(完整word版)三角函数常用积分表
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(1)特殊角三角函数值
sin0=0
sin30=0.5
sin45=0.7071 二分之根号2
sin60=0.8660 二分之根号3
sin90=1
cos0=1
cos30=0.866025404 二分之根号3
cos45=0.707106781 二分之根号2
cos60=0.5
cos90=0
tan0=0
tan30=0.577350269 三分之根号3
tan45=1
tan60=1.732050808 根号3
tan90=无
cot0=无
cot30=1.732050808 根号3
cot45=1
cot60=0.577350269 三分之根号3
cot90=0
(2)0°~90°的任意角的三角函数值,查三角函数表。(见下)
(3)锐角三角函数值的变化情况
(i)锐角三角函数值都是正值
(ii)当角度在0°~90°间变化时,
正弦值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余弦值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
正切值随着角度的增大(或减小)而增大(或减小)
余切值随着角度的增大(或减小)而减小(或增大)
(iii)当角度在0°≤α≤90°间变化时,
0≤sinα≤1, 1≥cosα≥0,
当角度在0°
tanα>0, cotα>0.
“锐角三角函数”属于三角学,是《数学课程标准》中“空间与图形”领域的重要内容。从《数学课程标准》看,中学数学把三角学内容分成两个部分,第一部分放在义务教育第三学段,第二部分放在高中阶段。在义务教育第三学段,主要研究锐角三角函数和解直角三角形的内容,本套教科书安排了一章的内容,就是本章“锐角三角函数”。在高中阶段的三角内容是三角学的主体部分,包括解斜三角形、三角函数、反三角函数和简单的三角方程。无论是从内容上看,还是从思考问题的方法上看,前一部分都是后一部分的重要基础,掌握锐角三角函数的概念和解直角三角形的方法,是学习三角函数和解斜三角形的重要准备。
初中三角函数公式表
sin( ) sin cos cos sin
sin 2ta n( /2)
sin( ) sin cos cos sin 1 tan 2( /2) cos( ) cos cos sin sin
cos( ) cos cos sin sin
cos 1 tan 2( /2
) 1 tan 2( /2
)
sin(
2 ) co
s
cos(-
2
) sin tan
( —
2
) cot
cot(
2
) tan
sin(
2
) cos
cos(—
2 )
si n
tan ( —
2 )
c
ot
cot(—)
ta n
sin( cos(
tan( cot(
sin( cos(
tan( cot( )sin
) cos
) tan
) cot
) sin
) cos
)tan
)cot
sin(—
2
) c
os
cos(—
—
2
) sin
3
tan(
2
) cot
cot(3) tan
sin(3
2
cos(3
2
tan(3
2
3
cot(—
2
) cos
)sin
) cot
) tan
sin(2 )
cos(2 )
tan(2 )
cot(2 )
(其中k € Z)
sin (2
cos(2
tan (2
cot(2
sin
cos
tan
cot
)sin
)cos
)tan
)cot 2
化asin a ± bco 一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式)
tan tan
tan ( )
1 tan tan
tan
2ta n( /2) 1 ta n2( /2)
tan(
tan tan 1 tan tan
六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,
左正右余中间1”记忆方法“对角线上两
个函数的积为1 ;阴影三角形上两顶点的
07高中数学会考复习提纲(2)(三角函数)
第四章 三角函数
