2015年陕西省中考数学总复习教学案：专题四 情境应用型问题

第32讲图形的相似某某《中考说明》某某2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重图形的相似，了解线段的比、成比例线段，，知道相似多边形的对应角相等，对应边成比例，的概念；，2014解答题20 8 相似三角形的实际应用解答题23(2) 4 第2问中涉及相似三角形2013解答题20 8 相似三角形的实际应用解答题24 3二次函数与三角形结合，涉及相似三角形的性质2012选择题53相似三角形的性质解答题18(2)3相似三角形的判定和性质解答题25(1)2以三角形和正方形为基础图形，以问题探究的性质综合考查利用尺规作图、正方形性质及其最值问题，涉及到位似%本节考查内容有：，有单独考查的，如2012年第5题，，将相似三角形与实际问题结合考查，大多以考查学生对实际问题的理解及将生活问题转化为数学问题的处理能力，这也是某某中考的一个亮点，常涉及测量问题，一般出现在解答题第20题，分值为8分，对于位似虽然未单独考查过，但在解答题第25题第1问有所涉及，故考生在复习时不容忽视，预计2015年中考在选择(填空)题中考查相似三角形的性质与判定，也可能在解答题中考查相似三角形的判定及性质或实际应用．1．比和比例的有关概念(1)表示两个比相等的式子叫做__比例式__，简称比例．(2)第四比例项：若a b ＝cd或a∶b＝c∶d，那么d 叫做a ，b ，c 的__第四比例项__．(3)比例中项：若a b ＝bc或a∶b＝b∶c，那么b 叫做a ，c 的__比例中项__．(4)黄金分割：把一条线段(AB)分成两条线段，使其中较长线段(AC)是原线段(AB)与较短线段(BC)的比例中项，就叫做把这条线段__黄金分割__．即AC 2＝__AB ·BC__，AC ＝2__AB≈____两__个．2．比例的基本性质及定理 (1)a b ＝cd ⇒ad ＝bc ； (2)a b ＝c d ⇒a±b b ＝c±d d； (3)a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n≠0)⇒a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b . 3．平行线分线段成比例定理(1)三条平行线截两条直线，所得的对应线段成__比例__；(2)平行于三角形一边截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__； (3)如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成__比例__，那么这条直线平行于三角形的第三边；(4)平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例．4．相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的三角形叫做__相似三角形__． 相似比：相似三角形的对应边的比，叫做两个相似三角形的__相似比__． 5．相似三角形的判定(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)两角对应相等，两三角形相似；(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； (4)三边对应成比例，两三角形相似；(5)两个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似； (6)直角三角形中被斜边上的高分成的两个三角形都与原三角形相似． 6．相似三角形性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．7．相似三角形的实际应用(1)运用三角形相似的判定条件和性质解决实际问题的方法步骤： ①将实际问题转化为相似三角形的问题； ②找出一对相似三角形；③根据相似三角形的性质，表示出相应的量；并求解． (2)运用相似三角形的有关性质解决现实生活中的实际问题．如利用光的反射定律求物体的高度，利用影子计算建筑物的高度．同一时刻，物高与影长成正比例，有身高影长＝建筑物的高度建筑物的影长.8．射影定理：如图，△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的高，则有下列结论．(1)AC 2＝AD·AB； (2)BC 2＝BD·AB； (3)CD 2＝AD·BD； (4)AC 2∶BC 2＝AD∶BD； (5)AB·CD＝AC·BC. 9．相似多边形的性质(1)相似多边形对应角__相等__，对应边__成比例__．(2)相似多边形周长之比等于__相似比__，面积之比等于__相似比的平方__． 10．位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅__相似__，而且对应顶点的连线相交于__一点__，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做__位似中心__．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比__． (3)利用位似图形将一个图形放大或缩小，其步骤为：①确定位似中心；②确定原图形中的顶点关于位似中心的对应点；③描出新图形．两个注意(1)求两条线段的比时，对两条线段要采用同一长度单位．如果单位不同，那么必须先化成同一单位，且两条线段的比是一个实数，没有单位．(2)四条线段成比例与它们的排列顺序有关，线段a ，b ，c ，d 成比例表示成a b ＝cd ，而线段b ，a ，c ，d 成比例则表示成b a ＝cd.“三点定形”法证明比例式或等积式的方法主要有“三点定形”法：(1)横向定形：欲证AB DE ＝BCEF ，横向观察，比例式中分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶点；分母的两条线段是DE 和EF ，三个字母D ，E ，F 恰为△DEF 的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF；(2)纵向定形：欲证AB BC ＝DEEF ，纵向观察，比例式中左边的两条线段AB 和BC 中的三个字母A ，B ，C 恰为△ABC 的顶点；右边的两条线段DE 和EF 中的三个字母D ，E ，F 恰为△DEF 的三个顶点．因此只需证△ABC∽△DEF；(3)由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线、等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形，这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常常要用到中间比．四个解题技巧判定两个三角形相似的常规思考过程是：(1)先找两对对应角相等，一般这个条件比较简单；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等角的两夹边是否对应成比例； (3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例；(4)若题目出现平行线，则直接运用基本定理得出相似的三角形． 五种基本思路(1)条件中若有平行线，可采用相似三角形的基本定理；(2)条件中若有一对等角，可再找一对等角(用判定定理1)或再找夹边成比例(用判定定理2)；(3)条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；(4)条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； (5)条件中若有等腰三角形，可找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰对应成比例．1．(2012·某某)如图，在△ABC 中，AD ，BE 是两条中线，则S △EDC ∶S △ABC ( D )A ．1∶2B ．2∶3C ．1∶3D ．1∶42．(2014·某某)某一天，小明和小亮来到一河边，想用遮阳帽和皮尺测量这条河的大致宽度，两人在确保无安全隐患的情况下，现在河岸边选择了一点B(点B 与河对岸岸边上的一棵树的底部点D 所确定的直线垂直于河岸)．①小明在B 点面向树的方向站好，调整帽檐，使视线通过帽檐正好落在树的底部点D 处，如图所示，这时小亮测的小明眼睛距地面的距离AB ＝；②小明站在原地转动180°后蹲下，并保持原来的观察姿态(除身体重心下移外，其他姿态均不变)，这时视线通过帽檐落在了DB 延长线上的点E 处，此时小亮测得BE ＝，小明的眼睛距地面的距离CB ＝．根据以上测量过程及测量数据，请你求出河宽BD 是多少米？解：由题意得，∠BAD ＝∠BCE，∵∠ABD ＝∠CBE＝90°，∴△BAD ∽△BCE ，∴BD BE ＝ABCB ，即BD 9.6＝1.71.2，解得BD ＝米．答：河宽BD 是3．(2013·某某)一天晚上，李明和X 龙利用灯光下的影子来测量一路灯D 的高度，如图，当李明走到点A 处时，X 龙测得李明直立身高AM 与其影子长AE 正好相等，接着李明沿AC 方向继续向前走，走到点B 处时，李明直立时身高BN 的影子恰好是线段AB ，并测得AB ＝1.25 m ．已知李明直立时的身高为1.75 m ，求路灯的高CD 的长．(结果精确到0.1 m )解：如图，设CD 长为x m ，∵AM ⊥EC ，CD ⊥EC ，BN ⊥EC ，EA ＝MA ，∴MA ∥CD ，BN ∥CD ，∴EC ＝CD ＝x ，∴△ABN ∽△ACD ，∴BN CD ＝AB AC ，即1.75x ＝ 1.25x －1.75，，所以路灯高CD 约为相似三角形综合问题【例1】 (2014·某某)如图，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，弦ED⊥A B 于点F ，交BC 于点G ，过点C 的直线与ED 的延长线交于点P ，PC ＝PG.(1)求证：PC 是⊙O 的切线；(2)当点C 在劣弧AD 上运动时，其他条件不变，若BG 2＝BF ·BO.求证：点G 是BC 的中点；(3)在满足(2)的条件下，AB ＝10，ED ＝46，求BG 的长．解：(1)证明：连OC ，如图，∵ED ⊥AB ，∴∠FBG ＋∠FGB＝90°，又∵PC ＝PG ，∴∠1＝∠2，而∠2＝∠FGB，∠4＝∠FBG，∴∠1＋∠4＝90°，即OC ⊥PC ，∴PC 是⊙O 的切线(2)证明：连OG ，如图，∵BG 2＝BF·BO，即BG∶BO＝BF∶BG，而∠FBG＝∠GBO，∴△BGO ∽△BFG ，∴∠OGB ＝∠BFG＝90°，即OG ⊥BG ，∴BG ＝CG ，即点G 是BC 的中点 (3)解：连OE ，如图，∵ED ⊥AB ，∴FE ＝FD ，而AB ＝10，ED ＝46，∴EF ＝26，OE ＝5，在Rt △OEF 中，OF ＝OE 2－EF 2＝52－（26）2＝1，∴BF ＝5－1＝4，∵BG 2＝BF·BO，∴BG 2＝BF·BO ＝4×5，∴BG ＝2 5【点评】 本题考查了切线的判定、垂径定理、勾股定理以及三角形相似的判定与性质等知识的综合运用．1．(2014·某某)课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC ，它的边BC ＝120 mm ，高AD ＝80 mm .要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB ，AC 上．问加工成的正方形零件的边长是多少毫米？小颖解得此题的答案为48 mm ，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．(1)如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图①，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少毫米？请你计算．(2)如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．解：(1)设矩形的边长PN ＝2y mm ，则PQ ＝y mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC ＝AE AD ，即2y 120＝80－y 80，解得y ＝2407，∴PN ＝2407×2＝4807(mm )，答：这个矩形零件的两条边长分别为2407mm ，4807mm (2)设PN ＝x mm ，由条件可得△APN∽△ABC，∴PN BC ＝AE AD ，即x 120＝80－PQ 80，解得PQ ＝80－23x.∴S＝PN·PQ＝x(80－23x)＝－23x 2＋80x ＝－23(x －60)2＋2 400，∴S 的最大值为2 400 mm 2，此时PN ＝60 mm ，PQ ＝80－23×60＝40(mm )相似三角形的实际应用【例2】 我们知道当人的视线与物体表面互相垂直时的视觉效果最佳．如图是小明站在距离墙壁处观察装饰画时的示意图，此时小明的眼睛与装饰画底部A 处于同一水平线上，视线恰好落在装饰画中心位置E 处，且与AD 垂直．已知装饰画的高度AD 为．求：(1)装饰画与墙壁的夹角∠CAD 的度数(精确到1°)；(2)装饰画顶部到墙壁的距离DC(精确到)．，∴AE ＝12，在Rt △ABE 中，∵sin ∠ABE ＝AE AB ＝0.331.6，∴∠ABE ≈12°，∵∠CAD ＋∠DAB＝90°，∠ABE ＋∠DAB＝90°，∴∠CAD ＝∠ABE＝12°.∴镜框与墙壁的夹角∠CAD 的度数约为12° (2)∵∠CAD＝∠ABE，∠ACD ＝∠AEB＝90°，∴△ACD ∽△BEA ，∴CD AE ＝AD AB ，∴CD0.33＝0.661.6，∴CD ≈0.14.∴镜框顶部到墙壁的距离CD 约是【点评】 本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2．(2014·某某)在同一时刻两根木竿在太阳光下的影子如图所示，其中木竿AB ＝2 m ，它的影子BC ＝1.6 m ，木竿PQ 的影子有一部分落在了墙上，PM ＝1.2 m ，MN ＝0.8 m ，则木竿PQ 的长度为____m .试题 如图，在Rt △ABC 与Rt △ADC 中，∠ACB ＝∠ADC ＝90°，AC ＝6，AD ＝2，问：当AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似？错解 在Rt △ADC 中，∵AC ＝6，AD ＝2，∴CD ＝AC 2－AD 2＝ 2.要使这两个三角形相似，有AC AD ＝AB AC ，∴AB ＝AC 2AD ＝（6）22，这两个直角三角形相似．剖析 (1)此题中，Rt △ABC 与Rt △ADC 中，∠ACB ＝∠ADC＝90°，∠B 可能与∠ACD 相等，也可能与∠CAD 相等，，有两种情况需要分类讨论．(2)分类讨论在几何中的应用也很广泛，可以说整个平面几何的知识结构贯穿了分类讨论的思想方法．(3)在解题过程中，不仅要掌握问题中的条件与结论，还要在推理的过程中不断地发现题目中的隐含条件，以便全面、正确、迅速地解决问题．忽视已知条件，实质上是对概念理解不详、把握不准的表现．正解 在Rt △ADC 中，∵AC ＝6，AD ＝2，∴CD ＝AC 2－AD 2＝ 2.要使这两个三角形相似，有AC AD ＝AB AC 或AC CD ＝AB AC ，∴AB ＝AC 2AD ＝（6）22＝3，或AB ＝AC 2CD ＝（6）22＝3 2.故当AB 的长为3或32时，这两个直角三角形相似．。

