PB ，EB ，PC 的中点，所以F ()1,1,1，G 1(2,1,)2，H (0,1,1). 所以1(1,0,)2GF =- ，1(2,0,)2GH =- .设1111(,,)x y z =n 为平面FGH 的一个法向量，则1100GF GH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,即11111021202x z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩， 再令11y =，得1(0,1,0)=n .(2,2,2)PB =- ,(0,2,2)PC =-.设2222(,,)x y z =n 为平面PBC 的一个法向量,则220PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n , 即222222220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令21z =，得2(0,1,1)=n .所以12cos ,n n =1212⋅⋅n n n n=2. 所以平面FGH 与平面PBC 所成锐二面角的大小为4π. …………9分 （Ⅲ）假设在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60.依题意可设PM PC λ=,其中01λ≤≤.由(0,2,2)PC =- ,则(0,2,2)PM λλ=-.又因为FM FP PM =+ ,(1,1,1)FP =-- ，所以(1,21,12)FM λλ=---.因为直线FM 与直线PA 所成角为60，(2,0,2)PA =-，所以cos ,FM PA =12，即12=，解得58λ=.所以55(0,,)44PM =-，PM = 所以在线段PC 上存在一点M ,使直线FM 与直线PA 所成角为60，此时4PM =. ………………………………………14分（17）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）根据统计数据可知，从这30名学生中任选一人，分数等级为“A 或B ”的频率为461013030303+==． 从本地区小学生中任意抽取一人，其“数独比赛”分数等级为“A 或B ”的概率约为13．……………………………………………………………………………………3分 （Ⅱ）由已知得，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3．所以0033128(0)()()3327P X C ==⋅=；112312124(1)()()33279P X C ==⋅==；22131262(2)()()33279P X C ==⋅==；3303121(3)()()3327P X C ==⋅=．随机变量X 的分布列为所以80123127272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………9分 （Ⅲ）设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分．设从这30名学生中，随机选取2人，记其比赛成绩分别为,m n ．显然基本事件的总数为230C ． 不妨设m n >，当90m =时，60n =或40或30，其基本事件数为111141073()C C C C ⋅++； 当70m =时，n =40或30，其基本事件数为111673()C C C ⋅+；当60m =时，30n =，其基本事件数为11103C C ⋅； 所以11111111141073673103230()()34()87C C C C C C C C C P M C ⋅+++⋅++⋅==． 所以从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于20分的概率为3487． ……………13分（18）（本小题满分1 3分）解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为R ，()()()()()()m x m x x f x x x --+'==++2222211111.…………1分 ①当m >0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-11，单调递减区间是(,)-∞-1，(,)+∞1. …………3分②当m <0时，当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以，函数()f x 的单调递增区间是(,)-∞-1，(,)+∞1，单调递减区间是(,)-11.……………5分（Ⅱ）依题意，“当m >0时，对于任意12,[0,2]x x ∈，12()()f x g x ≥恒成立”等价于 “当m >0时，对于任意[0,2]x ∈， min max ()()f x g x ≥成立”.当m >0时，由（Ⅰ）知，函数()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减， 因为(0)1f =，2(2)115mf =+>，所以函数()f x 的最小值为(0)1f =.所以应满足max ()1g x ≤. ……………………………………………………………6分因为2()e ax g x x =，所以2()(+2)e ax g x ax x '=. ……………7分 ①当0a =时，函数2()g x x =，[0,2]x ∀∈，max ()(2)4g x g ==，显然不满足max ()1g x ≤，故0a =不成立. ……………8分 ②当0a ≠时，令()0g x '=得，10x =，22x a=-. （ⅰ）当22a-≥，即10a -≤<时， 在[0,2]上()0g x '≥，所以函数()g x 在[0,2]上单调递增，所以函数2max ()(2)4e a g x g ==. 由24e1a≤得，ln 2a ≤-，所以1ln 2a -≤≤-. ……………10分（ⅱ）当202a <-<，即1a <-时, 在2[0,)a -上()0g x '≥，在2(,2]a-上()0g x '<，所以函数()g x 在2[0,)a -上单调递增，在2(,2]a -上单调递减，所以max 2224()()eg x g a a =-=.由2241e a ≤得，2e a ≤-，所以1a <-. ……………11分 （ⅲ）当20a-<，即0a >时,显然在[0,2]上()0g x '≥，函数()g x 在[0,2]上单调递增，且2max ()(2)4e a g x g ==.显然2max ()4e 1a g x =≤不成立，故0a >不成立. ……………12分 综上所述，a 的取值范围是(,ln 2]-∞-. ……………13分 （19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）依题意不妨设1(0,)B b -，2(0,)B b ，则1(1,)FB b =-- ，2(1,)FB b =- .由12FB FB a ⋅=- ，得21b a -=-.又因为221a b -=，解得2,a b ==.所以椭圆C 的方程为22143x y +=. ……………4分 （Ⅱ）依题直线l 的方程为(1)y k x =-.由22(1),143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(34)84120k x k x k +-+-=.设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+. …………6分所以弦MN 的中点为22243(,)3434k k P k k-++. ……………7分所以MN === 2212(1)43k k +=+. ……………9分直线PD 的方程为222314()4343k k y x k k k +=--++， 由0y =，得2243k x k =+，则22(,0)43k D k +，所以DP = …………11分所以224312(1)43DP k k MN k +==++=. ……………12分 又因为211k +>，所以21011k <<+.所以104<<. 所以DP MN的取值范围是1(0,)4. ………………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）由已知得222(1,1,)11333S --=-+-=-． (1,1,1,1)1111112S --=----+=-． ……………3分 （Ⅱ）设123(,,)S S x x x =．当3n =时，12312132313(,,)i j i j S S x x x x x x x x x x x ≤<≤===++∑．若固定23,x x ，仅让1x 变动，此时12132323123()S x x x x x x x x x x x =++=++， 因此2323min{(1,,),(1,,)}S S x x S x x ≥-．同理2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x ≥-．2333(1,,)min{(1,1,),(1,1,)}S x x S x S x -≥---．以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的123,,x x x 所达到， 于是12311,2,3min{(,,)}k x k S S x x x =±=≥． 当1k x =±（1,2,3k =）时，22221231231[()()]2S x x x x x x =++-++ 212313()22x x x =++-． 因为123||1x x x ++≥，所以13122S ≥-=-，且当121x x ==，31x =-时，1S =-． 因此min 1S =-． ……………8分 （Ⅲ）设121(,,,)n i j i j n S S x x x x x ≤<≤==∑121312321n n n n x x x x x x x x x x x x -=++++++++ .固定23,,,n x x x ，仅让1x 变动，此时2312321()()n n n n S x x x x x x x x x x -=+++⋅+++++ ， 因此2323min{(1,,,,),(1,,,,)}n n S S x x x S x x x ≥- ． 同理2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x ≥- ． 2333(1,,,,)min{(1,1,,,),(1,1,,,)}n n n S x x x S x x S x x -≥--- ． 以此类推，我们可以看出，S 的最小值必定可在某一组取值1±的12,,,n x x x 所达到，于是1211,2,,min {(,,,)}k n x k n S S x x x =±=≥ ． 当1k x =±（1,2,,k n = ）时，222212121[()()]2n n S x x x x x x =+++-+++ 2121()22n n x x x =+++- ． ①当n 为偶数时，2n S ≥-， 若取1221n x x x ==== ，12221nn n x x x ++====- ，则2n S =-，所以min 2n S =-． ②当n 为奇数时，因为12||1n x x x +++≥ ，所以1(1)2S n ≥--， 若取12121n x x x -==== ，1112221n n n x x x --++====- ，则1(1)2S n =--， 所以min 1(1)2S n =--． …………………………13分。

唐山市2012—2013学年度高三年级第二次模拟考试理科数学参考答案一、选择题A 卷：BDCAB CBABD CA B 卷：DABCC ABDAD BD 二、填空题（13）54 （14）6 （15）100π （16）100 三、解答题 （17）解：由余弦定理得，a 2－b 2＝c 2－2bc cos A ，将已知条件代入上式，得ac ＝3bc －c 2，则3b －c ＝a ，再由正弦定理，3sin B －sin C ＝sin π6． …4分又sin C ＝sin (5π6－B )＝ 1 2cos B ＋32sin B ，所以32sin B － 1 2cos B ＝ 1 2，即sin (B － π6)＝ 1 2． …10分因为－ π 6＜B － π 6＜5π6，所以B － π 6＝ π 6，即B ＝ π3． …12分（18）解：因为K 2＝800(60×500－100×140)160×640×200×600≈16.667＞10.828，所以能在犯错概率不超过0.001的前提下认为该校学生母语对于学习和掌握一门外语有关系． …5分（Ⅱ）由已知数据，语文、外语两科成绩至少一科为优秀的频率是 38．则X ～B (3， 38)，P (X ＝k )＝C k 8(38)k ( 58)8－k，k ＝0，1，2，3．X 的分布列为…10分E (X )＝3× 3 8＝ 98． …12分（19）解：（Ⅰ）连接B 1C 交BC 1于点P ，连接PQ ．因为直线AB 1∥平面BC 1Q ，AB 1⊂平面AB 1C ，平面BC 1Q ∩平面AB 1C ＝PQ ， 所以AB 1∥PQ ．因为P 为B 1C 的中点，且AB 1∥PQ ， 所以，Q 为AC 的中点． …4分 （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系．设AB ＝BC ＝a ，BB 1＝b ，则面BC 1C 的法向量为m ＝(1，0，0)．B (0，0，0)，C 1(0，a ，b )，Q (34a ， 14a ，0)，BC 1→＝(0，a ，b )，QC 1→＝(－34a ， 3 4a ，b )． 因QC 1与面BC 1C 所成角的正弦值为24，故|m ·QC 1→|___________|m |·|QC 1→|＝34a ___________√________ 3 4a 2＋b 2＝24，解得b ＝32a . …8分设平面C 1BQ 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·QC 1→＝0，n ·BC 1→＝0，即⎩⎨⎧－34ax ＋34ay ＋32az ＝0，ay ＋32az ＝0，取n ＝(1，－3，2)． …10分所以有cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝24．故二面角Q -BC 1-C 的余弦值为24． …12分（20）解：（Ⅰ）f '(x )＝ln x ＋1－ax ．f (x )单调递减当且仅当f '(x )≤0，即∀x ∈(0，＋∞)， a ≥ln x ＋1x． ①设g (x )＝ln x ＋1x ，则g '(x )＝－ln xx2．当x ∈(0，1)时，g '(x )＞0，g (x )单调递增； 当x ∈(1，＋∞)时，g '(x )＜0，g (x )单调递减． 所以g (x )≤g (1)＝1，故a 的最小值为1． …5分 （Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知，当a ≥1时，f (x )没有极值点．（2）当a ≤0时，f '(x )单调递增，f '(x )至多有一个零点，f (x )不可能有两个极值点．…7分（3）当0＜a ＜1时，设h (x )＝ln x ＋1－ax ，则h '(x )＝ 1x－a ．当x ∈(0， 1a)时，h '(x )＞0，h (x )单调递增；A当x ∈(1 a ，＋∞)时，h '(x )＜0，h (x )单调递减． …9分因为f '(1a )＝h (1a )＝ln1a ＞0，f '(1e )＝h (1e )＝－ae＜0，所以f (x )在区间(1e ，1a )有一极小值点x 1．…10分由（Ⅰ）中的①式，有1≥ln x ＋1x ，即ln x ≤x －1，则ln 1 a ≤ 1a－1， 故f '( 2 a 2)＝h ( 2 a 2)＝ln 2＋2ln 1 a ＋1－ 2 a ≤ln 2＋2( 1 a －1)＋1－ 2a＝ln 2－1＜0．所以f (x )在区间(1 a ， 2a2)有一极大值点x 2．综上所述，a 的取值范围是(0，1)． …12分 （21）解：（Ⅰ）依题意，曲线E 是以(0，m )为焦点，以y ＝－m 为准线的抛物线． 曲线E 的方程为x 2＝4my ． …2分设动圆圆心为A (a ，a 24m )，则圆C 方程为(x －a )2＋(y －a 24m )2＝(a24m ＋m )2，令y ＝0，得(x －a )2＝a22＋m 2．当a ＝0时，圆C 被x 轴截得弦长取得最小值2m ，于是m ＝ 12，故曲线E 的方程为x 2＝2y ． …5分（Ⅱ）假设存在题设的公共点B (b ， 12b 2)．圆C 方程为(x －a )2＋(y － 1 2a 2)2＝(1 2a 2＋ 1 2)2，将点B 坐标代入上式，并整理，得(b －a )2[1＋ 1 4(a ＋b )2]＝ 14(a 2＋1)2．① …7分对y ＝ 12x 2求导，得y '＝x ，则曲线E 在点B 处的切线斜率为b ．又直线AB 的斜率k ＝ 1 2b 2－ 12a 2b －a＝ 12(a ＋b )．由圆切线的性质，有 12(a ＋b )b ＝－1． ② …8分由①和②得b 2(b 2－8)＝0． 显然b ≠0，则b ＝±22． …9分 所以存在题设的公共点B ，其坐标为(±22，4)，公切线方程为 y ＝22(x －22)＋4或y ＝－22(x ＋22)＋4，即y ＝±22x －4． …12分 （22）证明：（Ⅰ）连接BD ，因为D 为BC ︵的中点，所以BD ＝DC ．因为E 为BC 的中点，所以DE ⊥BC ．因为AC 为圆的直径，所以∠ABC ＝90︒，所以AB ∥DE ． …5分（Ⅱ）因为D 为BC ︵的中点，所以∠BAD ＝∠DAC ， 又∠BAD ＝∠DCB ，则∠DAC ＝∠DCB ．又因为AD ⊥DC ，DE ⊥CE ，所以△DAC ∽△ECD ．所以AC CD ＝ADCE，AD ·CD ＝AC ·CE ，2AD ·CD ＝AC ·2CE ，因此2AD ·CD ＝AC ·BC ． …10分（23）解：（Ⅰ）将椭圆C 的参数方程化为普通方程，得x 24＋y 23＝1．a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点F 坐标为(－1，0)． l 是经过点(m ，0)的直线，故m ＝－1． …4分（Ⅱ）将l 的参数方程代入椭圆C 的普通方程，并整理，得 (3cos 2α＋4sin 2α)t 2－6t cos α－9＝0．设点A ，B 在直线参数方程中对应的参数分别为t 1，t 2，则|FA |·|FB |＝|t 1t 2|＝93cos 2α＋4sin 2α＝93＋sin 2α． 当sin α＝0时，|FA |·|FB |取最大值3；当sin α＝±1时，|FA |·|FB |取最小值 94．…10分（24）解：（Ⅰ）当a ＝2时，f (x )＝2(|x －2|－|x ＋4|)＝⎩⎪⎨⎪⎧12，x ＜－4，－4x －4，－4≤x ≤2，－12，x ＞2．当x ＜－4时，不等式不成立；当－4≤x ≤2时，由－4x －4＜2，得－ 32＜x ≤2；当x ＞2时，不等式必成立．综上，不等式f (x )＜2的解集为{x |x ＞－ 32}．…6分（Ⅱ）因为f (x )＝|ax －4|－|ax ＋8|≤|(ax －4)－(ax ＋8)|＝12， 当且仅当ax ≤－8时取等号． 所以f (x )的最大值为12．故k 的取值范围是[12，＋∞)． …10分。

山东省2013届高三高考模拟卷（二）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,全卷满分150分,考试时间120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z 满足i i z +=-1)2(，那么复数z 的虚部为A ．1B ．1-C ．iD ．i -2．已知集合}1{2+==x y P ，},1|{2R x x y y Q ∈+==，=S },1|{2R x x y x ∈+=，},1|),{(2R x x y y x T ∈+==，=M }1|{≥x x ，则A ．P=MB ．Q=SC ．S=TD ．Q=M3．某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5．现从一批该种日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f 的分布表如下：则在所取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为A ．40B ．20C ．30D ．604．若p ：R x ∈∀，cos 1x ≤，则A ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x >B ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x >C ．p ⌝：R x ∈∃0，0cos 1x ≥D ．p ⌝：R x ∈∀，cos 1x ≥5．如图所示，已知向量BC AB 2=，a OA =，b OB =，c OC =，则下列等式中成立的是A ．a b c 2123-=B ．a b c -=2C ．b a c -=2D ．b a c 2123-= 6．如图，若程序框图输出的S 是254，则判断框①处应为A ．5≤nB ．6≤nC ．7≤nD ．8≤n7．在△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知272cos 2sin 42=-+C B A ，且5=+b a ，7=c ，则△ABC 的面积为 A ．233 B ．23 C ．43 D ．433 8．已知函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0≥x 时，m m x f x (3)(+=为常数)，则函数)(x f 的大致图象为9．箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是A ．62516B ．62596C ．625624D ．6254 10．设O 为坐标原点，点M 的坐标为(2，1)，若点),(y x N 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥≤+-01221034y x x y x ，则使ON OM ⋅取得最大值的点N 有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个11．若P 是双曲线1C ：)0,0(12222>>=-b a by a x 和圆2C ：2222b a y x +=+的一个交点且=∠12F PF 212F PF ∠，其中21F F 、是双曲线1C 的两个焦点，则双曲线1C 的离心率为A ．13-B ．13+C ．2D ．312．已知函数()|4|()f x x x x R =-∈，若存在正实数k ，使得方程k x f =)(在区间（2，+∞）上有两个根b a ,，其中a b <，则)(2b a ab +-的取值范围是A ．)222,2(+B ．)0,4(-C ．)2,2(-D ．)2,4(-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填写在答题纸的相应位置．13．