一、选择题1．已知变量,x y 之间满足线性相关关系ˆ 1.31yx =-，且,x y 之间的相关数据如下表所示： x 1 2 3 4 y0.1m3.14则实数m =（ ） A ．0.8B ．0.6C ．1.6D ．1.82．某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如表（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.）附表：20()P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0010k2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828则下列选项正确的是（ ）A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响3．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据1122(,),(,),(,)n n x y x y x y ，则下列说法中不正确的是（ ）A ．由样本数据得到的回归方程ˆˆˆy bx a =+必过样本点的中心(),x yB ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好C ．用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好D ．若变量y 和x 之间的相关系数为0.9462r =-，则变量y 和x 之间具有线性相关关系4．已知x 与y 之间的一组数据：若y 关于x 的线性回归方程为ˆ 2.1 1.25yx =-，则m 的值为（ ）．A ．1B ．0.85C ．0.7D ．0.55．在生物学上，有隔代遗传的现象.已知某数学老师的体重为62kg ，他的曾祖父、祖父、父亲、儿子的体重分别为58kg 、64kg 、58kg 、60kg .如果体重是隔代遗传，且呈线性相关，根据以上数据可得解释变量x 与预报变量y 的回归方程为y bx a =+，其中0.5b =，据此模型预测他的孙子的体重约为（ ）A ．58kgB ．61kgC ．65kgD ．68kg6．下列说法:①2χ越小,X 与Y 有关联的可信度越小;②若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的值越接近于1;③“若x ∈R ,则111x x <⇒-<<类比推出,“若z C ∈,则111z z <⇒-<<;④命题“有些有理数是无限循环小数,整数是有理数,所以整数是无限循环小数”是假命题,推理错误的原因是使用了“三段论”,推理形式错误.其中说法正确的有( )个 A ．0B ．1C ．2D ．37．下列说法中正确的是 （ ）①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱， r 越接近于1，相关性越弱； ②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心(),x y ；③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度； ④相关指数2R 用来刻画回归的效果， 2R 越小，说明模型的拟合效果越好. A ．①② B ．③④C ．①④D ．②③8．一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，由此进行了5次实验，收集数据如下： 零件数：个 10 20 30 40 50 加工时间：分钟5971758189由以上数据的线性回归方程估计加工100个零件所花费的时间为（ ） 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为1122211()(),()nniii ii i nni ii i x x y y x y nxyb a y bx x x xnx ====---===---∑∑∑∑A ．124分钟B ．150分钟C ．162分钟D ．178分钟9．已知变量x 与变量y 之间具有相关关系，并测得如下一组数据：则变量x 与y 之间的线性回归直线方程可能为A ．ˆy =0.7x –2.3B ．ˆy =–0.7x+10.3C ．ˆy =–10.3x+0.7D ．ˆy=10.3x –0.7 10．在一组样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y （2n ，1x ，2x …n x 不全相等）的散点图中，若所有样本点(),(1,2,,)i i x y i n =都在直线y=3?x+1-上，则这组样本数据的样本相关系数为（ ） A ．-3B ．0C ．-1D ．111．已知,x y 的对应值表为：且,x y 线性相关，由于表格污损，y 的对应值看不到了，若6119.2ii y==∑，且线性回归直线方程为0.6y x a =+，则8x =时，y 的预报值为（ ） A ．6.1B ．22.1C ．12.6D ．3.512．在某次试验中，实数x ，y 的取值如下表：若x 与y 之间具有较好的线性相关关系，且求得线性回归方程为1y x =+，则实数m 的值为（） A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.913．