第15、16课时 数列复习课(2课时)(教师)

网络组建课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生理解网络的基本概念，掌握网络组建的基础知识；2. 学生了解不同类型的网络设备，如交换机、路由器等，并掌握其配置方法；3. 学生掌握网络拓扑结构的设计原理，能够根据需求绘制网络拓扑图；4. 学生了解网络协议的作用，掌握TCP/IP协议栈的基本原理。

技能目标：1. 学生能够运用所学知识，独立完成小型网络的组建与配置；2. 学生具备解决网络故障的能力，能够分析网络问题并进行相应调整；3. 学生能够运用网络管理工具，对网络性能进行监测和优化；4. 学生具备良好的团队协作能力，能够在团队中发挥积极作用。

情感态度价值观目标：1. 学生培养对网络技术的好奇心和探索精神，提高学习兴趣；2. 学生树立正确的网络道德观念，遵守网络法律法规，维护网络安全；3. 学生认识到网络技术在日常生活和工作中的重要性，提高对网络技术应用的积极态度；4. 学生通过课程学习，培养解决问题的自信心和自主学习能力。

课程性质：本课程为实践性较强的课程，旨在培养学生的实际操作能力和团队协作能力。

学生特点：学生具备一定的计算机网络基础知识，对网络组建感兴趣，但实际操作能力较弱。

教学要求：教师应以实践操作为主，注重培养学生的动手能力，结合理论讲解，让学生在实际操作中掌握网络组建的相关知识。

同时，关注学生的个体差异，给予个性化指导，确保课程目标的实现。

通过课程学习，使学生在知识、技能和情感态度价值观方面均取得具体的学习成果。

二、教学内容1. 网络基础知识：介绍网络的基本概念、功能、分类及网络协议等，以课本第二章内容为基础，帮助学生建立网络知识框架。

- 网络拓扑结构- 网络协议原理- IP地址及子网划分2. 网络设备与配置：学习不同类型的网络设备，如交换机、路由器等，以及它们的配置方法。

- 交换机的工作原理与配置- 路由器的工作原理与配置- 网络设备连接与调试3. 网络组建实践：根据实际需求，设计并组建小型网络，涵盖以下内容：- 网络拓扑图绘制- 设备选型与采购建议- 网络搭建与配置- 网络性能测试与优化4. 网络安全与管理：介绍网络安全的基本知识，学习网络管理工具的使用，提高网络安全性。

宏观经济学 课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生理解宏观经济学的基本概念，掌握国内生产总值（GDP）、通货膨胀、失业率等核心指标的计算与分析方法。

2. 引导学生掌握宏观经济学的基本理论，如凯恩斯主义、货币主义、供给学派等，了解不同理论对宏观经济现象的解释。

3. 帮助学生了解我国宏观经济政策及其调整，理解政策对经济发展的影响。

技能目标：1. 培养学生运用宏观经济学理论分析现实经济问题的能力，提高批判性思维和分析判断能力。

2. 提高学生团队协作能力，通过小组讨论、辩论等形式，学会倾听、表达和沟通。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对经济学的兴趣，激发学习热情，形成积极向上的学习态度。

2. 引导学生关注国家经济发展，增强社会责任感，树立正确的价值观。

3. 培养学生的国际视野，使其具备一定的全球竞争力。

课程性质分析：本课程为高中年级的选修课程，旨在帮助学生建立宏观经济学的基本框架，提高分析经济现象的能力。

学生特点分析：高中年级学生具备一定的逻辑思维和分析能力，对现实经济问题有一定的关注，但可能缺乏系统的经济学知识。

教学要求：1. 结合现实案例，深入浅出地讲解宏观经济学基本概念和理论。

2. 注重培养学生的批判性思维和分析能力，提高课堂互动性。

3. 激发学生学习兴趣，关注国家经济发展，树立正确的价值观。

二、教学内容1. 宏观经济学基本概念与指标- 国内生产总值（GDP）的含义与计算方法- 通货膨胀、失业率的定义及其衡量方法- 宏观经济政策目标及其关系2. 宏观经济学基本理论- 凯恩斯主义理论及其政策主张- 货币主义理论及其政策主张- 供给学派理论及其政策主张3. 我国宏观经济政策与实践- 改革开放以来我国宏观经济政策的发展历程- 当前我国宏观经济政策的主要任务与措施- 我国宏观经济政策调整对经济发展的影响4. 宏观经济分析与应用- 宏观经济数据分析方法与技巧- 宏观经济政策分析与实践案例- 国际经济形势对我国宏观经济的影响教学大纲安排：第一周：宏观经济基本概念与指标（1-2课时）第二周：宏观经济基本理论（1-2课时）第三周：我国宏观经济政策与实践（1-2课时）第四周：宏观经济分析与应用（1-2课时）教材章节关联：《宏观经济学》第一章：导论《宏观经济学》第二章：宏观经济指标与政策目标《宏观经济学》第三章：宏观经济理论《宏观经济学》第四章：宏观经济政策分析与实践《宏观经济学》第五章：国际宏观经济与世界经济教学内容根据课程目标和教学大纲进行系统安排，确保科学性和实用性。

跟岗学习心得体会个人总结（精选7篇）跟岗学习心得体会个人总结篇110月19日至11月9日，我很荣幸地来到柯明欣工作室参加了跟岗培训，旨在通过集体备课、双向听课、说课评课、班级管理案例分析、课题研究和专题讲座等形式促进自身专业发展。

