锐角三角比的意义

acABCb锐角的三角比的意义是九年级数学上学期第二章第一节的内容．锐角三角比的概念是以相似三角形为基础建立起来的，本讲主要讲解锐角的正切和余切、正弦和余弦的概念，重点是会根据直角三角形中两边的长求相应的锐角的三角比的值，难点是在几何图形和直角坐标系中灵活运用锐角的三角比进行解题，为解直角三角形做好准备．1、 正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b===锐角的对边锐角的邻边．2、 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A 的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a===锐角的邻边锐角的对边．锐角的三角比的意义内容分析知识结构模块一：正切和余切知识精讲PNMQABCPNMQ【例1】 如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______；B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例2】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．（2） 在Rt ∆____中，N ∠的对边是MP ；在Rt ∆____中，N ∠的邻边是NQ ． （3） MPQ ∠的邻边是______，NPQ ∠的对边是______．【难度】★ 【答案】 【解析】【例3】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()tan NPM MQ==． （2）PQ QN =______，=MPPN______．（用正切或余切表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】例题解析ABCDOyxABO 【例4】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例5】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A 、cot A 、tan B 、cot B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例6】 如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD ∠和cot ODC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例7】 如图，已知正比例函数2y x =的图像上有一动点A ，x 轴上有一动点B ，求tan AOB ∠和cot AOB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例8】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，tan A =34． 求：（1）AB 的长；（2）tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】acABCbPNMQ1、 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ． sin A BC aA AB c===锐角的对边斜边．2、 余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c ===锐角的邻边斜边．【例9】 如图，在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） ()()sin NPM MP==． （2）PQ PN =______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示） 【难度】★ 【答案】 【解析】【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】模块二：正弦和余弦知识精讲例题解析xyPO【例11】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 4，BC = 5，求sin A ，cos A ，sin B ，cos B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例12】 如图，在直角坐标平面内有一点P （2，3）．求OP 与x 轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例13】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 9，sin A =34． 求：（1）AB 的长；（2）sin B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【例14】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin A =23，求sin B 的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCABC1、 锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．【例15】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值． 【难度】★ 【答案】 【解析】定义 表达式 取值范围 相互关系正 切 tan A A A ∠=∠的对边的邻边tan a A b= tan b B a=tan 0A > （A ∠为锐角） 1tan cot A A=余 切 cot A A A ∠=∠的邻边的对边cot b A a=cot a B b=cot 0A > （A ∠为锐角）正 弦 sin A A ∠=的对边斜边sin aA c =sin bB c=0sin 1A << （A ∠为锐角） ()sin cos 90A A =︒-∠ ()cos sin 90A A =︒-∠余 弦cos A A ∠=的邻边斜边cos b A c=cos a B c=0cos 1A << （A ∠为锐角）模块三：锐角的三角比知识精讲例题解析ABC DABCD【例17】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例18】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例19】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例20】 如图，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例21】 如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=，求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABO xyAB CD E68【例22】 在直角坐标平面内有一点A （3，1），点A 与原点O 的连线与x 轴正半轴的夹角为α，求sin α、cos α、tan α和cot α．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例23】 已知一次函数y = 2x -1与x 轴所夹的锐角为α，求tan α和sin α的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例24】 如图，在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 的坐标为（10，0），点B 在第一象限内，BO = 5，3sin 5BOA ∠=．求：（1）点B 的坐标；（2）cos BAO ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例25】 直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC ∆如图那样折叠，使点A与点B 重合，折痕为DE ，求sin CBE ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDEABCDAB CA BC【例26】 如图，在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=，求AD 、AC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【例27】 如图，在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【例28】 已知ABC ∆中，sin A = 513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积． 【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例29】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABCDA BCD CABMOxy【例30】 如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC= 16 : 15，求sin α、cot α的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例31】 如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，3sin 5A =，AB = 14，BD 是AC 边上的中线．求：（1）ABC ∆的面积；（2）ABD ∠的余切值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【例32】 如图，在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC 中点，求tan MOA ∠．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC【习题1】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______； （2）sin B = ______，cos B = ______，tan B = ______，cot B = ______．【难度】★ 【答案】 【解析】【习题2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题3】 已知90A B ∠+∠=︒，则sin A – cos B 的值为______． 【难度】★ 【答案】 【解析】【习题4】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 20，410AC =，求sin A 和tan A 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】随堂检测ABC DEABC D【习题5】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，CD ⊥AB 于D ．已知AC = 8，BC = 15．求DCA ∠的三角比．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题6】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，sin A =23，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ⊥AC ，DE = 2，DB = 9，求DC 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x 轴正半轴重合，另一边经过点P （15）．求α的三角比． 【难度】★★ 【答案】 【解析】ABCDA BP xyO 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【习题9】ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、tan α的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】ABC【作业1】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【难度】★ 【答案】 【解析】【作业2】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【难度】★ 【答案】 【解析】【作业3】已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【难度】★ 【答案】 【解析】【作业4】已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A=______．【难度】★★ 【答案】 【解析】课后作业ABCABCD EABC【作业5】若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______． 【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业6】已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．【难度】★★【答案】 【解析】【作业7】如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，210AC =sin B 和tan B 的值．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业8】如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【难度】★★ 【答案】 【解析】【作业9】已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【难度】★★★ 【答案】 【解析】【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B 的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．【难度】★★★ 【答案】 【解析】。