第22讲 平行四边形(含多边形)三角形的相似结合考查，有时会在二次函数综合题中涉及平行四边形的性质，多边形的性质在2014年考查过一次，预计2015年中考对本部分内容可能会考查以下内容：1.平行四边形的性质与判定；2.多边形及平面图形的镶嵌，对平行四边形的性质与判定的考查题型仍会以解答题为主，对多边形及平面图形的镶嵌可能会以选择或填空题进行考查，难度不会太大．1．n 边形、四边形的性质、平面图形的镶嵌(1)n 边形的内角和为__(n －2)·180°__，外角和为__360°__，对角线条数为__n （n －3）2__．(2)四边形的内角和为__360°__，外角和为__360°__，对角线条数为__2__．(3)正多边形的定义：各条边都__相等__，且各内角都__相等__的多边形叫正多边形． 正(2n －1)边形是轴对称图形，对称轴有__2n －1__条；正2n 边形既是轴对称图形又是中心对称图形．(4)平面图形的镶嵌①定义：把形状、大小相同的一种或几种平面图形拼接到一起，使得平面上不留空隙，又不重叠，这就是平面图形的镶嵌．②用同一种多边形可以镶嵌的有正三角形，正方形，正六边形等；也可用几种不同的多边形进行镶嵌．③正多边形镶嵌问题的关键是几个多边形的同一顶点的几个角，它们的和等于__360°__．注意：通过正多边形的镶嵌问题，进而理解正三角形、正方形、正六边形乃至任意三角形，任意四边形都能进行平面镶嵌的道理．发现拼成一个不留空隙又不重叠的平面图形的关键是几个多边形的同一个顶点的几个角，它们的和等于360°.2．平行四边形的性质以及判定 (1)性质：①平行四边形两组对边分别__平行且相等__； ②平行四边形对角__相等__，邻角__互补__；③平行四边形对角线__互相平分__； ④平行四边形是__中心__对称图形． (2)判定方法：①定义：__两组对边分别平行__的四边形是平行四边形； ②__一组对边平行且相等__的四边形是平行四边形； ③__两组对边分别相等__的四边形是平行四边形； ④__两组对角分别相等__的四边形是平行四边形； ⑤__对角线互相平分__的四边形是平行四边形． 3．三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．一个方法面积法：在三角形和平行四边形中，运用“等积法”进行求解，以不同的边为底，其高也不相同，但面积是定值，从而得到不同底和高的关系．一个防范图形的直观性可帮助探求解题思路，但也可能因直观判断失误或用直观判断代替严密推理，造成解题失误．一定要对所有直观判断加以证明，不可以用直观判断代替严密的推理．四个误区误区一：一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形； 误区二：一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形；误区三：一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； 误区四：一组对角相等，一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形． 四种辅助线(1)常用连对角线的方法把四边形问题转化为三角形的问题； (2)有平行线时，常作平行线构造平行四边形；(3)有中线时，常作加倍中线构造平行四边形；(4)图形具有等邻边特征时(如：等腰三角形、等边三角形、菱形、正方形等)，可以通过引辅助线把图形的某一部分绕等邻边的公共端点旋转到另一位置．(2012·陕西)如图，在▱ABCD 中，∠ABC 的平分线BF 分别与AC ，AD 交于点E ，F. (1)求证：AB ＝AF ；(2)当AB ＝3，BC ＝5时，求AEAC的值．解：(1)如图，在▱ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠2＝∠3.∵BF 是∠ABC 的平分线，∴∠1＝∠2，∴∠1＝∠3，∴AB ＝AF (2)∵∠AEF ＝∠CEB ，∠2＝∠3，∴△AEF ∽△CEB ，∴AE EC ＝AF BC ＝AB BC ＝35，∴AE AC ＝38平行四边形的判定【例1】 (2014·徐州)如图，在平行四边形ABCD 中，点E ，F 在AC 上，且AE ＝CF. 求证：四边形BEDF 是平行四边形．解：证明：如图，连接BD，设对角线交于点O.∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA ＝OC，OB＝OD.∵AE＝CF，OA－AE＝OC－CF，∴OE＝OF.∴四边形BEDF是平行四边形【点评】探索平行四边形成立的条件，有多种方法判定平行四边形：①若条件中涉及角，考虑用“两组对角分别相等”或“两组对边分别平行”来证明；②若条件中涉及对角线，考虑用“对角线互相平分”来说明；③若条件中涉及边，考虑用“两组对边分别平行”或“一组对边平行且相等”来证明，也可以巧添辅助线，构建平行四边形．1．(2013·鞍山)如图，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE.求证：(1)△AFD≌△CEB；(2)四边形ABCD是平行四边形．证明：(1)∵DF∥BE，∴∠DFE＝∠BEF，∴∠DFA＝∠BEC.又∵AF＝CE，DF＝BE，∴△AFD≌△CEB(SAS)(2)由(1)知△AFD≌△CEB，∴∠DAC＝∠BCA，AD＝BC，∴AD ∥BC，∴四边形ABCD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)运用平行四边形的性质进行推理论证【例2】(2014·聊城)如图，四边形ABCD是平行四边形，作AF∥CE，BE∥DF，AF 交BE与G点，交DF与F点，CE交DF于H点，交BE于E点．求证：△EBC≌△FDA.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵AF∥CE，BE∥DF，∴四边形BHDK和四边形AMCN是平行四边形，∴∠FAD＝∠ECB，∠ADF＝∠EBC，在△EBC 和△FDA 中，⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧∠EBC ＝∠ADF ，BC ＝AD ，∠BCE ＝∠DAF ，∴△EBC ≌△FDA(ASA )【点评】 利用平行四边形的性质，可以证角相等、线段相等，其关键是根据所要证明的全等三角形，选择需要的边、角相等条件；也可以证明相关联的四边形是平行四边形．2．(2013·宁夏)在▱ABCD 中，P 是AB 边上的任意一点，过P 点作PE ⊥AB ，交AD 于E ，连接CE ，CP ，已知∠A ＝60°.(1)若BC ＝8，AB ＝6，当AP 的长为多少时，△CPE 的面积最大，并求出面积的最大值； (2)试探究当△CPE ≌△CPB 时，▱ABCD 的两边AB 与BC 应满足什么关系？解：(1)延长PE 交CD 的延长线于F ，设AP ＝x ，△CPE 的面积为y ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ＝DC ＝6，AD ＝BC ＝8，∵Rt △APE ，∠A ＝60°，∴∠PEA ＝30°，∴AE ＝2x ，PE ＝3x ，在Rt △DEF 中，∠DEF ＝∠PEA ＝30°，DE ＝AD －AE ＝8－2x ，∴DF ＝12DE ＝4－x ，∵AB ∥CD ，PF ⊥AB ，∴PF ⊥CD ，∴S △CPE ＝12PE·CF ，即y ＝12×3x ×(10－x)＝－32x 2＋53x ，配方得：y ＝－32(x －5)2＋2532，当x＝5时，y 有最大值为2532，即AP 的长为5时，△CPE 的面积最大，最大面积为2532(2)当△CPE ≌△CPB 时，有BC ＝CE ，∠B ＝∠PEC ＝120°，∴∠CED ＝180°－∠AEP －∠PEC ＝30°，∵∠ADC ＝120°，∴∠ECD ＝∠CED ＝180°－120°－30°＝30°，∴DE＝CD ，即△EDC 是等腰三角形，过D 作DM ⊥CE 于M ，则CM ＝12CE ，在Rt △CMD 中，∠ECD ＝30°，∴cos 30°＝CM CD ＝32，∴CM ＝32CD ，∴CE ＝3CD ，∵BC＝CE ，AB ＝CD ，∴BC ＝3AB ，则当△CPE ≌△CPB 时，BC 与AB 满足的关系为BC ＝3AB三角形中位线定理【例3】(2013·鞍山)如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E，F，G，H分别是AB，AC，CD，BD的中点，则四边形EFGH的周长是__11__.【点评】当已知三角形一边中点时，可以设法找出另一边的中点，构造三角形中位线，进一步利用三角形的中位线定理，证明线段平行或倍分问题．3．(2014·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，DE⊥AC于点E.∠A ＝30°，AB＝8，则DE的长度是__2__．试题如图，已知六边形ABCDEF的六个内角均为120°，CD＝10 cm，BC＝8 cm，AB＝8 cm，AF＝5 cm，求此六边形的周长．错解解：如图，连接EB，DA，FC，分别交于点M，N，P.∵∠FED＝∠EDC＝120°，∴∠DEM＝∠EDM＝60°，∴△DEM是等边三角形．同理，△MAB，△NFA也是等边三角形．∴FN＝AF＝5，MA＝AB＝8.∵∠EFA＝120°，∴∠EFC＝60°，∴ED∥FC，同理，EF∥DN.∴四边形EDNF是平行四边形．同理，四边形EMAF也是平行四边形，∴ED＝FN＝5，EF＝MA＝8.∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋5＋8＋5＝44(cm)．剖析上述解法最根本的错误在于多边形的对角线不是角平分线，从证明的一开始，由∠FED＝∠EDC＝120°得到∠DEM＝∠EDM＝60°的这个结论就是错误的，所以后面的推理就没有依据了，请注意对角线与角平分线的区别，只有菱形和正方形的对角线才有平分一组对角的特性，其他的不具有这一性质．不可凭直观感觉就以为对角线AD，BE平分∠CDE，∠DEF.切记：视觉不可代替论证，直观判断不能代替逻辑推理．正解解：如图，分别延长ED，BC交于点M，延长EF，BA交于点N.∵∠EDC＝∠DCB＝120°，∴∠MDC＝∠MCD＝60°，∴∠M＝60°，∴△MDC是等边三角形．∵CD＝10，∴MC＝DM＝10.同理，△ANF也是等边三角形，AF＝AN＝NF＝5.∵AB＝BC＝8，∴NB ＝8＋5＝13，BM＝8＋10＝18.∵∠E＝120°，∠E＋∠M＝180°，∴EN∥MB.∴四边形EMBN是平行四边形，∴EN＝BM＝18，EM＝NB＝13，∴EF＝EN－NF＝18－5＝13，ED ＝EM－DM＝13－10＝3，∴六边形ABCDEF的周长＝AB＋BC＋CD＋DE＋EF＋FA＝8＋8＋10＋3＋13＋5＝47(cm)．。

中考数学新情境应用问题复习导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址第二轮复习五新情境应用问题Ⅰ、综合问题精讲：以现实生活问题为背景的应用问题，是中考的热点，这类问题取材新颖，立意巧妙，有利于对考生应用能力、阅读理解能力。

问题转化能力的考查，让考生在变化的情境中解题，既没有现成的模式可套用，也不可能靠知识的简单重复来实现，更多的是需要思考和分析，新情境应用问题有以下特点：（1）提供的背景材料新，提出的问题新；（2）注重考查阅读理解能力，许多中考试题中涉及的数学知识并不难，但是读懂和理解背景材料成了一道“关”；（3）注重考查问题的转化能力．解应用题的难点是能否将实际问题转化为数学问题，这也是应用能力的核心.Ⅱ、典型例题剖析【例1】如图（8），在某海滨城市o附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的东偏南70°方向200千米的海面P处，并以20千米/时的速度向西偏北25°的PQ的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米；又台风中心移动t小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到千米.当台风中心移动到与城市o距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．解：100；（2）；⑶作于点H，可算得（千米），设经过t小时时，台风中心从P移动到H，则，算得（小时），此时，受台风侵袭地区的圆的半径为：（千米）＜141（千米）∴城市o不会受到侵袭。

点拨：对于此类问题常常要构造直角三角形．利用三角函数知识来解决，也可借助于方程．【例2】如图2－1－5所示，人民海关缉私巡逻艇在东海海域执行巡逻任务时，发现在其所处位置o点的正北方向10海里外的A点有一涉嫌走私船只正以24海里／时的速度向正东方向航行，为迅速实施检查，巡逻艇调整好航向，以26海里／时的速度追赶，在涉嫌船只不改变航向和航速的前提下，问：⑴需要几小时才能追上⑵确定巡逻艇的追赶方向（精确到0．1°）．解：设需要t小时才能追上，则AB=24t，oB=26t．（l）在Rt△AoB中，oB2=oA2+AB2，即（26t）2=102+（24t）2解得t=±l，t=－1不合题意，舍去，t=l，即需要1小时才能追上．（2）在Rt△AoB中，因为sin∠AoB=ABoB=24t26t=1213≈0.9231，所以∠AoB≈67．4°，即巡逻艇的追赶方向为北偏东67．4°．点拨：几何型应用题是近几年中考热点，解此类问题的关键是准确读图．【例3】某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞。

专题一选择题解题方法一、中考专题诠释选择题是各地中考必考题型之一，选择题的数目增加到8题，这说明选择题有它不可替代的重要性.选择题具有题目小巧，答案简明；适应性强，解法灵活；概念性强、知识覆盖面宽等特征，它有利于考核学生的基础知识，有利于强化分析判断能力和解决实际问题的能力的培养.二、解题策略与解法精讲选择题解题的基本原则是：充分利用选择题的特点，小题小做，小题巧做，切忌小题大做.解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四个选择支中有且仅有一个是正确的，又不要求写出解题过程. 因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取，这是解选择题的基本策略. 具体求解时，一是从题干出发考虑，探求结果；二是题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件. 事实上，后者在解答选择题时更常用、更有效.三、中考典例剖析考点一：直接法从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而作出选择的一种方法。

运用此种方法解题需要扎实的数学基础.例1根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为（）x -2 0 1y 3 p 0A．1 B．-1 C．3 D．-3对应训练1．若y=(a+1)x a2-2是反比例函数，则a的取值为（）A．1 B．-l C．±l D．任意实数考点二：筛选法（也叫排除法、淘汰法）分运用选择题中单选题的特征，即有且只有一个正确选择支这一信息，从选择支入手，根据题设条件与各选择支的关系，通过分析、推理、计算、判断，对选择支进行筛选，将其中与题设相矛盾的干扰支逐一排除，从而获得正确结论的方法。

