一、选择题1.有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a，b，−b，−a的大小关系是( )A．b<−a<a<−b B．b<a<−b<−aC．b<−b<−a<a D．b<a<−a<−b2.大家都知道，七点五十可以说成差十分钟八点，有时这样表达更清楚，这也启发了人们设计了一种新的加减记数法．比如：8写成12，12=10−2，189写成229=200−20+9，7683写成12323=10000−2320+3，按这个方法请计算5231−3241=( )A．2408B．1990C．2410D．30243.若a，b，c均为正数，则a+b−c，b+c−a，c+a−b这三个数中出现负数的情况是( )A．不可能有负数B．必有一个负数C．至多有一个负数D．可能有两个负数4.如果a+b>0，且b<0，那么a，b，−a，−b的大小关系为( )A．a<−b<−a<b B．−b<a<−a<bC．a<b<−b<−a D．−a<b<−b<a5.A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧），若点A，B分别对应的实数为a，b，且∣a∣>∣b∣，则a，−a，b，−b中最大的数是( )A．a B．−a C．b D．−b6.如果a+b+∣c∣<0，a×b×∣c∣>0，那么a，b这两个数是( )A．都为正数B．都为负数C．一正一负D．不一定7.如图，四个实数m，n，p，q在数轴上对应的点分别为M，N，P，Q，若n+q=0，则m，n，p，q四个实数中，绝对值最大的一个是( )A．p B．q C．m D．n8.如果∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，那么ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣的值为( )A．−2B．−1C．0D．不确定9.如果a+b+c=0，且∣a∣>∣b∣>∣c∣，则下列式子可能成立的是( )A．c>0，a<0B．c<0，b>0C．c>0，b<0D．b=010.−13的绝对值是( )A．−3B．−13C．3D．13二、填空题11.有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简：−∣c−a∣−∣b−a∣+∣c∣=．12.数轴上顺次有不重合的A，B，C三点，若A，B，C三点对应的数分别为a，−1，b，试比较大小：(a+1)(b+1)0．（填“>”或“<”或“=”）13.计算：−4.2÷134=．14.计算−22−3=．15.数轴是规定了、和的直线．16.已知a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于2，则a+b−cdx的值为．17.已知点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且∣a+2∣+(b−1)2=0，A，B之间的距离记作∣AB∣，定义：∣AB∣=∣a−b∣．①线段AB的长∣AB∣=3；②设点P在数轴上对应的数为x，当∣PA∣−∣PB∣=2时，x=0.5；③若点P在A的左侧，M，N分别是PA，PB的中点，当P在A的左侧移动时∣PM∣+∣PN∣的值不变；④在③的条件下，∣PN∣−∣PM∣的值不变；以上①②③④结论中正确的是（填上所有正确结论的序号）．三、解答题18. 已知抛物线 G:y =x 2−2tx +3 ( t 为常数）的顶点为 P ．(1) 求点 P 的坐标；(用含 t 的式子表示)(2) 在同一平面直角坐标系中，存在函数图象 H ，点 A (m,n 1) 在图象 H 上，点 B (m,n 2) 在抛物线 G 上，对于任意的实数 m ，都有点 A ，B 关于点 (m,m ) 对称． ①当 t =1 时，求图象 H 对应函数的解析式；②当 1≤m ≤t +1 时，都有 n 1>n 2 成立，结合图象，求 t 的取值范围．19. 计算：(1) ∣−2∣+∣−3∣．(2) ∣∣34∣∣×∣∣−49∣∣．20. 计算下列各式：(1) 1−122= ；(2) (1−122)(1−132)= ； (3) (1−122)(1−132)(1−142)= ； (4) 你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法判断(1−122)(1−132)(1−142)…(1−192)(1−1102)…(1−1n 2) 的值与 12 的大小关系，并说明理由．21. 对任意一个三位数 n ,如果 n 满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n 的各个数位上的数字之和记为 F (n ) .例如 n =135 时，F (135)=1+3+5=9．(1) 对于“相异数”n ,若 F (n )=6 ,请你写出一个 n 的值；(2) 若 a ，b 都是“相异数”,其中 a =100x +12，b =350+y ( 1≤x ≤9，1≤y ≤9，x ，y都是正整数) ,规定：k =F (a )F (b )，当 F (a )+F (b )=18 时，求 k 的最小值．22. 计算：−22+√−83+√2cos45∘．23. 