短暂的跟岗学习结束了，觉得自己获益良多。

在我们的工作室里，柯校长无论是学品还是人品都是我们学习的楷模。

柯校长治学严谨，为我们上示范课，认真的点评我们的教学，让我们从理论到实践都有了一种“脱胎换骨”的感觉。

跟岗培训学习过程中的表现：1、教学实习：跟岗期间，听评课16节，上了《椭圆及其标准方程》第一、二课时和《等差数列复习课》3节课，其中《等差数列复习课》为汇报课。

2、课题研究：参与《中学生数学“自学自测自评”的行动研究》子课题研究，并完成部分研究工作。

3、开发了一节优秀课例《椭圆及其标准方程》；写了《椭圆及其标准方程》第一、二课时和《等差数列复习课》3篇教学反思和2篇读书笔记。

4、撰写《跟岗学习日志》，详细记录各项培训活动安排、学习观摩的收获和体会。

每天写跟岗学习日记，记录所见所闻，并发表于博客。

跟岗培训学习过程中的`收获：一、明白了数学教学的方向。

在工作室里，大家畅谈对数学教学的理解与感悟。

柯校长做了两个专题报告《数学变式教学的作用》和《课堂教学艺术》，引领着我们明确数学教学的方向。

即：数学教学的艺术不在于传授，而在于唤醒、激励和鼓舞！二、提升了数学教学的技能。

一个个课例，一次次交流、碰撞，我们的教学技能有了大幅提升。

跟岗学习的第一天，我有幸参加了阳春市高中数学科“同课异构”教研活动。

由阳春一中的汤学平老师和华师附中周正华老师上同一节课《空间几何体的三视图》。

两位老师的课充分体现了先进的教学理念，周老师追求课堂教学有效性的探索过程，给我以深刻的启示和借鉴，值得我认真学习。

在整个跟岗期间，我参加听评课16节，其中包括阳春一中、阳春四中及我们工作室的其他学员上的公开课。

各位老师都展现出他们高超的教学艺术。

数列复习课的教案一、教学目标：1. 理解数列的概念和特征；2. 掌握数列的常见表示方法；3. 能够求解数列的通项公式；4. 能够应用数列解决问题。

二、教学内容：1. 数列的定义和性质；2. 数列的表示方法；3. 数列的通项公式；4. 数列的求和公式；5. 数列的应用。

三、教学过程：1. 导入（5分钟）通过提问和讲解，复习数列的概念，引导学生回忆数列的定义和性质。

2. 知识讲解（15分钟）a) 数列的表示方法：递推公式和通项公式；b) 数列的通项公式的推导方法和步骤；c) 数列的求和公式的推导方法和应用；d) 数列在实际问题中的应用。

3. 讲解例题（15分钟）通过讲解一些典型的数列例题，引导学生掌握数列的解题方法和技巧。

4. 练习巩固（20分钟）学生自主完成一些练习题，巩固数列的相关知识和解题方法。

5. 拓展延伸（10分钟）引导学生思考更复杂的数列问题，并提供一些拓展题目，激发学生的兴趣和思维。

6. 总结归纳（5分钟）对数列的相关知识点进行总结和归纳，帮助学生梳理思路，加深对数列的理解。

四、教学手段：1. 板书：列举数列的定义、性质、表示方法、通项公式和求和公式等重要概念和公式。

2. 多媒体教学：通过投影仪展示例题、解题步骤和相关应用，提高学生的理解和兴趣。

3. 互动讨论：通过提问、回答和讨论，激发学生思维，培养学生的问题解决能力。

五、教学评价：1. 课堂表现：观察学生的听讲、思考和回答问题的情况，评价学生的积极性和参与度。

2. 练习评价：对学生完成的练习题进行批改，评价学生对数列的掌握情况。

3. 问题解决能力评价：观察学生解决复杂数列问题的能力，评价学生的问题解决能力和思维发展。

六、教学反思：通过数列复习课的教学，学生对数列的概念、性质、表示方法、通项公式和求和公式等知识有了更深入的理解。

课堂中的讲解和练习巩固相结合，有效提高了学生的学习兴趣和解题能力。

但是，还需要进一步加强数列的应用训练，培养学生解决实际问题的能力。

等差数列复习课(一)三维目标1、知识与技能：复习等差数列的定义、通项公式、前n 项和公式及相关性质.2、过程与方法：师生共同回忆复习，通过相关例题与练习加深学生的理解.3、情感与价值：培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识.(二)教学重、难点重点：等差数列相关性质的理解。

难点：等差数列相关性质的应用。

(三)教学方法师生共同探讨复习本课时的主要知识点，再通过例题、习题加深学生的应用意识，本节课采用多媒体辅助教学。

(四)课时安排1课时(五)教具准备多媒体课件(六)教学过程Ⅰ知识回顾1、等差数列定义:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

2、等差数列的通项公式如果等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项公式是d n a a n )1(1-+=。

注意：等差数列的通项公式整理后为)(1d a nd a n -+=，是关于n 的一次函数。

3、等差中项如果a,A,b 成等差数列，那么A 叫着a 与b 的等差中项。

即：2b a A +=，或 b a A +=2。

4、等差数列的前n 项和公式等差数列{}n a 首项是1a ，公差是d ，则2)(1n n a a n S +==d n n na 2)1(1-+。

注意：1)、该公式整理后为n d a n d s n )2(212-+=，是关于n 的二次函数，且常数项为0。

2)、等差数列的前n 项和公式推导过程中利用了“倒序相加求和法”。

5、等差数列的判断方法1)定义法：对于数列{}n a ，若d a a n n =-+1（常数），则数列{}n a 是等差数列。

2)等差中项法：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。

6、等差数列的性质1)等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，公差为d ，则有d m n a a m n )(-+=。

核心素养视域下高中数学复习课的设计分析-以《数列》单元复习为例发布时间：2023-02-16T01:34:22.076Z 来源：《中小学教育》2022年第19期作者：代博[导读] 随着“核心素养”这一教学理念的提出，高中数学复习课的设计也成为了改革、优化的代博陕西省咸阳市长武县中学陕西省咸阳市 712000摘要：随着“核心素养”这一教学理念的提出，高中数学复习课的设计也成为了改革、优化的重点研究对象。

就目前而言，高中数学单元复习教学设计的效果并不十分高效。

这不仅影响了数学复习课的教学质量，还降低了学生数学核心素养的提升速度。

因此，基于核心素养视域下，高中教师必须要采取行之有效的数学复习课设计办法，来提高学生的复习效果。

关键词：核心素养视域下；高中数学复习课；设计；分析一、以单元目标为主线，培养学生核心素养确立单元教学目标，不仅能够给学生指出复习重点，指明复习方向。

还能帮助教师制定科学、高效的教学计划。

这样一来，学生能够与教师在复习课堂上保持高度的一致目标，提升师生之间的配合默契度。

久而久之，学生的学习效果也会大幅度提升，进而实现良好的数学学科发展，提升学科核心素养。

例如，在进行《数列》一单元的复习过程中，教师就可以设计连续性的问题让学生进行复习：“（一）数列1，3，7，15，31，? ，的通项公式是什么？（二）设数列{an}的首项a1=1,且满足an+12an+1,则{an}=？（三）设数列{an}的首项a1=1,且满足an+1- 3an+5,则{an}=？从以上三个问题中你能发现什么特征？如何解决此类问题？你从中得到什么启发？”，此外，教师还可以给学生布置本单元的探究式问题，让学生展开自主探索、小组探索，发表自己的理解和想法，并在思想的碰撞中，提高数学思维，提高复习效果。

