偏微分方程数值解期末试题及标准答案

偏微分方程数值解试题(06B)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一（10分）、设矩阵A 对称，定义)(),(),(2

1

)(n R x x b x Ax x J ∈-=

，)()(0x x J λλϕ+=.若0)0('=ϕ,则称称0x 是)(x J 的驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解 解: 设n R x ∈0是)(x J 的驻点,对于任意的n R x ∈,令

),(2

),()()()(2

000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+

-+=+=, (3分)

0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有

0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分)

反之,若

n

R x ∈0满足

b

Ax =0,则对于任意的

x ,)(),(2

1

)0()1()(00x J x Ax x x J >+

==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分) 评分标准:)(λϕ的展开式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧

==∈=+-=0

)(,0)()

,()('

b u a u b a x f

qu dx

du p dx d Lu

其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]

,[1b a H f q b a C q p x p x p b a C p b a x ∈≥∈>=≥∈∈ 建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz 形式和

数学物理方程及数值解 复习提要

一、偏微分方程的建立 CH1 典型方程和定解条件 【内容提要】

1. 方程的建立(步骤:确定物理量;微元法建立等式;化简得方程)

主要方法：微元法； 泛定方程:

(1) 波动方程(双曲型)：

弦振动方程：22

222

2

(,)(,)(),()

u x t u x t F a a t

x

ρ∂∂==

∂∂张力单位长度弦质量 传输线方程：2222

22222

22

1,00i a LC

i a a t x t x νν∂∂∂∂-=-=∂∂∂=∂；， 电磁场方程:2222

2211,,H E H E t t εμεμ

∂∂=∇=∇∂∂

22

222222221(),με

标量函数形式:∂∂∂∂=++∂∂∂=∂u u u z a u a t x y (2) 热传导方程/扩散方程（抛物型）:

ρ

，其中22u F

a u f f t c ∂=∇+=

∂ 导热杆（无热源）2

22u u a t x ∂∂=∂∂， 导热片（无热源）22222

()u u u a t x y ∂∂∂=+∂∂∂ (3) 稳恒方程(椭圆型):

Poisson 方程：，2

u f ∇= Laplace 方程：，2

0u ∇=

2.定解条件：初始条件及边界条件

边界条件(1)第一类边界条件(Dirichlet 条件): 1(,)(,)D u M t f M t ∂=

(2) 第二类边界条件(Neumann 条件):

2D

u

f n ∂∂=∂ (3) 第三类边界条件(Robin 条件): 3(

)D

u

u f n σ∂∂+=∂ 3.定解问题的提法：

⎧⎪

⎧⎨⎨⎪⎩⎩

偏微分⽅程数值习题解答

李微分⽅程数值解习题解答 1-1 如果0)0('

=?，则称0x 是)(x J 的

驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是⽅程组 b Ax =的解证明:由)(λ?的定义与内积的性线性性质,得

),()),((2

1

)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλ?+-++=+=

),(2

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00x Ax x b Ax x J λλ+

-+=

),(),()(0'x Ax x b Ax λλ?+-=

必要性:由0)0('

=?,得,对于任何n R x ∈,有

0),(0=-x b Ax ,

由线性代数结论知,

b Ax b Ax ==-00,0

充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,

0|),(),()0(00'=+-==λλ?x Ax x b Ax

即0x 是)(x J 的驻点. §1-2

补充: 证明)(x f 的不同的⼴义导数⼏乎处处相等.

证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的⼴义导数,由⼴义导数的定义可知,对于任意

)()(0I C x ∞∈?,有

-=b

a b

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1?? ??-=b

a b

a dx x x f dx x x g )()()()('2?? 两式相减,得到

)(0)()(021I C x g g b

a ∞∈?=- 由变分基本引理,21g g -⼏乎处处为零,即21,g g ⼏乎处处相等.

补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式

偏微分方程教程答案

【篇一：偏微分方程数值解习题解答案】

class=txt>3页

13页

【篇二：3.1 常微分方程课后答案】

方程dy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解； dx

解：取?0(x)?0 12x 002

xx11152x ?2(x)?y0??[x??1(x)]dx??[x?(x2)2]dx?x2?002220

x1152x)]dx ?3(x)?y0??[x?(x2?0220

115181x?x?x11= x2?2201604400

dy 2 求方程=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解；

dx ?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x

解：令?0(x)?0

12x 002

xx12212152?(x)?y?[x??(x)]dx?[x?(x)]dx?x?x201?0?02220

x1152x)]dx?3(x)?y0??[x?(x2?0220

115181x?x?x11 =x2?2201604400

则?1(x)?y0??(x?y0)dx??xdx?x2x

3 题求初值问题：

?dy??x2

r：x??1，y?1 ?dx??y(?1)?0

的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；

b1解：因为 m=max{x2?y2}=4 则h=min(a,)= m4

1则解的存在区间为x?x0=x?(?1)=x?1? 4

令 ?0(x)=0 ;