1、角:(1)、正角、负角、零角:逆时针方向旋转正角,顺时针方向旋转负角,不做任何旋转零角; (2)、与α终边相同的角,连同角α在内,都可以表示为集合{Z k k ∈⋅+=,360|
αββ}
(3)、象限的角:在直角坐标系内,顶点与原点重合,始边与x 轴的非负半轴重合,角的终边落在第几象限,
就是第几象限的角;角的终边落在坐标轴上,这个角不属于任何象限。
2、弧度制:(1)、定义:等于半径的弧所对的圆心角叫做1
(2)、度数与弧度数的换算:π= 180弧度,1弧度)180( =π
(3)、弧长公式:r l ||α= (α是角的弧度数) 扇形面积:2
||2
1
21r lr S α===
3、三角函数 (1)、定义:(如图) (2)、各象限的符号: y
r
y x r x x
r
x y r y =
=====ααααααcsc cot cos sec tan sin
(3)、 特殊角的三角函数值
4、同角三角函数基本关系式
(1)平方关系: (2)商数关系: (3)倒数关系:
1cos sin 22=+αα α
α
αcos sin tan = 1cot tan =αα αα22sec tan 1=+ α
α
αsin cos cot =
1csc sin =αα αα22csc cot 1=+ 1sec cos =αα
(4)同角三角函数的常见变形:(活用“1”)
αsin
x y
+
+ _ _ O x
y
+
+
_
_ αcos
O
αtan
x
y
+ +
_
_
O
=r αsec αsin
高等数学微积分公式大全
一、基本导数公式
⑴ c
⑵ x x
1
⑶ sin x cos x
⑷ cosx sin x
⑸ tan x
sec 2 x
⑹ cot x
csc 2 x
⑺ sec x sec x tan x
⑻ csc x
csc x cot x
⑼ e x
e x
⑽ a x
a x ln a
⑾ ln x
1
x
⑿ log a x
1 ⒀ arcsin x
1 x
2 ⒁ arccos x
1
x ln a
1
1 x 2
⒂ arctan x
1 ⒃ arccot x
1 2
⒄
x
1⒅
x
1 1 x 2
1 x
2 x
二、导数的四则运算法规
u v
u
v
uv
u v uv
u u v uv
v
v
2
三、高阶导数的运算法规
( 1) u x v x
n
n
v x n
n
cu n x
u x
(2) cu x
n
n
n
( 3) u ax b
a n u n ax b
( 4) u x v x
c n k u n k x v ( k ) x
k 0
四、基本初等函数的 n 阶导数公式
( 1) x
n
n
n!
( 2) e
ax
b
n
a
n
e
ax b (3) a
x
n
a x ln n
a
(4) sin ax b
n
a n
sin ax
b n
(5)
cos ax
b n
ax
b n
2
a n cos
2
1
n
n
a n
n!
n
n 1
a n n 1 !
(6)
(7)
1 ax b
1
ax n 1
ln ax b
ax
n
b
b
五、微分公式与微分运算法规
⑴ d c 0
⑵ d x
x
1
dx
⑶ d sin x cosxdx
⑷ d cosx sin xdx ⑸ d tan x
sec 2 xdx
⑹ d
cot x
csc 2 xdx
⑺ d secx secx tan xdx
三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式
倒数关系:商的关系:平方关系:
tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1sinα/cosα=tanα
sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
(六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,
左正右余中间1”;记忆方法“对角线上两个
函数的积为1;阴影三角形上两顶点的三角函
数值的平方和等于下顶点的三角函数值的平
方;任意一顶点的三角函数值等于相邻两个
顶点的三角函数值的乘积.")
