2020年春北师大版数学七年级下册第五章生活中的轴对称5.3简单的轴对称图形(第3课时)教案设计

七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3.1简单的轴对称图形教学设计新版北师大版一. 教材分析本节课的主要内容是简单的轴对称图形。

教材通过具体的实例，让学生感受生活中的轴对称现象，从而引出轴对称图形的概念，并进一步探究轴对称图形的性质。

教材内容由浅入深，逐步引导学生掌握轴对称图形的判定方法和性质，为后续学习更复杂的图形对称性打下基础。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的图形认知能力，对生活中的一些简单轴对称现象有所了解。

但他们对轴对称图形的定义和性质可能还比较陌生，需要通过具体的实例和活动来理解和掌握。

此外，学生可能对图形的对称性有一定的认识，但对轴对称图形的判定方法和性质可能还不够清晰。

三. 教学目标1.知识与技能：理解轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的性质，学会判断一个图形是否为轴对称图形。

2.过程与方法：通过观察、操作、交流等活动，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：感受数学与生活的紧密联系，提高学生对数学的兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重点：轴对称图形的概念和性质。

2.难点：轴对称图形的判定方法。

五. 教学方法采用问题驱动法、实例教学法、合作学习法等多种教学方法，引导学生观察、思考、操作、交流，从而达到对轴对称图形的理解和掌握。

六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔、对称图形卡片。

2.学具：学生手册、剪刀、彩笔。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体课件展示一些生活中的轴对称现象，如剪纸、建筑、自然界中的对称等，引导学生关注和欣赏这些美丽的对称图形。

