高数下册模拟试题一

高等数学下册复习题模拟试卷和答案(简单实用共七套题) 高等数学(下)模拟试卷一一、填空题(每空3分，共15分)z,的定义域为y2yy2(1)函数(2)已知函数z arctan20zx，则 x,(x,y)ds(3)交换积分次序，dyf(x,y)dx(4)已知L是连接(0,1),(1,0)两点的直线段，则 L(5)已知微分方程y ,2y ,3y 0，则其通解为二、选择题(每空3分，共15分)x,3y,2z,1 0(1)设直线L为 2x,y,10z,3 0，平面为4x,2y,z,2 0，则( )A. L平行于B. L在上C. L垂直于D. L与斜交 (2( )xyz,(1,0,,1)处的dz ,D.dx,2A.dx,dyB.dx,2222(3)已知是由曲面4z 25(x,y)及平面z 5所围成的闭区域，将在柱面坐标系下化成三次积分为( ) A. 0C.2(x,y)dv5d20rdr dz35B.2 0d240rdr dz202532 0d rdr5dz2r235D. ，则其收敛半径)1drdr dz(4)已知幂级数A. 2B. 1C. 2D. (5)微分方程y ,3y ,2y 3x,2e的特解y的形式为y ( ) A. xx,,xxB.(ax,b)xeC.(ax,b),ceD.(ax,b),cxe三、计算题(每题8分，共48分)x,11、求过直线L1:122y,20zz,3,1且平行于直线L2:x,22y,11z1的平面方程z2、已知z f(xy,xy)，求 x， y3、设D {(x,y)x,y 4}22，利用极坐标求Dxdxdy24、求函数f(x,y) e(x,y,2y)的极值x t,sint (2xy,3sinx)dx,(x,e)dy L5、计算曲线积分，其中L为摆线 y 1,cost从点2y2x2O(0,0)到A( ,2)的一段弧xy xy,y xe6、求微分方程满足x 11的特解四.解答题(共22分)1、利用高斯公式计算半球面z2xzdydz,yzdzdx,zdxdy2，其中由圆锥面z 与上(10 )2、(1)判别级数n 1(,1)n,1n3n,1的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收敛;(6 )n(2)在x (,1,1)求幂级数n 1nx的和函数(6 )高等数学(下)模拟试卷二一(填空题(每空3分，共15分)z(1)函数ln(1,x,y)的定义域为 ;xyelnx0(2)已知函数z e，则在(2,1)处的全微分dz ; (3)交换积分次序， 1 dxf(x,y)dy2, ;(4)已知L是抛物线y x)点B(1,1上点O(0,0与之间的一段弧，则L(5)已知微分方程y ,2y ,y 0，则其通解为 .二(选择题(每空3分，共15分)x,y,3z 0(1)设直线L为 x,y,z 0，平面为x,y,z,1 0，则L与的夹角为( ); zA. 0B. 2C. 3D. 4 (2)设z f(x,y)是由方程z,3xyz a确定，则 xyz2233( );xy2yz2x,xz2A. xy,zB. z,xyC. xy,zD. z,xy (3)微分方程y ,5y ,6y xe 的特解y的形式为y ( );,A.(ax,b)e2xB.(ax,b)xe222xC.(ax,b),ceD.(ax,b),cxe22x2x(4)已知是由球面x,y,z a所围成的闭区域, 将三次积分为( ); A2dv在球面坐标系下化成a2 0d20sin d rdra2B.2 0d220d rdra20C. 02dd rdraD. 0ndsin d rdr(5)已知幂级数n 1 2n,12xn，则其收敛半径( ).12 B.1 C.2 D.三(计算题(每题8分，共48分)5、求过A(0,2,4)且与两平面 1:x,2z 1和 2:y,3z 2平行的直线方程 . zz6、已知z f(sinxcosy,e22x,y)，求 x， y .7、设D {(x,y)x,y 1,0 y x}，利用极坐标计算22arctanDyxdxdy.8、求函数f(x,y) x,5y,6x,10y,6的极值. 9、利用格林公式计算2223L(esiny,2y)dx,(ecosy,2)dyxx，其中L为沿上半圆周(x,a),y a,y 0、从A(2a,0)到O(0,0)的弧段. x,16、求微分方程四(解答题(共22分)y ,y(x,1)2的通解.1、(1)(6 )判别级数n 1敛;(,1)n,12sinn3的敛散性，若收敛，判别是绝对收敛还是条件收n(2)(4 )在区间(,1,1) .2、n 3n,3n,2= .3、已知y ln(1,x)，在x 1处的微分dy . 2lim(n,2)224、定积分1,1(x2006sinx,x)dx 2 .dy 5、求由方程y,2y,x,3x 0所确定的隐函数的导数dx二(选择题(每空3分，共15分)2x,3x,2的间断点 1、x 2是函数(A)可去 (B)跳跃(C)无穷 (D)振荡 57 . y x,122、积分= .(A) (B),(C) 0 (D) 1 103、函数y e,x,1在(, ,0] 。

高三数学下期末第一次模拟试卷(含答案)一、选择题1．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．2．若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（ ） A ．6425 B ．4825C ．1D ．16253．()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（ ） A ．15B ．20C ．30D ．354．设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图象向右平移43π个单位后与原图象重合，则ω的最小值是 A ．23B ．43C ．32D ．35．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中参加某项志愿者活动，要求每人参加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外两位前面，不同的安排方法共有（ ） A ．20种B ．30种C ．40种D ．60种6．若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是（ ） A ．sin(+)2πα B ．s(+)2co πα C ．sin()πα+ D ．s()co πα+7．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A 2 B 3C 5 D 78．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁9．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10．某校现有高一学生210人，高二学生270人，高三学生300人，用分层抽样的方法从这三个年级的学生中随机抽取n 名学生进行问卷调查，如果已知从高一学生中抽取的人数为7，那么从高三学生中抽取的人数为（ ） A ．7B ．8C ．9D ．1011．在ABC V 中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．412．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直二、填空题13．设n S 是等差数列{}*()n a n N ∈的前n 项和，且141,7a a ==，则5______S =14．设函数()212log,0log(),0x xf x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是__________．15．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.16．i是虚数单位，若复数()()12i a i-+是纯虚数，则实数a的值为 .17．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若1sin3α=，则cos()αβ-=___________.18．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=_________．19．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是20．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，线段11B D上有两个动点,E F，且2EF=，现有如下四个结论：AC BE①⊥；//EF②平面ABCD；③三棱锥A BEF-的体积为定值；④异面直线,AE BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．三、解答题21．已知平面直角坐标系xoy.以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为23,6π⎛⎫⎪⎝⎭，曲线C的极坐标方程为223sin1ρρθ+=（1）写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程；（2）若Q为C上的动点，求PQ中点M到直线32:2x tly t=+⎧⎨=-+⎩（t为参数）距离的最小值. 22．已知曲线C的参数方程为32cos12sinxyαα=+⎧⎨=-⎩（a参数），以直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.23．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-的定义域；（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.24．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．25．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.26．如图,四棱锥P ABCD -中，//AB DC ，2ADC π∠=，122AB AD CD ===，6PD PB ==，PD BC ⊥．（1）求证：平面PBD ⊥平面PBC ；（2）在线段PC 上是否存在点M ，使得平面ABM 与平面PBD 所成锐二面角为3π？若存在，求CMCP的值；若不存在，说明理由．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】由函数解析式代值进行排除即可. 【详解】 解：由()xln x f x =e，得()f 1=0，()f 1=0-又()1f e =0e e >，()1f e =0e e--> 结合选项中图像，可直接排除B ，C ，D 故选A 【点睛】本题考查了函数图像的识别，常采用代值排除法.2．A解析：A 【解析】试题分析：由3tan 4α=，得34sin ,cos 55αα==或34sin ,cos 55αα=-=-，所以2161264cos 2sin 24252525αα+=+⨯=，故选A ． 【考点】同角三角函数间的基本关系，倍角公式．【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间的联系．3．C解析：C 【解析】 【分析】利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得2x 的系数. 【详解】根据二项式定理展开式通项为1C r n r rr n T a b -+=()()()66622111111x x x x x ⎛⎫++=++⋅+ ⎪⎝⎭则()61x +展开式的通项为16r rr T C x +=则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的项为22446621C x C x x ⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭ 则()62111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭ 展开式中2x 的系数为2466151530C C +=+= 故选:C 【点睛】本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题. 4．C 解析：C 【解析】函数sin 23y x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向右平移43π个单位后44sin 2sin 23333w y w x wx ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++=+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 所以有43332013222w k k k w w k w ππ=∴=>∴≥∴=≥Q 故选C5．A解析：A 【解析】 【分析】 【详解】根据题意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；据此分3种情况讨论，计算可得其情况数目，进而由加法原理，计算可得答案．解：根据题意，要求甲安排在另外两位前面，则甲有3种分配方法，即甲在星期一、二、三；分3种情况讨论可得，甲在星期一有A 42=12种安排方法， 甲在星期二有A 32=6种安排方法， 甲在星期三有A 22=2种安排方法， 总共有12+6+2=20种； 故选A ．6．D解析：D【解析】 【分析】利用诱导公式化简选项，再结合角α的终边所在象限即可作出判断. 【详解】解：角α的终边在第二象限，sin +2πα⎛⎫⎪⎝⎭＝cos α＜0，A 不符； s +2co πα⎛⎫ ⎪⎝⎭＝sin α-＜0，B 不符；()sin πα+＝sin α-＜0，C 不符； ()s co πα+＝s co α-＞0，所以，D 正确故选D 【点睛】本题主要考查三角函数值的符号判断，考查了诱导公式，三角函数的符号是解决本题的关键．7．C解析：C 【解析】 【分析】利用正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，将问题转化为求共面直线AB 与AE 所成角的正切值，在ABE ∆中进行计算即可. 【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，//CD AB ，所以异面直线AE 与CD 所成角为EAB ∠， 设正方体边长为2a ，则由E 为棱1CC 的中点，可得CE a =，所以5BE a =，则55tan BE a EAB AB ∠===.故选C.【点睛】求异面直线所成角主要有以下两种方法：（1）几何法：①平移两直线中的一条或两条，到一个平面中；②利用边角关系，找到（或构造）所求角所在的三角形；③求出三边或三边比例关系，用余弦定理求角；（2）向量法：①求两直线的方向向量；②求两向量夹角的余弦；③因为直线夹角为锐角，所以②对应的余弦取绝对值即为直线所成角的余弦值.8．C解析：C 【解析】 【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒， ∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．9．A解析：A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合祖暅原理进行判断即可. 【详解】根据祖暅原理，当12,S S 总相等时，12,V V 相等，所以充分性成立；当两个完全相同的四棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积固然相等但截得的面积未必相等，所以必要性不成立.所以“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题.10．D解析：D 【解析】试题分析：因为210:270:3007:9:10, 所以从高二年级应抽取9人，从高三年级应抽取10人.考点：本小题主要考查分层抽样的应用.点评：应用分层抽样，关键是搞清楚比例关系，然后按比例抽取即可.11．A解析：A 【解析】余弦定理2222?cos AB BC AC BC AC C =+-将各值代入 得2340AC AC +-=解得1AC =或4AC =-(舍去)选A.12．D解析：D 【解析】解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D二、填空题13．25【解析】由可得所以解析：25 【解析】由141,7a a ==可得11,2,21n a d a n ===-，所以5(19)5252S +⨯==． 14．【解析】【分析】【详解】由题意或或或则实数的取值范围是故答案为 解析：(1,0)(1,)-??【解析】 【分析】 【详解】由题意()()f a f a >-⇒2120 log log a a a >⎧⎪⎨>⎪⎩或()()1220log log a a a <⎧⎪⎨->-⎪⎩01a a a >⎧⎪⇒⎨>⎪⎩或11a a a a<⎧⎪⇒>⎨->-⎪⎩或10a -<<，则实数a 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞，故答案为()()1,01,-⋃+∞.15．18【解析】应从丙种型号的产品中抽取件故答案为18点睛:在分层抽样的过程中为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比即ni解析：18 【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．点睛:在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i ∶N i ＝n ∶N ．16．【解析】试题分析：由复数的运算可知是纯虚数则其实部必为零即所以考点：复数的运算 解析：2-【解析】试题分析：由复数的运算可知，()()12i a i -+是纯虚数，则其实部必为零，即，所以.考点：复数的运算.17．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边 解析：79-【解析】试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么1sin sin 3βα==，22cos cos 3αβ=-=（或22cos cos 3βα=-=），所以()2227cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19αβαβαβααα-=+=-+=-=-. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.18．【解析】【分析】【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位）则|z|==故答案为 解析：【解析】 【分析】 【详解】复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|==．故答案为．19．2025【解析】设这三个数：（）则成等比数列则或（舍）则原三个数：152025解析：20 25 【解析】设这三个数：、、（），则、、成等比数列，则或（舍），则原三个数：15、20、2520．【解析】【分析】对于①可由线面垂直证两线垂直；对于②可由线面平行的定义证明线面平行；对于③可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值【详解】对 解析：①②③【解析】 【分析】对于①，可由线面垂直证两线垂直；对于②，可由线面平行的定义证明线面平行；对于③，可证明棱锥的高与底面积都是定值得出体积为定值；对于④，可由两个特殊位置说明两异面直线所成的角不是定值． 【详解】对于①，由1,AC BD AC BB ⊥⊥，可得AC ⊥面11DD BB ，故可得出AC BE ⊥，此命题正确；对于②，由正方体1111ABCD A B C D -的两个底面平行，EF 在平面1111D C B A 内，故EF 与平面ABCD 无公共点，故有//EF 平面ABCD ，此命题正确；对于③，EF 为定值，B 到EF 距离为定值，所以三角形BEF 的面积是定值，又因为A 点到面11DD BB 距离是定值，故可得三棱锥A BEF -的体积为定值，此命题正确； 对于④，由图知，当F 与1B 重合时，此时E 与上底面中心为O 重合，则两异面直线所成的角是1A AO ∠，当E 与1D 重合时，此时点F 与O 重合，则两异面直线所成的角是1OBC ∠，此二角不相等，故异面直线,AE BF 所成的角不为定值，此命题错误．综上知①②③正确，故答案为①②③ 【点睛】本题通过对多个命题真假的判断，综合考查线面平行的判断、线面垂直的判断与性质、棱锥的体积公式以及异面直线所成的角，属于难题.这种题型综合性较强，也是高考的命题热点，同学们往往因为某一处知识点掌握不好而导致“全盘皆输”，因此做这类题目更要细心、多读题，尽量挖掘出题目中的隐含条件，另外，要注意从简单的自己已经掌握的知识点入手，然后集中精力突破较难的命题.三、解答题21．（1）3)P ，22(3)4x y ++=；（21151-. 【解析】 【分析】（1）把x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入即可得出；（2）利用中点坐标公式、点到直线的距离公式及三角函数的单调性即可得出.【详解】（1）x ＝ρcosθ，y ＝ρsinθ代入计算，36P x π===，6P y π=＝12= ∴点P的直角坐标(，由2sin 1ρθ+=，得221x y ++=，即(224x y ++=，所以曲线C的直角坐标方程为(224x y ++=（2）曲线C的参数方程为22x cos y sin θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），由32:2x t l y t =+⎧⎨=-+⎩（t 为参数），得直线l 的普通方程为270x y --=.设()2cos ,2sin Q θθ，则PQ 中点3cos ,sin 2M θθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，那么点M 到直线l 的距离，()11d θϕ-+===111≥=，所以点M 到直线l1. 【点睛】本题考查了极坐标与直角坐标的互化、中点坐标公式、点到直线的距离公式、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性等基础知识与基本技能方法，考查了计算能力，属于中档题．22．（1）26cos 2sin 60ρρθρθ--+=（22 【解析】 【分析】（1）利用平方和为1消去参数α得到曲线C 的直角坐标方程，再利用y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩，整理即可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上半径即可得到最大距离. 【详解】（1）由3212x cos y sin αα=+⎧⎨=-⎩，得3212x cos y sin αα-=⎧⎨-=-⎩，两式两边平方并相加，得()()22314x y -+-=， 所以曲线C 表示以()3,1为圆心，2为半径的圆.将y sin x cos ρθρθ=⎧⎨=⎩代入得()()22cos 3sin 14ρθρθ-+-=，化简得26cos 2sin 60ρρθρθ--+=所以曲线C 的极坐标方程为26cos 2sin 60ρρθρθ--+= （2）由1sin 2cos θθρ-=，得sin 2cos 1ρθρθ-=，即21y x -=，得210x y -+=所以直线l 的直角坐标方程为210x y -+= 因为圆心()3,1C 到直线:l 210x y -+=的距离d ==，所以曲线C 上的点到直线l 的最大距离为25d r +=+. 【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题. 23．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1(,2[,)2-∞-⋃+∞）． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()f x 表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解．试题解析：（Ⅰ）72,3()34{1,3427,4x x f x x x x x x -<=-+-=->剟，它与直线2y =交点的横坐标为52和92， ∴不等式()g x 59[,]22． （Ⅱ）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线，结合图象可知，a 取值范围为1(,2)[,)2-∞-⋃+∞．考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象． 24．120o C =,10c = 【解析】试题分析：解：（1）()()1cos cos cos 2C A B A B π⎡⎤=-+=-+=-⎣⎦，所以120C =o （2）由题意得23{2a b ab +==∴222222cos 2cos120AB AC BC AC BC C a b ab =+-⋅⋅=+-o =()(22223210a b ab a b ab ++=+-=-=∴10AB =考点：本题考查余弦定理，三角函数的诱导公式的应用点评：解决本题的关键是用一元二次方程根与系数之间关系结合余弦定理来解决问题 25．（1）见解析；（2）6.3【解析】 【分析】(1)根据线面平行的判定定理直接证明即可；（2）连接BD 交EF 与点N ，先由题中条件得到MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角，再解三角形即可得出结果. 【详解】（1）PB P 平面MEF ．证明如下：在图1中，连接BD ，交EF 于N ，交AC 于O ， 则1124BN BO BD ==， 在图2中，连接BD 交EF 于N ，连接MN ，在DPB n 中，有14BN BD =，14PM PD =， MN PB P ∴． PB ⊄Q 平面MEF ，MN ⊂平面MEF ，故PB P 平面MEF ；（2）连接BD 交EF 与点N ，图2中的三角形PDE 与三角形PDF 分别是图1中的Rt ADE n 与Rt CDF n ，PD PE PD PF ∴⊥⊥，，又PE PE P ⋂＝，PD ∴⊥平面PEF ，则PD EF ⊥，又EF BD ⊥，EF ∴⊥平面PBD ， 则MND ∠为二面角M EF D ﹣﹣的平面角．可知PM PN ⊥，则在Rt MND n 中，12PM PN ＝，=，则22PM PN 3MN =+=．在MND n 中，332MD DN =＝，，由余弦定理，得22262MN DN MD cos MND MN DN +-∠==⋅． ∴二面角M EF D ﹣﹣的余弦值为63．【点睛】本题主要考查线面平行的判定，以及二面角的求法，熟记线面平行的判定定理以及二面角的概念即可，属于常考题型. 26．（1）见证明；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理计算BC ，根据勾股定理可得BC ⊥BD ，结合BC ⊥PD 得出BC ⊥平面PBD ，于是平面PBD ⊥平面PBC ；（2）建立空间坐标系，设CMCP=λ，计算平面ABM 和平面PBD 的法向量，令法向量的夹角的余弦值的绝对值等于12，解方程得出λ的值,即可得解． 【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为直角梯形， 且//AB DC , 2AB AD ==,2ADC π∠=,所以22BD =又因为4,4CDBDC π=∠=．根据余弦定理得22,BC =所以222CD BD BC =+，故BC BD ⊥.又因为BC PD ⊥, PD BD D ⋂=,且BD ,PD ⊂平面PBD ，所以BC ⊥平面PBD ， 又因为BC ⊂平面PBC ，所以PBC PBD ⊥平面平面 （2）由（1）得平面ABCD ⊥平面PBD , 设E 为BD 的中点，连结PE ，因为6PB PD ==,所以PE BD ⊥,2PE =,又平面ABCD ⊥平面PBD ，平面ABCD I 平面PBD BD =，PE ⊥平面ABCD .如图，以A 为原点分别以AD u u u r ，AB u u u r和垂直平面ABCD 的方向为,,x y z 轴正方向，建立空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(0,2,0)B ，(2,4,0)C ，(2,0,0)D ，(1,1,2)P ， 假设存在(,,)M a b c 满足要求，设(01)CMCPλλ=≤≤，即CM CP λ=u u u u r u u u r ， 所以(2-,4-3,2)λλλM ,易得平面PBD 的一个法向量为(2,2,0)BC =u u u v.设(,,)n x y z =r 为平面ABM 的一个法向量，(0,2,0)AB =u u u r ， =(2-,4-3,2)λλλu u u u rAM由00n AB n AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得20(2)(43)20y x y z λλλ=⎧⎨-+-+=⎩，不妨取(2,0,2)n λλ=-r .因为平面PBD 与平面ABM 所成的锐二面角为3π22412224(2)λλλ=+-，解得2,23λλ==-，（不合题意舍去）. 故存在M 点满足条件，且23CM CP =. 【点睛】本题主要考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系及平面与平面所成的角等基础知识，面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．。