锐角的三角比一、介绍在数学中，三角比是指三角函数中的比值，用于描述三角形的各个边与角之间的关系。

锐角是指小于90度的角，因此在本文中，我们将讨论关于锐角的三角比。

三角比一共有六个，分别是正弦(sin)、余弦(cos)、正切(tan)、余切(cot)、正割(sec)和余割(csc)。

这些三角比在数学和物理等科学领域中都有广泛的应用，例如解决三角函数方程、测量角度和距离等。

二、正弦(sin)在锐角三角形中，正弦表示三角形的对边与斜边之间的比值。

数学表达式如下：sin(A) = 对边 / 斜边其中，A表示锐角的大小。

正弦的取值范围是-1到1之间，当A接近0度时，正弦的值接近0；而当A接近90度时，正弦的值接近1。

三、余弦(cos)余弦代表锐角三角形的邻边与斜边之间的比值。

数学表达式如下：cos(A) = 邻边 / 斜边同样地，余弦的取值范围也是-1到1之间。

在锐角三角形中，当A接近0度时，余弦的值接近1；当A接近90度时，余弦的值接近0。

四、正切(tan)正切是锐角三角形中对边与邻边之间的比值。

数学表达式如下：tan(A) = 对边 / 邻边正切的取值范围是无穷，当A接近0度时，正切的值接近0；当A接近90度时，正切的值趋于无穷大。

五、余切(cot)余切是锐角三角形中邻边与对边之间的比值。

数学表达式如下：cot(A) = 邻边 / 对边余切的取值范围也是无穷，当A接近0度时，余切的值趋于无穷大；当A接近90度时，余切的值接近0。

六、正割(sec)正割表示斜边与邻边之间的比值。

数学表达式如下：sec(A) = 斜边 / 邻边正割的取值范围是大于等于1的实数。

当A接近0度时，正割的值趋于无穷大；当A接近90度时，正割的值接近1。

七、余割(csc)余割代表斜边与对边之间的比值。

数学表达式如下：csc(A) = 斜边 / 对边余割的取值范围也是大于等于1的实数。

当A接近0度时，余割的值接近无穷大；当A接近90度时，余割的值趋近于1。

师：当直角三角形的一个锐角的大小变化时，这个锐角的对边与邻边的长度的比值是否发生变化？师生共同探究：如图（2）,当锐角MAP变化为锐角得ZDAC的对边_DC的邻边_AC ；ZEAC的对边_ECZEAC的邻边一AC *DC EC显然，DC与E C这两个比值是不同的，说明直角三角形中AC AC一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角的大小的变化而变化（三）回归学案，巩固新知师板书：我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（ta nge nt）.锐角的正切记作tanA,即十越A -锐甬人的对边我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）.锐角A的余切记作cotA,即w s-锐甬A的对边一5C 一莎师：思考（1）同一个角A的正切与余切有什么关系？（2）互余的两个角A与B,一个角的正切与另一个角的余切有什么关系?生:若/ A+ / B=90° , j则tanA=cotB.（四）例题解析，运用新知例题1 在Rt ABC 中，/C=90 ° ,AC=3,BC=2,求tanA、tanB、cotA 和cotB 的值..(1)出示例题；(2)学生完成在课堂练习本上;(3)反馈答案；(4) 规范解题格式。

例题2 在Rt ABC 中，/ C=90 ° ,BC=4,AB=5.求cotA 和cotB 的值.（要求同上）变式训练⑴求CD 的长•⑵求 cotA 、tan / BCD 的值•（五）提升能力，拓展新知 思考题：如图：直线y=kx+b 交x 轴、 试求k 与b 的值六）交流收获，内化新知师：这一节课我们一起学了什么？生:（锐角的三角比）师：（与学生一起总结归纳具体的内容 ）师：你们还有什么疑问?生:意外生成3、•如图，已知 ABC 中，/ ACB=90,CD AB,垂足为D,AD=4,BD=9.。