同时，提出问题：“你们对这些图形有什么共同的特点？”让学生思考和交流。

2.呈现（10分钟）介绍轴对称图形的概念，并用具体的实例来说明。

同时，引导学生尝试判断一些图形是否为轴对称图形，并说明理由。

3.操练（10分钟）学生分组活动，每组选择一个图形，判断它是否为轴对称图形。

如果是的，找出对称轴，并说明理由。

《生活中的轴对称》全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的判断与应用1、（泰安模拟）如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．【总结升华】对于一下折叠、展开图的问题，亲自动手操作一下，可以培养空间想象能力．举一反三：【变式】如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（）.【答案】B ；提示：从水中看物体——上下颠倒2、如图，C、D、E、F是一个长方形台球桌的4个顶点，A、B•是桌面上的两个球，怎样击打A球，才能使A球撞击桌面边缘CF后反弹能够撞击B球？请画出A•球经过的路线，并写出作法．【答案与解析】解：作点A 关于直线CF 对称的点G ，连接BG 交CF 于点P ，则点P 即为A•球撞击桌面边缘CF 的位置，A•球经过的路线如下图.【总结升华】这道题利用了轴对称的性质，把AP 转化成了线段GP ，通过找A 点的对称点，从而确定点P 的位置. 举一反三：【变式】已知∠MON 内有一点P ，P 关于OM ，ON 的对称点分别是1P 和2P ，12P P 分别交OM,ON 与点A 、B ，已知12P P ＝15，则△PAB 的周长为（ ） A. 15 B 7.5 C. 10 D. 24【答案】A ；提示：根据轴对称的性质，PA=P1A ，PB=P2B ，△PAB 的周长等于12P P . 类型二、线段垂直平分线性质3、如图，已知AD 是线段BC 的垂直平分线，且BD=3cm ，△ABC 的周长为20cm ，求AC 的长．【思路点拨】根据线段垂直平分线的性质，可得AB=AC，BD=CD，然后根据等量代换，解答出即可．【答案与解析】解：∵AD是线段BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，又∵BD=3cm，∴BC=6cm，又∵△ABC的周长=AB+BC+AC=20cm，∴2AC=14，AC=7cm．【总结升华】本题主要考查线段的垂直平分线的性质，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．举一反三【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（）Ａ．ED=CDＢ．∠DAC=∠BＣ．∠C＞2∠BＤ．∠B+∠ADE=90°【答案】Ｄ；类型三、角平分线性质4、如图，点O到△ABC的两边AB，AC的距离相等，且OB=OC．求证：AB=AC．【思路点拨】根据题意过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，则OE=OF，已知OB=0C，可证Rt△OEB≌Rt△OFC，从而得∠OBE=∠OCF，又由OB=OC得∠OBC=∠OCB，可得∠ABC=∠ACD，即AB=AC．【答案与解析】证明：过点O分别作OE⊥AB，OF⊥AC，E，F分别是垂足，由题意知，OE=OF．在Rt△OEB和Rt△OFC中，∵OE=OF，OB=OC，∴Rt△OEB≌Rt△OFC，∴∠OBE=∠OCF，又由OB=OC知∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACD，∴AB=AC．【总结升华】本题考查了三角形全等的判定与性质．关键是根据题意证明三角形全等，得出相等角，利用等角对等边证明结论．举一反三【变式】点D到△ABC的两边AB、AC的距离相等，则点D在（）A. BC的中线上B. BC边的垂直平分线上C.BC边的高线上D.∠A的平分线所在的直线上【答案】D；类型四、等腰三角形的性质与判定5、已知：一等腰三角形的两边长x，y满足方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩，则此等腰三角形的周长为（）A.5B.4C.3D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程组23328x yx y-=⎧⎨+=⎩得21xy=⎧⎨=⎩，当腰为1，2为底时，1＋1＝2，不能构成三角形，当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2＋2＋1＝5【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．举一反三：【变式】已知等腰三角形的一个内角为70°，则另两个内角的度数是（）A.55°，55°B.70°，40°C.55°，55°或70°，40°D.以上都不对【答案】C；提示：当70°为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为（180°－70°）÷2＝55°，当70°为底角时,另外一个底角也是70°,顶角是180°－140°＝40°．6、（杨浦区期末）已知：如图，在△ABC中，AC=BC，点D在AB边上，DE∥AC交BC边于点E，DF⊥AB，垂足是D，交直线BC于点F，试说明△DEF是等腰三角形的理由．【思路点拨】由等边对等角和平行线的性质得：∠B=∠BDE=∠A，由DF⊥AB得△BDF是直角三角形，得∠BDE+∠EDF=90°和∠B+∠F=90°，则∠F=∠EDF，从而得出结论．【答案与解析】解：∵AC=BC，∴∠A=∠B，∵DE∥AC，∴∠BDE=∠A，∴∠B=∠BDE，∵FD⊥AB，∴∠BDF=90°，∴∠BDE+∠EDF=90°，∵∠B+∠F+∠BDF=180°，∴∠B+∠F=90°，∴∠F=∠EDF，∴DE=DF，即△DEF是等腰三角形．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质和判定，是常考题型；熟练掌握等边对等角，等角对等边；以及直角三角形的两个锐角互余．举一反三：【变式1】如图，∠1＝∠2，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，请判断△AEC的形状，并说明理由．【答案】解：△AEC是等腰三角形．理由如下：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠3＝∠2＋∠3，即∠BAC＝∠DAE，又∵AB＝AD，∠B＝∠D，∴△ABC≌△ADE（ASA），∴AC＝AE．即△AEC是等腰三角形．【变式2】如图，∠BAC＝90°，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC的中点，请你探究线段DE与AM之间的数量关系．【答案】ED＝2AM解：连接DE，∵∠BAC＝90°，M是BC的中点∴AM＝BM＝MC＝12 BC∠EAD＝∠BAC＝90°，AE＝AB，AC＝AD∴△ABC≌△AED∴ED＝BC∴ED＝2AM类型五、等边三角形的性质与判定7、如图，设Ｄ为等边△ABC内一点，且AD＝BD，BP＝AB, ∠DBP＝∠DBC.