以下四个命题中： ①函数关系是一种确定性关系；②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法； ③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A 、B 相互独立； ④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N σ，且(5)0.81P ξ≤=，则(31)0.31P ξ-≤<=.以上命题中，真命题的个数为（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、解答题14．某地区2012年至2018年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：（2）利用（1）中的回归方程，分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121ˆnii i niitty y btt==--=-∑∑，ˆˆay bt =-. 15．近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币.与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系.现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次.（1）完成下面22⨯列联表，并通过计算说明是否可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？2.072(2()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)（2）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量X ：①求对商品和服务全好评的次数X 的分布列(概率用组合数算式表示)；②求X的数学期望和方差.16．每年10月中上旬是小麦的最佳种植时间，但小麦的发芽会受到土壤、气候等多方面因素的影响.某科技小组为了解昼夜温差的大小与小麦发芽的多少之间的关系，在不同的温差下统计了100颗小麦种子的发芽数，得到了如下数据：温差()x C︒810111213发芽数y（颗）7981858690（1）请根据统计的最后三组数据，求出y关于x的线性回归方程y bx a=+；（2）若由（1）中的线性回归方程得到的估计值与前两组数据的实际值误差均不超过两颗，则认为线性回归方程是可靠的，试判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）若100颗小麦种子的发芽率为n颗，则记为%n的发芽率，当发芽率为%n时，平均每亩地的收益为10n元，某农场有土地10万亩，小麦种植期间昼夜温差大约为9C︒，根据（1）中得到的线性回归方程估计该农场种植小麦所获得的收益.附：在线性回归方程y bx a=+中，1221ni iiniix y nx ybx nx==-=-∑∑.17．某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用i x与年销售量()1210iy i=⋯，，的数据，得到散点图如图所示．(1)利用散点图判断y a bx=+和·dy c x=（其中c d，均为大于0的常数）哪一个更适合作为年销售量y和年研发费用x的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）(2)对数据作出如下处理，令,i i i iu lnx v lny==，得到相关统计量的值如下表：根据第(1)问的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；101iiv=∑101iiu=∑()()101i iiu u v v=--∑()1021iiu u=-∑151528.2556.5(3)已知企业年利润z （单位：千万元）与x y ，的关系为349182z ey x =-－（其中271828e ≈．），根据第(2)问的结果判断，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用?附：对于一组数据()()()1122,,,n n u v u v u v ⋯，，，，其回归直线ˆˆˆvu αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121niii nii u u v v u u β==--=-∑∑，ˆav u β=- 18．某学生对其亲属30人的饮食习惯进行了一次调查，并用如图所示的茎叶图表示30人的饮食指数（说明：图中饮食指数低于70的人，饮食以蔬菜为主；饮食指数高于70的人，饮食以肉类为主）.（1）根据以上数据完成下列22⨯列联表：主食蔬菜 主食肉类 总计50岁以下 50岁以上 总计（2）能否有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关？并写出简要分析.参考公式和数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819．