设dx x a ⎰=π0sin ，则曲线()2x f x xa ax =+-在点))1(,1(f 处的切线的斜率为__________.14．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，该三棱锥的外接球的半径为2，则该三棱锥的体积为_______．15．62)1)(1(++ax x 的展开式中各项系数的和为1458，则该展开式中2x 项的系数为_______．16．设函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0],[)(x x f x x x x f ，其中][x 表示不超过x 的最大整数，如2]5.1[-=-，1]5.1[=，若直线)0)(1(>+=k x k y 与函数)(x f y =的图象有三个不同的交点，则k 的取值范围是__________.三、解答题：本大题共6个小题，共74分．解答应写文字说明、证明过程或演算步骤，把答案填写在答题纸的相应位置．17．(本小题满分12分) 已知函数13sin 322sin )(2++-=x x x f ．(1)求)(x f 的最小正周期及其单调增区间：(2)当]6,6[ππ-∈x 时，求)(x f 的值域． 18．(本小题满分12分)如图，在三棱锥A-BCD 中，△ABD 和△BCD 是两个全等的等腰直角三角形，O 为BD 的中点，且AB=AD=CB=CD=2，AC=a ．(1)当2=a 时，求证：AO ⊥平面BCD ；(2)当二面角C BD A --的大小为︒120时，求二面角D BC A --的正切值．19．(本小题满分12分)某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的统计结果如下表：(1)计算这50天的日平均销售量；(2)若以频率为概率，且每天的销售量相互独立．①求5天中该种商品恰有2天的销售量为1．5吨的概率；②已知每吨该商品的销售利润为2万元，X 表示该种商品两天销售利润的和，求X 的分布列和数学期望．20．(本小题满分12分)已知等差数列}{n a 的首项11=a ，公差0>d ，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列}{n b 的第2项、第3项、第4项．(1)求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；(2)设数列}{n c 对任意的*N n ∈，均有12211+=+++n nn a b c b c b c 成立，求122013c c c +++ ．21．(本小题满分13分)已知中心在原点的椭圆C ：12222=+by a x 的一个焦点为)3,0(1F ，)0)(4,(>x x M 为椭圆C 上一点，1MOF ∆的面积为23． (1)求椭圆C 的方程；(2)是否存在平行于OM 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且以线段AB 为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．22．(本小题满分13分)已知函数xk x x f +=ln )(，R k ∈． (1)若1=k ，求函数)(x f 的单调区间；(2)若xe xf -+≥12)(恒成立，求实数k 的取值范围； (3)设k x xf xg -=)()(，若对任意的两个实数21,x x 满足210x x <<，总存在00>x ，使得=')(0x g 2121)()(x x x g x g --成立，证明：10x x >．数学（理科）参考答案一、选择题：1．B 2．D3．B4．A5．A6．C7．A8．B9．B10．D11．B12．B二、填空题13．2ln 24+ 14．2 15．61 16．)31,41[三、计算题17．【解析】1)sin 21(32sin )(2+-+=x x x f ++=x x 2cos 32sin 1)32sin(21++=πx ． (1)函数)(x f 的最小正周期ππ==22T ． 由正弦函数的性质知，当223222πππππ+≤+≤-k x k ， 即)(12125Z k k x k ∈+≤≤-ππππ时，函数)32sin(π+=x y 为单调增函数，所以函数)(x f 的单调增区间为]12,125[ππππ+-k k ，)(Z k ∈． (2)因为]6,6[ππ-∈x ，所以]32,0[32ππ∈+x ，所以∈+)32sin(πx ]1,0[， 所以]3,1[1)32sin(2)(∈++=πx x f ，所以)(x f 的值域为[1，3]． 18．【解析】(1)根据题意知，在△AOC 中，2==a AC ，2==CO AO ，所以222CO AO AC +=，所以AO ⊥CO ．因为AO 是等腰直角E 角形ABD 的中线，所以AO ⊥BD ． 又BD CO=O ，所以AO ⊥平面BCD ．(2)法一 由题易知，CO ⊥OD ．如图，以O 为原点，OC 、OD 所在的直线分别为x 轴、y 轴建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，则有O(0，0，0)，)0,2,0(D ，)0,0,2(C ，)0,2,0(-B ． 设)0)(,0,(000<x z x A ，则=OA ),0,(00z x ，)0,2,0(=． 设平面ABD 的法向量为),,(111z y x n =， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0OD n OA n 即⎪⎩⎪⎨⎧==+.02,011010y z z x x 所以01=y ，令01z x =，则01x z -=． 所以),0,(00x z n -=．因为平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=m ，且二面角C BD A --的大小为︒120，所以=><|,cos |n m 21|120cos |=︒， 即21=，整理得20203x z =． 因为2||=OA ，所以22020=+z x ， 解得220-=x ，260=z ，所以)26,0,22(-A ， 设平面ABC 的法向量为),,(222z y x l =， 因为)26,2,22(-=BA ，)0,2,2(=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,0BC l BA l 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++-.022,02622222222y x z y x 令12=x ，则12-=y ，32=z ．所以)3,1,1(-=l ．设二面角D BC A --的平面角为θ，则|,cos |cos ><=m l θ515|)3()1(13|222=+-+=．所以36tan =θ，即二面角D BC A --的正切值为36． 法二 在△ABD 中，BD ⊥AO ，在△BCD 中，BD ⊥CO ，所以∠AOC 是二面角C BD A --的平面角，即∠AOC=︒120． 如图，过点A 作CO 的垂线交CO 的延长线于点H ，因为BD ⊥CO ，BD ⊥AO ，且CO AO=O ，所以BD ⊥平面AOC ．因为AH ⊂平面AOC ，所以BD ⊥AH ．又CO ⊥AH ，且CO BD=O ，所以AH ⊥平面BCD ．过点A 作AK ⊥BC ，垂足为K ，连接HK ．因为BC ⊥AH ，AK AH=A ，所以BC ⊥平面AHK ．因为HK ⊂平面AHK ，所以BC ⊥HK ，所以∠AKH 为二面角D BC A --的平面角．在△AOH 中，∠AOH=︒60，2=AO ，则26=AH ，22=OH ， 所以223222=+=+=OH CO CH ． 在Rt △CHK 中，∠HCK=︒45，所以232==CH HK ． 在Rt △AHK 中，362326tan ===∠KH AH AKH ， 所以二面角D BC A --的正切值为36． 19．【解析】(1)日平均销售量为55.150152255.110=⨯+⨯+(吨)． (2)①日销售量为1．5吨的概率5.05025==p ． 设5天中该商品有Y 天的销售量为1．5吨，则)5.0,5(~B Y ， 所以==)2(Y P 165)5.01(5.03225=-⨯⨯C ． ②X 的所有可能取值为4，5，6，7，8．又日销售量为1吨的概率为2.05010=，日销售量为2吨的概率为3.05015=，则 04.02.0)4(2===X P ；2.05.02.02)5(=⨯⨯==X P ；37.03.02.025.0)6(2=⨯⨯+==X P ；3.03.05.02)7(=⨯⨯==X P ；09.03.0)8(2===X P ．所以X 的分布列为数学期望⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=83.0737.062.0504.04EX 2.609.0=．20．【解析】(1)由已知得d a +=12，d a 415+=，d a 13114+=，所以)131)(1()41(2d d d ++=+，解得0=d 或2=d ．又因为0>d ，所以2=d ．所以122)1(1-=⨯-+=n n a n ．又322==a b ，953==a b ，所以等比数列}{n b 的公比33923===b b q ， 所以1222333---=⨯==n n n n qb b ． (2)由12211+=+++n nn a b c b c b c ①，得当2≥n 时， n n n a b c b c b c =+++--112211 ②， ①-②，得当2≥n 时，21=-=+n n n n a a b c ，所以≥⨯==-n b c n n n (32212)．而1=n 时，211a b c =，所以31=c ．所以⎩⎨⎧≥⨯==-2,321,31n n c n n ． 所以122013c c c +++ 1220123232323=+⨯+⨯++⨯2013201320136233333313-⨯=+=-+=-． 21．【解析】(1)因为椭圆C 的一个焦点为)3,0(1F ，所以922+=a b ，则椭圆C 的方程为192222=++a y a x ， 因为0>x ，所以233211=⨯⨯=∆x S MOF ，解得1=x ． 故点M 的坐标为(1，4)． 因为M(1，4)在椭圆上，所以1916122=++a a ，得09824=--a a ， 解得92=a 或12-=a （不合题意，舍去），则18992=+=b ．所以椭圆C 的方程为118922=+y x ． (2)假设存在符合题意的直线l 与椭圆C 相交于),(11y x A ，),(22y x B 两点，其方程为m x y +=4（因为直线OM 的斜率)4=k ， 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=,1189,422y x m x y 消去y ，化简得01881822=-++m mx x ． 进而得到18821m x x -=+，1818221-=⋅m x x ． 因为直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，所以0)18(184)8(22>-⨯⨯-=∆m m ，化简，得1622<m ，解得2929<<-m ．因为以线段AB 为直径的圆恰好经过原点，所以0=⋅，所以02121=+y y x x ．又221212121)(416)4)(4(m x x m x x m x m x y y +++=++=， 221212121)(417m x x m x x y y x x +++=++--=183218)18(1722m m 02=m ， 解得102±=m ． 由于)29,29(102-∈±，所以符合题意的直线l 存在，且所求的直线l 的方程为1024+=x y 或1024-=x y ．22．【解析】(1)当1=k 时，函数)0(1ln )(>+=x xx x f ， 则=')(x f 22111xx x x -=-． 当0)(<'x f 时，10<<x ，当0)(>'x f 时，>x 1，则函数)(x f 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，)∞+． (2)x e x f -+≥12)(恒成立，即xe x k x -+≥+12ln 恒成立，整理得e x x x k -+-≥1ln 2恒成立． 设e x x x x h -+-=1ln 2)(，则x x h ln 1)(-='，令0)(='x h ，得e x =．当),0(e x ∈时，0)(>'x h ，函数)(x h 单调递增，当∈x ),(+∞e 时，0)(<'x h ，函数)(x h 单调递减，因此当e x =时，)(x h 取得最大值1，因而1≥k ．(3)x x k x xf x g ln )()(=-=，1ln )(+='x x g ．因为对任意的)0(,2121x x x x <<总存在00>x ，使得21210)()()(x x x g x g x g --='成立， 所以21210)()(1ln x x x g x g x --=+，即2122110ln ln 1ln x x x x x x x --=+， 即121221110ln 1ln ln ln ln x x x x x x x x x ----=-21122212ln ln x x x x x x x x --+-= 11ln212121--+=x x x x x x ． 设t t t -+=1ln )(ϕ，其中10<<t ，则011)(>-='t t ϕ，因而)(t ϕ在区间(0，1)上单调递增，0)1()(=<ϕϕt ，又0121<-x x ． 所以0ln ln 10>-x x ，即10x x >．。

惠州市2013届高三第二次调研考试数学（理科）参考答案与评分标准一．选择题：共8小题，每小题5分，满分40分1．【解析】1.提示:因为(1)1z i i i =+=-+,所以(1)1z i i i =+=-+对应的点在复平面的第二象限. 故选B ． 2．【解析】由M N ≠∅ 可知39m -=-或33m -=,故选A ．3．【解析】31336()2s a a ==+且312a a d =+，14a =，2d ∴=.故选C 4．【解析】由//a b ，得cos 2sin 0αα+=，即1tan 2α=-，所以tan()34πα-=-，故选B5．【解析】注意,a b 的正负号.故选D ． 6.【解析】椭圆的右焦点为(2,0)F，22p∴=，即4p =，故选D 7．【解析】前四年年产量的增长速度越来越慢， 知图象的斜率随x 的变大而变小，后四年年产量的增长速度保持不变，知图象的斜率不变，,故选B ．8.【解析】由题可知()11x f x e =->-，22()43(2)11g x x x x =-+-=--+≤，若有()()f a g b =，则()(1,1]g b ∈-，即2431b b -+->-，解得22b <<A ．二．填空题：共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只选做一题． 9．(10．12 11．3512．9 13． ()∞+,1 14．159．【解析】根据二次根式和对数函数有意义的条件，得12660000112log 0log 62x xx x x x x >⎧>⎧>⎧⎪⎪⇒⇒<≤⎨⎨⎨-≥≤⎩⎪⎪≤=⎩⎩。

10．【解析】232()x x -的展开式中的常数项即223222132()()T C x x-+=-。

11．【解析】连接1,DF D F ，则//DF AE ,所以DF 与1D F 所成的角即为异面直线所成的角，设边长为2，则1DF D F ==1DD F 中13cos 5D FD ==.12．【解析】2222,2(),2x x x x h x x x⎧>=⎨≤⎩，由数形结合可知，当24x <<时, ()2h x x =所以有(3)9h =13．【解析】目标函数ax y z -=可变为直线y ax z =+，斜率为a ，仅在点()3,5处取得最小值,只须1a >14．【解析】直线的普通方程为y x =，曲线的普通方程()22(1)24x y -+-=AB ∴=15．【解析】先用切割线定理求出BC 的长度,然后距离d =三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16．（本小题满分12分）解：（1）由题意得cos 1m n A A =-= ………2分2sin()16A π-= ， 1sin()62A π-= ………4分由A 为锐角 ， 得(,)663A πππ-∈-,,663A A πππ-== ………6分（2）由（1）可得1cos 2A = ………7分 所以()cos 22sin f x x x =+ 212sin 2sin x x =-+ 2132(sin )22x =--+ ………9分因为x R ∈，则sin [1,1]x ∈-，当1sin 2x =时，()f x 有最大值32. 当sin 1x =-时，()f x 有最小值3-， ………11分故所求函数()f x 的值域是3[3,]2-. ………12分17．（本小题满分12分）解：（1）从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品，一共有39C 种不同的选法，选出的3种商品中，没有日用商品的选法有35C 种，……2分 所以选出的3种商品中至少有一种日用商品的概率为 3539537114242C P C =-=-=……4分 （2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量ξ，其所有可能的取值为0，100，200，300。

海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理科）2013．5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．集合{}|(1)(2)0A x x x =-+≤，{}0B x x =<，则A B =U （ ）． A ．(,0]-∞ B ．(,1]-∞ C ．[1,2] D ．[1,)+∞2．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且134a a ⋅=，48a =，则1a q +的值为（ ）． A ．3 B ．2 C ．3或2- D ．3或3-3．如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω．向正方形内随机撒豆子，若 撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为,m n ，则图形Ω面积的估计值为（ ）A ．ma nB ．na mC ．2ma nD ．2nam4．某空间几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为（ ）．A ．180B ．240C ．276D ．3005．在四边形ABCD 中，“λ∃∈R ，使得,AB DC AD BC λλ==uu u r uuu r uuu r uu u r”是“四边形ABCD 为平行四边形”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，且5不排在百位，2，4都不排在个位和万位，则这样的五位数个数为（ ）． A ．32 B ．36 C ．42 D ．48俯视图左视图主视图7．双曲线C 的左右焦点分别为12,F F ，且2F 恰为抛物线24y x =的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若12AF F △是以1AF 为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）．AB．1 C．1 D．2+8．若数列{}n a 满足：存在正整数T ，对于任意正整数n 都有n T n a a +=成立，则称数列{}n a 为周期数列，周期为T ．已知数列{}n a 满足1(0)a m m =>，11, 1=1, 0 1.n n n n na a a a a +->⎧⎪⎨<≤⎪⎩，则下列结论中错误．．的是（ ）． A ．若34a =，则m 可以取3个不同的值 B．若m ={}n a 是周期为3的数列C ．*N T ∀∈且2T ≥，存在1m >，{}n a 是周期为T 的数列D ．Q m ∃∈且2m ≥，数列{}n a 是周期数列二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．在极坐标系中，极点到直线cos 2ρθ=的距离为_______．10．已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则,,a b c 按照从大到小．．．．排列为______．11．直线1l 过点(2,0)-且倾斜角为30o ，直线2l 过点(2,0)且与直线1l 垂直，则直线1l 与直线2l 的交点坐标为________．12．在ABC ∆中，30,45,A B a ∠=∠==o o ，则b =_____；C AB S ∆=—_____．13．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，若动点P 在线段1BD 上运动，则DC AP ⋅uuu r uu u r的取值范围是__________．14．在平面直角坐标系中，动点(,)P x y 到两条坐标轴的距离之和等于它到点(1,1)的距离，记点P 的轨迹为曲线W ． （I ）给出下列三个结论： ①曲线W 关于原点对称； ②曲线W 关于直线y x =对称；③曲线W 与x 轴非负半轴，y 轴非负半轴围成的封闭图形的面积小于12； 其中，所有正确结论的序号是_____；（Ⅱ）曲线W 上的点到原点距离的最小值为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知函数cos 2()1π)4x f x x =--．（Ⅰ）求函数()f x 的定义域； （Ⅱ）求函数()f x 的单调递增区间．福彩中心发行彩票的目的是为了获取资金资助福利事业，现在福彩中心准备发行一种面值为5元的福利彩票刮刮卡，设计方案如下：（1）该福利彩票中奖率为50%；（2）每张中奖彩票的中奖奖金有5元，50元和150元三种；（3）顾客购买一张彩票获得150元奖金的概率为p，获得50元奖金的概率为2%．（Ⅰ）假设某顾客一次性花10元购买两张彩票，求其至少有一张彩票中奖的概率；（Ⅱ）为了能够筹得资金资助福利事业，求p的取值范围．如图1，在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =， 4AD =．把DAC ∆沿对角线AC 折起到PAC ∆的位置，如图2所示，使得点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，连接PB ，点,E F 分别为线段,PA AB 的中点． （Ⅰ）求证：平面EFH ∥平面PBC ；（Ⅱ）求直线HE 与平面PHB 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱PA 上是否存在一点M ，使得M 到点,,,P H A F 四点的距离相等？请说明 理由．图2图1DCB AHFAEFCB已知函数()e x f x =，点(,0)A a 为一定点，直线()x t t a =≠分别与函数()f x 的图象和x 轴交于点M ，N ，记ABC △的面积为()S t ． （Ⅰ）当0a =时，求函数()S t 的单调区间；（Ⅱ）当2a >时，若0[0,2]t ∃∈，使得0()e S t ≥，求实数a 的取值范围．