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成都金堂金龙中学2018—2019北师版七下数学第一章《整式的乘除》同底数幂的除法相关运算技巧逆用幕的运算性质幕的运算性质用式子表示，是：m n m+n1. a • a =a ；2. a m-a n=a m-n；3. (a m) n=a mn；4. (ab)n=a n b n.逆用这它们是整式乘除法的基础，解一些与幕的运算有关的问题时，些性质，可以化难为易，取到事半功倍的效果，下面举例说明.1. 计算例 1 计算(-0.125)7• 88= ____ .解原式=(-0.125) 7• 87• 8=(-0.125 • 8)7• 8=-8.2. 求值例 2 若2x+5y-3=0,则4x• 32y= ____ .解已知条件变形为2x+5y=3,则原式=(22)x• (25)y=22x+5y=8.例3已知3x=a，3y=b，则32x-y等于[]小 2 2 1A. ―a3b C 2ab D・ a3 4b b解由3x=a，3y=b，得原式二护小=(歹严4歹1-2 Jt例4若偕=3,偕=2贝II庐5w解不难发现= 12^,二原式=(1护乡益・12"・12珂愕乎例5已知3x+3-x=4，则27+27x的值是[]A. 64B. 60C. 52D. 48解由已知等式，得(3x+3-x) 2=16....3 2x+3-2x=14.原式=(3x)3+(3-x) 3=(3x+3-x)(3 2x+3-2x-1)=4(14 -1)=52 .3. 大小比较例 6 已知a=355 , b=444 , c=533，则有[]A. a v b v c B . c v b v aC. c v a v bD. a v c v b解a=(3 5)11=24311,b=(44)11=25611, c=(53)11=12511.v 125 v 243v 256,c v a v b.例丁已知—芬.Q~・那么良Q的大小关系为【］A. P>QB. P=QC. P v QD.不能确定•P=Q.4. 个位数字例8设v n>表示正整数n的个位数，例如v 3> =3,v 21> =1 ,v 13X24> =2,则v 210> = _________________________ .解210=(24)2• 22=16 • 4,•v210> =v 6X 4> =4.例9 19 93+9319的个位数字是[]A. 2 B . 4C. 6 D . 8解1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字.v 9 93=(92) 46• 9=8146• 9.319=(34)4• 33=814• 27.••• 993+319的个位数字等于9+7的个位数字.则1993+9319的个位数字是6.逆用幕的运算性质解题幕的运算性质有：m n m n m、n ma • a = a + ；(a ) = an；n n n m n m n z(ab) = a b ; a 宁a = a —(a^ 0, m> n).逆用这些性质，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果. 例1 计算(-0.125)1999• 26000.解：原式=(-0.125)1999• 82000=(-0.125)1999• 81999• 8=(-0.125X 8)1999• 8=(-1)1999• 8=-8.例 2 若2x+3y-4= 0,求9x• 27y的值.解：由条件，知2x+3y=4.所以9x• 27y=32x• 33y2x+3y=3=34例3 若103x= 125,求101-x.解：由103x= 125,得(10")3= 53.故10 = 5.A101_K例 4 已知 a = 355，b = 4“，c= 533，则有[]A. a v b v cB. c v b v aC. c v a v bD. a v c v b解：a= (35)1」24311, b= (44)1」25611, c= (53)1」12511.因为125v 243v 256.所以c v a v b.故应选C.例5 220+321+720的个位数字是____ .解：原式二(24)5+(34)5• 3+(74)5=165+815• 3+24015.v 165, 815• 3, 24015的个位数字分别是6, 3, 1,••• 220+321+720的个位数字是0.幕运算常见错误浅析幕运算是学习整式乘法和除法的基础，是同学们遇到的一种比较抽象的运算. 对于幕的运算性质：a m• a n=a m+n, a m+ a n=a m-n(m > n), (a m)n=a mn, (ab)n=a n b n等，尽管老师反复提醒不要粗心大意，但仍会出现诸如53x 53=59, a5+a5=a10,(52)5=57, (ab2)3=ab6, a3n十a n=a3等类运算错误.出现错误有其偶然性，也有更深层原因：1. 不稳定的知识结构，产生负迁移在数学法则的学习中，新法则的内容会以特殊的方式作用于原有的认识结构，错算53X 53.实际上，是在学习这个性质时，对幕的概念的理解模糊.因此，要想方设法唤起原有知识：a…一「然后畏开•曰..... a• a• a • ■■■ • a=a •日•….a=a m+rL.- 、丄 - 一—_______________________________________ * . _ _ .■ % _ _■&rfT'a m+nTa.例1计算：m • m • m • m错解：原式=m+4+3+2=m4.分析：错解忽略了指数为“ T的情况.原式=m5.例 2 计算：(-3ab)2.错解：( -3ab2) 2=-32a2b4=-9a2b4．分析：错在忽略了积中数字因数的符号，原式=9a2b4．2．不合理的思维定势，产生负迁移思维定势是一种客观存在的思维定向预备状态，同学们的认知过程是在原有的定势上进行的，而这种定势会产生正负两种相向的迁移，要求我们有效地把握•在运算中出现类似于a3n十a n=a3错误，最主要的原因是受3n±n = 3的影响，把只能用在整数中相除的法则，机械地搬用于幕的除法之中．这便是思维定势负迁移作用的结果．例3计算a2a3十a3= ____ ,错解：原式=a2x分析：这是将整式乘除法则机械搬用的错误，尽管结论凑巧相同，也不能算是正确．正确解法是：原式=a2+3-3 =a2例 4 下列计算中，不正确的是[ ]A5 5 5 5 5.x +x=2x B. a 宁a=aC．(-a)5(-a)5=a10 D．(-a5)5=-a25( 正确答案：B)以上所述是产生幂运算错误两种知识方面的因素．此外，还有非知识方面的因素，象错a m+a m= a2m,也有不认真仔细审题之过(没注意左边就是两同类项之和，可合并).又如计算a mn十a m-n不就是计算被除数与除数相等时的商吗？直接观察便知结果是1,但却偏偏出现误算a m-J a m-n=a(m-n)-(m-n) = a m-n-m-n=a-2n,这是心理素质不稳定、急躁而出现认知故障，造成运算刻板,最终导致错误．指数运算的一些技巧指数运算技巧性较强，如果能选择恰当的方法，有可能避开繁杂的计算，本文介绍几种运算技巧：1 •将底数写成幕不含字母的指数运算，一般将底数写成幕，根据(a ) m=a m n，将指数化简. 