某网红直播平台为确定下一季度的广告投入计划，收集了近6个月广告投入量x （单位：万元）和收益y（单位：万元）的数据如下表： 月份1 2 3 4 5 6 广告投入量/万元 2 4 6 8 10 12 收益/万元14.2120.3131.831.1837.8344.67用两种模型①，②y ae =分别进行拟合，得到相应的回归方程并进行残差分析，得到如图所示的残差图及一些统计量的值：xy61i ii x y =∑612ii x=∑7301464.24 364（1）根据残差图，比较模型①，②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由. （2）残差绝对值大于2的数据被认为是异常数据，需要剔除： (i)剔除的异常数据是哪一组？(ii)剔除异常数据后，求出（1）中所选模型的回归方程； (iii)广告投入量18x =时，(ii)中所得模型收益的预报值是多少？附：对于一组数据()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋅⋅⋅，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-. 20．交通部门调查在高速公路上的平均车速情况，随机抽查了60名家庭轿车驾驶员，统计其中有40名男性驾驶员，其中平均车速超过90/km h 的有30人，不超过90/km h 的有10人；在其余20名女性驾驶员中，平均车速超过90/km h 的有5人，不超过90/km h 的有15人.（1）完成下面的22⨯列联表，并据此判断是否有99.9%的把握认为，家庭轿车平均车速超过90/km h 与驾驶员的性别有关；平均车速超过90/km h 的人数平均车速不超过90/km h 的人数合计（2）根据这些样本数据来估计总体，随机调查3辆家庭轿车，记这3辆车中，驾驶员为女性且平均车速不超过90/km h 的人数为ξ，假定抽取的结果相互独立，求ξ的分布列和数学期望.参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++其中n a b c d =+++临界值表：21．这次新冠肺炎疫情，是新中国成立以来在我国发生的传播速度最快、感染范围最广、防控难度最大的一次重大突发公共卫生事件.中华民族历史上经历过很多磨难，但从来没有被压垮过，而是愈挫愈勇，不断在磨难中成长，从磨难中奋起.在这次疫情中，全国人民展现出既有责任担当之勇、又有科学防控之智.某校高三学生也展开了对这次疫情的研究，一名同学在数据统计中发现，从2020年2月1日至2月7日期间，日期x 和全国累计报告确诊病例数量y （单位：万人）之间的关系如下表：（1）根据表中的数据，运用相关系数进行分析说明，是否可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系？（2）求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+（系数精确到0.01）.并预测2月10日全国累计报告确诊病例数. 参考数据：7116.9ii y==∑，7177.5i i i x y ==∑ 1.88= 2.65≈.参考公式：相关系数()()niix x y y r --=∑回归方程y a bt =+中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()1niii nx x y y b =--=∑，a y bx =-.22．某市春节期间7家超市的广告费支出i x （万元）和销售额i y （万元）数据如下：参数数据及公式：8x =，42y =，712794i i i x y ==∑，712708i i x ==∑，1221ˆni i ni i i y n x y b nxx x ==-⋅=-∑∑，ˆˆay bx =-，ln 20.7≈. （1）若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 关于x 的线性回归方程；（2）用对数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：ˆ12ln 22yx =+，经计算得出线性回归模型和对数模型的2R 分别约为0.75和0.97，请用2R 说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出为8万元时的销售额.23．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入i x （单位:千元）与月储蓄i y （单位:千元）的数据资料，计算得10180i i x ==∑，10120i i y ==∑，101184i i i x y ==∑，1021720ii x==∑.（1）求家庭的月储蓄y 关于月收入x 的线性回归方程y bx a =+，并判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（注:线性回归方程y bx a =+中，1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑，其中x ，y 为样本平均值.）24．如图是某公司一种产品的日销售量y （单位：百件）关于日最高气温x （单位：C ︒）的散点图.数据：x1315192021 y2628301836（1）请剔除一组数据，使得剩余数据的线性相关性最强，并用剩余数据求日销售量y关于日最高气温x的线性回归方程y bx a=+；（2）根据现行《重庆市防暑降温措施管理办法》.若气温超过36度，职工可享受高温补贴.已知某日该产品的销售量为53.1，请用（1）中求出的线性回归方程判断该公司员工当天是否可享受高温补贴？