高等数学(同济大学版)第四章练习(含答案)

习题4-1(A)1、什么是)(x f 的原函数？原函数与函数的导数以及不定积分有什么关系？解答：见书上定义。

原函数的全体就是函数的不定积分。

原函数是一个函数，不定积分适宜个函数的集合。

2、证明x x 22cos sin −及x 2cos 21−都是同一个函数的原函数，试分析为什么同一个函数会有几个不同的原函数？解：由于x x x x 2sin cos sin 2)(sin 2==′）x x x x 2sin cos sin 2)(cos 2==′x x 2sin )2cos 21(=′−所以他们都是x 2sin 的原函数。

因为一个函数的原函数有无穷多个，即当)(x F 是)(x f 的原函数时，C x F +)(也是)(x f 的原函数时，其中C 为任意的常数。

3、利用基本公式求下列不定积分（1）、C x dx +−=−∫221（2）、=∫dx x 331=+⋅=∫C x dx x323233131=+C x 3221（3）、Cx dx x +−=+−∫arctan 112（4）、cx dx x++−∫arcsin 112（5）、dx e e xx ∫−−)(21C chx dx shx +==∫（6）、=∫dx ex x 2Ce e dx e x x +=∫2ln )2(2(（7）、Ce C e edx e dx e x x x x+⋅−=+==∫∫1211ln 1)1(1x（8）、dx x x∫2cos sin Cx dx x x +==∫sec tan sec （9）、C x x xdx x +−=∫csc cot csc cot （10）、C C dx xx x +−=+=∫33ln 31ln 31314、求下列不定积分（1）、Cx C x dx x x xx++=+⋅+=+∫3322332)32(（2）、Cxx x x dx x x x x ++−−=−+−∫322433121ln 4)1112(（3）、dx xx x ∫++332Cx x x dx x x x +++=++=∫−21225212362152)3(（4）、dx x x x ∫++)1(21222=+++=∫dx x x x x )1()1(2222C x x dx xx ++−=++∫arctan 1)111(22（5）、dx xx ∫−+4211Cx dx x+=−=∫arcsin 112（6）、dx e e x x ∫+−112Cx e dx e x x +−=−=∫)1(（7）、dx x x x∫−sin cos 2cos Cx x dx x x +−=+=∫sin cos )sin (cos （8）、∫−dx x x x )tan (sec sec C x x dx x x x +−=−∫sec tan )tan sec (sec 25、求解下列问题（1）、设曲线上点),(y x 处切线的斜率为)0(12>+x xx ，并且曲线经过点)2,1(−，求曲线的方程解：由题设有)0(1)(2>+=′x x x x f 所以2312)(2−−=x x x f 经过点)2,1(−有2121−=+−C 23−=C 所以Cx x dx xx x f +−=+=∫12)1()(22（2）、一个直线运动的物体，在t 时刻的运动加速度为1)(2+=t t a ，并且当0=t 时，速度为1)(=t v ，距离0)0(=s ，求物体的运动规律解：Ct t dt t dt t a t v ++=+==∫∫3)1()()(321)0(==C v ，所以13)(3++=t t t v Ct t t dt t t dt t v t s +++=++==∫∫2432112)13()()(0)0(==C s 所以tt t t s ++=242112)(（3）、某商品的需求量Q 是它的价格p 的函数，该商品的最大需求量为1000（即p=0时，Q=1000）,并且知道需求量的变化率为p p Q 31(3ln 1000)(⋅−=′，求该商品的需求函数解：∫′=dp p Q p Q )()(C p+−⋅−=3ln 131(3ln 1000C p +⋅=31(1000==1000)0(Q C +=1000，0=C 所以=)(p Q p )31(1000⋅=(B)1、计算下列不定积分（1）、=+∫dx x x 221C x x dx x+−==+−∫arctan 111(2（2）、dx x x ∫+)1(122=+−+=∫dx x x x x )1(12222C x x dx xx +−−=+−∫arctan 1)111(22（3）、dx x ∫2cot Cx x dx x +−−=−=∫cot )1(csc 2（4）、dx x ∫2sin 2C x x dx x +−=−=∫)sin (212cos 1（5）、dx x f ∫′+)](1[Cx f x ++=)(2、一个质点做直线运动，已经知道加速度为t t t a sin 312)(2−=，如果当0=t 时，初速度3,500==s v ，求该质点的运动速度，及运动方程解：Ct t t t dt t a t v ++=−==∫∫cos 34)sin 312()()(3252)0(=+=C v ，所以解得2==)(t v 2cos 34)(3++=t t t v C t t t dt t t dt t v t s ++−=++==∫∫2sin 3)2cos 34()()(433)0(==C s ，所以32sin 3)(4++−=t t t t s 3、生产某产品Q 个单位所需要的成本C 是Q 的函数，已经知道固定成本为20元，边际成本函数为102+=Q C M ，求总成本的函数)(Q C 解：CQ Q dQ Q Q C ++=+=∫10)102()(220)0(=C C 所以2010)(2++=Q Q Q C 4-2（A ）1、设)(x F 是)(x f 原函数，求下列各式的积分（1）、dx x f ∫)2(C x F x d x f +==∫)2(21)2()2(21（2）、dx x x f ∫)(2Cx F x d x f +==∫)(21)()](21222（3）、dx kx f ∫−)1()0()1(1)1()1(1≠+−−=−−−=∫k C kx F kkx d kx f k （4）、=∫dx x x f )ln 2(Cx F x d x f +=∫)ln 2(21)ln 2()ln 2(21（5）、xdx x f sin )2(cos ∫−C x F x d x f +−−=−−−=∫)2(cos )2(cos )2(cos （6）、dxx x f ∫−2sec )2tan 3(c x F x d x x f +−=−−=∫)2tan 3(31)2tan 3(sec )2tan 3(312（7）、dx e e f x x∫−−+)1(Ce F e d ef x x x ++−=++−=−−∫)1()1()1(（8）、dx x x f ∫+−21)arctan 1(C x F x x d xx f +−−=−+−−=∫)arcsin 1()arcsin 1(1)arctan 1(22、设∫=dx x f I )(，如果做变换)(t x ϕ=后得到∫′=dt t t f I )()]([(ϕϕ，则按下列给出的条件写出换元后的积分（1）、t x dx ee I xxln ,1=+=∫解：设t x ln =，有dttdx 1=C e C t dt t dt t t t dx ee I x x x ++=++=+=⋅+=+=∫∫∫)1ln()1ln(11111（2）、)0(,,12+∞<≤=+=∫t t x dx xx I 解：设tdtdx t x 2,2==Ct t t t dt t t t dt t t I ++−+−=+−+−=+=∫∫)1ln(2232)111(2122323C x x x x ++−+−=)1ln(223223)0(+∞<≤t 3（3）、)0(,cos 2,44122π<<=−−+=∫t t x dx xx I 解：设tdtdx t x sin 2,cos 2−==C x xC t t dt t tdt t t I +−=+−=+=+=∫∫2arccos cos 2)sin 21(sin 2sin 2sin 21（4）、,1,121163+=−+−+=∫t x dx x x I （或者t x =−61）解：设dtt dx t x 566,1=+=dt t tt I 523621⋅++=∫（5）、t x dx x x I tan ,)1(323=+=∫（或者t x =−61）解：tdt dx t x 2sec ,tan ==，tdt t t I 2323sec )(sec )(tan ∫=tdt tt ∫=43sec tan dt t t ∫=cos sin 3（6）、tx x dx xxI 1),10(,11=<<−=∫解：设dt tdx tx 21,1−===−−⋅=∫dt t t t t I )1(122∫−−12t dt3、求下列不定积分（1）、dx x ∫−5)13(C x x d x +−=−−=∫65)13(181)13()13(31（2）、dx e x ∫−4Ce x x d e x x +−=−−=−−∫4441)4(41（3）、dx x x ∫−52)5(52122−−=∫x d x Cx x +−−=5)5(3122（4）、dt t t ∫−3325Ct t d t +−=−−=∫−3233313)5(21)5()5(31（5）、dx x x∫2cos 12C x x d x +−=−=∫2sin 21)2(1cos 21（6）、dx xx ∫−arcsin 112Cx x d x+==∫)ln(arcsin )(arcsin arcsin 1（7）、dx x x ∫−1tan cos 12Cx x d x +−=−−=∫1tan 2)1(tan 1tan 1（8）、dx x x ∫2ln 1=C x x d x+−=∫ln 1)(ln ln 12（9）、dx x x ∫+462Cx x d x +=+=∫2arctan 612(2(11613323（10）、dx x ∫−29161C xx d x+=−⋅=∫43arctan 31)43()43(1134412（11）、dx x x ∫sin cos 5C x x xd +−=−=∫65cos 61)(cos cos （12）、dx x x ∫33sin cos Cx x x d x x +−=−=∫6432sin 61sin 41)(sin sin )sin 1(（13）、dx x x ∫+3sin 2cos Cx x d x ++=++=∫)3sin 2ln()3sin 2(3sin 21（14）、dx x x x ∫+2sin sin cos 32C x x d x ++=++=∫)2ln(sin 31)2(sin 2sin 131333（15）、dxxx ∫+1解：设tdtdx t x 2,2==dx x x∫+1C t t t t dt t t t t tdt t ++−+−=+−+−=+⋅=∫∫)1ln(2232111(2122322C x x x x x ++−+−=)1ln(2232（16）、dxxx ∫−−+22441解：设tdtdx t x cos 2,sin 2==dx x x ∫−−+22441C t t tdt t t ++=⋅+=∫sin 2cos 2cos 2cos 21Cx x++=2arcsin （17）、dx xx x ∫+−441解：设dtt dx t x 344,==dx x x x ∫+−4341C t t t dt t t dx t t t t +++−=++−=⋅+−=∫∫)1ln(882122(44)1(1232Cx x x +++−=)1ln(88244（18）、dxx ∫++3211解：设tdtdx t x ==+,32=++∫dx x 3211=+∫t tdt 1Cx x C t t dt t +++−+=++−=+−∫)321ln(32)1ln(111((B)1、求下列不定积分（1）、dx x x ∫+2sin 12sin Cx xx d ++=++=∫222sin 12sin 1)sin 1(（2）、=−∫dx xx4cos 12sin Cx dx x x d +=−−∫)arccos(cos )(cos 1)(cos 2222（3）、dx x x x ∫+−21arctan −+=∫dx x x 21dxx x∫+21arctan −+=∫)(112122x d x ∫)(arctan arctan x xd C x x +−+=22)(arctan 21)1ln(21（4）、Cx x x x x x d dx x x x +−==+∫∫ln 1)ln ()ln ()ln (ln 122（5）、C x x dx x x xd cox dx x x +−=+⋅−=∫∫∫5sin 101sin 21cos 21)5(551213sin 2sin （6）、dx x x ∫2cos 3sin Cx x dx x x xd +−−=+⋅=∫∫5cos 101cos 21sin 21)5(5sin 5121（7）、dx x x ∫sec tan 3Cx x x d x +−=−=∫sec sec 31)(sec )1(sec 32（8）、Cx x d x dx x x x +==∫∫433)tan (ln 41)tan (ln )tan (ln cos sin )tan (ln （9）、dx x x x ∫+++32321C x x x x d x x +++=++++=∫322232)32(43)32(32121（10）、dx x x x ∫+)1(arctan C x x d x +==∫2arctan )(arctan arctan 2（11）、dx x x x ∫++542dx x x x ∫++−+=54442212dx x x x x d ∫++++=54)54(212dx x x d ∫+++−1)2()2(22C x x x ++−++=)2arctan(2)54ln(212（12）、dx x x x ∫−−542dx x x x ∫−−+−=54442212dx x x x x d ∫−−−−=54)54(2122dx x x ∫+−+)1)(5(12dx x x x x d ∫−−−−=54)54(2122dx x x 1151(31+−−+∫C x x x x ++−+−−=15ln 31)54ln(212C x x x x ++−−+++−=)1ln(31)5ln(31)1ln(21)5ln(21C x x +++−=)1ln(61)5ln(652、求下列不定积分（1）、dxx ∫++3211解：设dtt dx t x t x 2333,2,2=−==+dx x ∫++3211dt t t ∫+=132∫++−=dt tt )111(3C t t t ++−−=)1ln(33232C x x x +++−+−++=)21ln(3)2(3)21(23331323（2）、dxx ∫−29解：设tdtdx t x cos 3,sin 3==dx x ∫−29C t t dt t dt t ++=+==∫∫2sin 4929)2cos 1(29cos 92C x x x +−+=29213arcsin 29（3）、dxx x ∫++1)2(1解：设tdtdx t x t x 2.1,12=−==+dx x x ∫++1)2(1Cx C t dx t t t++=+=+=∫1arctan 2arctan 2)1(22（4）、dxx x ∫−−−412121解：设dtt dx t x 342,12==−dx x x ∫−−−412121dt t t t ∫−=)1(23C t t t dt t t +−++=−++=∫)1ln(22)11122Cx x x +−−+−+−=)112ln(21221244（5）、dxx ∫−232)1(1解：设dxtdt t x ==cos ,sin dx x ∫−232)1(1C xxC t t tdt +−=+==∫231tan cos cos （6）、dxxa x∫−221解：设dxtdt a t a x =−=sin ,cosdx x a x∫−221Ct t at a t a tdt a +−=⋅−=∫tan sec ln 1cos sin sin C xx a a a +−−=22ln 1（7）、dxx a ∫+2322)(1解：设tdta dx t a x 2sec ,tan ==dx x a ∫+2322)(1C t a t a tdt a +==∫sin 1sec sec 2332C x a x a ++⋅=2221（8）、dxex∫+11解：设12,1,122−=−==+t tdtdx t e t e x x dx e x ∫+11C t t dt t t t ++−=−=∫11ln )1(22C e e x x +++−+=1111ln 3、设)(x F 是)(x f 的原函数，求下列不定积分（1）、dx x x f ∫cos )sin 2(C x F t d x f +==∫)sin 2(21)sin 2()sin 2(21（2）、dx x x f ∫−)1(2Cx F x d x f +−−=−−−=∫)1(21)1()1(21222（3）、xdx xx f tan cos )(tan 22∫C x F x d x f +==∫)(tan 21)(tan )(tan 21222（4）、dx x F x f ∫+)(1)(2Cx F x F x F d +=+=∫)(arctan )(1)((24-3（A ）1、求下列积分（1）、∫xdx x sin C x x x xdx x x +−=+−=∫cos sin cos cos （2）、dx xx ∫2cos C x x x dx x x x ++=−=∫2cos 42sin 22sin 22sin2（3）、=⋅−=∫∫dx x x x x dx xx123ln 23ln 32323dxx x x ∫−−313223ln 23C x x +−=)3ln 2(4332（4）、)1(ln ≠∫n xdx x n ∫+−+=+dx x n x x n n n 11ln 111C x n x x n n n ++−+=++121)1(1ln 11（5）、∫−dx xe x ∫−−+−=dx e xe x x =+−−=−−C e xe x x C x e x ++−=−)1(（6）、∫+dx x x )1sin(∫+++−=dx x x x )1cos()1cos(++−+=)1cos()1sin(x x x （7）、∫xdx x cos 2∫−=xdx x x x sin 2sin 2]cos cos 2[sin 2∫+−−=xdx x x x x Cx x x x ++−=cos 2sin )2(2（8）、∫dx x x 2cos 22∫+⋅=dx x x 2cos 12xdx x dx x cos 212122∫∫+=dx x x x x x ∫−+=sin sin 216123]cos cos [sin 216123dx x x x x x x ∫+−−+=C x x x x x x +−++=sin cos sin 216123C x x x x x ++−+=cos sin )121(6123（9）、∫−xdx x 2sin )1(2∫∫−=xdxxdx x 2sin 2sin 2x xdx x x x 2cos 212cos 2cos 212++−=∫x xdx x x x x 2cos 212sin 212sin 212cos 212+−+−=∫C x x x x x x ++++−=2cos 212cos 412sin 212cos 212C x x x x ++−−=2sin 212cos )43(212（10）、∫+dx x )1ln(2∫+−+=dx x x x x 22212)1ln(=+−−+=∫dx xx x )122()1ln(22C x x x x ++−+=arctan 22)1ln(2（11）、∫xdx arctan ∫+−=dx xx x x 21arctan ∫++−=221)1(21arctan x x d x xC x x x ++−=)1ln(21arctan 2（12）、∫xdx arccos ∫−+=dxx xx x 21arccos ∫−+=dt t tt x x )sin (sin cos arccos C t x x ++=sin arccos Cx x x +−+=21arccos （13）、∫−dx e x x 2∫−−+−=dx xe e x x x 22∫−−−+−−=dx e xe e x x x x 222C e x x x +++−=−)22(2（14）、∫dx e x ∫=dt te t 2∫−=dt e te t t 22C e t t +−=)1(2C ex x +−=)1(2（15）、∫++dx x x )1ln(2dx x x x x x ∫+−++=221)1ln(∫++−++=2221)1(21)1ln(x x d x x x Cx x x x ++−++=221)1ln(（16）、∫−xdx e x cos I ==I ∫−xdx e x cos ∫−−+=xdx e x e x x sin sin ∫−−−−−=xdx e x e x e x x x cos cos sin =I Ix e x e x x −−−−cos sin =I C x x e x +−−)cos (sin 21(B)1、求下列积分（1）、∫dx x 2)(ln ∫−=xdx x x ln 2ln 2∫+−=dx x x x x 2ln 2ln 2Cx x x x x ++−=2ln 2ln 2（2）、∫+dx x x )1ln(2∫+−+=dx x x x x 23221)1ln(2∫+−−+=dx x x x x x 1()1ln(2222C x x x x x +++−+=)1ln(21)1ln(22222C x x x +−++=2)1ln(21222（3）、∫xdx x arctan ∫+−=dx x x x x 222121arctan 2∫+−−=dx xx x 111(21arctan 222C x x x x ++−=arctan 212arctan 22C x x x +−+=2arctan 212（4）、∫dx x x )ln(ln )(ln ln 1ln )ln(ln ln )(ln )ln(ln x d x x x x x d x ∫∫⋅−==C x x x +−=ln )ln(ln ln Cx x +−=]1)[ln(ln ln （5）、∫dx ex 3∫=dt e t t 23∫−=dt te e t t t 632∫+−=dt e te e t t t t 6632C e te e t t t t ++−=6632C ex x x ++−=3)22(3332（6）、∫−dx x e x 2sin 2∫−=dx x e I x 2sin 2∫−−+−=dx x e x e x x 2cos 412sin 2122∫−−−−−+−=dx x e x e x e x x x 2sin 161)2cos 21(412sin 21222=I I x e x e x x 1612cos 812sin 2122−−−−−C e x x x ++−=−2]2cos 2sin 4[172（7）、∫xdx x 2cos ∫∫−+=+=x x x x dx x x x 2sin 412sin 4141)2cos (212C x x x x +++=2cos 812sin 41412（8）、∫dx x x 2cos C x x x xdx x x ++=−=∫cos ln tan tan tan （9）、∫xdx x arctan 2∫+−=dx x x x x 233131arctan 3∫+−−=dx xx x x x )1(31arctan 323C x x x x +++−=)1ln(616arctan 32232、设)(x F 是)(x f 的原函数，求∫′dx x f x )(解：∫∫−=′dx x f x xf dx x f x )()()(C x F x xf +−=)()(3、求∫−′′dx x f x )1(解：∫−′′dx x f x )1(∫−′+−′−=dx x f x f x )1()1(Cx f x f x +−−−′−=)1()1(。

第四章 习题解答习 题 4-11.求下列不定积分：(1)；(2) 2(23)d x x x +⎰；(3)⎰+)1(d 22x x x；(4) 2cot d x x ⎛⎫+⎪⎭⎰；(6) 21(1)x x -⎰； (7)1d 1cos 2xx +⎰；(9)221d sin cos x x x ⎰；(10){}max ||,1d x x ⎰.2.设某曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，又知该曲线通过原点，求此曲线方程.3.验证函数21sin 2x ，21cos 2x -，1cos 24x -是某同一函数的原函数.解答：1.求下列不定积分： （1）解53225125212d 1()3x x x C x C --+-==+=-++-⎰． （2）解：⎰+x x xd )32(2C xx x +3ln 29+6ln 62+2ln 24=（3）=+-=+⎰⎰⎰22221d d )1(d x x x x x x x C x x+--arctan 1(4) 解：⎰⎰⎰-+-=+-x x x x x x x d )1(csc d 11d )cot 11(2222=C x xx +cot arcsin（5）1131352222222242(2)d 235x x x x x x x x x C -==-+=-++⎰⎰(6) 33571244444214(1)(1)d ()d 47x x x x x x x x x C x ----=-⋅=-=++⎰⎰⎰(7) 解2111d d tan 1cos 22cos 2x x x C x x ==++⎰⎰ (8) 解：⎰x x x x d sin cos 2cos 22⎰⎰-=-=x xx x x x x x d )cos 1sin 1(d sin cos sin cos 222222 C x x +--=tan cot(9) 解：222222221sin cos 11d d d d sin cos sin cos cos sin x x x x x x x x x x x x +==+⎰⎰⎰⎰ 22sec d csc d tan cot x x x x x x C =+=-+⎰⎰(10) 解：},,1max{)(x x f =设⎪⎩⎪⎨⎧>≤≤--<-=1,11,11,)(x x x x x x f 则.上连续在),()(+∞-∞x f ，)(x F 则必存在原函数，1>,+211≤≤1,+1<,+21=)(32212x C x x C x x C x x F 须处处连续，有又)(x F)+21(lim =)+(lim 121→21→+C x C x x x ，,21112C C +-=+-即 )(lim )21(lim 21321C x C x x x +=+-+→→ ，,12123C C +=+即 ,1C C =联立并令.1,2132C C C C +==＋可得.1,12111,211,21},1max{22⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++≤≤-++-<+-=⎰x C x x C x x C x dx x 故2. 解：设所求曲线方程为)(x f y =，其上任一点),(y x 处切线的斜率为3d d x xy=，从而 ⎰+==C x x x y 4341d .由0)0(=y ，得0=C ，因此所求曲线方程为441x y =. 3.解：x 2sin 21x x cos sin =， x x x sin cos cos 212='⎪⎭⎫ ⎝⎛- x x x x cos sin 2sin 212cos 41=='⎪⎭⎫⎝⎛-所以x 2sin 21、 x 2cos 21-、 x 2cos 41-都是x x cos sin 的原函数.习 题 4-2 1.求下列不定积分： (1) 1d 12x x -⎰; (2) 100(23)d x x -⎰;(3) 12ed xx x ⎰; (4)211sin()d x x x ⎰;(5) ⎰-294d x x;(7) 1d ln lnln x x x x⎰;(8)x e x d 11⎰+;(9)⎰+3xx dx ; (10)x x x x x d )cos 2(sin sin 2cos 2⎰+-; (11)3cos d x x ⎰; (12)⎰+x x d 412;(14)2sin d cos 6cos 12x xx x -+⎰;(15)x ; (16) dx x ⎰5cos(17) ⎰x x x d cos sin 52(18)cos5sin 4d x x x ⎰;(19)⎰+x xx d sin 1sin ; (20)x exd 112⎰+(21) xx ⎰;(22)x x⎰. 2. 求下列积分： （1） sin 2d x x x ⎰；（2）⎰-x e x xd 2；（3）()⎰-x x x d 1ln ；（4）(31)sin 3d x x x +⎰； （5）x x d sin3⎰；（6） e sin 2d x x x -⎰； （7） 2arctan d x x x ⎰；（8） 2cos d x x x ⎰；（9）x ；（10）⎰x x e xd sin ；（11）3csc d x x ⎰；（12）()d xf x x ''⎰.3.已知x x f 22tan )(sin ='，求函数)(x f .4. 已知xe xf -=)(，求不定积分⎰'x xx f d )(ln . 5. 求e d n xn I x x =⎰的递推公式，其中n 为自然数，并计算2I 的值．