使用筛选法的前提是“答案唯一”，即四个选项中有且只有一个答案正确.例2 如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．对应训练2．如图，已知A、B是反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)上的两点，BC∥x轴，交y轴于C，动点P从坐标原点O出发，沿O→A→B→C匀速运动，终点为C，过运动路线上任意一点P作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，设四边形OMPN的面积为S，P点运动的时间为t，则S关于t的函数图象大致是（）A．B．C．D．考点三：逆推代入法将选择支中给出的答案或其特殊值，代入题干逐一去验证是否满足题设条件，然后选择符合题设条件的选择支的一种方法. 在运用验证法解题时，若能据题意确定代入顺序，则能较大提高解题速度.例3下列四个点中，在反比例函数y＝−6x的图象上的是（）对应训练3．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为（）A．y=2x B．y=-2x C．y＝12x D．y＝−12x考点四：直观选择法利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确答案的方法。

第9讲不等式与不等式组陕西《中考说明》陕西2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1不等式(组)的解法1.探索不等式的基本性质；2.会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集；3.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集2014 选择题 5 3 解一元一次不等式组以及在数轴上表示解集2013 选择题 4 3 解一元一次不等式组1.7%考点2不等式的实际应用1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的2012 填空题14 3一元一次不等式的实际应用0.8%意义；2.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次不等式，解决简单的问题从上表分析可知，陕西省连续三年都对本节知识进行了考查，考查的主要知识点为：1.一元一次不等式组的解法以及在数轴上表示解集；2.一元一次不等式组的解法；3.一元一次不等式的应用，题型为选择或填空题，分值为3分，难度不大，2014年陕西中考说明中删除了对不等式组的应用的考查，因此在复习中，不等式组的应用不作为重点．预计在2015年的中考中，对于不等式组的解法可能会在选择或填空中考查，也可能会考查解集在数轴上的表示．1．定义(1)用__不等号__连接起来的式子叫做不等式；(2)使不等式成立的未知数的值叫做__不等式的解__；(3)一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做__不等式的解集__； (4)求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式． 2．不等式的基本性质(1)不等式两边都__加上(或减去)__同一个数或同一个整式，不等式仍然成立；若a ＞b ，则a±c ＞b±c.(2)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__正数__，不等式仍然成立；若a ＞b ，c ＞0，则ac ＞bc ，a c ＞bc.(3)不等式两边都__乘(或除以)__同一个__负数__，改变不等号的方向，改变后不等式仍能成立；若a ＞b ，c ＜0，则ac ＜bc ，a c ＜bc.3．解一元一次不等式(1)定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，且不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式；(2)一般步骤：去分母、__去括号__、移项、__合并同类项__、系数化为1；(注意不等号方向是否改变)(3)解集在数轴上的表示x<ax>a x ≤a x ≥a4.不等式的应用(1)列不等式解应用题的基本步骤：①__审题__；②__设元__；③找出能够包含未知数的__不等量关系__；④__列出不等式(组)__；⑤__解不等式(组)__；⑥在不等式的解中找出符合题意的未知数的值；⑦写出答案．(2)列不等式解应用题涉及的题型常与方案设计型问题相联系，如最大利润、最优方案等．一般所求问题有“至少”“最多”“不低于”“不大于”“不小于”等词，要能理解这些词的含义．注：表示不等关系的关键词与不等号的对应情况：“至少”―→“≥”，“至多”―→“≤”，“不低于”―→“≥”，“不高于”―→“≤”，“不小于”―→“≥”，“不大于”―→“≤”．5．解不等式组(1)一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集；(2)几种常见的不等式组的解集(a<b ，且a 、b 为常数)：不等式组(a<b)图示解集 口诀 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x ≥b x ≥b 同大取大 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a x ≤b x ≤a 同小取小 ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a x ≤ba ≤x ≤b大小、小大中间找⎩⎪⎨⎪⎧x ≤a x ≥b无解小小、大大找不到正确使用空心圆圈“。

第2讲整式及其运算某某《中考说明》某某2012～2014年中考试题分析考点归纳考试要求年份题型题号分值考查内容分值比重考点1整式的相关概念，，找到所需要的公式，————————————考点2乘法公式1.了解乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2的几何背景，并能进行简单计算；2.会推导乘法公式(a＋b)(a－b)＝a2－b2，(a±b)2＝a2±2ab＋b2————————————考点3整式的运算1.会进行简单的整式加、减运算；2.会进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式相乘)2012 选择题 3 3 积的乘方%题，必须牢固掌握幂的运算的方法．由上表可知，我省近三年的中考试题中有关整式及其运算的考查明显有所淡化，在2013年和2014的中考中虽然未考查到，但由于其是中考需要掌握的知识，因此在2015年可能会考查到其相关知识，因此在复习中也不容忽视．1．代数式及求值(1)概念：用__基本运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方等)__把数或表示数的__字母__连接而成的式子叫代数式．单独的一个数或一个字母也是代数式；(2)列代数式：找出数量关系，用表示数的字母将它数学化的过程；(3)代数式的值：用__具体数__代替代数式中的字母，按运算顺序计算出的结果叫代数式的值；(4)代数式求值的步骤：(1)代入数值(注意利用整体代入思想，简化运算)；(2)计算．2．单项式：由__数与字母__或__字母与字母__相乘组成的代数式叫做单项式，所有字母指数的和叫做__单项式的次数__，数字因数叫做__单项式的系数__．单独的数、字母也是单项式．3．多项式：由几个__单项式相加__组成的代数式叫做多项式，多项式里次数最高的项的次数叫做这个__多项式的次数__，其中不含字母的项叫做__常数项__．4．整式：__单项式和多项式__统称为整式．5．同类项：多项式中所含__字母__相同并且__相同字母的指数__也相同的项，叫做同类项；所有的常数项都是同类项．6．幂的运算法则(1)同底数幂相乘：__a m·a n＝a m＋n(m，n都是整数，a≠0)__；(2)幂的乘方：__(a m)n＝a mn(m，n都是整数，a≠0)__；(3)积的乘方：__(ab)n＝a n·b n(n是整数，a≠0，b≠0)__；(4)同底数幂相除：__a m÷a n＝a m－n(m，n都是整数，a≠0)__．7．整式加减整式加减的实质是合并同类项．把多项式中同类项的系数相加，合并为一项，叫做合并同类项，其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的__指数__都不变．8．整式乘法单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数一起作为积的一个因式．单项式乘多项式：m(a＋b)＝__ma＋mb__；多项式乘多项式：(a＋b)(c＋d)＝__ac＋ad＋bc＋bd__.9．乘法公式(1)平方差公式：__(a＋b)(a－b)＝a2－b2__；(2)完全平方公式：__(a±b)2＝a2±2ab＋b2__．10．整式除法单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式．多项式除以单项式，将这个多项式的每一项分别除以这个单项式，然后把所得的商相加．一座“桥梁”用字母表示数是从算术过渡到代数的桥梁，是后续学习的基础，用字母表示数能够简明地表示出事物的规律及本质特征．只有借助字母，才能把一些数量规律及数量更简洁、准确地表示出来．用字母表示数：(1)注意字母的确定性；(2)注意字母的任意性；(3)注意字母的限制性．二种思维方法法则公式既可正向运用，也可逆向运用．逆向运用和灵活变式运用既可简化计算，又能进行较复杂的代数式的大小比较．当直接计算有较大困难时，考虑逆向运用，可起到化难为易的功效．三种数学思想(1)观察、比较、归纳、猜想的数学思想观察才能获取大量信息，成为智慧的源泉，比较才能发现信息的异同；通过归纳使共同点浮出水面，总结归纳的结果获得猜想、有所发现，这就是归纳的思想，也是数学发现的重要方法．(2)整体思想在进行整式运算或求代数式值时，若将注意力和着眼点放在问题的整体结构上，把一些紧密联系的代数式作为一个整体来处理．借助“整体思想”，可以拓宽解题思路，收到事半功倍之效．整体思想最典型的是应用于乘法公式中，公式中的字母a和b不仅可以表示单项式，也可以表示多项式，如(x －2y ＋z)(x ＋2y －z)＝[x －(2y －z)][x ＋(2y －z)]＝x 2－(2y －z)2＝x 2－4y 2＋4yz －z 2.(3)数形结合思想在列代数式时，常常能遇到另外一种类型的题：给你提供一定的图形，通过对图形的观察探索，搜集图形透露的信息，并根据相关的知识去列出相应的代数式，也能用图形验证整式的乘法和乘法公式．(2012·某某)计算(－5a 3)2的结果是( D )A ．－10a 5B ．10a 6C ．－25a 5D ．25a 6同类项的概念及合并同类项【例1】 若－4x ay ＋x 2y b＝－3x 2y ，则a ＋b ＝__3__．【点评】 (1)判断同类项时，看字母和相应字母的指数，与系数无关，也与字母的相关位置无关，两个只含数字的单项式也是同类项；(2)只有同类项才可以合并．1．(1)(2012·某某)已知12x n －2m y 4与－x 3y 2n 是同类项，则(mn)2010的值为( C )A ．2010B ．－2010C ．1D ．－1(2)(2014·某某)化简－5ab ＋4ab 的结果是( D )A ．－1B ．aC ．bD ．－ab整式的混合运算及求值【例2】 (2014·某某)先化简，再求值：a(a －3b)＋(a ＋b)2－a(a －b)，其中a ＝1，b ＝－12.解：原式＝a 2－3ab ＋a 2＋2ab ＋b 2－a 2＋ab ＝a 2＋b 2＝1＋14＝54【点评】 注意多项式乘多项式的运算中要做到不重不漏，应用乘法公式进行简便计算，另外去括号时，要注意符号的变化，最后把所得式子化简，即合并同类项，再代值计算．2．(2012·某某)化简2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]，若m 是任意整数，请观察化简后的结果，你发现原式表示一个什么数？解：2[(m －1)m ＋m(m ＋1)][(m －1)m －m(m ＋1)]＝2(m 2－m ＋m 2＋m)(m 2－m －m 2－m)＝－8m 3.原式＝(－2m)3，表示3个－2m 相乘，或者说是一个立方数，8的倍数等乘法公式【例3】 (2013·义乌)如图①，从边长为a 的正方形纸片中剪去一个边长为b 的小正方形，再沿着线段AB 剪开，把剪成的两X 纸片拼成如图②的等腰梯形．(1)设图①中阴影部分面积为S 1，图②中阴影部分面积为S 2，请直接用含a ，b 的代数式表示S 1和S 2；(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式．解：(1)S 1＝a 2－b 2；S 2＝12(2b ＋2a)(a －b)＝(a ＋b)(a －b) (2)(a ＋b)(a －b)＝a 2－b 2【点评】 (1)在利用完全平方公式求值时，通常用到以下几种变形： ①a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ； ②a 2＋b 2＝(a －b)2＋2ab ； ③(a ＋b)2＝(a －b)2＋4ab ； ④(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab.注意公式的变式及整体代入的思想．(2)算式中的局部直接使用乘法公式、简化运算，任何时候都要遵循先化简，再求值的原则．3．(1)整式A 与m 2－2mn ＋n 2的和是(m ＋n)2，则A ＝__4mn__. (2)(2014·某某)已知多项式A ＝(x ＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3. ①化简多项式A ；②若(x＋1)2＝6，求A的值．解：①A＝(x＋2)2＋(1－x)(2＋x)－3＝x2＋4x＋4＋2－2x＋x－x2－3＝3x＋3②(x＋1)2＝6，则x＋1＝±6，∴A＝3x＋3＝3(x＋1)＝±3 6试题计算①x3·x5；②x4·x4；③(a m＋1)2；④(－2a2·b)2；⑤(m－n)6÷(n－m)3.错解①x3·x5＝x3×5＝x15；②x4·x4＝2x4；③(a m＋1)2＝a2m＋1；④(－2a2·b)2＝－22a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(m－n)6－3＝(m－n)3.剖析幂的四种运算(同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除)是学习整式乘除的基础，对幂运算的性质理解不深刻，记忆不牢固，往往会出现这样或那样的错误．针对具体问题要分清问题所对应的基本形式，以便合理运用法则，对符号的处理，应特别引起重视．正解①x3·x5＝x3＋5＝x8；②x4·x4＝x4＋4＝x8；③(a m＋1)2＝a(m＋1)×2＝a2m＋2；④(－2a2·b)2＝(－2)2a4b2＝4a4b2；⑤(m－n)6÷(n－m)3＝(n－m)6÷(n－m)3＝(n－m)3.。