例1计算分析’r . io4 - 212------ ' !27故上式制+「》+£) -Y召.2. “底倒指反”负指数化正指数的口诀是：底倒指反.即底数取倒数，指数取相反数.例2计第屮一餅+(2冲解：原式胡肯凋J需3•用乘法公式如护-対=(評評-廿咕扌± 2+/ =(说土界几界±沪=(評士r〉(严士界r+m 用这些公式解题，可使计算简傍例 3 计算(a2-2+a-2) *(a2-a-2).K=愿式=@_君'『-(a + a_1)(a - a'1) = -~~ = ~7a + a a + 14 •用分式基本性质因为？二罟（垃斗0＞将分亍分母乘以一个适当的式子，能使分式中的负指数b bm 化为正指数.例4计阜_［（乳—上厂—_（日—b厂1 十b）（日一b）解：原式心'时一4@ _6_ ］生+对梓a. - b 一伍+ b) b■ —a -b + fa + b) R5 •指数式化为根式当指数是扌或扌等分数时.常把扌旨数化咸二次根式.6 •根式化为分数指数例5计算弓一竿当根号内均是乘除形式的多重根式时，将根式化为分数指数运算.例6为单根式.X15 - ■1 -3 -1/ 24y 4-3■。
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结第一章整式的运算单项式式 多项式 同底数幂的乘法幂的乘方积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘单项式与多项式相乘整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式单项式除以单项式整式的除法多项式除以单项式一、单项式、单项式的次数：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。
二、多项式1、多项式、多项式的次数、项几个单项式的和叫做多项式。
其中每个单项式叫做这个多项式的项。
多项式中不含字母的项叫做常数项。
多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。
三、整式：单项式和多项式统称为整式。
四、整式的加减法： 整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。
五、幂的运算性质： 1、同底数幂的乘法：a m﹒a n =a m+n (m,n 都是正整数）；2、幂的乘方：（am）n =a mn (m,n 都是正整数）；3、积的乘方：（ab ）n=a n b n (n 都是正整数）；4、同底数幂的除法：am÷a n =a m-n (m,n 都是正整数,a ≠0) ；六、零指数幂和负整数指数幂： 1、零指数幂：a=1（a ≠0）;2、负整数指数幂：1(0)pp a a a -=≠p 是正整数。
七、整式的乘除法： 1、单项式乘以单项式：法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、p 是正整数相同字母的幂分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因式。
2、单项式乘以多项式：法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
3、多项式乘以多项式：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
4、单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
浙江七年级数学下第三章《整式的乘除》常考题一、单选题(共30分)1．(本题3分)（2018·浙江嘉兴·七年级期末）计算a 2•a 3,结果正确的是（ ） A ．a 5 B ．a 6 C ．a 8 D ．a 9【答案】A 【解析】 【分析】此题目考查的知识点是同底数幂相乘.把握同底数幂相乘,底数不变,指数相加的规律就可以解答． .【详解】同底数幂相乘,底数不变,指数相加. m n m n a a a +⋅=所以23235.a a a a +⋅== 故选A. 【点睛】此题重点考察学生对于同底数幂相乘的计算,熟悉计算法则是解本题的关键． 2．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）若a 为正整数,且x 2a =5,则(2x 3a )2÷4x 4a 的值为（ ） A ．5 B ．2.5C ．25D ．10【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方,等于把积中的每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘计算；再根据单项式除以单项式的法则计算,然后将x 2a =5代入即可求出原代数式的值． 【详解】(2x 3a )2÷4x 4a =4644a a x x ÷=2a x , ∵x 2a =5,∵原式= x 2a =5. 故选A. 【点睛】3．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）已知3,5a b x x ==,则32a b x -=（ ） A ．2725B ．910 C ．35D ．52【答案】A 【解析】 【分析】直接利用同底数幂的除法和幂的乘方运算法则将原式变形得出答案． 【详解】 ∵x a =3,x b =5,∵x 3a-2b =（x a ）3÷（x b ）2 =33÷52 =2725. 故选A. 【点睛】考查了同底数幂的乘除运算和幂的乘方运算,正确将原式变形是解题关键． 4．(本题3分)（2020·浙江杭州·七年级期末）下列各式不能用平方差公式计算的是（ ） A ．(52)(52)x ab x ab -+ B ．()()ax y ax y --- C ．)()(ab c ab c --- D ．()()m n m n +--【答案】D 【解析】 【分析】根据平方差公式对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A 、(52)(52)x ab x ab -+=222254x a b -,故能用平方差公式计算,不合题意； B 、()()ax y ax y ---=222a x y -+,故能用平方差公式计算,不合题意； C 、)()(ab c ab c ---=222c a b -,故能用平方差公式计算,不合题意； D 、()()m n m n +--=2()m n -+,故不能用平方差公式计算,符合题意； 故选D ． 【点睛】5．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b,则a,b的值分别为（）A．a＝5,b＝﹣6B．a＝5,b＝6C．a＝1,b＝6D．a＝1,b＝﹣6【答案】D【解析】【分析】等式左边利用多项式乘多项式法则计算,再利用多项式相等的条件求出a与b的值即可．【详解】解：∵（x﹣2）（x+3）＝x2+x﹣6＝x2+ax+b,∵a＝1,b＝﹣6,故选：D．