求∠BPD的度数.【答案与解析】解：如图，连接CD，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，又AD＝BD，DC是公共边，∴△BDC≌△ADC（SSS），∴∠DCB＝∠DCA＝12×60°＝30°，∠DBC＝∠DAC，∵∠DBP＝∠DBC，∴∠DAC＝∠DBP，又已知BP＝AB，∴BP＝AC，∴△DBP≌△DAC（SAS），∴∠P＝∠ACD＝30°．【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．举一反三：【变式】（2015•营口）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（）A．25°B．30°C．35°D．40°【答案】B．解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°；故选：B．【巩固练习】一.选择题1. （河北）一张菱形纸片按如图1、图2依次对折后，再按如图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（）A．B．C．D．2．直角三角形三边垂直平分线的交点位于三角形的（）A.形内B.形外C.斜边的中点D.不能确定3. 以下叙述中不正确的是（）A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B．其中有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形C．等腰三角形一定是锐角三角形D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等4．下列条件①有一个角为60°的三角形；②三个外角都相等的三角形；③一边上的高与中线重合的三角形；④有一个角为60°的等腰三角形．能判定三角形为等边三角形的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5. 如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，DE交AB于E, 且AB＝ BC，则下列结论中错误．．的是（）A．BD⊥AC B．∠A＝∠EDA C．BC＝2AD D．BE＝ED6. 如图，△ABC中∠ACB＝90°,CD是AB边上的高，∠BAC的角平分线AF交CD于E，则△CEF必为（）A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形7.下列说法中不正确的是（）A.等边三角形是轴对称图形B.若两个图形的对应点连线都被同一条直线垂直平分，则这两个图形关于这条直线对称C.若△ABC ≌△111C B A ,则这两个三角形一定关于一条直线对称D.直线MN 是线段AB 的垂直平分线，若P 点使PA ＝PB ，则点P 在MN 上，若11P A PB ，则1P 不在MN 上8．如图所示,Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AB 的垂直平分线DE 交BC 于D ，交AB 于点E ．当∠B ＝30°时，图中不一定相等的线段有（ ）A ．AC ＝AE ＝BEB ．AD ＝BDC ．CD ＝DE D ．AC ＝BD二.填空题9. 如图，O 是 △ABC 内一点，且 OA ＝OB ＝OC ，若∠OBA ＝20°,∠OCB ＝30°，则∠OAC ＝_________.10. （苏州期末）如图，将一个等腰三角形（底角大于60°）沿对称轴对折后，剪掉一个60°的角，展开后得到如图的形状，若∠ABD=15°，则∠A= ．11. 如图，△ABC 中，∠C ＝90°，D 是CB 上一点，且DA ＝DB ＝4，∠B ＝15°,则AC 的长为 ．12. 在△ABC 中，AB ＝AC ，若∠A －∠B ＝30°则∠A ＝________， ∠B ＝________.13. 点D、E分别在等边△ABC的边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，使点B落在B1处，DB1、EB1分别交边AC于点F、G．若∠ADF＝80º，则∠CEG＝．14．（薛城区一模）一个汽车牌在水中的倒影为，则该车牌照号码______．15. 等腰三角形的两边长分别为10cm，6cm，则它的周长为_________.16. 三角形纸片ABC中，∠A＝60°，∠B＝80°，将纸片的一角折叠，使点C•落在△ABC内，如图所示∠1＝30°，则∠2＝_______．三.解答题17. 已知∠AOB，试在∠AOB内确定一点P，如图，使P到OA、OB的距离相等，并且到M、N两点的距离也相等.18.（绿园区期末）如图1是3×3的正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，（要求：绕正方形ABCD的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图2中的四幅图就视为同一种图案），请在图3中的四幅图中完成你的设计．19．如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，•且AB＝AE，AC＝AD，求证：∠DBC＝12∠DAB．20．（蓬江区期末）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE=CF，BD=CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）当∠A=40°时，求∠DEF的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C．2. 【答案】C；【解析】直角三角形斜边的中点到三顶点的距离相等.3. 【答案】Ｃ；【解析】等腰三角形还有钝角三角形和直角三角形．4. 【答案】Ｂ；【解析】②④均能判定三角形为等边三角形.5. 【答案】C；【解析】因为BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，所以∠EBD＝∠DBC＝∠EDB，故B、D成立，由等腰三角形三线合一的性质知A成立.6. 【答案】A；【解析】∠CFA＝∠B＋∠BAF，∠CEF＝∠ECA＋∠EAC，而∠B＝∠ECA，∠BAF＝∠EAC，故△CEF为等腰三角形.7. 【答案】C；【解析】全等的两个三角形不一定关于一条直线对称.8. 【答案】D；【解析】由角平分线的性质结合∠B＝30°，可知A、B、C均成立.二.填空题9. 【答案】40°；【解析】△AOB与△BOC与△AOC均为等腰三角形,∠OAC＝180220302︒-⨯︒+︒（）＝40°.10.【答案】30°．【解析】连接AD，由题意可得出：∠ACD=∠B=15°，∠BDC=60°，则∠ADB+∠ADC=360°﹣60°=300°，∵∠B+∠BAC+∠ADB+∠ADC+∠C=360°，∴∠BAC=360°﹣300°﹣15°﹣15°=30°．11.【答案】2；【解析】∠ADC＝30°，122AC AD==.12.【答案】 80°，50°；【解析】∠A－∠B＝30°，∠A＋2∠B＝180°，解方程组得∠A＝80°，∠B＝50°.13.