第二章 质量波动和偏差

3. 常见的概率分布或统计分布
• 概率分布 用来描述随机变量取值概率的分布情况或规律。
• 离散随机变量的概率分布
用列表形式给出概率分布
例：
X P
1 0.3
2 0.4
3 0.3
用函数形式给出概率分布
P( X ai ) pi , i 1,2,
其中
0 pi 1,
p
i
i
1
• 贝努力分布
记
Z ~ N (0,1) ， P( Z z )
则
P( Z z ) 1 P(| Z | z / 2 ) 1 P(| Z | z / 2 )
第三节 合格率和偏差均方
1. 特性值的稳定性

特性值的的变化或波动范围小，显示其稳定性 好，反之则差。 质量好坏跟特性值的稳定性和设计要求有关。 高质量要求特性值的稳定性好。 稳定性程度跟特性值的统计分布有关，它可以 用某个统计指标或统计量来描述和度量，常用 的有合格率和偏差均方等指标。
曲线为密度函数 面积为分布函数
x
• 均匀分布：U(a , b)
密度函数
1 b a , a x b f ( x) 0, 其它
分布函数
xa 0, x a, a x b F ( x) b a xb 1,
1
1 ba
0
a
L(ห้องสมุดไป่ตู้y) k ( y T )
2
整批产品的平均质量损失为
E[ L( y)] kE( y T )
2
第五节 质量因素的分类及其作用
1. 各种角度的因素分类
• • • 可控因素和不可控因素 信号因素和噪声因素 正常因素和异常因素
•
•
内部因素和外部因素
线上因素和线外因素
•
•
短期因素和长期因素



•
评估质量好坏的两个常用指标
① 合格率
P P(a y b)
其中，y为质量特性值，a, b为设计下界和上界。 因此，产品合格率的高低是由特性值的分布所 决定的。
② 偏差均方
E( y T )2
其中，T 为特性值 y 的设计目标值。
• 偏差均方的分解公式
E ( y T ) 2 [ E ( y ) T ]2 Var ( y ) ˆ ( T )
第二节 质量特性值的统计分布
1. 质量特性值的随机性
产品由于受到内部和外部的各种因素干扰，使 得其质量特性值呈现出不稳定性或随机性。
2. 质量特性值的统计分布

质量特性值是一个随机变量，其统计分布即 指该随机变量的概率分布。
质量特性值及其统计分布可以是离散的。


在很多情况下，连续质量特性值的统计分布 可以假设为正态分布。
P( X 1) p , P( X 0) 1 p ; (0 p 1)
• 二项分布
n k nk P( X k ) p ( 1 p ) , k 0,1,, n ; (0 p 1) k
其中，n 表示独立进行贝努利试验的重复次数， k 表示1出现的次数。
L(T ) L(T ) 2 L( y ) L(T ) (y T) ( y T ) 1! 2!
L( y) k ( y T )
其中，k为常数。
2
2. 质量损失函数的定义和计算
定义：质量损失函数为
k ( y T ) 2 , 当T y T L( y ) A, 当y T 或y T
等等。
2. 引起偏差和波动的因素辨识
• 可控因素和不可控因素
•
• • • •
信号因素和噪声因素
正常因素和异常因素 内部因素和外部因素 线上因素和线外因素 短期因素和长期因素
•
等等。
其中，称为特性值y的容差，[T-,T+]称为特 性值y的公差范围。在公差范围之外，产品为不合 格，其损失为常数A。 因此，可得
A k
质量损失函数图
• 田口的光辉思想：容差的确定
设产品的功能界限为[T-0,T+0]，即当y在它 范围之外，产品丧失应有功能，对消费者来说 完全报废，其损失为D，满足
L(107) 0.22 (107100)2 10.78(元)
田口认为：虽然这个电路的特性值离功能界限还 较远，仍具有相当的功能，但如果认为它是合格 品而让它出厂，这将给社会造成不必要的额外损 失 10.78 -5 = 5.78元。 这种行为比小偷还要坏。
3. 偏差均方与损失函数的关系
单个产品的质量损失为
b
x
0
a
b
x
• 正态分布： N ( , 2 ) 密度函数 分布函数
1 f ( x) e 2 ( x )2 2 2
, x
( x )2 2 2
F ( x)
x

1 e 2
dx
例：零件加工精度，测量误差，发射距离，等。

标准正态分布 N (0,1) 若 X ~ N ( , ) ，则 Z
2 2
其中， =E(y)， 2=Var(y)。
E(y)–T 称之为质量特性值的偏差，
Var(y) 称之为质量特性值的波动。
意义：质量是由特性值的偏差和波动所决定的。
第四节 质量损失函数
1. 由来
质量损失函数是由日本的田口玄一提出来的。 若特性值 y 没有达到其设计目标值T，则产品 有经济损失，记作L(y)。不妨设L(T) = 0。由于 L(y)在 y = T 处达到最小值，因此，L(y)的一阶导 数L‘(T) = 0。 由L(y)的Taylor展开式，可得
k D 20
通常A小于D。因此 也小于0。
例：某电路的直流输出电压的中心值T=100V， 其功能界限0=15V，功能失效的损失D=50元， 而修理费用A=5元。因此
k D 20 50 152 0.22
A k 5 0.22 4.77
若一个电路的特性值等于107，则其质量损失为
第二章 质量波动和偏差
第一节 质量特性值
1. 产品（或事物）的功能或特性
2. 质量特性值的含义
质量特性值：一般是指用来描述产品功能 指标或性能指标的度量值。
例：a. 零部件的尺寸，产品的长、宽和高度； b. 电器的输出功率、电流或电压； c. 液体的浓度，配比的含量或比例；等。
3. 质量特性值的三种设计类型
• poisson分布
P( X k )
k
k!
e k , k 0,1,2,; ( 0)
•
连续随机变量的概率分布
记(概率)密度函数 f (x)，(累积)分布函数F(x)，则
F ( x) f ( x)dx P( X x)
x
其中， f (x)≥0。 f (x) f (x) F(x) x
2

X

~ N (0,1)
标准正态的密度函数
标准正态的分布函数

正态分布的临界值及其图示
X ~ N (, ) Z ~ N (0,1)
2
P( X ) P(1 Z 1) 68.27% P( 2 X 2 ) P(2 Z 2) 95.45% P( 3 X 3 ) P(3 Z 3) 99.73%
a. 望目特性：要求产品特性值达到某个给定的目 标值。
例：零部件的加工尺寸，输出功率，等。 b. 望大特性：希望产品特性值越大越好。 例：化学反应物的收率，农作物的产量，电器的 信噪比，等。 c. 望小特性：希望产品特性值越小越好。 例：零部件的加工误差，食品的不健康物含量， 原材料的杂质含量，等。