【点睛】此题考查了多项式乘多项式以及多项式相等的条件,熟练掌握运算法则是解本题的关键．6．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）如图,从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1）,剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙）,则该矩形的面积是（）A．2cm2B．2acm2 C．4acm2D．（a2﹣1）cm2【答案】C【解析】【详解】根据题意得出矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2,求出即可：矩形的面积是（a+1）2﹣（a﹣1）2=a2+2a+1﹣（a2﹣2a+1）=4a（cm2）．故选C．7．(本题3分)（2018·浙江·七年级阶段练习）已知x2+mx+25是完全平方式,则m的值为（）【解析】 【分析】根据完全平方式的特点求解：a 2±2ab +b 2. 【详解】∵x 2+mx +25是完全平方式, ∵m =±10, 故选B ． 【点睛】本题考查了完全平方公式:a 2±2ab +b 2,其特点是首平方,尾平方,首尾积的两倍在中央,这里首末两项是x 和1的平方,那么中间项为加上或减去x 和1的乘积的2倍．8．(本题3分)（2021·浙江吴兴·七年级期末）如图1,将边长为x 的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分）,并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式（ ）A ．2221(1)x x x -+=-B ．21(1)(1)x x x -=+-C ．2221(1)x x x ++=+D ．2(1)x x x x -=-【答案】B 【解析】 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积得到空白部分的面积,然后根据面积相等列出等式即可． 【详解】第一个图形空白部分的面积是x 2-1, 第二个图形的面积是（x+1）（x-1）． 则x 2-1=（x+1）（x-1）．本题考查了平方差公式的几何背景,正确用两种方法表示空白部分的面积是解决问题的关键．9．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期末）已知x2+4y2=13,xy=3,求x+2y的值,这个问题我们可以用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决,其中x>y,能较为简单地解决这个问题的图形是()A．B．C．D．【答案】B【解析】【详解】∵222x y x y xy+=++,(2)44>）, 则这个图∵若用边长分别为x和y的两种正方形组成一个图形来解决（其中x y形应选A,其中图形A中,中间的正方形的边长是x,四个角上的小正方形边长是y,四周带虚线的每个矩形的面积是xy.故选B.10．(本题3分)（2019·浙江瑞安·七年级期中）已知18n++是一个有理数的平方,则221n不能为（）-B．10C．34D．36A．20【答案】D【解析】【分析】分多项式的三项分别是乘积二倍项时,利用完全平方公式分别求出n的值,然后选择答案即可．【详解】2n是乘积二倍项时,2n+218+1=218+2•29+1=（29+1）2,此时n=9+1=10,218是乘积二倍项时,2n+218+1=2n+2•217+1=（217+1）2,此时n=2×17=34,1是乘积二倍项时,2n+218+1=（29）2+2•29•2-10+（2-10）2=（29+2-10）2,综上所述,n可以取到的数是10、34、-20,不能取到的数是36．故选D．【点睛】本题考查了完全平方式,难点在于要分情况讨论,熟记完全平方公式结构是解题的关键．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共21分)11．(本题3分)（2020·浙江杭州·七年级期末）若2y=+,则用含x的代数式表=mx,34m示y=______．【答案】3+x2【解析】【分析】直接利用幂的乘方运算法则表示出y与x之间的关系即可．【详解】解：∵x=2m,∵y=3+4m=3+22m=3+（2m）2=3+x2．故答案为：3+x2．【点睛】此题主要考查了幂的乘方运算,正确将原式变形是解题关键．12．(本题3分)（2021·浙江浙江·七年级期中）计算：(3)2-⋅=_______．a ab【答案】-6a2b【解析】【分析】根据单项式乘单项式法则计算求解即可．【详解】解：-3a•2ab=（-3×2）•（a•a）•b故答案为：-6a 2b ． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式,熟记单项式乘单项式法则是解题的关键．13．(本题3分)（2018·浙江义乌·七年级期末）某班墙上布置的“学习园地”是一个长方形区域,它的面积为3a 2+9ab ﹣6a ,已知这个长方形“学习园地”的长为3a ,则宽为__ 【答案】a +3b ﹣2． 【解析】 【分析】根据题意列出算式,在利用多项式除以单项式的法则计算可得. 【详解】根据题意,长方形的宽为（3a 2+9ab ﹣6a ）÷3a ＝a +3b ﹣2, 故答案为a +3b ﹣2． 【点睛】本题主要考查整式的除法,解题的关键是掌握多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加.14．(本题3分)（2018·浙江仙居·七年级期末）如果代数式8a b +的值为5-,那么代数式()()3252a b a b --+的值为________．【答案】10 【解析】 【分析】原式去括号合并整理后,将a+8b 的值代入计算即可求值． 【详解】原式=3a-6b-5a-10b=-2a-16b=-2（a+8b ）, 当a+8b=-5时,原式=10． 故答案为10 【点睛】此题考查了整式的加减-化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键．15．(本题3分)（2021·浙江杭州·七年级期中）多项式(8)(23)mx x +-展开后不含x 一次项,则m =________． 【答案】12【分析】乘积含x 项包括两部分,∵mx×2,∵8×（-3x ）,再由展开后不含x 的一次项可得出关于m 的方程,解出即可． 【详解】解：（mx+8）（2-3x ） =2mx-3mx 2+16-24x =-3mx 2+（2m-24）x+16,∵多项式（mx+8）（2-3x ）展开后不含x 项, ∵2m-24=0, 解得：m=12, 故答案为：12． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式的知识,属于基础题,注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项,难度一般．16．