11?1(x)=y0+?(x2?0)dx=x3+; 33x0x

?2(x) 13xx4x7111312=y0+?[x?(x?)]dx=x---+ 3942186333?12x

L试讨论逼近对蘇程詈+若。的差分沁1)

2)

q1 二：行口匚

1）解：设点为（X ? ，/曲）屮

则町=讥心厶）=班勺厶+J + °（工心）（Y ）

+0（F ）.

ot

所以截断误差为：3

E=丄 ------ + ---- 「 T h 啰_喟+竺护一 o （F ）

T

= 0（T + 力”

2）解：设点为：（X y ，/林1 ） 3

则町=讥勺,_）=以E ，_+1）+ （Y ） +o （巧卩 ot “；：；=班心+1 厶+i ）=叽厶+i ）+滋（ h ）+ * 臥工心）（为 2）+o ox (X)d

心;=班心亠心）=班心，/+1）+

敕:;D （一力）+ 3 役;D

（

血 2）+0（亥2）«

截断误差为：2

舟A 1 ” E= ------------ + ------------ — （―+ _） T h dt dx

叭：=班％厶+i ）+敗？心）（_勿+0 @2）〜

dx

-(史+空八

dt dx 呼1_吋】+竺丛Q —O （X ）

-(叱 3 +

dt

dx 2

2・试用积分插值法推导知铁。逼近的差分裕式

班勺厶叙）一班勺，乩i）+ ——-——£）

dt

T

q2 “

-” *

\ | (— 4- —)dxdt = | (un t 4- un x)ds = 0* dt & \

得-U] /J+U2 r+x^ A-u4 r = 0+J

E (j-l? n)

F (j,n)

G (j^n+l)

H (j-l,n+l)^

% ~ 的=旳=竹“4 = W/-l

Mf MT

h=h T-T

-ll"h + LL r H + ll：4h —LL：N =Op

《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准

专业班级信息与计算科学

开课系室

考试日期 2006.4.14

命题教师王子亭

偏微分方程数值解试题(06A)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2

1

)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下

列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J n

R

x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =

解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令

),(2

),()()()(2

000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+

-+=+=, (3分)

因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反

之

,若

n

R x ∈0满足

b

Ax =0,则对于任意的

x ,)(),(2

1

)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)

评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧

==∈=+-=0

)(,0)()

,()(b u a u b a x f qu dx

du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]

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更多精品文档题目一、用有限元法求下列边值问题的数值解：

''()112

x -y +y =2sin ,0

y(0)=0,y'()=0.

其中精确解为24

x y =sin()2步长取0.1

h 要求：⑴、将精确解与用有限元得到的数值解画在同一图中

⑵、1h H u u 、2h L u u 、01

h x max u -u 。题目二、用线性元求解下列问题的数值解：

x x u(x,-1)=u(x,1)=0,-1

u (-1,y)=1,u u =0=-2,-1

y <1,

精确到小数点后第六位，画出解曲面。

题目三、用Crank-Nicolson 差分法求解Burger 方程

0,(0,1),(0,5),

,[01]t (1).

t x xx v +vv =v ,x t v(x,0)=sin2x x ;v =v ,t =0，其中取1

要求画出解曲面迭代格式如下：12212121111111111221

42212n n

n n n n j j j j j j

n n n n n n j j j j j j V V V V V V h h V

V V V V V h h

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题目一、用有限元法求下列边值问题的数值解：

''()112x -y +y =2sin ,0<x <,42y(0)=0,y'()=0.ππ⎧⎪⎨⎪⎩

其中精确解为 24

x y =sin()2ππ 步长取0.1h =

要求：⑴、将精确解与用有限元得到的数值解画在同一图中 ⑵、1h

H u u -、2h L u u -、01

h x max u -u ≤≤。 题目二、用线性元求解下列问题的数值解：

x

x u(x,-1)=u(x,1)=0,-1<x <1,u (-1,y)=1,u u =0=-2,-1<x,,-1<y <1.y <1,⎧∆⎪⎨⎪⎩ 精确到小数点后第六位，画出解曲面。

题目三、用Crank-Nicolson 差分法求解Burger 方程

0,(0,1),(0,5),,[01]t (1).t x xx v +vv =v ,x t v(x,0)=sin2x x ;v =v ,t =0ννπ>∈∈⎧⎨∈(0,)⎩