【典型题】高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)(1)一、选择题1．123{3x x >>是12126{9x x x x +>>成立的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件2．在复平面内，O 为原点，向量OA u u u v对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB uuu v对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+3．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为( )A ．B ．C ．D ．4．已知集合{}{}x -1<x 1Q=x 0x 2P =<<<，，那么P Q=⋃ A ．（-1,2）B ．（0，1）C ．（-1,0）D ．（1,2）5．若以连续掷两颗骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 落在圆229x y +=内的概率为（ ）A ．536B ．29C ．16D ．196．已知集合1}{0|A x x -≥=，{0,1,2}B =，则A B =I A ．{0}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}7．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．8．甲、乙、丙，丁四位同学一起去问老师询问成语竞赛的成绩。

老师说：你们四人中有两位优秀，两位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩，根据以上信息，则（ ） A ．乙、丁可以知道自己的成绩 B ．乙可以知道四人的成绩 C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．丁可以知道四人的成绩9．设A （3，3，1），B （1，0，5），C （0，1，0），AB 的中点M ，则CM = A ．534B ．532C 53D 13 10．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ） A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<11．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A 3B ．2C 6D 512．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（ ） A ．54钱 B ．43钱 C ．32钱 D ．53钱 二、填空题13．在ABC V 中，60A =︒，1b =3sin sin sin a b cA B C++=++________．14．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3A π=，3a =b=1,则c =_____________15．如图所示，平面BCC 1B 1⊥平面ABC ，∠ABC ＝120︒，四边形BCC 1B 1为正方形，且AB ＝BC＝2，则异面直线BC 1与AC 所成角的余弦值为_____．16．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 17．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r=______．18．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.19．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．20．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.三、解答题21．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值. 22．选修4-5：不等式选讲 设函数()|2||1|f x x x =-++.（1）求()f x 的最小值及取得最小值时x 的取值范围；（2）若集合{|()10}x f x ax +->=R ，求实数a 的取值范围.23．已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M （，），AB 边所在直线的方程为360x y --=，点11T -（，）在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.24．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率． 25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty at=+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB =a 的值.26．已知0,0a b >>. (1)211a b≥+ ； (2)若a b >，且2ab =，求证：224a b a b+≥-．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 试题分析：因为123{3x x >>12126{9x x x x +>⇒>，所以充分性成立；1213{1x x ==满足12126{9x x x x +>>，但不满足123{3x x >>，必要性不成立，所以选A.考点：充要关系2．A解析：A 【解析】 【分析】首先根据向量OA u u u v对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB uuu v对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -，所以向量OB uuu r对应的复数为2i -+．故选A ． 【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.3．C解析：C 【解析】 【分析】从正视图和侧视图上分析，去掉的长方体的位置应该在的方位，然后判断俯视图的正确图形． 【详解】由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的右侧， 由以上各视图的描述可知去掉的长方体在原长方体的右上方，其俯视图符合C 选项． 故选C ．点评：本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义． 考点：三视图．解析：A 【解析】利用数轴，取,P Q 所有元素，得P Q =U (1,2)-．【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦恩图处理．5．D解析：D 【解析】掷骰子共有36个结果,而落在圆x 2+y 2=9内的情况有(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)这4种,∴P=41369=. 故选D6．C解析：C 【解析】 【分析】由题意先解出集合A,进而得到结果． 【详解】解：由集合A 得x 1≥, 所以{}A B 1,2⋂= 故答案选C. 【点睛】本题主要考查交集的运算，属于基础题．7．A解析：A 【解析】 【分析】通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ． 【详解】2||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ， 故选A 【点睛】图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．8．A解析：A 【解析】根据甲的所说的话，可知乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，再结合简单的合情推理逐一分析可得出结果. 【详解】因为甲、乙、丙、丁四位同学中有两位优秀、两位良好，又甲看了乙、丙的成绩且还不知道自己的成立，即可推出乙、丙的成绩中一位优秀、一位良好，又乙看了丙的成绩，则乙由丙的成绩可以推出自己的成绩，又甲、丁的成绩中一位优秀、一位良好，则丁由甲的成绩可以推出自己的成绩. 因此，乙、丁知道自己的成绩，故选：A. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时要根据已知的情况逐一分析，必要时可采用分类讨论的思想进行推理，考查逻辑推理能力，属于中等题.9．C解析：C 【解析】试题分析：先求得M （2,32，3）点坐标，利用两点间距离公式计算得CM =，故选C ．考点：本题主要考查空间直角坐标系的概念及空间两点间距离公式的应用． 点评：简单题，应用公式计算．10．B解析：B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin sin α=⇒α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.11．D解析：D 【解析】由题意可知双曲线的渐近线一条方程为b y x a =，与抛物线方程组成方程组2,1b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩消y 得，2210,()40b b x x a a -+=∆=-=，即2()4b a =，所以21()5be a=+= D. 【点睛】双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线方程为b y x a =±．直线与抛物线交点问题，直线与抛物线方程组方程组，当直线与抛物线对称轴平行时，直线与抛物线相交，只有一个交点．当直线与抛物线对称轴不平行时，当>0∆时，直线与抛物线相交，有两个交点． 当0∆=时，直线与抛物线相切，只有一个交点． 当∆<0时，直线与抛物线相离，没有交点．12．B解析：B 【解析】设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2,,,,2a d a d a a d a d --++,则22a d a d a a d a d -+-=++++,解得6a d =-,又225,a d a d a a d a d -+-+++++=1a \=,则4422633a a d a a ⎛⎫-=-⨯-== ⎪⎝⎭,故选B.二、填空题13．【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c进而利用余弦定理可求a的值根据正弦定理即可计算求解【详解】面积为解得由余弦定理可得：所以故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形面积公式余弦定理正弦定理在【解析】【分析】由已知利用三角形面积公式可求c，进而利用余弦定理可求a的值，根据正弦定理即可计算求解.【详解】60A=︒Q，1b=11sin1222bc A c==⨯⨯⨯,解得4c=，由余弦定理可得：a===，所以sin sin sin sina b c aA B C A++===++故答案为：3【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.14．2【解析】【分析】根据条件利用余弦定理可建立关于c的方程即可解出c【详解】由余弦定理得即解得或（舍去）故填2【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边属于中档题解析：2【解析】【分析】根据条件，利用余弦定理可建立关于c的方程，即可解出c.【详解】由余弦定理2222cosa b c bc A=+-得231c c=+-，即220c c--=，解得2c=或1c =-（舍去）.故填2. 【点睛】本题主要考查了利用余弦定理求三角形的边，属于中档题.15．【解析】【分析】将平移到和相交的位置解三角形求得线线角的余弦值【详解】过作过作画出图像如下图所示由于四边形是平行四边形故所以是所求线线角或其补角在三角形中故【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的 解析：64【解析】 【分析】将AC 平移到和1BC 相交的位置，解三角形求得线线角的余弦值. 【详解】过B 作//BD AC ，过C 作//CD AB ，画出图像如下图所示，由于四边形ABCD 是平行四边形，故//BD AC ，所以1C BD ∠是所求线线角或其补角.在三角形1BC D 中，1122,23BC C D BD ===，故16cos 22223C BD ∠==⨯⨯.【点睛】本小题主要考查空间两条直线所成角的余弦值的计算，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.16．【解析】【分析】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知求出的垂直平分线方程令可得圆心坐标从而可得圆的半径进而可得圆的方程【详解】由圆的几何性质得圆心在的垂直平分线上结合题意知的垂直平分线为令解析：22(2)10x y -+=. 【解析】 【分析】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，求出AB 的垂直平分线方程，令0y =，可得圆心坐标，从而可得圆的半径，进而可得圆的方程. 【详解】由圆的几何性质得，圆心在AB 的垂直平分线上,结合题意知，AB 的垂直平分线为24y x =-，令0y =，得2x =，故圆心坐标为(2,0)，所以圆的半径22(52)(10)10-+-=，故圆的方程为22(2)10x y -+=.【点睛】 本题主要考查圆的性质和圆的方程的求解,意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 17．2【解析】【分析】过点C 作CD ⊥AB 于D 可得Rt △ACD 中利用三角函数的定义算出再由向量数量积的公式加以计算可得的值【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D 则D 为AB 的中点Rt △ACD 中可得cosA==2故答解析：2【解析】【分析】过点C 作CD⊥AB 于D ，可得1AD AB 12==，Rt△AC D 中利用三角函数的定义算出1cos A AC= ，再由向量数量积的公式加以计算，可得AB AC ⋅u u u v u u u v 的值． 【详解】过点C 作CD ⊥AB 于D ，则D 为AB 的中点．Rt △ACD 中，1AD AB 12==， 可得cosA=11,cosA AD AB AC AB AC AB AC AB AC AC AC =∴⋅=⋅=⋅⋅=u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u u v u u u v u u u v =2． 故答案为2【点睛】本题已知圆的弦长，求向量的数量积．着重考查了圆的性质、直角三角形中三角函数的定义与向量的数量积公式等知识，属于基础题．18．或【解析】【分析】做出简图找到球心根据勾股定理列式求解棱锥的高得到两种情况【详解】正三棱锥的外接球的表面积为根据公式得到根据题意画出图像设三棱锥的高为hP 点在底面的投影为H 点则底面三角形的外接圆半径 解析：33493【解析】【分析】做出简图，找到球心，根据勾股定理列式求解棱锥的高，得到两种情况.【详解】正三棱锥P ABC -的外接球的表面积为16π，根据公式得到21642,r r ππ=⇒= 根据题意画出图像，设三棱锥的高为h,P 点在底面的投影为H 点，则2,2,2OP r OA r OH h =====-，底面三角形的外接圆半径为AH ，根据正弦定理得到0323sin 60= 3. 在三角形OAH 中根据勾股定理得到()223413h h -+=⇒=或 三棱锥的体积为：13ABC h S ⨯⨯V 代入数据得到1313313332⨯⨯⨯=或者1319333 3.324⨯⨯⨯= 3393 【点睛】这个题目考查了已知棱锥的外接球的半径，求解其中的一些量；涉及棱锥的外接球的球心的求法，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球. 19．【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系则答案可求【详解】设三棱柱的底面积为高为则再设到底面的距离为则得所以则到上底面的距离为所 解析：1【解析】【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ， 则9'9'S h S h==，， 再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h ⋅⋅=， 所以'23h h =， 则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⋅=⋅=． 故答案为1．【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为1V 3S h =n 底，本题是中档题． 20．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去解析：【解析】【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．三、解答题21．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） 【解析】【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ，∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB =BC 1=，则AD 1=，3AG 2=， 故()A 000，，，3C 122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，()D 001，，，3A 002⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则3122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，()001AD =u u u r ，，，3002AG u u u r ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =u r ，，，则1111113·02·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩u u u r u r u u u r u r ，取1y =()1n u r =， 设平面ACG 的法向量()2222n x y z =u u r ，，，则2222223·1023·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ， 取22y =，得(202n u u r =，设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321cos θ727·n n n n ===⨯u r u u u r u r u u r ， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为217- . 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.22．（1）min ()3f x =，此时x ∈[]1,2-（2）()1,2-【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式公式进行求解；（2）集合(){}10x f x ax R +-=表示x R ∀∈，()1f x ax >-+，令()1g x ax =-+， 根据几何意义可得()y f x =的图像恒在()y g x =图像上方，数形结合解决问题.【详解】 解（1）因为()()21213x x x x -++≥--+=，当且仅当()()210x x -+≤，即12x -≤≤时，上式“=”成立，故函数()21f x x x =++-的最小值为3， 且()f x 取最小值时x 的取值范围是[]1,2-.（2）因为(){}10x f x ax R +-=，所以x R ∀∈，()1f x ax >-+. 函数()21f x x x =-++化为()21,13,1221,2x x f x x x x -+<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪->⎩.令()1g x ax =-+，其图像为过点()0,1P ，斜率为a -的一条直线.如图，()2,3A ，()1,3B -.则直线PA 的斜率131120k -==-， 直线PB 的斜率231210k -==---. 因为()()f x g x >，所以21a -<-<，即12a -<<，所以a 的范围为()1,2-.【点睛】本题考查了绝对值不等式问题与不等式恒成立问题，不等式恒成立问题往往可以借助函数的图像来研究，数形结合可以将抽象的问题变得更为直观，解题时应灵活运用.23．（1）3x ＋y ＋2＝0；（2）(x －2)2＋y 2＝8.【解析】【分析】(1) 直线AB 斜率确定，由垂直关系可求得直线AD 斜率，又T 在AD 上，利用点斜式求直线AD 方程；（2）由AD 和AB 的直线方程求得A 点坐标，以M 为圆心，以AM 为半径的圆的方程即为所求.【详解】(1)∵AB 所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，∴直线AD 的斜率为－3． 又∵点T (－1,1)在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)， 即3x ＋y ＋2＝0．(2)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩,得02x y =⎧⎨=-⎩, ∴点A 的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，∴M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又|AM |()()22200222-++= ∴矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8．【点睛】本题考查两直线的交点，直线的点斜式方程和圆的方程,考查计算能力，属于基础题.24．（1）方式一（2）35【解析】（1）用总的受训时间除以60，得到平均受训时间.由此判断出方式一效率更高.（2）利用分层抽样的知识，计算得来自甲组2人，乙组4人.再利用列举法求得“从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率”.【详解】解:（1）设甲乙两组员工受训的平均时间分别为1t 、2t ，则1205251010155201060t ⨯+⨯+⨯+⨯==（小时） 2841682012161610.960t ⨯+⨯+⨯+⨯=≈（小时） 据此可估计用方式一与方式二培训，员工受训的平均时间分别为10小时和10.9小时，因1010.9<，据此可判断培训方式一比方式二效率更高；（2）从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人,则这6人中来自甲组的人数为：610230⨯=， 来自乙组的人数为：620430⨯=， 记来自甲组的2人为：a b 、；来自乙组的4人为：c d e f 、、、，则从这6人中随机抽取 2人的不同方法数有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,b c b d b e b f ，()()(),,,,,c d c e c f ，()()(),,,,,d e d f e f ，共15种，其中至少有1人来自甲组的有：()()()()(),,,,,,,,,a b a c a d a e a f ，()()()(),,,,,,,,b c b d b e b f共9种，故所求的概率93155P ==. 【点睛】本题主要考查平均数的计算，考查分层抽样，考查古典概型的计算方法，属于中档题.25．（1）l 的普通方程210ax y a +--=；C 的直角坐标方程是22220x y x y +--=；（2）【解析】【分析】（1）把直线l 的标准参数方程中的t 消掉即可得到直线l 的普通方程，由曲线C 的极坐标方程为ρ＝（θ4π+），展开得22ρ=（ρsinθ+ρcosθ），利用x cos y sin ρθρθ=⎧⎨=⎩即可得出曲线C 的直角坐标方程； （2）先求得圆心C 到直线AB 的距离为d ，再用垂径定理即可求解．（1）由直线l 的参数方程为21x t y at=+⎧⎨=-⎩，所以普通方程为210ax y a +--= 由曲线C的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以22sin 2cos 4πρθρθρθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 所以曲线C 的直角坐标方程是22220x y x y +--=（2）设AB 的中点为M ，圆心C 到直线AB 的距离为d，则MA =， 圆()()22:112C x y -+-=，则r =()1,1C ，12d MC ====,由点到直线距离公式，12d ===解得3a =±，所以实数a的值为3±. 【点睛】 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．26．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1) 已知0,0a b >>直接对11a b+使用均值不等式； (2)不等式分母为-a b ，通过降次构造-a b ，再使用均值不等式．【详解】证明：(1)2 “”11a b a b ≤===+时取； (2)()()()2222244 4a b ab a b a b a b a b a b a b a b -+-++===-+≥=----，当且仅当11a b ==-+或11a b ==--【点睛】“一正二定三相等”，不能直接使用均值不等式的化简变形再用均值不等式．。