已知椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）直线l 与椭圆M 交于A ，B 两点，且线段AB 的垂直平分线经过点1(0,)2-，求AOB △（O 为原点）面积的最大值．设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”． （Ⅰ）数表A 如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；（Ⅱ）数表A 如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使表1得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数．．a 的所有可能值；（Ⅲ）对由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的任意一个数表A ，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之表2 和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．22221212a a a a a a a a ------海淀区高三年级第二学期期末练习数学（理）参考答案及评分标准2013．5一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，有两空的小题，第一空3分，第二空2分， 共30分）9．2 10．c b a >> 11．12．2 13．[0,1] 14．②③；2三、解答题（本大题共6小题，共80分） 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为πsin()04x -≠，所以ππ,4x k -≠Z k ∈， ……………………2分所以函数的定义域为π{|π+,4x x k ≠}k ∈Z ． …………………4分（Ⅱ）解：因为22cos sin ()1sin cos x xf x x x-=-- ……………………6分 = 1+(cos sin )x x +π= 1)4x +， ……………………8分又sin y x =的单调递增区间为ππ2π,2π22k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z令πππ2π2π242k x k -≤+≤+，解得3ππ2π2π44k x k -≤≤+， ……………………11分 又注意到ππ+4x k ≠，所以()f x 的单调递增区间为3ππ2π,2π44k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ．…………13分16．（Ⅰ）解：设至少一张中奖为事件A则2()10.50.75P A =-=， …………………4分（Ⅱ）解：设福彩中心卖出一张彩票可能获得的资金为ξ，则ξ可以取5,0,45,145--， …………………6分ξ的分布列为…………………8分所以ξ的期望为()550%0(50%2%)(45)2%(145)E p p ξ=⨯+⨯--+-⨯+-⨯2.590%145p =--，…………………11分所以当1.61450p ->时，即8725p <， …………………12分 所以当80725p <<时，福彩中心可以获取资金资助福利事业．…………13分 17．（Ⅰ）证明：因为点P 在平面ABC 上的正投影H 恰好落在线段AC 上，所以PH ⊥平面ABC ，所以PH ⊥AC ， …………………1分 因为在直角梯形ABCD 中，90ABC DAB ∠=∠=o ，30CAB ∠=o ，2BC =，4AD =，所以4AC =，60CAB ∠=o ，所以ADC ∆是等边三角形， 所以H 是AC 中点， …………………2分 所以HE PC ∥，…………………3分 同理可证EF PB ∥，又,HE EF E CP PB P ==I I，所以EFH PBC ∥平面PBC ． …………………5分 （Ⅱ）解：在平面ABC 内过H 作AC 的垂线，如图建立空间直角坐标系，则(0,2,0)A -，P ，B ，………6分 因为(0,E -，(0,HE =-uuur， 设平面PHB 的法向量为(,,)n x y z =r，因为HB =uu u r ，HP =uu u r，所以有00HB n HP n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩uu u r r uu u r r ，即00y z +==⎪⎩，令x =则3,y =-所以3,0)n =-r， …………………8分Acos,||||n HEn HEn HE⋅<>===⋅r uuu rr uuu rr uuuu r，…………………10分所以直线HE与平面PHB． (11)分（Ⅲ）证明：存在，事实上记点E为M即可，…………………12分因为在直角三角形PHA中，122EH PE EA PA====，…………………13分在直角三角形PHB中，点4,PB=122EF PB==，所以点E到四个点,,,P O C F的距离相等．…………………14分18．（Ⅰ）解：因为1()||e2tS t t a=-，其中t a≠，…………………2分当0a=，1()||e2tS t t=，其中0t≠，当0t>时，1()e2tS t t=，1'()(1)e2tS t t=+，所以'()0S t>，所以()S t在(0,)+∞上递增，…………………4分当0t<时，1()e2tS t t=-，1'()(1)e2tS t t=-+，令1'()(1)e02tS t t=-+>，解得1t<-，所以()S t在(,1)-∞-上递增，令1'()(1)e02tS t t=-+<，解得1t>-，所以()S t在(1,0)-上递减，…………7分综上，()S t的单调递增区间为(0,)+∞，(,1)-∞-，()S t的单调递增区间为(1,0)-．（Ⅱ）因为1()||e2tS t t a=-，其中t a≠，当2a>，[0,2]t∈时，1()()e2tS t a t=-，因为[0,2]t∃∈，使得()eS t≥，所以()S t在[0,2]上的最大值一定大于等于e，1'()[(1)]e2tS t t a=---，令'()0S t=，得1t a=-，…………………8分当12a-≥时，即3a≥时，1'()[(1)]e02tS t t a=--->对(0,2)t∈成立，()S t单调递增，所以当2t=时，()S t取得最大值21(2)(2)e2S a=-，令21(2)e e2a-≥，解得22ea≥+，所以3a ≥， …………………10分 当12a -<时，即3a <时，1'()[(1)]e 02t S t t a =--->对(0,1)t a ∈-成立，()S t 单调递增，1'()[(1)]e 02t S t t a =---<对(1,2)t a ∈-成立，()S t 单调递减，所以当1t a =-时，()S t 取得最大值11(1)e 2a S a --=，令11(1)e e 2a S a --=≥，解得ln22a ≥+，所以ln223a +≤<． …………………12分 综上所述，ln22a +≤． …………………13分 19．（Ⅰ）解：因为椭圆:M 22221(0)x y a b a b+=>>的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60o 的菱形的四个顶点，所以1a b ==，椭圆M 的方程为2213x y += …………………4分（Ⅱ）解：设1122(,),(,)A x y B x y ，因为AB 的垂直平分线通过点10,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，显然直线AB 有斜率，当直线AB 的斜率为0时，则AB 的垂直平分线为y 轴，则1212,x x y y =-=，所以111111=|2||||||||2AOB S x y x y x ==△2211(3)322x x +-≤=，所以AOB S ≤△，当且仅当1||x 时，AOB S △．………6分 当直线AB 的斜率不为0时，则设AB 的方程为y kx t =+，所以2213y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，代入得到222(31)6330k x kt t +++-=， 当224(933)0k t ∆=+->，即2231k t +>，① 方程有两个不同的解又122631kt x x k -+=+，1223231x x ktk +-=+， …………………9分所以122231y y tk +=+，又1212112202y y x x k ++=-+-，化简得到2314k t +=，②代入①，得到04t <<， …………………10分又原点到直线的距离为d =，12|||AB x x =-=，所以1=||||2AOB S AB d ∆=，化简得到AOB S △ …………………12分 因为04t <<，所以当2t =时，即k =AOB S △． 综上，AOB △． …………………14分 20．（Ⅰ）解：法一：42123712371237210121012101-−−−−−→−−−−−→----改变第列改变第行法二：24123712371237210121012101--−−−−−→−−−−−→----改变第行改变第列法三：14123712371237210121012101----−−−−−→−−−−−→--改变第列改变第列…………………3分（Ⅱ）解：每一列所有数之和分别为2,0,2,0-，每一行所有数之和分别为1-，1；①如果首先操作第三列，则 22221212a a a a a a a a -----则第一行之和为21a -，第二行之和为52a -， 这两个数中，必须有一个为负数，另外一个为非负数， 所以12a ≤或52a ≥， 当12a ≤时，则接下来只能操作第一行，22221212a a a a a a a a ------此时每列之和分别为2222,22,22,2a a a a ---， 必有2220a -≥，解得0,1a =-， 当52a ≥时，则接下来操作第二行， 22221212a a a a a a a a ------此时第4列和为负，不符合题意． …………………6分 ②如果首先操作第一行 22221212a a a a a a a a -----则每一列之和分别为22a -，222a -，22a -，22a ，当1a =时，每列各数之和已经非负，不需要进行第二次操作，舍掉， 当1a ≠时，22a -，22a -至少有一个为负数，所以此时必须有2220a -≥，即11a -≤≤，所以0a =或1a =-， 经检验，0a =或1a =-符合要求．综上：0,1a =-． …………………9分（Ⅲ）证明：能经过有限次操作以后，使得得到的数表所有的行和与所有的列和均为非负实数．证明如下：记数表中第i 行第j 列的实数为ij c （1,2,,;1,2,,i m j n ==L L ），各行的数字之和分别为12,,,m a a a L ，各列的数字之和分别为12,,,n b b b L ，12m A a a a =+++L ，12n B b b b =+++L ，数表中m n ⨯个实数之和为S ，则S A B ==．记{}112211221min 11(1,2,,)0|i i n in l i i n in i mK k c k c k c k l n k c k c k c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}112211221min 11(1,2,,)0|j j m mj s j j m mj j nT t c t c t c t s m t c t c t c ≤≤=+++=-=+++≠L L L 或且{}min ,K T λ=．按要求操作一次时，使该行的行和（或该列的列和）由负变正，都会引起A （和B ）增大，从而也就使得S 增加，增加的幅度大于等于2λ，但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，显然，S 必然小于等于最初的数表中m n ⨯个实数的绝对值之和，可见其增加的趋势必在有限次之后终止．终止之时，必是所有的行和与所有的列和均为非负实数，否则，只要再改变该行或该列的符号，S 就又会继续上升，导致矛盾，故结论成立． ……13分北京市海淀区高三统一测试 数学（理科）选填解析一、 选择题 1．【答案】B【解析】解：因为{}21A x x =-≤≤，所以A B =U {}1x x ≤． 故选B ．2．【答案】D【解析】解：由题意得22111231214428a q a a q q q a q ⎧===⎧⎧⎪⇒⇒⎨⎨⎨===⎪⎩⎩⎩或112a q =-⎧⎨=-⎩． 故选D ．3．【答案】C【解析】解：由几何概型的知识可知S m S n Ω=正，所以2mS ma S n nΩ==正． 故选C ．4．【答案】B【解析】解：画出直观图可知该立体图形为正方体与正四棱锥组成，所以1566465180602402S =⨯⨯+⨯⨯⨯=+=．故选B ．5．【答案】C【解析】解：当1λ=时，可知,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，故四边形ABCD 为平行四边形；四 边形ABCD 为平行四边形，则,AB DC AD BC ==uu u r uuu r uuu r uu u r，此时1λ=，故λ∃∈R ，使得 ,AB DC AD BC λλ==uu u r uuu r uuu r uu u r ． 故选C ．6．【答案】A【解析】解：由题可知2,4都不排在个位和万位共有233336A A ⋅=种，其中5排在百位的 有22224A A ⋅=种，所以满足条件的共有36432-=． 566故选A ．7．【答案】B【解析】解：由题可知作图，过点A 做抛物线准线的垂线，交于点B ，由抛物线的定义可知2AB AF =，因为抛物线方程为24y x =，所以1222F F AF ==； 综上可知四边形12ABF F 为正方形，所以122AF =， 由双曲线的定义可知122222a AF AF =-=-，即21a =-，1c =，所以2121e ==+-．故选B ．8．【答案】D【解析】解：A ．34a =可以经过两次减1得到，也可以经过先减1，再取倒数得到，还 可以是先取倒数，然后减1得到，但是不可能经过两次取倒数得到．因此m 可以取3个 不同的值：6，54，15． B ．221a =-，321a =+，42a =，……，周期为3． C ．设(0,1)α∈满足11T αα=-+，即21(1)41T T α=<-++-．此时一个周期之内的所有项为：1,2,,T T ααα-+-+L ．可以取m 为其中除了α以外的任意一个值． D ．若数列{}n a 是周期数列，则必有小于1的项．而(0,1)α∀∈且α∈Q ，1αα-不可能是正整数，故1α不能写成n α+的形式，*n ∈N ，故数列{}n a 不是周期数列．（假设1n αα-=为正整数，则24n n α=++是有理数，于是24n +也是有理数．其中，假设24(,)p n p q q +=∈*N 是有理数，则222(4)p n q=+，由于24n +是正整数，故可设1q =，于是()()4p n p n +-=，无解．故α不是有理数）注：①对于正实数轴上的点，设数轴上的点A 所表示的实数为21-，点B 所表示的实 数是点A 的倒数2121=+-．考虑一个点P 从实数轴上的21-出发，由于21-在1的左边，因此点P 随后跳到1右边的21+处．在此之后，只要该点在1的右边，就往左移动1个单位；只要该点在1的左边，就移动到其倒数所表示的点的位置．因为1)1)2-=是整数，因此此时的{}n a 是周期数列，且周期为213+=．现将A点向()0,0点移动，与此同时，点B 会相应地向右移动（保持乘积为1），于是,A B 两点 之间的距离逐渐增大．*T ∀∈N ，4T ≥，在此过程中必定存在有某个时刻，,A B 两点 之间的距离恰为1T -，此时{}n a 是周期数列，且周期为T ，而m 的值可以取点P 经过的且在1的右边的任何一个点．周期为2 ②由于实数是连续的，而有理数不是，因此①只能说明C 选项是正确的，而不能说明 D 选项是正确的． 故选D ．二、 填空题 9．【答案】2【解析】解：由cos 22x ρθ=⇒=，极点()0,0所以距离为2． 故答案为2．10．【答案】c b a >>【解析】解：因为()1ln ,02a =∈-∞，()1sin 0,12b =∈，()1221,c -==+∞，所以c b a >>．故答案为c b a >>．11．【答案】(【解析】解：1tan 30k ==o )1:2l y x =+①121k k ⋅=-得2k =)2:2l y x =-②由①②解得，1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故答案为(．12．【答案】2【解析】解：由正弦定理得到sin30sin 45b =o o，所以2b =，sin sin()C A B =+=，131sin 2ABC S ab C +==△． 故答案为2，31+．13．【答案】[]0,1【解析】解：建立如图A xyz -的空间直角坐标系，则点()1,0,0D ，()1,1,0C ，()0,0,0A ，因为点在线段1BD 上，可以设点()1,,1P a a a -+，所以()0,1,0DC =uuu r，()[]()1,,10,1AP a a a a =-+∈u u u r ，所以DC AP a ⋅=uuu r uu u r，故[]0,1a ∈．故答案为[]0,1．14．【答案】②③；22-【解析】解：（Ⅰ）①错误．显然点(1,0)在曲线W 上，点(1,0)-不在曲线W 上．②正确．设点1P 和2P 关于直线y x =对称，则点1P 和2P 到两条坐标轴的距离之和相等，到点(1,1)的距离也相等，因此点1P 和2P 要么都在曲线W 上，要么都不在曲线W 上． ③正确．设(,)P x y ，只考虑第一象限内（包括x 轴非负半轴，y 轴非负半轴）的轨迹， 由条件可知22(1)(1)x y x y +=-+-，化简得(1)(1)2x y ++=．它的轨迹是曲线 2(12)xy x =≤≤向左向下各平移一个单位得到的．面积显然小于12，因为原点，点(0,1) 和点(1,0)构成的三角形的面积为12，而题中的封闭图形在三角形的内部． （Ⅱ）对22||||(1)(1)x y x y +=-+-平方得 ||1xy x y =--．分别对点P 在四个象限进行讨论可知，曲线W 在第二象限的轨迹是1(0)y x =<，在第四象限的轨迹是1(0)x y =<，在第三象限的轨迹是(1)(1)2(1,1)x y x y ++=<-<-．因此曲线W 上的点到原点距离最小的点在第一象限．根据PzyxD 1C 1A 1B 1DCB A(1)(1)2x y ++=可得1xy x y ++=，到原点的距离最小的点为1)-，到原点的1)2=故答案为②③；2。

2013年高三数学二模理科试卷（丰台区有答案）丰台区2013年高三第二学期统一练习（二）数学（理科）第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.复数的虚部为（A）3（B）（C）4（D）2.设向量a=(x,1),b=(4,x),且a,b方向相反，则x的值是（A）2（B）-2（C）（D）03.展开式中的常数项是（A）6（B）4（C）-4（D）-64.已知数列{an}，则“{an}为等差数列”是“a1+a3=2a2”的（A）充要条件（B）必要而不充分条件（C）充分而不必要条件（D）既不充分又不必要条件5.下列四个函数中，最小正周期为，且图象关于直线对称的是（A）（B）（C）（D）6.在平面区域内任取一点，若满足的概率大于，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）7.用5,6,7,8,9组成没有重复数字的五位数，其中两个偶数数字之间恰有一个奇数数字的五位数的个数是(A)18(B)36(C)54(D)728.已知偶函数f(x)（x∈R），当时，f(x)=-x(2+x)，当时，f(x)=(x-2)(a-x)（）. 关于偶函数f(x)的图象G和直线:y=m（）的3个命题如下：①当a=4时，存在直线与图象G恰有5个公共点；②若对于，直线与图象G的公共点不超过4个，则a≤2；③，使得直线与图象G交于4个点，且相邻点之间的距离相等.其中正确命题的序号是(A)①②(B)①③(C)②③(D)①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9.圆的半径是________。

10.已知变量具有线性相关关系，测得的一组数据如下：，其回归方程为，则的值是。

11.如图，已知⊙O的弦AB交半径OC于点D,若AD=4,BD=3,OC=4,则CD 的长为______。

12.若双曲线C:的离心率为,则抛物线的焦点到C的渐近线距离是______。