6. 已知)(u f 有二阶连续的导数，求∫d )e (′′e2x f x x；解答：1.求下列不定积分：(1) 解： 令2u x =，有2sin 2d sin 2(2)d sin d cos x x x x x u u u C '===-+⎰⎰⎰，将2u x =回代，得2sin 2d x x ⎰cos 2x C =-+. (2) 解 10010010111(23)d (23)d(23)(23)3303x x x x x C -=---=--+⎰⎰ (3) 解：⎰x xexd 21C e x e x x +=)1-d( =11∫(4) 解：211111sin()d sin d()cos x C x x x x x=-=+⎰⎰ (5) 解：=-⎰294d x xc xx x x x +|323+2|ln 121=d 321+3+2141∫ (6) 解：x x x x d )ln (ln 12⎰+C xx x x x x +-==⎰ln 1)ln d()ln (12(7) 解：x x x x d ln ln ln 1⎰C x x x x x x +===⎰⎰ln ln ln )ln d(ln ln ln 1)d(ln ln ln ln 1(8) 解：x ee x e e e x e xxx x x x d )11(d 11d 11⎰⎰⎰+-=+-+=+=C e x x ++-)1ln( (9) 解 令)0( 6>=t t x ，则⎰⎰+=+23536t t dtt x x dxdt tt t )111(62⎰+-+-=C t t t t ++-+-=))1ln(23(623C x x x x ++-+-=)1ln(6 6 32663(10) 解：)cos 2+(sin d )cos 2+(sin 1 =d )cos 2+(sin sin 2cos∫∫22x x x x x x x x x =C xx ++-cos 2sin 1(11) 解：⎰x x d cos 3⎰=x x x d cos cos 2)d(sin sin 12⎰-=x x C xx +-=3sin sin 3 (12) 解：∫∫2d 2+1121=d +4122x xx x =C x +2arctan 21. (13)解：2x 231arcsin d(arcsin )(arcsin )3x x x C ==+⎰．(14)解：22sin d d(cos 3)cos 6cos 12(cos 3)3x x x C x x x -=-=-+-+⎰⎰ (15) 解：x x x xd )1(arctan ⎰+)d()(1arctan 2d 1arctan 22x x xx x x ⎰⎰+=+=C x x x +==⎰2)(arctan)d(arctan arctan2(16) x x x x x x sin d )sin -1( =sin d cos =d cos ∫∫∫2245=C x x x ++-52sin 51sin 32sin .(17) ⎰⎰⎰+-=-=x x x x x x x x x x sin d )sin sin 2(sin sin d )sin 1(sin d cos sin 64222252c x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31 (18) 解：C x x x x x x x x ++-=-=⎰⎰cos 219cos 181d 2sin 9sin d 4sin 5cos (19) 解：∫∫∫d )tan +sec (tan =d sin -1)sin +1(sin =d sin +1sin 22x x x x x xx x x x x ⎰-+=x x x x d )1sec sec (tan 2=C x x x +-+tan sec .(20) 解：令)1ln(212-=t x ，则t t t x d 1d 2-=，于是C t t t t t t t t x ex ++-=-=-⋅=+⎰⎰⎰11ln 21d 11d 11d 11222 =C x e e x x +-++-)212ln(2122(21) 解：设sin (0)2x a t t π=<<，d cos d x a t t =，则22421sin cos cos d sin 2d 4x x a t a t a t t a t t =⋅⋅=⋅⎰⎰⎰ 444111(1cos 4)d sin 48832a t t a t a t C =-=-+⎰ 44211sin cos (12sin )88a t a t t t C =--+42211arcsin 2)88x a a x C a =--+． (22) 解：令sec x a t =，d sec tan d x a t t t =⋅，则22tan sec tan d tan d (sec 1)d sec a t a t t t a t t a t t a t =⋅⋅==-⎰⎰⎰ (tan )a t t C =-+arccos )a a C x=-+．2.求下列不定积分（1）解：⎰x x x d 2sin )2cos d(21⎰-=x x ⎰+-=x x x x d 2cos 212cos 2 C x x x ++-=2sin 412cos 2（2）解：⎰-x e x x d 2⎰⎰---+-=-=x xe e x e x xx x d 2d 22⎰⎰-----+--=--=x e xe e x e x e x xx x x x d 22d 222C e xe ex x x x+---=---222（3）解：()⎰-x x x d 1ln ()⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2d 1ln 2x x()⎰---=x x x x x d 11211ln 222 ()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-++--=x x x x x d 111211ln 22()()C x x x x x +-----=1ln 2121411ln 222（4）(31)sin 3d x x x +⎰1(31)d(cos3)3x x =+-⎰ 1(31)cos3cos3d 3x x x x =-++⎰11(31)cos3sin 333x x x C =-+++.（5）解：令t x =3，则3t x =，t t dx d 32=原式⎰⎰-=⋅=t t t t t cos d 3d 3sin 22∫∫sin d 6+cos 3=d 2cos 3+cos 3=22t t t t t t tt t⎰-+-=t t t t t t d sin 6sin 6cos 32C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32C x x x x x +++-=333332cos 6sin 6cos 3（6）解：因为⎰-x x e x d 2sin ⎰--=x e x d 2sin )2d(sin 2sin ⎰--+-=x e x e xx)d(2cos 22sin ⎰----=x x e x x e )2d(cos 22cos 22sin ⎰---+--=x e x e x e x x x⎰------=x x e x e x e x x x d 2sin 42cos 22sin于是⎰-x x exd 2sin C xe x e x x +--=--52cos 22sin（7）解：⎰x x x d arctan 2⎰⎰-==x x x x x x arctan d 3arctan 33d arctan 333∫d +131arctan 3=233x x x x x ⎰+-+-=x x xx x x x d 131arctan 3233 C x x x x +++-=)1ln(31arctan 3223 （8）解：⎰x x x d cos 2⎰⎰+=+=x x x x x x xd )2cos (21d 22cos 1⎰+=x x x x d 2cos 2142 ⎰+=x x x 2sin d 4142⎰-+=x x x x x d 2sin 412sin 4142 C x x x x +-+=2cos 812sin 4142 （9）解：⎰x x xd arcsin 1⎰⎰-==x x x x x x arcsind 2arcsin2d arcsin2∫d 11arcsin 2=x xxx C x x x +-+=12arcsin 2 （10）解：e sin d sin d e x xx x x =⎰⎰e sin e d sin x x x x =-⎰e sin e cos d x x x x x =-⎰e sin cos d e x x x x =-⎰e sin (e cos e d cos )x x x x x x =--⎰ e sin e cos e sin d x x x x x x x =--⎰.因此得2e sin d e (sin cos )x xx x x x =-⎰.即1e sin d e (sin cos )2xxx x x x C =-+⎰.（11）解：32csc d csc (csc )d csc d(cot )x x x x x x x ==-⎰⎰⎰2csc cot cot csc d x x x x x =--⋅⎰3csc cot csc d csc d x x x x x x =--+⎰⎰ 3csc cot csc d ln csc cot x x x x x x =--+-⎰，从而 31csc d (csc cot ln csc cot )2x x x x x x C =---+⎰（12）解 ⎰''x x f x d )(C x f x f x x x f x f x x f x +-'='-'='=⎰⎰)()(d )()()(d3.已知x x f 22tan )(sin ='，求函数)(x f .解 依题求得xx x f -='1)(，因此 C x x x x xx x x x f +---=--=-=⎰⎰⎰|1|ln d d 11d 1)(. 4. 已知xe xf -=)(，求不定积分⎰'x xx f d )(ln . 解=+='='⎰⎰C x f x x f x xx f )(ln ln d )(ln d )(ln C x +1.5. 解 11e d de e e d e n x n x n x n x n xn n I x x x x n x x x nI --===-=-⎰⎰⎰，即1e n x n n I x nI -=-为所求递推公式．而221e 2x I x I =-，11e d de e e d e e x x x x x xI x x x x x x C ===-=-+⎰⎰⎰，故22(22)e x I x x C =-++．(12C C =-)6. 解⎰''x f x xd )e (e2()⎰''=x x x f e d )e (e []⎰'=)e (d e x x f⎰'-'=)e (d )e ()e (e x x xx f f C f f x x x +-'=)e ()e (e习 题 4-31. 求下列积分： （1） sin 2d x x x ⎰；（2）⎰-x e x xd 2；（3）()⎰-x x x d 1ln ；（4）(31)sin 3d x x x +⎰； （5）x x d sin3⎰；（6） e sin 2d x x x -⎰； （7） 2arctan d x x x ⎰；（8） 2cos d x x x ⎰；（9）x ；（10）⎰x x e xd sin ；（11）3csc d x x ⎰；（12）()d xf x x ''⎰.2. 求e d n xn I x x =⎰的递推公式，其中n 为自然数，并计算2I 的值．3. 已知)(u f 有二阶连续的导数，求⎰''x f x xd )e (e2；解答1.求下列不定积分 （1）解：⎰x x x d 2sin )2cos d(21⎰-=x x ⎰+-=x x x x d 2cos 212cos 2 C x x x ++-=2sin 412cos 2（2）解：⎰-x e x x d 2⎰⎰---+-=-=x xe e x e x xx x d 2d 22⎰⎰-----+--=--=x e xe e x e x e x xx x x x d 22d 222C e xe ex x x x+---=---222（3）解：()⎰-x x x d 1ln ()⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=2d 1ln 2x x()⎰---=x x x x x d 11211ln 222()⎰⎪⎭⎫⎝⎛-++--=x x x x x d 111211ln 22()()C x x x x x +-----=1ln 2121411ln 222（4）(31)sin 3d x x x +⎰1(31)d(cos3)3x x =+-⎰ 1(31)cos3cos3d 3x x x x =-++⎰11(31)cos3sin 333x x x C =-+++.（5）解：令t x =3，则3t x =，t t dx d 32=原式⎰⎰-=⋅=t t t t t cos d 3d 3sin 22∫∫sin d 6+cos 3=d 2cos 3+cos 3=22t t t t t t tt t⎰-+-=t t t t t t d sin 6sin 6cos 32C t t t t t +++-=cos 6sin 6cos 32C x x x x x +++-=333332cos 6sin 6cos 3（6）解：因为⎰-x x e x d 2sin ⎰--=x e x d 2sin )2d(sin 2sin ⎰--+-=x e x e xx)d(2cos 22sin ⎰----=x x e x x e )2d(cos 22cos 22sin ⎰---+--=x e x e x e x x x ⎰------=x x e x e x e x x x d 2sin 42cos 22sin于是⎰-x x exd 2sin C xe x e x x +--=--52cos 22sin（7）解：⎰x x x d arctan 2⎰⎰-==x x x x x x arctan d 3arctan 33d arctan 333∫d +131arctan 3=233x x x x x ⎰+-+-=x x xx x x x d 131arctan 3233 C x x x x +++-=)1ln(31arctan 3223 （8）解：⎰x x x d cos 2⎰⎰+=+=x x x x x x xd )2cos (21d 22cos 1⎰+=x x x x d 2cos 2142⎰+=x x x 2sin d 4142⎰-+=x x x x x d 2sin 412sin 4142 C x x x x +-+=2cos 812sin 4142 （9）解：⎰x x xd arcsin 1⎰⎰-==x x x x x x arcsind 2arcsin2d arcsin2∫d 11arcsin 2=x xxx C x x x +-+=12arcsin 2 （10）解：e sin d sin d e x xx x x =⎰⎰e sin e d sin x x x x =-⎰e sin e cos d x x x x x =-⎰e sin cos d e x x x x =-⎰e sin (e cos e d cos )x x x x x x =--⎰ e sin e cos e sin d x x x x x x x =--⎰.