高数（下）试题（一）解答一、1．0；2．1a b ⋅= 、3πθ=；3．1x >；4．/2xy y =；5．10m =；6．(,)cos cos df x y y xydx x xydy =+；7．13x ≤<；8．312()x y c c x e -=+； 二、 B ；A ；B ；A ；A ；C ；A ；D ；A ；C ； 三、解：所求平面法向量为：11122111i jkn i j ==-+-故所求平面方程为：(1)(1)00x y x y ---=⇒-=． 四、解：两边对x 求偏导得：(1)zz z z z yz yz e yz xy x x x xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--； 两边对y 求偏导得：(1)zz z z z xz xz e xz xy y y y xy z e xy ∂∂∂=+⇒==∂∂∂--． 五、解：222222222244164(4)(4)Dx y x y x y dxdy x y dxdy x y dxdy +≤≤+≤+-=--++-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2224220224442202(4)(4)2(2)2(2)8647244d r rdr d r rdrr r r r ππθθπππππ=-+-=-+-=+=⎰⎰⎰⎰六、解：因为1(1)nn n a ∞=-∑发散，若lim 0n n a →∞=，则由交错级数可知，必有1(1)n n n a ∞=-∑收敛；故lim 0n n a →∞≠，由于0n a ≥，lim 0n n a →∞∴>，1lim lim11n n n n n u a →∞→∞∴=<+； 故级数11()1nn n a ∞=+∑收敛． 七、解：1(1)n a n n =+ ，1(1)lim lim1(1)(2)n n n na n n a n n +→∞→∞+==++，1;1R ρ∴== 又1x =±时，级数收敛，故收敛区间为[1,1]-；记12111()()()(1)1n n nn n n x x x S x S x S x n n n n ∞∞∞=====-=-++∑∑∑，则有： 1111'(),(11)1n n S x x x x ∞-===-<<-∑，10()ln(1)1xdxS x x x ∴==---⎰；又2211()(())',(11)11n n n n x xxS x xS x x x n x ∞∞===⇒==-<<+-∑∑ 20()ln(1)1xxdx xS x x x x ∴==----⎰，2ln(1)0,()1x x S x x -∴≠=--； ln(1)1ln(1),0()0,0x x x S x xx -⎧+--≠⎪∴=⎨⎪=⎩，又11,lim lim(1)11n n n x S S n →∞→∞===-=+． 八、解：设圆柱体的高为h ，底面半径为r ，222()2hr R +=，又体积为2V r h π=；则拉格朗日函数为2222(,)()4h L r h r h R r πλ=+--，令2222220102()02Lrh r r Lr h h L h R r πλπλλ∂⎧=-=⎪∂⎪∂⎪=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩，解得2222,336h R r h R === 由实际问题可知，这样求得的h ，r 可使得圆柱体的体积最大．模拟试题（二）解答一、1．极小值；2．220(,)(,)y ydy f x y dx dy f x y dy ππππ-+⎰⎰⎰⎰；3．90；4．4；5．3(1)e e π-；6．1q >； 二、C ；B ；D ；A ；B ；D ；B ；三、解：因为(3)(75)0(1)(4)(72)0(2)a b a b a b a b ⎧+⋅-=⎨-⋅-=⎩由(1)得22716150(3)a a b b +⋅-= ；由(2)得2273080(4)a a b b -⋅+= ；由(3),(4)得22b a b =⋅ 且有22b b = ，1cos 2a b a b θ⋅∴==⋅，3πθ=．四、解：设曲线方程为，设00(,)x y 为其上任一点，则切线方程为：'00()()y y f x x x -=-，切线必过原点，则有'000()y f x x -=-⋅；故曲线满足的微分方程为：dy y dy dx y cx dx x y x =⇒=⇒=； 又曲线过点1(2,1)22xc y ⇒=⇒=．五、证明：设,,u tx v ty w tz ===，两边对t 求导得：1(,,)k f f f x y z kt f x y z u v w-∂∂∂++=∂∂∂ 两边乘以t 得：(,,)k f f f tx ty tz kt f x y z u v w∂∂∂++=∂∂∂ 即 (,,)f f f u v w k f u v w u v w ∂∂∂++=∂∂∂，(,,)f f f x y z kf x y z x y z∂∂∂∴++=∂∂∂． 六、21n n a ∞=∑ 收敛，而211n n ∞=∑收敛，2211()n n a n ∞=+∑收敛；又2212n n a a n n +≥⋅，由比较判别法可知1n n a n∞=∑绝对收敛．七、432dx x y ay y =+为一阶线性微分方程，先求3dx x ay y = 33dx dy x cy x y =⇒=，令3'32()()3()dx x c y y c y y c y y dy=⋅⇒=⋅+； 代入原方程得：'342()2()c y y y c y y c ⋅=⇒=+．故原方程的通解为：2353()x y c y y cy =+⋅=+；又53(0)20224y c c =⇒=+⋅⇒=-，即求得特解为534x y y =-．八、解：切向量为2{1,2,3}t t 垂直于{1,2,1}，则有211430,13t t t t ++=⇒=-=-，故所求之点为(1,1,1)--和111(,,)3927--． 九、解：过点(1,1,1)作垂直于平面1x y z ++=的直线方程得：111111x y z ---==； 用参数表示成：1;1;1x t y t z t =+=+=+，则此直线与平面的交点即为所求：2(1)(11)(1)13t t t +++++=⇒=-，投影坐标为：111(,,)333．十、解：特征方程为312300,1r r r r ⋅-=⇒==±，方程的通解为123xx c c ec e -++； 又"(0)0,'(0)2,(0)0y y y ===，由此可解出10c =，21c =-，31c =； 故满足要求的积分曲线为：x x y e e -=-+．模拟试题（三）解答一、1．76；2．2'3ln 3sin 1'sin 3xy y z F z x xz yz y F xy yz z ∂--=-=∂+；3．12S u -；4．(3,2)-，(1,0)； 5．3；6．32；7．12cos sin y C x C x =+；8．3322dx dy +；9．4(1)e π-； 二、 C ；A ；D ；A ；C ；C ；C ；C ；C ；三、解：222()cos sin 111ax axax du u u dy u dz y z e e ae a x x dx x y dx z dx a a a αααααα-=+⋅+=+⋅++++．四、解：0!n xn x e n ∞==∑，121!x n n e x x n -∞=-∴=∑，111()(1)!x n n d e nx dx x n -∞=-∴=+∑； 又因为211()x x x d e xe e dx x x --+=，所以12111()(1)!x n x x n d e nx xe e dx x n x -∞=--+∴==+∑ 当取1x =时，111(1)!1n n e e n ∞=-+==+∑． 五、解：因为22(3412288)169x y z d ++-=设2222(,,,)(3412288)(1)96x F x y z x y z y z λλ=+--+++-，则有22216(3412288)0488(3412288)204(3412288)201096xy z F x y z x F x y z y F x y z z x F y z λλλλ⎧=++-+=⎪⎪=++-+=⎪⎨=++-+=⎪⎪=++-=⎪⎩，解得：72,3,16x y y z λ===± 得点的坐标为13(9,,)88和13(9,,)88---把点13(9,,)88和13(9,,)88---代入距离公式得：121232013,,13d d d d ==<，故最近点为13(9,,)88，最远点为13(9,,)88---．六、解：22(1)01(1)!lim1(1)n n n n n+→+++ 七、解：因为112231111()nn ii n n n i S a aa a a a a a a a +++==-=-+-++-=-∑故n S 单调递增，且有上界11a C -，所以n S 有极限，即原级数收敛．八、解：1．(2)()242240A B a b a b ab ba λλλλ⋅=++=+++=+=2λ∴=-2．6S A B =⨯=(2)()2226A B a b a b a b b a λλλ∴⨯=+⨯+=⨯+⨯=-=所以1λ=-或5λ=．九、1．04πθ≤≤，12r ≤≤；22440101sin cos r I d arctg rdr d rdrr ππθθθθθ∴==⎰⎰⎰⎰2222401()413342216464d rdr ππππθθ-==⋅==⎰⎰； 2．02πθ≤≤ ，01r ≤≤；1122220(1)(1)(1)(221)44I d ln r rdr ln r d r ln πππθ∴=+=++=-⎰⎰⎰．模拟试题（四）解答一、1．4a =-；2．32-；3．（1，－2，－3）；4．22x y -；5．[1,1]-；6．sin y x c =+； 7．220nn n a x ∞=∑；8．11001xI dx e dy e ==-⎰⎰；9．外积为零或a b λ= ；10．aR b =；二、 A ；A ；D ；B ；B ；C ；A ；C ；A ；C ；三、证明：'z f x ∂=∂ ，2"'zf x yϕ∂=⋅∂∂，''z f y ϕ∂=⋅∂，22"z f x ∂=∂； 222z z z z x x y y x∂∂∂∂∴⋅=⋅∂∂∂∂∂． 四、解：2211x x y y yyx I dy e dx ydy e dy==⎰⎰⎰⎰ 2111100111(1)(1)222y x yy y yyedy y e dy ye dy y e ==-=-=--=⎰⎰⎰．五、解：六、解：设方程为660x y z D +-+=，即166x y zD D D ++=-- 11,6666D DD D ⋅⋅=∴=±；故所求方程为660x y z D +-±=． 七、解：111222ABC S a b a c b c ∆=⨯=⨯=⨯即sin sin sin ab C ac B bc A ==；所以原式得证．八、解：1121(1)22n n n n a n a n ++⋅=→+⋅ ，2R ∴= 当2x =-时，11(2)2n n n n -∞=-⋅∑收敛；当2x =时，1122n nn n -∞=⋅∑发散 即收敛区间为[2,2]-；设11()2n n n x S x n -∞==⋅∑，则两边求积分得：012()2212nx n n xx x S x dx x x ∞====--∑⎰ 22(),22(2)S x x x ∴=-≤≤-．九、解：设cos ,sin x y θθ==，并且θ是从π变到0，得sin (sin )cos cos d d πθθθθθθπ--=⎰．模拟试题（五）解答一、1．22221x y a b+≤；2．5、103、2；3．(0,0)；4．/2xy y =；5．1-、2y ；6．332；7．(1,1,2)；8．4e ；9．221x ce -+；10．0a b ⋅=二、 D ；C ；D ；C ；B ；A ；B 或C ；A ；D ；C ； 三、解：210sin sin x x Dxx ds dx dy x x=⎰⎰⎰⎰112001100sin ()(1)sin 1(1)cos (1)cos cos 01sin1xx x dx x xdxxx d x x x xdx =-=-=-=--=-⎰⎰⎰⎰四、解：因为22(,)xy z f x y e =-121222xy xy zf x f ye xf ye f x ∂=⋅+⋅=+∂ 21112221222[(2)]()[(2)]xy xy xy xy xy zx f y f xe e xye f ye f y f xe x y∂=⋅-+⋅+++⋅-+⋅∂∂ 222111222242()(1)xy xy xy xyf e x y f e xy f xye f =-+-+++．五、解：因为(1)n a n n =+，1(1)(2)limlim 1(1)n n n na n n a n n +→∞→∞++==+，1;1R ρ∴==又1x =±时，级数发散，故收敛区间为(1,1)-； 记11(1)()n n n n xs x ∞-=+=∑，两边积分得，01(1)()xn n n x s x dx ∞=+=∑⎰211()1xx n n x s x dxdx xx∞+===-∑⎰⎰，2//323()()1(1)x x s x x x -==-- 故31(23)(1)()(1)nn x x n n xxs x x ∞=-+==-∑．六、解：因为2222(26);6(26)6x y z d d x y z +--==+--设2222(,,,)(26)(21)F x y z x y z x y z λλ=+--+++-，则有2224(26)402(26)202(26)20210x y zF x y z x F x y z y F x y z z F x y z λλλλ=+--+=⎧⎪=+--+=⎪⎨=-+--+=⎪⎪=++-=⎩，解得：12x y z ==-=± 把点(1/2,1/2,-1/2)和(-1/2,-1/2,1/2)代入距离公式得：122646,33d d ==，故最近点为(1/2,1/2,-1/2)，最远点为(-1/2,-1/2,1/2)． 七、/24621(arctan )11x x x x x==-+-++3572460arctan (1)357xx x x x x x x dx x =-+-+=-+-+⎰当1x =时，111arctan11357=-+-+1(1)111arctan111213574n n n π∞=-∴=-+-+=-=-+∑ ．八、解：直线的方向向量为：1443215ij kl i j k =-=-----方程为325431x y z +--==．。

