高等数学A(下册)期末考试试题
一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上）
1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ⋅= ．
2、设ln()z x xy =，则32
z
x y ∂=∂∂
． 3、曲面2
2
9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 ．
4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于 ，在x π=处收敛于 ．
5、设L 为连接(1,0)与(0,1)两点的直线段，则
()L
x y ds +=⎰ ．
※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分）
1、求曲线222
222
239
3x y z z x y
⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22
6z x y =--所围成的立体体积．
3、判定级数
1
1
(1)ln
n n n n
∞
=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,
z z
x x y
∂∂∂∂∂． 5、计算曲面积分
,dS
z ∑
⎰⎰其中∑是球面2222x y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部． 三、（本题满分9分） 抛物面22z x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离
的最大值与最小值．
（本题满分10分）
计算曲线积分
(sin )(cos )x x L
e y m dx e y mx dy -+-⎰
，
其中m 为常数，L 为由点(,0)A a 至原点(0,0)O 的上半圆周2
2
(0)x y ax a +=>．
四、（本题满分10分）
求幂级数1
3n
n n x n ∞
=⋅∑的收敛域及和函数．
五、（本题满分10分）
计算曲面积分332223(1)I x dydz y dzdx z dxdy ∑
=
++-⎰⎰， 其中∑为曲面2
2
1(0)z x y z =--≥的上侧．
六、（本题满分6分）
设()f x 为连续函数，(0)f a =，2
22()[()]t
F t z f x
y z dv Ω=
+++⎰⎰⎰，其中t Ω
是由曲面z =
与z =所围成的闭区域，求 3
()
lim t F t t +
→．
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备注：①考试时间为2小时；
②考试结束时，请每位考生按卷面→答题纸→草稿纸由表及里依序对折上交； 不得带走试卷。
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
参考解答与评分标准 2009年6月
一、填空题【每小题4分，共20分】 1、4-； 2、21
y
-；3、2414x y z ++=； 4、3，0； 5
二、试解下列各题【每小题7分，共35分】
1、解：方程两边对x 求导，得323dy
dz y z x dx dx dy dz y z x
dx
dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-
，74dz x dx z = (4)
该曲线在
()1,1,2-处的切向量为571
(1,,)(8,10,7).488T == (5)
故所求的切线方程为
112
8107
x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为 ()()()8
1101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)
２、解：22
22
226z x y z x y
⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22
:2xy D x y +≤． (2)
故所求的体积为V
dv Ω
=
⎰⎰⎰22
2620
20
2(63)6d d dz d πρρ
θρπρρπ-==-=⎰⎰
(7)
３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n
n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1
n n u ∞
=∑发散 (3)
又111||ln(1)ln(1)||1n
n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n
→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】
４、解：
121211
()0z f y f yf f x y y
∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111122212222211[()][()]z x x
f y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222
231.x f xyf f f y y
''''''=+--【7】 ５、解：∑
的方程为z =，∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．
=３】
故22222200xy
D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰
220
12ln()2ln 2a
a a a h
πρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】
三、【9分】解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M
到原点的距离为d =
1】
令2
2
2
2
2
(,,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，
则由22220
220201x y z L x x L y y L z z x y
x y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪
++=⎪⎩
，解得12x y -±==
，23z =．于是得到两个可能极值点
