不等式应用-(二)求函数的最大值、最小值

柯西不等式的应用技巧一、求解极值问题∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √[∫[a,b] f^2(x)dx] * √[∫[a,b]g^2(x)dx]，其中等号成立来自于两个函数的线性相关性。

利用柯西不等式，我们可以求解函数的最大值和最小值。

以求解函数f(x)=x(1-x)在区间[0,1]上的极值为例，我们可以将f(x)表示为f(x)=x-x^2，进而应用柯西不等式得到：∫[0,1] x(1-x) dx ≤ √[∫[0,1] x^2 dx] * √[∫[0,1] (1-x)^2 dx]=√[1/3]*√[1/3]=1/3所以函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为1/3二、求解积分问题以求解积分∫[0,1] (x^2 + 1) dx为例，我们可以构造一个辅助函数g(x) = 1，然后应用柯西不等式得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^2 + 1)^2 dx] *√[∫[0,1] 1^2 dx]计算得到：∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √[∫[0,1] (x^4 + 2x^2 + 1) dx] *√[1]=√[1/5+2/3+1]=√[(5+10+15)/15]=√[2]所以∫[0,1] (x^2 + 1) dx ≤ √2三、求解概率问题以证明概率分布函数的Cauchy-Schwarz不等式为例，假设X和Y是两个随机变量，它们的概率分布函数分别为f(x)和g(x)。

根据柯西不等式，我们有：E(XY)^2≤E(X^2)E(Y^2)，其中E(表示期望。

通过柯西不等式，我们可以证明两个随机变量的相关系数的上限为1、若X和Y的相关系数为ρ，则根据定义有：ρ = Cov(X,Y) / (σ(X)σ(Y))其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σ(X)和σ(Y)表示X和Y的标准差。

我们可以利用柯西不等式证明：ρ，≤1四、其他应用总结起来，柯西不等式是一个在线性代数中非常有用的工具。

用基本不等式求最值六种方法基本不等式是求解数学问题中常用的工具，可以通过基本不等式来求解最值问题。

下面将介绍六种使用基本不等式求解最值问题的方法。

方法一：两边平方法若要求一个式子的最大值或最小值，在不改变问题的本质情况下，可以通过平方的方式将问题转化为一个更容易处理的形式。

例如，我们要求a+b 的最小值，可以通过平方的方式将其转化为一个更易处理的问题，即(a+b)^2=a^2+b^2+2ab，然后应用基本不等式，得到(a+b)^2≥ 2ab。

由此可见，通过两边平方后，可使用基本不等式求得 a+b 的最小值。

方法二：四平方法四平方法指的是对式子的四个项分别平方，将一些复杂的问题转化为四个简单展开的项的和，然后再应用基本不等式进行推导。

例如，我们要求 a^2 + b^2 的最小值，可以采用四平方法将其转化为 a^2/2 + a^2/2 + b^2/2 + b^2/2 的和，即 (a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2)，然后应用基本不等式，得到(a^2/2 + b^2/2) + (a^2/2 + b^2/2) ≥2√[(a^2/2)(b^2/2)] = ab。

方法三：绝对值法绝对值法是将问题中的绝对值项用不等式进行替代，然后使用基本不等式进行求解。

例如，我们要求，x-2，的最小值，可以将其转化为不等式形式，即x-2≥0或x-2≤0。

然后根据这两个不等式分别求解x的取值范围，得到最小值。

方法四：极值法极值法是将要求最值的式子看作一个函数，通过求函数的极值点来确定最值。

例如，我们要求 f(x) = x^2 的最小值，可以求函数的极值点。

对于二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其极值点的横坐标是 -b/2a，通过求解方程 -b/2a = 0，可以得到 x = 0。

因此，f(x) = x^2 的最小值是 f(0) = 0。

方法五：辅助不等式法辅助不等式法是引入一个辅助不等式，通过该不等式来推导求解最值问题。

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

高中数学基本不等式最大值和最小值的求解方法在高中数学中，不等式是一个重要的概念，而求解不等式中的最大值和最小值是解决数学问题中常见的任务之一。

本文将介绍高中数学中常见的基本不等式求解方法，以帮助同学们更好地理解和应用这一知识点。

不等式的定义不等式是一个数学表达式，其中包含不等号（<、>、≤、≥）的关系。

不等式可以描述值之间的大小关系，如大于、小于、大于等于、小于等于等。

基本不等式之最大值和最小值在高中数学中，我们常见的基本不等式包括Cauchy-Schwarz不等式、AM-GM不等式、柯西不等式等。

这些不等式在求解最大值和最小值问题时发挥着重要作用。

Cauchy-Schwarz不等式Cauchy-Schwarz不等式是关于内积空间的一个基本不等式，它可以用来估计两个向量之间的夹角以及它们的长度。

最大值和最小值可以通过Cauchy-Schwarz不等式来确定。

AM-GM不等式AM-GM不等式（算术-几何均值不等式）是数学中的一条基本不等式，它表明对于非负实数的一组数，它们的算术平均数大于等于它们的几何平均数。

利用AM-GM不等式可以求解数列、三角函数等问题中的最大值和最小值。

柯西不等式柯西不等式是关于内积空间中两个向量的夹角和长度之间的一个重要不等式。

通过柯西不等式，我们可以找到向量之间的最大值和最小值。

求解方法在实际问题中，我们常常需要求解函数在一定区间内的最大值和最小值。

一般来说，可以通过对函数求导数，然后令导数为0来找到函数的驻点，再通过二阶导数的符号来判断该点是极大值点还是极小值点。

另外，对于一些特定的函数或不等式，我们可以利用其特性来直接求解最大值和最小值，比如对称性、周期性等性质。

结论本文介绍了高中数学中常见的基本不等式求解方法，包括Cauchy-Schwarz不等式、AM-GM不等式、柯西不等式等。

通过这些不等式的应用，我们可以更好地求解函数的最大值和最小值问题，深化对不等式的理解和运用能力。

用基本不等式求二次函数的最值二次函数的最大值或最小值，教材上是用配方法求出的，而采用基本不等式也可以推导出来。

y=ax²+bx+c (a≠0)=x(ax+b)+c=-ax(ax+b)/(-a)+c （当b为正时）=ax(-ax-b)/(-a)+c （当b为负时）当b为正值时，用表达式y=-ax(ax+b)/(-a)+c，无论a为正还是负，在0与-b/a之间，即区间（-b/a，0）----a为正时或（0，-b/a）----a为负时内，-ax和ax+b也均为正值，因为-ax+(ax+b)=b是个定值，所以当-ax=ax+b，即x=-b/2a时，-ax(ax+b)有最大值b²/4。