【典型题】高三数学下期末第一次模拟试题带答案一、选择题1．（1+2x2 ）（1+x）4的展开式中x3的系数为A．12B．16C．20D．242．若满足sin cos cosA B C a bc==，则ABC∆为（）A．等边三角形B．有一个内角为30°的直角三角形C．等腰直角三角形D．有一个内角为30°的等腰三角形3．在二项式42nxx⎛+⎪⎝⎭的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（）A．16B．14C．512D．134．函数32()31f x x x=-+的单调减区间为A．(2,)+∞B．(,2)-∞C．(,0)-∞D．(0,2)5．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（）A．34B．16C．1112D．25246．已知ar与br均为单位向量，它们的夹角为60︒，那么3a b-rr等于（）A7B10C13D．47．命题：三角形的内角至多有一个是钝角，若用反证法证明，则下列假设正确的是（）A．假设至少有一个钝角B．假设至少有两个钝角C．假设三角形的三个内角中没有一个钝角D．假设没有一个钝角或至少有两个钝角8．在“近似替代”中，函数()f x 在区间1[,]i i x x +上的近似值（ ） A ．只能是左端点的函数值()i f x B ．只能是右端点的函数值1()i f x +C ．可以是该区间内的任一函数值()(i i fξξ∈1[,]i i x x +）D ．以上答案均正确9．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <-或4x >B ．0x …或2x -…C ．0x <或2x >D ．12x -…或3x …10．如图是一个正方体的平面展开图，则在正方体中直线AB 与CD 的位置关系为( )A ．相交B ．平行C ．异面而且垂直D ．异面但不垂直11．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．3412．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，俯视图是一个等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．43π B ．83π C ．163πD ．203π二、填空题13．若过点()2,0M 3()2:0C y ax a =>的准线l 相交于点B ，与C 的一个交点为A ，若BM MA =v u u u v，则a =____．14．双曲线22221x y a b-=(0a >，0b >)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________. 15．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________． 17．在极坐标系中，直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆2cos ρθ=相切，则a =__________．18．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.现有抛物线22(0)y px p =>，如图一平行于x 轴的光线射向抛物线，经两次反射后沿平行x 轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为4，则该抛物线的方程为__________．19．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.20．函数232x x --的定义域是 .三、解答题21．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围. 22．已知等差数列{}n a 满足：12a =，且1a ，2a ，5a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得60800n S n >+ ？若存在，求n 的最小值；若不存在，说明理由.23．已知()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，且()f x 在区间[]1,4-上的最大值是12.（1）求()f x 的解析式；（2）设函数()f x 在[],1x t t ∈+上的最小值为()g t ，求()g t 的表达式.24．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=，BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.25．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑26．定义在R 的函数()f x 满足对任意x y ÎR 、恒有()()()f xy f x f y =+且()f x 不恒为0.（1）求(1)(1)f f -、的值； （2）判断()f x 的奇偶性并加以证明；（3）若0x ≥时，()f x 是增函数，求满足不等式(1)(2)0f x f x +--≤的x 的集合.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数． 【详解】由题意得x 3的系数为314424812C C +=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．C解析：C 【解析】 【分析】由正弦定理结合条件可得tan tan 1B C ==，从而得三角形的三个内角，进而得三角形的形状. 【详解】由正弦定理可知sin sin sin A B Ca b c ==，又sin cos cos A B C a b c==， 所以cos sin ,cos sin B B C C ==，有tan tan 1B C ==.所以45B C ==o .所以180454590A =--=o o o o . 所以ABC ∆为等腰直角三角形.故选C. 【点睛】本题主要考查了正弦定理解三角形，属于基础题.3．C解析：C 【解析】 【分析】先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】因为42nx x ⎛+ ⎪⎝⎭前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 163418118,0,1,2,82rr r r n n T C x r -+>∴=∴=⋅=Q L ，当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为636799512A A A =,选C. 【点睛】本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.4．D解析：D 【解析】 【分析】对函数求导，让函数的导函数小于零，解不等式，即可得到原函数的单调减区间. 【详解】32'2()31()363(2)002f x x x f x x x x x x -=-<⇒=+∴=<-<Q ，所以函数的单调减区间为(0,2)，故本题选D. 【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调减区间问题，正确求出导函数是解题的关键.5．C解析：C 【解析】由算法流程图知s ＝0＋12＋14＋16＝1112.选C. 6．A解析：A 【解析】本题主要考查的是向量的求模公式．由条件可知==，所以应选A ．7．B解析：B 【解析】用反证法证明数字命题时，应先假设要证的命题的否定成立，而要证命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三角形的内角至少有两个钝角”，所以应假设三角形的内角至少有两个钝角，故选B ．8．C解析：C 【解析】 【分析】 【详解】根据近似替代的定义，近似值可以是该区间内的任一函数值()(i i f ξξ∈ []1,i i x x +），故选C ．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，题目可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件条件，依次分析选项即可得答案． 【详解】根据题意，解不等式2x 2-5x-3≥0可得x≤-12或x≥3，则2x 2-5x-3≥0⇔x≤12-或3x …，所以可以转化为找x≤-12或x≥3的必要不充分条件； 依次选项可得：x 1<-或x 4>是12x ≤-或x≥3成立的充分不必要条件； x 0≥或x 2≤-是12x ≤-或x≥3成立的既不充分也不必要条件x 0<或x 2>是12x ≤-或x≥3成立的必要不充分条件；x≤-12或x≥3是12x ≤-或x≥3成立的充要条件； 故选C ． 【点睛】本题考查了充分必要条件，涉及一元二次不等式的解答，关键是正确解不等式2x 2-5x-3≥0．10．D解析：D【解析】解：利用展开图可知，线段AB 与CD 是正方体中的相邻两个面的面对角线，仅仅异面，所成的角为600，因此选D11．B解析：B 【解析】试题分析：由题意，这是几何概型问题，班车每30分钟发出一辆，到达发车站的时间总长度为40，等车不超过10分钟的时间长度为20，故所求概率为201402=，选B. 【考点】几何概型【名师点睛】这是全国卷首次考查几何概型,求解几何概型问题的关键是确定“测度”,常见的测度有长度、面积、体积等.12．C解析：C 【解析】 【分析】根据三视图知几何体是三棱锥，且一侧面与底面垂直，结合图中数据求出三棱锥外接球的半径，从而求出球的表面积公式． 【详解】由三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥，且三棱锥的侧面SAC ⊥底面ABC ，高为3SO =；其中1OA OB OC ===，SO ⊥平面ABC ，其外接球的球心在SO 上，设球心为M ，OM x =，根据SM=MB 得到：在三角形MOB 中，21SM 3x x +=，213x x +=， 解得3x =∴外接球的半径为33333R ==；∴三棱锥外接球的表面积为223164(3S ππ=⨯=．故选：C ． 【点睛】本题考查了三视图复原几何体形状的判断问题，也考查了三棱锥外接球的表面积计算问题，是中档题．一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.二、填空题13．【解析】【分析】由直线方程为与准线得出点坐标再由可得点为线段的中点由此求出点A 的坐标代入抛物线方程得出的值【详解】解：抛物线的准线方程为过点且斜率为的直线方程为联立方程组解得交点坐标为设A 点坐标为因 解析：8【解析】 【分析】由直线方程为2)y x =-与准线:al x 4=-得出点B 坐标，再由BM MA u u u u v u u u v =可得，点M 为线段AB 的中点，由此求出点A 的坐标，代入抛物线方程得出a 的值.【详解】解：抛物线()2:0C y ax a =>的准线方程为:a l x 4=-过点()2,0M2)y x =-，联立方程组2)4y x a x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，解得，交点B坐标为(a 4-， 设A 点坐标为00(,)x y ， 因为BM MA u u u u v u u u v=，所以点M 为线段AB 的中点，所以00()442402a x y ⎧+-⎪=⎪⎪⎨⎪+⎪=⎪⎩，解得)()a a 8A 444++，将()(,)a 3a 8A 44++代入抛物线方程， 即()()()23a 8aa 444+=+， 因为0a >， 解得8a =. 【点睛】本题考查了抛物线的性质、向量相等等知识，解决几何问题时，往往可以转化为代数问题来进行研究，考查了数形结合的思想.14．2【解析】试题分析：因为四边形是正方形所以所以直线的方程为此为双曲线的渐近线因此又由题意知所以故答案为2【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中渐近线是其独特的一种性质也是考查的重点内容解析：2 【解析】试题分析：因为四边形OABC 是正方形，所以45AOB ∠=︒，所以直线OA 的方程为y x =，此为双曲线的渐近线，因此a b =，又由题意知22OB =，所以22222(22)a b a a +=+=，2a =．故答案为2．【考点】双曲线的性质【名师点睛】在双曲线的几何性质中，渐近线是其独特的一种性质，也是考查的重点内容.对渐近线：(1)掌握方程；(2)掌握其倾斜角、斜率的求法；(3)会利用渐近线方程求双曲线方程的待定系数.求双曲线方程的方法以及双曲线定义和双曲线标准方程的应用都和与椭圆有关的问题相类似.因此，双曲线与椭圆的标准方程可统一为的形式，当，，时为椭圆，当时为双曲线.15．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人解析：60 【解析】 【分析】采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4300604556⨯=+++.故答案为60.16．【解析】令函数有两个极值点则在区间上有两个实数根当时则函数在区间单调递增因此在区间上不可能有两个实数根应舍去当时令解得令解得此时函数单调递增令解得此时函数单调递减当时函数取得极大值当近于与近于时要使解析：.【解析】()()()2ln 0,'ln 12f x x x ax x f x x ax =->=+-，令()ln 12,g x x ax =+-Q 函数()()ln f x x x ax =-有两个极值点，则()0g x =在区间()0,∞+上有两个实数根，()112'2ax g x a x x-=-=，当0a ≤时，()'0g x >，则函数()g x 在区间()0,∞+单调递增，因此()0g x =在区间()0,∞+上不可能有两个实数根，应舍去，当0a >时，令()'0g x =，解得12x a =，令()'0g x >，解得102x a <<，此时函数()g x 单调递增，令()'0g x <，解得12x a >，此时函数()g x 单调递减，∴当12x a=时，函数()g x 取得极大值，当x 近于0与x 近于+∞时，()g x →-∞，要使()0g x =在区间()0,∞+有两个实数根，则11ln 022g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解得10,2a <<∴实数a 的取值范围是102a <<，故答案为102a <<. 17．【解析】【分析】根据将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程再根据圆心到直线距离等于半径解出【详解】因为由得由得即即因为直线与圆相切所以【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程只要运用公式及直接代入并化 解析：12【解析】 【分析】根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将直线与圆极坐标方程化为直角坐标方程，再根据圆心到直线距离等于半径解出a . 【详解】因为222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==， 由cos sin (0)a a ρθρθ+=>，得(0)x y a a +=>，由2cos ρθ=，得2=2cos ρρθ，即22=2x y x +，即22(1)1x y -+=，111201 2.2a a a a -=∴=±>∴=+Q ，，，【点睛】（1）直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式cos x ρθ=及sin y ρθ=直接代入并化简即可；（2）极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如2cos ,sin ,ρθρθρ的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.18．【解析】【分析】先由题意得到必过抛物线的焦点设出直线的方程联立直线与抛物线方程表示出弦长再根据两平行线间的最小距离时最短进而可得出结果【详解】由抛物线的光学性质可得：必过抛物线的焦点当直线斜率存在时 解析：24y x =【解析】 【分析】先由题意得到PQ 必过抛物线的焦点，设出直线PQ 的方程，联立直线PQ 与抛物线方程，表示出弦长，再根据两平行线间的最小距离时，PQ 最短，进而可得出结果. 【详解】由抛物线的光学性质可得：PQ 必过抛物线的焦点(,0)2pF ， 当直线PQ 斜率存在时，设PQ 的方程为()2py k x =-，1122(,),(,)P x y Q x y ， 由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得：222()24p k x px px -+=，整理得2222244)0(8k x k p p x k p -++=，所以21222k p p x x k ++=，2124p x x =，所以2122222k PQ x x p p p k +=++=>；当直线PQ 斜率不存在时，易得2PQ p =； 综上，当直线PQ 与x 轴垂直时，弦长最短，又因为两平行光线间的最小距离为4，PQ 最小时，两平行线间的距离最小；因此min 24PQ p ==，所求方程为24y x =.故答案为24y x = 【点睛】本题主要考查直线与抛物线位置关系，通常需要联立直线与抛物线方程，结合韦达定理、弦长公式等求解，属于常考题型.19．【解析】【分析】先还原几何体再从底面外心与侧面三角形的外心分别作相应面的垂线交于O 即为球心利用正弦定理求得外接圆的半径利用垂径定理求得球的半径即可求得表面积【详解】由该四棱锥的三视图知该四棱锥直观图解析：1015π【解析】 【分析】先还原几何体，再从底面外心与侧面三角形SAB 的外心分别作相应面的垂线交于O ，即为球心，利用正弦定理求得外接圆的半径，利用垂径定理求得球的半径，即可求得表面积. 【详解】由该四棱锥的三视图知，该四棱锥直观图如图，因为平面SAB ⊥平面ABCD ，连接AC,BD 交于E ，过E 作面ABCD 的垂线与过三角形ABS 的外心作面ABS 的垂线交于O ，即为球心，连接AO 即为半径，令1r 为SAB ∆外接圆半径，在三角形SAB 中，SA=SB=3,AB=4,则cos 23SBA ∠=, ∴sin 5SBA ∠=，∴132sin 5r SBA ==∠，∴125r =，又OF=12AD =, 可得2221R r OF =+，计算得，28110112020R =+= ， 所以210145S R ππ==. 故答案为101.5π 【点睛】本题考查了三视图还原几何体的问题，考查了四棱锥的外接球的问题，关键是找到球心，属于较难题.20．【解析】试题分析：要使函数有意义需满足函数定义域为考点：函数定义域解析：[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，需满足2232023031x x x x x --≥∴+-≤∴-≤≤，函数定义域为[]3,1- 考点：函数定义域三、解答题21．（Ⅰ）59[,]22；（Ⅱ）1(,2[,)2-∞-⋃+∞）． 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）先用零点分段法将()f x 表示分段函数的形式，然后再求定义域；（Ⅱ）利用函数图象求解．试题解析：（Ⅰ）72,3()34{1,3427,4x x f x x x x x x -<=-+-=->剟，它与直线2y =交点的横坐标为52和92， ∴不等式()2()g x f x =-的定义域为59[,]22． （Ⅱ）函数1y ax =-的图象是过点(0,1)-的直线，结合图象可知，a 取值范围为1(,2)[,)2-∞-⋃+∞．考点：1、分段函数；2、函数的定义域；3、函数的图象．22．(1) 通项公式为2n a = 或42n a n =-;(2) 当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ；当42n a n =- 时，存在满足题意的正整数n ，其最小值为41.【解析】 【详解】（1）依题意，2,2,24d d ++成等比数列， 故有()()22224d d +=+， ∴240d d -=，解得4d =或0d =. ∴()21442n a n n =+-⋅=-或2n a =.（2）当2n a = 时，不存在满足题意的正整数n ； 当42n a n =-，∴()224222n n n S n ⎡⎤+-⎣⎦==.令2260800n n >+，即2304000n n -->， 解得40n >或10n <-（舍去）， ∴最小正整数41n =.23．（1）2()210f x x x =-（2）223268,,22535(),,2225210,,2t t t g t t t t t ⎧--≤⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩【解析】(1)因为()f x 是二次函数，不等式()0f x <的解集是()0,5，所以可设()(5)(0).f x ax x a =->,然后因为-1比5离对称轴的距离远，所以最大值为(-1)=6a,求出a值，从而求出f(x)的解析式.（II ）本小题属于二次函数轴定区间动的问题，分三种情况讨论分别求其最小值即可. 解：（1）Q ()f x 是二次函数，且()0f x <的解集是(0,5),∴可设()(5)(0).f x ax x a =->()f x ∴在区间[]1,4-上的最大值是(1)6.f a -=由已知，得612,a =2,a ∴=2()2(5)210().f x x x x x x R ∴=-=-∈（2）由（1）知22525()2102.22f x x x x ⎛⎫∴=-=-- ⎪⎝⎭，开口向上，对称轴为52x =①当512t +≤，即32t ≤时，()f x 在[],1t t +上是单调递减， ()()()2221101268g t t t t t ∴=+-+=--②当52t ≥时，()f x 在[],1t t +上是单调递减 ()22210210g t t t t t ∴=-=-③当512t t ≤≤+，即3522t ≤≤时，()f x 在对称轴处取得最小值 ()52522g t f ⎛⎫∴==- ⎪⎝⎭24．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）由矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥，进而证得AD ⊥平面ABEF ，证得AD AG ⊥，再根菱形ABEF 的性质，证得AG AF ⊥，利用线面垂直的判定定理，即可证得AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面ACD 和平面ACG 一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（Ⅰ）证明：∵矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，AD AB ⊥， ∵矩形ABCD ⋂菱形ABEF AB =，∴AD ⊥平面ABEF ， ∵AG ⊂平面ABEF ，∴AD AG ⊥，∵菱形ABEF 中，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点，∴AG BE ⊥，∴AG AF ⊥， ∵AD AF A ⋂=，∴AG ⊥平面ADF .(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知AD ，AF ，AG 两两垂直，以A 为原点，AG 为x 轴，AF 为y 轴，AD 为z 轴，建立空间直角坐标系，∵AB =BC 1=，则AD 1=，3AG 2=， 故()A 000，，，3C 12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，，()D 001，，，3A 002⎛⎫⎪⎝⎭，，，则3122AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，，()001AD =u u u r ，，，3002AG u u u r ，，⎛⎫= ⎪⎝⎭， 设平面ACD 的法向量()1111n x y z =u r ，，，则1111113·02·0AC n x y z AD n z ⎧=-+=⎪⎨⎪==⎩u u u r u r u u u r u r ，取1y =()1n u r=，设平面ACG 的法向量()2222n x y z =u u r ，，，则22222233·10223·02AC n x y z AG n x ⎧=-+=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩u u u r u u r u u u r u u r ，取22y =，得()2023n u u r，，=， 设二面角D CA G --的平面角为θ，则1212|?|2321cos θ727·n n n n ===⨯u r u u u r u r u u r ， 由图可知θ为钝角，所以二面角D CA G --的余弦值为21-. 【点睛】本题考查了立体几何中的线面垂直的判定与证明和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.25．(1) ˆ29yx =+ , 31百万元；(2) B 型新材料. 【解析】 【分析】(1)根据所给的数据，做出变量,x y 的平均数，求出最小二乘法所需要的数据，可得线性回归方程的系数b ,再根据样本中心点一定在线性回归方程上，求出a 的值，写出线性回归方程；将11x =代入所求线性回归方程，求出对应的y 的值即可得结果； (2)求出A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数与B 型新材料对应产品的使用寿命的平均数，比较其大小即可得结果. 【详解】（1）由折线图可知统计数据(),x y 共有6组，即(1,11)，(2,13)，(3,16)，(4,15)，(5,20)，(6,21)， 计算可得1234563.56x +++++==，611191666ii y ==⨯=∑ 所以()1221ˆni i i n i i x y nxybx n x ==-==-∑∑37163.516217.5-⋅⋅=，1ˆˆ62 3.59ˆay bx =-=-⨯=，所以月度利润y 与月份代码x 之间的线性回归方程为ˆ29yx =+. 当11x =时，211931ˆy=⨯+=. 故预计甲公司2019年3月份的利润为31百万元.（2）A 型新材料对应产品的使用寿命的平均数为1 2.35x =，B 型新材料对应的产品的使用寿命的平均数为2 2.7x =，12x x <Q ∴，应该采购B 型新材料. 【点睛】本题主要考查线性回归方程的求解与应用，属于中档题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据确定两个变量具有线性相关关系；②计算,x y 的值；③计算回归系数ˆˆ,ab ；④写出回归直线方程为ˆˆˆybx a =+； 回归直线过样本点中心(),x y 是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.26．(1)(1)0f =，(1)0f -=；(2)偶函数，证明见解析；(3)1{|}2x x ≤ 【解析】 试题分析：(1)利用赋值法：令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=； (2)令1y =-，结合(1)的结论可得函数()f x 是偶函数；(3)结合函数的奇偶性和函数的单调性脱去f 符号，求解绝对值不等式12x x +≤-可得x 的取值范围是1{|}2x x ≤. 试题解析：（1）令1x y ==得()10f =，令1x y ==-，得()10f -=；（2）令1y =-，对x R ∈得()()()1f x f f x -=-+即()()f x f x -=，而()f x 不恒为0，()f x ∴是偶函数；（3）又()f x 是偶函数，()()f x fx ∴=，当0x >时，()f x 递增，由()()12f x f x +≤-，得()()12,12,f x f x x x x +≤-∴+≤-∴的取值范围是1{|}2x x ≤.。