(本题3分)（2018·浙江·余姚市兰江中学七年级期中）已知130x x+-=,则221x x +=________． 【答案】7 【解析】 【分析】利用完全平方和公式()2222a b a ab b +=++解答； 【详解】 解：130x x+-= ∵13,x x+= ∵22211()2927x x x x ，+=+-=-= 即2217.x x += 故答案为7. 【点睛】考查完全平方公式,熟记公式是解题的关键,属于易错题.22(2016)(2019)n n -+-=________．【答案】７ 【解析】 【分析】先设2016n a ,2019n b ,则(2016)(2019)1n n --=可化为1ab =,22(2016)(2019)n n 22a b =+22abab ,再将2016n a ,2019n b 代入,然后求出结果【详解】解：设：2016n a ,2019n b , 则(2016)(2019)1n n --=可化为：1ab = ∵22(2016)(2019)n n22(2016)(2019)n n22a b =+()22a b ab =--将2016n a ,2019n b ,1ab =代入上式, 则22(2016)(2019)n n22016201921nn2327=【点睛】本题考查了对完全平方公式的应用,能熟记公式,并能设2016n a ,2019n b ,然后将原代数式化简再求值是解此题的关键,注意：完全平方公式为∵ 222()2a b a ab b +=++,∵222()2a b a ab b -=-+．三、解答题(共49分)18．(本题9分)（2020·浙江义乌·七年级期末）计算：（1）()23210-⨯；（2）()232()2⋅-+-a a a ；（3）()2321(23)(5)x x x x x ++-+-【答案】（1）6410⨯；（2）43a ；（3）32341015x x x +++ 【解析】 【分析】（2）先算乘方,再算乘法,最后算加法； （3）先算乘法,再算加减法． 【详解】解：（1）()23210-⨯,=()()223210-⨯,=6410⨯；（2）()232()2⋅-+-a a a , =34()4a a a ⋅-+, =444a a -+, =43a ；（3）()2321(23)(5)x x x x x ++-+- =()3223632715x x x x x ++---,=3223632715x x x x x ++-++, =32341015x x x +++ 【点睛】本题考查了整式的混合运算,整式混合运算的顺序是先乘方,后乘除,再加减．如果有括号,先算括号内．19．(本题6分)（2021·浙江浙江·七年级期末）（1）已知m +n ＝4,mn ＝2,求m 2+n 2的值；（2）已知am ＝3,an ＝5,求a 3m ﹣2n 的值． 【答案】（1）12；（2）2725【解析】 【分析】（1）先根据完全平方公式得出m 2+n 2＝（m +n ）2﹣2mn ,再求出答案即可；（2）先根据同底数幂的除法进行变形,再根据幂的乘方进行变形,最后求出答案即可． 【详解】解：（1）∵m +n ＝4,mn ＝2, ∵m 2+n 2＝42﹣2×2＝12；（2）∵am ＝3,an ＝5,∵a 3m ﹣2n＝a 3m ÷a 2n＝（am ）3÷（an ）2＝33÷52 ＝2725． 【点睛】本题考查了同底数幂的除法,幂的乘方,完全平方公式等知识点,能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键,注意：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2．20．(本题8分)（2021·浙江·七年级专题练习）若关于x 的多项式()2(3)x x m mx +-⋅-的展开式中不含2x 项,求4(1)(2)(25)(3)m m m m +--+-的值．【答案】16【解析】【分析】将多项式展开,合并同类项,根据不含2x 项得到m 值,再代入计算．【详解】解：原式()2(3)x x m mx =+-⋅-3222333mx x mx x m x m =-+--+()322(3)33mx m x m x m =+--++由题意得30m -=,∵3m =,∵原式4(31)(32)(235)(33)16=⨯+⨯--⨯+⨯-=．【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值,多项式的应用,解此题的关键是能根据整式的运算法则进行化简,难度不是很大．21．(本题8分)（2019·浙江桐乡·七年级期中）王老师家买了一套新房,其结构如图所示(单位：m)．他打算将卧室铺上木地板,其余部分铺上地砖．(1)木地板和地砖分别需要多少平方米？(2)如果地砖的价格为每平方米x 元,木地板的价格为每平方米3x 元,那么王老师需要花多少钱？【答案】（1）木地板需要4ab m 2,地砖需要11ab m 2；（2）王老师需要花23abx 元．【解析】【详解】试题分析：（1）根据长方形面积公式计算出卧室面积即为木地板的面积,客厅的面积+卫生间的面积+厨房的面积就是需要铺的地砖面积；（2）利用总面积×单价=总钱数求解即可．试题解析：（1）卧室的面积是2b (4a －2a )＝4ab (平方米),厨房、卫生间、客厅的面积和是b ·(4a －2a －a )＋a ·(4b －2b )＋2a ·4b ＝ab ＋2ab ＋8ab ＝11ab (平方米),即木地板需要4ab 平方米,地砖需要11ab 平方米；（2）11ab ·x ＋4ab ·3x ＝11abx ＋12abx ＝23abx (元),即王老师需要花23abx 元．22．(本题8分)（2021·浙江浙江·七年级期末）从边长为 a 的正方形剪掉一个边长为b 的正方形（如图 1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图 2）．（1）上述操作能验证的等式是 （请选择正确的一个）A ．a 2﹣2ab +b 2＝（a ﹣b ）2B ．a 2﹣b 2＝（a +b ）（a ﹣b ）C ．a 2+ab ＝a （a +b ）（2）若 x 2﹣9y 2＝12,x +3y ＝4,求 x ﹣3y 的值；（3）计算：2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420192020-----．【答案】（1）B （2）3 （3）20214040【解析】【分析】 （1）分别根据图1和图2表示阴影部分的面积,即可得解；（2）利用（1）的结论求解即可；（3）利用（1）的结论进行化简计算即可．【详解】（1）根据阴影部分的面积可得()()22a b a b a b -=+-故上述操作能验证的等式是B ；（2）∵22912x y -=∵()()3312x y x y +-=∵34x y +=∵()4312x y -=∵33x y -=；（3）2222211111(1)(1)(1)(1)(1)23420192020-⨯-⨯-⨯⨯-⨯- 111111111111111111112233442019201920202020⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭31425320202018202120192233442019201920202020=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ 1202122020=⨯ 20214040=． 