某食品厂从生产的袋装食品中抽出样品若干袋，用以检测每袋的质量是否符合标准，超过或不足标准质量的部分用正数或负数来表示（单位：克），记录如下表：袋数2132•合计与标准质量的差值+0.5+0.8+0.6−0.4−0.7+1.4(1) 若表中的一个数据不小心被墨水涂污了，请求出这个数据．(2) 若每袋的标准质量为50克，每克的生产成本2元，求这批样品的总成本．24.计算：(1) (−2)3×[−7+(3−1.2×56)]；(2) 24÷[(−2)3+4]−3×(−11)．25.计算．(1) 2−(−3)2−5×(−1)3．(2) (−48)×(1−16+34)．(3) −12÷4−27÷(−3)×13．答案一、选择题1. 【答案】A【知识点】利用数轴比较大小2. 【答案】A【解析】根据题意可知5231=5200−31=5169，3241=3000−240+1=2761，∴5231−3241=5169−2761=2408．【知识点】有理数加减混合运算3. 【答案】C【解析】显然当a=1，b=1，c=3时有(1+1)−3<0，1+3−1>0，∴排除A，B．对于D，若假设有两个负数，则不防设：{a+b<c, ⋯⋯①b+c<a, ⋯⋯②由① +②可得：b<0，矛盾于已知条件，∴假设错误，不可能有两个负数，同理a+b−c，a+c−b，b+c−a中不可能有3个负数．【知识点】有理数的加法法则及计算4. 【答案】D【解析】∵a+b>0，b<0，∴a>0，∣a∣>∣b∣，∴−a<b<−b<a，故选：D．【知识点】有理数的加法法则及计算、利用绝对值比较数的大小5. 【答案】B【解析】因为A，B是数轴上位于原点O异侧的两点（点A在点B的左侧）；所以点A在原点左侧，点B在原点右侧，所以a<0，b>0，即b>a，又因为∣a∣>∣b∣，所以−a>b，即−b>a，所以−a>b>a，又因为b>0，所以−b<0，所以−a>b>−b>a．【知识点】利用数轴比较大小、绝对值的几何意义6. 【答案】B【解析】∵∣c∣≥0，∴由a×b×∣c∣>0知a，b同号，根据a+b+∣c∣<0知a+b<0，则a，b同为负数．【知识点】有理数的乘法7. 【答案】A【解析】∵n+q=0，∴n和q互为相反数，0在线段NQ的中点处，∴绝对值最大的点P表示的数p．【知识点】利用绝对值比较数的大小、相反数8. 【答案】C【解析】∣a∣a +∣b∣b+∣c∣c=−1，所以a，b，c中有一个正数，二个负数，假设a>0，b<0，c<0，则ab∣ab∣+bc∣bc∣+ac∣ac∣+abc∣abc∣=−1+1−1+1=0．【知识点】绝对值的性质与化简9. 【答案】A【解析】由题目答案可知a，b，c三数中只有两正一负或两负一正两种情况，如果假设两负一正情况合理，要使a+b+c=0成立，则必是b<0，c<0，a>0，否则a+b+c≠0，但题中并无此答案，则假设不成立．于是应在两正一负的答案中寻找正确答案．若a，b为正数，c为负数时，则：∣a∣+∣b∣>∣c∣，∴a+b+c≠0，若a，c为正数，b为负数时，则：∣a∣+∣c∣>∣b∣，∴a+b+c≠0，只有A符合题意．【知识点】绝对值的几何意义10. 【答案】D【知识点】绝对值的定义二、填空题11. 【答案】−b【解析】由数轴可知c<0<a<b，∴c−a<0，b−a>0，∴−∣c−a∣−∣b−a∣+∣c∣=c−a−(b−a)+(−c)=c−a−b+a−c=−b.【知识点】绝对值的几何意义12. 【答案】<【解析】数轴上顺次有不重合的A，B，C三点，（1）数轴上从左到右依次为A，B，C，则a<−1，b>−1，即：a+1<0，b+1>0，所以(a+1)(b+1)<0，（2）数轴上从右到左依次为A，B，C，则a>−1，b<−1，即：a+1>0，b+1<0，所以(a+1)(b+1)<0，故答案为：<．【知识点】利用数轴比较大小13. 【答案】−125【知识点】有理数的除法14. 【答案】−7【解析】−22−3=−4−3=−7．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算15. 【答案】原点；正方向；单位长度【知识点】数轴的概念16. 【答案】±2【解析】因为a与b互为相反数，c与d互为倒数，x的绝对值等于2，所以a+b=0，cd=1，x=±2．（1）x=2时，a+b−cdx=0−2=−2；（2）x=−2时，a+b−cdx=0−(−2)=2．综上，a+b−cdx的值为±2．故答案为±2．【知识点】倒数17. 【答案】①②④【解析】① ∵∣a+2∣+(b−1)2=0，∴a+2=0，b−1=0，∴a=−2，b=1，∴点A在数轴上对应的数为−2，点B对应的数为1，且AB=1−(−2)=3，故①正确；②设点P在数轴上对应的数为x，当∣PA∣−∣PB∣=2时，P在A，B之间，∴x−(−2)−(1−x)=2，x=0.5，故②正确；③设点P在数轴上对应的数为x，∵∣PM∣+∣PN∣=12∣PB∣+12∣PA∣=12(∣PB∣+∣PA∣)=12(1−x−x−2)=−2x+12，∴③不正确，④ ∣PN∣−∣PM∣的值不变，值为32，∵∣PN∣−∣PM∣=12∣PB∣−12∣PA∣=12(∣PB∣−∣PA∣)=12∣AB∣=32，∴∣PN∣−∣PM∣=32，∴④正确．故答案为：①②④．【知识点】绝对值的几何意义三、解答题18. 【答案】(1) y=x2−2tx+3=x2−2tx+t2−t2+3=(x−t)2−t2+3.∴顶点P的坐标为(t,−t2+3)．