1、4圆的极坐标方程

圆的极坐标方程

极坐标方程是一种用极坐标表示曲线的方式，将点的坐标以极坐标形式表示，它可以表示一些常见的曲线，比如圆、椭圆、环状等特殊类型的曲线。下面就来解释下圆的极坐标方程：

一、圆的极坐标定义：

1、圆的极坐标的中心点为原点，可以使用如下公式表示：

2、 r表示半径，a是给定的常数。

二、圆的极坐标方程：

1、极坐标方程的一般形式如下：

r=f(θ)

2、其中，f(θ)为极射线和圆的距离关系，由此可求出圆的方程为：

r=a

3、 a表示半径，即圆形的距离长度，这个参数给定以后即可求出圆的极坐标方程。

三、求解圆的极坐标方程：

1、将圆的极坐标方程改写成极坐标形式：

r=〖a^2〗^(1/2 )

2、令其中的a取为常数K，上面的方程可以简化为：

r=K

3、根据定义，圆的极坐标方程就可以表示为：

r=K

4、这个方程的意思就是极射线的长度总是等于给定的常数K，而极射线的角度可以从0°到360°不等，并且这个常数K可以等于圆的半径。

到此，关于圆的极坐标方程已经全部讲解完成，由以上内容可知，圆的极坐标定义：圆的极坐标的中心点为原点，可以使用如下公式表示：r=a；圆的极坐标方程可以简化为：r=K，这个方程的意思就是极射线的长度总是等于给定的常数K，而极射线的角度可以从0°到360°不等，并且这个常数K可以等于圆的半径。

圆的极坐标方程

在极坐标系中，如果平面曲线C上任意一点的极坐标中至少有一个满足方程$f(\rho,\theta)=0$，并且坐标适合方程$f(\rho,\theta)=0$的点都在曲线C上，那么方程

$f(\rho,\theta)=0$叫做曲线C的极坐标方程。

对于圆的极坐标方程，有以下特殊情形：

1) 圆心在极点(0,0)时，极坐标方程图形为$\rho=r$，其中$0\leq\theta<2\pi$。

2) 圆心在点$(r,0)$时，极坐标方程图形为

$\rho=2r\cos\theta$，其中$-\pi\leq\theta<\pi$。

3) 圆心在点$(r,\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=2r\sin\theta$，其中$0\leq\theta<\frac{\pi}{2}$。

4) 圆心在点$(r,\pi)$时，极坐标方程图形为$\rho=-

2r\cos\theta$，其中$\pi\leq\theta<\frac{3\pi}{2}$。

5) 圆心在点$(r,-\frac{\pi}{2})$时，极坐标方程图形为$\rho=-2r\sin\theta$，其中$-\frac{\pi}{2}<\theta\leq 0$。

对于一般情形，设圆心为C$(\rho,\theta)$，半径为$r$，M$(\rho,\theta)$为圆上任意一点，则$|CM|=r$，$\angle

COM=|\theta-\theta|$，根据余弦定理可得圆C的极坐标方程为$\rho^2-2\rho r\cos(\theta-\theta)+r^2=0$。

五种常见的圆的极坐标方程

圆是几何中最重要的概念之一。不仅在几何形体中，它也与微积分学有很大的关系。圆的标准方程至今是几何学家们在推导几何形状时使用最多的原理之一，其中最常见的一种是极坐标方程。本文将讨论极坐标方程表示的五种普通圆的标准方程，并且给出实例推导过程，以帮助读者更好地理解这一概念。

极坐标方程是相对于笛卡尔坐标系来说的一种更加方便的表示法。它的优点在于，使用极坐标可以更容易地表示出椭圆形状和其它曲线，而且它更容易进行分析和研究，也更易于应用在现实世界中。一般地，一个圆形状可以用一般极坐标方程来描述：

r=f(θ)

其中，r表示圆形到原点的距离，θ表示圆弧上的角度，f(θ)