当b为负值时，用表达式y=ax(-ax-b)/(-a)+c，无论a为正还是负，在0与-b/a之间，即区间（-b/a，0）----a为负时或（0，-b/a）----a为正时内，ax和-ax-b也均为正值，因为ax+(-ax-b)=b是个定值，所以当ax=-ax-b，即x=-b/2a时，ax(-ax-b)有最大值b²/4。

所以对于任何二次函数，当x=-b/2a时，-ax(ax+b)或ax(-ax-b)都有最大值b²/4，即函数y=ax²+bx+c有最大或最小值b²/4÷(-a)+c。

究竟是最大值还是最小值，要看除数-a的正负，如果-a是正值，b²/4÷(-a)就是个正数，函数有最大值；若-a是负值，b²/4÷(-a)就是个负数，则函数有最小值。

所以y极值=-b²/4a+c=c-b²/4a=(4ac-b²)/4a这样求出的极值，是在一个区间的中间处，而不是区间端点，所以是区间内的顶点。

而二次函数是条抛物线，只有一个顶点，所以用基本不等式求出的区间顶点也是整条抛物线的顶点，是二次函数整个值域内的最大或最小值。

函数不等式知识点归纳总结函数不等式是解决数学问题中常见的一种形式，它涉及到函数的不等关系及其解集。

本文将对函数不等式的概念、解法和应用进行归纳总结，以帮助读者更好地理解和应用函数不等式。

一、函数不等式的概念函数不等式是指含有函数的不等式关系，其中函数可以是一元函数或多元函数。

函数不等式可以包含一个或多个变量，并且其解集通常是一个或多个实数区间。

解函数不等式的主要目标是确定变量的取值范围，以满足不等式关系。

二、一元函数不等式的解法解一元函数不等式的方法主要包括图像法、代数法和符号法。

图像法借助函数的图像找到不等式的解集；代数法借助代数运算和推导解出不等式的解集；符号法则通过符号变换和符号性质推导解出不等式的解集。

2.1 图像法图像法是通过函数的图像来解不等式的方法。

首先，绘制函数的图像，并观察函数图像的凹凸性、单调性和零点等信息。

然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。

2.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。

利用一元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。

2.3 符号法符号法是通过符号变换和符号性质来解不等式的方法。

不等式中的符号可根据不等式的性质进行变换，并利用符号性质推导出不等式的解集。

常见的符号性质包括非负性、相反性、单调性和倍数性等。

三、多元函数不等式的解法解多元函数不等式的方法主要包括图像法和代数法。

其中，图像法借助多元函数的图像确定不等式的解集；代数法则通过代数运算和推导解出不等式的解集。

3.1 图像法图像法是通过多元函数的图像来解不等式的方法。

首先，绘制多元函数的图像，并观察函数图像的变化趋势。

然后，根据函数图像的性质确定不等式的解集。

3.2 代数法代数法是通过代数运算和推导来解不等式的方法。

利用多元函数的性质，将不等式进行化简、移项和分式分解等操作，最终得到不等式的解集。

四、函数不等式的应用函数不等式在数学和实际问题中有着广泛的应用。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题02基本不等式与二次不等式【专题综述与核心素养要求】与“集合”“常用逻辑用语”一样，“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容也是《课程标准（2017年版）》规定的高中数学课程的预备知识.它们的作用都是为高中数学课程做好学习心理、学习方式和知识技能等方面的准备，帮助学生完成初高中数学学习的过渡.为什么“相等关系与不等关系”和“从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式”的内容能发挥这样重要的作用？它们为高中数学课程的学习做了哪些方面的准备呢？首先，相等关系、不等关系是数学中最基本的数量关系，是构建方程、不等式的基础，而方程和不等式都是重要的数学工具，在解决问题中有广泛的应用，因此对方程和不等式内容的学习，主要是为高中数学课程提供工具方面的准备.其次，函数是贯穿高中数学课程的最重要的概念和思想方法，用函数的观点看方程和不等式是要向学生渗透一种重要的思想方法——如何从函数的观点理解其他数学对象，进而把握不同数学对象的共性和相互关系.而这种思想方法对学生高中阶段的数学学习是非常重要的.最后，从学习方法来看，本章要在回顾、梳理等式内容的基础上，提炼等式中蕴含的思想方法，以及用一次函数的观点看一次方程、不等式的思想方法，再把这些思想方法迁移到对不等式内容的学习中.这种“回顾、梳理—提炼—迁移”的学习方法将适用于高中许多内容的学习.【重要知识点与题型快速预览】【知识点精解精析】别名性质内容注意性质1 对称性可逆性质2 传递性同向性质3 可加性可逆性质3的推移项法则可逆论性质4 可乘性的符号性质5 同向可加性同向性质6 同向同正可乘性同向，同正性质7 可乘方性同正性质8 可开方性（1）三个“二次”之间的关系由一元二次不等式的一般形式知，任何一个一元二次不等式整理成一边形式为或，而且我们已经知道对于一元二次方程（，其中），它的解按照可分为三种情况．相应地，二次函数的图象与轴的位置关系也分为三种情况，因此，对应的一元二次不等式（或）的解集我们也分三种情况进行讨论．二次函数的图象一元二次方程的根有两不同实根有两个相等的实根无实根一元二次不等式的解集的解集或的解集时解集的结构可记为：的解集为“大于大根或小于小根”；的解集为“大于小根且小于大根”．（2）解一元二次不等式的一般步骤①对不等式变形，使一端为零且二次项系数大于零；②计算判别式；③当时，求出相应的一元二次方程的根；④根据二次函数图象写出一元二次不等式的解集．（1）重要不等式，当且仅当时，等号成立．（2）基本不等式如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫做正数的算术平均数，叫做正数的几何平均数．因此，基本不等式可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．温馨提示①基本不等式成立的条件是．②从不等式成立的条件来看，要求，而对没有要求．例如，当，时，成立，但显然不成立． ③事实上，当时，我们分别用代替重要不等式中的，可得，变形可得．④基本不等式可变形为等．⑤由基本不等式，我们可以得到一个常用结论：．【必知必会题型深度讲解】解一元二次不等式的一般步骤如下： （1）化成标准式或．（2）计算对应方程根的判别式． （3）求出对应方程的解．