第8讲 列方程(组)解应用题化，虽然近三年对本节的内容未考查到，但由于其是中考需要掌握的内容，而且曾在2011年第14题考查了一元一次方程的实际应用，涉及商品销售打折问题，题型为填空题，分值为3分，因此在2015年的中考试题可能会考查到其相关知识，因此在复习中不容忽视．1．列方程(组)解应用题的一般步骤 (1)__审题__； (2)__设元__；(3)找出包含未知数的__等量关系__； (4)__列出方程(组)__；(5)__求出方程(组)的解__； (6)__检验并作答__．2．各类应用题的等量关系(1)行程问题：路程＝速度×时间； 相遇问题：两者路程之和＝全程；追及问题：快者路程＝慢者先走路程(或相距路程)＋慢者后走路程． (2)工程问题：工作量＝工作效率×工作时间． (3)几何图形问题：面积问题：S 长方形＝ab(a ，b 分别表示长和宽)； S 正方形＝a 2(a 表示边长)； S 圆＝πr 2(r 表示圆的半径)；注：面积问题常见形式归纳如下：①如图1所示的矩形ABCD 长为a ，宽为b ，空白部分宽一样为x ，则阴影的面积表示为(a －2x)(b －2x)．②如图2所示的矩形ABCD 长为b ，宽为a ，阴影道路的宽为x ，则4块空白部分的面积为(a －x)(b －x)．③如图3所示的矩形ABCD 长为b ，宽为a ，阴影道路的宽为x ，则空白部分面积的和可以转化为(a －x)(b －x)．体积问题：V 长方体＝abh(a ，b ，h 分别表示长、宽、高)； V 正方体＝a 3(a 表示边长)；V 圆锥＝13πr 2h(r 表示底面圆的半径，h 表示高)；其他几何图形问题：如线段、周长等．(4)增长率问题：如果基数用a 表示，末数用A 表示，x 表示增长率，时间间隔用n 表示，那么增长率问题的数量关系是：a(1±x)n ＝A.(5)利润问题：利润＝销售价－进货价＝标价×折扣(x10)－进货价(x 表示打x 折)；利润率＝利润进货价；销售价＝(1＋利润率)×进货价． (6)利息问题：利息＝本金×利率×期数； 本息和＝本金＋利息．一种思想方法方程思想是把未知数看成已知数，让所设未知数的字母和已知数一样参加运算．这种思想方法是数学中常用的重要方法之一，是代数解法的重要标志．两种设元方法(1)直接设元．在全面透彻地理解问题的基础上，根据题中求什么就设什么是未知数，或要求几个量，可直接设出其中一个为未知数，再用这个未知数表示另一个未知量．这种设未知数的方法叫做直接设元法．(2)间接设元．如果对某些题目直接设元不易求解，便可将并不是直接要求的某个量设为未知数，从而使得问题变得容易解答，我们称这种设未知数的方法为间接设元法．三个注意列方程(组)解应用题的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的数量关系，并根据题意或生活实际建立等量关系．一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须注意：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相等．方程(组)的应用【例1】 (2014·呼和浩特)为鼓励居民节约用电，我市自2012年以来对家庭用电收费实行阶梯电价，即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费，第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分，执行基本价格；第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分，实行提高电价；第三档为用电量超出450千瓦时的部分，执行市场调节价格．我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时，电费为213元，3月份用电240千瓦时，电费为150元．已知我市的一位居民今年4，5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时，请你依据该同学家的缴费情况，计算这位居民4，5月份的电费分别为多少元．解：设基本电价为x 元/千瓦时，提高电价为y 元/千瓦时，由题意，得⎩⎨⎧180x ＋150y ＝213，180x ＋60y ＝150，解得⎩⎨⎧x ＝0.6，y ＝0.7，则4月份电费为160×0.6＝96(元)，5月份电费为180×0.6＋230×0.7＝108＋161＝269(元)．即这位居民4月份的电费为96元，5月份的电费为269元【点评】 本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．1．(2014·淄博)为鼓励居民节约用电，某省试行阶段电价收费制，具体执行方案如表：某户居民5，6月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户6月份用电量大于5月份，且5，6月份的用电量均小于400度．问该户居民5，6月份各用电多少度．解：当5月份用电量为x 度≤200度，6月份用电(500－x)度，由题意，得0.55x ＋0.6(500－x)＝290.5，解得x ＝190，∴6月份用电500－x ＝310度．当5月份用电量为x 度＞200度，6月份用电量为(500－x)度，由题意，得0.6x ＋0.6(500－x)＝290.5，300＝290.5，原方程无解．∴5月份用电量为190度，6月份用电310度分式方程的应用【例2】 (2013·安徽)某校为了进一步开展“阳光体育”活动，购买了一批乒乓球拍和羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵20元，购买羽毛球拍的费用比购买乒乓球拍的2000元要多，多出的部分能购买25副乒乓球拍．(1)若每副乒乓球拍的价格为x 元，请你用含x 的代数式表示该校购买这批乒乓球拍和羽毛球拍的总费用；(2)若购买的两种球拍数一样，求x. 解：(1)(4000＋25x)元(2)购买每副乒乓球拍用去了x 元，则购买每副羽毛球拍用去了(x ＋20)元，由题意得2000x＝2000＋25x x ＋20，解得x 1＝40，x 2＝－40，经检验，x 1，x 2都是原方程的根，但x ＞0，∴x ＝40.即每副乒乓球拍的价格为40元【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有增根，再检验是否符合题意．2．(2014·威海)端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元，已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？解：设乙种粽子的单价是x 元，则甲种粽子的单价为(1＋20%)x 元，由题意得300（1＋20%）x ＋400x＝260，解得x ＝2.5，经检验：x ＝2.5是原分式方程的解，(1＋20%)x ＝3，则买甲粽子为3003＝100个，乙粽子为4002.5＝160个．即乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子各购买100个、160个一元二次方程的应用【例3】 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件．若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？解：设每件衬衫应降价x 元，可使商场每天盈利2100元，根据题意得(45－x)(20＋4x)＝2100，解得x 1＝10，x 2＝30，因应尽快减少库存，故x ＝30.即每件衬衫应降价30元【点评】 (1)现实生活中存在大量的实际应用问题，需要用一元二次方程的知识去解决，解决这类问题的关键是在充分理解题意的基础上，寻求问题中的等量关系，从而建立方程．(2)解出方程的根要结合方程和具体实际选择合适的根，舍去不合题意的根．3．(2014·新疆)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB ，BC 各为多少米．解：设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米．根据题意得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80＞25，∴x 2＝5舍去．即AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米试题 甲、乙两人分别从相距30千米的A ，B 两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B 地所剩的路程是乙到A 地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．错解解：设甲的速度为每小时x 千米，乙的速度为每小时y 千米，得⎩⎨⎧3x ＋3y ＝30－3，30－（3＋2）x ＝2[30－（3＋2）y]，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5.答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米．剖析(1)一道应用题，究竟列一元一次方程予以解决为好，还是列二元一次方程组为好，要具体分析．一般来说，列一元一次方程时，在列方程的思考上，难度稍大；而列方程组，由于把思考量分摊到两个方程上，降低了列方程的难度，但解方程过程的运算量较大．因此，对于思考量较低或中等的应用题，列一元一次方程为宜；对于思考量或思考难度都很大的应用题，列方程组解决为宜．(2)有些应用题，由于题目所给条件比较隐蔽，符合题意的情况有多种，解这类应用题时要考虑周全，把各种情况下的解全求出来，这样不致于失解，否则会造成解答不完整，犯以偏概全的错误；(3)分类的思想方法实质上就是按照数学对象的共同性质和差异性，将其区分为不同种类的思想方法，分类讨论的思想方法在代数中应用极其广泛，例如实数的分类，代数式的分类，方程和函数的分类等等，可以把整个代数看作一个分类讨论的系统．解此类问题强调：要有分类意识；找出科学的分类标准；分类时满足不重复、不遗漏、最简单原则．正解解：设甲的速度为每小时x 千米，乙的速度为每小时y 千米．①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，得⎩⎨⎧3x ＋3y ＝30－3，30－（3＋2）x ＝2[30－（3＋2）y]，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝5. ②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得⎩⎨⎧3x ＋3y ＝30＋3，30－（3＋2）x ＝2[30－（3＋2）y]，解得⎩⎨⎧x ＝513，y ＝523. 答：甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米；或甲的速度为每小时513千米，乙的速度为每小时523千米．。

第4讲 分式及分式方程二是分式化简求值；三是解分式方程，题型为解答题，且稳定在第17题，分值为5分，一般分式化简题会与分式化简求值题或解分式方程题轮换考查，试题也较为简单，难度不大，切记解分式方程后要验根．由近几年的陕西中考考情分析可得，分式化简、分式化简求值或解分式方程在2015年仍有可能考查，且仍会稳定在第17题，分值为5分，故对本节的知识在复习中应多加练习，做到不失分．1．分式的基本概念(1)形如__AB(A ，B 是整式，且B 中含有字母，B ≠0)__的式子叫分式；(2)当__B ≠0__时，分式A B 有意义；当__B ＝0__时，分式AB无意义；当__A ＝0且B ≠0__时，分式AB的值为零．2．分式的基本性质分式的分子与分母都乘(或除以)__同一个不等于零的整式__，分式的值不变，用式子表示为__A B ＝A ×M B ×M ，A B ＝A÷M B÷M (M 是不等于零的整式)__．3．分式的运算法则(1)符号法则：分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．用式子表示：a b ＝－a －b ＝－a －b＝－－a b ；－a b ＝a－b ＝－a b .(2)分式的加减法：同分母加减法：__a c ±b c ＝a±bc __；异分母加减法：__b a ±d c ＝bc±adac__．(3)分式的乘除法： a b ·c d ＝__acbd __； a b ÷c d ＝__adbc__． (4)分式的乘方： (a b )n ＝__a nb n (n 为正整数)__． 4．最简分式(1)概念：如果一个分式的分子与分母没有公因式，那么这个分式叫做最简分式．(2)寻找最简公分母的方法：①取各分式的分母中系数的最小公倍数；②各分式的分母中所有字母或因式都要取到；③相同字母(或因式)的幂取指数最大的；④所得的系数的最小公倍数与各分母(或因式)的最高次幂的积即为最简公分母．5．分式的约分、通分把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做约分，约分的根据是分式的基本性质． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质．通分的关键是确定几个分式的最简公分母．6．分式的混合运算在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式．7．分式方程(1)定义：分母中含有__未知数__ 的方程；(2)解法：分式方程――→转化去分母__整式方程__――→解方程求出解――→代入最简公分母检验得出分式方程的解；(3)增根：使最简公分母为0的根． 规律总结：(1)如何由增根求参数的值： a ．将原方程化为整式方程；b ．将增根代入变形后的整式方程，求出参数的值． (2)检验分式方程的根是否为增根的方法： a ．利用方程的解的定义进行检验；b ．将解得的整式方程的根代入最简公分母，看计算结果是否为0，若不为0就是原方程的根；若为0则为增根，必须舍去．一个思想类比是一种在不同对象之间，或者在事物与事物之间，根据它们某些相似之处进行比较，通过联想和预测，推出它们在其他方面也可能相似，从而去建立猜想和发现规律的方法．通过类比可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识，分式与分数有许多类似的地方，因此在分式的学习中，要注意与分数进行类比学习理解．两个技巧(1)分式运算中的常用技巧分式运算题型多，方法活，要根据特点灵活求解．如：①分组通分；②分步通分；③先“分”后“通”；④重新排序；⑤整体通分；⑥化积为差，裂项相消．(2)分式求值中的常用技巧分式求值可根据所给条件和求值式的特征进行适当的变形、转化．主要有以下技巧：①整体代入法；②参数法；③平方法；④代入法；⑤倒数法．三个防范(1)“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判断一个方程是否为分式方程的依据．(2)去分母时，不要漏乘没有分母的项；解分式方程的重要步骤是检验．(3)分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．1．(2014·陕西)先化简，再求值：2x 2x 2－1－x x ＋1，其中x ＝－12.解：原式＝2x 2（x ＋1）（x －1）－x （x －1）（x ＋1）（x －1）＝x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）＝x x －1，当x ＝－12时，原式＝－12－12－1＝132．(2013·陕西)解分式方程：2x 2－4＋xx －2＝1.解：去分母得：2＋x(x ＋2)＝x 2－4，整理得：2＋x 2＋2x ＝x 2－4，解得：x ＝－3，经检验得，x ＝－3是原分式方程的根3．(2012·陕西)化简：(2a －b a ＋b －ba －b )÷a －2b a ＋b.解：原式＝（2a －b ）（a －b ）－b （a ＋b ）（a ＋b ）（a －b ）·a ＋ba －2b＝2a 2－2ab －ab ＋b 2－ab －b 2（a －b ）（a －2b ）＝2a 2－4ab（a －b ）（a －2b ）＝2a （a －2b ）（a －b ）（a －2b ）＝2aa －b分式的概念，求字母的取值范围【例1】 (1)(2014·贺州)分式2x －1有意义，则x 的取值范围是( A )A ．x ≠1B ．x ＝1C ．x ≠－1D ．x ＝－1(2)(2014·毕节)若分式x 2－1x －1的值为零，则x 的值为( C )A ．0B ．1C ．－1D ．±1【点评】 (1)分式有意义就是使分母不为0，解不等式即可求出，有时还要考虑二次根式有意义；(2)首先求出使分子为0的字母的值，再检验这个字母的值是否使分母的值为0，当它使分母的值不为0时，这就是所要求的字母的值．1．(1)(2013·广州)若代数式xx －1有意义，则实数x 的取值范围是( D )A ．x ≠1B ．x ≥0C ．x ＞0D ．x ≥0且x ≠1(2)当x ＝__－3__时，分式|x|－3x －3的值为0.分式的四则混合运算【例2】 (2014·深圳)先化简，再求值：(3x x －2－x x ＋2)÷xx 2－4，在－2，0，1，2四个数中选一个合适的代入求值．解：原式＝3x （x ＋2）－x （x －2）（x ＋2）（x －2）·（x ＋2）（x －2）x＝2x ＋8，当x ＝1时，原式＝2＋8＝10【点评】 准确、灵活、简便地运用法则进行化简，注意在取x 的值时，要考虑分式有意义，不能取使分式无意义的0与±2.2．(1)(2014·十堰)已知a 2－3a ＋1＝0，则a ＋1a－2的值为( B )A .5＋1B ．1C ．－1D ．－5(2)(2014·娄底)先化简x 2－4x 2－9÷(1－1x －3)，再从不等式2x －3＜7的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值．解：原式＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）÷x －3－1x －3＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －3）·x －3x －4＝（x ＋2）（x －2）（x ＋3）（x －4），不等式2x －3＜7，解得x ＜5，其正整数解为1，2，3，4，当x ＝1时，原式＝14分式方程的解法【例3】 (2014·舟山)解方程：x x ＋1－4x 2－1＝1.解：去分母，得x(x －1)－4＝x 2－1，去括号，得x 2－x －4＝x 2－1，解得x ＝－3，经检验x ＝－3是分式方程的解【点评】 (1)按照基本步骤解分式方程，其关键是确定各分式的最简公分母．若分母为多项式时，应首先进行分解因式．将分式方程转化为整式方程，乘最简公分母时，应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项；(2)检验是否产生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某个根，但因为它使分式方程的某些分母为零，故应是原方程的增根，须舍去．3．(1)(2014·德州)分式方程x x －1－1＝3（x －1）（x ＋2）的解是( D )A ．x ＝1B ．x ＝－1＋ 5C ．x ＝2D ．无解(2)(2014·巴中)若分式方程x x －1－m1－x＝2有增根，则这个增根是__x ＝1__．(3)(2014·新疆)解分式方程：3x 2－9＋xx －3＝1.解：方程两边都乘(x ＋3)(x －3)，得3＋x(x ＋3)＝x 2－9，3＋x 2＋3x ＝x 2－9，解得x ＝－4，检验：把x ＝－4代入(x ＋3)(x －3)≠0，∴x ＝－4是原分式方程的解试题 当a 取什么值时，方程x －1x －2－x －2x ＋1＝2x ＋a（x －2）（x ＋1）的解是负数？错解解：原方程两边同乘以(x －2)(x ＋1)，得x 2－1－x 2＋4x －4＝2x ＋a ，2x ＝a ＋5，∴x ＝a ＋52.由a ＋52＜0，得a ＜－5.故当a ＜－5时，原方程的解是负数． 剖析(1)分式中的分母不能为零，这是同学们熟知的，但在解题时，往往忽略题目中的这一隐含条件，从而导致解题错误；(2)利用分式的基本性质进行恒等变形时，应注意分子与分母同乘或同除以的整式的值不能是零；(3)解分式方程为什么要检验？因为用各分母的最简公分母去乘方程的两边时，不能肯定所得方程与原方程同解．如果最后x 取值使这个最简公分母不为零，则这个步骤符合方程同解原理，这个取值就是方程的解；否则，不能保证新方程与原方程同解．从另一角度看，既然使各分母的最简公分母为零，则必使某个分母为零，该分式则无意义，原方程不可能成立，这个取值就不是原方程的解．正解解：当x ≠－1且x ≠2时，原方程两边都乘以(x －2)(x ＋1)，得 x 2－1－x 2＋4x －4＝2x ＋a ，2x ＝a ＋5，∴x ＝a ＋52.由a ＋52＜0，得a ＜－5，又由a ＋52≠2，得a ≠－1；a ＋52≠－1，得a ≠－7，故当a ＜－5且a ≠－7时，原方程的解是负数．。