诱导公式(口诀:奇变偶不变,符号看象限。)
sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotαsin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanα
sin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinα
tan(π/2+α)=-cotα
cot(π/2+α)=-tanαsin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(2π-α)=-
高等数学公式
导数公式:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
2
22212211cos 12sin u
du
dx x tg u u u x u u x +==+-=+=, , , ex
e a a a x x x x x x x x x x x x x x x x x x
x
='='-='='-='='-='='='-)(ln )(cot csc )(csc tan sec )(sec csc )(cot sec )(tan sin )(cos cos )(sin )(221
μμμ2
11)cot (211
)(arctan 211
)(arccos 2
11
)(arcsin 1)(ln ln 1)(log
x x arc x x x x x x x
x a
x x a
+-
='+=
'--
='-=
'=
'=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x xdx C x xdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cot cos ln tan 2
高中三角函数公式大全[图]
1 三角函数的定义1.1 三角形中的定义
图1 在直角三角形中定义三角函数的示意图在直角三角形ABC,如下定义六个三角函数:
•正弦函数
•余弦函数
•正切函数
•余切函数
•正割函数
•余割函数
1.2 直角坐标系中的定义
图2 在直角坐标系中定义三角函数示意图在直角坐标系中,如下定义六个三角函数:
•正弦函数
r
•余弦函数
•正切函数
•余切函数
•正割函数
•余割函数
2 转化关系2.1 倒数关系2.2 平方关系
2 和角公式
3 倍角公式、半角公式3.1 倍角公式
3.2 半角公式
3.3 万能公式
4 积化和差、和差化积4.1 积化和差公式
证明过程
首先,sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(已证。证明过程见《和角公式与差角公式的证明》)因为sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα(正弦和角公式)
则
sin(α-β)
=sin[α+(-β)]
=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα
=sinαcosβ-sinβcosα
于是
sin(α-β)=sinαcosβ-sinβcosα(正弦差角公式)
将正弦的和角、差角公式相加,得到
sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ
则
sinαcosβ=sin(α+β)/2+sin(α-β)/2(“积化和差公式”之一)
同样地,运用诱导公式cosα=sin(π/2-α),有
cos(α+β)=
sin[π/2-(α+β)]
=sin(π/2-α-β)
=sin[(π/2-α)+(-β)]
=sin(π/2-α)cos(-β)+sin(-β)cos(π/2-α)
同角三角函数的基本关系式
倒数关系: 商的关系:平方关系:
tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 sinα/cosα=tanα=secα/cscα
cosα/sinα=cotα=cscα/secα
sin2α+cos2α=1
1+tan2α=sec2α
1+cot2α=csc2α诱导公式
sin(-α)=-sinαcos(-α)=cosαtan(-α)=-tanαcot(-α)=-cotα
sin(π/2-α)=cosαcos(π/2-α)=sinαtan(π/2-α)=cotαcot(π/2-α)=tanαsin(π/2+α)=cosαcos(π/2+α)=-sinαtan(π/2+α)=-cotαcot(π/2+α)=-tanαsin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
sin(3π/2-α)=-cosα
cos(3π/2-α)=-sinα
tan(3π/2-α)=cotα
cot(3π/2-α)=tanα
sin(3π/2+α)=-cosα