2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅱ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N ＝A.{0,1,2}B.{－1,0,1,2}C.{－1,0,2,3}D.{0,1,2,3}（2）设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝A.－1＋iB.－1－iC.1＋iD.1－i（3）等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝A.13 B.13-C.19 D.19-（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交，且交线垂直于lD.α与β相交，且交线平行于l（5）已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝A.－4B.－3C.－2D.－1（6）执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝A.1111+2310+++B.1111+2!3!10!+++C.1111+2311+++D.1111+2!3!11!+++（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为（8）设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则A.c ＞b ＞aB.b ＞c ＞aC.a ＞c ＞bD.a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝A.14B.12 C.1 D.2（10）已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是A.∃x 0∈R ，f(x 0)＝0B.函数y ＝f(x )的图像是中心对称图形C.若x 0是f(x )的极小值点，则f(x )在区间(－∞，x 0)单调递减D.若x 0是f(x )的极值点，则f′(x 0)＝0（11）设抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为A.y 2＝4x 或y 2＝8xB.y 2＝2x 或y 2＝8xC.y 2＝4x 或y 2＝16xD.y 2＝2x 或y 2＝16x （12）已知点A (－1,0)，B (1,0)，C (0,1)，直线y ＝ax ＋b (a ＞0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A.(0,1)B.1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C.1123⎛⎤- ⎥ ⎝⎦D.11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（13）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________.（14）从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则n ＝__________. （15）设θ为第二象限角，若π1tan 42θ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin θ＋cos θ＝__________.（16）等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S10＝0，S15＝25，则nS n 的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）(本小题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝b cos C＋c sin B.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b＝2，求△ABC面积的最大值．（18）(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.2（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求二面角D－A1C－E的正弦值．（19）(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以X(单位：t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，T(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．（Ⅰ）将T表示为X的函数；（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量X∈[100,110)，则取X＝105，且X＝105的概率等于需求量落入[100,110)的频率)，求T的数学期望．（20）(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：2222=1x ya b+(a＞b＞0)右焦点的直线0x y+=交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为12.（Ⅰ）求M的方程；（Ⅱ）C，D为M上两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形ACBD面积的最大值．（21）(本小题满分12分)已知函数f(x)＝e x－ln(x＋m)．（Ⅰ）设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)＞0.请考生在（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.（22）(本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．（Ⅰ）证明：CA是△ABC外接圆的直径；（Ⅱ）若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值．（23）(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P，Q都在曲线C：2cos,2sinx ty t=⎧⎨=⎩(t为参数)上，对应参数分别为t＝α与t＝2α(0＜α＜2π)，M为PQ的中点．（Ⅰ）求M的轨迹的参数方程；（Ⅱ）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．．（24）(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，证明：（Ⅰ）ab ＋bc ＋ac ≤13；（Ⅱ）2221a b c b c a++≥.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：解不等式(x －1)2＜4，得－1＜x ＜3，即M ＝{x |－1＜x ＜3}．而N ＝{－1,0,1,2,3}，所以M ∩N ＝{0,1,2}，故选A. 2．答案：A解析：2i 2i 1i =1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2-+＝－1＋i.3． 答案：C解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则由a 5＝9，得a 1＝9，此时S 3＝27，而a 2＋10a 1＝99，不满足题意，因此q ≠1.∵q ≠1时，S 3＝31(1)1a q q--＝a 1·q ＋10a 1，∴311q q--＝q ＋10，整理得q 2＝9. ∵a 5＝a 1·q 4＝9，即81a 1＝9，∴a 1＝19.4．答案：D解析：因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β.又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D. 5．答案：D解析：因为(1＋x )5的二项展开式的通项为5C r rx (0≤r ≤5，r ∈Z )，则含x 2的项为225C x ＋ax ·15C x ＝(10＋5a )x 2，所以10＋5a ＝5，a ＝－1. 6．答案：B解析：由程序框图知，当k ＝1，S ＝0，T ＝1时，T ＝1，S ＝1；当k ＝2时，12T =，1=1+2S ； 当k ＝3时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当k ＝4时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…；当k ＝10时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足k ＞N ，输出S ，所以B 正确． 7． 答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为，故选A. 8．答案：D解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c ＜b ＜a .故选D. 9．答案：B解析：由题意作出1,3x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝1，因为直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y ＝a (x －3)过点(1，－1)，代入得12a =，所以12a =.10．答案：C解析：∵x 0是f (x )的极小值点，则y ＝f (x )的图像大致如下图所示，则在(－∞，x 0)上不单调，故C 不正确．11． 答案：C解析：设点M 的坐标为(x 0，y 0)，由抛物线的定义，得|MF |＝x 0＋2p ＝5，则x 0＝5－2p . 又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为(x －x 0)2p x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋(y －y 0)y ＝0.将x ＝0，y ＝2代入得px 0＋8－4y 0＝0，即202y －4y 0＋8＝0，所以y 0＝4.由20y ＝2px 0，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得p ＝2，或p ＝8.所以C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .故选C. 12． 答案：B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学（理科)第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知集合{|(1)0,}A x x x x =-<∈R ，{|22,}B x x x =-<<∈R ，那么集合AB 是（ ）．A ．∅B ．{|01,}x x x <<∈RC ．{|22,}x x x -<<∈RD ．{|21,}x x x -<<∈R（2）如图是某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图，其中成绩分组区间是：[40,50），[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100] ，则图中x 的值等于（ ）． A ．0.754 B ．0.048 C ．0.018D ．0.012（3）已知圆的极坐标方程是2cos ρθ=，那么该圆的直角坐标方程是（ ）．A ．22(1)1x y -+=B ．22(1)1x y +-=C ．22(1)1x y ++=D ．222x y +=（4）已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（5）阅读程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为25-时，输出x 的值为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．4（6）已知3sin()45x π-=，那么sin 2x 的值为（ ）．A ．325B ．725C ．925D ．1825（7）过抛物线24y x =焦点的直线交抛物线于A ，B 两点，若10AB =，则AB 的中点到y 轴的距离等于（ ）． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（8）已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当(,0)x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若0.30.3(3)(3)a f =⋅，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，3311(log )(log )99c f =⋅，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）．A ．a b c >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ．a c b >>第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． （9）已知向量(2,3)=-a ，(1,)λ=b ，若//a b ，则λ= ．（10）若复数i1ia +-是纯虚数，则实数a 的值为 ．（11）各项均为正数的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若32a =，425S S =，则1a 的值为 ，4S 的值为 ．（12）如图，AB 为⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点A ,且过点C 的割线CMN 交AB 的延长线于点D ,若CM MN ND ==,22AC =，则CM = ，AD = ．（13）5名志愿者到3个不同的地方参加义务植树，则每个地方至少有一名志愿者的方案共有 种．（14）在数列{}n a 中，若对任意的*n ∈N ，都有211n n n na a t a a +++-=（t 为常数），则称数列{}n a 为比等差数列，t 称为比公差．现给出以下命题：①等比数列一定是比等差数列，等差数列不一定是比等差数列；②若数列{}n a 满足122n n a n-=，则数列{}n a 是比等差数列，且比公差12t =；③若数列{}n c 满足11c =，21c =，12n n n c c c --=+（3n ≥），则该数列不是比等差数列；④若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，则数列{}n n a b 是比等差数列． 其中所有真命题的序号是 ．ABC DMNO三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题共13分）已知函数()sin(3cos sin)f x x x x=-．（Ⅰ）求()f x的最小正周期；（Ⅱ）当2π(0)3x∈，时，求()f x的取值范围．3 / 18（16）（本小题共13分）某校高三年级同学进行体育测试，测试成绩分为优秀、良好、合格三个等级．测试结果如下表：（单位：人）优秀良好合格男1807020女120a30按优秀、良好、合格三个等级分层，从中抽取50人，其中成绩为优的有30人．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若用分层抽样的方法，在合格的同学中按男女抽取一个容量为5的样本，从中任选2人，记X为抽取女生的人数，求X的分布列及数学期望．5 / 18（17）（本小题共14分）如图，△BCD 是等边三角形， AB AD =，90BAD ∠=，将△BCD 沿BD 折叠到△'BC D 的位置，使得'AD C B ⊥．（Ⅰ）求证：'AD AC ⊥；（Ⅱ）若M ，N 分别是BD ，C B '的中点，求二面角N AM B --的余弦值．ABC DABCDMN（18）（本小题共14分）已知函数()ln af x x x=+(0)a >． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）如果00(,)P x y 是曲线()y f x =上的任意一点，若以 00(,)P x y 为切点的切线的斜率12k ≤恒成立，求实数a 的最小值；（Ⅲ）讨论关于x 的方程32()1()22x bx a f x x ++=-的实根情况．7 / 18（19）（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的离心率32e =，原点到过点(,0)A a ，(0,)B b -的直线的距离是455． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 上一动点P ()00,x y 关于直线2y x =的对称点为()111,P x y ,求2211x y +的取值范围．（Ⅲ）如果直线1(0)y kx k =+≠交椭圆C 于不同的两点E ，F ，且E ，F 都在以B 为圆心的圆上,求k 的值．（20）（本小题共13分）已知数列{}n a ，11a =，2n n a a =，410n a -=，411n a +=(*)n ∈N ． （Ⅰ）求4a ，7a ；（Ⅱ）是否存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=； （Ⅲ）设3122310101010nna a a a S =+++++，问S 是否为有理数，说明理由．9 / 18北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学参考答案（理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） （1）B （2）C （3）A （4）D （5）D （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）32- （10）1 （11）12152（12）2 27 （13）150 （14）①③ 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为()sin (3cos sin )f x x x x =- 23sin cos sin x x x =- =21(23sin cos 2sin )2x x x -11=(3sin 2cos2)22x x +-1sin(2)62x π=+-．所以()f x 的最小正周期2T π==π2． （Ⅱ）因为203x π<<， 所以32662x πππ<+<． 所以()f x 的取值范围是31(,]22-． ………………………………13分（16）（共13分）解：（Ⅰ）设该年级共n 人，由题意得5030180120n =+，所以500n =． 则500(180120702030)80a =-++++=． （Ⅱ）依题意，X 所有取值为0,1,2．22251(0)10C P X C ===，1123253(1)5C C P X C ===，23253(2)10C P X C ===．X 的分布列为：X 0 12P110353101336012105105EX =⨯+⨯+⨯=． ………………………………………13分 （17）（共14分）（Ⅰ）证明：因为90BAD ∠=所以AD AB ⊥,又因为'C B AD ⊥，且'AB C B B =,所以 AD ⊥平面'C AB ,因为'AC ⊂平面'C AB ，所以 'AD AC ⊥．（Ⅱ）因为△BCD 是等边三角形，AB AD =，90BAD ∠=，不防设1AB =，则 2BC CD BD ===， 又因为M ，N 分别为BD ，'C B 的中点，由此以A 为原点，AB ，AD ，'AC 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -．则有(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，'(0,0,1)C ，11(,,0)22M ，11(,0,)22N ．所以11(,,0)22AM =，11(,0,)22AN =．设平面AMN 的法向量为(,,)x y z =m ． 则00.AM AN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m ,m 即110,22110.22x y x z ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令1x =，则1y z ==-．AB CDMNxyz11 / 18所以(1,1,1)=--m ． 又平面ABM 的一个法向量为(0,0,1)=n ． 所以 13cos ,33⋅-<>===-m n m n m n ． 所以二面角N AM B --的余弦值为33． ………………………………14分 （18）（共14分）解:（Ⅰ）()ln af x x x=+，定义域为(0,)+∞, 则|221()a x af x x x x-=-=． 因为0a >,由()0,f x '>得(,)x a ∈+∞, 由()0,f x '<得(0,)x a ∈， 所以()f x 的单调递增区间为(,)a +∞ ,单调递减区间为(0,)a ． （Ⅱ）由题意，以00(,)P x y 为切点的切线的斜率k 满足00201()2x a k f x x -'==≤ 0(0)x >， 所以20012a x x ≥-+对00x >恒成立．又当00x >时, 2001122x x -+≤,所以a 的最小值为12． （Ⅲ）由题意，方程32()1()22x bx a f x x ++=-化简得 21ln 2b x x =-+12(0,)x ∈+∞令211()ln 22h x x x b =--+，则1(1)(1)()x x h x x x x+-'=-=．当(0,1)x ∈时, ()0h x '>， 当(1,)x ∈+∞时, ()0h x '<,所以()h x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减．所以()h x 在1x =处取得极大值即最大值，最大值为211(1)ln1122h b b =-⨯-+=-．所以 当0b ->， 即0b <时，()y h x = 的图象与x 轴恰有两个交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-有两个实根,当0b =时， ()y h x = 的图象与x 轴恰有一个交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-有一个实根,当0b >时， ()y h x = 的图象与x 轴无交点，方程32()1()22x bx a f x x ++=-无实根． ……14分 （19）（共13分） 解: （Ⅰ）因为32c a =，222a b c -=， 所以 2a b =． 因为原点到直线AB ：1x ya b -=的距离22455ab d a b==+， 解得4a =，2b =．故所求椭圆C 的方程为221164x y +=．（Ⅱ）因为点()00,P x y 关于直线2y x =的对称点为()111,P x y ， 所以 011010121,2.22y y x x y y x x-⎧⨯=-⎪-⎪⎨++⎪=⨯⎪⎩13 / 18解得 001435y x x -=，001345y x y +=． 所以22221100x y x y +=+．因为点()00,P x y 在椭圆C :221164x y+=上，所以22222011344x x y x y +=+=+．因为044x -≤≤, 所以2211416x y ≤+≤．所以2211x y +的取值范围为[]4,16． （Ⅲ）由题意221,1164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，整理得 22(14)8120k x kx ++-=．可知0∆>． 设22(,)E x y ，33(,)F x y ，EF 的中点是(,)M M M x y ， 则2324214M x x k x k +-==+，21114M My kx k =+=+． 所以21M BM M y k x k+==-． 所以20M M x ky k ++=． 即224201414k k k k k -++=++． 又因为0k ≠，所以218k =．所以24k =±． ………………………………13分 （20）（共13分） 解：（Ⅰ）4211a a a ===；74210a a ⨯-==．（Ⅱ）假设存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 则存在无数个正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． 设T 为其中最小的正整数．若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ）， 则41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====．与已知411n a +=矛盾． 若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 则22n T n n a a a +==， 而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．