2015年河南初中学业水平暨高级中等学校招生考试试题数 学注意事项：1. 本试卷共6页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟。

2. 本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上。

答在试卷上的答案无效。

一、选择题（每小题3分，共24分）下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的。

1. 下列各数中最大的数是（ ）A. 5B.3C. πD. －8 2. 如图所示的几何体的俯视图是（ ）3. 据统计，2014年我国高新技术产品出口总额达40 570亿元，将数据40 570亿用科学记数法表示为（ ） A.4.0570×109 B. 0.40570×1010 C. 40.570×1011 D. 4.0570×10124. 如图，直线a ，b 被直线c ，d 所截，若∠1=∠2，∠3=125°，则∠4的度数为（ ） A. 55° B. 60° C.70° D. 75°5. 不等式组⎩⎨⎧>-≥+13,05x x 的解集在数轴上表示为（ ）6. 小王参加某企业招聘测试，他的笔试，面试、技能操作得分分别为85分，80分，90分，若依次按照2:3:5的比例确定成绩，则小王的成绩是（ ）A. 255分B. 84分C. 84.5分D.86分7. 如图，在□ABCD 中，用直尺和圆规作∠BAD 的平分线AG 交BC 于点E ，若BF =6，AB =5，则AE 的长为（ ）C DB A 正面 第2题dc ba第4题-52 0 -520 -52 0 -520 CDBAA. 4B. 6C. 8D. 108. 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，… 组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2015秒时，点P 的坐标是（ ）A.（2014,0）B.（2015，－1）C. （2015,1）D. （2016,0）二、填空题（每小题3分，共21分） 9.计算：(－3)0+3－1=.10. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB ，BC 上，DE //AC ，若DB =4，DA =2，BE =3，则EC = . 11. 如图，直线y =kx 与双曲线)0(2>=x xy 交于点 A （1，a ）,则k = .12. 已知点A （4，y 1），B （2，y 2），C （－2，y 3）都在二次函数y =(x －2)2－1的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系是 . 13. 现有四张分别标有数字1，2，3，4的卡片，它们除数字外完全相同，把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张后放回，再 背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，则两次抽出的卡片所标数 字不同的概率是 .14. 如图，在扇形AOB 中，∠AOB =90°，点C 为OA 的中点，CE ⊥OA 交AB 于点E ，以点O 为圆心，OC 的长为半径 作CD 交OB 于点D ，若OA =2，则阴影部分的面积为 .15. 如图，正方形ABCD 的边长是16，点E 在边AB 上，AE =3，点F 是边BC 上不与点B 、C 重合的一个动点，把△EBF 沿EF 折叠，点B 落在B ′处，若△CDB ′恰为等腰三角形，则DB ′的长为 .E FCDBGA第7图第8题E CDBA第14题EFCDBA 第15题B ′三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16.（8分）先化简，再求值：)11(22222ab b a b ab a -÷-+-，其中15+=a ，15-=b .17.（9分）如图，AB 是半圆O 的直径，点P 是半圆上不与点A 、B 重合的一个动点，延长BP 到点C ，使PC =PB ，D 是AC 的中点，连接PD ，PO . （1）求证：△CDP ≌△POB ； （2）填空：① 若AB =4，则四边形AOPD 的最大面积为 ； ② 连接OD ，当∠PBA 的度数为 时，四边形BPDO18.（9分）为了了解市民“获取新闻的最主要途径”，某市记者开展了一次抽样调查，根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图。