最新高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．32．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．143．设向量a r ，b r满足2a =r ，||||3b a b =+=r r r ，则2a b +=r r （ ）A ．6B ．32C ．10D ．424．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=u u u u v u u u u v，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ). A 2B 3C 5D 65．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =c =( )A ．3B ．2C 2D ．16．函数y ()y ()f x f x ==，的导函数的图像如图所示，则函数y ()f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．7．不等式2x 2-5x -3≥0成立的一个必要不充分条件是（ ） A ．1x <-或4x >B ．0x …或2x -…C ．0x <或2x >D ．12x -…或3x …8．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）x3 4 5 6 y 2.5t44.5A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨D ．t 的值是3.159．下列说法正确的是( ) A ．22a b ac bc >⇒> B ．22a b a b >⇒> C ．33a b a b >⇒> D ．22a b a b >⇒> 10．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）A 513x <<B 135x <C ．25x <<D 55x <<11．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25πB ．50πC ．125πD ．都不对12．已知双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为32c，则双曲线的渐近线方程为（）A．3y x=±B．2y x=±C．y x=±D．2y x=±二、填空题13．设函数()212log,0log(),0x xf x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是__________．14．曲线21y xx=+在点（1，2）处的切线方程为______________．15．若不等式|3|4x b-<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b的取值范围是16．在ABC∆中，角,,A B C的对边分别为,,a b c，4c=，42sina A=，且C为锐角，则ABC∆面积的最大值为________.17．记n S为数列{}n a的前n项和，若21n nS a=+，则6S=_____________．18．如图，正方体1111ABCD A B C D-的棱长为1，线段11B D上有两个动点,E F，且2EF=，现有如下四个结论：AC BE①⊥；//EF②平面ABCD；③三棱锥A BEF-的体积为定值；④异面直线,AE BF所成的角为定值，其中正确结论的序号是______．19．设函数21()ln2f x x ax bx=--，若1x=是()f x的极大值点，则a取值范围为_______________.20．()sin5013=o o________________.三、解答题21．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A发生的概率；()2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．22．设()34f x x x =-+-.（Ⅰ）求函数()2()g x f x =-的定义域；（Ⅱ）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为5.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.24．十九大以来，某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏，新农村建设取得巨大进步，农民收入也逐年增加.为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划，该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图：附：参考数据与公式 6.92 2.63≈，若 ()2~,X Nμσ，则①()0.6827P X μσμσ-<+=…；② (22)0.9545P X μσμσ-<+=…；③(33)0.9973P X μσμσ-<+=….（1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入x （单位：千元）（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；（2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入 X 服从正态分布 ()2,N μσ，其中μ近似为年平均收入2,x σ 近似为样本方差2s ，经计算得：2 6.92s =，利用该正态分布，求：（i ）在2019年脱贫攻坚工作中，若使该地区约有占总农民人数的84.14%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元?（ii ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落实情况，扶贫办随机走访了1000位农民.若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?25．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．26．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。

《高等数学》下册模拟试题一一、填空。

1、设(),x yf x y xy =+，则(),1f x y +＝（ ）。

2、函数()2ln 21z y x =-+的定义域是（ ）3、函数()()2,ln y x f x y x =+则()1,0y f ＝（ ）。

4、设()23,f x y x y =，则()1,2df =（ ）。

5、曲面22z x y =+在点()1,1,2处法线与平面10Ax By z +++=垂直，则A ＝（ ），B ＝（ ）。

6、交换积分次序，则()20,x dx f x y dy ⎰＝（ ）。

7、幂级数()111!n n n x n ∞-=-∑的收敛域是（ ）。

二、选择。

1、若函数(),z f x y =在点P 处的两个偏导数存在，则它在P 处（ ）A 连续B ：可微C ：不一定连续D ：一定不连续2、设D 是由222x y a +=所围成闭区域且D π=，则a=( )。

ACD ：1 3、下列命题正确的是（ ）A ：若lim 0n n u →∞=，则级数1n n u ∞=∑收敛 B ：若lim 0n n u →∞≠，则级数1n n u ∞=∑发散C ：若级数1n n u∞=∑发散，则lim 0n n u →∞≠ D ：级数1n n u ∞=∑发散，则必有lim n n u →∞=∞ 4、若幂级数0n n n a x∞=∑收敛半径为R ，则()02n n n a x ∞=-∑的收敛开区间是（ ）A ：（－R ，R ）B ：（1－R ，1＋R ）C ：(),-∞+∞D ：（2－R ，2＋R ）5、微分方程32220d y dy x dx dx ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的阶数是（ ） A ：1 B ：2 C ：3 D ：06、方程y xdy dx e dx +=的通解是（ ）A ：x y cxe =B ：xy xe c =+ C ：()ln 1y cx =-- D ：()ln 1y x c =-++三、下列函数的偏导数。

模拟卷（一）一、选择题（共5题，每题4分。

满分20分）1、设"“>0, V,, >0,且lim立=0,则下列答案正确的是（）〃一8 VA.若收敛，则收敛；B.若收敛，则收敛；c.若工""发散，则发散； D.若y’V"发散,则发散。

(x,y)rfy(a>0)=()2、设f（x,y）是连续函数，则/=JA. (x,y)dx；B. [dy [ f (x,y)dx ；C. £ dy j f (x, y)dx；D. ^dy^f(x,y)dx.3、曲面z = xy上点M处的法线垂直于平面2x-y-z = 5 ,则点Af的坐标是（）A.（-1,2,-2）；B. （1,2,2）；C. （-1,-2,2）；D. （1,-2,-2）。

4、级数£（-1）"—（）〃=i nA.绝对收敛；B.条件收敛；C.发散；D.不能判断其敛散性。

5、微分方程y/,-y = e x+l的一个特解应有形式（）A. ae x + b；B. axe x +bx；C. ae x +bx :D. axe x + b =二、填空题（共5题，每题4分。

满分20分）1、已矢n u - x y ,贝ij du -；2、设积分区域。

是由直线y = l、x = 2及y = x所围成的闭区域，则\\xydcy =；D3、设Z 是球面x2 + y2 + z2 =a2的外侧，则Jj x3dydz + y3dzdx + zdxdy =；£4、微分方程xy，= y In y的通解为；x —x5、将函数shx = ------- 展开成x的蓦级数，shx = o2三、（本题6分）设x2 + y2-z2~xy = 0,求竺^。

dxdy四、（本题6分）求微分方程/ + 5/ + 4y = 3-2x的通解。

五、(本题8分)求^xdydz + ydzdx + zdxdy ,其中£为半球面z = ^R2-x2-y2的上侧。

山西省重点中学协作体2017届高三数学下学期模拟试题（一）第I 卷 （80分）一、填空题（每空5分，共20分） 1、已知函数是定义在区间上的奇函数，则。

2、设变量满足条件，则的最大值为__________。

3、已知双曲线与有相同的离心率，则=__________。

4、已知点在单位圆上运动，点到直线与的距离分为，则的最小值是 。

二、选择题（每空5分，共60分） 5、集合，，若，则实数的范围是（ ） A ． B ．C ．D ．6、若函数是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是（ ）A. B. C.D.7、已知定义在上的奇函数满足，且则题号 第I 卷一、填空题 二、选择题第II卷三、简答题总分 评卷人 得分的值为（）A. B. C.D.8、已知，那么等于（）A. B. C.D.9、有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如右图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.10、在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2AB．若E，F分别为线段A1D1，CC1的中点，则直线EF与平面ABB1A1所成角的余弦值为（）A． B． C．D．11、《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现。