二、拔高课堂教学质量，落实学生核心素养为了提升高中数学复习课的教学质量，教师可以从基础复习课、能力复习课、核心素养复习课三个方面进行单元复习课的设计。

课程设计教案一、课程背景汉字作为中华文化的重要组成部分，承载着悠久的历史和丰富的文化内涵。

书法艺术更是中华民族的瑰宝，具有极高的审美价值和实用价值。

本课程旨在通过学习汉字书法，提高学生的审美情趣、文化素养和书法技能，培养学生的耐心、细致和毅力。

二、教学目标1. 了解汉字书法的基本知识和历史背景。

2. 掌握毛笔的基本用法和书写技巧。

3. 能够书写规范、美观的汉字书法作品。

4. 培养学生的审美情趣和文化素养。

5. 提高学生的耐心、细致和毅力。

三、教学内容1. 汉字书法基础知识- 汉字书法的历史与发展- 书法的流派与风格- 毛笔、墨、纸、砚等书写工具的使用方法2. 汉字书法基本技法- 笔法：起笔、行笔、收笔- 结构：字体的间架结构、笔画组合- 布局：行距、字距、整体布局3. 汉字书法实践- 基本笔画练习- 常见字练习- 创作练习四、教学安排1. 课时安排：共16课时，每周2课时。

2. 教学进度：- 第1-2课时：汉字书法基础知识介绍- 第3-4课时：毛笔的基本用法和书写技巧- 第5-6课时：基本笔画练习- 第7-8课时：常见字练习- 第9-10课时：字体间架结构分析- 第11-12课时：布局与行距、字距的把握- 第13-14课时：创作练习（临摹）- 第15-16课时：创作练习（原创）五、教学方法1. 讲授法：讲解汉字书法的基本知识和技法。

2. 演示法：教师现场演示书写过程，让学生直观学习。

3. 练习法：通过大量练习，巩固所学知识和技能。

4. 反馈法：教师对学生练习作品进行点评，指导学生改进。

六、教学评价1. 学生出勤情况：出勤率达到90%以上。

2. 学生书写作品：作品规范、美观，符合所学技法。

3. 学生创作能力：能够独立创作具有一定水平的书法作品。

4. 学生学习态度：认真、刻苦，积极参与课堂活动。

七、教学资源1. 教材：《大学汉字书法教程》2. 教学课件：汉字书法基础知识、技法讲解等3. 书写工具：毛笔、墨、纸、砚等4. 作品展示：优秀书法作品集通过本课程的学习，学生不仅能够掌握汉字书法的基本知识和技能，还能够提高自己的审美情趣和文化素养，为传承和发扬中华民族优秀传统文化贡献力量。

数列复习课教案（一）民立中学夏芝晨（区学科带头人）数列是一类特殊的函数，它的定义域是自然数集N或N的有限子集，通项公式就是这一函数的解析表达式。

等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列。

它们各有五个基本量：首项、公差或公比、项数、通项、前项和；两个基本公式——通项公式和前项和公式，将这五个基本量连接起来，应用函数与方程的思想方法，认识这些基本量的相互联系，由已知推求未知，构成了数列理论的基本框架，成为贯穿始终的主线。

第一课时复习课题：数列、等差数列、等比数列。

复习目标：理解数列的概念，掌握等差数列、等比数列的概念。

复习重点：掌握等差数列、等比数列的概念。

复习难点：用函数的观点来研究数列。

教学过程：知识要点：（1）数列可看作定义域为自然数集N或其子集的函数。

数列的各项即是自变量（项数）从1开始自小到大依次取自然数时对应的一系列函数值。

数列的一般形式：简记为数列。

项数有限的数列叫有穷数列，项数无限的数列叫无穷数列。

（2）表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法三种。

相应地，表示数列也可用上述三种方法。

如果能用解析法表示数列，那么这种解析式就称为数列的通项公式。

数列的图象法表示与函数的图象法表示有区别，前者只是一些孤立的点，后者一般是一段或若干条曲线。

（3）数列中，若（常数），对都成立，则数列叫等差数列，常数叫数列的公差。

数列中，若(常数)，，对都成立，则数列叫等比数列，常数叫数列的公比。

（4）三数成等差，即是的等差中项；三数成等比，即是的等比中项。

例一：根据下列数列的前项的值，写出满足反映给出规律的一个通项公式。

（1）3，5，9，17，33，……（2）0，3，8，15，24，……（3）（4）0，1，0，1，0，1，……解：分析与项数之间的对应关系：（1）联想数列2，4，8，16，32，……即数列，可知。

（2）联想1，4，9，16，25，……即数列，可知。

（3）这是一个分数数列，分子为偶数数列，分母为，是两个连续奇数的积，所求的通项公式是。

安全疏散课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解安全疏散的重要性，掌握基本的疏散原则和程序。