陕西省2015年中考数学总复习教学案专题一规律探索型问题 (1)专题二开放探究型问题 (6)专题三方案设计与动手操作型问题 (10)专题四情境应用型问题 (19)专题五阅读理解型问题 (26)专题六运动型问题 (33)专题七综合型问题 (38)专题一规律探索型问题规律探索型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”“计算规律”“图形规律”与“动态规律”等题型．1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．解题方法规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．数字猜想型问题【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__336__分．【点评】本题考查数字的变化规律：通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．1．(2014.兰州)为了求1＋2＋22＋23＋...＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋ (2100)则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是__32015－12__．数式规律型问题【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是__165__．【点评】本题解题的关键是对给出的式子进行正确的变形．2．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a 3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为__－1__．(结果用数字表示)图形规律型问题【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……(1)观察以上图形并完成下表： 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数图①1 7 图②2 12 图③3 17 图④4 22 … … …猜想：在图中，特征点的个数为__5n ＋2__；(用n 表示)(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝__x 1＝3__；图的对称中心的横坐标为__20133__．【点评】本题考查图形的应用与作图，是规律探究题，难度中等，注意观察图形及表格，总结规律．3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有__485__．数形结合猜想型问题【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为__10070__．【点评】本题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意数形结合得出B 点横坐标变化规律是解题关键．4．在由m ³n(m ³n ＞1)个小正方形组成的矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f ，(1)当m ，n 互质(m ，n 除1外无其他公因数)时，观察下列图形并完成下表：m n m ＋nf 1 2 3 21 3 4 32 3 5 42 5 7 63 4 7 6猜想：当m ，n 互质时，在m ³n 的矩形网格中，一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m ，n 的关系式是__f ＝m ＋n －1__．(不需要证明)(2)当m ，n 不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依然成立．解：(2)当m ，n 不互质时，上述结论不成立，如图试题(1)(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n 个图中阴影部分小正方形的个数是____．(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．审题视角探索数量规律题可以检验同学们观察图形的变化规律，并从中找出其数量关系的能力，由于没有现成的公式、定理可以套用，对初中生而言，有一定的难度．但只要了解一些数列的有关知识，加上一些常用的分析方法，解决这类问题也是比较容易的．规范答题解析(1)根据每一个图形都是一个正方形和右边的一个矩形构成，得到左边的正方形中小正方形的个数和右边的矩形中的小正方形的个数的和即可．仔细观察图形知道：每一个阴影部分由左边的正方形和右边的矩形构成，分别为：第1个图有：1＋3个；第2个图有：4＋4个；第3个图有：9＋5个；……故第n个图有：[n2＋(n＋2)]个．(2)观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．第①个图有2个相同的小正方形：2＝1³2；第②个图有6个相同的小正方形：6＝2³3；第③个图有12个相同的小正方形：12＝3³4；第④个图有20个相同的小正方形：20＝4³5；……按此规律，第个图有n(n＋1)个相同的小正方形．(3)首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．观察分析可得：第1个图有1个圆；第2个图由7个圆组成，7＝1＋6；第3个图由19个圆组成，19＝1＋6＋2³6；……故第9个图由1＋6＋2³6＋3³6＋…＋8³6＝1＋(1＋2＋3＋…＋8)³6＝217(个)圆组成．答题思路第一步：审题，仔细观察图形并找到相应的规律；第二步：化形为数，相当于找出数列的前若干项；第三步：考察相邻两项的差异，再根据这些项或项中某些部分(如分子、分母，整数、分数等)构成何种数列；第四步：按题中要求写出某一项的结果或某些项的和．能找到前三项，就能求出任一项；另外，有些图形或数的出现是循环出现或按某种规律反复出现等，就需要具体问题具体分析了；第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤．试题 探索n ³n 的正方形钉子板上(n 是钉子板上每边的钉子数)，连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段种数：当n ＝2时，钉子板上所连不同线段的长度值只有1与2，所以不同长度值的线段只有二种，若用S 表示不同长度值的线段种数，则S ＝2；当n ＝3时，钉子板上所连不同线段的长度值有1，2，2，5，22五种，比n ＝2时增加了三种，即S ＝2＋3＝5.(1)观察下图，并填写下表：钉子数(n ³n) S 值2³22 3³3 2＋34³4 2＋3＋( )5³5( ) (2)写出(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数之间的关系；(用式子或语言表述均可)(3)对n ³n 的钉子板，写出用n 表示S 的代数式．错解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3＋…＋n ；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n.剖析 (1)填对了；(2)题目要求理解错了，命题要求写出两个钉子板上的两个S 值之间关系，而不是每个钉子板上的S 值与每边上的钉子数n 的关系，显然，S n 比S n －1的值大n ；(3)写对了，但应化成不含省略号的代数式．正解 (1)4；2＋3＋4＋5；(2)设(n －1)³(n －1)和n ³n 两个钉子板上不同长度值的线段种数分别为S n －1和S n ，则S n －1＝2＋3＋4＋…＋(n －1)；S n ＝2＋3…＋n ，∴S n －S n －1＝n.即在(n －1)³(n －1)和n ³n 的两个钉子板上，不同长度值的线段种数前者比后者少n 种；(3)S n ＝2＋3＋4＋…＋n ＝(1＋2＋3＋4＋…＋n)－1＝n （n ＋1）2－1＝n 2＋n －22.专题二开放探究型问题开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中，缺少解题要素两个或两个以上，需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法．(1)常规题的结论往往是唯一确定的，而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的，它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间；(2)解决此类问题的方法，可以不拘形式，有时需要发现问题的结论，有时需要尽可能多地找出解决问题的方法，有时则需要指出解题的思路等．对于开放探究型问题，需要通过观察、比较、分析、综合及猜想，展开发散性思维，充分运用已学过的数学知识和数学方法，经过归纳、类比、联想等推理的手段，得出正确的结论．在解开放探究题时，常通过确定结论或补全条件，将开放性问题转化为封闭性问题．三个解题方法(1)条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件，即从题目的结论出发，结合图形挖掘条件，逆向追索，逐步探寻，是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发，逆向追索，多途寻因；(2)结论开放型问题：从剖析题意入手，充分捕捉题设信息，通过由因导果，顺向推理或联想、类比、猜测等，从而获得所求的结论；(3)条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论，并且符合条件的结论具有多样性，需将已知的信息集中进行分析，探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论，通过这一思维活动得出事物内在联系，从而把握事物的整体性和一般性．条件开放型问题【例1】已知四边形ABCD，AB∥CD，要得出四边形ABCD是平行四边形的结论，还应具备什么条件？解：如图，当AB∥CD时，只要具备下列条件之一，便可得出四边形ABCD是平行四边形．(1)AD∥BC；(2)AB＝CD；(3)∠A＝∠C；(4)∠B＝∠D；(5)∠A＋∠B＝180°……【点评】判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理，而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件，由此可以想到：①两组对边分别平行；②一组对边平行且相等；③一组对边平行，一组对角相等．都能得到平行四边形的结论．1．(2014·巴中)如图，在四边形ABCD中，点H是BC的中点，作射线AH，在线段AH及其延长线上分别取点E ，F ，连结BE ，CF.(1)请你添加一个条件，使得△BEH ≌△CFH ，你添加的条件是__EH ＝FH__，并证明．(2)在问题(1)中，当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形，请说明理由．解：(1)答：添加：EH ＝FH ，证明：∵点H 是BC 的中点，∴BH ＝CH ，在△BEH 和△CFH 中，⎩⎪⎨⎪⎧BH ＝CH∠BHE ＝∠CHF EH ＝FH ，∴△BEH ≌△CFH(SAS ) (2)解：∵BH ＝CH ，EH ＝FH ，∴四边形BFCE 是平行四边形(对角线互相平分的四边形为平行四边形)，∵当BH ＝EH 时，则BC ＝EF ，∴平行四边形BFCE 为矩形(对角线相等的平行四边形为矩形)．结论开放型问题【例2】 (2014·襄阳)如图，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，过点A 作⊙O 的切线交BP 的延长线于点D.(1)求证：△ADP ∽△BDA ；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论；(3)若AD ＝2，PD ＝1，求线段BC 的长．解：(1)证明：作⊙O 的直径AE ，连接PE ，∵AE 是⊙O 的直径，AD 是⊙O 的切线，∴∠DAE ＝∠APE ＝90°，∴∠PAD ＋∠PAE ＝∠PAE ＋∠E ＝90°，∴∠PAD ＝∠E ，∵∠PBA ＝∠E ，∴∠PAD ＝∠PBA ，∵∠PAD ＝∠PBA ，∠ADP ＝∠BDA ，∴△ADP ∽△BDA(2)PA ＋PB ＝PC ，证明：在线段PC 上截取PF ＝PB ，连接BF ，∵PF ＝PB ，∠BPC ＝60°，∴△PBF 是等边三角形，∴PB ＝BF ，∠BFP ＝60°，∴∠BFC ＝180°－∠PFB ＝120°，∵∠BPA ＝∠APC ＋∠BPC ＝120°，∴∠BPA ＝∠BFC ，在△BPA 和△BFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠PAB ＝∠PCB ∠BPA ＝∠BFC PB ＝BF，∴△BPA ≌△BFC(AAS )，∴PA ＝FC ，AB ＝BC ，∴PA ＋PB ＝PF ＋FC ＝PC(3)解：∵△ADP ∽△BDA ，∴AD BD ＝DP DA ＝AP AB，∵AD ＝2，PD ＝1∴BD ＝4，AB ＝2AP ，∴BP ＝BD －DP ＝3，∵∠APD ＝180°－∠BPA ＝60°，∴∠APD ＝∠APC ，∵∠PAD ＝∠E ，∠PCA ＝∠E ，∴PAD ＝∠PCA ，∴△ADP ∽△CAP ，∴AP CP ＝DP AP，∴AP 2＝CP·PD ，∴AP 2＝(3＋AP)·1，解得：AP ＝1＋132或AP ＝1－132(舍去)，∴BC ＝AB ＝2AP ＝1＋13.【点评】解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征，进行猜想、归纳、类比，透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象，然后经过论证作出取舍，这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想，发现规律，得出结论，这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力．2．(2013·杭州)(1)先求解下列两题：①如图①，点B ，D 在射线AM 上，点C ，E 在射线AN 上，且AB ＝BC ＝CD ＝DE ，已知∠EDM ＝84°，求∠A 的度数；②如图②，在直角坐标系中，点A 在y 轴正半轴上，AC ∥x 轴，点B ，C 的横坐标都是3，且BC ＝2，点D 在AC 上，且横坐标为1，若反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图象经过点B ，D ，求k 的值．(2)解题后，你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出．解：(1)①∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ，∴∠A ＝∠BCA ，∠CBD ＝∠BDC ，∠ECD ＝∠CED ，根据三角形的外角性质，∠A ＋∠BCA ＝∠CBD ，∠A ＋∠CDB ＝∠ECD ，∠A ＋∠CED ＝∠EDM ，又∵∠EDM ＝84°，∴∠A ＋3∠A ＝84°，解得，∠A ＝21°；②∵点B 在反比例函数y ＝k x 图象上，点B ，C 的横坐标都是3，∴点B(3，k 3)，∵BC ＝2，∴点C(3，k 3＋2)，∵AC ∥x 轴，点D 在AC 上，且横坐标为1，∴D(1，k 3＋2)，∵点D 也在反比例函数图象上，∴k 3＋2＝k ，解得，k ＝3； (2)用已知的量通过关系去表达未知的量，使用转换的思维和方法．存在开放型问题【例3】 (2014·龙东)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 在y 轴正半轴上，顶点B 在x 轴正半轴上，OA ，OB 的长分别是一元二次方程x 2－7x ＋12＝0的两个根(OA ＞OB)．(1)求点D 的坐标．(2)求直线BC 的解析式．(3)在直线BC 上是否存在点P ，使△PCD 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)x 2－7x ＋12＝0，解得x 1＝3，x 2＝4，∵OA ＞OB ，∴OA ＝4，OB ＝3，过D 作DE ⊥y 于点E ，∵正方形ABCD ，∴AD ＝AB ，∠DAB ＝90°，∠DAE ＋∠OAB ＝90°，∠ABO ＋∠OAB ＝90°，∴∠ABO ＝∠DAE ，∵DE ⊥AE ，∴∠AED ＝90°＝∠AOB ，在△DAE 和△ABO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠DAE ∠AED ＝∠AOB ＝90°AB ＝AD，∴△DAE ≌△ABO(AAS )，∴DE ＝OA ＝4，AE ＝OB ＝3，∴OE ＝7，∴D(4，7)(2)过点C 作CM ⊥x 轴于点M ，同上可证得△BCM ≌△ABO ，∴CM ＝OB ＝3，BM ＝OA ＝4，∴OM ＝7，∴C(7，3)，设直线BC 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0，k ，b 为常数)，代入B(3，0)，C(7，3)得，⎩⎪⎨⎪⎧7k ＋b ＝33k ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧k ＝34b ＝－94，∴y ＝34x －94 (3)存在．点P 与点B 重合时，P 1(3，0)，点P 与点B 关于点C 对称时，P 2(11，6)．【点评】 本题是一道典型的“存在性问题”，主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，考查了等腰三角形存在的条件，有一定的开放性．3．已知一次函数y ＝－x －4和反比例函数y ＝k x(k ≠0)． (1)k 满足什么条件时，这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点？(2)设(1)中的两个交点为A ，B ，试问∠AOB 是锐角还是钝角？为什么？解：(1)解两个函数关系式构成的方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －4，y ＝k x（k ≠0），由此可求得：k<4且k ≠0； (2)当0<k<4时，∠AOB<90°，是锐角；当k<0时，∠AOB>90°，是钝角．综合开放型问题【例4】 (2012·南京)看图说故事．请你编一个故事，使故事情境中出现的一对变量x ，y 满足图示的函数关系式，要求：①指出变量x 和y 的含义；②利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量．解：①该函数图象表示小明骑车离出发地的路程y(单位： km )与他所用的时间x(单位：min )的关系．②小明以400 m / min 的速度匀速骑了5 min ，在原地休息了6 min ，然后以500 m / min 的速度匀速骑车回出发地．(本题答案不唯一)【点评】解决综合开放性问题时，需要类比、试验、创新和综合运用所学知识，建立合理的数学模型，从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确，要求解题者不墨守成规，敢于创新，积极发散思维，优化解题方案和过程．4．已知两数4和8，试写出第三个数，使三个数中，其中一个数是其余两个数的比例中项，则第三个数是±42或2或16．(只需写出一个)试题在五环图案中，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，其中a，b，c是三个连续偶数，a＜b＜c，d，e是两个连续奇数，d＜e，且满足a＋b＋c＝d＋e，例如，请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入图中：错解剖析(1)在0到20之间，符合条件的答案除例题外，还有两组，因题目要求只画一个图，为了完整准确起见，两组答案都应写出，用“或”字连接；(2)正确的解题方法可使答案完整无漏，例如：此题中可采用二元一次方程不定解的方法来解答，设最小偶数为x，最小奇数为y，则三个连续偶数为x，x＋2，x＋4，两个连续奇数为y，y＋2.据题意，a＋b＋c＝d＋e，得x＋(x＋2)＋(x＋4)＝y＋(y＋2)，3x＋6＝2y＋2，整理得y＝32x＋2，下面列表表示它的解：故符合条件的解有⎩⎨⎧x＝2，y＝5，或⎩⎨⎧x＝6，y＝11，或⎩⎪⎨⎪⎧x＝10，y＝17.正解专题三方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案．操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化．三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．统计测量型方案设计【例1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解：(1)方案1最后得分：110³(3.2＋7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18³(7.0＋7.8＋3³8＋3³8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4 (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．1．(2012·宜宾)如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM (2)第一步骤：在Rt △AMN 中，tan α＝MN AN，∴AN ＝MN tan α，第二步骤：在Rt △BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MN tan β，其中：AN ＝d ＋BN ，解得：MN ＝d·tan α²tan βtan β－tan α，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理．利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】 (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．解：(1)设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋2y ＝20，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝6，答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元(2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为W 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（360－a ）①W ＝8a ＋6（360－a ）②，由①，得a ≥120.由②，得W ＝2a ＋2160.∵k ＝2＞0，∴W 随a 的增大而增大，∴a ＝120时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵．【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．2．(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：污水处理设备 A 型 B 型价格(万元/台) m m －3月处理污水量(吨/台)220 180 (1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：90m ＝75m －3，解得m ＝18，经检验m ＝18是原方程的解，即m ＝18(2)设买A 型污水处理设备x 台，则B 型(10－x)台，根据题意得：18x ＋15(10－x)≤165，解得x ≤5，由于x 是整数，则有6种方案，当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220＋180³9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220³2＋180³8＝1880吨，当x ＝3时，y ＝7，月处理污水量为220³3＋180³7＝1920吨，当x ＝4时，y ＝6，月处理污水量为220³4＋180³6＝1960吨，当x ＝5时，y ＝5，月处理污水量为220³5＋180³5＝2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．图形类方案设计【例3】 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称 四等分圆的面积方案 方案一 方案二 方案三选用的工具 带刻度的三角板 带刻度三角板、量角器、圆规．带刻度三角板、圆规. 画出示意图简述设计方案 作⊙O 两条互相垂直的直径AB ，CD ，将⊙O 的面积分成相等的四份. (1)以点O 为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大⊙O 上依次取三等分点A ，B ，C ；(3)连接OA ，OB ，OC.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分．(4)作⊙O 的一条直径AB ；(5)分别以OA ，OB 的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O 1，⊙O 2；则⊙O 1，⊙O 2和⊙O 中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分. 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形 轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：。