25.1（1）锐角三角比的意义学习目标:1、直角三角形的锐角固定时，它的对边与邻边比值都不变。

2、能根据正切、余切概念正确进行计算。

重点及难点 :理解正切、余切概念,并正确进行计算学习任务单（请同学们认真、自觉、独立完成以下问题）：1、阅读教材P60页到P61页问题2之前内容之前，完成下面的问题（1）如果Rt ΔABC 的各边的长度都缩小到原来的一半，那么锐角A 的对边与邻边的比值（ ）(A)都缩小一半 (B)都扩大一倍 (C)没有变化 (D)不能确定（2）如图在Rt ΔABC 中，AB CD ⊥，那么CD DB ______ADCD (填“=”或“≠”) 2、阅读教材P61页问题2、P62页及P63例，完成下面的问题（1）课本P63练习 1、2（2）在直角△ABC 中，∠C ＝90o ，若AB ＝5，AC ＝4，则cotA ＝（ ）A ．35B ．45C ．34D ．43（3）在△ABC 中，∠C=90°，BC=2，tanA=23，则边AC 的长是( ) A ．13 B ．3 C ．43D ． 5教学过程：1、检查预习学生之间用不同方式互查互批学习任务单，根据学生预习情况，进行二次备课2、小组讨论（1）讨论并解决预习中存在的问题（同学之间互助学习）（2）提出问题，小组辨析：（1）锐角∠A 的正切和余切有怎样的数量关系？结论：tanA ＝（2若）∠B 是∠A 的余角，那么它们的正切、余切值之间有怎样的数量关系？ 结论：tanA= tanB=3、学生展示利用实物展示台展示课后练习第3题，让学生讲出方法、注意事项。

4、课堂检测（知识反馈与巩固）（1）在Rt ABC ∆中C ∠=︒90，,A ∠B ∠C ∠所对的边长分别是a b c =A tan ;（2）在RtABC ∆中C ∠=︒90，12=AC ,5=BC ,那么=A tan（3）在RtA B C ∆中︒=∠90ACB ,D AB CD ,⊥为垂足3=AC ,5=AB 则BCD ∠cot 的值（4）如图，AC ⊥DC ，D 、B 、C 在一直线上，∠B=300，∠ADC=450，BD=5，求AC 的长．说明: 利用展示台对学生的解题过程进行展示，学生要进行说明。

第一节 锐角的三角比§25.1锐角的三角比的意义教学目标(1)经历锐角三角比的概念的形成过程，获得从实际的数学问题中抽象出数学概念的体验。

(2)掌握锐角的三角比的定义，会根据直角三角形中两边的长求锐角的三角比的值。

(3)了解锐角的三角比的范围。

教学重点让学生经历锐角的正切概念的形成过程，掌握正切、余切的定义。

引进锐角的正弦和余弦，帮助学生掌握正弦和余弦的定义，了解三角比的含义和符号表示。

知识概要1.直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的长度的比值随着这个锐角大小的变化而变化。

锐角的大小确定，则对边与邻边的比值唯一确定。

2.我们把直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切。

锐角A 的正切记作tan A ， tan =A BC a A A AC b==锐角的对边锐角的邻边。

注：在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠的对边通常分别用,,a b c 表示。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，直角边BC 和AC 分别叫做A ∠的对边和邻边。

3.我们把直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切。

锐角A 的余切记作cot A ， cot =A AC b A A BC a ==锐角的邻边锐角的对边。

根据正切与余切的意义，可以得到 1tan cot A A =。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，可知090A B ∠+∠=，cot tan B A =。

4.如果直角三角形的一个锐角是确定的，那么它的对边或邻边与斜边的比也是确定的。

我们定义： 直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦。

直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦。

在Rt ABC ∆中，090C ∠=，锐角A 的正弦记作sin A ，这时 sin =A BC a A A AB c ==锐角的对边锐角的邻边； 锐角A 的余弦记作cos A ，这时 cos =A AC b A A AB c ==锐角的邻边锐角的邻边。