综上，不存在正整数T ，使得对任意的*n ∈N ，有n T n a a +=． （Ⅲ）若S 为有理数，即S 为无限循环小数，则存在正整数0N ，T ，对任意的*n ∈N ，且0n N ≥，有n T n a a +=． 与（Ⅱ）同理，设T 为其中最小的正整数． 若T 为奇数，设21T t =-（*t ∈N ），当041n N +≥时，有41414124()10n n T n T n t a a a a ++++++-====． 与已知411n a +=矛盾． 若T 为偶数，设2T t =（*t ∈N ）， 当0n N ≥时，有22n T n n a a a +==， 而222n T n t n t a a a +++== 从而n t n a a +=．而t T <，与T 为其中最小的正整数矛盾．故S 不是有理数． ……………………………………………………13分15 / 18北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（二）数学选填解析（理科）一、选择题 1．【答案】B【解析】解：由已知，{|01,}A x x x =<<∈R所以{|01,}A B x x x =<<∈R故选B2．【答案】C【解析】解：依题意，(0.00630.010.054)101x ⨯+++⨯=，解得0.018x =，故选C3．【答案】A【解析】解：由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，即222x y x +=，配方得22(1)1x y -+=，故选A4．【答案】D【解析】解：由三视图画出直观图得所以有4个面是直角三角形故选D5．【答案】D【解析】解：x =4、1、4，故选D6．【答案】B【解析】解：2ππππ7sin 2sin(2())cos2()12sin ()244425x x x x =--=-=--=，故选B7．【答案】D 【解析】解：如图，M 是AB 的中点，由抛物线的定义''AA AF BB BF ==，在直角梯形中，'''52AA BB MM +==所以M 到y 轴的距离等于514-= 故选D8．【答案】C【解析】解：令()()g x xf x =，又函数()y f x =是定义在R 上的奇函数；所以()()g x xf x =为偶函数； 又(,0)x ∈-∞，'''()[()]()()0g x xf x f x xf x ==+<所以(,0)x ∈-∞，()g x 单调递减，(0)x ∈+∞，，()g x 单调递增； 又0.3π312310log 31log 29>><<=-，， 所以0.3π31(log 3)(3)(log )9g g g <<即b a c << 故选C二、填空题 9．【答案】32-【解析】解：由已知，23λ=-，得32λ=-，故答案为32-10．【答案】117 / 18【解析】解：i (i)(1+i)1(1)i 1i (1i)(1+i)2a a a a ++-++==--，又i 1ia +-是纯虚数，所以10a -=，得1a = 故答案为111．【答案】12;152【解析】解：由已知，检验知10q q ≠>，所以2142112(1)5(1)11a q a q a q q q ⎧=⎪⎨--=⎪--⎩解得1122a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，414(1)1512a q S q -==- 故答案为12，15212．【答案】2;27【解析】解：由切割线定理，2CA CM CN =⋅，又CM MN = 所以2228CA CM ==，则2CM =36CD CM ==,22228AD CD AC =-=所以27AD = 故答案为2，2713．【答案】150【解析】解：223335353322150C C C A A A +=，故答案为15014．【答案】①③【解析】解：对于①，若{}n a 是等比数列，则2110n n n na a q q a a +++-=-=，则等比数列一定是比等差数列；若{}n a 是等差数列，如n a n =，则211211n n n n a a n n a a n n +++++-=-+，n a n =不是比等差数列，而1n a =，2110n n n na a a a +++-=，1n a =比等差数列．所以①正确；对于②，1222122112(1)21(2)2(1)22n n n n n n n n a a n n a a n n +++-++-=⋅-⋅≠++，所以②错； 对于③，写出前几项得，112358，，，，，，，21321121-≠-，所以{}n c 不是比等差数列，③正确； 对于④，反例2nn n a n b ==，，211(2)2(1)2(1)22n n n nn n n n +++++-+不是常数，所以④错；故答案为①③。

淮北市2013年高三第二次教学质量检测,数学试题（理）(考试时间：120分钟满分:150分）注意事项：1.答题前，务必在答题卡和答题卷规定的地方填写自己的姓名、准考证号和座位号后两位.2.答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3.答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卷上书写，要求字体工整、 笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卷规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色 墨水签字笔描清楚.必须在题号对应的答题区域作答,超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效第I 卷（满分50分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）1、复数ii+1-2对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2、集合},12|{R x y y M x ∈-==，},3|{2R x x y x N ∈-==，则=N M （ ）A ．∅B ．),1(+∞-C ．)3,3(-D ．]3,1(-3、某几何体的三视图均为直角三角形，如图所示，该几何体的外接球表面积是（ ）A. 192πB. 48πC. 16πD. 96π4、已知数列}{n a 满足: )(12,1*11N n a a a n n ∈+==+，则=12a （ ） A.210-1 B.211-1 C.212-1 D.213-15、用数学归纳法证明等式：239n 33212nn +=++++ ,由n=k 的假设到证明n=k+1时,等式左边应添加的式子是( )A ．1k 3+B ．2)3k 1k 3+++（）（ C ．3k 3+ D ．3)3k 2)3k 1k 3+++++（（）（6、为了研究高中学生中性别与对乡村音乐态度(喜欢和不喜欢两种态度)的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算χ2＝8.026，则所得到的统计学结论是：有( )的把握认为“性别与喜欢乡村音乐有关系”( )A ．0.1%B ．1%C ．99%D ．99.9%附：P(χ2≥k 0) 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 k 02.7063.8415.0246.63510.8287、如右图，如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n≥m ，那么输出的P 等于（ ） A ．1m nC - B. 1m nA - C. m n C D. mn A8、一款智能手机预装了3个阅读软件和3个资讯软件,这6个软件图标排成一排，要求阅读软件A 的图标不在两端, 3个资讯软件的图标有且只有2个相邻,则软件图标的不同排法是（ ） A ．96 B ．216 C ． 288 D ．3609、已知函数f(x)=sin πx 的图象的一部分如图(a),有以下四个函数解析式:①y=f(2－x) ② y=f(－x+1)③y=f(x －21) ④ y=f(x+1)其中与图(b)所对应的函数解析式为( )A.①②B.①④C.③④D.②③10、定义域R 的偶函数()f x ，当），（∞+∈0x 时()'()0f x xf x +<恒成立，若3(3)a f =，(log 3)(log 3)b f ππ=⋅，()c f =－２－２，则( )A ．a c b >>B ．c b a >>C ．c a b >>D ． a b c >>第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大題共5小题,每小题5分，共25分.把答案填在答題卡的相应位置）精品文档 你我共享 11、二项式4)1-2(xx 的展开式中常数项为 12、曲线C 1 ：01-cos 2-2=θρρ 上的点到曲线C 2 ：⎩⎨⎧+=-=t y tx 13 ，（t 为参数）上的点的最短距离为13、已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥+2211y x y x y x ，若目标函数 (0,0)z ax by a b =+>>的最大值为7，则ba 43+的最小值为 14、如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0) 的左、右焦点，过F 1的直线与C的左、右两支分别交于A ，B 两点．若 | AB | : |BF 2|: | AF 2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为15、在△ABC 中， 下列命题正确是① 命题“AB →⋅AC →<0”是命题“△ABC 为钝角三角形”的充要条件, ② P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)是定值， ③ ))cos ||cos ||(R CAC AC BAB AB AP ∈⨯+⨯=λλ，（,则直线AP 必过△ABC 的垂心，点O 是△ABC 内一点,且满足032=++OC OB OA ,则3:1:=∆∆ABC AO C S S三、解答题（本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16、(本小题满分12分）已知)cos 2,(cos b ),cos ,sin 32(a x x x x ==，函数b a x f ⋅=)(（1）若)(x f y =在区间]2,0[π的值域;（2）在∆ABC 中，角A ，B ，C 所对的边是a ，b ，c ，若f(A)= 2，sin 3sin =B C ，∆ABC 面积为334．求边长a ． 17、(本小题满分12分）学校组织了一场科普知识大赛，共分两组．其中甲组优胜者有2名女生和m ),31(*N m m ∈≤≤名男生，乙组优胜者有1名女生和4名男生；现从优胜的同学中，每xy OABF1F 2 (第14题图)组各任选2名同学，组成校科普知识宣讲团． （1）若选出的4名同学中恰有1名女生的概率是157，求m 的值; （2）当m=2时，设选出的4名同学中女生人数为x ，男生人数为y ，记||y x -=ξ求ξ的分布列和数学期望．18、(本小题满分12分）如图：在等边ABC ∆中，边长为4，点E,F 分别是边AB 、AC 的中点，沿EF 将AEF ∆翻折到PEF ∆的位置，使平面⊥PEF 平面BCFE （1）G 为线段PC 的中点，求证:PBE FG 面//；（2）求点F 到平面PBC 的距离；（3）求棱PF 与面PBC 所成角的余弦值．19、(本小题满分12分） 已知函数()()()112211ln 2≥+-++=a x ax x x f .（1）若1=a ，求y=f （x ）在区间[2，4]上的值域；(2) 若曲线()x f y C =：在点()1,0P 处的切线l 与曲线C 有且只有一个公共点，求a 的值.20、(本小题满分13分）已知椭圆C:)20(14222<<=+b b y x 的左右顶点分别为A 、B.且与双曲线1y -222=x 有相同的焦点,圆T:422=+y x 上有一动点P,P 在x 轴上方，M （1,0）为x 轴一点。

目录专题01 函数的性质及应用(Ⅰ) (1)专题02 函数的性质及应用(Ⅱ) (9)专题03 导数(Ⅰ) (21)专题04 导数(Ⅱ) (32)专题05 函数的综合应用 (42)专题06 三角函数的图象与性质 (53)专题07 三角恒等变换与解三角形 (61)专题08 向量与复数 (68)专题09 数列(Ⅰ) (75)专题10 数列(Ⅱ) (82)专题11 不等式与推理证明 (89)专题12 空间平行与垂直 (97)专题13 直线与圆 (105)专题14 圆锥曲线 (112)专题15 解析几何中的综合问题 (122)专题16 附加题 (132)专题17 附加题 (136)专题18 附加题 (144)专题1函数的性质及应用(Ⅰ)回顾2008～2012年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，基础题、中档题、难题都有涉及.在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008年和2009年考查了函数的基本性质，在2010年、2011年和2012年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查.值得注意的是在2008～2012年的高考题中没有单独考查：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念.这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾.预测在2013年的高考题中：(1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用的相关考查，难度不一.(2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想是考查的重点.真题再现1．(2009·江苏高考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 的大小关系为___ 解析：a ＝5－12∈(0,1)，函数f (x )＝a x 在R 上递减．由f (m )>f (n )得m <n .答案：m <n 2．(2010·江苏高考)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为_____解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.答案：－13．(2010·江苏高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是____答案：(－1，2－1) 解析：由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞0，2x ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2＞2x ，2x ≥0，解得－1＜x ＜0或0≤x ＜2－1，∴x 的取值范围为(－1，2－1)．4．(2011·江苏高考)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为___解析：①当1－a ＜1，即a ＞0时，此时a ＋1＞1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，计算得a ＝－32(舍去)；②当1－a ＞1，即a ＜0时，此时a ＋1＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )，得2(1＋a )＋a ＝－(1－a )－2a ，计算得a ＝－34，符合题意．综上所述，a ＝－34.答案：－345．(2012·江苏高考)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )＜c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．解析：由题意f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24.因为f (x )的值域为[0，＋∞)，所以b －a24＝0，即a 2＝4b .因为x 2＋ax ＋a 24－c ＜0的解集为(m ，m ＋6)，易得m ，m ＋6是方程x 2＋ax ＋a 24－c ＝0的两根，由一元二次方程根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋6＝－a ，m (m ＋6)＝a 24－c ，解得c ＝9.答案：9 典例精析：1．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )<2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围；(3)若函数y ＝f (x )在[m ，n ]上的值域是[m ，n ](m ≠n )，求实数a 的取值范围．析：(1)当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x . 则f ′(x )＝1x2>0， ∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数．(2)a －1x <2x 在(1，＋∞)上恒成立，即a <2x ＋1x 在(1，＋∞)上恒成立．设h (x )＝2x ＋1x，则a <h (x )在(1，＋∞)上恒成立．∵h ′(x )＝2－1x 2＝2x 2－1x2.又x >1，∴h ′(x )>0. ∴h (x )在(1，＋∞)上单调递增．∴h (x )>h (1)＝3，故a ≤3. ∴a 的取值范围为(－∞，3]． (3)∵f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }，∴mn >0.当n >m >0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上单调递增，∴m ＝f (m )，n ＝f (n )． 故x 2－ax ＋1＝0有两个不相等的正根m ，n . ∴⎩⎪⎨⎪⎧－－a 2>0，Δ＝a 2－4>0，解得a >2. 当m <n <0时，可证f (x )＝a ＋1x在(－∞，0)上是减函数．∴m ＝f (n )，n ＝f (m )，即x ∈(0，＋∞)时，⎩⎨⎧a ＋1m ＝n ， ①a ＋1n ＝m ， ②①－②得1m －1n ＝n －m ，∴n －m mn＝n －m ，而m ≠n ，故mn ＝1，代入①，得a ＝0.综上所述，a 的取值范围为{0}∪(2，＋∞)．本题综合考查反比例函数、绝对值等内容，对等价转换的要求比较高，第一问很常规，可以通过定义法和导数法解决，入手比较简单；第二问方向发散，分离参数是较好的方法；第三问要求较高，既考查知识点的转化能力，又考查对方程组数据的处理能力，本问就凸显出两种处理方程组的方法：作差和转化成二次方程的根，而这正是这几年江苏高考的一大特色．借题发挥1 (2012·南通学科基地)函数f (x )的定义域为D ，若满足①f (x )在D 内是单调函数，②存在[a ，b ]⊆D ，使f (x )在[a ，b ]上的值域为[－b ，－a ]，那么y ＝f (x )叫做对称函数，现有f (x )＝2－x －k 是对称函数，求k 的取值范围．解：由于f (x )＝2－x －k 在(－∞，2]上是减函数，所以⎩⎨⎧2－a －k ＝－a2－b －k ＝－b⇒关于x 的方程2－x －k ＝－x在(－∞，2]上有两个不同实根，且k －x ≥0在(－∞，2]上恒成立，通过换元结合图象可得k ∈⎣⎡⎭⎫2，94.2.(2012·苏州调研)已知函数f (x )＝|x －m |和函数g (x )＝x |x －m |＋m 2－7m .(1)若方程f (x )＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，求实数m 的取值范围；(2)若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立，求实数m 的取值范围．解： (1)由题意可知，|x －m |＝|m |在[4，＋∞)上有两个不同的解，而方程|x －m |＝|m |在R 上的解集为x ＝0或x ＝2m ，所以2m ≥－4且2m ≠0.所以m 的取值范围为[－2,0)∪(0，＋∞)．(2)原命题等价于“f (x )的最小值大于g (x )的最大值”对任意x 1∈(－∞，4]，f (x 1)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，m ≤4，m －4，m >4.对任意x 2∈[3，＋∞)，g (x 2)max ＝⎩⎪⎨⎪⎧m 2－10m ＋9，m <3，m 2－7m ，m ≥3.①当m <3时，0>m 2－10m ＋9，解得1<m <3； ②当3≤m ≤4时，0>m 2－7m ，解得3≤m ≤4； ③当m >4时，m －4>m 2－7m ，解得4<m <4＋2 3. 综上所述，m 的取值范围为()1，4＋23.本题综合考查一次函数、二次函数、绝对值符号等知识，对思维的要求很高，要理解“若对任意x 1∈(－∞，4]，均存在x 2∈[3，＋∞)，使得f (x 1)>g (x 2)成立”的意义，即f (x )的最小值大于g (x )的最大值．借题发挥2设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ， x ≤0，2， x >0，其中b >0，c ∈R .当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.(1)求函数f (x )的表达式；(2)若方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )至少有两个不相同的实数根，求a 取值的集合． 解：(1)∵当且仅当x ＝－2时，函数f (x )取得最小值－2.∴二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的对称轴是x ＝－b2＝－2.且有f (－2)＝(－2)2－2b ＋c ＝－2，即2b －c ＝6.∴b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0.(2)记方程①：2＝x ＋a (x >0)， 方程②：x 2＋4x ＋2＝x ＋a (x ≤0)． 分别研究方程①和方程②的根的情况：(ⅰ)方程①有且仅有一个实数根⇒a <2，方程①没有实数根⇒a ≥2.(ⅱ)方程②有且仅有两个不相同的实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有两个不相同的非正实数根．∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝9－4(2－a )>02－a ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >－14a ≤2⇒－14<a ≤2；方程②有且仅有一个实数根，即方程x 2＋3x ＋2－a ＝0有且仅有一个非正实数根． ∴2－a <0或Δ＝0， 即a >2或a ＝－14.