【答案】40°；【解析】∠BDE＝18080502︒-︒=︒，∠BED＝∠DEG＝180°－50°－60°＝70°，所以∠CEG＝40°.14.【答案】M17936【解析】只需将倒影沿垂直旋转180°即可，因此该车的牌照号码为：M17936.15.【答案】 26cm或22cm；【解析】没有指明腰和底边，要分类讨论.16.【答案】50°；【解析】∠C＝40°，根据折叠图形对应角相等及三角形内角和定理，∠2＝50°.三.解答题17.【解析】MN的中垂线与∠AOB 的平分线的交点即为所求；如图所示：18.【解析】解：如图所示．19.【解析】证明：∵AC平分∠DAB，∴∠DAE＝∠CAB在△DAE和△CAB中，,,,AD ACDAE CABAE AB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAE≌△CAB（SAS），∴∠BDA＝∠ACB，又∵∠AED＝∠CEB，∴∠ADE＋∠AED＝∠ACB＋∠CEB，∵∠DAE＝180°－（∠ADE＋∠AED），∠DBC＝180°－（∠ACB＋∠CEB），∴∠DAE＝∠DBC，∵∠DAE＝12∠DAB，∴∠DBC＝12∠DAB．20．【解析】（1）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，在△DBE和△CEF中，∴△DBE≌△CEF，∴DE=EF，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△DBE≌△CEF，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠B=（180°﹣40°）=70°∴∠1+∠2=110°∴∠3+∠2=110°∴∠DEF=70°《生活中的轴对称》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1.认识和欣赏身边的轴对称图形，增进学习数学的兴趣.2.了解轴对称的概念，探索轴对称、轴对称图形的基本性质及它们的简单应用.3.探索线段的垂直平分线、角平分线和等腰三角形的性质以及判定方法.4.能按照要求，画出一些轴对称图形.【知识网络】【要点梳理】要点一、轴对称1.轴对称图形和轴对称（1）轴对称图形如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.（2）轴对称定义：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴.要求诠释：成轴对称的两个图形的性质：①关于某条直线对称的两个图形形状相同，大小相等，是全等形；②如果两个图形关于某条直线对称，则对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么它们的交点在对称轴上.（3）轴对称图形与轴对称的区别和联系要点诠释: 轴对称是指两个图形的位置关系，轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形；轴对称涉及两个图形，而轴对称图形是对一个图形来说的.联系：如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形关于这条轴对称；如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形．2.线段的垂直平分线线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.要点诠释：线段的垂直平分线的性质是证明两线段相等的常用方法之一.同时也给出了引辅助线的方法，那就是遇见线段的垂直平分线，画出到线段两个端点的距离，这样就出现相等线段，直接或间接地为构造全等三角形创造条件.三角形三边垂直平分线交于一点，该点到三角形三顶点的距离相等，这点是三角形外接圆的圆心——外心.3.角平分线角平分线性质是：角平分线上的任意一点，到角两边的距离相等；反过来，在角的内部到角两边的距离相等的点在角平分线上.要点诠释：前者的前提条件是已经有角平分线了，即角被平分了；后者则是在结论中确定角被平分，一定要注意着两者的区别，在使用这两个定理时不要混淆了.要点二、作轴对称图形1.作轴对称图形（1）几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些点，就可以得到原图形的轴对称图形；（2）对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.要点三、等腰三角形1.等腰三角形（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A 是顶角，∠B、∠C是底角．要点诠释：等腰直角三角形的两个底角相等，且都等于45°.等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）．∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝1802A︒-∠．（2）等腰三角形性质①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.（3）等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定理是互逆定理．2.等边三角形（1）定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形.要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形．也就是说等腰三角形包括等边三角形．（2）等边三角形性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.（3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形.【典型例题】类型一、轴对称的性质与应用1、（阳谷县一模）若∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，分别作点P关于直线OA、OB 的对称点P1，P2，连接OP1，OP2，则下列结论正确的是（）A．OP1⊥OP2B．O P1=OP2C．OP1≠OP2D．O P1⊥OP2且OP1=OP2【思路点拨】根据轴对称的性质求出OP1、OP2的数量与夹角即可得解．【答案】D；【解析】解：如图，∵点P关于直线OA、OB的对称点P1、P2，∴OP1=OP2=OP，∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2，∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2，=2（∠AOP+∠BOP），=2∠AOB，∵∠AOB=45°，∴OP1⊥OP2成立．故选D．【总结升华】本题考查了轴对称的性质，是基础题，熟练掌握性质是解题的关键，利用图形更形象直观．举一反三：【变式】如图，△ABC的内部有一点P，且D，E，F是P分别以AB，BC，AC为对称轴的对称点．