附：()()()121ni iiniix x y ybx x==--=-∑∑，a y bx=-.25．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y（万元）有如下的统计资料：使用年限x23456维修费用y 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料知y对x呈线性相关关系.（1）请画出上表数据的散点图；（2）请根据最小二乘法求出线性回归方程ˆy bx a=+的回归系数a，b；（3）估计使用年限为10年时，维修费用是多少？26．“工资条里显红利，个税新政人民心”，随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税（简称个税）改革迎来了全面实施的阶段，某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁~35岁（2009年~2018年）之间各月的月平均收入y(单位：千元)的散点图：（1）由散点图知，可用回归模型ˆˆˆln yb x a =+拟合y 与x 的关系，试根据有关数据建立y 关于x 的回归方程；（2）如果该IT 从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用（1）的结果，将月平均收入为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴交的个人所得税. 附注： 参考数据10155ii x==∑，101155.5i i y ==∑，1021-)82.5i i x x ==∑（，101-))94.9i i i x x y y =-=∑（（，10115.1ii t==∑，1021-) 4.84i i t t ==∑（,101-))24.2i i i t t y y =-=∑（（，其中ln i i t x =；取ln11 2.4=，ln36 3.6=参考公式：回归方程v bu a =+中斜率和截距的最小二乘估计分别为121-))-)ˆniii nii u u v v bu u ==-=∑∑（（（,ˆˆa v bu=- 新旧个税政策下每月应纳税所得额（含税）计算方法及税率表如下：旧个税税率表（个税起征点3500元）新个税税率表（个税起征点5000元） 税缴级数 每月应纳税所得额（含税） =收入-个税起征点 税率（%） 每月应纳税所得额（含税）=收入一个税起征点-专项附加扣除 税率 （%） 1 不超过1500元的部分 3 不超过3000元的部分 3 2超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103 超过4500元至9000元的部分20 超过12000元至25000元的部分 20 4超过9000元至35000元的25超过25000元至35000元的部分25【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】分析：由题意结合线性回归方程的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意可得：12345 2.542x +++===，0.1 3.14 1.844m my +++==+， 线性回归方程过样本中心点，则：1.8 1.3 2.514m+=⨯-， 解得： 1.8m =. 本题选择D 选项.点睛：本题主要考查线性回归方程的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．A解析：A 【解析】分析：根据列联表中数据利用公式求得2K ，与邻界值比较，即可得到结论. 详解：根据卡方公式求得()223081281020101218K -==⨯⨯⨯，27.89710.828K <<，∴该研究小组有99.5%的把握认为中学生使用智能手机对学生有影响，故选A.点睛：独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成22⨯列联表；（2）根据公式()()()()()22n ad bc K a b a d a c b d -=++++计算2K 的值；(3) 查表比较2K 与临界值的大小关系，作统计判断.3．C解析：C【解析】分析：根据回归方程性质、残差平方和含义、相关指数含义以及相关系数的含义进行判断.详解：因为回归方程ˆˆˆybx a =+必过样本点的中心(),x y ，所以A 对， 因为残差平方和越小拟合的效果越好，所以B 对， 因为相关指数2R 越大拟合效果越好，所以C 错， 因为相关系数绝对值越接近1越具有线性相关，所以D 对， 因此选C.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .4．D解析：D 【解析】由表格可知 2.5x =， 15.54my +=，由线性回归方程必过样本中心点可得： 4y =，则0.5m =，故选D.点睛：函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量的关系.如果线性相关，则直接根据用公式求,a b ，写出回归方程，回归直线方程恒过点(,)x y .5．B解析：B 【分析】由已知得出数据，()58,58，()64,62，()58,60，根据回归直线过样本中心点,可求得(),x y ，计算求得a ，代入62x =，即可得出结果.