2. 学生能够描述各种紧急情况下的安全疏散方法，如火灾、地震等。

3. 学生能够掌握使用疏散路线图、安全标志和警报系统等工具进行安全疏散。

技能目标：1. 学生能够运用所学知识，制定并实施家庭和学校的安全疏散计划。

2. 学生能够熟练使用疏散时所需的基本自救工具，如防烟面具、手电筒等。

3. 学生能够在紧急情况下，冷静、迅速、有序地参与安全疏散行动。

情感态度价值观目标：1. 培养学生珍爱生命、关注安全的意识，增强防灾减灾救灾的观念。

2. 培养学生团结协作、互帮互助的精神，提高集体荣誉感和责任感。

3. 培养学生遵守纪律、服从指挥的良好习惯，树立正确的价值观。

本课程针对学生年级特点，结合教材内容，注重理论与实践相结合，旨在提高学生的安全意识、自救自护能力和紧急情况下的应变能力。

课程目标具体、可衡量，便于教学设计和评估，确保学生能够在课程学习中取得实际成果。

二、教学内容1. 疏散基本知识：包括疏散的定义、目的和原则，介绍疏散的重要性。

- 教材章节：第一章 疏散与自救基本知识2. 紧急情况识别：学习识别火灾、地震等紧急情况，了解预警信号和警报系统。

- 教材章节：第二章 紧急情况的识别与预警3. 疏散方法和技巧：教授在不同紧急情况下，如何快速、安全地进行疏散。

- 教材章节：第三章 疏散方法与技巧4. 疏散路线和标志：学习如何阅读和使用疏散路线图、安全标志，掌握疏散过程中的注意事项。

- 教材章节：第四章 疏散路线与安全标志5. 自救工具的使用：介绍防烟面具、手电筒等自救工具的正确使用方法。

- 教材章节：第五章 自救工具的使用与维护6. 实践演练：组织学生进行疏散演练，巩固所学知识，提高应对紧急情况的能力。

- 教材章节：第六章 疏散演练与实操7. 家庭与学校安全疏散计划：指导学生制定家庭和学校的安全疏散计划，培养安全意识。

数列的概念第二课时1.课时教学内容 数列递推公式2.课时学习目标(1) 会准确说出数列递推公式的定义，能根据数列的递推公式求该数列的项。

(2) 能说出数列前n 项和公式的定义，能由通项公式与前n 项和公式的关系求该数列的通项公式。

3.教学重点与难点重点∶数列的递推公式与前n 项和公式的定义。

难点∶数列递推公式的意义和价值。

4.教学过程设计 环节一 复习旧知问题1：如果数列{}n a 的通项公式为n n a n 22+=，那么120是不是这个数列的项？如果是，是第几项？解：令12022=+n n解方程得.10)(12=-=n n ，或舍去所以120是这个数列的项，是第10项。

【设计意图】通过练习，复习数列通项公式。

环节二引入新课：历史上有一个有名的关于兔子的问题：假设有一对兔子(一雄一雌)，长两个月它们就算长大成年了.然后每个月都会生出1对兔子，生下来的兔子也都是长两个月就算成年，然后每个月也都会生出1对兔子.这里假设兔子不会死，且每次都是只生1对兔子.第一个月，只有1对兔子；第二个月，小兔子还没长成年，还是只有1对兔子；第三个月，兔子长成年了，同时生了1对小兔子，因此有两对兔子；第四个月，成年兔子又生了1对兔子，加上自己及上月生的小兔子，共有3对兔子；第五个月，成年兔子又生了1对兔子，第三月生的小兔子现在已经长成年了且生了1对小兔子，加上本身两只成年兔子及上月生的小兔子，共5对兔子；问题2：过了一年之后，会有多少对兔子？提示：我们可以把这些兔子的数量以对为单位列出数字就能得到一组数字：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233.所以，过了一年之后，总共会有233对兔子.问题3：兔子的对数所组成的数列为1，1，2，3，5，8，13，…这个数列的第n 项a，第n＋1项1+n a，第n＋2项2+n a有何关系？n提示：21++=+n n n a a a 。