综上可知，当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有三个不相同的实数根时，－14<a <2；当方程f (x )＝x ＋a (a ∈R )有且仅有两个不相同的实数根时，a ＝－14或a ＝2.∴符合题意的实数a 取值的集合为⎣⎡⎦⎤－14，2.3.已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1(a 为实常数)．(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式；(3)设h (x )＝f (x )x，若函数h (x )在区间[1,2]上是增函数，求实数a 的取值范围．解(1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1，x <0，x 2－x ＋1，x ≥0.作图(如右图所示)． (2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝－3. 若a ≠0，则f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －12a 2＋2a －14a －1，f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a . 当a <0时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数，g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫12a ＝2a －14a －1. 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数，g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧6a －3， a <14，2a －14a －1， 14≤a ≤12，3a －2， a >12.(3)当x ∈[1,2]时，h (x )＝ax ＋2a －1x－1，在区间[1,2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2， 则h (x 2)－h (x 1)＝⎝⎛⎭⎫ax 2＋2a －1x 2－1－⎝⎛⎭⎫ax 1＋2a －1x 1－1＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫a －2a －1x 1x 2＝(x 2－x 1)·ax 1x 2－(2a －1)x 1x 2. 因为h (x )在区间[1,2]上是增函数，所以h (x 2)－h (x 1)>0.因为x 2－x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2－(2a －1)>0，即ax 1x 2>2a －1. 当a ＝0时，上面的不等式变为0>－1，即a ＝0时结论成立． 当a >0时，x 1x 2>2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a≤1，解得0＜a ≤1.当a <0时，x 1x 2<2a －1a ，由1<x 1x 2<4得，2a －1a ≥4，解得－12≤a ＜0.所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 本题主要考查二次函数的性质，结合绝对值考查分类讨论思想，第一问主要是画图；第二问二次函数属于轴动区间定的题型，主要考查分类讨论，细心一点即可完成；第三问比较发散，除了用定义法来解决还可以等价转化成h ′(x )≥0对于任意的x ∈[1,2]恒成立来解决．借题发挥3(2012·苏锡常镇调研)已知a ，b 为正实数，函数f (x )＝ax 3＋bx ＋2x 在[0,1]上的最大值为4，则f (x )在[－1,0]上的最小值为________．解析：因为a ，b 为正实数，所以函数f (x )是单调递增的．所以f (1)＝a ＋b ＋2＝4得到a ＋b ＝2.所以f (x )在[－1,0]上的最小值为f (－1)＝－(a ＋b )＋12＝－32.答案：－32[专题技法归纳](1)解决函数问题重点是挖掘出函数性质，利用性质解题，特别是奇偶性和单调性． (2)研究单调区间问题时一定要注意在函数的定义域内进行．(3)研究函数最值问题时，要注意函数的定义域，特别是分段函数，要分别求出最值再比较． 经典训练：1．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(1－x )，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2 013)＝______解析：f (x )是周期函数，周期为6，f (2 013)＝f (3)＝－f (0)＝0.答案：02．已知t 为常数，函数y ＝|x 2－2x －t |在区间[0,3]上的最大值为2，则t ＝________.解析：若f (0)＝2得到t ＝±2，经检验t ＝±2都不成立；若f (1)＝2得到t ＝－3,1，经检验t ＝－3不成立；若f (3)＝2得到t ＝5,1，经检验t ＝5不成立．综上得t ＝1.答案：13．已知定义在R 上的奇函数f (x )，满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析：因为定义在R 上的奇函数，满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －4)＝f (－x )．由f (x )为奇函数，得函数图象关于直线x ＝2对称且f (0)＝0，由f (x －4)＝－f (x )知f (x －8)＝f (x )，所以函数是以8为周期的周期函数．又因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，所以f (x )在区间[－2,0]上也是增函数，如图所示．那么方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，不妨设x 1<x 2<x 3<x 4由对称性知x 1＋x 2＝－12，x 3＋x 4＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝－12＋4＝－8. 4．已知函数f (x )＝3－axa －1(a ≠1)，(1)若a >0，则f (x )的定义域是________； (2)若f (x )在区间(0,1]上是减函数，则实数a 的取值范围是________． 解析：(1)由3－ax ≥0得定义域为⎝⎛⎦⎤－∞，3a . (2)当a >1时，y ＝3－ax 递减并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，求得a ∈(1,3]；当a <1时，y ＝3－ax 递增并且3－ax ≥0对于任意的x ∈(0,1]恒成立，得到a <0.综上得a <0或1<a ≤3.5．已知函数f (x )＝2x2x ＋1，则f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝________.解析：∵f (x )＋f (－x )＝1.∴f (－5)＋f (5)＝f (－4)＋f (4)＝f (－3)＋f (3)＝f (－2)＋f (2)＝f (－1)＋f (1)＝1. 又f (0)＝12，∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (4)＋f (5)＝112.答案：1126．若函数y ＝3＋x 2ln ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x 1－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－12，12的最大值与最小值分别为M ，m ，则M ＋m ＝___解析：函数的图象关于(0,3)对称，并且具有中心对称的函数在对称区间上的最大值与最小值之和为对称中心纵坐标的2倍，故答案为6.答案：67．设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99=解析：y ＝x n＋1的导函数为y ′＝(n ＋1)x n ⇒y ′| x ＝1＝n ＋1.∴切线是y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0得切点的横坐标x n ＝n n ＋1.∴a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg (x 1x 2…x 99)＝lg ⎝⎛⎭⎫12·23·…·9899·99100＝lg 1100＝－2. 8．函数f (x )＝log 2x －1log 2x ＋1，若f (x 1)＋f (2x 2)＝1(其中x 1，x 2均大于2)，则f (x 1x 2)的最小值为_____解析：由f (x 1)＋f (2x 2)＝1，得log 2x 1－1log 2x 1＋1＋log 2(2x 2)－1log 2(2x 2)＋1＝1，即log 2x 2＝4log 2x 1－1.于是log 2(x 1x 2)＝log 2x 1＋log 2x 2＝log 2x 1＋4log 2x 1－1≥5，当且仅当log 2x 1＝3时等号成立．所以f (x 1x 2)＝log 2(x 1x 2)－1log 2(x 1x 2)＋1＝1－2log 2(x 1x 2)＋1≥23.答案：239．已知函数f (x )＝e |x |，m >1，对任意的x ∈[1，m ]，都有f (x －2)≤e x ，则最大的正整数m 为________． 解析：作出函数y ＝e |x －2|和y 2＝e x 的图象，如图可知x ＝1时y 1＝y 2，又x ＝4时y 1＝e 2＜y 2＝4e ，x ＝5时y 1＝e 3＞y 2＝5e ，故m ＜5，即m 的最大整数值为4.答案：410．已知以T ＝4为周期的函数f (x )，当x ∈(－1,3]时f (x )＝⎩⎨⎧m 1－x 2，x ∈(－1，1]，1－|x －2|，x ∈(1，3]，其中m >0.若方程3f (x )＝x 恰有5个实数解，则m 的取值范围为________解析：因为当x ∈(－1,1]时，将函数化为方程x 2＋y 2m2＝1(y ≥0)，实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x ∈(1,3]的图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y ＝x3与第二个半椭圆(x－4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)相交，而与第三个半椭圆(x －8)2＋y 2m 2＝1(y ≥0)无公共点时，方程恰有5个实数解．将y ＝x3代入(x －4)2＋y 2m2＝1(y ≥0)得(9m 2＋1)x 2－72m 2x ＋135m 2＝0，令t ＝9m 2(t >0)则(t ＋1)x 2－8tx ＋15t ＝0.由Δ＝(8t )2－4×15t (t ＋1)>0，得t >15.由9m 2>15，且m >0得m >153.同样将y ＝x 3代入第三个椭圆(x －8)2＋y 2m2＝1(y ≥0)．由Δ<0可计算得m <7. 综上知m ∈⎝⎛⎭⎫153，7.答案：⎝⎛⎭⎫153，711．设函数f (x )＝x 2＋|2x －a |(x ∈R ，a 为实数)．(1)若f (x )为偶函数，求实数a 的值；(2)设a >2，求函数f (x )的最小值．解：(1)由已知f (－x )＝f (x )，即|2x －a |＝|2x ＋a |，解得a ＝0.(2)f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋2x －a ，x ≥12a ，x 2－2x ＋a ，x <12a ，当x ≥12a 时，f (x )＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a >2，x ≥12a ，得x >1，从而x >－1，故f (x )在x ≥12a 时单调递增，f (x )的最小值为f ⎝⎛⎭⎫a 2＝a 24；当x <12a 时，f (x )＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，则x ＝1时f (x )取最小值为f (1)＝a －1.由a 24－(a －1)＝(a －2)24>0知，f (x )的最小值为a －1. 12．函数f (x )对任意的m ，n ∈R ，都有f (m ＋n )＝f (m )＋f (n )－1，并且x >0时，恒有f (x )>1.(1)求证：f (x )在R 上是增函数；(2)若f (3)＝4，解不等式f (a 2＋a －5)<2. 解：(1)证明：设x 1<x 2，∴x 2－x 1>0.∵当x >0时，f (x )>1，∴f (x 2－x 1)>1.f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1，∴f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0⇒f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在R 上为增函数． (2)∵m ，n ∈R ，不妨设m ＝n ＝1，∴f (1＋1)＝f (1)＋f (1)－1⇒f (2)＝2f (1)－1， f (3)＝4⇒f (2＋1)＝4⇒f (2)＋f (1)－1＝4⇒3f (1)－2＝4，∴f (1)＝2.∴f (a 2＋a －5)<2＝f (1)．∵f (x )在R 上为增函数，∴a 2＋a －5<1⇒－3<a <2，即a ∈(－3,2)．专题2 函数的性质及应用(Ⅱ)高考中考查函数性质的形式不一，时而填空题，时而解答题，时而与其他章节综合，在解决问题的某一步骤中出现.在二轮复习中要注重知识点之间的联系，同时还要注意结合函数图象解决问题.,此外，函数的对称性、周期性常与函数的奇偶性、单调性综合起来考查；函数的零点问题是近年来新增的一个考点，也要引起足够的重视. 经典再现：1．已知函数F (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋12－1是R 上的奇函数，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项a n ＝________.解析：由题意知F (－x )＝－F (x )，即f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12－1＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋1，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋f ⎝⎛⎭⎫－x ＋12＝2. 令t ＝x ＋12，则f (t )＋f (1－t )＝2.分别令t ＝0，1n ，2n ，…，n －1n ，n n ，得f (0)＋f (1)＝f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＝…＝2.∵a n＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋f ⎝⎛⎭⎫2n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)， ∴由倒序相加法得2a n ＝2(n ＋1)，故a n ＝n ＋1.答案：n ＋1 2．(2012·徐州期末)设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列四个命题①当c ＝0，y ＝f (x )是奇函数；②当b ＝0，c <0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ③y ＝f (x )的图象关于点(0，c )对称； ④方程f (x )＝0至多有两个实数根． 其中命题正确的是________．解析：当c ＝0时f (－x )＝－x |x |－bx ＝－f (x )，①正确；当b ＝0，c <0时由f (x )＝0得x |x |＋c ＝0，只有一个正根，②正确；若P (x ，y )是y ＝f (x )图象上的任意一点，则f (－x )＝－x |x |－bx ＋c ＝2c －(x |x |＋bx ＋c )＝2c －y ，即P ′(－x,2c －y )也在y ＝f (x )的图象上，③正确；④不正确，如b ＝－2，c ＝0时，f (x )＝0有3个实数根．答案：①②③3．已知函数f (x )＝|x 2－2ax ＋b |(x ∈R )．给出下列命题：①f (x )必是偶函数；②当f (0)＝f (2)时，f (x )的图象必关于直线x ＝1对称； ③若a 2－b ≤0，则f (x )在区间[a ，＋∞)上是增函数； ④f (x )有最大值|a 2－b |. 其中正确的序号是________．解析：①显然是错的；②由于函数加了绝对值，所以对于一个函数值可能对应的x 值有4个，故不一定得到对称轴是x ＝1；由于a 2－4≤0时，f (x )＝x 2－2ax ＋b ，故③正确；④结合函数图象，可以判定函数无最大值．答案：③4．(2012·淮阴联考)给出下列四个结论：①函数y ＝k ·3x (k 为非零常数)的图象可由函数y ＝3x 的图象经过平移得到； ②不等式⎪⎪⎪⎪ax －1x >a 的解集为M ，且2∉M ，则a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫14，＋∞； ③定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)·f (x )＝－1，则f (x )是周期函数；④已知f (x )满足对x ∈R 都有f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2成立，则f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7. 其中正确结论的序号是________．(把你认为正确命题的序号都填上) 解析：由|k |·3x ＝3x ＋log 3|k |(k ≠0)知①正确；由2∉M 得⎪⎪⎪⎪2a －12≤a ，即a ≥14，故②不正确；由f (x ＋1)＝－1f (x )得f (x ＋2)＝f (x )，故③正确；由f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＋f ⎝⎛⎭⎫12－x ＝2得f (x )＋f (1－x )＝2且f ⎝⎛⎭⎫12＝1，故f ⎝⎛⎭⎫18＋f ⎝⎛⎭⎫28＋…＋f ⎝⎛⎭⎫78＝7正确．答案：①③④5．给出定义：若m －12<x ≤m ＋12(其中m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .在此基础上给出下列关于函数f (x )＝|x －{x }|的四个命题： ①函数y ＝f (x )的定义域是R ，值域是⎣⎡⎦⎤0，12； ②函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝k2(k ∈Z )对称；③函数y ＝f (x )是周期函数，最小正周期是1； ④函数y ＝f (x )在⎣⎡⎦⎤－12，12上是增函数． 则其中真命题是________．解析：由m －12＜x ≤m ＋12解得－12≤x －m ≤12，故命题①正确；由f (k －x )＝|k －x －{k －x }|＝|k －x －(k －{x })|＝|－x ＋{x }|＝f (x )知②正确，④不正确；同理③正确．答案：①②③典例精析：1 (2012·泰兴中学调研)设n 为正整数，规定：f n (x )＝f {f […f (x )]}n 个f ，已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2(1－x )，0≤x ≤1，x －1， 1＜x ≤2.(1)解不等式f (x )≤x ；(2)设集合A ＝{0,1,2}，对任意x ∈A ，证明：f 3(x )＝x ； (3)探求f 2 012⎝⎛⎭⎫89；(4)若集合B ＝{x |f 12(x )＝x ，x ∈[0,2]}，证明：B 中至少包含有8个元素． 解(1)①当0≤x ≤1时，由2(1－x )≤x 得，x ≥23.∴23≤x ≤1.②当1＜x ≤2时，∵x －1≤x 恒成立，∴1＜x ≤2.由①，②得，f (x )≤x 的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫23≤x ≤2. (2)证明：∵f (0)＝2，f (1)＝0，f (2)＝1，∴当x ＝0时，f 3(0)＝f (f (f (0)))＝f (f (2))＝f (1)＝0；当x ＝1时，f 3(1)＝f (f (f (1)))＝f (f (0))＝f (2)＝1；当x ＝2时，f 3(2)＝f (f (f (2)))＝f (f (1))＝f (0)＝2. 即对任意x ∈A ，恒有f 3(x )＝x .(3)f 1⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫89＝2⎝⎛⎭⎫1－89＝29，f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫29＝149， f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 2⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫149＝149－1＝59，f 4⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫f 3⎝⎛⎭⎫89＝f ⎝⎛⎭⎫59＝2⎝⎛⎭⎫1－59＝89. 一般地，f 4k ＋r ⎝⎛⎭⎫89＝f r⎝⎛⎭⎫89(k ∈N ，r ∈N *)．∴f 2 012⎝⎛⎭⎫89＝f 4⎝⎛⎭⎫89＝89. (4)由(1)知，f ⎝⎛⎭⎫23＝23，∴f n ⎝⎛⎭⎫23＝23.则f 12⎝⎛⎭⎫23＝23.∴23∈B . 由(2)知，对x ＝0，或1，或2，恒有f 3(x )＝x ，∴f 12(x )＝f 4×3(x )＝x .则0,1,2∈B . 由(3)知，对x ＝89，29，149，59，恒有f 12(x )＝f 4×3(x )＝x ，∴89，29，149，59∈B .综上所述23，0,1,2，89，29，149，59∈B .∴B 中至少含有8个元素． 本题给出新定义内容，第一问就是解不等式，第二问实际就是对定义的认识直接套用，第三问就需要对定义进行更深一步的认识，探究函数值之间存在的规律．借题发挥1对于定义在D 上的函数y ＝f (x )，若同时满足(1)存在闭区间[a ，b ]⊆D ，使得任取x 1∈[a ，b ]，都有f (x 1)＝c (c 是常数)； (2)对于D 内任意x 2，当x 2∉[a ，b ]时总有f (x 2)>c . 称f (x )为“平底型”函数．