1.锐角三角比的意义
1.锐角的三角比的意义★★
正切★★直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）.
余切★★直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）.
正弦★★直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）.
余弦★★直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine）.
三角比★★一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比（trigonometric ratio）.
要点解析
1.如图，在RtΔABC中，锐角A的正切、余切、正弦、余弦分别为
2.tanA、cotA、sinA、cosA分别是∠A的正切、余切、正弦、余弦的数学表示符号，各自是一个整体，不能理解为tan与A、cot与A、sin与A、cos与A相乘，写成tan·A、cot·A、sin·A、cos·A的形式.
3.锐角的三角比均是两条线段的比值，是一个数值，没有单位，其大小只与锐角的大小有关，与三角形的大小无关.。

九年级上册数学教案锐角三角比的意义第一讲锐角三角比的意义知识框架1 .正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent）．锐角A的正切记作tan A．tanA BC aAA AC b===锐角的对边锐角的邻边．2 . 余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent）．锐角A的余切记作cot A．cotA AC b AA BC a ===锐角的邻边锐角的对边3 . 正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine）．锐角A的正弦记作sin A．sinA BC aAAB c===锐角的对边斜边．4 .余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5 .锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比． 例题解析【例1】 在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，A ∠的对边是______，A ∠的邻边是______B ∠的对边是______，B ∠的邻边是______．【例2】 在Rt MNP ∆中，90MPN ∠=︒，PQ MN ⊥，垂足为点Q ．（1） 在Rt MNP ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______；在Rt MPQ ∆中，M ∠的对边是______，M ∠的邻边是______．九年级上册数学教案锐角三角比的意义（2）在Rt∆____中，N∠的对边是MP；在Rt∆____中，N∠的邻边是NQ．（3）MPQ∠的邻边是______，NPQ∠的对边是______．【例3】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() tanNPMMQ==．（2）PQQN=______，=MPPN______．（用正切或余切表示）【例4】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，BC = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求tan A、cot A、tan B、cot B的值．【例6】矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，已知OA = 2，AB = 3，求tan OAD∠和cot ODC∠的值．【例7】已知正比例函数y=的图像上有一动点A，x轴上有一动点B，求tan AOB∠和cot AOB∠的值．【例8】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，tan A = 34．求：（1）AB的长；（2）tan B的值．【例9】在Rt MNP∆中，90MPN∠=︒，PQ MN⊥，垂足为点Q．（1）()() sinNPMMP==．（2）PQPN=______，=MQMP______．（用正弦或余弦表示）【例10】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AC = 4，AB = 5，求sin A，cos A，sin B，cos B的值．【例11】在直角坐标平面内有一点P（2，3）．求OP与x轴正半轴的夹角α的正弦和余弦的值．【例12】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 9，sin A =34．求：（1）AB的长；（2）sin B的值．【例13】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，sin A =23，求sin B的值．【例14】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，BC = 4，求A∠的四个三角比的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例15】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，BC = 3，tan A =34，求B ∠的四个三角比的值．【例16】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，sin B =34，求sin A 、cos A 、tan A 和cot A ． 【例17】在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 13，BC = 12，AC = 5，求sin A 、cos A 、tan A和cot A ．【例18】 已知等腰ABC ∆中，底边BC = 20 cm ，面积为40 cm 2，求sin B 和tan C ．【例19】在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，BD ⊥AC ，若AB = 9，BC = 12，求sin A 、cos α、tan β、cot C 的值．【例20】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在边BC 上，AD = BD = 5，4sin 5ADC ∠=， 求cos ABC ∠和tan ABC ∠的值．【例21】在直角坐标平面内有一点A（3，1），点A与原点O的连线与x轴正半轴的夹角为α，求sinα、cosα、tanα和cotα．【例22】已知一次函数y = 2x-1与x轴所夹的锐角为α，求tanα和sinα的值．【例23】在平面直角坐标系内，O为原点，点A的坐标为（10，0），点B在第一象限内，BO = 5，3sin5BOA∠=．求：（1）点B的坐标；（2）cos BAO∠的值．【例24】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．【例25】直角三角形纸片的两直角边长分别为6、8，现将ABC∆如图那样折叠，使点A 与点B重合，折痕为DE，求sin CBE∠的值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义【例26】 在平行四边形ABCD 中，AB = 10，B ∠为锐角，sin B =45，1tan 2ACB ∠=， 求AD 、AC 的长．【例27】 在ABC ∆中，AB = 20，BC = 21，AC = 13，求ACB ∠的四个三角比的值．【例28】 已知ABC ∆中，sin A =513，tan B = 2，且AB = 29．求ABC ∆的面积．【例29】 在梯形ABCD 中，AD // BC ，AB ⊥AD ，对角线AC 、BD 相交于点E ，BD ⊥CD ，AB = 12，4cot 3ADB ∠=，求：（1）DBC ∠的余弦值；（2）DE 的长．【例30】 在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCB α∠=，若AD : BC = 16 : 15，求sin α、cot α的值．【例31】 在等腰Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，已知A （1，0），B （0，3），M 为BC课堂练习题【习题1】已知，在Rt ABC∆中，90C∠=︒，AB = 5，AC = 4．则：（1）sin A = ______，cos A = ______，tan A = ______，cot A = ______；（2）sin B = ______，cos B = ______，tan B= ______，cot B = ______．【习题2】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，BC = 3，cos A =25，则AB = ______．【习题3】已知90A B∠+∠=︒，则sin A – cos B的值为______．【习题4】在ABC∆中，AB = BC = 20，AC=sin A和tan A的值．【习题5】在Rt ABC∆中，90C∠=︒，CD⊥AB于D．已知AC = 8，BC = 15．求DCA∠的三角比．【习题6】在Rt ABC∆中，90ACB∠=︒，sin A = 23，点D、E分别在边AB、AC上，DE⊥AC，DE = 2，DB = 9，求DC的长．【习题7】已知，锐角α的顶点在坐标原点，一边与x轴正半轴重合，另一边经过点P（1）．求α的三角比．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义BDCABFE 【习题8】 已知一次函数y =43x – 4的图像分别与x 轴、y 轴交于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，求sin POB ∠的值．【习题9】 ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB 于点D ，DCA α∠=，AD : BC = 7 : 12，求sin α、 tan α的值．【习题10】 如图，在梯形ABCD 中，AD // BC ，AD = AB = CD = 4，1cos 4C ∠=． （1）求BC 的长； （2）求tan ADB ∠的值．课后作业【作业1】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A ∠、B ∠的对边是a 、b ，则ba（ ）A ．A ∠的正弦值B ．B ∠的余弦值C ．A ∠的余切值D ．B ∠的余切值【作业2】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = c ，AC = b ，BC = a ，则下列关系不成立的是（）A ．b = c ·cos AB ．a = b ·tan BC ．c =cos aBD ．tan A ·tan B = 1【作业3】 已知，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AB = 16，cos A =34． 求：（1）AC 的长；（2）tan B 的值．【作业4】 已知ABC ∆的三边a 、b 、c 满足a : b : c = 5 : 12 : 13，则sin A + cos A =______．【作业5】 若α是锐角，且1cot 3α=，则()cos 90α︒-=______．【作业6】 已知ABC ∆中，BC = 10，cos C =18，AC = 8．求AB 的长和B ∠的正切值．九年级上册数学教案 锐角三角比的意义用心 细心 耐心 恒心 11【作业7】 如图，在ABC ∆中，AB = BC = 10，AC =sin B 和tan B 的值．【作业8】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 8，BC = 6，CD 是斜边AB 上的高．若点E 在线段DB 上，联结CE ，24sin 25AEC ∠=．求CE 的长．【作业9】 已知ABC ∆中，C ∠是锐角，BC = a ，AC = b ．求证：1sin 2ABC S ab C ∆=．【作业10】 已知，在平面直角坐标系内有A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（2，1），点B的坐标为（1，4），点C 的坐标为（8，3），求sin ACB ∠和tan ABC ∠的值．。