【设计意图】通过引导学生研究斐波那契数列，得出数列项与项之间的关系，进一步得到递推公式定义。

第2课时 数列的综合问题题型一 数列与函数例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N ＋，且a 1，a 2＋5,19成等差数列.(1)求a 1的值；(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n2n ＋1为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(3)设b n ＝log 3(a n ＋2n)，若对任意的n ∈N ＋，不等式b n (1＋n )－λn (b n ＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围. 解 (1)在2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N ＋中，令n ＝1，得2S 1＝a 2－22＋1，即a 2＝2a 1＋3，① 又2(a 2＋5)＝a 1＋19，② 则由①②解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ③2S n －1＝a n －2n＋1， ④③－④得2a n ＝a n ＋1－a n －2n， 则a n ＋12n ＋1＋1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a n 2n ＋1，又a 2＝5，则a 222＋1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫a 121＋1.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1是以32为首项，32为公比的等比数列，∴a n 2n ＋1＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，即a n ＝3n －2n.(3)由(2)可知，b n ＝log 3(a n ＋2n)＝n . 当b n (1＋n )－λn (b n ＋2)－6<0恒成立时， 即(1－λ)n 2＋(1－2λ)n －6<0(n ∈N ＋)恒成立. 设f (n )＝(1－λ)n 2＋(1－2λ)n －6(n ∈N ＋)，当λ＝1时，f (n )＝－n －6<0恒成立，则λ＝1满足条件； 当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立； 当λ>1时，由于对称轴n ＝－1－2λ2(1－λ)<0，则f (n )在[1，＋∞)上单调递减，f (n )≤f (1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞). 思维升华数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法.跟踪训练1 (2018·葫芦岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1,2a n ＋1＝a n ，数列{b n }满足b n ＝2－log 2a 2n ＋1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得2T n ≤4n 2＋m 对任意正整数n 都成立的实数m 的取值范围.解 (1)由a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，a n ≠0， ∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴b n ＝2－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫122n＝2n ＋2.(2)由(1)得，T n ＝n 2＋3n ，∴m ≥－2n 2＋6n 对任意正整数n 都成立. 设f (n )＝－2n 2＋6n ，∵f (n )＝－2n 2＋6n ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －322＋92，∴当n ＝1或2时，f (n )的最大值为4， ∴m ≥4.即m 的取值范围是[4，＋∞).题型二 数列与不等式例2 已知数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n2S n －1(n ≥2).(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列；(2)证明：S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1nS n <1.证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n2S n －1，整理得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1(n ≥2)，∴1S n －1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n .∴当n ＝1时，1n S n ＝12<1，方法一 当n ≥2时，1n S n ＝12n 2<12·1n (n －1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ， ∴S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n <12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－12n <1. ∴原不等式得证. 方法二 当n ≥2时，12n 2<12(n 2－1)＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1， ∴S 1＋12S 2＋13S 3＋ (1)S n<12＋14⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1 ＝12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1， <12＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝78<1. ∴原命题得证.思维升华数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.跟踪训练2 已知数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1＝1，b 2＝a 1＋a 2，a 3＝2b 3－6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝1b n b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：15≤T n <13. (1)解 设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ， 由题意得1＋d ＝1＋q ，q 2＝2(1＋2d )－6， 解得d ＝q ＝2， 所以a n ＝2n －1，b n ＝2n －1.(2)证明 因为c n ＝1b n b n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3) ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3，所以T n ＝14⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫1－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－17＋…＋⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13－12n ＋1－12n ＋3＝13－14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3，因为14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＋12n ＋3>0，所以T n <13.又因为T n 在[1，＋∞)上单调递增， 所以当n ＝1时，T n 取最小值T 1＝15，所以15≤T n <13.题型三 数列与数学文化例3 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”( )A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤 答案 D解析 原问题等价于等差数列中， 已知a 1＝4，a 5＝2，求a 2＋a 3＋a 4的值. 由等差数列的性质可知a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，a 3＝a 1＋a 52＝3，则a 2＋a 3＋a 4＝9，即中间三尺共重9斤.思维升华 我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式. 跟踪训练3 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N ＋，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3等于( ) A.4B.5C.9D.16答案 C解析 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1，b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3， 则等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝31＝3，故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.1.(2018·包头模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝－a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若f (x )＝12log x ，设b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝－a n ＋1得S n ＋1＝－a n ＋1＋1，两式相减得，S n ＋1－S n ＝－a n ＋1＋a n ， 即a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，即a n ＋1a n ＝12(n ≥1)， 所以数列{a n }是公比为12的等比数列，又由a 1＝－a 1＋1得a 1＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . (2)因为b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n ) ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，所以1b n＝2n (n ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以T n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝2nn ＋1. 2.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋2)22n ＋S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n <32.(1)解 由a 1＝0得a n ＝(n －1)d ，S n ＝n (n －1)d2，因为a 2＋2，S 3，S 4成等比数列， 所以S 23＝(a 2＋2)S 4， 即(3d )2＝(d ＋2)·6d ，整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0， 因为d ≠0，所以d ＝4，所以a n ＝(n －1)d ＝4(n －1)＝4n －4. (2)证明 由(1)可得S n ＋1＝2n (n ＋1)， 所以b n ＝(2n ＋2)22n ＋2n (n ＋1)＝4(n ＋1)22n (n ＋2)＝2＋2n (n ＋2)＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝2n ＋1＋12－1n ＋1－1n ＋2，所以T n －2n <32.3.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N ＋，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1an ，且a 1＝4. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n ， 16n 2a －4nb ＝0， ∴a ＝12，则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N ＋.数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，又f ′(x )＝x ＋2n ， ∴1a n ＋1＝1a n＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ，由累加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ，化简可得a n ＝4(2n －1)2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合， ∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N ＋).(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝4n2n ＋1. 4.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n . 解 (1)设数列{x n }的公比为q .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2.所以3q 2－5q －2＝0， 由已知得q >0， 所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1.(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n－2n －1＝2n －1，记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，①则2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1，②由①－②，得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n＋12.5.(2019·盘锦模拟)若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，点P (S n ，S n ＋1)在曲线y ＝(x ＋1)2上.(1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 表示数列{b n }的前n 项和，若T n ≥a 恒成立，求T n 及实数a 的取值范围.解 (1)由S n ＋1＝(S n ＋1)2，得S n ＋1－S n ＝1， 所以数列{S n }是以S 1为首项，1为公差的等差数列， 所以S n ＝S 1＋(n －1)×1，即S n ＝n 2，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， 显然T n 是关于n 的增函数，所以T n 有最小值(T n )min ＝T 1＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝13. 由于T n ≥a 恒成立，所以a ≤13， 于是a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，13.6.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前三项和为9，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项.(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T n K n ，求证：c n ＋1>c n (n ∈N ＋). (1)解 设数列{a n }的公差为d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝9，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，d ＝0(舍去)， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2. 又b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝4， 所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)证明 因为a n ·b n ＝(n ＋1)·2n ，所以K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，① 所以2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，②①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，所以K n ＝n ·2n ＋1. 则c n ＝S n T n K n ＝(n ＋3)(2n －1)2n ＋1，c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1 ＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0， 所以c n ＋1>c n (n ∈N ＋).。

二年级语文教研组集体备课活动记录及教案一、活动主题：二年级语文第四单元集体备课二、活动时间：2024年10月10日三、活动地点：学校会议室四、参与人员：二年级语文教研组全体成员五、活动记录：1. 教学内容分析：本次集体备课活动针对二年级第四单元进行讨论。

本单元以“自然界”为主题，包括《秋天》、《雪地里的小画家》、《小熊住山洞》等课文。

教学内容旨在让学生了解自然界的事物，培养他们对大自然的热爱。

2. 教学目标设定：（1）知识与技能：学生能正确认读和理解“秋天”、“雪地里的小画家”、“小熊住山洞”等词语；能够流利地朗读课文，理解课文大意。

（2）过程与方法：通过图片、实物等引导学生观察和描述自然界的事物，培养学生的观察能力和表达能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生对大自然的热爱，增强他们的环保意识。

3. 教学重难点：（1）生字词的学习与理解。

（2）课文的朗读与背诵。

（3）对自然界事物的观察与描述。

4. 教学策略与方法：（1）采用图片、实物等直观教具，引导学生观察和描述自然界的事物。

（2）运用游戏、小组讨论等互动方式，激发学生的学习兴趣。

（3）注重个体差异，给予学生适量的辅导和鼓励，提高他们的自信心。

5. 教学安排：（1）第1-2课时：学习《秋天》，掌握生字词，理解课文内容，进行朗读和背诵训练。

（2）第3-4课时：学习《雪地里的小画家》，掌握生字词，理解课文内容，进行朗读和背诵训练。

（3）第5-6课时：学习《小熊住山洞》，掌握生字词，理解课文内容，进行朗读和背诵训练。

6. 作业布置：（1）抄写生字词。

（2）回家后向家长介绍所学课文的内容，并进行朗读和背诵。

7. 教学评价：（1）课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、发言情况等。

（2）作业完成情况：检查学生抄写生字词的准确性和朗读、背诵的能力。

六、活动主题：二年级语文第五单元集体备课七、活动时间：2024年10月20日八、活动地点：学校会议室九、参与人员：二年级语文教研组全体成员十、活动记录：1. 教学内容分析：本次集体备课活动针对二年级第五单元进行讨论。

列管式换热器 课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握列管式换热器的基本结构和工作原理，理解换热过程中的热量传递机制。

2. 使学生了解列管式换热器的类型、特点及应用场景，能够区分不同类型的换热器。

3. 引导学生掌握换热器设计的基本原则和步骤，学会运用相关公式计算换热器的传热系数和换热面积。

技能目标：1. 培养学生运用所学知识分析实际换热问题，具备解决换热器设计问题的能力。

2. 提高学生运用计算工具（如Excel、计算器等）进行换热器相关计算的速度和准确性。

3. 培养学生团队合作意识，提高沟通与协作能力，通过小组讨论、汇报等形式，共同完成换热器设计任务。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对换热器设计及工程应用的兴趣，激发创新意识和探索精神。