（4）画出相应二次函数的图象．（5）由图象写出不等式的解集．【典型例题1】解下列不等式：（1）260x x -->； （2）2251010x x -+>； （3）2210x x -++<.【典型例题2】解下列不等式：（1）2＋3x －2x 2>0； （2）x (3－x )≤x (x ＋2)－1； （3）x 2－2x ＋3>0.【典型例题3】已知不等式()21460a x x --+>的解集为{}31x x -<<．（1）解不等式()2220xa x a +-->；（2）b 为何值时，230ax bx ++≥的解集为R ？在解含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑：（1）关于不等式类型的讨论：二次项的系数； （2）关于不等式对应的方程的根的讨论：两根（），无根（）； （3）关于不等式对应的方程根的大小的讨论：．【典型例题1】求关于x 的不等式2(1)0x a x a +--<的解集，其中a 是常数.【典型例题2】解关于x 的不等式:()210x x a a --->.【典型例题3】解下列含参数的不等式：（1）2220x ax a --<； （2）()2110axa x -++≤；（3）230x mx m --≤．（1）含参数的不等式的恒成立问题通过分离参数，把参数的范围问题转化为函数的最值问题．在的最大值与最小值存在的条件下，恒成立；恒成立．（2）一元二次不等式的恒成立问题 ①对任意实数均成立对任意实数均成立②若（或）在时恒成立，可利用单调性或分离参数法等求解．【典型例题1】当[]13x ∈，时，一元二次不等式2280x x a -+-≤恒成立，求实数a 的取值范围.【典型例题2】已知不等式2210ax ax ++>在x ∈R 时恒成立，求实数a 的取值范围.【典型例题3】要使函数()124xx f x a=++·在(]1x ∈-∞，时()0f x >恒成立，求a 的取值范围. （1）比较两个实数与的大小，作差法需归结为判断它们的差的符号，因此，因式分解时越彻底越好，若用配方法化成和的形式，则各项符号需相同．（2）用作商法比较大小时，被除数与除数同号，否则不等号方向由可能弄错． （3）比较两个数或代数式（均大于零）的大小，也可化为比较两个数平方的大小．（4）在比较两个数的大小时，若作差后不易变形，则可与中间量（如0或1等）进行比较，再由不等式的传递性得到两数的大小关系．（5）在比较两个数的大小时，若差式中变量较多，不易变形，则应考虑消元，减少式中变量，以利于判断，差式的符号．【典型例题1】比较下面两组数的大小:(1)3274;(2710314【典型例题2】已知0a >，0b >，试比较11a b M a b =+++与11b aN a b=+++的大小． 【典型例题3】比较下列各组中两个代数式的大小：（1）231x x -+与221x x +-； （2）当0a >，0b >且ab 时，a b a b 与b a a b .（1）对于条件不等式的证明，充分利用条件是关键，要注意“1”的整体代换及几个“＝”必须保证同时成立．（2）证明不等式时要注意灵活变形，可以多次利用基本不等式的变形形式．【典型例题1】已知,,a b c 都是正实数，求证：a b cab bc ca ++++.【典型例题2】已知a ，b ，c 是不全相等的正数，求证：()()()2222226a b c b c a c a b abc +++++>. 【典型例题3】已知0,0,0a b c >>>,求证:32c a b a b b c a c +++++. （1）利用基本不等式求最值的条件利用基本不等式求最值，必须同时满足以下三个条件，一正、二正、三相等． 即：①都是正数． ②积（或和）为定值（有时需通过“配凑、拆分”找出定值）．③与必须能够相等（等号能够取到）．特别地，当式子中等号不成立时，不能应用基本不等式，而应改用函数的单调性求最值． （2）构造定值条件的常用技巧①加项变换；②拆项变换；③统一换元；④平方后利用基本不等式． （2）基本不等式与最值 设是正数，①若（和为定值），则当时，积取得最大值； ②若（积为定值），则当时，和取得最小值．【典型例题1】是否存在正实数a 和b ，同时满足下列条件：①10a b +=；②1a bx y+=(x >0，y >0)且x y +的最小值为18，若存在，求出a ，b 的值；若不存在，说明理由．【典型例题2】求下列函数的最大值和最小值：（1）13y x x =-+；（2）2,[1,4]y x x x=+∈；（3）4,[2,8]y x x x=-∈； （4）1121,,212y x x x ⎛⎫=-+∈-∞- ⎪+⎝⎭. 【典型例题3】已知函数22()x x af x x-+=． （1）当4a =时，求函数()f x 在(0,)x ∈+∞上的最小值；（2）若对任意的(0,),()0x f x ∈+∞>恒成立．试求实数a 的取值范围； （3）若0a >时，求函数()f x 在[2,)+∞上的最小值．应用基本不等式解决实际问题的步骤： （1）仔细阅读题目，透彻理解提议；（2）分析实际问题中的数量关系，引入未知数，并用它表示其他的变量，把要求最值的变量表示为关于未知数的函数；（3）应用基本不等式求出函数的最值； （4）还原实际问题，作答．对于实际问题一定要注意变量的取值范围．【典型例题1】为迎北京冬奥会，某校要设计如图所示的一张矩形宣传广告牌，该广告牌含有大小相等的左、中、右三个矩形栏目，这三个矩形栏目的面积之和为26000cm ，四周空白的宽度为10cm ，栏与栏之间的中缝空白的宽度为5cm ，怎样确定广告矩形栏目长与宽的尺寸（单位：cm ），使整个矩形广告牌面积最小?【典型例题2】如图，某房地产开发公司计划在一栋楼区内建造一个矩形公园ABCD ，公园由矩形的休闲区（阴影部分）1111D C B A 和环公园人行道组成，已知休闲区1111D C B A 的面积为1000平方米，人行道的宽分别为4米和10米，设休闲区的长为x 米．（1）求矩形ABCD 所占面积S （单位：平方米）关于x 的函数解析式； （2）要使公园所占面积最小，问休闲区1111D C B A 的长和宽应分别为多少米？【典型例题3】某小区要建一个八边形的休闲区，如图所示，它的主要造型平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为2200m 的十字形区域.计划在正方形MNPQ 上建一个花坛，造价为4200元/2m ，在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺设花岗岩地面，造价为210元/2m ，再在四个等腰直角三角形上铺设草坪，造价为80元/2m .求当AD 的长度为多少时，建设这个休闲区的总价最低.。