【详解】由已知，体重是隔代遗传，且呈线性相关，得出数据，()58,58，()64,62，()58,60， 所以()(),=60,60x y ，代入y bx a =+，其中0.5b =，求得=30a ， 即0.530y x =+.62x =时， 0.56230y =⨯+=61.故选：B 【点睛】本题主要考查线性回归方程的相关计算，考查学生分析问题的能力，属于中档题.6．C解析：C 【分析】因为2χ越大,X 与Y 有关联的可信度越大，可判断①；两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1，可判断②；虚数不能比较大小可判断③；大前提“有些有理数是无限循环小数”不是全称命题，故可判断④. 【详解】①中因为2χ越大,X 与Y 有关联的可信度越大，所以2χ越小,X 与Y 有关联的可信度越小,正确；②中因为若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1，故错误； ③中因为虚数不能比较大小，可知111z z <⇒-<<错误；④中因为大前提的形式：“有些有理数是无限循环小数”，不是全称命题，故推理形式错误判断正确. 故选：C 【点睛】本题主要考查了独立性检验，线性回归，类比推理，三段论推理，属于中档题.7．D解析：D 【分析】运用相关系数、回归直线方程等知识对各个选项逐一进行分析即可 【详解】①相关系数r 用来衡量两个变量之间线性关系的强弱，r 越接近于1，相关性越强，故错误②回归直线y bx a =+一定经过样本点的中心()x y ，，故正确③随机误差e 满足()0E e =，其方差()D e 的大小用来衡量预报的精确度，故正确 ④相关指数2R 用来刻画回归的效果，2R 越大，说明模型的拟合效果越好，故错误 综上，说法正确的是②③ 故选D 【点睛】本题主要考查的是命题真假的判断，运用相关知识来进行判断，属于基础题8．A解析：A 【解析】分析：先求出,x y ，再求出ˆˆ,ba 得到回归直线方程，再令x=100得到加工100个零件所花费的时间.详解：由题得30,75,x y ==121()()(20)(16)(10)(4)70074001000100400100010()niii ni i x x y y b x x ==---⨯-+-⨯-====++++-∑∑，所以775ˆ3054,10ay bx =-=-⨯= 所以754,10y x =+当x=100时，y=124.故答案为A 点睛：本题主要考查回归分析和回归方程的求法，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本的计算能力，考查学生解决实际问题的能力.9．B解析：B 【解析】根据表中数据，得14x =（6+5+10+12）=334，14y =（6+5+3+2）=4，且变量y 随变量x 的增大而减小，是负相关，所以，验证334x =时，ˆy=–0.7×334+10.3≈4，即回归直线ˆy =–0.7x +10.3过样本中心点（x ，y ）．故选B ．10．C解析：C 【解析】因为所有样本点()(),1,2,,i i x y i n =⋅⋅⋅都在直线31y x =-+上，所以回归直线方程是31y x =-+，可得这两个变量是负相关，故这组样本数据的样本相关系数为负值，且所有样本点()(),1,2,..,i i x y i n =，都在直线上，则有1,r =∴相关系数1r =-，故选C.11．A解析：A 【分析】求出,x y ，由线性回归方程必经过点（,x y ）即得a ，代入8x =求解即可. 【详解】 由表格知，196x =，6119.2ii y==∑3.2y ∴=，代入0.6y x a =+得：193.20.66a =⨯+， 1.3a ∴=，则回归方程为0.6 1.3y x =+， 当8x =时，0.68 1.3 6.1y =⨯+=， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了线性回归方程，线性回归方程的性质、应用， 属于中档题.12．D解析：D 【分析】根据线性回归方程必过点(),x y ，可求出m 的值. 【详解】 因为14.333,5mx y +== 所以14.333145m+=+=，解得 1.9m = 故选D. 【点睛】本题主要考查了线性回归方程，样本中心点，属于容易题.13．D解析：D 【分析】对四个命题一个一个进行判断. 【详解】①函数关系是一种确定性关系，所以①是正确的；②回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法， 所以②是正确的；③独立性检验中的统计假设就是假设相关事件A 、B 相互独立，所以③是正确的； ④某项测量结果ξ服从正态分布()21,N σ，由正态分布定义可知它的图像是关于1x =对称，因为(5)0.81P ξ≤=，则(5)(3)10.810.19P P ξξ>=<-=-=， 所以()11(31)(35)120.190.3122P P ξξ-≤<=-≤≤=-⨯=，所以④是正确的； 故选：D 【点睛】本题考查了对相关关系概念的理解、正态分布的对称性，属于一般题.二、解答题14．（1）ˆ0.5 2.3yt =+；（2）6.8千元.【分析】（1）利用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程；（2）由（1）知0.50b =>得解，将2020年的年份代号9t =代入ˆ0.5 2.3yt =+即得解. 