是一个函数，表示的是圆的半径的变化。

圆的极坐标方程可以分为五种不同的类型：

第一类：定长圆

当f(θ)是一个常数时，即f(θ)=a，则其标准方程为：

r=a；

比如，当a=1时，就表示一个半径为1的圆：

r=1；

第二类：定半径圆

当f(θ)=θ时，则其标准方程为：

r=θ；

比如，当θ=1时，就表示一个半径为1的圆：

r=1；

第三类：椭圆

当f(θ)=c * sin(θ)时，则其标准方程为：

r=c * sin(θ)；

比如，当c=2时，就表示一个半径为2的椭圆：

r=2 * sin(θ)；

第四类：矩形圆

当f(θ)=c * sin(2θ)时，则其标准方程为：

r=c * sin(2θ)；

比如，当c=2时，就表示一个半径为2的矩形圆：

r=2 * sin(2θ)；

第五类：定螺旋圆

当f(θ)=c *时，则其标准方程为：

r=c *；

比如，当c=2时，就表示一个半径为2的定螺旋圆：

课前导学案

主备人：霍树立集备人员：高二数学组时间：2014.6.12 课题 1.4.1圆心在极轴上且过极点的圆

学习目标1.能写出圆心在极轴且过极点的圆的极坐标方程

2.熟练掌握和运用圆心在极轴且过极点的圆极坐标方程

3.熟悉这类圆的两种方程的互化，能运用极坐标方程接一些与圆相关的几

何问题

相关

知识

复习

问题1. 在直角坐标系中，圆心为（a，0）半径为a的直角坐标方程？

自主学习指导阅读 14—15页课本相关内容，并完成下面题目

1.圆心在极轴上且过极点的圆的极坐标方程

圆心坐标半径

学生

质疑

变式训练强化

1.将直角坐标方程22

x y x

+=化为极坐标方程，并说明圆心和半径2.把圆的极坐标方程8cos

ρθ

=化为直角坐标方程，并说明圆心和半径

- 2 - 自主

归纳

升华

自学

检测 14cos , ρθ=．把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程

2.极坐标方程10cos()ρπθ=-表示的图形是 （ ）

A.圆心在（5,0），半径为5的圆

B. 垂直于极轴，过(10,)π-的直线

C.在（5, π），半径为5的圆

D.平行于极轴且在极轴下方10个单位的直线

3.圆心在（4, π）半径为4 的圆的方程为 （ ）

A. 8cos ρθ=

B. 8sin ρθ=

C. 8cos ρθ=-

D. 8sin ρθ=-

4.曲线4cos ρθ=和2ρ=的交点极坐标为

5.曲线2cos ρθ=上两点A ((),)66ππ

ρ，B ((),)33ππ

ρ之间的距离是 本课

疑问

课堂导学案

主备人：霍树立集备人员：高二数学组时间：2014.６.12

例题学习变式训练总

1.3 曲线的极坐标方程 1.4 圆的极坐标方程 1.4.1 圆心在极轴上且过极点的圆 1.4.2

圆心在点⎝ ⎛⎭

⎪⎫

a ，π2处且过极点的圆

学习目标：1.了解极坐标方程的意义，了解曲线的极坐标方程的求法.2.会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；了解简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)表示的极坐标方程．(重点)

1．曲线C的直角坐标方程

在给定的平面直角坐标系下，如果二元方程F(x，y)＝0满足下面两个条件，则称它为曲线C的方程：

(1)曲线C上任一点的坐标(x，y)都满足方程；

(2)所有适合方程的(x，y)所对应的点都在曲线C上．

2．曲线的极坐标方程

在给定的平面上的极坐标系下，有一个二元方程F(ρ，θ)＝0.如果曲线C是由极坐标(ρ，θ)满足方程的所有点组成的，则称此二元方程F(ρ，θ)＝0为曲线C 的极坐标方程．

3．常见曲线的极坐标方程

[提示]由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一，所以曲线上的点的极坐标有多种表示，曲线的极坐标方程不唯一．

1．极坐标方程θ＝π(ρ∈R)表示()

A．点B．线段C．圆D．直线

[解析]当ρ≥0时，方程θ＝π表示极角为π的射线，当ρ<0时，方程θ＝π表示上述射线的反向延长线．

∵ρ∈R，∴θ＝π表示直线．

[答案] D

2．极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是()

A．两个圆B．两条直线

C．一个圆和一条射线D．一条直线和一条射线

[解析]由题设，得ρ＝1，或θ＝π，

ρ＝1表示圆，θ＝π(ρ≥0)表示一条射线．

[答案] C

3．直线θ＝π