cos(3π/2+α)=sinα
tan(3π/2+α)=-cotα
cot(3π/2+α)=-tanα
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
sin(2kπ+α)=sinα
cos(2kπ+α)=cosα
基本积分表
1、⎰
+=c kx kdx
2、⎰++=+c a x dx x a a 11
3、⎰+=c x dx x
ln 1 4、⎰+=+c x dx x
arctan 112 5、⎰+=-c x dx x
arcsin 112 6、⎰
+=c x xdx sin cos 7、⎰+-=c x xdx cos sin
8、⎰⎰+==c x xdx dx x tan sec cos 12
2
9、⎰⎰+-==c x xdx dx x
cot csc sin 122 10、⎰+=c x xdx x sec tan sec
11、⎰
+-=c x xdx x csc cot csc 12、⎰+=c e dx e x x
13、⎰+=c a
a dx a x x ln 14、⎰+=c chx shxdx 其中2
x
x e e shx --=为双曲正弦函数 15、⎰+=c shx chxdx 其中2
x
x e e chx -+=为双曲余弦函数
基本积分表的扩充
16、⎰
+-=c x xdx cos ln tan
17、⎰+=c x xdx sin ln cot
18、⎰++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=⎰2
tan ln cot csc ln csc 20、⎰+=+c a x a dx x
a arctan 1122 21、⎰++-=-c a x a x a dx a
x ln 21122 22、⎰+-+=-c x
a x a a dx x a ln 21122 23、⎰
+=-c a x dx x a arcsin 122 24、⎰
基本积分表
1、⎰
+=c kx kdx
2、⎰++=+c a x dx x a a 11
3、⎰+=c x dx x
ln 1 4、⎰+=+c x dx x
arctan 112 5、⎰+=-c x dx x
arcsin 112 6、⎰
+=c x xdx sin cos 7、⎰+-=c x xdx cos sin
8、⎰⎰+==c x xdx dx x tan sec cos 12
2
9、⎰⎰+-==c x xdx dx x
cot csc sin 122 10、⎰+=c x xdx x sec tan sec
11、⎰
+-=c x xdx x csc cot csc 12、⎰+=c e dx e x x
13、⎰+=c a
a dx a x x ln 14、⎰+=c chx shxdx 其中2
x
x e e shx --=为双曲正弦函数 15、⎰+=c shx chxdx 其中2
x
x e e chx -+=为双曲余弦函数
基本积分表的扩充
16、⎰
+-=c x xdx cos ln tan
17、⎰+=c x xdx sin ln cot
18、⎰++=c x x xdx tan sec ln sec 19、c x c x x xdx +=+-=⎰2
tan ln cot csc ln csc 20、⎰+=+c a x a dx x
a arctan 1122 21、⎰++-=-c a x a x a dx a
x ln 21122 22、⎰+-+=-c x
a x a a dx x a ln 21122 23、⎰
+=-c a x dx x a arcsin 122 24、⎰
2。基本积分公式表
(1)∫0d x=C
(2)=ln|x|+C
(3)(m≠-1,x〉0)
(4)(a〉0,a≠1)
(5)
(6)∫cos x d x=sin x+C
(7)∫sin x d x=—cos x+C
(8)∫sec2x d x=tan x+C
(9)∫csc2x d x=-cot x+C
(10)∫sec x tan x d x=sec x+C
(11)∫csc x cot x d x=—csc x+C
(12)=arcsin x+C
(13)=arctan x+C
注.(1)不是在m=-1的特例.
(2)=ln|x|+C ,ln后面真数x要加绝对值,原因是(ln|x|)’ =1/x.
事实上,对x〉0,(ln|x|)’ =1/x;若x〈0,则
(ln|x|)' =(ln(—x))’ =。
(3)要特别注意与的区别:前者是幂函数的积分,后者是指数函数的积分.下面我们要学习不定积分的计算方法,首先是四则运算.
3.不定积分的四则运算
根据微分运算公式
d(f(x)±g(x))=d f(x)±d g(x)
d(kf(x))=k d f(x)
我们得不定积分的线性运算公式
(1)∫[f(x)±g(x)]d x=∫f(x)d x±∫g(x)d x
(2)∫kf(x)d x=k∫f(x)d x,k是非零常数.
现在可利用这两个公式与基本积分公式来计算简单不定积分.