因此得2e sin d e (sin cos )x xx x x x =-⎰.即1e sin d e (sin cos )2xxx x x x C =-+⎰. （11）解：32csc d csc (csc )d csc d(cot )x x x x x x x ==-⎰⎰⎰2csc cot cot csc d x x x x x =--⋅⎰3csc cot csc d csc d x x x x x x =--+⎰⎰ 3csc cot csc d ln csc cot x x x x x x =--+-⎰，从而 31csc d (csc cot ln csc cot )2x x x x x x C =---+⎰（12）解 ⎰''x x f x d )(C x f x f x x x f x f x x f x +-'='-'='=⎰⎰)()(d )()()(d2. 解 11e d de e e d e n x n x n x n x n xn n I x x x x n x x x nI --===-=-⎰⎰⎰，即1e n x n n I x nI -=-为所求递推公式．而221e 2x I x I =-，11e d de e e d e e x x x x x xI x x x x x x C ===-=-+⎰⎰⎰，故22(22)e x I x x C =-++．(12C C =-)3. 解⎰''x f x x d )e (e 2()⎰''=x x x f e d )e (e []⎰'=)e (d e x x f⎰'-'=)e (d )e ()e (e x x xx f f C f f x x x +-'=)e ()e (e ．习题4-4求下列不定积分：(1)23d 56x x x x +-+⎰； (2)21d (1)x x x -⎰；(3)22d (1)(1)xx x x +++⎰； (4)3224d 56x x x x x +++⎰．x x x d )+1(1 5∫28）（； （6）2d 3sin xx+⎰；（7）⎰++311d xx(8)sin d 1cos x xx x ++⎰.解答 (1) 解233(3)(2)56(2)(3)23(2)(3)x x A B A x B x x x x x x x x x ++-+-==+=-+------，即3(3)(2)x A x B x +=-+-，比较系数知1323A B A B +=⎧⎨--=⎩(或者用赋值法：分别在3(3)(2)x A x B x +=-+-中令3x =与2x =，也可解出A 与B )，解之得56A B =-⎧⎨=⎩，于是62356d ()d ln(3)5ln 25623x x x x x C x x x x +-=+=---+-+--⎰⎰65(3)ln 2x C x -=+-．(2) 解 令221(1)1(1)A B Cx x x x x =++---，用待定系数法或者用赋值法可求出1A =，1B =-，1C =，故221111d []d (1)1(1)x x x x x x x =-+---⎰⎰2111d d d 1(1)x x x x x x =-+--⎰⎰⎰1ln ln 11x x C x =---+-． (3) 解 因为222211(1)(1)11x x x x x x x x -+=+++++++，所以 2222d 1()d (1)(1)11x x x x x x x x x x -+=+++++++⎰⎰222221d(1)1d(1)1d 212121x x x x x x x x x +++=-+++++++⎰⎰⎰2221d()1112ln(1)ln(1)13222()24x x x x x +=-+++++++⎰2211ln 21x C x x +=-++++．(4) 解 由于32224615656x x x x x x x x +-=--++++ 98132x x x =--+++，则 322498d (1)d 5632x x x x x x x x x +=--+++++⎰⎰219ln 38ln 22x x x x C =--++++． （5）解 ⎰⎰⎰+=+=+2888288728)1()1()1(1x x dx dx x x x dx x x =C xx +)1+1ln(+118188（6）解⎰+x x 2sin 3d ⎰-=x x 2cos 7d 2x u tan =⎰+243d u u ⎰+=2)32(1d 31u uC x +=3tan 2arctan 321（7）解 ⎰++311d xx31x t +=⎰+t t t 1d 32t t t d )111(3⎰++-=C t t t +++-=1ln 232 (8)解 注意到sin d d(1cos )x x x =-+及211d d d(tan )1cos 22cos2xx x x x ==+，可将原来的积分拆为两项，然后积分，即sin sin d d d 1cos 1cos 1cos x x x x x x x x x x +=++++⎰⎰⎰1d(tan )d(1cos )21cos x x x x=-++⎰⎰tantan d ln(1cos )22x xx x x =--+⎰1tan 2ln cos ln(1cos )22x xx x C =+-++21tan 2ln cos ln(2cos )222x x xx C =+-+1tan (ln 2)2x x CC C =+=-．习题4-5利用积分表计算下列不定积分： （1）；（2）3ln d x x ⎰； （3）221d (1)x x +⎰；（4）；（5）x x ⎰； （6）（7） 6cos d x x ⎰；（8）2e sin3d x x x -⎰.解答 （1）解：因为⎰+-245d xx x ⎰-+-=2)2(1)2d(x x在积分表中查得公式（73）C a x x a x x +++=+⎰)ln(d 2222现在1=a ，2-=x x ，于是⎰+-245d x x xC x x x +-+-+=)245ln(2（2）⎰x x d ln 3解：在积分表中查得公式（135）⎰⎰--=x x n x x x x n n n d ln )(ln d ln 1 现在3=n ，重复利用此公式三次，得⎰x x d ln3C x x x x x x x +-+-=6ln 6ln 3ln 23.（3）=+⎰x x d )1(122解：在积分表中查得公式（28）⎰⎰+++=+bax xb b ax b x x ax b 2222d 21)(2d )(1 于是现在1=a ，1=b ，于是=+⎰x x d )1(122 C x x xx x x x +++=+++⎰arctan )1(21d 21)1(2222 （4）⎰-1d 2x xx解：在积分表中查得公式（51）C xaa x ax x+=-⎰arccos 1d 12 于是现在1=a ，于是⎰-1d 2x xx C x+=1arccos（5）x x x xd 222-⎰解：令1-=x t ，因为x x x xd 222-⎰x x x d 1)1(22--=⎰t t t t d 1)12(22-++=⎰由积分表中公式（56）、（55）、（54）C a x x a a x a x x x a x x+-+---=-⎰2222222222ln 8)2(8dC a x x a x x +-=-⎰32222)(31dC a x x a a x x x a x +-+--=-⎰2222222ln 22d于是x x x x d 222-⎰2222)1())1(2[81a x a x x -----= C a x a x x a +--+--+--322222])1[(31)1(1ln 85. （6）⎰-12d 2x xx解：在积分表中查得公式（16）、（15）⎰⎰+-+-=+b ax x xb a bx b ax b ax xxd 2d 2C bbax b bax xx +-+-=+⎰arctan2d 于是现在2=a ，1-=b ，于是=-⎰12d 2x x x⎰-+-12d 12x x xx x C x x x +-+-=12arctan 212 （7） ⎰x x d cos 6解：在积分表中查得公式（135）⎰⎰----=x x nn x x n x x n n n d cos 1sin cos 1d cos 21 现在6=n ，重复利用此公式三次，得⎰x x d cos 6C x x x x •x x ++++=)22sin 41(2415sin cos 245sin cos 6135. （8）x x e xd 3sin 2⎰-解：在积分表中查得公式（128）C bx b bx a e ba x bx e axax +-+=⎰)cos sin (1d sin 22 现在2-=a ，3=b ，于是C x x e x x e axx+--=⎰-)3cos 33sin 2(131d 3sin 2 C x x e ax++-=)3cos 33sin 2(131复习题A一、选择题1. 设)(x F 是)(x f 的一个原函数，则等式（ ）成立。

第四章 不定积分前面讨论了一元函数微分学，从本章开始我们将讨论高等数学中的第二个核心内容：一元函数积分学．本章主要介绍不定积分的概念与性质以及基本的积分方法．第1节 不定积分的概念与性质1.1 不定积分的概念在微分学中,我们讨论了求一个已知函数的导数（或微分)的问题，例如,变速直线运动中已知位移函数为()s s t =,则质点在时刻t 的瞬时速度表示为()v s t '=．实际上，在运动学中常常遇到相反的问题，即已知变速直线运动的质点在时刻t 的瞬时速度()v v t =，求出质点的位移函数()s s t =．即已知函数的导数，求原来的函数．这种问题在自然科学和工程技术问题中普遍存在．为了便于研究，我们引入以下概念．1。

1。

1原函数定义1 如果在区间I 上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =， 那么函数()F x 就称为()f x 在区间I 上的原函数．例如,在变速直线运动中，()()s t v t '=,所以位移函数()s t 是速度函数()v t 的原函数； 再如，(sin )'cos x x =，所以sin x 是cos x 在(,)-∞+∞上的一个原函数．1(ln )'(0),x x x=>所以ln x 是1x在(0,)+∞的一个原函数． 一个函数具备什么样的条件，就一定存在原函数呢？这里我们给出一个充分条件．定理1 如果函数()f x 在区间I 上连续,那么在区间I 上一定存在可导函数()F x ，使对任一∈x I 都有()()'=F x f x ．简言之,连续函数一定有原函数．由于初等函数在其定义区间上都是连续函数,所以初等函数在其定义区间上都有原函数．定理1的证明，将在后面章节给出。

关于原函数，不难得到下面的结论：若()()'=F x f x ，则对于任意常数C ,()+F x C 都是()f x 的原函数．也就是说，一个函数如果存在原函数，则有无穷多个．假设()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则[()()]0'-≡F x x φ，必有()()φ-F x x =C ，即一个函数的任意两个原函数之间相差一个常数．因此我们有如下的定理:定理2 若()F x 和()φx 都是()f x 的原函数，则()()-=F x x C φ(C 为任意常数）． 若()()'=F x f x ，则()+F x C （C 为任意常数）表示()f x 的所有原函数．我们称集合{}()|F x C C +-∞<<+∞为()f x 的原函数族．由此，我们引入下面的定义．1。

第四章向量组的线性相关性1.设v 1=(1,1,0)T ,v 2=(0,1,1)T ,v 3=(3,4,0)T ,求v 1−v 2及3v 1+2v 2−v 3.解v 1−v 2=(1,1,0)T −(0,1,1)T=(1−0,1−1,0−1)T=(1,0,−1)T .3v 1+2v 2−v 3=3(1,1,0)T +2(0,1,1)T −(3,4,0)T=(3×1+2×0−3,3×1+2×1−4,3×0+2×1−0)T=(0,1,2)T .2.设3(a 1−a )+2(a 2+a )=5(a 3+a ),求a ,其中a 1=(2,5,1,3)T ,a 2=(10,1,5,10)T ,a 3=(4,1,−1,1)T .解由3(a 1−a )+2(a 2+a )=5(a 3+a )整理得)523(61321a a a a −+=])1 ,1 ,1 ,4(5)10 ,5 ,1 ,10(2)3 ,1 ,5 ,2(361T T T −−+==(1,2,3,4)T .3.已知向量组A :a 1=(0,1,2,3)T ,a 2=(3,0,1,2)T ,a 3=(2,3,0,1)T ;B :b 1=(2,1,1,2)T ,b 2=(0,−2,1,1)T ,b 3=(4,4,1,3)T ,证明B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示.证明由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=312123111012421301402230) ,(B A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−−971820751610402230421301 ~r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−531400251552000751610421301 ~r ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−000000531400751610421301 ~r 知R (A )=R (A ,B )=3,所以B 组能由A 组线性表示.由⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=000000110201110110220201312111421402~~r r B 知R (B )=2.因为R (B )≠R (B ,A ),所以A 组不能由B 组线性表示.4.