基本不等式应用一．基本不等式1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+ (2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a bb a b a b a+≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若R b a ∈,，则2)2(222b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x解：（1）y ＝3x 2＋12x2 ≥23x 2·12x2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞）（2）当x ＞0时，y ＝x ＋1x≥2x ·1x＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1x ）≤－2x ·1x=－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值。

不等式应用-(二)求函数的最大值、最小值在数学中，我们经常需要求出一个函数的最大值或最小值。

这类问题与不等式关系紧密相连，我们可以通过研究不等式来求出函数的最大值或最小值。

函数的最大值和最小值是指这个函数在定义域范围内取得的最大值和最小值。

在求函数的最大值和最小值时，我们需要先确定函数的定义域范围，然后再通过某些方法，找到函数取得最大值和最小值的点。

1. 导数法函数的导数可以反映函数在某一点的变化趋势，因此可以用导数来求解函数的最大值和最小值。

我们可以通过求函数的导数，找到函数在某些点取得极值的情况。

具体来说，如果函数$f(x)$在$x_0$处取得极值，那么$f'(x_0)=0$或$f'(x_0)$不存在。

因此，我们可以先求出函数的导数，然后将导数为零和不存在的点找出来，再分别求出这些点所对应的函数值，最后比较这些函数值的大小，即可得到函数的最大值和最小值。

2. 方法二：二次函数求解法有些函数具有二次函数的形式，我们可以利用完全平方公式，将其化为标准的二次函数形式，然后通过二次函数的解析公式来求出函数的最大值和最小值。

例如，对于函数$f(x)=ax^2+bx+c$，我们可以先将它化为标准形式，即$f(x)=a(x+\frac{b}{2a})^2-\frac{b^2}{4a}+c$，通过这样的转化，我们可以简化函数的形式，从而更容易求出其最大值和最小值。

三、例题1. 求函数$f(x)=x^2-6x+5$的最小值解：首先，我们可以利用二次函数求解法，将函数$f(x)$化为标准形式，得到$f(x)=(x-3)^2-4$。

接下来，我们观察标准形式，可以看出该函数在$x=3$处取得最小值，即$f(3)=-4$，因此函数$f(x)$的最小值为$-4$。

解：对于函数$f(x)$，它在原点处存在间断点，因此我们需要先确定函数的定义域范围。

在$x>0$的条件下，我们可以求出函数的导数$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，根据导数的定义，我们可以得到$f(x)$在$x>0$时取得最小值的点是$x=1$，这时$f(x)$的最小值为$1$。