第12讲 反比例函数及其图象题，且稳定在第15题，分值为3分，考查难度上近三年相对较大，常常是两个函数图象结合考查，综合性较强．预计在2015年的中考中，反比例函数仍是陕西中考的必考内容，其中反比例函数的图象和性质仍是填空题考查的重点内容．1．概念：函数__y ＝kx(k 为常数，k ≠0)__叫做反比例函数；反比例函数的自变量x 不能为0.2．图象：反比例函数的图象是双曲线，不与两坐标轴相交的两条双曲线． 3．性质(1)当k ＞0时，其图象位于__第一、三象限__，在每个象限内，y 随x 的增大而__减小__；(2)当k＜0时，其图象位于__第二、四象限__，在每个象限内，y随x的增大而__增大__；(3)其图象是关于原点对称的中心对称图形，又是轴对称图形．4．反比例函数y＝kx(k≠0，k为常数)中比例系数k的几何意义．(1)如图，过反比例函数上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN所得矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|x|·|y|＝|xy|，∵y＝kx，∴xy＝k，∴S＝__|k|__．(2)计算与双曲线上的点有关的图形面积(1)确定反比例函数表达式的方法是__待定系数法__．(2)用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤是：①设所求的反比例函数为y＝kx(k≠0)；②根据已知条件列出含k的方程；③解方程求出待定系数k的值；④把k代入函数表达式y＝kx中即可．一个模型反比例函数关系在生产、生活、科技等方面广泛应用，解决这类问题的关键是将实际问题数学化，建立反比例函数的模型，然后利用反比例函数的性质、图象解决问题．注意：反比例函数的图象反映的变化规律明显，常利用它的图象找出解决问题的方案．一个思想数形结合思想就是把图形与数量关系巧妙、和谐地结合起来，使数学问题更直观、更容易解决．这一思想在这一讲中应用非常广泛．例如借助函数的图象比较大小等．两个防范(1)反比例函数中，y随x的大小而变化的情况，应分x＞0与x＜0两种情况讨论，而不能笼统地说成“k＜0时，y随x的增大而增大”．双曲线上的点在每个象限内，y随x的变化是一致的，但在不同象限内的两个点比较函数值的大小时，当k＞0时，第一象限内的点的纵坐标都为正，而第三象限内的点的纵坐标值都为负；当k＜0时，第二象限内的点的纵坐标值都为正，而第四象限内的点的纵坐标值都为负．(2)在比较大小时，不可以忽略了反比例函数的图象是由两条分支组成的(分别在不同的两个象限)，在不同的象限是不能用它的性质来判断的，而是要分别讨论．运用反比例函数的性质时，要注意在每一个象限内的要求．1．(2014·陕西)已知P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是同一个反比例函数图象上的两点，若x 2＝x 1＋2，且1y 2＝1y 1＋12，则这个反比例函数的表达式为__y ＝4x__．2．(2013·陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数y ＝6x的图象交A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，那么(x 2－x 1)(y 2－y 1)值为__24__．3．(2012·陕西)在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与一次函数y ＝－2x ＋6的图象无公共点，则这个反比例函数的表达式是__y ＝18x (只要y ＝k x 中的k 满足k ＞92即可)__(只写出符合条件的一个即可)．待定系数法确定反比例函数解析式【例1】 (2014·广安)如图，反比例函数y ＝kx(k 为常数，且k ≠0)经过点A(1，3)．(1)求反比例函数的解析式；(2)在x 轴正半轴上有一点B ，若△AOB 的面积为6，求直线AB 的解析式．解：(1)∵反比例函数y ＝k x (k 为常数，且k ≠0)经过点A(1，3)，∴3＝k1，解得k ＝3，∴反比例函数的解析式为y ＝3x(2)设B(a ，0)，则BO ＝a ，∵△AOB 的面积为6，∴12·a ·3＝6，解得a ＝4，∴B(4，0)，设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵经过A(1，3)、B(4，0)，∴⎩⎨⎧3＝k ＋b ，0＝4k ＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－1，b ＝4，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋4【点评】 反比例函数表达式中只有一个待定系数，由一对已知对应值即可确定函数解析式，而一次函数中有两个待定系数，要求出其系数，需要已知两对对应值．1．(2014·襄阳)如图，一次函数y 1＝－x ＋2的图象与反比例函数y 2＝kx的图象相交于A ，B 两点，与x 轴相交于点C.已知tan ∠BOC ＝12，点B 的坐标为(m ，n)．(1)求反比例函数的解析式；(2)请直接写出当x ＜m 时，y 2的取值范围．解：(1)作BD ⊥x 轴于点D ，如图，在Rt △OBD 中，tan ∠BOC ＝BD OD ＝12，∴－n m ＝12，即m ＝－2n ，把点B(m ，n)代入y 1＝－x ＋2得n ＝－m ＋2，∴n ＝2n ＋2，解得n ＝－2，∴m ＝4，∴B 点坐标为(4，－2)，把B(4，－2)代入y 2＝kx得k ＝4×(－2)＝－8，∴反比例函数解析式为y 2＝－8x(2)当x ＜4，y 2的取值范围为y 2＞0或y 2＜－2反比例函数与几何图形的综合【例2】 (2014·德州)如图，双曲线y ＝kx(x ＞0)经过△OAB 的顶点A 和OB 的中点C ，AB ∥x 轴，点A 的坐标为(2，3)．(1)确定k 的值；(2)若点D(3，m)在双曲线上，求直线AD 的解析式； (3)计算△OAB 的面积．解：(1)将点A(2，3)代入解析式y ＝kx ，得k ＝6(2)将D(3，m)代入反比例解析式y ＝6x ，得m ＝63＝2，∴点D 坐标为(3，2)，设直线AD解析式为y ＝kx ＋b ，将A(2，3)与D(3，2)代入得⎩⎨⎧2k ＋b ＝3，3k ＋b ＝2，解得k ＝－1，b ＝5，则直线AD 解析式为y ＝－x ＋5(3)过点C 作CN ⊥y 轴，垂足为点N ，延长BA ，交y 轴于点M ，∵AB ∥x 轴，∴BM⊥y 轴，∴MB ∥CN ，∴△OCN ∽△OBM ，∵C 为OB 的中点，即OC OB ＝12，∴S △OCN S △OBM ＝(12)2，∵A ，C 都在双曲线y ＝6x 上，∴S △OCN ＝S △AOM ＝3，由33＋S △AOB ＝14，得到S △AOB ＝9，则△AOB面积为9【点评】 本题主要考查反比例函数知识的综合运用，关键是利用待定系数法，数形结合的思想来解决此类题目，当然要熟练掌握反比例函数的性质及图象特征．2．(1)(2014·深圳)如图，双曲线y ＝k x 经过Rt △BOC 斜边上的点A ，且满足AO AB ＝23，与BC 交于点D ，S △BOD ＝21，求k ＝__8__．(2)(2014·玉林)如图，OABC 是平行四边形，对角线OB 在y 轴正半轴上，位于第一象限的点A 和第二象限的点C 分别在双曲线y ＝k 1x 和y ＝k 2x的一支上，分别过点A ，C 作x 轴的垂线，垂足分别为点M 和N ，则有以下的结论：①AM CN ＝|k 1||k 2|； ②阴影部分面积是12(k 1＋k 2)；③当∠AOC ＝90°时，|k 1|＝|k 2|；④若OABC 是菱形，则两双曲线既关于x 轴对称，也关于y 轴对称． 其中正确的是①④．(把所有正确的结论的序号都填上)试题 已知y ＝y 1＋y 2，y 1与x 2成正比例，y 2与x 成反比例，且x ＝1时，y ＝3；x ＝－1时，y ＝1.求x ＝－12时，y 的值．错解 解：设y 1＝kx 2，y 2＝k x .∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝kx 2＋kx.∴把x ＝1，y ＝3代入上式，得3＝k ＋k ，∴k ＝32.∴y ＝32x 2＋32x .当x ＝－12时，y ＝32×(－12)2＋32×（－12）＝38－3＝－218.答：当x ＝－12时，y 的值是－218.剖析(1)错解错在设y 1＝kx ，y 2＝kx时取了相同的比例系数k ，由于这是两种不同的比例，其比例系数未必相同，应分别设y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x，用两个不同字母k 1，k 2来表示两个不同的比例系数．(2)在同一问题中，相同的字母只能表示同一个未知量．两个或多个不同的未知量需要用两个或多个不同的字母来表示，以免混淆，从而导致错误．正解 解：设y 1＝k 1x 2，y 2＝k 2x ，∵y ＝y 1＋y 2，∴y ＝k 1x 2＋k 2x.把x ＝1，y ＝3；x ＝－1，y ＝1分别代入上式，得⎩⎨⎧3＝k 1＋k 2，1＝k 1－k 2，解得⎩⎨⎧k 1＝2，k 2＝1，∴y ＝2x 2＋1x .当x ＝－12时，y ＝2×(－12)2＋1－12＝12－2＝－32.答：当x ＝－12时，y 的值是－32.。

专题三 方案设计与动手操作型问题方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力．方案设计型问题，主要有以下几种类型：(1)讨论材料，合理猜想——设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明；(2)画图设计，动手操作——给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案；(3)设计方案，比较择优——给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案． 操作型问题是指通过动手实验，获得数学结论的研究性活动．这类问题需要动手操作、合理猜想和验证，有助于实践能力和创新能力的培养，更有助于养成实验研究的习惯．常见类型有：(1)图形的分割与拼接；(2)图形的平移、旋转与翻折；(3)立体图形与平面图形之间的相互转化．三个解题策略(1)方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数．(2)择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理．此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性．(3)操作型问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等．对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程．统计测量型方案设计【例1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)：方案1：所有评委所给分的平均数；方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数；方案3：所有评委所给分的中位数；方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．解：(1)方案1最后得分：110×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：18×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4 (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案．【点评】通过计算得出各个方案的数值，逐一比较．1．(2012·宜宾)如图，飞机沿水平方向(A ，B 两点所在直线)飞行，前方有一座高山，为了避免飞机飞行过低，就必须测量山顶M 到飞行路线AB 的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素，飞机不能飞到山顶的正上方N 处才测飞行距离)，请设计一个求距离MN 的方案，要求：(1)指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；(2)用测出的数据写出求距离MN 的步骤．解：(1)如图，测出飞机在A 处对山顶的俯角为α，测出飞机在B 处对山顶的俯角为β，测出AB 的距离为d ，连接AM ，BM (2)第一步骤：在Rt △AMN 中，tan α＝MN AN，∴AN ＝MN tan α，第二步骤：在Rt △BMN 中，tan β＝MN BN ，∴BN ＝MN tan β，其中：AN ＝d ＋BN ，解得：MN ＝d·tan α·tan βtan β－tan α，此题为开放题，答案不唯一，只要方案设计合理．利用方程(组)、不等式、函数进行方案设计【例2】 (2013·茂名)在信宜市某“三华李”种植基地有A ，B 两个品种的树苗出售，已知A 种比B 种每株多2元，买1株A 种树苗和2株B 种树苗共需20元．(1)问A ，B 两种树苗每株分别是多少元？(2)为扩大种植，某农户准备购买A ，B 两种树苗共360株，且A 种树苗数量不少于B 种数量的一半，请求出费用最省的购买方案．解：(1)设A 种树苗每株x 元，B 种树苗每株y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝2x ＋2y ＝20，解得：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8y ＝6，答：A 种树苗每株8元，B 种树苗每株6元(2)设A 种树苗购买a 株，则B 种树苗购买(360－a)株，共需要的费用为W 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12（360－a ）①W ＝8a ＋6（360－a ）②，由①，得a ≥120.由②，得W ＝2a ＋2160.∵k ＝2＞0，∴W 随a 的增大而增大，∴a ＝120时，W 最小＝2400，∴B 种树苗为：360－120＝240棵．∴最省的购买方案是：A 种树苗购买120棵，B 种树苗购买240棵．【点评】本题考查了列二元一次方程组解决实际问题的运用、不等式的运用、一次函数的解析式的运用，解答时建立一次函数关系式是难点．2．(2014·丽水)为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A ，B 两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：(1)求m 的值；(2)由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．解：(1)由90万元购买A 型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B 型号的污水处理设备的台数相同，即可得：90m ＝75m －3，解得m ＝18，经检验m ＝18是原方程的解，即m ＝18(2)设买A 型污水处理设备x 台，则B 型(10－x)台，根据题意得：18x ＋15(10－x)≤165，解得x ≤5，由于x 是整数，则有6种方案，当x ＝0时，y ＝10，月处理污水量为1800吨，当x ＝1时，y ＝9，月处理污水量为220＋180×9＝1840吨，当x ＝2时，y ＝8，月处理污水量为220×2＋180×8＝1880吨，当x ＝3时，y＝7，月处理污水量为220×3＋180×7＝1920吨，当x ＝4时，y ＝6，月处理污水量为220×4＋180×6＝1960吨，当x ＝5时，y ＝5，月处理污水量为220×5＋180×5＝2000吨，答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为2000吨．图形类方案设计【例3】 (2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．点A ，B ，C ；(3)连接OA，OB，OC.则小圆O 与三等份圆环把⊙O 的面积四等分．O 2；则⊙O 1，⊙O 2和⊙O中剩余的两部分把⊙O 的面积四等分. 指出对称性 既是轴对称图形又是中心对称图形轴对称图形 既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】 本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键． 3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：__都是轴对称图形__；特征2：__都是中心对称图形__．(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征． 解：(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个．图形的分割与拼接【例4】 (2014·广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD 的邻边长分别为1，a(a ＞1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a 的值．解：①如图，a ＝4，②如图，a ＝52，③如图，a ＝43， ④如图，a ＝53，【点评】 本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形ABCD 将平行四边形分割是解题关键．4．△ABC 是一张等腰直角三角形纸板，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图①)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．(2)图①中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S 1；按照甲种剪法，在余下的△ADE 和△BDF 中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S 2(如图②)，则S 2＝__12__；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S 3(如图③)；继续操作下去……则第10次剪取时，S 10＝__12． (3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．解：(1)如图甲，由题意得AE ＝DE ＝EC ，即EC ＝1，S 正方形CFDE ＝1.如图乙，设MN ＝x ，则由题意，得AM ＝MQ ＝PN ＝NB ＝MN ＝x ，∴3x ＝22，解得x ＝223，∴S 正方形PNMQ ＝(223)2＝89.∵1＞89，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大； (2)由题意可得，S 1＝1×1＝1，S 2＝2×12×12＝12，S 3＝22×1414＝14，S 4＝23×1818＝18……S n ＝12n －1.故S 2＝12，S 10＝129； (3)结合(2)中求得的规律：S n ＝12n －1，则第10次剪取后余下的所有小三角形的面积和为S 9－S 10＝S 10＝129.图形的平移、旋转与翻折【例5】 (2014·江西)如图①，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上(不与点A ，B 重合)，点F 在BC 边上(不与点B ，C 重合)．第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去……(1)图②中的三角形EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为__等边三角形__，求此时线段EF 的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH ；①请判断四边形EFGH 的形状为__正方形__，此时AE 与BF 的数量关系是__AE ＝BF__； ②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围．解：(1)等边三角形．∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝CD ＝BC ＝AB ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝90°.∵ED ＝FD ，∴△ADE ≌△CDF.(HL )∴AE ＝CF ，BE ＝BF.∴BEF是等腰直角三角形．设BE的长为x，则EF＝2x，AE＝4－x.∵在Rt△AED中，AE2＋AD2＝DE2，DE＝EF，∴(4－x)2＋42＝(2x)2解得x1＝－4＋43，x2＝－4－43(不合题意，舍去)．∴EF＝2x＝2(－4＋43)＝46－4 2(2)①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.②∵AE＝x，∴BE＝4－x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，AE＝BF，∴y＝EF2＝(4－x)2＋x2＝16－8x＋x2＋x2＝2x2－8x＋16，∵点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合，∴0＜x＜4.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x2－4x＋4)＋8＝2(x－2)2＋8，∴当x＝2时有最小值8，当x＝0或4时，有最大值16，∴y的取值范围是8≤y＜16.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键．5．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C ＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是__DE∥AC__；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是__S1＝S2__．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF ＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．解：(1)①∵△DEC 绕点C 旋转，点D 恰好落在AB 边上，∴AC ＝CD ，∵∠BAC ＝90°－∠B ＝90°－30°＝60°，∴△ACD 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，又∵∠CDE ＝∠BAC ＝60°，∴∠ACD ＝∠CDE ，∴DE ∥AC ；②∵∠B ＝30°，∠C ＝90°，∴CD ＝AC ＝12AB ，∴BD ＝AD ＝AC ，根据等边三角形的性质，△ACD 的边AC ，AD 上的高相等，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(2)∵△DEC 是由△ABC 绕点C 旋转得到，∴BC ＝CE ，AC ＝CD ，∵∠ACN ＋∠BCN ＝90°，∠DCM ＋∠BCN ＝180°－90°＝90°，∴∠ACN ＝∠DCM ，∵在△ACN 和△DCM 中，⎩⎨⎧∠ACN ＝∠DCM ，∠CMD ＝∠N ＝90°，AC ＝CD ，∴△ACN ≌△DCM(AAS )，∴AN ＝DM ，∴△BDC 的面积和△AEC 的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S 1＝S 2；(3)如图，过点D 作DF 1∥BE ，易求四边形BEDF 1是菱形，所以BE ＝DF 1，且BE ，DF 1上的高相等，此时S △DCF ＝S △BDE ，过点D 作DF 2⊥BD ，∵∠ABC ＝60°，∴∠F 1DF 2＝∠ABC ＝60°，∴△DF 1F 2是等边三角形，∴DF 1＝DF 2，∵BD ＝CD ，∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，∴∠DBC ＝∠DCB ＝12×60°＝30°，∴∠CDF 1＝180°－30°＝150°，∠CDF 2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF 1＝∠CDF 2，∵在△CDF 1和△CDF 2中，⎩⎨⎧DF 1＝DF 2，∠CDF 1＝∠CDF 2，CD ＝CD ，∴△CDF 1≌△CDF 2(SAS )，∴点F 2也是所求的点，∵∠ABC ＝60°，点D 是角平分线上一点，DE ∥AB ，∴∠DBC ＝∠BDE ＝∠ABD ＝12×60°＝30°，又∵BD ＝4，∴BE ＝12×4÷cos 30°＝2÷32＝433，∴BF 1＝433，BF 2＝BF 1＋F 1F 2＝433＋433＝833，故BF 的长为433或833.立体图形与平面图形之间的相互转化【例6】 (2012·绍兴)把一边长为40 cm 的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484 cm 2，那么剪掉的正方形的边长为多少？ ②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550 cm 2，求此时长方体盒子的长、宽、高．(只需求出符合要求的一种情况)解：(1)①设剪掉的正方形的边长为x cm.则(40－2x)2＝484，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9 cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为x cm，盒子的侧面积为y cm2，则y与x＝800.的函数关系为：y＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，∴x＝10时，y最大即当剪掉的正方形的边长为10 cm时，长方体盒子的侧面积最大，为800 cm2；(2)在如图的一种剪裁图中，设剪掉的正方形的边长为x cm.则2(40－2x)(20－x)＋2x(20－x)＋2x(40－2x)＝550，解得：x1＝－35(不合题意，舍去)，x2＝15.∴剪掉的正方形的边长为15 cm.此时长方体盒子的长为15 cm，宽为10 cm，高为5 cm.【点评】此题主要考查了二次函数的应用，找到关键描述语，把平面图形围成立体图形然后找到等量关系，准确地列出函数关系式是解决问题的关键．6．(2014·凉山州)如图，圆柱形容器高为18 cm，底面周长为24 cm，在杯内壁离杯底4 cm 的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为__20__ cm.试题动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为____．错解：1.剖析学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1.所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2.理得A′C＝4，此时BA′取最小值为1.则点A′在BC边上移动的最大距离为3－1＝2.。