已知向量组A :a 1=(0,1,1)T ,a 2=(1,1,0)T ;B :b 1=(−1,0,1)T ,b 2=(1,2,1)T ,b 3=(3,2,−1)T ,证明A 组与B 组等价.证明由,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=000001122010311112201122010311011111122010311) ,(~~r r A B 知R (B )=R (B ,A )=2.显然在A 中有二阶非零子式,故R (A )≥2,又R (A )≤R (B ,A )=2,所以R (A )=2,从而R (A )=R (B )=R (A ,B ).因此A 组与B 组等价.5.已知R (a 1,a 2,a 3)=2,R (a 2,a 3,a 4)=3,证明(1)a 1能由a 2,a 3线性表示;(2)a 4不能由a 1,a 2,a 3线性表示.证明(1)由R (a 2,a 3,a 4)=3知a 2,a 3,a 4线性无关,故a 2,a 3也线性无关.又由R (a 1,a 2,a 3)=2知a 1,a 2,a 3线性相关,故a 1能由a 2,a 3线性表示.(2)假如a 4能由a 1,a 2,a 3线性表示,则因为a 1能由a 2,a 3线性表示,故a 4能由a 2,a 3线性表示,从而a 2,a 3,a 4线性相关,矛盾.因此a 4不能由a 1,a 2,a 3线性表示.6.判定下列向量组是线性相关还是线性无关:(1)(−1,3,1)T ,(2,1,0)T ,(1,4,1)T ;(2)(2,3,0)T ,(−1,4,0)T ,(0,0,2)T .解(1)以所给向量为列向量的矩阵记为A .因为,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=000110121220770121101413121~~r r A 所以R (A )=2小于向量的个数,从而所给向量组线性相关.(2)以所给向量为列向量的矩阵记为B .因为,022200043012||≠=−=B 所以R (B )=3等于向量的个数,从而所给向量组线性相无关.7.问a 取什么值时下列向量组线性相关？a 1=(a ,1,1)T ,a 2=(1,a ,−1)T ,a 3=(1,−1,a )T .解以所给向量为列向量的矩阵记为A .由)1)(1(111111||+−=−−=a a a aa a A 知,当a =−1、0、1时,R (A )<3,此时向量组线性相关.8.设a 1,a 2线性无关,a 1+b ,a 2+b 线性相关,求向量b 用a 1,a 2线性表示的表示式.解因为a 1+b ,a 2+b 线性相关,故存在不全为零的数λ1,λ2使λ1(a 1+b )+λ2(a 2+b )=0,由此得,2211121122121211)1(a a a a b λλλλλλλλλλλλ+−−+−=+−+−=设,则211λλλ+−=c b =c a 1−(1+c )a 2,c ∈R .9.设a 1,a 2线性相关,b 1,b 2也线性相关,问a 1+b 1,a 2+b 2是否一定线性相关？试举例说明之.解不一定.例如,当a 1=(1,2)T ,a 2=(2,4)T ,b 1=(−1,−1)T ,b 2=(0,0)T 时,有a 1+b 1=(1,2)T +b 1=(0,1)T ,a 2+b 2=(2,4)T +(0,0)T =(2,4)T ,而a 1+b 1,a 2+b 2的对应分量不成比例,是线性无关的.10.举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m是线性相关的,则a1可由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.解设a1=e1=(1,0,0,⋅⋅⋅,0),a2=a3=⋅⋅⋅=a m=0,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,但a1不能由a2,⋅⋅⋅,a m线性表示.(2)若有不全为0的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关.解有不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0,原式可化为λ1(a1+b1)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0.取a1=e1=−b1,a2=e2=−b2,⋅⋅⋅,a m=e m=−b m,其中e1,e2,⋅⋅⋅,e m 为单位坐标向量,则上式成立,而a1,a2,⋅⋅⋅,a m和b1,b2,⋅⋅⋅,b m 均线性无关.(3)若只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0才能成立,则a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性无关,b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性无关.解由于只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式由λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m+λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0成立,所以只有当λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm全为0时,等式λ1(a1+b1)+λ2(a2+b2)+⋅⋅⋅+λm(a m+b m)=0成立.因此a1+b1,a2+b2,⋅⋅⋅,a m+b m线性无关.取a1=a2=⋅⋅⋅=a m=0,取b1,⋅⋅⋅,b m为线性无关组,则它们满足以上条件,但a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关.(4)若a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,b1,b2,⋅⋅⋅,b m亦线性相关,则有不全为0的数,λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm使λ1a1+⋅⋅⋅+λm a m=0,λ1b1+⋅⋅⋅+λm b m=0同时成立.解a1=(1,0)T,a2=(2,0)T,b1=(0,3)T,b2=(0,4)T,λ1a1+λ2a2=0⇒λ1=−2λ2,λ1b1+λ2b2=0⇒λ1=−(3/4)λ2,⇒λ1=λ2=0,与题设矛盾.11.设b1=a1+a2,b2=a2+a3,b3=a3+a4,b4=a4+a1,证明向量组b1,b2,b3,b4线性相关.证明由已知条件得a1=b1−a2,a2=b2−a3,a3=b3−a4,a4=b4−a1,于是a1=b1−b2+a3=b1−b2+b3−a4=b1−b2+b3−b4+a1,从而b1−b2+b3−b4=0,这说明向量组b 1,b 2,b 3,b 4线性相关.12.设b 1=a 1,b 2=a 1+a 2,⋅⋅⋅,b r =a 1+a 2+⋅⋅⋅+a r ,且向量组a 1,a 2,⋅⋅⋅,a r 线性无关,证明向量组b 1,b 2,⋅⋅⋅,b r 线性无关.证明已知的r 个等式可以写成,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅100110111) , , ,() , , ,(2121r r a a a b b b 上式记为B =AK .因为|K |=1≠0,K 可逆,所以R (B )=R (A )=r ,从而向量组b 1,b 2,⋅⋅⋅,b r 线性无关.13.求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1)a 1=(1,2,−1,4)T ,a 2=(9,100,10,4)T ,a 3=(−2,−4,2,−8)T ;解由,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−=000000010291032001900820291844210141002291) , ,(~~321r r a a a 知R (a 1,a 2,a 3)=2.因为向量a 1与a 2的分量不成比例,故a 1,a 2线性无关,所以a 1,a 2是一个最大无关组.(2)a 1T =(1,2,1,3),a 2T =(4,−1,−5,−6),a 3T =(1,−3,−4,−7).解由,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−=00000059014110180590590141763451312141) , ,(~~321r r a a a 知R (a 1T ,a 2T ,a 3T )=R (a 1,a 2,a 3)=2.因为向量a 1T 与a 2T 的分量不成比例,故a 1T ,a 2T 线性无关,所以a 1T ,a 2T 是一个最大无关组.14.利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1);⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛4820322513454947513253947543173125解因为,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛482032251345494751325394754317312513121433~r r r r r r −−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛531053103210431731253423~r r r r −−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛00003100321043173125所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2).⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−14011313021512012211解因为,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−1401131302151201221113142~r r r r −−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−−−−222001512015120122112343~r r r r +↔⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−00000222001512012211所以第1、2、3列构成一个最大无关组.15.设向量组(a ,3,1)T ,(2,b ,3)T ,(1,2,1)T ,(2,3,1)T的秩为2,求a ,b .解设a 1=(a ,3,1)T ,a 2=(2,b ,3)T ,a 3=(1,2,1)T ,a 4=(2,3,1)T .因为,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=5200111031116110111031113111332221) , , ,(~~2143b a a b a b a r r a a a a 而R (a 1,a 2,a 3,a 4)=2,所以a =2,b =5.16.设a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n 能由它们线性表示,证明a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 线性无关.证法一记A =(a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ),E =(e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n ).由已知条件知,存在矩阵K ,使E =AK .两边取行列式,得|E |=|A ||K |.可见|A |≠0,所以R (A )=n ,从而a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 线性无关.证法二因为e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n 能由a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n 线性表示,所以R (e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n )≤R (a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n ),而R (e 1,e 2,⋅⋅⋅,e n )=n ,R (a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )≤n ,所以R (a 1,a 2,⋅⋅⋅,a n )=n ,从而a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.17.设a1,a2,⋅⋅⋅,a n是一组n维向量,证明它们线性无关的充分必要条件是:任一n维向量都可由它们线性表示.证明必要性:设a为任一n维向量.因为a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关,而a1,a2,⋅⋅⋅,a n,a是n+1个n维向量,是线性相关的,所以a能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,且表示式是唯一的.充分性:已知任一n维向量都可由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,故单位坐标向量组e1,e2,⋅⋅⋅,e n能由a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性表示,于是有n=R(e1,e2,⋅⋅⋅,e n)≤R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)≤n,即R(a1,a2,⋅⋅⋅,a n)=n,所以a1,a2,⋅⋅⋅,a n线性无关.18.设向量组a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,且a1≠0,证明存在某个向量a k(2≤k≤m),使a k能由a1,a2,⋅⋅⋅,a k−1线性表示.