书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织得快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布尺，一个月（按30天计算）总共织布尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺 B．尺C．尺 D．尺12、现有名女教师和名男教师参加说题比赛，共有道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A. B.C. D.13、的值为（）A． B． C．D．14、设是等比数列的前项和，，则公比（）A、 B、 C、或 D、或15、抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线交于第一象限的点.若在点处的切线平行于的一条渐近线，则（）A. B. C. D.16、函数导函数的图象如图所示,则下列说法错误的是( )A．为函数的递增区间B．为函数的递减区间C．函数在处取得极大值D．函数在处取得极小值第II卷分析题（70分）三、简答题（本题分为必考题和选考题，共70分）17、已知函数（1）求的值；（2）求函数的最小正周期及单调递减区间。

卜人入州八九几市潮王学校HY2021届高三数学下学期模拟试卷〔一〕理〔含解析〕一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的.1.复数满足，那么复数的虚部为〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】设，由，，应选B.2.集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据指数函数的值域求出集合A，然后根据对数函数有意义求出集合B，最后根据交集的定义求出所求即可．【详解】∵A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y＞0}，B＝{x|y＝lg〔2﹣x〕}＝{x|2﹣x＜0}={x|x＜2}=〔﹣∞，2〕，∴A∩B＝{x|0＜x＜2}=，应选A.【点睛】此题主要考察集合的根本运算，利用函数的性质求出集合A，B是解决此题的关键，比较根底．3.AQI即空气质量指数，AQI越小，说明空气质量越好，当AQI不大于AQI时称空气质量为“优良〞.如图是某3月1日到12日AQI的统计数据.那么以下表达正确的选项是〔〕A.这12天的AQI的中位数是90B.12天中超过7天空气质量为“优良〞C.从3月4日到9日，空气质量越来越好D.这12天的AQI的平均值为100【答案】C【解析】这12天的AQI 指数值的中位数是95+922=93.5，故A 不正确；这12天中，空气质量为“优良〞的有95，85，77，67，72，92一共6天，故B 不正确；；从4日到9日，空气质量越来越好，，故C 正确；这12天的AQI 指数值的平均值为110，故D 不正确. 应选C ．4.平面向量a →=〔2，3〕，b →=〔x ，4〕，假设a →⊥〔a →−b →〕，那么x =〔〕 A.1 B.12C.2D.3【答案】B 【解析】 【分析】可求出a →−b →=(2−x ，−1)，根据a →⊥(a →−b →)即可得出a →⋅(a →−b →)=0，进展数量积的坐标运算即可求出x ．【详解】a →−b →=(2−x ，−1)；∵a →⊥(a →−b →)；∴a →⋅(a →−b →)=2(2−x)−3=0；解得x =12．应选B.【点睛】此题考察向量垂直的充要条件，向量坐标的减法和数量积运算，属于根底题． 5.m ，n 表示两条不同的直线，α表示平面.以下说法正确的选项是〔〕 A.假设m//α，n//α，那么m//n B.假设m ⊥α，n ⊥α，那么m//n C.假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n//α D.假设m//α，m ⊥n ，那么n ⊥α 【答案】B 【解析】 【分析】A ．运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，即可判断；B ．运用线面垂直的性质，即可判断；C ．运用线面垂直的性质，结合线线垂直和线面平行的位置即可判断；D ．运用线面平行的性质和线面垂直的断定，即可判断．【详解】A ．假设m ∥α，n ∥α，那么m ，n 相交或者平行或者异面，故A 错；B ．假设m ⊥α，n ⊥α，由线面垂直的性质定理可知m//n ，故B 正确；C ．假设m ⊥α，m ⊥n ，那么n ∥α或者n ⊂α，故C 错；D ．假设m ∥α，m ⊥n ，那么n ∥α或者n ⊂α或者n ⊥α，故D 错．应选：B ．【点睛】此题考察空间直线与平面的位置关系，考察直线与平面的平行、垂直的判断与性质，记熟定理是解题的关键，注意观察空间的直线与平面的模型．6.宋元时期数学名著算学启蒙中有关“松竹并生〞的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，竹松何日而长等.如图是源于思想的一个程序框图，假设输入的a ，b 分别为5和2，那么输出的n =〔〕 A.5 B.4C.3D.2【答案】B 【解析】模拟程序运行，可得：a =5，b =2，n =1，a =152，b =4，不满足条件a ≤b ，执行循环体 n =2，a =454，b =8，不满足条件a ≤b ，执行循环体 n =3，a =1358，b =16，不满足条件a ≤b ，执行循环体n =4，a =40516，b =32，满足条件a ≤b ，退出循环，输出n 的值是4应选B7.函数f (x )=√3sin (2x +φ)(|φ|<π2)的图象向左平移π6个单位长度后，所得到的图象关于原点对称，那么φ等于〔〕 A.π6B.−π6C.π3D.−π3【答案】D 【解析】 【分析】先根据图象变换规律求得平移后的解析式设为g 〔x 〕，再根据对称性求得结果．【详解】函数f 〔x 〕=√3sin 〔2x +φ〕〔|φ|＜π2〕的图象向左平移π6个单位后， 得到g 〔x 〕=√3sin 〔2x +π3+φ〕〔|φ|＜π2〕的图象， 由于平移后的图象关于原点对称，故g 〔0〕=√3sin 〔π3+φ〕＝0，∴π3+φ=k π〔k ∈Z 〕 由|φ|＜π2得：φ=−π3，应选：D ．【点睛】此题考察的知识点是函数图象的平移变换，三角函数的对称性，属于根底题． 8.a 为常数，a =∫2xdx 10，那么(√x −a x )6的展开式中的常数项是〔〕 A.10 B.12 C.15 D.16【答案】C 【解析】 【分析】计算定积分求出a 的值，再利用二项展开式的通项公式，求得常数项． 【详解】a =∫12xdx ＝x 2|01=1，∴〔√x −1x〕6的通项公式为T r +1＝C 6r√x6−r（−1x ）r＝〔﹣1〕r C 6r x6−3r 2，令6−3r 2=0，解得r ＝2，那么二项展开式中的常数项为〔﹣1〕2C 62＝15， 应选C.【点睛】此题主要考察定积分的运算，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于根底题． 9.双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0，b >0)的渐近线与圆(x −4)2+y 2=4相切，那么该双曲线的离心率为〔〕 A.2 B.2√33C.√3D.32【答案】B 【解析】由双曲线方程可知，双曲线的一条渐近线为：y =b ax ，即：bx −ay =0，由直线与圆的位置关系可得：√a 2+b 2=2，整理可得：2b =c ，那么：c 2=4(c 2−a 2),∴3c 2=4a 2， 据此有：e 2=c 2a 2=43,∴e =2√33. 此题选择B 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或者离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式e =ca ；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或者a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)． 10.设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sinx,，当o ≤x <π，f (x )=0，那么f (23π6)=〔〕A.12B.√32C.0D.−12【答案】A 【解析】试题分析：因为函数f(x),(x ∈R)满足f(x +π)=f(x)+sinx ，当0≤x <π时，f(x)=0，所以f(23π6)=f(π+17π6)=f(17π6)+sin17π6=f(11π6)+sin11π6+sin17π6=f(5π6)+sin5π6+sin11π6+sin17π6=sin5π6+sin11π6+sin17π6=12−12+12=12，应选A ．考点：抽象函数的性质；三角函数的求值．【方法点晴】此题主要考察了抽象函数的性质、三角函数的求值、三角函数的诱导公式等知识点的综合应用，此题的解答中函数f(x)满足f(x +π)=f(x)+sinx ，当0≤x <π时，f(x)=0，利用三角函数的诱导公式，即可求解f(23π6)的值，着重考察了分析问题和解答问题的才能，属于中档试题．【此处有视频，请去附件查看】11.正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 折叠，使点B 与点C 间的间隔为√3，那么四面体ABCD 外接球的外表积为〔〕 A.6π B.7πC.8πD.9π【答案】B 【解析】【分析】四面体ABCD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的间隔，就是球的半径，然后求球的外表积即可．【详解】根据题意可知四面体ABCD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的间隔，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD＝CD＝1，BC=√3，∴∠BDC＝120°，∴△BDC的外接圆的半径为12×√3sin120°=1由题意可得：球心到底面的间隔为√32，∴球的半径为r=√34+1=√72．外接球的外表积为：4πr2＝7π应选：B．【点睛】此题考察空间想象才能，计算才能；三棱柱上下底面中点连线的中点，到三棱柱顶点的间隔相等，说明中心就是外接球的球心，是此题解题的关键，属于中档题．12.函数f(x)=|lg(x−1)|，假设1<a<b且f(a)=f(b)，那么实数2a+b的取值范围是〔〕A.[3+2√2，+∞)B.(3+2√2，+∞)C.[6，+∞)D.(6，+∞)【答案】A【解析】【分析】根据对数的性质的可知：函数f〔x〕＝|lg〔x﹣1〕|，假设1＜a＜b且f〔a〕＝f〔b〕，可得log110(a−1)=lg(b−1)，即1a−1=b−1，可得a，b的关系，利用根本不等式求解2a+b的取值范围.【详解】函数f〔x〕＝|lg〔x﹣1〕|，∵1＜a＜b且f〔a〕＝f〔b〕，那么b＞2，1＜a＜2，∴log110(a−1)=lg(b−1)，即1a−1=b−1，可得：ab﹣a﹣b＝0．那么：a=bb−1．那么2a+b=2bb−1+b=(2b−2)+2b−1+b−1+1=(b−1)+2b−1+3≥2√2+3，当且仅当b=√2+1时取等号．满足b＞2，应选：A．【点睛】此题考察对数函数的性质和根本不等式的综合运用，考察了数形结合思想，属于中档题．二、填空题。