25.1-25.2锐角三角比的意义及求值【学习目标】1、通过实验、观察、探究、交流、猜测等数学活动，探索锐角三角比的意义。

2、理解锐角三角比的意义，记住三角比的符号，会进行三角比的文字语言与符号语言的转化。

3、会求直角三角形中指定锐角的三角比。

4、应用锐角三角比的意义及运用特殊锐角三角比值进行计算。

【主要概念】【一】锐角的三角函数的意义【1】正切的概念在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与邻边的比，叫做∠A的正切，记作tanA．【2】正弦和余弦的概念如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即【3】三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A 的正切(tanA)、正弦(sinA)、余弦(cosA)，都叫做∠A 的三角函数．【二】同角的三角函数之间的关系 【1】平方关系：sin 2α＋cos 2α=1【2】商数关系：【三】互余的两角的关系任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，任意锐角的正切值与它的余角的正切值的积等于1．即若A+B=90°，则sinA=cosB ，cosA=sinB ，tanA·tanB=1．【四】特殊锐角的三角函数值0° 30°45°60°90° sinA1cosA 1tanA1—典型例题：例1、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，AC=3,BC=2,求tanA 和tanB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，∵AC=3,BC=2∴tanA=32=AC BCtanB=23=BC AC .分析：(1)要求sinα与cosα的关系的值，而已知tanα的值，故可通过来求值．A B C(2)已知tanα的值，也可通过，把要求的式子的分子，分母同时除以cos 2α转化成关于tanα的关系，这样便可求出结论．点评：在进行三角函数有关计算时，常利用有关公式进行变换．例3、在Rt ⊿ABC 中，∠C=900，BC=4，AB=5，求cotA 和cotB 的值. 解：在Rt ⊿ABC 中，由勾股定理得 AB 2=AC 2+BC 2 ∵BC=4,AB=5, ∴AC=3452222=-=-BC AB .∴cotA=43=BC AC cotB=34=AC BC . 例4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，若，求cosB ，tanB 的值．分析：本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形求解可化繁为简，迅速得解． 解：如图，设BC=3m ，则AB=5m ，AB C例5、如图所示，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，且CD⊥AB，BC=6，AC=8，则sin∠ABD的值是（）分析：因为AB是⊙O的直径，所以∠ACB=90°．因为BC=6，AC=8，所以AB=10．因为∠ABD=∠ACD=∠ABC，所以在Rt△ACB中，故正确答案为D．答案：D例6、计算分析：这是一组有关特殊角三角函数值的计算题，计算中最关键是将它们先化成具体的数值，同时还要应用其它一些知识帮助求值，如(1)注意分母有理化，(2)应掌握整数指数幂的意义．解：点评：学过锐角三角函数后，特殊角的三角函数的计算是常考不衰的内容，做这类题主要分两步：(一)代入；(二)计算．因此，特殊角的三角函数值必须牢记．例7、若α为锐角且sinα＞sinβ，那么（）A．tanα＞tanβB．tanα＜tanβC．tanα=tanβ D．tanα、tanβ大小关系不确定例8、求适合下列各式的锐角α．点拨：所有锐角三角函数值都是正数，而且正弦和余弦值都不大于1，不符合条件的三角函数值应舍去．例9、如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=4，求BC的长．分析：题中有30°，45°特殊角，想把它们放到直角三角形中，利用三角函数来解题．点评：（1）在作高线构造直角三角形时，一般不过特殊角的顶点作垂线，这样便于利用特殊角解题．（2）有些简单的几何图形可分解为几个直角三角形的组合，从而利用三角函数的定义求解．例10、如图所示．在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠D=∠B=90°，求此四边形ABCD的面积．分析：由已知∠B=90°，∠A=60°这两个条件想到延长BC，AD，使它们相交，构成直角三角形．例11、在矩形ABCD中DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且，AB=4，求AD．分析：在矩形中AB=DC=4，可证∠α=∠1，于是条件转移到△DCE中来了，求出DE．解：在矩形中AB=DC=4，∠2＋∠α=90°又DE⊥AC，∠1＋∠2=90°∴∠1=∠α点评：注意把条件集中到一起．例12 、如图Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4.求：sin A ，cos A ，tanB ，cotB 的值。