证明因为a1,a2,⋅⋅⋅,a m线性相关,所以存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λm,使λ1a1+λ2a2+⋅⋅⋅+λm a m=0,而且λ2,λ3,⋅⋅⋅,λm不全为零.这是因为,如若不然,则λ1a1=0,由a1≠0知λ1=0,矛盾.因此存在k(2≤k≤m),使λk≠0,λk+1=λk+2=⋅⋅⋅=λm=0,于是λ1a 1+λ2a 2+⋅⋅⋅+λk a k =0,a k =−(1/λk )(λ1a 1+λ2a 2+⋅⋅⋅+λk −1a k −1),即a k 能由a 1,a 2,⋅⋅⋅,a k −1线性表示.19.设向量组B :b 1,⋅⋅⋅,b r 能由向量组A :a 1,⋅⋅⋅,a s 线性表示为(b 1,⋅⋅⋅,b r )=(a 1,⋅⋅⋅,a s )K ,其中K 为s ×r 矩阵,且A 组线性无关.证明B 组线性无关的充分必要条件是矩阵K 的秩R (K )=r .证明令B =(b 1,⋅⋅⋅,b r ),A =(a 1,⋅⋅⋅,a s ),则有B =AK .必要性:设向量组B 线性无关.由向量组B 线性无关及矩阵秩的性质,有r =R (B )=R (AK )≤min{R (A ),R (K )}≤R (K ),及R (K )≤min{r ,s }≤r .因此R (K )=r .充分性:因为R (K )=r ,所以存在可逆矩阵C ,使⎟⎠⎞⎜⎝⎛=O E KC r 为K 的标准形.于是(b 1,⋅⋅⋅,b r )C =(a 1,⋅⋅⋅,a s )KC =(a 1,⋅⋅⋅,a r ).因为C 可逆,所以R (b 1,⋅⋅⋅,b r )=R (a 1,⋅⋅⋅,a r )=r ,从而b 1,⋅⋅⋅,b r 线性无关.20.设,⎪⎩⎪⎨⎧+⋅⋅⋅+++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=−1321312321 n n n n ααααβαααβαααβ证明向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn 与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn 等价.证明将已知关系写成,⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅0111101111011110) , , ,() , , ,(2121n n αααβββ将上式记为B =AK .因为,0)1()1(0111101*********||1≠−−=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=−n K n 所以K 可逆,故有A =BK −1.由B =AK 和A =BK −1可知向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn 与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn 可相互线性表示.因此向量组α1,α2,⋅⋅⋅,αn 与向量组β1,β2,⋅⋅⋅,βn 等价.21.已知3阶矩阵A 与3维列向量x 满足A 3x =3A x −A 2x ,且向量组x ,A x ,A 2x 线性无关.(1)记P =(x ,A x ,A 2x ),求3阶矩阵B ,使AP =PB ;解因为AP =A (x ,A x ,A 2x )=(A x ,A 2x ,A 3x )=(A x ,A 2x ,3A x −A 2x ),⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=110301000) , ,(2x x x A A 所以.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=110301000B (2)求|A |.解由A 3x =3A x −A 2x ,得A (3x −A x −A 2x )=0.因为x ,A x ,A 2x 线性无关,故3x −A x −A 2x ≠0,即方程A x =0有非零解,所以R (A )<3,|A |=0.22.求下列齐次线性方程组的基础解系:(1);⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−++=++−02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵进行初等行变换,有,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=00004/14/3100401 2683154221081~r A 于是得.⎩⎨⎧+=−=43231)4/1()4/3(4x x x x x 取(x 3,x 4)T =(4,0)T ,得(x 1,x 2)T =(−16,3)T ;取(x 3,x 4)T =(0,4)T ,得(x 1,x 2)T =(0,1)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(−16,3,4,0)T ,ξ2=(0,1,0,4)T .(2).⎪⎩⎪⎨⎧=−++=−++=+−−03678024530232432143214321x x x x x x x x x x x x 解对系数矩阵进行初等行变换,有,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=000019/719/141019/119/201 367824531232~r A 于是得.⎩⎨⎧+−=+−=432431)19/7()19/14()19/1()19/2(x x x x x x 取(x 3,x 4)T =(19,0)T ,得(x 1,x 2)T =(−2,14)T ;取(x 3,x 4)T =(0,19)T ,得(x 1,x 2)T =(1,7)T .因此方程组的基础解系为ξ1=(−2,14,19,0)T ,ξ2=(1,7,0,19)T .(3)nx 1+(n −1)x 2+⋅⋅⋅+2x n −1+x n =0.解原方程组即为x n =−nx 1−(n −1)x 2−⋅⋅⋅−2x n −1.取x 1=1,x 2=x 3=⋅⋅⋅=x n −1=0,得x n =−n ;取x 2=1,x 1=x 3=x 4=⋅⋅⋅=x n −1=0,得x n =−(n −1)=−n +1;⋅⋅⋅;取x n −1=1,x 1=x 2=⋅⋅⋅=x n −2=0,得x n =−2.因此方程组的基础解系为ξ1=(1,0,0,⋅⋅⋅,0,−n )T ,ξ2=(0,1,0,⋅⋅⋅,0,−n +1)T ,⋅⋅⋅,ξn −1=(0,0,0,⋅⋅⋅,1,−2)T .23.设,求一个4×2矩阵B ,使AB =0,且⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=82593122A R (B )=2.解显然B 的两个列向量应是方程组AB =0的两个线性无关的解.因为,⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−−⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−=8/118/5108/18/101 82593122~r A 所以与方程组AB =0同解方程组为.⎩⎨⎧+=−=432431)8/11()8/5()8/1()8/1(x x x x x x 取(x 3,x 4)T =(8,0)T ,得(x 1,x 2)T =(1,5)T ;取(x 3,x 4)T =(0,8)T ,得(x 1,x 2)T =(−1,11)T .方程组AB =0的基础解系为ξ1=(1,5,8,0)T ,ξ2=(−1,11,0,8)T .因此所求矩阵为.⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=800811511B 24.求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为ξ1=(0,1,2,3)T ,ξ2=(3,2,1,0)T .解显然原方程组的通解为,即,(k 1,k 2∈R ),⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛01233210214321k k x x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+==14213212213223k x k k x k k x k x 消去k 1,k 2得,⎩⎨⎧=+−=+−023032431421x x x x x x 此即所求的齐次线性方程组.25.设四元齐次线性方程组I :,II :.⎩⎨⎧=−=+004221x x x x ⎩⎨⎧=+−=+−00432321x x x x x x 求:(1)方程I 与II 的基础解系;(2)I 与II 的公共解.解(1)由方程I 得.⎩⎨⎧=−=4241x x x x 取(x 3,x 4)T =(1,0)T ,得(x 1,x 2)T =(0,0)T ;取(x 3,x 4)T =(0,1)T ,得(x 1,x 2)T =(−1,1)T .因此方程I 的基础解系为ξ1=(0,0,1,0)T ,ξ2=(−1,1,0,1)T .由方程II 得.⎩⎨⎧−=−=43241x x x x x 取(x 3,x 4)T =(1,0)T ,得(x 1,x 2)T =(0,1)T ;取(x 3,x 4)T =(0,1)T ,得(x 1,x 2)T =(−1,−1)T .因此方程II 的基础解系为ξ1=(0,1,1,0)T ,ξ2=(−1,−1,0,1)T .(2)I 与II 的公共解就是方程III :⎪⎩⎪⎨⎧=+−=+−=−=+00004323214221x x x x x x x x x x 的解.因为方程组III 的系数矩阵,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=0000210010101001 1110011110100011~r A 所以与方程组III 同解的方程组为.⎪⎩⎪⎨⎧==−=4342412x x x x x x 取x 4=1,得(x 1,x 2,x 3)T =(−1,1,2)T ,方程组III 的基础解系为ξ=(−1,1,2,1)T .因此I 与II 的公共解为x =c (−1,1,2,1)T ,c ∈R .26.设n 阶矩阵A 满足A 2=A ,E 为n 阶单位矩阵,证明R (A )+R (A −E )=n .证明因为A (A −E )=A 2−A =A −A =0,所以R (A )+R (A −E )≤n .又R (A −E )=R (E −A ),可知R (A )+R (A −E )=R (A )+R (E −A )≥R (A +E −A )=R (E )=n ,由此R (A )+R (A −E )=n .27.设A 为n 阶矩阵(n ≥2),A *为A 的伴随阵,证明.⎪⎩⎪⎨⎧−≤−===2)( 01)( 1)( *)(n A R n A R n A R n A R 当当当证明当R (A )=n 时,|A |≠0,故有|AA *|=||A |E |=|A |≠0,|A *|≠0,所以R (A *)=n .当R (A )=n −1时,|A |=0,故有AA *=|A |E =0,即A *的列向量都是方程组A x =0的解.因为R (A )=n −1,所以方程组A x =0的基础解系中只含一个解向量,即基础解系的秩为1.因此R (A *)=1.当R (A )≤n −2时,A 中每个元素的代数余子式都为0,故A *=O ,从而R (A *)=0.28.求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解系:(1);⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+3223512254321432121x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等行变换,有.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=2100013011080101 322351211250011~r B 与所给方程组同解的方程为.⎪⎩⎪⎨⎧=+=−−=213 843231x x x x x 当x 3=0时,得所给方程组的一个解η=(−8,13,0,2)T .与对应的齐次方程组同解的方程为.⎪⎩⎪⎨⎧==−=043231x x x x x 当x 3=1时,得对应的齐次方程组的基础解系ξ=(−1,1,1,0)T .(2).⎪⎩⎪⎨⎧−=+++−=−++=−+−6242163511325432143214321x x x x x x x x x x x x 解对增广矩阵进行初等行变换,有.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−−=0000022/17/11012/17/901 6124211635113251~r B 与所给方程组同解的方程为.⎩⎨⎧−−=++−=2)2/1((1/7)1)2/1()7/9(432431x x x x x x 当x 3=x 4=0时,得所给方程组的一个解η=(1,−2,0,0)T .与对应的齐次方程组同解的方程为.⎩⎨⎧−=+−=432431)2/1((1/7))2/1()7/9(x x x x x x 分别取(x 3,x 4)T =(1,0)T ,(0,1)T ,得对应的齐次方程组的基础解系ξ1=(−9,1,7,0)T .ξ2=(1,−1,0,2)T .29.设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3,已知η1,η2,η3是它的三个解向量.且η1=(2,3,4,5)T ,η2+η3=(1,2,3,4)T ,求该方程组的通解.解由于方程组中未知数的个数是4,系数矩阵的秩为3,所以对应的齐次线性方程组的基础解系含有一个向量,且由于η1,η2,η3均为方程组的解,由非齐次线性方程组解的结构性质得2η1−(η2+η3)=(η1−η2)+(η1−η3)=(3,4,5,6)T为其基础解系向量,故此方程组的通解:x =k (3,4,5,6)T +(2,3,4,5)T ,(k ∈R ).30.