【点睛】本题考查了平方差公式的证明以及应用,掌握平方差公式的证明以及应用是解题的关键．23．(本题10分)（2021·浙江浙江·七年级期末）若x 满足(7)(4)2x x --=,求22(7)(4)x x -+-的值：解：设7,4x a x b -=-=,则(7)(4)2(7)(4)3x x ab a b x x --==+=-+-=，所以22222222(7)(4)(7)(4)()23225x x x x a b a b ab -+-=-+-=+=+-=-⨯=请仿照上面的方法求解下面的问题（1）若x 满足(8)(3)3x x --=,求22(8)(3)x x -+-的值；（2）已知正方形ABCD 的边长为x E F ，，分别是AD DC ，上的点,且25AE CF ==，,长方形EMFD 的面积是28,分别以MF DF 、为边作正方形,求阴影部分的面积．【答案】（1）19；（2）33．【解析】【分析】（1）设8,3x a x b -=-=,从而可得3,5ab a b =+=,再利用完全平方公式进行变形运算即可得；（2）先根据线段的和差、长方形的面积公式可得(2)(5)28x x --=,再利用正方形MFRN 的面积减去正方形DFGH 的面积可得阴影部分的面积,然后仿照（1）的方法思路、结合平方差公式进行变形求解即可得．【详解】（1）设8,3x a x b -=-=,则3,5ab a b =+=,所以2222(8)(3)x x a b -+-+=,2()2a b ab =+-,2523=-⨯,19=；（2）由题意得：2,5MF DE x DF x ==-=-,(2)(5)28DE DF x x ⋅=--=, 因为阴影部分的面积等于正方形MFRN 的面积减去正方形DFGH 的面积, 所以阴影部分的面积为2222(2)(5)MF DF x x -=---,设2,5x m x n -=-=,则28,3mn m n =-=,所以222()()43428121m n m n mn +=-+=+⨯=,由平方根的性质得：11+=m n 或110m n +=-<（不符题意,舍去）,所以2222(2)(5)x x m n ---=-,=+-,m n m n()()=⨯,113=,33故阴影部分的面积为33．【点睛】本题考查了乘法公式与图形面积,熟练掌握并灵活运用乘法公式是解题关键．。
浙教版2022-2023学年数学七年级下册第3章整式的乘除3.1同底数幂的乘法（3）【知识重点】1．积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。
2．字母表示：(1)(ab )n = a n b n (n 是正整数)；(2)(abc )n = a n b n c n (n 是正整数)；(3) a n b n =(ab )n (n 是正整数)【经典例题】【例1】计算(−4x 3)2的符合题意结果是（ ）A ．16x 6B ．16x 5C ．−16x 5D ．8x 6【例2】计算：(−5x 2yz 2)3= ．【例3】计算（﹣23）2018×（1.5）2019＝ ．【例4】已知2x+3•3x+3=36x ﹣2，求x 的值．【基础训练】1．计算 (ab 3)2 的结果是（ ）A ．2ab 3B ．ab 6C ．a 2b 5D ．a 2b 6 2．计算：（﹣a 2b ）2•a 2＝（ ）A ．a 4b 2B ．a 6b 2C ．a 5b 2D ．a 8b 23．计算 (−23)2018×(1.5)2019 的结果是（ ） A ．−23 B ．32 C ．23 D ．−32 4．计算(－ 23×103)2×(1.5×104)2的结果是 ( ) A ．－1.5×1011 B ．23 ×1010 C ．1014 D ．－1014 5．若2m =a ，3m =b ，则6m 等于（ ）A ．a +bB ．a −bC ．abD ．a b 6．已知 2n =a ， 5n =b ， 20n =c ，那么a 、b 、c 之间满足的等量关系是（ ） A ．c =ab B ．c =ab 2 C ．c =a 2b 2 D ．c =a 2b 7．当 x =-6，y= 16 时， x 2013y 2014的值为 ． 8．计算：(−14)12×88= ．9．用简便方法计算下列各题： （1）(45)2018×(−1.25)2019（2）(225)10×(−56)10×(12)11【培优训练】10．若 (2a m b m+n )3=8a 9b 15 成立，则（ ） A ．m=3,n=2 B ．m=n=3 C ．m=6,n=2D ．m=3,n=511．计算：(−37)40×(423)40×0.12512= ． 12．计算：42n ·（−14）2n+1= （n 为正整数）． 13．计算：（110×19×…×12×1）10×（10×9×…2×1）10= . 14．若a 2n =5，b 2n =16，则（ab ）n =15．已知x n =2，y n =3，求（x 2y ）2n 的值．16．已知n 是正整数，且 x 3n =2 ，求 (3x 3n )2+(−2x 2n )3 的值.17．已知42x ⋅52x+1−42x+1⋅52x =203x−4，求x 的值；18．若2a =3，2b =5，2c =75，试说明：a+2b=c ．19．已知 (ab)2=a 2b 2 ， (ab)3=a 3b 3 ， (ab)4=a 4b 4 ． （1）当 a =1 ， b =−2 时， (ab)5= ， a 5b 5= ． （2）当 a =−1 ， b =10 时， (ab)6= ， a 6b 6= ． （3）观察（1）和（2）的结果，可以得出结论： (ab)n = （n 为正整数）．（4）此性质可以用来进行积的乘方运算，反之仍然成立．如 a 2b 2=(ab)2 ， a 3b 3=(ab)3 ，…．应用上述等式，求 (−14)2019×42020 的值．20．按题目要求计算：（1）已知 2m −1=2 ，求 3+4m 的值；（2）已知 78=a 、 87=b ，用含有 a 、 b 的式子表示 5656 .【直击中考】21．计算(−3x)2⋅2x 正确的是（ ） A ．6x 3 B ．12x 3C ．18x 3D ．−12x 3 22．化简(3a 2)2的结果是（ ）A ．9a 2B ．6a 2C ．9a 4D ．3a 4 23．下列计算正确的是（ ）A ．a 3•a ＝a 3B ．（a 2）3＝a 5C ．4a•（﹣3ab ）＝﹣12a 2bD ．（﹣3a 2）3＝﹣9a 6。
北师大版七年级数学下册知识点总结一、整式的乘除。
1. 同底数幂的乘法。
- 法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
即a^m· a^n = a^m + n（m、n 为正整数）。
- 例如：2^3×2^4=2^3 + 4=2^7。
2. 幂的乘方。
- 法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