若△ABC的内角∠A＝70°，∠B＝60°，∠C＝50°，则∠ADB＋∠BEC＋∠CFA＝（）A.180°B.270°C.360°D.480°【答案】C ；解：连接AP ，BP ，CP ，∵D ，E ，F 是P 分别以AB ，BC ，AC 为对称轴的对称点 ∴∠ADB ＝∠APB ，∠BEC ＝∠BPC ，∠CFA ＝∠APC ，∴∠ADB ＋∠BEC ＋∠CFA ＝∠APB ＋∠BPC ＋∠APC ＝360°．2、已知∠MON ＝40°，P 为∠MON 内一定点，OM 上有一点A ，ON 上有一点B ，当△PAB 的周长取最小值时，求∠APB 的度数.【思路点拨】求周长最小，利用轴对称的性质，找到P 的对称点来确定A 、B 的位置，角度的计算，可以通过三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算. 【答案与解析】解：分别作P 关于OM 、ON 的对称点1P ，2P ，连接12P P 交OM 于A ，ON 于B.则△PAB 为符合条件的三角形. ∵∠MON ＝40° ∴∠12P PP ＝140°.∠1PPA ＝12∠PAB,∠2P PB ＝12∠PBA. ∴12(∠PAB ＋∠PBA)＋∠APB ＝140° ∴∠PAB ＋∠PBA ＋2∠APB ＝280°∵∠PAB ＝∠1P ＋∠1PPA , ∠PBA ＝∠2P ＋∠2P PB ∴∠1P ＋∠2P ＋∠12P PP ＝180° ∴∠APB ＝100°【总结升华】将实际问题抽象或转化为几何模型，将周长的三条线段的和转化为一条线段，这样取得周长的最小值.举一反三：【变式】（西城区期末）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为P1（3，0）．（1）画出点P从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P第2014次碰到长方形的边时，点P的坐标为．【答案】解：（1）如图所示；（2）如图，经过6次反弹后动点回到出发点（0，3），∵2014÷6=335…4，∴当点P第2014次碰到矩形的边时为第336个循环组的第4次反弹，∴点P的坐标为（5，0）．故答案为（5，0）．类型二、线段垂直平分线性质3、如图，在等腰△ABC中，∠BAC=120°，DE是AC的垂直平分线，线段DE=1cm，求BD的长．【思路点拨】连接AD，根据等腰三角形的两底角相等求出∠B=∠C=30°，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AD=CD，然后求出∠CAD=30°，再求出∠BAD=90°，然后根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD=2DE，BD=2AD，代入数据进行计算即可得解．【答案与解析】解：连接AD，∵等腰△ABC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴∠CAD=∠C=30°，∴∠BAD=∠BAC﹣∠CAD=120°﹣30°=90°，在Rt△CDE中，CD=2DE，在Rt△ABD中，BD=2AD，∴BD=4DE，∵DE=1cm，∴BD的长为4cm．故答案为：4cm．【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．举一反三【变式】（2016春•芦溪县期中）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=50°，DE是腰AB的垂直平分线，求∠DBC的度数．【思路点拨】已知∠A=50°，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由线段垂直平分线的性质可求出∠ABC=∠A，易求∠DBC．【答案与解析】解：∵∠A=50°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=（180°﹣∠A）=65°又∵DE垂直且平分AB，∴DB=AD，∴∠ABD=∠A=50°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=65°﹣50°=15°．即∠DBC的度数是15°．【总结升华】本题考查的是等腰三角形的性质以及线段垂直平分线的性质．垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．类型三、角平分线性质4、已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE、CD相交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．证明：∵AO平分∠BAC，∴OB=OC（角平分线上的点到角的两边距离相等）上述解答不正确，请你写出正确解答．【思路点拨】由角平分线的性质可得OD=OE，然后证明△DOB≌△EOC，可得证OB=OC．【答案与解析】证明：∵AO平分∠BAC，CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD=OE，在△DOB和△EOC中，∠DOB=∠EOC，OD=OE，∠ODB=∠OEC，∴△DOB≌△EOC（ASA），∴OB=OC．【总结升华】此题主要考查角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，注意点到直线的距离是垂线段的长．举一反三【变式】如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，对于结论：①DE=DF；②BD=CD；③AD上任一点到AB、AC的距离相等；④AD上任一点到B、C的距离相等．其中正确的是（）A．仅①②B．仅③④C．仅①②③D．①②③④【答案】D；类型四、等腰三角形的综合应用5、如图①，△ABC中．AB=AC，P为底边BC上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E、F、H．易证PE+PF=CH．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH． 又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴12AB•PE+12AC•PF=12AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________. 【答案】7；4或10； 【解析】解：（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下：∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH ⊥AB，∴ABP S △=12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=12AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴12AB•PE=12AC•PF+12AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，∴AC=2CH．。