卜人入州八九几市潮王学校宁夏景博2021届高三数学下学期第一次模拟试题文〔含解析〕一、选择题〔本大题一一共12小题，每一小题5分，一共60分.〕 1.假设221zi i=+-，那么z =〔〕A.2C.10【答案】D 【解析】 【分析】先化简()()()212221213111i z i i i i i i i i +=+=+=++=+--+，再代入模的公式求解. 【详解】因为()()()212221213111i zi i i i i i i i +=+=+=++=+--+，所以z ==应选：D【点睛】此题主要考察复数的运算和复数的模，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 2.集合{}{}3,2,1,0,1,2,3,123A B x Z x =---=∈-≤-<，那么A B =〔〕A.{}1,2,3B.{}1,0,1-C.{}2,3D.{}3,2,1,0,1---【答案】A 【解析】 【分析】 先化简集合{}1234B =，，，，再与集合A 取交集.【详解】因为{}{}{}123151234B x Z x x Z x =∈-≤-<=∈≤<=，，，， 又因为{}3,2,1,0,1,2,3A =---，所以{}123A B =，，.应选：A【点睛】此题主要考察复集合的根本运算，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 3.角α的终边经过点()1,2P-，那么()cos πα-=〔〕B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据角α的终边经过点()1,2P-，利用三角函数的定义求得cos 5α==，再利用诱导公式求()cosπα-.【详解】因为角α的终边经过点()1,2P-，所以cos α==，所以()coscos 5παα-=-=-. 应选：B【点睛】此题主要考察三角函数的定义及诱导公式，还考察了运算求解的才能，属于根底题. 4.执行如以下图的程序框图，那么当输入的x 分别为3和6时，输出的值的和为〔〕 A.45 B.35C.147D.75【答案】D【解析】【分析】根据循环终止条件，分别求得输入3和6的结果，再求和.y=-=.【详解】当输入的x为3时，27544y=-=.当输入的x为6时，26531所以输出的值的和为75.应选：D【点睛】此题主要考察程序框图中的循环构造，还考察了逻辑推理的才能，属于根底题.5.据国家统计局发布的数据，2021年11月全国CPI〔居民消费价格指数〕，同比上涨%，CPI上涨的主要因素是猪肉价格的上涨，猪肉加上其他畜肉影响CPI上涨个百分点．以以下图是2021年11月CPI一篮子商品权重，根据该图，以下结论错误的选项是〔〕A.CPI一篮子商品中所占权重最大的是居住B.CPI一篮子商品中吃穿住所占权重超过50%C.猪肉在CPI一篮子商品中所占权重约为%D.猪肉与其他畜肉在CPI一篮子商品中所占权重约为0.18%【答案】D【解析】【分析】A.从第一个图观察居住占23%，与其他比较即可.B.CPI一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+1%=50.9%，再判断.C.食品占1%，再看第二个图，分清%是在CPI一篮子商品中，还是在食品中即可.D.易知猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为%+%=%.【详解】A.CPI一篮子商品中居住占23%，所占权重最大的，故正确.B.CPI 一篮子商品中吃穿住所占23%+8%+1%=50.9%，权重超过50%，故正确.C.食品HY1%，分解后后可知猪肉是占在CPI 一篮子商品中所占权重约为%，故正确.D.猪肉与其他畜肉在CPI 一篮子商品中所占权重约为%+%=%，故错误. 应选：D【点睛】此题主要考察统计图的识别与应用，还考察了理解辨析的才能，属于根底题.6.刘徽是我国魏晋时期伟大的数学家，他在九章算术中对勾股定理的证明如以下图.“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类，因就其余不挪动也.合成弦方之幂，开方除之，即弦也〞.图中网格纸上小正方形的边长为1，其中“正方形ABCD 为朱方，正方形BEFG 为青方〞，那么在五边形AGFID 内随机取一个点，此点取自朱方的概率为〔〕 A.1637B.949C.937D.311【答案】C 【解析】 【分析】首先明确这是一个几何概型面积类型，然后求得总事件的面积和所研究事件的面积，代入概率公式求解. 【详解】因为正方形ABCD 为朱方，其面积为9，五边形AGFID 的面积为37ABCD BGFE DCI IEF S S S S ∆∆+++=，所以此点取自朱方的概率为937. 应选：C【点睛】此题主要考察了几何概型的概率求法，还考察了数形结合的思想和运算求解的才能，属于根底题.7.圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，那么双曲线C 的离心率为〔〕B.5D.54【答案】C 【解析】 【分析】将圆224210x y x y +-++=，化为HY 方程为，求得圆心为()21-，.根据圆224210x y x y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称，那么圆心在渐近线上，12b a =.再根据c e a ==.【详解】圆224210x y x y +-++=， 所以其HY 方程为：()()22214x y -++=，所以圆心为()21-，. 因为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>， 所以其渐近线方程为by x a=±， 又因为圆224210x yx y +-++=关于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线对称， 那么圆心在渐近线上， 所以12b a =.所以c e a ===. 应选：C【点睛】此题主要考察圆的方程及对称性，还有双曲线的几何性质，还考察了运算求解的才能，属于中档题.8.ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，假设2,7,3C c ABC π==∆的面积为4，那么ABC ∆的周长为〔〕A.8B.12C.15D.7+【答案】C 【解析】 【分析】根据2,3ABC C S π∆==，解得15ab =，再由余弦定理得()22222cos 49c a b ab C a b ab =+-=+-=，求得+a b 即可.【详解】因为2,3CABC π=∆，所以1sin 142ab C =，解得15ab =. 由余弦定理得()22222cos 49ca b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=， 又因为7c =，所以1sin 2ab C =15ab =. 由余弦定理得()22222cos 49ca b ab C a b ab =+-=+-=，所以8a b +=， 所以ABC ∆的周长为15. 应选：C【点睛】此题主要考察正弦定理，余弦定理的应用，还考察了运算求解的才能，属于中档题. 9.函数()()()22lg 101x f x x x =+-+在[]22-,上的图象大致为〔〕A. B. C.D.【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的特点，结合选项的图象特征，利用特殊值进展验证排除确定. 【详解】因为()()00lg 101lg 20f =+=>，排除B ，D.又因为()()4461012lg 1016lg 010f ⎛⎫+=+-=< ⎪⎝⎭，排除C. 应选：A【点睛】此题主要考察函数的图象，还考察了理解辨析，特殊法应用的才能，属于中档题. 10.函数()13sin 22f x x x =，将()f x 的图象向右平移()0ϕϕ>个单位长度得到函数()g x 的图象，且()gx 满足66g x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么ϕ的最小值为〔〕A.6πB.4π C.3π D.23π 【答案】B 【解析】 【分析】将化简为()13sin 22sin 2223f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，再利用平移变换得到()()sin 2sin 2233g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再根据()g x 满足66g x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，那么有()g x 图象关于6x π=对称求解.【详解】因为()1sin 22sin 223f x x x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，所以()()sin 2sin 2233g x x x ππϕϕ⎛⎫⎛⎫=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 又因为()gx 满足66g x g x ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()gx 图象关于6x π=对称，所以22632k πππϕπ⨯--=+，解得24k ππϕ=--， 又因为0ϕ>，所以ϕ的最小值为4π. 应选：B【点睛】此题主要考察三角函数的图象和性质及图象变换，还考察了数形结合的思想和运算求解的才能，属于中档题. 11.正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点P 在线段1CB 上，且12B P PC =，平面α经过点1,,A P C ，那么正方体1111ABCD A B C D -被平面α截得的截面面积为〔〕A. B. C.5D.4【答案】B 【解析】 【分析】先根据平面的根本性质确定平面，然后利用面面平行的性质定理，得到截面的形状再求解.【详解】如以下图：1,,A P C 确定一个平面α，因为平面11//AA DD 平面11BB CC ，所以1//AQ PC ，同理1//AP QC ，所以四边形1APC Q 是平行四边形.即正方体被平面截的截面. 因为12B PPC =，所以112C B PC =，即1PC PB ==所以11AP PC AC ===由余弦定理得：22211111cos 25AP PC AC APC AP PC +-∠==⨯所以1sin 5APC ∠=所以S四边形1APQC 1112sin 2AP PC APC =⨯⨯⨯∠=应选：B【点睛】此题主要考察平面的根本性质，面面平行的性质定理及截面面积的求法，还考察了空间想象和运算求解的才能，属于中档题. 12.定义：()(){}Nf xg x ⊗表示()()f x g x <的解集中整数的个数.假设()()()22log ,11f x x g x a x ==++，且()(){}1N f x g x ⊗=，那么实数a 的取值范围是〔〕A.1,04⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B.1,04⎛⎤-⎥⎝⎦C.(],0-∞D.11,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】根据函数图象，结合()(){}1Nf xg x ⊗=，那么有(1)410(2)911g a g a =+>⎧⎨=+≤⎩求解. 【详解】因为()(){}1N f x g x ⊗=如以下图：那么有(1)410(2)911g a g a =+>⎧⎨=+≤⎩解得：104a -<≤ 应选：B【点睛】此题主要考察函数与不等式问题，还考察了数形结合的思想和运算求解的才能，属于中档题. 二、填空题〔本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分〕 13.a=〔4，﹣1〕，b =〔2，t 2﹣1〕，假设a b ⋅=5，那么t ＝_________. 【答案】2± 【解析】 【分析】结合，直接利用向量数量积的坐标表示代入即可求解t ． 【详解】∵a =〔4，﹣1〕，b =〔2，t 2﹣1〕， ∴a •b=4×2﹣〔t 2﹣1〕＝5，t 2＝4，那么t ＝±2． 故答案为：±2．【点睛】此题主要考察了向量数量积的坐标表示的简单应用是，属于根底试题． 14.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()11f x f x +=-+.当01x <≤时，()2020log f x x =-，那么()2018f =__________，()()1201920202020f f f ⎛⎫++= ⎪⎝⎭_________.【答案】(1).0(2).1 【解析】 【分析】 根据函数()f x 是定义在R 上的奇函数，有()()f x f x -=-，再根据()()11f x f x +=-+，得到()()4f x f x +=，所以()f x 的周期4T =，然后再求解.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f x f x -=-，()()11f x f x +=-+， ()()2f x f x -=， ()()2f x f x -=--， ()()2f x f x +=-，()()4f x f x +=，函数()f x 的周期4T =.()()()()201845042200f f f f =⨯+===，()()()()120202020120192020log 4505145052020f f f f f ⎛⎫++=-+⨯-+⨯ ⎪⎝⎭()()()()1101101f f f f =+-+=-+=.故答案为：0，1【点睛】此题主要考察函数的根本性质，还考察了逻辑推理和运算求解的才能，属于中档题.15.在三棱锥A BCD -中，,2,AB AD AB AD BC CD ⊥====当三棱锥A BCD-的体积最大时，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为__________.【答案】8:π【解析】 【分析】根据题意，当面BCD⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.此时取BD 的中点O ，由,2,AB AD AB AD ⊥==，得4BD =，OA=2，同理根据BC CD ==，且222BC CD BD +=，由直角三角形中线定理可得2OC =，从而得到外接圆半径R =2，再分别利用体积公式求解. 【详解】如以下图： 当面BCD ⊥面ABD 时，三棱锥A BCD -的体积最大.取BD 的中点O ，因为,2,ABAD AB AD ⊥==，所以4BD =，OA=2，BC CD ==，222BC CD BD +=，2OC =，外接圆半径R =2，V 球343233R ππ==，112232A BCDV -=⨯⨯⨯=，三棱锥A BCD -外接球的体积与三棱锥A BCD -的体积之比为8π故答案为：8π【点睛】此题主要考察组合体的体积问题，还考察了逻辑推理和运算求解的才能，属于中档题.16.牛顿迭代法〔Newton 'smethod 〕又称牛顿–拉夫逊方法〔Newton –Raphsonmethod 〕，是牛顿在17世纪提出的一种近似求方程根的方法.如图，设r 是()0f x =的根，选取0x 作为r 初始近似值，过点()()00,x f x作曲线()y f x =的切线,l l 与x 轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，那么该切线与x 轴的交点的横坐标为2x，称2x 是r的二次近似值.重复以上过程，直到r 的近似值足够小，即把n x 作为()0f x =的近似解.设123,,,,n x x x x 构成数列{}n x .对于以下结论：①()()()12'n nn n f x x x n f x -=-≥；②()()()1112'n n n n f x x x n f x ---=-≥；③()()()()()()12112'''n n n f x f x f x x x f x f x f x =----；④()()()()()()()12111212'''n n n f x f x f x x x n f x f x f x --=----≥. 其中正确结论的序号为__________． 【答案】②④ 【解析】 【分析】①，②；根据过点()()0,x f x 作曲线()y f x =的切线,l l与x轴的交点的横坐标()()()()01000'0'f x x x f x f x =-≠，称1x 是r 的一次近似值，过点()()11,x f x 作曲线()y f x =的切线，那么该切线与x 轴的交点的横坐标为2x ，称2x 是r 的二次近似值.重复以上过程，利用归纳推理判断。

【常考题】高三数学下期末第一次模拟试题及答案(1)一、选择题1．若圆与圆222:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21B ．19C ．9D ．-11 2．()()31i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i --C ．3i -+D ．3i - 3．一动圆的圆心在抛物线28y x =上，且动圆恒与直线20x +=相切，则此动圆必过定点（ ）A ．(4,0)B ．(2,0)C ．(0,2)D ．(0,0) 4．已知π,4αβ+=则(1tan )(1tan )αβ++的值是（ ） A ．-1 B ．1 C ．2 D ．45．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁6．在△ABC 中，P 是BC 边中点，角、、A B C 的对边分别是，若0cAC aPA bPB ++=r u u u v u u u v u u u v ，则△ABC 的形状为（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形.7．南北朝时代的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等，如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为12,V V ，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面的面积分别为12,S S ，则“12,S S 总相等”是“12,V V 相等”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 8．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（） A ．32- B ．32 C ．12 D ．12- 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 3 10．已知,a b r r 是非零向量且满足(2)a b a -⊥r r r ，(2)b a b -⊥，则a r 与b r 的夹角是（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 11．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )A ．60︒B ．30°C ．45︒D ．15︒12．函数()f x 的图象如图所示，()f x '为函数()f x 的导函数，下列数值排序正确是（ ）A ．()()()()02332f f f f ''<<<-B ．()()()()03322f f f f ''<<-<C ．()()()()03232f f f f ''<<<-D ．()()()()03223f f f f ''<-<<二、填空题13．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan2g x x =的图象交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为__________．14．已知0x >，0y >，0z >，且36x y z ++=，则323x y z ++的最小值为_________．15．已知复数z=1+2i （i 是虚数单位），则|z|= _________．16．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范围是__________．17．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．18．在体积为9的斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S —ABC 的体积为2，则三棱锥S —A 1B 1C 1的体积为___．19．若x ，y 满足约束条件220100x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则32z x y =+的最大值为_____________．20．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅u u u r u u u r =______．三、解答题21．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是平行四边形，连接BD ，其中DA DP =，BA BP =.（1）求证：PA BD ⊥；（2）若DA DP ⊥，060ABP ∠=，2BA BP BD ===，求二面角D PC B --的正弦值.22．在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17． （Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高． 23．在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为1231x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数）.在以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,且与直角坐标系长度单位相同的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程是2sin 4πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）设点()0,1P -.若直l 与曲线C 相交于两点,A B ,求PA PB +的值.24．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=．（1）求角C 的大小；（2）求AB 的长．25．在直角坐标系xoy 中以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1C ，直线2C 的极坐标方程分别为4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭. （I ）12C C 求与交点的极坐标；（II ）112.P C Q C C PQ 设为的圆心，为与交点连线的中点已知直线的参数方程为()33{,,.12x t at R a b b y t =+∈=+为参数求的值 26．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>62个焦点与1个短轴端点为顶点的三角形的面积为22（1）求椭圆的方程；（2）如图，斜率为k 的直线l 过椭圆的右焦点F ，且与椭圆交与,A B 两点，以线段AB 为直径的圆截直线1x =所得的弦的长度为5，求直线l 的方程．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】试题分析：因为()()22226803425x y x y m x y m +--+=⇒-+-=-,所以250m ->25m ⇒<且圆2C 的圆心为()3,4,25m -根据圆与圆外切的判定(圆心距离等于半径和)可得 ()()223040125m -+-=-9m ⇒=,故选C. 考点：圆与圆之间的外切关系与判断2．B解析：B【解析】【分析】 先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果.【详解】 由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i i i i --+-+⋅-+===----⋅．故应选B 【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.3．B解析：B【解析】【分析】设圆和x 轴相交于M 点，根据圆的定义得到CA ＝CM ＝R ，因为x=-2,是抛物线的准线，结合抛物线的定义得到M 点为焦点.【详解】圆心C 在抛物线上，设与直线20x +=相切的切点为A ，与x 轴交点为M ，由抛物线的定义可知，CA ＝CM ＝R ，直线20x +=为抛物线的准线，故根据抛物线的定义得到该圆必过抛物线的焦点()2,0．故选B【点睛】这个题目考查了抛物线的定义的应用以及圆的定义的应用，一般和抛物线有关的小题，很多时可以应用结论来处理的；平时练习时应多注意抛物线的结论的总结和应用．尤其和焦半径联系的题目，一般都和定义有关，实现点点距和点线距的转化．4．C解析：C【解析】【分析】 由4παβ+=，得到1tanαβ+=（），利用两角和的正切函数公式化简1tan αβ+=（），即可得到所求式子的值．【详解】 由由4παβ+=，得到1tanαβ+=（）， 所以11tan tan tan tan tan αβαβαβ++==-（） ，即1tan tan tan tan αβαβ+=-，则1112tan tan tan tan tan tan αβαβαβ++=+++=（）（） ． 故选C ．【点睛】本题考查学生灵活运用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题.5．C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．故跑第三棒的是丙．故选：C ．【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．6．C解析：C【解析】【分析】【详解】解答：由已知条件得；根据共面向量基本定理得：∴△ABC 为等边三角形。