第18讲 概率的应用22题，分值为8分．题目设置均以学生平常生活中熟悉的游戏为背景，如摸球游戏、手指游戏、掷骰子游戏等，考查的内容均为列表法或树状图法求概率．预计在2015年的中考中，利用列表法或树状图法计算概率仍是解答题考查的重点．1．概率表示事件发生的可能性的大小，不能说明某种肯定的结果．2．概率这一概念就是建立在频率这一统计量稳定性的基础之上的，在大量重复进行同一试验时，可以用某一事件发生的频率近似地作为该事件发生的概率．3．模拟试验：由于有时手边恰好没有相关的实物或者用实物进行试验的难度很大，这时可用替代物进行模拟试验，但必须保证试验在相同的条件下进行，否则会影响其结果．频率与概率概率被我们用来表示一个事件发生的可能性的大小．如果一个事件是必然事件，它发生的概率就是1；如果一个事件是不可能事件，它发生的概率就是0；随机事件发生的概率通常大于0且小于1.对事件可能性大小的感觉通常来自观察这个事件发生的频率，即该事件实际发生的次数与试验总次数的比值，由于观察的时间有长短，随机事件的发生与否也有随机性，所以在不同的试验中，同一个随机事件发生的频率可能彼此不相等．1．(2014·陕西)小英与她的父亲、母亲计划外出旅游，初步选择了延安、西安、汉中、安康四个城市，由于时间仓促，他们只能去其中一个城市，到底去哪一个城市三个人意见不统一，在这种情况下，小英父亲建议，用小英学过的摸球游戏来决定，规则如下：①在一个不透明的袋子中装一个红球(延安)、一个白球(西安)、一个黄球(汉中)和一个黑球(安康)，这四个球除颜色不同外，其余完全相同；②小英父亲先将袋中球摇匀，让小英从袋中随机摸出一球，父亲记录下其颜色，并将这个球放回袋中摇匀，然后让小英母亲从袋中随机摸出一球，父亲记录下它的颜色；③若两人所摸出球的颜色相同，则去该球所表示的城市旅游，否则，前面的记录作废，按规则②重新摸球，直到两人所摸出球的颜色相同为止．按照上面的规则，请你解答下列问题：(1)已知小英的理想旅游城市是西安，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是多少？(2)已知小英母亲的理想旅游城市是汉中，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是多少？解：(1)画树状图得：∵共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的只有1种情况，∴小英和母亲随机各摸球一次，均摸出白球的概率是：116(2)由(1)得：共有16种等可能的结果，小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的有7种情况，∴小英和母亲随机各摸球一次，至少有一人摸出黄球的概率是：7162．(2013·陕西)甲、乙两人用手指玩游戏，规则如下：i)每次游戏时，两人同时随机地各伸出一根手指；ii)两人伸出的手指中，大拇指只胜食指，食指只胜中指，中指只胜无名指，无名指只胜小拇指，小拇指只胜大拇指，否则不分胜负，依据上述规则，当甲、乙两人同时随机地各伸出一根手指时．(1)求甲伸出小拇指取胜的概率； (2)求乙取胜的概率．解：设用A ，B ，列表如下：1种可能的结果，P(甲伸出小拇指取胜)＝125 (2)由上表可知，乙取胜有5种可能的结果，所以P(乙取胜)＝525＝153．(2012·陕西)小峰和小轩用两枚质地均匀的骰子做游戏，规则如下：每人随机掷两枚骰子一次(若掷出的两枚骰子摞在一起，则重掷)，点数和大的获胜；点数和相同为平局．依据上述规则，解答下列问题：(1)随机掷两枚骰子一次，用列表法求点数和为2的概率；(2)小峰先随机掷两枚骰子一次，点数和是7，求小轩随机掷两枚骰子一次，胜小峰的概率．(骰子：六个面分别刻有 1、2、3、4、5、6个小圆点的立方块．点数和：两枚骰子朝上的点数之和)解：(1)随机掷骰子一次，所有可能出现的结果如表：∵表中共有36种可能结果，其中点数和为2的结果只有一种，∴P(点数和为2)＝136(2)由表可以看出，点数和大于7的结果有15种，∴P(小轩胜小峰)＝1536＝512计算等可能事件的概率【例1】 (2014·漳州)如图，有以下3个条件：①AC ＝AB ，②AB ∥CD ，③∠1＝∠2，从这3个条件中任选2个作为题设，另1个作为结论，则组成的命题是真命题的概率是( D )A ．0B .13C .23D ．1【点评】 本题可列举所有的情况，求出结果．1．(2014·南通)在如图所示(A ，B ，C 三个区域)的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在__A__区域的可能性最大(填A 或B 或C)．用统计频率的方法估计概率【例2】 (2013·青岛)一个不透明的口袋里装有除颜色外都相同的5个白球和若干个红球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为了估计其中的红球数，采用如下方法，先将口袋中的球摇匀，再从口袋里随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，不断重复上述过程，小亮共摸了100次，其中有10次摸到白球，因此小亮估计口袋中的红球大约有( A )个A ．45B ．48C ．50D ．55 【点评】 本题每摸一次就相当于做了一次试验，因此大量重复的试验获取的频率可以估计概率．2．(1)(2012·贵阳)一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n 大约是( D )A ．6B ．10C ．18D ．20 (2)(2013·玉林)某小区为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为：可回收垃圾、厨余垃圾、其他垃圾三类，分别记为A ，B ，C ，并且设置了相应的垃圾箱，依次记为a ，b ，c .①若将三类垃圾随机投入三个垃圾箱，请你用树状图的方法求垃圾投放正确的概率； ②为了调查小区垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区三类垃圾箱中总重500 kg 生活垃圾，数据如下(单位： kg )a b c A 40 15 10 B 60 250 40 C 15 15 55解：(2)解：①如图，共有9种情况，其中投放正确的有3种情况，故垃圾投放正确的概率：39＝13 ②“厨余垃圾”投放正确的概率为25060＋250＋40＝57试题 如图，电路图中有四个开关A ，B ，C ，D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合A ，B ，C 都可使小灯泡发光．(1)任意闭合一个开关，则小灯泡发光的概率等于____；(2)任意闭合其中两个开关，请用画树状图或列表的方法求出小灯泡发光的概率．错解 (1)12 (2)14剖析 本题是结合物理电路图的概率问题，关键是理解电路图，理解概率的意义．正解 (1)14 (2)12正确画出树状图如下：。

2015中考专题--待定系数法与方程思想★★ 概述顾名思义，待定系数法指的是：为了达到解决的问题的目的，先假定、构想一个问题模式，其中存在一个或一个以上的未知字母，通常把这些未知字母称为待定系数，综合利用问题中的条件和已知的定理、公理、法则来求出未知系数的方法，就是待定系数法。

待定系数法在初中范围里主要用途是解决“因式分解”、“方程”和“函数”问题，成都市的中考，重点放在函数题中考察，分值一般在15分左右。

Ⅰ、运用在因式分解时，通常利用 给予解决；Ⅱ、运用在方程问题时，通常利用 给予解决； Ⅲ、运用在函数问题时，分三种情况区别对待：（1）正比例、反比例函数：因为只有一个待定系数，所以利用或挖掘题目中 个已知条件即可解决问题；（2）一次函数：因为y kx b =+中有两个待定系数k 、b ，所以利用或挖掘题目中 个已知条件即可解决问题；（3）二次函数：因为二次函数有 种表达式，所以利用或挖掘题目中 个或 个已知条件即可解决问题。

Ⅳ、中考在给出求函数解析式的条件时，一般有三种设置： ①、直接给出——没有难度；②、间接给出（如交点的坐标、与坐标轴围成图形的面积等）——稍有难度； ③、利用几何要素通过计算或推理给出——难度较大。

★★ 待定系数法运用举例★1、在整式乘法与因式分解中的运用【例1】是否存在常数q p ,使得q px x ++4能被522++x x 整除？如果存在，求出q p ,的值，否则请说明理由；【例2】(成都市理科实验班考题)如果328x ax bx +++有两个因式1x +和2x +，则a b += 。

◎课堂训练一1、已知1)1(112222-++=--+x Cx B x A x x x x ，其中A 、B 、C 为待定系数，求A B C ++的值。

2、(成都市理科实验班考题)：k 为何值时，多项式222352x xy ky x y -++-+能分解成两个一次因式的积？★★2、在方程或不等式中的运用【例3】（江苏）已知关于x 的不等式组153223x x x x a +⎧>+⎪⎪⎨+⎪<+⎪⎩只有4个整数解，则a 的取值范围时（ ）A.3145-≤≤-xB.3145-<≤-xC.1453x -<≤- D.3145-<<-x★★★3、用函数思想解决几何问题【例4】如图，A 、B 、C 是一条公路上的三个村庄，A 、B 间的路程为100千米，A 、C 间的路程为40千米，现在A 、B 之间设一个车站P ，设P 、C 之间的路程为x 千米。