第2课时 基本不等式的综合应用学 习 目 标核 心 素 养1.会用基本不等式求函数的最大(小)值问题．(重点)2．能利用基本不等式解决实际应用问题．(难点)1．通过基本不等式求函数最值的应用，提升数学运算素养．2．借助基本不等式在实际问题中的应用，培养数学建模素养．已知x 、y 都是正数，(1)若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24；(2)若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，x ＋y 取得最小值2p . 上述命题可归纳为：和定积最大，积定和最小．思考：(1)两个非负数的积为定值，它们的和一定可以用基本不等式求最小值吗？ (2)两个非负数的和为定值，它们的积一定可以用基本不等式求最大值吗？ 提示：(1)不一定，例如a 2＋2与1a 2＋2，它们的积为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最小值．(2)不一定，例如1＋a 2与1－a 2，它们的和为定值，但等号取不到，因此不能用基本不等式求最大值．1．若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是( ) A ．2 B ．a C ．2aa －1D ．3 D [∵a ＞1，∴a －1＞0，∴a ＋1a －1＝a －1＋1a －1＋1≥2 （a －1）·1a －1＋1＝3.当且仅当a －1＝1a －1，即a ＝2时，等号成立．] 2．设x ＞0，则y ＝3－3x －1x的最大值是( )A ．3B ．－3 2C ．3－2 3D ．－1 C [∵x ＞0， ∴y ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x ≤3－23x ·1x ＝3－2 3.当且仅当3x ＝1x ，且x ＞0，即x ＝33时，等号成立．]3．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________千米处．5 [依题意得y 1＝20x ，y 2＝45x 为仓库与车站的距离，∴y 1＋y 2＝20x ＋4x5≥216＝8，当且仅当x ＝5时取等号，所以仓库应建在离车站5千米处．]4．当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值．[解] y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32，∵当x <32时，3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x ＝4，当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号． 于是y ≤－4＋32＝－52，故函数有最大值－52.]基本不等式求函数最值【例1】 (1)设0<x <2，求函数y ＝3x ()8－3x 的最大值； (2)若x >4，求y ＝3x －4＋x 的最小值． [思路点拨] (1)3x ＋()8－3x ＝8；(2)3x －4＋x ＝3x －4＋()x －4＋4 .可利用基本不等式求解．[解] (1)∵0＜x ＜2，∴0＜3x ＜6，8－3x ＞2＞0， ∴y ＝3x （8－3x ）≤3x ＋（8－3x ）2＝82＝4，当且仅当3x ＝8－3x ，即x ＝43时，取等号．∴当x ＝43时，y ＝3x （8－3x ）的最大值是4.(2)当x ＞4时，x －4＞0， ∴3x －4＋x ＝3x －4＋(x －4)＋4≥23x －4×（x －4）＋4＝23＋4， 当且仅当3x －4＝x －4， 即x ＝4＋3时，取等号； ∴当x ＝4＋3时，y ＝3x －4＋x 的最小值是23＋4.1．应用基本不等式求最值必须满足三个条件，“一正、二定、三相等”．2．应用基本不等式求最值时，“凑定值”是一个难点，常用技巧有“拆项”、“添项”、“常值代换”等．[跟进训练]1．求函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值.[解] 令x ＋1＝t >0，∴x ＝t －1，∴y ＝（t －1）2＋7（t －1）＋10t ＝t 2＋5t ＋4t ＝t ＋4t＋5≥2t ·4t＋5＝9，当且仅当t ＝4t，即t ＝2，x ＝1时等号成立．∴当x ＝1时，函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)取得最小值9.利用基本不等式求条件最值【例2】 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求8x ＋2y 的最小值.[思路点拨] 注意x ＋y ＝1的使用，构造出8y x和2xy利用基本不等式．[解] ∵x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋2y (x ＋y )＝10＋8y x ＋2xy ≥10＋28y x ·2xy＝18.当且仅当8y x＝2xy，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y有最小值18.1．本题在解答中要注意使1a ＋1b取最小值时所对应a 、b 的值也要一并解出来．2．解含有条件的最值问题，常结合要求最值的式子，采用“配”、“凑”、“常值代换”的方法，构造成基本不等式的形式，从而得出最值．[跟进训练]2．若x ＞0，y ＞0，且1x ＋4y＝1，则x ＋y 的最小值是( )A ．3B ．6C ．9D ．12C [x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝1＋y x ＋4x y ＋4＝5＋y x ＋4x y ≥5＋2y x ·4xy＝5＋4＝9. 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋4y ＝1y x ＝4x y ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝6时等号成立，故x ＋y 的最小值为9.]利用基本不等式解决实际问题【例3】 从等腰直角三角形纸片ABC 上，剪下如图所示的两个正方形，其中BC ＝2，∠A ＝90°，则这两个正方形的面积之和的最小值为________．12[设两个正方形边长分别为a ，b ， 则由题可得2a ＋2b ＝2，即a ＋b ＝1，S ＝a 2＋b 2≥2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号．]利用基本不等式解决实际问题要遵循以下几点：(1)在理解题意的基础上设变量，确定问题中量与量之间的关系，初步确定用怎样的函数模型；(2)建立相应的函数解析式，将实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内，求出函数的最大值或最小值； (4)回到实际问题中，检验并写出正确答案．[跟进训练]3．要设计一个矩形，现只知道它的对角线长度为10，则在所有满足条件的设计中，面积最大的一个矩形的面积为( )A ．50B ．25 3C ．50 3D ．100 A [设矩形的长和宽分别为x 、y ，则x 2＋y 2＝100. 于是S ＝xy ≤x 2＋y 22＝50，当且仅当x ＝y 时等号成立．]运用基本不等式a ＋b2≥ ab 求最值时．要注意：(1)“拆”“拼”“凑”等变形技巧，使其满足基本不等式“正”“定”“等”的条件； (2)连续使用基本不等式时，取等号的条件很严格，要求每次等号成立的条件都要满足．1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若a ＞1，则a ＋1a －1的最小值是2a a －1. ( )(2)若a <0，则a ＋1a的最小值是－2.( )(3)x 2＋3x 2＋2的最小值是2.( )[答案] (1)× (2)× (3)×2．若x 2＋y 2＝1(x 、y ∈R )，则x 1＋y 2的最大值为( ) A ．1 B ．54C ． 2D ．以上都不对 A [ x 1＋y 2≤x 2＋()1＋y 222＝()x 2＋y 2＋12＝1，当且仅当x ＝1，y ＝0时取等号．]3．设0<x <1，a ，b 都为大于零的常数，则a 2x ＋b 21－x的最小值为( )A ．(a －b )2B ．(a ＋b )2C ．a 2b 2D ．a 2B [∵a 2x ＋b 21－x ＝(1－x ＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2x ＋b 21－x ＝（1－x ）a 2x ＋xb 21－x ＋a 2＋b 2≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2.当且仅当x ＝aa ＋b时，取等号，∴选B.]4．若x >0，则x ＋2x的最小值是________．22 [x ＋2x≥2x ·2x＝22，当且仅当x ＝2时，等号成立．] 5．已知0<x <12，求函数y ＝x 1－4x 2的最大值．[解] 因为0<x <12，所以1－4x 2＞0，所以y ＝x 1－4x 2＝12×4x 21－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x＝24时等号成立． 所以函数y ＝x 1－4x 2的最大值为14.。

求基本不等式最值的方法基本不等式最值的求解方法是数学中的重要内容，它在解决实际问题和数学推导中具有广泛的应用。

下面将介绍几种常见的方法来求解基本不等式的最值。

1. 利用二次函数性质：对于一元二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 分别是实数，当 a>0 时，函数开口向上，最小值为 f(-b/2a)；当 a<0 时，函数开口向下，最大值为 f(-b/2a)。

2. 利用数轴和符号的方法：以不等式的变量为基准，将不等式化简为一维数轴上的问题。

首先找到不等式的解集，并根据不等式中的符号（大于号或小于号）确定最值的类型（最大值或最小值）。

然后，根据最值的要求，找到数轴上对应的点，即最值点。

3. 利用 AM-GM 不等式：AM-GM 平均值不等式是一种用于估计数值大小的方法。

对于非负实数 a1, a2, ..., an，其几何平均值 GM = (a1 * a2 * ... * an)^(1/n)，算术平均值 AM = (a1 + a2 + ... + an)/n，不等式表达式为GM ≤ AM。