一、 锐角三角比的意义 1、正切直角三角形中一个锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切（tangent ）．锐角A 的正切记作tan A ．tan A BC aA A AC b ===锐角的对边锐角的邻边． 2、余切直角三角形中一个锐角的邻边与对边的比叫做这个锐角的余切（cotangent ）．锐角A的余切记作cot A ．cot A AC bA A BC a ===锐角的邻边锐角的对边． 3、正弦直角三角形中一个锐角的对边与斜边的比叫做这个锐角的正弦（sine ）．锐角A 的正弦记作sin A ．sin A BC aA AB c ===锐角的对边斜边． 4、余弦直角三角形中一个锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦（cosine ）．锐角A 的余弦记作cos A ．cos A AC bA AB c===锐角的邻边斜边．5、锐角的三角比一个锐角的正切、余切、正弦、余弦统称为这个锐角的三角比．锐角的三角比一：锐角的三角比ACBD二、 特殊锐角的三角比的值αtan αcot αsin αcos α30°33312 32 45° 1 1 22 2260° 3333212【例1】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，那么ba是角A 的（ ） A ．正弦B ．余弦C ．正切D ．余切【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，AC = 3，BC = 4，那么sin A =______．【例3】 已知α为锐角，且5sin 13α=，求α的余弦值．【例4】 求值：sin60tan30cot30︒-︒+︒=_______．【例5】 已知锐角ABC ∆中，3sin A ，tan 1B =，那么C ∠=______°．【例6】 将锐角α所在的三角形的三边同时扩大三倍，这时角α的正弦值（ ） A ．变大B ．变小C ．不变D ．无法确定【例7】 （2014学年·松江区二模·第6题）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，CD ⊥AB ，垂足为D ，AB = c ，A α∠=，则CD 长为（ ）A ．2sin c αB ．2cos c αC ．sin tan c ααD ．sin cos c αα仰角 视线水平线视线俯角铅垂线北北偏东30°南偏西45°北偏西70°南偏东50°30° 70° 45° 50°【例8】 （2015学年·徐汇区二模·第19题）计算：20(3)cot 30tan 4531ππ--︒-︒+．【例9】 （2015学年·普陀区二模·第19题）计算：22123323tan 601-⎛⎫-+- ⎪︒-⎝⎭．一、 解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形． 在t R ABC ∆中，如果=90C ∠︒，那么它的三条边和两个锐角之间有以下的关系： （1）三边之间的关系：222a b c +=（2）锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒（3）边角之间的关系：sin cos a A B c ==，cos sin bA B c ==tan cot a A B b ==，cot tan b A B a== 二、 仰角与俯角在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角．如图，当我们进行测量时，在视线与水平线 所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角，视线在水平线下方的角叫做俯角．三、 方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角． 如图：北偏东30°，北偏西70°，南偏东50°，南偏西45°．二：解直角三角形ABC D A B9米传送带AB Chl四、 坡度（坡比）、坡角在修路、挖河、开渠等设计图纸上，都需要注明斜坡的倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度h 和水平宽度l 的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i ，即h i l=． 坡度通常写成1 : m 的形式，如1:1.5i =． 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α．坡度i 与坡角α之间的关系：tan hi l α==．【例10】 （2015学年·崇明县二模·第15题）已知一斜坡的坡比为1 : 2，坡角为α，那么sin α=______．【例11】 （2014学年·长宁区二模·第15题）已知在离地面30米的高楼窗台A 处测得地面花坛中心标志物C 的俯角为60°，那么这一标志物C 离此栋楼房的地面距离BC 为______米．【例12】 （2015学年·浦东新区二模·第13题）如图，传送带和地面所成的斜坡的坡度为39米高的地方，则物体从A 到B 所经过的路程为______米．【例13】 （2015学年·宝山区、嘉定区二模·第16题）如图，如果在大厦AB 所在的平地上选择一点C ，测得大厦顶端A 的仰角为30°，然后向大厦方向前进40米，到达点D 处（C 、D 、B 三点在同一直线上），此时测得大厦顶端A 的仰角为45°．