设有向量组A :a 1=(α,2,10)T ,a 2=(−2,1,5)T ,a 3=(−1,1,4)T ,及b =(1,β,−1)T ,问α,β为何值时(1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式唯一;(3)向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式不唯一,并求一般表示式.解.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=11054211121) , , ,(123βαb a a a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+++−−−βαβαα34001110121 ~r (1)当α=−4,β≠0时,R (A )≠R (A ,b ),此时向量b 不能由向量组A 线性表示.(2)当α≠−4时,R (A )=R (A ,b )=3,此时向量组a 1,a 2,a 3线性无关,而向量组a 1,a 2,a 3,b 线性相关,故向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式唯一.(3)当α=−4,β=0时,R (A )=R (A ,b )=2,此时向量b 能由向量组A 线性表示,且表示式不唯一.当α=−4,β=0时,,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−−=1105402111421) , , ,(123b a a a ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−000013101201 ~r 方程组(a 3,a 2,a 1)x =b 的解为,c ∈R .⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−+=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛c c c c x x x 1312011132321因此b =(2c +1)a 3+(−3c −1)a 2+c a 1,即b =c a 1+(−3c −1)a 2+(2c +1)a 3,c ∈R .31.设a =(a 1,a 2,a 3)T ,b =(b 1,b 2,b 3)T ,c =(c 1,c 2,c 3)T ,证明三直线l 1:a 1x +b 1y +c 1=0,l 2:a 2x +b 2y +c 2=0,(a i 2+b i 2≠0,i =1,2,3)l 3:a 3x +b 3y +c 3=0,相交于一点的充分必要条件为:向量组a ,b 线性无关,且向量组a ,b ,c 线性相关.证明三直线相交于一点的充分必要条件为方程组,即⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++000333222111c y b x a c y b x a c y b x a ⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=+−=+333222111c y b x a c y b x a c y b x a 有唯一解.上述方程组可写为x a +y b =−c .因此三直线相交于一点的充分必要条件为c 能由a ,b 唯一线性表示,而c 能由a ,b 唯一线性表示的充分必要条件为向量组a ,b 线性无关,且向量组a ,b ,c 线性相关.32.设矩阵A =(a 1,a 2,a 3,a 4),其中a 2,a 3,a 4线性无关,a 1=2a 2−a 3.向量b =a 1+a 2+a 3+a 4,求方程A x =b 的通解.解由b =a 1+a 2+a 3+a 4知η=(1,1,1,1)T 是方程A x =b 的一个解.由a 1=2a 2−a 3得a 1−2a 2+a 3=0,知ξ=(1,−2,1,0)T 是A x =0的一个解.由a 2,a 3,a 4线性无关知R (A )=3,故方程A x =b 所对应的齐次方程A x =0的基础解系中含一个解向量.因此ξ=(1,−2,1,0)T 是方程A x =0的基础解系.方程A x =b 的通解为x =c (1,−2,1,0)T +(1,1,1,1)T ,c ∈R .33.设η*是非齐次线性方程组A x =b 的一个解,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn −r ,是对应的齐次线性方程组的一个基础解系,证明:(1)η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn −r 线性无关;(2)η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn −r 线性无关.证明(1)反证法,假设η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性相关.因为ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn线性无关,而η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性相关,所以η*−r可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性表示,且表示式是唯一的,这说明η*也是齐次线性方程组的解,矛盾.(2)显然向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn−r与向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r可以相互表示,故这两个向量组等价,而由(1)知向量组η*,ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性无关,所以向量组η*,η*+ξ1,η*+ξ2,⋅⋅⋅,η*+ξn−r也线性无关.34.设η1,η2,⋅⋅⋅,ηs是非齐次线性方程组A x=b的s个解,k1, k2,⋅⋅⋅,k s为实数,满足k1+k2+⋅⋅⋅+k s=1.证明x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是它的解.证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηs都是方程组A x=b的解,所以Aηi=b(i=1,2,⋅⋅⋅,s),从而A(k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs)=k1Aη1+k2Aη2+⋅⋅⋅+k s Aηs=(k1+k2+⋅⋅⋅+k s)b=b.因此x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k sηs也是方程的解.35.设非齐次线性方程组A x=b的系数矩阵的秩为r,η1,η2,⋅⋅⋅,ηn−r+1是它的n−r+1个线性无关的解.试证它的任一解可表示为x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n−r+1ηn−r+1,(其中k1+k2+⋅⋅⋅+k n−r+1=1).证明因为η1,η2,⋅⋅⋅,ηn−r+1均为A x=b的解,所以ξ1=η2−η1,ξ2=η3−η1,⋅⋅⋅,ξn−r=ηn−r+1−η1均为A x=b的解.用反证法证:ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性无关.设它们线性相关,则存在不全为零的数λ1,λ2,⋅⋅⋅,λn−r,使得λ1ξ1+λ2ξ2+⋅⋅⋅+λn−rξn−r=0,即λ1(η2−η1)+λ2(η3−η1)+⋅⋅⋅+λn−r(ηn−r+1−η1)=0,亦即−(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn−r)η1+λ1η2+λ2η3+⋅⋅⋅+λn−rηn−r+1=0,由η1,η2,⋅⋅⋅,ηn−r+1线性无关知−(λ1+λ2+⋅⋅⋅+λn−r)=λ1=λ2=⋅⋅⋅=λn−r=0,矛盾.因此ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性无关.ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r为A x=b的一个基础解系.设x为A x=b的任意解,则x−η1为A x=0的解,故x−η1可由ξ1,ξ2,⋅⋅⋅,ξn−r线性表出,设x−η1=k2ξ1+k3ξ2+⋅⋅⋅+k n−r+1ξn−r=k2(η2−η1)+k3(η3−η1)+⋅⋅⋅+k n−r+1(ηn−r+1−η1),x=η1(1−k2−k3⋅⋅⋅−k n−r+1)+k2η2+k3η3+⋅⋅⋅+k n−r+1ηn−r+1.令k1=1−k2−k3⋅⋅⋅−k n−r+1,则k1+k2+k3⋅⋅⋅−k n−r+1=1,于是x=k1η1+k2η2+⋅⋅⋅+k n−r+1ηn−r+1.36.设V1={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T|x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=0}, V2={x=(x1,x2,⋅ ⋅ ⋅,x n)T|x1,⋅ ⋅ ⋅,x n∈R满足x1+x2+⋅ ⋅ ⋅ +x n=1},问V1,V2是不是向量空间？为什么？解V1是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,λ∈∈R,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=0,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=0,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=0,λa1+λa2+⋅ ⋅ ⋅ +λa n=λ(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)=0,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∈V1,λα=(λa1,λa2,⋅ ⋅ ⋅,λa n)T∈V1.V2不是向量空间,因为任取α=(a1,a2,⋅ ⋅ ⋅,a n)T∈V1,β=(b1,b2,⋅ ⋅ ⋅,b n)T∈V1,有a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n=1,b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n=1,从而(a1+b1)+(a2+b2)+⋅ ⋅ ⋅ +(a n+b n)=(a1+a2+⋅ ⋅ ⋅ +a n)+(b1+b2+⋅ ⋅ ⋅ +b n)=2,所以α+β=(a1+b1,a2+b2,⋅ ⋅ ⋅,a n+b n)T∉V1.37.试证:由a1=(0,1,1)T,a2=(1,0,1)T,a3=(1,1,0)T所生成的向量空间就是R 3.证明设A =(a 1,a 2,a 3),由,02011101110||≠−==A 知R (A )=3,故a 1,a 2,a 3线性无关,所以a 1,a 2,a 3是三维空间R 3的一组基,因此由a 1,a 2,a 3所生成的向量空间就是R 3.38.由a 1=(1,1,0,0)T ,a 2=(1,0,1,1)T 所生成的向量空间记作V 1,由b 1=(2,−1,3,3)T ,b 2=(0,1,−1,−1)T 所生成的向量空间记作V 2,试证V 1=V 2.证明设A =(a 1,a 2),B =(b 1,b 2).显然R (A )=R (B )=2,又由,⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−−=0000000013100211 1310131011010211) ,(~r B A 知R (A ,B )=2,所以R (A )=R (B )=R (A ,B ),从而向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价.因为向量组a 1,a 2与向量组b 1,b 2等价,所以这两个向量组所生成的向量空间相同,即V 1=V 2.39.验证a 1=(1,−1,0)T ,a 2=(2,1,3)T ,a 3=(3,1,2)T 为R 3的一个基,并把v 1=(5,0,7)T ,v 2=(−9,−8,−13)T 用这个基线性表示.解设A =(a 1,a 2,a 3).由,06230111321|) , ,(|321≠−=−=a a a 知R (A )=3,故a 1,a 2,a 3线性无关,所以a 1,a 2,a 3为R 3的一个基.设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 1,则,⎪⎩⎪⎨⎧=+=++−=++723053232321321x x x x x x x x 解之得x 1=2,x 2=3,x 3=−1,故线性表示为v 1=2a 1+3a 2−a 3.设x 1a 1+x 2a 2+x 3a 3=v 2,则,⎪⎩⎪⎨⎧−=+−=++−−=++1323893232321321x x x x x x x x 解之得x 1=3,x 2=−3,x 3=−2,故线性表示为v 2=3a 1−3a 2−2a 3.40.已知R 3的两个基为a 1=(1,1,1)T ,a 2=(1,0,−1)T ,a 3=(1,0,1)T ,b 1=(1,2,1)T ,b 2=(2,3,4)T ,b 3=(3,4,3)T .求由基a 1,a 2,a 3到基b 1,b 2,b 3的过渡矩阵P .解设e 1,e 2,e 3是三维单位坐标向量组,则,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=111001111) , ,() , ,(321321e e e a a a,1321321111001111) , ,() , ,(−⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=a a a e e e 于是⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=341432321) , ,() , ,(321321e e e b b b ,⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−341432321111001111) , ,(1321a a a 由基a 1,a 2,a 3到基b 1,b 2,b 3的过渡矩阵为.⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=−1010104323414323211110011111P。