即(a^m)^n=a^mn（m、n为正整数）。
- 例如：(3^2)^3 = 3^2×3=3^6。
3. 积的乘方。
- 法则：积的乘方等于乘方的积。
即(ab)^n=a^n b^n（n为正整数）。
- 例如：(2×3)^2=2^2×3^2 = 4×9 = 36。
4. 同底数幂的除法。
- 法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
即a^m÷ a^n=a^m - n（a≠0，m、n为正整数且m>n）。
- 例如：5^5÷5^3 = 5^5 - 3=5^2。
5. 零指数幂。
- 规定：a^0 = 1（a≠0）。
6. 负整数指数幂。
- 规定：a^-p=(1)/(a^p)（a≠0，p为正整数）。
- 例如：2^-3=(1)/(2^3)=(1)/(8)。
7. 整式的乘法。
- 单项式乘以单项式：系数相乘，同底数幂相乘。
例如：3x^2·2x^3=(3×2)(x^2+3) = 6x^5。
- 单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：2x(x + 3)=2x^2+6x。
- 多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例如：(x + 2)(x+3)=x^2+3x+2x + 6=x^2+5x+6。
8. 整式的除法。
- 单项式除以单项式：系数相除，同底数幂相除。
例如：6x^5÷2x^3=(6÷2)(x^5 - 3)=3x^2。
- 多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。
2020-2021学年浙教版七年级下册第3章《整式的乘除》同步练习【3.1.1 同底数幂的乘法】一、单选题：1.化简(-x)3·(-x)2的结果正确的是（）A.−x6B.x6C.x5D.−x5【答案】 D【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】解：(−x)3(−x)2=(−x)3+2=(−x)5=−x5故答案为：D.【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此计算即可.2.化简x3⋅(−x)3的结果是（）A.−x6B.x6C.x5D.−x5【答案】A【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】解：原式= x3·(−x3)= −x6故答案为：A．【分析】先算幂的乘方，再利用同底数幂的乘法计算即可.3.若a m⋅a3=a5，则m的值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】解：∵ a m⋅a3=a5，∵ a m+3=a5，∵m+3=5，∵m=2．故答案为：B．【分析】根据同底数幂乘法，得出a m+3=a5，从而可得m+3=5，解出m即可.4.已知a m=2，a n=3，则a n+m=（）A.2B.3C.5D.6【答案】 D【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】解：a n+m=a n•a m=3×2=6．故答案为：D．【分析】将a n+m转化为a n•a m，再代入求值即可。
5.若a·2·23=28，则a等于（）A.4B.8C.16D.32【答案】C【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】∵a•2•23=28，∵a=28÷24=24=16，故答案为：C．【分析】根据同底数幂的乘法法则求解即可．6.在等式a ·a ·()=a 中，括号内的代数式应当是（）A.aB.aC.aD.a【答案】B【考点】同底数幂的乘法【解析】解答：a ·a ·( )=a∵a ·a =a ，∵括号内的代数式应当是：a ÷a =a .故选B.分析：直接利用同底数幂的乘法的知识点求解即可求得答案.7.已知2a=5,2b=3.2,2c=6.4,2d=10，则a+b+c+d的值为（）A.5B.10C.32D.64【答案】B【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】解：∵ 2a·2b·2c·2d=2a+b+c+d∵ 5×3.2×6.4×10=1024=210∵ a+b+c+d=10故答案为：B.【分析】利用同底数幂的乘法计算，可得到结果.8.电子文件的大小常用B, KB,MB,GB等作为单位，其中1GB=210MB,1MB=210KB,1KB=210B，某视频文件的大小约为1GB,1GB等于（）A.230BB.830BC.8×1010BD.2×1030B【答案】A【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】依题意得1GB=210MB=210×210KB=210×210×210B= 230B故答案为：A.【分析】由题意把1GB用B表示出来，根据“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”即可求解.9.若x ，y为正整数，且2x•2y=25，则x ，y的值有（）A.4对B.3对C.2对D.1对【答案】A【考点】同底数幂的乘法【解析】解答：∵2x•2y=2x+y=25，∵x+y=5，∵x ，y为正整数，∵x ，y的值有x=1，y=4；x=2，y=3；x=3，y=2；x=4，y=1．共4对.分析：根据同底数幂的乘法和算术同底数幂的乘法的概念求出2的同底数幂的乘法和算术同底数幂的乘法分别为和，然后判断各选项即可得出答案．10.下列运算正确的是（）A.x3+x3=x6B.x3⋅(2x)2=4x5C.3x3y2÷xy2=3x4D.(−3a2)2=6a2【答案】B【考点】单项式乘单项式，单项式除以单项式，合并同类项法则及应用，积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】A. x3+x3=2x3，故错误；B. x3⋅(2x)2=4x5，正确；C. 3x3y2÷xy2=3x2，故错误；D. (−3a2)2=9a4，故错误；故答案为：B.【分析】根据合并同类项、单项式乘单项式、单项式除以单项式、积的乘方分别进行计算，然后判断即可.二、填空题：11.计算：（﹣a2）•a3=________【答案】﹣a5【考点】同底数幂的乘法【解析】【解答】解：原式=﹣a5，故答案是﹣a5．【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加．12.计算：(−12ab2)3=________．【答案】−18a3b6【考点】积的乘方，幂的乘方【解析】【解答】解：(−12ab2)3=(−12)3⋅a3(b2)3=−18a3b6．故答案为：−18a3b6．【分析】根据幂的乘方及积的乘方进行作答即可。