2. 引导学生关注换热器在能源、环保等领域的重要性，培养节能环保意识和社会责任感。

3. 培养学生严谨、踏实的科学态度，养成认真负责的工作作风。

本课程针对高年级学生，结合学科特点和教学要求，将目标分解为具体的学习成果。

课程注重理论与实践相结合，以实际工程案例为载体，引导学生通过自主学习、小组合作等方式，掌握换热器设计的基本知识和技能。

在教学过程中，关注学生的个体差异，鼓励提问和讨论，以提高学生的思维能力和解决问题的能力。

通过本课程的学习，使学生能够具备独立设计换热器的能力，为未来从事相关工作打下坚实基础。

二、教学内容1. 列管式换热器的基本概念：介绍换热器的作用、分类及其在工业中的应用。

教材章节：第二章 换热器的基本概念与分类2. 列管式换热器的工作原理：讲解列管式换热器中的热量传递过程，包括对流传热和导热。

教材章节：第三章 列管式换热器的工作原理与热量传递3. 列管式换热器的设计原则与步骤：阐述换热器设计的基本原则，介绍设计步骤及注意事项。

教材章节：第四章 列管式换热器的设计原则与步骤4. 列管式换热器传热系数的计算：分析影响换热器传热系数的因素，介绍相关计算公式。

生产物料计划课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解生产物料计划的基本概念，掌握其在生产运作管理中的重要性。

2. 学生能掌握生产物料需求计算的方法，并运用相关公式进行简单计算。

3. 学生能了解生产物料计划的编制过程，掌握关键环节和注意事项。

技能目标：1. 学生能运用生产物料计划的方法，分析实际生产案例，并提出合理的解决方案。

2. 学生能运用信息技术手段，如Excel等软件，进行生产物料需求计算和数据整理。

3. 学生具备团队协作能力，能与他人共同完成生产物料计划的编制工作。

情感态度价值观目标：1. 学生认识到生产物料计划在企业管理中的价值，增强对供应链管理的重视。

2. 学生在解决问题的过程中，培养严谨、细致的工作态度，提高自我要求。

3. 学生通过团队协作，学会尊重他人意见，提高沟通与协作能力。

课程性质：本课程为生产运作管理相关课程，旨在帮助学生掌握生产物料计划的基本知识和技能。

学生特点：本年级学生具备一定的数学基础，具有较强的逻辑思维能力和学习积极性。

教学要求：结合学生特点，课程要求理论与实践相结合，注重培养学生的实际操作能力和团队协作能力。

通过本课程的学习，使学生能够将所学知识应用于实际生产案例，提高解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 生产物料计划概述：介绍生产物料计划的基本概念、作用和意义，使学生理解其在企业生产管理中的地位。