通过利用 AM-GM不等式，将给定的不等式进行转换和化简，可以求解不等式的最值。

4. 利用导数和极值：对于连续函数 f(x) 在某个区间内，如果 f'(x) 存在且连续，可以通过求解 f'(x) = 0 的根来找到函数 f(x) 的极值点。

然后根据极值的类型（极大值或极小值）来确定最值。

以上是一些常见的方法来求解基本不等式的最值。

根据具体的不等式形式和要求的最值类型，我们可以选择合适的方法进行求解。

在实践中，掌握这些方法并灵活运用它们，将能够有效地解决各种不等式最值的问题。

基本不等式的最值求法最值问题是数学中非常重要的问题之一，不等式的最值求法是解决这类问题的基本方法之一。

本文将以1500字的篇幅，详细介绍基本不等式的最值求法。

不等式的最值是指在给定的范围内，找出不等式的最大值或最小值。

它与最大值最小值问题非常相似，只不过最值问题中的数是由不等式的解决方案确定的。

为了求解这类问题，我们需要确定给定范围内的变量取值范围，并找到这个范围内不等式的解。

接下来，我们将介绍基本的不等式最值求法。

首先，我们需要明确一个重要的概念，即不等式的图像。

不等式在坐标系中的图像是指满足不等式的点的集合，这个集合可以是一条线、一个区域或者整个平面。

通过观察和绘制不等式的图像，我们可以更直观地理解不等式的性质和解的范围。

其次，我们需要掌握基本的不等式性质。

比如，对于不等式a < b，如果c > 0，那么ac < bc；如果c < 0，那么ac > bc。

这个性质非常直观，我们可以根据它对不等式进行变形，以便更方便求解不等式的最值。

接下来，我们将以一些例子来说明不等式最值的具体求法。

例子1：求解不等式x + 2 > 0的最小值。

首先，我们应该明确这个不等式的解集。

由于x + 2 > 0，我们可以将不等式变形为x > -2。

所以不等式的解集为一切大于-2的数，记作(-2, +∞)。

由于我们要求解的是最小值，所以我们只需要找到解集中的最小值即可。

由于解集的起点是-2，所以-2就是不等式的最小值。

例子2：求解不等式x^2 - 4 > 0的最小值。

这个不等式的解集是所有使得x^2 - 4 > 0的数x的集合。

为了求解它的最小值，我们需要对不等式进行变形。

根据不等式性质，我们可以将不等式x^2 - 4 > 0变形为(x -2)(x + 2) > 0。

这个不等式的解集可以通过绘制它的图像来确定。

我们可以将不等式的左边用一个函数表示，然后观察函数的图像来决定不等式的解集。

5.3.2 第2课时 函数的最大(小)值【课标要求】课程标准：1.理解最值的概念，了解函数的最值与极值的区别和联系.2.会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)． 学习重点：在闭区间上求函数的最值． 学习难点：与函数最值有关的参数问题.【新知拓展】1．对函数最值的两点说明(1)给定的区间必须是闭区间，y ＝f (x )的图象在开区间上虽然连续不断，但不能保证有最大值或最小值．例如：函数f (x )＝1x ，x ∈(0,2)，y ＝f (x )的图象在(0,2)上连续不断，但y ＝f (x )没有最大值和最小值．(2)在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断点也不能保证y ＝f (x )有最大值和最小值．2．函数极值与最值的内在联系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．最大值必须是整个区间内所有函数值中的最大值；最小值必须是整个区间内所有函数值中的最小值．(关键词：局部概念)(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最大(小)值只能有一个．(关键词：整个定义区间)(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．(关键词：极值与最值的区别)【评价自测】1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数的最大值一定是函数的极大值．( ) (2)开区间上的单调连续函数无最值．( )(3)函数f (x )在区间[a ，b ]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．( )2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)设函数f (x )＝e 2x ＋3x (x ∈R )，则f (x )________(填“有”或“无”)最值． (2)已知函数y ＝x 3－x 2－x ，该函数在区间[0,3]上的最大值是________.(3)已知函数f (x )＝－x 3＋3x 2＋m (x ∈[－2,2])，f (x )的最小值为1，则m ＝________.【题型探究】题型一 求已知函数的最值例1 (1)求函数f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5在区间[－2,2]上的最大值与最小值；(2)求函数f (x )＝12x ＋sin x 在区间[0,2π]上的最大值与最小值．[规律方法]求一个函数在闭区间上的最值时，一般是找出该区间上导数为零的点，无需判断出是极大值点还是极小值点，只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值进行比较，其中最大的就是函数的最大值，最小的就是函数的最小值．[跟踪训练1] (1)求函数f (x )＝－x 3＋3x 2－6x ＋5在[－1，1]上的最值； (2)求函数f (x )＝e x (3－x 2)在区间[2,5]上的最值．题型二 由函数的最值确定参数的值例2 已知函数f (x )＝ax 3－6ax 2＋b ，x ∈[－1，2]的最大值为3，最小值为－29，求a ，b 的值．[规律方法]由函数的最值来确定参数的问题是利用导数求函数最值的逆向运用，解题时一般采用待定系数法，列出含参数的方程或方程组，从而求出参数的值，这也是方程思想的应用． [跟踪训练2] 设23<a <1，函数f (x )＝x 3－32ax 2＋b 在区间[－1,1]上的最大值为1，最小值为－62，求函数的解析式．题型三 利用函数最值证明不等式例3 已知函数f (x )＝e x －ln (x ＋m )．证明：当m ≤2时，f (x )>0.[规律方法]本题的证明遵循了一般解法，但要注意到两个函数分别是对数函数和指数函数，因此需要进行分离．事实上，还可以利用搭桥的方式，通过传递进行证明．应选择一个一次式或多项式，使之能够在指数和对数之间起到桥梁作用，而且不增加计算量，此时经验的作用凸显，因为e x ≥1＋x ，所以找到使1＋x ≥ln (m ＋x )成立的m 是解决本题的关键． [跟踪训练3] 设f (x )＝x －1x －2ln x ．证明：当x ≥1时，f (x )≥0恒成立．题型四 利用函数最值解决不等式恒成立问题例4 已知f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 3＋ax 2－x ＋2. (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，2f (x )≤g ′(x )＋2恒成立，求实数a 的取值范围．[规律方法](1)涉及到不等式恒成立、不等式能成立的问题时，一般需转化为函数最值来解决．若不等式中含参数，则可考虑分离参数，以求避免分类讨论． (2)不等式恒成立、能成立常见的转化策略①a ＞f (x )恒成立⇔a ＞f (x )max ，a ＜f (x )恒成立⇔a ＜f (x )min ； ②f (x )＞g (x )＋k 恒成立⇔k ＜[f (x )－g (x )]min ； ③f (x )＞g (x )恒成立⇔[f (x )－g (x )]min ＞0；④a ＞f (x )能成立⇔a ＞f (x )min ，a ＜f (x )能成立⇔a ＜f (x )max . [跟踪训练4] 已知函数f (x )＝x ln x (x >0)． (1)求f (x )的单调区间和极值；(2)若对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )≥－x 2＋mx －32恒成立，求实数m 的最大值．题型五 与函数图象有关的综合问题例5已知函数f(x)＝xe x，x∈R.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．[规律方法]画函数f(x)大致图象的步骤如下：(1)求出函数f(x)的定义域；(2)求导数f′(x)及函数f′(x)的零点；(3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，并得出f(x)的单调性与极值；(4)确定f(x)的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势；(5)画出f(x)的大致图象．