第五章生活中的轴对称3 简单的轴对称图形（第3课时）一、学生知识状况分析二、教学任务分析本节是从折叠入手，使学生进一步认识角轴对称性，让学生通过动手操作、观察、自主探究角平分线的性质。

内容包括角平分线的作法、角平分线的性质及初步应用。

作角的平分线是基本作图，角平分线的性质为证明线段或角相等开辟了新的途径，体现了数学的简洁美，同时也是全等三角形知识的延续，又为后面角平分线的判定定理的学习奠定了基础。

因此，本节内容在数学知识体系中起到了承上启下的作用，同时教材的安排由浅入深、由易到难、知识结构合理，符合学生的心理特点和认知规律。

本节的具体教学目标为：知识目标：1.掌握作已知角的平分线的尺规作图方法。

2. 利用逻辑推理的方法证明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．能力目标：1.在探究作已知角的平分线的方法和角平分线的性质的过程中，发展几何直觉。

2.提高综合运用三角形全等的有关知识解决问题的能力.3.初步了解角的平分线的性质在生活、生产中的应用.情感目标：1. 使学生在自主探索角平分线的过程中，经历画图、观察、比较、推理、交流等环节，从而获得正确的学习方式和良好的情感体验；2.在探讨作角的平分线的方法及角的平分线的性质的过程中，培养学生探究问题的兴趣，增强解决问题的信心，获得解决问题的成功体验，逐步培养学生的理性精神。

三、教学过程分析本节课设计了五个教学环节：第一环节：动手操作，导入课题；第二环节：动手操作、探求新知；第三环节：猜想再实践，发展几何直觉；第四环节：巩固基础，检测自我；第五环节：课堂小结，布置作业。

第一环节：动手操作，导入课题活动内容：[情境问题一]不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。

你有什么办法？（对折）再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？学生实验：通过折纸的方法作角的平分线。