【详解】 （1）由题知()1123456747t =++++++=； ()12.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y =++++++=； ()()71ii i tty y =--∑()()()()()()3 1.42110.700.110.520.930.16=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯+⨯+⨯14=；()721941014928i i t t =-=++++++=∑；()()()7172114ˆ0.528ii i i i tty y bt t ==--===-∑∑； ˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=； 所以y 关于t 的线性回归方程ˆ0.5 2.3yt =+. （2）由（1）知0.50b =>，故2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元，将2020年的年份代号9t =代入ˆ0.5 2.3yt =+，可得ˆ 6.8y =， 故该地区2020年农村居民家庭人均纯收入6.8千元. 【点睛】方法点睛：求回归直线方程，一般利用最小二乘法，先求出ˆˆ,,,x y ab ，即得线性回归方程. 15．（1）列联表见解析，可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关；（2）①分布列见解析；②()2E X =，() 1.2D X =. 【分析】（1）根据题中数据即可完善列联表，计算出卡方值，和10.828比较，即可判断； （2）①可得X 的取值可以是0，1，2，3，4，5，且()5,0.4X B ，计算出X 取不同值的概率，即可得出分布列； ②利用期望和方差公式即可求出. 【详解】（1）由题可得22⨯列联表如下：所以2200(80104070)11.11110.8281505012080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以可以在犯错误概率不超0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关； （2）①每次购物时，对商品和服务全好评的概率为800.4200=，且X 的取值可以是0，1，2，3，4，5，()5,0.4XB则()500.6P X ==，()14510.40.6P X C ==⨯⨯，()223520.40.6P X C ==⨯⨯，()332530.40.6P X C ==⨯⨯，()44540.40.6P X C ==⨯⨯，()550.4P X ==，则分布列如下：②5,0.4XB ，()50.42E X ∴=⨯=，()50.40.6 1.2D X =⨯⨯=.【点睛】关键点睛：本题考查分布列的求解，解题的关键是判断出变量服从二项分布，知道二项分布的概率求法以及期望方差公式.16．（1）5572ˆyx =+（2）见解析（3）7950万元 【分析】（1）先进行数据处理：每个温差值减去12，每个发芽数减去86，得到新的数据表格，求出11ˆ,,,ˆy bx a ，的值，最后求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+； （2）根据线回归方程，分别计算当8x =时，当10x =时，它们的估计值，然后判断（1）中得到的线性回归方程是否可靠；（3）当9x =时，根据线性回归方程计算出ˆy的值，然后计算出发芽率以及收益. 【详解】数据处理12x -；86y -. （1）此时：10x =，11y =，11302ˆb==+-⨯，11ˆˆ1012a yb x =-⋅=-⨯=，∴586(12)2ˆ1yx -=-+，∴5572ˆyx =+. （2）当8x =时：ˆ77y =，797722-=≤符合， 当10x =时：ˆ82y=，828112-=≤符合， 前两组数据均符合题意，该回归直线方程可靠.（3）当9x =时，ˆ79.5y=. 发芽率79.5%79.5%100n ==，∴79.5n =. 收益：79.51010⨯⨯（万亩）7950=（万元）. 种植小麦收益为7950万元. 【点睛】本题考查了求线性回归方程，以及用数据检验线性回归方程是否可靠，考查了应用线性回归方程估计收益问题，考查了数学应用能力. 17．(1) 选择d y c x =⋅更合适；(2)y =. (3) 要使年利润取最大值，预计下一年应投入4千万元的研发费用 【分析】（1）根据散点图分布，可知更符合指数型模型，可得结果；（2）对dy c x =⋅两边取倒数，得到ln v c du =+，采用最小二乘法可求得d 和ln c ，从而得到结果；（3）由（2）可得()92z x x =，利用导数可判断出()z x 单调性，可知当4x =时，()z x 取最大值，从而得到结果. 【详解】（1）由散点图知，选择dy c x =⋅更合适（2）对dy c x =⋅两边取对数，得ln ln ln y c d x =+，即：ln v c du =+由表中数据得32u v ==28.25156.52d ∴== 令ln c m =，则31332224m v du =-=-⨯=，即34c e = ∴年销售y 和年研发费用x 的回归方程为：y =（3）由（2）知，()92z x x =，则()92z x =' 令()0z x '=，得4x =当()0,4x ∈时，()0z x '>；当()4,x ∈+∞时，()0z x '<()z x ∴在()0,4上单调递增；在()4,+∞上单调递减∴当4x =千万元时，年利润z 取得最大值，且最大值为：()418z =千万元 1.8=亿元∴要使年利润取最大值，预计下一年应投入4千万元的研发费用【点睛】本题考查统计中的数据的相关性的问题，涉及到非线性回归模型方程的求解、利用导数求解函数的最值的问题；解题关键是能够将非线性回归模型转化为线性回归模型，从而利用最小二乘法求得回归模型.18．