判断f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|，f 2(x )＝x ＋|x －2|是否是“平底型”函数？简要说明理由． 解：f 1(x )＝|x －1|＋|x －2|是“平底型”函数， 存在区间[1,2]使得x ∈[1,2]时，f (x )＝1， 当x <1和x >2时，f (x )>1恒成立； f 2(x )＝x ＋|x －2|不是“平底型”函数，不存在[a ，b ]⊆R 使得任取x ∈[a ，b ]，都有f (x )＝常数．2.(2012·南京一模)对于函数f (x )，若存在实数对(a ，b )，使得等式f (a ＋x )·f (a －x )＝b 对定义域中的每一个x 都成立，则称函数f (x )是“(a ，b )型函数”．(1)判断函数f (x )＝4x 是否为“(a ，b )型函数”，并说明理由；(2)已知函数g (x )是“(1,4)型函数”，当x ∈[0,2]时，都有1≤g (x )≤3成立，且当x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2－m (x－1)＋1(m >0)，试求m 的取值范围．解(1)函数f (x )＝4x 是“(a ，b )型函数”，因为由f (a ＋x )·f (a －x )＝b ，得16a ＝b ，所以存在这样的实数对，如a ＝1，b ＝16. (2)由题意得，g (1＋x )·g (1－x )＝4，所以当x ∈[1,2]时，g (x )＝4g (2－x )，其中2－x ∈[0,1]．而x ∈[0,1]时，g (x )＝x 2＋m (1－x )＋1＝x 2－mx ＋m ＋1>0，且其对称轴方程为x ＝m2.①当m2>1，即m >2时，g (x )在[0,1]上的值域为[g (1)，g (0)]，即[2，m ＋1]．则g (x )在[0,2]上的值域为[2，m ＋1]∪⎣⎡⎦⎤4m ＋1，2＝⎣⎡⎦⎤4m ＋1，m ＋1，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤3，4m ＋1≥1，此时无解；②当12≤m 2≤1，即1≤m ≤2时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (0)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1， 所以g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，m ＋1∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤4m ＋1，4m ＋1－m 24，由题意得⎩⎨⎧4m ＋1－m24≤3，m ＋1≤3，且⎩⎨⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1≥1，解得1≤m ≤2；③当0＜m 2≤12，即0＜m ≤1时，g (x )的值域为⎣⎡⎦⎤g ⎝⎛⎭⎫m 2，g (1)，即⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2，则g (x )在[0,2]上的值域为⎣⎡⎦⎤m ＋1－m 24，2∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，4m ＋1－m 24＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤m ＋1－m 24，4m ＋1－m 24，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1－m 24≥1，4m ＋1－m24≤3，解得2－263≤m ≤1.综上所述，所求m 的取值范围是⎣⎡⎦⎤2－263，2. 本题主要考查函数的综合性质，分类讨论思想，第一问比较容易，好入手，第二问转化有点困难，应先把函数在[1,2]上的解析式求出来，然后求值域并转化为子集关系解题．求值域实质就是二次函数中轴动区间定的类型，并且同时研究两个二次函数，要进行比较．借题发挥2(2012·金陵中学期末)已知函数f (x )的图象在[a ，b ]上连续不断，定义：f 1(x )＝min{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])， f 2(x )＝max{f (t )|a ≤t ≤x }(x ∈[a ，b ])．其中，min{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最小值，max{f (x )|x ∈D }表示函数f (x )在区间上的最大值．若存在最小正整数k ，使得f 2(x )－f 1(x )≤k (x －a )对任意的x ∈[a ，b ]成立，则称函数为区间[a ，b ]上的“k 阶收缩函数”．(1)若f (x )＝cos x ，x ∈[0，π]，试写出f 1(x )，f 2(x )的表达式；(2)已知函数f (x )＝x 2，x ∈[－1,4]，试判断f (x )是否为[－1,4]上的“k 阶收缩函数”，如果是，求出相应的k ；如果不是，请说明理由；(3)已知b >0，函数f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，求b 的取值范围． 解：(1)f 1(x )＝cos x ，x ∈[0，π]，f 2(x )＝1，x ∈[0，π]．(2)∵f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x ∈[－1，0)，0，x ∈[0，4]，f 2(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[－1，1)，x 2，x ∈[1，4]，∴f 2(x )－f 1(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，x ∈[－1，0)，1，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，4].当x ∈[－1,0]时，1－x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥1－x ，即k ≥2； 当x ∈(0,1)时，1≤k (x ＋1)，∴k ≥1x ＋1，即k ≥1；当x ∈[1,4]时，x 2≤k (x ＋1)，∴k ≥x 2x ＋1，即k ≥165.综上，存在k ＝4，使得f (x )是[－1,4]上的4阶收缩函数．(3)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x ＝－3x (x －2)，∴在(0,2)上f ′(x )>0，f (x )递增，在(2，＋∞)上f ′(x )<0，f (x )递减． ①当0<b ≤2时，f (x )在[0，b ]上递增，∴f 2(x )＝f (x )＝－x 3＋3x 2，f 1(x )＝f (0)＝0.∵f (x )＝－x 3＋3x 2是[0，b ]上的2阶收缩函数，∴(ⅰ)f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)对x ∈[0，b ]恒成立， 即－x 3＋3x 2≤2x 对x ∈[0，b ]恒成立，即0≤x ≤1或x ≥2.∴0＜b ≤1.(ⅱ)存在x ∈[0，b ]，使得f 2(x )－f 1(x )>(x －0)成立．即存在x ∈[0，b ]，使得x (x 2－3x ＋1)<0成立． 即x <0或3－52<x <3＋52，∴只需b >3－52.综上3－52<b ≤1.②当2＜b ≤3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减，∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (0)＝0，f 2(x )－f 1(x )＝4，x －0＝x .∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)不成立． ③当b >3时，f (x )在[0,2]上递增，在[2，b ]上递减，∴f 2(x )＝f (2)＝4，f 1(x )＝f (b )<0，f 2(x )－f 1(x )＝4－f (b )>4，x －0＝x . ∴当x ＝0时，f 2(x )－f 1(x )≤2(x －0)也不成立．综上3－52＜b ≤1.3.(2012·栟茶模拟)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)．(1)当a >1时，求证：函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增； (2)若函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，求t 的值；(3)若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，试求a 的取值范围． 解(1)证明：f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)·ln a ， 由于a >1，故当x ∈(0，＋∞)时，ln a >0，a x －1>0， 所以f ′(x )>0.故函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．(2)当a >0，a ≠1时，因为f ′(0)＝0，且f ′(x )在R 上单调递增， 故f ′(x )＝0有惟一解x ＝0.所以x ，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示：又函数y ＝|f (x )－t |－1有三个零点，所以方程 f (x )＝t ±1有三个根，而t ＋1>t －1，所以t －1＝(f (x ))min ＝f (0)＝1，解得t ＝2.(3)因为存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1，所以当x ∈[－1,1]时，|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1.由(2)知，f (x )在[－1,0]上递减，在[0,1]上递增，所以当x ∈[－1,1]时，f (x )min ＝f (0)＝1， f (x )max ＝max{f (－1)，f (1)}．而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 记g (t )＝t －1t －2ln t (t >0)，因为g ′(t )＝1＋1t 2－2t ＝⎝⎛⎭⎫1t －12≥0(当且仅当t ＝1时取等号)， 所以g (t )＝t －1t－2ln t 在t ∈(0，＋∞)上单调递增，而g (1)＝0，所以当t >1时，g (t )>0；当0<t <1时，g (t )<0，也就是当a >1时，f (1)>f (－1)；当0<a <1时，f (1)<f (－1)． ①当a >1时，由f (1)－f (0)≥e －1⇒a －ln a ≥e －1⇒a ≥e ， ②当0<a <1时，由f (－1)－f (0)≥e －1⇒1a ＋ln a ≥e －1⇒0＜a ≤1e ，综上知，所求a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． 本题考查函数与导数的综合性质，函数模型并不复杂，一二两问是很常规的，考查利用导数证明单调性，考查函数与方程的零点问题．第三问要将“若存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1”转化成|f (x )max －f (x )min |＝f (x )max －f (x )min ≥e －1成立，最后仍然是求值域问题，但在求值域过程中，问题设计比较巧妙，因为在过程中还要构造函数研究单调性来确定导函数的正负．借题发挥3(2012·无锡期中)已知二次函数g (x )对任意实数x 都满足g (x －1)＋g (1－x )＝x 2－2x －1，且g (1)＝－1.令f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98(m ∈R ，x >0)．(1)求g (x )的表达式； (2)若∃x >0使f (x )≤0成立，求实数m 的取值范围；(3)设1＜m ≤e ，H (x )＝f (x )－(m ＋1)x ，证明：对∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1.解：(1)设g (x )＝ax 2＋bx ＋c ，于是g (x －1)＋g (1－x )＝2a (x －1)2＋2c ＝(x －1)2－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，c ＝－1.又g (1)＝－1，则b ＝－12.所以g (x )＝12x 2－12x －1.(2)f (x )＝g ⎝⎛⎭⎫x ＋12＋m ln x ＋98＝12x 2＋m ln x (m ∈R ，x >0)． 当m >0时，由对数函数性质，f (x )的值域为R ； 当m ＝0时，f (x )＝x 22>0对∀x >0，f (x )>0恒成立；当m <0时，由f ′(x )＝x ＋mx＝0⇒x ＝－m ，列表：这时，f (x )min ＝f (－m )＝－m2＋m ln －m . f (x )min >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧－m 2＋m ln －m >0，m <0⇒－e<m <0.所以若∀x >0，f (x )>0恒成立，则实数m 的取值范围是(－e,0]．故∃x >0，使f (x )≤0成立，实数m 的取值范围(－∞，－e]∪(0，＋∞)．(3)证明：因为对∀x ∈[1，m ]，H ′(x )＝(x －1)(x －m )x ≤0，所以H (x )在[1，m ]内单调递减．于是|H (x 1)－H (x 2)|≤H (1)－H (m )＝12m 2－m ln m －12.|H (x 1)－H (x 2)|<1⇔12m 2－m ln m －12<1⇔12m －ln m －32m<0.记h (m )＝12m －ln m －32m (1＜m ≤e)，则h ′(m )＝12－1m ＋32m 2＝32⎝⎛⎭⎫1m －132＋13>0， 所以函数h (m )＝12m －ln m －32m 在(1，e]上是单调增函数．所以h (m )≤h (e)＝e 2－1－32e ＝(e －3)(e ＋1)2e<0，故命题成立．[专题技法归纳] (1)对复杂函数的对称性应注意利用最根本的定义解决，奇偶性只是对称性中最特殊的一种． (2)对于形如：∀x 1，x 2∈[1，m ]，恒有|H (x 1)－H (x 2)|<1的问题，要注意转化成最值问题处理．同时在利用导数的正负探究函数的单调性时，为判断导函数的正负，有时还需要设计成研究导函数的最值问题． 经典回顾：1．定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg|x －2||，x ≠2，1， x ＝2，则关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有5个不同的实数根x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，求f (x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)＝________.解析：作出函数f (x )的图象可以得到x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝9.f (9)＝|lg 7|＝lg 7.答案：lg 72．若函数f (x )满足：f (x ＋3)＝f (5－x )且方程f (x )＝0恰有5个不同实根，求这些实根之和为________．解析：由题意可得到图象关于x ＝4对称，所以和为20.答案：203．已知函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，则b ＋c 的最大值是________．解析：由题意f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c 在区间[－1,2]上满足f ′(x )≤0恒成立，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ′(－1)≤0，f ′(2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，此问题相当于在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2b －c －3≥0，4b ＋c ＋12≤0，下求目标函数z ＝b ＋c 的最大值．作出可行域(图略)，由图可知，当直线l ：b ＋c ＝z 过2b －c －3＝0与4b ＋c ＋12＝0的交点M ⎝⎛⎭⎫－32，－6时，z 最大，∴z max ＝－32－6＝－152.答案：－1524．某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论： ①等式f (－x )＋f (x )＝0在x ∈R 时恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)； ③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)； ④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点．其中正确结论的序号有________(请将你认为正确的结论的序号都填上) 解析：①显然正确；由|f (x )|＝|x |1＋|x |<1＋|x |1＋|x |＝1知②正确；可以证明f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，故③正确；由f (x )－x ＝0得x1＋|x |＝x ，此方程只有一根x ＝0，故④不正确．答案：①②③5．若关于x 的方程x 2＝2－|x －t |至少有一个负数解，则实数t 的取值范围是________．解析：方程等价于|x －t |＝2－x 2，结合y ＝|x －t |与y ＝2－x 2图象，如图，找出两边临界值，可得－94≤t ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫－94，2 6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2，若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是___解析：f (x )＝2x (x ≥2)单调递减且值域为(0,1]，f (x )＝(x －1)3(x <2)单调递增且值域为(－∞，1)，f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是(0,1)．答案：(0,1)7．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b ，设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程为f (x )＝m (m∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析：由定义运算“*”可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1≤x －1，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，2x －1>x －1， ＝⎩⎨⎧2⎝⎛⎭⎫x －142－18，x ≤0，－⎝⎛⎭⎫x －122＋14，x >0，画出该函数图象可知满足条件的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫1－316，0.8．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋6)＝f (x )．当－3≤x <－1时，f (x )＝－(x ＋2)2，当－1≤x <3时，f (x )＝x .则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 012)＝________.解析：由f (x ＋6)＝f (x )，可知函数的周期为6，所以f (－3)＝f (3)＝－1，f (－2)＝f (4)＝0，f (－1)＝f (5)＝－1，f (0)＝f (6)＝0，f (1)＝1，f (2)＝2，所以在一个周期内有f (1)＋f (2)＋…＋f (6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝f (1)＋f (2)＋335×1＝335＋3＝338.9．(2012·南师附中)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2，对于任意x ∈[t －2，t ]，不等式f (x ＋t )≥2f (x )恒成立，则实数t 的取值范围是________．解析：f (x ＋t )≥2f (x )等价于f (x ＋t )≥f (2x )根据奇偶性得到函数在定义域上是单调递减函数，所以x ＋t ≤2x 恒成立，解得t ≤－ 2.答案：(－∞，－ 2 ]10．(2012·北京高考)已知f (x )＝m (x －2m )(x ＋m ＋3)，g (x )＝2x －2.若同时满足条件：①∀x ∈R ，f (x )＜0或g (x )＜0； ②∃x ∈(－∞，－4)，f (x )g (x )＜0. 则m 的取值范围是________．解析：当x ＜1时，g (x )＜0，当x ＞1时，g (x )＞0，当x ＝1时，g (x )＝0.m ＝0不符合要求；当m ＞0时，根据函数f (x )和函数g (x )的单调性，一定存在区间[a ，＋∞)使f (x )≥0且g (x )≥0，故m ＞0时，不符合第①条的要求；当m ＜0时，如图所示，如果符合①的要求，则函数f (x )的两个零点都得小于1，如果符合第②条要求，则函数f (x )至少有一个零点小于－4，问题等价于函数f (x )有两个不相等的零点，其中较大的零点小于1，较小的零点小于－4.函数f (x )的两个零点是2m ，－(m ＋3)，故m 满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，2m ＜－(m ＋3)，2m ＜－4，－(m ＋3)＜1或者⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，－(m ＋3)＜2m ，2m ＜1，－(m ＋3)＜－4，解第一个不等式组得－4＜m ＜－2，第二个不等式组无解，故所求m 的取值范围是(－4，－2)． 11．(2012·栟茶一模)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .(1)若a >b >c ，且f (1)＝0，是否存在m ∈R ，使得f (m )＝－a 成立时，f (m ＋3)为正数？