， 其中取1ν= 要求画出解曲面

迭代格式如下： 1221212111111111122142212n n n n n n j j j j j j n n n n n n j j

j j j

j V V V V V V h h V V V V V V h h τ

++++++++++-+-⎧⎫-()-()()-()⎪⎪++⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎧⎫-+-+⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('

=ϕ，则称0x 是)(x J 的

驻点（或稳定点）.矩阵A 对称（不必正定），求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解

证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得

),()),((2

1

)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=

),(2

),()(2

00x Ax x b Ax x J λλ+

-+=

),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=

必要性:由0)0('

=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有

0),(0=-x b Ax ,

由线性代数结论知,

b Ax b Ax ==-00,0

充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,

0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax

即0x 是)(x J 的驻点. §1-2

补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.

证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意

)()(0I C x ∞∈ϕ,有

⎰⎰-=b

a b

a dx x x f dx x x g )()()()('

1ϕϕ ⎰⎰-=b

a b

a dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到

)(0)()(021I C x g g b

a ∞

∈∀=-⎰ϕϕ 由变分基本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.

补充:证明),(v u a 的连续性条件证明: 设

偏微分方程数值解法（带程序）

例1 求解初边值问题22,(0,1),012,(0,]2(,0)12(1),[,1)2(0,)(1,)0,0

u u

x t t x x x u x x x u t u t t ⎧⎪

⎪⎪⎧

⎨⎪⎪⎪⎨

⎪⎪⎪⎪⎩⎩

∂∂=∈>∂∂∈=-∈==>要求采用树脂格式 111(2)n n n n n

j j j j j u u u u u λ++-=+-+，2

()

t

x λ∆=

∆，完成下列计算： （1） 取0.1,0.1,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。 （2） 取0.1,0.5,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。 （3） 取0.1, 1.0,x λ∆==分别计算0.01,0.02,0.1,t =时刻的数值解。 并与解析解22()22

18

1(,)sin()sin()2n t n u n x t n x e n ππππ∞

-==

∑进行比较。 解：程序

function A=zhongxinchafen(x,y,la) U=zeros(length(x),length(y)); for i=1:size(x,2)

if x(i)>0&x(i)<=0.5 U(i,1)=2*x(i); elseif x(i)>0.5&x(i)<1 U(i,1)=2*(1-x(i)); end end

for j=1:length(y)-1

for i=1:length(x)-2

U(i+1,j+1)=U(i+1,j)+la*(U(i+2,j)-2*U(i+1,j)+U(i,j)); end end

偏微分方程习题及答案

【篇一：偏微分方程数值解法期末考试题答案】

题答案及评分标准

学年学期：专业：班级：课程：教学大纲：使用教材：教材作者：出版社：

数学与应用数学数学偏微分方程数值解法《偏微分方程数值解法》教学大纲（自编，2006）《偏微分方程数值解法》陆金甫、关治

清华大学出版社

一、判断题（每小题1分，共10分）1、（o）2、（o）3、（x）

4、（x）

5、（o）

6、（o）

7、（o）

8、（x）

9、（x） 10、（o）

二、选择题（每小题2分，共10分） 11、（d） 12、（a） 13、（c） 14、（b）15、（c）

三、填空题（每小题2分，共20分）

?2?2

16、2?2?

?x1?x2?2

?2 17、a=[4 5 9;23 5 17;11 23 1] 18、y=exp(-t/3)*sin(3*t) ?xn

19、help 20、zeros(m,n)21、inva(a)*b或者a/b22、

a=sym([cos(x-y),sin(x+y);exp(x-y),(x-1)^3])

?(s)?1?(s)?c[?

?(s)]2?023、a[?2(s)]2?2b?2

24

??

??

v(?)ed? 25、

i?x

u(xj,tn?1)?u(xj,tn)

?

四、计算题：（每小题12分，共36分）

?u?u

?0（x?r,t?0）的有限差分方程（两层显示26、写成对流方程?a

?t?x

格式，用第n层计算第n+1层），并把有限差分方程改写为便于计

算的迭代格式???/h为网格比。

解：在点(xj,tn)处，差分方程为

?1un?unjj

?