（1）列联表见解析；（2）有，详见解析 【分析】（1）根据表格所给数据填写22⨯列联表.（2）计算210 6.635K =>，由此判断有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关. 【详解】（1）22⨯列联表如下：（2）因为230(42816)10 6.63512182010K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为其亲属的饮食习惯与年龄有关． 【点睛】本小题主要考查填写22⨯列联表，考查2K 的计算以及独立性检验的实际应用，考查运算求解能力，属于基础题.19．（1）模型①，理由见解析；(2)(i)是3月份的数据； (ii)ˆ38.04yx =+； (iii)62.04万元. 【分析】（1）根据残差图中体现出的残差点分布，结合其均匀程度以及带状区域的宽窄，即可分析比较；（2）(i)根据题意，结合残差图，即可求得3月份的数据异常，应该剔除；(ii)根据已知数据和3月份的数据，结合ˆb和ˆa 的计算公式，即可求得结果； (iii)令18x =，代入(ii)中所求回归直线方程，即可求得结果. 【详解】（1）应该选择模型①，因为模型①的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中， 且模型①的带状区域比模型②的带状区域窄， 所以模型①的拟合精度高，回归方程的预报精度高. （2）(i)剔除异常数据是3月份的数据，即()6,31.8； (ii)剔除异常数据，即3月份的数据后，得()17667.25x =⨯⨯-=，()130631.829.645y =⨯⨯-=511464.24631.81273.44i ii x y==-⨯=∑，52213646328ii x==-=∑.51522151273.4457.229.64206.4ˆ332857.27.268.85i ii ii x yx ybxx ==--⨯⨯====-⨯⨯-∑∑，29.6437.28.04ˆˆay bx =-=-⨯=. 所以y 关于x 的回归方程为ˆ38.04yx =+. (iii)把18x =代入(i)中所求回归方程得3188.046.ˆ204y=⨯+=， 故预报值为62.04万元. 【点睛】本题考查残差分析、回归直线方程的求解，以及利用回归方程进行数据预测，属综合中档题.20．（1）填表见解析；有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关（2）详见解析 【分析】（1）根据题目所给数据填写22⨯列联表，计算出2K 的值，由此判断出有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.（2）利用二项分布的知识计算出分布列和数学期望. 【详解】 （1）因为2260(3015510)61613.71402035257K ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯，13.7110.828>，所以有99.9%的把握认为，平均车速超过90/km h 与性别有关.（2）ξ服从153,60B ⎛⎫⎪⎝⎭，即13,4B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，30033127(0)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 21133127(1)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1223319(2)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 0333311(3)4464P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 所以ξ的分布列如下ξ的期望()0123646464644E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本小题主要考查22⨯列联表独立性检验，考查二项分布分布列和数学期望，属于中档题. 21．（1）可以用线性回归模型拟合y 与x 的关系；（2）0.351y x =+，预测2月10日全国累计报告确诊病例数约有4.5万人. 【分析】（1）根据已知数据，利用公式求得()()9.9080.995.3 1.88niix x y y r --===⨯∑，再根据r 的值越大说明它们的线性相关性越高来判断.（2）由（1）的相关数据，求得()()()121nii i nii xx y yb xx==--=-∑∑，a y bx =-，写出回归方程，然后将10x =代入回归方程求解. 【详解】（1）由已知数据得，4x =，16.92.4147y ==， 所以()()1177.574 2.4149.908nniii ii i x x y y x y nxy ==--=-=-⨯⨯=∑∑，。