例2。5。4求∫(x3+3x++5sin x-4cos x)d x
解.原式=∫x3d x+∫3x d x+7∫d x+5∫sin x d x-4∫cos x d x
初中三角函数公式表
同角三角函数的基本关系式
倒数关系
商的关系
平方关系
tan cot 1 sin sec 2
2
sin
cos1
sin csc 1 tan
csc
cos 1 2
2
cos
sec
1
cos csc tan
sec
2
2
cot
sec
sin
1 cot csc
诱导公式
sin( ) sin cos( ) cos
sin(
) sin( ) sin cos ) cos 2
cos( cos(
)
tan( ) tan sin
)
cot
2
cot(
tan(
) cot
2
cot(
) tan
2
sin(
) cos
2
sin( ) sin cos(
)
sin cos( )
cos
2
tan( ) tan tan(
)
cot cot(
) cot
2
cot(
)
tan
2
两角和与差的三角函数公式
sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos(
) cos cos
sin
sin
tan(
) tan cot( ) cot
sin(
3
) sin(2 ) sin
cos
) cos 2
cos(2 3
)
tan(2 ) tan cos(
sin
)
cot
2
cot(2
3
) cot
tan(
2
(其中 k ∈ Z)
cot(
3
) tan
2
sin(
3
)
cos
sin(2 ) sin 2
cos(2 ) cos cos(
3
) sin
tan(2 ) tan 2
3
)
cot cot(2
) cot
tan(
2
cot(
3
)
tan
2
万能公式
sin
2 tan( / 2)
tan 2( / 2)
1 1 tan 2( / 2) cos
1- x 2
⎰ ⎰ 2 ⎰ 2
1
二、基本积分表(188 页 1—15,205 页 16—24)
(1) ⎰ kdx = kx + C
(k 是常数)
x
+1
(2) ⎰ x dx =
+1
+ C , (3) 1
dx = ln | x | +C
x (u ≠ -1)
(4) dx
1+ x 2 = arl tan x + C (5) ⎰
dx
= arcsin x + C
(6) ⎰ cos xdx = sin x + C (7) ⎰sin xdx = -cos x + C (8) (9) 1
dx = tan x + C cos x 1
dx = -cot x + C sin x (10) ⎰sec x tan xdx = sec x + C (11) ⎰ csc x cot xdx = -csc x + C
(12) ⎰
e x dx = e x
+ C x
a x (13) ⎰ a dx =
ln a
+ C , (a > 0,且a ≠ 1)
(14) ⎰ shxdx = chx + C (15) ⎰ chxdx = shx + C (16) (1
6) ⎰ a 2
+ x 2 ⎰
d
x
=
1
a
r
c
t
a
n
x
+
C
a
a
2
a 2 - x 2
a 2 + x 2 x 2 - a 2 1
⎰
(17) (17)
⎰ x 2 - a 2 dx = 1 ln | x - a | +C
2a x + a (18)
1
dx = arc sin x
+ C
a
(19) ⎰
1
dx = ln(x + (20) ⎰
dx = ln | x + a 2 + x 2 ) + C
导数公式:
基本积分表:
三角函数的有理式积分:
a
x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22
=
'='⋅-='⋅='-='='2
2
22
11
)(11
)(11
)(arccos 11
)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-
='+=
'--
='-=
'⎰
⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==C
a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C
a a dx a C
x ctgxdx x C
x dx tgx x C
ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x
x
)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222
22
22
2C a
x
x a dx C x a x
a a x a dx C a x a
x a a x dx C a x
arctg a x a dx C
ctgx x xdx C tgx x xdx C
x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2
2222222⎰
⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-=
==-C
a
x a x a x dx x a C
三角函数公式表特殊角的三角函数值
数的图
像与性
质
1.
y
=x
sin(ω
A
图像变
换:
=
T
2.例:1)6
2sin(3++
=π
x y
变换一:(先平移再伸缩)1)6
2sin(2++
=π
x y
x y sin =
sin(+
=x y )6
2sin(π
+
=x y )6
2sin(3π
+
=x y 1)6
2sin(3++
=π
x y
变换二:(先伸缩再平移)1)6
2sin(2++
=π
x y
x y sin = x y 2sin = )6
2sin(π
+
=x y
)6
2sin(3π
+
=x y 1)6
2sin(3++
=π
x y
正弦定理与余弦定理 1、正弦定理:2sin a
R B ===
,
(R 为外接圆的半径);
2、余弦定理:2222cos a b c bc A =+-⋅;2b =________________;2c =__________________
变式:=A cos ______________ =B cos ______________ =C cos ______________
3、三角形面积公式:1
sin 2
S a b C =
⋅⋅=__________________=__________________
4.在以下横线处填上正负号
△ABC 中,=A sin )sin(C B +; =B sin )sin(C A +; =C sin )sin(B A +;
=A cos )cos(C B +; =B cos )cos(C A +; =C cos )cos(B A +;