(2) ①当t=1时，得G的解析式为：y=x2−2x+3，点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2m+3，∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，则点A，B到点(m,m)的距离相等，此三点横坐标相同，有n2−m=m−n1．∴(m2−2m+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+4m−3，由于m为任意实数，令m为自变量x，n1为y.即可得H的解析式为：y=−x2+4x−3；②关于抛物线G的性质：点B(m,n2)在G上，∴n2=m2−2tm+3，由G:y=x2−2tx+3，知抛物线G开口向上，对称轴为x=t，顶点P(t,−t2+3)，且图象恒过点(0,3).∴当t≤x≤t+1时，图象G的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值−t2+4；当x=t时，y取最小值−t2+3；最大值比最小值大1.关于图象H的性质：∵点A(m,n1)与点B关于点(m,m)对称，有n2−m=m−n1，(m2−2tm+3)−m=m−n1，整理，得n1=−m2+2tm+2m−3．∴图象H的解析式为：y H=−x2+2tx+2x−3.配方，得y H=−[x−(t+1)]2+(t2+2t−2)∴图象H为一抛物线，开口向下，对称轴为x=t+1，顶点P(t+1,t2+2t−2)，且图象恒过点(0,−3).∴当t≤x≤t+1时，图象H的y随着x的增大而增大.当x=t+1时，y取最大值t2+2t−2；当x=t时，y取最小值y=t2+2t−3，即过Q(t,t2+2t−3)；最大值比最小值大1．情况1：当P，Q两点重合，即两个函数恰好都经过(t,t)，(t+1,t+1)时，把(t,t)代入y=x2−2tx+3得t=t2−2t⋅t+3，解得，t=−1+√132或t=−1−√132．分别对应图3，图4两种情形，由图可知，当m=t，或m=t+1时，A与B重合，即有n1=n2，不合题意，舍去；情况2：当点P在点Q下方，即t>−1+√132时，大致图象如图1，当t<−1−√132时，大致图象如图2，都有点A在点B的上方，即n1>n2成立，符合题意；情况3：当点P在点Q上方，即−1−√132<t<−1+√132时，大致图象如图5，图6，当t≤m≤t+1时，存在A在B的下方，即存在n1<n2，不符合题意，舍去；综上所述，所求t的取值范围为：t>−1+√132或t<−1−√132．【知识点】二次函数的顶点、二次函数的最值、二次函数与不等式、y=ax^2+bx+c的图象19. 【答案】(1) 5．(2) 13．【知识点】有理数的加法法则及计算、绝对值的性质、有理数的乘法20. 【答案】(1) 34 (2) 23 (3) 58(4) (1−122)(1−132)(1−142)…(1−192)(1−1102)…(1−1n 2) 的值 >12，理由：原式=12⋅32⋅23⋅43…n−1n⋅n+1n=n+12n，因为n+1n >1，所以 12<n+12n．【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、有理数加减乘方混合运算、实数的简单运算21. 【答案】(1) 因为 F (n )=6， 所以 n =123．(2) 因为 F (a )=x +1+2=x +3，F (b )=3+5+y =8+y 且 F (a )+F (b )=18， 所以 x +3+8+y =18， 所以 x +y =7， 因为 x ，y 是正整数，所以 {x =1,y =6, {x =2,y =5, {x =3,y =4, {x =4,y =3, {x =5,y =2, {x =6,y =1,因为 a ，b 是相异数，所以 a ≠1，a ≠2，b ≠3，b ≠5， 所以 {x =3,y =4, {x =5,y =2, {x =6,y =1,所以 k =F (a )F (b )=12或45或1， 所以 k 的最小值为 12 .【知识点】二元一次方程整数解、有理数的加法法则及计算22. 【答案】原式=−4−2+√2×√22=−4−2+1=−5.【知识点】特殊角的余弦值、有理数的乘方、立方根的运算23. 【答案】(1) 设被墨水涂污了的数据为x，则0.5×2+0.8×1+0.6×3+(−0.4)×2+(−0.7)x=1.4，解得：x=2，故这个数据为2．(2) [50+1.4÷(2+1+3+2+2)]×(2+1+3+2+2)×2=1002.8元，答：这批样品的总成本是1002.8元．【知识点】有理数加法的应用、一元一次方程的应用24. 【答案】(1) 原式=(−8)×[−7+(3−1.2×56)] =(−8)×[−7+(3−1)]=(−8)×(−5)=40;(2) 原式=24÷(−8+4)+33 =24÷(−4)+33=−6+33=27.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算25. 【答案】(1)2−(−3)2−5×(−1)3 =2−9+5=−2.(2)(−48)×(1−16+34)=−48×(56+34)=−40−36=−76.(3)−12÷4−27÷(−3)×13 =−3+9×13=−3+3=0.【知识点】有理数的加减乘除乘方混合运算、乘法分配律、有理数加减乘除混合运算11。