[跟踪训练5]若函数f(x)＝ln xx2，x∈⎣⎡⎭⎫1e，＋∞.(1)写出函数的定义域，判断函数的单调性，并求出极值；(2)作出函数的大致图象；(3)求出方程f(x)＝a(a∈R)解的个数．题型六导数在解决实际问题中的应用例6如图所示，有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于距河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站C，从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？[规律方法](1)根据题设建立数学模型，借助图象寻找各条件间的联系，适当选定变量，构造相应的函数关系，通过求导或其他方法求出最值．(2)在实际问题中，若函数在某区间内只有一个极值点，则只要根据实际意义判断是最大值还是最小值即可，不必再与端点的函数值比较．[跟踪训练6]用长为90 cm，宽为48 cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°，再焊接而成(如图)，问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？【随堂达标】1．函数f (x )＝2x －cos x 在(－∞，＋∞)上( ) A ．单调递增 B ．单调递减 C ．有最大值D ．有最小值2．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数：y 1＝17x 2(x >0)，生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数：y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产( ) A ．6千台 B ．7千台 C ．8千台D ．9千台3．(多选)已知ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，x 2＋2y 2－4－2ln 2＝0，记M ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2，则以下正确的为( ) A ．M 的最小值为25B ．当M 最小时，x 2＝125C ．M 的最小值为45D ．当M 最小时，x 2＝654．函数f (x )＝4xx 2＋1，x ∈[－2,2]的最大值是________，最小值是________.5．已知函数f (x )＝ln x －x ＋1，x ∈(0，＋∞)，求函数f (x )的最大值．【参考答案】【评价自测】1．【答案】(1)× (2)√ (3)× 2．【答案】(1)无 (2)15 (3)1【题型探究】题型一 求已知函数的最值 例1[解] (1)因为f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋5，所以f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，得x 1＝－23，x 2＝1.因为f ⎝⎛⎭⎫－23＝15727，f (1)＝72，又f (－2)＝－1，f (2)＝7， 所以函数f (x )在[－2,2]上的最大值是7，最小值是－1. (2)f ′(x )＝12＋cos x ，令f ′(x )＝0，解得x ＝2π3或x ＝4π3.因为f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝π3＋32，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝2π3－32，f (2π)＝π， 所以函数f (x )在[0,2π]上的最大值是π，最小值是0. [跟踪训练1]解 (1)∵f ′(x )＝－3x 2＋6x －6＝－3(x 2－2x ＋2)＝－3(x －1)2－3， ∴f ′(x )在[－1,1]内恒小于0，∴f (x )在[－1,1]上为减函数， ∴当x ＝－1时，取得最大值为f (－1)＝15； 当x ＝1时，取得最小值为f (1)＝1.即f (x )在[－1,1]上的最小值为1，最大值为15. (2)∵f ′(x )＝3e x －e x x 2－2e x x ，∴f ′(x )＝－e x (x 2＋2x －3)＝－e x (x ＋3)(x －1)， ∵在区间[2,5]上，f ′(x )＝－e x (x ＋3)(x －1)<0， ∴函数f (x )在区间[2,5]上单调递减，∴当x ＝2时，函数f (x )取得最大值f (2)＝－e 2； 当x ＝5时，函数f (x )取得最小值f (5)＝－22e 5. 题型二 由函数的最值确定参数的值例2[解] 由题设知a ≠0，否则f (x )＝b 为常函数，与题设矛盾． f ′(x )＝3ax 2－12ax ＝3ax (x －4)，令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝4(舍去)． (1)当a >0，且x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值， ∴f (0)＝3，即b ＝3.又f (－1)＝－7a ＋3，f (2)＝－16a ＋3<f (－1)， ∴f (2)＝－16a ＋3＝－29，解得a ＝2.(2)当a <0时，同理可得，当x ＝0时，f (x )取得极小值，也就是函数在[－1,2]上的最小值， ∴f (0)＝－29，即b ＝－29.又f (－1)＝－7a －29，f (2)＝－16a －29>f (－1)， ∴f (2)＝－16a －29＝3，解得a ＝－2. 综上可得，a ＝2，b ＝3或a ＝－2，b ＝－29. [跟踪训练2]解 f ′(x )＝3x 2－3ax ，令f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝a . 当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)， 故需比较f (0)与f (1)的大小及f (－1)与f (a )的大小．因为f (0)－f (1)＝32a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b ，所以b ＝1.又f (－1)－f (a )＝12(a ＋1)2(a －2)<0，所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－32a ＋b ＝－32a ，所以－32a ＝－62，所以a ＝63.故所求函数的解析式是f (x )＝x 3－62x 2＋1. 题型三 利用函数最值证明不等式 例3[证明] 当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时，ln (x ＋m )≤ln (x ＋2)， 故只需证明当m ＝2时，f (x )>0. 当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增． 又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x 0，且x 0∈(－1,0)． 当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0， 从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值． 由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln (x 0＋2)＝－x 0， 故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋1)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0. [跟踪训练3]证明 f (x )＝x －1x －2ln x 的定义域为(0，＋∞)．∴f ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x 2＝(x －1)2x 2≥0，∴f (x )在[1，＋∞)上是单调增函数， ∴f (x )在[1，＋∞)上的最小值为f (1)．∴f (x )≥f (1)＝1－1－2ln 1＝0对于x ∈[1，＋∞)恒成立. 题型四 利用函数最值解决不等式恒成立问题 例4[解] (1)函数f (x )＝x ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝ln x ＋1. 