教师与学生一起动手操作。

展示学生作品。

活动目的：体验角平分线的简易作法，并为角平分线的性质定理的引出做铺垫，为下一步设置问题墙。

第3课时角平分线的性质及画法教师备课素材示例●复习导入生活中有许多图形是轴对称图形，验证一个图形是不是轴对称图形可以通过对折的方式．角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么验证的？交流你的想法．【教学与建议】教学：体验角平分线的简易作法，让学生亲自动手折叠一个角，为整节课的学习奠定基础．建议：通过折纸及作图过程，由学生自己去发现结论．●置疑导入不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角．你有什么办法？(对折)再打开纸片，看看折痕与这个角有何关系？【教学与建议】教学：让学生动手动脑体验操作将一个角分成两个相等的角，为新课作铺垫．建议：学生自己发现结论，发挥学生的主动作用．尺规作图就是只用没有刻度的直尺和圆规画图．【例1】如图，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，观察图中尺规作图的痕迹，则∠DCE的度数为(B)A．60°B．65°C．70°D．75°（例1题图）（例2题图）【例2】如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，交CD于点M.若∠ACD＝120°，则∠MAB 的度数为__30°__．角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．【例3】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB 于点D.如果AC＝3cm，那么AE＋DE等于(B)A．2cmB．3cmC．4cmD．5cm（例3题图） （例4题图）【例4】如图，AB ∥CD ，BE 和CE 分别平分∠ABC 和∠DCB，AD 过点E ，且与AB 垂直，垂足为A ，交CD 于点D.若AD ＝4，则点E 到BC 的距离是__2__．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，综合运用这两条性质，选择合适条件和表示方法来解决问题．【例5】如图，已知△ABC 中，CD 是AB 边上的高线，BE 平分∠ABC，交CD 于点E ，BC ＝5，DE ＝2，则△BCE 的面积等于(C)A ．10B ．7C ．5D ．4【例6】如图，已知在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，BD 是∠ABC 的平分线，DE 是BC 的垂直平分线，试说明：BC ＝2AB.解：因为DE 是BC 的垂直平分线，所以BE ＝EC ＝12BC ，DE ⊥BC ，所以∠DEB＝90°.因为∠A＝90°，所以∠A＝∠DEB.又因为BD 是∠ABC 的平分线，所以∠ABD＝∠EBD，DA ＝DE ，所以△ABD≌△EBD(AAS)，所以AB ＝BE ，所以AB ＝12BC ，即BC ＝2AB.高效课堂 教学设计1．经历探索角的轴对称性质的过程，理解角平分线的有关性质． 2．利用折叠的方法说明角平分线的性质，并能够利用其解决相应的问题．▲重点探索并理解角平分线的有关性质．▲难点运用角平分线的性质解决问题．◆活动1 创设情境导入新课(课件)如图，在S区有一个集贸市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路．问题1：怎样修建道路最短？问题2：往哪条路走更近呢？这节课我们来利用角平分线的性质解决这类问题．◆活动2 实践探究交流新知【探究1】角的轴对称性操作：在一张纸上任意画一个角∠AOB，如图，沿角的两边将角剪下，并将这个角对折，使角的两边重合，再打开纸片，看看折痕与这个角有什么关系？【归纳】角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴．强调：角平分线是一条射线，而角的对称轴是角平分线所在的直线．【探究2】角平分线的性质请同学们按下列步骤完成折叠过程：(1)在一张纸上任意画∠AOB，沿角的两边将角剪下，将这个角对折，使角的两边重合，折痕就是∠AOB的平分线；(2)在∠AOB的平分线上任意取一点C，分别折出过点C且与∠AOB两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将∠AOB再次对折，线段CD与CE重合吗？(3)改变点C 的位置，线段CD 和CE 还相等吗？你能说明理由吗？ 【归纳】角平分线上的点到这个角的两边的距离相等． 【探究3】尺规作角的平分线下面我们探究用尺规作角的平分线．已知：∠AOB.求作：射线OC ，使∠AOC＝∠BOC. 作法：(1)在OA 和OB 上分别截取OD ，OE ，使OD ＝OE ；(2)分别以D ，E 为圆心，以大于12DE 的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C ；(3)作射线OC.OC 就是∠AOB 的平分线(如图)． 你能说明这样作的道理吗？理由：连接CE ，CD.因为OD ＝OE ，CD ＝CE ，OC ＝OC ， 所以△COD≌△COE(SSS).所以∠COD＝∠COE，即OC 是∠AOB 的平分线． ◆活动3 开放训练 应用举例【例1】如图，在Rt △ABC 中，BD 是角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE 与DC 相等吗？为什么？【方法指导】角平分线性质的运用．解：相等．理由：因为BD 平分∠ABC，DE ⊥AB ，DC ⊥BC ，根据角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，可知DE ＝DC.【例2】如图，AD 是△ABC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，S △ABC ＝7，DE ＝2，AB ＝4，则AC 的长是()A ．6B ．5C ．4D ．3 【方法指导】过点D 作DF⊥AC 于F.因为AD 是△ABC 的角平分线，DE⊥AB ，所以DF ＝DE ＝2，所以S △ABC ＝12×4×2＋12AC×2＝7，解得AC ＝3.答案：D【例3】如图，AB ∥CD ，以点A 为圆心，小于AC 长为半径作圆弧，分别交AB ，AC 于E ，F 两点，再分别以E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP ，交CD 于点M.若∠ACD＝120°，求∠MAB 的度数．【方法指导】根据AB∥CD，∠ACD ＝120°，得出∠CAB＝60°.再根据尺规作图得出AM 是∠CAB 的平分线，即可得出∠MAB 的度数．解：因为AB∥CD，所以∠ACD＋∠CAB＝180°.又因为∠ACD＝120°，所以∠CAB＝60°. 由尺规作图知AM 是∠CAB 的平分线，所以∠MAB＝12∠C AB ＝30°.◆活动4 随堂练习 1．用直尺和圆规作一个角的平分线如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC 的依据是(A)A.SSS B ．ASA C ．AASD ．角平分线上的点到角两边的距离相等2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC，交BC 于点D.若AB ＝10，S △ABD ＝15，求CD 的长．解：CD＝3.3．课本P126随堂练习．◆活动5 课堂小结与作业【学生活动】1.本节课你知道了哪些新知识？2．你还有哪些困惑？【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对角平分线的理解和应用．【作业】课本P127习题5.5中的T1、T2、T3.课堂开始设计了折纸活动，让学生体验角的轴对称性，为学习角平分线的性质做好铺垫．通过学习尺规作图，以达到复习全等和再次验证猜想的目的，从而激发了学生学习数学的欲望和兴趣，使教学目标顺利达成．有效提高了学生对新知识的理解和感悟，教学效果较好．。