- 教材章节：第一章 生产物料计划概述- 内容：生产物料计划的定义、分类、作用和编制流程。

2. 生产物料需求计算：讲解物料需求计算的原理、方法和公式，培养学生的计算能力和数据分析能力。

- 教材章节：第二章 生产物料需求计算- 内容：物料需求计算的基本方法、相关公式、案例分析。

3. 生产物料计划的编制与控制：介绍生产物料计划的编制过程，分析关键环节和注意事项，提高学生的实际操作能力。

- 教材章节：第三章 生产物料计划的编制与控制- 内容：生产物料计划的编制步骤、关键环节、控制策略。

4.2.1 等差数列的概念（第二课时）【学习目标】（1）能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.（2）能运用等差数列的性质解决有关问题.【知识复习】【例题精讲】例1（课本例3）某公司购置了一台价值为220万元的设备,随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少，经验表明，每经过一年其价值就会减少d(d 为正常数)万元. 已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于进价的5%，设备将报废.请确定d 的取值范围.解：设使用n 年后,这台设备的价值为a n 万元, 由题意知,a n −a n−1=−d(n ≥2),即{a n }是一个公差为−d 的等差数列. 又a 1=220−d, ∴a n =a 1+(n −1)(−d)=220−nd. 由{a 10≥220×5%,a 11<220×5%. 即{220−10d ≥11,220−11d <11. 解得19<d ≤20.9, 所以,d 的取值范围为19<d ≤20.9.跟踪训练11、某体育场一角的看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排起每一排都比前一排多2个座位. 你能用a n 表示第n 排的座位数吗？第10排有多少个座位？例2（课本例4）已知等差数列{a n }的首项a 1=2，公差d =8,在{a n }中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{b n }.（1）求数列{b n }的通项公式；（2） b 29是不是数列{a n }的项？若是，它是{a n }的第几项？若不是，说明理由.解：（1）设数列{b n }的公差为d′由题意知，b 1=a 1=2,b 5=a 2=2+8=10， 由b 5=10=b 1+4d ′=2+4d ′,解得d′=2所以b n=2+(n−1)×2=2n所以,数列{b n}的通项公式是b n=2n.（2）解法1：数列{a n}的各项依次是数列{b n}的第1,5,9,13，⋯项,这些下标构成一个首项为1,公差为4 的等差数列{c n},则c n=4n−3,令c n=4n−3=29,解得n=8所以,b29是数列{a n}的第8项.解法2:由(1)知,b29=2×29=58,令a n=2+8(n−1)=58,解得n=8所以,b29是数列{a n}的第8项.【思考】如果插入k(k∈N∗)个数，那么 {b n}的公差是多少？跟踪训练21、已知一个无穷等差数列{a n}的首项为a1，公差为d.（1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新的数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（2）依次取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？（3）依次取出数列中的所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？你能根据得到结论作出一个猜想吗？（性质1 ：在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列. 若下标成等差数列，则对应的项成等差数列.）例3（课本例5）已知{a n}是公差为d的等差数列，正整数m,n,p,q满足m+n＝p+q，则a m+ a n＝a p+a q.特别地: 若m+n＝2p(m,n,p∈N*)，则有a m+a n＝2a p.（性质2）应用：【思考】下图是性质2的一种情况，你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？跟踪训练31、（1）画出数列a n={18, n=1a n−1−3, 1<n≤6的图象，并求通过图象上所有点的直线的斜率（2）已知等差数列{a n}的公差为d，求证：a m−a nm−n=d. 你能从直线的斜率角度来解释这个结果吗？2、在等差数列{a n}中，a n=m,a m=n，且n≠m，求a m+n.（性质3）你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？3、已知数列{a n}，{b n}都是等差数列，公差分别是d1,d2，数列{c n}满足c n=a n+2b n. （1）数列{c n}是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由.（2）若{a n}，{b n}的公差都等于2，a1=b1=1，求数列{c n}的通项公式.性 质 4：若 {a n }，{b n }分 别 是 公 差 为 d,d′的 等 差 数 列 , 则○1数 列 {c +a n }的 公 差 为 d ； ○2数 列 {c ·a n }的 公 差 为 cd ；○3数 列 {a n +a n+k }的 公 差 为 2d ； ○4数 列 {pa n +qa n }的 公 差 为 pd +qd ′ .例4 (1)三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数；(2)四个数成递增等差数列,中间两项的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数．解：(1)设这三个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ (a －d )＋a ＋(a ＋d )＝9，(a －d )a ＝6(a ＋d )，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，d ＝－1. ∴这三个数为4,3,2.(2)设这四个数为a -3d ，a -d ，a +d ，a +3d (公差为2d )，则2a ＝2，且(a -3d )(a +3d )＝-8，即a ＝1，a 2-9d 2＝－8，∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝-1.又∵四个数成递增等差数列，所以d ＞0，∴d ＝1，故所求的四个数为-2,0,2,4.等 差 数 列 的 设 项 方 法 和 技 巧 :(1)当 已 知 条 件 中 出 现 与 首 项 、 公 差 有 关 的 内 容 时 ， 可 直 接 设 首 项 为 a 1，公 差 为 d ，利 用 已 知 条 件 建 立 方 程 ( 组 ) 求 出 a 1和 d ，即 可 确 定 此 等 差 数 列 的 通 项 公 式 .(2)当 已 知 数 列 有 3 项 时 ，可 设 为 a −d,a,a +d ，此 时 公 差 为 d .若 有 5 项、7项、…时，可 同 理 设 出.(3)当 已 知 数 列 有 4项 时 ，可 设 为 a −3d,a −d,a +d,a +3d ，此 时 公 差 为 2d . 若 有 6项、8项、…时，可 同 理 设 出.跟踪训练41.(1)已知三个数成等差数列,其和为15,首末两数的积为9,求此数列.(2)已知成等差数列四个数之和为26,第二个数与第三个数之积为40,求此数列.（1）1,5,9或9,5,1（2）2,5,8,11或11,8,5,2【课后作业】1、《把关题》P4-5页一、选择题1.在等差数列{a n }中，若a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝80，则a 7－12a 8的值为( )A.4B.6C.8D.10答案 C 解析 由a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5a 6＝80，∴a 6＝16，∴a 7－12a 8＝12(2a 7－a 8)＝12(a 6＋a 8－a 8)＝12a 6＝8.2.已知等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，且a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝32，若a m ＝8，则m 为( )A.12B.8C.6D.4答案 B 解析 由等差数列性质得，a 3＋a 6＋a 10＋a 13＝(a 3＋a 13)＋(a 6＋a 10) ＝2a 8＋2a 8＝4a 8＝32，∴a 8＝8，又d ≠0，∴m ＝8.3.在等差数列{a n }中，a 2 018＝log 27，a 2 022＝log 217，则a 2 020＝( )A.0B.7C.1D.49答案 A 解析 a 2 020＝12(a 2 018＋a 2 022)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫log 27＋log 217＝12log 2 1＝0. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均输章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A ，B ，C ，D ，E 五人个分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A ，B ，C 三人所得钱数之和与D ，E 二人所得钱数之和相同，且A ，B ，C ，D ，E 每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C 分得物品的钱数是( )A.25B.45C.65D.75答案 C 解析 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，则a 1＋a 2＋a 3＝a 4＋a 5，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝6＝5a 3，a 3＝65.5.等差数列{a n }中，a 5＋a 6＝4，则log 2(2a 1·2a 2·…·2a 10)＝( )A.10B.20C.40D.2＋log 25答案 B 解析 因为2a 1·2a 2·…·2a 10＝2a 1＋a 2＋…＋a 10＝25(a 5＋a 6)＝25×4＝220，所以原式＝log 2220＝20.二、填空题6.在等差数列{a n }中，若a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，则a 4a 6＝________.答案 4解析 ∵等差数列{a n }中，a 22＋2a 2a 8＋a 6a 10＝16，∴a 22＋a 2(a 6＋a 10)＋a 6a 10＝16，∴(a 2＋a 6)(a 2＋a 10)＝16，∴2a 4·2a 6＝16，∴a 4a 6＝4.7.已知数列{a n }是等差数列.若a 4＋a 7＋a 10＝17，a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 12＋a 13＋a 14＝77，且a k ＝13，则k ＝________.答案 18解析 设数列{a n }的公差为d ，∵a 4＋a 7＋a 10＝3a 7＝17，∴a 7＝173.∵a 4＋…＋a 14＝11a 9＝77，∴a 9＝7，d ＝23.∴a k －a 9＝(k －9)d ，即13－7＝(k －9)×23，解得k ＝18.8.已知等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 8＝5π4，那么cos(a 3＋a 5)＝________.答案 －32解析 在等差数列{a n }中，由a 1＋a 3＋a 8＝5π4，得a 1＋(a 1＋2d )＋(a 1＋7d )＝5π4，∴3a 1＋9d ＝5π4，即a 1＋3d ＝a 4＝5π12，∴a 3＋a 5＝2a 4＝5π6，则cos(a 3＋a 5)＝cos 5π6＝－32.三、解答题9.已知数列{a n }的首项a 1＝3，通项公式为a n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且a 1，a 4，a 5成等差数列，求p ，q 的值.解 由a 1＝3，得2p ＋q ＝3.①因为a 1，a 4，a 5成等差数列，所以2a 4＝a 1＋a 5. 又因为a 4＝24p ＋4q ，a 5＝25p ＋5q ，所以3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q .②由①②得p ＝q ＝1.故所求p ，q 的值都是1.10.对数列{a n }，规定{Δa n }为数列{a n }的一阶差分数列，其中Δa n ＝a n ＋1－a n (n ∈N *).对于k ≥2，k ∈Z *，规定{Δk a n }为{a n }的k 阶差分数列，其中Δk a n ＝Δk －1a n ＋1－Δk －1a n ＝Δ(Δk －1a n ).(1)试写出一个等差数列的一阶差分数列的前5项；(2)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2＋n (n ∈N *)，试判断数列{Δa n }，{Δ2a n }是否为等差数列.解 (1)由题意，一个等差数列的一阶差分数列是一个各项均为其公差的常数列.故可得许多一阶差分数列，如1，1，1，1，1，…(答案不唯一，符合题意即可).(2)∵Δa n ＝a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2＋(n ＋1)－(n 2＋n )＝2n ＋2，Δa n ＋1－Δa n ＝2，Δa 1＝a 2－a 1＝4.∴{Δa n }是首项为4，公差为2的等差数列. ∴Δa n ＝2n ＋2，∵Δ2a n ＝Δa n ＋1－Δa n ＝2(n ＋1)＋2－(2n ＋2)＝2，∴{Δ2a n }是首项为2，公差为0的等差数列.11.下面是关于公差d >0的等差数列{a n }的四个结论：p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{a n ＋3nd }是递增数列.其中正确的为( )A.p 1，p 2B.p 3，p 4C.p 2，p 3D.p 1，p 4答案 D 解析 设等差数列首项a 1，d >0，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝dn ＋(a 1－d )，∴数列{a n }递增，p 1正确；na n ＝dn 2＋(a 1－d )n ，当n <d －a 12d 时，不递增，p 2错误；a n n ＝d ＋a 1－d n ，当a 1－d >0时，不递增，p 3错误；[a n ＋1＋3(n ＋1)d ]－(a n ＋3nd )＝a n ＋1－a n ＋3d ＝4d >0，{a n ＋3nd }递增，p 4正确，故选D.12.(多选题)已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2 021是该数列的一项，则公差d 不可能是( )A.2B.3C.4D.5答案 BCD 解析 由2 021是该数列的一项，即2 021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2 018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5. 13. 有一批电视机原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下方法促销：买一台单价为780元，买两台单价为760元，以此类推，每多买一台则所购买各台的单价均减少20元，但每台最少不低于440元；乙商场一律按原价的75%销售.某单位需购买一批此类电视机，则去哪一家商场购买花费较少？解 设某单位需购买电视机n 台.在甲商场购买时，所买电视机的售价构成等差数列{a n }，a n ＝780＋(n －1)×(－20)＝－20n ＋800，由a n ＝－20n ＋800≥440，得n ≤18，即购买台数不超过18台时，每台售价(800－20n )元；购买台数超过18台时，每台售价440元.到乙商场购买时，每台售价为800×75%＝600(元).比较在甲、乙两家家电商场的费用(800－20n )n －600n ＝20n (10－n ).当n ＜10时，(800－20n )n ＞600n ，到乙商场购买花费较少；当n ＝10时，(800－20n )n ＝600n ，到甲、乙商场购买花费相同；当10＜n ≤18时，(800－20n )n ＜600n ，到甲商场购买花费较少；当n ＞18时，440n ＜600n ，到甲商场购买花费较少.因此，当购买电视机台数少于10台时，到乙商场购买花费较少；当购买电视机10台时，到两家商场购买花费相同；当购买电视机台数多于10台时，到甲商场购买花费较少.14.已知两个等差数列{a n }：5，8，11，…与{b n }：3，7，11，…，它们的公共项组成数列{c n }，则数列{c n }的通项公式c n ＝________；若数列{a n }和{b n }的项数均为100，则{c n }的项数是________.答案 12n －1 25解析 由于数列{a n }和{b n }都是等差数列，所以{c n }也是等差数列，且公差为3×4＝12，又c 1＝11，故c n ＝11＋12(n －1)＝12n －1.又a 100＝302，b 100＝399，由⎩⎨⎧11≤12n －1≤302，11≤12n －1≤399，解得1≤n ≤25.25，故{c n }的项数为25.。