若存在，证明你的结论；若不存在，说明理由；(2)若对x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，方程f (x )＝12[f (x 1)＋f (x 2)]有2个不等实根，证明必有一个根属于(x 1，x 2)；(3)若f (0)＝0，是否存在b 的值使{x |f (x )＝x }＝{x |f [f (x )]＝x }成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由．解：(1)因为f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，且a >b >c ，所以a >0且c <0. ∵f (1)＝0，∴1是f (x )＝0的一个根，由韦达定理知另一根为ca .∵a >0且c <0，∴c a <0<1.又a >b >c ，b ＝－a －c ，∴－2<c a <－12.假设存在这样的m ，由题意，则a ⎝⎛⎭⎫m －c a (m －1)＝－a <0，∴c a <m <1.∴m ＋3>ca ＋3>－2＋3＝1. ∵f (x )在(1，＋∞)单调递增，∴f (m ＋3)>f (1)＝0，即存在这样的m 使f (m ＋3)>0.(2)令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x )是二次函数．∵g (x 1)·g (x 2)＝⎣⎡⎦⎤f (x 1)－f (x 1)＋f (x 2)2⎣⎡⎦⎤f (x 2)－f (x 1)＋f (x 2)2＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2≤0，又∵f (x 1)≠f (x 2)，g (x 1)·g (x 2)<0，∴g (x )＝0有两个不等实根，且方程g (x )＝0的根必有一个属于(x 1，x 2)． (3)由f (0)＝0得c ＝0，∴f (x )＝ax 2＋bx .由f (x )＝x ，得方程ax 2＋(b －1)x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝1－ba ，又由f [f (x )]＝x 得a [f (x )]2＋bf (x )＝x .∴a [f (x )－x ＋x ]2＋b [f (x )－x ＋x ]＝x .∴a [f (x )－x ]2＋2ax [f (x )－x ]＋ax 2＋b [f (x )－x ]＋bx －x ＝0. ∴[f (x )－x ][af (x )－ax ＋2ax ＋b ＋1]＝0， 即[f (x )－x ][a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1]＝0. ∴f (x )－x ＝0或a 2x 2＋a (b ＋1)x ＋b ＋1＝0. (*) 由题意(*)式的解为0或1－ba或无解，当(*)式的解为0时，可解得b ＝－1，经检验符合题意； 当(*)式的解为1－ba时，可解得b ＝3，经检验符合题意；当(*)式无解时，Δ＝a 2(b ＋1)2－4a 2(b ＋1)<0，即a 2(b ＋1)(b －3)<0，∴－1<b <3. 综上可知，当－1≤b ≤3时满足题意． 12．已知函数f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，f 2(x )＝e |x－a |＋1，x ∈R ，1≤a ≤6.(1)若a ＝2，求f (x )＝f 1(x )＋f 2(x )在[2,3]上的最小值；(2)若|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围； (3)求函数g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2在[1,6]上的最小值．解：(1)对于a ＝2，x ∈[2,3]，f (x )＝e |x －3|＋e |x－2|＋1＝e 3－x ＋e x －1≥2e 3－x ·e x －1＝2e ，当且仅当e 3－x ＝e x －1，即x ＝2时等号成立，∴f (x )min ＝2e.(2)|f 1(x )－f 2(x )|＝f 2(x )－f 1(x )对于任意的实数x 恒成立，即f 1(x )≤f 2(x )对于任意的实数x 恒成立，亦即e |x－2a ＋1|≤e |x－a |＋1对于任意的实数x 恒成立，∴|x －2a ＋1|≤|x －a |＋1，即|x －2a ＋1|－|x －a |≤1对于任意的实数x 恒成立． 又|x －2a ＋1|－|x －a |≤|(x －2a ＋1)－(x －a )|＝|－a ＋1|对于任意的实数x 恒成立，故只需|－a ＋1|≤1，解得0≤a ≤2. 又1≤a ≤6，∴a 的取值范围为1≤a ≤2.(3)g (x )＝f 1(x )＋f 2(x )2－|f 1(x )－f 2(x )|2＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1(x )，f 1(x )≤f 2(x )，f 2(x )，f 1(x )>f 2(x )，①当1≤a ≤2时，由(2)知f 1(x )≤f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|，图象关于直线x ＝2a －1对称，如右图，又此时1≤2a －1≤3，故对x ∈[1,6]，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1.②当2＜a ≤6时，(2a －1)－a ＝a －1>0，故2a －1>a . x ≤a 时，f 1(x )＝e －x ＋(2a －1)>e－x ＋a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 2(x )＝e |x－a |＋1；x ≥2a －1时，f 1(x )＝e x －(2a －1)<e x－a ＋1＝f 2(x )，g (x )＝f 1(x )＝e |x－2a ＋1|；a <x <2a －1时，由f 1(x )＝e－x ＋(2a －1)≤e x－a ＋1＝f 2(x )，得x ≥3a －22，其中a <3a －22<2a －1，故3a －22≤x ＜2a －1时，g (x )＝f 1(x )＝e |x －2a ＋1|，a <x <3a －22时，g (x )＝f 2(x )＝e |x －a |＋1.因此，2＜a ≤6时，g (x )＝⎩⎨⎧f 1(x )，x ≥3a －22，f 2(x )，x <3a －22.令f 1(x )＝e |x－2a ＋1|＝e ，得x 1＝2a －2，x 2＝2a ，且3a －22<2a －2，如右图．(ⅰ)当a ≤6≤2a －2，即4≤a ≤6时，g (x )min ＝f 2(a )＝e ； (ⅱ)当2a －2＜6≤2a －1，即72≤a ＜4时，g (x )min ＝f 1(6)＝e |6－2a＋1|＝e 2a －7；(ⅲ)当2a －1<6，即2<a <72时，g (x )min ＝f 1(2a －1)＝1， g (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧1，1≤a <72，e 2a －7，72≤a ＜4，e ，4≤a ≤6.专题3 导 数(Ⅰ)导数作为研究函数的重要工具，同时也是学习高等数学的基础，一直受到命题者的青睐.2008年考了2小题，并在17题中进行了考查(运用导数求三角函数的最值)；2009年考了2小题，都是考查三次函数的导数，显然重复；2010年第8题和压轴题都考查了导数；2011年12题和19题；2012年14题和18题.可以看出江苏高考每年都会出现两题考查导数的几何意义或者导数的四则运算以及利用导数研究极值、单调性等.预测在2013年的高考题中： (1)导数的几何意义；(2)利用导数研究函数的单调性或者极值、最值. 真题再现：1．(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线的斜率为2，则点P 的坐标为_______解析：y ′＝3x 2－10＝2⇒x ＝±2，又点P 在第二象限内，故x ＝－2.点P 的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)2．(2010·江苏高考)函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝_____解析：在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y －a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2.则a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：213．若函数f (x )＝e x －2x －a 在R 上有两个零点，则实数a 的取值范围是______解析：当直线y ＝2x ＋a 和y ＝e x 相切时，仅有一个公共点，这时切点是(ln 2,2)，直线方程是y ＝2x ＋2－2ln 2，将直线y ＝2x ＋2－2ln 2向上平移，这时两曲线必有两个不同的交点．答案：(2－2ln 2，＋∞)4．(2010·江苏高考)将边长为1 m 的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S ＝(梯形的周长)2梯形的面积，则S 的最小值是______解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则S ＝(3－x )212(x ＋1)·32(1－x )＝43·(3－x )21－x 2(0<x <1)．法一：利用导数求函数最小值．S (x )＝43·(3－x )21－x 2，S ′(x )＝43·(2x －6)·(1－x 2)－(3－x )2·(－2x )(1－x 2)2＝43·－2(3x －1)(x －3)(1－x 2)2. 令S ′(x )＝0，又0<x <1，所以x ＝13.当x ∈⎝⎛⎦⎤0，13时，S ′(x )<0，函数单调递减；当x ∈⎣⎡⎭⎫13，1时，S ′(x )>0，函数单调递增； 故当x ＝13时，S 取最小值为32 33.法二：利用函数的方法求最小值．令3－x ＝t ，t ∈(2,3)，1t ∈⎝⎛⎭⎫13，12，则S ＝4 3·t 2－t 2＋6t －8＝4 3·1－8t 2＋6t －1.故当1t ＝38，x ＝13时，S 取最小值为32 33.答案：32 335．(2011·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是函数f (x )＝e x (x >0)的图象上的动点，该图象在P 处的切线l 交y 轴于点M ，过点P 作l 的垂线交y 轴于点N ，设线段MN 的中点的纵坐标为t ，则t 的最大值是____解析：设P (x 0，e x 0)，则l ：y －e x 0＝e x 0 (x －x 0)，所以M (0，(1－x 0)e x 0)．过点P 作l 的垂线其方程为 y －e x 0＝－e －x 0 (x －x 0)，N (0，e x 0＋x 0e －x 0)，所以t ＝12[(1－x 0)e x 0＋e x 0＋x 0e －x 0]＝e x 0＋12x 0(e －x 0－e x 0)．t ′＝12(e x 0＋e －x 0)(1－x 0)，所以t 在(0,1)上单调增，在(1，＋∞)上单调减，所以当x 0＝1时，t 取最大值t max。

华师大附中2012-2013学年度第二学期高三测试（二）数学（理）本试卷分选择题和非选择题两部分，满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的班别、姓名、考号填写在答题卡的密封线内。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在另发的答题卷 各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，选划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卷和答题卡一并收回．第一部分选择题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．设集合A 、B 均为数集，且{}{}12123,,,,A a a B b b b ==，则集合A Y B 中元素的个数至 多（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．已知 5.10.90.90.9, 5.1,log 5.1,m n p ===则这三个数的大小关系是（ ）A ．m n p <<B ．m p n <<C ．p m n <<D ．p n m << 3．已知直线3443x ty t=+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），则下列说法错误的是（ ）A ．直线的倾斜角为3arctan 4B ．直线必经过点11(1,)2-C ．直线不经过第二象限D ．当t=1时，直线上对应点到点（1,2）的距离为4．已知函数232,()3 2.x f x x a a ⎧⎪=⎨+-+⎪⎩[0,)(,0)x x ∈+∞∈-∞在区间（,-∞+∞）是增函数，则常数a 的取值范围是 （ ）A ．12a ≤≤B ．1,2a a ≤≥或C ．12a <<D ．1,2a a <>或5．若奇函数()()(2)1,(2)()(2),(1)f x x R f f x f x f f ∈=+=+满足则等于（ ）A ．0B ．1C ．12-D ．126．已知1x y +=，那么2223x y +的最小值是（ ）A ．56B ．65C ．2536D ．36257．函数ln 1xy e x =--的图象大致是（ ）8．定义在R 上的偶函数()f x 满足[](1)(),()0f x f x f x +=-且在－１，上是增函数，下列五个关于()f x 的命题中①()f x 是周期函数；②()f x 的图象关于1x =对称； ③()f x 在［0，1］上是增函数 ④()f x 在［1，2］上是减函数；⑤(2)(0)f f = 正确命题的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个第二部分非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．函数()1f x x =-的定义域为 .21,(0)x x -⎧-≤⎪11．在极坐标系中，若过点（4，0）且与极轴垂直的直线交曲线6cos ρθ=于A 、B 两点，则AB = .12．如下图，在直角梯形ABCD 中，AB//CD ，AB ⊥BC,AB=1，CD=3，6BC D S ∆=，则梯形ABCD 的面积为 ，点A 到BD 的距离AH= .13．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且()y f x =的图象关于直线12x =对称，则(2)(4)f f +=14．已知函数2()24(3)5f x ax a x =+-+是在区间(,3)-∞上的减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本题满分12分）设集合{}212,12x A x x a B xx -⎧⎫=-<=<⎨⎬+⎩⎭，若A ⋂B=A ，求实数a 的取值范围．16．（本题满分12分）计算222lg 5lg 8lg 5lg 20lg 2.3++⋅+17．（本题满分14分）已知2(),x f x ax b=+且方程()120f x x -+=有两个实根为13x =， 24x =（这里a 、b 为常数）. （1）求函数()f x 的解析式 （2）求函数()f x 的值域．18．（本题满分14分）某宾馆有相同标准的床位100米，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出，当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；② 该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用x 表示床价，用y 表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把y 表示成x 的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆将床位定价为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？19．（本题满分14分）已知函数()f x 的定义域为{},0x x R x ∈≠且对定义域内的任意1x 、2x ，都有1212()()(),1()0,(2) 1.f x x f x f x x f x f ⋅=+>>=且当时（1）求证：()f x 是偶函数；（2）求证：()f x 在(0,)+∞上是增函数； （3）解不等式2(21) 2.f x -<20．（本题满分14分）设函数321()(),3f x ax bx cx a b c =++<<其图象在点(1,(1)),A f(,()B m f m 处的切线的斜率分别为0，a - （1）求证：01;b a ≤<（2）若函数()f x 的递增区间为[],,s t 求s t -的取值范围．参考答案第一部分 选择题（40分） 1－5DCDAD 6－8ADC第二部分 非选择题（110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．{}4,1x x x ≤≠且. 10．(,1)(1,),-∞-⋃+∞11． 12．8；4.513．0. 14．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本题满分12分）.解：{}{}222.x x a x a x a -<=-<<+ …………3分 2112 3.2x B xx x x -⎧⎫=<=-><⎨⎬+⎩⎭………3分 因为,A B A A B ⋂=⊆即, ……………2分所以23.22a a +≤⎧⎨-≥-⎩ …………2分解得01a ≤≤，故实数a 的取值范围为［0,1］ ………2分16．（本题满分12分） 解：原式22(lg 5lg 2)lg 5(1lg 2)lg 2=++⋅++ 2l g 5(l g 5l g=+++⋅ 2l g 5l g 2=++=………3分 17．（本题满分14分）解：（1）依已知条件可知方程()120f x x -+=即为2120,xx ax b-+=+…1分因为123,4x x ==是上述方程的解，所以931203,1641204a ba b⎧-+=⎪⎪+⎨⎪-+=⎪+⎩解得12a b =-⎧⎨=⎩ …………4分 所以函数的解析式为2()2xf x x =--； ………1分（2）因为24()(2)422xf x x x x ⎡⎤=-=--++⎢⎥--⎣⎦， ………2分 当42,(2)42x x x >-+≥-时，当且仅当4x =时取等号，所以8y ≤-，…2分 当42,(2)42x x x <-+≤--时，当且仅当0x =时取等号，所以0y ≥，…3分所以函数][()0,)f x ∞⋃+∞的值域为(-,-8. …………1分 18．（本题满分14分）.解：（1）依题意有[]100575100(10)3575x y x x -⎧⎪=⎨--⨯-⎪⎩(10)(10)x x ≤>，且*x N ∈，……3分因为*0,y x N >∈，由*1005750,610,.10x x x N x ->⎧≤≤∈⎨≤⎩得 ……2分由[]10,100(10)35750x x >⎧⎪⎨--⨯->⎪⎩得*1038,,x x N <≤∈ ………2分所以函数为21005753130575x y x x -⎧=⎨-+-⎩(,610(,1038)x N a n d x x N a n d x ∈≤≤∈<≤， ……1分定义域为{}638,;x x x N ≤≤∈ ………1分（2）当10x =时，*100575(610,)y x x x N =-≤≤∈取得最大值425元，1分当10x >时，23130575y x x =-+-，仅当130652(3)3x =-=⨯-时，y 取最大值，但*2*223130575(1038,)x N x y x x x x N ∈==-+-<≤∈，所以当时，取得最大值833元， ……3分比较两种情况，可知当床位定价为22元时净收入最多．………1分 19．（本题满分14分）.解；（1）证明 因对定义域内的任意1x 、2x 都有121212()()(),,1f x x f x f x x x x ⋅=+==-令，则有()()(f x f x f -=+- ……2分 又令121,2(1)(1)x x f f ==--=得 ……1分 再令121,(1)0,(1)0,x x f f ===-=得从而 ……1分 于是有()(),()f x f x f x -=所以是偶函数． ……1分（2）设212121110()()()(.)x x x f x f x f x f x x <<-=-，则 ……1分221111()()()(),x xf x f x f f x x ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦ ………3分由于21210,1,x x x x ><>所以从而21()0x f x >， ………1分故1212()()0()(),()(0,)f x f x f x f x f x -<<+∞，即所以在上是增函数． （3）由于(2)1,211(2)(2)(4),f f f f ==+=+=所以 ……1分 于是待解不等式可化为2(21)(4)f x f -<， ………1分 结合（1）（2）已证结论，可得上式等价于 2214x -<………1分解得022x x x ⎧⎫⎪⎪-<<≠⎨⎬⎪⎪⎩⎭且． ………1分 20．（本题满分14分）.解（1）因为2()2f x ax bx c '=++ ………1分于是依题意有(1)20,f a b c '=++= ① ……1分2()2,f m a m b m c a '=++=- ② ……1分又由,a b c <<可得424a a b c c <++<，即404a c <<，所以0,0,a c <> 由①得2,c a b a b c =--<<代入再由10,1,3b a a<-<<得③ ……2分将2c a b =--代入②得2220,am bm b +-=即方程2220ax bx b +-=有实根，故其判别式2480,b ab ∆=+≥由此可得2()2()0,bbaa+≥解得2,0,b b aa≤-≥或④ ……2分由③、④即可得01b a≤<； ………1分（2）由于2()2f x ax bx c '=++的判别式2440b ac '∆=->， ……1分 所以方程220()a bx c ++=*有两个不相等的实数根，设为12,x x ， 又由(1)201f a b c '=++=1知是(*)的一个根，记x =1， ……1分 则由根与系数的关系得221b x a+=-，即21210,b x x a=--<<当2,1x x x <>或时，()0;f x '>当21x x <<时，()0f x '>， ……1分 所以函数()f x 的单调递增区间为[]2,1x 由题设[][]2,1,,x s t =……1分 因此2212,b s t x a-=-=+由（1）知01b a≤<，所以[2,4).s t -∈…1分。