精选2019-2020年浙教版数学七年级下册第三章整式的乘除3.1 同底数幂的乘法巩固辅导第二十七篇第1题【单选题】下列计算正确的是( )A、b^2?b^2=2b^2B、（x﹣3）^2=x^2﹣9C、（a^5）^2=a^7D、（﹣2a）^2=4a^2【答案】：【解析】：第2题【单选题】下列各式正确的是( )A、2a+3b=5abB、a^2×2a^4=2a^4C、（﹣a^2b^2）^2=a^4b^4D、a^4÷a^2=a^3【答案】：【解析】：第3题【单选题】下列各式中，运算正确的是( )A、B、C、D、【答案】：【解析】：第4题【单选题】下列计算正确的是( )A、x^4?x^4=x^16B、（a^3）^2=a^5C、（ab^2）^3=ab^6D、a+2a=3a【答案】：【解析】：第5题【单选题】下列运算正确的是( )A、a<sup style="line-height: 22px;">2?a<sup style="line-height: 22px;">3=a<sup style="line-height:22px;">6B、a<sup style="line-height: 22px;">3+a<sup style="line-height: 22px;">3=a<sup style="line-height:22px;">6C、|﹣a<sup style="line-height: 22px;">2|=﹣a<sup style="line-height: 22px;">2D、（﹣a<sup style="line-height: 22px;">3）<sup style="line-height: 22px;">2=a<sup style="line-height:22px;">6【答案】：【解析】：第6题【单选题】a^3m^+1可以写成( )A、(a)B、(am)C、a·aD、（a）【答案】：【解析】：第7题【单选题】下列运算正确的是A、2a＋3a＝5a^2B、a^6÷a^2＝a^3C、(－3a^3)^2＝9a^6D、(a－3)^2＝a^2－9 【答案】：【解析】：第8题【单选题】下列式子正确的是( )^A、x^6÷x^3=x^2B、（﹣1）^﹣^1=﹣1C、4m^﹣^2=有误D、（a^2）^4=a^6【答案】：【解析】：第9题【单选题】若3×9^m×27^m=3^21 ，则m的值为( )A、3B、4C、5D、6【答案】：【解析】：第10题【填空题】计算：8^2014×（﹣0.125）^2015=______．【答案】：【解析】：第11题【填空题】计算：（﹣2a）?（﹣有误ab）^2=______．【答案】：【解析】：第12题【填空题】计算（﹣x^2）^3?x^2=______．A、﹣x^8<\/sup>【答案】：【解析】：第13题【填空题】(-x)(-x·y)=______.【答案】：【解析】：第14题【计算题】计算? （3x^2y^﹣^1）^2（x^3y^﹣^2）^﹣^2 ．【答案】：【解析】：第15题【计算题】计算①﹣x^5?x^2?x^10②（﹣2）^9（﹣2）^8?（﹣2）^3③a^6?a^2+a^5?a^3﹣2a?a^7④（﹣a）^2?（﹣a）^3?a^6⑤（a﹣1）^3?（a﹣1）^2?（a﹣1）⑥（a﹣b﹣c）（b+c﹣a）（c﹣a+b）^3 ．A、解：①﹣x^5<\/sup>?x^2<\/sup>?x^10<\/sup>=﹣x^17<\/sup>；②（﹣2）^9<\/sup>（﹣2）^8<\/sup>?（﹣2）^3<\/sup>=（﹣2）^20<\/sup>=2^20<\/sup>；③a^6<\/sup>?a^2<\/sup>+a^5<\/sup>?a^3<\/sup>﹣2a?a^7<\/sup>=a^8<\/sup>+a^8<\/sup>﹣2a^8<\/sup>=0；④（﹣a）^2<\/sup>?（﹣a）^3<\/sup>?a^6<\/sup>=﹣a^2<\/sup>?a^3<\/sup>?a^6<\/sup>=﹣a^11<\/sup>；⑤（a﹣1）^3<\/sup>?（a﹣1）^2<\/sup>?（a﹣1）=（a﹣1）^6<\/sup>；⑥（a﹣b﹣c）（b+c﹣a）（c﹣a+b）^3<\/sup>=（a﹣b﹣c）（a﹣b﹣c）（a﹣b﹣c）^3<\/sup>=（a﹣b﹣c）^5<\/sup>【答案】：【解析】：。
整式乘除知识点睛模块一 幂的运算幂的运算⑴ 同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．⑵ 幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）． ⑶ 积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为：()n n n ab a b =（n 是正整数）．⑷ 同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：m n m n a a a -÷= （0a ≠，m ，n 都是正整数）⑸ 规定()010a a =≠；1p pa a -=（0a ≠，p 是正整数）． 模块二 整式的乘法⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c .⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++模块三 整式的除法⑴ 单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c .⑵ 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.模块四 平方差公式平方差公式的特点：即两数和与它们差的积等于这两数的平方差。
新浙教版七年级下册数学各章知识点第一章：平行线与相交线一、知识构造⎧⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎩⎪⎩同位角相等，两直线平行直线平行的判定内错角相等，两直线平行同旁内角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等平行线直线平行的性质两直线平行，内错角相等平行线与相交线两直线平行，同旁内角互补作一条线段等于已知线段尺规作图作一个角等于已知角相交线：补角、余角、对顶角二、要点诠释1.两条直线的位置关系〔1〕在同一平面，两条直线的位置关系只有两种：相交与平行。
〔2〕平行线：在同一平面，不相交的两条直线交平行线。
2.几种特殊关系的角〔1〕余角和补角：①定义：如果两个角的和是直角，称这两个角互为余角；如果两个角的和是平角，称这两个角互为补角。
②性质：同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等。
〔2〕对顶角：①定义：两条直线相交所得有公共顶点、没有公共边的两个角②性质：对顶角相等。
〔3〕同位角、错角、同旁角两条直线分别与第三条直线相交，构成八个角。
①在两条直线同一侧并且在第三条直线的旁边的两个角叫同位角。
②在两条直线之间并且在第三条直线的两旁的两个角叫做错角。
③在两条直线之间并且在第三条直线的同旁的两个角叫做同旁角。