那么大厦AB 的高度为______米．（保留根号）ABCE ABCDABCDEABCD EFAB C北【例14】 （2014学年·浦东新区二模·第16题）如图，已知小岛B 在基地A 的南偏东30°方向上，与基地A 相距10海里，货轮C 在基地A 的南偏西60°方向、小岛B 的北偏西75°方向上，那么货轮C 与小岛B 的距离是______海里．【例15】 （2014学年·徐汇区二模·第22题）如图，在Rt ABC ∆中，90CAB ∠=︒，3sin 5C =，AC = 6，BD 平分CBA ∠交AC 边于点D ．求：（1）线段AB 的长；（2）tan DBA ∠的值．【例16】 （2014学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，点E 是矩形ABCD 的边AD 上一点，BE = AD ，AE = 8，现有甲乙二人同时从E 点出发，分别沿EC 、ED 方向前进，10C 点的同时乙恰巧到达终点D 处．（1）求tan ECD ∠的值； （2）求线段AB 及BC 的长度．【例17】 （2014学年·闵行区二模·第21题）如图，已知在ABC ∆中，25AB AC ==25sin B ∠=D 为边BC 的中点．E 为边BC 延长线上一点，且CE = BC ．联结AE ，F 为线段AE 的中点．求：（1）线段DF 的长；（2）CAE ∠的正切值．【例18】 （2015学年·闸北区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，45ABC ∠=︒，AD是BC 边上的中线，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，且3sin 5DAB ∠=，32DB =求：（1）AB 的长；（2）CAB ∠的余切值．ABCDPABCD【例19】 （2015学年·松江区二模·第22题）如图，在ABC ∆中，AB = AC = 10，BC = 12，AD ⊥BC 于D ，O 为AD 上一点，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于G ，交BC 于E 、F ，且AG = AD ．（1）求EF 的长； （2）求tan BDG ∠的值．【例20】 （2015学年·普陀区二模·第21题）已知：如图，在ABC ∆中，AB = AC = 13，BC = 24，点P 、D 分别在边BC 、AC 上，2AP AD AB =，求APD ∠的正弦值．【例21】 （2015学年·虹口区二模·第21题）如图，在ABC ∆中，CD 是边AB 上的中线，B∠是锐角，且2sin 2B =，1tan 2A =，BC =22，求边AB 的长和cos CDB ∠的值．【例22】 （2014学年·崇明县二模·第21题）在Rt ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点E 是BC 的中点，AD ⊥BC ，垂足为点D ．已知AC = 9，3cos 5C =．（1）求线段AE 的长；（2）求sin DAE ∠的值．【例23】 （2015学年·崇明县二模·第22题）如图，在某海滨城市O 附近海面有一股台风，据监测，当前台风中心位于该城市的南偏东20°方向200千米的海面P 处，并以20千米/时的速度向P 处的北偏西65°PQ 的方向移动，台风侵袭范围是一个圆形区域，当前半径为60千米，且圆的半径以10千米/时速度不断扩张．（1）当台风中心移动4小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；O CBADF EG CA BEDOPQ北当台风中心移动t 小时时，受台风侵袭的圆形区域半径增大到 千米；（2）当台风中心移动到与城市O 距离最近时，这股台风是否侵袭这座海滨城市？请说明理由．（参考数据2 1.41=，3 1.73=）．【例24】 （2015学年·闵行区二模·第22题）如图，山区某教学楼后面紧邻着一个土坡，坡面BC 平行于地面AD ，斜坡AB 的坡比为51:12i =，且AB = 26米．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过53°时，可确保山体不滑坡．（1）求改造前坡顶与地面的距离BE 的长；（2）为了消除安全隐患，学校计划将斜坡AB 改造成AF （如图所示），那么BF 至少是多少米？（结果精确到1米）（参考数据：sin530.8︒≈，cos530.6︒≈，tan53 1.33︒≈，cot530.75︒≈）【例25】 （2014学年·普陀区二模·第22题）本市为了给市容营造温馨和谐的夜间景观，准备在一条宽7.4米的道路上空利用轻轨桥墩，安装呈大中小三个同心圆的景观灯ABDCEF带（如图1所示）．如图2，已知EF 表示路面宽度，轻轨桥墩的下方为等腰梯形ABCD ，且AD // EF ，AB = DC ，37ABC ∠=︒．在轻轨桥墩上设有两处限高标志，分别表示等腰梯形的下底边到路面的距离为 2.9米和等腰梯形的上底边到路面的距离为 3.8米．大圆直径等于AD ，三圆半径的比等于1 : 2 : 3．试求这三个圆形灯带的总长为多少米？（结果保留π）（参考数据：sin370.6︒≈，cos370.8︒≈，tan370.75︒≈）2.92.93.8ABCDFO图1图2。