七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3.1简单的轴对称图形说课稿新版北师大版一. 教材分析《北师大版七年级数学下册》第五章“生活中的轴对称”5.3.1节“简单的轴对称图形”，是学生在学习了平面几何基本概念、性质和判定之后，对轴对称图形知识的进一步拓展。

本节内容通过具体的实例，让学生理解轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的性质和判定方法，培养学生观察、思考、归纳的能力。

教材内容贴近生活，富有启发性，有利于激发学生的学习兴趣。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何知识基础，对平面几何的基本概念、性质和判定有一定的了解。

但学生在学习过程中，可能会对轴对称图形的概念和性质理解不深，难以运用到实际问题中。

因此，在教学过程中，教师需要注重引导学生通过观察、实践、归纳来理解轴对称图形的概念和性质，提高学生的几何思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的性质和判定方法，能运用轴对称图形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、实践、归纳等方法，培养学生的几何思维能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生团结协作、积极思考的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.教学重点：轴对称图形的概念、性质和判定方法。

2.教学难点：轴对称图形在实际问题中的运用。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用启发式教学法、讨论式教学法和案例教学法。

2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型、几何画板等辅助教学。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的轴对称现象，引导学生关注轴对称图形，激发学生的学习兴趣。

2.探究新知：让学生观察、分析实例，引导学生发现轴对称图形的性质和判定方法。

3.实践操作：让学生分组讨论，运用轴对称图形的知识解决实际问题。

4.归纳总结：教师引导学生总结轴对称图形的概念、性质和判定方法。

5.巩固练习：布置适量的课后练习，巩固所学知识。

七年级数学下册第五章生活中的轴对称5.3.2简单的轴对称图形教学设计新版北师大版一. 教材分析本节课的主题是生活中的轴对称，5.3.2节主要介绍简单的轴对称图形。

通过本节课的学习，让学生理解轴对称的概念，能够识别和绘制简单的轴对称图形，并了解轴对称图形在生活中的应用。

教材通过实例引入轴对称的概念，让学生在实际情境中感受和理解轴对称的意义，培养学生的观察能力和实践能力。

二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的几何图形认知基础，对图形的变换也有一定的了解。

但是，对于轴对称这一概念，学生可能比较陌生，需要通过具体的实例和活动，让学生理解和掌握。

此外，学生对于生活中的轴对称现象可能有一定的感知，但缺乏系统的认识和总结。

三. 教学目标1.知识与技能：理解轴对称的概念，能够识别和绘制简单的轴对称图形。

2.过程与方法：通过观察、操作、思考、交流等活动，培养学生的观察能力、实践能力和团队协作能力。

3.情感态度价值观：感受数学与生活的紧密联系，培养学生的学习兴趣和自信心。

四. 教学重难点1.重点：理解轴对称的概念，能够识别和绘制简单的轴对称图形。

2.难点：轴对称图形的性质和判定。

五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入轴对称的概念，让学生在实际情境中感受和理解轴对称的意义。

2.操作教学法：让学生通过实际操作，绘制和识别轴对称图形，培养学生的实践能力。

3.小组讨论法：学生分组讨论，分享自己的观点和发现，培养学生的团队协作能力和交流能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的PPT，展示实例和练习题。

2.实例材料：准备一些生活中的轴对称实例，如剪纸、图片等。

3.练习题：准备一些练习题，用于巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示一些生活中的轴对称实例，如剪纸、图片等，引导学生观察和思考，让学生初步感受轴对称的意义。

2.呈现（10分钟）讲解轴对称的概念，让学生明确轴对称的定义和性质。

通过具体的实例，让学生理解轴对称图形的判定方法。