三、主要容〔1〕平行线的判定：同位角相等，两直线平行；错角相等，两直线平行；同旁角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行；垂直于同一条直线的两直线平行。
〔2〕平行线的性质两直线平行，同位角相等；两直线平行，错角相等；两直线平行，同旁角互补；经过直线外一点有且只有一条直线与直线平行。
第二章：二元一次方程组2.1二元一次方程含有两个未知数，且含有未知数的项的次数都是一次的方程叫做二元一次方程。
使二元一次方程两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元一次方程的一个解。
2.2二元一次方程组由两个二元一次方程组成，并且含有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组。
2018—2019北师版七下数学第一章《整式的乘除》同底数幂的除法相关运算技巧逆用幂的运算性质幂的运算性质用式子表示，是：1．a m·a n=a m+n；2．a m÷a n=a m-n；3．(a m)n=a mn；4．(ab)n=a n b n．它们是整式乘除法的基础，解一些与幂的运算有关的问题时，逆用这些性质，可以化难为易，取到事半功倍的效果，下面举例说明．1．计算例1计算(-0.125)7·88=______．解原式=(-0.125)7·87·8=(-0.125·8)7·8=-8．2．求值例2若2x+5y-3=0，则4x·32y=______．解已知条件变形为2x+5y=3，则原式=(22)x·(25)y=22x+5y=8．例3已知3x=a，3y=b，则32x-y等于 [ ]解由3x=a，3y=b，得解不难发现例5 已知3x+3-x=4，则27x+27-x的值是 [ ] A．64B．60C．52D．48解由已知等式，得(3x+3-x)2=16．∴ 32x+3-２x=14．原式=(3x)3+(3-x)3=(3x+3-x)(32x+3-2x-1)=4(14-1)=52．3．大小比较例6已知a=35５，b=44４，c=53３，则有 [ ]A．a＜b＜c B．c＜b＜aC．c＜a＜b D．a＜c＜b解 a=(35)11=24311，b=(44)11=25611，c=(53)11=12511．∵ 125＜243＜256，∴ c＜a＜b．A．P＞Q B．P=QC．P＜Q D．不能确定∴ P=Q．4．个位数字例8设＜n＞表示正整数n的个位数，例如＜3＞=3，＜21＞=1，＜13×24＞=2，则＜210＞=______．解 210=(24)2·22=162·4，∴＜210＞=＜6×4＞=4．例9 1993+9319的个位数字是 [ ]A．2 B．4C．6 D．8解 1993+9319的个位数字等于993+319的个位数字．∵ 993=(92)4６·9=814６·9．319=(34)4·33=814·27．∴993+319的个位数字等于9+7的个位数字．则 1993+9319的个位数字是6．逆用幂的运算性质解题幂的运算性质有：a m·a n＝a m+n；(a m)n＝a m n；(ab)n＝a n b n；a m÷a n＝a m－n(a≠0，m＞n)．逆用这些性质，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果．例1计算(-0.125)1999·26000．解：原式＝(-0.125)1999·82000＝(-0.125)1999·81999·8＝(-0.125×8)1999·8＝(-1)1999·8＝-8．例2 若2x+3y-4＝0，求9x·27y的值．解：由条件，知2x+3y＝4．所以9x·27y＝32x·33y＝32x+3y＝34＝81．例3 若103x＝125，求101-x．解：由103x＝125，得(10x)3＝53．故10x＝5．例4 已知a＝355，b＝444，c＝533，则有[ ]A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．a＜c＜b解：a＝(35)11＝24311，b＝(44)11＝25611，c＝(53)11＝12511．因为125＜243＜256．所以c＜a＜b．故应选C．例5 220+321+720的个位数字是____．解：原式＝(24)5+(34)5·3+(74)5＝165+815·3+24015．∵165，815·3，24015的个位数字分别是6，3，1，∴220+321+720的个位数字是0．幂运算常见错误浅析幂运算是学习整式乘法和除法的基础，是同学们遇到的一种比较抽象的运算．对于幂的运算性质：a m·a n=a m+n，a m÷a n=a m-n(m＞n)，(a m)n=a mn，(ab)n=a n b n等，尽管老师反复提醒不要粗心大意，但仍会出现诸如53×53=59，a5+a5=a10，(52)5=57，(ab2)3=ab6，a3n÷a n=a3等类运算错误．出现错误有其偶然性，也有更深层原因：1．不稳定的知识结构，产生负迁移在数学法则的学习中，新法则的内容会以特殊的方式作用于原有的认识结构，错算53×53．实际上，是在学习这个性质时，对幂的概念的例1计算：m5·m4·m3·m2·m．错解：原式=m5+4+3+2=m14．分析：错解忽略了指数为“1”的情况．原式=m15．例2计算：(-3ab2)2．错解：(-3ab2)2=-32a2b4=-9a2b4．分析：错在忽略了积中数字因数的符号，原式=9a2b4．2．不合理的思维定势，产生负迁移思维定势是一种客观存在的思维定向预备状态，同学们的认知过程是在原有的定势上进行的，而这种定势会产生正负两种相向的迁移，要求我们有效地把握．在运算中出现类似于a3n÷a n=a3错误，最主要的原因是受3n÷n＝3的影响，把只能用在整数中相除的法则，机械地搬用于幂的除法之中．这便是思维定势负迁移作用的结果．例3计算a2a3÷a3=______，错解：原式=a2×3÷3=a2．分析：这是将整式乘除法则机械搬用的错误，尽管结论凑巧相同，也不能算是正确．正确解法是：原式=a2+3-3=a2例4下列计算中，不正确的是 [ ]A．x5+x5=2x5B．a5÷a5=aC．(-a)5(-a)5=a10 D．(-a5)5=-a25(正确答案：B)以上所述是产生幂运算错误两种知识方面的因素．此外，还有非知识方面的因素，象错a m+a m＝a2m，也有不认真仔细审题之过(没注意左边就是两同类项之和，可合并)．又如计算a mn÷a m-n不就是计算被除数与除数相等时的商吗？直接观察便知结果是1，但却偏偏出现误算a m-n÷a m-n=a(m-n)-(m-n)=a m-n-m-n=a-2n，这是心理素质不稳定、急躁而出现认知故障，造成运算刻板，最终导致错误．指数运算的一些技巧指数运算技巧性较强，如果能选择恰当的方法，有可能避开繁杂的计算，本文介绍几种运算技巧：1．将底数写成幂不含字母的指数运算，一般将底数写成幂，根据(a n)m=a m n，将指数化简．例1计算2．“底倒指反”负指数化正指数的口诀是：底倒指反．即底数取倒数，指数取相反数．解：3．用乘法公式例3计算(a2-2+a-2)÷(a2-a-2)．4．用分式基本性质化为正指数．解：原式5．指数式化为根式解：6．根式化为分数指数当根号内均是乘除形式的多重根式时，将根式化为分数指数运算．。