第四章 向量组的线性相关性1．设T T T v v v )0,4,3(,)1,1,0(,)0,1,1(321===, 求21v v −及32123v v v −+.解 21v v −T T )1,1,0()0,1,1(−=T )10,11,01(−−−=T )1,0,1(−=32123v v v −+T T T )0,4,3()1,1,0(2)0,1,1(3−+=T )01203,41213,30213(−×+×−×+×−×+×= T )2,1,0(=2．设)(5)(2)(3321a a a a a a +=++−其中T a )3,1,5,2(1=, T a )10,5,1,10(2=,T a )1,1,1,4(3−=,求a解 由)(5)(2)(3321a a a a a a +=++−整理得)523(61321a a a a −+=])1,1,1,4(5)10,5,1,10(2)3,1,5,2(3[61T T T −−+=T )4,3,2,1(=3．举例说明下列各命题是错误的:(1)若向量组m a a a ,,,21L 是线性相关的,则1a 可由,,2m a a L 线性表示. (2)若有不全为0的数m λλλ,,,21L 使 01111=+++++m m m m b b a a λλλλL L成立,则m a a ,,1L 线性相关, m b b ,,1L 亦线性相关. (3)若只有当m λλλ,,,21L 全为0时,等式 01111=+++++m m m m b b a a λλλλL L才能成立,则m a a ,,1L 线性无关, m b b ,,1L 亦线性无关.(4)若m a a ,,1L 线性相关, m b b ,,1L 亦线性相关,则有不全为0的数, m λλλ,,,21L 使0,01111=++=++m m m m b b a a λλλλL L 同时成立.解 (1) 设)0,,0,0,1(11L ==e a 032====m a a a L满足m a a a ,,,21L 线性相关,但1a 不能由,,,2m a a L 线性表示.(2) 有不全为零的数m λλλ,,,21L 使01111=+++++m m m m b b a a λλλλL L 原式可化为0)()(111=++++m m m b a b a λλL取m m m b e a b e a b e a −==−==−==,,,222111L 其中m e e ,,1L 为单位向量,则上式成立,而m a a ,,1L ,m b b ,,1L 均线性相关(3) 由01111=+++++m m m m b b a a λλλλL L (仅当01===m λλL ) m m b a b a b a +++⇒,,,2211L 线性无关 取021====m a a a L 取m b b ,,1L 为线性无关组满足以上条件,但不能说是m a a a ,,,21L 线性无关的.(4) T a )0,1(1= T a )0,2(2= T b )3,0(1= T b )4,0(2=−=⇒=+−=⇒=+21221121221143020λλλλλλλλb b a a 021==⇒λλ与题设矛盾.4．设144433322211,,,a a b a a b a a b a a b +=+=+=+=,证明向量组 4321,,,b b b b 线性相关.证明 设有4321,,,x x x x 使得 044332211=+++b x b x b x b x 则0)()()()(144433322211=+++++++a a x a a x a a x a a x 0)()()()(443332221141=+++++++a x x a x x a x x a x x(1) 若4321,,,a a a a 线性相关,则存在不全为零的数4321,,,k k k k , 411x x k +=;212x x k +=;323x x k +=;434x x k +=;由4321,,,k k k k 不全为零,知4321,,,x x x x 不全为零,即4321,,,b b b b 线性相 关.(2) 若4321,,,a a a a 线性无关,则 =+=+=+=+000043322141x x x x x x x x 011000110001110014321=⇒x x x x 由01100011000111001=知此齐次方程存在非零解 则4321,,,b b b b 线性相关. 综合得证.5．设r r a a a b a a b a b +++=+==L L 2121211,,,,且向量组 r a a a ,,,21L 线性无关,证明向量组r b b b ,,,21L 线性无关. 证明 设02211=+++r r b k b k b k L 则++++++++++p r p r r a k k a k k a k k )()()(2211L L L L 0=+r r a k L 因向量组r a a a ,,,21L 线性无关,故==++=+++000221r r r k k k k k k L L L L L L L L ⇔= 0001001101121M M L M L L M L L L r k k k 因为0110011011≠=L M L L M L L L 故方程组只有零解则021====r k k k L 所以r b b b ,,,21L 线性无关6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:(1) 4820322513454947513253947543173125; (2) −−−140113130********211.解 (1) 482032251345494751325394754317312514131233~r r r r r r −−−53105310321043173125 2334~r r r r −−00003100321043173125 所以第1、2、3列构成一个最大无关组.(2)−−−1401131302151201221114132~r r rr −−−−−−−−222001512015120122114323~r r r r ↔+−−−00000222001512012211， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组．7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组:(1) −=41211a , =41010092a ,−−−=82423a ; (2) )3,1,2,1(1=T a ,)6,5,1,4(2−−−=T a ,)7,4,3,1(3−−−=Ta . 解 (1) 3131,2a a a a ⇒=−线性相关.由−−−−= 824241010094121321T T T a a a −−000032198204121~ 秩为2,一组最大线性无关组为21,a a .(2)−−−−−−= 743165143121321T T T a a a−−−−−−10550189903121~−−−0000189903121~ 秩为2,最大线性无关组为TT a a 21,. 8．设n a a a ,,,21L 是一组n 维向量,已知n 维单位坐标向量n e e e ,,,21L 能 由它们线性表示,证明n a a a ,,,21L 线性无关. 证明 n 维单位向量n e e e ,,,21L 线性无关不妨设:nnn n n n nn nn a k a k a k e a k a k a k e a k a k a k e +++=+++=+++=L LL L L L L L L L L L L L L 22112222121212121111所以=T n T T nn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e M L L L L L L L M 2121222211121121 两边取行列式，得Tn TTnn n n n n T n T T a a a k k k k k k k k k e e e M L L L L L L L M 2121222211121121=由002121≠⇒≠T nT TT nT T a a a e e e MM即n 维向量组n a a a ,,,21L 所构成矩阵的秩为n 故n a a a ,,,21L 线性无关.9．设n a a a ,,,21L 是一组n 维向量,证明它们线性无关的充分必要条件 是：任一n 维向量都可由它们线性表示.证明 设n εεε,,,21L 为一组n 维单位向量，对于任意n 维向量 T n k k k a ),,,(21L =则有n n k k k a εεε+++=L 2211即任一n 维向量都 可由单位向量线性表示. 必要性⇒n a a a ,,,21L 线性无关，且n a a a ,,,21L 能由单位向量线性表示，即 nnn n n n nn nn k k k k k k k k k εεεαεεεαεεεα+++=+++=+++=L LL L L L L L L L L L L L L 22112222121212121111故= n T T T nn n n n n T n T Tk k kk k k k k k a a a εεεM L L L LL L L M 2121222211121121两边取行列式，得Tn TTnn n n n n T nT T k k k k k k k k k a a a εεεML L LL L L L M2121222211121121=由0021222211121121≠⇒≠nnn n n n T nT T k k k k k k k k k a a a L LLLL L L M令=×nn n n n n n n k k k k k k k k k A L LL L L L L 212222111211则 由= ⇒ = −T n T T T n T T T n T T T n T T a a a A A a a a εεεεεεM M M M 212112121 即n εεε,,,21L 都能由n a a a ,,,21L 线性表示，因为任一n 维向量能由单 位向量线性表示，故任一n 维向量都可以由n a a a ,,,21L 线性表示. 充分性⇐已知任一n 维向量都可由n a a a ,,,21L 线性表示，则单位向量组：n εεε,,,21L 可由n a a a ,,,21L 线性表示，由8题知n a a a ,,,21L 线性无关.10．设向量组A :s a a a ,,,21L 的秩为1r ,向量组B :t b b b ,,,21L 的秩2r 向量组C : r s b b b a a a ,,,,,,,2121L L 的秩3r ,证明 21321},max{r r r r r +≤≤证明 设C B A ,,的最大线性无关组分别为C B A ′′′,,,含有的向量个数 (秩)分别为221,,r r r ,则C B A ,,分别与C B A ′′′,,等价,易知B A ,均可由C 线性表示,则秩(C )≥秩(A ),秩(C )≥秩(B )，即321},max{r r r ≤设A ′与B ′中的向量共同构成向量组D ,则B A ,均可由D 线性表示,即C 可由D 线性表示,从而C ′可由D 线性表示，所以秩(C ′)≥秩(D ), D 为21r r +阶矩阵，所以秩(D )21r r +≤即213r r r +≤.11.证明()()()B R A R B A R +≤+.证明:设T n a a a A ),,,(21L = T n b b b B ),,,(21L =且B A ,行向量组的最大无关组分别为T r TT ααα,,,21L T s T T βββ,,,21L 显然,存在矩阵B A ′′,,使得 ′= T s T T T n T T A a a a αααM M 2121,′= T s T T T n T T B b b b βββM M 2121+++=+∴T n T n T T TT b a b a b a B A M 2211′+ ′=T s T T T s T T B A βββαααM M 2121 因此 ()()()B R A R B A R +≤+12．设向量组:B r b b ,,1L 能由向量组:A s a a ,,1L 线性表示为K a a b b s r ),,(),,(11L L =，其中K 为r s ×矩阵，且A 组线性无关。

第四章　不定积分4.1　复习笔记一、不定积分的概念与性质1．原函数与不定积分的概念（1）原函数①定义如果在区间I 上，可导函数的导函数为，即对任意一，都有，则函数就称为在区间I 上的一个原函数．②原函数存在定理如果函数在区间I 上连续，则在区间I 上存在可导函数使对任一都有即连续函数一定有原函数．③注意两点a ．如果有一个原函数，则就有无限多个原函数．b ．若和都是的原函数，则()Fx ()x φ()f x（C 0为某个常数）（2）不定积分在区间I 上，函数的带有任意常数项的原函数称为（或）在区间I上的不定积分，记作，其中称为积分号，称为被积函数，称为被积表达式，x称为积分变量．2．基本积分表3．不定积分的性质（1）性质1设函数的原函数存在，则注：性质1对于有限个函数都是成立的．（2）性质2设函数的原函数存在，k为非零常数，则二、换元积分法1．第一类换元法设具有原函数,可导，则有换元公式()[()]()[()]u x f x x dx f u du ϕϕϕ='=⎰⎰2．第二类换元法设是单调的可导函数，并且又设具有原函数，则有换元公式1()()[[()]()]t x f x dx f t t dtψψψ-='=⎰⎰其中的反函数．三、分部积分法1．分部积分法设函数具有连续导数，则两个函数乘积的导数公式为移项，得对这个等式两边求不定积分，得称为分部积分公式．注：2．运用分部积分法需注意（1）v 要容易求得；（2）要比容易积出；（3）遵循“反对幂指三”原则.①“反对幂指三”定义“反对幂指三”分别指反三角函数、对数函数、幂函数、指数函数和三角函数．②“反对幂指三”原则“反对幂指三”原则是指在用分部积分法计算积分时，若出现上面相关函数，把被积表达式按照“反对幂指三”的积分次序，排在前面的看成“u”，排在后面的看成“dv”．【例】3．常见函数的不定积分四、有理函数的积分1．有理函数的积分（1）相关概念①有理函数　两个多项式的商称为有理函数．②有理分式　有理函数又称有理分式．③真分式　当P(x)的次数小于Q(x)的次数时，称这有理函数为真分式．④假分式　当P(x)的次数大于Q(x)的次数时，称这有理函数为假分式．（2）真分式的分解对于真分式，如果分母可分解为两个多项式的乘积且Q 1(x)与Q 2(x)没有公因式，则它可分拆成两个真分式之和。