第二章习题答案

第二章第三章第四章第五章第六章

第二章第三章第四章第五章第六章

第二章第三章第四章第五章第六章

第二章第三章第四章第五章第六章

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案

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《偏微分方程数值解》试卷参考答案与评分标准

专业班级信息与计算科学

开课系室

考试日期 2006.4.14

命题教师王子亭

偏微分方程数值解试题(06A)

参考答案与评分标准

信息与计算科学专业

一（10分）、设矩阵A 对称正定，定义)(),(),(2

1

)(n R x x b x Ax x J ∈-=，证明下

列两个问题等价：(1)求n R x ∈0使 )(min )(0x J x J n

R

x ∈=;(2)求下列方程组的解：b Ax =

解: 设n R x ∈0是)(x J 的最小值点,对于任意的n R x ∈,令

),(2

),()()()(2

000x Ax x b Ax x J x x J λλλλϕ+

-+=+=, (3分)

因此0=λ是)(λϕ的极小值点,0)0('=ϕ,即对于任意的n R x ∈,0),(0=-x b Ax ,特别取b Ax x -=0,则有0||||),(2000=-=--b Ax b Ax b Ax ,得到b Ax =0. (3分) 反

之

,若

n

R x ∈0满足

b

Ax =0,则对于任意的

x ,)(),(2

1

)0()1()(00x J x Ax x x J >+==+ϕϕ,因此0x 是)(x J 的最小值点. (4分)

评分标准:)(λϕ的表示式3分, 每问3分,推理逻辑性1分

二（10分）、 对于两点边值问题：⎪⎩⎪⎨⎧

==∈=+-=0

)(,0)()

,()(b u a u b a x f qu dx

du p dx d Lu 其中]),([,0]),,([,0)(min )(]),,([0min ]

二、改进的Euler 方法

梯形方法的迭代公式(1.10)比Euler 方法精度高,但其计算较复杂,在应用公式(1.10)进行计算时,每迭代一次,都要重新计算函数),(y x f 的值,且还要判断何时可以终止或转下一步计算.为了控制计算量和简化计算法,通常只迭代一次就转入下一步计算.具体地说,我们先用Euler 公式求得一个初步的近似值1+n y ,称之为预测值,然后用公式(1.10)作一次迭代得1+n y ,即将1+n y 校正一次.这样建立的预测－校正方法称为改进的Euler 方法:

预测: ),,(1n n n n y x hf y y +=+ 校正

:

)].,(),([2

111+++++=n n n n n n y x f y x f h

y y

(1.15)

这个计算公式也可以表示为

11(,),

(,),

1().

2p n n n

c n n p n p c

y y hf x y y y hf x y y y y ++⎧=+⎪⎪=+⎪⎨

⎪=+⎪⎪⎩

例1 取步长0.1h =，分别用Euler 方法及改进的Euler 方法求解初值问题

d (1),01,

d (0) 1.

y

y xy x x

y ⎧=-+≤≤⎪⎨⎪=⎩ 解 这个初值问题的准确解为()1(21)x

y x e x =--. 根据题设知

).1(),(xy y y x f +-=

(1) Euler 方法的计算式为

)],1([1.01n n n n n y x y y y +⨯-=+

由1)0(0==y y , 得

,9.0)]101(1[1.011=⨯+⨯⨯-=y

李微分方程数值解习题解答 1-1 如果0)0('

=ϕ，那么称0x 是)(x J 的

驻点〔或稳定点〕.矩阵A 对称〔不必正定〕，求证0x 是)(x J 的驻点的充要条件是：0x 是方程组 b Ax =的解

证明:由)(λϕ的定义与内积的性线性性质,得

),()),((2

1

)()(0000x x b x x x x A x x J λλλλλϕ+-++=+=

),(2

),()(2

00x Ax x b Ax x J λλ+

-+=

),(),()(0'x Ax x b Ax λλϕ+-=

必要性:由0)0('=ϕ,得,对于任何n R x ∈,有

0),(0=-x b Ax ,

由线性代数结论知,

b Ax b Ax ==-00,0

充分性: 由b Ax =0,对于任何n R x ∈,

0|),(),()0(00'=+-==λλϕx Ax x b Ax

即0x 是)(x J 的驻点. §1-2

补充: 证明)(x f 的不同的广义导数几乎处处相等.

证明:设)(2I L f ∈,)(,221I L g g ∈为)(x f 的广义导数,由广义导数的定义可知,对于任意

)()(0I C x ∞∈ϕ,有

⎰⎰-=b

a b

a dx x x f dx x x g )()()()('

1ϕϕ ⎰⎰-=b

a b

a dx x x f dx x x g )()()()('2ϕϕ 两式相减,得到

)(0)()(021I C x g g b

a ∞

∈∀=-⎰ϕϕ 由变分根本引理,21g g -几乎处处为零,即21,g g 几乎处处相等.

补充:证明),(v u a 的连续性条件(1.2.21) 证明: 设'|)(|,|)(|M x q M x p ≤≤,由Schwarz 不等式