沪教版数学九年级上册25.1《锐角三角比的意义》教学设计一. 教材分析《锐角三角比的意义》是沪教版数学九年级上册第25.1节的内容。

本节主要介绍锐角三角比的定义和性质，以及它的应用。

通过学习本节内容，学生能够理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，并能运用锐角三角比解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本概念和性质，对三角函数有一定的理解。

但是，对于锐角三角比的概念和性质，学生可能还不够熟悉。

因此，在教学过程中，需要通过具体的例子和实际问题，帮助学生理解和掌握锐角三角比的概念和性质。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生理解锐角三角比的概念，掌握锐角三角比的计算方法，能够运用锐角三角比解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和勇于探索的精神。

四. 教学重难点1.重点：锐角三角比的定义和性质。

2.难点：锐角三角比的计算方法和应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过具体的案例，让学生理解和掌握锐角三角比的性质；通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和交流能力。

六. 教学准备1.教具准备：多媒体课件、黑板、粉笔。

2.学具准备：笔记本、尺子、三角板。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件，展示一些实际问题，如测量 flag 的倾斜角度，引导学生思考如何解决这个问题。

通过这个问题，引入锐角三角比的概念。

2.呈现（15分钟）通过具体的案例，介绍锐角三角比的定义和性质。

例如，通过测量三角板上的角度，引导学生发现锐角三角比的规律。

3.操练（15分钟）让学生利用三角板和尺子，自己动手测量锐角三角比。

学生可以分组进行，互相交流和讨论，培养团队合作意识。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固锐角三角比的计算方法。