令f ′(x )<0，得ln x ＋1<0，解得0<x <1e ，∴f (x )的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 令f ′(x )>0，得ln x ＋1>0，解得x >1e ，∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (2)g ′(x )＝3x 2＋2ax －1，由题意得2x ln x ≤3x 2＋2ax ＋1恒成立．∵x >0，∴a ≥ln x －32x －12x 在x ∈(0，＋∞)上恒成立．设h (x )＝ln x －32x －12x (x >0)，则h ′(x )＝1x －32＋12x 2＝－(x －1)(3x ＋1)2x 2.令h ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝－13(舍去)．当x 变化时，h ′(x )，h (x )的变化情况如下表：∴当x ＝1时，h (x )取得最大值，且h (x )max ＝h (1)＝－2，∴若a ≥h (x )在x ∈(0，＋∞)上恒成立，则a ≥h (x )max ＝－2，即a ≥－2， 故实数a 的取值范围是[－2，＋∞)． [跟踪训练4]解 (1)由f (x )＝x ln x (x >0)，得f ′(x )＝1＋ln x ， 令f ′(x )>0，得x >1e ；令f ′(x )<0，得0<x <1e.∴f (x )的单调递增区间是⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞，单调递减区间是⎝⎛⎭⎫0，1e . 故f (x )在x ＝1e 处有极小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e，无极大值． (2)由f (x )≥－x 2＋mx －32及f (x )＝x ln x ，得m ≤2x ln x ＋x 2＋3x 恒成立，问题转化为m ≤⎝⎛⎭⎫2x ln x ＋x 2＋3x min .令g (x )＝2x ln x ＋x 2＋3x (x >0)，则g ′(x )＝2x ＋x 2－3x 2，由g ′(x )>0⇒x >1，由g ′(x )<0⇒0<x <1.所以g (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以g (x )min ＝g (1)＝4， 因此m ≤4，所以实数m 的最大值是4. 题型五 与函数图象有关的综合问题 例5[解] (1)已知函数的定义域为R ，f ′(x )＝1－xex ，令f ′(x )＝0，得x ＝1，当x ∈(－∞，1)时，f ′(x )>0， 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )的极大值为f (1)＝1e ，所以函数的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(1，＋∞)， 极大值为1e，无极小值．(2)显然，当x →－∞时，f (x )＝xe x →－∞，又x >0时，f (x )>0，且x →＋∞时，f (x )＝xe x →0，所以作出f (x )＝xex 的图象如下．(3)由函数f (x )的图象得，当x ＝1时，f (x )有最大值f (1)＝1e ，故方程f (x )＝a (a ∈R )解的个数为当a ≤0或a ＝1e 时，方程有一解；当a >1e 时，方程无解；当0<a <1e 时，方程有两解．[跟踪训练5]解 (1)已知函数的定义域为⎣⎡⎭⎫1e ，＋∞；f ′(x )＝1x ·x 2－ln x ·2x x 4＝1－2ln x x 3，令f ′(x )＝0，得x ＝e ，当x ∈(0，e)时，f ′(x )>0，当x ∈(e ，＋∞)时，f ′(x )<0， 所以f (x )＝ln x x 2的极大值为f (e)＝ln e (e)2＝12e，所以函数的单调递增区间为⎣⎡⎭⎫1e ，e ，单调递减区间为(e ，＋∞)， 极大值为12e，无极小值．(2)f (1)＝0，当x →＋∞时，f (x )＝ln x x 2→0，f ⎝⎛⎭⎫1e ＝ln 1e⎝⎛⎭⎫1e 2＝－e 2， 所以作出f (x )＝ln xx2的图象如下．(3)由函数f(x)的图象得，当x＝e时，f(x)有最大值1 2e.故方程f(x)＝a(a∈R)解的个数为当a<－e2或a>12e时，方程无解；当－e2≤a≤0或a＝12e时，方程有一解；当0<a<12e时，方程有两解.题型六导数在解决实际问题中的应用例6[解]设C点距D点x km，则BD＝40，AC＝50－x，∴BC＝CD2＋BD2＝x2＋402.又设总的水管费用为y元，依题意，得y＝3a(50－x)＋5a x2＋402(0<x<50)．则y′＝－3a＋5axx2＋402，令y′＝0，解得x1＝30，x2＝－30(舍去)．在(0,50)上，y只有一个极值点，根据问题的实际意义，函数在x＝30 km处取得最小值，此时AC＝50－x＝20(km)．故供水站建在A，D之间距甲厂20 km处时，可使水管费用最省．[跟踪训练6]解设容器的高为x cm，容器的容积为V(x) cm3，则V(x)＝x(90－2x)(48－2x)＝4x3－276x2＋4320x(0<x<24)，V′(x)＝12x2－552x＋4320＝12(x2－46x＋360)＝12(x－10)(x－36)(0<x<24)．令V′(x)＝0，解得x1＝10，x2＝36(舍去)．当0<x<10时，V′(x)>0，V(x)是增函数；当10<x<24时，V′(x)<0，V(x)是减函数．因此，在定义域(0,24)内，只有当x＝10时函数V(x)取得最大值，其最大值为V(10)＝10×(90－20)×(48－20)＝19600.故当容器的高为10 cm时，容器的容积最大，最大容积是19600 cm3.【随堂达标】1．【答案】A【解析】因为f ′(x )＝2＋sin x >0恒成立，所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增． 2．【答案】A【解析】设利润为y ，则y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝－2x 3＋18x 2(x >0)，∴y ′＝－6x 2＋36x ＝－6x (x －6)．令y ′＝0，解得x ＝0(舍去)或x ＝6，经检验知x ＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． 3．【答案】BC【解析】由ln x 1－x 1－y 1＋2＝0，得y 1＝ln x 1－x 1＋2，故(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值可转化为函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值的平方．由y ＝ln x －x ＋2，得y ′＝1x －1，与直线x ＋2y －4－2ln 2＝0平行的直线的斜率为－12，则令1x －1＝－12，解得x ＝2，∴切点坐标为(2，ln 2)，∴点(2，ln 2)到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0的距离d ＝|2＋2ln 2－4－2ln 2|1＋4＝255，即函数y ＝ln x －x ＋2图象上的点到直线x ＋2y －4－2ln 2＝0上的点的距离的最小值为255，∴(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2的最小值为d 2＝45.过点(2，ln 2)与x ＋2y －4－2ln 2＝0垂直的直线为y －ln 2＝2(x －2)，即2x －y －4＋ln 2＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4－2ln 2＝0，2x －y －4＋ln 2＝0，解得x ＝125，即当M 最小时，x 2＝125.故选BC ．4．【答案】2 －2【解析】∵y ′＝4(x 2＋1)－2x ·4x (x 2＋1)2＝－4x 2＋4(x 2＋1)2，令y ′＝0可得x ＝1或x ＝－1.又∵f (1)＝2，f (－1)＝－2，f (2)＝85，f (－2)＝－85，∴最大值为2，最小值为－2.5．解 f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －1.令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，f (x )在(0,1)上是增函数； 当x >1时，f ′(x )<0，f (x )在(1，＋∞)上是减函数， 故函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.。