红桥区2021届高三数学下学期第一次模拟考试试题〔含解析〕制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项是哪一项符合目要求，本卷一共9题，每一小题5分，一共45分.1.设集合U =R 〔R 为实数集〕，{}|0A x x =>，{}|1B x x =≥，那么U A C B =〔 〕A. {}1|0x x <<B. {}|01x x <≤C. {}|1x x ≥D.{}|0x x >【答案】A 【解析】 【分析】根据集合交集与补集运算,即可求得U A C B ⋂. 【详解】集合U =R ,{}|0A x x =>,{}|1B x x =≥ 所以{}1U C B x x =<所以{}{}{}0101U A C B x x x x x x ⋂=⋂<=<< 应选:A【点睛】此题考察了集合交集与补集的混合运算,属于根底题. 2.以下函数中，在区间(0,)+∞上单调递减的是〔 〕 A. 12y x =B. 2xy =C.12log y = xD.1y x=-【答案】C 【解析】【分析】由每个函数的单调区间，即可得到此题答案.【详解】因为函数12,2x y x y ==和1y x=-在(0,)+∞递增，而12log y x =在(0,)+∞递减.应选：C【点睛】此题主要考察常见简单函数的单调区间，属根底题. 3.a ln π=，12log 5b =，12c e -=，那么〔 〕A. a b c >>B. b a c >>C. c b a >>D.a cb >>【答案】D 【解析】 【分析】根据与中间值0，1的大小关系，即可得到此题答案. 【详解】因为1021122ln ln 1,log 5log 10,01e ee π->=<=<<=，所以a c b >>. 应选：D【点睛】此题主要考察利用函数单调性以及与中间值的大小关系，来比拟大小，属根底题. 4.设x ∈R ，那么“|1|2x -< “是“2x x <〞的〔 〕 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必条件【答案】B 【解析】 【分析】解出两个不等式的解集，根据充分条件和必要条件的定义，即可得到此题答案. 【详解】由|1|2x -<，得13x，又由2x x <，得01x <<，因为集合{|01}{|13}x x x x <<⊂-<<，所以“|1|2x -<〞是“2x x <〞的必要不充分条件. 应选：B【点睛】此题主要考察必要不充分条件的判断，其中涉及到绝对值不等式和一元二次不等式的解法.5.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进展分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如下图，那么成绩在[250，350]内的学生人数为〔 〕A. 800B. 1000C. 1200D. 1600【答案】B 【解析】 【分析】由图可列方程算得a ，然后求出成绩在[250,350]内的频率，最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在[250,350]内的学生人数.【详解】由频率和为1，得(0.0020.00420.002)501a +++⨯=，解得0.006a =， 所以成绩在[250,350]内的频率(0.0040.006)500.5=+⨯=， 所以成绩在[250,350]内的学生人数20000.51000=⨯=. 应选：B【点睛】此题主要考察频率直方图的应用，属根底题.6.函数()3cos (0)f x x x ωωω=->，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的间隔 等于π，那么()f x 的一条对称轴是〔 〕 A. 12x π=-B. 12x π=C. 3x π=-D. 3x π=【答案】D 【解析】【分析】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，由()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的间隔 等于π，可得最小正周期T π=，从而求得ω，得到函数的解析式，又因为当3x π=时，226x ππ-=，由此即可得到此题答案.【详解】由题，得()cos 2sin 6f x x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，因为()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的间隔 等于π， 所以函数()y f x =的最小正周期T π=，那么22Tπω==， 所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 当3x π=时，226x ππ-=， 所以3x π=是函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的一条对称轴， 应选：D【点睛】此题主要考察利用和差公式恒等变形，以及考察三角函数的周期性和对称性.7.设F 为双曲线C ：22221x y a b-=〔a >0，b >0〕的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．假设|PQ |=|OF |，那么C 的离心率为C. 2【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a=∴==． 2e ∴=，应选A ．【点睛】此题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，防止代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来．{}n a 满足13a =，且143n n a a +=+()*n N ∈，那么数列{}n a 的通项公式为〔 〕A. 2121n -+B. 2121n --C. 221n +D. 221n -【答案】D 【解析】试题分析：因为143n n a a +=+，所以()1141n n a a ++=+，即1141n n a a ++=+，所以数列{}1n a +是以114a +=为首项，公比为4的等比数列，所以1214442n n nn a -+=⨯==，即221n n a =-，所以数列{}n a 的通项公式是221n n a =-，应选D ．考点：数列的通项公式．9.,a b ∈R ，函数32,0()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，假设函数()y f x ax b =--恰有三个零点，那么〔 〕 A. 1,0a b <-< B. 1,0a b <-> C. 1,0a b >-< D. 1,0a b >->【答案】C 【解析】 【分析】当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画函数草图，根据草图可得．【详解】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-；()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-， 2(1)y x a x =+-'，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如图：∴01b a <-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，310(116,)b a a >>-+∴>-． 应选C ．【点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.由于方程中涉及,a b 两个参数，故按“一元化〞想法，逐步分类讨论，这一过程中有可能分类不全面、不彻底. 二、填空题：本大题一一共6个小题，每一小题5分，一共30分.10.复数(2)(1)z a i i =++，其中i 为虚数单位，假设复数z 为纯虚数，那么实数a 的值是__． 【答案】2 【解析】 【分析】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，然后根据纯虚数的定义，即可得到此题答案. 【详解】由题，得(2)(1)2(2)z a i i a a i =++=-++，又复数z 为纯虚数， 所以20a -=，解得2a =. 故答案为：2【点睛】此题主要考察纯虚数定义的应用，属根底题. 11.在82x x的展开式中，x 的系数等于__．【答案】7 【解析】 【分析】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，即可得到此题答案.【详解】由题，得8114221881122rrrr r r r T C x x C x ---+⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，令3r =，得x 的系数338172C ⎛⎫== ⎪⎝⎭. 故答案为：7【点睛】此题主要考察二项式定理的应用，属根底题.12.一个袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从中任意摸取3个小球，每个小球被取出的可能性相等，那么取出的3个小球中数字最大的为4的概率是__． 【答案】310【解析】 【分析】由题，得满足题目要求的情况有，①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选和②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，由此即可得到此题答案.【详解】满足题目要求的情况可以分成2大类：①有一个数字4，另外两个数字从1，2，3里面选，一一共有1226C C 种情况；②有两个数字4，另外一个数字从1，2，3里面选，一一共有2126C C 种情况，又从中任意摸取3个小球，有310C 种情况，所以取出的3个小球中数字最大的为4的概率12212626310310C C C C P C +==. 故答案为：310【点睛】此题主要考察古典概型与组合的综合问题，考察学生分析问题和解决问题的才能. 13.曲线2(1)x y x e =+在点(0,1)处的切线方程为__． 【答案】10x y -+= 【解析】 【分析】对函数求导后，代入切点的横坐标得到切线斜率，然后根据直线方程的点斜式，即可写出切线方程.【详解】因为2(1)x y x e =+，所以()221xy x x e =++'，从而切线的斜率1k =，所以切线方程为11(0)y x -=-，即10x y -+=. 故答案为：10x y -+=【点睛】此题主要考察过曲线上一点的切线方程的求法，属根底题. 14.0x >，0y >，35x y xy +=，那么2x y +的最小值是__． 【答案】2615+． 【解析】 【分析】 因为1132(2)5x y x y y x ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用根本不等式，即可得到此题答案. 【详解】由35x y xy +=，得135y x+=， 所以1131616262(2)5(52)15555x y x y x y x y y x y x y x ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当6x y =，取等号.故答案为：2615+ 【点睛】此题主要考察利用根本不等式求最值，考察学生的转化才能和运算求解才能. 15.向量a ，b 满足||2a =，||3b =，且向量a ，b 的夹角为60︒，()()0a c b c --=，那么||c 的最小值是__． 【答案】1972- 【解析】 【分析】求||c 的最小值可以转化为求以AB 为直径的圆到点O 的最小间隔 ，由此即可得到此题答案.【详解】如下图，设,,OA a OB b OC c ===， 由题，得,||2,||3,,,23cos6033AOB OA OB CA a c CB b c a b π︒∠====-=-⋅=⨯⨯=，又()()0a c b c -⋅-=，所以CA CB ⊥，那么点C 在以AB 为直径的圆上， 取AB 的中点为M ，那么1()2OM OA OB =+， 设以AB 为直径的圆与线段OM 的交点为E ，那么||c 的最小值是||OE ，因为222111||()222OM OA OB OA OA OB OB =+=+⋅+==，又AB ===，所以||c 的最小值是1||22OE OM ME OM AB =-=-=.【点睛】此题主要考察向量的综合应用问题，涉及到圆的相关知识与余弦定理，考察学生的分析问题和解决问题的才能，表达了数形结合的数学思想.三、解答题：本大题一一共5个小题，一共75分，解答写出文字说明、证明过程或者演算步骤.16.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，sin 3sin b A c B =，3a =，2cos 3B =． 〔Ⅰ〕求b 的值；〔Ⅱ〕求cos(2)6B π-的值．【答案】〔Ⅰ〕b = 【解析】 【分析】〔Ⅰ〕根据正弦定理先求得边c ，然后由余弦定理可求得边b ； 〔Ⅱ〕结合二倍角公式及和差公式，即可求得此题答案. 【详解】〔Ⅰ〕因为sin 3sin b A c B =， 由正弦定理可得，3ab bc =，又3a =，所以1c =， 所以根据余弦定理得，229136b +-=，解得，b = 〔Ⅱ〕因为2cos 3B =，所以sin B =， 21cos22cos 19B B =-=-，sin 22sin cos B B B ==那么111cos(2)sin 2()6292B B B π-+=-+． 【点睛】此题主要考察利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属根底题.17.数列{}n a 是各项均为正数的等比数列(*)n N ∈，12a =，且12a ，3a ，23a 成等差数列． 〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式；〔Ⅱ〕设2log n n b a =，n S 为数列{}n b 的前n 项和，记1231111n n T S S S S =+++⋯⋯+，证明：12n T <．【答案】〔Ⅰ〕2n n a =，*n N ∈；〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】〔Ⅰ〕由12a =，且1322,,3a a a 成等差数列，可求得q ，从而可得此题答案； 〔Ⅱ〕化简求得n b ，然后求得1nS ，再用裂项相消法求n T ，即可得到此题答案. 【详解】〔Ⅰ〕因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列()*n N ∈，12a =，可设公比为q ，0q >，又1322,,3a a a 成等差数列，所以312223a a a =+，即222432q q ⨯=+⨯，解得2q 或者12q =-〔舍去〕，那么112n n n a a q -==，*n N ∈；〔Ⅱ〕证明：22log log 2n n n b a n ===，1(1)2n S n n =+，12112(1)1nS n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 那么12311111111112(1)2(1)22311n n T S S S S n n n =+++⋯⋯+=-+-+⋯+-=-++， 因为11012n <≤+，所以112121n ⎛⎫≤-< ⎪+⎝⎭即12n T ≤<.【点睛】此题主要考察等差等比数列的综合应用，以及用裂项相消法求和并证明不等式，考察学生的运算求解才能和推理证明才能.18.椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点． 〔Ⅰ〕求椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕设Q 是椭圆C 上且不在x 轴上的一个动点，O 为坐标原点，过右焦点F 作OQ 的平行线交椭圆于M 、N 两个不同的点，求2|MN ||OQ |的值． 【答案】〔Ⅰ〕22142x y +=〔Ⅱ〕1 【解析】【分析】〔Ⅰ〕由题，得2c e a ==，221123a b +=，解方程组，即可得到此题答案； 〔Ⅱ〕设直线:OQ x my =，那么直线:MN x my =，联立22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，得222222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，得2244||2m MN m +=+，由此即可得到此题答案.【详解】〔Ⅰ〕由题可得c e a ==，即2212c a =，2212b a =，将点1,2⎛ ⎝⎭代入方程得221123a b +=，即22131a a +=，解得24a =， 所以椭圆C 的方程为：22142x y +=；〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，F设直线:OQ x my =，那么直线:MN x my =+， 联立22142x my x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22242Q m x m =+，2242Q y m =+ 所以222222224444||222Q Q m m OQ x y m m m +=+=+=+++，联立22142x my x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，整理得()22220m y ++-=， 设()()1122,,,M x y N x y，那么1212222,22y y y y m m +=-=-++，所以2244||2m MN m +===+， 所以2222244||2144||2m MN m m OQ m ++==++． 【点睛】此题主要考察椭圆HY 方程的求法以及直线与椭圆的综合问题，考察学生的运算求解才能.19.数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21(*)n n S a n N =-∈．〔Ⅰ〕求数列{}n a 的通项公式； 〔Ⅱ〕证明：21143nk k a =<∑．【答案】〔Ⅰ〕12n n a ，*n N ∈．〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】 〔1〕由11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，分1n =和2n ≥两种情况，即可求得数列{}n a 的通项公式； 〔2〕由题，得121211111()(2)44n n n n a ---===，利用等比数列求和公式，即可得到此题答案. 【详解】〔Ⅰ〕解：由题，得当1n =时，11121a S a ==-，得11a =；当2n 时，112121n n n n n a S S a a --=-=--+，整理，得12n n a a -=．∴数列{}n a 是以1为首项，2为公比的等比数列，11122n n n a --∴==，n *∈N ； 〔Ⅱ〕证明：由〔Ⅰ〕知，121211111()(2)44n n n n a ---===， 故22221121111n k kn a a a a ==++⋯+∑ 1211111()()()444n -=+++⋯+ 11()4114n-=- 4414()3343n =-<． 故得证．【点睛】此题主要考察根据,n n a S 的关系式求通项公式以及利用等比数列的前n 项和公式求和并证明不等式，考察学生的运算求解才能和推理证明才能.20.函数()(1)f x lnx a x =--，a 为实数，且0a >．〔Ⅰ〕当1a =时，求()f x 的单调区间和极值；〔Ⅱ〕求函数()f x 在区间[1，]e 上的值域〔其中e 为自然对数的底数〕．【答案】〔Ⅰ〕极大值0，没有极小值；函数的递增区间(0,1)，递减区间(1,)+∞，〔Ⅱ〕见解析【解析】【分析】 〔Ⅰ〕由11()1x f x x x-'=-=，令()0f x '>，得增区间为()0,1，令()0f x '<，得减区间为(1,)+∞，所以有极大值(1)0f =，无极小值； 〔Ⅱ〕由11()ax f x a x x -'=-=，分10a e <，1a ≥和11a e<<三种情况，考虑函数()f x 在区间[1,]e 上的值域，即可得到此题答案.【详解】()I 当1a =时，()1f x lnx x =-+，11()1x f x x x-'=-=， 当01x <<时，()'0f x >，函数单调递增，当1x >时，()0f x '<，函数单调递减， 故当1x =时，函数获得极大值(1)0f =，没有极小值；函数的增区间为()0,1，减区间为(1,)+∞，11()()ax II f x a x x-'=-=， 当10a e<时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递增，(1)()()f f x f e ≤≤即函数的值域为[0,1]a ae +-；当1a ≥时，()0f x '，()f x 在[1,]e 上单调递减， ()()(1)f e f x f ≤≤即函数的值域为[1,0]a ae +-；当11a e <<时，易得1[1,)x a ∈时，()'0f x >，()f x 在[1,]e 上单调递增，1,x e a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0f x '<，()f x 在[1,]e 上单调递减，故当1x a=时，函数获得最大值1()1f lna a a =--+，最小值为(1)0f =，()1f e a ae =+-中最小的， ()i 当111a e e <-时，()(1)f e f ≥，最小值(1)0f =； ()ii 当111a e <<-，()(1)f e f <，最小值()1f e a ae =+-；综上，当10a e<时，函数的值域为[0,1]a ae +-， 当111a e e <-时，函数的值域[0,ln 1]a a --+， 当111a e <<-时，函数的值域为[1,ln 1]a ae a a +---+， 当1a ≥时，函数的值域为[1,0]a ae +-.【点睛】此题主要考察利用导数求单调区间和极值，以及利用导数研究含参函数在给定区间的值域，考察学生的运算求解才能，表达了分类讨论的数学思想.制卷人：歐陽文化、歐陽理複；制卷時間：二O 二二年二月七日。

高等数学（下）模拟试题一答案高等数学(下)模拟试题一答案一、 1.2,0; 二13?3,1,?2?;3?1,3?;4?,1.二、214摄氏度；2.a；3c；4D III.1（6分）解决方案：？df？1.1z？FFfdx？阿迪？dz？十、Yz1？1z1？十、ZY11? 十、dx yz？Y十、十、十、1天？自然对数？2.2dzyy Yz1z？df（1,1,1）？dx？dy2.（6分）解：在方程两端对x求偏导数得2u？UZZ2z？1.0，然后呢？y2？十、十、十、u1？2zy2？代替？x2u？2U so2？？十、u1？2zy2？如何简化替代？x2u2u（？2y2？y2）？（1？2zy2）？24u2？U十、2u4u2y4(12zy2)223x4u3.（6分）解：在原积分路径上添加从o到a的一段使之为逆时针方向的封闭曲线，在该封闭曲线上的积分用格林公式，有（exsiny？my）dx？（excosy？m）dy mdxdy？a2m？/八d而从o到a的积分为0，故l（exsiny？my）dx？（excosy？m）dy？a2m？/八4.（6分）解：由高斯公式得原始配方（x2？y2）dxdydz？？D1dr？r2dz？2.r3（1？r）dr？？00r02？111? 十5.（6分）解：Zxxx？y22，？Zyyx？y22；s(dz2z2)()dxdy2dxdy2xydn26.（6分）解：原式??n2n?1?x3n?1?x2?n2n?1?n2x3(n?1)?2x2?n(n?1?2x3)n?111'? N1.()?? nx2（1？x）1？xn？1.原始配方？2x11，x？（？，6）326（1？2x）222四、（7分）解待求直线l与l2相交有交点p(x0,y0,z0)，此交点在l2上故可设p(x0,y0,z0)=p(2t,t,t)因为直线L上有两点a（1,2,1）和P（2t，t，t），所以直线L的方向是s？？2t？1，t？2，t？1.是我吗？L1，s？？3,2,1?, 即3（2t？1）？2（t？2）？（t？1）？0吨？得到s，得到？？，？89? 7.9101?,??//? 7.10,? 1.99? 十、1岁？2z？1.7.10? 1.会议议程如下：五、（7分）解：到坐标面xoy距离为最短的点(x,y,z),d?z,令f(x,y,z,?)?d??(x?x?z)??(?y)2221x？？2x0 2x？？十、1.十、1.2y极值条件下的0？2z0，明白吗？Y1还是？Y1.z2z2x2y2z01y0x分别代入均得d?2，由几何意义，(1,1,2)和(?1,?1,?2)均为所求。