大班蜜蜂课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能够理解蜜蜂的基本结构特征，掌握蜜蜂的生活习性和生命周期。

2. 学生能够描述蜜蜂在生态系统中的作用，了解蜜蜂与植物的关系。

3. 学生掌握蜜蜂的分类地位，了解蜜蜂与其他昆虫的异同。

技能目标：1. 学生通过观察、实验等方法，培养观察力和动手操作能力。

2. 学生运用比较、分析、总结等思维方法，提高解决问题的能力。

3. 学生通过小组合作，培养团队协作和沟通表达的能力。

情感态度价值观目标：1. 学生培养对自然科学的热爱，增强对生物多样性的保护意识。

2. 学生通过学习蜜蜂的勤劳精神，培养勤奋、团结的品质。

3. 学生学会尊重生命，关爱生态环境，提高社会责任感。

本课程针对大班学生特点，结合生物学基础知识，注重培养学生的观察、思考、合作能力。

课程以蜜蜂为主题，通过讲解、实验、讨论等多种教学手段，使学生在掌握蜜蜂相关知识的同时，培养对自然科学的兴趣，提高生态保护意识。

课程目标具体、可衡量，为后续教学设计和评估提供依据。

二、教学内容1. 蜜蜂的基本特征：介绍蜜蜂的形态结构、生理特点，对比其他昆虫的差异。

教材章节：第一章 生物的多样性2. 蜜蜂的生活习性：讲解蜜蜂的生活环境、食物来源、社群行为等。

教材章节：第二章 社会性昆虫3. 蜜蜂的生命周期：阐述蜜蜂的发育过程，包括卵、幼虫、蛹和成虫四个阶段。

教材章节：第三章 昆虫的生殖和发育4. 蜜蜂在生态系统中的作用：探讨蜜蜂在传粉、维持生态平衡等方面的作用。

教材章节：第四章 生物与生物之间的关系5. 蜜蜂的分类地位：介绍蜜蜂的分类，了解蜜蜂与其他昆虫的亲缘关系。

教材章节：第五章 生物的分类与进化6. 蜜蜂与人类的关系：分析蜜蜂对人类生活的影响，如蜂蜜、蜂王浆等蜂产品。

教材章节：第六章 生物资源与人类教学内容按照教学大纲安排，共计6个部分，每个部分关联课本相应章节，确保教学内容的科学性和系统性。

教学过程中，教师需结合课程目标，合理安排教学进度，指导学生深入理解蜜蜂相关知识。